[email protected] Il reste sûrement Edit ...pallier/pdfs/...MP* Exercicesdecolles 2013-2014 A....

COLLES MP* 2013-2014 AU LYCÉE MARCELIN BERTHELOT

GABRIEL PALLIER

Le nom des étudiants concernés pour chaque exercice (sauf oublis...) est dans lamarge. Des indications ou éléments de correction peuvent être fournis sur demandeavec le numéro de l’exercice, adressée à [email protected]. Il reste sûrementdes erreurs d’énoncé, merci de me les signaler. Bon courage pour les oraux.

Edit : voir aussi les exercices de l’année 2014-2015 (attention au changement deprogramme).

Table des matières

A. Combinatoire, dénombrabilité (19 septembre) 2B. Groupes, anneaux, corps, polynômes (26 septembre) 5C. Algèbre linéaire élémentaire (3 octobre) 6D. Réduction des endomorphismes (10 octobre) 8E. Révisions d’algèbre linéaire (17 octobre) 9F. Séries numériques (7 novembre) 11G. Espaces vectoriels normés (14 novembre) 12H. Topologie I : Compacité, connexité par arcs (21 novembre) 13I. Topologie II : Compacité, complétude (28 novembre) 14J. Révisions d’analyse de 1ere année (5 décembre) 15K. Espaces euclidiens (12 décembre) 17L. Endomorphismes des espaces euclidiens (19 décembre) 18M. Révisions d’algèbre et de topologie (9 Janvier) 19N. Suites et séries de fonctions (16 janvier) 20O. Intégrales généralisées, intégrales à paramètre (23 janvier) 21P. Séries entières (30 janvier) 22Q. Séries de Fourier (6 février) 23R. Calcul Différentiel I (13 février) 24S. Calcul Différentiel II (6 mars) 25T. Intégrales multiples et formes différentielles (13 mars) 26U. Equations différentielles linéaires (20 mars) 27Corrections de certains exercices 28Références 39

Date: 2012—2013.1

mailto:[email protected]

https://www.math.u-psud.fr/~pallier/pdfs/MP2015.pdf

MP* Exercices de colles 2013-2014

A. Combinatoire, dénombrabilité (19 septembre)

Exercice 1 (Coefficient multinômial). On suppose que les ak sont des entiersSamirnaturels tels que

∑ki=1 ak = n. Montrer que a1!a2! · · · ak! divise n!

Exercice 2 (Cardinal de P (X)). Existe-t-il un ensemble X tel que P (X) est infiniVladislav, Rémidénombrable ?

Exercice 3 (Curryfication). Soient E, F et G trois ensembles. Montrer queVladislav

F (E,F (F,G)) et F (E × F,G)

sont équipotents.

Exercice 4 (Dénombrement des applications croissantes). On souhaite dénombrerVladislav, Rémiles applications croissantes de 1, ..., n dans 1, ..., p.1. Montrer que l’ensemble Cn,p des aplications croissantes de 1, ..., n dans 1, ..., p

est en bijection avec l’ensemble C+n,n+p−1 des applications strictement croissantes

de 1, ..., n dans 1, ..., n+ p− 1.2. Dénombrer C+

n,n+p−1 et conclure.

3. On dit d’une application f de 1, . . . n dans 1, . . . p qu’elle est k-croissantesi f (m+ 1) − f (m) > k pour tout m dans 1, . . . n− 1. Combien y a-t-ild’applications k croissantes de 1, ..., n dans 1, ..., p ?

Exercice 5 (Autour du crible de Poincaré). On notera |X| le cardinal d’un en-Arnaudsemble X fini.1. Démontrer la formule du crible de Poincaré : si (Xi)16i6n est une famille de

parties finies de X, alors∣∣∣∣∣⋃i

Xi

∣∣∣∣∣ =∑i

|Xi| −∑

16i<j6n

|Xi ∩Xj |+ · · ·+ (−1)n−1 |X1 ∩ · · · ∩Xn| .

2. Deux entiers n et p étant donnés, on souhaite obtenir le nombre S (n, p) dessurjections de 1, ..., n dans 1, ..., p. On note, pour 1 6 i 6 p

Ni (n, p) = f ∈ F (1, . . . , n , 1, . . . p) , ∀m ∈ 1, . . . , n , f (n) 6= iEn appliquant la formule du crible aux Ni, montrer que

(S) S (n, p) =

p∑k=0

(p

k

)(−1)

p−kkn.

3. On rappelle que ϕ (n) est le nombres d’entiers naturels k tels que 1 6 k 6 n quisont premiers à n. En utilisant la formule du crible de Poincaré, montrer que

ϕ (n) = n∏p|n

(1− 1

p

).

Exercice 6 (Inversion de Pascal et applications). Dans cet exercice on va (entreThibautautres) retrouver la formule (S) par une autre méthode.1. (Re)démontrer la formule d’inversion de Pascal : Si a et b sont deux suites réelles

telles que

∀n ∈ N, an =

n∑k=0

(n

k

)bk,

alors

∀n ∈ N, bn =

n∑k=0

(n

k

)(−1)

n−kak.

2


On pourra raisonner par récurrence, ou bien en introduisant une applicationlinéaire bien choisie.

2. On note F (n, p) l’ensemble des applications de 1, ..., n dans 1, ..., p et S (n, p)le nombre de surjections ; par ailleurs

Fk (n, p) = f ∈ F (n, p) , |f (1, . . . , n)| = k .

Dénombrer Fk (n, p) en fonction des S (n, k) ; en déduire que

S (n, p) =

p∑k=0

(p

k

)(−1)

p−kkn.

3. Un dérangement est une permutation sans point fixe. Montrer que toute permu-tation σ de Sn est la donnée de son support k | σ (k) 6= k et d’un dérangementde ce support. Combien y a-t-il de dérangements dans l’ensemble des permuta-tions de 1, . . . n ?

Exercice 7 (Suites monotones). Y a-t-il autant de suites croissantes d’entiers na- Arnaud (2012)turels que de suites décroissantes d’entiers naturels ?

Exercice 8. On s’intéresse aux cercles du plan sans point de coordonnées ration- Samirnelles.

1. Soit x ∈ R2. Montrer qu’il existe un cercle Γ ⊂ R2 centré en x ne rencontrantpas Q2, non réduit à un point.

2. Soient y et z distincts, pris dans R2−Q2. Montrer qu’il existe un cercle Γ de R2

ne rencontrant pas Q2 passant par y et z.

3. Soit d > 0. Montrer qu’il existe un cercle de R2 ne rencontrant pas Q2 dediamètre d.

Exercice 9 (Dénombrement de SL (n,Fp)). On rappelle que si p est un nombre Arnaudpremier, Fp désigne le corps à p éléments (Z/pZ,+,×).

1. Quel est le cardinal du groupe GL (n,Fp) ? On pourra compter les bases de Fnp .2. Montrer que l’application det est surjective de GL (n,Fp) sur F?p. En déduire une

expression du cardinal de SL (n,Fp).

Exercice 10 (Nombre de surjections, [11]). Encore une preuve de (S). Jean-Loup

1. Soit X un ensemble fini. Montrer∑A⊂X

(−1)|A|

=

0 si X 6= ∅1 si X = ∅.

2. En déduire que

S (n, p) =

n∑k=0

(p

k

)(−1)

p−kkn.

Exercice 11 (ENS – Premiers sommes de deux carrés, par D. Zagier [2, 4.35]).Soit p un nombre premier congru à 1 modulo 4. On souhaite montrer que p est Jean-Loupsomme de deux carrés.

1. Soit S = (x, y, z) ∈ N3 | x2 + 4yz = p. Montrer que S est fini et non vide.

2. Soit f la fonction de S dans S défine par

(x, y, z) 7→

(x+ 2z, z, y − x− z) si x < y − z(2y − x, y, x− y + z) si y − z < x < 2y(x− 2y, x− y + z, y) si x > 2y.

3


Montrer que f est bien définie sur S, qu’elle admet exactement un point fixe etqu’elle est involutive 1. En déduire que |S| est impair.

3. Soit g l’involution de S donnée par

(x, y, z) 7→ (x, z, y)

Montrer que g admet au moins un point fixe, i.e. il existe un triple tel queg(s) = s. Conclure.

Cet exercice est corrigé page 28.

Exercice 12 (* Théorème de Cantor-Bernstein). On se propose de démontrer le2012théorème suivant :Soient X et Y deux ensembles. On suppose qu’il existe i : X → Y et j : Y → Xtoutes deux injectives. Alors X et Y sont équipotents.1. Démontrer le théorème quand X ou Y est fini, puis quand X ou Y est dénom-

brable.2. Soit Z l’union des copies disjointes de X et Y , et f le recollement de i et j surZ, i.e.

f(z) =

i(z) z ∈ Xj(z) z ∈ Y.

On dit que z ∈ Z est un ancêtre de z′ ∈ Z s’il existe n ∈ N tel que z′ = fn(z).On note A(z) l’ensemble des ancêtres de z. Que dire de |A(f(z))| en fonction de|A(z)| ? Conclure.

Exercice 13 ([9]). On rappelle (voir exercice 5 par exemple) que la fonction indi-catrice d’Euler ϕ est telle que

ϕ(n) = n∏p|n

(1− 1/p).

Montrer que limn→+∞ ϕ(n) = +∞.

1. On dit d’une application f d’un ensemble dans lui-même qu’elle est une involution si f fest égale à l’identité. De manière équivalente, f est une bijection et f = f−1.

4


B. Groupes, anneaux, corps, polynômes (26 septembre)

Exercice 14 (Ordre maximal). Quel est l’ordre maximal d’un élément de S10 ? de LucieA10 ?

Exercice 15 (Formule de Legendre). Combien y a-t-il de zéros à la fin de l’écriture Paulinedécimale de 1000! ?

Exercice 16 (Théorème dit de Wilson, applications [2, 4.12]). 1. Montrer que n Thomasest premier si et seulement s’il divise (n− 1)! + 1

2. Soit p congru à 1 modulo 4 Montrer que(p−1

2

)!2 est congru à −1 modulo p

3. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que −1 soit un carré dans(Z/pZ)

4. Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo 4.

Exercice 17 (Un anneau non principal). Montrer que l’anneau Z [X] n’est pas Mathilde,Clémentprincipal.

Exercice 18 ([6]). Quels sont les groupes G dont le groupe d’automorphisme ArthurAut (G) est trivial ? On pourra commencer par montrer qu’un tel groupe est abélien.Cet exercice est corrigé page 29.

Exercice 19 (Irréductibilité de X4 + 1 suivant le corps de base). 1. Montrer que ClémentX4 + 1 est irréductible dans Q [X]

2. Montrer que l’ensemble F?2p des carrés de (Z/pZ)? forme un sous-groupe de

cardinal p−12 , puis que le produit de deux non-carrés est un carré.

