Continuité

Emilien Suquet Chapitre 2 : continuité

1) Introduction

2) Continuité

a) Définition

b) La fonction Partie Entière

c) Prolongement par continuité

d) Opérations sur les fonctions

e) Dérivabilité et continuité

3) Théorème des valeurs intermédiaires

1) Le théorème

2) Théorème de bijection

3) Approximation d’une solution d’une équation

I Introduction

Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

De manière heuristique , on dit qu’une fonction f est continue sur un intervalle I lorsque f est définie sur I et que sa courbe sur I peut se tracer « sans lever le crayon »

I Introduction

Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

On se rend bien compte avec la fonction f(x)=sin(1/x) que définir ainsi la continuité n’est pas satisfaisant sur l’intervalle ]0,1]

II Continuité

Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

Continuité en un point

On dit qu’une fonction f est continue en a (aIR) si les trois conditions

suivantes sont vérifiées :

f est définie en a

f(x) admet une limite quand x tend vers a

limxaf(x) = f(a)

Continuité sur un intervalle

Une fonction est continue sur un intervalle lorsqu’elle est continue en

tout point de cet intervalle.

a) Définitionb) Fonction partie entièrec) Prolongement par continuité

d) Fonctions usuelles et continuitée) Dérivabilitée et continuité

II Continuité

Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

Fonction partie entière

Pour tout réel x, il existe un unique entier n, noté E(x), tel que

n ≤ x < n + 1

On appelle fonction partie entière la fonction noté E qui au réel x de

l’intervalle [ n ; n+1[ associe l’entier E(x)=n

Cette fonction admet des discontinuité en tout entier car la limite à droite n’est pas égale à la limite à gauche en tout entier.

Soit f(x) = E(x2) – x définit sur [0;2].1) Tracer la courbe représentative de f.2) Quels sont les intervalles où f est continue ?

Soit f(x) = E(x2-3x+2) – E(x) avec x [0;2].1) Tracer la courbe représentative de f.2) Quels sont les intervalles où f est continue ?

E()= ?E(- )=?

a) Définitionb) Fonction partie entièrec) Prolongement par continuité

d) Fonctions usuelles et continuitée) Dérivabilitée et continuité

II Continuité

Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

a) Définitionb) Fonction partie entièrec) Prolongement par continuitéd) Fonctions usuelles et continuitée) Dérivabilitée et continuité

II Continuité

Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

Prouvez que la fonction f est continue sur IR

Théorème

Les fonctions polynômes, sinus, cosinus, racine carrée et les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition.

Si f et g sont deux fonctions continues sur I, alors f+g, fg et fn (n entier naturel non nul) sont continues sur I. De plus si g est non nulle sur I alors f/g est continue sur I.

Si f est continue sur I et que g est continue sur f(I) alors la fonction composée gof est continue sur I.

A

a) Définitionb) Fonction partie entièrec) Prolongement par continuité

d) Fonctions usuelles et continuitée) Dérivabilitée et continuité

II Théorème des valeurs intermédiaires

Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

Le théorème des valeurs intermédiaires n’est pas forcement vérifié si la fonction n’est pas continue. Exemple avec E(x)

Le réel c n’est pas forcement unique. Exemple avec sin(x)

Théorème des valeurs intermédiaires.

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un réel c compris entre a et b tel que : f(c)=k

A ou D

a) Le théorèmeb) Théorème de bijectionc) Approximation de la solution d’une éq.

II Théorème des valeurs intermédiaires

Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

Dans ce cas, on dit que f réalise une bijection de I=[a,b] vers J=[f(a),f(b)] (*) C’est-à-dire que tout élément de I a une unique image dans J par f et que tout élément de J a un unique antécédent dans I par f.D’ou le nom théorème de bijection.

(*) ou J=[f(b),f(a)]

Ce théorème est très utile pour prouver qu’une équation de la f(x) = 0 a une unique solution dans un intervalle bien choisi.

