Flexion élastique
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Flexion élastique
• Soit une poutre soumise à un effort de flexion positif
• À une section donnée de la poutre, on constate que les fibres composant la partie supérieure sont comprimés alors que les fibres de la partie inférieure sont tendues
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Flexion élastique• La déformation et la contrainte sont montrées ci-
dessous :
• Les forces internes engendrées par le moment sonten équilibre (T=C) et la somme des moments internes égale le moment agissant sur la section
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Relations entre et M
(1) maxx
y
c
(2) x xE
on multiplie (1) par E des 2 côtés
(3) max( ) ( )x
yE E
c
Avec (2), on obtient :
(4) maxx
y
c
(1) maxx
y
c
(2) x xE
on multiplie (1) par E des 2 côtés
(3) max( ) ( )x
yE E
c
Avec (2), on obtient :
(4) maxx
y
c
max et c sont des constantes, alors
(7) 2 2max d où dA=IM y A yc
On peut donc écrire :
(8)maxoumI Mc
Mc I
et x
My
I
Le moment est égal à la somme (intégrale) des contraintes x
l’aire (forces internes= A ) x le bras de levier de cette force
par rapport à l’axe neutre (y)
(5) dxM y A
Si on remplace x par (4), on obtient
(6)maxd
yM y A
c
Avec le module élastique I
Sc
, on peut écrire
(9)max ou encore M= S
M
S
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Relations entre et M
c = axe neutre
Soit L, la longueur non-déformée de la section, pour de petites déformations : L DE
L’arc JK, situé à une distance y au-dessus de l’axe neutre, a subi un raccourcissement. On peut écrire
L JK et ( )L y .
La déformation subie par L est L L ou encore :
( )y y
La déformation longitudinale x sur l’axe JK est obtenue en divisant par la longueur initiale de
l’arc JK qui était égale à L (avant l’application du moment).
maxpar analogiex
y y c
L
La relation entre la courbure 1
et le moment est établie comme suit (domaine élastique) :
max max
1et
c Mc ME E
I EI
où EI est appelée la rigidité flexionnelle