3. Soit p un nombre premier impair. Montrer que −1, 2 ou −2 est un carré modulop. En déduire que X4 + 1 n’est pas irréductible dans (Z/pZ) [X]

Exercice 20 (* Un jeu dans les groupes finis [5, 1st day, Problem 3]). Alice et MathildeBob, amis de longue date, décident de jouer au jeu suivant : ils se donnent ungroupe G fini. Puis, il choisissent chacun leur tour (en commençant par Alice) unélément de G, sachant qu’il est interdit de prendre un élément qui a déjà été choisi.Le premier joueur à choisir un élément qui, avec tous ceux précédemment choisis,permet d’engendrer le groupe total G a perdu.1. Montrer que, pour G = Z/nZ, Bob possède une stratégie gagnante si et seule-

ment si n = 1 ou 4 | n.2. On choisit le groupe symétrique Sn. Lequel des deux joueurs possède une stra-

tégie gagnante ?Cet exercice est corrigé page 29.

5


C. Algèbre linéaire élémentaire (3 octobre)

Exercice 21 (ENSAE — Un calcul de déterminant). Soient n, p ∈ N? etJules, Etienne

(a1, . . . ap) , (b1, . . . bp) ∈ Cp

tels que pour tous i, j, aibj 6= 1. On définit une matrice G ∈Mp (C) par :

G :=

(1− ani bnj1− aibj

)16i,j6p

.

1. On suppose p = n. Calculer det G en fonction des ai et des bk On pourraidentifier G à un produit de matrices du type «Vandermonde ».

2. On suppose p > n. Montrer que det G = 0

Exercice 22 (Un déterminant). Soit n ∈ N? et θ ∈ R\πZ, montrer l’identité pourle déterminant d’ordre n suivante :

dn (θ) = det

2 cos θ 1 (0)1 2 cos θ 1

1. . . . . .. . . 2 cos θ 1

(0) 1 2 cos θ

=sin (n+ 1) θ

sin θ.

Que dire si θ ∈ πZ ?

Exercice 23 (Suites exactes et relation d’Euler-Poincaré). Soit k un corps. UneJohanna (2012)suite exacte est la donnée d’une famille (Ek)06k6n de k-espaces vectoriels, et d’unefamille de morphismes (uk)06k6n−1 telle que ui : Ei → Ei+1 et Im ui = Ker ui+1

pour tout i entre 0 et n− 1. On écrit une suite exacte sous la forme

0→ E1u1−→ · · · un−2−→ En−1 → 0.

1. Montrer que dans une suite exacte, les dimensions des espaces vectoriels vérifientla relation d’Euler-Poincaré

n−1∑i=0

(−1)idimEi = 0.

2. Montrer qu’il s’agit de la seule relation k-linéaire vérifiée (à multiplication sca-laire près).

3. Montrer que la formule de Grassmann, dimE+F = dimE+dimF −dimE∩F ,est un cas particulier de la relation d’Euler-Poincaré.

Exercice 24 (Centrale-Supélec — Commutant de la transposition). Soit k un corpsVictor,Paul de caractéristique 6= 2 (on pourra prendre k = R pour simplifier). Soit

E =f ∈ L (Mn(k)) : ∀M ∈Mn(k), f(tM) = tf(M)

.

Quelle est la dimension de E ?

Exercice 25 (Matrices magiques). Soit n ∈ N? et k un corps de caractéristiquePablo6= 2, Magn (k) est l’ensemble des matrices dont les sommes des coefficients de chaqueligne sont égales entre elles et aussi égales aux somme des coefficients sur chaquecolonne ainsi qu’à la somme des termes diagonaux.1. Montrer que Magn (k) est un sous-espace vectoriel deMn (k) stable par trans-

position2. Montrer que si M ∈ Magn (k), alors sa partie symétrique SM et sa partie anti-

symétrique AM sont également dans Magn (k). En déduire Mag3 (k).3. Mag3 (R) est-elle une sous-algèbre deM3 (R) ?

6


4. Si M ∈ Magn (R) est inversible, son inverse est-elle une matrice magique ?5. * Montrer qu’il existe M ∈ Mag3 (R) dont tous les coefficients sont dans N et

sont distincts.

Exercice 26 (Similitude et extensions de corps). Soient A et B dansMn (Q) qui Etiennesont semblables sur C. On souhaite montrer que A et B sont semblables sur Q.1. SoientM1, . . .Mr des matrices deMn (C) qui sont libres sur Q. Montrer qu’elles

sont libres sur C.2. Montrer que l’ensemble des M ∈Mn (C) telles que AM = MB est un C-espace

vectoriel non nul qui admet une base M1, . . .Mr de matrices deMn (Q).3. Montrer que Q : x1, . . . xr 7→ det (

∑xiMi) est une fonction polynômiale à coef-

ficients dans Q.4. Montrer que si k est un corps infini et si P (x1, . . . , xr) = 0 pour tous x1, . . . , xr ∈k, alors P = 0 en tant que polynôme. On pourra procéder par récurrence sur ret utiliser une matrice de Vandermonde bien choisie. Montrer que Q 6= 0 dansQ [X] puis conclure.

Exercice 27 (Un peu d’algèbre extérieure). Soit E de dimension n sur k. On Johannarappelle qu’une (k-)forme p-linéaire alternée sur E est une application ϕ : Ep → kqui est k-linéaire en chacune des variables, et telle que ϕ (u1, . . . , un) = 0 s’il existei et j tels que ui = uj . On note Λp (E) l’ensemble des formes p−linéaires alternéessur E.1. Vérifier que Λp (E) est un k-espace vectoriel et que Λ1 (E) = E?.2. Soit ϕ une forme n-linéaire alternée sur E. Montrer qu’il existe B une base deE telle que ϕ = detB où detB (u1, . . . un) est le déterminant des vecteurs ui dansla base B. Quelle est la dimension de Λn (E) ?

3. Montrer que dimk Λp (E) =(np

).

7


D. Réduction des endomorphismes (10 octobre)

Dans tous les exercices, K est un sous-corps de C et E est un K-espace vectorielde dimension finie n. χu et µu sont les polynômes caractéristique et minimal de u(on prendra pour convention χu (λ) = det (u− λIn) = (−1)

ndet (λIn − u) et µu

unitaire).

Exercice 28 (Eléments nilpotents de K [f ]). Soit f ∈ L (E) etMohammed,Raphaël J = P ∈ K [X] , P (f) nilpotent .

Montrer que J est un idéal de K [X] puis déterminer, en fonction de µf , un géné-rateur.

Exercice 29 (Mines-Ponts — Endomorphismes simples). Soit u ∈ L (E) de poly-Paulnôme caractéristique χu. Montrer que χu est irréductible dans K [X] si, et seulementsi, 0 et E sont les seuls espaces stables de u.

Exercice 30 (Polynôme minimal prescrit). Pour quelles valeurs de l’entier n existe-Aurianet-il une matrice M ∈Mn (R) dont le polynôme minimal est µM =

(1 +X2

)2 ?Exercice 31 (* Sommes d’espaces cycliques [7, 7.1]). Soit f ∈ L (E). Pour cetBenjaminexercice on signale/rappelle que par définition le polynôme minimal ponctuel µf,xde f en x ∈ E est le générateur unitaire de l’idéal

P ∈ K [X] | P (f) (x) = 0 .et que Ef,x est l’espace (dit «cyclique ») engendré les fk (x). S’il existe x tel queE = Ef,x alors on dit que E est cyclique.1. Montrer que si f possède n valeurs propres distinctes alors f est cyclique.2. On suppose que x et y sont tels que µf,x et µf,y sont premiers entre eux. Montrer

queEf,x+y = Ef,x ⊕ Ef,y.

Retrouver le résultat de la question précédente.

Exercice 32 (* Sur les groupes abéliens finis). Soit n un entier naturel.Raphaël1. Soit G un sous-groupe fini de GL(n,C). Montrer que tous les éléments de G

sont diagonalisables sur C.2. On suppose de plus que G est abélien. Montrer qu’il est isomorphe à un sous-

groupe d’un produit direct de groupes cycliques.3. Montrer que tout groupe abélien fini est sous-groupe d’un produit direct de

groupes cycliques (et se surjecte sur chacun des facteurs).En fait on peut montrer que tout groupe abélien fini est isomorphe à un produitdirect de groupes cycliques.

Exercice 33 (* Un théorème de Brauer). Soit σ ∈ Sn, on rappelle que Pσ ∈RaphaëlMn (Q) est définie par Pσ :=

(δiσ(j)

)16i,j6n

. On cherche à démontrer que deuxpermutations sont conjuguées si et seulement si leur matrices de permutations sontsemblables. On rappelle que deux permutations sont conjuguées dans Sn si et seule-ment si elles ont la même structure de cycle.1. Montrer que si σ et σ′ sont conjuguées dans Sn alors Pσ et Pσ′ sont semblables

(sur Q).2. Calculer le polynôme caractéristique de Pσ en fonction des nombres c` (σ) de

cycles de longueurs ` dans la décomposition de σ.3. En déduire que si Pσ et Pσ′ sont semblables (sur Q) alors σ et σ′ sont conjuguées

dans Sn.

8


E. Révisions d’algèbre linéaire (17 octobre)

Exercice 34 (CCP — Déterminant et polynôme annulateur). Montrer que toutematrice A ∈ Mn (R) vérifiant A3 − 3A − 5In = 0 est de déterminant strictementpositif.

Exercice 35 (Cette matrice carrée est-elle un carré ?). Existe-t-il une matriceA ∈Mn (R) avec n > 2 telle que

A2 =

0 1 · · · 0...

. . . . . ....

.... . . 1

0 · · · · · · 0

?

Exercice 36. 1. Soient A,B ∈M2 (K). Montrer que (AB −BA)2 est scalaire.

2. Montrer que AB +BA = (tr A)B + (tr B)A+ (tr AB − tr Atr B) I2

3. En déduire que si tr A = tr B = 0, alors AB +BA est scalaire.

Exercice 37 (Mines-ponts ∼ 2000 — Décomposition de Fitting). Soit E un espacevectoriel de dimension finie.

1. Soit f ∈ L (E). Montrer que si Ker f admet un supplémentaire S stable par falors S = Im f .

2. Montrer que pour r assez grand on a la décomposition (de Fitting)

E = Ker fr ⊕ Im fr

Quelle est la forme de la matrice de f dans une base adaptée à cette décompo-sition ?

Exercice 38 (* Le théorème de Maschke). Soit G un sous-groupe fini de GL (E) Arnaudde cardinal m, où E est un espace vectoriel de dimension finie sur k corps decaractéristique nulle. On dit que F est un sous-espace vectoriel G-stable s’il eststable par tout g ∈ G. L’objet de l’exercice est de démontrer que tout sous-espacevectoriel G-stable admet un supplémentaire G-stable.

1. Soit F un sous-espace vetoriel G-stable. On se donne F ′ un supplémentaire de Fdans E, et p un projecteur sur F parallèlement à F ′. Montrer que si p commuteà tous les éléments de G, alors F ′ est G-stable.

2. On pose

q =1

m

∑g∈G

g p g−1.

Montrer que q est un projecteur d’image F .

3. En déduire que Ker q est G-stable. Conclure.

4. Montrer que le résultat tient encore si k est de caractéristique p première à m,puis donner des contre-exemples dans le cas où p = m.

Exercice 39 (* ENS Lyon — Le n de GLn [3, 3.4]). Les corps sont de caractéris-tique différente de 2.

1. Soit k un corps et G un sous groupe de GLn (k) tel que

∀g ∈ G, g2 = Id.

