FONCTIONS AFFINES en Réalité Augmentéemathematxlab.com/wp-content/uploads/2017/01/... ·...
Transcript of FONCTIONS AFFINES en Réalité Augmentéemathematxlab.com/wp-content/uploads/2017/01/... ·...
FONCTIONSAFFINESenRéalitéAugmentée
1HOUPERTN.
Problématiquespédagogiques:
Ø Commentreprésentergraphiquementunefonctionaffine?Ø Commentdéterminerl’expressiond’unefonctionaffine?Ø Commentdonnerlesensdevariationsd’unefonctionaffine?Ø Commentdonnerlesigned’unefonctionaffine?
Algorithmique:
Ø Réalisationd’unalgorithmecalculantlesparamètresaetbØ Réalisationd’unalgorithmecalculantl’antécédentparunefonctionaffined’unnombreØ Etuded’unalgorithmesurAlgoBoxØ Réalisationd’unalgorithmepourlaconstructiond’unecourbepériodique
Histoire:
Ø IsaacNewton,XVIIèmesiècle
Achaquefoisquevousrencontrerezunpictogramme ,flashezleavecl’appliaurasma.Lecourssurlanotionapparaîtraenréalitéaugmentée.Prenezsoindemettrevosécouteursafindenepasperturbervoscamarades.
FONCTIONSAFFINESenRéalitéAugmentée
2HOUPERTN.
IsaacNewton,XVIIè
Trèsjeune,NewtonétudieEuclided’Alexandrie(-330;-275),lagéométriedeRenéDescartes(1596;1650),l’optiquedeJohannesKepler(1571;1630),lesidéesrévolutionnairesdeGalilée(1564;1642).C’estenlisantl'ArithmeticainfinitorumdeJohnWallis(1616;1703)queNewtongénéralise,à21ansseulement,lafameuseformuleconnueaujourd’huisouslenomdebinômedeNewton.Ilmontrequeledéveloppementde(a+b)nestvalablepourtoutevaleurrationnelleden.LecalculdesfluxionsNewtonconsidèrelesgrandeurscommelerésultatdemouvementscontinus;imaginantainsileslignescommedécritesparlemouvementdespoints,lessurfacesparletransportdeslignes,lessolidesparlasuperpositiondessurfaces,lesanglesparlarotationdeleurscôtés.Cesconsidérationslemènent,en1665,àconcevoirlecalculdifférentieletintégralqu'ilappellelecalculdesfluxions.Ilgénéraliselesméthodesdéjàutiliséespourlaconstructiondetangentesàunecourbeetpourlecalculdesurfacesdélimitéesparunecourbe.LaloidelagravitationuniverselleLorsqu’en1665,Newtonobtientsalicence,lapestequirègneàLondreslecontraintdequitterCambridge.IlseretirealorsdanslasolitudeàWoolsthorpedanssapropriétépatrimoniale.Lalégenderacontequelà,unjour,assissousunpommieretvoyanttomberundesesfruits,ilattiresonattentionsurlapesanteuretconçoitlathéoriedelagravitationuniverselle.Enformalisantsaméthodedesfluxions,ilexpliquequetoutcorps,dansl'espaceetsurlaTerre,subitleseffetsd'uneforceappeléegravité.PoursuivantlestravauxdeKepler,ilsedemandesic'estlamêmecausequiretientlalunedansl'orbitequ'elledécritautourdelaTerre,etlesplanètesdansleursorbitesautourdusoleil.LadécompositiondelalumièreNewtonentreprenddesexpériencessurlaréfractiondelalumièreàtraverslesprismes.Expériencesparlesquellesildécouvrelacompositiondelalumière,calculelesdifférentseffetsderéfraction,etfondesathéoriesurcettematière.UnepartiedesonanalysedelalumièreestpubliéedanslesTransactionsphilosophiques.
FONCTIONSAFFINESenRéalitéAugmentée
3HOUPERTN.
Représenterdanslerepèreorthonorméci-dessouslesfonctionssuivantes:
𝑦 = 2𝑥 − 3
𝑦 = −3𝑥 + 2
𝑦 = −23𝑥 + 1
𝑦 =47𝑥 − 1
𝑦 = 3
𝑦 = − !!𝑥 + 3
Commentreprésentergraphiquementunefonctionaffine?
