7/21/2019 Ex Vecteurs

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EXERCICES SUR LES VECTEURS

Question de cours

Recopier et complterles proprits suivantes

1. G est le centre de gravit du triangleABCsi et seulement si AG

=.... AI

(Idsigne le milieu de [BC])

2. G est le centre de gravit du triangleABCsi et seulement si GA

+... +... =...

Exercice 1Relation de Chasles

Simplifierau maximum les relations suivantes

1. u AC BA CB

= + +

2. v DE DF EF ED

=

-

+

-

Exercice 2 Paralllisme

SoitABCun triangle.

1. Placerle pointEtel que AE AB

=

1

3.

2. Placerle pointFtel que AF AC

=

3 .

3. Dmontrerque les droites (CE) et (FB) sont parallles.

Exercice 3 Alignement

ABCDest un paralllogramme.

1. Placerles pointsEetFtels que DE

= 13

DB

et DF

=- 14

DB

.

2. Placerles points GetHtels queBAEGetBAFHsoient des paralllogrammes.

3. Dmontrerque CH

=DF

et CG

=DE

4. En dduireque les points C, GetHsont aligns.

Exercice 4 Centre de gravit

ABCest un triangle et Oun point quelconque l'intrieur deABC.

1. Placerles pointsI,JetKteks que OABI, OBCJet OCAKsoient des paralllogrammes.

2. Dmontrerque Oest le centre de gravit du triangleIJK.

Exercice 5

Associer chaque galit vectorielle la phrase correspondante et, dans chaque cas, illustrer par une figure :

1. AD DB

=

2. AB CD

=

3. DC DA DB

=

+

4. AD BC

=

A. ABCDest un paralllogramme

B. ABDCest un paralllogramme

C. Dest le milieu de [AB]

D. ADBCest un paralllogramme

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Exercice 6

Simplifier au maximum l'criture des vecteurs suivants :

1. u AC BA CB

=

+

+

2. v DE DF EF ED = - + -

3. w BA MA MB

=

+

-

Exercice 7

Le segment [AB] est divis en 6 parties de mme longueur.

Complter les relations suivantes par :

la lettre qui convient :

1) E...

=-2 EF

2) C...

+ ...G

= 0

3) AB

=3

2A...

le nombre qui convient :

4) CE

=... AB

5) AD

= ... BF

6) DE

= ... BF

Exercice 8

1. Construire les pointsBet C tels que AB

= u

+ v

et AC

= u

- v

.

Reprsenter les vecteurs u

+ v

et u

- v

.

2. Construire les pointsEetFtels que DE

= w

-3u

et DF

=- 12

w

+u

.

GFC ED BA

u

w

v

D

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Exercice 9

Soit ABCun triangle.

Simplifier au maximum l'criture des vecteurs suivants :

u AC BA CB

=

+

+

2

v AC CB BA AB

=

-

+

-

2

Les vecteurs u

et v

sont-ils colinaires ? Justifier.

Exercice 10

SoientAetBdeux points tels queAB=5 cm.

SoitMle point dfini par : -5MA

+3MB

= 0

.

Dterminer le vecteur AM

en fonction du vecteur AB

et construire le pointM.

Exercice 11

SoitABCDun paralllogramme de centreI.

1. Construire le pointMtel que IM IA ID

=

+

et le pointNtel que IN IB IC

=

+

.

2. Dmontrer que IM

+ IN

= 0

. Que peut-on en dduire ?

3. Justifier les deux galits suivantes : BN

=IC

et IC

=AI

.

En dduire la nature du quadrilatre ABNI.

Exercice 12

SoitABCun triangle.

1. Placer le pointEtel que AE AB

=

1

3.

2. Placer le pointFtel que AF AC

=

3 .

3. Dmontrer que les droites (CE) et (FB) sont parallles.

Exercice 13

SoitPQRun triangle de centre de gravit G.

Soient les pointsI,JetK tels que :

GI

=-3 GP

, GJ

=-3 GQ

et GK

=-3 GR

1. Faire une figure.

2. Dmontrer que Gest le centre de gravit du triangleIJK.

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Exercice 14

ABCest un triangle avecAB=8 cm.

1. Placer le pointEtel que : 3EA

+5 EB

= 0

. (Justifier la position deE l'aide d'un calcul vectoriel)

2. Dmontrer que 3 CA

+5 CB

=8 CE

.

Exercice 15

ABCest un triangle de centre de gravit G. Le pointZest le milieu de [AC].

1. Faire une figure puis placer les pointsI,JetKdfinis par AK

=1

3AB

, BI

=1

3BC

et CJ

=1

3CA

.

2. Dmontrer que Gest le centre de gravit du triangleIJK.

3. Dmontrer que IJ

=2

3BZ

.

4. Dmontrer queBIJGest un paralllogramme.

Exercice 16

SoitPQRun triangle de centre de gravit G.

Soient Ile symtrique de Gpar rapport P,

Jle symtrique de Gpar rapport Q,

Kle symtrique de Gpar rapport R.

Dmontrerque Gest le centre de gravit du triangleIJK.

Exercice 17

ABCDest un paralllogramme.

1. Construireles pointsFetEtels que : BE AB

=

2 et AF AD

=

3 .

2. Construirele point Gtel queAEGFsoit un paralllogramme.

3. Dmontrerque les pointsA, Cet Gsont aligns.

Exercice 18

Gest le centre de gravit d'un triangle ABC.

Dmontrerque pour tout pointMdu plan on a : MA MB MC MG

+

+

=

3 .

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Exercice 19

ABCest un triangle.

1) Construirele pointMtel queBM

=1

3BC

.

2) Dmontrerque AM

=

2

3 AB

+

1

3 AC

.

3) Construirele pointNtel que AN

=2AB

+ AC

.

4) Dmontrer que les pointsA,MetNsont aligns.

Exercice 20

Sur la figure ci-contre,ABCDest un paralllogramme.

Soit Gle centre de gravit du triangle AEC.

Dmontrerque Gest le centre de gravit du triangleBDE

Exercice 21

Le segment [AB] est divis en 6 parties gales.Mest un point quelconque.

Complter les relations suivantes par :

la lettre qui convient :

1) C.. .

+ ...G

= 0

2) AB

=3

2A...

le nombre qui convient :

3) AD

=... BF

4) MD

+ MB

=... MF

Exercice 22

ABCDest un paralllogramme.

1) Construire les pointsEetFdfinis par : AE

=3

2AB

et DF

=2DA

.

2) Montrer que FE

=3

2AB

3AD

et que CE

=1

2AB

AD

.

3) En dduire queE,Fet Csont aligns.

BA

CD

E

M

GFC ED

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