Montrer que G est fini, de cardinal au plus 2n.9


2. Soient k1, k2 deux corps de caractéristique 6= 2, on suppose qu’il existe un mor-phisme injectif

ϕ : GLn1 (k1)→ GLn2 (k2) .

Montrer que n1 6 n2. Existe-t-il n et m et un morphisme injectif de GLn (C)dans GLm (R) ?

3. Cette question peut être résolue indépendemment des deux précédentes. Montrerque si GLn (R) et GLm (C) sont isomorphes, alors n = m = 0.

10


F. Séries numériques (7 novembre)

On admettra pour l’exercice 42 que π est irrationnel.

Exercice 40 (Centrale-Supélec — Nature d’un produit infini). Soit (un) la suite Lucie,Maggiedéfinie par

un =

n∏k=2

(1 +

(−1)k

√k

).

1. Montrer que un → 0.2. La série de terme général un est-elle convergente ?

Exercice 41 (Centrale-Supélec — Nature d’une série à paramètre). Discuter, selon Virgilela valeur du paramètre α ∈ R, de la nature de la série∑

n>0

(−1)E(√n) n−α.

Exercice 42. Discuter, selon la valeur du paramètre α ∈ R+, de la nature de la Sandra, Arthursérie ∑

n>0

(−1)n

nα + cosn.

On pourra utiliser, en justifiant : 1nα+cosn = 1

nα −cosnn2α + · · ·+ (−1)

k cosk αnkα(nα+cosn)

.

Exercice 43 (Série de Sylvester). 1. Soit (an) la suite réelle vérifiant a1 = 2 et Clémentl’équation de récurence ∀n > 1, an+1 = a2

n − an + 1. Montrer que la série∑+∞n=1

1an

converge. Quelle est sa somme ?

2. Montrer que tout γ ∈ R?+ s’écrit, de manière unique, comme

γ =

+∞∑n=1

1

qn

où les qi sont des entiers naturels tels que qn+1 > q2n− qn+ 1. A quelle condition

sur les qn le nombre γ est-il rationnel ?

11


G. Espaces vectoriels normés (14 novembre)

Exercice 44 (Une norme sur R2). Pour tout (x, y) ∈ R2, on pose :

N (x, y) := supt∈R

|x+ ty|1 + t2

.

1. Montrer que N est une norme sur R2.2. Comparer cette norme à la norme euclidienne en donnant le meilleur encadre-

ment possible.3. Donner une expression explicite de N (x, y) et représenter sa boule unité dans

R2.

Exercice 45 (Dualités topologiques). 1. On munit l’espace vectoriel R [X] des po-

lynômes P =+∞∑k=0

αkXk de la norme ‖P‖∞ = max

k>0|αk|. Montrer que toute forme

linéaire continue pour ‖P‖∞ est de la forme

ϕλ

(+∞∑k=0

αkXk

)=

+∞∑k=0

αkλk,

pour une unique suite λ = (λk)k∈N sommable. Calculer la norme subordonnéede ϕλ en fonction de λ.

2. On remplace ‖·‖∞ par ‖·‖1. Sous les mêmes hypothèses, montrer que λ est unesuite réelle bornée.

3. Même question avec la norme ‖·‖2.

Exercice 46 (Normes sur R [X]). 1. Soit E = R [X]. Donner deux normes nonéquivalentes sur E.

2. Soit ∂ l’opérateur de dérivation. Donner un exemple de norme pour laquelle ∂est continu, un exemple de norme pour laquelle ∂ n’est pas continu. Montrerque l’on peut normer E de manière à ce que la norme d’opérateur de ∂ soitarbitrairement petite.

3. Soit µ l’endomorphisme de E associé à la multiplication par X. Donner unenorme qui rende µ continu. Existe-t-il une norme sur E qui rende simultanément∂ et µ continus ?

Exercice 47 (Conditions pour une équivalence de normes). Soit E = C([0, 1],R),ϕ ∈ E et Z l’ensemble des zéros de ϕ. Pour tout élément f de E, on note N(f) =‖ϕf‖∞.1. A quelle condition sur Z l’application N est-elle une norme sur E ?2. A quelle condition sur Z l’application N est-elle une norme équivalente à ‖·‖∞ ?

12


H. Topologie I : Compacité, connexité par arcs (21 novembre)

Il est entendu que tous les espaces considérés sont contenus dans des espacesvectoriels normés.

Exercice 48 (Mines-Ponts [1]). Soit K un compact convexe et f : K → K qui est Thomas1−lipschitzienne. Montrer que f admet un point fixe.

Exercice 49. Soit E un espace vectoriel normé réel de dimension finie et F unsous-espace vectoriel strict. Montrer que E\F est connexe par arcs si et seulementsi codim F > 2. Même question avec E un e.v.n. complexe.

Exercice 50 (Sous-groupes de C?). 1. Quels sont les sous-groupes compacts de Mathilde,MohammedC? ?

2. Trouver le plus possible de sous-groupes connexes par arcs et fermés dans C?.

Exercice 51 (Ecole polytechnique, 2011 [8]). Montrer qu’entre deux points deR2 \ Q2 il existe un arc C∞ d’image contenue dans R2 \ Q2. On pourra utiliserl’exercice 8.

Exercice 52. Soit K un compact (dans un e.v.n., donc). Pauline, Paul1. Montrer qu’il contient une partie dénombrable dense.2. On suppose de plus que K est connexe par arcs. Montrer que K est équipotent

soit à 0, soit à R (on dit qu’il a la puissance du continu). On pourra utiliserle théorème de Cantor-Bernstein, exercice 12.

13


I. Topologie II : Compacité, complétude (28 novembre)

Avertissement : la complétude n’est plus au programme depuis la rentree 2014.

Exercice 53 (Endomorphismes laissant un compact stable). Soit K une partiecompacte d’un espace vectoriel normé E de dimension finie, et K l’ensemble desendomorphismes u de E vérifiant u (K) ⊂ K.1. Montrer que K est une partie compacte de L (E) si, et seulement si, K engendreE.

2. On suppose de plus que K est un voisinage de 0. Montrer que tout endomor-phisme u ∈ K vérifie |detu| ≤ 1.

Exercice 54. Soit E l’espace vectoriel des applications de R dans R qui sontlipschitziennes, muni de la norme

‖f‖ = |f (0)|+ sup(x,y)∈R2, x 6=y

|f (x)− f (y)||x− y|

.

1. Vérifier les assertions de l’énoncé (espace vectoriel, norme)2. Montrer que E est complet.3. On remplace la norme précédente par

N (f) = |f (0)|+ supx 6=0

|f (x)− f (0)||x|

.

L’espace E est-il toujours complet ?

Exercice 55 (* Contractions d’un Banach). Soit E un espace de Banach et f uneJohannaapplication contractante de E dans E (i.e., ρ-lipschitzienne avec ρ < 1)1. Montrer que f possède un unique point fixe a. Donner des contre-exemples si E

n’est pas complet.2. Montrer que g = IdE + f est bijective de E sur E, puis que c’est un homéomor-

phisme de E.3. On suppose à présent E de dimension finie et u ∈ L (E) tel qu’il existe une normeN sur E pour laquelle |||IdE − u|||N < 1, où |||−|||N est la norme subordonnéeà N . Montrer que u ∈ GL (E).

4. En déduire que les matrices deMn (R) à diagonale strictement dominantes, i.e.telles que

|aii| >∑j 6=i

|ai,j |

sont inversibles (Hadamard). Est-ce toujours vrai dansMn (Q) ?

Exercice 56 (Autour du théorème des fermés emboîtés). On se place dans unespace vectoriel normé complet E.1. Soit (Bn)n∈N une suite de boules fermées décroissante pour l’inclusion. Montrer

que+∞⋂n=1

Bn 6= ∅.

2. Soit (Cn)n∈N une suite de convexes fermés bornés décroissante pour l’inclusion.L’intersection est-elle non vide ?

14


J. Révisions d’analyse de 1ere année (5 décembre)

Exercice 57. 1. Soit f : R→ R de classe C∞ telle que Auriane, Maggie

∀n ∈ N,

f (n) (0) = 0

supR∣∣f (n)

∣∣ ≤ λnn!.

Montrer que f est nulle sur l’intervalle]− 1λ ,

1λ

[, puis sur R.

2. Est-ce toujours vrai si l’on suppose f à valeurs dans un espace de Banach E ?

Exercice 58 (Formule de Leibniz). Calculer la dérivée n-ième de x 7→ xn (1− x)n. Benjamin

En déduire la valeur de∑nk=0

(nk

)2.Exercice 59. Soit f : R→ R de classe C∞ bornée. Sandra,

Raphaël1. On suppose qu’une dérivée f (k), k > 2, admet un nombre fini de zéros. Montrerque les dérivées précédentes f (p), 1 6 p < k tendent vers 0 au voisinage de ±∞.

2. En déduire que pour tout k > 2 , f (k) s’annule au moins k − 1 fois sur R.3. Trouver une fonction f telle que f (k) s’annule exactement k − 1 fois sur R.

Exercice 60. Soit f une fonction continue de R dans R. Benjamin

1. Existe-t-il toujours ϕ : R→ R lipschitzienne telle que ϕ ≤ f ?2. Soit k > 0. Trouver une CNS sur f pour que ϕ k-lipschitzienne minorant f

existe.

3. On suppose cette CNS vérifiée pour k0 > 0. Montrer que si k > k0 alors il existeϕk , k -lipschitzienne minorant f et maximale pour l’ordre usuel des fonctions.

Exercice 61 (Quelques sommes de Riemann [1]). Calculer les limites suivantes Auriane

(J.1) limn→+∞

1

n+ 1+ · · ·+ 1

kn,

(J.2) limn→+∞

1

n2

(√1 (n− 1) +

√2 (n− 2) + · · ·+

√(n− 1) 1

),

(J.3) limn→+∞

ln(

1 +π

n

) n−1∑k=0

1

2 + cos (3kπ/n),

(J.4) limn→+∞

1

n

n−1∑k=0

∣∣∣e2iπk/n − 1∣∣∣ .

Exercice 62. Soit f : R→ R une fonction de classe C∞ telle qu’il existe P ∈ R [X] Virgilede degré impair tel que

∀n ∈ N,∀x ∈ R,∣∣∣f (n) (x)

∣∣∣ ≤ |P (x)| .

1. Montrer que f est nulle.

2. Donner un contre-exemple si P est de degré pair.

Exercice 63 (Ecole poytechnique — Interpolation d’Hermite [4]). 1. Soit f : [0, 1]→VirgileR de classe C 4 telle que f (0) = f ′ (0) = f (1) = f ′ (1) = 0. Montrer que pourtout x ∈ [0, 1] il existe ξ ∈ ]0, 1[ tel que

f (x) =f (4) (ξ)

24x2 (1− x)

2.

15


2. Soit 0 = x0 < · · · < xn = 1 une subdivision de [0, 1]. Montrer qu’il existe Φ declasse C 1 de [0, 1] dans R tel que

∀i ∈ 1, . . . , n , (Φ (xi) ,Φ′ (xi)) = (f (xi) , f

′ (xi)) .

