Fonction partie entière

Résoudre l’équation

Remarque : Tu devrais visionner la présentation:

« Fonction partie entière, graphique et règle.ppt »

avant de visionner celle-ci.

Rappel

On peut déterminer une valeur de f(x) en donnant une valeur à x.

On pourrait dire qu’il s’agit d’effectuer un simple calcul.

Exemple: Dans le graphique ci-dessous, que vaut f(x) quand x vaut 2 500 ?

Montant desventes ($)

Primes ($)

1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000

Primes reçues en fonction

des ventes effectuées.

50

100

150

200

250

f(x) = 50 [ 0,001 x ]

0

0

Montant desventes ($)

Primes ($)

1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000

Primes reçues en fonction

des ventes effectuées.

50

100

150

200

250

À la lecture du graphique, on peut constater que lorsque x = 2 500, f(x) = 100

f(x) = 50 [ 0,001 x ]

0

0

On peut calculer cette valeur en utilisant la règle.

f(x) = 50 [ 0,001 x ]

f(2 500) = 50 [ 0,001 X 2 500 ]

f(2 500) = 50 [ 2,5 ]

f(2 500) = 50 X 2

f(2 500) = 100

la partie entière seulement

Au contraire, retrouver les valeurs de x quand on connaît une valeur de f(x), c’est

résoudre l’équation.

Il s’agit donc, ici, d’effectuer un simple calcul.

Exemple :

On peut constater que lorsque f(x) = 200, x est compris entre [ 4 000 , 5000 [

donc x [ 4 000 , 5000 [ .

Dans le graphique ci-dessous, que vaut x quand f(x) vaut 200 ?

Montant desventes ($)

Primes ($)

1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000

Primes reçues en fonction

des ventes effectuées.

50

100

150

200

250

f(x) = 50 [ 0,001 x ]

0

0

On peut calculer cette valeur en utilisant la règle.

f(x) = 50 [ 0,001 x ]

200 = 50 [ 0,001 x ]

Retrouver les valeurs de x quand on connaît une valeur de f(x), c’est résoudre l’équation.

50 50

4 = [ 0,001 x ]

4 ≤ 0,001 x < 5

0,0010,001 0,001

4 000 ≤ x < 5 000

Regardons de plus près comment résoudre ce type d’équation.

Résoudre l’équation.

200 = 50 [ 0,001 x ]50 50

4 = [ 0,001 x ]

1) Il faut isoler, en premier, l’expression « partie entière » ( entre les crochets ).

2) L’expression « partie entière » ( entre les crochets ) doit être supérieure ou égale à l’entier inférieur, ici 4

200 = 50 [ 0,001 x ]

donc 4 ≤ 0,001 x 0,001 x < 5et

3) On obtient ainsi deux inéquations à résoudre:

4 ≤ 0,001 x

4 000 ≤ x

0,001 x < 5

x < 5 000

et inférieure à l’entier supérieur, donc 5.

Résoudre l’équation. 200 = 50 [ 0,001 x ]

4) En représentant ces deux inéquations sur une droite numérique:

4 000 ≤ x

x < 5 000et

4 000 5 000… …

4 000 5 000… …

on sélectionne ce qui est commun aux deux inéquations ( l’intersection ).

Réponse: [ 4 000 , 5 000 [

Remarque:

4 000 5 000… …

4 000 5 000… …

Comme l’ensemble-solution est l’intersection de ces deux inéquations, on peut, pour résoudre cette équation, procéder comme suit:

4 ≤ 0,001 x 0,001 x < 5 4 ≤ 0,001 x < 5

0,001 0,0010,001

4 000 ≤ x < 5 000

soit x [ 4 000 , 5 000 [

Pratique

Résous l’équation suivante: 425 = - 25 [ x ] + 500

1) Il faut isoler, en premier, l’expression « partie entière » ( entre les crochets ).

425 = - 25 [ x ] + 500

- 500- 500

- 75 = -25 [ x ]

-25-25

3 = [ x ]

2) L’expression « partie entière » ( entre les crochets ) doit être supérieure ou égale à l’entier inférieur, ici 3 et inférieure à l’entier supérieur, donc 4.

donc 3 ≤ x < 4

ou x [ 3 , 4 [

- 3 = - 2 [ x ] + 1

1) Il faut isoler, en premier, l’expression « partie entière » ( entre les crochets ).

