Exemple 6 : y'' + 5y = 0 avec y(0)= 5 et y'(0)= 2 La solution gnrale de l'quation diffrentielle est :

y(x) =A cos (x)+B sin(x)

A et B sont des nombres que nous pouvons dterminer.

Nous calculons dans un premier temps y'(x)

y'(x) = -A sin (x) + B cos(x)

Nous avons donc

y(0) =A cos (0)+B sin(0) =A cos (0)+B sin(0) =A1+B0 = A = 6

y'(0) = -A sin (30) +B cos(30) y'(0) = -A sin (0)+ B cos(0) =-A0+B1 =B =2

Nous aboutissons : A =1 et B = 2/ = 0,89

y(x) = cos (x)+ sin(x)

Exemple 7 :

Rsoudre l'quation diffrentielle y'' + 4y = 0 avec y(0)= 5 et y()= 2

Exemple 6 :

Rsoudre l'quation diffrentielle y'' + 5y = 0 avec y(0)= 5 et y'(0)= 2

Exemple 7 : y'' + 4y = 0 avec y(0)= 5 et y()= 2 La solution gnrale de l'quation diffrentielle est (w =' donc w =2 ou w = -2) :

y(x) =A cos (2x)+B sin(2x)

A et B sont des nombres que nous pouvons dterminer.

Nous avons donc

y(0) =A cos (20)+B sin(20) =A cos (0)+B sin(0) =A1+B0 = A = 5

y() = A cos (2)+B sin(2)=A cos ()+B sin() =A0+B1 = B = 2

Nous aboutissons : A =5 et B = 2

y(x) = 5cos (2x)+2 sin (2x)

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Exemple 5: y' + 6y = 0 avec y'(0) = 3

Comme a = -6 donc la solution gnrale de cette quation est y(x) = k e-6x

k est un nombre que nous pouvons dterminer.

y'(0) = -6 y(0) = -6 k e-60 = -6k e0 = -6k 1 = -6k =3

d'o k = 3/-6 = - 0,5

La solution avec condition initiale de l'quation est : y(x) = -0,5 e-6x

Exemple 3:

Trouver la solution gnrale de l'quation diffrentielle y' - 8y = 0 Exemple 3: y' - 8y = 0

Comme a = 8 donc la solution gnrale de cette quation est

y(x) = k e8x

k est un nombreExemple 1:

Trouver la solution gnrale de l'quation diffrentielle y' + 9y = 0 Exemple 2:

Trouver la solution gnrale de l'quation diffrentielle y'' + 16y = 0 Exemple 4:

Rsoudre l'quation diffrentielle y' - 10y = 0 avec y(0) = 2

Exemple 2 : y'' + 16y = 0

Nous avons w = 16 donc w = (et aussi -)

La solution gnrale de l'quation diffrentielle est :

y(x) = A cos (4x)+B sin(4x)

A et B sont des nombres

Exemple 1: y' + 9y = 0

Comme a = -9 donc la solution gnrale de cette quation est

y(x) = k e-9x

k est un nombreExemple 4:

Rsoudre l'quation diffrentielle y' - 10y =0 avec y(0) = 2

Comme a = 10 donc la solution gnrale de cette quation est y(x) = k e10x

k est un nombre que nous pouvons dterminer.

y(0) = k e100 = k e0 = k 1 = k =2

La solution avec condition initiale de l'quation est : y(x) = 2 e10x

Exemple 5:

Rsoudre l'quation diffrentielle y' +6y =0 avec y'(0) = 3