Montrer que l’équation suivante admet une unique solution dans [-2;3]

x7 + x3 + 3x = 2

Théorème de bijection ou de la valeur intermédiaire

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b] alors pour tout réel k ϵ [f(a), f(b)] il existe un unique réel c dans [a,b] tel que f(c)=k.

D

a) Le théorèmeb) Théorème de bijectionc) Approximation de la solution d’une éq.

II Théorème des valeurs intermédiaires

Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

Le théorème précédent peut être généraliser à toutes sortes d’intervalles.

Montrer que l’équation suivante admet une unique solution dans IR :

5x3 - x2 + 2x - 3 = 0.

On procède de même avec des intervalles du type [a,b[, ]- ∞,b[, …

Théorème de bijection dans intervalle ouvert

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle ]a;b[ alors pour tout réel k ϵ ]f(a), f(b)[ il existe un unique réel c dans ]a,b[ tel que f(c)=k.

A

Théorème de bijection dans intervalle ouvert

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a;

+∞[ alors pour tout réel k ϵ [f(a), limx→+∞f(x)[ il existe un unique réel c dans

[a,+ ∞[ tel que f(c)=k.

A

a) Le théorèmeb) Théorème de bijectionc) Approximation de la solution d’une éq.

II Théorème des valeurs intermédiaires

Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

Par soucis pratique, on conviendra, dans les tableaux de variations, que les flèches obliques traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré. Dans la rédaction de la solution à un problème, une simple référence au tableau de variations suffit pour justifier l’existence et l’unicité d’une solution d’une équation du type f(x)=k.

a) Le théorèmeb) Théorème de bijectionc) Approximation de la solution d’une éq.

Exemple :

Si on obtient un tel tableau de variation, on peut écrire : « D’après le tableau de variation et en utilisant le théorème de bijection dans les intervalles ]-∞,-1[ et [1,+ ∞[ que l’équation f(x)=-0,5 admet uniquement 2 solutions. »

II Théorème des valeurs intermédiaires

Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

Le théorème précédent est très pratique mais ne permet pas de trouver la solution de l’équation. Vous pouvez pour cela obtenir une valeur approchée de cette solution à l’aide de la calculatrice.

1ère méthode : à l’aide du tableur .

Saisir la fonction puisF5 pour SET

Mettre les paramètresExit pour sortirF6 pour Table

Descendre dans le tableau pour trouver entre quelles valeurs est la solution.Puis Exit pour revenir au menu

La solution se situe donc entre 0,589 et 0,590 ce qui permet de dire que ≈ 0,59 à 0,01 près

On peut remarquer qu’un pas de 0,001 à la calculatrice permet d’obtenir une précision de seulement 0,01 pour la solution. En effet, il est impossible sans plus de précision de savoir si est plus près de 0,589 ou de 0,590 …

a) Le théorèmeb) Théorème de bijectionc) Approximation de la solution d’une éq.

II Théorème des valeurs intermédiaires

Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

2ème méthode : à l’aide du tracé graphique.

Le principe est simple :- On trace la fonction f(x) = x7 + x3 + 3x -2 sur la calculatrice- On fait plusieurs zoom (à l’aide de la fonction zoom box) à l’endroit où la courbe coupe l’axe des abscisses.

Ensuite on affiche la fenêtre V-Window pour regarder entre quelles valeurs la solution se situe

La solution se situe donc entre 0,5899 et 0,5900 ce qui permet de dire que ≈ 0,590 à 0,001 près

Si la précision n’est pas satisfaisante, on refait des zoom comme précédemment.

a) Le théorèmeb) Théorème de bijectionc) Approximation de la solution d’une éq.

II Théorème des valeurs intermédiaires

Emilien Suquet Chapitre 1 : limites d’une fonction

3ème méthode : outil calculatoire de la calculatrice

Les calculatrices étant de plus en plus sophistiquées, il existe très souvent des fonctions intégrées qui permettent de donner des approximations des solutions d’une équation.

Reste à lire le mode d’emploi pour savoir quelle précision donne la calculatrice sur ce type de calcul

a) Le théorèmeb) Théorème de bijectionc) Approximation de la solution d’une éq.