Et Φ est une fonction polynôme de degré 6 3 sur les intervalles de subdivision[xi, xi+1]

3. Sous les hypothèses précédentes, montrer que

‖Φ− f‖∞ ≤∥∥f (4)

∥∥∞

384

n−1supi=0

(xi+1 − xi)2.

16


K. Espaces euclidiens (12 décembre)

Exercice 64 (Famille obtusangle et simplexe régulier). Soit (xi)16i6N une famillede vecteurs d’un espace euclidien E de dimension n telle que

∀i 6= j, 〈xi | xj〉 < 0.

1. Montrer que N 6 n+ 1.2. Montrer que l’inégalité précédente est optimale en exhibant une telle famille avecN = n+ 1.

3. Montrer que l’on peut choisir (xi)16i6n+1 tous de même norme de telle sorteque 〈xi | xj〉 = −1 pour tous i 6= j.

Exercice 65 (Base antéduale). Montrer que pour toute base B = (e1, . . . , en) d’unespace euclidien E, il existe une base B′ = (e′1, . . . , e

′n) telle que

∀x ∈ E, x =

n∑i=1

〈ei | x〉 e′i.

A quelle condition a-t-on B = B′ ?

Exercice 66 (Inégalité de Hadamard). Soit (x1, . . . , xn) une famille de vecteursd’un espace euclidien E de dimension n. Montrer que pour toute base B orthonor-mée, ∣∣∣∣det

B(x1, . . . , xn)

∣∣∣∣ ≤ n∏i=1

‖xi‖ .

A quelle condition a-t-on égalité ?

Exercice 67 (Extrait de Mines-Ponts). Soit E un espace euclidien, u dans L(E).Montrer que |||u||| = |||u?|||.

Exercice 68 (Adapté de ENS). On se place dans R3 canoniquement euclidien. Soit Jean-Loup,Arnaud(u, v, w) une base, et Λ = Zu + Zv + Zw (un tel sous-groupe est appelé un réseau

de R3)1. Soit r une rotation de R3 telle que r (Λ) ⊂ Λ. Montrer que r (Λ) = Λ.2. Soit G le groupe des rotations de R3 laissant Λ stable. Montrer que G est fini,

d’exposant 2 6 au plus. Le déterminer quand Λ = Z3 = Ze1 + Ze2 + Ze3.3. Un dodécaèdre régulier est un polyèdre possédant 20 sommets, 30 arêtes et 12

faces qui sont des pentagones réguliers. Existe-t-il un réseau Λ et un dodécaèdrerégulier D dont tous les sommets sont dans Λ ?

2. L’exposant d’un groupe est l’ordre maximal17


L. Endomorphismes des espaces euclidiens (19 décembre)

Exercice 69 (Trace nulle). Soit E un espace euclidien et u ∈ L (E) autoadjointLucie,Thomas de trace nulle. Montrer qu’il existe une base (xi) orthonormée de E dans laquelle

la matrice de u est de diagonale nulle.

Exercice 70 (Mines-Ponts 2000). Soit A une matrice réelle telle que A3 = tAA.Pauline, ClémentA est-elle diagonalisable sur R, sur C ?

Exercice 71. Soit A ∈Mn (R) ; déterminerClément

inf(si,j)16i,j6n∈Sn(R)

∑i,j

(ai,j − si,j)2.

Exercice 72 ([1, 14.25]). 1. Soient x1, . . . xn des vecteurs d’un espace euclidien.ClémentMontrer que la matrice G (x1, . . . xn) = (〈xi | xj〉) est symétrique positive demême rang que la famille (x1, . . . xn)

2. On suppose (x1, . . . xn) libre et on pose F = Vect (xi). Soit x ∈ E montrer qued, la distance euclidienne de x à F , vérifie

d2 =detG (x, x1, . . . , xn)

detG (x1, . . . xn).

3. Soit M = (mi,j) ∈ S+n (R) une matrice symétrique positive. Montrer qu’il existe

une famille (v1, . . . , vn) de vecteurs de Rn telle que

∀ (i, j) ∈ 1, . . . , n2 , mij = 〈vi | vj〉 .

Exercice 73 (Ecole polytechnique — Méthode de Gauss [4, 1.19] 3). On considèreArthur,Mathilde le produit scalaire sur R [X]

〈P | Q〉 =

ˆ 1

0

P (t)Q (t) dt.

1. Montrer qu’il existe une suite (Pn)n∈N orthonormée telle que degPn = n pourtout n.

2. Montrer que Pn est scindé dans R à racines simples, toutes dans ]0, 1[

3. On fixe un entier n > 1, soient α1, . . . αn les racines de Pn. Montrer qu’il existedes réels λ1, . . . λn tels que pour tout P ∈ R2n−1 [X] on aitˆ 1

0

P (t) dt =

n∑i=1

λiP (αi) .

3. Notre énoncé est assez éloigné de la référence18


M. Révisions d’algèbre et de topologie (9 Janvier)

Les énoncés portent sur la topologie des espaces de matrices sur le corps K = Rou C.

Exercice 74 (Rang et topologie). Soient m,n, r trois entiers naturels, tels que r 6min (m,n). On se place dans l’espace vectoriel normé Mm,n (K) où l’on considèreles parties

Xr = M ∈Mm,n (K) | rg M = rX6r = M ∈Mm,n (K) | rg M 6 r

1. Montrer que X6r est fermé dansMm,n (K).2. Montrer que Xr est ouvert et dense dans X6r.

Exercice 75 (Rang et connexité). On reprend les données et notations de l’exerciceprécédent. De plus, on prend K = C.1. Montrer que GLn (C) est connexe par arcs.2. Montrer que Xr est connexe par arcs.

Exercice 76 (Topologie des classes de similitude). 1. Montrer qu’une classe de si-militude est toujours d’intérieur vide.

2. Montrer que N ∈Mn (C) est nilpotente si et seulement si 0 est dans l’adhérencede sa classe de similitude.

3. Quelles sont les matrices dont la classe de similitude est bornée ?4. Montrer que M ∈ Mn (C) est diagonalisable si et seulement si sa classe de

similitude est fermée.

Exercice 77 (Semi-normes invariantes par similitude). On se donne n > 2

1. Existe-t-il une norme surMn (C) invariante par similitude ?2. Une semi-norme sur un espace vectoriel est une fonction qui vérifie les axiomes

d’homogénéité et d’inégalité triangulaire (mais pas forcément de séparation).Montrer que toute semi norme invariante par similitude est de la forme

A 7→ k |tr A| .Exercice 78 (Classique — ENS —Simplicité de SO(3)). Si H est un sous-groupede G, on dit que H est distingué dans G s’il est stable par toutes les conjugaisons 4

par les éléments de G. Le but de cet exercice est de montrer que les seuls sous-groupes distingués de de SO(3), le groupe des rotations de l’espace euclidien R3,sont I et SO(3) tout entier.1. Montrer que les renversements (i.e., les rotations d’angle π) engendrent SO(3),

et sont toutes conjuguées dans SO(3). En déduire que si H est distingué dansSO(3) et contient un renversement, alors H = SO(3).

2. On suppose que H est connexe par arcs et distingué dans SO(3). Montrer queG = I ou bien G = SO(3). Quelle est la propriété du corps R que l’on autilisée ?

3. On suppose que H est distingué dans SO(3), et soit H0 la composante connexede l’identité dans H. Montrer que H0 est un sous-groupe distingué dans SO(3).Conclure. On pourra raisonner par l’absurde, dans le cas où l’on aurait H0 = Iet H 6= I, en utilisant que SO(3) est connexe par arcs.

4. Quels sont les sous-groupes distingués de O(3) ?

4. ∀g ∈ G, ∀h ∈ H, ghg−1 ∈ H.19


N. Suites et séries de fonctions (16 janvier)

Exercice 79 (Mines-Ponts). Soit f une fonction bornée de [0, 1] dans R. Mon-trer que la série de fonctions

∑+∞n=0 t

nf(t) converge uniformément sur [0, 1] si, etseulement si, f est dérivable en 1 et f(1) = f ′(1) = 0.

Exercice 80. 1. Que dire d’une fonction f : R→ R telle qu’il existe une suite (fn)de fonctions polynôme qui converge vers f uniformément sur tout R ?

2. Que dire d’une fonction f : R → R telle qu’il existe une suite (fn) de fonctionspolynôme qui converge vers f uniformément sur tout compact de R ?

Exercice 81 (Une série de fonctions). Soit f la série de fonction définie sur R par

f(t) =

+∞∑k=1

arctan kt

k2

1. Montrer que f est bien définie et continue sur R, et de la classe C∞ sur R?+2. Montrer que f tend une limite réelle que l’on appellera ` au voisinage de +∞,

puis donner un équivalent de f − ` en +∞.3. Soit α > 0 ; on note fα la série partielle jusqu’au terme kt = E (α/t). Montrer

que f(t) =0fα(t) + O(t), puis encadrer fα au voisinage de 0. En déduire un

équivalent de f en 0.

Exercice 82 (Une série de fonctions alternée). Soit f la fonction définie par

f(x) =

+∞∑n=1

(−1)n

ln(

1 +x

n

).

1. Donner le domaine de définition de f , étudier le caractère C 1 de f sur ce domaine.2. Donner un équivalent de f au voisinage de −1.

3. Montrer que f ′(x) = −´ 1

0tx

1+tdt et en déduire un développement asymptotiquede f ′, puis un équivalent de f en+∞.

Exercice 83 (Convergence simple et convergence uniforme). En général, la conver-gence uniforme entraîne la convergence simple, mais que la réciproque est fausse.On se propose d’étudier ici des réciproques partielles dans des contexte restreints.Soit donc (fn) une suite de fonctions réelles continues qui converge simplement versf sur I = [a, b] ⊂ R.1. Premier théorème de Dini – On suppose que (fn) est une suite croissante 5 et f

continue sur I ; montrer que la convergence est uniforme. Que dire si I = ]a, b[ ?Si f est non continue ?

2. Equicontinuité – On suppose qu’il existe une constante C > 0 telle que les fnsont C-lipschitziennes ; montrer que la convergence est uniforme.

3. Convexité – On suppose que I = ]a, b[ et que les fn sont convexes ; montrer quela convergence est uniforme sur tous les [α, β] ⊂ I.

5. Attention, ceci signifie et que les n 7→ fn (x) sont croissantes, et non que les fn sontcroissantes.

20


O. Intégrales généralisées, intégrales à paramètre (23 janvier)

Exercice 84 (Condition d’intégrabilité). Pour quelle valeur du paramètre α > 0 Madanila fonction x 7→ xe−x

α sin2 x est-elle intégrable sur R+ ?

Exercice 85 (Calcul de limites). Déterminer les limites suivantes :

(O.1) limn→+∞

ˆ +∞

0

arctan (nx) e−xn

dx;

(O.2) limn→+∞

ˆ +∞

0

(1 +

e−nx√x

)(1− tanh (xn)) dx.

Exercice 86 (Calcul de séries). 1. Soient p et q deux réels > 0. Montrer queˆ 1

0

xp−1

1 + xq=

+∞∑n=0

(−1)n

p+ nq.

2. En déduire les valeurs de

S =+∞∑n=0

(−1)n

1 + n; I =

ˆ 1

0

t2

1 + t6dt ; S′ =

+∞∑n=0

1

2n2 + 5n+ 3.

