EXERCICES SUR LES FONCTIONS AFFINES

Exercice 1 :1) Qu’est-ce qu’une fonction affine ?2) Citer toutes les fonctions qui sont des fonctions affines parmi :

f : x 7→ −5x+ 6 g : x 7→√

3x+ 4 h : x 7→ 23x+ 7 i : x 7→ 2

x+ 1j : x 7→

√3x − 7 k : x 7→ 3x2 + 0.5 l : x 7→ 3x

Exercice 2 :1) Qu’obtient-on quand on représente graphiquement une fonction affine ?2) Citer les droites qui représentent des fonctions affines :

Exercice 3 :1) On considère la fonction affine f : x 7→ 5x+ 7.

Sans faire aucun calcul, d’après le cours, que valent les taux d’accroissementsf (10)− f (3)

10− 3,f (1000)− f (1)

1000− 1,

f (−20)− f (15)−20− 15

,f (π)− f (1)π − 1

?

2) Un élève propose pour taux d’accroissementf (9)− f (4)

4− 9. Pourquoi a-t-il faux ? Donner le bon taux d’accroisse-

ment.

3) Un élève propose pour taux d’accroissementf (9)− f (−1)

9− 1. Pourquoi a-t-il faux ? Donner le bon taux d’accrois-

sement.4) De manière générale, on a une fonction affine f : x 7→ ax+ b.Que valent tous les taux d’accroissement ?

Exercice 4 :Trouver l’expression de la fonction affine f telle que f (3) = 10 et f (5) = 14.

1

Exercice 5 :1) Pourquoi toutes ces droites représentent-elles des fonctions affines ?2) Pour chaque droite, trouver l’expression de la fonction affine associée en suivant la méthode suivante :. D’abord, je pose f : x 7→ ax+ b (ou g : x 7→ ax+ b ou h : x 7→ ax+ b ) .

. Ensuite, je lis graphiquement deux images. Puis, je trouve le a grâce à a =f (x2)− f (x1)x2 − x1

(ou a =g(x2)− g(x1)x2 − x1

ou

a =h(x2)− h(x1)x2 − x1

).

. Enfin, je trouve l’expression de la fonction f ( ou g ou h) à l’aide de la formule f (x) = a(x − x0) + f (x0) (oug(x) = a(x − x0) + g(x0) ou h(x) = a(x − x0) + h(x0) ) .

Exercice 6 :Dans un repère, la droite (AB) avec A(2;−5) et B(10;−29) représente une fonction affine. Trouver son expression.(aide : 1) commencer par montrer qu’une équation cartésienne de la droite (AB) est (AB) : −3x − y + 1 = 0.2) exprimer y en fonction de x. Aboutir à une écriture du type y = ....)

Exercice 7 :Représenter graphiquement la fonction affine f : x 7→ −2x+ 3 dans le repère ci-dessous.

2

CORRECTIONExercice 1 :1) Une fonction affine f est une fonction du type f : x 7→ ax+ b.2) f est une fonction affine avec a = −5 et b = +6.h est une fonction affine avec a =

23

et b = +7.

j est une fonction affine avec a =√

3 et b = −7.l est une fonction affine avec a = 3 et b = 0. C’est d’ailleurs un cas particulier des fonctions affines : les fonctionslinéaires. l est plus précisément une fonction linéaire (mais elle reste une fonction affine. Mais affine est moinsprécis que linéaire dans son cas)

Exercice 2 :1) On obtient une droite non parallèle à l’axe des ordonnées, une droite non verticale.2) Toutes les droites non verticales représentent des fonctions affines : d1, d2, d3. Pour d4 et d5, c’est non ! Ellessont verticales (parallèles à l’axe des ordonnées).

Exercice 3 :

1) D’après le cours, a =f (x2)− f (x1)x2 − x1

où x1 et x2 sont quelconques et distincts. Donc tous ces taux

d’accroissements valent a = 5.f (10)− f (3)

10− 3=f (1000)− f (1)

1000− 1=f (−20)− f (15)−20− 15

=f (π)− f (1)π − 1

= a = 5.

2) Il a faux parce qu’il n’a pas respecté l’ordre ! ! ! En haut, il commence par 9, alors qu’en bas, il fait le contraire !

Il n’a pas le droit ! Il y a deux choix possibles : choix 1 :f (9)− f (4)

9− 4et choix 2 :

f (4)− f (9)4− 9

.

3) Il a faux, car il a oublié un signe − en bas. Le bon taux d’accroissement estf (9)− f (−1)

9− (−1).

4) Tous les taux d’accroissement valent a.

