Chapitre 6 Notion de fonction 67

Notion de fonction

EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N° 6 DU 28 AOÛT 2008Connaissances Capacités Commentaires

1. Organisation et gestion de données, fonctions

1.1 Notion de fonctionImage, antécédent, notations f (x), x � f (x).

[Thèmes de convergences]

– Déterminer l’ image d’un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule.

– Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique.

Toute définition générale de la notion de fonction et la notion d’ensemble de définition sont hors programme.

La détermination d’un antécédent à partir de l’expression algébrique d’une fonction n’est exigible que dans le cas des fonctions linéaires ou affines.

Note : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des compétences sont en italique.

Ouverture

Le bloc atteint une hauteur de 13,5 m environ pour une distance horizontale de 2 m, une hauteur de 19 m pour une distance horizontale de 4 m et une hauteur de 20 m pour une distance horizontale de 5 m.

• La hauteur maximale est égale à 20 m et elle est atteinte pour une distance horizontale de 5 m.• Le bloc atteint une hauteur de 5 m pour une distance horizontale de 0,5 m et de 9,5 m environ et il atteint une hauteur de 15 m pour une distance horizontale de 2,5 m et de 7,5 m environ.

Je prends un bon départ

QCM

1 A 2 C 3 B 4 A5 C 6 C 7 B 8 A

9 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 1)

1. A (−1 ; 1) et B (1 ; 5). 3.2. a. Les points C et Dsemblent appartenir à la droite (AB).b. Par lecture graphique, l’ordonnée de E est égale à 4.c. Par lecture graphique, l’abscisse de F est égale à

12

− .

1–1–1

–2

A

C

F DE

B

x

y

1

2

3

4

5

0

10 1. Les couples b. et c. vérifient l’équation.2. Les couples a., c. et d. vérifient l’équation.3. L’égalité n’est pas vérifiée par le couple (−1 ; −2), mais elle est vérifiée par le couple (−2 ; 13).4. x = −2 + y et y = x + 2.

Activités

1 ObjectifDécouvrir la notion de fonction et les notations correspondantes.

A. 1. a. Le piéton a parcouru 15 m au bout de 10 s et 25 m au bout de 30 s.b. Il lui a fallu 25 s pour parcourir 20 m.c. Il s’est arrêté pendant 10 s.Il a ensuite parcouru 10 m en 10 s, alors qu’il avait parcouru les 15 premiers mètres en 10 s. Il a donc marché moins rapidement après s’être arrêté qu’avant son arrêt.2. a. d (10) = 15 et d (30) = 25.b. d (25) = 20.B. 1. a. Le nombre −11 s’affiche dans la cellule B2 .b. Les nombres −5 ; −3 ; 1 et 7 apparaissent dans les cellules B3 à B6 .2. f (x) = 2x − 3.3. f (x) désigne l’image de x par la fonction f.L’expression 2(x + 1) désigne le produit du nombre 2 par la somme (x + 1).

2 ObjectifDéterminer l’image ou un antécédent d’un nombre par une fonction déterminée par une formule ou un tableau de valeurs.

1. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 2)

x −4 −3 2 5 8 10

3(2 − x) 18 15 0 −9 −18 −24

2. a. f (x) = 3(2 − x).b. Les images de −4, 2 et 5 par la fonction f sont respectivement 18, 0 et −9.c. f (1) = 3 × (2 − 1) = 3 × 1 = 3.

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2.

68

13 On résout l’équation 5x − 7 = −3.

On obtient : x = 45

. L’antécédent de −3 par la fonction

h est 45

.

14 On résout l’équation 34

12

− x = 2.

On obtient : x = 52

− .

L’antécédent de 2 par la fonction j est 52

− .

15 On résout l’équation x52

97

27

+ = .

On obtient : x = 25

− .

L’antécédent de 27

par la fonction k est 25

− .

16 On résout l’équation x2 + 4 = 13.Cette équation se ramène à l’équation x2 − 9 = 0, puis à l’équation produit nul (x + 3)(x − 3) = 0, dont les solutions sont −3 et 3.Les antécédents de 13 par la fonction g sont −3 et 3.

17 On résout l’équation 11 + 49x2 = 47. Cette équation se ramène à l’équation 49x2 − 36 = 0,puis à l’équation produit nul (7x + 6)(7x − 6) = 0,

dont les solutions sont 67

− et 67

.

