Etude expérimentale de l'influence du tri granulométrique...

N° d’ordre : 2006-ISAL-00113

INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

ECOLE DOCTORALE M.E.G.A (Mécanique, Energétique, Génie Civil, Acoustique)

THESE

Présentée par

Alain RECKING

Pour obtenir le titre de Docteur de l’INSA de Lyon

Spécialité : Mécanique des Fluides

Soutenue le 13 décembre 2006

ETUDE EXPERIMENTALE DE L’INFLUENCE DU TRI GRANULOMETRIQUE SUR LE

TRANSPORT SOLIDE PAR CHARRIAGE

JURY :

BATHURST, James Professeur (Université de Newcastle) Rapporteur RICKENMANN, Dieter Professeur (Université de Vienne) Rapporteur CHAMPAGNE, Jean-yves Professeur (INSA de Lyon) Directeur de thèse BELLEUDY, Philippe Professeur (Université de Grenoble) Directeur de thèse PAQUIER, André Chercheur HDR (Cemagref de Lyon) Examinateur FREY, Philippe Chercheur (Cemagref de Grenoble) Examinateur

Sommaire _

__________________________________________________________________________________________ Thèse A.RECKING 2 Influence du tri granulométrique sur le charriage

Remerciements


Remerciements Ce travail de thèse a bénéficié de nombreuses contributions que je souhaite ici rappeler et remercier. Les deux rapporteurs de la thèse, James Bathurst et Dieter Rickenmann, ont réalisé un travail important de relecture et d’analyse, et ce malgré une rédaction en français, et je leur dois beaucoup en ce qui concerne la rigueur scientifique du document final. Je tiens à leur en remercier vivement. Ensuite, mes remerciements s’adressent tout naturellement en priorité à deux protagonistes qui ont largement contribué à l’existence même de ce travail. Philippe Frey m’a appris les rudiments du travail expérimental, a mis à ma disposition les outils et les avancées scientifiques alors en cours au Cemagref de Grenoble (notamment avec l’utilisation de l’analyse d’images) et a accepté de prendre en charge la gestion du projet Pnrh qui a financé une partie des équipements de la thèse. Maurice Meunier a su, quant à lui, juste avant de partir à la retraite, faire bénéficier ce travail de sa longue expérience en transport solide, en proposant un protocole général, qui a guidé l’essentiel de la démarche expérimentale. Sans ces deux contributions, la thèse aurait certainement été autre et je souhaite leur manifester ici ma plus profonde gratitude. Merci à mes deux Directeurs de thèse, Jean-Yves Champagne et Philippe Belleudy d’avoir accepté de m’accompagner dans cette aventure, et de m’avoir fait confiance dans mes choix scientifiques. En particulier, je suis reconnaissant à Jean-Yves d’avoir mis à ma disposition le canal du LMFA, et ce, au détriment des TP d’hydraulique de la formation initiale de l’Insa (et des Maîtres de Conférence impliqués). Parmi les personnes qui ont le plus contribué à l’aboutissement et à la réussite de ce travail, je n’oublierai pas André Paquier, qui m’a encadré au Cemagref de Lyon et a toujours été très disponible et de très bon conseil. Enfin, je tiens à remercier Jean-Michel Gresillon (chef de l’Unité de Recherche « Hydrologie-Hydraulique » du Cemagref de Lyon) et Didier Richard (chef de l’Unité de Recherche « Erosion Torrentielle Neige et Avalanche » du Cemagref de Grenoble) pour m’avoir permis de mener à bien ce travail et dans les meilleures conditions. Pour m’avoir assisté sur les tâches administratives pendant ces quatre années de thèse et pour avoir supporté sans broncher mon « désordre », merci à mes deux « bienfaitrices » Hélène Faurant et Anne Eicholz. Un travail énorme a été réalisé par l’équipe Documentation de Lyon : Marie-Pascal bagiland, Anne-Laure Achard et Aline Bazergan. Merci à toutes ces dames pour leur grande efficacité et gentillesse. Au-delà de ce cercle restreint des contributeurs « de premier rang », il y a de nombreuses autres personnes que je souhaite remercier, et je m’excuse par avance si je ne peux citer tous les noms.

Remerciements _


Toute l’équipe du Laboratoire TSI (Traitement du Signal et Instrumentation) de l’Université de Saint-Etienne (Jean-Christophe Ducottet, Jacques Jay, Nathalie Bochard et les autres), mérite mes plus sincères remerciements pour avoir mis à la disposition de la thèse le logiciel Wima, mais aussi et surtout pour leur grande disponibilité, compétence et sympathie. Il aurait été très légitime de commencer par citer, dans la rédaction de cette note de remerciements, la grande famille des techniciens, sans qui ce type de recherche serait tout à fait impossible. Merci à ceux du Cemagref de Grenoble (Hervé Bellot, Frédéric Ousset, Christian Eymond-Gris, Xavier Ravanat, Emmanuel Thibert), à ceux du Cemagref de Lyon (Thierry Fournier qui m’a appris la soudure à l’arc, Guillaume Dramais, Fabien Thollet, Mickaël Lagouy), et ceux de l’Insa (Lucien Kaci et Alexandre Zelez), qui ont tous plus ou moins été impliqués dans la mise en place des outils utilisés dans la thèse. Merci aux « petites mains », ces stagiaires qui ont apporté le meilleur d’eux même dans l’élaboration de la manip : Vincent Boucinha, Intissar Keghouche, Mounir Nhida, Bruno Aulagnier, Charles Blier. Enfin, il y a des contributions moins directes mais tout aussi constructives, qui se sont souvent jouées autour de discussions scientifiques « de coin café », et que je souhaite rappeler. Merci donc à Bernard Chastan, Michel Lang, Sébastien Proust, Eric Hérouin, Philippe Ramez, Marie-Bernadette Albert, Kamal El-Kadi, Gérome Lecoz, Magali Jodeau, Jean-Baptiste Faure, Christine Poulard, Pierre Balayn, Robin Naulet, Mohamed Naim, Florence Naim, Dominique Laigle, Nicolle Mathys, Nicolas Rivière, Françoise Bigillon, Valery Botton…. et c’est là que l’exercice devient périlleux car je vais sûrement en oublier. Merci donc à toutes les personnes travaillant dans les laboratoires que j’ai pu fréquenter pendant la thèse (UR HH du Cemagref de Lyon, UR Etna du Cemagref de Grenoble, le LMFA, TSI de Saint Etienne). Merci en particulier à Sébastien Proust, avec qui j’ai partagé mon bureau pendant toute cette période, et qui, par sa bonne humeur, son exotisme et son entrain à toujours répondre présent dès qu’on l’appâte avec une question scientifique bien tordue, a toujours su égayer mon quotidien de «thésard». Nota bene : la thèse en quelques chiffres…. C’est environ 1 an de mise au point des outils et protocoles (alimentation solide, mesure de la vitesse par la technique de l’encre, échantillonnage dans le lit….), 1.5 années d’expérimentation et la même chose en analyse, plus de 700 heures d’observation et plusieurs dizaines de tonnes de matériaux réceptionnés et manutentionnés en sortie de canal.

Sommaire


SOMMAIRE

Page Liste des notations utilisées 9 Résumé 11 Abstract 12 INTRODUCTION 13 Partie 1 : ETUDE DES ECOULEMENTS SUR MATERIAUX UNIFORMES 17 I. LE DISPOSITIF EXPERIMENTAL, L’ACQUISITION,

LE TRAITEMENT ET L’ANALYSE DES DONNEES 19

I.1. Le dispositif expérimental 19 I.1.1. Présentation générale du dispositif 19 I.1.2. Les matériaux 20 I.1.3. Le dispositif d’alimentation solide 21 I.1.4. Mesure du débit solide par analyse d’image 22 I.1.5. Mesure de la vitesse moyenne de l’écoulement 23

I.2. L’acquisition et l’analyse des données 27 I.2.1. L’acquisition des données 27 I.2.2. Protocole de traitement et de mise en forme des données 29 I.2.3. Analyse des données produites sur matériaux uniformes 30

I.3. Discussion 35 I.3.1. Influence du charriage sur le coefficient de frottement 35

I.3.2. Considérations hydrodynamiques 37 I.3.3. Comparaison avec les régimes observés dans d’autres expériences 38

I.4. Conclusion 40 II. LOI DE FROTTEMENT EN MATERIAUX UNIFORMES 41

II.1. Quelques considérations théoriques 42 II.2. Les données 43 II.3. Proposition d’un nouveau modèle 45

II.3.1. Construction du modèle 46 II.3.2. Calcul de la vitesse et efficacité du modèle 51

II.4. Discussion 56 II.4.1. Le régime1 : pas de charriage 56

II.4.2. Le régime2 : charriage faible 58 II.4.3. Le régime3 : charriage important 60

II.5. Conclusion 61

Sommaire _


III. LOI DE CHARRIAGE EN MATERIAUX UNIFORMES 63

III.1. Le jeu de données et quelques remarques préliminaires 64 III.2. Observations expérimentales 66 III.3. Recherche d’un modèle de transport 69 III.4. Efficacité du modèle de transport 74 III.5. Discussion 79

III.5.1. Quel critère de transition entre les régimes 2 et 3 ? 79 III.5.2. Prédiction aux faibles valeurs de transport 79

III.5.3. Effets de la pente 79 III.5.4. Efficacité du transport 82 III.5.5. Comportement asymptotique 83 III.5.6. Calcul pratique du charriage 85 III.6. Conclusion 89 IV. QUELQUES OBSERVATIONS SUR LES DEFORMATIONS

DU LIT (« BEDFORMS ») 91

IV.1. Des ondulations dans le régime2 91 IV.2. Des lits plats et des dunes dans le régime 3 95 IV.3. Conclusion 100

V. CONCLUSION GENERALE DE L’ETUDE DES

ECOULEMENTS SUR MATERIAUX UNIFORMES 101 Partie 2 : ETUDE DES ECOULEMENTS SUR MATERIAUX A

GRANULOMETRIE ETENDUE 105 I. ETUDE EXPERIMENTAL DU COMPORTEMENT D’UN LIT

DE GRAVIER A GRANULOMETRIE ETENDUE 107

I.1. Conditions expérimentales et production de données 108 I.2. Analyse des résultats 109

I.2.1. Etude d’un cas test 109 I.2.2. Corrélation entre les fluctuations du charriage et de la pente 110 I.2.3. Les variations de pente 110 I.2.4. Pavage et nappe de charriage 113 I.2.5. Le tri granulométrique 117 I.2.6. Cas des écoulements partiellement contraints 119

I.3. Discussion 120 I.3.1. Masquage-surexposition et concept de mobilité équivalente 120 I.3.2. Les différents états d’un lit sédimentaire observés

en granulométrie étendue 122 I.3.3. Les nappes de charriage 124

I.4. Conclusion 129

Sommaire


II. UN MODELE A COMPARTIMENTS POUR L’EVOLUTION A LONG

TERME DU LIT 131

II.1. Observations expérimentales et analyse 132 II.2. Modélisation 135 II.3. Discussion 139 II.4. Conclusion 143

III . LE CONCEPT D’EQUILIBRE EN GRANULOMETRIE ETENDUE 145

III.1. Le concept d’efficacité du transport à l’équilibre 147 III.2. Les écoulements sur matériaux non uniformes 149

III.2.1. Diamètre caractéristique et loi de frottement 149 III.2.2. Loi de transport en granulométrie étendue 152

III.3. Proposition d’un scénario pour expliquer le mécanisme des fluctuations 154

III.4. Test du modèle de fluctuation sur les mesures expérimentales 156 III.5. Analyse des fluctuations 161

III.5.1. Fluctuations de pente 161 III.5.2. Fluctuations du débit solide 162 III.5.3. Mobilité équivalente 162

III.6. Perspectives : des fluctuations de largeur sont-elles prévisibles ? 165 III.7. Conclusion 170

IV. CONCLUSION GENERALE SUR L’ETUDE DES ECOULEMENTS EN

GRANULOMETRIE ETENDUE 171 CONCLUSION GENERALE 173 REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 177 ANNEXES 189 ANNEXE 1 : Les différentes formules utilisées dans la thèse 191 ANNEXE 2 : Mesure du débit solide par analyse d’images 197 ANNEXE 3 : Méthode de correction des effets de parois 203 ANNEXE 4 : Programme Matlab pour utilisation des modèles 207 ANNEXE 5 : Traitement du signal par transformée de Fourier 215 ANNEXE 6 : Toutes les données 221

Sommaire _


Liste des notations


Liste des notations utilisées A Section mouillée C Coefficient de frottement de Chezy dx Diamètre de grain (l’indice indique « en % plus fin que ») D Diamètre moyen arithmétique (d50) E Charge hydraulique e Efficacité du transport solide f Coefficient de frottement de Darcy Weisbach Fr Nombre de Froude Fr=U/(gH)1/2 H Profondeur de l’écoulement ib Débit solide immergé ib= Qsg(ρs-ρ)/W Ks Coefficient de résistance de Manning-Strickler défini par Ks=21.1/D1/6 ks Rugosité du lit L Longueur de canal Ls Longueur efficace du tri granulométrique Lb Longueur d’onde des ondulations du lit n Coefficient de frottement de Manning Q Débit q Débit unitaire (Q/W) qb Débit solide volumique unitaire (=Qs/[ρsW]) Qs Débit solide à l’équilibre qs Débit solide unitaire (qs=Qs/W) R Rayon hydraulique (après correction des effets de parois) Re Nombre de Reynolds Re=UR/ν Re* Nombre de Reynolds particulaire Re*=u*D/ν S Pente d’énergie s Densité relative (s=ρs/ρ) So Pente géométrique T Période de fluctuation Tvr Paramètre de transport de Van Rijn Tvr= (τo-τc)/τc tanα Coefficient dynamique de frottement interne du sédiment U Vitesse moyenne u(z) Vitesse moyenne à la cote z u* Vitesse de frottement: u*= (τo/ρ) W Largeur de canal w Vitesse de chute w=[gD(ρs-ρ)/ρ]0.5 z Hauteur dans l’écoulement (au-dessus d’un plan de référence) zo Hauteur (au-dessus d’un plan de reference) où la vitesse s’annule α Ratio rugosité sur diamètre de grain ks/dx δ Epaisseur de la couche de charriage Φ Transport solide adimensionnel ΦA Transport solide adimensionnel d’alimentation κ Coefficient de Von Karman (0.4) θ Paramètre de Shields: θ = τo/[(ρs-ρ)gD]

Liste des notations _________________________________________________________


θc Paramètre critique de Shields pour le début de mouvement θl Paramètre de Shields pour la transition du régime 2 au régime 3 ρ Masse volumique de l’eau ρs Masse volumique du sédiment σ Etendue granulométrique du sediment τo Contrainte moyenne au fond : τo= ρgRS0 ω Puissance de l’écoulement : ω =τU ξ Constante de la loi log semi-empirique pour U/u*

Résumé


Résumé L’objectif de cette recherche est l’étude expérimentale des effets du tri granulométrique sur le transport solide par charriage. Le protocole a consisté à étudier les propriétés des écoulements sur matériaux uniformes (partie 1), puis à les comparer aux résultats obtenus pour des écoulements sur matériaux non uniformes (partie 2). Le dispositif expérimental est présenté et 144 valeurs de coefficients de frottement sont mesurées sur des matériaux uniformes, pour des conditions d’équilibre du transport, et pour des pentes comprises entre 1 et 9%. Ces données montrent que le charriage contribue de façon non négligeable à une augmentation du coefficient de frottement. Le jeu de données est ensuite étendu à 1551 valeurs à partir des données de la bibliographie, et la loi de résistance de Darcy-Weisbach est analysée pour une large gamme de conditions hydrauliques. Il a été nécessaire de distinguer trois régimes: pas de transport, transport modéré et transport important. Chaque régime est caractérisé par différentes lois de frottement et des différences dans le mode de déplacement des grains. La loi de frottement est utilisée pour analyser les données sur le charriage. L’analyse montre une bonne correspondance entre chaque régime identifié et l’efficacité de transport calculée à partir du concept de puissance de l’écoulement. Un nouveau modèle est proposé, sur la base d’une modification de la formule de Meyer-Peter et Muller (1948) pour le régime du transport modéré, et sur la base d’une loi puissance en 5/2 du nombre de Shields pour le transport important, la transition entre chaque régime ne dépendant que de la pente. Un jeu de 26 expériences est ensuite réalisé en maintenant une alimentation solide et liquide constante, avec différents mélanges des matériaux uniformes, et pour des pentes comprises entre 0.8 et 9%. Aucun de ces essais n’a produit une pente d’équilibre, quelle que soit la durée d’observation (qui a atteint jusqu’à 60h pour un même essai). Au lieu de cela, des fluctuations périodiques ont été observées pour la pente, l’état du lit (passant de l’état de pavage à l’état de lit fin) et le débit solide. Deux sortes de fluctuations ont été observées : des fluctuations courtes associées au passage de nappes de charriage (produisant des variations de pente locale) et des fluctuations longues affectant profondément la morphologie du lit. Les nappes de charriage semblent être au cœur du processus de fluctuation, et des hypothèses sont formulées pour expliquer leur dynamique, à partir d’observations faites à forte pente. Un modèle à compartiments est proposé pour modéliser l’évolution sur le long terme de la pente moyenne d’un lit de gravier. Il permet d’expliquer l’existence des différentes échelles de temps par le seul phénomène de tri granulométrique. Il permet également d’expliquer comment la longueur du canal peut contrôler les périodicités. Enfin, le concept d’efficacité de transport est utilisé pour montrer que le tri granulométrique pourrait contrôler les périodes et amplitudes des fluctuations en contrôlant la teneur en sable de la couche de charriage. Cette hypothèse, et les observations faites sur l’efficacité de transport en granulométrie uniforme, permettent de reproduire les amplitudes de fluctuation de pente moyenne mesurées pour les 26 essais. Ce résultat permet de conclure que les fluctuations périodiques de débit solide pourraient être un phénomène naturel en rivières à graviers.

Abstract _


Abstract The purpose of this research was to investigate the effects of grain sorting on bedload. The main procedure consisted first of analysing flow properties over uniform materials (Part 1), and then comparing this with the results obtained with mixtures of uniform materials (Part 2). The experimental setup is presented. One hundred and fifty-two friction factor values were measured under bedload equilibrium flow conditions, over uniform gravel bed materials and on slopes varying from 1% to 9%. Newly produced values indicate that bedload contributes to a not insignificant increase in the friction factor when compared to clear water flow. The data set was extended to 1449 values (with historical data) and the Darcy-Weisbach flow resistance equation was reviewed for a wide range of flow conditions. Three regimes were identified: no sediment transport, low sediment transport and high sediment transport. Each regime was characterized by a different friction law associated with differences in particle motion. The new flow resistance model was used to analyse the bedload data set. The analysis revealed a good correspondence between the identified regimes and the transport rate efficiency, calculated from the flow power concept. A new bedload model is proposed, in the form of a modified Meyer-Peter et Muller (1948) equation for the low regime and a power law for the high regime, the transition between both regimes being slope-dependent. Twenty-six experiments were conducted under constant feeding rate conditions, with mixtures of different uniform sediments and for slopes varying from 0.8% to 9%. No equilibrium slope was obtained whatever the run and experiment duration (up to more than 60 h). Instead a periodic fluctuation pattern was observed, affecting the bed slope, the bed state (varying from armour to fine bed) and the bedload discharge. Two types of fluctuations were observed: short fluctuations associated with bedload sheets (local bed slope changes) and large fluctuations associated with strong overall changes in bed morphology. Bedload sheets appeared to be the keystone of the fluctuating process and a hypothesis was formulated for its formation, based on steep slope observations. Based on the experimental observations, a compartment model is proposed for modelling the evolution of the long-term gravel bed profile. This model provides a relationship between the different time scale periods and the grain-sorting phenomenon. It also explains how the flume length can control periodicities. Lastly, the concept of transport rate efficiency was used to demonstrate that grain sorting may control the fluctuation periods and amplitudes by controlling the sand content of the bedload mixture. This hypothesis, plus advances in transport rate efficiency established from the study of flows over uniform materials, was used to reproduce the amplitude of the mean bed slope fluctuations observed with the long-term experiments for different slopes and sediment mixtures. This led to the conclusion that both slope and the periodic fluctuations in solid discharge may be a natural phenomenon in gravel-bed rivers.

Introduction


INTRODUCTION L’hydraulique est une discipline maintenant ancienne (Barré de Saint Venant avait établi ses équations en 1871) et ses applications en géométrie « contrôlée » (sections rigides de canalisation ou de canaux, ou fictives de projet) ne posent plus aucun problème de résolution. Pour des sections d’écoulement naturelles, très variables (en rivière), la modélisation numérique de terrain, les algorithmes de calcul et la performance sans cesse croissante des moyens de calcul permettent aujourd’hui de traiter le cas des écoulements fortement transitoires dans les géométries les plus compliquées. Par contre, toute la robustesse des outils est mise à défaut dès lors que les sections d’écoulement ne sont plus fixes mais évoluent dans le temps. C’est le cas pour la plupart des cours d’eau à fond mobile, c’est à dire permettant le transport sédimentaire. Le transport sédimentaire peut exister sous deux formes :

- Une charge de fond, très morphogène, appelée plus couramment « charriage » : les sédiments sont sous le contrôle des forces de traînée et de portance exercées par l’écoulement, et se déplacent sur de courtes distances par roulement, glissement ou saltation. Ce mode de transport concerne les sables, les graviers et les cailloux ;

- Une charge en « suspension » : elle dépend du champ de vitesse locale et de la turbulence et les sédiments sont déplacés sur de très longues distances ; ce mode de déplacement concerne les sédiments fins (sables) à très fins (argiles, limons) et on retrouve souvent les termes anglais « wash-load » pour désigner une charge en transit sans interaction avec le lit (non morphogène) et « suspended-load » pour désigner une charge qui interagit avec le lit à travers des phases successives d’érosion et de dépôt (morphogène).

Ce travail de recherche va s’intéresser au charriage uniquement. Le charriage est très difficile à prendre en compte dans un calcul hydraulique. Cette difficulté réside dans la fiabilité de l’estimation des flux de sédiments transportés à partir d’une relation adéquate pour des caractéristiques hydrodynamiques données, mais aussi et surtout par le fait que les propriétés de l’écoulement sont elles même influencées par le charriage, soit par ses effets morphogènes (changement de géométrie), soit par des effets de macro-rugosité liées au transport (« bedforms »), soit par des effets directs du charriage sur la loi de frottement contrôlant l’écoulement (Song et al. 1998). A ce jour la plupart des outils utilisés en ingénierie ont intégré des lois de transport issues d’analyses théoriques ou semi-empiriques, élaborées pour les conditions d’équilibre (état stable où la pente d’énergie de l’écoulement est compatible avec le flux sédimentaire à transporter) et pour des matériaux à granulométrie uniforme ou assimilés en tant que tels. Or les matériaux naturels sont loin d’être uniformes, et les propriétés établies pour les écoulements sur matériaux uniformes peuvent ne plus être vérifiées pour des écoulements en milieu naturel où des interactions entre grains de différentes tailles viennent s’ajouter à la simple interaction entre fluide et sédiments. L’interaction entre grains, plus connue sous le terme « tri-granulométrique» est un phénomène complexe qui peut se produire verticalement ou longitudinalement, et un mélange sédimentaire donné peut produire des lits complètement différents selon l’histoire hydrologique de la rivière : certains lits sont dits « pavés » car leur surface est composée essentiellement des plus gros diamètres présents dans le mélange sédimentaire et le lit est

Introduction _


« figé », stabilisé par cette couche de surface peu mobile. Lorsque la couche est totalement immobile on parle d’ « armure ». A l’opposé certains lits sont très érodés avec une fraction sableuse importante, et entre ces deux extrêmes existent plusieurs configurations associant parfois le transit de sédiments fins au-dessus d’une couche pavée. Même si des théories ont été proposées (Parker et Klingeman 1982), elles ne s’appliquent pas à toutes les situations et les mécanismes contrôlant ce type d’interactions sont encore mal connus.

Figure 1 : Exemple de pavage sur l’« Arc » L’approche très largement utilisée en ingénierie consiste à considérer le charriage comme une fonction du seul nombre de Shields (forme adimensionnelle de la contrainte exercée par l’écoulement sur le fond du lit). Le choix d’une telle relation n’est pas trivial comme peuvent le laisser supposer les nombreux fonctionnements sédimentaires rencontrés (avec ou sans pavage par exemple). Mais surtout, ce genre de relation repose sur le principe qu’à une condition hydraulique donnée ne correspond qu’une seule valeur de transport. Or ce « postulat » de base, s’il est bien vérifié pour des écoulements sur matériaux uniformes, pourrait bien être la première source d’erreur en présence de matériaux à granulométrie étendue, pour lesquels de larges fluctuations de débit solide ont été mesurées pour des conditions hydrauliques quasiment constantes, par de nombreux chercheurs. Les fluctuations de débit solide ont été identifiées la première fois dans les années 1930 à partir de mesures de terrain (Ehrenberger 1931, Mühlofer 1933, Einstein 1937), et les observations se sont multipliées au cours des dernières décennies avec le développement des techniques de mesure, à la fois sur le terrain (Emmett 1975, Jackson et Beschta 1982, Gomez 1983, Meade 1985, Reid et al. 1985, Tacconi et Billi 1987, Whiting et al. 1988, Kuhnle et al. 1989, Dinehart 1989, Bunte 1992, Paige et Hickin 2000, Garcia et al. 2000, Habersack et al. 2001, Cudden et Hoey 2003) et en canal expérimental (Hubbell 1987, Iseya et Ikeda 1987, Kuhnle et Southard 1988, Suzuki et al. 1998, Frey et al. 2003a). Ce phénomène est assez général car des fluctuations ont été mesurées également pour les rivières à tresses sur le terrain (Griffiths 1979, Kang 1982) ou sur des modèles physiques (Ashmore 1988, Hoey et Sutherland 1991). Le phénomène concerne une très large gamme de pentes, de faible (Whiting et al. 1988 ont mesuré des fluctuations pour une pente de 0.15%) à très forte (Frey et al. 2003b ont mesuré des fluctuations pour une pente de 15%), pour des sédiments unimodaux (Kuhnle et Southard 1988) ou bimodaux (Iseya et Ikeda 1987).

Introduction


Figure 2 : Fluctuations de débit solide mesurées à condition hydraulique quasi-constante a) sur le terrain (Gomez 1983) b) en laboratoire (Hoey et Sutherland 1991 )

L’amplitude de telles fluctuations est généralement très forte et les valeurs instantanées de débit solide peuvent atteindre plus de 3 fois les valeurs moyennes. Une autre caractéristique majeure de ces fluctuations est qu’elles ont toujours été observées de nature périodique (Gomez et al. 1989, Hoey 1992 et Kuhnle 1996 ont compilé des mesures de périodes), pour une large gamme de périodes (de quelques minutes à plusieurs jours), plusieurs périodes pouvant même être observées pour une condition hydraulique donnée. Cette périodicité implique que le phénomène ne serait pas la simple expression aléatoire d’un phénomène de nature stochastique (Cudden et Hoey 2003). L’existence de fluctuations, qui affectent le débit solide mais également la morphologie du lit sédimentaire, a conduit plusieurs auteurs à considérer que les conditions d’équilibre ne sont atteintes que très rarement en rivière naturelle (Jackson et Beschta 1982, Gomez et al. 1989, Kuhnle 1996). Cela a des conséquences importantes à l’échelle de l’événement hydrologique, pour le choix d’une stratégie d’échantillonnage, mais aussi pour la modélisation des crues et des phénomènes de transport associés. Les conséquences pourraient également être très importantes pour l’établissement de bilans sédimentaires, si de telles fluctuations peuvent se produire à l’échelle du régime. Une meilleure connaissance du comportement des lits à graviers en granulométrie étendue est donc un véritable enjeu, autant pour la prévision des risques que pour la protection des milieux. Pour la prévision des risques, il serait souhaitable de pouvoir un jour modéliser les fluctuations de débit solide, sur des périodes courtes (à l’échelle de l’événement) bien sûr, mais aussi et surtout à des échelles plus larges (échelle du régime), si leur existence est confirmée. D’un point de vue environnemental, les lits à graviers sont le support d’une vie aquatique importante (les zones de reproduction étant notamment liées à la qualité du substrat). L’absence de fluctuations en laboratoire sur des matériaux uniformes laisse bien évidemment supposer un contrôle direct du phénomène par le processus de tri granulométrique. Or une forme particulière de dunes, très longue et très plate, appelée « nappe de charriage » a souvent

Introduction _


été décrite comme associée aux phénomènes de fluctuation. Ces structures, dont les propriétés sont peu connues, présentent par ailleurs la particularité d’être fortement triées longitudinalement et n’existeraient qu’en granulométrie étendue (Dietrich et al. 1987). Ce travail de thèse se donne pour objectif de mieux comprendre, sur la base d’une approche expérimentale, comment le phénomène de tri granulométrique peut modifier le comportement des lits à graviers tels qu’ils ont été largement décrits pour des écoulements en présence de matériaux uniformes. Il s’agit d’une problématique majeure car c’est le concept même d’équilibre, sur lequel reposent toutes les stratégies actuelles de mesure et de calcul qui est remis en question. Pour mener à bien ce travail, le protocole de base qui sera utilisé est simple : dans un premier temps les écoulements seront étudiés sur des matériaux uniformes. Cette première partie de l’étude servira d’« état de référence ». Dans un deuxième temps, les mêmes matériaux uniformes seront mélangés dans des proportions variables pour produire des mélanges à granulométrie étendue. Les propriétés des écoulements produits sur ces mélanges seront alors comparées à l’état de référence, pour mettre en évidence l’effet « tri granulométrique ». Les écoulement sur matériaux uniformes étant supposés « connus» (de nombreuses lois de frottement et de transport ont été proposées à ce jour), la première partie servira surtout à tester les outils et les protocoles mis en place pour produire des données, mais aussi à vérifier notre capacité à modéliser ces écoulements « simples ». Le succès de cette première partie apparaît comme indispensable pour prétendre s’intéresser ensuite à des écoulements a priori plus compliqués. Cette première partie comportera donc :

- une présentation du dispositif expérimental et des protocoles de mesure ; - la production de données à partir d’écoulements réalisés sur des matériaux uniformes ; - une analyse des lois de frottement avec matériaux uniformes ; - une analyse des lois de transport solide avec matériaux uniformes.

La seconde partie comportera également une phase expérimentale longue. Le but sera de rechercher les fluctuations très largement décrites. On cherchera à vérifier si le signal est périodique et si ces périodes peuvent également se manifester à des échelles différentes. Une analyse des processus impliqués, et plus particulièrement du tri granulométrique, sera proposée. Enfin, une discussion portera sur la notion d’équilibre pour les écoulements sur matériaux non uniformes. Les résultats des différents travaux existants sur le sujet seront considérés au gré des nouveaux résultats présentés, et non dans une partie bibliographique distincte.

Partie 1


PARTIE I.

ETUDE DES ECOULEMENTS SUR MATERIAUX UNIFORMES

ECOULEMENTS SUR MATERIAUX UNIFORMES _


Dispositif expérimental, acquisition et analyse des données


I. LE DISPOSITIF EXPERIMENTAL, L’ACQUISITION, LE TRAITEMENT ET L’ANALYSE DES DONNEES Hormis quelques phases de mise au point des outils, qui se sont déroulées au Cemagref de Grenoble, toutes les mesures ont été réalisées au Laboratoire de Mécanique des Fluides et d’Acoustique de Lyon (LMFA-INSA). Le but de la thèse étant l’étude de l’influence du tri granulométrique sur le processus de charriage, il était important d’assurer un contrôle aussi parfait que possible des flux alimentant le système d’une part, et de mesurer de façon aussi précise que possible les grandeurs physiques qui caractérisent chaque écoulement. Ainsi, en préalable à toutes mesures, un investissement considérable a été consacré à la mise au point des outils (alimentation solide, échantillonnage du lit, capture d’images) et des protocoles de mesures. I.1. Le dispositif expérimental I.1.1 Présentation générale du dispositif Le dispositif expérimental est constitué d’un canal à parois vitrées (Figure 3) de 10m de long (8m utiles), 0.25 m de large (largeur réduite pour les mesures à fortes pentes), et inclinable (de 0 à 10%). L’alimentation liquide est assurée à partir de deux systèmes de réservoirs à charge constante (pour une stabilité maximum) et deux débitmètres électromagnétiques (pour les gammes 0.3-2.5 l/s et 2-80 l/s) assurant une précision de mesure de 0.5%. Le système d’alimentation 0.3-2.5 l/s a spécialement été mis en place pour les besoins de la thèse. Chaque expérience étant réalisée sur un lit de gravier de 5 à 10 cm d’épaisseur, le débit générant un écoulement à l’intérieur du lit a systématiquement été mesuré et soustrait du débit injecté.

Figure 3 : Le canal inclinable du LMFA Différents équipements ont été ajoutés pour les besoins de la thèse (Figure 4): une alimentation solide, un système d’acquisition d’images de l’écoulement (pour mesurer la vitesse), un dispositif d’acquisition d’images en sortie de canal pour mesurer le débit solide, ainsi que des ordinateurs pour l’acquisition, le stockage et l’analyse des données. Il n’y a pas de recirculation, ni pour l’eau, ni pour les sédiments. L’eau est récupérée en sortie dans un réservoir en sous-sol avant d’être pompée vers le réservoir d’alimentation. Les sédiments sont récupérés dans des seaux et stockés, parfois retamisés (selon le type d’expérience) avant d’être réinjectés en tête du système.



Figure 4 : Les différents équipements associés au canal (U est la vitesse moyenne) Les paramètres recueillis pour chaque expérience sont :

- le débit liquide injecté Q; - le débit solide injecté Qs (par calibrage du système d’injection pour chaque matériau) ; - la pente du canal (lecture directe sur un repère gradué) ; - la pente du lit de gravier So: un système de graduation permet de lire la cote du lit en

plusieurs points à travers la paroi vitrée, permettant un calcul de la pente moyenne du lit avec une précision estimée à plus ou moins 0.1% ;

- le débit solide en sortie : à partir d’échantillons séchés et pesés (l’analyse d’images sera également utilisée pour un des essais en granulométrie étendue);

- la vitesse moyenne de l’écoulement U (le protocole de mesures est expliqué par la suite).

Les mesures sont réalisées, à l’équilibre, c’est à dire lorsque le niveau du lit est considéré stable à un point de contrôle (la pente moyenne n’évolue plus), ce qui nécessite pour chaque nouvelle condition hydraulique, un minimum de 2 à 6 heures (selon la pente et le débit). I.1.2 Les matériaux Quatre matériaux uniformes de diamètre 2.3 mm, 4.9 mm, 9 mm et 12.5 mm ont été obtenus par tamisage de matériaux naturels de masse volumique 2.6 t/m3. Le coefficient d’étendue (défini par σ =0.5(d84/d50+d50/d16) est environ 1.1 pour chaque matériau et les courbes granulométriques sont présentées sur la Figure 5.

Figure 5 : Les 4 matériaux uniformes utilisés et leur courbe granulométrique

Caméra de mesure de U (aval)

Canal inclinable

Contrôle de la vitesse du tapis

Caméra de mesure de U (amont)

Alimentation solide

Prise d’images pour mesure de

Qs

0102030405060708090

100

0 5 10 15 20Diamètre (mm)

pour

cent

age

en p

oids

matériau Imatériau IImatériau IIIMatériauIV

12.5mm 4.9mm 2.3mm9mm


__Th

I.1.3 Le dispositif d’alimentation solide La condition indispensable pour étudier d’éventuelles variations du débit solide en sortie de canal est de pouvoir maintenir en entrée du système une alimentation aussi constante que possible et avec une grande précision, en particulier aux faibles valeurs. Après quelques essais réalisés avec un dispositif d’alimentation volumique industriel (de type « vis sans fin »), le choix s’est porté sur la construction d’un dispositif « tapis roulant » sur le modèle très largement utilisé pour ce type de travaux (Figure 6). Le sédiment est introduit dans une trémie, qui elle-même alimente gravitairement le tapis. Le débit solide est contrôlé par les dimensions de l’orifice de sortie de la trémie (réglable), la distance de la trémie au tapis (réglable), et la vitesse du tapis (réglable grâce à un potentiomètre). Un système d’arrosage du tapis (dont le piquage d’alimentation est situé après le débitmètre) permet d’éviter que du sédiment ne colle au tapis et que l’alimentation ne se fasse par « paquets ». Pour vérifier la constance de l’alimentation, un système tachymétrique de suivi et d’enregistrement de la vitesse du tapis a également été mis au point, le tout étant géré informatiquement (suivi « en direct», du fonctionnement sur la console du PC). La courbe de correspondance vitesse du tapis / débit solide doit être recalibrée à chaque nouvelle expérience (changement de matériau), après chaque nouveau réglage de la trémie ou tout simplement après chaque déplacement du dispositif.

F

L’imPoavtamToidpaet flula sérequélo
a
_____________________________èse A.RECKING

igure 6 : a) Le dispositif trém

c) le bloc mote

objectif de ce travail étant l’portant également de vérifierur cela plusieurs essais de videc un suivi systématique de la

isage et pesée, soit grâce à lus les essais ont confirmé que

entique à celle qui y est introdrtir d’un mélange de trois matmontre que la stabilité est assuctuations du signal sont directrépartition des grains sur le tdiment 9 mm est alimenté aprésentant à lui seul 12% du delques dizaines de secondes, cignées de celles qui seront rec

b

_______________________________ 21 Influ

ie/tapis/bloc moteur b) le tapi

ur et la roue tachymétrique r

étude du tri granulométrique à qu’aucun tri ne se produit à l’ange de la trémie ont été réalisé composition du sédiment en so’analyse d’images (technique d la composition du sédiment quiuite. La Figure 7 présente le résériaux (25% de 2.3mm, 37.5% rée même à faible débit solide (ement liées à la précision de l’aapis et à la fréquence de prise u rythme de 3 grains par secébit solide instantané). Cependae qui correspond à des ordres dherchées dans le canal.

c

____________________________ ence du tri granulométrique sur le charriage

s et son système d’arrosage

eliée au PC

l’intérieur du canal, il était intérieur même de la trémie. s avec différents mélanges, et rtie, soit par échantillonnage,

écrite au paragraphe suivant). sort de la trémie est toujours ultat d’une vidange réalisée à de 4.9mm et 37.5% de 9mm) 10.7 g/s). A ce faible flux, les nalyse d’images, mais aussi à d’images (sur cet exemple le onde en moyenne, un grain nt les fluctuations portent sur e grandeur de fréquences très



Figure 7: Suivi par analyse d’images de la vidange de la trémie, à 10.7 g/s, avec un mélange de trois matériaux : 25% de 2.3mm, 37.5% de 4.9 mm et 37.5% de 9mm

I.1.4 Mesure du débit solide par analyse d’image Le dispositif d’acquisition et d’analyse (Frey et al. , 2003a) est présenté en annexe 2. Seuls les grands principes sont rappelés ici. Le flux solide à analyser transite au dessus d’une rampe transparente éclairée à haute fréquence par ombroscopie (Figure 8a). Les images sont prises grâce à une caméra Pulnix 6705, à une fréquence adaptée à chaque condition expérimentale et à la précision souhaitée.

Figure 8 : a) La rampe lumineuse et sa caméra - b) la chaîne d’acquisition et de traitement

Ces images sont des représentations bidimensionnelles caractérisées par le niveau de gris de chaque pixel qui les constitue (Figure 9a). Un algorithme (logiciel WIMA, Ducottet 1994) permet de passer d’une représentation « pixel » à une représentation « vecteur », les principales étapes étant :

Temps (mn)

1

3

5

7

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

2

4

6

Qs

(g/s

)

9mm

4.9mm

2.3mm

Post-traitement WIMA

Segmentation Données Vitesses

géométriques

GDS

Courbe granulométrique Débit solide

Acquisition Météor II-MC

Camera analogique PULNIX 6705

Eclairage haute Fréquence par ombroscopie

a) b)



- un repérage des grains à partir des nuances de gris des pixels : « segmentation » basée sur des calculs de gradients et de seuillage des niveaux de gris (Figure 9b) ;

- une définition vecteur de chaque grain identifié (Figure 9c) : repérage des concavités locales et algorithmes de morphologie (érosion, dilatation..) ;

- un calcul des principales dimensions et de l’aire pour chaque grain.

A partir de ce nouveau jeu de données, un modèle de forme ellipsoïde est utilisé pour calculer le volume des grains (ce qui nécessite au préalable le calage d’un paramètre de forme pour chaque matériau utilisé). A partir de la vitesse de passage des grains sur la rampe lumineuse (« lue» sur les images) il est alors possible de calculer le débit solide et la courbe granulométrique correspondante.

Figure 9 : a) Image originale, b) après séparation du fond c) après séparation des objets entre eux

La chaîne de mesure et de traitement a été validée avec une erreur estimée à moins de 3% pour la courbe granulométrique et moins de 7% pour le débit solide (Frey et al. 2003a). I.1.5 Mesure de la vitesse moyenne de l’écoulement Deux méthodes ont été testées pour mesurer la vitesse moyenne. Pour les écoulements sur lit fixe la méthode généralement utilisée consiste à mesurer la profondeur moyenne H avec une pointe limnimétrique et d’en déduire la vitesse moyenne à partir de la relation de conservation de la masse, connaissant le débit (U=Q/WH). La seule difficulté consiste alors à identifier la cote « zéro » à partir de laquelle la profondeur doit être mesurée. L’erreur est alors directement liée au ratio hauteur d’eau sur hauteur de rugosité ks: une grande hauteur d’eau sur un lit de sédiments fins produira une erreur faible alors qu’une faible hauteur d’écoulement sur un lit de matériaux grossiers peut générer de fortes erreurs (jusqu’à 50%) dans l’estimation de la vitesse moyenne. Pour la mesure limnimétrique le principe suivant a été retenu afin de minimiser l’erreur de lecture : chaque hauteur d’eau a été moyennée à partir d’un minimum de 50 mesures réparties sur plusieurs sections d’un tronçon plat et homogène, et en alternant systématiquement une mesure « haute » (sommet des grains) et une mesure « basse » (inter-grains). Pour un matériau uniforme de diamètre D, cela revient à considérer que le zéro est situé à une distance D/4 au dessous du niveau moyen du sommet des grains (Figure 10).

a b c



Figure 10 : Protocole de mesure de la profondeur moyenne sur lit de gravier En présence de charriage, il est cependant très difficile, voire impossible de mesurer la hauteur d’eau, le fond du lit devenant très fluctuant. C’est pourquoi la méthode du sel a été largement utilisée (Smart et Jaeggi 1983, Cao 1985, Rickenmann 1990). Cette méthode utilise la réponse électrique de deux électrodes (immergées en amont et en aval d’un tronçon de mesures) au passage d’une solution saline. Afin de simplifier le dispositif de mesures et d’éviter l’intrusion d’une solution corrosive dans le système, une variante a été développée. Comme pour la technique du sel, le principe consiste à suivre le passage d’un marqueur, mais cette fois il s’agit d’un colorant, la mesure étant réalisée grâce à deux caméras, distantes de 4m et situées en amont et en aval d’une section de contrôle (Figure 4 et Figure 11).

Figure 11 : Dispositif de mesure de la vitesse moyenne de l’écoulement Les images enregistrées sur un ordinateur sont ensuite traitées en niveaux de gris. La réponse du passage du colorant est un pic (Figure 12b). La qualité du pic est généralement meilleure lorsque la caméra est placée au dessus de l’écoulement plutôt que sur le côté (Figure 12a). A forte pente (9%) et faible profondeur relative, la forme générale du pic est conservée mais le signal peut être fortement bruité du fait des variations rapides de l’éclairage ambiant induit par les fluctuations de la surface libre. Ce phénomène peut cependant être atténué par l’utilisation d’un filtre optique (de type polariseur). Le temps de passage du colorant entre les

Mesure « basse »

Section en travers

Mesure « haute »

Surface libre

D/4 en moyenne

Caméra

Eclairage



deux sections de mesure est calculé par la différence entre les valeurs des deux pics fournis par chaque caméra (une autre méthode consiste aussi à utiliser le centre de gravité du signal plutôt que son maximum ; l’intérêt du choix du maximum est argumenté dans Cao 1985). Connaissant la distance entre les caméras, il est alors possible de calculer la vitesse moyenne. L’acquisition se faisant avec une fréquence de 20 images par seconde, l’erreur de lecture sur un pic est de ±0.05 secondes, ce qui correspond à une erreur maximum de 1.5% sur le calcul de la vitesse pour les écoulements considérés.

T = 5 s t = 11.5 s t = 12.2 s

T = 14.1 s t = 18 s t = 22 s

(a) (b)

Figure 12: La mesure par colorant : a) images et b) analyse en niveaux de gris La fiabilité de la méthode a été testée par comparaison avec la mesure directe de la profondeur (pointe limnimétrique), pour différents écoulements, sans ou avec peu de charriage. Le résultat indique que la correspondance entre les deux méthodes dépend à la fois des propriétés de l’écoulement et du sédiment utilisé. La Figure 13(a) indique que pour une injection de 15 ml de colorant, la méthode de l’encre diffère de la mesure limnimétrique, pour les faibles valeurs de profondeur relative R/D, avec des valeurs seuils qui varient en fonction du matériau considéré : pour une erreur maximum de 3%, les profondeurs relatives minimum à respecter sont 2, 4 et 8 pour les diamètres 9, 4.9 et 2.3 mm. Cao (1985), sur la base d’un travail similaire pour la technique du sel, avait observé qu’une erreur de 10% était atteinte, en canal de 0.6 m de largeur (et pour des pentes similaires), à des profondeur relatives R/D de 2, 2.5 et 9 pour des sédiments de diamètre 44, 22 et 11 mm. En fait l’analyse des images du lit prises à travers la paroi transparente du canal, au moment de l’injection, montre clairement que le colorant affecte le lit sur une grande profondeur immédiatement après l’injection (Figure 14).

100120140160180200220

0 10 20 30Temps (s)

Niv

eau

de g

ris



Figure 13 : Comparaison de la méthode du traceur avec la méthode limnimétrique ; a) injection de 15ml sans couche artificielle et b) avec couche artificielle ou volume

d’injection réduit à 8ml

Figure 14 : Mesure de la propagation du colorant dans l’écoulement et à différentes profondeurs du lit mesurées en multiples du diamètre de grain D (réalisé sur matériau

4.9 mm).

Cela peut s’expliquer par le fait que l’injection modifie considérablement le champ des vitesses locales en créant une composante verticale non négligeable. Du colorant est ainsi capturé par le lit avant d’être progressivement relargué dans l’écoulement principal (Figure 15a). Plus le sédiment est fin et plus le délai de relargage est long (d’où l’influence du diamètre sur la validité de la méthode aux faibles profondeurs relatives). Ce phénomène, qui a pour principal effet d’ « aplatir » le pic aval, conduit à une surestimation du temps de propagation du nuage de colorant et à une sous-estimation de la vitesse. La Figure 13b indique que cet effet disparaît presque lorsque le volume d’injection est réduit à 8 ml ou si le lit est préalablement recouvert d’une surface artificielle (feuille de plastique rigide imperméable) au droit de l’injection (Figure 15b).

0,01

0,1

1

10

100

0 5 10 15 20 25 30

Temps (s)

Varia

tion

du n

ivea

u de

gri

s

Ecoulement D 2D 4D 8D

70

75

80

85

90

95

100

0 2 4 6 8 10R/D

Uca

mer

a/Ulim

ni (%

)

D=2.3mm So=1% I=15mlD=2.3mm So=1% I=8mlD=2.3mm So=1% I=8ml + couche artificielleD=4.9mm So=2% I=15mlD=4.9mm So=2% I=15ml + couche artificielle

- 10 %

- 3 %

70

75

80

85

90

95

100

0 2 4 6 8 10R/D

Uca

mer

a/Ulim

ni (%

)

D=4.9mm So=1% D=4.9mm So=2%D=2.3mm So=1% D=9mm So=1%D=9mm So=2% D=9mm So=3%D=9mm So=5%

- 10 %

- 3 %

a) b)



Figure 15 : Méthode d’injection du colorant a) sans ou b) avec surface artificielle L’injection ne peut être qu’instantanée et le volume utilisé doit résulter d’un compromis. Il doit être suffisant pour permettre une diffusion rapide dans toute la section d’écoulement et aussi faible que possible afin de ne pas trop perturber le champ des vitesses locales. Pour les écoulements plus turbulents (nombre de Reynolds supérieur à 6000 pour les essais en canal de 10 cm), il n’y a pas vraiment de limitation car le colorant n’a pas le temps d’atteindre le lit. Pour les écoulements peu turbulents (quelques écoulements sans charriage seront concernés) la technique doit être utilisée avec précaution. L’injection doit être adaptée à chaque cas en volume et en concentration, et être réalisée sur une couche artificielle. De plus pour ces quelques cas, un contrôle à la pointe limnimétrique est systématiquement réalisé. La méthode de mesure de vitesse par colorant s’est avérée très stable (en général une seule mesure suffit pour un écoulement donné). Elle est facilement mise en œuvre et on verra que les mesures obtenues sont très cohérentes avec les mesures obtenues par la méthode du sel. De plus, elle permet un contrôle visuel de la propagation du colorant, elle n’est pas intrusive (la mesure se faisant en « extérieur ») et il n’y a pas de solution corrosive injectée dans le réseau. La méthode limnimétrique a été utilisée uniquement pour valider la méthode de l’encre. Toutes les valeurs considérées par la suite ont été obtenues par la méthode de l’encre. I.2. L’acquisition et l’analyse des données I.2.1 L’acquisition des données La méthode de l’encre a été utilisée pour produire 144 mesures de vitesses sur matériaux uniformes, pour une large gamme de pentes (1 à 9%) et de débits. Les résultats complets sont donnés en annexe 6 et un résumé est présenté dans le Tableau 1. L’analyse des nombres de Reynolds Re=UR/ν indique que les écoulements étudiés sont turbulents (Re>2000). Les nombres de Reynolds particulaires Re*=u*ks/ν indiquent quant à eux que tous les écoulements sont de type « rugueux », c’est à dire qu’ils vérifient Re* >70 (Graf et Altinakar 2000). Les nombres de Froude Fr=U/(gH)0.5 indiquent quelques écoulements subcritiques (Fr<1), quelques écoulements critiques (Fr≈1), et surtout des écoulements supercritiques (Fr>1).



Set So D W Q U H Re Re* Fr Φ Nb de N° (mm) (m) (l/s) (m/s) (mm) (103) Valeurs

1 2.3 0.25 2-20 0.42-0.96 19-83 7.0-48.0 97-188 1.00-1.20 0.00-0.22 9

2 2.3 0.10 0.3-1.3 0.28-0.50 10-26 2.4-8.5 71-106 0.90-1.10 0.00-0.00 11

3 4.9 0.25 5-15 0.56-0.90 36-67 15.0-39.0 277-383 0.98-1.20 0.00-0.00 2

4 4.9 0.10 0.3-1.4 0.24-0.45 12-31 2.4-8.6 165-249 0.71-0.88 0.00-0.00 7

5

0.01

9 0.10 0.3-1.4 0.19-0.42 15-32 2.3-8.4 343-480 0.50-0.78 0.00-0.00 4

6 2.3 0.10 0.4-1.6 0.37-0.59 10-27 3.3-10.4 102-157 1.12-1.22 0.00-0.10 10

7 4.9 0.10 0.75-2 0.45-0.64 16-31 5.6-12.3 268-355 1.14-1.25 0.00-0.00 5

8

0.02

9 0.10 0.3-1.6 0.25-0.54 11-29 2.4-10.1 428-645 0.73-1.06 0.00-0.00 4

9 2.3 0.10 0.3-1.6 0.36-0.66 8-24 2.6-10.7 111-183 1.17-1.43 0.00-0.21 10

10 4.9 0.10 0.8-1.6 0.46-0.60 17-27 5.9-10.4 339-413 1.15-1.23 0.00-0.22 5

11

0.03

9 0.10 0.3-1.6 0.26-0.59 11-27 2.5-10.4 511-766 0.80-1.20 0.00-0.00 5

12 2.3 0.10 0.7-1.7 0.48-0.77 14-22 5.4-11.8 190-229 1.30-1.71 0.19-0.62 6

13 4.9 0.10 0.5-2.6 0.38-0.80 13-32 4.0-15.7 387-589 1.07-1.49 0.02-0.22 15

14

0.05

9 0.10 0.5-2.0 0.37-0.65 13-28 4.0-12.4 730-1067 1.00-1.28 0.00-0.00 7

15 2.3 0.10 0.6-1.0 0.50-0.67 12-15 4.8-7.7 205-230 1.46-1.80 0.33-0.63 3

16 4.9 0.10 0.6-2.5 0.42-0.86 15-29 4.6-15.8 497-664 1.01-1.68 0.05-0.43 11

17

0.07

9 0.10 1.2-2.1 0.54-0.64 22-32 8.3-12.9 1088-1330 1.11-1.14 0.02-0.09 8

18 12.5 0.15 3.0-5.0 0.60-0.75 33-44 14.1-20.9 1807-2140 1.15-1.16 0.02-0.08 3

19 0.09 4.9 0.10 1.0-1.5 0.53-0.66 19-23 7.3-10.4 621-678 1.25-1.46 0.22-0.40 5

20 9 0.10 0.9-2.1 0.45-0.68 19-32 6.4-13.2 1173-1491 1.04-1.25 0.03-0.16 10

21 12.5 0.15 2.0-3.7 0.53-0.64 25-38 10.0-16.4 1843-2260 1.07-1.08 0.02-0.12 3

Tableau 1 : Les conditions expérimentales Le débit solide est exprimé sous une forme adimensionnelle (Einstein 1941) définie par :

31 gD

q

s

sv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=Φ

ρρ

(1)

Où qsv ([m3/s.m]) est le transport solide volumique par unité de largeur. Ces résultats vont être analysés dans ce qui suit, par confrontation aux lois déjà proposées pour ce type d’écoulement. Il s’agit de vérifier si les outils et protocoles mis en œuvre donnent des résultats cohérents, et aussi de tester à ce stade de la recherche, la capacité à reproduire, par des modèles, les grandeurs qui caractérisent ces écoulements que l’on va considérer comme « simples » (en comparaison à ce qui sera observé en présence de tri granulométrique). Deux lois sont nécessaires pour caractériser un écoulement sur lit mobile : une loi de frottement (qui relie la vitesse moyenne à la rugosité de paroi) et une loi de transport (qui relie le débit solide aux conditions d’écoulement et aux caractéristiques physiques du matériau charrié).



I.2.2 Protocole de traitement et de mise en forme des données Il est assez commun de calculer la perte de charge S par frottement aux parois d’un écoulement en canal (mais aussi en rivière) par extension de la loi de Darcy-Weisbach établie pour le calcul de la pente d’énergie des écoulements en conduites:

gU

Rf

LdES

2²

41==

(2)

Où f est le coefficient de frottement et U la vitesse moyennée sur la section. Pour les écoulements uniformes à surface libre, la pente d’énergie S vaut la pente géométrique So, et cette relation est souvent exprimée sous la forme suivante :

*8

0 uU

gRSU

f==

(3)

Le coefficient de frottement f est relié aux coefficients de Manning n et Chezy C par la relation (Yen 2002):

UgRS

Cg

gR

nf === 6/18

(4)

Cependant la relation de Darcy-Weisbach est préférentiellement utilisée en recherche car le coefficient f introduit est adimensionnel (contrairement à C [LT-2] et n [TL1/3]). Connaissant la vitesse U (mesurée), l’Eq.3 permet de calculer f. Cependant il existe plusieurs façons d’accéder à la vitesse de frottement u* : à partir de la pente de frottement (Eq.3), à partir du profil de vitesse moyenne (en extrapolant u[z] à zéro sur un graphe semi-logarithmique), ou en extrapolant au lit le profil des contraintes de Reynolds (τ = -ρu’v’) mesuré au sein de l’écoulement. Song et al. (1995) ont montré que pour un écoulement uniforme et bi-dimensionnel (i.e. respectant un ratio largeur du lit W sur hauteur d’eau H plus grand que 3.5 d’après leurs mesures), les trois méthodes donnent le même résultat avec un écart estimé inférieur à 5%. Plus de 90% des données produites l’ont été avec respect de ce ratio (les autres données ne le dépassant pas de plus de 12%) et (8/f)1/2=U/u* est calculé à partir de la pente et du rayon hydraulique comme il est formulé dans l’Eq.3. Cependant, comme seules les propriétés de l’écoulement au contact du lit de gravier nous intéressent, ce calcul a nécessité au préalable une correction de R pour tenir compte des effets de parois. En effet, il est clair que la résistance à l’écoulement générée par les parois lisses du canal est beaucoup plus faible que la résistance générée par le lit de graviers. Donc le rayon hydraulique calculé à partir du débit et de la vitesse moyenne est représentatif de la « résistance globale » du système canal plus lit de graviers. C’est une sorte de « pondération » entre le rayon hydraulique Rw généré par la résistance exercée par les parois (caractérisées par un coefficient de frottement fw) et le rayon hydraulique Rs généré par la résistance exercée par le sédiment posé et se déplaçant au fond du canal (caractérisé par un coefficient de frottement fs) avec par conséquent Rw<R<Rs. Rs correspond en fait à la hauteur d’eau qui serait mesurée pour une vitesse moyenne U identique dans un canal infiniment large (sans effets de parois) pour le même débit spécifique (q=Q/W). Seul Rs doit être considéré pour obtenir de vraies grandeurs adimensionnelles, sans aucune dépendance à la géométrie. La méthode très



largement répandue proposée par Johnson (1942) et modifiée par Vanoni et Brooks (1957) a été utilisée pour calculer Rs (la méthode est présentée en annexe 3). Dans la suite, à chaque fois que le rayon hydraulique R ou le coefficient de frottement f seront utilisés, ils feront référence aux grandeurs Rs et fs associées au lit sédimentaire et à lui seul. I.2.3 Analyse des données produites sur matériaux uniformes En écoulement rugueux, le coefficient de frottement f est indépendant du nombre de Reynolds et on recherche en général une relation linéaire entre les valeurs (8/f)1/2 et le logarithmique des profondeurs relatives R/D associées (on reviendra sur des aspects plus « théoriques » au chapitre suivant). Tous les couples (R/D, [8/f]1/2) mesurés sont reportés sur un graphe semi-logarithmique sur la Figure 16 et la dispersion des points est très importante (le meilleur ajustement donne un coefficient de corrélation inférieur à 0.5). Cependant si on distingue les points obtenus pour des écoulements avec et sans charriage on s’aperçoit que la dispersion est considérablement réduite, les données s’ajustant à deux relations linéaires bien distinctes.

Figure 16 : Représentation des coefficients de frottement avec considération du charriage

Le meilleur ajustement par une loi semi logarithmique pour les points correspondant aux écoulements sans charriage, si on conserve un coefficient de 5.75 (qui correspond à un coefficient de Von Karman κ = 0.4), donne l’Eq.5 qui est assez similaire à d’autres relations proposées dans la littérature (Engelund et Hansen 1966, Gao et Abrahams 2004) :

)log(75.57.48DR

f+=

(5)

Cependant la validité de ce coefficient pourrait être remise en question à faible profondeur relative, ce qui sera discuté par la suite. Il est important de souligner que la lecture de ce type de graphe nécessite une petite gymnastique, puisque lorsque (8/f)1/2 augmente, cela correspond en fait à une diminution de la résistance à l’écoulement (le coefficient de frottement f diminue).

0

2

4

6

8

10

12

14

1 10 100

R/D

(8/f)

1/2

Charriage important

Pas de charriage



0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 10R/D

(8/f)

1/2

0

0.01

0.02

0.03

Φ

(8/f)1/2Phi

Regime 1 Regime 2 Regime 3

Considérons maintenant les coefficients de frottement f et le débit solide adimensionnel à l’équilibre pour une pente donnée : tous les points mesurés à la pente 5 % avec le matériau II (4.9 mm) sont reportés sur la Figure 17.

Figure 17 : Ratios (8/f)1/2 et débits solides Φ associés, mesurés avec le matériau 4.9mm à la pente 5%

On peut facilement distinguer 3 régimes :

- régime 1 : il n’y a pas de charriage, (8/f)1/2 augmente (la résistance diminue) lorsque R/D augmente

- régime 2 : le charriage apparaît et augmente avec R/D, (8/f)1/2 est constant - régime 3 : le charriage et (8/f)1/2 augmentent avec R/D.

Pour le régime 2, les plus petites valeurs de débit solide reportées sur ce graphe correspondent aux premières valeurs mesurables. En fait, le mouvement des premiers grains est observé juste avant la transition du régime 1 vers le régime 2. L’absence de données que l’on peut observer juste après la transition est due à la difficulté d’empêcher la formation de bancs alternés : lorsque le sédiment 9 mm est utilisé, sa mise en mouvement nécessite de travailler avec des débits relativement forts, conduisant à des ratios W/H supérieurs à 3.5 et la condition de bidimensionnalité de l’écoulement n’est plus respectée. Par ailleurs l’utilisation des sédiments plus fins conduit, à faibles débits, à la formation de bancs alternés non compatibles avec les objectifs de l’étude dans la mesure où ils peuvent générer une résistance additionnelle (Parker et Peterson 1980). Finalement quelle que soit la pente un compromis devait être trouvé entre le diamètre des matériaux à utiliser et la largeur du canal et peu de mesures ont été réalisées dans la première partie du régime 2. La plupart des mesures ont été réalisées sur lits plats ou sur des lits légèrement ondulés (la hauteur d’une ondulation étant en ordre de grandeur le diamètre du grain D), quel que soit le régime considéré (Smart et Jaeggi 1983 et Rickenmann 1990 avaient aussi observé des lits plats pour des écoulement à forte pente et des nombres de Froude supérieurs à 1.5). A part



quelques écoulements sur dunes observés à la pente 1% et pour lesquels une forte augmentation de la résistance totale à l’écoulement était mesurée (on y reviendra au chapitre IV), les mesures sur lit ondulé n’ont pas révélé un impact notable sur le coefficient de frottement. En fait, pour une pente donnée, la distance entre deux crêtes successives d’ondulations augmente avec le débit pour une hauteur de forme à peu près constante, jusqu’à ce que le lit devienne parfaitement plat dans le régime 3 (Wilcock et McArdell 1993 ont décrit une évolution tout à fait similaire des formes du lit). Donc, pour une pente donnée, plus le débit augmente, plus le charriage est fort, plus le lit s’aplatit et plus la résistance à l’écoulement augmente (par comparaison à ce qui serait observé pour un écoulement sur lit fixe). Cela se traduit sur la Figure 18 par un écart croissant entre f mesuré et celui que l’on aurait sans charriage (régime 1) quand R/D augmente. En d’autres termes, il existe une corrélation inverse entre l’amplitude des déformations et l’augmentation du coefficient de frottement f quand le charriage augmente. Cela permet de conclure que l’augmentation de résistance est directement imputable au charriage et à lui seul (les ondulations du lit sont par contre supposées contribuer à la dispersion des points de mesure). Bathurst et al. (1982a) étaient arrivés à la même conclusion à partir d’observations similaires. Bien que la Figure 17 ne présente que les résultats obtenus pour le matériau 4.9 mm avec une pente de 5%, il est important de noter que ces observations sont valables quels que soient le matériau et la pente étudiés (Figure 19). Tous les coefficients de frottement sont reportés sur la Figure 18 avec considération de la pente (la répartition des points entre les régimes 1, 2 et 3 est respectivement 24%, 36% et 40%). Les lignes matérialisent le régime 2 (tel qu’il a été défini ci-dessus) pour chaque pente.

Figure 18 : Tous les points expérimentaux avec considération de la pente

0

2

4

6

8

10

12

14

1 10 100

R/D

(8/f)

1/2

Pente 1%

Pente 2%

Pente 3%

Pente 5%

Pente 7%

Pente 9%



Figure 19 : ratios (8/f)1/2 et débits solides Φ mesurés pour tous les matériaux et pour chaque pente, représentés en échelle semi-logarithmique en fonction de R/D

0123456789

1 10R/D

(8/f)

1/2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

Φ

(8/f)1/2Phi

0123456789

10

1 10 100R/D

(8/f)

1/2

0

0,05

0,1

0,15

0,2

Φ

(8/f)1/2Phi

0

1

2

3

4

5

6

1 10R/D

(8/f)

1/2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Φ

(8/f)1/2Phi

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 10R/D

(8/f)

1/2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

Φ

(8/f)1/2Phi

0123456789

1 10R/D

(8/f)

1/2

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

Φ(8/f)1/2Phi

0

2

4

6

8

10

12

14

1 10 100R/D

(8/f)

1/2

0

0,1

0,2

0,3

Φ

(8/f)1/2Phi

So = 1 %

So = 3 %

So = 2 %

So = 5 %

So = 7 % So = 9 %



0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

S 0

Φ

Limite basse

Limite haute

Régime 3

Régime 2

Régime 1

On peut déduire des extrémités de ces lignes les valeurs approximatives de R/D délimitant les trois régimes pour chaque pente (Tableau 2).

Pente Limite R/D entre régimes 1 et 2 Limite R/D entre les régimes 2 et 3 0.01 9.54 19,50 0.02 4.70 11.00 0.03 2.91 7.15 0.05 1.85 5.20 0.07 1.33 3.95 0.09 1.04 2.96

Tableau 2 : Valeurs limites R/D estimées pour la transition entre chaque régime et pour chaque pente

Compte tenu de l’analyse précédente, ces valeurs devraient coïncider avec les conditions du début de transport pour chaque pente considérée à la transition du régime 1 au régime 2 et à une gamme de débit solide plus importante dans le régime 3. Une forme non dimensionnelle de la contrainte au fond (ou nombre de Shields θ défini par l’Eq.6) de chacun de ces points caractéristiques est reporté sur la Figure 20 en fonction de la pente.

( ) DR

sS

Dgo

s )1( −≈

−=

ρρτθ

(6)

Figure 20 : Contraintes de Shields délimitant le régime 2 et calculées pour chaque pente

La « limite basse » sur cette figure (transition du régime 1 au régime 2) indique un nombre de Shields à peu près constant, compris entre 0.05 et 0.06, qui correspond à la valeur proposée par Shields (1936) pour l’apparition du charriage. La limite « haute » indique un nombre de Shields moyen d’environ 0.16 qui coïncide bien avec la limite entre les régimes 2 et 3 sur un graphe des débits solides (Figure 21).



0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3θ

Φ

Régime 1 Régime 2 Régime 3

Figure 21 : Débit solide adimensionnel en fonction du paramètre de Shields Il est par ailleurs intéressant de noter que tous les points mesurés dans le régime 3 sont très bien reproduits par la formule de Rickenmann (1991), mais que par contre cette formule conduit systématiquement à une surestimation des valeurs mesurées dans le régime 2 (toutes les formules citées sont présentées en annexe 1). I.3. Discussion I.3.1 Influence du charriage sur le coefficient de frottement Quand on étudie la bibliographie consacrée au sujet, on se rend compte qu’il n’y a finalement eu que peu de considérations pour les effets directs du charriage sur le coefficient de frottement. Cela a été motivé par le fait que le charriage est souvent si faible que l’approximation d’un écoulement sur lit fixe se trouve justifié (Hey 1979, Van Rijn 1982, Whiting et Dietrich 1990). Par conséquent, le charriage a essentiellement été pris en compte, indirectement, par la résistance additionnelle induite par les déformations du lit, comme par exemple pour les dunes en rivières à sables (Einstein et Barbarossa 1951, Van Rijn 1982, Wu et Wang 1999). Et pourtant, de nombreuses observations tendent à confirmer, qu’au moins sous certaines conditions, le charriage peut avoir un impact considérable sur le coefficient de frottement. Déjà Meyer-Peter et Muller (1948) préconisaient d’appliquer un facteur de correction au calcul de la contrainte au fond (même en l’absence de déformations du lit) pour tenir compte de tels effets (Wong et Parker 2006). En comparant des mesures réalisées en écoulements sur lits mobiles, Bathurst et al. (1982) ont décrit de fortes augmentations du coefficient de frottement f avec la pente (comprise entre 3 et 9%) comme une conséquence directe de l’augmentation du charriage. Wiberg et Rubin (1989) ont observé qu’en cas de charriage intense sur lit plat (« upper plane bed regime»), le coefficient de frottement peut être bien plus fort que ce prédit par des relations établies pour lit fixe. Mais si de nombreux travaux ont permis de mieux comprendre les effets de la suspension sur la turbulence (Carbonneau et



1 0 6

1 0

1 4

R /D

(8 /f) 1 /2

S o = 0 .5 %S o = 0 .7 5 %S o = 0 .9 %S o = 1 % S o = 1 .2 5 % S o = 1 .5 %

Bergeron 2000), ce n’est qu’au cours de ces dernières années qu’un réel intérêt est apparu pour l’étude des effets du charriage. La plupart des protocoles expérimentaux ont consisté à injecter graduellement un sédiment dans un écoulement d’eau claire sur lit fixe, et de mesurer l’évolution de f. Ce type d’expérience a confirmé que le coefficient de frottement augmente avec la quantité de sédiment injectée, et que le taux d’augmentation devient faible quand les conditions d’alimentation sont proches de l’équilibre (Bergeron et Carbonneau 1999, Carbonneau et Bergeron 2000, Omid et al. 2003, Gao et Abrahams 2004, Calomino et al. 2004, Mahdavi et Omid 2004, Campbell et al. 2005). Les effets du charriage sur le coefficient de frottement pour des conditions de transport à l’équilibre ont par contre été peu étudiés. Quelques travaux (Song et al. 1998, Gao et Abrahams 2004) ont montré qu’à l’équilibre, le coefficient de frottement augmente avec la concentration. Song et al. (1998) ont réalisé 55 mesures de vitesse par la technique de l’ADVP (Acoustic Doppler Velocity Profiler) sur des écoulements avec charriage, réalisés à l’équilibre et pour des pentes comprises entre 0.5 et 1.5% (Figure 22).

Figure 22 : Mesures réalisées à l’équilibre par Song et al. 1998 Ils ont déduit de leur analyse que pour une pente donnée, la différence entre f mesuré avec charriage et f mesuré sans charriage augmente avec la profondeur relative R/D. Ils ont aussi constaté que pour un R/D donné, cette différence augmente avec la pente (Figure 22). Bien que les valeurs des coefficients de frottement mesurées par Song et al. soient plus fortes dans l’ensemble que nos valeurs (pour une pente et un R/D donné), ces observations sont qualitativement très cohérentes avec ce qui a été précédemment décrit pour le régime 2 (Figure 18). Il faut cependant noter que contrairement à toutes ces observations expérimentales, certains auteurs ont également décrit qu’à faibles taux, l’injection de sédiment pouvait produire une légère diminution du coefficient de frottement (Bathurst et al. 1982b, Nikora et Goring 2000, Campbell et al. 2005, Carbonneau et Bergeron 2000). Ce phénomène est expliqué par une possible diminution de la rugosité de surface induite soit par réarrangement des grains à la surface du lit (Bathurst et al. 1982b), soit par remplissage des interstices par les grains les plus fins en cas de sédiment non uniforme (Campbell et al. 2005).



Nos données ne sont pas assez précises pour observer une telle tendance. Par contre, les mesures réalisées pour des écoulements du régime 3 montrent que l’état initial du lit (composition et formes) n’a aucune influence sur f, le lit étant très rapidement nivelé, avec notamment un remplissage des interstices en granulométrie étendue. I.3.2 Considérations hydrodynamiques Les écoulements étudiés par Song et al. (1998) sont caractérisés par des nombres de Shields inférieurs à 0.09. Nos mesures couvrent une gamme plus large de conditions hydrodynamiques (avec des Shields compris entre 0.01 et 0.34) et montrent qu’aux fortes valeurs du nombre de Shields (représentant environ 3 fois la valeur critique pour le début de mouvement) le coefficient de frottement f n’est plus constant mais décroît avec R/D (régime 3 sur la Figure 17). La couche de charriage apparaît et s’intensifie avec l’augmentation du débit, dans le régime 2, jusqu’à atteindre une épaisseur et une concentration permettant la transition au régime 3. Pour les conditions étudiées, et d’après des informations strictement visuelles, dans le régime 2 :

- les écoulements sont associés à des lits ondulés à plats ; - les grains passent régulièrement de l’état de repos à l’état de mouvement ; - les déplacements semblent se produire essentiellement par roulement (et un peu par

saltation); - le lit fixe est mal délimité.

Par contre les écoulements répertoriés dans le régime 3 sont toujours caractérisés par :

- une surface libre parfaitement plane ; - un lit fixe bien délimité et plan ; - une couche de charriage uniforme et continue d’épaisseur δ valant plusieurs fois le

diamètre d’un grain ; - des déplacements par roulement et saltation avec de fortes collisions entre grains ; - un transport important.

En eau claire, la diminution de résistance s’explique par une diminution des interactions entre l’écoulement et la rugosité de paroi, lorsque la hauteur d’eau augmente. En présence de charriage, il semblerait que cette diminution soit compensée par l’apparition d’une résistance additionnelle, qui croît avec la couche de charriage, et qui maintiendrait f à une valeur constante quand R/D augmente (régime 2 sur la Figure 17). Cette résistance additionnelle peut être interprétée comme une augmentation de rugosité du lit (la rugosité équivalente est aussi appelée « rugosité de charriage »). On peut supposer que dans le régime 3, la couche de charriage est bien constituée et que cette rugosité équivalente a atteint une valeur constante (plus forte que celle mesurée sur le même sédiment au repos). Alors la résistance à l’écoulement est supposée décroître à nouveau lorsque la hauteur d’eau continue à augmenter, du fait d’une diminution des interactions entre l’écoulement et cette nouvelle rugosité. Comment le charriage contribue-t-il à augmenter le coefficient de frottement ? L’explication la plus souvent rencontrée consiste à dire qu’une couche de grain en saltation exerce une résistance à l’écoulement par les forces de traînée créées par les grains en accélération, ces transfert de quantité de mouvement entre l’écoulement et les grains mais aussi entre grains (par collisions) produisant une grande perte d’énergie.



Des travaux récents se sont intéressés aux propriétés de la turbulence associée à ces écoulements. En étudiant l’équilibre énergétique entre l’écoulement moyen et l’écoulement turbulent Carbonneau et Bergeron (2000) ont montré qu’en présence de charriage la dissipation turbulente était largement responsable de la dissipation énergétique. Campbell et al. (2005) ont quant à eux montré que l’énergie cinétique turbulente était surtout produite autour des éléments grossiers dépassant du lit moyen, ce qui suggère un processus fortement intermittent près du lit. L’analyse se complique considérablement si l’on considère qu’à faible profondeur relative (R/D<10 environ) de nombreux auteurs ont décrit des zones à faible vitesse près du lit, générant des profils de vitesse qui ne sont plus logarithmiques (Ashida et Bayazit 1973, Mizuyama 1977, Day 1977, Nowell et Church 1979, Jarrett 1990, Aguirre-Pe et Fuentes 1990, Robert 1991, Pitlick 1992, Ferro et Baiamonte 1994, Katul et al. 2002). A ce stade des connaissances, la compréhension de tous les processus (par des approches mécanistes ou énergétiques) impliqués dans la résistance additionnelle due au charriage, nécessite encore de nombreuses recherches. I.3.3 Comparaison avec les régimes observés dans d’autres expériences Aux faibles pentes, Simons et Richardson (1966) avaient désigné « lower regime» les écoulements sur bedforms (rides, dunes), à faible transport solide, et « upper regime » les écoulements à transport solide important, sur lits plats. Le régime 3 pourrait correspondre au « upper regime » aussi appelé «sheet flow » (Van Rijn 1984b, Julien et Raslan 1998, Nnadi et Wilson 1995, Sumer et al. 1996, Abrahams 2003). L’écoulement en “sheet flow” est décrit comme étant associé à une couche de charriage uniforme et plane, constituée de grains en collision et dont la concentration basale se rapprocherait de celle du lit fixe, stable. Ces collisions seraient à l’origine de contraintes dispersives, dont la composante normale supporterait la couche de charriage et expliquerait ainsi l’apparente grande stabilité de la surface du lit stationnaire (Bagnold 1956, Bagnold 1966). Ce n’est pas l’objectif de ce travail d’expliquer la dynamique de la couche de charriage, mais plutôt de rattacher les observations expérimentales à des régimes déjà observés. Malheureusement il n’existe pas vraiment de critère hydrodynamique définissant clairement le «sheet flow », aussi appelé « upper plane bed regime», qui a d’ailleurs surtout été décrit pour les pentes très faibles (Nnadi et Wilson 1995). Van Rijn (1984) a suggéré que ce régime serait atteint quand le paramètre de transport Tvr (défini par l’Eq.7) est supérieur à 25 .

c

cvrT

τττ −

= 0 (7)

Julien et Raslan (1998) ont cependant montré que ce régime était atteint en laboratoire lorsque 0.1 < T < 30. Les valeurs de T calculées pour nos données sont environ égales à 0.7. Nnadi et Wilson (1995) ont considéré que le nombre de Shields θ=1 pouvait constituer une valeur critique à partir de laquelle la transition entre les régimes « bedforms » et « sheet flow » serait toujours vérifiée. Cependant cette valeur doit être utilisée avec précaution (Abrahams 2003), vu que le « sheet flow » a été observé pour des valeurs de θ de l’ordre de



0.6 (Sumer et al. 1996). Gao et Abrahams (2004) ont proposé de retenir une valeur seuil de 0.5. Les valeurs de θ mesurées pour nos données, dans le régime 3, sont inférieures à 0.34. Abrahams (Abrahams 2003, Abrahams et Gao 2006) a émis l’hypothèse, sur la base d’observations expérimentales, que pour les régimes de type « sheet flow » sans suspension (c’est à dire avec un ratio vitesse de sédimentation sur vitesse de frottement w/u* plus fort que 0.8), le débit solide pourrait vérifier la relation suivante:

ω=bi (8) où ib=qsvg(ρs-ρ) est le transport solide déjaugé et ω=τU est la puissance de l’écoulement. La Figure 21 indique que le régime 3 est pleinement atteint pour θ >0.2. Quand tous les points expérimentaux sont reportés sur un graphe (ω, ib) on peut voir que si l’Eq.8 n’est pas pleinement satisfaite, les points semblent converger vers cette relation (Figure 23).