-3 = - 2 [ x ] + 1

- 1- 1

- 4 = - 2 [ x ]

2 = [ x ]

2) L’expression « partie entière » ( entre les crochets ) doit être supérieure ou égale à l’entier inférieur, ici 2 et inférieure à l’entier supérieur, donc 3.

donc 2 ≤ x < 3

ou

- 2 - 2

Résous l’équation suivante:

x [ 2 , 3 [

1) Il faut isoler, en premier, l’expression « partie entière » ( entre les crochets ).

2) L’expression « partie entière » ( entre les crochets ) doit être supérieure ou égale à l’entier inférieur, ici 1 et inférieure à l’entier supérieur, donc 2.

donc 1 ≤ 2x – 4 < 2

Résous l’équation suivante: 3 = 3 [ 2 ( x – 2 ) ]

Attention : Avant de commencer la résolution, il faut penser à distribuer le facteur b à l’intérieur de la parenthèse.

3 = 3 [ 2x – 4 ]

3 = 3 [ 2x – 4 ] 3 3

1 = [ 2x – 4 ]

Attention : Il faut finir d’isoler x. + 4 + 4+ 4

5 ≤ 2x < 6

2 22

2,5 ≤ x < 3 ou x [ 2,5 , 3 [

1) Il faut isoler, en premier, l’expression « partie entière » ( entre les crochets ).

2) L’expression « partie entière » ( entre les crochets ) doit être supérieure à l’entier inférieur, ici -2 et inférieure ou égale à l’entier supérieur, donc -1.

donc -2 ≤ -0,5x – 0,5 < -1

Résous l’équation suivante:

+ 0,5

- 5 = 2 [ - 0,5 ( x + 1 ) ] - 1

- 5 = 2 [ - 0,5x – 0,5 ] - 1

- 4 = 2 [ - 0,5x – 0,5 ]

- 2 = [ - 0,5x – 0,5 ]

+ 0,5+ 0,5

-1,5 ≤ -0,5x < - 0,5

-0,5 -0,5-0,5

3 ≥ x > 1

1 < x ≤ 3

Attention

Diviser par une quantité négative inverse les signes d’inégalités.

ou x ] 1 , 3 ]

1) Il faut isoler, en premier, l’expression « partie entière » ( entre les crochets ).

2) L’expression « partie entière » ( entre les crochets ) doit être supérieure à l’entier inférieur, ici 4 et inférieure ou égale à l’entier supérieur, donc 5.

donc 4 ≤ 2x + 4 < 5

Résous l’équation suivante:

- 4

4,5 = [ 2 ( x + 2 ) ] + 0,5

4,5 = [ 2x + 4 ] + 0,5

4 = [ 2x + 4 ]

- 4- 4

0 ≤ 2x < 1

2 22

0 ≤ x < 0,5

ou x [ 0 ; 0,5 [

1) Il faut isoler, en premier, l’expression « partie entière » ( entre les crochets ).

2) L’expression « partie entière » ( entre les crochets ) doit être supérieure à l’entier inférieur, ici 2 et inférieure ou égale à l’entier supérieur, donc 3.

Résous l’équation suivante: 2 = 2 [ 1/3 ( x – 1 ) ] -2

2 = 2 [ 1/3x – 1/3 ] -2

4 = 2 [ 1/3x – 1/3 ]

2 = [ 1/3x – 1/3 ]

2 ≤ 1/3x – 1/3 < 3

Écrire l’inéquation sur le même dénominateur,

6 ≤ 1x – 1 < 93 3 3 3

6 ≤ 1x – 1 < 9

+ 1 + 1+ 1

7 ≤ x < 10 ou x [ 7 , 10 [

puis éliminer le dénominateur.

Pour déterminer les valeurs associées à une équation partie entière, on peut toujours utiliser le graphique mais ce dernier n’est pas toujours le meilleur moyen.

Procéder algébriquement en utilisant la règle de la fonction est souvent plus efficace.

Exemple:

Que vaut f(x) quand x vaut 3 500 ?

f(x) = 150

Montant desventes ($)

Primes ($)

1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000

Primes reçues en fonction

des ventes effectuées.

