Cinématique  du  point  matériel    

Exercice  1  :  Trajectoire  hélicoïdale  

Le  référentiel  d’étude  (ℛ)  est  associé  au  repère  d’espace  orthonormé   𝑂, 𝑒! , 𝑒! , 𝑒! .  Soit  l’hélice  droite  définie  en  coordonnées  cylindriques  dans  (ℛ)  par  (ℎ  est  une  constante  positive)  :  

 𝑟 = 𝑅!  𝑧 = ℎ𝜃  

On  s’intéresse  à  un  point  matériel  𝑀  qui  décrit  cette  hélice  dans  le  sens  des  𝜃  croissants.  

 

1) Calculer  les  vecteurs  vitesse  et  accélération  de  M  dans  (ℛ)  en  coordonnées  cylindriques.  2) Calculer  la  vitesse  𝑣  de  M  dans  (ℛ).  3) 𝑀  parcourt  l’hélice  à  la  vitesse  constante  𝑉!.  En  déduire  les  vecteurs  vitesse  et  accélération  de  

M  dans  (ℛ)  en  fonction  de  𝑉!,  𝑅!  et  h.  

Correction  :  

1) Le  vecteur  position  de  M  dans  la  base  des  coordonnées  cylindriques  est  :  

𝑶𝑴 = 𝑟𝒆𝒓 + 𝑧𝒆𝒛    𝑎𝑣𝑒𝑐      𝑟 = 𝑅!𝑧 = ℎ𝜃  

𝑶𝑴 = 𝑅!𝒆𝒓 + ℎ𝜃𝒆𝒛  

On  peut  alors  calculer  les  vecteurs  vitesse  et  accélération  de  M  dans  (ℛ)  :  

𝒗(𝑀)/(ℛ) =𝑑𝑶𝑴𝑑𝑡 /(ℛ)

 

𝒗(𝑀)/(ℛ) = 𝑅!𝜃𝒆𝜽 + ℎ𝜃𝒆𝒛  

𝒂(𝑀)/(ℛ) =𝑑𝒗(𝑀)/(ℛ)

𝑑𝑡 /(ℛ)  

𝒂(𝑀)/(ℛ) = −𝑅!𝜃²𝒆𝒓 + 𝑅!𝜃𝒆𝜽 + ℎ𝜃𝒆𝒛  

2) La  vitesse  v  de  M  dans  (ℛ)  est  donnée  par  :  𝑣 = 𝒗(𝑀)/(ℛ)  

La  base  (𝒆𝒓, 𝒆𝜽, 𝒆𝒛)  étant  une  base  orthonormée,  on  peut  écrire  :  

𝑣 = 𝑅!𝜃! + ℎ𝜃 ! = 𝜃 𝑅!! + ℎ!  

Le  point  matériel  M  décrit  l’hélice  dans  le  sens  des  𝜃  croissants  donc  𝜃 ↗  au  cours  du  temps,  ce  qui  signifie  que  𝜃 > 0.  On  obtient  donc  finalement  :  

𝑣 = 𝜃 𝑅!! + ℎ!  

3) M  parcourt  l’hélice  à  la  vitesse  constante  𝑉!.  On  a  donc  :  

𝑣 = 𝜃 𝑅!! + ℎ! = 𝑉!  

𝜃 =𝑉!

𝑅!! + ℎ!= 𝑐!"#    𝑒𝑡    𝜃 = 0  

𝒗(𝑀)/(ℛ) = 𝑅!𝜃𝒆𝜽 + ℎ𝜃𝒆𝒛 =𝑅!𝑉!

𝑅!! + ℎ!𝒆𝜽 +

ℎ𝑉!

𝑅!! + ℎ!𝒆𝒛  

𝒂(𝑀)/(ℛ) = −𝑅!𝜃²𝒆𝒓 = −𝑅!𝑉!!

𝑅!! + ℎ!𝒆𝒓  

Exercice  2  :  Risque  de  collision  au  freinage  

1) Une  voiture   roule   en   ligne  droite   à   une   vitesse   constante  𝑉!.   A   l’instant   𝑡 = 0,   le   conducteur  aperçoit  un  obstacle,  mais  il  ne  commence  à  freiner,  avec  une  décélération  constante  𝑎,  qu’au  bout  d’un  temps  𝜀.  Calculer  la  distance  parcourue  par  le  véhicule  depuis  l’instant  initial  jusqu’à  l’arrêt  total  de  la  voiture.  

2) Application  numérique  :  𝑎 = −7,5  m.s-‐2,  𝜀 = 0,6  s,  𝑉! = 54  km  /h  puis  𝑉! = 108  km  /h.  