Figure 23 : Points des régimes 2 et 3 reportés sur un graphe ib(ω)

Pour finir cette discussion sur la nature des différents régimes, il a aussi été considéré que le régime de type « sheet flow » ne serait ni lisse (Re*<4) ni rugueux (Re*>70) mais obéirait à ses propres lois de frottement, similaires aux autres lois mais pour lesquelles l’échelle de longueur serait l’épaisseur de la couche de cisaillement (Wilson 1989). Comme cette épaisseur est supposée proportionnelle au paramètre de Shields θ de l’écoulement, plusieurs formulations ont été proposées (de façon empirique ou analytique) pour essayer de relier le coefficient de frottement à θ (Wilson 1989, Yalin 1992, Sumer et al. 1996). Cependant toutes ces études font référence à des écoulements à très faible pente, fortes contraintes (θ >1) et avec un ratio vitesse de sédimentation sur vitesse de frottement w/u* inférieur à 0.8. Les conditions expérimentales considérées ici sont très différentes, avec des nombres de Shields plus faibles (0.2 < θ < 0.34) et des ratios vitesse de sédimentation sur vitesse de frottement beaucoup plus forts (1.8 < w/u* < 2.6) et aucune corrélation n’a pu être observée entre le coefficient de frottement et le paramètre de Shields. Il sera finalement très difficile de conclure sur l’appartenance du régime 3 au « sheet flow » même si « phénoménologiquement » des ressemblances semblent exister.

0,1

1

10

100

0,1 1 10 100Puissance de l'écoulement (W/m-2)

i b (k

gs-3

) > 0.2

< 0.2

θ

θ



I.4. Conclusion Cent quarante quatre écoulements sur lit mobile ont été étudiés avec des matériaux uniformes, à l’équilibre, et pour des pentes allant de 1 à 9%. Les données produites montrent que l’apparition du charriage est accompagnée d’une augmentation du coefficient de frottement f. Song et al. (1998) ont montré que cette augmentation pouvait être de 50%. Les nouvelles données indiquent qu’elle peut même atteindre 100% à forte pente (Figure 18). Par ailleurs, trois régimes d’écoulement associés à ces variations de f ont été identifiés, faisant apparaître une forte dépendance à la pente. Une conséquence immédiate de ces premiers résultats est que la modélisation des grandeurs des écoulements sur matériaux uniformes ne va pas de soi. Il y a peu de chance pour qu’une loi logarithmique unique puisse représenter toutes les valeurs de coefficient de frottement. C’est pourquoi certains auteurs ont proposé des lois prenant en compte l’épaisseur et la concentration de la couche charriée (Owen 1964, Whiting et Dietrich 1990, Song et al. 1998, Gao et Abrahams 2004). De telles formules ont malheureusement été testées sans succès notre jeu de données (surestimation de f de l’ordre 30 à 50%). De la même façon, si pour le régime 3 les valeurs de charriage ont pu être confrontées de façon satisfaisante aux formules existantes (Rickenmann 1991), l’existence de plusieurs régimes peut impliquer la nécessité d’utiliser plusieurs lois de transport. Tous ces aspects vont être analysés aux chapitres suivants.

Loi de frottement


II. LOI DE FROTTEMENT EN MATERIAUX UNIFORMES La loi de frottement relie les principales grandeurs de l’écoulement à l’énergie dissipée par frottement aux parois et sa connaissance est essentielle. Trois types de lois sont couramment utilisés : Manning, Chezy et Darcy-Weisbach. Ces relations sont semi-empiriques et nécessitent d’être calées sur des données expérimentales ou de terrain. Par conséquent, de très nombreux coefficients de calage sont proposés dans la bibliographie. La Figure 24 compare 11 expressions établies pour la loi de Darcy-Weisbach avec des données expérimentales. A la fois les données et les lois ont été obtenues à partir d’une large gamme de conditions d’écoulement (profondeur relative, pente, mobilité des sédiments) et on peut conclure d’une telle comparaison que chaque loi ne peut être a priori représentative que de conditions d’écoulement restreintes.

Figure 24 : Comparaison entre données expérimentales et lois de frottement; de haut en bas: Keulegan 1938, Ikeda 1983, Engelund et Hansen 1966, Cao 1985, Bathurst 1985,

Limeneros 1970, Van Rijn 1982, Hey 1979, Leopold et al. 1964, Griffiths 1981, Hammond et al. 1984.

Au chapitre précédent, l’influence du charriage sur le coefficient de frottement f a été mise en évidence. Par ailleurs, il a été nécessaire de distinguer trois régimes pour pouvoir décrire toutes les conditions expérimentales (pente, avec ou sans transport) :

- régime 1 : il n’y a pas de charriage et (8/f)1/2 augmente avec R/D - régime 2 : le charriage apparaît et augmente avec R/D ; (8/f)1/2 est constant - régime 3 : le charriage et (8/f)1/2 augmentent avec R/D

Dans ce chapitre cette décomposition en 3 régimes va être utilisée, avec considération explicite de la pente, pour une « relecture » de nos données, élargies grâce aux données de la bibliographie, à un jeu de 1551 valeurs.

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1 10 100 1000

R/D

(8/f)1/2



II.1. Quelques considérations théoriques On a vu que le coefficient de frottement pouvait être calculé à partir de la relation de Darcy-Weisbach, rappelée ci-après :

*8

0 uU

gRSU

f==

(9)

Pour les écoulements bidimensionnels turbulents rugueux, Keulegan (1938) a exprimé U/u*=(8/f)1/2 en intégrant la relation de Karman-Prandtl pour la distribution logarithmique du profil de vitesse (Eq 10).

)ln(1*)(

ozz

uzu

κ=

(10)

En faisant l’hypothèse que le profil logarithmique est une bonne approximation du profil de vitesse sur toute la hauteur d’écoulement (Cardoso et al. 1989, Song et al. 1995, Nikora et Smart 1997, Smart 1999) et que R>>zo (hauteur où la vitesse devient nulle), ce qui devrait être le cas d’après Smart et al. (2002) dès que la profondeur relative est plus grande que 1, (8/f)1/2 peut s’écrire (avec κ=0.4):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

==00

368.0log75.51ln1*

8z

RzR

zRR

uU

f oκ

(11)

L’Eq. 11 nécessite de faire une hypothèse sur la valeur de zo. Nikuradse (1933) est le premier à avoir proposé de calculer zo comme une fraction de la rugosité du lit ks en prenant zo=ks/30. Avec cette définition, l’expression établie pour (8/f)1/2 devient :

)log(75.58

skRE

f+=

(12)

Keulegan (1938) a montré que E pouvait varier avec la forme du canal, entre 6 (pour les canaux à surface libre larges et rectangulaires) et 6.25 (pour les canaux trapézoïdaux). Cet effet de forme a par ailleurs été étudié par Hey (1979). Bien que ks soit souvent pris égal au diamètre moyen des grains D (Keulegan 1938), plusieurs autres expressions ont également été proposées. En particulier, pour les sédiments non uniformes, et conformément au concept introduit par Nikuradse, ks a souvent été exprimé en fonction d’un diamètre représentatif dx:

xs dk α= (13) De ce fait, toutes les expressions proposées pour (8/f)1/2 pour les écoulements à surface libre bidimensionnels rugueux et turbulents peuvent être résumées par la formulation suivante (que l’on pourrait dire de Prandtl /Von Karman – Nikuradse – Keulegan):

Loi de frottement


)log(75,58

xdR

f+= ξ

(14)

Avec

αξ log75.56 −= (15) Plusieurs formulations ont été proposées depuis le travail de Keulegan, ξ et dx étant déterminés par optimisation d’un calage des couples de valeurs (R/dx, U/u*) sur un graphe semi-logarithmique. Plusieurs de ces résultats sont présentés sur la Figure 24 et Yen (2002) a proposé une revue exhaustive des coefficients proposés par différents auteurs. Bien que tous ces modèles soient parallèles dans la représentation graphique (avec un coefficient de 5.75 imposé par le coefficient de Von Karman) des différences notables existent pour la valeur de ξ. Cela peut s’expliquer par des différences de protocole pour la mesure des grandeurs hydrauliques (hauteur d’eau, ou vitesse) ou de la hauteur de rugosité, mais aussi par les incertitudes induites par les mesures de terrain, notamment en présence de résistance additionnelle due à la géométrie du fond (« bedforms ») ou encore en cas de non uniformité de l’écoulement (Bathurst 1985). La mesure de la vitesse de frottement u* utilisée dans l’Eq.9 peut aussi être source d’erreurs (Petit 1989, Song et al. 1995, Yen 2002), ainsi que la détermination des caractéristiques du sédiment. Bien que la courbe granulométrique puisse être négligée dans l’analyse (Van Rijn 1982, Bathurst 1985) le diamètre caractéristique dx contrôlant l’écoulement est largement discuté (Whiting et Dietrich 1990). Des travaux récents ont proposé de contourner ce problème par une définition plus implicite de la rugosité (Smart 1999, Aberle et Smart 2003, Canovaro et al. 2004, Smart 2004). Pour finir, la dispersion des données peut aussi être attribuée à des résistances additionnelles éventuellement induites par des changements dans les conditions hydrauliques (par exemple avec l’apparition du charriage). En effet, pour un sédiment de diamètre caractéristique dx, une augmentation de rugosité avec α (Eq.13) produirait une diminution de ξ (Eq.15) et un décalage vers le bas du modèle logarithmique (Eq.14). C’est ce qui va être étudié dans la suite. II.2. Les données Pour constituer le jeu de données, nos 144 mesures obtenues pour des écoulements sur matériaux uniformes sont dans un premier temps complétées par les données disponibles dans la bibliographie. Afin de limiter l’analyse aux lits à graviers, la sélection des données s’est faite selon les critères suivants :

- mesure réalisée à l’équilibre du transport solide; - pente supérieure ou égale à 0.1% ; - diamètre supérieur ou égal à 1 mm (sauf pour quelques cas en « sheet flow ») - pas de suspension ; - pas de formes induites du lit (“bedforms”): cela concerne essentiellement les

écoulements sur dunes, les écoulements sur anti-dunes étant supposés ne pas générer une résistance additionnelle notable lorsqu’ils se produisent en l’absence de ressaut hydraulique (Kennedy 1960 Simons et Richardson 1966, Bathurst et al. 1982b, Smart et Jaeggi 1983), comme on a pu le constater au chapitre précédent.



Environ 1513 mesures répondaient à ces critères, les auteurs et les conditions expérimentales étant résumées dans le Tableau 3. Auteur D

(mm)σ ρs

(t/m3) Pente So (%)

W (m)

Valeurs Observation

Cao 1985 22.2 44.3 11.5

1.29* 1.21* 1.24*

2.57 2.75 2.65

1 to 9 1 to 9 0.5 to 1

0.6 124 Fortes pentes

Smart et Jaeggi 1983

4.3 4.2 2 10.5

8.46** 1.44** 4.6** 1.34**

3 to 30 5 to 20 5 to 20 3 to 20

0.2 78 Fortes pentes

Rickenmann 1990 10 1.34** 2.68 7 to 20 0.2 46 Charriage avec variation de la viscosité de l’eau

Meyer-Peter et Muller 1948

1.2 à 28.65

1.25 à 4.2

0.3 to 1.7

0.35 à 2

133 D’après Smart et Jaeggi (1983)

Bogardi et Yen 1939 10.34 6.85 15.19

1.18 1.11 1.11

2.63 2.61 2.64

1.2 to 2.5 1 to 2.5 1.1 to 2

0.83 0.83 0.3

44 Tel que reporté par Brownlie (1981)

Casey 1935 1 2.46

1.16 2.81

2.65 2.65

0.1 to 0.5 0.4 90 Tel que reporté par Brownlie (1981)

Gilbert 1914 3.17 4.94 7 0.506

1.13 1.13 1.12

2.65 2.65 2.65

0.8 to 2 0.6 to 3 0.7 to 3 0.3 to 2

0.13 to 0.6

377 Tel que reporté par Brownlie (1981)

Graff et Suszka (1987)

12.2 23.5

1.52** 1.53

2.72 2.74

0.75 to 1.25 1.5 to 2.5

0.6 114

HoPang-Yung 1939 1.4 2.01 3.13 4.36 6.28

1.96 1.9 2.24 1.59 1.49

2.64 2.45 2.49 2.7 2.66

0.1 to 0.5 0.4 80 Tel que reporté par Brownlie (1981)

Mavis et al. 1937 4.18 3.12 2.03 1.41 3.73 1.68

1.23 1.25 1.29 1.24 1.30 1.36

2.66 2.66 2.66 2.66 2.66 2.66

0.1 to 1 0.82 283 Tel que reporté par Brownlie (1981)

Paintal 1971 22.2 7.95 2.5

1.07 1.1 1.08

2.65 2.65 2.65

0.1 to 1 0.91 81 Tel que reporté par Brownlie (1981)

Julien et Raslan 1998

0.2 0.6 0.4

1.4** 1.43 2.39

2.5 2.7 2.6

0.19 to 0.42 2.57 to 5.11 3 to 5.3

1.3 28 R/D grand, “sheet flow”

Einstein et Chien 1955

1.3 0.94 0.274

1.11

2.65

1.2 to 2.6 0.31 16 Tel que reporté par Brownlie (1981), R/D grand

Sumer et al. 1996 0.13 0.38 to 0.94 0.3 19 R/D grand, “sheet flow” σ =0.5(D84/D50+D50/D16) sauf pour * D84/D16 et ** D90/D30

Tableau 3: Les données de la bibliographie

Loi de frottement


La vitesse moyenne de l’écoulement a été calculée à partir de mesures de la hauteur d’eau moyenne pour les données de Graf et Suszka (1987) et pour la compilation des données présentée par Brownlie (1981). Smart et Jaeggi (1983) et Rickenmann (1990) ont utilisé la technique du sel. Du fait des nombreuses sources de données et du manque général d’informations concernant les protocoles expérimentaux, une analyse qualitative a conduit à l’élimination d’environ 9% de l’ensemble de ces valeurs :

- 6.8 % correspondaient à des valeurs de (8/f)1/2 dépassant de plus de 20% les valeurs calculées avec la loi de Keulegan (considérée ici comme une limite « haute ») ou alors correspondait à des coefficients de frottement très forts et non compatibles avec des conditions de lit plat

- 1.8 % concernent des séries exclues de l’analyse car très différentes du reste du jeu de données.

Cette analyse et le jeu de données final sont présentés en annexe 6. Certains jeux de données (environ une centaine de valeurs) concernent des sédiments à granulométrie étendue, mais ont été conservés, avec pour diamètre représentatif le d50, pour combler le manque de données en matériaux uniformes à certaines pentes ou aux grands nombres de Shields. De même, 63 valeurs de frottement produites en régime 3 pendant la thèse avec des mélanges de matériaux (présentés en partie 2) ont été utilisées dans le test de validation du modèle, aucun tri granulométrique n’ayant été observé associé à ces écoulements à grands nombres de Shields. Ces valeurs n’ont par contre pas été utilisées dans la construction du modèle. Le jeu de données final (reporté sur la Figure 24) est finalement constitué de 1551 valeurs. II.3. Proposition d’un nouveau modèle Le but de ce nouveau modèle est de prendre en compte les effets du charriage sur le coefficient de frottement tels qu’ils ont été décrits au chapitre précédent:

- sans charriage (8/f)1/2 augmente avec R/D - en présence d’un charriage faible (8/f)1/2 est constant pour une pente donnée quel que

soit R/D - en présence d’un charriage important (8/f)1/2 augmente à nouveau avec R/D

Le jeu de données « élargi » est reporté sur la Figure 25, pour les écoulements sans transport solide et les écoulements avec transport solide important (vérifiant θ>2θc), ainsi que la loi de Keulegan, construite pour écoulements sur lits fixes et supposée valide :

)log(75.568DR

f+=

(16)



Le premier constat est que pratiquement tous les points sont situés en dessous de la loi de Keulegan. C’est particulièrement vérifié pour les écoulements avec charriage (en noir sur la figure). Les écoulements sans charriage (en gris sur la figure) semblent ne vérifier la loi de Keulegan que pour des profondeurs relatives R/D supérieures à 10 environ. Ces données confirment les effets du charriage sur le coefficient de résistance.

Figure 25 : Report du jeu de données des écoulements sur lits plats pour débit solide nul (en gris) ou débit solide établi, vérifiant θ>2θc (en noir)

II.3.1 Construction du modèle Le modèle a été construit en plusieurs étapes. Dans un premier temps (Figure 26) notre jeu de données (réduit aux profondeurs relatives R/D>2) est utilisé pour ajuster des lois frottement pour les écoulements sans transport et avec transport solide important. Tous les points intermédiaires (notés [+] sur le graphique) seront traités ultérieurement. L’ajustement d’une loi semi-logarithmique aux points obtenus avec transport solide important (régime 3) ne pose pas de problème et donne la relation suivante:

)log(5.918DR

f+−=

(17)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1 10 100 1000R/D

(8/f)

1/2

CaoCaseyHPYMavisBogardiPaintalCette étudeGilbertCaoCaseyEinsteinJulien&RMPMCette étudeRickenmannSmartLoi de Keulegan

Loi de frottement


Pour les écoulements sans transport (régime 1), l’ajustement a tenu compte des points vérifiant R/D < 8 environ (les autres points pouvant vérifier la loi proposée par Keulegan). Par ailleurs, le choix a été fait, étant donné la dispersion et la rareté des points, de conserver une loi parallèle à la loi établie avec transport, ce qui donne :

)log(5.95.28DR

f+=

(18)

Figure 26 : Ajustement des lois de frottement sur notre jeu de données,

pour débit solide nul et débit solide important

La loi de transition entre ces deux lois (ce qui correspond au régime 2 du chapitre précédent) ne dépend que de la pente et a été ajustée au même jeu de données (Figure 27). Elle s’écrit:

)log(18.77.380S

f−−=

(19)

La loi donnant les profondeurs relatives R/D bornant chaque modèle est déterminée en calculant l’intersection entre chaque modèle de la Figure 27, ce qui donne deux lois puissance en So , une pour la transition du régime 1 au régime 2:

756,00

12

)(223.0 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ S

DR

(20)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1 10 100

R/D

(8/f)

1/2

Qs=0Qs modéréQs fortLoi de Keulegan

)log(5.95.28DR

f+=

(38 points r²=0 .96)

)log(5.918DR

f+−=

Loi de Keulegan

)log(75.568DR

f+=

(73 points r²=0.97)



et une autre pour la transition du régime 2 au régime 3 :

756,00

12

)(520.0 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ S

DR

(21)

Figure 27 : Ajustement de la loi de transition (régime 2) pour les pentes So>1% Ce calage du modèle a été possible uniquement parce que le jeu de données produit dans cette thèse présente la particularité de couvrir tous les types d’écoulement (sans transport, avec transport modéré à important). Tous les autres jeux de données ne concernent en général qu’un type d’écoulement (sans transport, proche du début de mouvement, ou à fort nombre de Shields). Néanmoins lorsque ces jeux de données sont compilés entre eux et sont comparés au modèle, la correspondance visuelle est qualitativement bonne (pentes supérieures ou égales à 1% sur la Figure 30). Dans un second temps, le jeu de données externe a été utilisé pour essayer d’étendre le modèle aux pentes inférieures à 1% (profondeurs relatives supérieures à 15 environ). Pour les écoulements sans transport solide, on a conservé la loi de Keulegan et les données disponibles semblent confirmer sa validité (Figure 28). Pour les écoulements avec transport important, une continuité doit exister avec la loi établie pour les écoulements à forte pente. Etant donné la forte dispersion des points le choix a été fait de conserver la pente 5.75 (Figure 28). Ce choix revient à considérer que la loi semi-logarithmique de paroi du paragraphe II-1 est valable en présence de charriage, mais avec une rugosité ks différente du diamètre de grain D.

0

2

4

6

8

10

12

14

1 10 100

R/D

(8/f)

1/2

So=0.01So=0.02So=0.03So=0.05So=0.07So=0.09

)log(18.77.38oS

f−−=

756,00

12

)(223.0 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ S

DR

756,00

12

)(520.0 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ S

DR

Keulegan

(87 points, r²=0.99)

Loi de frottement


Cette loi s’écrit :

)log(75.56.38DR

f+=

(22)

Figure 28 : Extension du modèle aux grandes valeurs de R/D, à partir du jeu de données externe, et pour les écoulements avec débit solide important (θ > 2θc)

La loi de transition entre les écoulements sans transport (régime 1) et les écoulements avec charriage établi (régime 3) a du être calée grossièrement en tenant compte des nuages de points pour chaque pente, étant donné la très forte dispersion dans cette zone (pentes inférieures à 1% sur la Figure 30). L’ajustement d’une loi en So (pour respecter la forme du modèle observé aux fortes pentes) sur 450 points donne un coefficient r²=0.86 pour la loi suivante :

)log(84.4180S

f−=

(23)

La transition entre chaque modèle (loi d’intersection des Eq.22 et 23) est aussi une loi puissance dont les coefficients sont donnés au Tableau 4 et au Tableau 5. Même si la démarche d’étendre le modèle aux faibles pentes est plutôt, à ce stade, spéculative, on peut constater sur la Figure 30 que les données disponibles suivent la forme globale du modèle, et ce, malgré la très forte dispersion des points.

Keulegan

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1 10 100 1000R/D

(8/f

)1/2

Qs importantQs=0

)log(75.56.38DR

f+=

(320 points, r²=0.78)



Pour résumer, le modèle peut s’écrire ainsi : REGIME 1: Pas de charriage

Si R/D < 8.6 )log(5.95.28DR

f+=

(24)

Si R/D > 8.6 )log(75.568

DR

f+= (Keulegan)

(25)

REGIME 2: Charriage faible

Si So > 1% )log(18.77.38oS

f−−=

(26)

Si So < 1% )log(84.418

oSf

−= (27)

REGIME 3: Charriage important

Si R/D < 16.9 )log(5.918DR

f+−=

(28)

Si R/D > 16.9 )log(75.56.38

DR

f+=

(29)

La transition entre chaque régime dépend seulement de la pente et les valeurs de R/D associées sont calculées à partir de l’Eq.30.

boSa

DR )(

lim

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

(30)

Les coefficients a et b sont donnés dans les Tableau 4 et Tableau 5.

S0 >= 1% 1% > S0 >= 0.7% S0 < 0.7% A 0.223 0.695 0.135 B -0.756 -0.509 -0.841

Construction Intersection Eq. 24 et 26

Intersection Eq. 24 et 27

Intersection Eq.25 et 27

Tableau 4: Coefficients a et b pour la transition du régime 1 au régime 2 Il est intéressant de noter que Jaeggi (1983), Rickenmann (1994) et Bathurst (2002) ont également observé une distinction entre pentes faibles et fortes avec une limite située environ entre 0.7 et 1%.

S0 > =1% S0 < 1% A 0.520 0.353 B -0.756 -0.841

Construction Intersection Eq.26 et 28

Intersection Eq.27 et 29

Tableau 5: Coefficients a et b pour la transition du régime 2 au régime 3 La Figure 30 présente une comparaison entre le modèle (Eq.24 à 29) et les données pour les pentes 0.1%, 0.2%, 0.3%, 0.4%, 0.5%, 0.6%, 0.7%, 0.8%, 0.9%, 1%, 2%, 3%, 5%, 7%, 9%, et

Loi de frottement


supérieures à 10% (10%, 15% et 20%). Les modèles pour charriage important (Eq.28 et 29) sont supposés toujours valides pour les pentes supérieures à 9% puisque les équations du régime 3 ne font pas intervenir explicitement la pente comme paramètre. La comparaison entre le modèle et les données est qualitativement intéressante, et ce, même à faible pente et malgré la grande dispersion inhérente à la mesure expérimentale. D’autres mesures seraient nécessaires pour confirmer ce modèle de loi de frottement. II.3.2 Calcul de la vitesse et efficacité du modèle Le modèle de frottement (Eq.24 à 29) doit être capable de fournir une estimation fiable de la vitesse moyenne de l’écoulement pour un débit Q, une pente So et un diamètre D donnés. La procédure consiste à déterminer le rayon hydraulique R en résolvant itérativement une relation de la forme suivante, avec un test d’appartenance à chacun des régimes en fonction de So et de R/D calculés:

),log(* 0S

DRBA

gRSWHQ

uU

O

+== (31)

Cette résolution itérative est assez simple tant que l’on peut faire l’approximation H≈R, ce qui n’est malheureusement pas le cas en canal expérimental. C’est pourquoi, comme il a été nécessaire de s’affranchir des effets de parois pour adimensionnaliser les résultats, il est nécessaire pour recalculer les vitesses mesurées, de « réintroduire des effets de parois ». Pour cela une fonction puissance, empirique, donnant la relation H/W en fonction de R/W (où R est la valeur corrigée pour ne tenir compte que de l’écoulement au contact des graviers) est utilisée (cette relation est présentée en annexe 3, et un programme en Matlab pour le calcul itératif est présenté en annexe 4).

Figure 29 : Comparaison entre les vitesses mesurées et les vitesses calculées

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 1 2 3U mesuré

U c

alcu

lé

R² = 0.99



100

101

102

103

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

100 101 102 1030

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

100 101 102 1030

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

100 101 102 1030

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

100 101 102 1030

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

100 101 102 1030

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

100

101

102

103

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

100

101

102

103

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

7%

0.1 %

0.5 %

3% 5%

9%

1 %

Données 0.001 < S0 < 0.0015Modèle S0 = 0.001

(8/f)0.5

R/D

Données 0.0015 < S0 < 0.0025 Modèle S0 = 0.002

(8/f)0.5

R/D


(8/f)0.5

R/D


(8/f)0.5

R/D


(8/f)0.5

R/D


(8/f)0.5

R/D


(8/f)0.5

R/D


(8/f)0.5

Loi de frottement


100

101

102

103

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

100

101

102

103

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

100 101 102 1030

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

100 101 102 1030

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

100

101

102

103

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

100

101

102

103

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

100

101

102

103

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

100

101

102

103

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Figure 30 : Comparaison entre les données et le modèle (les nouvelles données sont les cercles et les lignes représentent le modèle pour chaque pente ; R/D en abscisse et (8/f)1/2 en ordonnée


(8/f)0.5

R/D

Données 0.0095 < S0 < 0.015 Modèle S0 = 0.01 O Nos mesures

(8/f)0.5

R/D

Données 0.015 < S0 < 0.025 Modèle S0 = 0.02 O Nos mesures

(8/f)0.5

R/D

Données S0 = 0.03 Modèle S0 = 0.03 O Nos mesures

(8/f)0.5

R/D


(8/f)0.5

R/D


(8/f)0.5

R/D


(8/f)0.5

R/D

Données S0 = 0.1 + 0.15 + 0.2 Modèle S0 = 0.1

(8/f)0.5

R/D



L’efficacité du modèle est testée en calculant un Ecart Quadratique Moyen (EQM) defini par:

mesUEQM

2² εσε +=

(32)

où la barre désigne la moyenne, ε est la différence entre U mesuré et U calculé et σε est l’écart type des ε. Dans un premier temps le modèle construit à partir de nos propres données est testé uniquement sur les données externes (en « blind test ») pour les pentes supérieures ou égales à 0.9 % et des profondeurs relatives inférieures à 15 (607 valeurs). Le modèle semi-logarithmique proposé par Cao (1985) et le modèle exponentiel proposé par Jaeggi (1983) sont utilisés pour la comparaison puisqu’il ont été construits pour des conditions d’écoulement similaires (Figure 32).

Figure 31 : Données externes testées sur le modèle construit

à partir de notre jeu de données Les résultats sont présentés au Tableau 6 et montrent que la prise en compte des effets du charriage, comme cela a été proposé avec le nouveau modèle, permet une amélioration de l’EQM de 3% en moyenne par rapport à un simple ajustement logarithmique, ce qui est considérable. Le modèle exponentiel proposé par Jaeggi (1983), prenant en compte les changements observés aux faibles profondeurs relatives, donne un résultat intermédiaire.

0

2

4

6

8

10

12

14

1 10 100

R/D

(8/f

)1/2

Modèle établi à partirde nos donnéesExtension à partir desdonnées externesLoi de Cao

Données externes

Loi de frottement


Modèle par

« pente » Simple ajustement : Loi de Cao

Modèle exponentiel de Jaeggi (1983)

Régime 1 (122 valeurs) 6.8 % 9.5 % 10 %Régime 2 (349 valeurs) 5.9 % 9.9 % 6.6 %Régime 3 (136 valeurs) 9.5 % 12.3 % 10.2 %Tous les points (607 valeurs) 8.1 % 11.4 % 9.1 %

Tableau 6 : Comparaison (par calcul de l’EQM) de la partie du modèle construite sur nos données avec les données externes (« blind test »)

Mais au-delà de l’efficacité du modèle, ce résultat conforte l’idée de l’existence de trois régimes distincts, et ce résultat « phénoménologique » sera pris en compte par la suite, à la fois pour l’étude d’une loi de charriage et pour l’étude des écoulements en granulométrie étendue. Un second test concerne le modèle complet et l’ensemble du jeu de données (1551 valeurs). Le modèle est cette fois comparé, pour chaque régime, aux modèles proposés par Cao (1985) et Jaeggi (1983), ainsi qu’à ceux proposés par Keulegan (1938) et Manning-Strickler (1923), avec, pour ce dernier, une rugosité définie par Ks=21.1/D1/6 (Graf et Altinakar 2000). Ces modèles sont comparés graphiquement au nouveau modèle sur la Figure 32.

0

2

4

6

8

1012

14

16

18

20

1 10 100 1000R/D

(8/f)

1/2

KeuleganCaoJaeggi (5%)Jaeggi (0.1%)Manning Strickler

Figure 32: comparaison du nouveau modèle avec les autres modèles testés (Keulegan

1938, Cao 1985, Jaeggi 1983, Manning-Strickler 1923)

Les résultats du test d’efficacité de chaque modèle sont présentés au Tableau 7.



Nouveau

modèle Keulegan (1938)

Cao (1985)

Jaeggi (1983)

Manning Strickler

Pas de charriage, R/D<8.6 (Régime 1, Eq.24, 125 valeurs)

7.2 % 13.4 % 9.2 % 10.9 % 14.4 %

Pas de charriage, R/D>8.6 (Régime 1, Eq.25, 74 valeurs)

5.2 % 5.2 % 11.3 % 5.8 % 11.8 %

Charriage faible, S0>1% (Régime 2, Eq.26, 312 valeurs)

6.5 % 22.0 % 11.9 % 8 % 19.9 %

Charriage faible, S0<1% (Régime 2, Eq.27, 490 valeurs)

4.4 % 6.4 % 8.4 % 4.6 % 10 %

Charriage important, R/D<17 (Régime3, Eq.28, 224 valeurs)

9.5 % 28.2 % 13.6 % 11.2 % 20.1 %

Charriage important, R/D>17 (Régime3, Eq.29, 326 valeurs)

9.1 % 17.1 % 10.2 % 13.9 % 9.1 %

Tous les points (1551 valeurs) 8.0 % 20.5 % 11.4 % 10.7 % 15.7 %

Tableau 7: Test d’efficacité des modèles, pour chaque régime, par calcul de l’erreur moyenne (EQM)

Les résultats obtenus par le nouveau modèle sont très bons si on tient compte de la forte dispersion inhérente à la mesure expérimentale, en particulier pour le régime 2 (charriage faible). Bien qu’une loi logarithmique unique puisse être toujours considérée comme représentative d’une large gamme de points expérimentaux (on le voit sur la Figure 24), elle ne pourra en aucun cas l’être pour l’ensemble des conditions hydrauliques, et plus particulièrement lorsque le charriage est pris en compte (on le voit avec les résultats du modèle de Keulegan). II.4. Discussion Chaque régime mérite une discussion avec considération des analyses disponibles dans la bibliographie. II.4.1 Le régime 1 : pas de charriage Il est assez remarquable que les lois proposées pour les fortes pentes diffèrent des lois présentées sur la Figure 24 par le coefficient de pente qui est 9.5 au lieu de la valeur 5.75 déduite du coefficient de Von Karman. Ce changement est cependant assez cohérent avec l’analyse de Bathurst (1985). En étendant les travaux de Flammer et al. (1969) concernant les écoulements autour d’hémisphères aux écoulements en rivières, Bathurst et al. (1981) ont proposé une classification des écoulements en fonction de la profondeur relative R/D:

- R/D < 2 (ou R/d84 < 1.2) correspond à l’échelle des grandes rugosités: l’impact des rugosités sur l’écoulement affecte la surface libre ;

- 2 < R/D < 7 (ou 1.2 < R/d84 < 4) correspond à l’échelle des rugosités intermédiaires ; - R/D > 7 (ou R/d84 > 4) correspond à l’échelle de petites rugosités : les lois issues des

écoulements de parois sont applicables (au moins de façon semi-empirique).

Loi de frottement


En analysant un jeu de données (différent de celui utilisé ici et présenté par son enveloppe sur la Figure 33) Bathurst (1985) a observé que pour R/D < 2 (échelle des grandes rugosités) les données s’ajustent bien à une loi semi-logarithmique de pente 5.75 (notre analyse n’a pas été étendue à l’échelle des grandes rugosités). Pour 2 < R/D < 7 (échelle des rugosités intermédiaires) il observe que la gamme de valeurs couverte par les données s’élargit et qu’en moyenne la variation du coefficient de frottement avec la profondeur relative R/D est plus forte. Pour R/D > 7 (échelle des petites rugosités) il note une tendance moins nette mais qu’en moyenne les variations de f avec R/D sont beaucoup plus faibles. Il conclut que l’échelle des rugosités intermédiaires est une zone de transition où les effets observés aux grandes rugosités sont progressivement atténués, le coefficient de frottement évoluant vers des valeurs compatibles avec la loi semi-empirique dérivée des lois de paroi (Keulegan). La Figure 33 indique que les données utilisées pour construire le nouveau modèle sont cohérentes avec l’enveloppe des données de Bathurst pour l’échelle des rugosités intermédiaires. Elle confirme également que, pour des profondeurs relatives supérieures à 8.6 (échelle des petites rugosités), les données sont bien représentées par la loi de Keulegan, conformément à l’analyse de Bathurst Parmi les hypothèses utilisées pour expliquer l’existence des échelles de rugosité on retrouve la forme du profil de vitesse moyenne. Si les profils logarithmiques ont bien été mesurés en rivière à graviers et à l’échelle des petites rugosités ( (Nikora et Smart 1997), plusieurs auteurs ont mesuré, à l ‘échelle des rugosités intermédiaires, une zone à faible vitesse près du lit, générant des profils de vitesse non plus logarithmiques mais en « S » inversé (Ashida et Bayazit 1973, Mizuyama 1977, Day 1977, Nowell et Church 1979, Jarrett 1990, Aguirre-Pe et Fuentes 1990, Robert 1991, Pitlick 1992, Ferro et Baiamonte 1994, Katul et al. 2002). Ce changement du profil de vitesse pourrait en partie expliquer le changement de la loi de frottement.

Figure 33 : Lois de frottement pour les écoulements sans transport solide (l’enveloppe de Bathurst correspond à l’enveloppe des données utilisées dans Bathurst 1985)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0,1 1 10 100 1000

R/D

(8/f

)1/2

Enveloppe des données deBathurst, So>=0.003 Données Qs=0, So>0.003

Données Qs=0, So<0.003

loi de Keulegan

loi de Bathurst

Nouveau modèle (Qs=0)



Bathurst (1985) a choisi de modéliser l’échelle des rugosités intermédiaires en conservant le coefficient « théorique » 5.75. Une autre option a été choisie avec l’Eq. 24 qui consiste à conserver un coefficient d’ajustement empirique optimisé par calage des données (pente 9.5 au lieu de 5.75). Bathurst (1985) avait pris en considération cette option mais ne l’a pas utilisée du fait des complications que cette loi aurait générées à l’échelle des petites rugosités. II.4.2 Le régime 2 : charriage faible Le modèle confirme bien la conclusion de Song et al. (1998), que pour une pente donnée, la différence entre f avec et sans charriage augmente avec R/D. La forme de l’enveloppe des données de Bathurst (1985) présentée sur la Figure 33 correspond à l’enveloppe générale de l’ensemble du nouveau jeu de données considéré (avec et sans transport solide) si on le restreint aux pentes supérieures à 0.3% (pente minimale considérée par Bathurst 1985). Bathurst (1985) avait fait l’hypothèse que « l’aplatissement » de cette enveloppe à l’échelle des petites rugosités était dû à la rareté des données disponibles aux fortes valeurs de (8/f)1/2 (du fait de la difficulté de mesure), alors que cette nouvelle analyse suggère qu’en fait cet aplatissement serait naturel et induit par l’apparition du charriage qui a pour conséquence de diminuer les valeurs (8/f)1/2 (par rapport aux valeurs qui seraient obtenues en eau claire). La transition du régime 1 au régime 2 correspond à des seuils à partir desquels l’influence du charriage sur l’écoulement se fait sentir. Les nombres de Shields correspondant (θ =R/D*So/(s-1)) peuvent être déduits de l’Eq.30 et sont reportés sur la Figure 34, avec des valeurs du Shields critique θc proposées par différents auteurs pour les faibles profondeurs relatives (Mizuyama 1977, Suszka 1991, Shvidchenko et Pender 2000). Une forme dérivée de la formule de Bathurst et al. (1987) est également reportée (les différentes formulations sont présentées en annexe 1). La comparaison indique une bonne correspondance entre les différentes estimations et confirme que l’apparition du régime 2 serait bien due au début de charriage. Une fois encore la modification de l’allure du profil de vitesse pourrait expliquer l’augmentation de θc avec la diminution de la profondeur relative R/D (Suszka 1991). Mais une seconde hypothèse, basée sur les concepts de continuité et d’efficacité du transport, sera proposée au chapitre 4 de la thèse. On peut déduire de l’ajustement de nos points une relation pour θc :

38.0

088.0−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

DR

cθ (33)

Qui peut encore s’écrire, si on la combine avec la définition de θc (Eq. 6) :

275.00

1172.0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

sS

cθ (34)

Ou encore, pour un matériau naturel de densité 2650 Kg/m3 :

275.0015.0 Sc=θ

(35)

Loi de frottement


Figure 34 : Variation du nombre de Shields critique avec R/D Le régime 2 est caractérisé par une intensification du charriage lorsque le nombre de Shields augmente, et ce, jusqu’à ce que le régime 3 soit atteint. Compte-tenu des données disponibles, la rugosité équivalente du régime 3 (Eq. 13), pour les profondeurs relatives supérieures à 16.9, peut être considérée constante et vaut en première approximation, d’après les Eq. 15 et 29:

Dks 6.2≈ (36)

Finalement, le coefficient de frottement f constant observé dans le régime 2 peut être analysé comme une augmentation progressive de la rugosité du fond ks (Eq.13), passant de D à 2.6D lorsque le charriage augmente, ce qui se traduit par une diminution de ξ (Eq.15) et une translation vers le bas du modèle semi-logarithmique qui évolue de l’Eq.24 (pas de charriage) à l’Eq.25 (charriage important) aux fortes pentes et de l’Eq.28 (pas de charriage) à l’Eq.29 (charriage important) aux faibles pentes. Si on extrapole le terme de rugosité ks entre D et 2.6D en considérant les limites du régime 2 (définies par l’Eq.30), on obtient une expression de la forme suivante (on obtiendrait une expression similaire pour les faibles profondeurs relatives):

DSsks θ16.0

022.0)1(6.1 −=

(37)

Cette relation reproduit les valeurs constantes de f lorsqu’elle est utilisée dans l’’équation de Nikuradse-Keulegan (Eq.12). Des relations de cette forme (ks∝θdx) ont déjà été proposées par plusieurs auteurs (Wilson 1987, Yalin 1992, Sumer et al. 1996, Bayram et al. 2003, Camenen et al. 2006), mais uniquement pour les écoulements en charriage intense et à faible pente (dans le « upper plane bed regim »).

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50R/D

θcMizuyamaSuszkaFrom Shvidchenko et al.From Bathurst et alThis study

θc=0.088(R/D )-0.38



II.4.3 Le régime 3 : charriage important Quand les conditions hydrauliques augmentent, le coefficient de frottement f diminue à nouveau avec la profondeur relative, quelle que soit la pente. Toutes les données avec charriage important (données du régime 3) sont reportées sur la Figure 35 avec un jeu de 32 valeurs mesurées pour des écoulements désignés comme « sheet flow » par leurs auteurs, à forte profondeur relative (Einstein et Chien 1955; Sumer et al. 1996, Julien et Raslan 1998). A première vue, toutes les données désignées ici comme appartenant au régime 3 (fort charriage) sont alignées avec les données des « sheet-flow », ce qui suggère une fois de plus que des similitudes existent entre ces régimes. On peut distinguer deux zones sur cette figure. La première correspond à l’échelle des rugosités intermédiaires (R/D < 17 environ) et nécessite une modélisation avec un coefficient de 9.5 comme pour les écoulements sans charriage. La seconde concerne l’échelle des faibles rugosités et peut être modélisée, en première approximation, par une loi semi-empirique avec un coefficient de 5.75 correspondant au coefficient 0.4 de Von Karman. Cela suggère que l’approximation du profil logarithmique est bien valable lorsque le charriage est important. Sumer et al. (1996) avaient conclu dans ce sens dans leur étude des « sheet-flow ».

10 0 101 102 10 3 0 2 4 6 8

10 12 14 16 18 20

R/D

(8/f)

1/2

Figure 35 : Données du régime 3 (les points noirs ont été mesurés sur des écoulements

répertoriés comme « sheet flow » par leurs auteurs)

Loi de frottement


II.5. Conclusion 1551 valeurs expérimentales ont été utilisées pour analyser les effets du charriage sur le coefficient de frottement, pour des écoulements à l’équilibre sur lits de graviers. Cette analyse a montré que :

- pour les profondeurs relatives R/D plus faibles que 8.6 (échelle des « rugosités intermédiaires »), la loi de frottement pour les écoulements sans charriage est purement empirique, et diffère des lois semi-empiriques classiquement rencontrées par un coefficient de pente de 9.5 au lieu de 5.75. Aux profondeurs relatives plus importantes (échelle des « faibles rugosités »), la loi semi-empirique de Keulegan est valide, et la rugosité de fond vaut en première approximation le diamètre du grain (ks=D).

- en présence de charriage, la nature de la rugosité de fond change et conduit à une

augmentation du coefficient de frottement f. Quand le charriage est important, la loi de frottement est bien représentée de façon semi-empirique à l’échelle des faibles rugosités, mais avec une rugosité environ 2.6 fois supérieure à celle proposée dans l’approche classique de Nikuradse-Keulegan (ks=2.6D). Cette augmentation apparente de rugosité est aussi observée à l’échelle des rugosités intermédiaires, qui doit cependant être modélisée de façon purement empirique comme c’était le cas pour les écoulements sans charriage (coefficient de pente 9.5).

- Entre ces deux conditions (pas de transport et transport important) il existe un régime

de faible charriage pour lequel la rugosité ks changerait de D à 2.6D. Comme ce régime apparaît avec le charriage, il est dépendant du nombre de Shields critique θc et il a été nécessaire d’introduire la pente comme un paramètre de modélisation des lois de frottement.

Il n’y a eu que peu de tentatives, et essentiellement à fortes pentes, pour développer une loi de frottement en intégrant la pente de façon explicite (Jaeggi 1983, Meunier 1989). De plus, cela a été fait par un ajustement général des données, sans réelle considération des phénomènes physiques sous influence directe de la pente (même si Cao 1985 a proposé une analyse sur la résistance additionnelle induite par les instabilités de surface à grand nombre de Froude). Donc, de ce point de vue, le fait de passer d’une loi sans charriage (régime 1) à une loi avec charriage (régime 3) grâce à une loi qui respecte le début de mouvement (par prise en compte de la pente dans le régime 2) est une démarche nouvelle. Bien que de nouvelles données soient nécessaires pour valider complètement ce modèle, l’analyse des données déjà disponibles s’est montrée très cohérente avec les résultats des autres recherches menées sur les effets du charriage sur les lois de frottement, ce qui est plutôt encourageant. En particulier des recherches complémentaires sont nécessaires pour bien comprendre la nature de la « rugosité de charriage», qui va probablement dépendre de l’épaisseur et de la concentration de la couche charriée. La transition du régime 1 au régime 3 suggère que ces paramètres changent avec le nombre de Shields, jusqu’à atteindre des valeurs critiques à partir desquelles le ratio entre la rugosité équivalente (celle qui est « vue » par l’écoulement) et le diamètre des grains devient constant.



Une meilleure connaissance des propriétés des écoulements à l’échelle des rugosités intermédiaires semble aussi indispensable.

Loi de charriage


III. LOI DE CHARRIAGE EN MATERIAUX UNIFORMES De nombreuses formulations ont été proposées pour modéliser le transport sédimentaire (Einstein 1950, Engelund et Hansen 1966, Graf 1971, Shen 1971, Ackers et White 1973, Yang 1979, Brownlie 1981b, Karim et Kennedy 1990). La plupart d’entre elles résultent d’une approche théorique (probabiliste ou mécaniste) et souvent concernent le transport total (charriage et suspension). Nous allons nous intéresser uniquement au charriage, généralement modélisé par une relation semi-empirique assez simple et basée sur le concept de la force tractrice, de la forme :

βα θθθ )( cA −≈Φ (38)

Où Φ=qsv/[g(s-1)D3]0.5 est le transport solide adimensionnel (Einstein 1950), θ=τ0/[ρg(s-1)D] est la contrainte adimensionnelle (nombre de Shields) et (θ-θc) est « l’excès » de contrainte (adimensionnelle) responsable de l’intensité du transport et calculé par rapport à la valeur critique de début de mouvement θc . Des valeurs de A, α et β ont été proposées par plusieurs auteurs: Du Boys (1879), Shields (1936a), Meyer-Peter et Muller (1948), Bagnold (1956), Wilson (1966, pour les fortes contraintes), Luque et Van Beek (1976), Yalin (1977), Smart (1983, fortes pentes), Ashmore (1988, rivières en tresse), Rickenmann (1991, fortes pentes et viscosité variable), Nino et Garcia (1994), Hunziker et Jaeggi (2002) et font encore l’objet de nombreuses recherches (Wong et Parker 2006). Ces coefficients sont surtout calés sur des données en laboratoire du fait des difficultés à étudier le charriage in-situ, et un jeu de coefficients est généralement valable pour des conditions hydrauliques restreintes. De plus, le manque crucial de données, l’existence de plusieurs modes de transport (charriage et suspension) se manifestant simultanément ou non, et le fait que le charriage est souvent accompagné de déformations du fond (« bedforms ») contribuent à la très grande difficulté à caler ces coefficients. Parmi toutes les formules proposées sous la forme de l’Eq.38, celle de Meyer-Peter et Muller (1948), que l’on notera MPM par la suite (Eq. 39), est probablement la plus connue et la plus utilisée (0.047 étant la valeur proposée par les auteurs pour la contrainte de Shields critique) :

2/3)047.0(8 −≈Φ θ (39)

Plusieurs études ont déjà proposé une comparaison des modèles existants en les testant sur des jeux de données (Van Rijn 1984a, Bathurst et al. 1987, Yang et Wan 1991, Cardoso et Neves 1994, Bravo-Espinosa et al. 2003, Barry et al. 2004). Une démarche similaire sera proposée dans la suite, à partir de notre propre jeu de données et en distinguant chaque régime. Par ailleurs, d’un point de vue pratique, θ est généralement inconnu et doit être calculé à partir des données disponibles qui sont (dans le meilleur des cas) le débit Q, le diamètre caractéristique des sédiments D et la pente du lit So. Une deuxième relation reliant θ à ces différents paramètres est donc nécessaire : c’est la loi de frottement. En étant elle même source d’erreur, la loi de frottement utilisée peut contribuer pour une grande part à compromettre une bonne prédiction du transport solide.



0.000001

0.00001

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

0.01 0.1 1 10θ

Φ

On a vu au chapitre précédent l’influence du charriage (Φ) sur la loi de frottement (et donc sur θ) or on vient de voir que Φ dépend directement de θ. La conséquence de cette interrelation étroite est que finalement la loi de frottement est indissociable de la loi de transport et vice et versa. Il paraît donc logique de chercher à vérifier comment la loi de frottement établie au chapitre précédent permet une meilleure connaissance de la (ou des) loi(s) de transport. III.1. Le jeu de données et quelques remarques préliminaires Le jeu de données utilisé pour caler la loi de frottement était constitué de 1270 conditions d’écoulement avec charriage (régimes 2 et 3). C’est ce jeu de données qui va être utilisé pour étudier le charriage. Nos données sont intéressantes dans la mesure où elles viennent compenser un manque des données existantes dans la gamme 0.08<θ <0.25 et 0.01< Φ < 0.45 pour les pentes allant de 1% à 9%. L’ensemble du jeu de données est reporté sur la Figure 36 (pour des pentes allant de 0.1% à 20%), ainsi que plusieurs modèles proposés dans la littérature.

Figure 36 : Comparaison de données expérimentales avec des lois de transport (Engelund et Hansen 1966, Van Rijn 1984a, Graf et Suszka 1987, Hanes 1986, Yalin

1977, Mizuyama 1977, Meyer-Peter et Muller 1948, Luque et Van Beek 1976, Bagnold 1956, Smart 1983, Bagnold 1956). Les lignes en pointillés correspondent à deux tendances possibles aux fortes contraintes. Le modèle de MPM est trait épais.

On peut constater, en particulier, que le modèle de Meyer-Peter et Muller (représenté en trait épais) ne peut prendre en compte toute la dispersion du jeu de données, et que, par ailleurs, il surestime considérablement les valeurs de Φ pour les basses valeurs de θ (comme cela a déjà été souligné par Luque et Van Beek 1976, Nino et Garcia 1994, Damgaard et al. 1997, Hunziker et Jaeggi 2002, Wong et Parker 2006).

23

θ∝Φ

25

θ∝Φ

Loi de charriage


On peut en déduire trois observations de cette figure:

- Les données sont approximativement reparties en deux groupes selon que Φ est plus petit ou plus grand que 0.01.

- La dispersion est très grande, surtout pour Φ inférieur à 0.01. - On peut distinguer deux familles de modèles selon leur tendance aux fortes valeurs de

contrainte (θ >1). La forte dispersion pourrait correspondre à la dépendance du taux de transport à des grandeurs physiques (diamètre de grain, pente) non prises en compte explicitement dans l’Eq.38, mais aussi aux conditions expérimentales. En effet à la fois les mesures de θ et Φ sont sources d’erreurs et de dispersion des données: θ est calculé à partir d’une mesure de la vitesse qui, comme on l’a vu, peut être très délicate en présence de charriage et nécessite une correction appropriée des effets de parois (d’où la difficulté d’analyse des données produites en conduites fermées). Φ correspond à l’alimentation solide pour l’expérience considérée. θ et Φ doivent surtout impérativement être associés à une estimation très précise de la pente d’équilibre, qui peut souvent n’être atteinte qu’après plusieurs heures d’expérience. On peut formuler quelques remarques sur la forme du modèle Φ(θ). Aux faibles valeurs de θ le terme(θ-θc)β introduit dans l’Eq.38 permet de réduire Φ à zéro quand θ tend θc, la valeur critique pour le début de transport. Quand la valeur nulle est attribuée à β (Engelund et Hansen 1966) le modèle n’est plus valable dans la région des faibles valeurs de θ . La connaissance de la forme qu’un tel modèle doit adopter dans la région des grandes valeurs de θ (θ > 1) est primordiale mais n’est cependant pas triviale (voir Rickenmann 1990 pour une revue exhaustive des lois de transport établies pour les grands nombres de Shields). D’un point de vue théorique, Yalin (1977) a proposé une relation de la forme Φ ∝θ 3/2 en considérant que le charriage est proportionnel à l’énergie de l’écoulement près du lit (qs∝τu*). De plus l’Eq.39 suggère que Φ ∝θ 3/2 quand θ>>θc et l’hypothèse d’une loi puissance en 3/2 est supportée par les expériences de Wilson (1966) en conduite. Mais la relation d’Einstein (1950) conduit asymptotiquement à Φ ∝θ, et sur la base d’un modèle mixte associant le charriage classique et la mécanique des milieux granulaires, Hanes et Bowen (1985) ont proposé pour le charriage intense une relation qui tend asymptotiquement vers Φ ∝θ 5/2. Des lois similaires en 5/2 ont été proposées par Engelund et Hansen (1966) pour le transport total à partir d’une analyse en similitude (hypothèse d’un exposant 2 pour le charriage seul), et par Graf et Suszka (1987) à partir du calage de données de charriage. Les deux tendances (en 3/2 ou en 5/2) sont présentées sur la Figure 36 et on peut en conclure, en premier abord, que les deux sont valables selon la valeur de θ à partir de laquelle doit être considérée l’asymptote. Ces aspects seront discutés dans la suite.



III.2. Observations expérimentales 3 régimes ont été identifiés lors de l’étude des lois de frottement :

- Régime 1: pas de charriage, f diminue avec une augmentation de R/D; - Régime 2: charriage faible, f est constant pour une pente donnée, la couche de

charriage se met en place, ce qui se traduit par une augmentation de la rugosité ks de D à 2.6D quand R/D augmente ;

- Régime 3: charriage important, f diminue à nouveau avec R/D (et le charriage). L’analyse d’images a été utilisée pour essayer de repérer les caractéristiques phénoménologiques de ces 3 régimes. Pour cela des expériences de charriage ont été réalisées à l’équilibre, pour différents débits, sur le matériau 4.9 mm et pour une pente de 5%. Les caractéristiques de fonctionnement des écoulements ayant fait l’objet d’un suivi sont présentées sur la Figure 37 et au Tableau 8. Un seul point (le N°8) est situé dans le régime 3.

10 1 4 6 8

10

R / D

U/u

*

Figure 37 : Conditions expérimentales utilisées pour l’observation du charriage (So=5%,

D=4.9mm) Chaque essai a fait l’objet d’une prise d’images à la fréquence 60 images par seconde. Ces images ont ensuite été traitées1 grâce au logiciel Wima (Ducottet 1994) pour déterminer le déplacement des grains. Le résultat est présenté sur la Figure 38, où chaque image montre le déplacement des grains sur un pas de temps (chaque grain est représenté à deux positions successives), et la surface libre (la prise d’image de côté fait apparaître la fluctuation moyenne sur toute la largeur de canal). Près du début de mouvement (cas 1) le lit est déformé et le charriage est constitué de quelques grains isolés. Lorsque le débit augmente on voit que très vite l’épaisseur de la couche charriée augmente et que les ondulations s’accentuent (cas 2). Les ondulations s’atténuent avec l’augmentation du débit jusqu’à presque disparaître quand on se rapproche du régime 3 (cas 3 à 6). En même temps la couche charriée s’intensifie (le mode de déplacement des grains semble essentiellement le roulement mais on aperçoit également de la saltation).

1La technique utilisée consiste à faire une soustraction sur chaque couple d’images successives pour détecter le mouvement et une convolution par gradient de Kirsch afin d’accentuer les contrastes

12

34

56 7 8

Loi de charriage

_____________________________Thèse A.RECKING

Figure 38 : Formes du lit obs

(sur cha

1

8

2

3

4

5

6

7

e

Augmentation brut

Suface libr

e
Couche charrié
___________________________________________ 67 Influence du tri granu

ervées pour le matériau 4.9 mm à 5% et pour des dque image apparaît la surface libre et le fond)

ale de l’épaisseur de la couche charriée dans

Saltation

__________________ lométrique sur le charriage

ébits croissants

le régime 3



N° L(m) D(mm) So Q(m3/s) U(m/s) θ Φ Régime

1 0.1 4.9 0.05 0.0008 0.49 0.095 0.016 22 0.1 4.9 0.05 0.0009 0.51 0.103 0.025 23 0.1 4.9 0.05 0.00105 0.53 0.113 0.040 24 0.1 4.9 0.05 0.0012 0.57 0.124 0.057 25 0.1 4.9 0.05 0.0013 0.57 0.130 0.069 26 0.1 4.9 0.05 0.0015 0.60 0.143 0.095 27 0.1 4.9 0.05 0.0017 0.63 0.154 0.121 2-38 0.1 4.9 0.05 0.0020 0.69 0.166 0.150 3

Tableau 8 : Conditions expérimentales utilisées pour l’observation du charriage (So=5%, D=4.9 mm)

A la transition entre les régimes 2 et 3 (cas 7) des grains apparaissent nettement en saltation au-dessus de la couche charriée. A ce stade, il est alors assez remarquable qu’un faible changement des conditions hydrauliques produit une forte augmentation de l’épaisseur de la couche charriée (cas 8): cela peut être interprété comme une nette augmentation du déplacement par saltation. La base de la couche charriée (lit fixe) et la surface libre sont alors plans et homogènes (ce qui n’était pas vraiment le cas pour les écoulements du régime2). On verra au paragraphe suivant que ce changement de structuration de la couche charriée, associé au changement de régime, est très cohérent avec un changement dans le comportement de la loi transport (Figure 40). Il ne s’agit là que d’une approche qualitative à partir d’un recoupement entre les observations visuelles et l’analyse (visuelle) de quelques images. Pour aller plus loin il serait nécessaire de mener une nouvelle expérience préparée pour une prise d’images optimale (taille des grains, pente, angle de prise de vue) et de traiter des séries d’images par des techniques appropriées2. Cela nous renseignerait de façon plus précise sur l’évolution de la couche charriée (mode de déplacement, épaisseur, éventuelle périodicité dans le mouvement des grains). Pour le moment, on retiendra comme hypothèse de travail que les régimes des charriages faibles (régime 2) et importants (régime 3) coïncident avec un changement dans le mode de déplacement des grains. Alors que le roulement, associé à de légères ondulations du lit, prédomine pour le régime 2, le régime 3 est associé avec un lit parfaitement plat, une couche de charriage d’épaisseur constante valant plusieurs fois le diamètre des grains, et où à la fois le roulement et la saltation sont observés. On le schématisera de la façon suivante (Figure 39) : 2 Le traitement complémentaire pourrait être un seuillage en niveaux de gris (pour identifier les grains en tant qu’objet), une extraction des contours (pour vectoriser les grains), et un filtrage par aire (pour éliminer la surface libre). Le signal résultant serait alors l’évolution temporelle de l’épaisseur de la couche charriée

Loi de charriage


Figure 39 :Déplacement des grains dans les deux régimes de transport . Dans le régime 2 les grains sont successivement accélérés et décélérés de part et d’autre de la crête. Dans le régime 3 le lit est plat et la saltation est observée au-dessus d’une couche basale plus

concentrée et plus lente.

III.3. Recherche d’un modèle de transport On a vu que la prise en compte du charriage pouvait permettre une meilleure connaissance des lois de frottement. Il serait intéressant de vérifier comment les lois de frottement peuvent à leur tour permettre une meilleure connaissance des lois de transport. Quand toutes les données sont reportées sur un graphe (θ,Φ) en distinguant l’appartenance de chaque point au régime 2 ou 3 (calculs effectués à partir des lois de frottement du chapitre précédent, connaissant les trois paramètres Q, S0, D), deux groupes se distinguent très nettement (Figure 40). On peut ainsi les séparer dans le processus de modélisation, et le meilleur ajustement pour les 524 points du régime 3 donne la relation suivante (coefficient de corrélation r²=0.96):

45.214θ=Φ (40)

Cette loi (très similaire à celle proposée par Graf et Suszka 1987, présentée en annexe 1) sera désignée dans la suite « loi puissance en 5/2 ». La dispersion des points est assez grande dans le régime 2. Cependant, on a déduit des lois de frottement, au chapitre précédent, que θc était fonction de la pente S0. Donc si un modèle en (θ-θc), tel que proposée par l’Eq.38, est valable, cet effet de pente doit se retrouver dans le jeu de données. Pour le vérifier, les points du régime 2 ont été reportés sur la Figure 41, avec considération des classes de pente [0.1-0.5%], [0.5-1.25%], [1.25, 3%] et [3-9%]. Une dépendance à la pente apparaît clairement, une valeur donnée de Φ étant associée avec des valeurs croissantes de θ quand la pente augmente. Par conséquent, un nouveau modèle a été recherché pour représenter le régime 2 sous la forme proposée par l’Eq.38, mais en utilisant une relation θc (S0).

Regime 3

U

Lit fixe Vitesse faible Vitesse importante

Regime 2

Uu



0.00001

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

0.01 0.1 1 10

θ

Φ

Regime 2Regime 3

Figure 40 : 1270 valeurs de (a) coefficient de frottement (R/D,(8/f)0.5) et (b) charriage (θ,Φ) avec distinction de l’appartenance des points aux régimes 2 et 3 tels que définis

pour la loi de frottement

Figure 41 : Données du régime 2, avec considération de la pente S0

0.00001

0.0001

0.001

0.01

0.1

0.01 0.1 1

θ

Φ

Données 0.1-0.5%Données 0.5-1.25%Données 1.25-3%Données 3-9%

f8

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1 10 100 1000R/D

Regime 2Regime 3

(a)

(b)

Loi de charriage


Un bon ajustement a été obtenu à partir de l’expression suivante:

2)(6.15 cθθ −=Φ (41)

en gardant, pour θc, la relation déduite de l’analyse des coefficients de frottement (Eq.34):

275.00

1172.0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

sS

cθ (42)

On désignera par la suite ce modèle « MPM modifié» (du fait de sa ressemblance de forme avec l’Eq.39), pour le distinguer de la loi puissance du régime 3. La limite θl de transition entre les deux régimes (MPM modifié et loi puissance en 5/2) est, en première approximation, une loi puissance de la pente (ajustement des points d’intersection entre l’Eq.40 et 41 pour différentes pentes):

36.0050.0 Sl =θ si S0 < 0.01 (43)

et

44.0072.0 Sl =θ si S0 > 0.01 (44)

Le modèle de transport est comparé à l’ensemble du jeu de données sur la Figure 42 et la correspondance est qualitativement bonne, excepté pour certains points de Meyer-Peter et Muller (1948) à la pente 0.3% et de Bogardi et Yen (1939) à la pente 2% (ces points ont été représentés par des cercles sur la figure). Aux faibles pentes, on peut constater que la transition au régime 3 est systématiquement accompagnée d’une absence de valeurs expérimentales qui réapparaissent aux nombres de Shields élevés. C’est le résultat de l’exclusion des écoulements mentionnés « sur dunes » par leurs auteurs. Le même constat avait été fait au chapitre précédent lors de la comparaison du modèle de frottement et des données. Les données pour écoulements sur dunes seront considérées séparément au chapitre suivant. On a vu que la résistance additionnelle pouvait être attribuée essentiellement au charriage et faiblement aux ondulations (sauf pour les dunes), et par conséquent, un facteur de correction tel qu’il a été proposé dans la formule originale de Meyer-Peter et Muller (1948), n’est pas nécessaire ici : la résistance additionnelle due au charriage est implicite dans la loi de frottement et les écoulements sur dunes ont été exclus du jeu de données (une discussion intéressante sur la nature de cette correction est proposée par Wong et Parker 2006).



10-2 10-1 100 10110

-6

10-4

10-2

100

102

10-2

10-1

100

101

10-6

10-4

10-2

100

102

10-2 10-1 100 10110-6

10-4

10-2

100

102

10-2 10-1 100 10110-6

10-4

10-2

100

102

10-2 10-1 100 10110-6

10-4

10-2

100

102

10-2 10-1 100 10110-6

10-4

10-2

100

102

10-2

10-1

100

101

10-6

10-4

10-2

100

102

10-2 10-1 100 10110-6

10-4

10-2

100

102


Φ

θ


Φ

θ

Données 0.0025 < S0 < 0.0035 Modèle S0 = 0.003 O Données Meyer-Peter Mul.

Φ

θ


Φ

θ


Φ

θ


Φ

θ


Φ

θ


Φ

θ

Loi de charriage


10-2 10-1 100 10110-6

10-4

10-2

100

102

10-2 10-1 100 10110-6

10-4

10-2

100

102

10-2 10-1 100 10110-6

10-4

10-2

100

102

10-2 10-1 100 10110-6

10-4

10-2

100

102

10-2 10-1 100 10110-6

10-4

10-2

100

102

10-2 10-1 100 10110-6

10-4

10-2

100

102

10-2 10-1 100 10110-6

10-4

10-2

100

102

10-2 10-1 100 10110-6

10-4

10-2

100

102

Figure 42 : comparaison du modèle de charriage avec les données, pour chaque pente

Données 0.095< S0< 0.015 Modèle S0 = 0.01

Φ

θ

Données 0.015<S0 <0.025 Modèle S0 = 0.02 O Nos données O Bogardi

Φ

θ

Données S0 = 0.03 Modèle S0 = 0.03 O Nos données

Φ

θ


Φ

θ


Φ

θ


Φ

θ

Données S0 > 0.1

Φ

θ


Φ

θ



III.4. Efficacité du modèle de transport Pour évaluer la précision du modèle, le ratio r suivant est utilisé:

MesuréCalculér ΦΦ= (45)

Le modèle est testé sur l’ensemble du jeu de données, soit un total de 1270 valeurs. Les modèles de Meyer-Peter et Muller (1948), Smart et Jaeggi (1983), Engelund et Hansen (1966), Engelund et Fredsoe (1976), Rickenmann (1991), Rickenmann (2001), Abrahams et Gao (2006), Brown (1950, tel que présenté et complété dans Julien 1995), Julien (2002), Graf et Suszka (1987), Schoklitsch (1962, modifiée par Bathurst 1987), Parker (1979) et Lefort-Sogreah (présenté dans Couvert et al. 1991) sont également utilisés pour la comparaison (tous ces modèles sont présentés en annexe 1). La formule de Julien (2002) est valable pour θ > 0.1 et n’est donc testée que pour le régime 3. Les résultats sont présentés au Tableau 9, où sont reportés les pourcentages de ratio r obtenus dans les intervalles [0.8 < r < 1.2], [0.6 < r < 1.4] et [0.5 < r < 2]. Deux valeurs sont systématiquement proposées. La valeur de gauche correspond à un calcul de Φ à partir des valeurs de θ fournies dans le jeu de données (test du modèle de transport seul) et la valeur de droite correspond à un calcul de Φ à partir du débit Q, de la pente S0 et du diamètre de grain D, lorsqu’une loi de frottement est fournie par l’auteur (test conjoint des modèles de frottement et de transport). Ce dernier aspect est très important car souvent, dans les cas pratiques, on ne dispose pas directement de θ, ou, lorsque c’est le cas (calcul à partir de la hauteur d’eau par exemple), il est peut être nécessaire de le corriger pour tenir compte de la résistance « de grains » uniquement (cet aspect est présenté au chapitre suivant). La formule de Meyer-Peter et Muller est testée avec la loi de Manning-Strickler en définissant le terme de rugosité par Ks=21.1/D1/6 (Graf et Altinakar 2000). La loi de Schoklitsch (1962) modifiée par Bathurst (1987), ainsi que la loi de Rickenmann (2001) permettent d’accéder au débit solide volumique unitaire qsv directement à partir du débit liquide unitaire q (pas de calcul intermédiaire de la contrainte). La formule de Lefort-Sogreah (1991) donne le débit solide total en fonction du débit liquide total et présente la particularité d’avoir été développée pour tenir compte de l’évolution de la largeur d’écoulement pendant le charriage (en particulier un ratio constant W/H=18 a été considéré pour développer la formule). Quel que soit le mode de calcul (à partir de θ ou de Q, S0 et D), on peut constater que les modèles proposés dans cette étude permettent d’améliorer considérablement (presque d’un facteur 2 par comparaison avec la plupart des modèles testés) la prédiction du transport. Si on exclut nos propres données de l’analyse (test uniquement sur les données externes), le score global est peu modifié (les scores deviennent 35%, 55% et 69% pour un total de 1190 valeurs). Par ailleurs, on peut constater que l’utilisation conjointe des lois de frottement et de transport donne de meilleurs résultats qu’un calcul direct à partir des valeurs de θ fournies dans le jeu de données. Cela s’explique par le fait que θ calculé à partir d’une mesure à l’intérieur du canal (vitesse moyenne ou hauteur d’eau) est lui même source de dispersion. Si une loi de frottement est correcte, elle a pour effet de faire disparaître cette source d’erreur.

Loi de charriage


Les bons scores de certains modèles (Meyer-Peter et Muller, Engelund et Hansen) doivent être considérés avec précaution, les comportements asymptotiques pouvant être mauvais, comme on peut le voir sur la Figure 44. La formule de Lefort-Sogreah (1991) donne de bons résultats pour le régime 3 mais surestime considérablement le débit solide pour le régime 2. On peut comprendre la performance relative de chaque modèle dans le régime 3 en les comparant aux données (Figure 43). Deux pentes (1% et 7%) sont considérées car 70% des valeurs concernent des pentes inférieures à 3% et 30% des valeurs concernent des pentes comprises entre 3 et 20%. La loi puissance étant calée sur le jeu de données, elle donne logiquement le meilleur score. Cependant, il est assez intéressant de noter que la plupart de ces modèles, qui ont un comportement asymptotiques en θ 3/2, ont tendance à sous-estimer les fortes valeurs de Φ (Figure 43 et Figure 44). Qualitativement, les meilleurs comportements sont obtenus par les lois puissances en 5/2 proposée dans cette étude et par Graf et Suszka (1987).

Figure 43 : Lois de transport comparées aux données du régime 3 La Figure 43 suggère, par ailleurs, qu’il n’y a pas d’effet de gravité aux très fortes pentes (15% et 20%). On reviendra sur cet aspect dans la suite.

0,01

0,1

1

10

100

1000

0,01 0,1 1 10

Loi puissance 5/2

MPM

Rick So=0.01

Rick So=0.07

Abrahams

Schoklitsch So=0.01

Régime 3: 0.005<So<0.03

Régime 3: 0.03<So<0.2

θ

Φ



Modèle 0.8 < r < 1.2 0.6 < r < 1.4 0.5 < r < 2

MPM /Manning (1948) 3-8 7-13 19-27 Smart & Jaeggi (1983) 10-12 19-22 30-34 Engelund & Hansen (1967) 9-9 20-19 32-32 Engelund & Frodsoe (1976) 3-/ 5-/ 9-/ Brown (1950)-Julien (1995) 9-10 22-23 36-45 Julien (2002) /-/ /-/ /-/ Graf & Suszka (1987) 14-/ 26-/ 34-/ Schoklitsch (1962) /-15 /-28 /-38 Rickenmann (en q, 2001) /-11 /-26 /-34 Rickenmann-Jaeggi (1991) 14-20 24-30 35-40 Abrahams et Gao (2006) 17-/ 26-/ 34-/ Parker (1979) 10-/ 19-/ 35-/ Lefort-Sogreah (1991) /-0 /-1 /-5

Régime 2 (746 valeurs)

Nouveau modèle 23-25 40-40 53-54 MPM /Manning (1948) 19-30 51-60 73-75 Smart & Jaeggi (1983) 20-22 35-38 46-49 Engelund & Hansen (1967) 10-15 32-39 49-54 Engelund & Frodsoe (1976) 17-/ 34-/ 57-/ Brown (1950)-Julien (1995) 28-10 53-21 79-72 Julien (2002) 32-/ 50-/ 66-/ Graf & Suszka (1987) 15-/ 45-/ 66-/ Schoklitsch (1962) /-10 /-20 /-29 Rickenmann (en q, 2001) /-15 /-32 /-38 Rickenmann-Jaeggi (1991) 19-25 31-41 41-50 Abrahams et Gao (2006) 29-/ 50-/ 75-/ Parker (1979) 32-/ 55-/ 79-/ Lefort-Sogreah (1991) /-20 /-54 /-75

Régime 3 (524 valeurs)

Nouveau modèle 40-55 74-83 89-94 MPM /Manning (1948) 10-17 25-32 41-46 Smart & Jaeggi (1983) 14-16 26-29 37-40 Engelund & Hansen (1967) 9-11 25-27 39-41 Engelund & Frodsoe (1976) 9-/ 17-/ 29-/ Brown (1950)-Julien (1995) 17-10 35-22 54-56 Julien (2002) /-/ /-/ /-/ Graf & Suszka (1987) 14-/ 34-/ 47-/ Schoklitsch (1962) /-13 /-24 /-34 Rickenmann (en q, 2001) /-13 /-28 /-36 Rickenmann-Jaeggi (1991) 16-22 27-35 37-44 Abrahams et Gao (2006) 22-/ 36-/ 51-/ Parker (1979) 19-/ 34-/ 53-/ Lefort-Sogreah (1991) /-8 /-23 /-34

Tous les points (1270 valeurs)

Nouveau modèle 30-37 54-58 68-70 Chaque cas traité présente deux valeurs : la valeur de gauche est le score obtenu en calculant Φ(θ) et la valeur de droite est obtenue en calculant Φ(Q, D, S0) lorsqu’une loi de frottement est proposée par l’auteur.

Tableau 9 : Test de performance des modèles. Pourcentage de ratios r=Φcal/Φmes obtenus dans les intervalles [0.8 < r < 1.2], [0.6 < r < 1.4] et [0.5 < r < 2]

Loi de charriage


Meyer-Peter & Muller (1948)

1.E-05

1.E-03

1.E-01

1.E+01

1.E+03

1.E-05 1.E-03 1.E-01 1.E+01 1.E+03

Φ mes

Φ c

al

Régime 3Régime 2

Smart & Jaeggi (1983)

1.E-05

1.E-03

1.E-01

1.E+01

1.E+03

1.E-05 1.E-03 1.E-01 1.E+01 1.E+03

Φ mes

Φ c

al

Régime 3Régime 2

Engelund & Hansen (1967)

1.E-05

1.E-03

1.E-01

1.E+01

1.E+03

1.E-05 1.E-03 1.E-01 1.E+01 1.E+03

Φ mes

Φ c

al

Régime 3Régime 2

Schoklitsch (1962)

1.E-05

1.E-03

1.E-01

1.E+01

1.E+03

1.E-05 1.E-03 1.E-01 1.E+01 1.E+03

Φ mes

Φ c

al

Régime 3Régime 2

Brown (1950)-Julien (1995)

1.E-05

1.E-03

1.E-01

1.E+01

1.E+03

1.E-05 1.E-03 1.E-01 1.E+01 1.E+03

Φ mes

Φ c

al

Régime 3Régime 2

Graff & Suszka (1987)

1.E-05

1.E-03

1.E-01

1.E+01

1.E+03

1.E-05 1.E-03 1.E-01 1.E+01 1.E+03

Φ mes

Φ c

al

Régime 3Régime 2

Rickenmann (1991)

1.E-05

1.E-03

1.E-01

1.E+01

1.E+03

1.E-05 1.E-03 1.E-01 1.E+01 1.E+03

Φ mes

Φ c

al

Régime 3Régime 2

Abrahams & gao (2006)

1.E-05

1.E-03

1.E-01

1.E+01

1.E+03

1.E-05 1.E-03 1.E-01 1.E+01 1.E+03

Φ mes

Φ c

al

Régime 3Régime 2

Parker (1979)

1.E-05

1.E-03

1.E-01

1.E+01

1.E+03

1.E-05 1.E-03 1.E-01 1.E+01 1.E+03

Φ mes

Φ c

al

Régime 3Régime 2

Cette étude

1.E-05

1.E-03

1.E-01

1.E+01

1.E+03

1.E-05 1.E-03 1.E-01 1.E+01 1.E+03

Φ mes

Φ c

al

Régime 3Régime 2

Figure 44 : Comparaison entre Φmesuré et Φcalculé pour les différents modèles testés



Pour finir, on peut étendre l’analyse au transport solide en conduites en charge grâce aux données de Nnadi et Wilson (1992). Ce dernier test peut être considéré comme un « blind test », les données n’ayant pas servi au calage des modèles. Nnadi et Wilson (1992) ont réalisé des mesures sur lit plats horizontaux, à grands nombres de Shields, pour des écoulements en charge, en conduite (49 valeurs présentées en annexe 6). Connaissant les vitesses U et les gradients de pression S mesurés par les auteurs, les modèles de frottement et de transport sont utilisés pour calculer le débit solide Φ. Les résultats présentés au Tableau 10 et à la Figure 45 confirment la robustesse du modèle globale (frottement + charriage) proposé dans cette étude.

0.8 < r < 1.2 0.6 < r < 1.4 0.5 < r < 2 Manning + MPM 0 0 0 Jaeggi + Rickenmann 0 0 4.4 Engelund et Hansen 0 30 39 Nouveau modèle 44 100 100

Tableau 10 : Performance (en %) des différents modèles appliqués au jeu de données de Nnadi et Wilson (1992)

Figure 45 : Comparaison des valeurs de Φ calculées par les différents modèles avec les données de Nnadi et Wilson (1992) en conduite

1

10

100

1000

1 10 100 1000Φ Calculé

Φ m

esur

é

Jaeggi + RickenmannManning + MPM Engelund HansenNouveaux modèles (frottement et transport)

Loi de charriage


III.5. Discussion III.5.1 Quel critère de transition entre les régimes 2 et 3 ? Deux formules ont été proposées comme critère de séparation des régimes 2 et 3, l’une obtenue par calage de la loi de frottement (Eq.30) et l’autre par calage de la loi de transport (Eq.44). Les deux calages ont été menés de façon totalement indépendante et dans les deux cas, la loi d’intersection proposée souffre des imprécisions liées à la dispersion des données de calage (Figure 30 et Figure 42). En moyenne les deux formules donnent une valeur limite θl ≈ 2.5θc, et l’expression suivante peut être utilisée en première approximation, compte tenu de l’Eq.34:

275.00

143.0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−≈

sS

lθ (46)

III.5.2 Prédiction aux faibles valeurs de transport La dispersion des données est très grande pour les valeurs de Φ < 0.001, c’est à dire pour les conditions d’écoulement très proches du début de transport. La dispersion observée pour ces points n’est pas très surprenante et peut avoir plusieurs origines. Elle peut s’expliquer en partie par l’utilisation de la contrainte moyenne au fond (au lieu de la contrainte locale instantanée), qui peut conduire à une sous-estimation de la contrainte effectivement responsable de la mise en mouvement des grains. Sur la base des travaux de Einstein et El-Samni (1949) concernant la distribution statistique des forces s’exerçant sur une particule, Gessler (1967) a par exemple montré que du transport peut exister alors qu’un calcul à partir de la contrainte moyenne prédirait un lit fixe (contrainte moyenne < contrainte critique < contrainte locale instantanée). Il a par ailleurs estimé qu’il n’y aurait plus de différence entre un calcul avec la contrainte moyenne et un calcul avec les contraintes locales à partir de θ > 1.5θc. Une autre source de dispersion très importante est la très grande sensibilité du transport à la pente, lorsque θ < 1.5θc (Figure 42). Les effets de la pente sont discutés au paragraphe suivant. III.5.3 Effets de la pente Une très forte sensibilité à la pente a été observée dans la construction des modèles de frottement et de transport. En particulier, le jeu de données reporté sur la Figure 41 montre que, dans le régime 2, contrairement à ce que l’on aurait pu attendre, le débit solide est d’autant plus fort que la pente est faible pour un nombre de Shields donné. Cette sensibilité est représentée sur la Figure 46 à partir d’un calcul à la pente S0=1%. Une erreur d’estimation de la pente de 1% (δS0=0.01) conduit à une erreur d’estimation du débit solide de plusieurs ordres de grandeur. Lorsqu’on est très proche du début de mouvement (1.01<θ/θc<1.05) on voit qu’une incertitude sur la pente de ±0.1% (δS0=0.001) peut conduire



1

10

100

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

θ/θ c(So+ δ So)

Φ(S

o) /

Φ(S

o+

δSo

)

δS 0 = 0.005

δS 0 = 0.001

δS 0 = 0.01

à une erreur située dans un rapport de 1 à 10. Par ailleurs, le débit solide n’est vraiment sensible à la pente que pour θ < 1.2θc environ. Or, cela pourrait justement correspondre aux conditions maximum d’écoulement pour les rivières à graviers (Parker, 1978).