50

100

150

200

250f(x) = 50 [ 0,001 x ]

0

0

Par le graphique

Par la règle

f(x) = 50 [ 0,001 x ]

f(3 500) = 50 [ 0,001 X 3 500 ]

f(3 500) = 50 [ 3,5 ]

f(3 500) = 50 X 3 = 150

f(3 500) = 150

Exemple:

Que vaut x quandf(x) vaut 250 ?

x est compris entre [ 5 000 , 6 000 [

Montant desventes ($)

Primes ($)

1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000

Primes reçues en fonction

des ventes effectuées.

50

100

150

200

250f(x) = 50 [ 0,001 x ]

0

0

Par le graphique

Par la règle

f(x) = 50 [ 0,001 x ]

250 = 50 [ 0,001 x ]5050

5 = [ 0,001 x ]

5 ≤ 0,001 x < 60,001 0,0010,001

5 000 ≤ x < 6 000 x [ 5 000 , 6 000 [ $

Exemple:

Que vaut f(x) quand x vaut 15 600 ?

Que vaut x quand f(x) vaut 900 ?

Montant desventes ($)

Primes ($)

1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000

Primes reçues en fonction

des ventes effectuées.

50

100

150

200

250f(x) = 50 [ 0,001 x ]

0

0

La règle permet de calculer d’autres valeurs qui ne sont pas représentées par le graphique.

f(x) = 50 [ 0,001 x ]

f(15 600) = 50 [ 0,001 X 15 600 ]

750 $

Que vaut f(x) quand x vaut 15 600 ?

Que vaut x quand f(x) vaut 900 ?

900 = 50 [ 0,001 x ]

18 = [ 0,001 x ]

18 ≤ 0,001 x < 19

18 000 ≤ x < 19 000

x est compris entre [ 18 000 , 19 000 [ $

f(15 600) = 50 [ 15,6 ]

f(15 600) = 50 X 15 =

x [ 18 000 , 19 000 [ $

Problème

Dans la fonction suivante f(x) = 2 [ - 0,5 ( x + 1 ) ] – 1

Détermine l’ordonnée à l’origine.

f(x) = 2 [ - 0,5 ( x + 1 ) ] – 1

f(0) = 2 [ - 0,5 ( 0 + 1 ) ] – 1

f(0) = 2 [ - 0,5 ( 1 ) ] – 1

f(0) = 2 [ - 0,5 ] – 1

f(0) = 2 X -1 – 1

f(0) = -3

Problème

Dans la fonction suivante f(x) = 2 [ - 0,5 ( x + 1 ) ] + 4

Détermine les zéros.

f(x) = 2 [ - 0,5 ( x + 1 ) ] + 4

f(x) = 2 [ - 0,5x – 0,5 ] + 4

0 = 2 [ - 0,5x – 0,5 ] + 4

- 4 = 2 [ - 0,5x – 0,5 ]

- 2 = [ - 0,5x – 0,5 ]

- 2 ≤ - 0,5x – 0,5 < -1

- 1,5 ≤ - 0,5x < - 0,5

3 ≥ x > 1

1 < x ≤ 3 ou f(x) = 0 pour x ] 1 , 3 ]

Problème

A) Si 76 enfants sont inscrits au centre, combien d’animateurs doit-on engager ?

B) Si 8 animateurs sont en poste, combien d’enfants peuvent fréquenter le centre ?

Variable indépendante (x) : le nombre d’enfants

Variable dépendante (f(x)) : le nombre d’animateurs.

Écrivons la fonction dans l’ordre habituel:

x18

N(x) = + 2

Dans un centre de vacances, le nombre d’animateurs est déterminé par la

fonction N définie par N(x) = 2 + où x représente le nombre d’enfants

inscrits.

x18

x18

N(x) = + 2

7618

N(76) = + 2

A) Si 76 enfants sont inscrits au centre, combien d’animateurs doit-on engager ?

N(76) = [ 4, 2 ] + 2

N(76) = 4 + 2 = 6

Réponse: 6 animateurs

que la partie entière seulement.

x18

N(x) = + 2

B) Si 8 animateurs sont en poste, combien d’enfants peuvent fréquenter le centre ?

x18

8 = + 2

6 =x

18

6 ≤ x18

< 7

108 ≤ x < 126

Réponse: Il pourrait y avoir entre 108 et 125 enfants.

Remarque: Il faut savoir interpréter un calcul.

x [ 108 , 126 [