Exercice 87 (Méthode de Laplace : un exemple). 1. Pour tout x > 0, montrerl’existence de f(x) =

´ +∞0

e−t sin xtt dt

2. Montrer que f est de classe C 1 et calculer sa dérivée f ′. En déduire que f(x) →x→+∞

π2 .

3. Notant s(u) = sinuu et S la primitive de s nulle en 0, montrer que f(x) =´ +∞

0e−tS(tx)dt. En déduireˆ +∞

0

sinu

udu =

π

2.

4. Adapter la méthode précédente pour calculer´ +∞

0sin2 uu2 du.

21


P. Séries entières (30 janvier)

Exercice 88. Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction t 7→ ln(1 + t+ t2

).Maggie

Quel est le rayon de convergence ?

Exercice 89 (rayons de convergence). Soit∑anz

n une série entière de rayon deVirgileconvergence R, avec 0 < R < +∞. Comparer à R les rayons de convergence desséries entières suivantes (α est un paramètre réel) :∑

αnanzn ;

∑nαanz

n ;∑

a2nzn ;

∑ ann!zn ;

∑ane√nzn;∑

anz2n ;

∑anz

n2

.

Exercice 90 (Ecole polytechnique PC — Une série génératrice). Soit la série en-Sandratière S (z) =

∑+∞n=0 unz

n, où la suite (un) est définie par u0 = u1 = 1, et pourn > 2

un = un−1 + 2un−2 + (−1)n.

1. Montrer que le rayon de convergence de la série entière est supérieur à 1/2.2. Calculer la somme de la série pour |z| < 1/2. Justifier a posteriori que le rayon

de convergence était bien 1/2.3. En déduire une expression explicite de un en fonction de n.

22


Q. Séries de Fourier (6 février)

Exercice 91 (Mines-Ponts). Soit f ∈ C∞2π (R) telle que f ′(0) = 1 et

∀n ∈ N,∀θ ∈ R,∣∣∣f (n)(θ)

∣∣∣ ≤ 1.

Montrer que f = sin.

Exercice 92 (Centrale-Supélec — Calcul de ζ(4)). 1. Trouver (a, b) ∈ R2 tel queˆ π

0

(at4 + bt2) cos(nt)dt =(−1)n

n4.

pour tout n > 1.

2. En déduire les valeurs de+∞∑n=1

(−1)n

n4 et+∞∑n=1

1n4

Exercice 93 (Ecole polytechnique). Développer en série de Fourier la fonction Vladislavdéfinie sur R par

f : x 7→ 1 + cosx

2− cosx.

Exercice 94 (Adapté de Mines-Ponts — Equation fonctionnelle). 1. Oral Mines-Ponts. Trouver toutes les fonctions f ∈ C 2

2π (R) telles que ∀x ∈ R, f (2x) = Jean-Loup2 (sinx) f ′ (x).

2. Trouver toutes les fonctions f ∈ C 12π (R) telles que ∀x ∈ R, f (2x) = 2 (sinx) f ′ (x).

23


R. Calcul Différentiel I (13 février)

Exercice 95 (Jacobien des fonctions symétriques élémentaires). Soit f la fonctionPaul N.définie de Rn dans Rn par f = (σ1, . . . σn) où les σi sont les fonctions symétriquesélémentaires :

σk (x1, . . . xn) =∑

16i1<···<ik6n

xi1 · · ·xik .

Calculer le déterminant jacobien de f .

Exercice 96. Soit (α, β, γ) ∈ R3 tel que β2 > 4αγ, et α 6= 0. Trouver toutes lesPauline,Paul N fonctions f de classe C 2 sur R2 telles que

α∂2f

∂x2+ β

∂2f

∂x∂y+ γ

∂2f

∂y2= 0.

On pourra commencer par traiter le cas où β = 0 et α = −γ, puis généraliser ladémarche.

Exercice 97 (Fonctions homogènes et identité d’Euler). Soit n > 1 un entier etThomas,Daniel f une fonction différentiable de Rn − 0 dans R, k une constante réelle. On dit

que f est homogène de degré k si pour tous t > 0 et x ∈ Rn − 0, elle vérifief(tx) = tkf(x). Montrer que f est homogène de degré k si et seulement si ellevérifie l’identité d’Euler, à savoir :

∀x 6= 0

n∑i=1

xi∂f

∂xi(x) = kf(x).

Exercice 98 (ENS 2002). Soit f : R2 → R de classe C 1 telle que ‖f(x)‖‖x‖ −→

‖x‖→+∞Mohammed,Mathilde

+∞. Montrer que 6 ∇f : R2 → R2 est surjective.

Exercice 99. Soit f une application de classe C 2 sur un ouvert U de Rn et àvaleurs dans Rn. On suppose que f est telle que df est en tout point une similitude(ie, une homothétie × un orthogonal)1. Dans le cas où n = 2, montrer que les fonctions composantes ont un laplacien

nul.2. Est-ce toujours le cas si n = 3 ? On pourra penser à l’inversion x → x

‖x‖2 parrapport à la sphère.

3. * Question indépendante des précédentes. On suppose de plus que df est à valeursdans O(n). Montrer que f est une isométrie affine.

6. On rappelle que par définition ∇f (x) est l’unique vecteur tel que pour tout v ∈ R2,df (x) (v) = 〈∇f (x) | v〉

24


S. Calcul Différentiel II (6 mars)

Exercice 100. Soit f ∈ C 1 (R,R) qui est ρ-lipschitzienne avec ρ < 1 et ϕ : EtienneR2 → R2 qui à (x, y) associe (x+ f (y) , y − f (x)). Montrer que ϕ est un C 1-difféomorphisme de R2 sur R2.

Exercice 101 (Calcul de maximum). Soit n > 2 un entier naturel ; on rappelle Rémi G.que

σ2 (x1, . . . , xn) =∑

16i<j6n

xixj .

Déterminer (après avoir justifié son existence)

m := max

σ2 (x1, . . . xn) | (x1, . . . , xn) ∈ [0, 1]

n,

n∑i=1

xi = 1

.

Exercice 102 (Unicité dans le problème ∆f = f dans un ouvert borné aveccondition au bord). Soit Ω un ouvert de R2 et f : Ω→ R de classe C 2 et ω ∈ Ω. Victor,

Mathieu1. Montrer queˆ 2π

0

f (ω1 + ρ cos θ, ω2 + ρ sin θ) dθ = 2πf (ω) +πρ2

2∆f (ω) + o

(ρ2).

2. On suppose que ∆f ≥ f et que f présente un maximum. Montrer que f ≤ 0.3. On suppose que Ω est borné et on note Γ sa frontière. On se donne g ∈ C 0 (Γ,R).

Montrer qu’il existe au plus une fonction h de U dans R de classe C 2 telle que∆h = h et h|Γ = g. L’existence est-elle garantie ?

Exercice 103. Soit E un espace euclidien et f : E → E de classe C 1 , α > 0vérifiant

∀x, h ∈ E, 〈dfx (h) | h〉 ≥ α ‖h‖2

1. Montrer que pour tous x, y ∈ E,〈f (x)− f (y) | x− y〉 ≥ α ‖x− y‖2. En déduireque f (E)est fermé dans E.

2. Montrer que f (E) est ouvert dans E puis que f est un C 1- difféomorphisme deE.

Exercice 104 (ENS). Soit f : R2 → R de classe C 2 et D le disque unité fermé. JohannaOn suppose que f (x, y) = y2 − x2 pour tout (x, y) ∈ R2\D. Montrer que f admetun point critique.

Indications : Le point critique est forcément dans D, donc on peut se concentrer surle comportement de f (et plus précisément de ∇f ...) au voisinage du cercle unité.On pourra utiliser un relèvement : si u : R2 → C? est de classe C 1, alors il existeα : R2 → C de classe C 1 telle que u (x) = eα(x), puis démontrer ce lemme à partirdu théorème de relèvement au programme.

25


T. Intégrales multiples et formes différentielles (13 mars)

Exercice 105 (CCP). Soit a 6= 0. Calculer sur le domaineMaggie, Auriane

D =

(x, y) ∈ R2, 0 ≤ y ≤ x ≤ b,

l’intégrale

I (b) =

¨D

dxdy

(a2 + x2 + y2)3/2

.

Etudier la limite de cette intégrale quand b tend vers +∞.

Exercice 106 (Mines-Ponts). Montrer la bonne définition et trouver un équivalentVirgile, Benjaminquand t→ +∞ de

f (t) =

¨[0,t]2

ex − ey

x− ydxdy

Exercice 107 (Contraposée du théorème de Fubini). Soit f (x, y) = x−y(1+x+y)3

Sandra, Aurianedéfinie sur R+

1. Montrer que f n’est pas intégrable sur R2+

2. Montrer queˆ +∞

0

(ˆ +∞

0

f (x, y) dx

)dy 6=

ˆ +∞

0

(ˆ +∞

0

f (x, y) dy

)dx

Retrouver le résultat de la question précédente

Exercice 108 (** Le premier nombre de Betti via la cohomologie de de Rham).Dans cet exercice, on note Ω1 (W ) l’espace vectoriel des formes différentielles C 1Raphaëlsur l’ouvert W de R2. On rappelle que ω est dite fermée si ∂xωy = ∂yωx.1. Soit ϕ ∈ C 1 (U, V ), où U et V sont deux ouverts de R2. On pose, pour toutω ∈ Ω1 (V ),

∀x ∈ U,∀v ∈ Rr, (ϕ?ω)x (v) := ωϕ(x) (dϕ (x) (v))

Montrer que ϕ? ∈ L(Ω1 (V ) ,Ω1 (U)

)puis que si U et V sont difféomorphes,

alors Ω1 (U) et Ω1 (V ) sont isomorphes.2. Soit f ∈ C 2 (V,R). Montrer que ϕ?df = d (ϕ f) et que si ω est fermée, alorsϕ?ω aussi.

3. En déduire que R2 et R2\ 0 ne sont pas difféomorphes. On pourra utiliser lelemme de Poincaré : si U est un ouvert étoilé de R2 et ω une forme différentielleC 1 fermée sur U , alors il existe f ∈ C 2 (U,R), unique à une constante près, telleque ω = df .

4. Soit Z = z1, . . . zr une partie de R2 ; on note ωi la forme 7 « dθi » différentiellede l’angle autour de zi. Montrer que pour tout ω ∈ Ω

(R2\Z

)fermée, il existe

un unique r-uple (λ1, . . . λr) ∈ Rr tel que ω−∑ri=1 λiωi s’écrit sous la forme df ,

avec f ∈ C 2(R2\Z,R

).

5. En déduire que pour Z1 et Z2 des parties finies de R2, on a que R2\Z1 et R2\Z2

sont difféomorphes si et seulement si |Z1| = |Z2|. Pour le sens indirect on pourraremarquer que l’on peut supposer que les points de Z1 sont d’abscisse distinctes.

7. Ecrire dθi pour la forme ωi est un léger abus de notation car θi n’est pas une fonctionà proprement parler, elle est seulement définie modulo 2π. Cette forme s’explicite, avec r2i =

(x− xi)2 + (y − yi)2, parωi =

y − yir2i

dx−x− xir2i

dy.