Figure 46 : Simulation des effets de la pente sur le calcul du débit solide à la pente 1% Les conséquences sont bien illustrées si on considère à nouveau l’exemple du modèle de Meyer-Peter et Muller (1948) reporté sur la Figure 47. Une partie du spectre couvert par le jeu de données, aux faibles pentes, ne peut être vu par le modèle du fait d’un seuil à 0.047 (contrainte critique). Par ailleurs la modélisation du débit solide peut conduire à une surestimation de plusieurs ordres de grandeur, pour un nombre de Shields θ donné (exemple à la pente 2% sur la figure). Ces résultats sont tout à fait cohérents avec ce qui a souvent été observé sur le terrain (Barry et al. 2004).

Figure 47 : Illustration des conséquences de l’effet de pente avec le modèle de MPM

θc =0.047

S0=0.1%

S0=9% S0= 1%

0.00001

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

0.01 0.1 1

θ

Φ

"Vu" par MPM

"Non vu" par MPM

Pente So=2%MPM

θc = 0.047

S0 = 0.001

S0 = 0.01 S0 = 0.09

Loi de charriage


L’analyse menée jusqu’ici indique que cette influence de la pente (à la fois sur le frottement et le transport) pourrait avoir pour origine les conditions du début de mouvement. On l’a modélisé par une relation θc(S0) produisant une augmentation de θc lorsque S0 augmente (Eq.34). Ce résultat est conforté par plusieurs autres travaux expérimentaux qui ont également observé une augmentation du nombre de Shields critique lorsque la profondeur relative diminue, c’est à dire, pour les expériences considérées, lorsque la pente augmente (Ashida et Bayazit 1973, Mizuyama 1977, Bettess 1984, Bathurst 1987, Suszka 1991, Shvidchenko et Pender 2000, Mueller et al. 2005). Il peut néanmoins paraître en contradiction avec d’autres corrections généralement utilisées qui consistent, sur la base d’une approche analytique sur l’état de stabilité du grain, à corriger la valeur du Shields critique du lit quasi-horizontal θco par un coefficient qui diminue cette valeur lorsque la pente augmente (Luque et Van Beek 1976, Ikeda 1982, Seminara et al. 2002). Une première hypothèse consiste à considérer que dans l’Eq. 34, le paramètre pente intègre à la fois des critères de stabilité du grain et les effets de la profondeur relative R/D sur θc. On a vu que l’existence d’une zone à faible vitesse près du lit, générant des profils de vitesse non logarithmiques (Ashida et Bayazit 1973,Mizuyama 1977, Aguirre-Pe et Fuentes 1990, Ferro et Baiamonte 1994, Katul et al. 2002) pourrait expliquer que, pour un diamètre donné, une contrainte moyenne (apparente) plus forte serait nécessaire pour bouger la particule à faible profondeur relative. L’existence d’un tel profil de vitesse pourrait également expliquer le changement de comportement de la loi de frottement pour les pentes supérieures à 0.7% (échelle des rugosités intermédiaires). Cependant il ne s’agit que d’hypothèses et des recherches sont encore nécessaires pour conclure définitivement sur les propriétés de ces écoulements à faible profondeur relative. Une seconde hypothèse consiste à considérer que cet effet de pente pourrait correspondre à une diminution de l’efficacité de transport avec l’apparition des ondulations dans le régime 2 (voir paragraphe suivant). Or les données disponibles indiquent que l’amplitude des déformations du lit, pour un nombre de Shields donné, est fortement corrélée avec la pente. Cette analyse sera présentée au chapitre suivant. Pour finir, si les effets de la pente ne sont généralement pris en compte qu’à travers une modification de θc dans l’Eq.38, une seconde approche consiste à considérer que la loi de transport doit également être corrigée pour tenir compte des effets de gravité, par des coefficients de correction fonctions de la pente et de l’angle de frottement interne du matériau (Bagnold 1956, Abrahams et Gao 2006). Ces effets ont été étudiés expérimentalement par Damgaard et al. (1997). Ils ont comparé les valeurs de Φ mesurées pour des pentes ± 35% et 60% (cette dernière correspondant approximativement à l’angle de repos du matériau testé) avec les valeurs mesurées pour un lit horizontal, pour des valeurs imposées du nombre de Shields (ils ont considéré trois cas: θ=0.11, 0.18 et 0.33). Ils ont conclu de cette analyse que les effets de gravité sont réels, mais qu’ils diminuent rapidement lorsque le nombre de Shields augmente. En particulier, leurs mesures indiquent que lorsque θ = 0.33, l’effet de gravité est négligeable pour la pente 35%, qui est bien supérieure à la pente la plus forte considérée ici. Par ailleurs la Figure 43 ne permet pas, à partir des données disponibles, de faire une distinction entre les valeurs mesurées à faible et à forte pente.



III.5.4 Efficacité du transport La transition entre la forme modifiée de MPM (Eq. 41) et la loi puissance (Eq. 40) coïncide exactement, en terme de loi de frottement, à la transition du régime 2 au régime 3. Cette transition peut aussi être analysée en terme d’efficacité de transport (Bagnold 1966, Bagnold 1977). Bagnold a proposé de considérer la rivière comme un système de transport continu et homogène, et d’appliquer le principe de conservation de l’énergie au transport solide (la variation du travail de transport = la puissance disponible x un terme d’efficacité), ce qu’il a formulé de la façon suivante :

ωα eib =tan (47)

où )( ρρ −= sbb gqi est le transport solide « déjaugé » (qb est le débit solide volumique par unité de largeur), tanα est le coefficient dynamique de frottement interne, 0QSU ∝= τω est la puissance de l’écoulement (puissance moyenne disponible pour la colonne d’eau par unité de surface du lit) et e est l’efficacité (<1). Toutes les données exprimées en termes d’efficacité sont reportées sur la Figure 48 avec distinction de leur appartenance aux régimes 2 et 3. On voit que ib augmente avec ω depuis le début de mouvement jusqu’à atteindre un stade critique où l’efficacité est constante et maximum, ce qui est très cohérent avec l’analyse de Bagnold (1977). On peut aussi constater que le régime 3 correspond, quelle que soit la puissance de l’écoulement, à une efficacité de transport maximum et constante (ibtanα/ω ≈ Cte). L’augmentation de l’efficacité de transport dans le régime 2 pourrait être mise en relation avec la disparition des ondulations quand le charriage augmente. Lorsque le lit devient parfaitement plat (ce qui coïncide avec l’apparition du régime 3), on n’observe plus d’évolution significative de la structuration de la couche charriée avec l’augmentation de l’intensité du charriage, ce qui est cohérent avec une efficacité maximum et constante. Il se trouve que la transition aux lits plats correspond exactement à l’hypothèse que Bagnold (1966) avait formulée pour l’obtention d’une efficacité de transport e clairement identifiable et constante. Cela correspondrait d’après lui, aux conditions hydrauliques pour lesquelles la couche en mouvement serait suffisante pour «masquer » l’écoulement principal du lit fixe situé en dessous. Cette hypothèse est assez cohérente avec le fait que la rugosité équivalente semble se stabiliser à environ ks≈2.6D quand le régime3 est atteint (l’augmentation brutale de l’épaisseur de la couche charriée permet de faire l’hypothèse d’une généralisation du déplacement par saltation). Le terme e est difficile à évaluer. Si on ne considère pas les points pour les très fortes pentes (15 à 20%, tous les points vérifiant ib>ω sur la Figure 48) les données du régime3 vérifient approximativement 0.3 < e/tan(α) <0.7. Cependant, le calcul de e est étroitement lié à la valeur de tanα, et bien qu’une valeur moyenne de 0.63 soit généralement utilisée pour les graviers naturels, une incertitude semble exister pour ce paramètre, des valeurs de l’ordre de 0.3 étant également citées dans la bibliographie (Nino et al. 1994). Pour tan(α)=0.63, on obtient une efficacité maximum comprise dans la fourchette 0.19 < e < 0.44. Ces valeurs sont cohérentes avec celles proposées par Bagnold (1966) pour les écoulements à faible profondeur relative. Les données indiquent une efficacité plus forte aux très fortes pentes. Lorsqu’une correction sur la pente est effectuée pour tenir compte des termes de gravité (des formules de correction sont présentées en annexe 1), les points sont légèrement décalés vers le

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bas et on se rapproche de la relation ib=ω proposée par Abrahams (2003). Cette relation n’est cependant pleinement vérifiée qu’aux fortes valeurs de ib (supérieures à 100) et aux très fortes pentes (15 à 20%) pour le jeu de données considéré.

Figure 48 : Les données des régimes 2 et 3 reportées sur un diagramme d’efficacité ib(ω) L’efficacité moindre du charriage dans le régime 2 est cohérente avec une couche de charriage non homogène, alternativement accélérée et décélérée de part et d’autre des formes du lit. Ce phénomène peut être rapproché de l’étude de Strom et al. (2004) sur l’effet des microformes sur le transport par charriage. Ils ont démontré expérimentalement, avec des billes de verre uniformes, que la présence d’agrégats au sommet d’un lit immobile plat et bien compact, peut considérablement modifier le débit solide, en capturant ou libérant des particules, selon la valeur du nombre de Shields (quand θ <2θc, les particules se réfugient dans le sillage des agrégats conduisant à une diminution du débit solide, lorsque θ>2θc les agrégats commencent à se dissocier et quand θ >3θc il se produit un mouvement général de tous les grains et l’élimination de la micro topographie). Sur un lit de gravier et en présence d’une alimentation continue, ce phénomène pourrait être responsable des ondulations du lit et d’une discontinuité du transport, les particules étant successivement accélérées et décélérées de part et d’autre de chaque crête (Figure 39). En fait, ces ondulations sont hautes en moyenne d’une épaisseur de grain et l’espace entre deux crêtes successives augmente avec le débit. Localement, les pentes sont donc alternativement plus fortes et plus faibles que la pente moyenne, produisant des variations locales du nombre de Shields à l’origine des accélérations et décélérations successives. Quand l’espace entre deux crêtes successives augmente, les pentes locales tendent à se confondre avec la pente moyenne et cet effet disparaît. III.5.5 Comportement asymptotique de la loi de transport Le comportement asymptotique de la loi de transport aux grands nombres de Shields mérite d’être discuté, à la fois à partir des observations expérimentales et de considérations théoriques. Expérimentalement, quand θ <1 les données disponibles ne permettent pas de conclure sur le comportement asymptotique. Des valeurs plus fortes du nombre de Shields doivent donc être prises en compte. Cependant, du fait des difficultés expérimentales, ce type de données ne

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

0,1 1 10 100 1000

i b

Regime 2

Regime 3

ib=w

ω

ω



concerne que des écoulements en conduite en charge horizontale ou en canal à très forte pente (15 à 20%). Ces données doivent donc être considérées avec précaution car aux très fortes pentes se pose la question de la nécessité ou non de prendre en compte un terme de gravité dans Φ(θ), tandis que pour les écoulements en charge la qualité des mesures est étroitement liée au protocole de correction des effets de parois. Il n’existe que peu de points (Einstein et Chien 1955) mesurés en canal expérimental pour des pentes modérées 1%<S0<3% et θ ≈3 (Figure 41). Ces valeurs sont compatibles avec une loi en 5/2. De plus, les travaux de Damgaard et al. (1997) sur les effets de gravité (voir ci-dessus), et les données disponibles (Figure 43), suggère qu’il n’y a pas d’effet de gravité aux pentes considérées (jusqu’à 20%). D’un autre côté, le données de Nnadi et Wilson (1992) obtenues expérimentalement pour des écoulements en charge sur lit plat indiquent plutôt une loi puissance en 3/2. Cependant θ n’a pas été mesuré directement au sein de l’écoulement mais a été calculé à partir d’une mesure de la vitesse moyenne et du gradient de pression, après une correction des effets de parois par une méthode utilisant la loi de frottement établie pour les écoulements lisses en conduite. Par conséquent, étant donné la forte influence des parois sur l’écoulement moyen, l’erreur associée au calcul du rayon hydraulique R (et du nombre de Shields θ associé) peut ne pas être négligeable (Hanes et Bowen 1985). Or, lorsque les calculs sont réalisés directement à partir des valeurs mesurées de vitesse U et de gradient de pression S (grâce aux lois de frottement établies au chapitre 2), les valeurs obtenues pour le rayon hydraulique R associé au lit sédimentaire sont en moyenne 30% plus faibles que les valeurs obtenues par correction des effets de parois (données fournies par les auteurs), et la prédiction du charriage par une loi puissance en 5/2 est très bonne (Tableau 10). Il semble donc difficile de conclure définitivement sur le comportement asymptotique uniquement à partir des jeux de données disponibles. D’un point de vue théorique, Bagnold (1956) a considéré que si un lit stationnaire est observé à l’équilibre quelles que soient les conditions d’écoulement uniformes et permanentes, c’est parce que les collisions entre grains produisent une contrainte normale σg dont la composante tangentielle (τg=σgtanα ) réduit la contrainte moyenne au lit exercée par le fluide τo à sa valeur critique τc. L’équation de quantité de mouvement appliquée dans le sens de l’écoulement implique alors que la différence (τo-τc) correspond à la contrainte moyenne exercée sur le lit par la phase solide, et sa composante normale (τo-τc)/tanα compense alors exactement le poids déjaugé de la couche charriée, si les forces de portance sont négligées (une présentation complète de l’analyse est disponible dans Seminara et al. 2002). Bagnold a déduit de ces hypothèses une formule qui a la forme de l’Eq. 38 (avec α=1/2 et β=1) ce qui conduit, quand θ >>θc , à une loi puissance en 3/2. Hanes et Bowen (1985) ont proposé d’améliorer cette approche en faisant varier la concentration et la vitesse à l’intérieur de la couche charriée. Ils ont pour cela considéré l’écoulement permanent et uniforme comme un système composé de plusieurs couches indépendantes : l’écoulement principal (contrainte fluide), la zone de saltation (contraintes exercée par le fluide et les grains), une zone en écoulement granulaire (contrainte exercée par les grains seuls), et enfin, le lit fixe. Dans la zone granulaire la dynamique de l’écoulement est supposée contrôlée par les collisions de grain à grain. La couche de saltation est caractérisée par une concentration plus faible mais des vitesses de déplacement des grains beaucoup plus fortes (les grains provenant de la zone granulaire étant accélérés par une forte poussée du fluide dans la zone de saltation). En résolvant des équations appropriées pour chaque couche (ils ont utilisé les résultats expérimentaux de Luque et Van Beek 1976 pour développer un

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modèle de concentration pour la couche de saltation), ils aboutissent à un modèle de transport qui est proportionnel à une loi puissance en 5/2 aux fortes contraintes. Par ailleurs ils déduisent de cette analyse que la couche de saltation assurerait à elle seule 90% du transport. Les observations expérimentales (visuelles mais aussi par l’image) du lit dans le régime 3 semblent confirmer l’existence de deux modes de déplacement, avec une couche basale à faible vitesse et contacts entre grains importants, située juste au dessus du lit fixe plat, et à partir de laquelle les grains se déplacent à forte vitesse par saltation dans l’écoulement principal (Figure 38, Figure 39). Cela devra être confirmé en utilisant l’analyse d’images sur des expériences appropriées. Finalement, il est assez difficile de conclure sur le comportement asymptotique à partir des seules considérations théoriques. Les hypothèses de Bagnold ont récemment été remises en cause (Seminara et al. 2002 et Parker et al. 2003) alors que Jenkins et Hanes (1998) ont proposé une loi asymptotique en puissance 3/2 à partir de considérations théoriques. De nouvelles expériences sont clairement nécessaires pour conclure de façon définitive sur la forme de la loi de transport aux grands nombre de Shields. Néanmoins, la forme en puissance 5/2 semble être une bonne approximation, au moins pour les conditions d’écoulement auxquels s’intéresse cette thèse (θ < 1). III.5.6 Calcul pratique du charriage Le modèle de charriage proposé dans ce chapitre (Eq. 40 et 41) nécessite un calcul préalable de θ à partir de la loi de frottement. Cependant il est possible de combiner les lois de frottement et de transport pour obtenir une formulation unique donnant directement le débit solide volumique par unité de largeur qsv en fonction du débit spécifique q=Q/W, de la pente S0 et du diamètre des sédiments D. La loi de frottement proposée pour le régime 2 (Eq. 26 et 27) se caractérise par une grande simplicité et permet un calcul explicite du rayon hydraulique R. En faisant l’hypothèse que la hauteur d’eau H peut être approximée par le rayon hydraulique R, la définition de θ (Eq. 6) et la loi de charriage du régime 2 (Eq. 41) permettent d’établir les équations suivantes :

( )23/23/23/4

0

02/36/1 )log()1(

6.15csv qq

SBAS

Dsgq −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

= (48)

Avec 2/3

587.00

009.1 )log()1(0715.0 D

SSBA

gsqc+

−= (49)

Les valeurs A et B sont les coefficients proposés dans les lois de frottement pour distinguer les pentes fortes (> 1%) et faibles (< 1%). Ils sont rappelés au tableau suivant :

S0 < 1% S0 > 1% A 1.00 -3.70 B -4.84 -7.18

Tableau 11 : Valeurs des coefficients A et B



La condition de validité de cette équation est que le charriage se produise bien dans le régime 2. Elle peut être déduite des Eq. 43 et 44, ce qui donne:

88.00

3)1(56.2 SDsgqsv −< si S0 < 0.01 (50)

et

08.10

3)1(26.6 SDsgqsv −< si S0 > 0.01 (51)

Si les Eq.50 ou 51 ne sont pas vérifiées, l’écoulement est dans le régime 3 et il faut calculer qsv à partir des Eq.1 et 40, connaissant la contrainte θ (Eq.6), ce qui nécessite le calcul préalable du rayon hydraulique à partir des Eq. 28 et 29. Cependant la loi logarithmique nécessite un calcul itératif qui peut être fastidieux. Pour établir une formulation directement utilisable, les Eq. 28 et 29 peuvent cependant être approximées par des lois puissance de la forme :

β

α ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

DR

gRSU

0

(52)

Ce type d’approximation est bien illustré avec la loi de Manning-Strickler sur la Figure 32. Combiné avec l’équation du charriage pour le régime 3 (Eq.40) et considérant à nouveau R≈H, on obtient la formulation suivante pour le régime 3 :

ββ

α

239.4

0

45.2095.095..1)1(

14 +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

gSqDS

Dsg

qsv

(53)

Les valeurs des coefficients α et β sont données au tableau suivant :

R/D>17 8 < R/D < 17 3 < R/D < 8 α 5.9502 2.9823 1.8579 β 0.2082 0.4533 0.6825

Tableau 12 : Coefficients utilisés pour l’approximation de la loi de frottement

du régime 3 par des lois puissance La condition sur R/D correspond aux différents ajustements réalisés. Elle peut être transformée en une condition sur qsv à partir des Eq.1, 6 et 40, ce qui est proposé sur la Figure 49 présentant un algorithme de calcul pour un matériau naturel de densité relative s=ρs/ρ =1.65 et avec g=9.81 ms-2 (d’où les différentes formules pour le régime 3).

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Figure 49 : Algorithme de calcul du débit solide volumique [m3/s] pour un matériau naturel de masse volumique 2650 Kg/m3

qsv < qsvLim Qsv=Wqsv, Fin

q=Q/W

2/359.0

0

0 )log(385.0 D

SSBA

qc+

= q < qc

q > qc

qsv > qsvLim

123.1184.0

889.10287.2 q

DS

qsv = 2/345.2

02694 DSqsv <

2/345.202694 DSqsv >

254.1381.0

823.10 q

DS

qsv = 2/345.2

017079 DSqsv <

2/345.2017079 DSqsv >

434.1651.0

733.10249.0 q

DS

qsv =

Qsv=Wqsv, Fin

Qsv=Wqsv, Fin

Qsv=Wqsv Fin

Qsv=0, Fin

Q, W, S0, D

( )23/23/23/4

0

0

)log(5

csv qqSBA

SD

q −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=

A B qsvLim

S0 < 0.01 1.00 -4.84 2/388.003.10 DS

S0 > 0.01 -3.70 -7.18 2/308.102.25 DS

REGIME 2

REGIME 3



La loi proposée pour le régime 2 est d’un grand intérêt pratique puisque les écoulements en rivières naturelles à graviers sont en général caractérisés par des nombre de Shields θ peu éloignés du nombre de Shields critique θc pour le début de mouvement (Parker 1978) et la plupart des événements susceptibles de produire du charriage ont donc beaucoup de chances de se situer dans le régime 2. La condition sur q (supérieur ou inférieur à qc) doit toujours être vérifiée car l’Eq.48 fournira toujours une valeur positive étant donné la puissance au carré. Le terme qsv [m3/s/m] calculé est le débit solide volumique par unité de largeur. Il doit donc encore être multiplié par la largeur active de transport pour obtenir le débit solide volumique total (Qsv=qsvWa). Pour obtenir un débit solide volumique apparent il faut tenir compte de la porosité des sédiments (ce qui revient à multiplier le débit solide volumique réel Qsv par le ratio ρs/ρsapp≈2.65/2). Pour avoir le débit solide massique il faut multiplier Qsv par la masse volumique du matériau (Qs=ρsQsv en kg/s, avec ρs=2650 kg/m3). Cette réécriture des équations permet d’accéder directement au débit solide (sans calcul intermédiaire de la contrainte) et donne exactement les mêmes résultats que l’approche globale pour des écoulements larges (en canal expérimental il faut reprendre le calcul complet en tenant compte des effets de parois selon la procédure présentée en annexe 3). Cependant, la forme relativement simple de ces formules ne doit pas masquer une des principales difficultés d’utilisation en milieu naturel (de ces formules mais également de toutes les autres) qui est la définition du diamètre D, des largeurs utilisées pour le calcul (W et Wa) et la très forte sensibilité à la pente S0. Le diamètre doit être, pour un événement mesuré ou de projet, le d50 de la couche charriée. En présence d’un sédiment bimodale, les mesures en canal indiquent que le diamètre le plus approprié est le diamètre moyen arithmétique (voir Eq.65 et mesures au dernier chapitre de la thèse). On utilise souvent une valeur unique W pour caractériser la largeur d’écoulement et la largeur active de transport (ce qui peut déjà être une source d’erreur en soit). Pour un débit Q donné, une augmentation de W va globalement avoir pour conséquences une rapide diminution de qsv par diminution du terme q=Q/W utilisé dans l’Eq.48. En rivières à graviers, la difficulté réside dans le fait que la grande mobilité du lit permet une modification de sa morphologie pendant la crue, et en même temps de la largeur W, qui devient elle aussi une fonction du temps W(t) pour un hydrogramme Q(t) donné. La formule de Lefort-Sogreah (1991) a d’ailleurs été développée avec l’hypothèse d’un ajustement de largeur pendant le transport de telle sorte que le ratio W/H puisse être considéré constant (une valeur de 18 avait été retenue). La grande sensibilité du calcul à la pente a été discutée au paragraphe III.4.3. En particulier, la Figure 46 indique qu’une erreur sur la pente de ±0.5% peut conduire à une erreur d’estimation du charriage d’un facteur compris entre 3 et plusieurs dizaines lorsque le rapport θ/θc tend vers 1. Si en laboratoire, la pente du régime uniforme peut être mesurée de façon relativement

Loi de charriage


fiable, ce n’est pas toujours le cas sur le terrain pour la mesure des pentes d’énergie associées aux crues. Lorsque la pente est une pente de projet, l’utilisation des formules ne pose aucun problème. Par contre, si ces formules sont utilisées pour essayer de reproduire un événement, il semble très important, lors de l’instrumentation du site, d’apporter une grande attention à la mesure de la pente. Par ailleurs, peut être la mauvaise estimation de la pente serait elle un élément d’explication de la difficulté à appliquer les formules de transport à l’échelle du régime, pour l’établissement de bilans sédimentaires. Par exemple, sur une période de 20 ans, Griffiths (1979) a calculé pour la rivière Waimakariri (Nouvelle Zélande), une production sédimentaire de 0.2x106 tonnes grâce à la formule de transport à l’équilibre de Bagnold (1966) alors que l’analyse des profils en long disponibles sur cette période a conduit à une estimation de 10x106 tonnes (soit 50 fois plus, ce qui est tout à fait cohérent avec les courbes de la Figure 46 aux faibles valeurs de θ/θc). III.6. Conclusion Un jeu de 1270 données expérimentales a été utilisé pour analyser la nature du charriage, à la lumière des observations qui ont été faites lors de l’étude des lois de frottement. Un modèle simple a ainsi été ajusté avec succès sur l’ensemble des données, qui ont été pour l’occasion réparties en deux groupes distincts :

- le régime du “charriage faible » (ou régime 2) caractérisé, pour une pente donnée, par un coefficient de frottement f constant lorsque R/D augmente, et un débit solide adimensionnel bien représenté par une forme modifiée de la formule de MPM.

- Le régime du “charriage important” (ou régime 3), caractérisé par une diminution du coefficient de frottement f quand R/D augmente, et pour lequel le débit solide adimensionnel est bien représenté par une loi puissance en 5/2 du nombre de Shields.

Les changements de comportement, à la fois de la loi de frottement et de la loi de transport, à la transition entre les deux régimes, coïncident avec des observations expérimentales d’un changement dans le mode de transport des sédiments. Dans le régime 2 l’écoulement apparaît associé avec de faibles ondulations du lit et les grains semblent se déplacer essentiellement par roulement, alternant sans cesse entre mouvement et repos, et le lit fixe est par conséquent mal défini. Dans le régime 3, les écoulements sont tous associés à une surface libre et une surface du lit parfaitement planes, un lit fixe bien identifié, une couche de charriage épaisse (de plusieurs fois le diamètre) et uniforme, et des déplacement par roulement et saltation. On pourrait pousser encore plus loin le raisonnement en ne considérant qu’une loi unique de transport, la loi puissance en 5/2, correspondant à un transport continu sur lit plat à efficacité maximum. C’est alors la discontinuité du transport induite par l’apparition d’ondulations qui serait responsable d’une efficacité moindre pour une puissance donnée (Figure 50). Les ondulations apparaissant progressivement et s’amplifiant avec la diminution du nombre de Shields, pour une pente donnée, la loi de MPM modifiée pourrait alors être considérée comme une approximation des valeurs de transport moyennées, lorsque la couche de charriage est alternativement accélérée et décélérée de part et d’autre des crêtes des ondulations.



Figure 50 : Relation entre formes du lit et lois de charriage On rejoint ainsi la notion de continuité ou non de la couche charriée, utilisée par Simons et Richardson (1966) pour classifier les écoulements. Ils avaient défini, aux faibles pentes, le « lower regime » pour lequel ils décrivent un mouvement des grains « discontinu » (alternance de mouvements et repos) et un transport solide faible. Ils l’avaient distingué du « upper regime », caractérisé une couche charriée « continue » sur lit plat et un transport solide élevé. La seule différence qui distingue les régimes décrits ici et ceux de Simons et Richardson concerne la classification des écoulements sur dunes, décrits au chapitre suivant.

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

0,01 0,1 1 10θ

Φ

Ugrain

u

Transport CONTINU sur lit plat Efficacité maximum

So = 9%

So = 0.1%

Transport DISCONTINU sur lit ondulé Efficacité réduite

Accélérations / Décélérations

45.214θ=Φ

Bedforms


IV. QUELQUES OBSERVATIONS SUR LES DEFORMATIONS DU LIT (« BEDFORMS ») Bien que cet aspect ne fasse pas partie des objectifs principaux de la thèse, quelques observations expérimentales méritent tout de même d’être rapportées. Deux types de déformations du lit ont été observés : des ondulations dans le régime 2 et des dunes dans le régime 3 à la pente 1%. IV.1. Des ondulations dans le régime 2 Pour une pente donnée, la distance entre deux crêtes successives des ondulations augmente avec le débit pour une hauteur de forme à peu près constante (le diamètre du grain en ordre de grandeur), jusqu’à ce que le lit devienne parfaitement plat dans le régime 3 (Figure 38). Wilcock et McArdell (1993) ont décrit une évolution tout à fait similaire des formes du lit, avec un ratio hauteur (constante) sur longueur diminuant avec les conditions hydrauliques. Les ondulations prennent rapidement de l’ampleur dès le début de mouvement et s’amenuisent jusqu’à devenir quasi-planes à planes lorsqu’on se rapproche du régime 3. Elles sont surtout visibles aux fortes pentes (supérieur à 2%) et on pourrait les assimiler à des « antidunes » dans la mesure où l’onde sédimentaire se déplace d’aval en amont et où la forme de la surface libre suit parfaitement celle du fond (avec toutefois une légère dissymétrie de hauteur d’eau observée entre l’amont et l’aval de la crête). Ces principales caractéristiques sont présentées schématiquement sur la Figure 51. L’équilibre entre dépôt et érosion de part et d’autre de la forme semblent être responsable de sa pérennité et de sa propagation d’aval en amont.

Figure 51 : Mode de propagation des ondulations du lit dans le régime 2 L’analyse des données a conduit à la conclusion que ce type de déformation n’affecte pas la loi de frottement. Cela peut se justifier par :

- de faibles échanges de quantité de mouvement entre l’écoulement et le lit, les lignes de courant étant à peu près parallèles au fond,

- aucun des écoulements observés n’était associé à des dissipations locales d’énergie importantes (du type ressaut hydraulique) générées par les distorsions de la surface libre (Cao 1985).

DépôtSens de

l’écoulementSens de l’onde Erosion



Les lois contrôlant ce type de comportement du lit ont fait l’objet de nombreuses approches (Kennedy 1960, Hayashi 1970, ASCE-Task-Committee 2002) et ne seront pas rappelées ici. Seules quelques observations et hypothèses sont présentées dans ce qui suit. Les principales caractéristiques morphologiques des ondulations observées sont reportées au Tableau 13.

D(mm) So θ Φ Lb(m) 4.9 0.03 0.081 0.009 0.23 4.9 0.03 0.088 0.016 0.24 4.9 0.05 0.087 0.009 0.14 4.9 0.05 0.095 0.016 0.17 4.9 0.05 0.103 0.025 0.19 4.9 0.05 0.113 0.040 0.20 4.9 0.05 0.124 0.057 0.23 4.9 0.05 0.130 0.069 0.26 4.9 0.05 0.140 0.089 0.29 4.9 0.07 0.114 0.034 0.15 4.9 0.07 0.126 0.053 0.18 4.9 0.07 0.138 0.074 0.19 4.9 0.07 0.149 0.097 0.21 9.0 0.07 0.098 0.014 0.26 9.0 0.07 0.108 0.026 0.31 9.0 0.07 0.118 0.039 0.36 9.0 0.07 0.132 0.063 0.38 9.0 0.09 0.132 0.056 0.26 9.0 0.09 0.159 0.112 0.33 9.0 0.09 0.166 0.128 0.38

Tableau 13 : Longueur moyenne des ondulations observées

La longueur d’onde moyenne des ondulations Lb a été estimée en divisant la longueur du canal par le nombre d’ondulations observées pour l’écoulement considéré. Lorsque cette longueur est adimensionnalisée par le diamètre du grain D et multipliée par la pente So, on obtient un bon alignement des valeurs obtenues en fonction du nombre de Shields (Figure 52). On peut en déduire la relation suivante, liant les déformations du lit au nombre de Shields:

77.011.260 −= θDSLb

(54)

Cette relation donne des résultats assez cohérents, lorsqu’elle est appliquée en « blind test » sur les écoulements produits par Cao (1985), pour modéliser (à partir de la seule connaissance du débit Q, de la pente S0 et du diamètre D et en utilisant la loi de frottement pour calculer θ) les longueurs d’onde des déformations du lit (Figure 53). Cependant, plus de données seraient nécessaires pour la valider.

Bedforms


Figure 52 : Longueur adimensionnelle des ondulations en fonction du nombre de Shields

0.1

1

10

0.1 1 10

Lb calculé (m)

Lb m

esur

é (m

)

Expériences de Cao (1985)Nos données

Figure 53 : Modélisation des longueurs d’onde des déformations du lit pour nos expériences et en « blind test » pour celles de Cao (1985)

L b S o /D = 26,11θ - 0,77R2 = 0,97

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18

θ

L bS o

/D



Le ratio D/Lb est en ordre de grandeur la pente locale associée à l’ondulation. LbSo/D représente donc le ratio entre la pente moyenne du lit et l’amplitude des déformations. On peut en déduire, d’après la Figure 52, que pour un nombre de Shields θ donné, les déformations du lit sont d’autant plus fortes que la pente est forte. Si l’efficacité du transport est associée à l’état de continuité de la couche charriée (accélérations et décélérations induite par les ondulations), comme cela a été supposé au chapitre précédent, cela se traduit par un débit solide d’autant plus faible que la pente est forte pour un nombre de Shields donné. Ce résultat est cohérent avec le comportement de la loi de transport proposée pour le régime 2 (Figure 41 et Figure 42). Il permet aussi d’expliquer l’influence de la pente sur θc (Figure 34). Par ailleurs, tous nos écoulements sur ondulations sont observés dans le régime 2 lorsque les calculs sont réalisés à partir de la pente moyenne. Cependant, une approche grossière montre que, lorsque le calcul est réalisé à partir des pentes locales (supérieures à la pente moyenne et estimées à partir des longueurs Lb du Tableau 13), tous les points de fonctionnement (coefficient de frottement et transport) sont systématiquement déplacés dans le régime 3 (Figure 54).

10 0 101 102 10 3 0 5

10 15 20

R/D

U/u

*

10-1 10 0

10-2

100

Theta

Phi

Figure 54 : Calcul des points de fonctionnement des écoulements affectés d’ondulations

à partir des pentes moyennes (°) et des pentes locales (+) Cela conforte une fois de plus l’idée que l’écart à la loi puissance asymptotique (Eq.41) aux faibles valeurs de θ (matérialisée par la formule de MPM modifiée) serait dû à la discontinuité du transport associée aux ondulations (Figure 39), mais que localement, les équations du régime 3 pourraient être valables. Cependant ce régime ne serait jamais vraiment atteint, puisque localement, les grains évolueraient plutôt entre des phases d’accélération et de décélération successives. S’il était confirmé, ce résultat serait très important pour une meilleure connaissance de la dynamique du charriage. Mais encore une fois, il ne s’agit que d’hypothèses qui doivent faire l’objet de mesures très précises (de la pente du lit et de la ligne d’eau). L’analyse d’images serait un outil très approprié pour ce type de mesures.

Bedforms


IV.2. Des lits plats et des dunes dans le régime 3 Les ondulations telles que décrites ci-dessus n’ont été observées que dans le régime 2. Une autre forme de comportement du lit a été observée avec l’apparition de dunes (Figure 55) dans le régime 3.

Figure 55 : Dunes observées dans le régime 3 à la pente 1%

Figure 56 : Ecoulement sur lit plat dans le régime 3 pour la pente 2%

Les dunes n’ont été observées qu’à partir de la pente 1% et avec le matériau fin (2.3mm) du fait des limitations expérimentales en canal. Tout comme pour les ondulations, quelques remarques vont être formulées mais leur dynamique ne sera pas abordée ici. Pour les cas expérimentaux considérés, l’apparition des dunes a coïncidé très exactement avec la transition au régime 3 et était accompagnée d’une forte augmentation de la résistance. Le nombre de mesures est insuffisant pour généraliser ce résultat et les données de Gilbert (1914) et de Williams (1970) référencées comme écoulement sur dunes ont été utilisées pour essayer d’étendre cette observation (seuls les écoulements caractérisés par un ratio H/W inférieur à 0.3 ont été conservés, ce qui correspond à un total de 241 valeurs pour des pentes comprises entre 0.15% et 1%). Tous ces écoulements sont fluviaux (Fr < 1).

Sens de déplacement de l’écoulement et de l’onde Erosion Dépôt



Les calculs effectués sur ce jeu de données (à partir des lois de frottement) confirment l’appartenance de tous les points au régime 3. Cependant, les données, présentées sur la Figure 57, montrent que la présence de dunes est associée à des coefficients de frottement f plus élevés que ceux prédits par le modèle pour lits plats. La forte augmentation de la résistance correspond à une « résistance de forme », la dune étant vue par l’écoulement comme une macro-rugosité : contrairement au cas précédent les lignes de courant ne sont pas parallèles au fond, ce qui génère d’importants échanges de quantité de mouvement. L’appartenance de tous les points au régime 3 est assez intéressante. Par ailleurs l’analyse des données sélectionnées pour les écoulements sur lit plat indique systématiquement un « trou » dans le jeu de données des coefficients de frottement juste après la transition au régime 3, sur une gamme de R/D restreinte (Figure 30). On peut aussi l’apercevoir par l’analyse du charriage, sur la Figure 42, avec une disparition des points du régime 3 pour θ < 0.1, aux faibles pentes. Cela correspond à l’élimination des écoulements mentionnés « sur dunes » et suggère que la transition au régime 3 à faible pente pourrait être un critère d’apparition des dunes. Pourquoi les lits plats observés à forte pente (Figure 56) évoluent-ils en dunes à faible pente est une question intéressante mais qui ne sera pas considérée ici. De nombreux travaux ont proposé une interprétation par analyse d’instabilité (Kennedy 1960). Ce qui peut par contre être vérifié, c’est le principe de décomposition linéaire du coefficient de frottement en présence de formes du lit. La technique consiste à décomposer la résistance totale f en la somme d’une résistance de grain f ’ et d’une résistance de forme f ’’ : f = f ’+f ’’ (55)

Le calcul de f ’ repose alors sur le postulat selon lequel la résistance de grain en présence de déformations du lit est égale à celle mesurée pour le même écoulement sur lit plat (la connaissance de la loi de frottement sur lit plat permet alors de déduire f ’’). Ce postulat est attribué à Einstein et Barbarossa (1951) mais la formule Meyer-Peter et Muller (1948) l’utilisait déjà en introduisant une correction sur le coefficient de Strickler. La conséquence est qu’une loi de frottement établie pour écoulement sur lit plat doit pouvoir reproduire la contrainte au fond responsable du transport en présence de dunes, et rend alors possible l’utilisation des formules de transport même en présence de dunes. Ce principe a été testé avec succès, à la fois expérimentalement et sur le terrain (Van Rijn 1984b, Petit 1989). Il est testé dans ce qui suit à partir de la loi de frottement (Eq.24 à 29) et de la loi de transport (Eq. 40 et41) sur les données de Gilbert (1914) et de Williams (1970) pour les écoulements sur dunes. Les résultats des calculs confirment une fois de plus l’appartenance au régime 3 (Figure 58) et la modélisation par la loi puissance en 5/2 (Eq. 40) permet de reproduire l’ensemble des valeurs dans l’intervalle d’erreur ±50%.

Bedforms


0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1 10 100 1000R/D

(8/f

)0.5

Modèle

Gilbert (1914)

Williams (1970)

Figure 57 : Données de Gilbert (1914) et Williams (1970)

pour les écoulements sur dunes.

0.000001

0.00001

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1

θ

Φ

Modèle

Gilbert (1914)

Williams (1970)

Figure 58 : Transport sur dunes mesurées par Gilbert (1914) et Williams (1970). Les

valeurs de θ sont calculées sur le principe d’une décomposition linéaire du coefficient de frottement f.



Les écoulements sur dunes présentent en commun avec les écoulements sur lits plats une efficacité de transport maximum pour une puissance ω donnée (Figure 59).

Figure 59 : Efficacité de transport des écoulements sur dunes

Cette efficacité pourrait s’expliquer par une continuité de la couche charriée, par comparaison à ce qui a été supposé pour le régime 2.

Figure 60 : Représentation schématique de la couche charriée associée aux formes du lit Simons et Richardson (1966) avaient distingué le « lower regime» (à couche charriée discontinue et faible transport) et le « upper regime » (à couche charriée continue et transport important) par l’existence ou non de bedforms (rides et dunes dans le lower regime et lits plats pour le upper regime).

0,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

0,1 1 10 100 1000

ω

i b

Régime 3 sur lit platRégime 3 sur dunesRégime 2Régime 1

Ondulations du régime 2 Dunes du régime 3

Lit fixe Vitesse faible Vitesse importante

Bedforms


L’analyse proposée ici indique que les formes du lit pourraient être un mauvais indicateur de cette notion de continuité de la couche charriée et de l’efficacité de transport associée, les écoulements sur dunes pouvant présenter la même efficacité de transport que les écoulements sur lits plats (lorsque seule la rugosité de grain est utilisée pour le calcul). Par contre, peut-être les écoulements sur rides pourraient ils correspondre à une discontinuité de charriage et à une dégradation de l’efficacité de transport (telle que décrits en présence d’ondulations dans le régime 2), aux très faibles pentes. En effet, les rides sont décrites comme étant des formes triangulaires à sinusoïdales de faible amplitude, apparaissant juste après le seuil du début de mouvement (Figure 61).

Figure 61 : Représentation schématique des écoulements sur rides et sur dunes (d’après Simons et Richardson , 1966)

Pour des nombres de Shields croissant, les lits à dunes se transforment successivement en lits plats (« upper plane bed regime »), puis en lits à antidunes (non observées dans nos expériences). Alors que les antidunes décrites pour le régime 2 (et modélisées par l’Eq. 54) ont été interprétées, dans le cadre de ce travail, comme étant la conséquence d’une trop faible compétence de l’écoulement pour le maintien d’une couche de charriage continue, les antidunes qui se produisent à grand nombre de Shields (et donc dans le régime 3) ont nécessairement une autre origine, qui a souvent été analysée comme un problème d’instabilité (Kennedy 1960).

Ecoulement sur rides

Ecoulement sur dunes



IV.3. Conclusion Il était important de faire quelques observations sur les relations entre les régimes identifiés pour les lois de frottement et de transport, et les déformations du lit. Des relations semblent exister, d’après les données disponibles, et ouvrent des perspectives de travail intéressantes pour une meilleure connaissance de la dynamique des formes du lit. Le point commun entre les deux types de transport du régime 3 (sur dunes et lits plats) pourrait être une continuité de la couche charriée contrairement aux accélérations et décélérations successives décrites pour le régime 2. Un essai de classification des formes du lit est proposé sur la Figure 62.

Figure 62 : Essai de classification des formes du lit rencontrées pour chaque régime

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

θ

Φ

n Lits plats

Dunes aux faibles pentes

2)(6.15 cθθ −=Φ

Transport discontinu Efficacité réduite

45.214θ=Φ

REGIME 3

REGIME 2

Conclusion de la partie 1


V. CONCLUSION GENERALE DE L’ETUDE DES ECOULEMENTS SUR MATERIAUX UNIFORMES L’étude des écoulements sur matériaux uniformes était avant tout destinée à tester les outils et protocoles de mesures, et à rechercher dans la bibliographie les modèles les mieux adaptés pour modéliser les grandeurs hydrauliques mesurées. Le succès dans cette analyse était un préalable indispensable pour prétendre essayer de comprendre (et modéliser) le comportement des écoulements sur matériaux non uniformes, où la composante « tri granulométrique » est supposée agir dans le sens d’une complexification des phénomènes. Les résultats de cette partie sont synthétisés au Tableau 14 et sur la Figure 63. Le dispositif expérimental, les outils et les protocoles mis en place pour les objectifs de la recherche ont été présentés au chapitre I de la première partie. 144 écoulements sur lit mobile ont été étudiés avec des matériaux uniformes, à l’équilibre, et pour des pentes allant de 1 à 9%. Les données produites indiquent que l’apparition du charriage est accompagnée par une augmentation du coefficient de frottement f. Par ailleurs, trois régimes d’écoulement associés à ces variations de f ont été identifiés, faisant apparaître une forte dépendance à la pente. Le jeu de données a alors été étendu à 1551 valeurs à partir des données disponibles dans la bibliographie. Il a été utilisé pour analyser les effets du charriage sur le coefficient de frottement, pour des écoulements à l’équilibre sur lit de gravier. Cette analyse a confirmé l’existence de 3 régimes et a permis de proposer un modèle de frottement :

- pour les profondeurs relatives R/D plus faibles que 8.6 (échelle des « rugosités intermédiaires »), la loi de frottement pour les écoulements sans charriage (régime 1) est purement empirique, et diffère des lois semi-empiriques classiquement rencontrées par un coefficient de pente de 9.5 au lieu de 5.75. Aux profondeurs relatives plus importantes (échelle des « faibles rugosités »), la loi semi-empirique de Keulegan est valide, et la rugosité de fond vaut en première approximation le diamètre du grain (ks=D).

- en présence de charriage, la nature de la rugosité de fond change et conduit à une augmentation du coefficient de frottement f. Quand le charriage est important (régime 3), la loi de frottement est bien représentée de façon semi-empirique à l’échelle des faibles rugosités, mais avec une rugosité environ 2.6 fois supérieure à celle proposée dans l’approche classique de Nikuradse-Keulegan (ks=2.6D). Cette augmentation apparente de rugosité est aussi observée à l’échelle des rugosités intermédiaires, qui doit cependant être modélisée de façon purement empirique comme c’était le cas pour les écoulements sans charriage (coefficient de pente 9.5).

- Entre ces deux conditions (pas de transport et transport important) il existe un régime de faible charriage (régime 2) pour lequel la rugosité ks changerait de D à 2.6D. Comme ce régime apparaît avec le charriage, il est dépendant du nombre de Shields critique θc et il a été nécessaire d’introduire la pente comme un paramètre de modélisation des lois de frottement.

Bien que de nouvelles données soient nécessaires pour valider complètement ce modèle, l’analyse des données déjà disponibles s’est montrée très cohérente avec les résultats des autres recherches menées sur les effets du charriage sur les lois de frottement.



Régime 3 : Transport CONTINU (Symbole [-] sur la Figure 63)

La couche de charriage est un tapis continu et uniforme, épais de plusieurs épaisseurs de grains, transitant de manière collisionnelle à vitesse moyenne constante.

* Coefficient de frottement f maximum pour un R/D donné (épaisseur de rugosité maximum) Loi de frottement en log(R/D) * Débit solide modélisé par une loi puissance en 5/2 : 45.214θ=Φ * Efficacité e maximum pour une puissance ω donnée (e=ibtanα/ω) Régime 2 : Transport DISCONTINU (symbole [+] sur la Figure 63)

La couche de charriée est successivement accélérée et décélérée de part et d’autre des reliefs.

* Coefficient de frottement f plus faibles que dans le régime 3 pour un R/D donné (réduction de l’épaisseur de rugosité avec la diminution du charriage). Loi de frottement en log(So). * Dégradation de la loi puissance en une loi de MPM modifiée 2)(6.15 cθθ −=Φ * Efficacité de transport moindre pour une puissance ω donnée Régime 1 : Pas de transport (symbole [o] sur la Figure 63) * Coefficient de frottement f minimum pour un R/D donné et loi de Keulegan vérifiée à

l’échelle des petites rugosités (R/D >10). Loi de frottement en log(R/D). * Débit solide nul * Efficacité de transport nulle

Tableau 14 : Synthèse des principaux résultats obtenus pour l’étude des écoulements sur matériaux uniformes



Figure 63 : Appartenance des données (1551 valeurs) à chaque régime, calculée à partir du modèle de frottement et des conditions expérimentales (Q,So ,D)

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

0,01 0,1 1 10θ

Φ

Régime 2Régime 3Régime 1Loi Puissance 5/2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1 10 100 1000R/D

(8/f

)1/2

Régime 2Régime 3Régime 1Loi de Keulegan

0,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

0,1 1 10 100 1000

ω

i b

Régime 3Régime 2Régime 1

Coefficient de frottement

Efficacité de transport

Débit solide

So = 9%

So = 0.1% MPMmod

14θ 2.45



Le jeu de données a ensuite été réduit à 1270 valeurs pour ne tenir compte que des écoulements avec charriage. La nature du charriage a alors été étudiée, à la lumière des observations qui ont été faites lors de l’étude des lois de frottement. Les régimes identifiés pour les lois de frottement ont également été observés:

- Pour le régime du “charriage faible » (ou régime 2) le débit solide adimensionnel est bien représenté par une forme modifiée de la formule de MPM ;

- Pour le régime du “charriage important” (ou régime 3) le débit solide adimensionnel est bien représenté par une loi puissance en 5/2 du nombre de Shields.

Les changements de comportement observés à la transition entre les deux régimes, à la fois pour la loi de frottement et pour la loi de transport, coïncident avec des observations expérimentales d’un changement dans le mode de transport des sédiments. Dans le régime 2 l’écoulement apparaît associé avec de faibles ondulations du lit et les grains semblent se déplacer essentiellement par roulement, alternent sans cesse entre mouvement et repos, et le lit fixe est par conséquent mal défini. Dans le régime 3, les écoulements sont tous associés à une surface libre et une surface du lit parfaitement planes, un lit fixe bien identifié, une couche de charriage épaisse (de plusieurs fois le diamètre) et uniforme, et des déplacements par roulement et saltation. L’étude a montré une très grande sensibilité du charriage à la pente dans le régime 2. Ce paramètre pourrait expliquer une grande partie de la dispersion des données de charriage pour les faibles valeurs de θ/θc, et plus particulièrement en ce qui concerne les mesures de terrain. Des mesures complémentaires seraient nécessaires pour confirmer toutes ces observations. Cependant, étant donné leurs performances, ces modèles peuvent être considérés à ce stade comme représentatifs d’un état de référence pour l’étude des écoulements sur granulométrie étendue. Mais si la fiabilité des modèles utilisés est importante, le principal résultat de cette partie 1 est la mise en évidence de l’existence de trois régimes d’écoulement (Figure 64), qui semblent être essentiellement associés à la continuité ou non de la couche de charriage.

Figure 64 : Représentation schématique des 3 régimes

sur les lois de frottement et de transport

100

101

102

10 3 0

5

10

15

20

R/D

U/u

*

10-1

10 0

10 -2

10 0

Teta

Phi

Régime 1 Régime 2 Régime 3

Partie 2


PARTIE 2

ETUDE DES ECOULEMENTS SUR MATERIAUX A GRANULOMETRIE ETENDUE

ECOULEMENTS EN GRANULOMETRIE ETENDUE _


Observations expérimentales


I . ETUDE EXPERIMENTALE DU COMPORTEMENT D’UN LIT DE GRAVIER A GRANULOMETRIE ETENDUE L’objet de cette seconde partie est d’analyser les propriétés des écoulements en granulométrie étendue. Comme cela a été présenté en introduction générale, le comportement du lit et du charriage seront a priori très différents de ceux qui ont été décrits précédemment. En particulier des fluctuations périodiques sont attendues. On sait finalement peu de choses sur les processus physiques contrôlant les fluctuations. Bien que les formes du lit (rides, dunes) peuvent justifier des petites variations temporelles du charriage, elles ne peuvent expliquer les variations observées sur des périodes longues (voire très longues). Cependant, une caractéristique du lit a été observée associée au charriage en granulométrie (même faiblement) étendue : Iseya et Ikeda (1987) ont utilisé l’expression “smooth state”, Whiting et al. (1985) et Kuhnle et Southard (1988) ont utilisé “bedload sheet”, et Hoey et Sutherland (1991) ont utilisé “bedload pulse” pour désigner la migration vers l’aval d’une forme particulière du lit (épaisse de quelques diamètres de grains). Parker (1991) a désigné “gravel sheets” une forme limite de déformation, à très faible amplitude, du lit. Dans la suite on désignera par « nappe de charriage » ces formes spéciales du lit qui diffèreraient des dunes classiques par un faible ratio hauteur sur longueur et une implication forte du tri granulométrique dans leur processus de croissance et de propagation (Dietrich et al. 1987, Seminara et al. 1996). Elles sont caractérisées par un front de propagation constitué de sédiments grossiers (Whiting et al. 1988) et ont été observées, à forte pente, comme étant constituées d’une couche de sédiments fins à forte mobilité, impactant les sédiments grossiers du lit au niveau de leur front de migration (Kuhnle et Southard 1988, Kang 1982). Les nappes de charriage ont été suffisamment observées, à la fois en canal expérimental et sur le terrain, pour conduire Whiting et al. (1988) à conclure qu’elles sont « des caractéristiques propres et généralement non reconnues du charriage de sédiments non uniformes ». De plus, la plupart des études ont aussi indiqué que les variations du charriage sont accompagnées de variations aléatoires du niveau du lit (Jackson et Beschta 1982). Hoey et Sutherland (1991) ont appelé “onde sédimentaire » ces variations de morphologie du lit, alors que Nicholas et al. (1995) ont désigné par « slug » les cycles d’aggradation et de dégradation pouvant se propager vers l’amont ou vers l’aval, et associés aux fluctuations du débit solide. Au cours d’expériences préliminaires non reportées ici (Recking et al. 2004), les fluctuations de pentes se sont révélées être, en écoulement contraint latéralement, de très bons indicateurs des variations de débit solide. Mesurer la pente plutôt que le débit solide est intéressant techniquement (c’est plus simple et donc permet des expériences plus longues) mais aussi présente l’avantage, en concentrant la mesure au niveau du lit, de permettre de recueillir de nombreuses informations qualitatives sur le comportement des sédiments. Par conséquent, dans la suite de ce travail, la réponse d’un lit de graviers à une alimentation constante (eau et sédiments) sera étudiée principalement par suivi des variations des pentes locales et moyennes (utilisées comme indicateurs des fluctuations de débit solide). Une large gamme de pente (0.8% à 9%) sera considérée.



I.1. Conditions expérimentales et production de données Le dispositif expérimental est le même que celui présenté dans la partie 1. Les matériaux uniformes utilisés dans la partie 1 ont été mélangés pour produire des sédiments multi-modaux. Les mélanges bimodaux ont été privilégiés afin de faciliter l’observation et d’être représentatif des sédiments naturels (Parker 1991,Van den Berg 1995, Kuhnle 1996). Il n’y a pas de recirculation. De fait, les sédiments charriés sont récupérés dans des seaux en sortie de canal, stockés, testés par tamisage et réajustés si nécessaire pour maintenir une composition granulométrique constante en entrée de canal, pour une expérience donnée (une quantité importante de chacun des matériaux uniformes était toujours disponible). Plusieurs conditions expérimentales ont été testées sur plus de 250 heures au total et sont présentées au Tableau 15. Plusieurs expériences longues (essais 1, 5, 6, 7, 8 et 9) ont été réalisées, ainsi que des courtes (essais 3, 4, 10 à 20). La longueur utile de canal L a aussi été variée pour étudier ses éventuels effets sur le phénomène de fluctuations. L’essai N°« 0 » est particulier dans la mesure où le système d’analyse d’images a été utilisé pour suivre la qualité de l’alimentation solide en entrée de canal. L’analyse d’images a également été utilisée pour mesurer en continu le débit solide en sortie de canal pour l’essai N° « 7 ».

Colonne (1) N° de l’essai (2 à 4) composition du mélange en % de chaque fraction (5) Largeur de canal W (6) Longueur de canal L (7) Débit Q (8) alimentation solide Qs (9) Pente moyenne du lit So (10) ratio entre nombre de Shields θ maximum observé et sa valeur critique (11) Durée de l’essai De (12 à 14) Périodes de fluctuations T (15) Amplitude des fluctuations de pente autour de la valeur moyenne ∆So (16 à 18) Débit solide instantané mesuré pendant une nappe de charriage en sortie de canal Qs, pour chaque diamètre du mélange.

Tableau 15: Conditions expérimentales et principaux résultats

Essai 2.3 4.9 9 W L Q Qs So θ/θc De Periodes (mn) ∆So Qs max (g/s) N° (%) (%) (%) (m) (m) (l/s) (g/s) (m/m) (h) T1 T2 T3 (%° 2.3mm 4.9mm 9mm

0 50 50 0 0.10 2 0.80 18.00 0.0475 1.3-1.9 1.1 17 - - ± 5.0 - - -1 50 0 50 0.15 8 5.00 14.40 0.0180 0.8-1.5 22.0 30 72 180 ± 11.0 16.2 0.0 15.82 50 50 0 0.10 2 0.80 5.41 0.0330 0.9-1.4 2.3 17 100 - ± 10.6 5.9 4.4 0.03 50 50 0 0.10 2 0.60 8.17 0.0455 1.0-1.6 1.8 24 - - ± 9.9 13.1 7.3 0.04 50 50 0 0.10 2 0.70 13.10 0.0465 1.1-1.7 1.7 19 - - ± 7.5 14.7 10.5 0.05 50 50 0 0.10 8 0.80 18.05 0.0485 1.3-1.9 22.0 23 106 211 ± 3.1 17.7 14.6 0.06 50 50 0 0.05 8 0.17 10.38 0.0860 1.2-1.8 64.0 20 260 416 ± 4.6 10.0 7.0 0.07 50 50 0 0.05 8 0.20 13.53 0.0865 1.4-2.0 46.0 15 238 454 ± 4.1 11.7 10.3 0.08 50 50 0 0.05 8 0.24 19.90 0.0840 1.5-2.2 33.0 60 208 625 ± 3.6 12.4 14.0 0.09 50 50 0 0.05 8 0.30 29.93 0.0885 1.9-2.5 5.0 ? - - ± 1.7 - - -

10 50 50 0 0.05 8 0.40 40.85 0.0906 2.3-2.8 2.5 ? - - ± 2.0 - - -11 30 70 0 0.10 2 0.80 12.83 0.0460 1.2-1.6 1.0 22 - - ± 8.1 10.6 13.5 0.012 30 70 0 0.10 2 0.90 13.91 0.0460 1.3-1.8 0.5 15 - - ± 7.5 15.6 14.3 0.013 30 70 0 0.10 2 1.10 24.70 0.0470 1.5-2.0 0.7 12 - - ± 6.4 15.6 19.8 0.014 30 70 0 0.10 2 1.30 33.91 0.0490 1.8-2.2 0.7 10 - - ± 2.9 14.6 25.6 0.015 0 50 50 0.10 2 1.50 39.52 0.0580 1.2-1.7 0.9 10 - - ± 5.2 0.0 45 27.416 0 50 50 0.10 2 1.80 61.00 0.0595 1.4-2.0 0.5 18 - - ± 2.5 0.0 29.8 34.817 40 20 40 0.10 2 1.20 11.97 0.0410 0.8-1.6 0.8 24 - - ± 19.5 16.8 6.8 10.618 33 33 33 0.10 2 0.80 19.00 0.0600 0.8-1.7 0.5 18 - - ± 13.3 18.2 24.5 18.119 50 50 0 0.15 4 4.00 3.80 0.0095 0.8-1.2 3.5 60 - - ± 5.3 - - -20 50 50 0 0.15 4 6.00 7.00 0.0086 1.0-1.5 4.0 120 - - ± 4.1 - - -21 50 50 0 0.10 2 0.34 20.70 0.0855 1.2-1.9 0.6 17 - - ± 7.0 - - -22 50 50 0 0.10 2 0.40 27.00 0.0860 1.4-2.1 0.5 13 - - ± 5.3 - - -23 50 50 0 0.10 2 0.48 40.00 0.0870 1.6-2.3 0.5 11 - - ± 3.5 - - -24 50 50 0 0.15 8 0.51 40.00 0.0900 1.3-2.0 9.0 ? ? 300 ± 6.0 - - -25 50 50 0 0.05 6 0.17 10.38 0.0870 1.2-1.8 14 20 240 - ± 3.1 - - -26 50 50 0 0.05 6 0.2 13.53 0.0865 1.4-2.0 16 20 260 - ± 4.0 - - -



Les essais 21, 25 et 6 et les essais 26, 22 et 7 sont deux jeux de conditions identiques, mais utilisée avec des longueurs de canal différentes ( 2 m, 6 m et 8 m) I.2. Analyse des résultats De larges fluctuations ont été observées à la fois pour la pente et le débit solide quelles que soient les conditions hydrauliques. Ces fluctuations sont toujours associées à un comportement complexe du lit, impliquant des phénomènes très variés, tels que le pavage et la nappe de charriage. Ces observations vont être décrites et commentées dans ce qui suit. Mais auparavant, un cas test est analysé pour vérifier les éventuelles implications du dispositif expérimental dans le phénomène de fluctuation. I.2.1. Etude d’un cas test La meilleure observation tendant à confirmer que les fluctuations ne sont pas induites par le dispositif est tout simplement que ce même dispositif n’a produit aucune fluctuation (du débit solide et de la pente) lorsqu’il a été utilisé avec des matériaux uniformes (à part des petites fluctuations quasi-instantanées en cas d’ondulations du lit). Donc, à première vue, les grandes fluctuations observées seraient inhérentes aux seules propriétés des sédiments charriés. De plus, le dispositif expérimental a aussi été testé avec un autre dispositif d’alimentation solide (distributeur volumétrique industriel de type « vis sans fin »), et différentes configurations d’alimentation (avec ou sans accompagnement du liquide et du solide) : le phénomène de fluctuation s’est toujours reproduit à l’identique quel que soit le mode d’alimentation. Pour finir l’essai N° « 0 » présenté sur la Figure 65 est une preuve supplémentaire que les fluctuations ne sont pas un effet secondaire induit par une alimentation instable : des fluctuations de pentes sont observées à plus ou moins 5% autour de la valeur moyenne 0.0475 alors que le débit solide d’entrée (mesuré à la fois par la mesure tachymètrique et par l’analyse d’images) est constant (environ 18 g/s).

Figure 65: Résultats du cas test (Essai 0): des variations de pente

sont observées pour un débit solide constant en entrée de canal On peut donc conclure que les fluctuations observées expérimentalement en présence de matériaux à granulométrie étendue ne sont pas induites par le dispositif expérimental, mais seraient bien l’expression du phénomène tri granulométrique à l’intérieur du canal.

0

5

10

15

20

0 10 20 30 40 50 60 70

Temps (mn)

Qs(

g/s

)

0,035

0,04

0,045

0,05

0,055

0,06

So

(m/m

)

Alimentation Qs (images) Alimentation 2.3mm (images)Alimentation Qs (Tachomètre) Alimentation 4.9mm (images)Pente



I.2.2. Corrélation entre les fluctuations du charriage et de la pente Le choix a été fait de mesurer la pente comme indicateur des fluctuations du charriage. En effet, pour une alimentation constante, une fluctuation du charriage est nécessairement associée avec des phénomènes de stockage et d’érosion à l’intérieur du lit, et par conséquent, en écoulement contraint latéralement, une corrélation doit exister entre les fluctuations du débit solide mesuré en sortie de canal et les fluctuations de la pente du lit sédimentaire à l’intérieur du canal. Des mesures ponctuelles de débit solide correspondant à des phases d’érosion du lit sont présentées au Tableau 15. On peut voir que ces valeurs peuvent atteindre plus de 3 fois la valeur d’alimentation (essais 17 et 18). Ce ne sont cependant que des valeurs instantanées et un suivi en continu sur une durée suffisante est nécessaire pour relier ces fluctuations à celles observées pour la pente. Cela a été permis grâce à l’analyse d’images pour l’essai N°7 (Q=0.2 l/s, Qs=13 g/s, pente moyenne 9%) et les résultats sont présentés sur la Figure 66 (seules 3 heures sont présentées par souci de clarté, mais cet échantillon est représentatif de tout le signal). La Figure 66 indique une bonne corrélation entre les fluctuations de la pente et du charriage. Un faible débit solide en sortie de canal est toujours associé à une phase d’aggradation du lit et inversement un pic de débit solide correspond à une dégradation. L’analyse spectrale du signal (par Transformée de Fourier) indique deux périodes (23 mn et 238 mn) qui sont approximativement les périodes mesurées pour la fluctuation de pente (la petite période est différente, car la fluctuation de pente locale est aussi influencée par d’autres critères comme on le verra au chapitre suivant). On voit également sur cette figure que le débit solide fluctue entre environ 0 et 2 fois la valeur d’alimentation du canal. La contribution de chaque fraction sédimentaire au débit solide total est aussi intéressante. On peut observer que le pic de sédiments grossiers précède toujours (de peu) celui des sédiments fins, comme cela avait été observé par Iseya et Ikeda (1987), Whiting et al. (1988) et Kuhnle et Southard (1988).

Figure 66: Mesure des fluctuations du débit solide et de la pente pour l’essai N°7 (avec contribution de chaque fraction au débit total Qs)

I.2.3. Les variations de pente Pour chaque expérience, une fluctuation périodique non négligeable de la pente a été observée (de ±3 à ± 20%). Ces fluctuations sont présentées au Tableau 15 (∆So) et seront présentées plus en détail (graphiquement) dans un prochain chapitre. Sur la Figure 67 sont présentées les

05

10152025303540

22 22,5 23 23,5 24 24,5 25Temps (h)

QS

(g/s

)

0,08

0,085

0,09

0,095

Qs Qs [2.3 mm] Qs [4.9 mm] Pente So



fluctuations mesurées pour les essais 1, 5 et 7 (pentes 0.018, 0.0465 et 0.0865) sur des mélanges 2.3 mm/4.9 mm et 2.3 mm/9 mm.

Figure 67: Fluctuations de la pente moyenne mesurées pour les essais 1 (pente 0.018), 5 (pente 0.0465) et 7 (pente 0.0865). Les points noirs indiquent les arrêts démarrages

successifs.

Les essais longs ont dû être arrêtés et redémarrés plusieurs fois. Le protocole consistait à opérer aussi lentement que possible afin de ne pas perturber la granulométrie de surface du lit. On peut voir sur la Figure 67 que quelle que soit la dynamique du lit (aggradation/dégradation) les arrêt/démarrage successifs ne semblent pas avoir influencé le phénomène de fluctuation. Cela est compréhensible si l’on considère que le phénomène de tri granulométrique n’est pas simplement gouverné par les caractéristiques du sédiment alimentant le canal, mais aussi et surtout par les interactions entre celui-ci et le sédiment déjà en place sur le lit (Wilcock et McArdell 1993). Ainsi quand une expérience est arrêtée pendant une phase érosive, la surface du lit résultant est surtout recouverte de sédiments fins au repos (inversement un arrêt pendant une phase d’aggradation produit un lit à sédiments grossiers, voire un pavage), qui contrôleront le processus de transport à la reprise de l’écoulement. Tous les signaux mesurés sont très différents à la fois en amplitude et fréquence. Pour une pente moyenne et un sédiment donnés, on observe à la fois une diminution de l’amplitude et de la fréquence avec une augmentation des conditions hydrauliques (Figure 68). Ce résultat est cohérent avec les observations de Iseya et Ikeda (1987) et Kuhnle (1989) d’une diminution des fluctuations avec une augmentation du débit solide moyen pour une pente donnée. Cet aspect sera discuté dans la suite.

0 5 10 15 20 25

a) Mélange 2.3/9 mm (50/50), Q=5 l/s, Qs=14.4 g/s, L=8 m, W=0.15 m (Essai 1)

0.016

0.020

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

c) Mélange 2.3/4.9 mm (50/50), Q=0.2 l/s, Qs=13.53 g/s, L=8 m, W=0.05 m (Essai 7)

0.08

0.09

0 5 10 15 20 25

b) Mélange 2.3/4.9 mm (50/50), Q=0.8 l/s, QS=18.05 g/s, L=8 m, W=0.10 m (Essai 5)

0.046

0.051

Durée (h)



Figure 68: Diminution des fluctuations de débit solide avec une augmentation des

conditions hydrauliques, pour différents mélanges sédimentaires et pentes moyennes L’analyse des fréquences est très difficile car elles sont souvent constituées de plusieurs composantes (très basse, basse et haute fréquence) comme on peut l’observer sur la Figure 67. Ce paramètre varie avec la composition sédimentaire, les conditions hydrauliques et la pente moyenne du lit, mais les expériences indiquent également une influence directe de la longueur de canal L. Cette influence est illustrée par la Figure 69. La période correspondant à une fluctuation de la pente moyenne entre deux valeurs limites (0.083 et 0.09), augmente rapidement (approximativement de 0.3 à 15 h) quand la longueur de canal passe de 2 à 8 m. De plus l’expérience en canal de 8 m indique plus de fréquences que l’expérience sur 2 m.

Figure 69: Fluctuations de pente mesurées pour deux conditions hydrauliques identiques mais deux longueurs de canal différentes (8 m et 2 m)

Pour l’expérience en canal de 8 m, la fréquence la plus haute correspond à des variations locales de pente localisées essentiellement à la partie amont du canal, tandis que les basses fréquences sont associées à des variations plus larges affectant le lit sur toute sa longueur. Ces fluctuations semblent varier, à la fois dans le temps et l’espace, ce qui rend leur mesure très difficile. Les mesures présentées au Tableau 15 correspondent aux premières valeurs représentatives et mesurables (par exemple la Figure 67a présente un signal « lissé » de l’essai N°1 dans la mesure où des fluctuations à plus haute fréquence ont été observées, mais concernent de faibles variations locales non mesurables à l’extrémité amont du canal).

Durée (h) pour l'expérience en canal 2m

0,08

0,09

0 10 20 30 40 50 60


Pen

te S

o (m

/m)

Longueur de canal= 8m Longueur de canal=2m

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3

θ/θc

Φm

axi/ Φ

moy

en



I.2.4. Pavage et nappe de charriage Toutes les fluctuations sont fortement liées à des variations cycliques de l’état du lit (Figure 70) observées quelles que soient les conditions expérimentales (mélange, pente ou débits).

a) Fin d’érosion, lit sableux, pente minimum b) Reprise du tri, profil ondulé

c)Alternance de pavage et d’érosions locales

d) La pente atteint un maximum ; armure e) Destruction progressive de l’armure

f) Longue érosion du lit avec profils plats (ligne d’eau et fond)

Figure 70: Variations du lit à alimentation constante (fluctuations de la Figure 67a)



Cet état cyclique du lit a été observé de façon identique pour tous les essais et est schématisé sur la Figure 71:

a) La pente moyenne se stabilise à une valeur minimum après une longue érosion du lit : la mobilité des sédiments grossiers est brusquement réduite, tandis que la mobilité des sédiments fins est maintenue. Le phénomène se produit d’amont en aval, alors qu’une nappe de charriage résiduelle se propage et disparaît en aval (Figure 70a). La disparition complète de la nappe de charriage conduit à une brutale diminution du débit solide lorsque celui-ci est mesuré en sortie de canal (Figure 66).

b) Le lit devient rapidement grossier en surface sur toute la longueur de canal ; des

déformations de faible amplitude se forment, à l’intérieur desquels le tri granulométrique semble se produire de façon très efficace (Figure 70b). A forte pente (9%) ce tri granulométrique est très nettement matérialisé par une couche de sédiments fins qui se forme juste en dessous des sédiments grossiers, sur une longueur finie Ls , et visible à travers les parois vitrées du canal.

c) Un cycle long se met en place, au cours duquel le lit présente alternativement zones de

pavage et d’érosion (Figure 70c). A forte pente, les états du lit sont très similaires à ceux présentés par Iseya et Ikeda (1987), c’est à dire “lisse” (nappe de charriage), “transitionnel” et “congestionné” (pavage). D’après les observations faites à la pente 9% , la nappe de charriage apparaît très clairement être une « bouffée » sédimentaire produite par un processus de fluctuation affectant l’extrémité amont du canal : le lit stocke du sédiment fin sur une distance donnée Ls (par un processus de tri efficace), et les libère ensuite quand la pente atteint localement un maximum (Figure 71.c.2 et 3). Au niveau de son front de propagation, la nappe de charriage impacte les sédiments grossiers du lit qui sont entraînés depuis leur position de (quasi) repos (ce qui explique l’observation déjà formulée d’un pic des sédiments grossiers précédant le pic des sédiments fins), et des sédiments grossiers sont aussi observés en saltation au dessus des sédiments fins de la nappe. La déstabilisation locale du lit pavé permet un enfouissement progressif des sédiments fins, ce qui conduit à une diminution d’intensité de la nappe de charriage au fur et à mesure de son transfert vers l’aval. Lorsque les expériences sont menées avec une pente moyenne faible (vers 1%), les effets d’impact deviennent très faibles et l’intervalle de temps séparant deux nappes de charriage successives se réduit considérablement, produisant la migration de zones très hétérogènes de sédiments fins et grossiers (« bed patchiness ») similaires à ce qui a été décrit par Whiting et al. (1988). Des « rubans de sable » (« sand ribbons ») tels que décrits par Ferguson et al. (1989) ont aussi été observés. Quelle que soit la pente, la longueur Ls sur laquelle sont observées les érosions locales semble varier dans le temps, de même que la longueur des nappes de charriage, produisant des profils de pente très contrastés.

d) Avec le temps, le pavage du lit devient de plus en plus fort, les nappes de charriage

disparaissent presque (excepté à l’amont) et la pente moyenne augmente. Après une durée suffisamment longue, ce phénomène peut produire un pavage complet du lit, tout à fait comparable à une armure statique dans certains essais (Figure 70d). Le profil longitudinal du lit est alors très uniforme.

e) L’armure est entièrement détruite : le phénomène débute par l’apparition de longs

rubans de sables (Figure 70e) qui évoluent rapidement vers un très long et puissant processus d’érosion.



f) L’érosion affecte tout le lit (Figure 70f). La pente moyenne est progressivement réduite à une valeur minimum, et un cycle complet recommence depuis la Figure 71a.

Figure 71: Schéma général d’évolution cyclique de l’état du lit, observé pour tous les essais (les phénomènes sont amplifiés et simplifiés pour plus de clarté).

N x c

b

a

f Large érosion du lit Degradation

dArmure

eDestruction complète de l’armure par une nappe de charriage

Pavage Aggradation sur une longueur finie Ls

1

Destruction du pavage, érosion locale du lit 2

Propagation et disparition de la nappe Nouveau pavage sur lit érodé 3



Les observations, sur le terrain, d’un transport préférentiel de sédiments fins sur une couche pavée ont souvent conduit à la conclusion que le pavage est le résultat d’une érosion du lit. C’est le cas lorsqu’il y a rupture du transit sédimentaire (par exemple après la construction d’un barrage ou d’une modification de l’occupation des sols). L’armure est alors le résultat d’un transport sélectif où les sédiments les plus fins et les plus mobiles sont progressivement éliminés de la surface du lit, conduisant à un lit résiduel et immobile constitué des sédiments les plus grossiers. Ce phénomène a été largement étudié expérimentalement, en l’absence d’une alimentation solide (Gessler 1967, Whittaker et Jaeggi 1982, Raudkivi et Ettema 1982, Dietrich et al. 1989). Une seconde approche consiste à dire que le pavage est associé à un équilibre du transit sédimentaire : c’est le concept de « mobilité équivalente » (Parker et Klingeman 1982) qui sera discuté par la suite. Cependant, il n’y a pas eu de travaux (à notre connaissance) qui ont décrit la formation d’un pavage en phase d’aggradation du lit. Or les observations expérimentales tendent à montrer que c’est ce que l’on obtient, en présence d’une alimentation solide constante, si le système est observé sur des durées suffisamment longues. Le transit des sédiments fins est alors produit par les nappes de charriage. Les nappes de charriage observées à forte pente sont longues de 2 à 3 m en moyenne et hautes de 2 à trois fois le diamètre du grain. La vitesse de propagation a été mesurée à 1.4 cm/s à la pente 9 % (essai 6). Cette grande mobilité rend leur suivi très difficile.

Figure 72 : Deux images prises à quelques secondes d’intervalle (a) juste avant et (b) pendant le passage d’une nappe de charriage

La Figure 72 présente deux images prises au droit de la même section et à environ trente secondes d’intervalle, juste avant et pendant le passage d’une nappe de charriage. On peut constater que juste avant le passage de la nappe, le lit est constitué d’éléments grossiers fortement déstabilisés (on peut apercevoir beaucoup de grains en saltation). On peut aussi constater que le passage de la nappe de charriage produit une augmentation considérable du niveau du lit (environ 6 mm pour le cas considéré ici). Les fluctuations de pente (entre un minimum et un maximum) et de la composition sédimentaire de la surface du lit (du pavage au lit de sédiments fins) conduisent finalement à une large gamme de conditions hydrauliques pour un même essai, ce qui est illustré par le calcul des ratios θ/θc (à partir des lois de frottement). Les résultats sont présentés au Tableau 15, et on peut remarquer que, à l’exception des essais 9 et 10 (qui correspondent à des conditions hydrauliques élevées et une absence totale de pavage), ce ratio ne dépasse jamais 2 approximativement. Cette valeur pourrait correspondre à un maximum pour la stabilité du pavage (elle avait été retenue par Church et Hassan 1998 comme critère de stabilité d’un lit stabilisé par imbrication des éléments grossiers de surface).

a) b)



0102030405060708090

100

0 1 2 3 4 5 6Distance depuis l'amont (m)

% e

n po

ids

de l'

écha

ntill

on 4.9 mm 2.3 mm

I.2.5. Le tri granulométrique L’ « affinage » du lit depuis l’amont et sur une longueur finie Ls semble constituer la pierre angulaire du processus impliqué dans le phénomène de fluctuation. Il a bien été observé à forte pente (9%), visuellement, à travers la paroi du canal et a été mesuré à partir d’échantillons prélevés dans le lit, juste sous la couche de surface (Figure 73). Cette longueur est d’un intérêt majeur car elle pourrait correspondre à une mesure de l’efficacité du tri (pour une pente et un sédiment donnés) et de la puissance du phénomène étudié.

Figure 73: Technique d’échantillonnage du lit et mesure de la distribution granulométrique des sédiments le long du canal pour un sédiment bimodal (essai 7).

