Propagation  d’un  signal    

Exercice  1  :  Relation  entre  fréquence  et  longueur  d’onde  

1) Calculer   la   longueur  d’onde  de   l’onde  électromagnétique  qui   existe  dans  un   four  micro-­‐onde  sachant  que  sa  fréquence  est  𝑓 = 2,45  GHz  et  que  la  célérité  des  ondes  électromagnétiques  est  𝑐 = 3,00. 10!  m. s!!.  Justifier  alors  l’appellation  de  four  micro-­‐onde.  

2) La  vitesse  du  son  dans  l’air  dépend  de  la  température  de  l’air  selon  la  formule  :  

𝑐 =𝛾𝑅𝑇𝑀!"#

 

où   𝑅 = 8,314  J.K!!.mol!!   est   la   constante   des   gaz   parfaits,   𝛾 = 1,4   est   un   facteur  caractéristique  de  l’air  et  𝑀!"# = 29  g.mol!!  est  la  masse  molaire  de  l’air.  Calculer   la   fréquence  d’un  son  de   longueur  d’onde  𝜆 = 78   cm   lorsque   la   température  de   l’air  vaut  𝑇! = 290  K,  puis  lorsqu’elle  vaut  𝑇! = 300  K.  

3) Le  rayon  laser  utilisé  à  l’observatoire  du  CERGA  à  Grasse  pour  mesurer  la  distance  Terre-­‐Lune  est  obtenu  par  doublage  de   fréquence  à  partir  d’un   laser  de   longueur  d’onde  𝜆! = 1,064  µμm.  Quelle  est  la  longueur  d’onde  𝜆!  de  la  lumière  envoyée  vers  la  lune  ?  Quelle  est  sa  couleur  ?  

Correction  :  

1) On  utilise  la  relation  liant  la  fréquence  et  la  longueur  d’onde  :  

𝜆 =𝑐𝑓= 0,122  𝑚  

Contrairement  à  ce  que  l’on  pourrait  penser,  les  fours  micro-­‐ondes  n’ont  pas  une  longueur  d’onde  de  l’ordre  du  micromètre  !  

2) On  utilise  la  relation  liant  la  fréquence  et  la  longueur  d’onde  :  

𝑓 =𝑐𝜆=

𝛾𝑅𝑇𝜆!𝑀!"#

   ⇒      𝑓! = 437  𝐻𝑧      𝑝𝑜𝑢𝑟    𝑇! = 290  𝐾𝑓! = 445  𝐻𝑧      𝑝𝑜𝑢𝑟    𝑇! = 300  𝐾  

La  variation  relative  de  fréquence  entre  les  deux  températures  est  :  𝑓! − 𝑓!𝑓!

= 1,7%  

La  variation  de  température  entraîne  donc  un  changement  de  hauteur  de  la  note  plus  faible  qu’un  demi-­‐ton.  

3) On  calcule  tout  d’abord  la  fréquence  associée  à  𝜆!:  

𝑓! =𝑐𝜆!= 2,82. 10!"  𝐻𝑧  

Il   y   a   ensuite   doublage   de   fréquence,   c’est-­‐à-­‐dire   qu’on   multiplie   par   2   la   fréquence   de   sortie  (processus  non  linéaire)  :  

𝑓! = 2𝑓! = 5,64. 10!"  𝐻𝑧  

 

On  calcule  enfin  la  longueur  d’onde  associée  à  cette  fréquence  :  

𝜆! =𝑐𝑓!= 532  𝑛𝑚  

La  couleur  résultante  est  verte.  

Exercice  2  :  Propagation  d’un  ébranlement  le  long  d’une  corde  

On   considère   une   corde   horizontale,   parallèle   à   l’axe   (𝑂𝑥),     soumise   à   une   onde   progressive  unidimensionnelle  se  propageant,  à  la  célérité  𝑐,  selon  l’axe  des  x  croissants.  

1) Rappeler  le  modèle  de  l’onde  progressive  unidimensionnelle.  Qu’est  ce  que  ce  modèle  suppose  sur  le  milieu  de  propagation  ?  

On  suppose  qu’à  l’instant  initial,  on  applique  une  perturbation  en  𝑥 = 0.  A  l’instant  𝑡! = 5  s,  le  profil  de  la  corde  à  l’allure  suivante  :  

 2) Sachant  que  𝑥! = 10  cm,  déterminer  la  célérité  𝑐  de  l’onde.  

3) Représenter,  en  le  justifiant,  le  profil  de  la  corde  à  l’instant  𝑡! = 25  s.  

4) Représenter,  en  le  justifiant,  l’évolution  temporelle  de  l’altitude  du  point  d’abscisse  𝑥! = 40  cm.  