Les antécédents de 47 par la fonction f sont 67

− et 67

.

18 1. a. Les images de −1 ; 0 et 2 par la fonction h1 sont respectivement 0 ; 1 et 3.b. Les images de −1 ; 0 et 1 par la fonction h2 sont respectivement 0 ; −1 et 0.c. L’antécédent de 4 par la fonction h1 est 3.d. Les antécédents de 3 par la fonction h2 sont −2 et 2.2. Les valeurs de x qui ont la même image par la fonction h1 et par la fonction h2 sont −1 et 2.

19 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 4)

1

–2

–1 –1 2 3 4

g

i h

x

y

123456789

0

–2–3–4

10

d. Un antécédent de 18 par la fonction f est −4, et un antécédent de −24 est 10.e. L’équation 3(2 − x) = 6 s’écrit 6 − 3x = 6, ou 3x = 0. Elle admet pour unique solution le nombre 0. L’antécédent de 6 par la fonction f est 0.

3 ObjectifDéterminer l’image ou un antécédent d’un nombre par une fonction à partir de la courbe représentant cette fonction.

A. 1. h (−1) = 2.2. On lit : h (−3) = 10 et h (3) = 10.On remarque que : h (−3) = h (3).3. b. Cette droite coupe � en un seul point, ce qui signifie que le nombre 1,5 a une image unique par la fonction h qui est l’ordonnée du point de � d’abscisse 1,5, soit 3,2 environ.B. 1. a. Les antécédents de 5 semblent être les nombres −2 et 2.b. On résout : x2 + 1 = 5, soit : x2 − 4 = 0, qui s’écrit : (x + 2)(x − 2) = 0.Les solutions sont les nombres −2 et 2.2. Les antécédents de 4 semblent être les nombres −1,7 et 1,7.On résout : x2 + 1 = 4, soit x2 − 3 = 0, qui s’écrit : (x + 3 )( x − 3 ) = 0.Les solutions sont les nombres 3− et 3.

DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 3)

1 2–1–2

�

x

y

01

5

AB

C

C. 1. a. A semble appartenir à la courbe � et B ne semble pas appartenir à � .• h (1) = 12 + 1 = 2. On obtient l’ordonnée de A, donc A appartient effectivement à �.• h (−1,5) = (−1,5)2 + 1 = 3,25. On n’obtient pas l’ordonnée de B, donc B n’appartient pas à �.2. a. L’ordonnée de C semble être égale à 7,2. b. h (2,5) = 2,52 + 1 = 6,25 + 1 = 7,25. Donc l’ordonnée de � est égale à 7,25.

Savoir-faire

11 a. g (−2) = −10 b. g = 23

23

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

c. g ( 5 ) = −13

12 a. h 32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 0 b. h (5) = −126

c. h ( 3) = −30 + 16 3

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2.

Chapitre 6 Notion de fonction 69

20 a. Par lecture graphique, l’image par f de 120 est 27 et l’antécédent de 15 est 50.b. À 120 ans, le chêne atteint une hauteur de 27 m environ. Le chêne atteint une hauteur une hauteur de 15 m à 50 ans environ.

21 Les images des nombres −10 ; −3 et 7 par la fonction g sont respectivement −531 ; −62 et −242.

22 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 5)

Les valeurs prises par la fonction f pour les valeurs entières de x comprises entre −15 et 15 sont les nombres situés dans les cellules B2 à B32 .

Exercices

À l’oral23 a. « f de 8 égale 5 » ou :

« l’image de 8 par f est égale à 5. »b. « g de x égale 3x − 8 » ou :« l’image de x par g est égale à 3x − 8. »c. « h est la fonction qui à x associe −3x + 11 » ou : « l’image de x par h est égale à −3x + 11. »

24 a. f est une fonction qui, au nombre 3, associe 11.b. 3 a pour image 11 par la fonction f.c. 3 est un antécédent de 11 par la fonction f.

25 L’image de −5 par la fonction h : x � 2x + 1 est −9, et l’antécédent de 7 par cette fonction est 3 .

26 1. • h (3) = −4 • h (−11) = −18 • h (7) = 0.

2. • k (−1) = 5 • k 15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −1 • k (0) = 0.

27 1. f (−3) = 8.2. −1 et 1 ont pour image 0 par f.3. −2 et 2 sont deux antécédents de 3 par f.