Exercice 4 :f est une fonction affine, donc elle est du type f : x 7→ ax+ b.

a =f (x2)− f (x1)x2 − x1

, avec ici x2 = 5 et x1 = 3.

a =f (5)− f (3)

5− 3=

14− 102

=42

= 2.

f (x) = a(x − x0) + f (x0), avec ici x0 = 3.f (x) = 2(x − 3) + f (3) = 2(x − 3) + 10 = 2x − 6 + 10 = 2x+ 4.Donc c’est la fonction affine f : x 7→ 2x+ 4.

Exercice 5 :1) Toutes ces droites représentent des fonctions affines, car ce sont toutes des droites non verticales, nonparallèles à l’axe des ordonnées.2) La droite d1 représente la fonction affine f : x 7→ ax+ b.Graphiquement, on lit que f (0) = 2 et f (1) = −1.

a =f (x2)− f (x1)x2 − x1

, avec ici x2 = 1 et x1 = 0.

a =f (1)− f (0)

1− 0=−1− 2

1=−31

= −3.f (x) = a(x − x0) + f (x0), avec ici x0 = 0.f (x) = −3(x − 0) + f (0) = −3x+ 2.Donc c’est la fonction affine f : x 7→ −3x+ 2.

La droite d2 représente la fonction affine g : x 7→ ax+ b.Graphiquement, on lit que g(0) = −5 et g(3) = 1.

a =g(x2)− g(x1)x2 − x1

, avec ici x2 = 3 et x1 = 0.

a =g(3)− g(0)

3− 0=

1− (−5)3

=63

= 2.

g(x) = a(x − x0) + g(x0), avec ici x0 = 0.g(x) = 2(x − 0) + g(0) = 2x − 5.Donc c’est la fonction affine g :7→ 2x − 5.

La droite d3 représente la fonction affine h : x 7→ ax+ b.Graphiquement, on lit que h(0) = 1 et g(7) = −1.

3

a =h(x2)− h(x1)x2 − x1

, avec ici x2 = 7 et x1 = 0.

a =h(7)− h(0)

7− 0=−1− 1

7=−27

.

h(x) = a(x − x0) + h(x0), avec ici x0 = 0.h(x) =

−27

(x − 0) + h(0) = −27x+ 1.

Donc c’est la fonction affine h : x 7→ −27x+ 1.

Exercice 6 :Cherchons une équation cartésienne de la droite (AB).

M(x;y) ∈ (AB) équivaut à−−−→AM

(xM − xAyM − yA

)et−−→AB

(xB − xAyB − yA

)sont colinéaires équivaut à

∣∣∣∣∣x − 2 8y + 5 −24∣∣∣∣∣ = 0 équivaut à

−24(x − 2)− 8(y + 5) = 0 équivaut à −24x+ 48− 8y − 40 = 0 équivaut à −24x − 8y + 8 = 0 équivaut à −3x − y + 1 = 0(en divisant par 8 partout).−3x − y + 1 = 0 équivaut à y = −3x+ 1 (j’ai fait passer le −y à droite).Donc la droite (AB) représente la fonction affine f : x 7→ −3x+ 1.Commentaires de monsieur MEBIROUK : j’utilise ici l’aller-retour Analyse-Géométrie. Analyse* : lafonction f : x 7→ −3x+ 1 et Géométrie : la droite d’équation y = −3x+ 1. De manière générale : Analyse : lafonction f : x 7→ ax+ b et Géométrie : la droite d’équation y = ax+ b.Pour faire court, l’Analyse* est la branche des mathématiques qui s’occupe des fonctions. En réalité, c’estbien plus que ça. L’Analyse est la branche des maths qui s’occupe de l’infiniment petit, de l’infinimentproche et de l’infiniment grand. Dès qu’on a une fonction, on s’intéresse à comment elle se comporte quandx est très très grand par exemple ou bien quand x est très très petit. C’est une branche passionnante desmathématiques qu’on étudie vraiment dans le Supérieur.

Exercice 7 :On sait que la représentation graphique d’une fonction affine est une droite non parallèle à l’axe des ordonnées.Soit d cette droite. Calculons deux de ses points (habituellement, les élèves prennent 0 et 1) :f (0) = −2× 0 + 3 = 3. Donc (0;3) ∈ d.f (1) = −2× 1 + 3 = 1. Donc (1;1) ∈ d.