Correction  :  

1) Une   onde   progressive   unidimensionnelle   est   une   onde   qui   se   propage   sans   atténuation,   ni  déformation,  à  la  vitesse  constante  𝑐,  appelée  vitesse  de  propagation  ou  célérité  de  l’onde,  dans  une  unique  direction  de  l’espace.  Ce  modèle  suppose  donc  que  le  milieu  de  propagation  est  non  dispersif  et  non  absorbant.  

2) La  célérité  de  l’onde  vaut  :  

𝑐 =𝑥!𝑡!

= 0,02  𝑚. 𝑠!!  

3) Le  profil  de  la  corde  sera  le  même  que  celui  de  l’énoncé,  mais  avec  un  maximum  situé  en  :  

𝑥! = 𝑐𝑡! = 50  𝑐𝑚  

4) Le  profil  de  la  corde  sera  le  même  que  celui  de  l’énoncé,  mais  avec  un  maximum  situé  en  :  

𝑡! =𝑥!𝑐= 20  𝑠  

 

PHÉNOMÈNE DE PROPAGATION

c) Deuxième expression de l’onde progressive

s(x, t0) s(x, t1)

xx x0x0 x0+δ

à l’instant t0 à l’instant t1 > t0

Figure 2.13 – Onde se propageant sans atténuation ni déformation dans le senspositif de (Ox), à deux instants différents.

La figure 2.13 représente les valeurs du signal à deux instants différents t0 et t1 > t0 pour lamême onde que sur la figure 2.12.Entre les instants t0 et t1, l’onde qui progresse dans le sens positif de l’axe (Ox) se déplaced’une distance δ . Ainsi la valeur observée à l’instant t0 en x est observée à l’instant t1 enx+ δ :

s(x, t0) = s(x+ δ , t1).L’onde se propage à la vitesse c donc on a :

δ = c(t1− t0).

Il vient ainsi :s(x, t0) = s(x+ c(t1− t0), t1) . (2.4)

De même que plus haut, on peut se convaincre facilement que la formule (2.4) est valableaussi si t1 < t0. Si on l’écrit en posant t0 = t, instant quelconque, et t1 = 0 elle devient alors :

s(x, t) = s(x− ct,0).

Le membre de droite de cette équation est simplement une fonction d’une seule variable,x− ct. Pour simplifier l’écriture on le note F (x− ct). Ainsi :

Une onde progressive se propageant dans la direction de l’axe (Ox), dans le sens positifde cet axe, sans atténuation ni déformation, est de la forme mathématique suivante :

s(x, t) = F (x− ct),

où F est une fonction quelconque dont l’argument a la dimension d’une longueur.

Si l’on s’intéresse aussi à une onde se propageant le long de l’axe (Ox) dans le sens négatifde cet axe, c’est-à-dire le sens des x décroissants, le même raisonnement s’applique si l’onprend un axe (Ox′) tel que x′ = −x. Il suffit donc de changer x en −x dans le résultat. Onobtient une fonction de la variable −x− ct que l’on peut changer, pour avoir une notationplus simple, pour son opposé x+ ct. Ainsi :

45�������������������� ������

Exercice  3  :  Ondes  progressives  sinusoïdales  

On  considère  l’onde  progressive  sinusoïdale  associée  au  signal  :  

𝑠 𝑥, 𝑡 = 5 sin 2,4. 10!𝜋𝑡 − 7,0𝜋𝑥 + 0,7𝜋  

où  𝑡  et  𝑥  sont  respectivement  exprimés  en  secondes  et  en  mètres.  

1) Donner  la  période,  la  fréquence,  la  pulsation,  la  longueur  d’onde  et  le  vecteur  d’onde  de  cette  onde.  

2) En  déduire  la  célérité  𝑐  de  l’onde.  

Une   onde   progressive   sinusoïdale   se   propage   dans   la   direction   de   l’axe   (𝑂𝑥)   dans   le   sens   des   𝑥  croissants  avec  la  célérité  𝑐.  L’expression  du  signal  de  l’onde  au  point  d’abscisse  𝑥!  est  :  

𝑠 𝑥!, 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡  

3) Déterminer  l’expression  de  𝑠 𝑥, 𝑡 .  4) Représenter  𝑠 𝑥, 0  en  fonction  de  𝑥.  

Correction  :  

1) On  identifie  l’expression  donnée  à  cette  d’une  onde  progressive  harmonique  se  propageant  dans  la  direction  de  l’axe  (𝑂𝑥)  dans  le  sens  des  𝑥  croissants  :  

𝑠 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑! = 𝐴 sin 2𝜋𝑓𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑! +𝜋2  

⇒  

𝑓 = 1,2. 10!  𝐻𝑧𝑇 = 8,3. 10!!  𝑠𝑘 = 22  𝑚!!            𝜆 = 0,29  𝑚              

 

2) Pour  déterminer  la  célérité,  on  utilise  la  relation  liant  la  fréquence  et  la  longueur  d’onde  :  

𝜆 =𝑐𝑓⇔ 𝑐 = 𝜆𝑓 = 0,27  𝑚. 𝑠!!  