28 • Le tableau 1 correspond à la fonction h.• Le tableau 2 correspond à la fonction g.• Le tableau 3 correspond à la fonction f.

29 a. D. b. C. c. B. d. A.

30 a. f (−1) = 1 ; f (0) = −1 ; f (2) = 1.b. −2 et 1 sont les deux antécédents de −3 par f.c. 1 a deux antécédents par f, et −2 a trois antécédents par f.

31 La courbe b. représente la fonction f.

Je m’entraîne

32 a. f : 4 � 7. b. g (−11) = 2. c. h (14) = 3.

33 1. Faux. 2. Vrai. 3. Vrai. 4. Vrai.

34 1. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 6)

x −5 −312

− 014

5 9

f (x) −21 −13 −3 −1 0 19 35

2. a. f (5) = 19.b. Un antécédent de −13 est −3.

35 1. h (−5) = 19, h 23

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 6, h (0) = 4 et h (7) = −17.

2. Un antécédent du nombre 19 est −5.

36 1. La division par 0 est impossible donc le nombre 0 n’a pas d’image par la fonction f.

2. a. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 7)

x −9 −3 −1 1 2 3 9f (x) −1 −3 −9 9 4,5 3 1

b. Un antécédent de −9 par f est −1.

37 1. 3 − 3 = 0. Or la division par 0 est impossible donc le nombre 3 n’a pas d’image par la fonction g.2. a. Les images des nombres −4 ; −3 ; −1 ; 2 et 12 par

g sont respectivement les nombres 47

, 12,

14

, −2 et 43

.

b. Un antécédent de −2 par g est 2.

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2.

70

38 1. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 8)

x −3 −2 −1 0 2 4k (x) −26 −11 −2 1 −11 −47

2. Deux antécédents du nombre −11 par la fonction k sont −2 et 2.

39 1. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 9)

x −5 −3 −2 −1 0 1 2 4 5f (x) −20 −4 1 4 5 4 1 −11 −20

2. a. Deux antécédents de 1 par f sont −2 et 2.b. f (−6) = 5 − (−6)2 = 5 − 36 = −31, donc −6 est un antécédent de −31 par f.

40 1. a. f (3) = 1, f (1) = 133

− , f (0) = −5,

f (−2) = 73

− et f (−3) = 1.

b. Le nombre 1 a au moins deux antécédents : −3 et 3.

c. f (−1) = f (1) = 133

− .

2. Les images de deux nombres opposés par la fonction f sont égales puisque les carrés de deux nombres opposés sont égaux.

41 1. • L’antécédent de 27 par f est la solutionde l’équation 3x = 27, soit 9.• L’antécédent de −36 par f est la solution de l’équation 3x = −36, soit −12.2. • L’antécédent de 7 par g est la solution de l’équation −2x + 5 = 7, soit −1.• L’antécédent de −9 par g est la solution de l’équation −2x + 5 = −9, soit 7.• L’antécédent de 0 par g est la solution de l’équation −2x + 5 = 0, soit 2,5.

42 1. Les antécédents de 20 par h sont les solutions de l’équation 5x2 = 20, soit −2 et 2.2. L’antécédent de 0 par h est 0.Un carré n’est jamais strictement négatif, donc −10 n’a pas d’antécédent par h.

43 1. L’antécédent de −7 par h est la solutionde l’équation 4x2 − 7 = −7, soit 0.2. • Les antécédents de 2 par h sont les solutions

de l’équation 4x2 − 7 = 2, soit 32

− et 32

.

• Les antécédents de 18 par h sont les solutions

de l’équation 4x2 − 7 = 18, soit 52

− et 52.

3. L’équation 4x2 − 7 = −8 n’admet pas de solution, donc le nombre −8 n’admet pas d’antécédent par h.

44 1. La fonction f est définie par : f (x) = −3x + 2.2. Les images par f des nombres −5 ; −2 ; 0 ; 3,5 et 7 sont respectivement 17 ; 8 ; 2 ; −8,5 et −19.3. f (−4) = 14, f (−1) = 5, f (2) = −4, f (5) = −13 et f (13) = −37.

4. a. Le nombre qui a pour image −7 par f estla solution de l’équation −3x + 2 = −7, soit 3. b. L’antécédent de 11 par f est la solution de l’équation −3x + 2 = 11, soit −3.