26


U. Equations différentielles linéaires (20 mars)

Exercice 109 (EDL scalaires d’ordre 1). Trouver toutes les solutions des équationssuivantes

(a): xy′ + y = ex sur R

(b): xy′ + 2y = x2

1+x2 sur R

(c): 2xy′ + y = 11−x sur ]−∞, 1[

Exercice 110 (Mines-Ponts 2010 — Etude de y′′ − y = f). Soit E = Cb(R,R)l’espace des fonctions continues et bornées sur R, et E2 le sous-espace de E formédes fonctions de classe C 2.1. Soit f ∈ E. Montrer que l’équation

y′′ − y = f (E)

possède une unique solution, qui est dans E2. On note Φ(f) cette solution.2. On munit E et E2 de la norme uniforme sur R. Montrer que Φ est un endomor-

phisme linéaire continu de E dans E2. Calculer sa norme subordonnée ; donnerses valeurs propres et ses fonctions propres. Montrer que Φ est injectif ; est-ilsurjectif ?

Exercice 111 (Ecole polytechnique). 1. Soient A et B dans Mn (R). On pose, Arnaudpour tout t ∈ [0, 1] , φ(t) = etAetBe−t(A+B). Montrer que

φ′(t)φ(t)−1 = etA(A− etBAe−tB

)e−tA.

2. On suppose dorénavant que [A, [A,B]] = [B, [A,B]] = 0. Montrer que

A− etBAe−tB = t [A,B]

3. En déduire, toujours sous l’hypothèse [A, [A,B]] = [B, [A,B]] = 0, que

eAeB = eA+B+ 12 [A,B]

On pourra montrer que φ(t) = exp(t2

2 [A,B])vérifie le même problème de Cau-

chy que φ avec même condition initiale.

Exercice 112 (*). On s’intéresse à certains systèmes linéaires dont les coefficientssont non constants.1. Soient a, b, c des fonctions scalaires C 0 sur R, et (x0, y0, z0) ∈ R3. Résoudre

l’équation ∣∣∣∣∣∣x′ = ax+ by + cz x (0) = x0

y′ = cx+ ay + bz y (0) = y0

z′ = bx+ cy + az z (0) = z0.

2. Soit A une sous-algèbre deMp (R), A ∈ C 0 (R,A) et R la résolvante 8 associéeau système X ′ = AX entre 0 et t. Montrer que

R (t) = Ip +

+∞∑n=1

˙

0≤t1≤...≤tn≤t

A (tn)A (tn−1) . . . A (t1) dt1dt2 . . . dtn.

3. Que dire si A est commutative ? Retrouver le résultat de la première question.Cet exercice est corrigé page 35.

8. On rappelle que par définition, R (t) est la matrice de GLp (R) telle que pour tout X0 ∈ Rp

condition initiale X (t) = R (t)X (0)

27


Corrections de certains exercices

Correction de l’exercice 11.1. Si (x, y, z) ∈ S alors xyz 6= 0 (p est premier), donc x, y, z > 1. Il s’ensuit quep = x2 + 4yz > max (x, y, z), d’où S ⊂ 1, . . . p3 et c’est donc un ensemble fini.De plus, comme p est congru à 1 modulo 4, on a un élément de S en posant

x = 1, y = 1, z =p− 1

4Donc S est non vide.

2. Montrons que f est bien définie :

x = y − z =⇒ p = x2 + 4yz = (y + z)2

x = 2y =⇒ p = x2 + 4yz = 4y (y + z)

Dans les deux cas c’est absurde, car p est premier. On a donc bien la disjonctionde cas demandée. Vérifions déjà que f est à valeurs dans S : pour tous (x, y, z) ∈S on a bien que

(x+ 2z)2

+ 4z (y − x− z) = x2 + 4z2 + 4xz + 4yz − 4xz − 4z2 = x2 + 4yz = p

(2y − x)2

+ 4y (x− y + z) = 4y2 + x2 − 4xy + 4xy − 4y2 + 4yz = x2 + 4yz = p

(x− 2y)2

+ 4 (x− y + z) y = x2 + 4y2 − 4xy + 4xy − 4y2 + 4yz = x2 + 4yz = p

A présent, recherchons un point fixe ; il s’agit de résoudre les trois équations

(x, y, z) = (x+ 2z, z, y − x− z) (E1)

(x, y, z) = (2y − x, y, x− y + z) (E2)

(x, y, z) = (x− 2y, x− y + z, y) (E3)

Les équations (E1) et (E3) donnent respectivement z = 0 et y = 0, ce qui estabsurde d’après ce qui précède. L’équation (E2) donne x = y et z quelconque ;la condition d’appartenance à S s’écrit alors

p = x2 + 4yz = x (x+ 4z)

Comme p est premier et z > 1, x+4z > x et donc (par unicité de la décompositionde p) x = 1 et z = p−1

4 ; il s’agit d’une solution unique et c’est l’élément exhibéà la question précédente. Il nous reste à montrer que f est involutive ; pour celaon introduit les parties suivantes

S1 := (x, y, z) ∈ S | x < y − zS2 := (x, y, z) ∈ S | y − z < x < 2y

S3 := (x, y, z) ∈ S | x > 2yUn peu d’observation montre que f envoie S1 sur S3, S3 sur S1 et S2 sur lui-même. Il nous reste donc seulement 3 cas (au lieu de 9) à disjoindre pour lecalcul de f2. En posant (x′, y′, z′) = f (x, y, z), on écrit ces trois cas

(x, y, z) ∈ S1 f (x′, y′, z′) = (x′ − 2y′, x′ − y′ + z′, y′)

= (x+ 2z − 2z, x+ 2z − z + y − x− z, z)= (x, y, z)

(x, y, z) ∈ S2 f (x′, y′, z′) = (2y′ − x′, y′, x′ − y′ + z′)

= (2y − (2y − x) , y, 2y − x− y + x− y + z)

= (x, y, z)

(x, y, z) ∈ S3 f (x′, y′, z′) = (x′ + 2z′, z′, y′ − x′ − z′)= (x− 2y + 2y, y, x− y + z − x+ 2y − y)

= (x, y, z)28


Donc f est bien une involution. En particulier, c’est une bijection (elle est injec-tive et surjective). Soit

Sf = (x, y, z) ∈ S | f (x, y, z) 6= (x, y, z) = S −(

1, 1,p− 1

4

)Alors Sf (le support de f) est stable par f ; on peut donc le partitionner enpaires disjointes (x, y, z) , f (x, y, z) et comme Sf est fini, il est de cardinalpair. Donc S est de cardinal impair.

3. Comme y et z joue les mêmes rôles dans l’équation, g est à valeurs dans S. Deplus, c’est clairement une involution. Par le même argument que précédemment,son support Sg est de cardinal pair. Mais comme |S| est impair, on a que Sg ( S,et g admet un point fixe (x0, y0, z0) tel que y0 = z0 . Ceci donne

p = x20 + 4y2

0 = x20 + (2y0)

2

Donc p est somme de deux carrés.

Cette preuve est remarquable car elle ne demande absolument aucune arithmétiquemodulaire.

Correction de l’exercice 18. Soit G un groupe tel que Aut (G) est trivial. En par-ticulier, pour tout g ∈ G, l’automorphisme intérieur x 7→ gxg−1 est l’identité. Parconséquent G est commutatif ; on notera sa loi sous forme additive. Maintenant,dans un groupe commutatif, on dispose du morphisme d’inversion

ι : x 7→ −x

Dans notre groupe il doit être égal à l’identité, c’est donc que tous les éléments sontd’ordre 2. On peut donc munir G d’une structure de F2-espace vectoriel en posantλg = g si λ = 1 ou 0G si λ = 0 cette loi externe respecte l’addition :

g + g = 0G = 0 · g

Supposons par l’absurde que G est de cardinal (au sens large) plus grand que 3.Alors il existe g et h dans G distincts et distincts du neutre ; si G′ est un supplé-mentaire de 〈g, h〉 dans G alors G = 〈g, h〉 ⊕G′. On définit alors τ : G→ G tel queτ(g) = h, τ (h) = g et ∀g′ ∈ G′, τ(g′) = g′. Cet automorphisme se prolonge à G etil est non trivial, on en déduit une contradiction. En conclusion, G est trivial oubien G = Z/2Z.

Correction de l’exercice 20.

1. Remarquer que tous les sous-groupes de Z/nZ sont monogènes. Alice a doncgagné si G possède un sous-groupe H maximal 9 de cardinal impair, ce qui estle cas si n est impair ou si n ≡ 2 (mod 4), en jouant x tel que 〈x〉 = H a sonpremier coup. Si 4 | n, remarquer que Bob va pouvoir engendrer au deuxièmecoup un sous-groupe maximal d’ordre pair.

2. Soit gi l’élément choisi au i-ième coup ; ainsi A choisi les g2i+1 et B les g2i. Onnote Gj = 〈g1, . . . , gn〉 le groupe engendré par les gi pour 1 6 i 6 j, et N le coupde terminaison, à savoir l’entier tel que GN = Sn et GN−1 6= SN . N existe carSN ; en outre il est majoré par n!. Examinons dans un premier temps les petitscas.– Si n = 2, Alice joue l’identité et Bob a perdu ; – Si n = 3, Alice joue le 3-cycle

9. Le sous-groupe strict H ⊂ G est maximal si pour tout H′ sous-groupe de G contenant Hon a G = H′ ou H = H′

29


(1 2 3) qui engendre 10 A3. Comme |A3| = 3, Alice peut forcer Bob a être lepremier à jouer en dehors de A3, et donc à perdre.On voit que ce dernier cas repose de manière cruciale sur l’imparité du cardinaldu groupe alterné dans S3. Ceci n’est plus vrai dés que n > 4 et peut noussuggérer que cette stratégie ne fonctionne plus. D’après le théorème de Lagrange|Gj | | |Gj+1|pour tout j durant le jeu. A présent, il convient de remarquer ques’il existe j0 tel que |Gj0 | est pair et Gj0 6= Sn, alors B a gagné. En effet, Bobpeut alors forcer Alice à être le premier à jouer en-dehors de Gj0 , au plus tardau coup |Gj0 | + 1, en jouant systématiquement dans Gj0 . Alice remplace alorsGj0 par Gj1 toujours de cardinal pair, mais strictement plus grand, et sera for-cée par Bob à jouer encore le premier en dehors de ce groupe... Finalement, Bobremporte la partie.Prenons à présent n > 4 et examinons la stratégie que B peut suivre :– Si g1 est d’ordre pair, G1 est de cardinal pair et B a gagné.– Si g1 est d’ordre impair d > 3, c’est un produit de cycles disjoints g1 = c1 . . . crqui sont tous de longueur impaire ; on a donc ε(g1) = 1. Bob choisit alors unautre élément de An, d’ordre pair (donc pas dans l’orbite de g1), par exemple(1 2)(3 4) ; ce qui est possible dés que n > 4. On a alors 2 | |G2| et B a gagné.– Si g1 est l’identité, Bob choisit n’importe quelle permutation d’ordre pair, parexemple (1 2).