Un moyen efficace de mesurer la longueur Ls consiste aussi à calculer l’enveloppe maximum des pente atteintes par le lit, à travers les différentes phases d’aggradation et de dégradation. Cette procédure a été utilisée pour les essais 6 à 9 (mélange 2.3 mm et 4.9 mm à la pente 9%) et le résultat (présenté sur la Figure 74) indique que cette longueur augmente avec les conditions hydrauliques et ne dépend pas de la longueur du canal. Cette dernière observation est importante car elle suggère que pour de tels écoulements, le tri granulométrique observé ne dépend que des conditions d’alimentation (ce qui rejoint les conclusions de Dietrich et al. 1987 d’une dépendance des nappes de charriage aux seules conditions d’alimentation). Les valeurs de Ls, (mesurées visuellement à travers la paroi du canal) sont présentées en fonction du nombre de Shields (calculé pour les plus gros grains), sur la Figure 74b. Cette longueur, mais aussi les périodes de fluctuation associées, diminuent très rapidement avec le nombre de Shields. Par exemple, les valeurs les plus basses de 0.3 m (essai 20, pente 0.8%) et 0.6 m (essai 1, 1.8%) ont été observées avec des périodes de fluctuation respectives de quelques secondes à 4 minutes environ. De telles fluctuations à basse amplitude et haute fréquence sont bien visibles mais difficilement mesurables, et n’apparaissent pas sur les signaux (Figure 67) qui peuvent être considérés « lissés». Mais la Figure 74 doit être lue avec précaution : la longueur Ls n’augmente pas indéfiniment avec le débit, mais disparaît plutôt avec le phénomène de fluctuation associé, comme cela a été illustré sur la Figure 68. Ls dépend également probablement de la composition du mélange sédimentaire (ce qui n’apparaît toutefois pas clairement sur la Figure 74a) et semble aussi


________Thèse A.R

varier dans le temps (différentes échelles d’érosion sont observées pour une même condition expérimentale).

et Un phénété obsetype avaBridgwa

Figure

1,40

1,90

2,40

2,90

3,40

0,

L s (m

) 2,53

3,5

)

Dmax/Dmin=2
a)
______________________________________________ECKING 118

Figure 74: a) Longueur caractéristique Ls m

pour différentes longueurs de canal; b) Ls en

omène très similaire de ségrégation amont-avalrvé et étudié en écoulements granulaire sec, c’lanche) de mélanges de grains et en l’absence dter 1981, Drahun et Bridgwater 1983).

75 : Illustration des phénomènes de tri ciném(à droite) responsables de la ségrégation (d

13 0,18 0,23 0,28

Q (l/s)

Flume length=4mFlume length=6 m

Flume length=8 m0

0,51

1,52

L s (m

Tous les grains sont mobiles

b)

____________________________________ Influence du tri granulométrique sur le charriage

esurée pour les essais 6 à 9

fonction du nombre de Shields

et verticale, sur une distance finie, a est à dire en migration gravitaire (de e fluide (Bridgwater 1969, Drahun et

atique (à gauche) et de percolation ’après Kleinhans 2002).

0 0,05 0,1 0,15θ

Dmax/Dmin=4

Les gros grains sont immobiles



Ces études ont montré que les moteurs du tri sont la convection du mélange, la percolation (statique) et la migration des particules dans le mélange (Figure 75). Les paramètres influents sur la distance moyenne de déplacement d’une particule sont le ratio entre le diamètre de cette particule et le diamètre moyen du mélange (plus ce ratio est faible plus le grain aura tendance à être enfoui rapidement et inversement plus le ratio élevé et plus le grain transitera vers l’aval), le ratio de densité (des grains à forte densité dans le mélange seront plus facilement enfouis), et l’énergie communiquée au mélange au départ du processus d’avalanche. Ces études ont également montré une faible influence de la forme des particules dans le phénomène de tri et aucune influence de la longueur totale de l’écoulement granulaire. Des travaux complémentaires (incluant des essais sur des mélanges différents et pour une large gamme de conditions hydrauliques) seraient nécessaires pour mieux définir les propriétés de cette longueur. On verra au chapitre suivant comment elle permet, grâce à un modèle simple, de mieux comprendre le comportement du lit sédimentaire. I.2.6. Cas des écoulements partiellement contraints Les expériences décrites jusqu’ici faisaient référence à des écoulements toujours contraints latéralement (ce qui était obtenu par des choix appropriés du ratio hauteur d’eau sur largeur de canal pour chaque condition hydraulique). Un essai a cependant été réalisé en présence de bancs alternés, pour vérifier l’impact de telles structures sédimentaires sur le phénomène de fluctuation. C’est l’essai N°24 (W=0.15 m, Q=0.51 l/s, Qs=40 g/s et So=0.09) dont les résultats sont illustrés par la Figure 76 . La première observation est que la fluctuation de pente telle qu’elle a été décrite pour des écoulements contraints latéralement se produit de façon tout à fait identique en écoulement non contraint (Figure 76d). Toutes les étapes d’évolution du lit, telles qu’elles ont été présentées sur la Figure 71 ont également été observées (notamment des fluctuations courtes sur une longueur finie Ls en amont ont été observées mais non mesurées), la grande différence étant que l’évolution morphologique est dans ce cas fortement liée celle des bancs alternés :

- Les érosions ont été observées associées à la destruction des bancs (des bancs résiduels sont visibles sur la Figure 76c), un chenal d’écoulement stable, bien délimité et légèrement agrandi, et un lit constitué de sédiments plutôt fins.

- L’aggradation a été observée associée à un lit de sédiments grossiers, un débit solide réduit, un chenal plus sinueux et plus instable du fait de la construction des bancs. Dans un premier temps des bancs très instables, voire mobiles sont observés, puis ils se stabilisent au fur et à mesure que la pente augmente.

Ce résultat est assez cohérent ceux de Hoey et Sutherland (1991) qui avaient observé une forte corrélation inverse entre la complexité du chenal d’écoulement et le débit solide en rivières à tresses. Les états du lit observés pendant la phase d’aggradation correspondent également aux observations faites par Lisle et al. (1991), qui ont expérimenté pendant 9h la formation de bancs alternés en canal de 7.5 m x 0.3 m à la pente 3% (les alternances de nappe de charriage et lit grossier avaient notamment été observées).



Figure 76: Ecoulement partiellement contraint ; a) pavage, b) érosion et élargissement du chenal, c) bancs résiduels (en pointillée le chenal actif),d) Fluctuation de la pente

I.3. Discussion I.3.1. Masquage-surexposition et concept de mobilité équivalente L’étude du transport sélectif des sédiments a occupé de nombreux chercheurs depuis plusieurs décennies, et est motivée par le constat contradictoire que les éléments les plus fins ne sont pas forcément les plus mobiles. Einstein et Chien (1953) et Egiazaroff (1965) ont les premiers proposé une approche théorique de cette propriété, que l’on retrouve couramment sous l’intitulé « effet de masquage/ surexposition » : les éléments fins ont tendance à être protégés de l’écoulement par les plus gros, alors que ces derniers sont plus exposés. La conséquence est une réduction de la mobilité de la fraction fine et une augmentation de celle de la fraction grossière. Cette approche trouve sa forme la plus sophistiquée avec le concept de « mobilité équivalente» énoncé par Parker et Klingeman (1982). En considérant, d’après les observations et mesures faites sur la rivière Oak Creek, l’apparente stabilité dans le temps du pavage et du sous-pavage d’une part, et la similitude existante entre les courbes granulométriques de la couche charriée et du matériau stocké sous le pavage d’autre part, Parker et Klingeman ont fait l’hypothèse que chaque fraction granulométrique en présence dans le système avait une mobilité identique. Comme le concept de masquage/surexposition ne peut expliquer à lui seul une égale mobilité, ils l’ont expliqué par l’existence d’un masquage « macroscopique » exercé par le pavage du lit. Une telle hypothèse implique que le pavage observé à faible débit serait également en place pendant une crue capable de mettre en mouvement toutes les fractions du

a) b) c)

0,08

0,09

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Temps (h)

Pent

e (S

o)



lit, et agirait comme une fine zone tampon capable de réguler les échanges entre le lit sous-jacent et la couche charriée. Cet effet, plus la sur-représentation des sédiments grossiers à la surface (pavage mobile), serait responsable d’une égale mobilité de chaque fraction du lit (Figure 78a).

Figure 77 : Lit pavé sur la rivière Wharfe, UK (Parker 2004) Ils ont aussi déduit de leur analyse que l’importance du pavage nécessaire à maintenir la mobilité équivalente diminuerait avec des contraintes croissantes. En d’autres termes, pour les conditions hydrauliques fortes, la différence de mobilité entre les fractions fines et grossières dans un mélange sédimentaire disparaîtrait et un pavage ne serait plus nécessaire pour un transport équilibré de chaque fraction (Figure 78b).

Figure 78 : Schématisation du concept de mobilité équivalente a) avec et b) sans pavage

a)



Parker et Klingeman (1982) ont exprimé le concept de mobilité équivalente sous forme d’une fonction puissance donnant un nombre de Shields critique θri (les auteurs l’ont défini par un seuil correspondant à un transport de référence) d’entraînement d’un diamètre donné Di, connaissant sa valeur pour le diamètre moyen D50 du mélange sédimentaire (Eq.56).

α

θθ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

5050 D

Dirri

(56)

Une indépendance de la mobilité à la taille des grains correspond à α=0 et la mobilité équivalente implique α = -1. Cette fonction a été testée à la fois sur le terrain et en canal expérimental et s’est avérée être une bonne approximation dans certains cas (Parker et Klingeman 1982, Andrews et Parker 1987,Wiberg et Smith 1987, Kuhnle 1992, Wilcock 1993) alors que d’autres études décrivent un transport sélectif non négligeable de sédiments fins (Komar 1987, Ashworth et Ferguson 1989, Lisle 1995, Lanzoni 2000). Le concept de mobilité équivalente a été proposé pour expliquer l’équilibre sédimentaire d’un lit pavé (transit équivalent, en moyenne, de toutes les classes granulométriques et apparente stabilité du lit), mais certainement pas les phénomènes de fluctuation. Les expériences décrites ici permettent de vérifier ce concept aux conditions hydrauliques importantes (Figure 68), les fluctuations disparaissant avec une augmentation de la contrainte (ce qui implique une disparition du pavage associé au phénomène de fluctuation). Aux faibles nombres de Shields, le concept de mobilité équivalente n’est vérifié que si les mesures sont moyennées sur de très longues périodes. Mais une telle approche masque les très fortes fluctuations observées pour l’état du lit, la pente et le débit solide. I.3.2. Les différents états d’un lit sédimentaire observés en granulométrie étendue Bien que le principe de mobilité équivalente ait été décrit la première fois pour un lit pavé, toutes les investigations de terrain ou en canal expérimental concernant des écoulements sur sédiments à granulométrie étendue n’ont pas décrit un seul, mais une grande variété d’états du lit, qui ont été très souvent analysés sous l’angle d’une conformité ou d’une déviance au principe de mobilité équivalente :

- Le piégeage efficace de sédiments fins par une structure sédimentaire grossière de surface a bien été démontré sur le terrain par des techniques de traçage de particules (Laronne et Carson 1976) ;

- Inversement, le transport sélectif de sédiments fins en transit au dessus d’une couche immobile de sédiments grossiers (appelé « transport partiel ») a également été observé (Wilcock et McArdell 1993, Church et Hassan 1998);

- La migration de nappes de charriage à forte mobilité, caractérisées par un tri granulométrique longitudinal (avec un front de propagation composé des sédiments grossiers) a été décrite à la fois en canal et sur le terrain et pour des pentes allant de 0.15% à 4% (Iseya et Ikeda 1987, Whiting et al. 1988, Kuhnle et Southard 1988) ;

- Au cours d’une étude de terrain (à la pente 3%), Gomez (1983) a observé que le pavage progressif du lit était accompagné d’une diminution de transport sédimentaire, et que localement des « purges » étaient responsables d’une libération de sédiments



qui se répartissent sur toute la largeur active du lit , produisant des nappes irrégulières à forte mobilité responsables de variations du débit solide.

- Le mouvement du charriage par « pulsation » a souvent été observé sur le terrain (Lekach et Schick 1983 Meade 1985, Madej et Ozaki 1996 Paige et Hickin 2000).

- Des ségrégations spatiales des sédiments, en fonction de leur taille, ont par ailleurs été largement décrites pour des lits au repos (Figure 79): alternance de zones de sédiments fins et grossiers, appelées « bed patchiness » (Paola et Seal 1995, Lisle 1995) ;

- Ces ségrégations sont parfois suffisamment longues (« sand ribbons ») pour considérer que localement le lit à gravier a produit un lit à sable (Ferguson et al. 1989);

- Elles peuvent aussi prendre la forme de « dunes barchans » transitant au-dessus d’un lit pavé (Kleinhans 2002)

- L’affinage vers l’aval a été reproduit expérimentalement (Seal et al. 1997, Toro-Escobar et al. 1997) en laissant un lit sédimentaire se former à la fois en hauteur (aggradation) et en longueur (propagation) alors que le même type d’expérience réalisée à plus forte pente et en canal plus court a produit un pavage (Solari et Parker 2000) ;

- Le rôle efficace des formes du lit dans le phénomène de tri a également été bien observé (Wilcock et McArdell 1993, Blom et al. 2003).

Le pavage est donc loin d’être le seul état caractérisant un lit sédimentaire à granulométrie étendue. Par ailleurs on peut noter de fortes similitudes entre les phénomènes de « nappe de charriage », de « pulsation », de « purge », et de « ségrégation spatiale ».

Figure 79 : Ségrégations spatiales des sédiments (ou « bed patchiness ») observées par

Paola et Seal 1995



Figure 80 : « Sand ribbons » et « dunes barchans » (Kleinhans 2002) Ce que l’on peut retenir de nos expériences, c’est que non pas un, mais tous ces états du lit (piégeage de sédiment fins, transport partiel, lits pavés ou fins, ségrégation spatiale, rubans de sable, nappes de charriage, affinage ou pavage vers l’aval, tri dans les formes du lit, aggradation et dégradation) sont les différents états qui sont observés pour un même essai, lorsque l’alimentation (eau et sédiment) est maintenue constante sur un temps suffisamment long. Cette succession d’états est illustrée par la Figure 70 et la Figure 71, et a été clairement observée quelle que soit la pente considérée entre 1.8 et 9% (l’expérience à 0.8% en canal de 4 m était trop courte pour permettre d’observer un pavage, mais de larges fluctuations de la mobilité des grains ont très bien été observées sur 4 heures d’expérience). Il semble donc, par conséquent, que la durée d’expérience puisse être un paramètre très important et généralement non pris en compte dans l’analyse des résultats expérimentaux, de même que la longueur de canal, comme illustré par la Figure 69 (plus le canal est court et plus la périodicité de fluctuation est courte pour une pente donnée). On verra au chapitre suivant que cet effet de longueur du canal peut être interprété comme la conséquence directe d’un tri granulométrique longitudinal. La plupart des résultats expérimentaux existants ont été obtenus en canaux longs à très longs (10 à 160 m), pour des pentes faibles à modérées (0.1% à 1%), et sur des durées plutôt courtes (quelques heures à quelques dizaines d’heures). Par conséquent, si certaines d’entre elles étaient susceptibles de révéler des fluctuations courtes (Wilcock et Southard 1988, Ikeda et Iseya 1988, Gomez et al. 1989), il était peu probable que les larges périodicités associées aux variations de l’état du lit, tels que décrits précédemment, puisse avoir été observées (d’où aucune mention de ce genre d’observation dans la bibliographie). Quand des expériences ont permis d’observer des fluctuations (forte pente et canal court), leur très faible durée (quelques minutes à 2 heures) ont uniquement permis l’observation d’une petite partie de tout le cycle décrit sur la Figure 71 (Iseya et Ikeda 1987, Kuhnle et Southard 1988, Suzuki et al. 1998, Frey et al. 2003b). De plus, même en cas d’expériences longues, les objectifs de recherche étaient rarement l’étude des fluctuations, et la comparaison avec d’autres travaux est également difficile car les expériences menées sur matériaux non uniformes sont finalement assez peu nombreuses. Donc, de nouvelles expériences seraient nécessaires, en canaux longs et larges, à pente faible à modérée, avec différents mélanges sédimentaires, et surtout sur de très longues durées.



Les effets de la composition sédimentaire sur la mobilité relative de chaque fraction méritent d’être plus amplement étudiés (Raudkivi et Ettema 1982, Wilcock 1993, Sambrook Smith et Ferguson 1996) avec une attention particulière pour le processus de tri impliqué dans la dynamique des nappes de charriage. I.3.3. Les nappes de charriage Les nappes de charriage ont été décrites variables à la fois en longueur et largeur, de quelques dizaines de centimètres à plusieurs mètres, et leur morphologie diffère de celle des dunes par le ratio longueur sur hauteur (qui serait dans la fourchette 25-300 au lieu de 15-40). Les faibles pentes associées à leur forme, leur faible hauteur, et les courtes distances de saltation des particules grossières excluent l’implication des mécanismes généralement proposés pour décrire la formation des dunes et des rides (Whiting et al. 1988). Au lieu de cela, l’expérimentation montrerait que les nappes de charriage sont le résultat d’un tri granulométrique (Dietrich et al. 1987) et pourraient n’exister qu’en présence d’un sédiment à granulométrie étendue (même faiblement). Ikeda et Iseya (1988) ont montré expérimentalement (dans un canal de 160 m de long sur 4 m de large et des pentes comprises entre 0.2% et 0.3%) que l’addition de seulement 10% de sable avait des effets remarquables sur le transport de graviers, qui évolue du lit plat à de longues dunes à faible relief, et que ce relief avait tendance à augmenter avec la proportion de sable injectée. Seminara et al. (1996) ont analysé la croissance et la propagation des nappes de charriage comme un problème d’instabilité linéaire. Cependant, à ce jour aucun mécanisme permettant d’expliquer le décalage entre deux nappes de charriage successives n’a été proposé. Une nouvelle hypothèse a été formulée, à partir des observations expérimentales à forte pente. Elle considère l’existence d’un tri granulométrique longitudinal efficace, opérant localement sur une longueur finie Ls et produisant des bouffées sédimentaires essentiellement composées de la fraction fine, se propageant vers l’aval. Le tri granulométrique longitudinal a également été observé associé aux pulsations du débit solide dans les expériences de Ikeda et Iseya (1988). Sur le terrain ces deux étapes de production (par « bouffée ») et de propagation (par « nappe ») ne sont pas facilement observables. Néanmoins il existe des indices pouvant témoigner d’un tel fonctionnement. Par exemple Gomez (1983) a décrit des « purges locales » pour un lit en cours de pavage (Figure 2), libérant des sédiments fins à l’origine de nappes irrégulières et à forte mobilité. En rivière torrentielle (Figure 81), l’existence épisodique de zones à granulométrie fine (sables et graviers) dans des lits à dominante caillouteuse grossière pourrait correspondre à des nappes fortement mobiles pendant les crues. Par ailleurs Lisle (1995), dans une étude de 13 rivières naturelles, a mesuré un transport sélectif de sédiments fins, dont il a attribué l’origine au fonctionnement des tronçons amonts, pentus et à forte granulométrie.



Figure 81 : Zone de sédiments fins sur un lit à dominante caillouteuse grossière, en rivière torrentielle (Le Bouinenc, France)

Mais c’est en rivières en tresses, à forte activité de charriage, que les indices d’un tel mode de fonctionnement pourraient être le plus facilement trouvés. A partir d’observations expérimentales et de terrain Hoey et Sutherland (1991) et Griffiths (1993) avaient associé des cycles d’aggradation et de dégradation locales aux fluctuations de débit solide. Deux exemples de structures sédimentaires pouvant correspondre à une conséquence du tri granulométrique sont présentés sur la Figure 82 et la Figure 83. Pour confirmer ces hypothèses, ainsi que les mécanismes impliqués et leurs relations avec les périodes de fluctuation, des recherches complémentaires sont nécessaires, à partir d’expériences et de moyens de mesure appropriés. Finalement, comme l’avaient suggéré Whiting et al. (1988), les nappes de charriage pourraient être reconnues comme des caractéristiques propres au charriage en granulométrie étendue. En effet, elles semblent être associées au transport dès lors qu’un tri vertical et longitudinal peut s’opérer, quelle que soit la pente. Quelles différences y a t-il (excepté en intensité) entre les nappes de charriage observées à la pente 0.15% (Whiting et al. 1988) et 4% (Iseya et Ikeda 1987)? Dans les deux cas sont décrites des migrations vers l’aval de formes longues et de faible amplitude (quelques diamètres de grain), présentant un front de sédiments grossiers, avec des gros éléments pouvant transiter par saltation sur le corps de la nappe (riche en sédiments fins), et toujours associées à des fluctuations de débit solide et un retard dans le pic des sédiments fins.

Graviers

Cailloux

Sens de l’écoulement



Figure 82 : Structure active de transport sur lit en tresse de la rivière Kuitun He (Photographie E. Lajeunesse, IPGP)

Figure 83 : Structure sédimentaire sur la rivière Bléone (France) présentant un front à granulométrie grossière et pouvant correspondre à une nappe de charriage

Front Queue



Ikeda et Iseya (1988) ont montré que, à faible pente (0.2 à 0.5%), lorsque le mélange devient très sableux la hauteur des reliefs associés augmente et les éléments grossiers se retrouvent piégés dans les creux. Blom et al. (2003) ont montré expérimentalement (canal de 50 m, pente 0.15-0.2%) que cette accumulation de sédiments grossiers pouvait en fait correspondre dans certains cas aux seules parties visibles d’un pavage sous-jacent, sur lequel transiteraient les nappes sableuses. Ils ont expliqué cette structure de lit comme le résultat d’un tri longitudinal très efficace, et de légères fluctuations de la cote de la couche de sédiments grossiers (à travers laquelle ils supposent l’existence d’échanges de sédiments) ont également été observées. Donc, mis à part la dynamique du front de propagation (décrite comme une dynamique d’impact à forte pente et d’avalanche à faible pente pour des mélanges riches en sables) il existe de grandes similitudes entre ce mode de fonctionnement du lit et ce qui a été décrit à forte pente (Figure 71). Blom et al. ont désigné cette structure sédimentaire “dune de type Barchan”, tandis que des formes similaires (observées en canal 83m de long et à la pente 0.32%) ont été appelées « dune primaire » par Gomez et al. (1989). Toutes ces structures à faible relief ne seraient-elles pas des formes particulières des nappes de charriage ?

Figure 84 : Structures sédimentaires associées au tri granulométrique à faible pente (Kleinhans 2002)

Pour pousser encore plus loin la comparaison, toutes les structures sédimentaires propres aux rivières à gravier ne seraient-elles pas l’expression à différentes échelles d’espace et de temps du même phénomène? En effet des structures migrant vers l’aval (de quelques dizaines de mètres par an), très longues (0.1 à 1km) et très basses (1 à 5m de haut) appelées « bancs » (Figure 94) sont également associées à de très fortes fluctuations du débit solide (Griffiths 1979, Griffiths 1993). Ces aspects d’échelles seront abordés au prochain chapitre.



I.4. Conclusions Des expériences longues en canal ont été réalisées, pour une large gamme de conditions hydrauliques, avec des sédiments non uniformes, et ont révélé, comme attendu, des fluctuations périodiques du débit solide et de la pente du lit. Deux types de fluctuation ont été observés : des fluctuations courtes associées avec le passage de nappes de charriage (variation locale de pente) et des fluctuations longues associées avec des changements affectant la morphologie du lit sur toute sa longueur. Le résultat le plus marquant est finalement que, lorsque des conditions d’alimentation constantes sont maintenues suffisamment longtemps, le lit évolue continuellement et de façon périodique, en couvrant à peu près tous les états décrits dans la bibliographie pour les écoulements sur sédiments non uniformes (piégeage de sédiment fins, transport partiel, lits pavés ou fins, ségrégation spatiale, rubans de sables, nappes de charriage, affinage ou pavage vers l’aval, tri dans les formes du lit, aggradation et dégradation). Un autre résultat important concerne la dynamique de formation du pavage, qui est, selon les auteurs, associée soit à une érosion, soit à un équilibre du lit sédimentaire. Le processus de formation du pavage en phase d’érosion a pu être reproduit expérimentalement, après réduction brutale des apports solides (Dietrich et al. 1989). Il est généralement associé, sur le terrain, à des situations particulières de rupture du transit sédimentaire (par exemple après la construction d’un barrage ou après une modification de l’occupation des sols) conduisant à une érosion du lit et produisant, en phase terminale d’érosion, un transport préférentiel des sédiments les plus fins. Le concept de mobilité équivalente considère, quant à lui, qu’un pavage peut également exister en l’absence d’érosion, pour un système à l’équilibre. Il repose sur l’observation, pour des rivières naturelles pavées et non perturbées, d’une apparente stabilité dans le temps du lit sédimentaire et des flux en transit (y compris pour la fraction fine), et d’une similitude entre les sédiments de la couche charriée et ceux stockés dans le lit (sous le pavage). Les expériences décrites ici ont confirmé la transition du lit vers un état de pavage sans aucune modification des alimentations solide et liquide. Par contre, elles indiquent aussi que, pour les conditions hydrauliques considérées, lorsque le système est observé sur une durée suffisamment longue, le phénomène ne correspond pas à un équilibre, mais à une très lente aggradation du lit sédimentaire. C’est alors le fonctionnement par nappes de charriage qui permet des échanges entre les couches du lit et la couche charriée, et par conséquent, le transit des sédiments fins. Les nappes de charriage semblent être la pierre angulaire permettant d’expliquer l’existence de fluctuations courtes, mais aussi les changements observés à long terme de la morphologie du lit. A partir d’observations à forte pente, il a été possible de formuler l’hypothèse que les nappes de charriage pourraient être produites par un phénomène de tri granulométrique très efficace opérant d’amont en aval sur une longueur finie Ls, et produisant des bouffées sédimentaires qui se propagent vers l’aval. Des travaux de recherche complémentaires sont nécessaires pour confirmer ces hypothèses. Une conséquence directe de cette analyse est que les différents états de lit sédimentaire décrits par différents auteurs pourraient ne pas correspondre forcément à des conditions de transport



très différentes, mais pourraient être considérés comme les états passagers d’un phénomène évolutif très lent. En particulier, il semble que la durée d’une expérience devrait toujours être prise en compte dans l’analyse des résultats. Une deuxième conséquence directe est que le concept d’équilibre sur lequel sont basées la plupart des formules de transport pourrait ne pas être vérifié en granulométrie étendue, sauf si le système est observé sur des longues durées moyennant les principales périodes de temps (incluant les plus fortes périodes caractéristiques). En l’état des connaissances il paraît difficile d’inclure les fluctuations à long terme d’un système naturel dans les formules et leur utilisation pour prédire la production sédimentaire sur de très grandes durées peut conduire à de larges erreurs (comme cela a été démontré par Griffiths 1979). Les fluctuations à court terme pourraient être considérées en moyennant sur une durée suffisante (plusieurs heures à plusieurs jours), à la fois pour la stratégie d’échantillonnage (Kuhnle 1996, Bunte et Abt 2005) et pour la prédiction du charriage. Mais pour le moment, il n’existe aucun critère permettant de définir une durée critique minimum à respecter pour une condition d’écoulement et un sédiment donnés. En ce qui concerne la prédiction du charriage, une autre difficulté persiste : même si un tel critère devait être proposé pour moyenner le signal, il est probable qu’il faille autant de formules de transport que d’états de lit observés.

Un modèle à compartiments


II. UN MODELE A COMPARTIMENTS POUR L’EVOLUTION A LONG TERME DU LIT Le phénomène de fluctuation est un obstacle majeur à la mesure et à la prédiction du charriage. Ces fluctuations ont tellement été observées pour des conditions hydrauliques quasi-constantes, à la fois sur le terrain et en canal expérimental, quelle que soit la pente (voir Gomez et al. 1989 pour une revue exhaustive), qu’elles peuvent être considérées comme la règle plutôt que l’exception en charriage de sédiments à granulométrie étendue. De plus, dans presque toutes les études, les fluctuations sont apparues de façon périodique, plusieurs périodes étant même mesurées pour une condition hydraulique donnée (des compilations de périodes mesurées sont proposées par Hoey 1992 et Kuhnle 1996), ce qui implique que le phénomène ne serait pas la simple expression aléatoire d’un phénomène de nature stochastique (Cudden et Hoey 2003). Différentes échelles ont été proposées pour essayer de classifier les fluctuations. Hoey et Sutherland (1991) ont utilisé la classification de Jackson (1975) pour décrire la « macro-échelle » (aussi appelée l’échelle « court terme »), qui a pour temps de relaxation l’événement hydrologique et pour longueur spatiale la largeur du lit (en ordre de grandeur). Ils la distinguent de la « méga-échelle » (ou échelle « long terme ») dont le temps de relaxation serait en ordre de grandeur celui du régime hydrologique (temps nécessaire à la rivière pour atteindre son équilibre) et la longueur spatiale serait plusieurs fois la largeur du lit. Les fluctuations du charriage sont par ailleurs associées à la propagation d’ondes sédimentaires qui ont également fait l’objet d’un classement par échelle (« macro formes » et « méga formes »). Peu de travaux ont essayé d’expliquer l’origine et la nature des fluctuations. Des présentations des mécanismes éventuellement impliqués sont proposés par Hoey (1992) et Nicholas et al. (1995). Les méga-fluctuations sont souvent considérées d’origine exogène du fait des très nombreuses perturbations affectant généralement les cours d’eau naturels (barrages, extractions, glissements de terrain), mais les données disponibles font référence à des mesures ponctuelles plutôt que continues et les intervalles d’échantillonnage sont le plus souvent à des échelles inappropriées étant considérées les périodes en question, et ne permettent pas vraiment une identification claire des causes (Gomez et al. 1989). La macro-échelle a, quant à elle, été associée aux nappes de charriage dans plusieurs travaux. Au chapitre précédent, les résultats des expériences longues avec alimentation constante ont montré que les fluctuations de débit solide sont associées à des fluctuations périodiques à la fois de la pente et de l’état du lit (allant de l’armure au lit sableux). Alors que les fluctuations courtes ont clairement été associées au passage de nappes de charriage n’affectant la pente que localement (ce que l’on pourrait considérer comme un « macro-événement »), des fluctuations de grande ampleur ont été observées associées à un changement global affectant l’état du lit sur toute la longueur (ce que l’on pourrait considérer être un « méga-événement »). Un autre résultat très important est l’observation d’une influence de la longueur de canal sur les périodicités, pour une condition donnée : sur la Figure 85, la période de fluctuation de la pente moyenne entre deux valeurs extrêmes (0.083 et 0.09) augmente très fortement (de 0.3 à 15h) lorsque la longueur de canal passe de 2 m à 8 m, et le signal enregistré pour l’expérience à 8 m présente plus de périodes que le signal mesuré sur 2 m.



Figure 85: Fluctuations de pente mesurées pour deux conditions hydrauliques identiques (à So=9%) mais deux longueurs de canal différentes (8 m et 2 m)

Au chapitre précédent a été formulée l’hypothèse d’une implication directe d’un tri granulométrique vertical et longitudinal, opérant sur une longueur finie Ls. Cette hypothèse va être utilisée dans ce chapitre, pour essayer, à partir d’un modèle simple, d’interpréter l’existence des différentes échelles de temps et d’espace, mais aussi d’expliquer comment la longueur de canal peut influencer la périodicité. II.1. Observations expérimentales et analyse Les nappes de charriage pourraient être le processus élémentaire permettant d’expliquer les fluctuations courtes, mais aussi les grandes fluctuations associées au changement de morphologie du lit. On a fait l’hypothèse que les nappes de charriage pourraient être produites par un tri granulométrique local et efficace, sur une longueur amont finie Ls qui ne dépendrait que des conditions d’alimentation, et produisant des « bouffées » sédimentaires qui seraient ensuite reprises par l’écoulement et transiteraient vers l’aval (Figure 86). Avec des cycles courts d’aggradations et de dégradations successives, l’extrémité amont du lit sédimentaire pourrait ainsi être comparée à une « pompe à sédiment » fonctionnant par saccades. Chaque aggradation locale est associée à un pavage du lit en surface, un profil légèrement ondulé, et un stockage par enfouissement des sédiments fins. Les dégradations correspondent à une destruction locale du pavage libérant les sédiments: c’est la naissance de la nappe de charriage. Les mécanismes expliquant que les fluctuations (qu’elles soient locales ou qu’elles concernent l’ensemble du lit), soient toujours contenues dans une fourchette de valeurs extrêmes (de pente ou de débit solide) seront abordés au chapitre suivant. La partie la plus amont du canal (sur une longueur Ls), présente la particularité d’être alimentée de façon continue depuis le système d’alimentation (Figure 86). La zone du lit située juste en aval de cette longueur Ls est quant à elle alimentée en moyenne par les mêmes flux, mais d’une façon discontinue, avec une périodicité étroitement liée aux pulsations de la zone amont. Quand une « bouffée » de sédiments fins est éjectée, elle se propage sous forme de nappe de charriage vers l’aval. En transitant au-dessus du lit de sédiments grossiers, on a


0,08

0,09

0 10 20 30 40 50 60

Durée (h) pour l'expériment en canal 8m

Pen

te S

o (m

/m)

Longueur de canal= 8m Longueur de canal=2m

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6



décrit que la nappe de charriage perdait de sa puissance en échangeant des sédiments avec les couches sous-jacentes. C’est donc que le processus de tri observé sur la longueur Ls, continue de se produire sur les parties aval, mais il ne peut exister que périodiquement, lors du passage des nappes de charriage. Une réponse du lit sur une distance Ls’ est donc a priori prévisible, mais avec un temps caractéristique bien plus élevé que pour le fonctionnement du lit observé sur la longueur Ls. On pourrait reproduire ce schéma sur une longueur infinie de canal, les temps caractéristiques de réponse du lit étant de plus en plus grands quand on s’éloigne de l’amont (Figure 86).

Figure 86 : Hypothèses de propagation amont-aval du phénomène de tri granulométrique

Si cette hypothèse est exacte, les variations de pentes locales du lit mesurées pour les différentes parties du canal devraient être caractérisées par des fréquences de fluctuation différentes, avec une diminution de fréquence quand on s’éloigne de l’amont. Cela a pu être testé à partir des mesures faites pour l’essai N°7 (S0=9%). Pour les besoins de l’analyse, la longueur du canal a été subdivisée en 3 parties délimitées par les sections P1, P2, P3 et P4 (Figure 87), la distance entre deux sections ayant été choisie arbitrairement égale à Ls (2.4m pour l’essai N°7).

Pavage 1

Destruction du pavage, érosion locale du lit 2

Propagation et disparition de la nappe Nouveau pavage sur lit érodé 3

Ls Ls’ Ls’’

Temps

Qs

Temps

Qs

Temps

Qs Qs



Figure 87: Segmentation du canal pour la mesure des pentes locales Les variations locales de pente (S12, S23 et S34) ont été analysées en fréquence grâce à une Transformée de Fourier. La technique d’analyse du signal par Transformée de Fourier est présentée dans Recking (2004), et un résumé est présenté en annexe 5, ainsi que le programme Matlab utilisé dans cette étude. Les résultats sont présentés sur la Figure 88, où est également reporté le spectre en fréquence des fluctuations de la pente moyenne du lit So, mesurée en P1. On peut observer sur la Figure 88 une forte corrélation entre le spectre de la pente moyenne S0 et les spectres des pentes locales, et que les fréquences caractéristiques diminuent lorsque l’on s’éloigne de l’amont, comme prévu ; on peut en particulier voir que :

- la partie la plus aval du canal (S34) contribue aux basses fréquences du signal principal So (pics à 0.001-0.002) ;

- le milieu du canal (S23) contribue aux moyennes fréquences du signal principal So (pic à 0.006) ;

- l’amont du canal (S12) est responsable des hautes fréquences du signal principal So. Le spectre indique cependant de nombreux pics.

Figure 88: Analyse spectrale des variations locales de pente mesurées pour l’essai N°7

Cette analyse confirme que les pentes locales ne fluctuent pas à la même fréquence, et que c’est la combinaison de tous ces comportements locaux qui produirait la réponse complexe du canal considéré dans son ensemble (Figure 85).

P4 P3 P2 P1

0,00E+00

1,00E-04

2,00E-04

3,00E-04

4,00E-04

5,00E-04

6,00E-04

7,00E-04

8,00E-04

9,00E-04

1,00E-03

1

Fréquency (Hz)

Pow

er

SoS34S23S12

0 0,050,01 0,02 0,03 0,04



De plus tous les pics observés pour le signal S12 indiquent que la partie la plus amont ne fluctue pas de manière uniforme, ce qui pourrait s’expliquer (pour une alimentation et une efficacité de tri constantes) par des variations de la longueur Ls dans le temps (ce qui avait été observé au chapitre précédent). II.2. Modélisation Un modèle simple devrait permettre de tester ces différentes hypothèses sur les signaux mesurés. Il est schématisé sur la Figure 89 et comprend plusieurs compartiments (dont la longueur est fixée en première approximation égale à la longueur Ls mesurée en tête de canal). On supposera (ce qui correspond aux observations expérimentales) que chaque compartiment ne peut fluctuer qu’entre deux pentes données So et So’, qui ne dépendent que de l’alimentation solide et liquide (on reviendra sur ces pentes au chapitre suivant). Dans un tel modèle, la cote du lit dans chaque compartiment est supposée fluctuer de façon indépendante autour d’une valeur moyenne, cette dernière étant toutefois imposée par le niveau du lit du compartiment adjacent en aval. Ce fonctionnement permet de reproduire des profils de pente très contrastés, comme cela a été observé expérimentalement. Chaque compartiment est supposé fluctuer avec une période caractéristique Tn qui augmente avec l’augmentation de son ordre n (numéroté d’amont en aval). L’hypothèse de base utilisée ici est que le processus de tri granulométrique s’exerce de façon identique quel que soit l’ordre du compartiment, mais que c’est la discontinuité d’alimentation qui produit les différentes réponses du lit. Ainsi, le compartiment 1 est alimenté directement et en continu depuis la trémie, l’alimentation du compartiment 2 est discontinue et dépend directement des fluctuations du compartiment 1, et enfin, l’alimentation du compartiment 3 dépend à la fois du fonctionnement des compartiments 1 et 2.

Figure 89: Modèle de fluctuation du lit incluant différents compartiments fluctuant avec des fréquences propres

Compartiment 1 Longueur : Ls Temps caractéristique: T1

Compartiment 2 Longueur : Ls Temps caractéristique: T2 >> T1

Compartiment 3 Longueur : Ls Temps caractéristique : T3 >> T2 >> T1

So-So’

So-So’

So-So’



On peut modéliser simplement ce comportement en sommant plusieurs fonctions sinusoïdales de période T (une période distincte par fonction) et d’amplitude égale à la longueur fluctuante de chaque compartiment (Ls) fois la variation de pente (So-So’). Cette somme est divisée par la longueur totale fluctuante L pour retrouver la dimension d’une pente. Le modèle donnant la pente moyenne instantanée Soi au temps t est formulé par l’Eq.57.:

∑−

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−

−+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−=−1

1

'00

'00

'00 )2sin())(

)1(1()2sin()()(

N

nN

N

sn

n

si t

TSS

LLN

abstT

SSLL

absStS ϕπϕπ

(57)

Il y a plusieurs inconnues qui sont :

- La longueur caractéristique Ls - Les temps caractéristiques Tn - L’enveloppe des fluctuations (pentes extrêmes S0 et S0’) - Éventuellement les phases ϕn pour chaque compartiment

Les essais longs N° 1, 5, 6, 7, 8 sont utilisés pour tester ce modèle. Les paramètres ont été déduits des mesures expérimentales pour les essais N° 5, 6, 7 et 8 (les phases sont fixée à zéro). Pour l’essai N°1 seul un signal « lissé » avait pu être enregistré, comme des fluctuations courtes très variables à la fois en amplitude et fréquence, ont été observées en tête de canal. Ainsi les paramètres Ls et Tn utilisés correspondent à des valeurs de calage du modèle sur le signal. Toutes les données utilisées sont reportées dans le Tableau 16.

Essai 6 Essai 7 Essai 8 Essai 5 Essai 1 Q(l/s) 0.17 0.2 0.24 0.8 5 Width (m) 0.05 0.05 0.05 0.1 0.15 L(m) 8 8 7.5 8 8 Ls (m) 2.02 2.4 2.93 2.1 4 T1 (mn) 20 15 60 23 70 T2 (mn) 260 238 208 106 160 T3 (mn) 416 454 625 211 420 So’ 0.082 0.082 0.083 0.046 0.0153 So 0.09 0.09 0.09 0.05 0.02 dt calcul(mn) 5 5 5 10 15

Tableau 16: Données de calcul pour comparaison du modèle avec les expériences longues en canal de 8 m

Pour l’essai 6, un 4ème compartiment aurait pu être considéré, mais il concernerait une très basse fréquence (non décelable sur le signal mesuré) et peut être négligé pour tester le modèle. La comparaison entre le modèle et les mesures est présentée sur la Figure 91. On peut constater que globalement (cas a, b, c1, d1, et e), le modèle reproduit bien les tendances pour les essais 1, 5, 6, 7 et 8 (plus de 190 heures d’expérience). Par ailleurs, si le modèle est correct il doit pouvoir reproduire les variations de périodicité observées associées aux variations de longueur de canal, comme illustré sur la Figure 85. Cela est testé avec les essais N°6 et 7 : le



modèle calé sur le signal mesuré en canal de 8 m est utilisé (sans modification des paramètres) pour simuler les fluctuations mesurées en canal de 2 m (essais N°21 et 22) et 6 m (essais N°25 et 26). Les résultats sont présentés sur la Figure 91(c2, c3 et d2, d3) et la comparaison entre le modèle et le signal mesuré est globalement satisfaisante. En particulier l’effet de longueur du canal illustré sur la Figure 85 est bien reproduit. Un modèle aussi rustique ne peut bien évidemment pas reproduire exactement les comportements complexes du lit, le but de cette analyse étant plus une approche qualitative du phénomène. Par exemple, la longueur caractéristique est fixée constante et égale à Ls pour chaque compartiment ; cela implique que :

(i) La longueur de compartiment est constante dans le temps: les observations visuelles et l’analyse spectrale (Figure 88) auraient plutôt tendance à indiquer que ce paramètre est variable dans le temps et l’espace ;

(ii) Le processus de tri agit sur la même longueur caractéristique pour chaque compartiment : ce n’est certainement pas le cas étant donné la grande variabilité dans le mode d’alimentation de chaque fraction sédimentaire, depuis l’amont vers l’aval du canal, et la longueur Ls pourrait augmenter avec le numéro d’ordre du compartiment.

La dépendance au temps peut facilement se comprendre quand on considère les interactions entre deux compartiments adjacents. La Figure 90 illustre comment la pente locale du compartiment aval peut influencer la dynamique de l’érosion localement, et par conséquent la longueur résultante Ls.

Figure 90: Une illustration du contrôle d’une érosion locale par le lit adjacent; les deux situations (a et b) vont produire une longueur d’érosion Ls différente

La seconde hypothèse est une bonne approximation pour les essais à forte pente car les longueurs caractéristiques sont longues et bien identifiées visuellement. A pente plus faible, la première longueur de fluctuation « observable » est souvent bien plus courte que la première longueur « mesurable » comme cela a déjà été expliqué. De fait, le modèle est une approximation grossière car la relation Ls(t) est inconnue pour les différents compartiments (au lieu d’une représentation discrète, l’intégration d’une fonction Ls(t) semblerait plus appropriée à faible pente).

Compartiment 1 Compartiment 2

Accumulation en aval

b)

a) érosion

Evacuation en aval

Ls

Ls



Figure 91: Comparaison entre les résultats du modèle et les mesures. Les séries c et d comparent les résultats du modèle calé sur le signal mesuré en canal de 8m avec les mesures obtenues en canaux de 2 et 6m.

Axe des X : temps (en heure)

Axe des Y : pente So Mesuré Calculé

0,082

0,084

0,086

0,088

0,09

0 5 10 150,084

0,086

0,088

0,09

0,092

0 5 10

0,08

0,082

0,084

0,086

0,088

0,09

0,092

0 10 20 30 400,082

0,084

0,086

0,088

0,09

0,092

0 20 40 60

0,082

0,084

0,086

0,088

0,09

0 0,2 0,4 0,60,08

0,082

0,084

0,086

0,088

0,09

0,092

0 0,2 0,4 0,6

0,045

0,047

0,049

0,051

0 5 10 15 200,013

0,016

0,019

0,022

0 5 10 15 20

0,08

0,082

0,084

0,086

0,088

0,09

0,092

0 10 20 30

a: Essai 1 b: Essai 5

c1: Essai 6 – L=8m



b1: Essai 7 – L=8m



e: Essai 8 – L=8m



II.3. Discussion Les fluctuations de charriage et de pente ont été attribuées à un tri granulométrique (vertical et horizontal) très efficace, responsable des cycles d’aggradation et de dégradation du lit à l’extrémité amont du canal. Les « purges sédimentaires » observées sur le terrain pour un lit en cours de pavage (Gomez 1983) semblent être de même nature, ainsi que les cycles d’aggradation - dégradation décrits par Hoey et Sutherland (1991) ou Griffiths (1993) en rivières à tresse. Le modèle a été bâti sur l’hypothèse qu’un tel processus de tri peut produire une réponse du lit à différentes échelles de temps et d’espace. Même s’il s’agit d’une représentation grossière de la réalité, le modèle à compartiments tend à confirmer que l’apparente dispersion (en fréquence et amplitude) des signaux mesurés, ne serait pas la simple expression aléatoire d’un phénomène de nature stochastique, où encore un biais induit par les arrêts-redémarrage successifs, mais serait bien la conséquence visible d’un processus physique opérant à l’intérieur du lit : le tri granulométrique. En particulier, ce modèle a permis de proposer une explication pour l’existence de différentes échelles d’érosion observées expérimentalement, quelle que soit la pente. Les érosions courtes (Figure 92a) ont été observées associées aux nappes de charriage et n’ont qu’un impact faible sur la morphologie du lit (perturbation locale). Les grandes érosions ont été observées associées à de fortes dégradations affectant le lit sur toute sa longueur. Entre ces deux extrêmes des érosions intermédiaires ont également été observées, plus longues qu’une simple nappe de charriage, mais ne produisant pas de changement majeur de la morphologie (ces trois échelles d’érosion sont bien visibles sur les signaux de la Figure 91). Quelle que soit son échelle de temps et d’espace, chaque érosion a en commun de ne débuter que lorsque la pente du lit atteint une valeur maximale So, constante pour des conditions d’alimentation données. Le modèle conceptuel à compartiments ne peut en aucun cas être un outil utilisable de façon explicite (tout du moins en l’état) pour des études de terrain (ou même en canal) car trop de paramètres sont inconnus. En particulier, la relation donnant les longueurs Ls(t), en fonction de l’ordre du compartiment (compté d’amont en aval), des conditions hydrauliques et de la composition sédimentaire est inconnue. Il peut cependant être un outil précieux pour une analyse qualitative a posteriori des résultats d’une expérience. Il peut également être un outil intéressant pour une approche qualitative des phénomènes observés sur le terrain. En effet, le modèle suggère que des causes endogènes ne sont pas à exclure pour expliquer les phénomènes de fluctuation (en fait le comportement d’un cours d’eau naturel dépend très probablement à la fois de causes endogènes et exogènes interagissant d’une manière complexe).



Figure 92: Schématisation de 3 échelles d’érosion, une érosion ne démarrant que lorsque la pente locale atteint une valeur maximum (les volumes concernés sont en gris)

Ainsi, les structures de charriage observées à la macro-échelle (Figure 82) et la méga-échelle (Figure 93 et Figure 94), qui présentent les mêmes caractéristiques morphologiques mais à des échelles très différentes, pourraient être de même nature, mais produites par des érosions impliquant différents compartiments, et avec une périodicité très différente (Figure 92). Par exemple, le modèle permet d’illustrer pourquoi Lisle (1995), dans une étude de 13 rivières naturelles, a mesuré un transport sélectif de sédiments fins, dont il a attribué l’origine au fonctionnement des tronçons amonts, les plus actifs. Mais si ces manifestations sont observables à l’échelle de l’événement hydrologique (macro-échelle), le modèle prédit que des fluctuations sont également prévisibles à l’échelle du régime et de l’ensemble du cours d’eau, mais sont hors de portée de l’observation directe (période de retour de l’ordre de plusieurs années, voire dizaines d’années).

a) Erosion courte(nappe de charriage): période T1

b) Erosion intermédiaire: période T2 >> T1

c) Erosion longue: période T3 >> T2 >> T1

0,082

0,083

0,084

0,085

0,086

0,087

0,088

0,089

0,09

0,091

10 20 30 40

Temps (h)

Pent

e So

(m/m

)



Figure 93 : Onde sédimentaire (Méga-échelle) sur le Doubs (Malavoi, 2004)

Figure 94 : Front d’un banc de gravier (Méga-échelle) migrant vers l’aval (Photo Malavoi 2004)



Le modèle permet aussi d’expliquer l’existence de profils de pentes contrastés (Ikeda et Iseya 1988). En cas de rivières à forte pente, ce mode de fonctionnement doit être considéré avec attention. Il faut en effet rappeler qu’expérimentalement, les érosions très longues (Figure 92c) sont observées pour des conditions hydrauliques constantes et modérées (1<θ /θc<2). De telles érosions sont très impressionnantes en canal expérimental, car elles entraînent un rapide et profond changement de la morphologie du lit avec le transfert en aval d’un très grand volume de sédiments (Figure 70f et Figure 71f). Si elles devaient se produire sur le terrain, on peut alors imaginer que les conséquences pourraient être très dramatiques en aval des tronçons concernés. Or de telles érosions existent. Par exemple la Figure 95 montre le charriage intense produit par la rivière Saltina (de pente moyenne environ 2%) à Brigg en Suisse (en 1993) alors que la crue semble avoir été de relativement faible ampleur (voitures non déplacées).

Figure 95: Exemple de la Saltina à Brigg (1993) La Figure 96 montre les conséquences du transit d’une onde sédimentaire au niveau d’un ouvrage d’art.



Figure 96 : Propagation d’une onde sédimentaire et son impact sur un ouvrage d’art (Photo extraite de Malavoi 2004)

II.4. conclusion Un modèle à compartiments a été proposé pour simuler les fluctuations de pente mesurées sur les expériences longues. Même si ce modèle est grossier, il permet d’illustrer comment des processus endogènes peuvent générer les différentes échelles de temps qui caractérisent les fluctuations du charriage. Il permet aussi d’expliquer l’influence de la longueur de canal sur la périodicité. En l’état, ce modèle utilise de nombreux paramètres dont les lois de comportement sont inconnues, et son utilisation pour des objectifs prédictifs n’est pas envisageable. Par exemple les compartiments sont définis par une longueur caractéristique qui a de fortes chances d’être une fonction non constante (dans le temps et l’espace) des conditions hydrauliques et du sédiment en présence. Cependant le modèle a permis une approche qualitative intéressante pour comprendre le comportement du lit à graviers. Il suggère notamment que l’implication de processus endogènes dans le comportement à long terme des cours d’eau n’est pas à exclure, et devrait être tout particulièrement prise en compte pour les tronçons de cours d’eau à forte pente.



Il suggère également que les nappes de charriage et les bancs de graviers pourraient être l’expression d’un même phénomène (le tri granulométrique), mais à des échelles (de temps et d’espace) très différentes. Ainsi les mêmes mécanismes pourraient avoir des conséquences à l’échelle de l’événement hydrologique (quelques heures) et à l’échelle du régime (plusieurs années, voire plusieurs décennies). Le modèle peut aussi avoir des implications directes dans la stratégie de mise en œuvre et l’analyse qualitative des expériences sur lits de graviers. Ce mode de comportement du lit à granulométrie étendue ne reste toutefois, à ce stade, qu’une hypothèse qui doit encore être testée par des recherches complémentaires (en canal ou sur le terrain). Il reste à analyser quels sont les mécanismes impliqués dans le maintien des fluctuations entre deux pentes finies, pour une condition d’alimentation donnée, et ce, indépendamment de la longueur de canal.

Le concept d’équilibre


III . LE CONCEPT D’EQUILIBRE EN GRANULOMETRIE ETENDUE Le concept d’équilibre occupe une place centrale en hydraulique, à la fois en recherche et en ingénierie, et associe, à des flux liquides et solides donnés, une pente d’énergie finie, en écoulement permanent et uniforme, pour un matériau donné. A l’équilibre, la pente est une composante majeure de l’apport énergétique nécessaire à compenser le travail de transport, et cette notion est d’une importance majeure car toutes les formules de transport solide y font référence. Ce concept est schématisé sur la Figure 97, par la balance de Lane (1955).

Figure 97 : Schématisation du concept d’équilibre (d’après Lane 1955), entre les termes de puissance disponible à droite (pente et débit) et de travail de transport (débit solide,

diamètre) à gauche.

Pour un matériau donné de diamètre D, un débit solide donné Qs et un débit liquide donné Q, un système aura tendance a ajuster sa puissance (par modification de la pente d’énergie) pour égaler le taux de travail de transport à effectuer. Concrètement, en expérimentation de canal, la pente va s’ajuster jusquà ce que le débit solide sortant égale le débit solide injecté. Les expériences réalisées sur matériaux uniformes ont permis de vérifier le concept d’équilibre, puisque quelle que soit la condition d’écoulement testée, la pente du lit s’est toujours ajustée avant de se stabiliser à une valeur finie, pour une alimentation (liquide Q et solide Qs) et un diamètre de sédiment D constants. Par contre toutes les expériences (ainsi que les mesures disponibles dans la bibliographie) tendent à montrer que la pente d’équilibre n’est jamais vérifiée lorsque des matériaux non uniformes sont utilisés. Au lieu de cela, des fluctuations périodiques de débit solide sont mesurées, dont l’amplitude peut atteindre jusqu’à 3 fois la valeur qui serait obtenue si le

S0 D S0

Erosion Dépôt D

PUISSANCE (DISPONIBLE POUR LE

TRANSPORT)

TRAVAIL (DE TRANSPORT)

=

Débit solide Qs Débit liquide Q

Diamètre des grains Pente d’énergie



concept d’équilibre était vérifié (Iseya et Ikeda 1987, Kuhnle et Southard 1988, Hoey et Sutherland 1991). On a vu comment le tri granulométrique pouvait, par le biais des nappes de charriage, réguler le stockage et la distribution des sédiments fins, pour un écoulement long, et en alimentation constante. Or plusieurs travaux ont montré, à la fois en canal expérimental et sur le terrain, que la présence de sédiments fins avait pour effet d’augmenter l’efficacité du transport des graviers pour une condition hydraulique donnée (Gilbert 1914, Raudkivi et Ettema 1982, Jackson et Beschta 1984, Iseya et Ikeda 1987, Ferguson et al. 1989, Wilcock et al. 2001, Cui et al. 2003, Curran et Wilcock 2005). Ce phénomène est bien illustré par les expériences de Iseya et Ikeda (1987). Ils ont étudié le transport de sédiments en maintenant des débits solide et liquide constants, mais en faisant varier la teneur en sable du mélange.

Figure 98 : Illustration de l’effet de la fraction fine sur l’efficacité de transport à débits liquide Q et solide Qs constants (Iseya et Ikeda 1987). Le transport d’un mélange de

sable et gravier nécessite moins de puissance que le transport de sable pur, ce qui est en contradiction avec le concept d’équilibre.

Le résultat (Figure 98) montre que la puissance nécessaire (directement proportionnelle à la pente lorsque le débit est maintenu constant) pour transporter un mélange grossier (0% de sable) est supérieure à la puissance nécessaire pour transporter 100% de sable fins, à débit solide égal, conformément au concept d’équilibre (Figure 97). Par contre, le transport d’un mélange de sable et de sédiments grossiers nécessite une puissance inférieure à celle nécessaire pour le transport du sable pur, de diamètre inférieur, ce qui est en contradiction avec le concept d’équilibre.

5

6

7

8

9

0 20 40 60 80 100

% de sable fin

Pent

e (%

)

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Puis

sanc

e



Cela ne peut s’expliquer, pour un travail réalisé et une puissance disponible, que par l’existence et la variation d’un terme d’efficacité de transport e, dans la relation liant la puissance disponible au travail fourni :

ePdt

dW = (58)

Ce terme, non pris en compte explicitement dans le concept d’équilibre (Figure 97), sera décrit au prochain paragraphe. Ikeda et Iseya (1988) ont déduit de leurs observations l’hypothèse que le tri granulométrique pouvait être responsable de fortes variations dans la mobilité du mélange sédimentaire. Ils ont par ailleurs pu observer que, avec des matériaux uniformes, la pente d’équilibre évolue en sens inverse de l’efficacité de transport, pour une puissance d’écoulement donnée, ce qui a également été vérifié expérimentalement par Curran et Wilcock (2005). Donc, en imposant une présence périodique de la fraction fine dans l’écoulement, le tri granulométrique pourrait dans un même temps, imposer une fluctuation de l’efficacité du transport solide par charriage, et par conséquent de la pente d’équilibre. Cette hypothèse sera testée dans ce qui suit à partir des résultats expérimentaux. Le concept d’efficacité de transport avait été appliqué aux rivières par Bagnold (1966), mais aucune relation fiable donnant le terme d’efficacité en fonction des conditions hydrauliques n’avait été proposée. Les observations faites dans la partie 1 au chapitre III seront utilisées. III.1. Le concept d’efficacité du transport à l’équilibre Bagnold (1966) a proposé de considérer la rivière comme un système de transport continu et homogène, et d’appliquer le principe de conservation de l’énergie au transport solide (la variation du travail de transport égale la puissance disponible fois un terme d’efficacité), ce qu’il a formulé de la façon suivante :

ωα eib =tan (59)

où )( ρρ −= sbb gqi est le transport solide « déjaugé » (qb est le débit solide volumique par unité de largeur), tanα est le coefficient dynamique de frottement interne, 0QSU ∝= τω est la puissance de l’écoulement (puissance moyenne disponible pour la colonne d’eau par unité de surface du lit) et e est l’efficacité (<1). Si à la fois les débits liquide et solide sont maintenus constants, l’Eq.59 devient :

teb CeS

WQggRSeUi =≈= 00tan ρρα

(60)



Ce qui se réduit, en écoulement contraint latéralement, à :

),,(0 DQQCeS ste= (61)

Donc le concept d’équilibre consiste à considérer e constant pour un travail de transport et un matériau donnés, et une seule variable d’ajustement, S0 (ce qui a bien été vérifié en matériau uniforme).

Figure 99 : Schématisation de l’état d’équilibre en matériau uniforme, avec pour seule variable d’ajustement la pente d’énergie

Par contre si l’ajout de sable est capable de modifier le terme d’efficacité, en le faisant passer de e à e’, cela conduira l’écoulement à ajuster sa pente d’énergie de S0 à S0’. Cette propriété confirme l’hypothèse proposée en introduction et est formulée par l’Eq.62:

'00 'SeeS ≈ (62)

Nous allons donc considérer dans la suite les effets d’une variation de l’efficacité de transport induite par la régulation de la teneur en sable du mélange charrié par le phénomène de tri granulométrique. Dans tous les cas, les paramètres de l’analyse sont considérés pour la condition d’équilibre (c’est à dire lorsqu’il y a égalité entre ce qui entre et ce qui sort du système) et sont les valeurs d’alimentation, constantes (Q, Qs, D). Ce qui se passe à l’intérieur du système (tri granulométrique et variation de rugosité) ne sera pris en compte que de façon implicite. Ce schéma d’analyse est représenté sur la Figure 100. Le terme d’efficacité e est cependant inconnu. Il avait été observé maximum et constant pour le régime 3 identifié pour les écoulements sur matériaux uniformes.

S0

Q, QS, D

Q, QS, D



Figure 100 : Deux situations d’équilibre induites par une variation de l’efficacité de transport, pour une même alimentation et à largeur constante

Le régime 3 est surtout caractérisé par un changement du mode de transport (avec une généralisation de la saltation et sur lit plat), et tous les points mesurés dans ce régime, quels que soient la pente ou le matériau considérés, avaient en commun un transport solide adimensionnel bien représenté par une loi puissance du nombre de Shields :

45.214θ=Φ (63)

Le régime 2 était quant à lui caractérisé par une efficacité moindre et était bien représenté par une forme modifiée de la relation de Meyer Peter Muller (Eq.41):

2)(6.15 cθθ −=Φ (64)

III.2. Les écoulements sur matériaux non uniformes III.2.1. Diamètre caractéristique et loi de frottement La première difficulté rencontrée lorsqu’on utilise un matériau non uniforme est de choisir un protocole adapté pour le calcul d’un diamètre qui soit représentatif. Ce diamètre peut être différent selon l’absence (lit en cours de pavage) ou la présence (nappe de charriage ou écoulement à transport intense du régime 3) d’une couche charriée. Pour étudier l’influence de la couche charriée, 55 mesures de vitesse ont été réalisées avec la méthode de l’encre sur des mélanges de matériaux (ces données sont présentées en annexe 6). Toutes les mesures ont été réalisées à forte mobilité sédimentaire (c’est à dire en régime 3 ou sur nappe de charriage en régime 2). Les données ont ensuite été confrontées au modèle de frottement, en tenant compte de la composition du sédiment récolté en sortie de canal pour

e, S0

Q, QS, D

Q, QS, D

Equilibre 1

Q, QS, D

Q, QS, D

Equilibre 2

e’, S0’



chaque mesure. Le meilleur ajustement au modèle de frottement a, dans tous les cas, été obtenu avec un diamètre calculé par la moyenne arithmétique des diamètres présents dans l’échantillon (Figure 101):

∑=i

ii DmD (65)

où mi est le pourcentage en poids du sédiment de diamètre Di à l’intérieur du mélange. Cette définition serait aussi la plus pertinente du point de vue de la physique des phénomènes impliqués (Bagnold 1966). Sur la Figure 101, les mesures de vitesse moyenne en nappe de charriage sont comparées aux calculs obtenus avec les équations du régime 2, car pour le diamètre équivalent considéré, les écoulements en matériaux uniformes auraient été dans le régime 2 (Figure 102).

Figure 101 : Comparaison des vitesses mesurées [en matériaux non uniformes] et des vitesses calculées avec le modèle de frottement [pour matériaux uniformes], en

considérant la moyenne arithmétique des diamètres présents dans la couche de charriage.

On retiendra donc comme hypothèse que le modèle établi pour matériaux uniformes de même diamètre équivalent reste valable. Ce résultat est cependant assez paradoxal, car les écoulements en nappe de charriage présentent, à première vue, toutes les caractéristiques du régime 3, avec des écoulements sur lit plat et des débits solides relativement importants. Ainsi, étant donné ce qui a été vu au premier chapitre sur les effets du charriage sur le coefficient de frottement, une augmentation de f aurait été prévisible. En fait à y regarder de plus près, il existe des différences notables entre la couche de charriage du régime 3 et celle de la nappe de charriage (Figure 103).

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90Umesuré

Uca

lcul

é

Nappe de charriage dans le régime2Transport dans le régime3



100 101 102 1030

5

10

15

20

R/D

U/u*

Figure 102 : Point de fonctionnement des écoulements sur nappe de charriage : les

mesures (+) sont comparées aux calculs obtenus (o) pour matériaux uniformes de même diamètre équivalent calculé à partir des échantillons prélevés pendant la mesure

Figure 103 : Organisation de la couche de charriage en régime3 sur matériaux uniformes et en nappe de charriage

En nappe de charriage, la couche charriée présente une stratification verticale très nette, avec de bas en haut:

- une première couche, très plate, assez concentré, constituée de sédiments fins transitant avec une vitesse modérée ;

- une couche peu concentrée, constituée essentiellement de sédiments grossiers transitant à une vitesse élevée, par saltation au-dessus de la couche précédente.

Cette configuration (de transit sédimentaire continu sur lit plat) pourrait expliquer l’augmentation de l’efficacité de transport en nappe de charriage. Cependant la concentration de la couche en saltation au sein de l’écoulement reste très faible. La fraction fine de la couche sous-jacente pourrait ainsi largement être représentative de la rugosité vue par l’écoulement. Ces deux effets (augmentation de débit solide et rugosité des sédiments fins) ont des effets antagonistes sur le coefficient de frottement f et pourraient se compenser pour maintenir le frottement avec une valeur compatible avec un calcul à partir du diamètre moyen D. Des mesures complémentaires sont néanmoins nécessaires pour confirmer ces hypothèses.

Régime 3 en matériaux uniformes

Lit fixe Vitesse moyenne Vitesse importante

Nappe de Charriage en granulométrie étendue



0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3Φ cal

Φ m

es

Qs[Nappe de charriage] vs loi puissance 5/2

Qs[alimentationt+ So max] vs MPM modifié

Par exemple, en cas de nappe de charriage très concentrée en sédiments grossiers, il n’est pas certain que les équations du régime 2 puissent être conservées. III.2.2. Loi de transport en granulométrie étendue Il est difficile de considérer une loi de transport en granulométrie étendue puisqu’on a vu que le débit solide fluctuait en permanence. Phase d’érosion Les nappes de charriage sont caractérisées par une grande efficacité de transport. Les mesures indiquent que les valeurs du débit solide peuvent atteindre jusqu’à 3 fois les valeurs qui seraient attendues à l’équilibre pour un sédiment uniforme de même diamètre équivalent (Tableau 15). Cette efficacité de transport est bien illustrée par la Figure 103 (saltation au dessus d’un lit plat) et même si on a vu qu’il pouvait exister des différences notables entre les caractéristiques hydrodynamiques des nappes de charriage et celles du régime 3, toutes les mesures de débit solide réalisées sur nappe de charriage sont assez bien modélisées (avec toutefois une légère sous estimation) par la relation puissance en 5/2 du nombre de Shields (Figure 104). Ce résultat est très important car il tendrait à valider l’hypothèse faite en conclusion du chapitre (III) de la partie 1, consistant à dire que la loi puissance en 5/2 reste valide et l’efficacité est maximum tant que le transport se fait de façon continue, ce qui a été associé aux transports sur lits plats (par comparaison aux accélérations décélérations associées aux ondulations du régime 2). Cette efficacité de transport maximum est illustrée par la Figure 105. Des mesures complémentaires sont nécessaires pour conclure définitivement sur cette hypothèse.

Figure 104 : Débits solides d’alimentation et de nappe de charriage comparés aux modèles



Figure 105 : Diagramme d’efficacité de transport avec report des points obtenus sur nappe de charriage

Phase d’aggradation Quand un lit dégradé est alimenté en sédiments, il reconstruit sa pente. En présence de matériaux uniformes le lit finit par se stabiliser à une pente d’équilibre So. En présence de sédiments non uniformes, la pente du lit atteint également une pente So, mais au lieu de se stabiliser, il s’érode à nouveau. Si on exclut l’évolution du lit après avoir atteint la pente So, la phase d’aggradation est peu différente, a priori, dans les deux cas. Alors peut-on dire que la pente maximum de fluctuation So correspond à une pente d’équilibre, telle qu’elle serait atteinte avec un matériau uniforme de même diamètre équivalent ? Pour le vérifier, les débits solides d’alimentation sont comparés avec les débits solides calculés à partir de la formule du régime 2 (car tous les essais sont dans ce régime si on considère les débits et le diamètre équivalent de chaque mélange sédimentaire) avec, pour pente d’équilibre, les pentes maximum So de chaque essai. Les résultats présentés sur la Figure 104 tendent à confirmer cette hypothèse. Ce résultat, très important, voudrait dire que lorsqu’un écoulement est alimenté avec un sédiment à granulométrie étendue de diamètre équivalent D, le lit évoluerait par aggradation jusqu’à atteindre la pente d’équilibre So qui serait obtenue avec un matériau uniforme de même diamètre D. Le phénomène de recherche d’équilibre se produit donc de façon similaire mais avec cependant deux différences notables :

- le tri granulométrique fait que l’aggradation est accompagnée d’un stockage préférentiel de matériaux fins

- lorsque la pente d’équilibre est atteinte, au lieu de se stabiliser comme c’est le cas en matériau uniforme, le lit entame une longue érosion vers une nouvelle pente minimum So’

Ce comportement de la pente, impliquant une variation dans l’efficacité du transport, est tout à fait compatible avec l’Eq.62.

0,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

0,1 1 10 100 1000

ω

i b

Régime 3 sur dunesRégime 3 sur lit platRégime 2 nappe de charriageRégime 2Régime 1



III.3. Proposition d’un scénario pour expliquer le mécanisme des fluctuations Compte tenu des hypothèses précédentes, on peut essayer de schématiser le cycle complet de fluctuation. Soit un écoulement alimenté par un sédiment à granulométrie étendue de diamètre équivalent D. Si on appelle Soi la pente instantanée, So et So’ les pentes maximum et minimum respectivement, et qsA le débit solide d’alimentation (constant) et qs le débit solide sortant du système (variable), le fonctionnement du lit pour une période de fluctuation pourrait être le suivant (Figure 106):

a) Pendant la phase d’aggradation, le lit stocke le sédiment fin du débit solide injecté grâce à un processus efficace de tri. Sa surface est alors composée de sédiments grossiers et peut même être pavée. L’efficacité du transport ei est très faible (minimum); la pente moyenne Soi continue lentement de croître en interceptant les sédiments fins introduits dans le système et le débit solide en sortie qs est très faible;

b) La pente Soi atteint la valeur So, maximum, qui serait vérifiée à l’équilibre avec un

sédiment uniforme de même diamètre D. L’aggradation s’arrête. A ce moment précis l’efficacité du transport vaut e et le produit eSo vérifie l’Eq.61 pour les conditions d’alimentation considérées. Autrement dit la puissance de l’écoulement est compatible avec l’alimentation solide et le débit solide de sortie qs s’équilibre avec la valeur d’alimentation qsA (le sédiment injecté n’est plus stocké dans le lit et est intégralement repris par l’écoulement). Cette phase est cependant très courte car une ségrégation verticale se met rapidement en place dans la couche de charriage, pour une meilleure efficacité de transport. La grande mobilité des sédiments a alors un effet très destructeur sur le pavage en place.

c) La couche de charriage est stratifiée. Cette nouvelle configuration correspond à une

efficacité de transport e’ >> e. L’Eq.61 n’est plus vérifiée et l’écoulement va adapter sa pente à une valeur So’ < So pour un nouvel équilibre énergétique. Cette situation est maintenue car la couche basale du charriage est alimentée pendant l’érosion, par les sédiments fins stockés dans le lit par tri granulométrique pendant la phase d’aggradation.

d) L’érosion intense réduit la pente à une valeur moyenne So’ telle que le produit e’So’

vérifie à nouveau l’Eq.61. A ce moment précis le débit solide de sortie qs s’équilibre avec la valeur d’alimentation qsA (Figure 100). Cependant cet équilibre est instable car la mobilité des sédiments grossiers est fortement réduite et l’organisation stratifiée de la couche charriée ne peut être maintenue.

e) L’efficacité de transport décroît rapidement f) Le lit entre à nouveau dans une phase d’aggradation, avec la mise en place d’un tri

granulométrique efficace dans les formes du lit. L’écoulement recherche à nouveau une pente d’équilibre comme il le ferait avec un matériau uniforme.

La transition de l’état d à f ne se fait pas spontanément sur toute la longueur de canal. Elle commence par la zone de plus forte érosion, en amont. L’arrêt du transit sédimentaire depuis la zone amont a des conséquences sur le tronçon situé immédiatement en aval qui s’érode et passe à son tour de l’état d à f, et le phénomène se produit de proche en proche, jusqu’à concerner le lit sur toute sa longueur (Figure 71a).



Figure 106 : Représentation schématique des fluctuations de l’état du lit

et du débit solide associé

Lit fixe Vitesse faible Vitesse élevée

qs<<qsA

qsA

So’ < Soi < So et ei≈0

qs>>qsA

qsA

So’ < Soi = So et ei = e’ > e

So’ = Soi < So et e’ > ei > e

qsA qs<qsA

qsA qs=qsA

So’ = Soi < So et ei = e’ > e

a)

b)

c)

d)

e)

f)

qsA qs=qsA

So’ < Soi = So et ei=e

qsA qs<<qsA

So’ < Soi < So et ei<e<e’



Selon ce scénario il n’y a que deux courts instants seulement (quand la pente vaut So et So’) où le débit solide de sortie est égal au débit solide d’alimentation. Entre ces deux instants, le débit solide de sortie fluctue en permanence entre des valeurs très basses (selon l’importance du pavage) à plus de 3 fois le débit solide d’alimentation pour certains essais (Figure 66). Finalement des pentes d’équilibre, au sens où elles ont été définies avec des matériaux uniformes, existeraient bien, mais elles ne peuvent être maintenues par l’écoulement. La transition à l’état de nappe de charriage (Figure 106b à c) est très rapide et est accompagnée d’une forte augmentation du débit solide à puissance constante (car le débit et la pente sont constants pendant cette phase quasi instantanée). Cela confirme les observations rapportées en introduction, selon laquelle la présence de sable augmente la mobilité d’un mélange pour une puissance donnée. De plus, de tels effets ne seraient pas nécessairement liés au sable (défini par D < 2 mm), mais plutôt à la présence dans le mélange sédimentaire d’au moins deux diamètres différents permettant au tri granulométrique d’exister (des fluctuations ont été mesurées à partir de mélanges 4.9 et 9 mm). Le ratio entre les diamètres caractéristiques de la fraction fine et de la fraction grossière, ainsi que la proportion en présence de chaque fraction sont très certainement des critères déterminant dans l’efficacité du tri et du phénomène de fluctuation (Raudkivi et Ettema 1982). Tous les essais présentés ici ont été réalisés avec un ratio supérieur ou égal à 2 et une proportion de sable maximum de 50%. III.4. Test du modèle de fluctuation sur les mesures expérimentales Les expériences présentées au Tableau 15 sont utilisées pour tester les hypothèses précédentes. En résolvant les équations appropriées pour les lois de résistance (Eq.24 à 29 et annexe 3) et de charriage (Eq.40 et 41) il est possible de calculer des pentes d’équilibre So et So’, pour les conditions d’alimentation (Q, Qs, et D) de chaque essai (en « blind test » puisque les modèles et les fluctuations sont issus de jeux de données produits de façon indépendante). Tous les résultats sont présentés sur les Figure 107 à Figure 110. Malgré toutes les incertitudes liées au calcul (précision de la loi de charriage, choix d’une loi de frottement, choix d’un diamètre caractéristique), aux conditions expérimentales (durée de l’expérience, arrêts et démarrages successifs, stabilité de composition du mélange d’alimentation), et aux mesures (de la pente et des débits d’alimentation), la comparaison peut être considérée bonne, en ordre de grandeur, quels que soient les conditions étudiées ou le mélange sédimentaire (2 ou 3 sédiments). Même si les résultats obtenus pour les expériences courtes (canal court, faible durée) sont intéressants, seuls les résultats obtenus en canal long (8 m) et sur de longues durées (au delà de 20 h) doivent néanmoins être considérés comme vraiment pertinents (par exemple l’expérience à 0.8% sur 4 h devrait être reproduite sur plus de 50 h en canal long). La plupart des essais ont été réalisés avec un sédiment bimodal. Les essais 17 et 18 ont été réalisés à partir d’un mélange de 3 sédiments et les fluctuations de pente, de l’état du lit et du débit solide ont été observées de façon similaire. De nouveaux essais sont nécessaires avec des compositions sédimentaires plus compliquées. Le modèle à compartiments proposé au chapitre précédent fait que, pour les fluctuations de la pente moyenne, seule la fréquence la plus basse aura pour amplitude la différence entre les deux pentes d’équilibre (So’, So). Comme cette fréquence dépend à la fois de la composition sédimentaire, des débits imposés, et de la longueur de canal, elle pourrait ne pas être observée pour une pente moyenne mesurée sur un canal long pendant une durée trop courte.



