FONCTION LINEAIRE

3° Avon 2009Bernard Izard

Chapitre

13-FL

I - PROPORTIONNALITÉII – DÉFINITIONS / ExIII- GRAPHIQUEIV – DETERMINER IMAGE et

ANTÉCÉDANTV - DÉTERMINER UNE F. L.VI - % et F. LINÉAIREVII APPLICATIONS / EXERCICES

I- PROPORTIONNALITÉ

9 5 12 x

27 72 63 yx 3

Donc: 27 = 3 x 9 72 = 3 x…..

et y = x3x

Deux grandeurs x et y sont proportionnelles s’il existe un nombre a tel

que y = a x x

coefficient de proportionnalité

La fonction qui à x fait correspondre a x x s’appelle Fonction Linéaire de coefficient a

24

15 36

21

II-DÉFINITIONS

La correspondance qui à chaque nombre « x » associe un nombre « a x » s’appelle fonction linéaire de coefficient a.

On notera cette fonction ainsi : f : x a xL’image de x sera notée : f(x).

« a » s’appelle: Coefficient de proportionnalitéou Coefficient directeur

 Exemple1 :

Soit f est la fonction linéaire de coefficient 2. On la note : f : x 2 x

Alors : L’image de 5 est : f(5) = 2 5 = 10.L’image de (-3) est : f(-3) = 2 (-3) = -6.L’image de 1 est : f(1) = 2 1 = 2.

Exemple2: Le prix d’un CD est 7,30 €. Soit x le nombre de CD achetés. Prix en fonction de x ?

Pour calculer le prix il faut multiplier le prix d’un CD par le Nombre

p(x) = 7,3 x x et p: x 7,3 x

Exemple3: La fonction « opposée »

f: x - x

Contre-exemple: La fonction qui associe le carré:

f: x x²

Ce n’est pas une fonction linéaire

III-GRAPHIQUE

Comme la fonction linéaire représente une proportionnalité son graphe est une droite qui passe par l’origine du repèreDémonstration

Soit f une fonction linéaire définie par f(x) = ax. On appelle y l’image de x

Si x = 0 alors y = f(0) =ax0 = 0. Le point O (0;0) est sur la courbe

Si c’est une droite, elle passe par l’origine du repère.Soit le point A de de la courbe avec x = 1, donc pour être sur la courbe il faut y= a x1 =a A(1;a)

Soit M un autre point quelconque de la courbe de coordonnées x et y=ax M(x;ax)

Les 3 points O, A et M sont donc sur la courbe. Sont-ils alignés ?

Ensemble des points de coordonnées (x ; a x)

OB = 1

AB = a

ON = x

NM = ax

Traçons la droite (OA) . Supposons qu’elle coupe (NM) en M’

OB = 1

AB = a

ON = x

NM = ax

Comme (AB) // (NM’), D’après le th. de Thalès

Remplaçons: D’où NM’ = ax

Donc NM =NM’ et comme les points sont sur la même droite alors M = M’ et le point M est bien sur la droite (OA)

O,A,M sont alignés

' '

OA OB AB

OM ON M N

1

' '

OA a

OM x NM

  Exemple1:  Traçons la représentation graphique de la

fonction linéaire f(x) = 4x

f est une fonction linéaire, sa représentation graphique est une

droite (d1) qui passe par O. Comme f(2)=4x2= 8, alors d1 passe par le point de coordonnées (2; 8).

(en rouge sur le dessin)

x 0 2

y 0 8

x 0 -2

y 0 6

On fait un tableau de valeurs

Comme le graphe est une droite 2 points suffisent. On peut prendre un 3° point de vérification.

On choisit x, on calcule y

Exemple2: Traçons la représentation graphique de la fonction linéaire g(x) = -3x g est une fonction linéaire, sa

représentation graphique est une droite (d2) qui passe par O.

Comme g(-2)=-3x(-2)= 6, alors d2 passe par le point de coordonnées (-

2; 6). (en bleu sur le dessin)

0,5 mm pour 1 unité. Les 2 courbes sur le même graphique

1

1

1

1

1

1

1

1

a

a

a

a

a « petit et positif » a « grand et positif » a « petit et négatif » a « grand et négatif »

a le coefficient directeur indique l’inclinaison de la droite

Dans un repère la droite passe toujours par le point de coordonnées (1;a) et par l’origine du repère.

Si a = 0 la droite représentative se confond avec l’axe des abscisses.

IV-DÉTERMINER IMAGES ET ANTÉCÉDANTS

1) Connaissant l’expression de la Fonction

Ex1: Déterminer l’image de « -3 » par la fonction linéaire f définie par f(x) = 5x.

On remplace x par –3 dans l’expression: f(-3) = 5 x (-3) = -15

Ex2: Déterminer l’antécédent de 3/7.

On résoud l’équation: f(x) = 3/7

5x = 3/7

x = 3/35:5

2) Avec le graphique

Ex1: Déterminer l’image de « 2 » par la fonction f ayant le graphique ci-dessous

2

4

On trace un trait vertical à l’abscisse 2 va couper la courbe

On lit la valeur sur l’axe des ordonnées

f(2) =4

Ex2: Déterminer le nombre qui a pour image « -6 » par la fonction f ayant le graphique ci-dessous

-6

-3

On trace un trait horizontal à l’ordonnée -6

On lit la valeur sur l’axe des abscisses

L’antécédent de –6 est -3

V-DÉTERMINER UNE FONCTION LINÉAIRE

1) Connaissant un nombre et son image.

Ex: Déterminer la Fonction linéaire f dont l’image de 4 est –12.

On écrit: f(x) = ax et on remplace x par 4 et f(x) par –12

a x = f(x)

a x 4 = -12

a = -12 /4

a = -3

f est la fonction définie par x -3x

f(x) = -3x

Il faut calculer « a »

4 x

-12 yx a

2) Avec le graphique

0,4

+5

-2

a = -2/5 = - 0,4

f est la fonction définie par f(x) = - 0,4 x

On peut remarquer que pour x=1 on lit «a»  sur les ordonnées

a =

y

x

VI-% et FONCTION LINEAIRE

Ex1: Déterminer la fonction linéaire qui au prix affiché d’un objet fait correspondre son prix soldé à – 35%

f : x 0,65 x

On multiplie par

1 – 35/100

Ex2: Déterminer la fonction linéaire qui à un prix HT fait correspondre le Prix TTC avec une TVA à 19,6 %.

f : x 1,196 x On multiplie par 1 + 19,6/100

VII-APPLICATION / EXERCICES

Durée t ( en h) 3/4 2,5 4 5

Distance parcourue (en km)

120 400 640 800

Ex1: Lors d’un test sur circuit d’une voiture, les mesures sont les suivantes:

1) Est-ce une situation de proportionnalité ? Pourquoi ?

2) Que représente le coefficient de proportionnalité ?3) Déterminer la fonction linéaire associée à cette proportionnalité

4) Faire le graphique. Abscisse 1cm =1h. Ordonnées 1cm =160km.

120 400 640 800160

3/ 4 2,5 4 5 Oui, car:

La vitesse

f: x 160 x

0 1 2 3 4 5

Durée en h

Distance en km

800

640

480

320

160

0

2)

x 0 1 -2

y 0 -2 4X -2

x 0 3 -3

y 0 2 -2 X 2/3

On fait un tableau de valeurs

1) On choisit x et on calcule y

2) On place les points

FONCTION LINEAIRE

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FIN