45 1. Le nombre −2 a un antécédent par g.Le nombre 1,5 a trois antécédent par g.2. a. g (−1) = 2, g (0) = 1 et g (1) = 0.b. L’antécédent de −3 par g est −2.c. Les nombres −1,5 ; 0,25 et 1,25 sont des valeurs approchées des trois antécédents de 0,5 par g.

46 DOCUMENTS À PHOTOCOPIER (ANNEXE 10)

1. a.

x −3 −2,5 −2 −1 0 1,5 2 3f (x) −7,5 −6,25 −5 −2,5 0 3,75 5 7,5

b. On obtient les valeurs de f (x) en multipliant celles de x par 2,5. Il s’agit donc d’un tableau de proportionnalité.c. La courbe représentative de f est donc une droite passant par l’origine du repère.

2.

1 2 3–3 –2 –1 x

y

1234567

–7–6–5–4–3–2

–1

0

47 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 11)

x −4 −3,5 −3 −2,5 −2 −1,5 −1 −0,5 0h (x) −13 −9,25 −6 −3,25 −1 0,75 2 2,75 3

x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4h (x) 2,75 2 0,75 −1 −3,25 −6 −9,25 −13

1 3 4–3–4 –1 x

y

2

–2

–6

–10

4

0

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2.

Chapitre 6 Notion de fonction 71

51 1. a. • U (20) = 4 • U (40) = −4 • U (60) = 0.b. Le générateur délivre 4 V au bout de 20 s, −4 V au bout de 40 s et 0 V au bout de 60 s.2. a. Des valeurs approchées de deux antécédents de −2 sont 35 et 55, et des valeurs approchées de trois antécédents de 4 sont 12, 20 et 72.b. Le générateur a délivré une tension de −2 V au bout de 35 s et 55 s environ et il a délivré une tension de 4 V au bout de 12 s, 20 s et 72 s environ.

52 1. f (−1) = 10, donc l’ordonnée de A est 10.2. La solution de l’équation −3x + 7 = 1 est le nombre 2, donc l’abscisse de B est 2.3. −3 × (−20) + 7 = 67 ; on obtient l’ordonnée de C, donc C appartient à (R).

53 1. a. v (10) = 50,4 et v (50) ≈ 112,7b. La vitesse au sol d’un corps lâché d’une hauteur de 10 m est de 50,4 km ⋅ h−1, et celle d’un corps lâché d’une hauteur de 50 m est d’environ 112,7 km ⋅ h−1.2. DOCUMENTS À PHOTOCOPIER

on 112 (ANNEXE 15)

a.

h (en m) 10 50 100 150 200v (h) (en km⋅h−1) 50,4 112,7 159,4 195,2 225,4

b.

50

100

150

200

v(h) (en km�h–1)

h (en m)

200 100 200

3. Par lecture graphique :a. la vitesse au sol d’un corps lâché d’une hauteur de 120 m est de 175 km ⋅ h−1 environ.b. la hauteur de chute d’un corps arrivant au sol à la vitesse de 210 km ⋅ h−1 est de 175 m environ. 4. a. L’expression de v (h) ne dépend pas de la masse du corps : seule la hauteur de la chute intervient dans l’expression de la vitesse.b. Par conséquent, en l’absence d’air, une bille de plomb ne chuterait pas plus vite qu’une bille de liège que l’on laisserait tomber de la même hauteur.

54 1. h (−1) = (−1)2 − 5 = −4. On n’obtient pas l’ordonnée de F, donc F n’appartient pas à (R).2. h (−2) = (− 2)2 − 5 = −1. On obtient l’ordonnée de G, donc G appartient à (R).3. • h (−3) = (−3)2 − 5 = 4. On obtient l’ordonnée de H, donc H appartient à (R).• h (3) = 32 − 5 = 4. On n’obtient pas l’ordonnée de K, donc K n’appartient pas à (R).• h (5) = 52 − 5 = 20. On obtient l’ordonnée de L, donc L appartient à (R).

48 1. x −2 1f (x) −3 3

2. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 12)

1 2–2 –1

(d )

x

y

123

–3–2–1

0

3. a. A (1,5 ; 3,5) ne semble pas appartenir à la droite (d). On le vérifie par le calcul : f (1,5) = 2 × 1,5 + 1 = 4. On n’obtient pas l’ordonnée de A, donc A n’appartient pas à (d ). b. B (−1 ; −1) semble appartenir à la droite (d ).On le vérifie par le calcul : f (−1) = 2 × (−1) + 1 = −1. On obtient l’ordonnée de B, donc B appartient à (d ).