3) L’onde  se  propageant  dans  le  sens  des  𝑥  croissants  avec  la  célérité  c,  on  a  :  

𝑠 𝑥, 𝑡 = 𝑠 𝑥!, 𝑡 −𝑥 − 𝑥!𝑐

 

⇒ 𝑠 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 − 𝜔𝑥 − 𝑥!𝑐

 

⇔ 𝑠 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 − 𝑘 𝑥 − 𝑥!  

4) On  trace  𝑠 𝑥, 0  :  𝑠 𝑥, 0 = 𝐴 cos 𝑘 𝑥 − 𝑥!  

 

Exercices

Corrigés

CHAPITRE 2 – PROPAGATION D’UN SIGNAL

2.4 Cuve à ondes1. La longueur d’onde est la distance entre deux crêtes consécutives le long de l’axe (Ox),donc entre les centres de deux zones claires. On mesure sur la figure 2,1 cm pour 7λ , l’échelleétant de 1

5la longueur d’onde est λ = 5× 2,1

7= 1,5 cm.

2. La célérité de l’onde est c= λ f = 1,5.−2× 18= 0,27 m·s−1.3. Pour x > 0 l’onde se propage dans le sens de (Ox) donc s(x, t) = Acos

!

2π f!

t−xc

""

;

pour x< 0 elle se propage dans le sens inverse de l’axe (Ox) : s(x, t) = Acos!

2π f!

t+xc

""

.On peut résumer les deux expressions en :

s(x, t) = Acos#

2π f#

t−|x|c

$$

.

4. L’amplitude n’est pas constante parce que l’énergie de l’onde se répartit sur ces cercles derayon de plus en plus grand. Des considérations en dehors du programme permettent d’établirque A=

constante√x

.

2.5 Onde progressive sinusoïdale1. Période : T = 8,3.10−4 s, pulsation : ω = 7,5E3rad.s−1, fréquence : f = 1,2,103 Hz. Lon-gueur d’onde : λ = 0,29 m, vecteur d’onde : k= 22rad.m−1, nombre d’onde : σ = 3,5 m−1.La vitesse de propagation est : c= λ f = 348 m·s−1.2. L’onde se propageant avec la célérité c dans le senspositif de (Ox), on a :

s1(x, t) = s1(x1, t−x− x1c

) = Acos(ωt− kx+ kx1) ,

en posant k = ωc. Pour tracer s(x, t = 0) on remarque

que le signal est maximal en x= x1 à t = 0.

xx1

s1(x,0)

3. L’onde se propageant avec la célérité c dans le sensnégatif de (Ox), on a :

s2(x, t) = s2(0, t+xc) = Asin(ωt+ kx).

s2#

λ4, t$

est en quadrature avance sur s2(0, t) et

s2#

λ2, t$

est en quadrature avance sur s2#

λ4, t$

et en

opposition de phase par rapport à s2(0, t) .

0 t

s2#

λ4, t$

s2#

λ2, t$

58 �������������������� ������

 

Exercice  4  :  Train  d’ondes  

Une  onde  se  propage  dans  la  direction  de  l’axe   𝑂𝑥 ,  dans  le  sens  des  𝑥  croissants  avec  la  célérité  𝑐.  La  source,  située  en  𝑥 = 0,  émet  un  train  d’onde,  c’est-­‐à-­‐dire  une  oscillation  de  durée  limitée  𝜏  :  

𝑠 0, 𝑡 =  

0                                        si    𝑡 < 0                  

sin2𝜋𝑡𝑇      si    0 ≤ 𝑡 < 𝜏

0                                        si    𝑡 ≥ 𝜏                  

   

1) Exprimer  𝑠 𝑥, 𝑡  pour  𝑥  positif  quelconque.  

2) Représenter  𝑠 𝑥, 𝑡 = 𝜏/2  et  𝑠 𝑥, 𝑡 = 3𝜏/2  en  fonction  de  𝑥  pour  𝑥 > 0.  On  prendra  𝜏 = 4𝑇  pour  le  dessin.  Quelle  est  la  longueur  du  train  d’ondes  dans  l’espace  ?  