Figure 107 : Comparaison entre le modèle et les mesures obtenues en canal de 8m; les lignes en pointillé représentent les valeurs calculées ; l’axe des X est le temps (h) et l’axe

des Y la pente moyenne du lit S0 (m/m)

0 5 10 15 20 25

a) Mélange 2.3/9mm (50/50), Q=5l/s,Qs=14.4 g/s, L=8m, W=0.15m (essai 1)

0.0164

0.0207

0 5 10 15 20 25

b) Mélange 2.3/4.9mm (50/50), Q=0.8l/s, QS=18.05 g/s, L=8m, W=0.10m (Essai 5)

0.0459

0.0520

0 10 20 30 40 50 60

c) Mélange 2.3/4.9mm (50/50), Q=0.17l/s, Qs=10.38 g/s, L=8m, W=0.05m (Essai 6)

0.0810

0.0935

0 5 10 15 20 25 30 35

e) Mélange 2.3/4.9mm (50/50), Q=0.24l/s,Qs=19.9 g/s, L=8m, W=0.05m (Essai 8)

0.0837

0.0900

0 1 2 3 4 5

f) Mélange 2.3/4.9mm (50/50), Q=0.3l/s,Qs=29.93 g/s, L=8m, W=0.05m (Essai 9)

0.08990.0903

0 0,5 1 1,5 2 2,5

g) Mélange 2.3/4.9mm (50/50), Q=0.4l/s,Qs=40.85 g/s, L=8m, W=0.05m (Essai 10)

0.0910

0.0910

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

d) Mélange 2.3/4.9mm (50/50), Q=0.2l/s,Qs=13.53 g/s, L=8m, W=0.05m (Essai 7)

0.0811

0.0910



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

a) Mélange 2.3/4.9mm (50/50), Q=4 l/s,Qs=3.8 g/s, L=4m, W=0.15m (Essai 19)

0.0087

0.0116

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

b) Mélange 2.3/4.9mm (50/50), Q=6 l/s,Qs=7 g/s, L=4m, W=0.15m (Essai 20)

0.0087

0.0099

0 0.5 1 1.5 2

d) Mélange 2.3/4.9mm (50/50), Q=0.6 l/s,Qs=8.17 g/s, L=2m, W=0.10m (Essai 3)

0.0401

0.0517

0 0.5 1 1.5 2

e) Mélange 2.3/4.9mm (50/50), Q=0.7 l/s,Qs=13.1 g/s, L=2m, W=0.10m (Essai 4)

0.0439

0.0520

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

f) Mélange 2.3/4.9mm (50/50), Q=0.8l/s,Qs=18 g/s, L=2m, W=0.10m (Essai 0)

0.0459

0.0517

0 0.5 1 1.5 2 2.5

c) Mélange 2.3/4.9mm (50/50), Q=0.8 l/s,Qs=5.41 g/s, L=2m, W=0.10m (Essai 2)

0.0281

0.0380

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

g) Mélange 2.3/4.9mm (50/50), Q=0.34l/s,Qs=20.7 g/s, L=2m, W=0.10m (Essai 21)

0.0810

0.0935



Figure 108 : Comparaison entre le modèle et les mesures obtenues en canal court sur mélanges bimodaux 2.3-4.9mm ; les lignes en pointillé représentent les valeurs calculées;

l’axe des X est le temps (h) et l’axe des Y la pente moyenne du lit S0 (m/m)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

h) Mélange 2.3/4.9mm (50/50), Q=0.4l/s,Qs=27 g/s, L=2m, W=0.10m (Essai 22)

0.0811

0.0910

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

i) Mélange 2.3/4.9mm (50/50), Q=48l/s,Qs=40 g/s, L=2m, W=0.10m (Essai 23)

0.0837

0.0900

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

k) Mélange 2.3/4.9mm (30/70), Q=0.9l/s,Qs=13.9 g/s, L=2m, W=0.10m (Essai 12)

0.0437

0.0513

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

l) Mélange 2.3/4.9mm (30/70), Q=1.1l/s,Qs=24.7 g/s, L=2m, W=0.10m (Essai 13)

0.0448

0.0495

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

m) Mélange 2.3/4.9mm (30/70), Q=1.3 l/s,Qs=33.91 g/s, L=2m, W=0.10m (Essai 14)

0.0458

0.0485

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

j) Mélange 2.3/4.9mm (30/70), Q=0.8l/s,Qs=12.83 g/s, L=2m, W=0.10m (Essai 11)

0.0422

0.0519



Figure 109 : Comparaison entre le modèle et les mesures obtenues en canal court sur mélange bimodale 4.9/9mm;les lignes en pointillé représentent les valeurs calculées ;

l’axe des X est le temps (h) et l’axe des Y la pente moyenne du lit S0 (m/m)

Figure 110 : Comparaison entre le modèle et les mesures obtenues en canal court sur mélanges 2.3/4.9/9mm;les lignes en pointillé représentent les valeurs calculées ; l’axe des

X est le temps (h) et l’axe des Y la pente moyenne du lit S0 (m/m)

Les résultats c à g de la Figure 107 sont particulièrement intéressants car ils concernent les mêmes conditions de pente et de sédiment, mais pour des débits croissants. Ils illustrent bien la disparition des fluctuations aux conditions hydrauliques fortes (chaque figure est présentée avec la même échelle des ordonnées pour la comparaison).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

b) Mélange 2.3/4.9/9mm (33/33/33), Q=0.8l/s,Qs=19 g/s, L=2m, W=0.10m (Essai 18)

0.0541

0.0683

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

a) Mélange 4.9/9mm (50/50), Q=1.5 l/s,Qs=39.52 g/s, L=2m, W=0.10m (Essai 15)

0.0538

0.0637

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

b) Mélange 4.9/9mm (50/50), Q=1.8l/s,Qs=61 g/s, L=2m, W=0.10m (Essai 16)

0.0568

0.0632

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

a)Mélange 2.3/4.9/9mm (40/20/40), Q=1.2l/s,Qs=11.97 g/s, L=2m, W=0.10m (Essai17)

0.0355

0.0475



III.5. Analyse des fluctuations Résoudre de façon itérative les équations établies pour modéliser les frottements et le transport est très certainement la façon la plus précise pour calculer les pentes So et So’ pour une alimentation donnée (Q, Qs et D). Cependant un tel calcul peut être fastidieux et d’un point de vue pratique la question peut être formulée ainsi : connaissant le débit Q, le débit solide Qs d’un matériau non uniforme de diamètre moyen D, quel serait l’ordre de grandeur des fluctuations prévisibles ? III.5.1. Fluctuations de pente La pente So est la pente qui serait obtenue à partir d’un matériau uniforme de même diamètre D. Son calcul ne pose donc aucune difficulté à partir des lois de transport établies pour l’équilibre (MPM modifié). L’analyse précédente prévoit que lorsque la pente minimum So’ est atteinte, le débit solide transporté par l’écoulement est égal au débit solide ΦA introduit dans le système, et que donc, pour un court instant, la relation suivante est vérifiée :

45.2]'[14 θ=Φ A (66) On peut en déduire :

45.21

'0 14'

)1(⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Φ−= A

RDsS

(67)

Cependant il y a 2 inconnues (So’ et R’) pour une seule équation. En fait on peut montrer que lorsque l’écart maximum entre deux pentes extrêmes ne dépasse pas 20% (ce qui est le cas pour tous les essais réalisés) les variations du rayon hydraulique R sont inférieures à 5% et l’approximation R’≈R devient possible. On peut le montrer à partir de la loi de frottement établie pour le régime 2, sous la forme :

)log(8

0oSBA

gRSU

f+==

(68)

Quand on exprime le ratio R’/R (avec l’approximation Q=WRU) on obtient :

3/2

'0

03

1

'0

0

)log()log('⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

SBASBA

SS

RR

(69)

Cette expression permet de vérifier que lorsque So’ est supérieur à 80% de la valeur de So, la diminution de R est inférieure à 5% (Figure 110). Donc avec l’approximation R’≈R, on peut déduire la relation suivante:

45.21

0'0 14

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Φ

= ASS

θ

(70)

Cette formule donne les mêmes résultats que la résolution complète des équations pour le calcul de So’, à 2% près.



10-1

10-2

100

Phi

Figure 111 : Variations du rayon hydraulique R associées aux variations de pente III.5.2. Fluctuations du débit solide Le charriage a été observé fluctuer entre presque zéro et trois fois la valeur moyenne lorsque la surface du lit passe d’un état de pavage à l’état de nappe de charriage. Le cycle correspondant est schématisé sur la figure suivante:

Figure 112 : Variations de charriage associées aux variations de pente pour une alimentation donnée

1

1,01

1,02

1,03

1,04

1,05

1,06

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1Pente So

R'/R

So' =0.95 SoSo' =0.90 SoSo' =0.85 SoSo' =0.80 So

pavage

Erosion A’

A :So , qs=qsA

B :So’ qs=qsA

B’

45.214θ

2)(6.15 cθθ −θ

Nappe de charriageQs

S0

Débit solide en sortie

Pente du lit S0

S0’

Qs alimentation

Temps

Temps

B,B’

A,A’

B, B’

B’

A

A’

B

B’



00.5

11.5

22.5

33.5

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Qsmax/Qsmean[calc]

Qs m

ax/Q

s mea

n[m

eas]

A est le point qui serait toujours vérifié avec un matériau uniforme de diamètre D (Figure 106b, condition d’équilibre). AA’ est la transition quasi-instantanée qui correspond à l’apparition de la nappe de charriage et au changement de l’efficacité de transport (Figure 106c). A’B est la longue érosion qui correspond à la recherche d’une nouvelle pente d’équilibre So’ (Figure 106d). BB’ est une transition courte correspondant à la fin de la nappe de charriage (ou de l’érosion du lit selon l’échelle considérée, Figure 106e) et B’A est la phase (longue) d’aggradation du lit associée au tri granulométrique (Figure 106 a and f). On peut constater que plus la différence entre les points A et A’ est grande et plus la différence entre le débit solide maximum (en A’) et le débit solide d’alimentation (A) sera grande. Pour toutes nos expériences, le point A était tel que 1.4θc<θ<2θc. Cependant, lorsque A est déplacé vers les faibles valeurs de Φ (i.e. vers un débit solide unitaire d’alimentation nul), le phénomène pourrait s’atténuer. En effet, le nombre de Shields en A serait alors tel que θ ≈ θc ce qui aurait pour conséquence:

- Une longueur efficace de tri Ls réduite (Figure 74b) - Une transition de A’ à B limitée par le nombre de Shields critique de sédimentation θs

des sédiments grossiers (avec θs < θc) avant que la condition d’équilibre (Eq.62) ne soit vérifiée.

Le résultat pourrait être une fluctuation périodique entre les états A et A’, produisant alors des pulsations de charriage (comme cela a très largement été décrit sur le terrain), mais sans véritable changement de pente (des expériences complémentaires seraient nécessaires pour conclure sur cet aspect). Pour un matériau non uniforme de diamètre équivalent D, le ratio entre le débit solide maximum et le débit solide moyen peut être donné (en ordre de grandeur) par le ratio des lois puissance (Eq.40) et MPM modifié (Eq.41) pour un nombre de Shields correspondant à l’écoulement à l’équilibre sur un matériau uniforme de même diamètre D. Ce calcul a été réalisé pour chaque essai et les résultats sont comparés sur la Figure 113 avec les mesures du Tableau 15 (mesures de débit solide pour des nappes de charriage de grande ampleur associées à la destruction du pavage et à une dégradation généralisée du lit). Encore une fois, étant donné toutes les imprécisions (voire les inconnues) qui demeurent importantes à ce stade de la recherche (mesure de débit solide en sortie de canal non continue mais ponctuelle, qualité de la mesure, pente exacte au moment de l’échantillonnage, calcul d’un diamètre caractéristique, précision des lois de frottement et de charriage), le calcul peut être considéré satisfaisant, en ordre de grandeur.

Figure 113: Ratio entre les débits solides maximum et moyen;

comparaison entre les mesures et le calcul



Les imprécisions sur le calcul des paramètres hydrauliques, et en particulier de θ, sont certainement source d’erreur. La Figure 104 indique que globalement la loi puissance sous-estime les débits solides mesurés en nappe de charriage. En fait, lors de la transition à une érosion généralisée, le lit connaît un état très transitoire pendant laquelle une quantité importante de sédiments grossiers (rupture du pavage et « purge » du lit) transite rapidement en aval sur le lit plat de sédiments fins (Figure 106c). Des expériences complémentaires sont nécessaires pour améliorer la connaissance des propriétés des écoulements associés aux nappes de charriage. III.5.3. Mobilité équivalente Les ratios entre débit solide maximum et débit solide moyen sont compris entre 1.2 et 3 et diminuent quand les conditions hydrauliques augmentent. On peut étudier le spectre théorique que peut couvrir ce ratio pour une large gamme de pente et de nombre de Shields, en divisant la loi puissance en 5/2 par la relation de MPM modifiée.

Figure 114: Simulation du spectre du ratio entre débit solide maximum et moyen

Les résultats de la simulation (Figure 114) indiquent que ce ratio peut être très important à faible valeur du nombre de Shields. Cependant, il tend rapidement vers l’unité quand le paramètre de Shields augmente, ce qui indique une disparition des fluctuations, et donc la mobilité équivalente (Parker et Klingeman 1982). On peut le comprendre à partir de la Figure 112, où l’on peut voir que lorsque θ augmente, le point A se rapproche du point A’ et les deux points finissent par se confondre pour une certaine valeur du nombre de Shields, pour une pente donnée. Par conséquent, la limite θl entre les régimes 2 et 3 (Eq.46) pourrait correspondre à une limite entre les conditions de tri granulométrique et de mobilité équivalente pour une pente donnée. Cette limite a été estimée égale à environ 2.5θc et s’écrit :

275.00

143.0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−≈

sS

lθ (71)

0

1

2

3

4

5

6

7

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

θ

Qs [

max

]/Qs [

moy

en] So=1%

So=3%So=5%So=7%So=9%



Cette réduction de fluctuation avec des conditions hydrauliques croissantes a bien été observée expérimentalement et est particulièrement bien illustrée avec les mesures faites à 9% (Figure 107 c à f). Ainsi, quand les conditions d’alimentation sont telles que, avec un matériau uniforme de diamètre D le nombre de Shields de l’écoulement est supérieur à 2.5 fois le nombre de Shields critique pour la pente considérée, la même alimentation, mais avec un sédiment non uniforme de diamètre équivalent D ne devrait pas produire de fluctuation du débit solide. Une autre façon de formuler ce résultat, est de dire que les fluctuations ne sont possibles avec un sédiment non uniforme de diamètre moyen D, que lorsque l’écoulement avec matériau uniforme de même diamètre D est dans le régime 2. A priori, la plupart des systèmes naturels à graviers ne permettent que des écoulements dans le régime 2, le lit ajustant sa morphologie de façon à maintenir des valeurs de θ proches de θc (Parker 1978). III.6. Perspectives : des fluctuations de largeur sont-elles prévisibles ? Les expériences considérées jusqu’ici concernaient des écoulements totalement contraints latéralement (ce qui pourrait être comparé à des écoulements entre digues ou à des rivières de montagne) et les variations morphologiques étaient limitées à la pente (locale ou moyenne). Mais la plupart des cours d’eau naturels peuvent ajuster à la fois leur pente et leur largeur. Les observations sur le terrain d’ajustements rapides de la morphologie des lits, à la fois par correction de la pente et/ou de la largeur sont nombreuses (Liebault et Piegay 2001, Rinaldi 2003). En étudiant l’évolution morphologique au cours du 20ème siècle de 53 tronçons répartis sur 14 cours d’eau italiens soumis à des activités humaines, Rinaldi (2003) a observé que les rivières initialement en tresses ou à bancs alternés se sont ajustées principalement en largeur (et faiblement en pente) alors que les rivières initialement à méandres se sont ajustées principalement par incision, avec peu de changement sur la largeur. Cet ajustement par la largeur et à pente constante a par ailleurs été souvent observé pour les rivières à graviers (Griffiths 1993) et a été vérifié expérimentalement par Lisle et al. (1993) pour des lits à bancs alternés. Toutes les variations décrites sont systématiquement attribuées à une activité humaine ou à un changement (climatique ou d’occupation des sols) au niveau du bassin versant. Si ces causes sont bien réelles, elles sont cependant systématiquement désignées sans réel débat sur une ou des possibles causes endogènes. Les mécanismes impliqués dans la relation entre débit solide et morphologie sont à ce jour très peu connus (Nicholas 2000). A partir de données de terrain et d’une analyse de la répartition des contraintes, Parker (1978) a suggéré que les rivières à gravier auraient tendance à ajuster leur largeur de façon à maintenir la contrainte de l’écoulement proche de la valeur critique (avec θ/θc<1.2). En rivières à tresses, il est parfois considéré que les érosion-dépôts successifs observés à court terme sont en équilibre (dynamique) et maintiennent la morphologie générale du système (Schumm et al. 1987, Peakall et al. 1996). Cependant, on a vu que le temps de réponse des systèmes soumis au tri granulométrique est très long, et que ces derniers devraient par conséquent être considérés sur le moyen, voire le long terme. Par extension du raisonnement fait pour les écoulements contraints latéralement



avec ajustement de la pente, on pourrait ainsi imaginer qu’une fluctuation d’efficacité de transport associée au tri granulométrique conduirait à une fluctuation entre deux largeurs d’équilibre plutôt que deux pentes d’équilibre. Comment varierait la largeur active d’un lit en réponse à une variation d’efficacité de transport ? L’essai N°24 a permis d’observer que l’érosion était associée à un chenal légèrement agrandi. Cependant, l’ajustement s’était fait principalement par la pente et il est difficile de conclure si cet élargissement est la réponse d’une recherche d’équilibre ou si c’est une conséquence de la destruction des bancs alternés associée au basculement de pente (Figure 76). Reconsidérons la relation de Bagnold pour un système alimenté de façon constante par un débit liquide Q et un sédiment de diamètre moyen D, au débit solide volumique QS [m3/s]:

ωα eib =tan (72) Ce qui peut s’écrire :

0tan)( gRSeUgWQ

ss ραρρ =−

(73)

On peut exprimer U à partir de l’équation du régime 2 (on pourrait également utiliser la loi de Manning):

[ ] 00 )log( gRSSBAU += (74)

où A et B sont des constantes (Eq. 26 à 27); l’Eq. 72 devient :

[ ]2/3

000 )log(tan)1(

eWRgSSBAS

sQs =+

− α

(75)

Ou encore, pour une pente constante, l’équilibre énergétique (c’est à dire quand les flux sortant du système valent les flux en entrée, comme illustré sur la Figure 100) doit permettre de vérifier:

teCeWR =2/3 (76) Ainsi une augmentation de l’efficacité e impliquera la recherche d’un nouvel équilibre énergétique par une diminution du produit WR3/2, ce qui conduit à deux solutions : soit une très forte diminution, soit une augmentation de W. Sur l’exemple de la Figure 115, pour une largeur initiale de 22 m, une diminution de WR3/2 de 0.6 à 0.5 est associée à deux solutions : une réduction de largeur à 2.5 m ou une augmentation de largeur à 26 m. La première solution correspond à des grandeurs hydrauliques (vitesse, hauteur) irréalistes. La seconde solution est plus en accord avec les observations expérimentales disponibles et donne des grandeurs cohérentes. Néanmoins cela nécessite d’être testé expérimentalement. Mais en pratique, la diminution du terme WR3/2 est liée à l’évolution du terme d’efficacité e, que l’on ne connaît pas a priori. Par extension des observations faites pour les fluctuations de pente en écoulement contraint latéralement, on pourrait faire l’hypothèse que la loi de MPM



modifiée est toujours représentative de l’équilibre pour l’efficacité de transport e et que la loi puissance est toujours représentative de l’équilibre pour l’efficacité de transport maximum e’, dans ce nouveau cas de figure.

Figure 115 : Exemple de variation du produit WR3/2 avec W pour

D=50mm, So=0.02 et Q=20m3/s La loi proposée par Ashmore (1988) pour les rivières en tresses à partir d’expériences à la pente 1.5%, coïncide très exactement avec les lois de MPM modifiée (avec θc calculé pour la pente 1.5%) et puissance (pour le régime 3) proposées dans cette étude (Figure 116), ce qui laisse présager une possible extension de ces hypothèses et outils aux morphologies plus compliquées.

Figure 116 : Comparaison entre la loi de Ashmore 1988 pour les rivières en tresses et la loi modifiée de MPM et la loi puissance en 5/2 à la pente 1.5%

Alors l’extension de l’analyse faite pour les fluctuations de pente pourrait s’énoncer ainsi : si pour une pente So, un débit Q et une alimentation solide QS donnés, l’écoulement équilibre sa largeur active à une valeur W pour un matériau uniforme de diamètre D, alors cette largeur active fluctuerait entre deux valeurs W et W’ > W si un sédiment non uniforme de diamètre moyen D est utilisé. Alors, connaissant les valeurs de W, Q et D (qui peuvent par exemple être des valeurs « de projet »), comment estimer W’ lorsque l’efficacité de transport augmente de e

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 10 20 30 40 50

W

WR

3/2

0

0,1

0,2

0 0,1 0,2Φ [Cette étude]

Φ[A

shm

ore]

MPM modifiéLoi Puissance



(supposé représenté à l’équilibre par la loi MPM modifié) à e’ (supposé représenté à l’équilibre par la loi puissance)? Pour les conditions d’équilibre, le débit solide sortant vaut le débit injecté Qs, quelle que soit l’efficacité de transport et on a l’égalité suivante (Figure 100):

Φ=Φ WW '' (77) On en déduit une première relation reliant W’ et R’:

aRW =45.2'' (78) Où a est connu et vaut (Φ étant calculé à partir des lois de frottement et de MPM modifié) :

45.20

)1(14 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Φ=

DsS

Wa (79)

Une seconde relation est obtenue à partir de la conservation de la masse (Q=WHU) et des lois de frottement (considérées ici pour le régime2) :

bRW

WR =− '2'

'²' 2/3

(80)

Où b est connu et vaut :

[ ])log( 00 SBAgSQb

+=

(81)

A et B étant les coefficients définis pour chaque échelle de rugosité (Eq26 et 27). On obtient, à partir des Eq. 78 et 80 une relation en R’, qui a deux solutions :

0²''2 95.04.4 =+− aabRbR (82) On en déduit W’ à partir de l’Eq.78 ou de l’Eq.80. Par exemple à la pente S0=0.01, un chenal actif de 10 m de largeur à l’équilibre, pour une alimentation moyenne de Q=5 m3/s, un sédiment de diamètre moyen D=20mm, verrait sa largeur active fluctuer de façon périodique entre 10 et 15.5 m, selon ce calcul. Cette approche, complétée par de nouvelles expériences, pourrait peut être montrer que les morphologies contrastées des rivières à bancs alternés (Figure 117) ne sont que des états passagers de systèmes en évolution permanente et quasi-périodique, sous le seul contrôle du tri granulométrique, pour un régime hydrologique stable. Les expériences existantes sur la formation des bancs ont essentiellement été réalisées sur des matériaux uniformes (Ikeda 1984), et si une migration aval des bancs a été observée associée au passage de nappe de charriage (Gomez et al. 1989), aucun changement important et brutal de la morphologie n’a été décrit dans la bibliographie. Les quelques expériences réalisées en



granulométrie étendue ont conclu que le tri granulométrique avait pour effet de réduire la mobilité des bancs (Lanzoni 2000, Bertoldi et al. 2002). Lisle et al. (1991), ont réalisé une expérience de formation de bancs alternés avec un sédiment à granulométrie étendue, à la pente 3%. Ils ont observé des fluctuations courtes associées au passage de nappes de charriage, cependant la durée d’expérience (environ 10 heures) était trop courte pour conclure définitivement à une échelle plus large. Les auteurs avaient finalement conclu que l’expérience avait produit une morphologie stable, mais les expériences en écoulements contraints ont montré que les états les plus stables (armure) étaient systématiquement suivis par une dégradation brutale et de grande ampleur.

Figure 117 : Bancs alternés au japon (rivières Tokashi et Toshibetsu, photo CERI de HOKKAÏDO, 2003©)

En rivières à tresses, les fluctuations de débit solide ont été observées associées à une transition cyclique entre un chenal simple pendant les phases de dégradation et des chenaux en tresses pendant les phases d’aggradation en rivières naturelles à gravier (Church 1983, Ashmore 1988, Knighton 1989, Griffiths 1989) et Hoey et Sutherland (1991) ont conclu expérimentalement en une forte corrélation inverse entre la complexité du chenal et le débit solide. Pour finir, il ne serait pas très surprenant d’observer que ces fluctuations de largeur se reproduisent à différentes échelles de temps et d’espace, comme cela a été décrit pour les fluctuations de pente au chapitre précédent. Ashmore (1988) a par exemple observé au moins deux échelles dans ses expériences sur le tressage : des petites fluctuations de débit solide associées au passage de nappes de charriage et des fluctuations plus larges associées aux phases de tressage et de dégradation du lit. Il ne s’agit à ce stade que d’une approche purement spéculative, qui nécessite une vérification expérimentale. La méthode proposée suppose que les lois de transport de MPM modifié et puissance sont valables, et que les deux équilibres au sens où ils ont été définis par la relation de Bagnold sont atteints (Figure 100). En réalité, même si ces effets du tri granulométrique étaient vérifiés, d’autres facteurs seraient certainement à prendre en compte dans la morphologie des lits. Par ailleurs il est probable que les ajustements pourraient se produire à la fois par correction de la pente et de la largeur.



III.7. Conclusions Cette analyse est partie de trois observations :

- la pente moyenne varie en sens inverse de la mobilité des sédiments ; - la mobilité des sédiments augmente avec sa teneur en fraction fine pour une puissance

d’écoulement donnée ; - la teneur en sable de la couche charriée varie et est contrôlée de façon cyclique par un

tri granulométrique vertical et horizontal efficace. Ces observations ont permis de poser l’hypothèse que le tri granulométrique contrôlait les fluctuations en modifiant la teneur en sable de la couche charriée. Cette hypothèse a été testée avec succès sur les résultats expérimentaux obtenus pour une large gamme de conditions d’alimentation, de pente et de mélanges sédimentaires. On en a conclu que lorsqu’un écoulement est alimenté avec un sédiment à granulométrie étendue de diamètre équivalent D, le lit évolue par aggradation jusqu’à atteindre la pente d’équilibre So qui serait obtenue avec un matériau uniforme de même diamètre D. Cette phase est accompagnée d’un stockage préférentiel de sédiments fins dans le lit, en conséquence du tri granulométrique. Cependant, au lieu de se stabiliser à la pente So comme cela serait le cas avec un matériau uniforme, la couche charriée se réorganise rapidement vers un mode de transport très efficace (la nappe de charriage), qui est maintenu par mobilisation des sédiments fins précédemment stockés dans le lit, et qui conduit l’écoulement à rechercher une nouvelle pente d’équilibre So’. Cette grande efficacité de transport a été bien modélisée avec une loi puissance du nombre de Shields représentative de l’efficacité de transport maximum en matériaux uniformes, quels que soient la pente, le diamètre des grains et les conditions hydrauliques considérées. L’utilisation de cette loi a été motivée par une forte similitude (transport continu sur lit plat) observée entre l’aspect de la couche charriée du régime 3 (en matériaux uniformes) et en nappe de charriage. Une généralisation de ce type de loi (incluant éventuellement d’autres paramètres) serait très intéressante d’un point de vue pratique, mais de nombreuses mesures et observations complémentaires sont nécessaires pour cela. Par ailleurs, ces hypothèses n’ont pu être testées que dans le cas d’écoulements totalement contraints latéralement. Il serait intéressant de poursuivre l’investigation à partir de morphologies plus compliquées tels que des bancs alternés ou des tresses. Il est clair qu’à ce stade de la recherche de nouvelles expériences sont nécessaires : quand on considère l’analyse exhaustive de Schumm et al. (1987) sur la morphologie des rivières alluviales, on se rend compte que les effets du tri granulométrique ont été plutôt négligés par les différents auteurs. Quand des mélanges sédimentaires ont été considérés, c’était généralement pour étudier l’impact des sédiments très fins (silt) sur la cimentation et la stabilité des berges.



IV. CONCLUSION GENERALE SUR L’ETUDE DES ECOULEMENTS EN GRANULOMETRIE ETENDUE Des expériences longues en canal ont été réalisées, pour une large gamme de conditions hydrauliques, avec des sédiments non uniformes, et ont révélé des fluctuations périodiques du débit solide et de la pente du lit. Deux types de fluctuations ont été observés : des fluctuations courtes associées au passage de nappes de charriage (variation locale de pente) et des fluctuations longues associées à des changements affectant la morphologie du lit sur toute sa longueur. Le résultat le plus marquant est finalement que lorsque des conditions d’alimentation constantes sont maintenues suffisamment longtemps, le lit évolue continuellement et de façon périodique, en couvrant à peu près tous les états décrits dans la bibliographie pour les écoulements sur sédiments non uniformes (piégeage de sédiment fins, transport partiel, lits pavés ou fins, ségrégation spatiale, rubans de sables, nappes de charriage, affinage ou pavage vers l’aval, tri dans les formes du lit, aggradation et dégradation). Il semble donc que la durée d’une expérience est une composante essentielle de l’analyse, généralement non prise en compte. Les nappes de charriage semblent être la pierre angulaire permettant d’expliquer l’existence de fluctuations courtes, mais aussi les changements observés à long terme de la morphologie du lit. A partir d’observations à forte pente, il a été possible de formuler l’hypothèse que les nappes de charriage pourraient être produites par un phénomène de tri granulométrique très efficace opérant à l’amont sur une longueur finie Ls , et produisant des bouffées sédimentaires qui se propagent vers l’aval. Un modèle à compartiments basé sur ce principe a été proposé pour simuler les fluctuations observées aux différentes échelles et tendrait à confirmer que les fluctuations courtes associées au passage de nappes de charriage et les phénomènes de très grande ampleur telle que par exemple la migration d’un banc de gravier pourraient être l’expression du même phénomène mais à des échelles différentes. Ce modèle permet aussi d’expliquer l’influence de la longueur de canal sur la périodicité. Enfin, en partant du constat que:

- la pente moyenne varie en sens inverse de la mobilité des sédiments ; - la mobilité des sédiments augmente avec sa teneur en sable pour une puissance

d’écoulement donnée ; - la teneur en sable de la couche charriée varie et est contrôlée de façon cyclique par un

tri granulométrique verticale et horizontale efficace ; l’hypothèse a été posée que le tri granulométrique contrôlait les fluctuations en modifiant la teneur en sable de la couche charriée. Cette hypothèse a été testée avec succès sur les résultats expérimentaux. On en a conclu que lorsqu’un écoulement est alimenté avec un sédiment à granulométrie étendue de diamètre équivalent D, le lit évolue par aggradation jusqu’à atteindre la pente d’équilibre So qui serait obtenue avec un matériau uniforme de même diamètre D. Cette phase est accompagnée d’un stockage préférentiel de sédiments fins dans le lit, en conséquence du tri granulométrique. Cependant, au lieu de se stabiliser à la pente So comme cela serait le cas avec un matériau uniforme, la couche charriée se réorganise rapidement vers un mode de transport très efficace (la nappe de charriage), qui est maintenu par mobilisation des sédiments fins précédemment stockés dans le lit, et qui conduit l’écoulement à rechercher une nouvelle pente d’équilibre So’.



C’est une stratification verticale de la couche charriée qui permet la grande mobilité des sédiments en nappe de charriage. Cette stratification permet un transport solide sur lit plat, bien modélisé par la loi puissance en 5/2 établie pour le régime 3 des écoulements sur matériaux uniformes, et ce, même pour des nombres de Shields faibles (correspondant aux conditions du régime 2 pour la pente considérée). Lorsque le maintien de cette stratification n’est plus possible, le transport s’accompagne d’ondulations du lit (favorisant le tri et l’enfouissement des sédiments fins) et d’une forte diminution de l’efficacité de transport. Le modèle de transport établi pour le régime 2 en matériaux uniformes peut alors être utilisé pour la recherche du nouvel équilibre. C’est la coexistence de ces deux modes de transport qui pourrait expliquer les phénomènes de fluctuation (Figure 118).

Figure 118 : Schématisation des deux modes de transport rencontrés en granulométrie étendue, et des lois de transport associées

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

0,01 0,1 1 10θ

Φ

Nappe de Charriage

Transport CONTINU sur lit plat Efficacité maximum

45.214θ=Φ

Transport DISCONTINU sur lit ondulé Efficacité réduite Tri granulométrique

Ugrain REGIME 2 REGIME 3

Conclusion générale


CONCLUSION GENERALE Cette recherche avait pour objectif l’étude des effets du tri granulométrique sur le transport solide par charriage. Le protocole expérimental a consisté à utiliser les propriétés des écoulements sur matériaux uniformes comme « état de référence» pour identifier et analyser les effets du tri granulométrique, lorsque les écoulements sont produits à partir d’un mélange de ces mêmes matériaux uniformes. L’étude des écoulements sur matériaux uniformes était avant tout destinée à tester les outils et protocoles de mesures, et de rechercher dans la bibliographie les modèles les mieux adaptés pour modéliser les grandeurs hydrauliques et sédimentologiques mesurées. Cent quarante quatre écoulements sur lit mobile ont été étudiés avec des matériaux uniformes, à l’équilibre, et pour des pentes allant de 1 à 9%, et le jeu de données a été étendu à 1551 valeurs à partir des données disponibles dans la bibliographie. L’analyse de ces données montre que l’apparition du charriage est accompagnée par une augmentation du coefficient de frottement f. Par ailleurs, trois régimes d’écoulement associés à ces variations de f ont été identifiés, et coïncident avec de très nets changements dans le mode de transport, pour une pente donnée :

- Régime 1 (absence de charriage): le coefficient de frottement f diminue lorsque la profondeur relative R/D augmente. A l’échelle des faibles rugosités (R/D>9 environ) on retrouve bien la loi de Keulegan, et la rugosité de fond vaut approximativement le diamètre du grain (ks=D)

- Régime 2 (charriage faible) : Le coefficient de frottement f est constant lorsque la

profondeur relative R/D et le charriage augmentent pour une pente donnée, ce qui correspond à une augmentation de résistance par comparaison à ce qui serait mesuré sans charriage. Cette augmentation est attribuée à une augmentation de rugosité qui passe de ks=D à 2.6D dans la représentation de Nikuradse-Keulegan. Le mode de déplacement des grains semble être essentiellement le roulement. Le transport solide est bien représenté par une forme modifiée de la loi de Meyer-Peter et Muller et l’analyse des données indique une très forte sensibilité à la pente dans ce régime.

- Régime 3 (charriage important) : le coefficient f diminue à nouveau quand R/D

augmente. La rugosité équivalente se stabilise à ks≈2.6D quelle que soit la pente. Le mode de déplacement semble être le roulement et la saltation, et le transport solide, bien modélisé par une loi puissance en 5/2 du nombre de Shields, est caractérisé par une efficacité maximum.

Simons et Richardson (1966) avaient défini les notions de « lower regime » et « upper regime » par l’état de continuité de la couche charriée. C’est également ce critère qui est apparu comme le plus explicatif pour l’existence des 3 régimes définis dans cette thèse. Cependant, contrairement à ces auteurs, qui avaient limité la continuité sédimentaire (« upper regime ») aux lits plats, la thèse a montré que de nombreuses formes de lit (lits plats, dunes aux faibles pentes dans le régime 3 et nappes de charriage dans le régime 2) permettaient une modélisation du transport par la loi puissance en 5/2. Ces écoulements ont tous en commun une efficacité de transport maximum (au sens de la définition proposée par Bagnold, 1966), ce

Conclusion générale _


qui pourrait s’expliquer par une continuité du transport, contrairement aux ondulations du régime 2 occasionnant des accélérations et décélérations successives de la couche charriée (Figure 119).

Figure 119 : Essai de classification des formes de lit rencontrées pour les différents régimes d’écoulement

Bien que de nouvelles données soient nécessaires pour valider complètement les modèles proposés, l’analyse des données déjà disponibles s’est montrée très cohérente avec les résultats des autres recherches menées sur les lois de frottement et de charriage. Les matériaux uniformes ont ensuite été mélangés pour produire des expériences très longues, pour une large gamme de conditions hydrauliques, qui ont toutes révélé des fluctuations périodiques du débit solide et de la pente du lit. Deux types de fluctuations ont été observés : des fluctuations courtes associées au passage de nappes de charriage (variation locale de pente) et des fluctuations longues associées à des changements affectant la morphologie du lit sur toute sa longueur. Ces fluctuations ont été observées accompagnées d’un lit sédimentaire en perpétuelle évolution, des phases de pavage alternant périodiquement avec des phases d’érosion intense. En particulier, si pour des durées d’observation courtes il est possible de vérifier le principe de mobilité équivalente, ce n’est plus le cas lorsque les expériences sont observées sur de longues durées. Ces phénomènes sont associés à une dynamique de nappes de charriage, qui semble être une conséquence directe du tri granulométrique. Des hypothèses sur leur mode de formation et de

0,000001

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

θ

Φ

Transport discontinu Efficacité réduite

Lits plats

45.214θ=Φ

Nappes de charriage

REGIME 2

REGIME 3

Dunes aux faibles pentes

Conclusion générale


propagation ont permis de reproduire les schémas de fluctuation mesurés à différentes pentes pour les expériences longues. En particulier, ce mode de fonctionnement a permis d’expliquer l’existence de plusieurs périodes de fluctuation et l’influence de la longueur de canal sur le phénomène étudié. Enfin, le concept d’efficacité de transport a été utilisé pour montrer que le tri granulométrique pourrait contrôler les périodes et amplitudes des fluctuations en contrôlant la teneur en sable de la couche de charriage. Cette hypothèse, et les observations faites sur l’efficacité de transport en granulométrie uniforme, ont permis de reproduire les amplitudes de fluctuation de pente moyenne mesurées pour les 26 essais. Ce résultat permet de conclure que les fluctuations périodiques de débit solide pourraient être un phénomène naturel en rivières à graviers. On retiendra finalement les trois résultats importants suivants :

(i) Un écoulement sur un matériau non uniforme de diamètre moyen D ne produira des fluctuations que si l’écoulement équivalent, produit avec un matériau uniforme de même diamètre D se trouve dans le régime 2. Au-delà (régime 3), il y a mobilité équivalente.

(ii) La condition précédente étant respectée, lorsqu’un écoulement est alimenté avec un sédiment à granulométrie étendue de diamètre équivalent D, le lit évolue par aggradation jusqu’à atteindre la pente d’équilibre So qui serait obtenue avec un matériau uniforme de même diamètre D. Cette phase est accompagnée d’un stockage préférentiel de sédiments fins dans le lit, conséquence du tri granulométrique. Cependant, au lieu de se stabiliser à la pente So comme cela serait le cas avec un matériau uniforme, la couche charriée se réorganise rapidement vers un mode de transport très efficace (la nappe de charriage), qui est maintenu par mobilisation des sédiments fins précédemment stockés dans le lit, et qui conduit l’écoulement à rechercher une nouvelle pente d’équilibre So’.

(iii) L’influence du tri granulométrique sur le transport solide par charriage a pour expression première la nappe de charriage, responsable de fluctuations courtes du débit solide. Mais le phénomène de tri semble aussi pouvoir s’exprimer à plusieurs échelles et être responsable des fluctuations observées aux différentes échelles de temps et d’espace.

Une conséquence immédiate est que, proche des conditions de début de mouvement (θ/θc<2.5), le concept d’équilibre sur lequel sont basées la plupart des formules de transport pourrait ne pas être vérifié en granulométrie étendue, sauf si le système est observé sur de très longues durées moyennant les principales périodes de temps (incluant les plus fortes périodes caractéristiques). En l’état des connaissances il paraît difficile d’inclure les fluctuations à long terme d’un système naturel dans des formules et l’utilisation des formules existantes pour prédire la production sédimentaire sur de très grandes durées peut conduire à de larges erreurs (comme cela a été démontré par Griffiths 1979). Les fluctuations à court terme pourraient être considérées en moyennant sur une durée suffisante (plusieurs heures à plusieurs jours), à la fois pour la stratégie d’échantillonnage (Kuhnle 1996) et pour la prédiction du charriage. Mais pour le moment, il n’existe aucun critère permettant de définir une durée critique minimum à respecter pour une condition d’écoulement et un sédiment donnés.

Conclusion générale _


En ce qui concerne la prédiction du charriage, une autre difficulté persiste : même si un tel critère devait être proposé pour moyenner le signal, il est probable qu’il faille autant de formules de transport que d’états de lit observés. Toutes ces observations et conclusions nécessitent d’être confirmées par des travaux complémentaires (à la fois en canal expérimental et sur le terrain), et de nombreuses questions ont été soulevées :

1) Quelles sont les propriétés hydrodynamiques des écoulements à faible profondeur relative (profil de vitesse) ?

2) Quelles sont les propriétés de la couche de charriage dans chacun des régimes ? 3) Quels critères pour mieux définir les « sheet flow » ? 4) Quel est le comportement asymptotique de la loi de transport ? 5) La loi puissance établie pour les matériaux uniformes est-elle représentative d’une

efficacité de transport maximum quels que soient le sédiment et le régime considérés ? Si oui, quel est le point commun de tous ces écoulements (la continuité du transport sur lit plat ? la saltation ?)? Si non, quelles modifications peuvent y être apportées ?

6) La loi modifiée de MPM n’est-elle pas une forme moyennée de la loi puissance intégrant la discontinuité de transport induite par les ondulations du lit du régime 2 ?

7) Comment mieux préciser la loi de transport pour des pentes inférieures à 0.5% ? 8) Quelles sont les causes qui font passer le régime 3 de l’état de lit plat à la formation de

dunes quand la pente diminue? 9) Quelles sont les propriétés hydrodynamiques des nappes de charriage ? quelle loi de

frottement utiliser, notamment si la concentration en sédiments grossiers en saltation devient importante ?

10) Le diamètre moyen arithmétique D est-il le diamètre équivalent le mieux approprié pour la couche charriée?

11) Quelle est l’influence des propriétés du sédiment (ratio entre deux diamètres caractéristiques, et pourcentage de chaque fraction dans le mélange) sur le tri granulométrique ?

12) Quelles sont les propriétés de la distance de tri Ls, et une formulation est-elle possible ?

13) Comment mieux définir le modèle à compartiments ? 14) Peut-on estimer les périodes de fluctuation aux différentes échelles? si oui comment

les intégrer dans les formules de transport ? 15) Les fluctuations de pente sont-elles remplacées par des fluctuations de largeur en

écoulements non contraints ? 16) Comment valoriser ces résultats à partir d’observations de terrain ?

Bibliographie


BIBLIOGRAPHIE Aberle, J., et G. M. Smart, (2003), The influence of roughness structure on flow resistance on

steep slopes, Journal of Hydraulic Research, 41, 3, 259-269. Abrahams, A. D., (2003), Bed-load transport equation for sheet flow, Journal of Hydraulic

Engineering, 129, 2, 159-163. Abrahams, A. D., et P. Gao, (2006), A bed-lod transport model for rough turbulent open-

channel flows on plane beds, Earth Surface Processes and Landforms, 31, 910-928. Ackers, P., et W. R. White, (1973), Sediment transport; new approach and analysis, Journal

of the Hydraulics Division, 99, 11, 2041-2060. Aguirre-Pe, J., et R. Fuentes, (1990), Resistance to flow in steep rough streams, Journal of

Hydraulic Engineering, 116, 11, 1374-1387. Andrews, E. D., et G. Parker. 1987. Formation of a coarse surface layer as the response to

gravel mobility. in J. W. sons, editor. Sediment transport in Gravel-bed rivers. pp 269-325

ASCE-Task-Committee, (2002), Flow and transport over dunes, Journal of Hydraulic Engineering, 726-728.

Ashida, K., et M. Bayazit. 1973. Initiation of motion and roughness of flows in steep channels. Pages 475-484 in Iahr procedings of the 15th congress.

Ashmore, P. E., (1988), Bedload transport in braided gravel bed stream models, Earth Surface Processes and Landforms, 13, 677-695.

Ashworth, P. J., et R. Ferguson, (1989), Size-selective entrainment of bed load in gravel bed streams, Water Resources Research, 25, 4, 627-634.

Bagnold, R. A., (1956), The flow of cohesionless grains in fluids, Proc. Roy. Soc., 249, A964, 235-296.

Bagnold, R. A. 1966. An approach to the sediment transport problem from general physics. paper 422-I, United state department of interior, Washington.

Bagnold, R. A., (1977), Bed load transport by natural rivers, Water Resources Research, 13, 2, 303-312.

Barry, J. J., J. M. Buffington, et J. G. King, (2004), A general power equation for predicting bed load transport rates in gravel bed rivers, Water Resources Research, 40, W10401, 1-22.

Bathurst, J. C., (1985), Flow resistance estimation in mountain rivers, Journal of Hydraulic Engineering, 111, 4, 625-643.

Bathurst, J. C. 1987. Critical conditions for bed material movement in steep, boulder-bed streams. Pages 309-318 in Erosion and sedimentation in the Pacific Rim. AIHS, Corvallis.

Bathurst, J. C., (2002), At-a-site variation and minimum flow resistance for mountain rivers, Journal of Hydrology, 269, 1-2, 11-26.

Bathurst, J. C., W. H. Graf, et H. H. Cao. 1982a. Bedforms and flow resistance in steep gravel-bed channels. Pages 215-221 in Euromech 156 : Mechanism of sediment transport, Istanbul.

Bathurst, J. C., W. H. Graf, et H. H. Cao. 1982b. Initiation of sediment transport in steep channels with coarse bed material. Pages 207-213 in Euromech 156: Mechanics of sediment transport, Istanbul.

Bathurst, J. C., W. H. Graf, et H. H. Cao. 1987. Bed load discharge equations for steep mountain rivers. in J. C. B. C.R.Thorne, R.D.Hey, editor. Sediment Transport in Gravel Bed Rivers. John Wiley & Sons Ltd. pp 453-491

Bathurst, J. C., R.-M. Li, et D. B. Simons, (1981), Resistance equation for large-scale roughness, Journal of the Hydraulics Division, 107, HY12, 1593-1613.

Bibliographie _


Bayram, A., B. Camenen, et M. Larson. 2003. Equivalent roughness under sheet flow conditions. in Proc. Coastal Sediment, 03 (CD ROM). ASCE, Clearwater, Beach, Fla.

Bergeron, N. E., et P. Carbonneau, (1999), The effect of sediment concentration on bedload roughness, Hydrological Processes, 13, 2583-2589.

Bertoldi, W., M. Tubino, et G. Zolezzi. 2002. Experimental observations of river bifurcations with uniform and graded sediments. in AIRH, editor. River Flow, Louvain la Neuve.

Bettess, R., (1984), Initiation of sediment transport in gravel streams, Proc., Institute of the Civil Engineering, Part 2, March, 79-88.

Blom, A., J. S. Ribberink, et H. J. De Vriend, (2003), Vertical sorting in bed forms: Flume experiments with a natural and a trimodal sediment mixture, Water Resources Research, 39, 2,

Bogardi, J., et C. H. Yen. 1939. Tractation of Pebbles by Flowing Water. State Univeristy of Iowa.

Boys, D., (1879), Le Rhône et les rivières à lit affouillable, Annales des Ponts et Chaussées, 18, 5,

Bravo-Espinosa, M., W. R. Osterkamp, et V. L. Lopes, (2003), Bedload transport in alluvial channels, Journal of Hydraulic Engineering, 129, 10, 783-795.

Bridgwater, J., (1969), Paricle mixing by percolation, Trans. Inst. Chem. Eng., 47, 114-119. Brown, C. B. 1950. Sediment transportation. in Engineering Hydraulics. H.Rouse, New York,

Wiley. pp 769-857 Brownlie, W. R. 1981a. Computation of alluvial channel data: Laboratory and Field.

California Institute of Technology, Passadena, California. Brownlie, W. R. 1981b. Prediction of flow depth and sediment discharge in open channels.

Kh-R-34A, Keck Laboratory of Hydraulics and Water Ressources , California Institute of Technology, Pasadena, California.

Bunte, K. 1992. Particle number grain size composition of bedload in a mountain stream. in R. D. H. P.Billi, CR Thorne & P. Tacconi, editor. Dynamics of gravel bed rivers. John Wiley & Sons Ltd, Chichester. pp 55-68

Bunte, K., et S. R. Abt, (2005), Effect of sampling time on measured gravel bed load transport rates in a coarse-bedded stream, Water Resources Research, 41, W11405, 12 pp.

Calomino, F., R. Gaudio, et A. Miglio. 2004. Effect of Bed-Load Concentration on Friction Factor in Narrow Channels. Pages 279-285 in IAHR, editor. River Flow. IAHR, Napple.

Camenen, B., A. Bayram, et M. Larson, (2006), Equivalent roughness height for plane bed under steady flow, Journal of Hydraulic Engineering, 132, 11, 1146-1158.

Campbell, L., I. McEwan, V. I. Nikora, D. Pokrajac, M. Gallagher, et C. Manes, (2005), Bed-Load Effects on Hydrodynamics of Rough-Bed Open-Channel Flows, Journal of Hydraulic Engineering, 131, 7, 576-585.

Canovaro, F., E. Paris, et L. Solari. 2004. Influence of macro-roughness arrangement on flow resistance. Pages 287-293 in River Flow, Napple.

Cao, H. H. 1985. Resistance hydraulique d'un lit à gravier mobile à pente raide; étude expérimentale. PhD thesis. Ecole PolytechniqueFederale de Lausane, Lausanne.

Carbonneau, P., et N. E. Bergeron, (2000), The effect of bedload transport on mean and turbulent flow properties, Geomorphology, 35, 267-278.

Cardoso, A. H., W. H. Graf, et G. Gust, (1989), Uniform flow in s smooth open channel", Journal of Hydraulic Research, 27, 5, 603-616.

Cardoso, A. H., et G. O. Neves, (1994), Prévision du transport solide total : Evaluation de formules existantes, Houille Blanche, 4, 13-22.

Bibliographie


Casey, H. J., (1935), Uber Geschiebebewegung, Preuss. Versuchsanst. fur Wasserbau und Schifibau, Berlin, 19, 86 pp.

Church, M., (1983), Patterns of instability in wandering ravel bed channels, Spec. Publ. Int. Assoc. Sedimentol, 6, 169-180.

Church, M., et M. A. Hassan, (1998), Stabilizing self-organized structures in gravel-bed stream channels :field and experimental observations, Water Resources Research, 34, 11, 3169-3179.

Couvert, B., B. Lefebvre, P. Lefort, et E. Morin, (1991), Etude générale sur les seuils de correction torrentielle et les plages de dépôts, Houille Blanche, 6, 449-456.

Cudden, J. R., et T. B. Hoey, (2003), The causes of bedload pulses in a gravel channel: the implications of bedload grain-size distribution, Earth Surface Processes and Landforms, 28, 1411-1428.

Cui, Y., G. Parker, T. E. Lisle, J. Gott, M. E. Hansler, J. E. Pizzuto, N. E. Allmendinger, et J. M. Reed, (2003), Sediment pulses in mountain rivers. Part 1 : Experiments, Water Resources Research, 39, 9, 1240.

Curran, C., et P. R. Wilcock, (2005), Effects of sand supply on transport rates in a gravel-bed channel, Journal of Hydraulic Engineering, 131, 11, 961-967.

Damgaard, J., R. J. S. Whitehouse, et R. L. Soulsby, (1997), Bed-load sediment transport on steep longitudinal slopes, Journal of Hydraulic Engineering, 123, 12, 1130-1138.

Day, T. J., (1977), Aspects of flow resistance in steep channels having coarse particle beds, Research in Fluvial Geomorphology, edited by R Davidson-Arnott and W.Nickling, Geo, Abstracts, Norwich, England, 45-48.

Dietrich, W. E., J. W. Kirchner, H. Ikeda, et F. Iseya, (1987), The origin of the coarse surface layer in gravel-bedded streams: the role of sediment supply, Geological Society of America Bulletin, 19, 642.

Dietrich, W. E., J. W. Kirchner, H. Ikeda, et F. Iseya, (1989), Sediment supply and the development of the coarse surface layer in gravel-bedded rivers, Nature, 340, 7, 215-217.

Dinehart, R. L., (1989), Dune migration in steep coarse-bedded stream, Water Resources Research, 25, 911-923.

Drahun, J. A., et J. Bridgwater, (1981), Free surface segregation, Chem.E. Symp. Ser., 65, S/Q/1-S/Q/14,

Drahun, J. A., et J. Bridgwater, (1983), The mechanism of free surface segregation, Powder technol., 36, 39-53.

Ducottet, C. 1994. Application of wavelet transforms to the processing of tomographic and holographic images of fluid flows, Saint Etienne.

Egiazaroff, I. V., (1965), Calculation of nonuniform sediment concentrations, Journal of the Hydraulics Division, HY4, 6, 225-247.

Ehrenberger, R., (1931), Direct bedload measurements on the Danube at Vienna and their results to date, Die Wasserwirtschaft, 34, 1-9.

Einstein, H. A., (1937), The calibration of the bedload trap used in the Rhine, Schweuzerische Bauzeitung, 110, 29-32.

Einstein, H. A., (1941), Formulas for the transportation of bed load, Procedings of ASCE, 67, 3, 351-367.

Einstein, H. A. 1950. The Bed-Load function for sediment transportation in open channel flows. United States Department of Agriculture - Soil Conservation Service, Whashington.

Einstein, H. A., et N. L. Barbarossa, (1951), River Channel Roughness, American Society of Civil Engineers, Paper N°2528, 1121-1146.

Bibliographie _


Einstein, H. A., et N. L. Barbarossa, (1952), River Channel Roughness, American Society of Civil Engineers, Paper N°2528, 1121-1146.

Einstein, H. A., et N. Chien. 1953. Transport of sediment mixtures with large ranges of grain sizes. 91, UniV. of Calif. Inst. of Eng.

Einstein, H. A., et N. Chien. 1955. Effects of Heavy Sediment Concentration near the Bed on Velocity and Sediment Distribution. University of California.

Einstein, H. A., et E.-S. A. El-Samni, (1949), Hydrodynamic forces on a rough wall, Reviews of modern physics, 21, 3, 520-524.

Emmett, W. W. 1975. The channels and waters of the upper Salmon River area, Idaho. United Staets Geological Survey, professional paper 870A.

Engelund, F., et J. Fredsoe, (1976), A sediment transport modle for straight alluvial channel, Nord. Hydrol., 7, 293-306.

Engelund, F., et E. Hansen. 1966. A monograph on sediment transport in alluvial streams. Technical University of Denmark.

Engelund, F., et E. Hansen. 1967. A monograph on sediment transport in alluvial streams. Technical University of Denmark.

Ferguson, R., K. L. Prestegaard, et P. J. Ashworth, (1989), Influence of sand on gravel transport in a braided gravel bed river, Water Resources Research, 25, 4, 635-643.

Ferro, V., et G. Baiamonte, (1994), Flow velmocity profiles in gravel-bed rivers, Journal of Hydraulic Engineering, 120, 1, 60-80.

Flammer, G. H., J. P. Tullis, et E. S. Mason, (1969), Free Surface, Velocity Gradient Flow Past Hemisphere, Journal of the Hydraulics Division, 96, HY7, 1485-1502.

French, R. H. 1985. Channels of composite roughness. in M. Graw, editor. Open-Channel Hydraulics. McGraw-Hill Book Co, Singapor. pp Chapter 5, 176-181

Frey, P., C. Ducottet, et J. Jay, (2003a), Fluctuations of bed load solid discharge and grain size distribution on steep slopes with image analysis, Experiments in fluids, 35, 589-597.

Frey, P., P. Ronco, et A. Recking. 2003b. Fluctuations of bed load solid discharge and grain size distribution on steep slopes. in AIRH, editor. RCEM, Barcelone.

Gao, P., et A. D. Abrahams, (2004), Bedload transport resistance in rough open-channel flows, Earth Surface Processes and Landforms, 29, 423-435.

Garcia, C., J. B. Laronne, et M. Sala, (2000), Continuous monitoring of bedload flux in a mountain gravel-bed river, Geomorphology, 34, 23-31.

Gessler, J. 1967. The begenning of bedload movement of mixtures investigated as natural armoring channels. California Institute of Technology, Passadena, California.

Gilbert, G. K. 1914. The Transportation of Debris by Running Water. US Geological Survey. Gomez, B., (1983), Temporal variations in bedload transport rates: the effects of progressive

bed armouring, Earth Surface Processes and Landforms, 8, 41-54. Gomez, B., L. N. Richard, et D. W. Hubbell, (1989), Temporal variations in bedload

transport rates associated with the migration of bedforms, Earth Surface Processes and Landforms, 14, 135-156.

Graf, W. H. 1971. Hydraulics of sediment transport, New York. Graf, W. H., et M. Altinakar. 2000. Hydraulique Fluviale, Lausanne. Graf, W. H., et L. Suszka, (1987), Sediment transport in steep channels, Journal of

Hydrosciences and Hydraulic Engineering, 5, 1, 11-26. Griffiths, G., (1981), Flow resistance in coarse gravel bed rivers, Journal of the Hydraulics

Division, 107, 7, 899-918. Griffiths, G., (1989), Conversion of nraided gravel-bed rivers to single-thread channels of

equivalent transport capacity, Journal of Hydrology (new zealand), 28, 1, 63-75.

Bibliographie


Griffiths, G., (1993), Sediment translation waves in braided gravel-bed rivers, Journal of Hydraulic Engineering, 119, 8, 924-937.

Griffiths, G. A., (1979), Recent sedimentation history of the Waimakariri River, New Zeland, Journal of Hydrology (new zealand), 18, 6-28.

Habersack, H., H. P. Nachtnebel, et J. B. Laronne, (2001), The continuous measurement of bedload discharge in a large alpine gravel bed river, Journal of Hydraulic Research, 39, 2, 2001.

Hammond, F. D., A. D. Heathershaw, et D. N. Langhorne, (1984), A comparison between Shield's threshold criterion and the Henderson movement of loosely packed gravel in a tidal channel, Sedimentology, 31, 51-62.

Hanes, D. M. 1986. On the use of grain-flow dynamics to model intense bed load sediment transport. Pages 346-352 in Advancements in aerodynamics, fluid mechanics and hydraulics. ASCE.

Hanes, D. M., et A. J. Bowen, (1985), A granular-fluid model for steady intense bed load transport, Journal of Geophysical research, 90, C5,

Hayashi, T., (1970), Formation of dunes and antidunes in open channels, Journal of the Hydraulics Division, HY2, 357-366.

Hey, R. D., (1979), Flow resistance in gravel bed rivers, Journal of the Hydraulics Division, 105, 4, 365-379.

Hoey, T. B., (1992), Temporal variations in bedload transport rates and sediment storage in gravel-bed rivers, Progress in physical geography, 16, 3, 319-338.

Hoey, T. B., et A. J. Sutherland, (1991), Channel morphology and bedload pulses in braided rivers: a laboratory study, Earth Surface Processes and Landforms, 16, 447-462.

HoPang-Yung, (1939), Abhangigkeit der Geschiebebewegung von der Kornform und der Temperature, Preuss. Versuchsanst. fur Wasserbau und Schifibau, Berlin, 37, 43 pp.

Hubbell, D. W. 1987. Bedload sampling and analysis. in C. R. Thorne, Bathurst, J.C.,Hey, R.D., editor. Sediment transport in Gravel-Beds rivers. John Wiler and Sons Ltd, Chichester. pp 89-106

Hunziker, R. P., et M. Jaeggi, (2002), Grain sorting processes, Journal of Hydraulic Engineering, 128, 12, 1060-1068.

Ikeda, H., (1982), Incipient motion of sand particles on side slopes, Journal of the Hydraulics Division, 108, HY1, 95-114.

Ikeda, H., et F. Iseya. 1988. Experimental study of heterogeneous sediment transport. University of Tsukuba.

Ikeda, S. 1983. Flow and bed topography in channels with alternate bars. Pages 733-746 in River Meandering. ASCE.

Ikeda, S., (1984), Prediction of alternate bar wavelength abd height, Journal of Hydraulic Engineering, 110, 4, 371-386.

Iseya, F., et H. Ikeda, (1987), Pulsations in bedload transport rates induced by a longitudinal sediment sorting: a flume study using sand and gravel mixture, Geografiska Annaler, 69A, 1, 15-27.

Jackson, R. G., (1975), Hierarchical attributes and a unifying model of bedforms composed of cohesionless material and produced by shearing flow, Geological Society of America Bulletin, 86, 1523-1533.

Jackson, W. L., et R. L. Beschta, (1982), A model of two-phase bedload transport in an Oregon coast range stream, Earth Surface Processes and Landforms, 7, 517-527.

Jackson, W. L., et R. L. Beschta, (1984), Influences of increased sand delivery on the morphology of sand and gravel channels, Water Ressour. Bull., 20, 4, 527-533.

Jaeggi, M. 1983. Alternierende Kiesbänke, Mitteilung der Versuchsanstalt für Wasserbau, Hydrologie und Glaziologie, N°62. ETH, Zurich.

Bibliographie _


Jarrett, R. D., (1990), Hydrologic and Hydraulic Research in Mountain Rivers, Water Resour. Bull., 26, 419-429.

Jenkins, et D. M. Hanes, (1998), Collisional sheet flows of sediments driven by a turbulent fluid, Fluid mechanics, 370, 29-52.

Johnson, J. W., (1942), The importance of side-wall friction in bed-load investigations, Civil Eng., 12, 6, 329-331.

Julien, P. Y. 1995. Erosion and sedimentation. Cambridge University Press. Julien, P. Y. 2002. River Mechanics. Cambridge University Press. Julien, P. Y., et Y. Raslan, (1998), Upper-regime plane bed, Journal of Hydraulic

Engineering, 124, 11, 1086-1096. Kang, S. 1982. Sediment transport in small glacial stream: Hilda Creek, Alberta. Univ of Ill at

Chicago, Chicago. Karim, F., et J. F. Kennedy, (1990), Menu of couple velocity and sediment discharge

relations for rivers, Journal of Hydraulic Engineering, 116, 8, Katul, G., P. Wiberg, J. Albertson, et G. Hornberger, (2002), A mixing layer theory for flow

resistance in shallow streams, Water Resources Research, 38, 11, 32-40. Kennedy, J. F. 1960. Stationary Waves and antidunes in alluvial channels. Califonia Institute

of Technology, Pasadena, California. Keulegan, G. B., (1938), Laws of turbulent flow in open channels, Journal of research,

National Bureau of Standards, 21, Kleinhans, M. G. 2002. Sorting out sand and gravel: sediment transport and deposition in

sand-gravel bed rivers. Netherlands geographical studies 293, Faculty of geographical science , Utrecht University, Utrecht.

Knighton, A., (1989), River adjustment to changes in sediment load: the effects of tin mining on Ringaroona river, Tasmania, 1875-1984, Earth Surface Processes and Landforms, 14, 333-359.

Komar, P. D., (1987), Selective entrainment by a current from a bed of mixed sizes: a reanalysis, Journal of Sedimentary Petrology, 57, 6, 203-211.

Kuhnle, R. A., (1989), Bed-surface size changes in gravel-bed channel, Journal of Hydraulic Engineering, 115, 6, 731-743.

Kuhnle, R. A. 1992. Fractional transport rates of bedload on Goodwin Creek. in R. D. H. P.Billi, CR Thorne & P. Tacconi, editor. Dynamics of gravel bed rivers. John Wiley & Sons

Kuhnle, R. A. 1996. Unsteady transport of sand and gravel mixtures. in P. C. a. M. Dawson, editor. Advances in fluvial dynamics and Stratigraphy (Chap 5). John Wiley & Sons Ltd. pp 183-201

Kuhnle, R. A., et J. B. Southard, (1988), Bed load transport fluctuations in a gravel bed laboratory channel, Water Resources Research, 24(2), 247-260.

Kuhnle, R. A., J. C. Willis, et A. J. Bowie. 1989. Variations in the transport of bedload sediment in a gravel-bed stream, Goodwin Creek, Mississippi, USA. Pages 539-546 in 4th International symposium on river sedimentation.

Lane, E. W., (1955), The importance of fluvial morphology in hydraulic engineering, Procedings of ASCE, 81, 1-17.

Lanzoni, S., (2000), Experiments on bar formation in a straight flume 2. Graded sediment, Water Resources Research, 36, 11, 3351.

Laronne, J. B., et M. A. Carson, (1976), Interrelationships between bed morphology and bed-material transport for a small, gravel-bed channel, Sedimentology, 23, 67-85.

Lekach, J., et A. Schick, (1983), Evidence for transport of bedload in waves: analysis of fluvial sediment samples in a small upland stream channel, Catena (Elsevier), 10, 267-279.

Bibliographie


Leopold, L. B., M. G. Wolman, et J. P. Miller. 1964. Fluvial Processes in Geomorphology, San Francisco.

Liebault, F., et H. Piegay, (2001), Assesment of channel changes due to long term bedload supply decrease, Roubion river, France, Geomorphology, 36, 167-186.

Limeneros, J. T. 1970. Determination of the Manning coefficient from measured bed roughness in natural channels. 1898B, USGS.

Lisle, T. E., (1995), Particle size variations between bed load and bed material in natural gravel bed channels, Water Resources Research, 31, 4, 1107-1118.

Lisle, T. E., H. Ikeda, et F. Iseya, (1991), Formation of a stationary alternate bars in a steep channel with mixed-size sediment : a flume experiment, Earth Surface Processes and Landforms, 16, 463-469.

Lisle, T. E., F. Iseya, et H. Ikeda, (1993), Response of a channel with alternate bars to a decrease in supply of mixed-size bed load: A flume experiment, Water Resources Research, 29, 11, 3623-3630.

Luque, R. F., et R. Van Beek, (1976), Erosion and transport of bed-load sediment, Journal of Hydraulic Research, 14, 2, 127-144.

Madej, M. A., et V. Ozaki, (1996), Channel response to sediment wave propagation and movement, Redwood Creek, california, USA, Earth Surface Processes and Landforms, 21, 911-927.

Mahdavi, A., et M. Omid. 2004. The effect of bed roughness on velocity profile in open channels. Pages 295-300 in River Flow, Napple.

Malavoi, J. R. 2004. Le transport solide par charriage : état des connaissances (notes personnelles). Malavoi Ingénieur Conseil, Parcieux.

Mavis, F. T., T. Liu, et E. Soucek. 1937. The Transportation of Detritus by Flowing Water-- II.

Meade, R. H., (1985), Wavelike movement of bedload sediment, East Fork River, Wyoming, Environmental Geology and water Science, 7, 215-225.

Meunier, M., (1989), Essai de synthèse des connaissances en érosion et hydraulique torrentielle, Houille Blanche, 5,

Meyer-Peter, E., et R. Muller. 1948. Formulas for Bed-Load Transport. Pages 39-64 in IAHSR, Stockholm.

Mizuyama, T. 1977. Bedload transport in steep channels. Dissertation Kyoto University, Kyoto.

Mueller, E. R., J. Pitlick, et J. M. Nelson, (2005), Variation in the reference Shields stress for bed load transport in gravel-bed streams and rivers, Water Resources Research, 41, W04006 (04001-04010).

Mühlofer, (1933), Investigations into suspended load and bedload of the river Inn, near Kirchbichl, Tirol, Die Wasserwirtschaft, 1-6.

Nicholas, A. P., (2000), Modelling bedload yield in braided gravel bed rivers, Geomorphology, 36, 89-106.

Nicholas, A. P., P. J. Ashworth, M. J. Kirkby, M. G. Macklin, et T. Murray, (1995), Sediment slugs: large-scale fluctuations in fluvial sediment transport rates and storage volumes, Progress in physical geography, 19, 4, 500-519.

Nikora, V. I., et D. Goring, (2000), Flow Turbulence over Fixed and Weakly Mobile Gravel Beds, Journal of Hydraulic Engineering, 126, 9, 679-690.

Nikora, V. I., et G. M. Smart, (1997), Turbulence characteristics of the New Zealand gravel-bed rivers, Journal of Hydraulic Engineering, 123, 9, 764-773.

Nikuradse, J., (1933), Strömungsgesetze in rauhen Rohren, Forsch. Arb. Ing. - Wes, 36, Nino, Y., et M. H. Garcia, (1994), Gravel saltation, 2, Modeling, Water Resources Research,

30, 6, 1915-1924.

Bibliographie _


Nino, Y., M. H. Garcia, et L. Ayala, (1994), Gravel saltation, 1, Experiments, Water Resources Research, 30, 6, 1907-1914.

Nnadi, F. N., et K. C. Wilson, (1992), Motion of contact load particles at high shear stress, Journal of the Hydraulics Division, 32, 4, 517-532.

Nnadi, F. N., et K. C. Wilson, (1995), Bed-load motion at high shear stress: dune washout and plane-bed flow, Journal of Hydraulic Engineering, 121, 3, 267-273.

Nowell, A. R., et M. Church, (1979), Turbulent flow in a depth-limited boundary layer, Journal of Geophysical research, 84, C8, 4816-4824.

Omid, M., A. Mahdavi, et R. Narayanan. 2003. Effects of bedload transport on flow resistance in rigid boundary channels. Pages 641-646 in IAHR, editor. IAHR, Tessalonic.

Owen, P. R., (1964), Saltation of uniform grains in air, Journal of Fluids mechanism, 20, 2, 225-242.

Paige, A. D., et E. J. Hickin, (2000), Annual bed-elevation regime in the alluvial channel of Squamish River, Southern British Columbia, Canada, Earth Surface Processes and Landforms, 25, 991-1009.

Paintal, A. S., (1971), Concept of Critical Shear Stress in Loose Boundary Open Channels, Journal of Hydraulic Research, 1, 90-113.

Paola, C., et R. Seal, (1995), Grain size patchiness as a cause of selective deposition and downstream fining, Water Resources Research, 31, 5, 1395-1408.

Parker, G., (1978), Self-formed straight rivers with equilibrium bank and mobile bed. Part 2 : the gravel river, Journal of Fluids mechanism, 89, 1, 127-146.

Parker, G., (1979), Hydraulic geometry of active gravel rivers, Journal of Hydraulic Engineering, 105, 9, 1185-1201.

Parker, G. 1991. Some random notes on grain sorting. Pages 19-76 in Grain sorting seminar, Switzerland.

Parker, G. 2004. Transport of gravel and sediment mixtures (Draft Version). in ASCE, editor. ASCE Manual 54 "Sedimentation Engineering"

Parker, G., et P. C. Klingeman, (1982), On why gravel bed streams are paved, Water Resources Research, 18, 5, 1409-1423.

Parker, G., et W. Peterson, (1980), Bar resistance of gravel-bed streams, Journal of the Hydraulics Division, 106, HY10, 1559-1575.

Parker, G., G. Seminara, et L. Solari, (2003), Bed load at low Shields stress on arbitrarily sloping beds: Alternative entrainment formulation, Water Resources Research, 39, 7, 1183.

Peakall, J., P. J. Ashworth, et J. Best. 1996. Physical modelling in fluvial geomorphology: Principles, applications and unresolves issues, Chap9. Pages 221-253 in B. a. T. Rhoads, CE, editor. The scientific nature of geomorphology: proceedings of the 27th Binghamton Symposium in Geomorphology held. John Wiley & Sons Ltd, Binghamton.

Petit, F., (1989), Evaluation des critères de mise en mouvement et de transport de la charge de fond en milieu naturel, Bulletin de la Société Géographique de Liège, 25, 91-111.

Pitlick, J., (1992), Flow resistance under conditions of intense gravel transport, Water Resources Research, 28, 3, 891-903.

Raudkivi, A. J., et R. Ettema, (1982), Stability of armour layers in rivers, Journal of the Hydraulics Division, 108, HY9, 1047-1057.

Recking, A. 2004. Une introduction au traitement du signal: transformée de Fourier, Echantillonnage, Approche numérique. Pages 82p in Interne Cemagref, Lyon.

Recking, A., V. Boucinha, et P. Frey. 2004. Experimental study of bed-load grain size sorting near incipient motion on steep slopes. Pages 253-258 in River Flow. AIRH, Napple.

Bibliographie


Reid, I., L. E. Frostick, et A. C. Brayshaw, (1985), The incidence and nature of bedload transport during flood flows in coarse-grained alluvial channels, Earth Surface Processes and Landforms, 10, 33-44.

Rickenmann, D. 1990. Bedload transport capacity of slurry flows at steep slopes. Versuchsanstalt für Wasserbau, Hydrologie und Glaziologie der Eidgenössischen, Zurich.

Rickenmann, D., (1991), Hyperconcentrated flow and sediment transport at steep slopes, Journal of Hydraulic Engineering, 117, 11, 1419-1439.

Rickenmann, D. 1994. An alternative equation for the mean velocity in gravel-bed rivers and mountain torrents. Pages 672-676 in ASCE, editor. Hydraulic Engineering, Buffalo.

Rickenmann, D., (2001), Comparison of bed load transport in torrents and gravel bed streams, Water Resources Research, 37, 12, 3295.

Rinaldi, M., (2003), Recent cahnnel adjustments in alluvial rivers of Tuscany, Central Italy, Earth Surface Processes and Landforms, 28, 587-608.

Robert, A., (1991), Boundary roughness in coarse-grained channels, Progress in physical geography, 14, 42-70.

Sambrook Smith, G. H., et R. I. Ferguson, (1996), The gravel-sand transition: flume study of channel response to reduced slope, Geomorphology, 16, 147-159.

Schoklitsch, A. 1962. Handbuch des Wasserbaus (in German), Wien. Schumm, S. A., M. P. Mosley, et W. E. Weaver. 1987. Alluvial river channels. in Wiley-

Science, editor. Experimental fluvial geomorphology Seal, R., C. Paola, G. Parker, J. B. Southard, et P. R. Wilcock, (1997), Experiments on

downstream fining of gravel : I. Narrow-channel runs, Journal of Hydraulic Engineering, 874-884.

Seminara, G., M. Colombini, et G. Parker, (1996), Nearly pure sorting waves and formation of bedload sheet, Journal of Fluids mechanism, 312, 253-278.

Seminara, G., L. Solari, et G. Parker, (2002), Bedload at low shield stress on arbitrarily sloping bed Part1 : Failure of the Bagnold hypothesis, Water Resources Research, 38, 11, 31.31-31.16.

Shen, H. W. 1971. Total sediment load. in River Mechanics. Shen Ed, chapter 13, For Collins, Colorado

Shields, A. 1936a. Anwendung der Aehnlichkeitsmechanik und der turbulenzforschung auf die geschiebebewegung. Technischen Hochschule, Berlin.

Shields, A. 1936b. Application of similarity principles and turbulence research to bed load movement. US Dept of Agr. , Soil Conservation Service Cooperative Laboratory, California Institute of Technology, Passsadena, Calif.

Shvidchenko, A., et G. Pender, (2000), Flume study of the effect of relative depth on the incipient motion of coarse uniform sediments, Water Resources Research, 36, 2, 619-628.

Simons, D. B., et E. V. Richardson. 1966. Resistance to flow in alluvial channels. Geological Survey Professional Paper 462-I, Washington.

Smart, G., (1999), Turbulent velocity profiles and boundary shear in gravel bed rivers, Journal of Hydraulic Engineering, 125, 2, 106-116.

Smart, G., et M. Jaeggi. 1983. Sediment transport on steep slopes. Nr.64, Mitteilungen der Versuchsanstalt für Wasserbau, Hydrologie und Glaziologie, Zurich.

Smart, G. M., (1983), Sediment transport formula for steep channels, Journal of Hydraulic Engineering, 110, 3, 267-276.

Smart, G. M. 2004. An improve flow resistance formula. Pages 259-263 in Riverflow2004, Naples.

Bibliographie _


Smart, G. M., M. J. Duncan, et J. M. Walsh, (2002), Relatively rough flow resistance equations, Journal of Hydraulic Engineering, 128, 6, 568-578.

Solari, L., et G. Parker, (2000), The curious case of mobility reversal in sediment mixtures, Journal of Hydraulic Engineering, 185-197.

Song, T., Y. M. Chiew, et C. O. Chin, (1998), Effects of bed-load movement on flow friction factor, Journal of Hydraulic Engineering, 124, 2, 165-175.

Song, T., W. H. Graf, et U. Lemmin, (1995), Uniform flow in open channels with movable gravel bed, Journal of Hydraulic Research, 32, 6, 861-875.

Strickler, K., (1923), Beïtrage zur Frage der Geschwindigkeitsformel und der Rauhigkeitszahlen für Strom Kanäle und geschlossene Leitungen, Eidgenössische Amtes für Wasser wirtschaft, Bern, Switzerland, 16,

Strom, K., A. Papanicolaou, N. Evangelopoulos, et M. Odeh, (2004), Microforms in Gravel Bed Rivers: Formation, Disintegration, and Effects on Bed Load Transport, Journal of Hydraulic Engineering, 130, 6, 554-567.

Sumer, B. M., A. Kozakiewicz, J. Fredsoe, et R. Deigaard, (1996), Velocity and Concentration Profiles in Sheet-Flow Layer of Movable Bed, Journal of Hydraulic Engineering, 122, 10, 549-558.

Suszka, L., (1991), Modification of transport rate formula for steep channels, Earth Sciences (Lecture Notes), 37, 59-70.

Suzuki, K., H. Yamamoto, et A. Kadota. 1998. Mechanism of bedload fluctuations of sand-gravel mixture in a steep slope channel. Pages 10 in E. U. Department of Civil and Environmental engineering, Matsuyama, Japan, editor.

Tacconi, P., et P. Billi. 1987. Bedload transport masurements by the vortex-tube trap on Virginio Creek, Italy. in C. R. Thorne, Bathurst, J.C.,Hey, R.D., editor. Sediment transport in gravel bed rivers. John Wiley & Sons Ltd, Chichester. pp 583-606

Toro-Escobar, C., C. Paola, G. Parker, P. R. Wilcock, et J. B. Southard, (1997), Experiments on downstream fining of gravel : II. Wide and sandy runs, Journal of Hydraulic Engineering, 126, 3, 198-208.

Van den Berg, J. H., (1995), Prediction of alluvial channel pattern of perennial rivers, Geomorphology, 12, 259-279.

Van Rijn, L. C., (1982), Equivalent roughness of alluvial bed, Journal of the Hydraulics Division, 108, HY10, 1215-1218.

Van Rijn, L. C., (1984a), Sediment transport, Part I: Bedload transport, Journal of Hydraulic Engineering, 110, 10, 14311457.

Van Rijn, L. C., (1984b), Sediment transport, Part III : Bed Forms and alluvial roughness, Journal of Hydraulic Engineering, 110, 12, 1733-1755.

Vanoni, V. A., et N. H. Brooks. 1957. Laboratory studies of the roughness and suspended load of alluvial streams. Sedimentation Laboratory, California Institute of Technology, Pasadenna, California.

Whiting, P., W. E. Dietrich, L. B. Leopold, et L. Collins. 1985. The variability of sediment transport in a fine-gravel stream (abstract). Pages 38 in 3rd International Fluvial Sedimentology Conference.

Whiting, P., W. E. Dietrich, L. B. Leopold, T. G. Drake, et R. L. Sherve, (1988), Bedload sheets in heterogenous sediments, Geology, 16, 105-109.

Whiting, P., J., et W. E. Dietrich, (1990), Boundary Shear Stress and Roughness over Mobile Alluvial Beds, Journal of Hydraulic Engineering, 116, 12, 1495-1511.

Whittaker, J. G., et M. Jaeggi, (1982), Origin of step-pool systems in mountain streams, Journal of the Hydraulics Division, 108, HY6, 758-773.

Wiberg, P., et D. M. Rubin, (1989), Bed Roughness Produced by Saltating Sediment, Journal of Geophysical research, 94, C4, 5011-5016.

Bibliographie


Wiberg, P., et J. D. Smith, (1987), Calculation of the critical Shear stress for motion of uniform and heterogeneous sediments, Water Resources Research, 23, 8, 1471-1480.

Wilcock, P. R., (1993), Critical shear stress of natural sediments, Journal of Hydraulic Engineering, 119, 4, 491-505.

Wilcock, P. R., S. T. Kenworthy, et J. C. Crowe, (2001), Experimental study of the transport of mixed sand and gravel, Water Resources Research, 37, 12, 3349.

Wilcock, P. R., et B. W. McArdell, (1993), Surface-based fractional transport rates: Mobilization thresholds and partial transport of a sand-gravel sediment, Water Resources Research, 29, 4, 1297-1312.

Wilcock, P. R., et J. B. Southard, (1988), Experimental study of incipient motion in mixed-size sediment, Water Resources Research, 24, 7, 1137-1151.

Williams, G. P. 1970. Flume Width and Water Depth Effects in Sediment Transport Experiments. US Geological Survey.

Wilson, K. C., (1966), Bed load transport at high shear stress, Journal of the Hydraulics Division, ASCE, 92, HY6,

Wilson, K. C., (1987), Analysis of bedload motion at high shear stress, Journal of Hydraulic Engineering, 113, 1, 49-59.

Wilson, K. C., (1989), Mobile-Bed Friction at High Shear Sress, Journal of Hydraulic Engineering, 115, 6, 825-830.

Wong, M., et G. Parker, (2006), Re-analysis and correction of bed load relation of Meyer-Peter and Muller using their own database, Journal of Hydraulic Engineering, Submited, 132, 1159-1168.