49 1. Ce tableau pourrait correspondre à la fonction f définie par: f (x) = x2.2. • f (−2,5) = 6,25 • f (−1,5) = 2,25 • f (0,5) = 0,25.

3. a. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 13)

1 2–2 –1 x

y

1

2

3

4

0

5

b. La courbe tracée admet un axe de symétrie : l’axe des ordonnées du repère.

50 1. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 14)

1–11,5

x

y

0

1

5

3,5

–2,5

–4

2. Par lecture graphique :• l’image de 1,5 par g est −2,5, et celle de −1 est 5. • l’antécédent de −4 par g est 2, et celui de 3,5 est −0,5.

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2.

72

brevetJe m’entraîne au

60 1. Les tranches horaires de départs possibles pour ce voilier sont entre 0 h et 1 h 30 min environ, puis entre 7 h 40 min et 12 h environ.2. Julien partira à 10 h 30 min.

61 1. a. Le volume de glace obtenu à partir de 6 litres de liquide est d’environ 6,5 L.b. Le volume d’eau liquide permettant d’obtenir 10 litres de glace est d’environ 9,3 L. 2. Le volume de glace est proportionnel au volume d’eau liquide car la représentation graphique est une droite passant par l’origine du repère.

3. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 18)

Volume de la glace en litre en fonction du volume d’eau liquide en litre

2

�6,5

10

Volume de la glace (en L)

10 6 �9,3

Volume de l’eauliquide (en L)

Si 10 litres d’eau donnent 10,8 litres de glace, alors 100 litres d’eau donnent 108 litres de glace. Soit une augmentation de 8 litres pour 100 litres, autrement dit, une augmentation de 8 %.

62 1. Pour que l’éolienne fonctionne, le vent doit atteindre une vitesse au moins égale à 4 m/s.2. La puissance de l’éolienne est au moins 200 kW pour une vitesse du vent au moins égale à 9 m/s, soit 15 m/s par exemple.3. La courbe représentant la puissance fournie, en kW, en fonction de la vitesse du vent, en m/s, n’est pas une droite, donc la puissance fournie par cette éolienne n’est pas proportionnelle à la vitesse du vent.

63 1. A. 2. A. 3. C.

J’approfondis

73 1. • On résout l’équation x2 + 1 = 5, qui se ramène à x2 − 4 = 0, ou encore à (x + 2)(x − 2) = 0, dont les solutions sont les nombres −2 et 2.Les antécédents de 5 par f sont donc −2 et 2.• On résout l’équation x2 + 1 = 17, qui se ramèneà x2 − 16 = 0, ou encore à (x + 4)(x − 4) = 0, dont les solutions sont les nombres −4 et 4.Les antécédents de 17 par f sont donc −4 et 4.• On résout l’équation x2 + 1 = 82, qui se ramèneà x2 − 81 = 0, ou encore à (x + 9)(x −9) = 0, dont les solutions sont les nombres −9 et 9.Les antécédents de 82 par f sont donc −9 et 9.

55 1. a. Il s’agit de la fonction f définie par :f (x) = −4x + 7.b. Il s’agit de la fonction g définie par :g (x) = 7x2 − 11.2. a. f (−11) = 51 et f (23) = −85.b. g (−11) = 836 et g (23) = 3 692.

56 1. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 16)

CASIO-Collège 2D + TI-Collège plusf :

Y = 3 × X + 2

f :

f (x) 3 × x y z ta b c + 2

g :

Y = X x2 + 7

g :

f (x) x y z ta b c x2

+ 7

h :

Y = – 3 × X x2

+ 5 × X – 4

h :

f (x) (–) 3 × x y z ta b c x2

+ 5 × x y z ta b c – 4

2. • f (−7) = −19 • g (−7) = 56 • h (−7) = −186.• f (15) = 47 • g (15) = 232 • h (15) = −604.

57 1.

2. La fonction associée est la fonction f définie par : f (x) = 2x − 5.

58 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 17)

59 • m (−2) = − (−2)2 + 2 × (−2) = −4 + (−4) = −8et n (−2) = (−2)3 = −8.• m (0) = −02 + 2 × 0 = 0 et n (0) = 03 = 0.• m (1) = −12 + 2 × 1 = −1 + 2 = 1 et n (1) = 13 = 1.

