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Fractales sur scilabL’ensemble de Mandelbrot:Dans le plan complexe, on considère la suite (zn) définie par zn+1 = zn²+ c et z0 = 0.

L’ensemble de Mandelbrot est l’ensemble des c pour lesquels la suite converge (en module).S’il existe n pour lequel ∣ zn ∣>2 alors la suite diverge. Il est nécessaire que ∣c∣< 2 pour que la suite converge.

Algorithme:On cherche pour chaque point d’un maillage d’une partie du plan, l’entier n (<255) à partir duquel ∣ zn ∣>2. La couleur de ce point sera n.

Ainsi un point blanc (n=255) sera un c pour lequel la suite semble converger et plus un point est foncé, plus la suite diverge vite… un point noir (n=1) est un point c où la suite diverge immédiatement.

L’intérêt de l’ensemble de Mandelbrot est sa frontière.

Dans la console de scilab:On charge SIVP puis, on introduit la fonction ci-dessus (dans l’éditeur) qu’on charge dans la console; enfin, on tape dans la console:X=mandelnb(300);imshow(X);pour avoir cette image en teintes de gris de 300*300 pixels.

x[-0,25 ; 0,05] , y[0,6 ; 0,9]

x[-2 ; 1] , y[-1,5 ; 1,5]

Fractales sur scilabLes ensembles de Julia:Dans le plan complexe, on considère la suite (zn) définie par zn+1 = zn²+ c. Cette fois-ci, c est fixé (complexe situé à la frontière de l’ensemble de Mendelbrot: il y a autant d’ensemble de Julia que l’on veut) et c’est z0 qui varie. Un ensemble de Julia est l’ensemble des z0 pour lesquels la suite converge (en module).S’il existe n pour lequel ∣ zn ∣>2 alors la suite diverge. Même algorithme que précédemment:

c = -0,414 -0.612 i , x[-1,3 ; 1,3] , y[-1 ; 1]

On introduit la fonction ci-dessus (dans l’éditeur) qu’on charge dans la console puis on tape dans la console:X=julia1(500);imshow(X);pour avoir cette image en teintes de gris de 500*500 pixels.

Fractales sur scilabLes ensembles de Julia:

c = -0,414 -0.612 i , x[-1,3 ; 1,3] , y[-1,3 ; 1,3]

x[-0,15 ; -0,075] , y[-1 ; -0,925]