Conclusion, Alice possède une stratégie gagnante si n ∈ 2, 3 ; sinon, c’est Bobqui possède une stratégie gagnante.

Correction de l’exercice 42. Commençons par traiter le cas α = 0. La bonne défi-nition de la série résulte de ce que π /∈ Q. Par densité de Q dans R il existe unefonction strictement croissante ϕ : N→ N telle que cosϕ (n)→ −1. On a alors

1

1 + cosϕ (n)→ +∞,

donc la série est (très) grossièrement divergente. On peut dorénavant supposerα > 0.1er cas : α > 1. On a alors 1

nα+cosn ∼1nα et la série est alors absolument conver-

gente, par le critère de Riemann.2e cas : α > 1

2 . Il n’y a plus de convergence absolue, mais on se ramène à une sérieà termes alternés, à une série absolument convergente près, de la manière suivante :

N∑n=1

(−1)n

nα + cosn=

N∑n=1

(−1)n

[1

nα+

1

nα + cosn− 1

nα

]

=

N∑n=1

(−1)n

nα−

N∑n=1

(−1)n

cosn

nα (nα + cosn)

La première série est convergente par le critère spécial des séries alternées, la secondeest absolument convergente par le critère de Riemann car

cosn

nα (nα + cosn)= O

(1

n2α

).

Au total la série est donc encore convergente.

10. Remarquer que S3 est le groupe dihédral d’ordre 3, c’est-à-dire le groupe des isométries dutriangle équilatéral. A3 est le groupe des isométries positives du triangle équilatéral, à savoir desrotations ; il est donc cyclique. En plus grande dimension Sn est encore le groupe d’isométries d’unpolytope convexe appelé simplexe régulier (voir les chapitres de géométrie) ; et An son groupe derotation, mais ce dernier n’est plus cyclique, ni même commutatif.

30


3e cas : α > 13 . Par ce qui précède on est ramené à étudier la convergence de∑ (−1)n cosn

nα(nα+cosn) . Pour cela, on approxime très bien le terme général par (−1)n cosnn2α :

N∑n=1

(−1)n

cosn

nα (nα + cosn)=

N∑n=1

(−1)n

[cosn

n2α+

cosn

nα (nα + cosn)− cosn

n2α

]

=

N∑n=1

(−1)n

cosn

n2α

+

N∑n=1

(−1)n n

2α cosn− nα (nα + cosn) cosn

n3α (nα + cosn)

=

N∑n=1

(−1)n

cosn

n2α−

N∑n=1

(−1)n cos2 n

n2α (nα + cosn).

La dernière série est absolument convergente par le critère de Riemann, car

cos2 n

n2α (nα + cosn)= O

(1

n3α

);

pour l’autre on effectue la transformation d’Abel :N∑n=1

(−1)n

cosn

n2α=

N∑n=1

1

n2α

[n∑k=1

(−1)k

cos k −n−1∑k=1

(−1)k

cos k

]

=

N∑n=1

1

n2α

n∑k=1

(−1)k

cos k −N∑n=1

1

n2α

n−1∑k=1

(−1)k

cos k

=1

N2α

N∑k=1

(−1)k

cos k − 0

+

N−1∑n=1

(1

n2α− 1

(n+ 1)2α

)n∑k=1

(−1)k

cos k.

Or

∀n ∈ N?,

∣∣∣∣∣n∑k=1

(−1)k

cos k

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣Re

[n∑k=1

eik(1+π)

]∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣Re

[1− ei(k+1)(1+π)

1− ei(1+π)

]∣∣∣∣≤ 2∣∣1− ei(1+π)

∣∣ ,d’oùN−1∑n=1

∣∣∣∣∣(

1

n2α− 1

(n+ 1)2α

)n∑k=1

(−1)k

cos k

∣∣∣∣∣ ≤ 2∣∣1− ei(1+π)∣∣ N−1∑n=1

∣∣∣∣∣ 1

n2α− 1

(n+ 1)2α

∣∣∣∣∣=

2∣∣1− ei(1+π)∣∣(

1− 1

N2α

),

ce qui donne∑ (−1)n cosn

n2α convergente.Cas général. Les trois cas précédents nous suggèrent une stratégie qui est l’indica-tion donnée par l’énoncé : on décompose

1

nα + cosn=

1

nα1(

1 + cosnnα

) .31


Comme |cosn| ≤ 1 ≤ nα, nous sommes dans les conditions d’application du

Lemme. pour tout x vérifiant |x| < 1 , et k ∈ N

1

1 + x= 1− x+ x2 − · · ·+ (−1)

k xk

1 + x.

Démonstration. En effet 11

(1 + x)

(1− x+ x2 − · · ·+ (−1)

k xk

1 + x

)= 1− x+ x2 − · · ·+ (−1)

k xk

1 + x

+x− x2 + · · · − (−1)kxk + (−1)

k xk+1

1 + x

= 1 + (−1)kxk[

1

1 + x− 1

]+ (−1)

k xk+1

1 + x

= 1 + (−1)kxk[

1

1 + x− 1 +

x

1 + x

]= 1.

On prend donc α > 0 ; puis k un entier tel que 1k < α, et on écrit la série de

l’énoncé sous la forme

N∑n=1

(−1)n

nα + cosn=

N∑n=1

(−1)n

nα+

k−2∑j=1

(−1)jN∑n=1

(−1)n

cosj n

n(j+1)α

+ (−1)k−1

N∑n=1

(−1)n cosk−1 n

n(k−1)α (nα + cosn).

La première série est convergente par le critère spécial, la dernière absolumentconvergente par le critère de Riemann car son terme général s’écrit

(−1)n cosk−1 n

n(k−1)α (nα + cosn)= O

(1

nkα

), αk > 1.

Voyons comment les k − 2 séries du milieu peuvent se traiter par transformationd’Abel. Pour tout j on sait que x 7→ cosj x est un polynôme en les x 7→ cosmx,

m 6 j (pour s’en apercevoir développer(eix+e−ix

2

)javec le binôme de Newton.

Par linéarité il suffit donc en fait de montrer que pour tout m la série

Sj,m (N) :=

N∑n=1

(−1)n cos (mn)

n(j+1)α

converge. On obtient cela par simple transformation d’Abel et en exploitant π /∈ Q :

11. On peut aussi utiliser la formule de Taylor avec reste intégral, qui explique peut-être un peumieux pourquoi cette forme apparaît.

32


N∑n=1

(−1)n

cosmn

n(j+1)α=

N∑n=1

1

n(j+1)α

[n∑k=1

(−1)k

cosmk −n−1∑k=1

(−1)k

cosmk

]

=

N∑n=1

1

n(j+1)α

n∑k=1

(−1)k

cosmk −N∑n=1

1

n(j+1)α

n−1∑k=1

(−1)k

cosmk

=1

N (j+1)α

N∑k=1

(−1)k

cosmk − 0

+

N−1∑n=1

(1

n(j+1)α− 1

(n+ 1)(j+1)α

)n∑k=1

(−1)k

cosmk.

Or (par irrationalité de π) m(1 + π

m

)/∈ πZ, donc

∀n ∈ N?,

∣∣∣∣∣n∑k=1

(−1)k

cosmk

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣Re

[n∑k=1

eimk(1+ πm )

]∣∣∣∣∣ ≤ 2∣∣∣1− eim(1+ πm )∣∣∣ .

Conclusion. Il y a convergence si et seulement si α > 0.

Correction de l’exercice53.

1. Supposons que K engendre E. Soit (un) ∈ KN. Alors un (K) ⊂ K pour tout n.Soit K = (k1, . . . kd) une base de E contenue dans K. Alors Kd étant compact,quitte a extraire on peut supposer pour tout j ∈ 1 . . . d

un (kj)→ kj ,

où kj ∈ K. Maintenant, posons u tel que u (kj) := kj . On vérifie immédiatementque un → u, et u ∈ K.Réciproquement, supposons que K engendre F ( E. Soit (f1, . . . fr) une basede F contenue dans K compétée en F= (f1, . . . fd) une base de E. On prend lasuite d’endomorphisme (un) dont la matrice dans F est

[un]F =

(Ir 00 nId−r

).

Alors clairement un ∈ K. Pourtant|||un||| = n pour la norme subordonnée à lanorme infinie. Donc K est non borné, donc non compact.

2. SiK contient un ouvert ω0 qui contient 0 alors il est immédiat queK engendre E(prendre une base B quelconque, et montrer que εB est contenue dans ω pourε assez petit). On a donc que K est compact d’après la question précédente.Donc la fonction det, qui est continue, y est bornée par M ≥ 0. Reste à montrerM ≤ 1.Intuitivement, un endomorphisme de déterminant δ > 1 « dilate » l’espace dansle sens ou il augmente les volumes d’un facteur δ et ne peut donc pas faire rentrerK dans K (voir figure suivante).Le volume fait malheureusement partie des notions intuitivement simples et ma-thématiquement compliquées, pour les sous-ensembles généraux. Toutefois, il estfacile de le définir pour les d-uplets de vecteurs. Soit donc B une base de E et

δ : Kd → R

(e1, . . . ed) 7→∣∣∣∣det

B(e1, . . . ed)

∣∣∣∣33


K

u(K)

0

K

u(K)

0

Figure U.1. Illustration avec E = R2. Si u (K) ⊂ K alors|detu| ≤ 1

δ est continue, sur le compact Kd et prend des valeurs > 0 (par hypothèse) ; elleatteint donc son maximum D en une certaine base

M = (m1, . . .md) ∈ Kd

Maintenant, soit u ∈ K. Il envoie K dans K par hypothèse, donc la familleM = (m1, . . .md) sur une famille N dont l’image par δ est D′ ≤ D plus petit.Donc

|detu| = detM

N =

(detB

N

)(detM

B

)=D′

D≤ 1.

Correction de l’exercice 59.

1. SoitM tel que f (k) (x) 6= 0 pour tout x ≥M . On peut supposer f (k) > 0 à droitede M . Ainsi, f (k−1)tend vers une limite ` au voisinage de +∞. Déjà ` 6= ±∞sinon f tendrait vers ±∞. Si par l’absurde ` 6= 0 alors on montre facilement quef → ±∞, le signe étant celui de `. Donc f (k−1) → 0 au voisinage de +∞.Maintenant, par le lemme de Rolle, f (k−1) admet un nombre fini de zéros. Onpeut donc appliquer le raisonnement précédent pour trouver que f (k−2), . . . f (k−3), . . . f ′

tendent vers 0 au voisinage de +∞.On peut faire un raisonnement très similaire au voisinage de −∞.

2. C’est immédiat pour k = 2 (une fonction convexe bornée sur R est constante).Soit maintenant k > 3 et supposons par l’absurde que f (k) s’annule r fois seule-ment, où r < k− 1. Alors montrons que f (k−1) s’annule au plus r− 1 fois, ce quipermettra de conclure par récurrence. En effet, si f (k−1)s’annule r fois, on peutnuméroter z1 < z2 < · · · < zr une suite de ses zéros. Quitte à apliquer le lemmede Rolle entre −∞ et z1 d’une part, entre zr et +∞ d’autre part, et entre zi etzi+1 on trouve que f (k) s’annule r fois.