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2.

Chapitre 6 Notion de fonction 73

2. L’équation x2 + 1 = 0 n’admet pas de solution, donc 0 n’a pas d’antécédent par f.

74 1. g (1) = −3 ; g (−1) = 11 ; g (−3) = 49.2. g (0) = 1, donc 0 est un antécédent de 1 par g.

75 1.

Durée (en h) Taux (en g/L)0 0

0,25 10,5 1,50,75 1,8

1 1,851,5 1,72 1,35

2,5 13 0,75

3,5 0,554 0,35

4,5 0,255 0,17

2. Le taux d’alcool présent dans le sang au bout d’une demi-heure est 1,5 g/L.Ce taux est égal à 1,8 g/L au bout 45 minutes, et il est égal à 0,75 g/L au bout de trois heures.

3. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 19)

0,2

1,5

0,5

1

2Taux (en g/L)

0,50 3,61 1,8 Durée (en h)

4. Graphiquement la durée approximative pendant laquelle le taux d’alcool est supérieur ou égal à 1,5 g/L est d’environ 1,3 h (1,8 − 0,5 = 1,3), soit environ 1 h 20 min.5. Après une telle absorption d’alcool, on peut reprendre le volant au bout de 3,6 h environ, soit après 3 h 36 min.

76 1. L’image de 1 par la fonction f est 7.2. • (−1)2 + 6 = 12 + 6 = 7, donc 7 a deux antécédents par la fonction x � x2 + 6.Donc la fonction f définie par f (x) = x2 + 6 convient. • Si f était définie par f (x) = 7x, alors 1 serait l’unique antécédent de 7 par f.

77 1. a. L’équation f (x) = 19 s’écrit x2 + 3 = 19, qui se ramène à x2 − 16 = 0, ou encore à (x + 4)(x − 4) = 0, dont les solutions sont les nombres −4 et 4.

Thème de convergence

b. Les antécédents de 19 par f sont donc −4 et 4.2. a. On résout l’équation f (x) = 5, qui s’écritx2 + 3 = 5, ou encore x2 − 2 = 0, dont les solutions sont les nombres 2− et 2.Les antécédents de 5 par f sont donc 2− et 2.b. L’équation f (x) = 2 s’écrit x2 + 3 = 2, ou encore x2 = −1, qui n’a pas de solution. Donc 2 n’a pas d’antécédent par la fonction f.

78 1. La droite parallèle à l’axe des abscisses passant par le point de coordonnées (0 ; −1) coupe la courbe en trois points distincts dont les abscisses sont les solutions de l’équation f (x) = −1. Donc l’équation f (x) = −1 admet trois solutions.2. La droite parallèle à l’axe des abscisses passant par le point de coordonnées (0 ; 2) coupe la courbe en un seul point dont l’abscisse est la solution de l’équation f (x) = 2. Donc l’équation f (x) = 2 admet une seule solution.3. L’axe des abscisses coupe la courbe en trois points distincts dont les abscisses sont les solutions de l’équation f (x) = 0. Donc l’équation f (x) = 0 admet trois solutions.

79 1. a. On obtient respectivement 0 ; 1 ; 2 ; 45

et 11.b. • L’antécédent par r de 5 est 25.

• L’antécédent par r de 23

est 49

.

2.x Valeurs exactes

de r (x)Arrondis au dixième

de r (x)0 0 01 1 12 2 1,4

3 3 1,74 2 25 5 2,2

6 6 2,4

7 7 2,6

8 8 2,89 3 310 10 3,2

3. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 20)

2 4 6 8 10 x

y

2

4

0

80 1. Chaque image est égale à −12.2. a. On obtient : f (x) = −12.b. Quelle que soit la valeur de x, le nombre f (x) est égal à −12. 4. f (x) ne varie pas : f est constante.

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2.

74

81 1. L’équation g (x) = 1 se ramène à2x2 + 3x + 1 = 1, soit 2x2 + 3x = 0, ou encore à : x(2x + 3) = 0, dont les solutions sont

les nombres 0 et 32

− .

2. L’équation g (x) = 1 admet deux solutions distinctes, donc le nombre 1 admet deux antécédents par

la fonction g : les nombres 0 et 32

− .

