FONCTIONS AFFINES

Étude du ressort hélicoïdal

Voici quelques photos prises à l’atelier…

TRACTION D ’UN RESSORT

Masse M (en g)

0 50 100 150 200

Allongement A (en cm)

0 3 6 9 12

A

Activité 1Activité 1

On mesure l’allongement d’un ressort après avoir accroché des masses différentes.

Les mesures obtenues sont reportées dans le tableau suivant :

• 1) L’allongement est-il proportionnel à la masse accrochée ?

• 3 / 50 = 6 / 100 = 9 / 150 = 12 / 200

donc l’allongement est proportionnel à la masse

Masse M (en g) 0 50 100 150 200

Allongement A (en cm) 0 3 6 9 12

• 2) Déterminer le coefficient de proportionnalité (multiplicateur) permettant de passer de la masse M à l’allongement A

• 12 / 200 = 0,06

Masse M (en g) 0 50 100 150 200

Allongement A (en cm) 0 3 6 9 12

• 3)Placer les points de coordonnées ( M ; L ), dans le repère ci-dessous :

Masse M (en g) 0 50 100 150 200

Allongement A (en cm) 0 3 6 9 12

allongement A

0 20

2

masse M

4) Quel type de représentation graphique a-t-on obtenu?

allongement A

0 20

2

masse M

On obtient une droite passant par l’origine du repère.

• 5) Exprimer l’allongement A en fonction de la masse : M, c’est à dire écrire la formule permettant de calculer A à partir de M ?

• A = 0,06 x M

RAPPEL :

• L’allongement est donc une fonction linéaire de la masse :

• A(M) = 0,06 x M• C’est une fonction du type f(x) = ax

• La représentation graphique est une droite passant par O : y = ax

Activité 2Activité 2

On réalise la même manipulation que celle de l’activité 1 mais la mesure correspond à la longueur totale du ressort

Les mesures obtenues sont reportées dans le tableau suivant :

Masse M (en g)

0 50 100 150 200

Longueur L (en cm)

9 12 15 18 21

L

• 1) La longueur est-elle proportionnelle à la masse accrochée ?

• 50 / 12 100 / 15donc la longueur n’est pas proportionnelle à la masse

Masse M (en g) 0 50 100 150 200

Longueur L (en cm) 9 12 15 18 21

Masse M (en g) 0 50 100 150 200

Longueur L (en cm) 9 12 15 18 21

• 2) Placer les points de coordonnées ( M ; L ) dans le repère ci-dessous:

longueurL

0 20

2

masse M

3) Quel type de représentation graphique a-t-on obtenu ?• On obtient une droite qui ne passe pas par l’origine du

repère

longueur L

0 20

2

masse M

Activité 3Activité 3

• 1) Compléter le tableau ci-dessous à l’aide des résultats des activités 1 et 2.

Masse M

(en g)0 50 100 150 200

Allongement A (en cm)

Longueur L (en cm)

Activité 3Activité 3

• 1) Compléter le tableau ci-dessous à l’aide des résultats des activités 1 et 2.

Masse M

(en g)0 50 100 150 200

Allongement A (en cm)

0 3 6 9 12

Longueur L (en cm)

9 12 15 18 21

• 2) Trouvez l’opération pour passer de la ligne 1 (la masse M) à la ligne 2 (l’allongement A)

Masse M

(en g)0 50 100 150 200

Allongement A (en cm)

0 3 6 9 12

Longueur L (en cm)

9 12 15 18 21

?

• 2) Trouvez l’opération pour passer de la ligne 1 (la masse M) à la ligne 2 (l’allongement A)

• A= 0,06 x M

Masse M

(en g)0 50 100 150 200

Allongement A (en cm)

0 3 6 9 12

Longueur L (en cm)

9 12 15 18 21

x 0,06

• 3) Trouvez l’opération pour passer de la ligne 2 (l’allongement A) à la ligne 3 (la longueur L).

Masse M

(en g)0 50 100 150 200

Allongement A (en cm)

0 3 6 9 12

Longueur L (en cm)

9 12 15 18 21

x 0,06

?

• 3) Trouvez l’opération pour passer de la ligne 2 (l’allongement A) à la ligne 3 (la longueur L).

• L=A+9

Masse M

(en g)0 50 100 150 200

Allongement A

(en cm)0 3 6 9 12

Longueur L

(en cm)9 12 15 18 21

x 0,06

+9

• 4) Trouvez les opérations pour passer de la ligne 1 (la masse M) directement à la ligne 3 (la longueur L).

Masse M

(en g)0 50 100 150 200

Allongement A

(en cm)0 3 6 9 12

Longueur L

(en cm)9 12 15 18 21

x 0,06

+9

• 4) Trouvez les opérations pour passer de la ligne 1 (la masse M) directement à la ligne 3 (la longueur L).

• L = 0,06 x M + 9

Masse M

(en g)0 50 100 150 200

Allongement A

(en cm)0 3 6 9 12

Longueur L

(en cm)9 12 15 18 21

x 0,06

+9

L = 0,06 x M + 9

• Définir une fonction affine, c’est associer à chaque nombre x, le

nombre ax + b

• On dit que f(x) = ax + b est l’image de x

• Construire les deux droites, réalisées dans les activités 1 et 2, dans le repère ci-dessous :

• On appelle (D1) la droite correspondant à l’activité 1 et (D2) la droite correspondant à l’activité 2

Mesure (en cm)

0 20

2

masse (en kg)

• Construire les deux droites, réalisées dans les activités 1 et 2, dans le repère ci-dessous :

• On appelle (D1) la droite correspondant à l’activité 1 et (D2) la droite correspondant à l’activité 2

Mesure (en cm)

(D2)

(D1)

0 20

2

masse (en kg)

• 6) Que peut-on dire des droites (D1) et (D2) ?

• (D1) et (D2) sont parallèlesMesure (en cm)

(D2)

(D1)

0 20

2

masse (en kg)

• 7) Peut-on retrouver le nombre 9 sur le graphique ?

• Oui, à l’intersection de (D2) et de l’axe des ordonnées

Mesure (en cm)

(D2)

(D1)

0 20

2

masse (en kg)

• 8) Compléter les expressions des équations des deux droites (D1) et (D2) et repérer le point commun

• y1= 0,06 x y2 = 0,06 x + 9Mesure (en cm)

(D2)

(D1)

0 20

2

masse (en kg)

EN RESUME

• Fonction linéaire:• Toute situation de proportionnalité peut être traduite par une

fonction linéaire.• La fonction linéaire est une fonction du type f(x) =a x

• Sa représentation graphique est une droite qui passe par l ’origine

d’équation y=a x. Le nombre a est le coefficient directeur de la

droite.

RESUME

• Fonction affine:• La fonction affine est une fonction du type f(x) = a x +b • Sa représentation graphique est une droite qui ne passe pas par

l ’origine, d’équation y = a x + b.• Le nombre a est le coefficient directeur de la droite.• Le nombre b est appelé l ’ordonné à l ’origine, il est déterminé par

l ’intersection de la droite et l ’axe des ordonnées.

b

b