Correction  :  

1) On  sait  que  :  

𝑠 𝑥, 𝑡 = 𝑠 0, 𝑡 −𝑥𝑐  

⇒ 𝑠 𝑥, 𝑡 =  

0                                                                    si    𝑥 > 𝑐𝑡                                          

sin2𝜋𝑡𝑇

−2𝜋𝑥𝑐𝑇

       si    𝑐 𝑡 − 𝜏 ≤ 𝑥 < 𝑐𝑡

0                                                                  si    𝑥 ≤ 𝑐 𝑡 − 𝜏                  

 

 2) On  a  alors  les  allures  de  courbes  suivantes  :  

 

La  longueur  du  train  d’onde  dans  l’espace  est  :  

𝐿 = 𝑐𝜏  

Exercice  5  :  Effet  Doppler  

Un  émetteur  se  déplace  à  une  vitesse  constante  𝑣  selon  la  direction   𝑂𝑥  et  émet  une  onde  sonore  qui  se  déplace  avec  une  célérité  𝑐 = 340  m. s!!.  Cette  onde  est  reçue  par  un  récepteur  immobile.  

1) En   imaginant  que   l’émetteur  émet  un  bip  à   intervalle  𝑇  régulier,  quel  est   l’intervalle  𝑇!  entre  deux  bips  reçus  par  l’émetteur  ?  

2) Si   l’on  considère  que   le  signal  émis  est  un  signal  sinusoïdal  à  440  Hz,  émis  par  un  camion  de  

Exercices

Corrigés

APPROFONDIR

2.6 Trains d’ondes

1. s(x, t) = s(0, t− x/c), donc :

s(x, t) =

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

0 si x> ct

sin(

2πtT

−2πxcT

)

si c(t− τ)< x≤ ct

0 si x≤ c(t− τ)

La longueur du train d’onde dans l’espace est : L= cτ . x

x

L

0

s(x, t)

cτ/2

cτ/2 3cτ/2

t=τ/2

t=3τ/2

2. Sur le graphe de s(0, t) on constate que les oscillations ne sont plus visibles en gros à partirde t = 6τ . Plus précisément, pour t > 6τ , exp

(

−tτ

)

< exp(−6) = 2,5.10−3 donc l’amplitude

d’oscillation est inférieure à 1400

de sa valeur initiale. Ceci justifie le fait de considérer que ladurée du train d’onde est 6τ . Dans ce cas la longueur du train d’onde dans l’espace est 6cτ ,comme on peut le voir sur la partie droite de la figure ci-dessous.

xt0 0

s(0, t) s(x,6τ)

6cτT 6τ

2.7 Propagation d’un signal périodique

1. La longueur d’onde associée au fondamental, composante sinusoïdale de fréquence fS, est

λ1 =cfS. La longueur d’onde associée à l’harmonique de rang n est λn =

cn fS

=λ1n.

La période spatiale de l’onde est λ1.2. Le phénomène de propagation à la célérité c dans le sens positif de l’axe (Ox) se traduitpar la relation :

s(x0, t) = s(

0, t−x0c

)

=∞

∑n=1

An cos(

2πn fst− 2πnfscx0+ϕn

)

.

On trouve bien la forme attendue, avec : A′n = An et ϕ ′n = ϕn− 2πn

fScx0 = ϕn− 2π

x0λn. On

remarque que le retard de phase dû à la propagation dépend de l’ordre n de l’harmonique.

59�������������������� ������

pompier  se  déplaçant  à  70  km/h,  quelle  est  la  fréquence  reçue  ?  Ce  résultat  dépend-­‐il  du  sens  dans  lequel  le  camion  se  déplace  ?  

3) Que  se  passe-­‐t-­‐il  si  𝑣 > 𝑐  ?  

Correction  :  

1) Deux   émissions   de   bips   sont   séparées   d’un   intervalle   de   temps   𝑇.   Entre   les   deux   émissions,  l’émetteur  aura  parcouru  une  distance  supplémentaire  𝑑 = 𝑣𝑇  que  l’onde  sonore  devra  parcourir  à   la   vitesse  𝑐.   Cela   lui   prendra  donc  un   temps   supplémentaire   (en  admettant  que   l’émetteur   se  déplace  en  sens  inverse  de  l’émission)  𝑑/𝑐.  Ainsi,  l’intervalle  de  temps  𝑇!  qui  sépare  deux  réceptions  sera  :  

𝑇! = 𝑇 +𝑑𝑐  

⇔  𝑇! = 𝑇 +𝑣𝑇𝑐  

⇔     𝑇! = 1 +𝑣𝑐𝑇  

2) On  se  sert  de  la  relation  entre  période  et  fréquence  :  

𝑓! =1𝑇!=

1

1 + 𝑣𝑐 𝑇  

⇔     𝑓! =𝑓

1 + 𝑣𝑐=  416  𝐻𝑧    𝑠𝑖    𝑣 > 0

467  𝐻𝑧    𝑠𝑖    𝑣 < 0  

3) Si  𝑣 > 𝑐,  on  se  déplace  plus  vite  que  l’onde  que  l’on  émet  :  on  franchit  le  mur  du  son  !