82 1. Il n’existe pas de valeurs de x telles que :f (x) > 4.2. Graphiquement : a. f (x) = 0 pour x = −2 et pour x = 2.b. f (x) � 0 pour x � −2 et pour x � 2.c. f (x) � 0 pour −2 � x � 2.

3. a. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 21)

1 2 3–3 –2 –1

fg

x

y

1

–1

–2

–3

2

3

4

5

0

b. Le maximum de g est 5.

83 1. L’équation h (x) = 4 se ramène à x2 − 2x + 5 = 4, soit x2 − 2x + 1 = 0, ou encore à(x − 1)2 = 0, qui revient à x − 1 = 0, dont la solution est le nombre 1.2. L’équation h (x) = 4 admet une solution unique, donc le nombre 4 admet un antécédent unique par la fonction h qui est égal à 1.

84 1. 3 − 3 = 0. Or la division par 0 est impossible, donc 3 n’a pas d’image par la fonction f.

2. • f (−1) = 14

− • f (0) = 23

−

• f (1) = 32

− • f (5) = 72

.

3. f (8) = 105

= 2, donc 8 est un antécédent de 2 par f.

4. On résout l’équation f (x) = 1, soit xx

23

+−

= 1,

ou encore : x + 2 = x − 3. Cette équation n’a pas de solution, donc 1 n’a pas d’antécédent par f.

85 1. 5 − 5 = 0. Or la division par 0 est impossible, donc 5 n’a pas d’image par la fonction g.

2. • g (−3) = 78

− • g (0) = 15

− • g (4) = 7.

3. On résout l’équation g (x) = −1, soit : x

x1 2

5−−

= −1,

ou encore : 1 − 2x = −x + 5, dont la solution est −4.L’équation g (x) = −1 a une seule solution égale à −4, donc −4 est le seul antécédent de −1 par g.

4. On résout l’équation g (x) = −2, soit : x

x1 2

5−−

= −2,

ou encore : 1 − 2x = −2x + 10.Cette équation n’a pas de solution, donc −2 n’a pas d’antécédent par g.

86 1. h (−2) = 20, donc : a × (−2)2 − 16 = 20, soit : 4a = 36 d’où : a = 9.On a donc : h (x) = 9x2 − 16.2. h (0) = −16, donc le point d’intersection de � avec l’axe des ordonnées a pour coordonnées (0 ; −16).3. a. L’équation h (x) = 0 se ramène à 9x2 − 16 = 0, soit (3x + 4)(3x − 4) = 0, dont les solutions sont

les nombres 43

− et 43

.

Donc les solutions de l’équation h (x) = 0 sont

les nombres 43

− et 43.

b. Les points d’intersection de � avec l’axe des abscisses ont donc pour coordonnées :

43

; 0−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ et

43

; 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.

87 1. On obtient respectivement les images suivantes : −9 ; 7 ; 27 et 0.2. a. h (x) = [2(x + 2) + 3][2(x + 2) − 3] = (2x + 7)(2x + 1).Les solutions de l’équation (2x + 7)(2x + 1) = 0 sont

les nombres 72

− et 12

− .

b. h (x) = −5 4(x + 2)2 − 9 = −5 4(x + 2)2 − 4 = 0 (x + 2)2 − 1 = 0.[(x + 2) + 1][(x + 2) − 1] = 0(x + 3)(x + 1) = 0.Les solutions de l’équation (x + 3)(x + 1) = 0 sont les nombres −3 et −1.3. On déduit de ce qui précède que les antécédents

de 0 sont les nombres 72

− et 12

− , et les antécédents

de −5 sont les nombres −3 et −1.

88 1. a. Les deux courbes se coupent aux points de coordonnées (−1 ; 3) et (1 ; 3), donc l’égalité f (x) = g (x) est réalisée lorsque : x = −1 et lorsque : x = 1.

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2.

Chapitre 6 Notion de fonction 75

91 1. F = f(L) = 12L

108,10,72 10 3× −

.

2. a. • f (0,92) ≈ 210,6 Hz • f (0,72) ≈ 269,1 Hz• f (0,52) ≈ 372,6 Hz • f (0,32) ≈ 605,4 Hzb. Une corde de harpe de longueur 92 cm vibre avec une fréquence de 210,6 Hz.Une corde de harpe de longueur 72 cm vibre avec une fréquence de 269,1 Hz.Une corde de harpe de longueur 52 cm vibre avec une fréquence de 372,6 Hz.Une corde de harpe de longueur 32 cm vibre avec une fréquence de 605,4 Hz.