NiveaudeCompétences
FONCTIONSAFFINESenRéalitéAugmentée
4HOUPERTN.
Déterminerl’expressiondechacunedesfonctionssuivantesdéfiniessurIR.
𝑓estlafonctionaffinetelleque: 𝑓 1 = 5 𝑒𝑡 𝑓(3) = 4;
𝑓 𝑥 =
𝑔estlafonctionaffined’ordonnéeàl’origineégaleà3,ettelleque:𝑔(4) = 1.
𝑔 𝑥 =
ℎestlafonctionaffinetellequedontlacourbereprésentativepasseparlespoints𝐴 ( 1 ; 5 ) 𝑒𝑡 𝐵 ( – 2 ; 2 ).
𝑖estlafonctionlinéairetelleque: ℎ(4) = – 8;
𝑗estlafonctionaffinedecoefficientdirecteurégalà2ettelleque: 𝑗( – 2 ) = 12.
𝑘estlafonctionaffineconstantetelleque:i(2) = 3;
𝑝estlafonctionaffinetelleque:𝑝 0 = 2ettelleque: 𝑝(𝑥) ≤ 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ∈[ 4 ; + ∞[.
metnsontlesfonctionsaffinesdontlescourbesreprésentativessontlessuivantes:
𝐶!
𝐶!
Commentdéterminerl’expressiond’unefonctionaffine?
Niveaudecompétences
o-6 -4 -2 2 4 6 8
-2
2
FONCTIONSAFFINESenRéalitéAugmentée
5HOUPERTN.
Donnerlesensdevariationdechaquefonction:
a. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 6 ;
b. 𝑓(𝑥) = −2𝑥 − 1;
c. 𝑓(𝑥) = 2 !!− 2 ;
d. 𝑓 𝑥 = − !!𝑥 − !
! ;
e. 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − !!
;
f. 𝑓 𝑥 = 3 − 4𝑥 ;
Dresserletableaudesignedechaquefonction.
a. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 6 ;
b. 𝑓 𝑥 = −3𝑥 − 1;
c. 𝑓(𝑥) = !!− 3 ;
d. 𝑓 𝑥 = − !!𝑥 + !
!
Commentdonnerlesensdevariationsd’unefonctionaffine?
Niveaudecompétences
Commentdonnerlesigned’unefonctionaffine?
Niveaudecompétences
FONCTIONSAFFINESenRéalitéAugmentée
6HOUPERTN.
ProgrammationlinéaireVoicitroistarifsdelocationdevoiture:
Tarif1:«180€parjour»Tarif2:«1,80€parkmparcouru»Tarif3:«Forfaitde84€parjourplus0,75€parkmparcouru»
e. Exprimerchacundecestarifsenutilisanttroisfonctionsp1,p2etp3donnantleprixàpayer,pourunejournée,enfonctiondunombredekilomètresparcourus.
f. Aquellefamilledefonctionsappartiennentcesfonctions?Endonnerlenometlescaractéristiquesprécises.
g. Représentergraphiquementdanslemêmerepèrecestroisfonctions.
Donner,enfonctiondunombredekilomètresparcourus,letarifleplusavantageux.
Englishcorner
1. Lineargrapha. Thegradient-interceptmethodisthemoststraightforwardandquickestmethodfor
drawinggraphs.Inthefunction𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3,thecoefficientof𝑥isthegradientandtheconstanttermistheintercept.Todrawthegraphof𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3:
i. Marktheinterceptpoint(0; 3)ii. Move1unitacrossand2unitsuptoshowthegradientiii. Joinupthepointstogettherequiredline.
b. Findingtheequationofaline
fromitsgraph.Findtheequationofthelinesshownwiththegradient-interceptmethod.First,findthey-intercept.Next,measurethegradientoftheline.Hence,writedowntheequationoftheline.
2. SignofalinearfunctionLet𝐴 1; 2 and𝐵(−1; 1)be.Theline(𝐴𝐵)isthegraphofalinearfunction𝑓.
a. Drawthegraphofthislinearfunction.b. Givetheequationofthisfunction.
FONCTIONSAFFINESenRéalitéAugmentée
7HOUPERTN.
c. Writedownthevariationsofthislinearfunction.d. Givethesignof𝑓(𝑥).