Commentaires de monsieur MEBIROUK : souvent les élèves oublient de noter l’équation de la droite quandils représentent une fonction affine. Cela prend 2 secondes ! Par exemple, si vous représentezf : x 7→ 10x − 11, sur le graphique , à côté de la droite, vous écrivez y = 10x − 11. Je vais répondre à plusieursquestions qu’on m’a souvent posées les années précédentes :Question 1 : « Mais monsieur, une équation de droite, ça commence toujours par y = ? » Dans le cas desfonctions affines, oui ! ! Mais sinon, on a vu dans le chapitre précédent, de manière bien plus générale,qu’une droite a une équation du type ax+ by + c = 0 avec a , 0 ou b , 0. Alors, j’imagine déjà certains parmivous se dire « Attendez monsieur, d’un côté, vous nous dites qu’une droite a pour équation un truc du genrey = ax+ b, puis de l’autre, vous nous parlez du chapitre précédent où l’on trouvait des équations du typeax+ by + c = 0. Je suis perdu, là » Pas de panique ! Une droite a toujours une équation du type ax+ by + c = 0

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avec ~u(−ba

)pour vecteur directeur. C’est simplement que dans ce nouveau chapitre sur les fonctions affines,

ON S’INTÉRESSE AUX DROITES NON VERTICALES ( « fonctions affines = droites non verticales » ). Or,

comme ici, nos droites sont non verticales, le vecteur ~u(−ba

)qui les dirige n’est jamais vertical ! Donc la

composante du haut (−b) ne vaut jamais zéro ! ! Réfléchissez un peu à un vecteur vertical. Il ne donneAUCUN MOUVEMENT HORIZONTAL, MAIS JUSTE UN MOUVEMENT VERTICAL. Donc un vecteur

vertical a des coordonnées du type(

0un nombre

). Donc dans le cas des fonctions affines, b n’est jamais nul

dans ax+ by + c = 0. Je reprends notre ax+ by + c = 0 et j’isole y.ax+ by + c = 0 équivaut à by = −ax − c équivaut à y = −ax − c

b=−abx − c

b= Ax+B avec A =

−ab

et B =−cb

. Toutceci est VALIDE PARCE QUE J’AI LE DROIT DE DIVISER PAR b qui est non nul. Donc, ce chapitre est uncas particulier du précédent. Donc pour conclure cette question, si jamais un élève me demandait« Monsieur, ici, je peux dire que la droite a une équation du type y = ax+ b ? », je lui répondrais « Toutdépend. Votre droite est-elle verticale ou non ? » Ainsi, un élève qui décrète qu’une droite a une équation dutype ax+ by + c = 0 avec a , 0 ou b , 0 a TOUJOURS RAISON. Mais celui qui décrète qu’une droite a uneéquation du type y = ax+ b EXCLUT D’OFFICE LES DROITES VERTICALES. y = ax+ b est réservé auxdroites non parallèles à l’axe des ordonnées, les non verticales.

Ah ! dernière précision ! ! Le fameux ~u(−ba

)N’EST VALABLE QUE POUR LES ÉQUATIONS

CARTÉSIENNES ! ! Les équations du type ax+ by + c = 0. N’allez pas faire n’importe quoi en l’appliquantdans le cours sur les fonctions affines. Tant que vous n’avez pas une écriture du type ax+ by + c = 0, vous nesavez pas trouver un vecteur directeur. Si je vous donne y = 5x − 7 et que je vous demande un vecteurdirecteur, alors ce sera un retour au chapitre précédent. Transformation en équation cartésienne : y = 5x − 7

équivaut à 5x − y − 7 = 0. Là, on peut ! ! ! ! (a = 5 et b = −1). ~u(−ba

)= ~u

(15

). Ainsi, un élève qui me dirait « Ah !

mais du coup ! Le a et le b dans ax+ by + c = 0 n’ont absolument rien à voir avec le a et le b dans y = ax+ b,alors ! Mais pourquoi on utilise-t-on les mêmes lettres, alors ? N’est-ce pas un peu dangereux ? » Cet élèveaurait tout compris ! ! ! ! Il est vrai que pour les fonctions affines, on devrait changer de lettres, mais l’usageest de les appeler x 7→ ax+ b. Dans le prochain chapitre, vous verrez que je changerai les lettres. Ontravaillera avec du y =mx+ p. Mais généralement, les élèves ne font pas la confusion.Question 2 : « Mais à quoi cela sert-il de mettre les équations de droites sur un graphique ? Y a-t-il unintérêt ? Oui ! ! ! ! C’est pour faire le lien direct entre la fonction affine et la droite. Le lien direct entrel’Analyse et la Géométrie. Imaginez la chose deux secondes : la perte d’information si vous ne notez pasl’équation de la droite ! ! ! ! Je vous donne la fonction f : x 7→ −4x+ 13, vous la représentez graphiquement.Vous construisez une droite et c’est tout. Vous comprenez qu’on passe de quelque chose de très précis : LAFONCTION AFFINE x 7→ −4x+ 13 à... une simple droite. Où est passée l’information −4x+ 13 ? ? ? Voilàpourquoi on note les équations des droites. »

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