Wu, W., et S.-Y. Wang, (1999), Movable bed roughness in alluvial rivers, Journal of Hydraulic Engineering, 125, 12, 1309-1312.

Yalin, M. S. 1977. Mechanics of sediment transport, New York. Yalin, M. S. 1992. River Mechanics. Pergamon Press, Inc. Tarrytown, N.Y. Yang, C. T., (1979), Unit stream power equations for total load, Journal of Hydrology, 40,

123-138. Yang, C. T., et S. Wan, (1991), Comparisons of selected bed-material load formulas, Journal

of Hydraulic Engineering, 117, 8, 973-989. Yen, B. C., (2002), Open channel flow resistance, Journal of Hydraulic Engineering, 128, 1,

20-38.

Bibliographie _


Annexes


ANNEXES

Annexes _


Les formules utilisées


ANNEXE 1 : Les différentes formules utilisées dans la thèse Les formules sont présentées pour le régime uniforme, c’est à dire avec la pente d’énergie S égale à la pente géométrique S0. Les grandeurs adimensionnelles suivantes sont utilisées :

Contrainte : )1(

0

−=

sDRSθ

Transport : 3)1( Dsg

qb

−=Φ

Avec ]/][[

]/[3mkgm

skgWQ

qs

ssv ==

ρ = transport solide volumique par unité de largeur

Formule de Suszka (1991) pour le début de transport :

266.0)/(0851.0 −= DHcθ (83)

Combiné avec l’expression du paramètre de Shields, )1(

0

−=

sDRS

cθ et en prenant R=H on

obtient la relation suivante:

21.00

1143.0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

sS

cθ (84)

Formules de Graf et Suszka (1987) Début de mouvement :

02.210*042.0 Sc =θ (85)

Charriage

5.25.1 045.014.10 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=Φ

θθ si θ < 0.068

(86)

5.24.10 θ=Φ si θ > 0.068 (87)

Annexes _


Loi de frottement de Keulegan (1938):

)log(75.568DR

f+=

(88)

Loi de frottement de Cao (1985):

)log(91.575.38DR

f+=

(89)

Formules de Manning et de Meyer-Peter Muller (1947): L’équation de Manning-Strickler s’écrit:

2/10

3/2 SRKU s= (90) Lorsqu’elle est utilisée avec la définition généralement proposée pour Ks (Graff and Altinakar, 2000) :

6/1

1.21D

K s = (91)

On obtient:

6/1

74.6*

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

DR

uU

(92)

La formule de Meyer-Peter et Muller s’écrit:

2/3)047.0(8 −=Φ ξθ (93) ξ est un paramètre de rugosité définit par :

( ) 2/3/' KK=ξ (94)

Où K’ est la rugosité due aux grains seuls et K la rugosité totale, c’est à dire la rugosité des grains plus toutes les formes additionnels de rugosité (formes du lit ect…).



Formules de Engelund et Hansen (1966) :

)log(751.527.48

65dR

f+= (Yen, 2002)

(95)

2/51.0 θ=Φf (96)

Note importante : ils définissent f par fu

U 2*

=

Formule de Engelund et Fredsoe (1976)

)7.0)((74.18 cc θθθθ −−=Φ (97)

Avec θc =0.05 Formules de Brown (1950)

θ/391.015.2 −=Φ e si θ < 0.18 (98)

340θ=Φ si 0.18 < θ < 0.52 (99)

Julien (1995) a complété ces formulations, en proposant, à partir du jeu de données de Wilson (1966) en conduites sous pression :

5.115θ=Φ si θ > 0.52 (100)

Formules de Julien (2002)

3

22/3

)1(

18

Dsg

Dg

−=Φ

θ pour 0.1 < θ < 1

(101)

DR

f2log75.58 =

(102)

Annexes _


Formule de Parker (1979) Obtenue à partir d’un ajustement de la loi de Einstein (1950)

5.45.1 12.11 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=Φ

θθθ c

(103)

Avec θ c = 0.03 Formules de Smart et Jaeggi (1983) :

[ ] )2.8ln()/05.0exp(15.2890

5.05.0090 ZSZ

f−−= avec Z90=R/d90

(104)

( )ccSdd θθθ −=Φ 5.06.0

02.0

3090 )/(4 avec c=U/u* (105) Avec

)tan

1)((cos(05,0)( 000 ϕ

θ SSarctgSc −=

(106)

ϕ =35° soit 35*2π/360= 0.61 rd Formule de Schoklitsch (1962): Débit critique de début de mouvement (en m3/s/m)

6/70

2/340

3/5

126,0SD

q sc ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ρρ

(107)

Charriage :

)(5.2 2/30 csv qqS

sq −=

(108)

Formule de Ashmore (1988) pour les rivières en tresses :

37..1)045.0(11.3 −=Φ θ (109)



Formule de Bathurst et al.(1987): Débit critique de début de mouvement (en m3/s/m)

12.103

* 15.0 −== SgD

qq c

c (110)

Lorsque cette formule est couplée avec la loi de frottement établie pour le régime2 et pour les pentes supérieures à 1%

)log(18.77.380S

f−−=

(111)

on peut en déduire une expression en θc=f(S0) :

( )

3/2

02/3

12,00

))log(18.77.3(115,0

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−=

−

SsS

cθ (112)

Ce modèle donne des résultats identiques à ceux de Suzka jusqu’à la pente 8% (au delà les valeurs de θc calculées sont plus fortes). Formules de Rickenmann (1990, 2001) : Débit critique de début de mouvement (variante de la formule de Bathurst) :

12.10

2/35.067.1)1(065.0 −−= SDgsqc (113) Débit solide volumique (expression en q): Rickenmann (1991), pour les fortes pentes:

20

2.0

30

906.1 )(

)1(6.12 Sqq

dd

sq csv −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= (114)

Rickenmann (2001) :

5.10)(5.1 Sqqq csv −= (115)

Débit solide adimensionnel (forme en θ à utiliser avec la loi de frottement de Jaeggi, 1983) :

1.15.02.0

30

905.0 )(

)1(1.3 Fr

dd

s cθθθ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=Φ (116)

Où Fr est le nombre de Froude.

Annexes _


Formule d’Abrahams et Gao (2006) :

*1

4.35.1

uUc ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=Φ

θθθ

(117)

Les auteurs proposent une correction des fortes pentes pour tenir compte d’un terme de gravité en divisant la pente β=atan(So) (rd) par le coefficient (sinφr-sinβ)/sinφr, avec l’angle de frottement interne égale à φr=32°=32π/180=0.558 rd Formule de Lefort-Sogreah (1991) Formule simplifiée permettant un calcul de Qs total à partir du débit total Q en considérant un ratio constant W/H=18 (ce qui constitue une façon originale de régler le problème de la largeur active)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

375.05.10

2.0

30

90 11

45.4)1(QQ

sS

dd

nQ

Q csv (118)

avec n = porosité du sédiment et

( ) ( ) 3/806/13

0

3/85 2.1110776.0 S

SsdDQcr −−=

(119)

Résultats expérimentaux de Shvidchenko et Pendder (2000) :

La figure donne les nombres de Shields critique θc en fonction du nombre de Reynolds particulaire Re*, pour différentes profondeurs relatives R/D.

Mesure du débit solide par l’analyse d’images


ANNEXE 2 : Méthode de mesure du débit solide par traitement d’images

Le dispositif permet de mesurer la distribution granulométrique et le débit solide d’un mélange de particules naturelles (sables et graviers) en sortie de canal expérimental. Instrumentation et procédure d’acquisition En sortie du canal, l’eau et le sédiment s’écoulent sur une rampe transparente, inclinable, fixée sur un châssis imperméable contenant un éclairage haute fréquence (pour une stabilité maximum). La caméra est disposée au-dessus de la rampe ce qui permet une acquisition de type ombroscopie. La rampe peut être inclinée indépendamment du canal de façon à obtenir un écoulement liquide le moins épais possible avec une bonne dispersion des particules. Il est en effet important que toutes les particules soient dans un même plan. Pour faciliter le traitement ultérieur on cherche également à minimiser le nombre de particules jointives, nombre d’autant plus faible que la rampe est inclinée.

Acquisition et traitement d’image pour la granulométrie et la mesure du débit solide

La prise d’images est assurée grâce à une caméra monocrome analogique PULNIX TM6705, avec une résolution de 640*480 et une fréquence d’acquisition de 60 images par seconde (maximum). Le logiciel d’acquisition a été développé par l’équipe TSI de l’université de St.Etienne et donne la possibilité de choisir, en entrée :

- le shutter : temps d’exposition pour l’acquisition de chaque image ; - la fréquence d’acquisition : nombre d’images par seconde ; - le nombre d'images par séquence : nombre des images prises en groupe ; - la fréquence d’acquisition par séquence : temps total nécessaire pour l’acquisition et

l’enregistrement des images d’une séquence sur la mémoire fixe de l’ordinateur.

Post-traitement WIMA

Segmentation Données Vitesses

géométriques

GDS

Courbe granulométrique Débit solide

Acquisition Météor II-MC

Camera analogique PULNIX 6705

Eclairage haute Fréquence par ombroscopie

Annexes _


Elaboration des images et calculs: le logiciel WIMA Le logiciel WIMA (Ducottet, 1994) présente un large panel d’outils, permettant la mise en oeuvre d’à peu près toutes les techniques récentes d’analyse d’images. Ces techniques peuvent être utilisées en macro-commandes, et il appartient à l’utilisateur de choisir la chaîne de traitement la mieux adaptée aux spécificités du problème à traiter. Généralités Les principales originalités du logiciel WIMA sont :

- des calculs réalisés directement en flottant ; - la gestion simultanée d'images et de courbes ; - la gestion de séquences d'images et de listes de fenêtres de calcul ; - un langage de macro-commandes.

Ces 4 caractéristiques autorisent l'utilisateur du logiciel à réaliser des calculs en simple ou double précision sur des signaux bidimensionnel (image) ou unidimensionnel (courbe), à définir un traitement identique sur plusieurs zones de calcul d'une même image (liste de fenêtres) et/ou sur plusieurs images (séquence d'images), à définir une suite de traitements à exécuter sur une image ou une séquence d'images (macro-commande). Ainsi, il est possible de procéder automatiquement à une suite de traitement sur plusieurs images. Méthodologie de segmentation Pour accéder à la granulométrie des particules, il a fallu choisir une technique de segmentation capable de séparer les particules du fond et les particules entre elles. La difficulté de cette opération est liée au traitement des zones de contact entre particules et aux variations basses fréquences du fond.

Exemple d’image brute et résultat L'algorithme de segmentation retenu est donc décomposé en deux étapes : séparation des particules du fond et séparation les particules collées. La première étape utilise un gradient de type Sobel, puis une détection des lignes de crêtes du gradient à base d'amincissements en niveaux de gris. L'étape de séparation des particules est basée sur le calcul d'une carte des niveaux d'érosion des particules, puis sur une reconstruction des particules à partir d'épaississements conditionnels successifs. L'algorithme de séparation a été amélioré en



contrôlant la concavité des particules : on ne sépare que les particules présentant une forte concavité. Une fois la segmentation effectuée, chaque particule détectée est mesurée automatiquement suivant ses deux directions principales d'inertie qui correspondent à son mesodiamètre et à sa longueur. Calcul du débit et de la granulométrie Hypothèses de forme de particules Pour calculer le débit solide et la granulométrie d’un écoulement biphasique il faut évaluer le volume de chaque particule. Avec l’acquisition d’images on ne voit chaque particule qu’en projection et donc en deux dimensions. L’enjeu est de procéder à une reconstruction en trois dimensions, statistiquement en accord avec la réalité. Le modèle ellipsoidique selon le diamètre minimum (d) et maximum (D) Les principales hypothèses utilisées sont :

- un écoulement des particules dans leur plan stable: c’est à dire que la particule est vue dans son plan d’énergie minimale ;

- une forme des particules convexe ; - le choix d’un modèle de forme de type ellipsoïde.

Calcul de volume et débit solide Pour accéder aux trois dimensions des particules, on utilise le logiciel WIMA qui permet de calculer l’aire, le mesodiametre d (diamètre minimum) et le diamètre maximum D à partir des images bidimensionnelles. Il faut ensuite faire une hypothèse sur le degré d’aplatissement de la particule, en calant pour chaque matériau un paramètre de forme α (avec e= α.d), au moins en moyenne sur tout l’échantillon, ou suivant le mesodiametre des particules. Dans ces conditions, le volume de chaque particule est donné par :

AdDdV ..32.

62 ααπ == (120)

A partir des volumes, le débit solide (kg/s) est obtenu selon :

diametre maximum

diametre minimum

Annexes _


∑∈

=particulesi

ys h

iviVQ

)().(.ρ (121)

où vy est la vitesse de défilement des particules (en pixel/s) et h la longueur de l’image dans le sens de l’écoulement (en pixel). Des tests préliminaires ont montré que la dispersion des vitesses n’était pas très importante (moins de 20 %) et surtout qu’il n’y avait pas de corrélation entre la vitesse et la taille des particules sur la rampe inclinée. Une vitesse moyenne des particules (obtenue au cas par cas par traitement statistique de plusieurs images) est donc utilisée pour les calculs. Calcul des courbes granulometriques Pour la distribution granulométrique, on calcule simplement les débits par classe (intervalle de taille) de particules en considérant les particules dont le diamètre minimum appartient à cet intervalle. On peut ensuite corriger statistiquement la courbe pour tenir en compte du fait que les particules qui touchent le bord de l’image sont systématiquement éliminées par le traitement de Wima. Comme une grosse particule a plus de chance de toucher l’un des bords qu’une petite particule, il faut alors corriger les mesures sur chaque élément par une formule qui tient compte de la probabilité que chaque particule a de se trouver totalement incluse dans un masque défini par:

( ) ( )1 2

1 1 2 2

L LL l L l

⋅⋅ ⋅ ⋅

(122)

où L1 et L2 sont les dimensions du masque de mesures, et l1 et l2 celles du rectangle circonscrit à l’élément, parallèlement aux cotes du masque de mesures. Validation de la méthode par analyse d’image Validation des dimensions et masses des particules Dans un premier temps, 40 particules ont été mesurées individuellement dans les trois dimensions à l’aide d’un pied à coulisse et pesées. Cet échantillon a permis de valider avec succès les grandeurs obtenues par analyse d’images en particulier le diamètre intermédiaire ainsi que la procédure de calcul du volume dans le cas d’une image fixe. L’erreur moyenne est de l’ordre de 3 % sur le diamètre et de 6 % sur la masse. Dans un deuxième temps, une image toujours fixe comportant une centaine de particules de mésodiamètre compris entre 2 et 14 mm a été analysée. Le coefficient de forme a été mesuré pour les quelques particules les plus grosses. Un coefficient moyen de 0.68 a été appliqué pour les autres particules, après une mesure sur un échantillon représentatif d'une quarantaine de particules dans la même gamme de diamètre. Dans ces conditions, les résultats obtenus par analyse d’image sont en bon accord avec la masse mesurée à 5 % près.



Validation de la granulométrie Dans un deuxième temps, les diamètres compris entre 1 et 12 mm d’un échantillon de 400 particules ont été mesurés et chaque classe d’incrément 1 mm a été pesée ce qui a permis d’obtenir la courbe granulométrique mesurée. La figure suivante montre la comparaison entre les courbes granulométriques mesurées manuellement, par analyse d’image ainsi que par tamis. Dans un premier temps, nous avons considéré que les particules avaient la même forme. Le coefficient α est constant : il n’intervient donc pas dans le calcul. On peut constater que même avec un coefficient de forme constant, la comparaison entre la mesure manuelle et par analyse d’image est favorable. En revanche, comme attendu, la mesure par tamis ne peut pas être utilisée à des fins de comparaison.

Comparaison des trois méthodes de mesure de la granulométrie: mesure au pied à coulisse, analyse d’image et tamisage.

La figure suivante propose à nouveau la comparaison entre la mesure manuelle et par analyse d’image mais en tenant cette fois compte des coefficients de forme mesurés sur l’échantillon des 40 particules. Cette comparaison permet de considérer que la mesure par analyse d’image donne de bons résultats.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 2 4 6 8 10 12

mésodiamètre (mm)

Rép

artit

ion

gran

ulom

étri

que

(%)

mesuréimagestamis

Annexes _


Granulométrie comparée (pied à coulisse et images) après calage des coefficients de forme α.

Validation de la mesure du débit solide La figure suivante présente une comparaison entre la méthode de mesure par seaux et l’analyse d’images. Le solide en sortie du canal est récupéré dans des seaux toutes les 45 secondes. Le volume étant estimé avec une échelle de précision de plus ou moins 0.5 litres, l’erreur maximum d’estimation du débit solide est 10%. En utilisant la méthodologie par l’image, le débit solide en sortie est calculée avec une interpolation linéaire sur 6 valeurs toutes les 45 seconds. La comparaison des les deux techniques montre que les mesures par l’image sont comprises dans la barre d’erreur des données relatives à la mesure par échantillonnage et pesée.

100

150

200

250

300

350

400

0 60 120 180 240 300 360 420 480t(s)

Déb

it so

lide

(g/s

)

SeauImage

Comparaison entre les deux methodologie de mesure

0

10

2030

4050

6070

80

90

100

0 2 4 6 8 10 12

mésodiamètre (mm)

Rép

artit

ion

gran

ulom

étri

que

(%)

mesuré

images

Méthode de correction des effets de parois


ANNEXE 3 : Méthode de correction des effets de parois de Vanoni et Brooks

Les méthodes de correction des effets de paroi utilisent le principe d’un découpage de la surface mouillée en sous-surfaces agissant respectivement chacune sur une partie du périmètre mouillé (caractérisé par sa rugosité) et reposent sur deux hypothèses :

- chacune des sous-surface véhicule le fluide à la même vitesse moyenne U, et a une même pente de frottement S

- la limite entre deux sous surfaces est une surface à contrainte de cisaillement nulle (écoulements indépendants)

Dans la suite l’indice p faite référence aux parois et l’indice s fait référence au sédiment.

Principe de décomposition de la section On rencontre deux variantes : l’une développée par Einstein (1941) et basée sur l’équation de Manning, et la seconde présentée par Johnson (1942) basée sur la formule de Darcy-Weisbach et améliorée par Vanoni et Brooks (1957). C’est cette dernière que nous allons présenter et utiliser (Vanoni et Brooks 1957, French 1985). Dans ce qui suit l’indice w fait référence aux parois et l’indice b au fond du canal. Les quantités suivantes sont supposées connues : R, u*, ν, Pp, Ps, A, f, U (où A est la section et P le périmètre mouillé) Considérons la décomposition :

sp AAA += (123)

Ecoulement contrôlé par la parois

Ecoulement contrôlé par les sédiments

Surface à contrainte de cisaillement nulle

As Ap

Annexes _


En exprimant chaque terme à partir de la relation de Darcy-Weisbach on obtient :

gSUfP

gSUfP

gSPfU ppss

888

222

+= (124)

Ou encore :

ps

p

ss f

PP

fPPf −=

(125)

Dans notre canal rectangulaire Ps=B et Pp=2h, ce qui donne :

)(2ps ff

Bhff −+=

(126)

Connaissant fp on en déduit fs. Le calcul de fp repose sur l’utilisation de formules qui seront différentes selon le type de surface et le régime d’écoulement. En régime lisse, fp ne dépend que du nombre Reynolds de paroi défini par :

RR

RRRURU ppp

p ReRe ===νν

(127)

L’égalité des pentes de frottement S permet d’écrire :

pp gR

Uf

gRU

fS88

22

== (128)

Ce qui se transforme en :

p

p

Rf

Rf =

(129)

Ou encore en :

p

p

ffReRe =

(130)

On ne connaît ni Rep ni fp, mais par contre on peut calculer le rapport de ces deux termes car on connaît Re et f. Il suffit donc d’utiliser ce rapport dans une relation entre Rep et fp, pour en déduire itérativement fp.. Pour cela on se réfèrera aux lois d’évolution de f établies pour des écoulements lisses en conduites.

Méthode de correction des effets de parois


La loi qui correspond le plus aux Reynolds de nos écoulements est la loi de Blasius (Eq.131) valable pour 700 <Re <25000. Elle s’écrit3 :

25,0Re24,0=f

(131)

et l’on utilisera sous la forme :

2,0Re

302,0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

f

f p (132)

Pour les besoins des calculs une loi ajustée sur les données permet une approximation directe de Rs connaissant h (en fait cette formule est surtout utile pour « réintroduire » des effets de parois dans un calcul inverse). Cette correction est surtout importante aux faibles pentes.

Comparaison des ratios h/L et Rb/L à partir des données expérimentales

3

On retrouve souvent la formule de Blasius sous sa forme établie en conduite circulaire : Re316,0=f

Son utilisation en canal nécessite alors de prendre comme dimension caractéristique quatre fois le rayon hydraulique dans le calcul du nombre de Reynolds : Re=4UR/v

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

Rb/L

h/L 0.1% 0.2% 0.3%

1% 2% 3%

5% 7% 9%

10% 15% 20%

Annexes _


La formule approchée s’écrit sous forme d’une loi puissance :

bs

LR

aLh

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

(133)

Avec

125.08.0 −= oSa et 044.092.0 −= oSb

Programmes Matlab


ANNEXE 4 : Programmes Matlab pour utilisation des modèles

1) Programme HydrauModel pour construction du support pour les sorties graphiques de la loi de frottement

%XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX %Creation grapique d'un modèle (R/D,U/u*) pour plusieurs pentes %XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX fprintf('Avant de commencer il faut créer une matrice X(t) contenant les pentes souhaitées sur le modèle') fprintf('\n Creez les données dans une feuille excell, dans une colone') fprintf('\n Dans la fenetre "Command Window de Matlab" taper X=[1]') fprintf('\n Double cliquez sur X dans la fenetre"Workspace" et un tableau a 1 cellule apparait dans la fenetre "Array Editor"') fprintf('\n Faire un copier/Coller des valeurs dans la variable X') % effacer tout sauf DataModel et sauvegarder le % workspace en "Model" !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Message = input('\n continuer (o/n)?:','s'); if Message==['o'] Datamodel1=[1,8.6,45;2.5,11.375,15.52]' Datamodel2=[3.21,16.9,712;3.81,10.68,20]' Datamodel3=[1.2743,3.21;0,3.81]' Datamodel4=[45,273;15.52,20]' M=length(X(:,1))% if 1 N=2*M Datamodel5=zeros(2,N)%creation du modèle n=1 m=1 while m<=M So=X(m,1) if So>=0.01 a=0.223 b=-0.756 c=0.520 d=-0.756 elseif So<0.01 & So >=0.007 a=0.695 b=-0.509 c=0.353 d=-0.841 else a=0.135 b=-0.841 c=0.353 d=-0.841 end Linfi=a*So^b Lsupi=c*So^d if So>=0.01 f=-3.7-7.18*log10(So) else f=1-4.84*log10(So) end Datamodel5(1,n)=Linfi Datamodel5(2,n)=Lsupi Datamodel5(1,n+1)=f Datamodel5(2,n+1)=f m=m+1 n=2*m-1 end semilogx(Datamodel1(:,1),Datamodel1(:,2),'b') hold on semilogx(Datamodel2(:,1),Datamodel2(:,2),'b') hold on

Annexes _


semilogx(Datamodel3(:,1),Datamodel3(:,2),'b--') hold on semilogx(Datamodel4(:,1),Datamodel4(:,2),'b--') hold on n=1 while n<=N semilogx(Datamodel5(:,n),Datamodel5(:,n+1),'b') hold on n=n+2 end end

2) Programme HydrauModelQs pour traçage du support pour les sorties graphique de la loi de transport

%XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX %Creation grapique d'un modèle (R/D,U/u*) pour plusieurs pentes %XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX fprintf('Avant de commencer il faut créer une matrice X(t) contenant les pentes souhaitées sur le modèle') fprintf('\n Creez les données dans une feuille excell, dans une colone') fprintf('\n Dans la fenetre "Command Window de Matlab" taper X=[1]') fprintf('\n Double cliquez sur X dans la fenetre"Workspace" et un tableau a 1 cellule apparait dans la fenetre "Array Editor"') fprintf('\n Faire un copier/Coller des valeurs dans la variable X') % effacer tout sauf DataModel et LOIASSYMPT et sauvegarder le % workspace en "modelQs" !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Message = input('\n continuer (o/n)?:','s'); if Message==['o'] M=length(X(:,1))% if 1 N=2*M DatamodelQs=zeros(100,N)%creation du modèle m=1%compteur pentes n=1 %compteur paires de colonnes dans Datamodel while m<=M So=X(m,1) Tetac=0.1294*So^0.2101 %TetaLim=0.63*So^0.4 TetaLim=0.55*So^0.36 dTeta=(TetaLim-Tetac)/100 Teta=Tetac i=1%compteur lignes datamodel while Teta<=TetaLim Phi=8*(Teta-Tetac)^1.7 DatamodelQs(i,n)=Teta DatamodelQs(i,n+1)=Phi Teta=Teta+dTeta i=i+1 end loglog(DatamodelQs(:,n),DatamodelQs(:,n+1),'b') hold on m=m+1 n=2*m-1 %compteur paires de colonnes dans Datamodel end SoLim=min(X) TetaLim=0.55*SoLim^0.36 PhiLim=14*TetaLim^2.45 LOIASSYMPT=[TetaLim,2.23;PhiLim,100]' loglog(LOIASSYMPT(:,1),LOIASSYMPT(:,2)) axis([0.03,1,0.0002,10]) end

Programmes Matlab


3) Programme Hydraumatrice pour calcul des paramètres (U, R/D, U/u, Phi)

%PROGRAMME HYDRAUMATRICE.M %XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX %Calcul de (U,R/D,U/u*, Qs) pour une matrice de données (D,So,Q) et %representation graphique %XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX fprintf('Avant de commencer il faut créer une matrice X(t) contenant les données') fprintf('\n Creez les données dans une feuille excell, dans les colones:') fprintf('\n L(m), D(mm), So, Q(m3/s), Rhos (densité du matériau; facultatif car 2.65 par défaut), Rho (facultatif)') fprintf('\n Dans la fenetre "Command Window de Matlab" taper X=[1]') fprintf('\n Double cliquez sur X dans la fenetre"Workspace" et un tableau a 1 cellule apparait dans la fenetre "Array Editor"') fprintf('\n Faire un copier/Coller des 5 colones Excell dans la cellule X (4 colonnes si on ne connait pas Rhos)') Message = input('\n continuer (o/n)?:','s'); if Message==['o'] %DONNEE PAR DEFAUT Rho=1 %densité de l'eau AjoutModel=input('\n Superposer la trame générale du modèle (o/n)?','s') if AjoutModel==['o'] load model%ajout de la trame depuis le workspace model.dat load modelQs subplot(2,1,1),semilogx(Datamodel1(:,1),Datamodel1(:,2),'m') hold on subplot(2,1,1),semilogx(Datamodel2(:,1),Datamodel2(:,2),'m') hold on subplot(2,1,1),semilogx(Datamodel3(:,1),Datamodel3(:,2),'m--') hold on subplot(2,1,1),semilogx(Datamodel4(:,1),Datamodel4(:,2),'m--') hold on n=1 N=length(Datamodel5(1,:)) while n<=N subplot(2,1,1),semilogx(Datamodel5(:,n),Datamodel5(:,n+1),'m') hold on n=n+2 end hold on n=1 N=length(DatamodelQs(1,:)) while n<=N subplot(2,1,2),loglog(DatamodelQs(:,n),DatamodelQs(:,n+1),'m') hold on n=n+2 end subplot(2,1,2),loglog(LOIASSYMPT(:,1),LOIASSYMPT(:,2),'m') subplot(2,1,2),axis([0.03,1,0.0002,10]) end%Fin ajout de la trame de fond % Calcul du modèle pour la pente spécifiée (pour représentation graphique) Pente=input('Représenter une pente en particulier (donner la pente sinon valider):'); if isempty(Pente)==false if Pente<0.005 Pente=0.005

Annexes _


end TraceModelQs=[1]%Modèle Qs Tetac=0.1294*Pente^0.2101 TetaLim=0.63*Pente^0.4 dTeta=(TetaLim-Tetac)/100 Teta=Tetac ia=1 while Teta<=TetaLim Phi=8*(Teta-Tetac)^1.7 TraceModelQs(ia,1)=Teta TraceModelQs(ia,2)=Phi Teta=Teta+dTeta ia=ia+1 end TraceModelQs(ia,1)=1 TraceModelQs(ia,2)=12.7 subplot(2,1,2),loglog(TraceModelQs(:,1),TraceModelQs(:,2),'k') hold on TraceModelHyd=[1]%Modèle Frottement if Pente>=0.01 a=0.223 b=-0.756 c=0.520 d=-0.756 elseif Pente<0.01 & Pente >=0.007 a=0.695 b=-0.509 c=0.353 d=-0.841 else a=0.135 b=-0.841 c=0.353 d=-0.841 end Linfi=a*Pente^b Lsupi=c*Pente^d if Pente>=0.01 f=-3.7-7.18*log10(Pente) else f=1-4.84*log10(Pente) end if Linfi<8.6 TraceModelHyd=[1,Linfi,Lsupi,16.9,712;2.5,f,f,10.68,20]' else TraceModelHyd=[1,8.6,Linfi,Lsupi,712;2.5,11.375,f,f,20]' end subplot(2,1,1),semilogx(TraceModelHyd(:,1),TraceModelHyd(:,2),'k') hold on subplot(2,1,2),axis([0.03,1,0.0002,10]) end%Fin calcul pour pente spécifiée Parois=input('L écoulement est-il contraint entre des parois lisses (canal exp)(o/n)? (o par défaut:)','s'); P=input('Donnez la précision souhaitée (par défaut 1e-2):'); N=input('nombre maximum d itération (par défaut 1000):') Max=input('Y a t il des R/D> 100? (o/n)','s') %DEBUT CALCUL if isempty(P) P=0.01 end if isempty(N)

Programmes Matlab


N=1000 end if Max==['o'] RDM=1000 else RDM=100 end I=length(X(:,1)) ColMat=length(X(1,:)) if ColMat==4%Tableau de données à 4 colonnes: creation d'une 5e et 6e colonne pour les densités p=1 for p=1:I X(p,5)=2.65 p=p+1 end p=1 for p=1:I X(p,6)=1 p=p+1 end elseif ColMat==5%Tableau de donnees à 5 colonnes: on suppose Rhos fourni mais pas Rho p=1 for p=1:I X(p,6)=1 p=p+1 end end for i=1:I Q=X(i,4) So=X(i,3) L=X(i,1) D=X(i,2) if Parois==['n'] C1=1%approximation h=Rb C2=1 else C1=0.8*So^(-0.125)%Coef de h=f(Rb) calculés en tenant compte de la pente C2=0.92*So^(-0.044) end if X(i,5)==0|isempty(X(i,5))% valeur par défaut 2.65 X(i,5)=2.65 end if X(i,6)==0|isempty(X(i,6))% valeur par défaut 1 X(i,6)=1 end Rhos=X(i,5) Rho=X(i,6) dRho=(Rhos/Rho-1) D=D/1000 %calcul des R/Dlimites if So>=0.01 a=0.223 b=-0.756 c=0.520

Annexes _


d=-0.756 elseif So<0.01 & So>=0.007 a=0.695 b=-0.509 c=0.353 d=-0.841 else a=0.135 b=-0.841 c=0.353 d=-0.841 end Linf=a*So^b Lsup=c*So^d %XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX LOI 1 A=2.5 B=9.5 n=0 Ri=0.01*D Rs=RDM*D T=1000 while abs(T)>P & n<N R=Ri+(Rs-Ri)/2 T=(Q/(C1*L^2*(R/L)^C2*sqrt(9.81*R*So)))-(A+B*log10(R/D)) if T<0 Rs=R else Ri=R end n=n+1 end Sol=R/D if Sol<=Linf & Sol<=8.6% test de validité de la loi 1A loi=1 else %XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX LOI2 (KEULEGAN) A=6 B=5.75 n=0 Ri=0.01*D Rs=RDM*D T=1000 while abs(T)>P & n<N R=Ri+(Rs-Ri)/2 T=(Q/(C1*L^2*(R/L)^C2*sqrt(9.81*R*So)))-(A+B*log10(R/D)) if T<0 Rs=R else Ri=R end n=n+1 end Sol=R/D if Sol<=Linf & Sol>8.6% test de validité de la loi 2 loi=2 else %XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX LOI3 (TRANSITION, U/u*=f(So)) n=0 Ri=0.01*D Rs=RDM*D T=1000 while abs(T)>P & n<N R=Ri+(Rs-Ri)/2 if So>=0.01 T=(Q/(C1*L^2*(R/L)^C2*sqrt(9.81*R*So)))-(-3.7-7.18*log10(So)) else T=(Q/(C1*L^2*(R/L)^C2*sqrt(9.81*R*So)))-(1-4.84*log10(So)) end

Programmes Matlab


if T<0 Rs=R else Ri=R end n=n+1 end Sol=R/D if Sol<=Lsup % test de validité de la loi 3 loi=3 else %XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX LOI4 n=0 Ri=0.01*D Rs=RDM*D T=1000 A=-1 B=9.5 while abs(T)>P & n<N R=Ri+(Rs-Ri)/2 T=(Q/(C1*L^2*(R/L)^C2*sqrt(9.81*R*So)))-(A+B*log10(R/D)) if T<0 Rs=R else Ri=R end n=n+1 end Sol=R/D if Sol>Lsup & Sol<=17 loi=4 else %XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX LOI5 n=0 Ri=0.01*D Rs=RDM*D T=1000 A=3.6 B=5.75 while abs(T)>P & n<N R=Ri+(Rs-Ri)/2 T=(Q/(C1*L^2*(R/L)^C2*sqrt(9.81*R*So)))-(A+B*log10(R/D)) if T<0 Rs=R else Ri=R end n=n+1 end Sol=R/D if Sol>Lsup & Sol>17 loi=5 end end%loi1B end end end if loi==3 if So>=0.01 f=-3.7-7.18*log10(So) else f=1-4.84*log10(So) end else f=A+B*log10(R/D) end

Annexes _


U=f*sqrt(9.81*R*So) X(i,7)=U X(i,8)=Sol X(i,9)=f X(i,10)=loi X(i,11)=Q/U/L X(i,12)=X(i,11)/L % CALCUL DU DEBIT SOLIDE %if So<0.005% on suppose que teta constant à partir de So=0.005 % So=0.005 %end Tetac=0.1294*So^0.2101 %Suzka Teta=Sol*So/dRho %t* if Teta<0.63*So^0.4 if Teta<Tetac Phi=0 else Phi=8*(Teta-Tetac)^1.7 end else Phi=14*Teta^2.45 end Qs=Phi*L/Q*sqrt(dRho*9.81*D^3)*((dRho+1)*Rho)*1000000*Q %en (g/s) X(i,13)=Teta X(i,14)=Phi X(i,15)=Qs i=i+1 end fprintf('La matrice de sortie donne les résultats dans l ordre suivant:') fprintf('\n L, D, So, Q, Densité sediment, U, R/D, U/u*, N° de loi valide (1,2,3,4 ou 5), h, h/L,t*,Phi,QS(g/s)') subplot(2,1,1),plot(X(:,8),X(:,9),'k+') subplot(2,1,2),plot(X(:,13),X(:,14),'k+') subplot(2,1,1),xlabel('R/D'),ylabel('U/u*') subplot(2,1,2),xlabel('Theta'),ylabel('Phi') end

Transformée de Fourier


ANNEXE 5 : Traitement du signal par transformée de Fourier Les techniques d’échantillonnage et d’analyse du signal par transformée de Fourier sont présentées en détail dans Recking (2004). Un bref résumé est présenté ici, ainsi que le programme utilisé, écrit en Matlab. Présentation de la transformée de Fourier L’observation de l’évolution d’un signal peut nous renseigner sur son commencement, sa fin, la durée de ses éléments caractéristiques, ses discontinuités, ses changements de rythme ect…. En revanche, une représentation temporelle renseigne peu sur les périodicités présentes dans le signal. Joseph Fourier a affirmé dans un mémoire daté de 1807, qu’une fonction périodique x(t) peut, sous certaines conditions (qui seront toujours réalisées dans la pratique physique), se décomposer en une somme de fonctions sinusoïdales. Décomposer une fonction x(t) de période T0 en une série de Fourier revient à l’écrire comme la somme : - d’un terme constant (valeur moyenne de la fonction sur un intervalle de longueur égale à

une période) - d’une terme sinusoïdal de même fréquence que x(t) (le fondamental) - d’une infinité de termes sinusoïdaux dont les fréquences sont des multiples entiers de la

fréquence du fondamental (les harmoniques) On montre que la relation mathématique qui traduit ces conditions est la suivante :

( )∑∞

=

++=1

000 sincos)(n

nn tnbtnaatx ωω (134)

Les amplitudes ou coefficients de Fourier sont données par :

∫=0

)(1

00

T

dttxT

a (135)

∫=0

)cos()(20

0 Tn dttntx

Ta ω (136)

∫=0

)sin()(20

0 Tn dttntx

Tb ω (137)

Un signal non-périodiques (cas d’un signal quelconque) sera considéré comme un signal périodique à période infinie. Il est alors nécessaire d’avoir recours à une intégrale de Fourier. Cette méthode consiste à représenter le signal comme une superposition d’ondes sinusoïdales de toutes les fréquences possibles. Les amplitudes associées à ces fréquences représentent, comme pour les séries de Fourier, les importances respectives des diverses ondes

Annexes _


sinusoïdales. Ces amplitudes forment alors une fonction f appelée « spectre continu des fréquences du signal » : c’est la transformée de Fourier du signal. Elle est calculée à l’aide de l’intégrale de Fourier (passage de l’espace temps à l’espace des fréquences):

∫+∞

∞−

−== dtetxfXtxTF iftπ2)()()]([ (138)

La transformée inverse T.F.-1 de X(f) permet de reconstruire le signal à partir des sinusoïdes qui le constituent et s’écrit :

∫+∞

∞−

− == dfefXtxfXTF iftπ21 )()()]([ (139)

Echantillonnage et fréquence de Nyquist Pour pouvoir être analysé numériquement un signal continu (ou analogique) doit d’abord être discrétisé. Les résultats expérimentaux considérés ici (variation de pente) sont des signaux discrets à temps discrets (intervalle de temps variable entre deux mesures successives) qui doivent être transformés en signaux discrets à temps continu (pas de temps constant). Discrétiser un signal continu consiste à le transformer en une succession de Diracs d’amplitude variable. Pour cela le signal est multiplié par un peigne de Diracs δT. Si on appelle T la période d’échantillonnage et Fe=1/T la fréquence d’échantillonnage l’échantillonnage se traduit par la relation :

∑ ∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

−=−==k k

Te kTtkTxkTttxttxtx )()()()()()()( δδδ (140)

Le signal est analysé et traité dans l’espace de Fourier avant, en général, d’être reconverti en signal temporel. La question qui est posée ici est comment choisir la période d’échantillonnage T pour que le signal échantillonné soit toujours représentatif du signal initial. Il ne faut pas perdre d’information afin de permettre la réversibilité des transformations. La TF de ce signal devient :

)(*)(1)()]([ /1 ffXT

fXtxTF Tee δ== (141)

où le signe [*] désigne le produit de convolution. Cette relation peut aussi s’écrire :

∑+∞

−∞=

−=k

e TkfX

TfX )(1)( (142)


_______________________________________________________________________Thèse A.RECKING 217 Influence du tri gra

La TF du signal échantillonné apparaît donc (au facteur 1/T près) comme la somme du spectre en fréquence affecté de retards multiples de T et l’échantillonnage d’un signal a pour conséquence une périodisation de son spectre. On peut considérer les deux fréquences caractéristiques suivantes: - Fmax : fréquence maximum du spectre X(f) (plus haute fréquence du sig- Fe : fréquence d’échantillonnage 1/T

Fmax

Xe(f)

0 1T

−

f

X(f)

Fmax f 0

x(t)

t

( )x t

T 2T t

( )T tδ

1

/T

2

1/ ( )T fδ

Espace temps Espace fréquen

1

_____________nulométrique sur le

nal étudié)

1eF

T=

eFT

=

tiel

×
*
______ charriage

….

2T

2 eFT

=

Annexes _

___________________________Thèse A.RECKING

Si Fe est mal choisi (si T grand, 1/T petit), il peut apparaître un recouvrement des motifs spectraux, appelé repliement spectral, et la somme de ces motifs modifie irrémédiablement le spectre utile sur l’intervalle [-Fe/2, Fe/2]. Pour que cela soit évité il fasoit respecté : un signal analpourra être reconstruit à parque :

max21 FT

Fe >=

La fréquence limite d’échant Les fluctuations de pente éthautes correspondent à des l’étage 1 du modèle à compadonc été réalisé avec des pér

1

_______________________________________________________________ 218 Influence du tri granulométrique sur le charriage

ut que le théorème d’échantillonnage (ou théorème de Shannon) ogique ayant une bande de fréquence limitée à la fréquence Fmax tir de ses échantillons si la fréquence d’échantillonnage est telle

(143)

illonnage est appelée fréquence de Nyquist.

udiées ici comprennent de nombreuses fréquences, dont les plus périodes de fluctuation de 10 à 15 minutes (fonctionnement de rtiment présenté au tableau 15). L’échantillonnage des signaux a

iodes inférieures à 5 mn pour respecter la règle précédente.

eFT

=



Programme Matlab utilisé pour l’analyse de Fourier fprintf('Avant de commencer il faut créer la matrice du signal Y(t) à analyser') fprintf('\n Dans la fenetre "Command Window de Matlab" taper Y=[1]') fprintf('\n Double cliquez sur Y dans la fenetre"Workspace" et un tableau a 1 cellule apparait dans la fenetre "Array Editor"') fprintf('\n Faire un copier/Coller des 2colones Excell dans la cellule Y') Message = input('\n continuer (o/n)?:','s'); if Message==['o'] clear YI clear PXlog clear Yw clear W clear TI clear X clear PX clear F Te = input('Entrez la periode d echantillonnage Te :'); Nfft = input('Entrez le nombre de points pour la FFT:');%nbre de valeurs d échantillonnage du spectre Moyenne = input('Supprimer la moyenne (o/n)?','s'); %choix d'une fenetre de pndération disp('FENETRE DE PONDERATION P') disp('Hanning=1') disp('Hamming=2') disp('Blacman=3') disp('Aucune fenetre (par défaut: rectangulaire)= taper une touche quelconque') P = input('Choix de P :'); %CALCUL DE LA FREQUENCE DE NYQUIST Fe=1/Te% calcul de la fréquence d'échantillonage Fn=Fe/2% calcul de la fréquence de Nyquist fprintf('la fréquence d échantillonnage est %f Hz',Fe)% affichage résultat à l'écran (où %f désigne var réelle) fprintf('\n la fréquence de Nyquist est %f Hz',Fn)% \n pour passer à la ligne fprintf('\n le spectre ne pourra afficher des fréquences du signal supérieures à cette valeur') fprintf ('\n au delà le spectre se répète à l identique (avec risque de recouvrement)') OOO=input('\n taper une touche pour continuer') %CREATION DU SIGNAL DISCRETISE tmax=max(Y(:,1)) t=min(Y(:,1)) N=round((tmax-t)/Te) TI=zeros(N,1) YI=zeros(N,1) for i=1:N TI(i)=t% creation du vecteur TEMPS t=t+Te end YI=interp1(Y(:,1),Y(:,2),TI)%Discretisation du signal au pas de temps Te if Moyenne==['o'] My=mean(YI) for i=1:N YI(i)=YI(i)-My end end %PONDERATION if P==2 W=window(@hann,N) Yw=YI.*W% produit des vecteurs colonnes elseif P==3 W=window(@hamming,N) Yw=YI.*W elseif P==4 W=window(@blackman,N)

Annexes _


Yw=YI.*W else Yw=YI end %FFT X=fft(Yw,Nfft);%fft ddu signal discrétisé et pondéré Yw sur Nfft points PX=X.*conj(X)/Nfft;%calcul du module normé par la durée Te %REPRESENTATION GRAPHIQUE; %création du vecteur fréquence F (abscisse du spectre) : la fft est calculée sur la longueur Fe échantillonné au pas df=Fe/Nfft %ce pas est cumulé sur une représentation en [0,Nfft/2] qui correspond à %Fe/2, fréquence de Nyquist (au delà le spectre est redondant) F=(Fe/Nfft)*(0:Nfft/2) m=max(PX) %représentation à 10% du max subplot(3,1,1),plot (Y(:,1),Y(:,2))%création graphe à 3 fenetres title('Signal original') %xlabel('Temps (s)') ylabel('F(t)') subplot(3,1,2),plot (TI,YI)%création graphe à 2 fenetres title('signal discrétisé') xlabel('Temps (s)') ylabel('F(t)') subplot(3,1,3),plot(F,PX(1:Nfft/2+1)),grid axis([0 Fe/2 0 m]) %title('Spectre') xlabel('Fréquence (Hz)') ylabel('Puissance') %AJUSTEMENT AXE X Axe1 = input('Ajuster l axe des X sur le spectre ? (o/n)','s'); if Axe1==['o'] Xmax = input('Xmax='); subplot(3,1,3), axis([0 Xmax 0 m]) xlabel('Fréquence (Hz)') ylabel('Puissance')% dans ce mode de représentation la puissance est donnée en dB end %REPRESENTATION LOG Replog = input('Voulez vous une représentation log ? (o/n)','s'); if Replog==['o'] PXlog=zeros(N,1) for i=1:Nfft PXlog(i)=PX(i)^20 end subplot(3,1,3),semilogy(F,PXlog(1:Nfft/2+1)),grid %axis([0 Fe/2 -1500 m]) xlabel('Fréquence (Hz)') ylabel('Puissance(dB)')% dans ce mode de représentation la puissance est donnée en dB end end%fin du programme en réponse au "if" du début

Le jeu de données


ANNEXE 6 : LES DONNEES Toutes les données utilisées sont présentées dans cette annexe. Les données produites pendant la thèse par la méthode de l’encre sont présentées dans un premier tableau. Les diamètres indiqués autres que 2.3, 4.9, 9 et 12.5 mm sont des moyennes arithmétiques calculées à partir des diamètres en présence dans le mélange sédimentaire au moment de la mesure. Les sources de données de la bibliographie (1501 valeurs) et les données produites dans la thèse (199 valeurs) sont reportées intégralement sur le graphique suivant (sauf pour les données de Gilbert pour lesquels les écoulements sur dunes n’ont pas été retenus dans le jeu de données). Afin de simplifier l’analyse, les données « marginales » ont été supprimées (points en gris sur la figure suivante), ce qui représente 118 valeurs (soit 7% du jeu de données). Par ailleurs les points proposés par Gilbert aux pentes supérieures à 2% ainsi que la série produite par Cao à la pente 1% avec le matériau 22.2mm ont également été exclus de l’analyse, ce qui représente environ 31 valeurs (soit 2% du jeu de données). Seul le jeu de données final (utilisé pour l’analyse), constitué de 1551 conditions expérimentales dont 1270 avec charriage, est présenté dans les tableaux qui suivent.

Intégralité du jeu de données, reporté en loi de frottement sur un digramme semi-logarithmique (les valeurs en gris sont exclues de l’analyse)

Les données de Wilson et Nnadi (1992) sont également présentées dans un troisième tableau.

0

5

10

15

20

25

30

1 10 100 1000 10000

R/D

U/u

*

Annexes _


Les données représentées sont les suivantes : Colonne 1 [N°] : N° d’identification de l’essai pour la thèse Colonne 2 [ID] : N° d’identification de l’essai dans le document source Colonne 3 [Auteur] : Auteur des données Colonne 4 [W] : Largeur de canal (m) Colonne 5 [D] : Diamètre de grain (mm) Colonne 6 [σ] : Etendue granulométrique défini par σ =0.5(D84/D50+D50/D16) dans le

jeu de données de Brownlie et par D90/D30 pour les jeux de données de MPM, Smart, Rickenmann et D84/D16 pour Cao

Colonne 7 [ρs] : Masse volumique du matériau (Kg/m3) Colonne 8 [ρ] : Masse volumique de l’eau (Kg/m3) Colonne 9 [So] : Pente géométrique Colonne 10 [Q] : Débit (m3/s) Colonne 11 [U] : Vitesse moyenne (m/s) Colonne 12 [R/D] : Profondeur relative après correction des effets de parois Colonne 13 [U/u*c]: Coefficient de frottement de Darcy sous la forme f/8 Colonne 14 [H] : Hauteur d’eau (m) Colonne 15 [H/W] : Ratio hauteur d’eau sur largeur de canal Colonne 16 [Fr] : Nombre de Froude Fr=U/(gH)0.5 Colonne 17 [Re] : Nombre de Reynolds Re=UR/ν (R : rayon hydraulique corrigé) Colonne 18 [Re*] : Nombre de Reynolds particulaire Re*=u*D/ν Colonne 19 [C] : Concentration en ppm (g/m3) Colonne 20 [θ] : Nombre de Shields θ=RS0/[D(s-1)] Colonne 21 [Φ] : Débit solide adimensionnel Φ=qb/[g(s-1)D3]0.5 Pour le rendre cohérent, tout le jeu de données a été traité suivant le même protocole (correction des effets de parois avec la méthode de Vanoni et Brooks à partir des débits Q, pentes S0 et vitesses U fournies par les auteurs).

Annexes Le jeu de données

____________________________________________________________________________________________________________________ Thèse A.RECKING 223 Influence du tri granulométrique sur le charriage

N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 1 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.01 0.00030 0.281 4.28 9.04 0.0107 0.11 0.90 2472 71 0.00 0.0267 0.00000 2 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.01 0.00040 0.308 5.14 9.04 0.0130 0.13 0.90 3175 78 0.00 0.0322 0.00000 3 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.01 0.00050 0.335 5.84 9.23 0.0149 0.15 0.92 3851 83 0.00 0.0365 0.00000 4 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.01 0.00060 0.371 6.22 9.90 0.0162 0.16 0.99 4534 86 0.00 0.0389 0.00000 5 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.01 0.00070 0.393 6.78 10.05 0.0178 0.18 1.01 5161 90 0.00 0.0423 0.00000 6 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.01 0.00080 0.412 7.31 10.14 0.0194 0.19 1.01 5762 93 0.00 0.0457 0.00000 7 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.01 0.00090 0.433 7.74 10.36 0.0208 0.21 1.04 6357 96 0.00 0.0484 0.00000 8 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.01 0.00100 0.454 8.11 10.61 0.0220 0.22 1.06 6942 98 0.00 0.0507 0.00000 9 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.01 0.00110 0.468 8.59 10.63 0.0235 0.24 1.06 7483 101 0.00 0.0537 0.00000

10 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.01 0.00120 0.480 9.07 10.61 0.0250 0.25 1.06 8000 104 0.00 0.0567 0.00000 11 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.01 0.00130 0.495 9.44 10.72 0.0263 0.26 1.07 8523 106 0.00 0.0590 0.00000 12 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.02 0.00040 0.375 4.33 8.49 0.0107 0.11 1.20 3297 102 0.00 0.0541 0.00000 13 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.02 0.00050 0.412 4.87 8.79 0.0121 0.12 1.24 4023 108 0.00 0.0609 0.00000 14 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.02 0.00060 0.435 5.50 8.73 0.0138 0.14 1.23 4703 115 0.00 0.0688 0.00000 15 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.02 0.00080 0.470 6.71 8.53 0.0170 0.17 1.20 5968 130 0.00 0.0882 0.00000 16 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.02 0.00100 0.500 7.82 8.42 0.0200 0.20 1.19 7143 137 7100.00 0.0978 0.06249 17 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.02 0.00120 0.540 8.58 8.68 0.0222 0.22 1.23 8308 143 7166.67 0.1072 0.07569 18 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.02 0.00140 0.560 9.59 8.51 0.0250 0.25 1.20 9333 151 7214.29 0.1198 0.08889 19 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.02 0.00160 0.590 10.29 8.66 0.0271 0.27 1.22 10374 157 7250.00 0.1287 0.10209 20 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.02 0.00200 0.650 11.43 9.05 0.0308 0.31 1.28 12381 165 7700.00 0.1429 0.13554 21 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.02 0.00250 0.710 12.79 9.35 0.0352 0.35 1.32 14669 175 7600.00 0.1599 0.16722 22 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.03 0.00030 0.359 3.46 7.42 0.0084 0.08 1.29 2571 111 0.00 0.0650 0.00000 23 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.03 0.00050 0.400 5.15 6.78 0.0125 0.13 1.17 4000 136 0.00 0.0965 0.00000 24 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.03 0.00060 0.430 5.71 6.92 0.0140 0.14 1.20 4691 143 7666.67 0.1070 0.04049 25 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.03 0.00070 0.460 6.19 7.11 0.0152 0.15 1.23 5367 149 11100.00 0.1160 0.06839 26 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.03 0.00075 0.470 6.47 7.10 0.0160 0.16 1.23 5685 152 11466.67 0.1214 0.07569 27 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.03 0.00080 0.480 6.75 7.10 0.0167 0.17 1.23 6000 155 11900.00 0.1265 0.08379 28 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.03 0.00100 0.535 7.48 7.52 0.0187 0.19 1.30 7279 164 13400.00 0.1402 0.11794 29 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.03 0.00130 0.600 8.54 7.89 0.0217 0.22 1.37 9070 175 14461.54 0.1600 0.16546 30 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.03 0.00160 0.660 9.41 8.27 0.0242 0.24 1.43 10776 184 15475.00 0.1764 0.21792 31 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.05 0.00070 0.480 6.05 5.81 0.0146 0.15 1.30 5419 190 33171.91 0.1891 0.20437 32 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.05 0.00090 0.570 6.47 6.67 0.0158 0.16 1.49 6840 196 36000.00 0.2021 0.28516 33 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.05 0.00100 0.610 6.67 7.03 0.0164 0.16 1.57 7531 200 36600.00 0.2085 0.32212 34 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.05 0.00110 0.630 7.08 7.05 0.0175 0.17 1.58 8153 206 38277.51 0.2214 0.37058 35 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.05 0.00120 0.650 7.47 7.08 0.0185 0.18 1.58 8764 211 39646.46 0.2333 0.41872 36 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.05 0.00170 0.765 8.81 7.67 0.0222 0.22 1.72 11769 229 43734.02 0.2754 0.65435 37 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.07 0.00060 0.495 5.08 5.53 0.0121 0.12 1.46 4829 206 65111.11 0.2222 0.34383 38 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.07 0.00100 0.670 6.13 6.81 0.0149 0.15 1.80 7701 226 75583.33 0.2681 0.66522 39 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.07 0.00100 0.650 6.33 6.50 0.0154 0.15 1.72 7647 230 75583.33 0.2770 0.66522 40 This study 0.100 2.3 1.1 2600 1000 0.03 0.00150 0.627 9.36 7.88 0.0239 0.24 1.36 10146 183 0.1755



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 41 This study 0.250 2.3 1.1 2600 1000 0.01 0.00200 0.420 7.83 9.99 0.0190 0.08 1.00 6942 97 0.00 0.0489 0.00000 42 This study 0.250 2.3 1.1 2600 1000 0.01 0.00300 0.480 10.15 10.03 0.0250 0.10 1.00 10000 110 0.00 0.0634 0.00000 43 This study 0.250 2.3 1.1 2600 1000 0.01 0.00300 0.500 9.70 10.69 0.0240 0.10 1.07 10067 108 0.00 0.0606 0.00000 44 This study 0.250 2.3 1.1 2600 1000 0.01 0.00500 0.590 13.44 10.72 0.0339 0.14 1.07 15733 127 0.00 0.0840 0.00000 45 This study 0.250 2.3 1.1 2600 1000 0.01 0.00500 0.580 13.70 10.43 0.0345 0.14 1.04 15676 128 0.00 0.0856 0.00000 46 This study 0.250 2.3 1.1 2600 1000 0.01 0.01000 0.760 20.00 11.31 0.0526 0.21 1.13 28148 155 0.00 0.1250 0.00000 47 This study 0.250 2.3 1.1 2600 1000 0.01 0.01000 0.750 20.32 11.08 0.0533 0.21 1.11 28037 156 4000.00 0.1270 0.14082 48 This study 0.250 2.3 1.1 2600 1000 0.01 0.01500 0.800 28.19 10.03 0.0750 0.30 1.00 37500 183 4333.33 0.1762 0.22883 49 This study 0.250 2.3 1.1 2600 1000 0.01 0.02000 0.960 29.90 11.69 0.0833 0.33 1.17 48000 189 0.00 0.1869 0.00000 50 This study 0.100 2.69 1.1 2600 1000 0.03 0.00150 0.632 7.93 7.98 0.0237 0.24 1.38 10172 213 NM 0.1487 51 This study 0.100 2.69 1.1 2600 1000 0.03 0.00150 0.631 7.95 7.96 0.0238 0.24 1.38 10166 213 NM 0.1490 52 This study 0.100 3.08 1.1 2600 1000 0.03 0.00150 0.622 7.06 7.78 0.0241 0.24 1.35 10119 246 NM 0.1323 53 This study 0.100 3.08 1.1 2600 1000 0.03 0.00150 0.612 7.19 7.58 0.0245 0.25 1.31 10066 249 NM 0.1348 54 This study 0.100 3.08 1.1 2600 1000 0.03 0.00150 0.617 7.12 7.68 0.0243 0.24 1.33 10093 247 NM 0.1335 55 This study 0.100 3.08 1.1 2600 1000 0.03 0.00150 0.608 7.24 7.50 0.0247 0.25 1.30 10044 250 NM 0.1358 56 This study 0.100 3.08 1.1 2600 1000 0.03 0.00150 0.617 7.12 7.68 0.0243 0.24 1.33 10093 247 NM 0.1335 57 This study 0.100 3.08 1.1 2600 1000 0.03 0.00150 0.615 7.15 7.64 0.0244 0.24 1.32 10082 248 NM 0.1340 58 This study 0.100 3.08 1.1 2600 1000 0.03 0.00150 0.607 7.26 7.48 0.0247 0.25 1.30 10039 250 NM 0.1361 59 This study 0.100 3.34 1.1 2600 1000 0.05 0.00150 0.659 6.33 6.47 0.0228 0.23 1.45 10308 340 NM 0.1978 60 This study 0.100 3.34 1.1 2600 1000 0.05 0.00150 0.668 6.24 6.61 0.0225 0.22 1.48 10351 338 NM 0.1949 61 This study 0.100 3.34 1.1 2600 1000 0.05 0.00150 0.680 6.11 6.79 0.0221 0.22 1.52 10408 334 NM 0.1910 62 This study 0.100 3.34 1.1 2600 1000 0.05 0.00150 0.669 6.22 6.62 0.0224 0.22 1.48 10356 337 NM 0.1945 63 This study 0.100 3.6 1.1 2600 1000 0.05 0.00080 0.516 4.09 6.07 0.0155 0.16 1.36 6107 306 NM 0.1278 64 This study 0.100 3.6 1.1 2600 1000 0.05 0.00080 0.506 4.18 5.89 0.0158 0.16 1.32 6078 309 NM 0.1305 65 This study 0.100 3.6 1.1 2600 1000 0.05 0.00080 0.516 4.09 6.07 0.0155 0.16 1.36 6107 306 NM 0.1278 66 This study 0.100 3.6 1.1 2600 1000 0.05 0.00080 0.500 4.23 5.79 0.0160 0.16 1.29 6061 311 NM 0.1322 67 This study 0.100 3.6 1.1 2600 1000 0.07 0.00060 0.427 3.79 4.41 0.0141 0.14 1.17 4684 348 NM 0.1657 68 This study 0.100 3.6 1.1 2600 1000 0.07 0.00060 0.410 3.95 4.15 0.0146 0.15 1.10 4642 356 NM 0.1729 69 This study 0.100 3.6 1.1 2600 1000 0.07 0.00060 0.440 3.67 4.62 0.0136 0.14 1.22 4714 343 NM 0.1606 70 This study 0.100 3.6 1.1 2600 1000 0.07 0.00060 0.450 3.59 4.78 0.0133 0.13 1.26 4737 339 NM 0.1569 71 This study 0.050 3.68 1.1 2600 1000 0.08649 0.00020 0.350 2.99 3.62 0.0114 0.23 1.07 2745 355 NM 0.1616 72 This study 0.050 3.68 1.1 2600 1000 0.08635 0.00020 0.346 3.03 3.56 0.0116 0.23 1.05 2735 357 NM 0.1633 73 This study 0.050 3.68 1.1 2600 1000 0.08466 0.00020 0.354 2.95 3.73 0.0113 0.23 1.08 2755 349 NM 0.1562 74 This study 0.050 3.68 1.1 2600 1000 0.08719 0.00024 0.381 3.28 3.75 0.0126 0.25 1.11 3192 374 NM 0.1788 75 This study 0.050 3.68 1.1 2600 1000 0.08494 0.00024 0.380 3.29 3.79 0.0126 0.25 1.10 3189 369 NM 0.1745 76 This study 0.050 3.68 1.1 2600 1000 0.08438 0.00024 0.385 3.24 3.88 0.0125 0.25 1.13 3203 365 NM 0.1709 77 This study 0.050 3.68 1.1 2600 1000 0.08396 0.00024 0.380 3.28 3.81 0.0126 0.25 1.10 3189 367 NM 0.1724 78 This study 0.050 3.68 1.1 2600 1000 0.08298 0.00024 0.386 3.23 3.93 0.0124 0.25 1.13 3206 362 NM 0.1675 79 This study 0.050 3.68 1.1 2600 1000 0.0827 0.00024 0.390 3.19 4.00 0.0123 0.25 1.15 3216 359 NM 0.1651 80 This study 0.050 3.68 1.1 2600 1000 0.09 0.00040 0.510 4.00 4.47 0.0157 0.31 1.34 4916 419 NM 0.2250



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 81 This study 0.050 3.68 1.1 2600 1000 0.09 0.00040 0.497 4.11 4.30 0.0161 0.32 1.29 4867 425 NM 0.2314 82 This study 0.050 3.68 1.1 2600 1000 0.09 0.00040 0.503 4.06 4.38 0.0159 0.32 1.31 4889 422 NM 0.2284 83 This study 0.050 3.68 1.1 2600 1000 0.09 0.00040 0.510 4.00 4.47 0.0157 0.31 1.34 4916 419 NM 0.2250 84 This study 0.050 3.68 1.1 2600 1000 0.09 0.00060 0.650 4.58 5.33 0.0185 0.37 1.60 6903 449 NM 0.2577 85 This study 0.050 3.68 1.1 2600 1000 0.09 0.00060 0.660 4.50 5.46 0.0182 0.36 1.64 6947 445 NM 0.2533 86 This study 0.050 3.68 1.1 2600 1000 0.09 0.00060 0.646 4.61 5.28 0.0186 0.37 1.58 6885 450 NM 0.2595 87 This study 0.050 3.68 1.1 2600 1000 0.09 0.00070 0.678 5.09 5.27 0.0206 0.41 1.58 7667 473 NM 0.2866 88 This study 0.050 3.68 1.1 2600 1000 0.09 0.00070 0.683 5.05 5.33 0.0205 0.41 1.60 7693 471 NM 0.2842 89 This study 0.050 3.68 1.1 2600 1000 0.09 0.00070 0.688 5.01 5.39 0.0203 0.41 1.62 7718 469 NM 0.2818 90 This study 0.100 3.83 1.1 2600 1000 0.05 0.00150 0.652 5.58 6.37 0.0230 0.23 1.42 10273 393 NM 0.1744 91 This study 0.100 3.83 1.1 2600 1000 0.05 0.00150 0.645 5.65 6.26 0.0233 0.23 1.40 10238 395 NM 0.1765 92 This study 0.100 3.83 1.1 2600 1000 0.05 0.00150 0.637 5.72 6.14 0.0235 0.24 1.37 10197 398 NM 0.1789 93 This study 0.100 3.83 1.1 2600 1000 0.05 0.00150 0.647 5.63 6.29 0.0232 0.23 1.41 10248 394 NM 0.1759 94 This study 0.100 4.77 1.1 2600 1000 0.07 0.00165 0.690 4.73 5.55 0.0239 0.24 1.47 11162 593 NM 0.2068 95 This study 0.100 4.77 1.1 2600 1000 0.07 0.00165 0.710 4.58 5.80 0.0232 0.23 1.53 11264 584 NM 0.2004 96 This study 0.100 4.77 1.1 2600 1000 0.07 0.00165 0.700 4.65 5.67 0.0236 0.24 1.50 11214 588 NM 0.2036 97 This study 0.100 4.77 1.1 2600 1000 0.07 0.00165 0.723 4.49 5.96 0.0228 0.23 1.58 11329 578 NM 0.1965 98 This study 0.100 4.77 1.1 2600 1000 0.07 0.00165 0.652 5.03 5.08 0.0253 0.25 1.35 10955 611 NM 0.2199 99 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.01 0.00030 0.241 2.38 7.12 0.0124 0.12 0.71 2402 166 0.00 0.0149 0.00000

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N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 121 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.05 0.00105 0.530 3.83 5.52 0.0198 0.20 1.24 7520 470 17523.81 0.1197 0.05208 122 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.05 0.00120 0.550 4.21 5.47 0.0218 0.22 1.22 8354 493 19916.67 0.1315 0.06765 123 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.05 0.00130 0.570 4.38 5.55 0.0228 0.23 1.24 8928 503 20192.31 0.1370 0.07430 124 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.05 0.00150 0.600 4.78 5.60 0.0250 0.25 1.25 10000 525 22241.38 0.1495 0.09443 125 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.05 0.00160 0.620 4.92 5.70 0.0258 0.26 1.27 10553 533 23906.25 0.1538 0.10826 126 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.05 0.00170 0.640 5.05 5.81 0.0266 0.27 1.30 11102 540 25000.00 0.1578 0.12029 127 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.05 0.00200 0.700 5.38 6.16 0.0286 0.29 1.38 12727 557 26666.67 0.1681 0.15095 128 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.05 0.00230 0.740 5.81 6.26 0.0311 0.31 1.40 14183 579 29695.65 0.1816 0.19331 129 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.05 0.00260 0.800 6.01 6.65 0.0325 0.33 1.49 15758 589 31211.54 0.1879 0.22968 130 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.05 0.00300 0.860 6.38 6.94 0.0349 0.35 1.55 17671 607 31950.00 0.1995 0.27129 131 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.07 0.00060 0.390 3.06 3.84 0.0154 0.15 1.02 4588 497 29042.15 0.1338 0.04932 132 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.07 0.00070 0.440 3.15 4.28 0.0159 0.16 1.13 5310 504 30213.22 0.1377 0.05986 133 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.07 0.00080 0.460 3.43 4.28 0.0174 0.17 1.13 5935 527 37416.67 0.1502 0.08472 134 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.07 0.00090 0.490 3.61 4.44 0.0184 0.18 1.18 6582 540 41481.48 0.1581 0.10567 135 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.07 0.00090 0.500 3.54 4.58 0.0180 0.18 1.21 6618 535 41111.11 0.1548 0.10472 136 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.07 0.00100 0.510 3.85 4.48 0.0196 0.20 1.19 7183 558 43823.53 0.1684 0.12404 137 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.07 0.00150 0.640 4.53 5.18 0.0234 0.23 1.37 10213 605 54000.00 0.1983 0.22926 138 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.07 0.00170 0.680 4.81 5.34 0.0250 0.25 1.41 11333 624 63050.11 0.2105 0.30337 139 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.07 0.00200 0.760 5.01 5.85 0.0263 0.26 1.55 13103 636 65000.00 0.2194 0.36794 140 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.07 0.00200 0.750 5.09 5.73 0.0267 0.27 1.52 13043 641 65000.00 0.2226 0.36794 141 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.07 0.00250 0.860 5.46 6.34 0.0291 0.29 1.68 15809 664 63920.00 0.2391 0.45229 142 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.09 0.00100 0.530 3.72 4.18 0.0189 0.19 1.25 7260 622 82750.00 0.2095 0.23421 143 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.09 0.00130 0.610 4.18 4.54 0.0213 0.21 1.36 9115 659 94000.00 0.2349 0.34587 144 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.09 0.00130 0.620 4.10 4.65 0.0210 0.21 1.40 9159 653 94000.00 0.2309 0.34587 145 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.09 0.00150 0.670 4.36 4.88 0.0224 0.22 1.46 10361 673 99111.11 0.2453 0.42078 146 This study 0.100 4.9 1.1 2600 1000 0.09 0.00150 0.660 4.43 4.77 0.0227 0.23 1.43 10313 678 99111.11 0.2493 0.42078 147 This study 0.250 4.9 1.1 2600 1000 0.01 0.00500 0.560 6.69 9.88 0.0357 0.14 0.99 15556 278 0.00 0.0418 0.00000 148 This study 0.250 4.9 1.1 2600 1000 0.01 0.01000 0.780 9.10 11.79 0.0513 0.21 1.18 28364 324 0.00 0.0569 0.00000 149 This study 0.250 4.9 1.1 2600 1000 0.011 0.01500 0.900 11.59 11.50 0.0667 0.27 1.21 39130 384 0.00 0.0797 0.00000 150 This study 0.100 5.09 1.1 2600 1000 0.07 0.00165 0.658 4.66 5.16 0.0251 0.25 1.36 10989 649 NM 0.2040 151 This study 0.100 5.23 1.1 2600 1000 0.07 0.00165 0.674 4.42 5.35 0.0245 0.24 1.42 11077 659 NM 0.1933 152 This study 0.100 5.23 1.1 2600 1000 0.07 0.00165 0.686 4.33 5.50 0.0241 0.24 1.45 11141 653 NM 0.1896 153 This study 0.100 5.35 1.1 2600 1000 0.07 0.00165 0.670 4.35 5.30 0.0246 0.25 1.40 11055 676 NM 0.1903 154 This study 0.100 5.35 1.1 2600 1000 0.07 0.00165 0.675 4.32 5.36 0.0244 0.24 1.42 11082 673 NM 0.1888 155 This study 0.100 5.35 1.1 2600 1000 0.07 0.00165 0.630 4.65 4.82 0.0262 0.26 1.28 10828 698 NM 0.2034 156 This study 0.150 5.58 1.1 2600 1000 0.018 0.00500 0.810 6.31 10.27 0.0412 0.27 1.38 21523 440 NM 0.0710 157 This study 0.150 5.58 1.1 2600 1000 0.018 0.00500 0.815 6.27 10.37 0.0409 0.27 1.39 21570 439 NM 0.0705 158 This study 0.150 5.58 1.1 2600 1000 0.018 0.00500 0.806 6.35 10.19 0.0414 0.28 1.37 21486 442 NM 0.0715 159 This study 0.150 5.58 1.1 2600 1000 0.018 0.00500 0.760 6.82 9.27 0.0439 0.29 1.24 21033 458 NM 0.0768 160 This study 0.150 5.58 1.1 2600 1000 0.018 0.00500 0.770 6.72 9.46 0.0433 0.29 1.27 21134 454 NM 0.0756



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 161 This study 0.100 5.61 1.1 2600 1000 0.07 0.00165 0.652 4.27 5.08 0.0253 0.25 1.35 10955 719 NM 0.1869 162 This study 0.100 5.61 1.1 2600 1000 0.07 0.00165 0.674 4.12 5.35 0.0245 0.24 1.42 11077 706 NM 0.1803 163 This study 0.150 7.66 1.1 2600 1000 0.018 0.00500 0.750 5.05 9.07 0.0444 0.30 1.22 20930 633 NM 0.0569 164 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.01 0.00030 0.193 1.65 5.06 0.0155 0.16 0.51 2289 343 0.00 0.0103 0.00000 165 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.01 0.00060 0.282 2.18 6.43 0.0213 0.21 0.64 4209 395 0.00 0.0136 0.00000 166 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.01 0.00100 0.357 2.77 7.22 0.0280 0.28 0.72 6409 445 0.00 0.0173 0.00000 167 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.01 0.00140 0.417 3.22 7.82 0.0336 0.34 0.78 8376 480 0.00 0.0201 0.00000 168 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.02 0.00030 0.246 1.28 5.17 0.0120 0.12 0.73 2379 428 0.00 0.0160 0.00000 169 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.02 0.00060 0.347 1.79 6.17 0.0171 0.17 0.87 4431 506 0.00 0.0224 0.00000 170 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.02 0.00100 0.424 2.40 6.51 0.0235 0.23 0.92 6772 586 0.00 0.0300 0.00000 171 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.02 0.00160 0.540 2.91 7.53 0.0295 0.30 1.06 10027 646 0.00 0.0364 0.00000 172 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.03 0.00030 0.265 1.22 4.66 0.0113 0.11 0.81 2446 512 0.00 0.0229 0.00000 173 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.03 0.00060 0.395 1.60 6.07 0.0152 0.15 1.05 4602 586 0.00 0.0300 0.00000 174 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.03 0.00080 0.416 2.02 5.69 0.0192 0.19 0.99 5778 658 0.00 0.0378 0.00000 175 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.03 0.00100 0.476 2.18 6.27 0.0210 0.21 1.09 7041 683 0.00 0.0408 0.00000 176 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.03 0.00160 0.590 2.74 6.93 0.0271 0.27 1.20 10374 766 0.00 0.0513 0.00000 177 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.05 0.00150 0.580 2.70 5.31 0.0259 0.26 1.19 9886 983 0.00 0.0845 0.00000 178 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.05 0.00175 0.630 2.88 5.59 0.0278 0.28 1.25 11250 1015 0.00 0.0900 0.00000 179 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.05 0.00200 0.650 3.18 5.49 0.0308 0.31 1.23 12381 1066 0.00 0.0994 0.00000 180 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.05 0.00051 0.366 1.49 4.52 0.0138 0.14 1.01 3958 729 0.00 0.0464 0.00000 181 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.05 0.00071 0.452 1.66 5.28 0.0156 0.16 1.18 5374 770 0.00 0.0519 0.00000 182 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.05 0.00091 0.516 1.85 5.71 0.0175 0.18 1.28 6700 813 0.00 0.0578 0.00000 183 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.05 0.00110 0.534 2.17 5.46 0.0206 0.21 1.22 7790 880 0.00 0.0677 0.00000 184 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.07 0.00120 0.540 2.37 4.46 0.0222 0.22 1.18 8308 1089 16898.15 0.1036 0.02306 185 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.07 0.00140 0.560 2.66 4.37 0.0250 0.25 1.16 9333 1153 25102.04 0.1163 0.03996 186 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.07 0.00160 0.600 2.82 4.54 0.0267 0.27 1.20 10435 1188 26573.28 0.1234 0.04834 187 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.07 0.00192 0.650 3.11 4.69 0.0295 0.30 1.24 12070 1247 36805.56 0.1359 0.08035 188 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.07 0.00190 0.610 3.29 4.28 0.0311 0.31 1.13 11707 1284 37368.42 0.1440 0.08073 189 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.07 0.00215 0.630 3.60 4.22 0.0341 0.34 1.12 12778 1342 38604.65 0.1574 0.09437 190 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.07 0.00215 0.680 3.31 4.75 0.0316 0.32 1.26 13171 1288 38604.65 0.1450 0.09437 191 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.07 0.00215 0.640 3.54 4.33 0.0336 0.34 1.15 12860 1331 38604.65 0.1548 0.09437 192 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.09 0.00090 0.455 2.14 3.49 0.0198 0.20 1.05 6449 1174 32222.22 0.1204 0.03297 193 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.09 0.00120 0.530 2.43 3.81 0.0226 0.23 1.14 8260 1251 45473.25 0.1369 0.06204 194 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.09 0.00140 0.556 2.70 3.80 0.0252 0.25 1.14 9311 1318 53461.54 0.1519 0.08510 195 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.09 0.00150 0.552 2.91 3.63 0.0272 0.27 1.09 9718 1370 59228.07 0.1639 0.10102 196 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.09 0.00160 0.570 3.01 3.69 0.0281 0.28 1.11 10247 1391 61875.00 0.1691 0.11257 197 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.09 0.00170 0.585 3.11 3.72 0.0291 0.29 1.12 10751 1414 64929.97 0.1748 0.12551 198 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.09 0.00180 0.620 3.09 3.95 0.0290 0.29 1.19 11388 1411 66161.62 0.1740 0.13541 199 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.09 0.00190 0.620 3.27 3.85 0.0306 0.31 1.15 11780 1450 69429.82 0.1837 0.14999 200 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.09 0.00215 0.680 3.35 4.17 0.0316 0.32 1.25 13171 1468 70386.05 0.1884 0.17207