92 1. F = g (T) = 1

2 0,941T

7,5 10 3× × −

11,882

T7,5 10 3

=× −

.

2. a. • g (710) ≈ 163,5 Hz • g (730) ≈ 165,8 Hz• g (750) ≈ 168,0 Hz • g (770) ≈ 170,3 Hz• g (790) ≈ 172,5 Hz.b. Une corde mi2 de piano dont la tension est 710 N vibre avec une fréquence de 163,5 Hz.Une corde mi2 de piano dont la tension est 730 N vibre avec une fréquence de 165,8 Hz.Une corde mi2 de piano dont la tension est 750 N vibre avec une fréquence de 168,0 Hz.Une corde mi2 de piano dont la tension est 770 N vibre avec une fréquence de 170,3 Hz.Une corde mi2 de piano dont la tension est 790 N vibre avec une fréquence de 172,5 Hz.

3. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 22)

162

174

170

166

Fréquence (en Hz)

710 8007800

Tension (en N)

4. Par lecture graphique :a. La tension pour laquelle on obtient la fréquence du mi2 égale à 164,8 Hz est 721 N environ.b. la fréquence correspondant à une tension de 780 N est 171 Hz environ.

93 1. Pour le boyau, F ≈ 82,4 Hz.Pour le nylon, F ≈ 75 Hz. Pour l’acier, F ≈ 29,1 Hz.

2. a. On obtient Tμ

= 4L2F2, d’où T = 4 μL2F2.

Avec L = 0,64 m, on a : T = 1,638 4 μF2.b. Avec F = 82,4 Hz, on a : Pour le boyau, T ≈ 10,7 N.Pour le nylon, T ≈ 12,9 N.Pour l’acier, T ≈ 85,5 N.

Atelier découverteb. f (x) = g (x)2x2 + 1 = −2x2 + 54x2 − 4 = 0x2 − 1 = 0.(x + 1)(x − 1) = 0.Donc les solutions de l’équation f (x) = g (x) sont les nombres −1 et 1.On vérifie ainsi la lecture graphique de la question 1a.2. a. Par lecture graphique, f (x) � g (x) lorsquela courbe � est en dessous de �’, c’est-à-dire pour :−1 � x � 1.b. Par lecture graphique, f (x) � g (x) lorsque la courbe � est au-dessus de �’, c’est-à-dire pour :x � −1 et pour : x � 1.

89 1. Vrai. En effet, l’équation x3 − x = 0 s’écrit x(x2 − 1) = 0, soit x(x + 1)(x − 1) = 0, dont les solutions sont les nombres 0, −1 et 1.2. Faux. En effet : h (7) = 7 − 7 = 0.3. Faux. En effet, l’équation g (x) = 3 s’écrit x2 + 3 = 3, ou encore x2 = 0.L’équation g (x) = 3 a donc une solution :le nombre 0.Par conséquent, 3 a un antécédent par la fonction g, égal à 0.

90 1. a. Le coureur a parcouru 2 km pendant les 10 premières minutes, puis 1 km pendantles 10 minutes suivantes, donc la vitesse du sportif n’a pas été constante durant toute sa course.b. Le coureur s’est arrêté pendant 5 minutes (entre la 20e et la 25e minute).2. a. d (5) = 1.b. L’antécédent de 6 est 35.c. • d (5) = 1, ce qui signifie que le coureur a parcouru 1 km pendant les 5 premières minutes.• L’antécédent de 6 est 35, ce qui signifie que le coureur a parcouru 6 km en 35 min.3. Le coureur a ralenti après 10 minutes de course, pendant 10 minutes, sur 1 km. On peut penser qu’il a gravi une côte à ce moment-là.4. Durant les 10 dernières minutes, le coureur a parcouru 3 km (il avait parcouru 2 km les 10 premières minutes et 1 km les 10 suivantes). Il a couru plus rapidement que précédemment ; on peut donc penser que ces 10 minutes de course se sont effectuées en descente.5. a. À la fin du parcours, le coureur a parcouru 3 km en 10 minutes, ce qui correspond à une vitesse moyenne de 18 km ⋅ h−1.b. Le coureur a parcouru 6 km en 35 min,

soit en 3560

h.

v = 63560

dt

= , soit v ≈ 10,3 km ⋅ h−1.

Argumenter et débattre

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2.