3. On peut penser à f (x) = arctanx. On vérifie en effet sans difficulté par récur-rence que

f (k) (x) =Pk (x)

(1 + x2)k

où degPk (x) = k − 1. Les zéros de f (k) sont ceux de Pk, il y en a au plus k − 1(par degré) et au moins k−1 (par la question précédente) donc exactement k−1.

34


Correction de l’exercice 78.1. Soit r~u(θ) la rotation d’angle θ et d’axe ~u, où u est un vecteur unitaire de R3.

Alors r~u(θ) est a composée de deux réflexions sπ et sπ′ , où π et π′ sont des planstels que R~u = π ∩ π′. Soit s = s~u⊥ la réflexion de plan ~u⊥. Alors s commute àr~u(θ), et s sπ, sπ′ s sont des retournements. Donc

s sπ sπ′ s = s r~u(θ) s−1 = r~u(θ).

Que les renversements soient tous conjugués dans SO(3) relève du principe deconjugaison.

2. D’après ce qui précède il suffit de montrer que H contient un renversement. A ceteffet considérons τ : H → R qui à r associe Tr r = 1 + 2 cos θ, où θ est un anglede r. Si H est non trivial alors τ := inf τ < 3. Mais comme H est connexe pararcs et τ est continue, τ(H) contient ]τ , 3]. En particulier il existe n assez grandtel que τ(H) 3 1 + 2 cos(π/n). Soit alors h ∈ H tel que τ(h) = 1 + 2 cos(π/n).H est une rotation d’angle π/n, donc hn est un renversement.

3. La composante connexe (par arcs) de l’identité est connexe par arcs par défi-nition. Il s’agit de montrer que c’est un sous-groupe distingué dans SO(3) demanière à pouvoir appliquer la question précédente.H0 est un sous-groupe de H : Soient h, h′ deux éléments de H0. Il existe deschemins dans H0, hss∈[0,1] et h′ss∈[0,1] tels que h0 = h′0 = 1, h1 = h, h′1 = h′

et s 7→ hs est continue (de même s 7→ h′s). Posons

h′′t =

h2t 0 6 t 6 1/2

hh′2t−1 1/2 6 t 6 1.

Alors h′′s réalise un chemin continu de 1 à hh′ contenu dans H0, donc hh′ ∈ H0.De même h−1h1−s réalise un chemin continu contenu dansH0 de 1 à h−1. Donch−1 ∈ H.H0 est distingué Soit h ∈ H0 et g ∈ G. Soit gss∈[0,1] un chemin continu del’identité à g dans SO(3) (un tel chemin existe : si g = r~u(θ) il suffit de prendre

[gs] =

1 0 00 cos(sθ) − sin(sθ)0 sin(sθ) cos(sθ)

dans une base orthonormée ~u,~v, ~w de R3 euclidien). Posons hs = gshg

−1s . Alors

hss∈[0,1] est un chemin continu de h à ghg−1, contenu dans H par hypothèse(H est distingué). Donc ghg−1 ∈ H0 : H0 est distingué. Si H0 = SO(3) on agagné, sinon H0 = 1. Si H 6= H0, alors H n’est pas contenu dans le centre deG ; il existe donc h et h′ 6= h dans H, conjugués. D’après ce qui prècede il existeun chemin continu de h à h′ ; donc de 1 à h−1h′, contenu dans H. Ceci contreditH0 = 1. Nous avons ainsi montré que SO(3) est simple.

4. Soit H un sous-groupe distingué de O(3). Soit H0 la composante connexe pararcs du neutre. Nous savons que H0 est un sous-groupe de SO(3), distingué dansSO(3). D’après ce qui précède H0 = 1 ou H0 = SO(3). Dans le premier cas,H = SO(3) ou O(3). Dans le second, H = 1 ou ±1. Conclusion : O(3) a4 sous-groupes distingués qui sont 1, O(3), ±1 (son centre) et SO(3) (sacomposante neutre).

Correction de l’exercice 112.1. On aimerait écrire directement que x (t)

y (t)z (t)

= exp

ˆ t

0

a (s) b (s) c (s)c (s) a (s) b (s)b (s) c (s) a (s)

ds

x0

y0

z0

.

35


Toutefois ceci est illicite car le système n’est pas à coefficients constants. Nousallons voir que c’est quand même vrai. Remarquons déjà que, si l’on pose (avecj = e2iπ/3), les matrices se codiagonalisent∣∣∣∣∣∣

u = x+ y + zv = x+ jy + j2zw = x+ j2y + jz

=⇒

∣∣∣∣∣∣u′ = (a+ b+ c)uv′ =

(a+ j2b+ jc

)v

w′ =(a+ jb+ j2c

)w

D’où (avec u0, v0et w0 les conditions initiales)∣∣∣∣∣∣∣u (t) = u0 exp

´ t0

(a (s) + b (s) + c (s)) dsv (t) = v0 exp

´ t0

(a (s) + j2b (s) + jc (s)

)ds

w (t) = w0 exp´ t

0

(a (s) + jb (s) + j2c (s)

)ds

Finalement, on récupère x, y et z par

x (t) =1

3

[u0 exp

ˆ t

0

µ (s) ds+ v0 exp

ˆ t

0

ν (s) ds+ w0 exp

ˆ t

0

ω (s) ds]

y (t) =1

3

[u0 exp

ˆ t

0

µ (s) ds+ v0j2 exp

ˆ t

0

ν (s) ds+ w0j exp

ˆ t

0

ω (s) ds]

z (t) =1

3

[u0 exp

ˆ t

0

µ (s) ds+ v0j exp

ˆ t

0

ν (s) ds+ w0j2 exp

ˆ t

0

ω (s)ds],

avec µ = a+ b+ c, ν = a+ j2b+ jc et ω = a+ jb+ j2c. On peut aussi donnerune écriture plus compacte en remarquant que le système s’écrit sous la formeX ′ (t) = Ja,b,c (t)X (t) avec Ja,b,c (t) = aI + bJ + cJ2, où J est la matrice

J =

0 1 00 0 11 0 0

.

xyz

= exp

(ˆ t

0

Ja,b,c (s) ds) x0

y0

z0

.

2. Montrons que

(U.1) R (t) = Ip +

+∞∑n=1

˙

0≤t1≤...≤tn≤t

A (tn)A (tn−1) . . . A (t1) dt1dt2 . . . dtn

est bien définie : on sait (par réordonnement) que

Vn = Vol (t1, . . . tn) | 0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tn ≤ t =tn

n!.

On pose pour tout n > 1, φn le terme général de la série de fonctions définissantR dansU.1, on a d’une part, si ‖·‖ est une norme d’algèbre :

‖φn(t)‖ ≤˙

.0≤t1≤...≤tn≤t

‖A (tn)A (tn−1) . . . A (t1)‖ dt1dt2 . . . dtn ≤tn

n!

(sup[0,t]

‖A (t)‖

)n.

36


Montrons à présent que les φn sont de classe C 1 : il s’agit de dériver

φ′n(t) =d

dt

˙

0≤t1≤...≤tn≤t

A (tn)A (tn−1) . . . A (t1) dt1dt2 . . . dtn

=

d

dt

(ˆ t

0

A (tn)

[˙0≤t1≤···≤tn−1≤tn

A (tn−1) . . . A (t1) dt1dt2 . . . dtn−1

]dtn

)

=d

dt

(ˆ t

0

A (tn)φn−1 (tn) dtn)

= A(t)φn−1 (t) .

Cette expression est encore valable si n = 1 car on a alors par calcul directφ′1 (t) = A (t) = A (t)φ0 (t) avec φ0 = Ip. Donc, par convergence normale surtout [0, T ] de la série des φn et de leurs dérivées, on a que R est de classe C 1, etpar l’expression des dérivées

R′ (t) = A(t)+∞∑n=0

φn (t) = A(t)R(t).

Avec la condition initiale R (0) = Ip, ceci permet d’identifier R à la résolvante R.Signalons que l’expression U.1 est moins mystérieuse si l’on se rappelle, mêmevaguement, d’une preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz. En effet, ce n’estrien de plus qu’un théorème de point fixe (dans son cas général, point fixe dePicard) que l’on atteint par itérations d’une certaine application contractante,ce à quoi correspond le procédé de sommation des φn dont la série converge versla résolvante.

3. Si A est commutative, on peut changer l’ordre dans les produits, de sorte que

∀σ ∈ Sn, φn (t) =

˙

0≤t1≤...≤tn≤t

A(tσ(n)

)A(tσ(n−1)

). . . A

(tσ(1)

)dtσ(1)dtσ(2) . . . dtσ(n).

Sommant ces égalités sur toutes les permutations, on obtient

φn (t) =1

n!

˙[0,t]n

A (τ1) · · ·A (τn) dτ1 · · · dτn,

puis, par le théorème de Fubini sur pavé compact

φn (t) =1

n!

(ˆ t

0

A (τ) dτ)n

.

Finalement

R (t) =

+∞∑n=0

φn (t) dt =

+∞∑n=0

1

n!

(ˆ t

0

A (τ) dτ)n

= exp

[ˆ t

0

A (τ) dτ].

On retrouve ainsi l’expression de la résolvante pour une équation scalaire d’ordre1 ou un système différentiel à coefficients constants (ce qui n’est pas surprenantpuisque le cadre de notre calcul englobe ces deux cas de figure). De bons exemplesd’algèbres commutatives deMp (R) sont les algèbres de polynômes en une ma-trice donnée. Par exemple, avec A = R [J ] où J est la matrice compagnon de laquestion précédente, on retrouve le cas de la question précédente. On remarqueaussi que quand on veut résoudre∣∣∣∣ x′ = ax− by

y′ = bx+ ay37


en posant z = x+iy et en se ramenant ainsi à z′ = (a+ ib) z puis z (t) = et(a+ib)z(les physiciens disent « passer en complexes »), on se situe encore dans un casparticulier de cette démarche dans la sous-algèbre R [K] = A ' C (qui est mêmeun corps) deM2 (R), où K est la matrice compagnon (compagne ?) de X2 + 1.

38


Références

[1] C. Deschamps, A.Warusfel, Mathématiques Tout-en-un MP–MP* (3ème edition), Dunod. 48,61, 72

[2] S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Exercices de mathématiques – oraux X-ENS, Algèbre1 (2ème edition), Cassini, Paris, 2007. 11, 16

[3] —, Algèbre 2 (1ère edition), Cassini, Paris, 2006. 39

[4] —, Analyse 2 (2ème edition), Cassini, Paris, 2009. 63, 73

[5] International Mathematics Competition for University Students, 2012. 20

[6] Communiqué par G.Lewertowski. 18

[7] R. Mansuy, R. Mneimné, Algèbre linéaire – Réduction des endomorphismes, Vuibert, 2012.31

[8] Communiqué par T. Nham. 51

[9] Communiqué par N. de Rancourt. 13

[10] Revue de la filière mathématique (RMS), 1990–2012.

[11] J-P. Sanchez, cours de TS, Lycée Louis-le-Grand, 2009. 10

39

[email protected] Il reste sûrement Edit ...pallier/pdfs/...MP* Exercicesdecolles 2013-2014 A....

Documents

Transcript of [email protected] Il reste sûrement Edit ...pallier/pdfs/...MP* Exercicesdecolles 2013-2014 A....