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 201 This study 0.100 9 1.1 2600 1000 0.09 0.00215 0.660 3.46 3.98 0.0326 0.33 1.19 13018 1492 70386.05 0.1945 0.17207 202 This study 0.150 12.5 1.1 2600 1000 0.07 0.00300 0.634 2.44 4.39 0.0315 0.21 1.16 14080 1808 15666.67 0.1066 0.02177 203 This study 0.150 12.5 1.1 2600 1000 0.09 0.00200 0.530 1.97 3.59 0.0252 0.17 1.08 9982 1843 26750.00 0.1108 0.02478 204 This study 0.150 12.5 1.1 2600 1000 0.09 0.00300 0.604 2.58 3.58 0.0331 0.22 1.07 13872 2110 49666.67 0.1452 0.06900 205 This study 0.150 12.5 1.1 2600 1000 0.09 0.00370 0.647 2.96 3.57 0.0382 0.25 1.07 16350 2261 69189.19 0.1667 0.11855 206 This study 0.150 12.5 1.1 2600 1000 0.07 0.00400 0.695 2.95 4.37 0.0383 0.26 1.16 17644 1988 27500.00 0.1290 0.05094 207 This study 0.150 12.5 1.1 2600 1000 0.07 0.00500 0.747 3.41 4.37 0.0446 0.30 1.16 20903 2140 36000.00 0.1493 0.08336 208 1 Bogardi 0.823 10.34 1.18 2630 1000 0.0232 0.04230 0.987 4.90 9.19 0.0521 0.06 1.40 45626 1110 84.60 0.0697 0.00039 209 2 Bogardi 0.823 10.34 1.18 2630 1000 0.0243 0.04148 0.853 5.59 7.27 0.0591 0.07 1.13 44075 1214 307.52 0.0833 0.00140 210 3 Bogardi 0.823 10.34 1.18 2630 1000 0.0245 0.04361 0.877 5.71 7.37 0.0604 0.07 1.15 46204 1231 457.93 0.0858 0.00219 211 4 Bogardi 0.823 10.34 1.18 2630 1000 0.0242 0.03794 0.860 5.07 7.71 0.0536 0.07 1.20 40790 1153 120.14 0.0752 0.00050 212 5 Bogardi 0.823 10.34 1.18 2630 1000 0.019 0.05442 0.848 7.34 7.13 0.0780 0.09 0.98 55590 1230 65.07 0.0856 0.00039 213 8 Bogardi 0.823 10.34 1.18 2630 1000 0.0176 0.05890 0.829 8.12 6.89 0.0863 0.10 0.91 59157 1245 86.00 0.0876 0.00056 214 9 Bogardi 0.823 10.34 1.18 2630 1000 0.0177 0.05805 0.851 7.79 7.19 0.0829 0.10 0.96 58706 1223 72.32 0.0846 0.00046 215 10 Bogardi 0.823 10.34 1.18 2630 1000 0.0175 0.06159 0.813 8.66 6.56 0.0920 0.11 0.87 61159 1282 202.99 0.0930 0.00137 216 11 Bogardi 0.823 10.34 1.18 2630 1000 0.0175 0.06130 0.840 8.34 6.90 0.0887 0.11 0.91 61279 1258 132.46 0.0895 0.00089 217 12 Bogardi 0.823 10.34 1.18 2630 1000 0.0177 0.06385 0.840 8.69 6.72 0.0924 0.11 0.89 63359 1291 193.40 0.0943 0.00136 218 13 Bogardi 0.823 10.34 1.18 2630 1000 0.0176 0.06422 0.871 8.41 7.11 0.0896 0.11 0.94 64080 1267 140.90 0.0908 0.00099 219 14 Bogardi 0.823 10.34 1.18 2630 1000 0.019 0.04453 0.768 6.65 6.79 0.0704 0.09 0.94 46197 1170 129.14 0.0775 0.00063 220 15 Bogardi 0.823 10.34 1.18 2630 1000 0.0194 0.05536 0.890 7.11 7.52 0.0756 0.09 1.05 56824 1223 293.13 0.0846 0.00178 221 16 Bogardi 0.823 10.34 1.18 2630 1000 0.0218 0.04667 0.903 5.92 7.89 0.0628 0.08 1.17 49194 1182 414.80 0.0791 0.00213 222 17 Bogardi 0.300 10.34 1.18 2630 1000 0.02 0.02251 1.066 6.15 9.54 0.0704 0.23 1.35 51069 1155 1010.06 0.0755 0.00686 223 18 Bogardi 0.300 10.34 1.18 2630 1000 0.0155 0.01982 0.788 7.47 7.27 0.0838 0.28 0.91 42389 1121 49.16 0.0711 0.00029 224 19 Bogardi 0.300 10.34 1.18 2630 1000 0.0119 0.02902 1.008 8.03 10.24 0.0960 0.32 1.12 58992 1018 13.89 0.0586 0.00012 225 20 Bogardi 0.300 10.34 1.18 2630 1000 0.0132 0.04021 1.037 10.87 8.60 0.1292 0.43 0.99 72008 1247 41.63 0.0880 0.00050 226 21 Bogardi 0.823 6.849 1.11 2610 1000 0.0245 0.03072 0.738 7.26 6.75 0.0506 0.06 1.06 33243 748 32.11 0.1104 0.00020 227 22 Bogardi 0.823 6.849 1.11 2610 1000 0.0143 0.02288 0.692 5.72 9.33 0.0402 0.05 1.12 25325 508 6.54 0.0508 0.00003 228 23 Bogardi 0.823 6.849 1.11 2610 1000 0.0158 0.04375 0.846 8.89 8.71 0.0628 0.08 1.10 46118 665 407.07 0.0872 0.00368 229 24 Bogardi 0.823 6.849 1.11 2610 1000 0.0172 0.03047 0.789 6.67 8.99 0.0469 0.06 1.18 33233 601 88.88 0.0712 0.00056 230 25 Bogardi 0.823 6.849 1.11 2610 1000 0.0177 0.03695 0.838 7.61 8.81 0.0536 0.07 1.17 39725 651 421.18 0.0836 0.00322 231 26 Bogardi 0.823 6.849 1.11 2610 1000 0.0199 0.02577 0.779 6.00 8.89 0.0402 0.05 1.25 28523 600 97.70 0.0741 0.00052 232 27 Bogardi 0.823 6.849 1.11 2610 1000 0.0197 0.02572 0.783 5.86 9.03 0.0399 0.05 1.27 28490 594 85.08 0.0717 0.00045 233 28 Bogardi 0.823 6.849 1.11 2610 1000 0.0202 0.03644 0.886 7.10 9.02 0.0500 0.06 1.28 39483 672 937.21 0.0891 0.00706 234 29 Bogardi 0.823 6.849 1.11 2610 1000 0.0198 0.02526 0.793 5.52 9.26 0.0387 0.05 1.30 28052 587 55.93 0.0679 0.00029 235 30 Bogardi 0.823 6.849 1.11 2610 1000 0.0229 0.02599 0.921 4.88 10.63 0.0343 0.04 1.61 29154 593 773.44 0.0694 0.00416 236 31 Bogardi 0.823 6.849 1.11 2610 1000 0.0223 0.02115 0.732 5.03 8.44 0.0351 0.04 1.26 23681 594 148.28 0.0696 0.00065 237 32 Bogardi 0.823 6.849 1.11 2610 1000 0.0228 0.02285 0.778 5.11 8.79 0.0357 0.04 1.33 25549 606 224.80 0.0723 0.00106 238 33 Bogardi 0.823 6.849 1.11 2610 1000 0.0155 0.04216 0.832 8.72 8.73 0.0616 0.07 1.09 44559 653 109.97 0.0839 0.00096 239 34 Bogardi 0.823 6.849 1.11 2610 1000 0.0145 0.04978 0.820 10.43 8.13 0.0738 0.09 0.98 51287 691 362.19 0.0940 0.00373 240 35 Bogardi 0.823 6.849 1.11 2610 1000 0.0153 0.03582 0.784 7.87 8.72 0.0555 0.07 1.08 38351 616 40.46 0.0748 0.00030



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 241 36 Bogardi 0.823 6.849 1.11 2610 1000 0.0159 0.04315 0.851 8.72 8.82 0.0616 0.07 1.11 45606 661 119.75 0.0861 0.00107 242 37 Bogardi 0.300 6.849 1.11 2610 1000 0.0104 0.02747 1.057 10.60 12.28 0.0866 0.29 1.25 58045 589 263.15 0.0685 0.00410 243 38 Bogardi 0.300 6.849 1.11 2610 1000 0.0141 0.01566 0.921 7.41 10.98 0.0567 0.19 1.30 37879 574 117.50 0.0649 0.00104 244 40 Bogardi 0.300 15.19 1.11 2640 1000 0.0143 0.04729 1.157 7.69 9.04 0.1362 0.45 1.08 82614 1945 6.82 0.0671 0.00005 245 41 Bogardi 0.300 15.19 1.11 2640 1000 0.0125 0.05139 1.246 7.46 10.57 0.1375 0.46 1.18 89381 1791 30.54 0.0569 0.00026 246 42 Bogardi 0.300 15.19 1.11 2640 1000 0.0112 0.04927 1.265 6.87 11.81 0.1298 0.43 1.25 88045 1627 55.46 0.0469 0.00046 247 43 Bogardi 0.300 15.19 1.11 2640 1000 0.016 0.03857 1.248 5.80 10.61 0.1030 0.34 1.34 76217 1787 79.27 0.0566 0.00051 248 44 Bogardi 0.300 15.19 1.11 2640 1000 0.0186 0.04559 1.330 6.47 9.93 0.1143 0.38 1.35 86245 2035 141.69 0.0734 0.00109 249 45 Bogardi 0.300 15.19 1.11 2640 1000 0.0186 0.03146 1.225 4.93 10.48 0.0856 0.29 1.43 66764 1776 102.78 0.0559 0.00054 250 47 Bogardi 0.300 15.19 1.11 2640 1000 0.0177 0.03313 1.220 5.19 10.43 0.0905 0.30 1.39 68877 1777 187.11 0.0560 0.00104 251 48 Bogardi 0.300 15.19 1.11 2640 1000 0.0195 0.02503 1.156 4.24 10.43 0.0722 0.24 1.46 56325 1683 26.90 0.0504 0.00011 252 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.01 0.25000 1.640 9.68 11.29 0.2541 0.42 1.13 225605 3223 1644.80 0.0617 0.02054 253 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.03 0.01000 0.418 1.78 3.88 0.0399 0.07 0.67 14711 2393 0.00 0.0340 0.00000 254 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.03 0.02000 0.645 2.29 5.28 0.0517 0.09 0.91 28435 2714 0.00 0.0437 0.00000 255 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.03 0.02000 0.606 2.44 4.80 0.0550 0.09 0.83 28169 2802 0.00 0.0466 0.00000 256 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.03 0.02000 0.680 2.17 5.72 0.0490 0.08 0.99 28652 2641 0.00 0.0414 0.00000 257 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.03 0.03000 0.794 2.77 5.90 0.0630 0.10 1.02 41325 2987 0.00 0.0529 0.00000 258 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.03 0.03000 0.833 2.64 6.35 0.0600 0.10 1.10 41664 2914 0.00 0.0504 0.00000 259 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.03 0.04000 0.948 3.07 6.69 0.0703 0.12 1.16 54007 3146 0.00 0.0587 0.00000 260 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.03 0.04000 0.966 3.01 6.88 0.0690 0.12 1.19 54199 3115 0.00 0.0576 0.00000 261 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.03 0.04900 1.032 3.45 6.88 0.0791 0.13 1.19 64621 3331 9.39 0.0658 0.00002 262 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.03 0.05000 1.068 3.39 7.17 0.0780 0.13 1.24 66133 3305 0.00 0.0648 0.00000 263 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.03 0.06000 1.139 3.80 7.23 0.0878 0.15 1.25 77360 3499 108.80 0.0727 0.00033 264 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.03 0.06500 1.186 3.95 7.39 0.0913 0.15 1.28 83047 3565 407.25 0.0754 0.00132 265 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.03 0.07100 1.130 4.54 6.56 0.1047 0.17 1.14 87715 3823 334.82 0.0867 0.00119 266 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.03 0.08100 1.390 4.15 8.44 0.0971 0.16 1.46 101984 3657 1576.90 0.0794 0.00638 267 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.03 0.09200 1.400 4.68 8.01 0.1095 0.18 1.39 112326 3882 2430.33 0.0894 0.01117 268 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.03 0.10000 1.250 5.74 6.45 0.1333 0.22 1.12 115385 4300 4112.00 0.1097 0.02054 269 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.05 0.01000 0.585 1.27 4.97 0.0285 0.05 1.11 15221 2611 0.00 0.0405 0.00000 270 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.05 0.01500 0.718 1.55 5.53 0.0348 0.06 1.24 22400 2882 0.00 0.0493 0.00000 271 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.05 0.02000 0.699 2.12 4.60 0.0477 0.08 1.03 28761 3373 0.00 0.0675 0.00000 272 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.05 0.03000 0.862 2.57 5.16 0.0580 0.10 1.15 41899 3712 0.00 0.0818 0.00000 273 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.05 0.03000 1.027 2.14 6.72 0.0487 0.08 1.50 43019 3393 0.00 0.0683 0.00000 274 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.05 0.03000 0.980 2.25 6.26 0.0510 0.09 1.40 42733 3475 0.00 0.0717 0.00000 275 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.05 0.03500 0.997 2.58 5.95 0.0585 0.10 1.33 48813 3721 763.66 0.0822 0.00134 276 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.05 0.04000 0.934 3.15 5.04 0.0714 0.12 1.13 53854 4114 3000.48 0.1004 0.00600 277 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.05 0.04500 0.974 3.40 5.06 0.0770 0.13 1.13 59681 4270 4717.38 0.1082 0.01061 278 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.07 0.00700 0.534 0.98 4.37 0.0218 0.04 1.16 10875 2710 0.00 0.0436 0.00000 279 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.07 0.01000 0.633 1.18 4.73 0.0263 0.04 1.25 15322 2972 0.00 0.0524 0.00000 280 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.07 0.01300 0.631 1.53 4.13 0.0343 0.06 1.09 19441 3394 0.00 0.0684 0.00000



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 281 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.07 0.01500 0.711 1.57 4.60 0.0352 0.06 1.22 22377 3432 0.00 0.0699 0.00000 282 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.07 0.01500 0.758 1.47 5.06 0.0330 0.05 1.34 22524 3322 0.00 0.0655 0.00000 283 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.07 0.02000 0.749 1.98 4.31 0.0445 0.07 1.14 29027 3860 102.03 0.0884 0.00010 284 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.07 0.02500 0.909 2.04 5.16 0.0458 0.08 1.37 36144 3911 8799.68 0.0908 0.01099 285 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.07 0.03000 0.942 2.36 4.97 0.0531 0.09 1.32 42483 4207 15077.33 0.1050 0.02260 286 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.07 0.07000 1.420 3.60 6.06 0.0822 0.14 1.60 91585 5203 40018.57 0.1606 0.13995 287 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.09 0.01000 0.588 1.27 3.73 0.0283 0.05 1.12 15228 3501 0.00 0.0727 0.00000 288 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.09 0.01200 0.667 1.34 4.11 0.0300 0.05 1.23 18183 3598 0.00 0.0768 0.00000 289 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.09 0.01500 0.718 1.56 4.11 0.0348 0.06 1.23 22400 3876 4523.20 0.0892 0.00339 290 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.09 0.02000 0.746 1.99 3.77 0.0447 0.07 1.13 29012 4390 30711.50 0.1144 0.03069 291 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.09 0.03000 0.867 2.57 3.86 0.0577 0.10 1.16 41938 4982 48487.33 0.1473 0.07267 292 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.09 0.04000 0.866 3.43 3.34 0.0770 0.13 1.00 53053 5756 48508.75 0.1966 0.09694 293 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.09 0.05000 1.105 3.35 4.32 0.0754 0.13 1.29 66593 5684 63736.00 0.1918 0.15920 294 Cao 0.600 22.2 1.6 2570 1000 0.09 0.06000 1.260 3.51 4.80 0.0794 0.13 1.44 79079 5822 71103.33 0.2012 0.21313 295 Cao 0.600 44.3 1.6 2750 1000 0.01 0.01000 0.314 1.18 4.38 0.0531 0.09 0.44 14161 3172 0.00 0.0067 0.00000 296 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.01 0.05000 0.663 2.71 6.10 0.1257 0.21 0.61 58728 4811 0.00 0.0155 0.00000 297 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.01 0.05000 0.688 2.61 6.46 0.1211 0.20 0.65 59365 4717 0.00 0.0149 0.00000 298 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.01 0.10000 0.929 3.77 7.26 0.1794 0.30 0.73 104296 5669 0.00 0.0215 0.00000 299 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.01 0.10000 0.951 3.67 7.53 0.1753 0.29 0.75 105207 5596 0.00 0.0210 0.00000 300 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.01 0.15000 1.136 4.51 8.11 0.2201 0.37 0.81 144211 6202 0.00 0.0258 0.00000 301 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.01 0.20000 1.274 5.27 8.42 0.2616 0.44 0.84 178049 6702 0.00 0.0301 0.00000 302 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.03 0.03000 0.723 1.53 5.12 0.0692 0.12 0.89 40633 6255 0.00 0.0262 0.00000 303 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.03 0.03000 0.668 1.66 4.54 0.0749 0.12 0.79 40016 6515 0.00 0.0284 0.00000 304 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.03 0.05000 0.971 1.88 6.21 0.0858 0.14 1.07 64797 6931 0.00 0.0322 0.00000 305 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.03 0.05000 0.988 1.84 6.37 0.0843 0.14 1.10 65046 6869 0.00 0.0316 0.00000 306 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.03 0.07000 1.161 2.18 6.89 0.1005 0.17 1.19 87393 7466 0.00 0.0374 0.00000 307 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.03 0.09000 1.310 2.46 7.31 0.1145 0.19 1.27 108564 7940 0.00 0.0422 0.00000 308 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.03 0.11000 1.407 2.79 7.38 0.1303 0.22 1.28 127818 8448 410.00 0.0478 0.00071 309 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.03 0.11000 1.353 2.91 6.95 0.1355 0.23 1.20 126291 8628 0.00 0.0499 0.00000 310 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.03 0.13000 1.486 3.11 7.38 0.1458 0.24 1.28 145804 8917 45.27 0.0533 0.00009 311 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.03 0.15000 1.534 3.46 7.22 0.1630 0.27 1.25 161997 9415 487.67 0.0594 0.00115 312 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.03 0.17000 1.639 3.65 7.51 0.1729 0.29 1.30 179754 9667 585.59 0.0626 0.00156 313 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.03 0.19000 1.842 3.59 8.52 0.1719 0.29 1.48 201308 9582 1563.16 0.0615 0.00466 314 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.05 0.02000 0.702 1.06 4.63 0.0475 0.08 1.04 28778 6717 0.00 0.0302 0.00000 315 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.05 0.03000 0.822 1.35 4.80 0.0608 0.10 1.07 41571 7590 0.00 0.0386 0.00000 316 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.05 0.05000 1.012 1.82 5.09 0.0823 0.14 1.14 65386 8806 26.40 0.0520 0.00002 317 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.05 0.05000 0.973 1.89 4.80 0.0856 0.14 1.07 64826 8986 0.00 0.0541 0.00000 318 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.05 0.07000 1.169 2.19 5.35 0.0998 0.17 1.20 87544 9671 223.54 0.0627 0.00025 319 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.05 0.07000 1.228 2.08 5.77 0.0950 0.16 1.29 88606 9426 88.79 0.0595 0.00010 320 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.05 0.09000 1.365 2.40 5.98 0.1099 0.18 1.34 109786 10114 779.17 0.0685 0.00110



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 321 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.05 0.11000 1.489 2.68 6.17 0.1231 0.21 1.38 129985 10683 5850.00 0.0765 0.01009 322 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.05 0.13000 1.415 3.34 5.25 0.1531 0.26 1.18 143449 11929 8757.69 0.0953 0.01786 323 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.05 0.15000 1.646 3.28 6.16 0.1519 0.25 1.38 165972 11830 13548.33 0.0938 0.03188 324 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.07 0.03000 0.877 1.27 4.46 0.0570 0.10 1.18 42015 8706 0.00 0.0508 0.00000 325 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.07 0.05000 1.059 1.75 4.60 0.0787 0.13 1.22 66017 10207 354.20 0.0698 0.00028 326 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.07 0.07000 1.066 2.43 3.92 0.1094 0.18 1.04 85482 12036 5067.86 0.0971 0.00557 327 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.07 0.09000 1.235 2.68 4.32 0.1215 0.20 1.14 106772 12653 17172.22 0.1073 0.02425 328 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.07 0.11000 1.303 3.10 4.24 0.1407 0.23 1.12 124801 13607 24550.00 0.1241 0.04236 329 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.09 0.02500 0.958 0.97 4.92 0.0435 0.07 1.48 36391 8627 0.00 0.0499 0.00000 330 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.09 0.03000 1.038 1.07 5.07 0.0482 0.08 1.52 43082 9072 0.00 0.0551 0.00000 331 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.09 0.04000 1.143 1.30 5.08 0.0583 0.10 1.52 55815 9972 749.38 0.0666 0.00047 332 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.09 0.05000 0.918 2.02 3.26 0.0908 0.15 0.98 63975 12467 7755.00 0.1041 0.00608 333 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.09 0.07000 1.038 2.50 3.32 0.1124 0.19 1.00 84870 13857 30092.86 0.1287 0.03305 334 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.09 0.09000 1.211 2.75 3.69 0.1239 0.21 1.11 106166 14522 39722.22 0.1413 0.05608 335 Cao 0.600 44.3 1.54 2750 1000 0.09 0.11000 1.367 2.97 4.01 0.1341 0.22 1.20 126695 15086 51000.00 0.1525 0.08801 336 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.005 0.02000 0.506 5.43 9.14 0.0659 0.11 0.65 27332 637 0.00 0.0165 0.00000 337 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.005 0.03500 0.667 7.03 10.60 0.0875 0.15 0.75 45166 724 0.00 0.0213 0.00000 338 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.005 0.05000 0.756 8.72 10.78 0.1102 0.18 0.76 60942 806 0.00 0.0264 0.00000 339 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.005 0.08000 0.927 11.00 11.77 0.1438 0.24 0.83 90124 906 0.00 0.0333 0.00000 340 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.005 0.10000 1.005 12.47 11.98 0.1658 0.28 0.85 107334 965 27.83 0.0378 0.00035 341 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.005 0.12000 1.092 13.51 12.51 0.1832 0.31 0.88 124185 1004 115.94 0.0409 0.00176 342 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.005 0.14000 1.173 14.39 13.02 0.1989 0.33 0.92 140303 1036 302.86 0.0436 0.00537 343 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.005 0.17000 1.301 15.26 14.02 0.2178 0.36 0.99 164162 1067 492.59 0.0463 0.01061 344 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.0075 0.08000 1.047 9.93 11.42 0.1273 0.21 0.99 93601 1054 36.11 0.0451 0.00037 345 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.0075 0.10000 1.134 11.30 11.60 0.1470 0.24 1.00 111864 1125 187.09 0.0514 0.00237 346 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.0075 0.12000 1.150 13.34 10.83 0.1739 0.29 0.94 126606 1222 424.00 0.0606 0.00645 347 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.0075 0.14000 1.280 13.68 11.90 0.1823 0.30 1.03 145140 1237 518.64 0.0622 0.00920 348 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.01 0.02000 0.613 4.54 8.56 0.0544 0.09 0.86 28219 823 0.00 0.0275 0.00000 349 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.01 0.03000 0.732 5.64 9.17 0.0683 0.11 0.92 40727 918 0.00 0.0342 0.00000 350 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.01 0.04000 0.818 6.67 9.43 0.0815 0.14 0.94 52425 998 0.00 0.0405 0.00000 351 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.01 0.05000 0.904 7.48 9.84 0.0922 0.15 0.98 63746 1056 0.00 0.0453 0.00000 352 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.01 0.06100 0.992 8.23 10.29 0.1025 0.17 1.03 75779 1108 16.42 0.0499 0.00013 353 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.01 0.07000 1.034 9.02 10.25 0.1128 0.19 1.03 84781 1160 51.86 0.0547 0.00046 354 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.01 0.09000 1.158 10.20 10.80 0.1295 0.22 1.08 104765 1233 465.22 0.0618 0.00531 355 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.01 0.11000 1.222 11.71 10.63 0.1500 0.25 1.06 122215 1322 795.00 0.0710 0.01109 356 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.01 0.13000 1.308 12.79 10.89 0.1656 0.28 1.09 139591 1381 1147.65 0.0775 0.01891 357 Cao 0.600 11.5 1.59 2650 1000 0.01 0.15000 1.416 13.43 11.51 0.1766 0.29 1.15 157380 1415 1432.77 0.0814 0.02724 358 1 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00499 0.00600 0.448 12.73 11.44 0.0335 0.08 0.81 12854 96 1.60 0.0385 0.00002 359 2 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00499 0.00691 0.480 13.58 11.87 0.0360 0.09 0.84 14638 99 4.60 0.0411 0.00006 360 3 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00494 0.00671 0.467 13.57 11.62 0.0359 0.09 0.82 14224 99 4.70 0.0406 0.00006



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 361 5 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00496 0.00918 0.537 15.88 12.33 0.0427 0.11 0.87 18910 107 661.50 0.0477 0.01167 362 6 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00505 0.01059 0.568 17.23 12.40 0.0466 0.12 0.88 21472 113 714.90 0.0527 0.01455 363 8 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.005 0.01470 0.631 21.16 12.49 0.0582 0.15 0.88 28459 124 959.89 0.0641 0.02711 364 9 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00491 0.00762 0.496 14.42 12.00 0.0384 0.10 0.84 15975 102 81.60 0.0429 0.00119 365 9 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00509 0.01880 0.694 24.24 12.72 0.0677 0.17 0.91 35118 134 1266.30 0.0748 0.04576 366 10 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00506 0.01110 0.588 17.37 12.77 0.0472 0.12 0.91 22451 113 445.80 0.0533 0.00951 367 11 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00502 0.00937 0.565 15.35 13.09 0.0415 0.10 0.93 19406 106 84.00 0.0467 0.00151 368 12 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00509 0.00801 0.530 14.11 12.73 0.0378 0.09 0.91 16848 102 391.40 0.0435 0.00603 369 13 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00496 0.00617 0.478 12.18 12.51 0.0323 0.08 0.88 13287 94 98.30 0.0366 0.00117 370 15 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.0025 0.00929 0.438 19.17 12.88 0.0530 0.13 0.64 18356 84 3.00 0.0290 0.00005 371 16 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00251 0.01110 0.477 20.73 13.46 0.0582 0.15 0.67 21495 87 2.50 0.0315 0.00005 372 17 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.0025 0.01229 0.489 22.24 13.36 0.0628 0.16 0.67 23381 90 8.40 0.0337 0.00020 373 18 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.0025 0.02441 0.619 32.86 13.91 0.0985 0.25 0.70 40884 110 427.30 0.0498 0.02004 374 19 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00251 0.01529 0.518 25.83 13.10 0.0738 0.18 0.66 27924 97 79.90 0.0393 0.00235 375 19 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00496 0.00476 0.439 10.31 12.49 0.0271 0.07 0.88 10473 86 76.70 0.0310 0.00070 376 20 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00295 0.01659 0.538 27.30 12.20 0.0771 0.19 0.66 29940 108 104.00 0.0488 0.00332 377 21 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00298 0.01739 0.546 28.13 12.14 0.0796 0.20 0.66 31091 111 113.80 0.0508 0.00380 378 22 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00298 0.01880 0.563 29.32 12.26 0.0835 0.21 0.67 33160 113 135.50 0.0529 0.00490 379 23 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00249 0.01999 0.573 29.73 13.56 0.0872 0.22 0.68 34803 104 166.70 0.0449 0.00640 380 26 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.0029 0.02500 0.637 33.27 13.20 0.0981 0.25 0.71 41937 119 313.90 0.0585 0.01508 381 27 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.0024 0.01781 0.564 26.86 14.31 0.0789 0.20 0.70 31931 97 123.50 0.0391 0.00423 382 28 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00253 0.01770 0.556 27.42 13.58 0.0796 0.20 0.68 31647 101 119.80 0.0420 0.00407 383 29 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00251 0.02189 0.595 31.08 13.71 0.0920 0.23 0.69 37479 107 215.70 0.0473 0.00907 384 32 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.0025 0.03271 0.671 39.62 13.72 0.1219 0.30 0.69 50800 120 222.50 0.0600 0.01398 385 33 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.0025 0.04129 0.749 42.81 14.72 0.1378 0.34 0.74 61109 125 565.40 0.0649 0.04486 386 34 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00125 0.02260 0.483 37.09 14.43 0.1170 0.29 0.51 35640 82 1.60 0.0281 0.00007 387 35 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.0013 0.02631 0.513 40.05 14.46 0.1283 0.32 0.52 40064 87 6.00 0.0316 0.00030 388 36 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.0013 0.02959 0.545 41.21 15.16 0.1357 0.34 0.55 44072 88 9.20 0.0325 0.00052 389 37 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00123 0.03200 0.542 44.22 14.97 0.1475 0.37 0.53 46039 89 8.70 0.0330 0.00053 390 39 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00119 0.03851 0.582 47.27 15.79 0.1655 0.41 0.54 52681 91 10.30 0.0341 0.00076 391 40 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.0012 0.04400 0.625 48.13 16.75 0.1759 0.44 0.58 58530 92 18.70 0.0350 0.00158 392 41 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00123 0.04799 0.657 48.74 17.27 0.1826 0.46 0.61 62710 94 29.60 0.0363 0.00273 393 43 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00125 0.05250 0.676 51.10 17.21 0.1942 0.49 0.61 66588 97 47.00 0.0387 0.00474 394 45 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00128 0.05779 0.659 59.33 15.40 0.2192 0.55 0.55 68932 105 54.70 0.0460 0.00608 395 46 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.0019 0.09919 0.864 75.20 14.71 0.2871 0.72 0.64 101812 144 31.00 0.0866 0.00591 396 49 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00129 0.05601 0.679 54.85 16.43 0.2063 0.52 0.59 68926 102 59.30 0.0429 0.00638 397 50 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00506 0.00167 0.319 12.57 12.77 0.0131 0.03 0.91 3921 25 43.10 0.0351 0.00048 398 51 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00504 0.00229 0.341 16.05 12.12 0.0168 0.04 0.86 5291 28 140.80 0.0447 0.00216 399 52 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.005 0.00283 0.369 18.24 12.33 0.0192 0.05 0.87 6460 30 259.70 0.0504 0.00491 400 53 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00481 0.00385 0.410 22.10 12.69 0.0235 0.06 0.88 8615 32 776.50 0.0587 0.01997



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 401 55 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00497 0.01249 0.628 44.46 13.49 0.0497 0.12 0.95 25004 47 2722.00 0.1221 0.22694 402 56 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00519 0.00419 0.429 22.94 12.56 0.0244 0.06 0.91 9338 34 458.80 0.0658 0.01284 403 57 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00498 0.00320 0.392 19.29 12.77 0.0204 0.05 0.90 7260 31 377.50 0.0531 0.00807 404 58 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00502 0.00170 0.310 13.17 12.18 0.0137 0.03 0.86 3975 25 214.80 0.0365 0.00244 405 59 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.005 0.00623 0.491 29.34 12.95 0.0317 0.08 0.92 13444 38 1824.20 0.0810 0.07588 406 59 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00509 0.00080 0.221 8.88 10.49 0.0091 0.02 0.75 1923 21 65.10 0.0250 0.00035 407 63 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00255 0.00362 0.367 22.61 15.42 0.0247 0.06 0.78 8064 24 151.30 0.0318 0.00366 408 64 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00252 0.00422 0.368 26.24 14.43 0.0287 0.07 0.72 9224 25 201.90 0.0365 0.00569 409 65 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00248 0.00535 0.399 30.23 14.73 0.0335 0.08 0.73 11460 27 322.20 0.0414 0.01151 410 66 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00248 0.00623 0.429 32.38 15.29 0.0363 0.09 0.76 13182 28 372.30 0.0444 0.01549 411 67 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00231 0.01031 0.503 43.89 15.96 0.0512 0.13 0.77 20516 32 489.70 0.0560 0.03370 412 68 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00246 0.01260 0.525 51.35 14.91 0.0600 0.15 0.74 24233 35 697.00 0.0698 0.05864 413 69 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00236 0.01940 0.581 69.18 14.51 0.0835 0.21 0.70 34208 40 767.10 0.0902 0.09934 414 70 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00266 0.01121 0.511 47.75 14.46 0.0549 0.14 0.75 21995 35 1022.60 0.0702 0.07656 415 71 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00249 0.00637 0.412 34.77 14.12 0.0387 0.10 0.70 13345 29 112.70 0.0478 0.00479 416 72 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00248 0.00456 0.356 29.34 13.33 0.0320 0.08 0.66 9825 27 36.10 0.0402 0.00110 417 73 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00248 0.00337 0.311 25.24 12.55 0.0271 0.07 0.62 7420 25 10.40 0.0346 0.00023 418 74 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00254 0.00215 0.260 19.61 11.76 0.0207 0.05 0.59 4875 22 9.10 0.0275 0.00013 419 78 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00127 0.00765 0.397 40.24 17.71 0.0482 0.12 0.63 15401 22 64.90 0.0282 0.00331 420 80 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00129 0.01104 0.421 26.93 16.14 0.0655 0.16 0.58 20797 64 96.20 0.0211 0.00204 421 81 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00121 0.01399 0.439 63.83 15.96 0.0796 0.20 0.56 25014 28 117.20 0.0427 0.01095 422 82 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00131 0.01671 0.471 70.53 15.64 0.0887 0.22 0.57 28933 30 109.00 0.0510 0.01216 423 83 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00125 0.01920 0.487 76.52 15.91 0.0985 0.25 0.56 32157 31 156.50 0.0528 0.02006 424 84 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00123 0.02101 0.484 84.20 15.19 0.1085 0.27 0.53 34052 32 129.60 0.0572 0.01818 425 85 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00125 0.01220 0.415 60.40 15.25 0.0735 0.18 0.54 22311 27 46.10 0.0417 0.00376 426 86 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00126 0.01206 0.410 60.69 14.98 0.0735 0.18 0.53 22053 27 46.70 0.0422 0.00376 427 87 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.0013 0.02591 0.535 91.16 15.70 0.1210 0.30 0.57 40357 34 195.40 0.0655 0.03380 428 88 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00185 0.02990 0.575 103.38 13.27 0.1301 0.33 0.57 45292 43 314.20 0.1057 0.06273 429 89 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.0012 0.01591 0.437 73.09 14.89 0.0911 0.23 0.52 27334 29 45.50 0.0485 0.00483 430 90 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00125 0.01130 0.401 58.43 14.98 0.0704 0.17 0.48 23430 27 33.00 0.0404 0.00249 431 91 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.0012 0.00906 0.368 52.02 14.86 0.0616 0.15 0.51 17318 25 19.30 0.0345 0.00117 432 92 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00119 0.04890 0.652 49.63 17.27 0.1875 0.47 0.60 63099 93 29.00 0.0358 0.00273 433 92 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00119 0.00575 0.304 40.32 13.83 0.0472 0.12 0.48 11626 22 10.00 0.0265 0.00038 434 97 Casey 0.400 1 2.81 2810 1000 0.00125 0.00940 0.419 45.97 17.65 0.0561 0.14 0.62 18354 24 82.90 0.0317 0.00520 435 98 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00126 0.02979 0.514 44.79 13.94 0.1448 0.36 0.49 43196 91 2.40 0.0342 0.00014 436 99 Casey 0.400 2.46 1.16 2650 1000 0.00121 0.02121 0.454 37.59 13.71 0.1167 0.29 0.48 33484 82 0.02 0.0276 0.00000 437 1 Einstein 0.307 1.3 1.11 2650 1000 0.0141 0.07929 1.870 77.02 15.89 0.1381 0.45 1.89 135952 153 5500.00 438 2 Einstein 0.307 1.3 1.11 2650 1000 0.0193 0.07447 2.030 69.87 15.48 0.1195 0.39 2.15 136397 170 11055.00 0.8172 5.36639 439 3 Einstein 0.307 1.3 1.11 2650 1000 0.0209 0.07447 2.084 68.62 15.41 0.1164 0.38 2.23 137964 176 14420.00 0.8692 6.99984 440 4 Einstein 0.307 1.3 1.11 2650 1000 0.0237 0.07419 2.098 69.72 14.45 0.1152 0.38 2.22 138054 189 22271.00 1.0015 10.76984



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 441 5 Einstein 0.307 1.3 1.11 2650 1000 0.0258 0.07391 2.219 65.48 15.12 0.1085 0.35 2.43 141044 191 35970.00 1.0239 17.32807 442 6 Einstein 0.307 0.94 1.17 2650 1000 0.0143 0.08297 1.899 109.32 15.82 0.1423 0.46 1.89 140243 113 2543.00 0.9474 2.23668 443 7 Einstein 0.307 0.94 1.17 2650 1000 0.0142 0.08240 1.898 108.42 15.93 0.1414 0.46 1.90 139712 112 12667.00 0.9331 11.06519 444 8 Einstein 0.307 0.94 1.17 2650 1000 0.014 0.08127 1.909 105.56 16.35 0.1387 0.45 1.93 139064 110 4240.00 0.8957 3.65290 445 9 Einstein 0.307 0.94 1.17 2650 1000 0.0153 0.08014 1.947 103.79 16.09 0.1341 0.44 1.99 139320 114 9384.00 0.9624 7.97202 446 10 Einstein 0.307 0.94 1.17 2650 1000 0.0173 0.07957 2.020 100.98 15.92 0.1283 0.42 2.09 141182 119 14640.00 1.0588 12.34917 447 11 Einstein 0.307 0.274 1.22 2650 1000 0.0133 0.07844 1.918 340.99 17.37 0.1332 0.43 2.00 136795 30 8234.00 2.7486 43.50617 448 12 Einstein 0.307 0.274 1.22 2650 1000 0.0124 0.07816 1.929 328.46 18.43 0.1320 0.43 2.05 136874 29 17050.00 2.4684 89.76243 449 13 Einstein 0.307 0.274 1.22 2650 1000 0.0128 0.07731 1.890 339.49 17.49 0.1332 0.43 1.98 134819 30 20384.00 2.6336 106.14766 450 14 Einstein 0.307 0.274 1.22 2650 1000 0.017 0.07731 2.029 332.70 16.46 0.1241 0.40 2.15 139238 34 25860.00 3.4278 134.66339 451 15 Einstein 0.307 0.274 1.22 2650 1000 0.0167 0.07731 2.029 330.98 16.65 0.1241 0.40 2.15 139238 33 41027.00 3.3499 213.64404 452 16 Einstein 0.307 0.274 1.22 2650 1000 0.0187 0.07504 2.051 326.45 16.01 0.1192 0.39 2.19 137587 35 52238.00 3.6998 264.05403 453 274 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0126 0.01027 0.971 60.28 15.81 0.0347 0.11 1.77 27441 31 14000.00 0.4603 3.88615 454 281 Gilbert 0.402 0.506 1.12 2650 1000 0.0132 0.01028 0.864 54.11 14.51 0.0296 0.07 1.67 22288 30 12600.00 0.4328 2.65489 455 291 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0111 0.00263 0.587 39.64 12.57 0.0223 0.11 1.32 10721 24 6080.00 0.2667 0.65631 456 292 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0136 0.00263 0.652 35.80 13.26 0.0201 0.10 1.55 10916 25 8350.00 0.2951 0.90135 457 293 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0156 0.00263 0.682 34.36 13.23 0.0192 0.10 1.65 10998 26 13300.00 0.3249 1.43568 458 302 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0094 0.00515 0.718 59.82 13.60 0.0357 0.18 1.32 18921 27 5400.00 0.3408 1.14102 459 303 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0116 0.00515 0.875 48.09 16.63 0.0293 0.15 1.79 19854 27 7600.00 0.3381 1.60588 460 304 Gilbert 0.201 0.505 1.12 2650 1000 0.0116 0.00515 0.765 57.01 13.37 0.0335 0.17 1.44 19231 29 8700.00 0.4009 1.84378 461 305 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0157 0.00515 0.906 48.11 14.80 0.0283 0.14 1.85 20008 31 15100.00 0.4578 3.19064 462 308 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0064 0.01028 0.755 104.08 13.14 0.0677 0.34 1.05 30556 29 3110.00 0.4037 1.31059 463 309 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.007 0.01028 0.795 98.84 13.57 0.0643 0.32 1.14 31186 30 3300.00 0.4193 1.39066 464 310 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0061 0.01028 0.788 96.86 14.55 0.0649 0.32 1.14 31073 27 3700.00 0.3581 1.55922 465 311 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0063 0.01028 0.777 99.60 13.93 0.0658 0.33 1.11 30905 28 3400.00 0.3803 1.43280 466 312 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0066 0.01028 0.792 98.13 13.96 0.0646 0.32 1.13 31130 29 3700.00 0.3925 1.55922 467 313 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0067 0.01028 0.818 93.94 14.64 0.0625 0.31 1.20 31531 28 3800.00 0.3815 1.60136 468 314 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0087 0.01028 0.902 87.10 14.71 0.0567 0.28 1.37 32694 31 5250.00 0.4593 2.21241 469 315 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0095 0.01028 0.965 80.85 15.63 0.0530 0.26 1.52 33482 31 7600.00 0.4655 3.20273 470 316 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0104 0.01028 1.005 78.01 15.83 0.0509 0.25 1.61 33946 32 3100.00 0.4917 1.30638 471 317 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0108 0.01028 0.999 79.32 15.32 0.0512 0.25 1.59 33879 33 8750.00 0.5192 3.68735 472 318 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0107 0.01028 0.970 82.38 14.67 0.0527 0.26 1.52 33548 33 9150.00 0.5342 3.85592 473 319 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0108 0.01028 1.023 76.74 15.95 0.0500 0.25 1.66 34150 32 9250.00 0.5023 3.89806 474 320 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0119 0.01028 0.965 84.79 13.63 0.0530 0.26 1.49 33482 36 11800.00 0.6115 4.97266 475 321 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0123 0.01028 0.999 81.48 14.16 0.0512 0.25 1.57 33879 36 11800.00 0.6074 4.97266 476 322 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0141 0.01028 1.160 68.40 16.76 0.0441 0.22 1.99 35543 35 33000.00 0.5845 13.90659 477 326 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0051 0.01543 0.874 116.80 16.08 0.0878 0.44 1.15 40977 28 2920.00 0.3610 1.84740 478 327 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0056 0.01543 0.887 118.22 15.47 0.0866 0.43 1.16 41240 29 3040.00 0.4012 1.92332 479 328 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0057 0.01543 0.906 114.75 15.91 0.0847 0.42 1.20 41663 29 3080.00 0.3964 1.94863 480 329 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0058 0.01543 0.874 122.34 14.73 0.0878 0.44 1.12 40977 30 3000.00 0.4301 1.89801



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 481 330 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.006 0.01543 0.831 133.81 13.16 0.0924 0.46 1.02 40000 32 2660.00 0.4866 1.68291 482 332 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0057 0.01543 0.840 129.57 13.87 0.0914 0.45 1.05 40208 31 3400.00 0.4476 2.15108 483 333 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0078 0.01543 0.988 111.16 15.06 0.0777 0.39 1.33 43300 33 4900.06 0.5255 3.10013 484 334 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0082 0.01543 0.969 116.10 14.10 0.0792 0.39 1.28 42938 35 5700.00 0.5770 3.60623 485 335 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0096 0.01543 1.129 96.51 16.65 0.0680 0.34 1.63 45792 34 7400.00 0.5615 4.68177 486 336 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0098 0.01543 1.129 97.13 16.43 0.0680 0.34 1.63 45792 35 7600.00 0.5769 4.80830 487 337 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0099 0.01543 1.105 100.72 15.70 0.0695 0.35 1.56 45388 36 7700.00 0.6043 4.87157 488 338 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0101 0.01543 1.040 110.65 13.97 0.0738 0.37 1.40 44269 38 8400.00 0.6773 5.31444 489 339 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0112 0.01543 1.114 102.86 14.74 0.0689 0.34 1.56 45549 38 9500.00 0.6982 6.01038 490 340 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0112 0.01543 1.055 111.29 13.41 0.0728 0.36 1.42 44524 40 0.7554 0.00000 491 341 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0121 0.01543 1.134 102.26 14.47 0.0677 0.34 1.59 45874 40 10500.00 0.7499 6.64305 492 343 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0062 0.02078 1.067 120.74 17.51 0.0969 0.48 1.38 52644 31 3150.00 0.4537 2.68408 493 346 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0099 0.02078 1.289 106.01 17.86 0.0802 0.40 1.78 57510 37 7700.00 0.6361 6.56109 494 347 Gilbert 0.201 0.506 1.12 2650 1000 0.0104 0.02078 1.225 117.36 15.74 0.0844 0.42 1.61 56203 39 7900.00 0.7397 6.73150 495 353 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0168 0.00515 0.853 35.99 15.58 0.0198 0.06 2.02 14956 28 16300.00 0.3665 2.26978 496 354 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0185 0.00515 0.894 34.39 15.91 0.0189 0.06 2.16 15035 28 18800.00 0.3856 2.61791 497 363 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0073 0.01028 0.778 73.82 15.05 0.0433 0.14 1.29 26249 26 4500.00 0.3266 1.24973 498 364 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.007 0.01027 0.773 74.05 15.23 0.0436 0.14 1.27 26196 26 4600.00 0.3142 1.27688 499 365 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0073 0.01028 0.784 73.19 15.22 0.0430 0.14 1.30 26289 26 4400.00 0.3238 1.22196 500 366 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0082 0.01028 0.768 76.11 13.79 0.0439 0.14 1.25 26169 28 5600.00 0.3782 1.55522 501 367 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0083 0.01028 0.832 69.14 15.59 0.0405 0.13 1.42 26630 27 5900.00 0.3478 1.63853 502 368 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0095 0.01028 0.820 71.50 14.12 0.0411 0.13 1.38 26547 29 8200.00 0.4117 2.27728 503 369 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0093 0.01028 0.899 63.85 16.55 0.0375 0.12 1.60 27050 27 8400.00 0.3599 2.33283 504 370 Gilbert 0.305 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Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0128 0.01543 1.122 76.10 16.13 0.0451 0.15 1.83 39049 35 13300.00 0.5903 5.54531



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 521 390 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.015 0.01543 1.219 70.15 16.87 0.0415 0.14 2.07 39773 37 17200.00 0.6377 7.17138 522 395 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0034 0.02078 0.732 141.25 14.99 0.0931 0.31 0.87 42313 25 1950.00 0.2911 1.09501 523 397 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0056 0.02078 0.964 107.72 17.61 0.0707 0.23 1.32 46559 28 3500.00 0.3656 1.96539 524 398 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0056 0.02078 0.927 113.74 16.49 0.0735 0.24 1.23 45982 28 3900.00 0.3860 2.19001 525 399 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0057 0.02078 0.856 127.22 14.27 0.0796 0.26 1.08 44774 30 5300.00 0.4395 2.97617 526 400 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0061 0.02078 0.898 120.95 14.84 0.0759 0.25 1.16 45499 31 3700.00 0.4471 2.07770 527 401 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0059 0.02076 0.959 109.71 16.92 0.0710 0.23 1.30 46452 29 4600.00 0.3923 2.58060 528 402 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0081 0.02078 1.011 108.92 15.28 0.0674 0.22 1.38 47258 33 6350.00 0.5347 3.56578 529 403 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0099 0.02078 1.153 95.00 16.88 0.0591 0.19 1.68 49112 35 8500.00 0.5700 4.77310 530 404 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0101 0.02078 1.101 101.27 15.45 0.0619 0.20 1.55 48470 36 8700.00 0.6199 4.88540 531 405 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0115 0.02078 1.196 93.03 16.41 0.0570 0.19 1.76 49604 37 11100.00 0.6484 6.23310 532 406 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0129 0.02075 1.121 102.54 13.83 0.0607 0.20 1.57 48673 41 12800.00 0.8017 7.17734 533 407 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0057 0.03169 1.092 137.36 17.52 0.0951 0.31 1.32 63986 32 3600.00 0.4745 3.08192 534 408 Gilbert 0.305 0.505 1.12 2650 1000 0.0066 0.03169 1.117 138.68 16.59 0.0930 0.30 1.35 64534 34 3850.00 0.5547 3.30574 535 409 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0117 0.03169 1.332 123.35 15.74 0.0780 0.26 1.70 68733 43 10600.00 0.8746 9.07455 536 410 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0122 0.03167 1.347 122.47 15.64 0.0771 0.25 1.73 68959 44 11000.00 0.9055 9.41105 537 415 Gilbert 0.402 0.506 1.12 2650 1000 0.0114 0.00515 0.628 38.14 13.53 0.0204 0.05 1.44 11640 24 5800.00 0.2635 0.61277 538 416 Gilbert 0.402 0.506 1.12 2650 1000 0.0124 0.00515 0.628 38.28 12.95 0.0204 0.05 1.44 11640 25 8300.00 0.2877 0.87690 539 417 Gilbert 0.402 0.506 1.12 2650 1000 0.0164 0.00515 0.763 31.44 15.08 0.0168 0.04 1.93 11832 26 11200.00 0.3125 1.18328 540 429 Gilbert 0.402 0.506 1.12 2650 1000 0.0089 0.01028 0.699 66.80 12.86 0.0366 0.09 1.21 21631 27 5500.00 0.3603 1.15888 541 430 Gilbert 0.402 0.506 1.12 2650 1000 0.0107 0.01028 0.792 58.82 14.16 0.0323 0.08 1.47 22030 28 8300.00 0.3814 1.74886 542 431 Gilbert 0.402 0.506 1.12 2650 1000 0.0123 0.01028 0.807 58.13 13.54 0.0317 0.08 1.50 22086 30 10800.00 0.4333 2.27562 543 432 Gilbert 0.402 0.506 1.12 2650 1000 0.0127 0.01028 0.838 55.80 14.13 0.0305 0.08 1.59 22201 30 11400.00 0.4295 2.40205 544 434 Gilbert 0.402 0.506 1.12 2650 1000 0.0133 0.01028 0.987 46.58 17.80 0.0259 0.06 2.05 22651 28 12500.00 0.3755 2.63382 545 435 Gilbert 0.402 0.506 1.12 2650 1000 0.0146 0.01028 0.933 49.97 15.51 0.0274 0.07 1.87 22502 30 15000.00 0.4422 3.16059 546 436 Gilbert 0.402 0.505 1.12 2650 1000 0.0144 0.01028 0.944 49.41 15.89 0.0271 0.07 1.91 22532 30 15300.00 0.4312 3.23338 547 440 Gilbert 0.402 0.506 1.12 2650 1000 0.0083 0.01543 0.829 82.10 14.26 0.0463 0.12 1.30 31201 29 6200.00 0.4130 1.96128 548 441 Gilbert 0.402 0.506 1.12 2650 1000 0.0085 0.01543 0.893 75.48 15.82 0.0430 0.11 1.46 31623 29 7650.00 0.3888 2.41997 549 442 Gilbert 0.402 0.506 1.12 2650 1000 0.011 0.01543 0.955 71.50 15.28 0.0402 0.10 1.60 31990 32 10300.00 0.4767 3.25826 550 443 Gilbert 0.402 0.506 1.12 2650 1000 0.0137 0.01543 1.066 64.18 16.14 0.0360 0.09 1.89 32557 33 13600.00 0.5329 4.30216 551 449 Gilbert 0.402 0.506 1.12 2650 1000 0.0055 0.02078 0.898 95.67 17.56 0.0576 0.14 1.30 40186 26 3600.00 0.3189 1.53376 552 450 Gilbert 0.402 0.506 1.12 2650 1000 0.0085 0.02078 0.912 99.15 14.10 0.0567 0.14 1.30 40326 33 5050.00 0.5108 2.15152 553 452 Gilbert 0.402 0.506 1.12 2650 1000 0.0073 0.02078 0.927 95.61 15.74 0.0558 0.14 1.34 40467 30 5800.00 0.4230 2.47106 554 453 Gilbert 0.402 0.506 1.12 2650 1000 0.0087 0.02078 1.016 87.37 16.54 0.0509 0.13 1.54 41254 31 7650.00 0.4607 3.25924 555 454 Gilbert 0.402 0.506 1.12 2650 1000 0.0105 0.02078 1.040 86.73 15.47 0.0497 0.12 1.59 41452 34 10900.00 0.5519 4.64388 556 455 Gilbert 0.402 0.506 1.12 2650 1000 0.0115 0.02078 1.139 78.65 17.00 0.0454 0.11 1.82 42175 34 12200.00 0.5481 5.19774 557 456 Gilbert 0.402 0.506 1.12 2650 1000 0.0137 0.02075 1.184 76.40 16.43 0.0436 0.11 1.92 42424 36 14800.00 0.6344 6.29636 558 461 Gilbert 0.597 0.506 1.12 2650 1000 0.0099 0.01028 0.635 51.34 12.65 0.0271 0.05 1.26 15785 25 5830.00 0.3080 0.82717 559 462 Gilbert 0.597 0.506 1.12 2650 1000 0.0109 0.01028 0.706 46.08 14.13 0.0244 0.04 1.48 15917 25 7450.00 0.3044 1.05702 560 463 Gilbert 0.597 0.506 1.12 2650 1000 0.0121 0.01028 0.723 45.05 13.91 0.0238 0.04 1.53 15946 26 8750.00 0.3303 1.24147



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 601 686 Gilbert 0.305 3.17 1.13 2650 1000 0.017 0.01028 0.851 11.49 10.91 0.0396 0.13 1.42 26754 247 4960.00 0.1184 0.08785 602 687 Gilbert 0.305 3.17 1.13 2650 1000 0.0165 0.01028 0.789 12.49 9.86 0.0427 0.14 1.27 26329 254 5200.00 0.1249 0.09210 603 688 Gilbert 0.305 3.17 1.13 2650 1000 0.0077 0.02078 0.834 22.04 11.48 0.0817 0.27 1.01 44372 230 1230.00 0.1028 0.04405 604 689 Gilbert 0.305 3.17 1.13 2650 1000 0.0077 0.02078 0.847 21.63 11.76 0.0805 0.26 1.03 44601 228 2230.00 0.1010 0.07986 605 690 Gilbert 0.305 3.17 1.13 2650 1000 0.0152 0.02078 1.031 18.49 11.03 0.0661 0.22 1.36 47539 296 4850.00 0.1703 0.17368 606 691 Gilbert 0.305 3.17 1.13 2650 1000 0.016 0.02078 1.060 17.99 11.20 0.0643 0.21 1.42 47934 300 5250.00 0.1745 0.18801 607 692 Gilbert 0.305 3.17 1.13 2650 1000 0.008 0.03169 1.033 25.72 12.91 0.1006 0.33 1.15 62596 254 1660.00 0.1247 0.09063 608 693 Gilbert 0.305 3.17 1.13 2650 1000 0.0085 0.03169 0.994 27.32 11.70 0.1045 0.34 1.08 61646 269 1710.00 0.1407 0.09336 609 694 Gilbert 0.402 3.17 1.13 2650 1000 0.0116 0.01028 0.722 10.44 11.77 0.0354 0.09 1.27 21741 195 2040.00 0.0734 0.02741 610 695 Gilbert 0.402 3.17 1.13 2650 1000 0.0121 0.01028 0.710 10.66 11.21 0.0360 0.09 1.23 21686 201 2040.00 0.0782 0.02741 611 696 Gilbert 0.402 3.17 1.13 2650 1000 0.0205 0.01028 0.737 10.48 9.01 0.0347 0.09 1.29 21805 259 6700.00 0.1303 0.09003 612 697 Gilbert 0.402 3.17 1.13 2650 1000 0.0207 0.01028 0.777 9.91 9.73 0.0329 0.08 1.40 21973 253 6900.00 0.1243 0.09272 613 698 Gilbert 0.402 3.17 1.13 2650 1000 0.0083 0.02078 0.800 18.39 11.62 0.0646 0.16 1.06 39127 218 1260.00 0.0925 0.03423 614 699 Gilbert 0.402 3.17 1.13 2650 1000 0.0085 0.02078 0.812 18.13 11.72 0.0637 0.16 1.08 39260 219 1280.00 0.0934 0.03478 615 700 Gilbert 0.402 3.17 1.13 2650 1000 0.0086 0.02078 0.789 18.74 11.15 0.0655 0.16 1.03 38994 224 1280.00 0.0977 0.03478 616 701 Gilbert 0.402 3.17 1.13 2650 1000 0.0148 0.02078 0.965 15.56 11.40 0.0536 0.13 1.39 40817 268 5000.00 0.1395 0.13585 617 702 Gilbert 0.402 3.17 1.13 2650 1000 0.0158 0.02078 0.942 16.05 10.61 0.0549 0.14 1.33 40610 281 5050.00 0.1537 0.13721 618 703 Gilbert 0.402 3.17 1.13 2650 1000 0.0074 0.03169 0.941 22.88 12.96 0.0838 0.21 1.12 55629 230 1700.00 0.1026 0.07042 619 704 Gilbert 0.402 3.17 1.13 2650 1000 0.0084 0.03169 0.898 24.55 11.21 0.0878 0.22 1.03 54858 254 1700.00 0.1250 0.07042 620 705 Gilbert 0.402 3.17 1.13 2650 1000 0.0084 0.03169 0.910 24.15 11.46 0.0866 0.22 1.05 55087 252 1880.00 0.1229 0.07787 621 706 Gilbert 0.201 4.938 1.13 2650 1000 0.0111 0.01028 0.847 10.18 11.44 0.0604 0.30 1.21 31942 365 1020.00 0.0685 0.01410 622 707 Gilbert 0.201 4.938 1.13 2650 1000 0.0144 0.01028 0.902 9.77 10.92 0.0567 0.28 1.31 32694 408 2400.00 0.0853 0.03318 623 708 Gilbert 0.201 4.938 1.13 2650 1000 0.0148 0.01028 0.874 10.20 10.22 0.0585 0.29 1.24 32324 422 2600.00 0.0915 0.03594 624 709 Gilbert 0.201 4.938 1.13 2650 1000 0.0182 0.01028 0.959 9.34 10.57 0.0533 0.27 1.43 33417 448 4750.00 0.1030 0.06566 625 710 Gilbert 0.201 4.938 1.13 2650 1000 0.019 0.01027 0.959 9.40 10.31 0.0533 0.27 1.42 33401 459 4860.00 0.1083 0.06715 626 713 Gilbert 0.201 4.938 1.13 2650 1000 0.0068 0.02078 0.909 16.71 12.26 0.1137 0.57 1.01 48515 366 445.90 0.0689 0.01246 627 714 Gilbert 0.201 4.938 1.13 2650 1000 0.007 0.02078 0.932 18.05 12.57 0.1109 0.55 1.05 49158 366 0.0766 0.00000 628 715 Gilbert 0.201 4.938 1.13 2650 1000 0.0095 0.02078 0.992 16.10 11.53 0.1042 0.52 1.12 50767 425 1230.00 0.0927 0.03438 629 716 Gilbert 0.201 4.938 1.13 2650 1000 0.0119 0.02078 1.054 15.58 11.12 0.0981 0.49 1.21 52326 468 2350.00 0.1124 0.06568 630 717 Gilbert 0.201 4.938 1.13 2650 1000 0.0119 0.02076 1.046 15.74 10.98 0.0988 0.49 1.20 52092 470 2350.00 0.1135 0.06562 631 718 Gilbert 0.201 4.938 1.13 2650 1000 0.0171 0.02078 1.162 14.69 10.53 0.0890 0.44 1.38 54839 545 5050.00 0.1523 0.14115 632 721 Gilbert 0.201 4.938 1.13 2650 1000 0.0062 0.03169 0.927 24.00 10.92 0.1701 0.85 0.86 58548 419 347.00 0.0902 0.01479 633 722 Gilbert 0.201 4.938 1.13 2650 1000 0.0098 0.03169 1.124 22.88 11.38 0.1402 0.70 1.13 65821 488 1550.00 0.1359 0.06605 634 723 Gilbert 0.201 4.938 1.13 2650 1000 0.0102 0.03169 1.146 20.21 11.47 0.1375 0.68 1.16 66567 493 1640.00 0.1249 0.06988 635 724 Gilbert 0.201 4.938 1.13 2650 1000 0.0135 0.03169 1.249 19.24 11.14 0.1262 0.63 1.29 69885 554 3060.00 0.1574 0.13039 636 725 Gilbert 0.201 4.938 1.13 2650 1000 0.0132 0.03169 1.256 18.98 11.40 0.1255 0.62 1.31 70100 544 3370.00 0.1518 0.14359 637 726 Gilbert 0.201 4.938 1.13 2650 1000 0.0147 0.03167 1.382 16.95 12.58 0.1140 0.57 1.53 73814 542 6520.00 0.1510 0.27765 638 727 Gilbert 0.201 4.938 1.13 2650 1000 0.0195 0.03169 1.368 18.45 10.37 0.1152 0.57 1.45 73449 652 6600.00 0.2180 0.28123 639 729 Gilbert 0.305 4.938 1.13 2650 1000 0.0127 0.01028 0.773 8.06 10.98 0.0436 0.14 1.24 26209 348 970.00 0.0620 0.00884 640 730 Gilbert 0.305 4.938 1.13 2650 1000 0.0148 0.01028 0.795 7.90 10.56 0.0424 0.14 1.29 26370 372 2000.00 0.0708 0.01822



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 681 785 Gilbert 0.201 7.01 1.12 2650 1000 0.015 0.02078 1.061 11.40 9.78 0.0975 0.49 1.20 52485 760 2500.00 0.1036 0.04131 682 787 Gilbert 0.201 7.01 1.12 2650 1000 0.0202 0.02078 1.201 10.20 10.09 0.0861 0.43 1.43 55691 834 5050.00 0.1249 0.08345 683 790 Gilbert 0.201 7.01 1.12 2650 1000 0.0074 0.03169 1.030 15.16 11.73 0.1530 0.76 1.01 62497 616 350.00 0.0680 0.00882 684 791 Gilbert 0.201 7.01 1.12 2650 1000 0.0081 0.03169 1.014 16.01 10.74 0.1554 0.77 0.97 61911 662 315.00 0.0786 0.00794 685 791 Gilbert 0.305 4.938 1.13 2650 1000 0.0169 0.02078 1.045 11.80 10.63 0.0652 0.21 1.38 47735 485 4800.00 0.1209 0.08841 686 792 Gilbert 0.201 7.01 1.12 2650 1000 0.0089 0.03169 1.028 16.12 10.35 0.1533 0.76 0.98 62423 696 350.00 0.0870 0.00882 687 795 Gilbert 0.201 7.01 1.12 2650 1000 0.0128 0.03169 1.183 14.46 10.49 0.1332 0.66 1.19 67792 791 1670.00 0.1122 0.04207 688 796 Gilbert 0.201 7.01 1.12 2650 1000 0.0133 0.03169 1.157 15.06 9.86 0.1362 0.68 1.14 66933 823 1670.00 0.1214 0.04207 689 797 Gilbert 0.201 7.01 1.12 2650 1000 0.0165 0.03169 1.322 13.13 10.84 0.1192 0.59 1.39 72112 856 3200.00 0.1313 0.08062 690 798 Gilbert 0.201 7.01 1.12 2650 1000 0.0163 0.03169 1.300 13.42 10.60 0.1213 0.60 1.35 71429 860 3330.00 0.1325 0.08389 691 799 Gilbert 0.201 7.01 1.12 2650 1000 0.0126 0.03167 1.170 14.64 10.39 0.1347 0.67 1.17 67317 789 1640.00 0.1118 0.04129 692 799 Gilbert 0.201 7.01 1.12 2650 1000 0.0162 0.03169 1.319 13.12 10.91 0.1195 0.59 1.39 72014 847 3440.00 0.1288 0.08666 693 802 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0058 0.02078 0.964 108.60 17.24 0.0707 0.23 1.31 46559 28 3800.60 0.3817 2.13419 694 803 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0058 0.02079 0.927 114.60 16.14 0.0735 0.24 1.23 45993 29 2911.00 0.4029 1.63504 695 804 Gilbert 0.305 0.506 1.12 2650 1000 0.0099 0.02079 1.153 94.99 16.88 0.0591 0.19 1.68 49123 35 8516.00 0.5700 4.78323 696 805 Gilbert 0.305 0.506 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Gilbert 0.427 0.596 1.12 2650 1000 0.0059 0.02078 0.815 87.73 14.82 0.0597 0.14 1.14 38038 33 3632.00 0.3137 1.13961 713 827 Gilbert 0.427 0.506 1.12 2650 1000 0.0107 0.02078 1.058 80.81 16.15 0.0460 0.11 1.67 40046 33 10632.99 0.5240 4.26490 714 828 Gilbert 0.427 0.506 1.12 2650 1000 0.0051 0.02614 0.855 120.41 15.48 0.0716 0.17 1.11 45837 28 2859.00 0.3722 1.44204 715 829 Gilbert 0.427 0.506 1.12 2650 1000 0.0057 0.02614 0.848 123.45 14.34 0.0722 0.17 1.08 45740 30 2983.50 0.4265 1.50483 716 829 Gilbert 0.427 0.506 1.12 2650 1000 0.0063 0.02075 0.801 106.18 13.90 0.0607 0.14 1.10 37845 29 0.4054 0.00000 717 830 Gilbert 0.427 0.506 1.12 2650 1000 0.0103 0.02614 1.142 92.43 16.61 0.0536 0.13 1.69 48925 35 10522.00 0.5770 5.30715 718 831 Gilbert 0.427 0.506 1.12 2650 1000 0.0104 0.02614 1.148 91.91 16.67 0.0533 0.12 1.70 48981 35 11096.00 0.5793 5.59667 719 832 Gilbert 0.427 0.506 1.12 2650 1000 0.0058 0.02891 0.896 127.96 14.76 0.0756 0.18 1.12 50002 31 3095.50 0.4498 1.72710 720 834 Gilbert 0.427 0.506 1.12 2650 1000 0.0108 0.02891 1.233 93.67 17.40 0.0549 0.13 1.81 53858 36 10584.00 0.6131 5.90523



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 761 882 Gilbert 0.597 0.506 1.12 2650 1000 0.0054 0.02891 0.824 104.97 15.53 0.0588 0.10 1.14 40458 27 3424.00 0.3435 1.36639 762 883 Gilbert 0.597 0.506 1.12 2650 1000 0.0109 0.02891 1.126 77.72 17.37 0.0430 0.07 1.81 42329 33 11604.00 0.5134 4.63072 763 884 Gilbert 0.597 0.506 1.12 2650 1000 0.0109 0.02891 1.103 79.56 16.81 0.0439 0.07 1.76 42220 33 11552.00 0.5256 4.61013 764 885 Gilbert 0.597 0.506 1.12 2650 1000 0.0045 0.03169 0.814 114.67 16.08 0.0652 0.11 1.08 43561 26 2588.00 0.3127 1.13190 765 886 Gilbert 0.597 0.506 1.12 2650 1000 0.0057 0.03169 0.784 122.23 13.33 0.0677 0.11 1.01 43263 30 2666.95 0.4223 1.16643 766 887 Gilbert 0.597 0.506 1.12 2650 1000 0.0052 0.03169 0.795 119.51 14.31 0.0668 0.11 1.03 43370 28 2776.95 0.3766 1.21454 767 101 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.0075 0.03900 0.774 6.42 10.20 0.0840 0.14 0.88 50784 926 0.00 0.0280 0.00000 768 102 Graf&Su 0.600 12.2 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N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 801 216 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.005 0.12000 1.058 13.24 11.88 0.1890 0.32 0.84 122690 1086 16.97 0.0386 0.00023 802 217 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.005 0.14100 1.114 14.59 11.92 0.2110 0.35 0.84 137978 1140 56.68 0.0425 0.00089 803 218 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.005 0.16000 1.159 15.75 11.94 0.2301 0.38 0.84 150920 1184 90.10 0.0459 0.00160 804 219 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.005 0.19000 1.224 17.43 11.99 0.2587 0.43 0.85 170033 1246 141.79 0.0508 0.00299 805 301 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.015 0.04100 0.976 5.43 9.89 0.0700 0.12 1.21 55403 1204 157.12 0.0475 0.00072 806 302 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.015 0.05000 1.042 6.17 9.90 0.0800 0.13 1.21 65794 1284 600.05 0.0539 0.00333 807 303 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.015 0.06000 1.111 6.90 9.98 0.0900 0.15 1.22 76921 1358 1094.69 0.0603 0.00729 808 304 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.015 0.04000 0.926 5.61 9.23 0.0720 0.12 1.13 53764 1224 153.39 0.0490 0.00068 809 305 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.015 0.06800 1.145 7.57 9.82 0.0990 0.16 1.20 85217 1422 1695.96 0.0661 0.01280 810 306 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.015 0.08000 1.201 8.44 9.75 0.1110 0.19 1.19 97319 1502 1847.00 0.0738 0.01640 811 307 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.015 0.09200 1.278 9.06 10.02 0.1200 0.20 1.23 109529 1556 2448.31 0.0792 0.02500 812 308 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.015 0.08600 1.257 8.63 10.10 0.1140 0.19 1.24 103858 1518 2011.48 0.0754 0.01920 813 309 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.015 0.09800 1.317 9.33 10.17 0.1240 0.21 1.25 115561 1579 2666.16 0.0816 0.02900 814 310 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.015 0.06400 1.123 7.28 9.83 0.0950 0.16 1.20 81016 1394 1138.89 0.0636 0.00809 815 401 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.01 0.03900 0.844 5.93 10.02 0.0770 0.13 1.00 51722 1028 0.00 0.0346 0.00000 816 402 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.01 0.04800 0.899 6.81 9.96 0.0890 0.15 1.00 61699 1101 0.00 0.0397 0.00000 817 403 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.01 0.05900 0.983 7.58 10.32 0.1000 0.17 1.03 73744 1162 0.00 0.0442 0.00000 818 404 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.01 0.06900 1.036 8.36 10.36 0.1110 0.19 1.04 83941 1220 109.68 0.0487 0.00084 819 405 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.01 0.07100 1.057 8.41 10.53 0.1120 0.19 1.05 86175 1224 124.99 0.0490 0.00099 820 406 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.01 0.08100 1.089 9.28 10.33 0.1240 0.21 1.03 95526 1286 251.38 0.0541 0.00226 821 407 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.01 0.09300 1.140 10.11 10.36 0.1360 0.23 1.04 106660 1342 350.70 0.0589 0.00362 822 408 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.01 0.10200 1.197 10.49 10.68 0.1420 0.24 1.07 115379 1367 459.32 0.0611 0.00520 823 409 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.01 0.11100 1.225 11.11 10.62 0.1510 0.25 1.06 123054 1407 637.18 0.0647 0.00785 824 410 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.01 0.12100 1.260 11.72 10.64 0.1601 0.27 1.06 131507 1445 759.50 0.0683 0.01020 825 411 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.01 0.13300 1.304 12.38 10.71 0.1700 0.28 1.07 141492 1485 846.78 0.0721 0.01250 826 412 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.01 0.14700 1.369 12.91 11.01 0.1790 0.30 1.10 153457 1517 1090.98 0.0753 0.01780 827 413 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.01 0.07500 1.050 8.95 10.14 0.1190 0.20 1.01 89489 1263 187.40 0.0522 0.00156 828 414 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.01 0.16300 1.415 13.76 11.02 0.1920 0.32 1.10 165654 1566 1193.93 0.0802 0.02160 829 415 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.01 0.05800 0.929 7.94 9.53 0.1041 0.17 0.95 71772 1189 27.34 0.0462 0.00018 830 501 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.009 0.05900 0.917 8.14 9.80 0.1072 0.18 0.93 72440 1142 8.92 0.0427 0.00006 831 502 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.009 0.06800 0.986 8.65 10.22 0.1149 0.19 0.97 81939 1177 35.38 0.0453 0.00027 832 503 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.009 0.08000 1.067 9.30 10.66 0.1250 0.21 1.01 94126 1221 119.38 0.0488 0.00106 833 504 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.009 0.09700 1.131 10.55 10.61 0.1429 0.24 1.01 109495 1300 303.73 0.0553 0.00327 834 505 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.009 0.10800 1.184 11.14 10.81 0.1520 0.25 1.03 119462 1336 441.31 0.0584 0.00529 835 506 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.009 0.11800 1.222 11.73 10.87 0.1609 0.27 1.03 128000 1371 573.42 0.0615 0.00751 836 507 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.009 0.12700 1.245 12.35 10.80 0.1700 0.28 1.02 135103 1407 645.58 0.0648 0.00910 837 508 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.009 0.14700 1.303 13.54 10.79 0.1880 0.31 1.02 150606 1473 729.36 0.0710 0.01190 838 509 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.009 0.16300 1.365 14.20 11.04 0.1990 0.33 1.05 163319 1509 878.87 0.0745 0.01590 839 601 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.0125 0.04400 0.917 6.18 9.54 0.0800 0.13 1.07 57899 1173 43.82 0.0450 0.00021 840 602 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.0125 0.04900 0.996 6.29 10.27 0.0820 0.14 1.15 64137 1183 49.83 0.0458 0.00027



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 841 603 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.0125 0.05400 1.000 6.90 9.84 0.0900 0.15 1.10 69231 1240 180.20 0.0503 0.00108 842 604 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.0125 0.05900 1.057 7.09 10.26 0.0930 0.16 1.15 75058 1257 229.06 0.0517 0.00150 843 605 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.0125 0.06400 1.077 7.54 10.14 0.0990 0.17 1.13 80192 1295 366.02 0.0549 0.00260 844 606 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.0125 0.06900 1.105 7.90 10.17 0.1041 0.17 1.14 85381 1326 515.78 0.0575 0.00395 845 607 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.0125 0.07400 1.131 8.25 10.18 0.1090 0.18 1.14 90454 1356 684.26 0.0601 0.00562 846 608 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.0125 0.07800 1.150 8.54 10.17 0.1130 0.19 1.14 94421 1379 927.54 0.0622 0.00803 847 609 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 0.0125 0.08900 1.196 9.32 10.13 0.1240 0.21 1.13 104947 1441 1255.29 0.0679 0.01240 848 610 Graf&Su 0.600 12.2 1.2 2716 1000 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N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 881 1 HPY 0.399 3.13 2.24 2490 1000 0.00106 0.05040 0.581 46.85 14.87 0.2176 0.55 0.48 60420 122 0.10 0.0333 0.00001 882 2 HPY 0.399 3.13 2.24 2490 1000 0.00105 0.06870 0.656 51.14 16.16 0.2624 0.66 0.52 74361 127 0.45 0.0360 0.00005 883 3 HPY 0.399 3.13 2.24 2490 1000 0.00126 0.03095 0.547 33.43 15.22 0.1417 0.36 0.54 45353 113 0.73 0.0283 0.00003 884 4 HPY 0.399 3.13 2.24 2490 1000 0.00127 0.04389 0.602 41.00 15.07 0.1826 0.46 0.54 57433 125 1.11 0.0349 0.00007 885 5 HPY 0.399 3.13 2.24 2490 1000 0.00125 0.05301 0.632 45.57 15.10 0.2103 0.53 0.53 64675 131 1.55 0.0382 0.00012 886 6 HPY 0.399 3.13 2.24 2490 1000 0.00128 0.06779 0.690 50.60 15.47 0.2463 0.62 0.55 76030 140 2.89 0.0435 0.00029 887 7 HPY 0.399 3.13 2.24 2490 1000 0.00171 0.01982 0.478 27.57 12.57 0.1039 0.26 0.52 32665 119 0.97 0.0316 0.00003 888 8 HPY 0.399 3.13 2.24 2490 1000 0.0017 0.03394 0.599 34.77 14.06 0.1420 0.36 0.58 49694 133 0.54 0.0397 0.00003 889 9 HPY 0.399 3.13 2.24 2490 1000 0.0017 0.05219 0.683 43.98 14.26 0.1914 0.48 0.59 66751 150 4.54 0.0502 0.00036 890 10 HPY 0.399 3.13 2.24 2490 1000 0.00165 0.06450 0.727 48.81 14.61 0.2225 0.56 0.59 76427 156 8.78 0.0541 0.00085 891 11 HPY 0.399 3.13 2.24 2490 1000 0.00164 0.06861 0.766 47.44 15.66 0.2246 0.56 0.63 80889 153 8.63 0.0522 0.00089 892 12 HPY 0.399 3.13 2.24 2490 1000 0.00335 0.01920 0.604 21.94 12.73 0.0796 0.20 0.74 34393 149 24.10 0.0493 0.00070 893 13 HPY 0.399 3.13 2.24 2490 1000 0.00336 0.03474 0.746 30.42 13.32 0.1167 0.29 0.77 54940 175 66.70 0.0686 0.00348 894 16 HPY 0.399 4.36 1.59 2700 1000 0.00127 0.05595 0.633 34.64 14.59 0.2216 0.56 0.52 66436 189 0.09 0.0259 0.00000 895 17 HPY 0.399 4.36 1.59 2700 1000 0.00128 0.06529 0.664 37.36 14.69 0.2463 0.62 0.53 73228 197 0.19 0.0281 0.00001 896 18 HPY 0.399 4.36 1.59 2700 1000 0.00167 0.03775 0.610 26.93 13.91 0.1551 0.39 0.57 53222 191 0.26 0.0265 0.00001 897 19 HPY 0.399 4.36 1.59 2700 1000 0.00169 0.04910 0.667 30.75 14.15 0.1844 0.46 0.58 63949 206 0.66 0.0306 0.00003 898 20 HPY 0.399 4.36 1.59 2700 1000 0.00167 0.05655 0.698 32.89 14.40 0.2030 0.51 0.59 70245 211 0.97 0.0323 0.00004 899 21 HPY 0.399 4.36 1.59 2700 1000 0.00167 0.06911 0.757 35.23 15.09 0.2288 0.57 0.62 80676 219 1.79 0.0346 0.00010 900 22 HPY 0.399 4.36 1.59 2700 1000 0.00335 0.01614 0.553 14.11 12.02 0.0732 0.18 0.70 29593 200 3.09 0.0278 0.00004 901 23 HPY 0.399 4.36 1.59 2700 1000 0.00334 0.02925 0.695 20.15 12.95 0.1055 0.26 0.75 47951 234 12.80 0.0396 0.00030 902 24 HPY 0.399 4.36 1.59 2700 1000 0.00335 0.04264 0.790 24.83 13.24 0.1353 0.34 0.77 63686 260 65.60 0.0489 0.00221 903 25 HPY 0.399 4.36 1.59 2700 1000 0.00334 0.05434 0.838 29.16 12.99 0.1625 0.41 0.75 75052 281 73.50 0.0573 0.00315 904 26 HPY 0.399 4.36 1.59 2700 1000 0.00336 0.06306 0.892 31.01 13.37 0.1771 0.44 0.77 83723 291 104.50 0.0613 0.00520 905 27 HPY 0.399 6.28 1.49 2660 1000 0.00169 0.06445 0.724 24.66 14.29 0.2231 0.56 0.59 76251 318 0.16 0.0251 0.00000 906 28 HPY 0.399 6.28 1.49 2660 1000 0.00334 0.03024 0.714 13.95 13.33 0.1061 0.27 0.77 49478 337 1.12 0.0281 0.00002 907 29 HPY 0.399 6.28 1.49 2660 1000 0.00335 0.04440 0.806 17.47 13.42 0.1381 0.35 0.78 65757 377 5.90 0.0353 0.00012 908 30 HPY 0.399 6.28 1.49 2660 1000 0.00333 0.05387 0.837 20.07 13.05 0.1612 0.40 0.75 74667 403 6.80 0.0403 0.00017 909 31 HPY 0.399 6.28 1.49 2660 1000 0.00335 0.06504 0.907 21.69 13.55 0.1798 0.45 0.78 85740 420 18.20 0.0438 0.00056 910 32 HPY 0.399 6.28 1.49 2660 1000 0.00502 0.03310 0.812 13.81 12.43 0.1021 0.26 0.88 54866 410 5.07 0.0418 0.00008 911 33 HPY 0.399 6.28 1.49 2660 1000 0.00504 0.05015 0.929 17.65 12.55 0.1353 0.34 0.89 74892 465 87.20 0.0536 0.00205 912 34 HPY 0.399 6.28 1.49 2660 1000 0.00502 0.06405 1.019 19.91 12.98 0.1576 0.39 0.92 89682 493 74.40 0.0602 0.00224 913 36 HPY 0.399 2.01 1.99 2450 1000 0.00102 0.02551 0.481 49.02 15.32 0.1329 0.33 0.49 38377 63 14.30 0.0345 0.00110 914 37 HPY 0.399 2.01 1.99 2450 1000 0.00101 0.03695 0.540 59.24 15.71 0.1716 0.43 0.50 49787 69 14.40 0.0413 0.00160 915 38 HPY 0.399 2.01 1.99 2450 1000 0.00103 0.04950 0.601 66.66 16.34 0.2063 0.52 0.52 60986 74 57.30 0.0474 0.00854 916 39 HPY 0.399 2.01 1.99 2450 1000 0.00104 0.06286 0.632 77.78 15.82 0.2493 0.62 0.51 70032 80 71.90 0.0558 0.01360 917 43 HPY 0.399 2.01 1.99 2450 1000 0.00125 0.06306 0.700 70.68 16.76 0.2259 0.57 0.59 74118 84 122.00 0.0609 0.02316 918 45 HPY 0.399 2.01 1.99 2450 1000 0.00166 0.02554 0.538 47.03 13.72 0.1189 0.30 0.56 40108 79 104.00 0.0538 0.00800 919 46 HPY 0.399 2.01 1.99 2450 1000 0.00166 0.03780 0.638 54.62 15.10 0.1484 0.37 0.62 54329 85 211.00 0.0625 0.02401 920 47 HPY 0.399 2.01 1.99 2450 1000 0.00168 0.05219 0.664 71.27 13.67 0.1969 0.49 0.56 65825 98 178.00 0.0826 0.02796



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 921 50 HPY 0.399 6.01 1.39 2660 1000 0.00335 0.04480 0.775 19.40 12.53 0.1448 0.36 0.72 65054 372 6.43 0.0392 0.00014 922 51 HPY 0.399 6.01 1.39 2660 1000 0.00334 0.05369 0.812 21.85 12.37 0.1658 0.42 0.72 73483 394 7.03 0.0440 0.00019 923 52 HPY 0.399 6.01 1.39 2660 1000 0.00333 0.06504 0.937 21.57 14.40 0.1740 0.44 0.83 87071 391 19.60 0.0433 0.00064 924 53 HPY 0.399 6.01 1.39 2660 1000 0.005 0.03305 0.826 14.11 12.80 0.1003 0.25 0.91 55112 388 7.13 0.0425 0.00012 925 55 HPY 0.399 6.01 1.39 2660 1000 0.00501 0.06405 1.022 20.69 13.08 0.1570 0.39 0.93 89833 470 169.00 0.0624 0.00542 926 56 HPY 0.399 1.4 1.96 2640 1000 0.001 0.00600 0.297 31.30 14.34 0.0506 0.13 0.45 12001 29 8.16 0.0191 0.00022 927 58 HPY 0.399 1.4 1.96 2640 1000 0.00099 0.02370 0.476 65.81 15.92 0.1247 0.31 0.50 36552 42 135.00 0.0397 0.01446 928 59 HPY 0.399 1.4 1.96 2640 1000 0.001 0.04165 0.551 92.46 15.45 0.1896 0.48 0.49 53525 50 205.00 0.0564 0.03858 929 59 HPY 0.399 6.01 1.39 2660 1000 0.005 0.05020 0.932 18.35 12.67 0.1350 0.34 0.90 75034 442 115.00 0.0553 0.00289 930 60 HPY 0.399 1.4 1.96 2640 1000 0.001 0.00600 0.296 31.53 14.20 0.0509 0.13 0.45 11987 29 24.53 0.0192 0.00067 931 62 HPY 0.399 1.4 1.96 2640 1000 0.001 0.02370 0.468 67.65 15.37 0.1268 0.32 0.49 36316 43 248.00 0.0413 0.02656 932 63 HPY 0.399 1.4 1.96 2640 1000 0.001 0.04165 0.515 102.95 13.70 0.2027 0.51 0.43 51781 53 317.00 0.0628 0.05966 933 64 HPY 0.399 1.4 1.96 2640 1000 0.001 0.00340 0.235 23.44 13.08 0.0363 0.09 0.41 7205 25 40.30 0.0143 0.00062 934 65 HPY 0.399 1.4 1.96 2640 1000 0.001 0.00600 0.285 32.88 13.43 0.0527 0.13 0.42 11901 30 131.00 0.0200 0.00355 935 67 HPY 0.399 1.4 1.96 2640 1000 0.00102 0.02370 0.466 68.49 15.05 0.1274 0.32 0.48 36250 43 351.00 0.0426 0.03759 936 69 HPY 0.399 1.4 1.96 2640 1000 0.001 0.00600 0.301 30.85 14.62 0.0500 0.13 0.46 12030 29 7.35 0.0188 0.00020 937 70 HPY 0.399 1.4 1.96 2640 1000 0.001 0.01283 0.382 48.64 14.79 0.0841 0.21 0.47 22615 36 95.50 0.0297 0.00553 938 71 HPY 0.399 1.4 1.96 2640 1000 0.00099 0.02370 0.491 62.89 16.79 0.1210 0.30 0.53 36973 41 116.30 0.0380 0.01245 939 72 HPY 0.399 1.4 1.96 2640 1000 0.001 0.04165 0.569 87.54 16.41 0.1835 0.46 0.52 54377 49 153.00 0.0534 0.02879 940 73 HPY 0.399 1.4 1.96 2640 1000 0.001 0.00569 0.313 27.81 16.04 0.0455 0.11 0.51 11612 27 5.30 0.0170 0.00014 941 74 HPY 0.399 1.4 1.96 2640 1000 0.001 0.01269 0.386 47.43 15.14 0.0823 0.21 0.48 22509 36 104.00 0.0289 0.00596 942 75 HPY 0.399 1.4 1.96 2640 1000 0.00099 0.02373 0.482 64.75 16.24 0.1234 0.31 0.51 36744 42 124.00 0.0391 0.01329 943 76 HPY 0.399 1.4 1.96 2640 1000 0.001 0.04165 0.567 88.02 16.31 0.1841 0.46 0.52 54292 49 174.00 0.0537 0.03275 944 77 HPY 0.399 1.4 1.96 2640 1000 0.001 0.00600 0.296 31.53 14.20 0.0509 0.13 0.45 11987 29 8.16 0.0192 0.00022 945 78 HPY 0.399 1.4 1.96 2640 1000 0.001 0.01263 0.368 50.34 13.99 0.0860 0.22 0.44 22114 37 107.00 0.0307 0.00610 946 79 HPY 0.399 1.4 1.96 2640 1000 0.00101 0.02370 0.483 64.92 16.08 0.1231 0.31 0.51 36733 42 141.00 0.0400 0.01510 947 80 HPY 0.399 1.4 1.96 2640 1000 0.00099 0.04165 0.562 89.13 16.13 0.1859 0.47 0.51 54039 49 200.00 0.0538 0.03764 948 90 HPY 0.399 2.01 1.99 2450 1000 0.00125 0.02367 0.493 46.29 14.59 0.1204 0.30 0.52 36999 68 16.10 0.0399 0.00115 949 91 HPY 0.399 2.01 1.99 2450 1000 0.00126 0.03925 0.594 58.17 15.63 0.1655 0.41 0.55 53762 76 67.80 0.0506 0.00801 950 92 HPY 0.399 2.01 1.99 2450 1000 0.00125 0.04896 0.620 67.55 15.20 0.1978 0.50 0.54 61613 82 101.00 0.0582 0.01488 951 94 HPY 0.399 2.01 1.99 2450 1000 0.00167 0.01365 0.416 35.13 12.22 0.0823 0.21 0.50 24216 68 4.87 0.0405 0.00020 952 98 HPY 0.399 2.01 1.99 2450 1000 0.00167 0.06315 0.704 78.69 13.82 0.2249 0.56 0.56 74393 102 199.00 0.0906 0.03782 953 99 HPY 0.399 6.01 1.39 2660 1000 0.00333 0.03024 0.693 15.16 12.70 0.1094 0.27 0.73 48949 328 1.30 0.0304 0.00002 954 Julien&Ra. 1.300 0.2 1000 0.00225 0.07400 0.734 358.26 18.45 0.0776 0.06 0.88 50855 8 ? 955 Julien&Ra. 1.300 0.2 1000 0.00292 0.07600 0.728 377.01 15.66 0.0803 0.06 0.85 52033 9 ? 956 Julien&Ra. 1.300 0.2 1000 0.00384 0.07600 0.784 352.55 15.21 0.0746 0.06 0.94 52445 10 ? 957 Julien&Ra. 1.300 0.2 1000 0.00187 0.05700 0.635 320.37 18.52 0.0690 0.05 0.80 39636 7 ? 958 Julien&Ra. 1.300 0.2 1000 0.0041 0.05700 0.717 291.82 14.80 0.0612 0.05 0.95 40076 10 ? 959 Julien&Ra. 1.300 0.2 1000 0.00263 0.06200 0.706 316.30 17.46 0.0676 0.05 0.90 43202 8 ? 960 Julien&Ra. 1.300 0.6 1000 0.005 0.02600 0.561 57.78 13.61 0.0357 0.03 0.96 18960 25 ?