3) Deux  voitures  se  suivent  sur  une  route  droite,  à  une  distance  𝑑,  et  roulent  à   la  même  vitesse  constante  𝑉!.  A  l’instant  𝑡 = 0,  la  première  voiture  commence  à  freiner,  avec  une  décélération  constante   𝑎.   La   seconde   voiture   ne   commence   à   freiner   qu’au   bout   d’un   temps   𝜀,   avec   une  décélération   constante   𝑏.   Quelle   condition   doit   satisfaire   la   distance  𝑑   pour   que   la   seconde  voiture  s’arrête  en  arrière  de  la  première  ?  

4) Application  numérique  :  𝑎 = −7,5  m.s-‐2,  𝑏 = −6,0  m.s-‐2,  𝜀 = 0,6  s,  𝑉! = 108  km  /h.  

Correction  :  

1) On  prend  comme  origine  des  abscisses  la  position  de  la  voiture  à  l’instant  𝑡 = 0.  Avant  de  freiner,  la  voiture  parcourt  une  distance  :  

𝑥! = 𝑉!𝜀  

Pour  𝑡 > 𝜀,  le  mouvement  est  caractérisé  par  une  vitesse  et  une  position  :  

𝑥(𝑡) = −𝑎 𝑡 − 𝜀 + 𝑉!  

𝑥 𝑡 = −𝑎2𝑡 − 𝜀 ! + 𝑉! 𝑡 − 𝜀 + 𝑥!  

L’arrêt  de  la  voiture  est  obtenu  pour  un  temps  T  tel  que  :  

𝑥 𝑇 = 0  ⇔    −𝑎 𝑇 − 𝜀 + 𝑉! = 0  

𝑠𝑜𝑖𝑡    𝑇 = 𝜀 +𝑉!𝑎  

En  reportant  cette  valeur  dans  l’expression  de  𝑥,  on  obtient  l’expression  de  la  distance  d’arrêt  D  :  

𝐷 = 𝑥 𝑇 = −𝑎2𝑉!𝑎

!+ 𝑉!

𝑉!𝑎+ 𝑥!  

𝐷 =𝑉!2𝑎

!+ 𝑉!𝜀  

2) Application  numérique  :    𝑉!  (km/h)   54   108  𝐷  (m)   24   78  

3) L’équation  horaire  de  la  première  voiture  est  donnée  par  la  relation  précédente,  en  prenant  𝜀 = 0  et  𝑥! = 0  :  

𝑥 𝑡 = −𝑎2𝑡! + 𝑉!𝑡  

Cette  voiture  s’arrête  à  l’abscisse  :  

𝐷! =𝑉!2𝑎

!  

A   l’instant   𝑡 = 0,   la   seconde   voiture   était   à   l’abscisse   – 𝑑   et   à   l’instant   𝑡 = 𝜀,   elle   était   donc   à  l’abscisse  :  

𝑥! = −𝑑 + 𝑉!𝜀  Pour  𝑡 > 𝜀,  le  mouvement  de  la  seconde  voiture  est  caractérisé  par  une  vitesse  et  une  position  :  

𝑥(𝑡) = −𝑏 𝑡 − 𝜀 + 𝑉!  

𝑥 𝑡 = −𝑏2𝑡 − 𝜀 ! + 𝑉! 𝑡 − 𝜀 − 𝑑 + 𝑉!𝜀  

L’arrêt  de  la  seconde  voiture  est  obtenu  pour  un  temps  T  tel  que  :  𝑥 𝑇 = 0  ⇔    −𝑏 𝑇 − 𝜀 + 𝑉! = 0  

𝑠𝑜𝑖𝑡    𝑇 = 𝜀 +𝑉!𝑏  

En  reportant  cette  valeur  dans  l’expression  de  𝑥,  on  obtient  l’expression  de  la  distance  d’arrêt  𝐷!  de  la  seconde  voiture  :  

𝐷! = 𝑥 𝑇 = −𝑏2𝑉!𝑏

!+ 𝑉!

𝑉!𝑏− 𝑑 + 𝑉!𝜀  

𝐷! =𝑉!2𝑏

!− 𝑑 + 𝑉!𝜀  

Pour   que   les   deux   voitures   ne   créent   pas   un   accident,   il   faut   que   (on   néglige   les   dimensions  respectives  des  deux  voitures  assimilées  à  des  points  matériels)  :  

𝑉!2𝑏

!− 𝑑 + 𝑉!𝜀 <

𝑉!2𝑎

!  

⇔     𝑑 >𝑉!2

! 1𝑏−1𝑎

+ 𝑉!𝜀  

4) Application  numérique  :  𝑑 > 33  m.