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 961 Julien&Ra. 1.300 0.6 1000 0.00257 0.02900 0.453 79.22 13.08 0.0492 0.04 0.66 20737 21 ? 962 Julien&Ra. 1.300 0.6 1000 0.00512 0.02300 0.510 56.45 12.37 0.0347 0.03 0.88 16796 25 ? 963 Julien&Ra. 1.300 0.4 1000 0.00302 0.04000 0.570 129.26 14.56 0.0540 0.04 0.80 28410 16 ? 964 Julien&Ra. 1.300 0.4 1000 0.0053 0.09300 0.934 181.19 15.21 0.0766 0.06 1.11 63997 25 ? 965 Julien&Ra. 1.300 0.4 1000 0.00341 0.09300 0.845 197.57 16.45 0.0847 0.07 0.96 63295 21 ? 966 Julien&Ra. 1.300 0.4 1000 0.00412 0.06100 0.817 135.76 17.44 0.0574 0.04 1.12 43114 19 ? 967 Julien&Ra. 1.300 0.4 1000 0.0038 0.07600 0.831 165.40 16.74 0.0704 0.05 1.03 52752 20 ? 968 Julien&Ra. 1.300 0.4 1000 0.00497 0.07400 0.804 168.88 14.01 0.0708 0.05 0.99 51332 23 ? 969 Julien&Ra. 1.300 0.4 1000 0.0044 0.07000 0.765 167.67 14.22 0.0704 0.05 0.94 48585 22 ? 970 Julien&Ra. 1.300 0.4 1000 0.00454 0.06300 0.783 147.37 15.28 0.0619 0.05 1.03 44248 20 ? 971 Julien&Ra. 1.300 0.4 1000 0.00434 0.06900 0.814 154.54 15.86 0.0652 0.05 1.05 48238 21 ? 972 1 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.00175 0.06459 0.650 25.40 15.23 0.1213 0.15 0.64 60841 178 1.20 0.0268 0.00003 973 2 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.00225 0.07334 0.695 27.39 13.82 0.1289 0.16 0.66 68107 210 1.30 0.0371 0.00004 974 3 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.00215 0.07787 0.715 27.95 14.41 0.1329 0.16 0.67 71782 207 1.30 0.0362 0.00004 975 4 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.0019 0.04825 0.623 20.12 15.75 0.0945 0.12 0.69 47867 165 1.30 0.0230 0.00003 976 5 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.00225 0.05408 0.657 21.56 14.73 0.1005 0.12 0.70 53024 186 0.80 0.0292 0.00002 977 6 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.00215 0.05740 0.661 22.64 14.78 0.1061 0.13 0.69 55659 187 0.70 0.0293 0.00002 978 7 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.002 0.05813 0.658 22.87 15.19 0.1079 0.13 0.68 56178 181 1.30 0.0276 0.00003 979 8 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.0021 0.06201 0.690 23.17 15.45 0.1097 0.13 0.71 59719 187 1.20 0.0293 0.00003 980 10 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.00225 0.06909 0.728 24.39 15.36 0.1158 0.14 0.73 65763 198 4.54 0.0331 0.00013 981 11 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.0031 0.07475 0.752 26.21 13.03 0.1213 0.15 0.73 70416 241 6.30 0.0490 0.00020 982 12 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.004 0.02328 0.565 11.40 13.07 0.0503 0.06 0.83 25311 181 4.50 0.0275 0.00004 983 13 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.004 0.02554 0.592 11.90 13.40 0.0527 0.06 0.85 27630 185 4.00 0.0287 0.00004 984 14 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.004 0.02803 0.604 12.78 13.19 0.0567 0.07 0.83 30065 191 6.80 0.0308 0.00008 985 16 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.0038 0.03146 0.640 13.41 14.00 0.0600 0.07 0.86 33503 191 4.20 0.0307 0.00006 986 17 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.0045 0.03823 0.693 15.09 13.12 0.0674 0.08 0.88 40079 221 18.90 0.0409 0.00030 987 18 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.0043 0.04032 0.688 16.00 12.94 0.0716 0.09 0.85 41906 222 38.30 0.0415 0.00065 988 19 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.0046 0.04134 0.705 16.03 12.82 0.0716 0.09 0.87 42965 230 49.20 0.0444 0.00086 989 20 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.0042 0.04366 0.694 17.13 12.78 0.0768 0.09 0.83 44893 227 49.10 0.0433 0.00090 990 21 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.0045 0.04848 0.756 17.38 13.35 0.0783 0.10 0.90 49689 237 131.10 0.0471 0.00267 991 23 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.0045 0.05397 0.801 18.15 13.84 0.0823 0.10 0.93 54870 242 150.70 0.0492 0.00342 992 24 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.0045 0.05910 0.830 19.07 14.00 0.0869 0.11 0.94 59524 248 255.70 0.0517 0.00636 993 25 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.01 0.01403 0.540 7.40 9.81 0.0317 0.04 0.98 15898 230 23.10 0.0446 0.00014 994 35 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.00975 0.01467 0.593 7.02 11.19 0.0302 0.04 1.10 16680 222 5.80 0.0413 0.00004 995 36 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.01 0.01654 0.603 7.79 10.66 0.0335 0.04 1.07 18665 236 29.50 0.0469 0.00021 996 37 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.0095 0.01792 0.642 7.90 11.57 0.0341 0.04 1.13 20203 232 50.10 0.0452 0.00038 997 38 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.0098 0.01855 0.653 8.04 11.48 0.0347 0.04 1.14 20877 238 127.30 0.0475 0.00099 998 39 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.0095 0.01880 0.649 8.20 11.48 0.0354 0.04 1.12 21131 236 96.60 0.0469 0.00076 999 40 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.0095 0.01889 0.651 8.20 11.53 0.0354 0.04 1.12 21226 236 132.80 0.0469 0.00106

1000 41 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.01 0.02053 0.685 8.46 11.62 0.0366 0.04 1.16 23009 246 274.00 0.0510 0.00237



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 1001 42 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.00965 0.02373 0.726 9.19 12.04 0.0399 0.05 1.18 26401 252 427.00 0.0534 0.00426 1002 43 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.009 0.02721 0.732 10.43 11.80 0.0454 0.06 1.12 29910 259 667.50 0.0565 0.00765 1003 44 Mavis 0.819 4.18 1.23 2660 1000 0.0088 0.03341 0.821 11.33 12.84 0.0497 0.06 1.20 36382 267 615.60 0.0600 0.00866 1004 51 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.00175 0.05366 0.609 30.56 15.05 0.1076 0.13 0.63 51885 126 12.30 0.0322 0.00043 1005 52 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.0017 0.05751 0.640 30.77 16.00 0.1097 0.13 0.66 55383 125 5.70 0.0315 0.00021 1006 53 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.0017 0.05918 0.653 30.89 16.30 0.1106 0.14 0.67 56893 125 8.30 0.0316 0.00032 1007 54 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.002 0.06428 0.680 32.61 15.21 0.1155 0.14 0.68 61216 139 12.50 0.0393 0.00052 1008 55 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.00225 0.06575 0.679 33.81 14.06 0.1183 0.14 0.67 62287 151 22.80 0.0458 0.00098 1009 56 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.00225 0.07008 0.705 34.43 14.49 0.1213 0.15 0.69 66015 152 25.50 0.0467 0.00117 1010 57 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.00225 0.07192 0.719 34.57 14.73 0.1222 0.15 0.70 67635 152 23.90 0.0469 0.00112 1011 58 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.0025 0.02880 0.532 19.69 13.71 0.0661 0.08 0.69 30274 121 2.90 0.0296 0.00005 1012 59 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.002 0.03055 0.539 20.27 15.30 0.0692 0.08 0.68 31910 110 2.00 0.0244 0.00004 1013 60 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.0022 0.03455 0.576 21.40 15.18 0.0732 0.09 0.71 35783 118 4.00 0.0284 0.00009 1014 61 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.0022 0.03718 0.596 22.18 15.42 0.0762 0.09 0.72 38274 121 6.60 0.0294 0.00016 1015 63 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.0023 0.04313 0.633 24.09 15.37 0.0832 0.10 0.74 43764 128 25.10 0.0334 0.00071 1016 65 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.0022 0.04644 0.652 24.95 15.92 0.0869 0.11 0.75 46775 128 47.90 0.0331 0.00145 1017 66 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.0022 0.04845 0.662 25.57 15.96 0.0893 0.11 0.75 48566 129 51.40 0.0339 0.00163 1018 67 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.0025 0.04870 0.655 26.35 14.59 0.0908 0.11 0.73 48674 140 61.70 0.0397 0.00196 1019 68 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.0024 0.05151 0.688 26.22 15.68 0.0914 0.11 0.77 51414 137 65.90 0.0379 0.00222 1020 69 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.0024 0.05652 0.719 27.34 16.04 0.0960 0.12 0.79 55904 140 53.70 0.0395 0.00198 1021 72 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.0025 0.06586 0.763 29.82 15.97 0.1054 0.13 0.80 63957 149 162.60 0.0449 0.00699 1022 74 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.005 0.02036 0.574 13.25 12.75 0.0433 0.05 0.90 22481 140 11.30 0.0399 0.00015 1023 75 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.004 0.02192 0.523 15.63 11.95 0.0512 0.06 0.76 23787 136 2.80 0.0377 0.00004 1024 76 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.0045 0.02231 0.552 15.10 12.09 0.0494 0.06 0.81 24311 142 2.70 0.0409 0.00004 1025 77 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.005 0.02347 0.615 14.19 13.20 0.0466 0.06 0.93 25733 145 41.60 0.0427 0.00064 1026 78 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.005 0.02478 0.616 14.95 12.88 0.0491 0.06 0.91 27013 149 69.60 0.0450 0.00113 1027 79 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.0042 0.02498 0.569 16.30 12.43 0.0536 0.07 0.81 26965 143 4.50 0.0412 0.00007 1028 80 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.005 0.02551 0.623 15.21 12.91 0.0500 0.06 0.91 27762 151 85.50 0.0458 0.00142 1029 81 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.0048 0.02755 0.624 16.37 12.73 0.0539 0.07 0.88 29727 153 128.30 0.0473 0.00231 1030 82 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.0048 0.02911 0.640 16.82 12.88 0.0555 0.07 0.89 31300 155 149.40 0.0486 0.00284 1031 83 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.00485 0.03072 0.662 17.15 13.11 0.0567 0.07 0.91 32950 157 160.70 0.0501 0.00322 1032 84 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.00495 0.03313 0.684 17.84 13.17 0.0591 0.07 0.93 35350 162 229.10 0.0532 0.00495 1033 85 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.00495 0.03540 0.708 18.35 13.44 0.0610 0.07 0.95 37614 165 276.20 0.0547 0.00638 1034 86 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.00485 0.03780 0.735 18.81 13.91 0.0628 0.08 0.97 40019 165 311.50 0.0550 0.00769 1035 89 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.0094 0.00966 0.483 7.65 10.30 0.0244 0.03 1.00 11127 146 15.80 0.0433 0.00010 1036 90 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.0094 0.01036 0.483 8.22 9.93 0.0262 0.03 0.96 11894 152 15.70 0.0465 0.00011 1037 91 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.0091 0.01116 0.520 8.19 10.88 0.0262 0.03 1.04 12801 149 44.50 0.0449 0.00032 1038 92 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.0091 0.01116 0.508 8.39 10.52 0.0268 0.03 1.00 12784 151 142.20 0.0460 0.00104 1039 93 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.009 0.01155 0.526 8.37 10.96 0.0268 0.03 1.04 13240 150 61.00 0.0454 0.00046 1040 94 Mavis 0.819 3.12 1.25 2660 1000 0.0094 0.01240 0.541 8.75 10.78 0.0280 0.03 1.05 14174 157 250.00 0.0495 0.00202



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 1201 261 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.00245 0.01263 0.386 22.66 12.78 0.0399 0.05 0.63 14051 51 2.70 0.0334 0.00006 1202 262 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.0025 0.01489 0.426 24.10 13.52 0.0427 0.05 0.68 16468 53 6.80 0.0363 0.00017 1203 263 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.00245 0.01594 0.420 26.13 12.94 0.0463 0.06 0.64 17488 55 19.10 0.0386 0.00050 1204 264 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.00245 0.01784 0.446 27.41 13.42 0.0488 0.06 0.66 19462 56 22.60 0.0405 0.00067 1205 265 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.0025 0.01962 0.463 29.04 13.37 0.0518 0.06 0.67 21269 58 34.40 0.0437 0.00112 1206 266 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.0025 0.02158 0.483 30.49 13.61 0.0546 0.07 0.68 23246 60 37.40 0.0459 0.00133 1207 267 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.0025 0.02347 0.500 31.89 13.80 0.0573 0.07 0.69 25144 61 83.90 0.0480 0.00325 1208 268 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.0025 0.02625 0.531 33.42 14.30 0.0604 0.07 0.72 27930 62 113.70 0.0503 0.00493 1209 269 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.0024 0.02744 0.526 35.19 14.10 0.0637 0.08 0.69 28992 63 262.60 0.0509 0.01190 1210 270 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.0025 0.02951 0.555 35.73 14.47 0.0649 0.08 0.72 31097 64 303.20 0.0538 0.01478 1211 271 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.0025 0.03143 0.581 36.20 15.03 0.0661 0.08 0.75 33044 65 322.40 0.0545 0.01674 1212 272 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.0025 0.03273 0.580 37.74 14.71 0.0689 0.08 0.74 34211 66 405.80 0.0568 0.02194 1213 273 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.005 0.00699 0.363 13.65 10.83 0.0235 0.03 0.77 8076 56 24.30 0.0411 0.00028 1214 274 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.005 0.00770 0.390 13.97 11.50 0.0241 0.03 0.81 8881 57 17.60 0.0421 0.00022 1215 275 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.005 0.00867 0.434 14.08 12.73 0.0244 0.03 0.90 9985 57 43.00 0.0424 0.00062 1216 276 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.005 0.00878 0.429 14.43 12.43 0.0250 0.03 0.88 10101 58 64.50 0.0435 0.00094 1217 278 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.005 0.01005 0.453 15.61 12.63 0.0271 0.03 0.89 11512 60 166.50 0.0470 0.00276 1218 279 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.005 0.01102 0.475 16.26 12.98 0.0283 0.03 0.92 12580 61 220.30 0.0490 0.00401 1219 280 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.005 0.01155 0.462 17.55 12.16 0.0305 0.04 0.86 13128 64 350.20 0.0529 0.00668 1220 281 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.005 0.01249 0.486 18.02 12.60 0.0314 0.04 0.89 14161 65 455.54 0.0543 0.00940 1221 282 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.005 0.01337 0.520 17.96 13.51 0.0314 0.04 0.96 15156 65 635.90 0.0541 0.01404 1222 283 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.0045 0.01419 0.508 19.46 13.37 0.0341 0.04 0.90 15990 64 628.20 0.0527 0.01472 1223 285 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.0099 0.00365 0.375 6.98 11.11 0.0119 0.01 1.11 4334 57 46.50 0.0416 0.00028 1224 286 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.01 0.00510 0.409 8.90 10.69 0.0152 0.02 1.07 6001 64 297.90 0.0536 0.00251 1225 287 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.01 0.00547 0.412 9.49 10.42 0.0162 0.02 1.04 6419 66 258.60 0.0571 0.00233 1226 288 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.0097 0.00572 0.395 10.37 9.69 0.0177 0.02 0.95 6695 68 530.29 0.0606 0.00501 1227 289 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.01 0.00617 0.419 10.54 10.05 0.0180 0.02 1.00 7220 70 659.60 0.0635 0.00673 1228 290 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.01 0.00617 0.433 10.18 10.58 0.0174 0.02 1.06 7230 69 875.70 0.0613 0.00893 1229 291 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.01 0.00691 0.461 10.68 10.99 0.0183 0.02 1.10 8075 70 2201.70 0.0644 0.02513 1230 292 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.01 0.00770 0.514 10.65 12.27 0.0183 0.02 1.23 9002 70 1531.10 0.0642 0.01948 1231 293 Mavis 0.819 1.68 1.36 2660 1000 0.01 0.00909 0.521 12.39 11.53 0.0213 0.03 1.15 10549 76 2227.60 0.0746 0.03345 1232 Mavis 0.819 1.41 1.24 2660 1000 0.0099 0.00827 0.453 15.52 9.82 0.0223 0.03 0.98 9574 65 402.90 0.0926 0.00716 1233 1 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.0107 1.64094 2.122 12.65 10.88 0.3868 0.19 1.13 591842 5588 1105.50 0.0806 0.01720 1234 2 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.00654 1.64094 1.850 14.30 11.41 0.4438 0.22 0.92 568468 4644 28.71 0.0556 0.00045 1235 3 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.0092 1.64094 2.067 12.92 11.31 0.3972 0.20 1.08 587435 5235 603.00 0.0707 0.00938 1236 4 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.00928 1.64044 2.058 12.98 11.19 0.3987 0.20 1.08 586626 5270 548.21 0.0717 0.00853 1237 5 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.00923 1.64094 2.059 12.97 11.22 0.3987 0.20 1.08 586804 5255 596.62 0.0713 0.00928 1238 6 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.00915 1.64094 2.057 12.98 11.26 0.3990 0.20 1.08 586679 5233 617.36 0.0707 0.00961 1239 7 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.00916 1.64094 2.065 12.92 11.32 0.3975 0.20 1.08 587309 5225 603.00 0.0704 0.00938 1240 8 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.01373 1.64094 2.229 12.14 10.30 0.3682 0.18 1.21 599890 6202 2333.83 0.0992 0.03631



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 1241 9 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.0082 1.64094 1.989 13.38 11.32 0.4127 0.21 1.03 580987 5033 303.10 0.0653 0.00472 1242 10 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.00761 1.64094 1.963 13.52 11.55 0.4182 0.21 1.01 578733 4870 194.62 0.0612 0.00303 1243 11 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.00561 1.64094 1.806 14.53 11.93 0.4545 0.23 0.89 564285 4338 19.14 0.0485 0.00030 1244 12 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.01769 1.64094 2.398 11.35 10.09 0.3423 0.17 1.34 611470 6806 5103.16 0.1195 0.07940 1245 13 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.01219 3.27078 2.740 19.15 10.70 0.5971 0.30 1.18 1024295 7340 2589.07 0.1390 0.08029 1246 14 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.00848 3.27078 2.506 20.61 11.30 0.6529 0.33 1.04 989706 6351 1175.69 0.1041 0.03646 1247 15 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.00707 3.27078 2.358 21.77 11.34 0.6940 0.35 0.95 965686 5958 585.45 0.0916 0.01816 1248 16 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.00592 3.27078 2.267 22.40 11.75 0.7218 0.36 0.90 950090 5529 295.12 0.0789 0.00915 1249 17 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.00578 3.27078 2.245 22.61 11.71 0.7288 0.36 0.89 946242 5492 295.12 0.0778 0.00915 1250 18 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.00352 3.27078 1.961 25.14 12.43 0.8345 0.42 0.74 891707 4518 9.57 0.0527 0.00030 1251 19 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.00345 3.27078 1.918 25.75 12.14 0.8531 0.43 0.71 882754 4525 7.98 0.0528 0.00025 1252 20 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.01241 3.27078 2.728 19.27 10.52 0.5998 0.30 1.17 1022566 7428 2589.07 0.1424 0.08029 1253 21 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.01087 4.61381 2.880 25.31 10.36 0.8013 0.40 1.08 1281043 7966 1829.74 0.1637 0.08004 1254 22 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.01067 4.48270 2.871 24.64 10.56 0.7812 0.39 1.09 1258690 7789 1896.74 0.1565 0.08062 1255 23 MPM 1.999 25.65 1 2680 1000 0.00739 4.57784 2.661 29.65 11.34 0.8605 0.43 0.97 1230603 6021 834.31 0.1303 0.04275 1256 24 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.00737 4.55377 2.672 26.27 11.45 0.8525 0.43 0.98 1229420 6683 834.31 0.1153 0.03602 1257 25 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.00578 4.58294 2.525 27.54 11.94 0.9080 0.45 0.91 1201294 6060 421.14 0.0948 0.01830 1258 26 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.00575 4.60871 2.491 28.12 11.69 0.9254 0.46 0.89 1197130 6106 416.36 0.0962 0.01819 1259 27 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.00479 4.59993 2.364 29.25 11.91 0.9735 0.49 0.82 1165720 5686 205.98 0.0834 0.00898 1260 28 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.00502 4.59993 2.395 28.96 11.85 0.9607 0.48 0.84 1173332 5792 207.38 0.0865 0.00904 1261 29 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.00317 4.59993 2.107 31.84 12.51 1.0921 0.55 0.70 1099620 4826 6.38 0.0601 0.00028 1262 30 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.00325 4.59993 2.107 31.96 12.34 1.0921 0.55 0.70 1099620 4893 6.38 0.0618 0.00028 1263 31 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.01767 1.64094 2.340 11.65 9.73 0.3508 0.18 1.29 607621 6893 5171.76 0.1226 0.08047 1264 32 MPM 1.999 28.65 1 2680 1000 0.0039 3.27078 1.989 25.02 12.02 0.8227 0.41 0.75 897481 4741 9.57 0.0580 0.00030 1265 33 MPM 0.354 5.21 1 2680 1000 0.0227 0.02169 1.021 10.71 9.16 0.0600 0.17 1.38 45759 581 6896.20 0.1447 0.10327 1266 34 MPM 0.354 5.21 1 2680 1000 0.00964 0.02169 0.863 12.14 11.16 0.0710 0.20 1.10 43730 403 598.21 0.0696 0.00896 1267 35 MPM 0.354 5.21 1 2680 1000 0.01267 0.02169 0.917 11.59 10.59 0.0668 0.19 1.19 44483 451 1743.60 0.0874 0.02611 1268 36 MPM 0.354 5.21 1 2680 1000 0.0176 0.02169 1.004 10.73 10.22 0.0610 0.17 1.36 45567 512 4085.40 0.1124 0.06118 1269 37 MPM 0.354 5.21 1 2680 1000 0.02226 0.02169 1.064 10.23 9.86 0.0576 0.16 1.47 46228 562 6999.89 0.1355 0.10483 1270 38 MPM 0.354 5.21 1 2680 1000 0.0112 0.06079 1.261 21.83 11.28 0.1362 0.38 1.19 97053 582 2536.43 0.1455 0.10646 1271 39 MPM 0.354 5.21 1 2680 1000 0.00888 0.06079 1.164 23.28 11.33 0.1475 0.42 1.07 93673 535 1467.62 0.1230 0.06160 1272 40 MPM 0.354 5.21 1 2680 1000 0.00623 0.06079 1.071 24.30 12.18 0.1603 0.45 0.96 90119 458 631.71 0.0900 0.02652 1273 41 MPM 0.354 5.21 1 2680 1000 0.00633 0.06079 1.073 24.32 12.10 0.1600 0.45 0.96 90199 462 631.71 0.0916 0.02652 1274 42 MPM 0.354 5.21 1 2680 1000 0.00467 0.06082 0.982 25.72 12.53 0.1750 0.49 0.86 86396 408 223.33 0.0715 0.00938 1275 43 MPM 0.350 5.21 1 2680 1000 0.00319 0.06082 0.877 27.59 13.08 0.1981 0.57 0.74 81510 349 19.14 0.0524 0.00081 1276 44 MPM 0.354 5.21 1 2680 1000 0.00329 0.06082 0.881 27.48 12.95 0.1951 0.55 0.74 81729 354 19.14 0.0538 0.00080 1277 45 MPM 0.354 5.21 1 2680 1000 0.00372 0.04335 0.842 21.58 13.15 0.1454 0.41 0.80 67233 334 27.12 0.0478 0.00081 1278 46 MPM 0.354 5.21 1 2680 1000 0.01307 0.04335 1.214 16.69 11.50 0.1009 0.29 1.31 77999 550 3568.55 0.1298 0.10681 1279 47 MPM 0.354 5.21 1 2680 1000 0.00562 0.04335 0.941 20.22 12.35 0.1301 0.37 0.93 70583 397 312.67 0.0676 0.00936 1280 48 MPM 0.354 5.21 1 2680 1000 0.00983 0.08209 1.276 28.37 10.69 0.1817 0.51 1.06 114424 622 1883.98 0.1660 0.10678



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 1281 49 MPM 0.354 5.21 1 2680 1000 0.00538 0.08209 1.088 31.02 11.78 0.2131 0.60 0.86 105214 481 467.40 0.0993 0.02649 1282 50 MPM 0.354 5.21 1 2680 1000 0.00318 0.08209 0.934 33.53 12.65 0.2484 0.70 0.71 96483 385 46.26 0.0635 0.00262 1283 51 MPM 0.354 5.21 1 1250 1000 0.00175 0.01000 0.367 12.85 10.84 0.0769 0.22 0.45 19693 177 424.80 0.0899 0.01630 1284 52 MPM 0.354 5.21 1 1250 1000 0.00326 0.01000 0.446 10.89 10.48 0.0633 0.18 0.60 20807 222 2725.81 0.1420 0.10460 1285 53 MPM 0.354 5.21 1 1250 1000 0.00427 0.01000 0.485 10.12 10.33 0.0582 0.16 0.67 21259 245 4814.40 0.1729 0.18474 1286 54 MPM 0.354 5.21 1 1250 1000 0.00697 0.00500 0.424 6.06 9.13 0.0333 0.09 0.76 11888 242 9700.00 0.1688 0.18611 1287 55 MPM 0.354 5.21 1 1250 1000 0.0028 0.02161 0.522 19.17 9.97 0.1169 0.33 0.53 36764 273 2285.98 0.2147 0.18956 1288 56 MPM 0.354 5.21 1 1250 1000 0.00217 0.00500 0.307 8.08 10.26 0.0460 0.13 0.48 11211 156 212.40 0.0701 0.00408 1289 57 MPM 0.354 5.21 1 1250 1000 0.00128 0.01000 0.344 13.36 11.64 0.0821 0.23 0.42 19298 154 106.20 0.0684 0.00408 1290 58 MPM 0.354 5.21 1 1250 1000 0.00638 0.01000 0.556 8.95 10.29 0.0508 0.14 0.82 21949 281 10573.11 0.2283 0.40572 1291 59 MPM 0.354 5.21 1 1250 1000 0.00391 0.02161 0.624 16.08 11.01 0.0978 0.28 0.69 39320 295 5045.45 0.2515 0.41839 1292 79 MPM 2.000 1.7 5.71 2680 1000 0.0024 0.15000 0.682 61.96 13.69 0.1100 0.06 0.67 67568 85 580.67 0.0885 0.05711 1293 80 MPM 2.000 1.59 5.71 2680 1000 0.0025 0.10000 0.641 47.21 14.94 0.0780 0.04 0.75 46382 68 246.00 0.0703 0.01783 1294 81 MPM 2.000 1.63 5.71 2680 1000 0.00255 0.10000 0.633 46.70 14.50 0.0790 0.04 0.73 46339 71 283.00 0.0709 0.01976 1295 83 MPM 2.000 1.64 5.71 2680 1000 0.00244 0.12000 0.632 55.75 13.50 0.0950 0.05 0.67 54795 77 395.00 0.0810 0.03280 1296 84 MPM 2.000 1.89 5.71 2680 1000 0.00242 0.22500 0.750 75.55 12.88 0.1500 0.08 0.63 97826 110 695.11 0.1088 0.08748 1297 85 MPM 2.000 1.86 5.71 2680 1000 0.00265 0.18000 0.732 63.27 13.23 0.1230 0.06 0.68 80142 103 741.67 0.0998 0.07648 1298 92 MPM 2.000 1.98 5.71 2680 1000 0.00245 0.26000 0.783 79.60 12.72 0.1660 0.08 0.63 111492 122 730.77 0.1161 0.09911 1299 93 MPM 2.000 1.99 5.71 2680 1000 0.00225 0.26000 0.765 80.95 12.82 0.1700 0.09 0.61 111111 119 548.46 0.1084 0.07382 1300 94 MPM 2.000 1.84 5.71 2680 1000 0.0024 0.15000 0.652 60.01 12.79 0.1150 0.06 0.63 67265 94 380.00 0.0857 0.03319 1301 95 MPM 2.000 2.04 5.71 2680 1000 0.00235 0.19000 0.704 63.20 12.91 0.1350 0.07 0.63 83700 111 476.84 0.0884 0.04519 1302 96 MPM 0.420 3.3 3.82 2680 1000 0.00268 0.06750 0.804 46.51 12.65 0.2000 0.48 0.65 82317 210 56.30 0.0742 0.00439 1303 97 MPM 0.420 3.3 3.82 2680 1000 0.0027 0.06070 0.781 43.60 12.65 0.1850 0.44 0.66 76835 204 51.07 0.0701 0.00358 1304 98 MPM 0.420 3.3 3.82 2680 1000 0.00275 0.05410 0.753 41.04 12.46 0.1710 0.41 0.65 70997 199 36.97 0.0672 0.00231 1305 99 MPM 0.420 3.3 3.82 2680 1000 0.00274 0.04390 0.702 36.62 12.31 0.1490 0.35 0.64 61142 188 11.39 0.0597 0.00058 1306 100 MPM 0.420 3.3 3.82 2680 1000 0.00275 0.03500 0.651 32.21 12.16 0.1280 0.30 0.64 51775 177 2.86 0.0527 0.00012 1307 101 MPM 0.420 3.3 3.82 2680 1000 0.00277 0.06070 0.781 43.86 12.46 0.1850 0.44 0.66 76835 207 52.72 0.0723 0.00369 1308 102 MPM 0.420 3.3 3.82 2680 1000 0.00273 0.09060 0.888 54.24 12.82 0.2430 0.58 0.67 100000 228 259.38 0.0881 0.02713 1309 103 MPM 0.420 3.3 3.82 2680 1000 0.00275 0.06070 0.781 43.78 12.51 0.1850 0.44 0.66 76835 206 95.55 0.0717 0.00670 1310 104 MPM 0.420 3.3 3.82 2680 1000 0.00277 0.09060 0.891 54.13 12.79 0.2420 0.58 0.67 100221 230 321.19 0.0892 0.03359 1311 105 MPM 0.420 3.3 3.82 2680 1000 0.00282 0.08500 0.880 52.03 12.77 0.2300 0.55 0.68 96591 227 322.35 0.0873 0.03163 1312 106 MPM 0.420 3.3 3.82 2680 1000 0.00277 0.07480 0.844 48.43 12.81 0.2110 0.50 0.67 88836 217 241.98 0.0798 0.02089 1313 107 MPM 0.420 3.3 3.82 2680 1000 0.00276 0.06780 0.811 46.42 12.60 0.1990 0.47 0.66 82885 213 184.37 0.0763 0.01443 1314 108 MPM 0.420 3.3 3.82 2680 1000 0.00273 0.06070 0.781 43.71 12.57 0.1850 0.44 0.66 76835 205 151.57 0.0710 0.01062 1315 109 MPM 0.420 3.3 3.82 2680 1000 0.00272 0.05000 0.730 39.46 12.39 0.1630 0.39 0.65 67024 195 74.00 0.0639 0.00427 1316 110 MPM 0.420 3.3 3.82 2680 1000 0.00274 0.04000 0.680 34.75 12.25 0.1400 0.33 0.64 57143 183 37.50 0.0567 0.00173 1317 111 MPM 0.420 3.3 3.82 2680 1000 0.00271 0.06070 0.785 43.31 12.74 0.1840 0.44 0.66 77030 203 135.09 0.0699 0.00947 1318 112 MPM 0.420 2.7 3.53 2680 1000 0.00273 0.04110 0.699 42.08 12.67 0.1400 0.33 0.66 58714 149 119.22 0.0684 0.00764 1319 113 MPM 0.420 4.03 4.59 2680 1000 0.00271 0.06210 0.786 36.22 12.63 0.1880 0.45 0.66 78015 251 48.31 0.0584 0.00257 1320 114 MPM 0.420 4.03 4.59 2680 1000 0.00266 0.04310 0.698 29.47 12.54 0.1470 0.35 0.65 60364 224 4.64 0.0467 0.00017



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 1321 115 MPM 0.420 4.03 4.59 2680 1000 0.00281 0.09260 0.904 44.57 12.84 0.2440 0.58 0.68 101982 284 186.83 0.0745 0.01480 1322 116 MPM 0.420 4.03 4.59 2680 1000 0.00267 0.05000 0.726 32.46 12.40 0.1640 0.39 0.64 66845 236 10.00 0.0516 0.00043 1323 117 MPM 0.650 1.34 4 2680 1000 0.00283 0.02000 0.488 43.65 12.12 0.0630 0.10 0.64 25773 54 295.00 0.0735 0.01701 1324 118 MPM 0.650 1.43 4 2680 1000 0.00325 0.03670 0.620 57.93 12.07 0.0910 0.14 0.69 44111 73 771.12 0.1121 0.07400 1325 119 MPM 0.650 1.17 4 2680 1000 0.00236 0.01450 0.429 41.37 12.81 0.0520 0.08 0.62 19231 39 103.45 0.0581 0.00530 1326 120 MPM 0.650 1.34 4 2680 1000 0.00267 0.02650 0.544 51.09 12.84 0.0750 0.12 0.66 33125 57 524.53 0.0812 0.04007 1327 121 MPM 0.650 1.4 4 2680 1000 0.00304 0.02860 0.571 50.36 12.46 0.0770 0.12 0.69 35572 64 734.27 0.0911 0.05669 1328 124 MPM 0.300 1.4 4 2680 1000 0.0165 0.00120 0.400 6.94 10.09 0.0100 0.03 1.30 3750 56 6000.00 0.0681 0.04211 1329 125 MPM 0.150 1.45 4 2680 1000 0.0195 0.00060 0.400 6.55 9.38 0.0100 0.07 1.31 3529 62 6333.33 0.0760 0.04217 1330 126 MPM 0.150 1.6 4 2680 1000 0.0207 0.00100 0.476 8.22 9.22 0.0140 0.09 1.33 5618 83 600.00 0.1012 0.00574 1331 127 MPM 2.000 4.46 5.22 2680 1000 0.00827 0.16000 0.920 19.04 11.08 0.0870 0.04 1.01 73597 370 2250.00 0.0937 0.05555 1332 128 MPM 2.000 4.43 5.22 2680 1000 0.00801 0.22000 1.019 23.69 11.22 0.1080 0.05 1.00 99278 402 3018.18 0.1129 0.10349 1333 129 MPM 2.000 4.43 5.22 2680 1000 0.00811 0.22000 1.038 23.24 11.47 0.1060 0.05 1.03 99458 401 2931.82 0.1122 0.10053 1334 130 MPM 2.000 4.44 5.22 2680 1000 0.0081 0.25000 1.179 23.05 13.08 0.1060 0.05 1.18 113020 400 3176.00 0.1111 0.12334 1335 131 MPM 2.000 4.4 5.22 2680 1000 0.00813 0.19500 0.985 21.90 11.23 0.0990 0.05 1.01 88717 386 2651.28 0.1060 0.08141 1336 132 MPM 2.000 4.51 5.22 2680 1000 0.00819 0.14000 0.814 18.68 9.89 0.0860 0.04 0.90 64457 371 1935.71 0.0911 0.04112 1337 133 MPM 2.000 4.62 5.22 2680 1000 0.00812 0.10000 0.735 14.46 10.08 0.0680 0.03 0.91 46816 337 1190.00 0.0699 0.01742 1338 1 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.00846 0.07079 0.807 4.14 9.24 0.0960 0.11 0.85 64005 1939 0.07 0.0212 0.00000 1339 2 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.0088 0.08500 0.884 4.52 9.50 0.1052 0.12 0.89 75594 2065 0.07 0.0241 0.00000 1340 3 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.00874 0.09911 0.949 4.88 9.84 0.1143 0.13 0.92 86737 2139 0.04 0.0258 0.00000 1341 4 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.00882 0.11043 0.967 5.33 9.55 0.1250 0.14 0.90 94873 2246 0.03 0.0285 0.00000 1342 5 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.00891 0.13025 1.080 5.58 10.38 0.1320 0.14 0.98 110572 2310 0.01 0.0301 0.00000 1343 6 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.00875 0.14158 1.057 6.20 9.72 0.1466 0.16 0.91 117280 2413 0.06 0.0329 0.00000 1344 7 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.00887 0.15574 1.141 6.28 10.36 0.1494 0.16 0.98 128412 2445 0.16 0.0338 0.00000 1345 8 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.0091 0.16990 1.173 6.65 10.21 0.1585 0.17 0.97 138015 2549 0.17 0.0367 0.00000 1346 9 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.00919 0.18405 1.235 6.81 10.57 0.1631 0.18 1.01 148407 2592 0.40 0.0379 0.00000 1347 10 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.00915 0.19821 1.270 7.10 10.68 0.1707 0.19 1.02 157888 2642 0.37 0.0394 0.00000 1348 11 Paintal 0.919 22.2 1.07 2650 1000 0.00905 0.21520 1.280 7.60 10.46 0.1829 0.20 0.99 167498 2718 0.63 0.0417 0.00000 1349 12 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.00912 0.22653 1.329 7.72 10.73 0.1865 0.20 1.02 176012 2749 0.71 0.0427 0.00000 1350 13 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.00912 0.25484 1.376 8.35 10.68 0.2027 0.22 1.02 193151 2859 1.57 0.0462 0.00001 1351 15 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.0086 0.12792 0.977 6.10 9.14 0.1433 0.16 0.85 106548 2373 1.01 0.0318 0.00000 1352 16 Paintal 0.919 22.2 1.07 2650 1000 0.0086 0.15574 1.069 6.69 9.55 0.1585 0.17 0.89 126002 2486 1.21 0.0349 0.00001 1353 17 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.00925 0.18405 1.223 6.88 10.39 0.1646 0.18 1.00 148049 2614 1.14 0.0386 0.00001 1354 18 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.0091 0.21520 1.277 7.67 10.36 0.1844 0.20 0.99 167760 2737 2.16 0.0423 0.00001 1355 19 Paintal 0.919 22.2 1.07 2650 1000 0.0091 0.24069 1.312 8.28 10.24 0.1996 0.22 0.98 182587 2843 3.53 0.0456 0.00003 1356 19 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.0103 0.13309 1.016 6.13 8.67 0.1433 0.16 0.88 110849 2603 0.88 0.0383 0.00000 1357 20 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.0085 0.13025 0.994 6.09 9.37 0.1433 0.16 0.86 108491 2356 1.68 0.0314 0.00001 1358 21 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.00943 0.18405 1.149 7.39 9.33 0.1753 0.19 0.91 145543 2734 8.95 0.0422 0.00005 1359 22 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.0095 0.24069 1.372 7.94 10.70 0.1920 0.21 1.04 185428 2845 25.13 0.0457 0.00019 1360 23 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.0079 0.10760 0.849 5.94 8.39 0.1387 0.15 0.75 90315 2245 1.79 0.0285 0.00001



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 1361 24 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.00885 0.13478 0.939 6.71 8.26 0.1570 0.17 0.78 109759 2525 1.68 0.0360 0.00001 1362 25 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.00878 0.15857 0.990 7.46 8.29 0.1753 0.19 0.78 125391 2651 4.77 0.0397 0.00002 1363 26 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.00833 0.18972 1.117 7.80 9.39 0.1859 0.20 0.86 147548 2641 1.95 0.0394 0.00001 1364 27 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.00856 0.21803 1.186 8.40 9.47 0.2012 0.22 0.88 165628 2779 6.76 0.0436 0.00005 1365 28 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.00825 0.23219 1.190 8.89 9.42 0.2134 0.23 0.86 173173 2805 21.33 0.0444 0.00015 1366 30 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.009 0.13025 0.917 6.66 8.03 0.1554 0.17 0.76 106347 2536 10.45 0.0363 0.00004 1367 31 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.00991 0.15574 0.998 7.30 7.95 0.1707 0.19 0.79 124054 2786 12.38 0.0438 0.00006 1368 32 Paintal 0.914 22.2 1.07 2650 1000 0.01 0.21520 1.246 7.93 9.48 0.1890 0.21 0.95 166565 2917 35.13 0.0480 0.00023 1369 33 Paintal 0.914 7.95 1.1 2650 1000 0.00487 0.05663 0.764 9.57 12.67 0.0811 0.09 0.88 52622 479 0.17 0.0283 0.00000 1370 34 Paintal 0.914 7.95 1.1 2650 1000 0.0047 0.02605 0.532 6.48 10.91 0.0536 0.06 0.75 25510 388 0.00 0.0185 0.00000 1371 35 Paintal 0.914 7.95 1.1 2650 1000 0.00468 0.05663 0.724 10.13 11.90 0.0856 0.09 0.81 52186 483 0.06 0.0287 0.00000 1372 36 Paintal 0.914 7.95 1.1 2650 1000 0.0049 0.03681 0.595 8.15 10.66 0.0677 0.07 0.75 35078 444 0.04 0.0242 0.00000 1373 37 Paintal 0.914 7.95 1.1 2650 1000 0.0048 0.07079 0.794 11.46 12.13 0.0975 0.11 0.84 63832 521 0.57 0.0333 0.00001 1374 38 Paintal 0.914 7.95 1.1 2650 1000 0.00487 0.02605 0.535 6.89 10.80 0.0533 0.06 0.75 25525 394 0.00 0.0203 0.00000 1375 40 Paintal 0.914 7.95 1.1 2650 1000 0.00352 0.07362 0.755 12.36 12.96 0.1067 0.12 0.77 65302 463 0.19 0.0264 0.00000 1376 42 Paintal 0.914 7.95 1.1 2650 1000 0.00453 0.04672 0.668 9.10 11.78 0.0765 0.08 0.79 43787 451 0.01 0.0250 0.00000 1377 43 Paintal 0.914 7.95 1.1 2650 1000 0.00455 0.06088 0.743 10.56 12.14 0.0896 0.10 0.82 55689 487 0.03 0.0291 0.00000 1378 45 Paintal 0.914 7.95 1.1 2650 1000 0.0052 0.09061 0.884 13.10 12.12 0.1122 0.12 0.87 79595 579 5.01 0.0413 0.00007 1379 62 Paintal 0.914 7.95 1.1 2650 1000 0.00232 0.04247 0.504 10.87 11.36 0.0922 0.10 0.55 38669 353 0.00 0.0153 0.00000 1380 63 Paintal 0.914 7.95 1.1 2650 1000 0.00251 0.03681 0.495 9.65 11.38 0.0814 0.09 0.57 34186 346 0.00 0.0147 0.00000 1381 64 Paintal 0.924 7.95 1.1 2650 1000 0.00207 0.02832 0.388 9.46 9.94 0.0789 0.09 0.45 26175 311 0.00 0.0119 0.00000 1382 65 Paintal 0.914 7.95 1.1 2650 1000 0.00226 0.03823 0.483 10.24 11.37 0.0866 0.09 0.54 35161 338 0.00 0.0140 0.00000 1383 66 Paintal 0.914 7.95 1.1 2650 1000 0.00274 0.04531 0.493 11.98 9.74 0.1006 0.11 0.51 40626 402 0.01 0.0199 0.00000 1384 67 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.00184 0.07079 0.647 42.82 14.71 0.1198 0.13 0.63 61364 110 40.05 0.0477 0.00233 1385 68 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.00134 0.05890 0.591 38.36 16.63 0.1091 0.12 0.61 52020 89 2.50 0.0312 0.00012 1386 69 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.00138 0.04332 0.497 34.62 14.51 0.0954 0.10 0.54 39213 86 0.19 0.0290 0.00001 1387 70 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.00117 0.02931 0.388 30.57 13.11 0.0826 0.09 0.45 27156 74 0.03 0.0217 0.00000 1388 71 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.00163 0.08141 0.729 42.10 17.77 0.1222 0.13 0.72 70276 103 74.29 0.0416 0.00496 1389 74 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.0021 0.07645 0.686 43.68 14.47 0.1219 0.13 0.66 66033 119 108.77 0.0556 0.00683 1390 75 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.00202 0.08495 0.719 45.75 15.11 0.1292 0.14 0.68 72456 119 153.96 0.0560 0.01074 1391 76 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.00172 0.05663 0.609 36.51 15.51 0.1018 0.11 0.64 50673 98 16.69 0.0381 0.00078 1392 77 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.002 0.07929 0.706 43.58 15.28 0.1228 0.13 0.68 68373 116 162.09 0.0528 0.01055 1393 78 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.00153 0.03823 0.508 30.02 15.14 0.0823 0.09 0.59 35441 84 0.09 0.0278 0.00000 1394 79 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.00152 0.06371 0.615 40.12 15.90 0.1134 0.12 0.62 55848 97 10.86 0.0370 0.00057 1395 80 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.00158 0.10477 0.725 54.35 15.79 0.1582 0.17 0.63 85150 115 119.42 0.0520 0.01027 1396 81 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.0014 0.08778 0.648 51.36 15.44 0.1481 0.16 0.58 72533 105 83.11 0.0436 0.00599 1397 82 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.00163 0.11610 0.759 57.09 15.89 0.1673 0.18 0.64 92981 119 227.90 0.0564 0.02172 1398 83 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.002 0.13025 0.799 61.76 14.52 0.1783 0.20 0.65 102514 138 348.23 0.0749 0.03724 1399 84 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.00157 0.09627 0.726 49.79 16.58 0.1451 0.16 0.66 79949 109 150.99 0.0474 0.01193 1400 87 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.00159 0.02265 0.435 21.23 15.11 0.0570 0.06 0.60 22036 72 0.01 0.0205 0.00000



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 1401 88 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.00186 0.02832 0.442 26.30 12.76 0.0701 0.08 0.55 26860 87 0.39 0.0296 0.00001 1402 90 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.00189 0.02265 0.408 22.95 12.52 0.0607 0.07 0.54 21879 82 0.01 0.0263 0.00000 1403 92 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.00162 0.03853 0.507 30.49 14.56 0.0832 0.09 0.59 35663 87 0.46 0.0299 0.00001 1404 93 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.00185 0.02605 0.425 25.26 12.55 0.0671 0.07 0.54 24853 85 0.27 0.0283 0.00001 1405 94 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.00213 0.01699 0.413 17.09 13.83 0.0450 0.05 0.64 16922 75 0.01 0.0221 0.00000 1406 94 Paintal 0.914 7.95 1.1 2650 1000 0.0052 0.07929 0.842 12.09 12.03 0.1030 0.11 0.87 70790 557 1.67 0.0381 0.00002 1407 95 Paintal 0.914 2.5 1.08 2650 1000 0.00216 0.02548 0.484 21.60 14.31 0.0576 0.06 0.67 24761 85 0.15 0.0283 0.00000 1408 97 Paintal 0.919 7.95 1.1 2650 1000 0.0045 0.09051 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0.7423 6.68308



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 1441 C3 Rickenman 0.200 10 1.38 2680 1246 0.2 0.01000 1.580 3.04 6.47 0.0316 0.16 2.89 37981 2441 1356000.00 0.5280 7.52913 1442 C3 Rickenman 0.200 10 1.38 2680 1236 0.2 0.01500 1.730 4.14 6.07 0.0434 0.22 2.72 52319 2850 1170000.00 0.7085 9.67171 1443 C4 Rickenman 0.200 10 1.38 2680 1286 0.07 0.02500 1.690 6.64 7.91 0.0740 0.37 2.09 71854 2136 95600.00 0.4291 1.36738 1444 C4 Rickenman 0.200 10 1.38 2680 1275 0.1 0.03000 2.080 6.47 8.25 0.0721 0.36 2.61 87151 2520 239333.33 0.5875 4.07420 1445 C4 Rickenman 0.200 10 1.38 2680 1266 0.15 0.01000 1.320 3.64 5.70 0.0379 0.19 2.21 36264 2314 638000.00 0.4888 3.59595 1446 C4 Rickenman 0.200 10 1.38 2680 1257 0.15 0.03000 2.490 5.45 8.79 0.0602 0.30 3.40 93609 2832 444000.00 0.7223 7.45710 1447 C4 Rickenman 0.200 10 1.38 2680 1287 0.07 0.01500 1.360 5.10 7.27 0.0551 0.28 1.92 48341 1872 80000.00 0.3299 0.68706 1448 C4 Rickenman 0.200 10 1.38 2680 1293 0.1 0.01000 1.160 4.12 5.77 0.0431 0.22 1.83 34940 2009 176000.00 0.3837 1.01222 1449 C4 Rickenman 0.200 10 1.38 2680 1275 0.1 0.01500 1.430 4.93 6.50 0.0524 0.26 2.06 49197 2199 223333.33 0.4472 1.90091 1450 C5 Rickenman 0.200 10 1.38 2680 1363 0.07 0.01500 1.360 5.10 7.27 0.0551 0.28 1.92 48341 1872 39333.33 0.3695 0.35753 1451 C5 Rickenman 0.200 10 1.38 2680 1363 0.1 0.01000 1.160 4.12 5.77 0.0431 0.22 1.83 34940 2009 81000.00 0.4260 0.49084 1452 C5 Rickenman 0.200 10 1.38 2680 1363 0.1 0.01500 1.430 4.93 6.50 0.0524 0.26 2.06 49197 2199 144666.67 0.5100 1.31497 1453 C5 Rickenman 0.200 10 1.38 2680 1356 0.15 0.01000 1.320 3.64 5.70 0.0379 0.19 2.21 36264 2314 306000.00 0.5592 1.84462 1454 C5 Rickenman 0.200 10 1.38 2680 1356 0.2 0.01000 1.580 3.04 6.47 0.0316 0.16 2.89 37981 2441 765000.00 0.6223 4.61156 1455 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.07 0.00500 0.800 7.01 5.56 0.0313 0.16 1.47 19048 619 62000.00 0.2938 0.50866 1456 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.1 0.00500 0.890 6.33 5.45 0.0281 0.14 1.72 19518 703 138000.00 0.3790 1.13217 1457 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.15 0.00500 0.920 6.17 4.66 0.0272 0.14 1.80 19658 850 384000.00 0.5542 3.15039 1458 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.2 0.00500 1.010 5.63 4.63 0.0248 0.12 2.07 20040 937 644000.00 0.6747 5.28347 1459 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.03 0.01000 1.050 9.94 9.36 0.0476 0.24 1.62 33871 482 18000.00 0.1785 0.29535 1460 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.07 0.01000 1.140 9.60 6.77 0.0439 0.22 1.79 34756 724 77000.00 0.4025 1.26344 1461 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.1 0.01000 1.240 8.91 6.40 0.0403 0.20 2.02 35632 834 184000.00 0.5337 3.01913 1462 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.15 0.01000 1.350 8.27 5.90 0.0370 0.19 2.29 36486 983 376000.00 0.7424 6.16952 1463 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.2 0.01000 1.720 6.46 7.37 0.0291 0.15 3.30 38739 1004 721000.00 0.7732 11.83038 1464 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.03 0.01500 1.150 13.40 8.83 0.0652 0.33 1.53 45395 560 20666.67 0.2406 0.50866 1465 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.07 0.01500 1.390 11.58 7.52 0.0540 0.27 1.99 48715 795 118000.00 0.4853 2.90427 1466 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.1 0.01500 1.590 10.20 7.67 0.0472 0.24 2.42 50962 892 245333.33 0.6108 6.03825 1467 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.15 0.01500 1.830 8.94 7.69 0.0410 0.20 2.98 53198 1023 491333.33 0.8032 12.09291 1468 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.2 0.01500 2.120 7.73 8.30 0.0354 0.18 3.71 55401 1098 830666.67 0.9259 20.44473 1469 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.03 0.02000 - 0.00 30500.00 1.00091 1470 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.07 0.02000 1.820 11.34 9.95 0.0549 0.27 2.63 64539 787 109500.00 0.4752 3.59342 1471 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.1 0.02000 1.980 10.62 9.35 0.0505 0.25 2.96 66443 910 192000.00 0.6362 6.30078 1472 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.15 0.02000 2.240 9.53 9.12 0.0446 0.22 3.53 69136 1056 407000.00 0.8561 13.35635 1473 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.2 0.02000 2.460 8.75 9.05 0.0407 0.20 4.05 71098 1168 729000.00 1.0481 23.92329 1474 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.07 0.02500 1.950 13.06 9.93 0.0641 0.32 2.63 76172 844 110400.00 0.5473 4.52869 1475 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.1 0.02500 2.090 12.48 9.11 0.0598 0.30 2.88 78219 987 202800.00 0.7472 8.31900 1476 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.15 0.02500 2.310 11.51 8.56 0.0541 0.27 3.32 81110 1160 359200.00 1.0336 14.73464 1477 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.2 0.02500 2.640 10.11 9.04 0.0473 0.24 4.04 84833 1256 632000.00 1.2106 25.92510 1478 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.07 0.03000 2.000 15.20 9.44 0.0750 0.38 2.50 85714 911 97000.00 0.6370 4.77481 1479 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.1 0.03000 2.120 14.73 8.51 0.0708 0.35 2.69 87845 1072 181666.67 0.8819 8.94252 1480 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.15 0.03000 2.450 12.92 8.57 0.0612 0.31 3.32 93038 1229 344333.33 1.1600 16.94976



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 1481 S1 Smart 0.200 4.3 8.462 2670 1000 0.2 0.03000 2.770 11.49 8.90 0.0542 0.27 3.98 97307 1339 587333.33 1.3760 28.91141 1482 S2 Smart 0.200 4.2 1.444 2670 1000 0.1 0.00500 0.980 5.86 6.31 0.0255 0.13 1.99 19919 652 128000.00 0.3507 1.08786 1483 S2 Smart 0.200 4.2 1.444 2670 1000 0.2 0.00500 1.080 5.38 5.13 0.0231 0.12 2.29 20301 885 674000.00 0.6446 5.72825 1484 S2 Smart 0.200 4.2 1.444 2670 1000 0.05 0.01000 1.200 9.10 8.76 0.0417 0.21 1.96 35294 575 31000.00 0.2726 0.52693 1485 S2 Smart 0.200 4.2 1.444 2670 1000 0.1 0.01000 1.430 7.82 7.97 0.0350 0.17 2.52 37047 754 168000.00 0.4683 2.85563 1486 S2 Smart 0.200 4.2 1.444 2670 1000 0.2 0.01000 1.870 6.04 8.38 0.0267 0.13 3.75 39451 937 711000.00 0.7239 12.08542 1487 S2 Smart 0.200 4.2 1.444 2670 1000 0.1 0.01500 1.760 9.33 8.98 0.0426 0.21 2.84 52590 823 168000.00 0.5584 4.28344 1488 S2 Smart 0.200 4.2 1.444 2670 1000 0.03 0.02000 1.420 14.14 10.74 0.0704 0.35 1.86 58678 555 12250.00 0.2539 0.41645 1489 S2 Smart 0.200 4.2 1.444 2670 1000 0.05 0.02000 1.630 12.76 10.05 0.0613 0.31 2.25 61977 681 46000.00 0.3820 1.56380 1490 S2 Smart 0.200 4.2 1.444 2670 1000 0.07 0.02000 1.780 11.91 9.60 0.0562 0.28 2.54 64029 779 94400.00 0.4994 3.20918 1491 S2 Smart 0.200 4.2 1.444 2670 1000 0.1 0.02000 2.100 10.16 10.26 0.0476 0.24 3.25 67742 859 160500.00 0.6086 5.45629 1492 S2 Smart 0.200 4.2 1.444 2670 1000 0.15 0.02000 2.490 8.65 10.77 0.0402 0.20 4.17 71347 971 340500.00 0.7772 11.57548 1493 S2 Smart 0.200 4.2 1.444 2670 1000 0.2 0.02000 2.660 8.21 10.23 0.0376 0.19 4.57 72678 1092 512500.00 0.9832 17.42272 1494 S2 Smart 0.200 4.2 1.444 2670 1000 0.1 0.02500 2.330 11.24 10.83 0.0536 0.27 3.42 81355 904 150000.00 0.6732 6.37417 1495 S2 Smart 0.200 4.2 1.444 2670 1000 0.1 0.03000 2.480 12.52 10.92 0.0605 0.30 3.45 93467 954 153000.00 0.7496 7.80198 1496 S3 Smart 0.200 2 4.6 2680 1000 0.1 0.00500 1.250 9.50 9.16 0.0200 0.10 2.90 20833 273 204000.00 0.5654 5.24084 1497 S3 Smart 0.200 2 4.6 2680 1000 0.1 0.01000 1.580 14.72 9.30 0.0316 0.16 2.94 37981 340 240000.00 0.8763 12.33140 1498 S3 Smart 0.200 2 4.6 2680 1000 0.2 0.01000 2.310 10.09 11.61 0.0216 0.11 5.19 41103 398 818000.00 1.2008 42.02951 1499 S3 Smart 0.200 2 4.6 2680 1000 0.1 0.01500 1.830 18.74 9.54 0.0410 0.20 3.02 53198 384 220666.67 1.1155 17.00705 1500 S3 Smart 0.200 2 4.6 2680 1000 0.05 0.02000 1.780 24.07 11.58 0.0562 0.28 2.59 64029 307 70500.00 0.7164 7.24470 1501 S3 Smart 0.200 2 4.6 2680 1000 0.07 0.02000 1.860 23.76 10.30 0.0538 0.27 2.72 65035 361 127000.00 0.9898 13.05073 1502 S3 Smart 0.200 2 4.6 2680 1000 0.1 0.02000 2.100 21.34 10.26 0.0476 0.24 3.25 67742 409 187000.00 1.2704 19.21643 1503 S3 Smart 0.200 2 4.6 2680 1000 0.15 0.02000 2.340 19.51 9.77 0.0427 0.21 3.78 70060 479 409000.00 1.7416 42.02951 1504 S3 Smart 0.200 2 4.6 2680 1000 0.2 0.02000 2.560 18.00 9.63 0.0391 0.20 4.31 71910 532 812000.00 2.1426 83.44246 1505 S3 Smart 0.200 2 4.6 2680 1000 0.1 0.02500 2.170 25.68 9.67 0.0576 0.29 3.06 79313 449 214400.00 1.5285 27.54012 1506 S3 Smart 0.200 2 4.6 2680 1000 0.1 0.03000 - 0.00 197333.33 0.0000 30.41745 1507 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.105 0.00500 - 0.00 60000.00 0.0000 0.12814 1508 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.15 0.00500 - 0.00 162000.00 0.0000 0.34598 1509 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.2 0.00500 - 0.00 366000.00 0.0000 0.78165 1510 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.07 0.01000 - 0.00 38000.00 0.0000 0.16231 1511 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.1 0.01000 1.070 4.27 5.10 0.0467 0.23 1.61 34076 2202 84000.00 0.2542 0.35879 1512 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.15 0.01000 1.180 3.90 4.81 0.0424 0.21 1.86 35119 2578 230000.00 0.3483 0.98240 1513 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.2 0.01000 1.260 3.67 4.58 0.0397 0.20 2.05 35795 2887 480000.00 0.4368 2.05023 1514 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.034 0.01500 1.100 5.85 7.69 0.0682 0.34 1.42 44595 1503 4666.67 0.1184 0.02990 1515 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.05 0.01500 1.280 5.08 7.92 0.0586 0.29 1.77 47291 1698 44000.00 0.1511 0.28191 1516 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.1 0.01500 1.380 4.88 6.16 0.0543 0.27 1.95 48592 2354 106666.67 0.2904 0.68341 1517 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.15 0.01500 1.570 4.32 6.07 0.0478 0.24 2.35 50754 2714 272000.00 0.3860 1.74270 1518 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.2 0.01500 1.740 3.92 6.13 0.0431 0.22 2.74 52410 2983 589333.33 0.4664 3.77585 1519 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.03 0.02000 1.200 6.95 8.19 0.0833 0.42 1.42 54545 1539 7000.00 0.1242 0.05980 1520 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.05 0.02000 1.340 6.42 7.37 0.0746 0.37 1.65 57265 1910 20400.00 0.1912 0.17427



N° ID Auteur W(m) D(mm) σ ρs ρ So(m/m) Q(m3/s) U(m/s) R/D U/u*c H(m) H/W Fr Re Re* C(g/m3) θ Φ 1521 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.07 0.02000 1.490 5.85 7.26 0.0671 0.34 1.92 59839 2156 49000.00 0.2436 0.41859 1522 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.1 0.02000 1.610 5.49 6.77 0.0621 0.31 2.14 61686 2498 115000.00 0.3270 0.98240 1523 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.15 0.02000 1.960 4.53 7.41 0.0510 0.26 2.87 66216 2777 291500.00 0.4043 2.49018 1524 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.2 0.02000 2.440 3.62 8.94 0.0410 0.20 4.00 70930 2866 515000.00 0.4306 4.39946 1525 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.07 0.02500 1.550 6.99 6.90 0.0806 0.40 1.83 69196 2357 56800.00 0.2912 0.60653 1526 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.1 0.02500 1.890 5.74 7.78 0.0661 0.33 2.46 75239 2552 114000.00 0.3414 1.21733 1527 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.15 0.02500 2.500 4.31 9.69 0.0500 0.25 3.75 83333 2709 303600.00 0.3845 3.24193 1528 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.2 0.02500 2.660 4.10 9.15 0.0470 0.23 4.09 85038 3053 565600.00 0.4887 6.03965 1529 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.07 0.03000 1.680 7.65 7.16 0.0893 0.45 1.89 79245 2465 49666.67 0.3186 0.63643 1530 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.1 0.03000 2.060 6.24 8.13 0.0728 0.36 2.57 86798 2661 117666.67 0.3712 1.50778 1531 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.15 0.03000 2.520 5.12 8.96 0.0595 0.30 3.47 94030 2954 316333.33 0.4572 4.05348 1532 S4 Smart 0.200 10.5 1.344 2680 1000 0.2 0.03000 - 0.00 497000.00 0.0000 6.36854 1533 Sumer 0.300 0.13 1000 0.0038 0.02350 0.755 321.54 19.15 0.1 confiné 5 ? 1534 Sumer 0.300 0.13 1000 0.00397 0.02425 0.774 364.62 17.99 0.1 confiné 6 ? 1535 Sumer 0.300 0.13 1000 0.00479 0.02580 0.833 378.46 17.33 0.1 confiné 6 ? 1536 Sumer 0.300 0.13 1000 0.00474 0.02590 0.835 373.85 17.56 0.1 confiné 6 ? 1537 Sumer 0.300 0.13 1000 0.00537 0.02695 0.874 385.38 17.00 0.1 confiné 7 ? 1538 Sumer 0.300 0.13 1000 0.00577 0.02750 0.902 384.62 16.95 0.1 confiné 7 ? 1539 Sumer 0.300 0.13 1000 0.00609 0.02885 0.943 378.46 17.39 0.1 confiné 7 ? 1540 Sumer 0.300 0.13 1000 0.00621 0.02900 0.955 373.85 17.56 0.1 confiné 7 ? 1541 Sumer 0.300 0.13 1000 0.00677 0.02975 0.979 387.69 16.92 0.1 confiné 8 ? 1542 Sumer 0.300 0.13 1000 0.00711 0.03090 1.022 376.92 17.48 0.1 confiné 8 ? 1543 Sumer 0.300 0.13 1000 0.00726 0.03100 1.024 383.08 17.20 0.1 confiné 8 ? 1544 Sumer 0.300 0.13 1000 0.00773 0.03220 1.065 383.08 17.33 0.1 confiné 8 ? 1545 Sumer 0.300 0.13 1000 0.00792 0.03300 1.089 377.69 17.63 0.1 confiné 8 ? 1546 Sumer 0.300 0.13 1000 0.00791 0.03330 1.077 393.08 17.10 0.1 confiné 8 ? 1547 Sumer 0.300 0.13 1000 0.00844 0.03440 1.113 394.62 17.09 0.1 confiné 8 ? 1548 Sumer 0.300 0.13 1000 0.00883 0.03570 1.138 406.92 16.81 0.1 confiné 9 ? 1549 Sumer 0.300 0.13 1000 0.00884 0.03680 1.182 380.77 18.04 0.1 confiné 9 ? 1550 Sumer 0.300 0.13 1000 0.00919 0.03750 1.202 386.92 17.85 0.1 confiné 9 ? 1551 Sumer 0.300 0.13 1000 0.0094 0.03840 1.218 393.08 17.75 0.1 confiné 9 ?


Thèse A.RECKING 262 Influence du tri granulométrique sur le charriage

Données en conduites (Nnadi et Wilson, 1992)

(masse volumique 2670 kg/m3)

D(mm) S(m/m) U(m/s) qs(m3/m/s) R (m) θ qsg(s-1)/u*3

0.7 0.034 1.522 0.0012 0.037 1.102 13.297 0.7 0.039 1.629 0.0015 0.038 1.253 14.164 0.7 0.043 1.739 0.0020 0.038 1.407 16.284 0.7 0.033 1.345 0.0007 0.030 0.835 11.547 0.7 0.038 1.537 0.0011 0.030 0.964 15.329 0.7 0.047 1.613 0.0015 0.036 1.424 11.980 0.7 0.054 1.729 0.0021 0.037 1.699 12.549 0.7 0.060 1.830 0.0028 0.038 1.950 13.492 0.7 0.066 1.894 0.0037 0.041 2.275 14.245 0.7 0.074 1.778 0.0034 0.036 2.280 13.052 0.7 0.081 1.851 0.0044 0.039 2.680 13.517 0.7 0.087 1.912 0.0056 0.041 3.027 14.115 0.7 0.091 1.983 0.0067 0.042 3.307 14.880 0.7 0.096 1.659 0.0036 0.030 2.451 12.453 0.7 0.104 1.720 0.0047 0.033 2.939 12.412 0.7 0.108 1.766 0.0057 0.036 3.353 12.372 0.7 0.112 1.848 0.0069 0.038 3.637 13.260 0.7 0.116 1.912 0.0083 0.040 3.929 14.135 0.7 0.121 1.912 0.0097 0.043 4.488 13.599 0.7 0.134 1.989 0.0113 0.046 5.273 12.421 0.7 0.137 1.760 0.0077 0.037 4.313 11.430 0.7 0.139 1.897 0.0108 0.040 4.760 13.815 0.7 0.151 1.963 0.0124 0.042 5.482 12.878 0.7 0.156 2.031 0.0141 0.044 5.870 13.227 0.7 0.142 1.577 0.0051 0.027 3.223 11.666 0.7 0.169 1.705 0.0084 0.034 4.877 10.463 0.7 0.164 1.812 0.0100 0.034 4.793 12.689 0.7 0.171 1.818 0.0119 0.038 5.628 11.869 0.7 0.184 1.964 0.0137 0.038 6.037 12.356 0.7 0.188 1.989 0.0154 0.041 6.626 12.034 0.7 0.198 1.986 0.0172 0.046 7.711 10.732 0.7 0.202 1.955 0.0134 0.034 5.908 12.445 0.7 0.206 1.970 0.0153 0.038 6.643 11.909 0.7 0.036 1.269 0.0006 0.026 0.806 10.980 0.7 0.044 1.369 0.0009 0.029 1.094 10.521 0.7 0.052 1.540 0.0014 0.028 1.261 12.972 0.7 0.074 1.717 0.0025 0.029 1.854 13.079 0.7 0.094 1.513 0.0019 0.023 1.816 10.597 0.7 0.099 1.485 0.0024 0.026 2.175 9.980 0.7 0.109 1.598 0.0036 0.028 2.576 11.706 0.7 0.118 1.687 0.0049 0.030 3.027 12.512 0.7 0.130 1.745 0.0063 0.033 3.687 11.939 0.7 0.136 1.479 0.0036 0.025 2.893 9.809 0.7 0.157 1.641 0.0067 0.030 4.071 10.803 0.7 0.189 1.641 0.0078 0.030 4.776 9.974 0.7 0.182 1.796 0.0097 0.030 4.676 12.825 0.7 0.182 1.955 0.0134 0.038 5.908 12.445

Etude expérimentale de l’influence du tri granulométrique sur le transport solide par charriage

RESUME

Le but de cette thèse est l’étude expérimentale de l’influence du tri granulométrique sur le transport solide par charriage. Dans un premier temps, les résultats des mesures en canal, complétés par les données de la bibliographie, ont permis de constituer un jeu de données de 1551 valeurs pour des écoulements sur matériaux uniformes. Ce jeu de données a servi à valider des lois de frottement et de transport. Dans un second temps, des expériences d’écoulements sur matériaux à granulométrie étendue ont permis de remettre en question la notion d’équilibre. Des fluctuations périodiques du débit solide, de la pente et de l’état de pavage du lit ont en effet été observées à différentes échelles de temps et d’espace. Des formes particulières du lit, appelées nappe de charriage, semblent être une manifestation directe du phénomène de tri granulométrique. En faisant varier l’efficacité du transport sédimentaire, par un contrôle de la teneur en sable de la couche charriée, ces structures pourraient être à l’origine du phénomène de fluctuation. Des modèles ont été proposés et semblent confirmer la justesse de ces hypothèses. ___________________________________________________________________________

An experimental study of grain sorting effects on bedload

ABSTRACT The overall aim of the present study was to gain a better understanding of the effects of grain sorting on bedload. First, experimental results and data available from the literature provided a data set of 1551 values. This data set was used to validate friction and transport laws for flows over uniform materials. Second, experiments were conducted over poorly sorted sediments. For all runs and experiment durations, the equilibrium slope could not be obtained: a periodic pattern fluctuation was observed, affecting the bed slope, the bedload discharge, and the bed state (varying from armour to a fine bed). Special bedforms resulting from grain sorting, called bedload sheets, appear to be the keystone of the fluctuating process. The concept of transport rate efficiency was used to demonstrate that grain sorting may influence the fluctuation periods and amplitudes by controlling the sand content of the bed load mixture. This hypothesis makes it possible to reproduce the amplitude of the mean bed slope fluctuations observed during the long experiments for various slopes and sediment mixtures. ___________________________________________________________________________ Mots clés / Keywords: Hydraulique, charriage, tri granulométrique, morphologie, expérimental Hydraulics, bedload, grain sorting, morphology, experimental

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