Etude des ponts haubannés à longue portée Ponti strallati di...

Maggio 2006 - Luglio 2006

Rapport de stage scientifique

Eric JeangirardYann Sambarino

Eleves ingenieurs

Etude des ponts haubannes a longue porteePonti strallati di grande luce

Progetto effetuattonell’Universita di Roma ”Tor Vergata”

Dipartimento Ingegneria CivileVia del Politecnico, 1 - 00133 Roma

ITALIE

Tutore: Prof. Ing. Franco Maceri

Cotutore: Dott. Ing. Giuseppe Vairo

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Fiche de synthese

Type de stage : Stage scientifique

Periode : Mai - Juillet 2006

Auteurs : JEANGIRARD EricAuteurs : SAMBARINO Yann

Formation : 1ere annee

Titre : Ponti strallati di grande luce

Organisme d’accueil : Universita di Roma Tor Vergata

Pays d’accueil : Italie

Responsable de stage : Prof. Ing. Franco Maceri

Tuteur de stage : Prof. Ing. Franco Maceri

Resume :

Notre travail de recherche a consiste, dans un premier temps, a etudier la theorie classique (Dischinger)de la statique des ponts haubannes de grande portee ainsi que leur mode de pulsation propre associe.La theorie de Dischinger adopte une approche lineaire dans les deplacements pour modeliser l’interactioncables-structure.Dans un second temps, afin de depasser les limites de la theorie de Dischinger (qui impose un mode decalcul iteratif), nous avons etudie un modele ’quasi-secant’ pour decrire la reponse statique des cableselastiques. Ce modele plus complexe apporte une precision supplementaire. En effet, l’interaction cables-structure est alors modelisee au travers d’une approche au second ordre dans les deplacements. A partirde ces nouvelles equations, et en utilisant la methode des petites perturbations, nous avons alors calculeles termes correctifs qu’apporte ce modele plus raffine a la solution obtenue dans le cadre de la theorielineaire en ce qui concerne les deplacements.

Mots-cle : Ponts haubannes de longue portee, cables elastiques, module fictif, Dischinger, methodedes petites perturbations.

Theme : Ponts (21)

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Presentazione dello stage

La residenza Lamaro-Pozzani

Per lo stage, siamo stati accolti alla Residenza Universitaria Lamaro-Pozzani dei Cavalieri del Lavoro,situata nel Sud-Est di Roma. Questa residenza accoglie circa 70 studenti, tra i piu bravi, per seguire iloro corsi nelle diverse universita di Roma (La Sapienza, Tor Vergata). Questi studenti sono selezionatidopo la maturita e devono passare un difficile concorso per essere ammessi in questa residenza. Lorobeneficiano delle sovvenzioni dei Cavalieri del Lavoro. Di contro, devono superare un certo numero diesami con una media elevata e seguire in piu dei corsi di economia e di lingua, la sera o il sabato. In piu,ogni martedı e giovedı, dopo una cena comune col direttore della residenza, si assiste a una conferenza sudiversi argomenti.

L’universita degli studi di Roma Tor Vergata

L’universita Tor Vergata e situata nella periferia Sud-Est di Roma. Accoglie 40 000 studenti in 6 facolta(Ingegneria, Economia, Giurisprudenza, Lettere, Medicina, Scienze MFN). Abbiamo effettuato lo stagenel Dipartimento Ingegneria Civile, che ha gentilmente messo a nostra disposizione una stanza e duecomputer dottati dei software di cui avevamo bisogno per condurre le nostre ricerche. Ci incontravamoregolarmente il Prof. Ing. Maceri e il Dott. Ing. Vairo che rispondevano alle nostre domande e ciaiutavano nelle nostre ricerche.

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Sommario

Il nostro lavoro di ricerca e consistito, inizialmente, nello studiare la teoria classica (basata sulla teoria diDischinger) della statica dei ponti strallati di grande luce e la loro dinamica libera. La teoria di Dischingeradotta un approccio lineare negli spostamenti per modellare l’interazione cavi-struttura.Poi, al fine di superare i limiti della teoria di Dischinger (che impone un modo di calcolo iterativo), abbiamostudiato un modello ’quasi-secante’ per descrivere la risposta statica di cavi elastici. Questo modello piucomplesso porta una precisione supplementare. Infatti, l’interazione cavi-struttura e modellata attraversoun approccio al secondo ordine negli spostamenti. A partire da queste nuove equazioni, ed utilizzandoil metodo delle piccole perturbazioni, abbiamo allora calcolato i termini correttivi che consentono diraffinare la soluzione ottenuta nell’ambito della teoria lineare.

Abstract

Our research consisted initially in studying the classical theory (Dischinger) of the statics of long-spancable-stayed bridges and their associated free dynamics. The Dischinger ’s theory adopts a linear approachin displacements to model the cable-structure interaction.Then, in order to overcome the drawbacks of the Dischinger ’s theory (which imposes an iterative modeof calculation), we studied a ’quasi-secant’ model to describe the static response of the elastic cables.This more complex model brings an additional precision. Indeed, the cable-structure interaction is thenmodelled through a second order displacements approach. Starting from these new equations, and usingthe method of small disturbances, we calculated the corrective terms which refined the solution obtainedwithin the framework of the linear theory.

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Ringraziamenti

Vorremmo ringraziare prima il Prof. Ing. Maceri per averci accolto, per la sua disponibilita e di avercipermesso di scoprire cio che poteva essere un lavoro di ricerca autonomo. Inoltre, ringraziamo il Dott.Ing. Vairo per il suo aiuto frequente ed i suoi consigli accorti che ci hanno dato la possibilita di faravanzare piu velocemente le nostre ricerche. Non vorremmo neppure dimenticare Alessandro Pavone,studente dell’universita di Tor Vergata, e che ha studiato all’Ecole Nationale des Ponts et Chaussees perun anno e mezzo, per le sue numerose visite ed i suoi consigli pertinenti.

D’altro canto, vorremmo sottolineare l’ottima accoglienza che ci ha fatti il Sig. Direttore Semplici allaresidenza universitaria Lamaro Pozzani dei Cavalieri del Lavoro e la sua gentilezza. Vorremmo salutareanche gli studenti della residenza che ci hanno permesso di integrarci facilmente e di godere dell’ambientedi Roma. Ringraziamo anche la Sig. Direttrice della residenza universitaria di Torre Maura per avermesso alla nostra disposizione una camera per i quindici ultimi giorni dello stage.

In fine, ques’esperienza straordinaria non avrebbe stata possibile senza l’accordo del Sig. J-J. Colleu,e per questa ragione, vorremmo ringraziarlo.

INDICE 7

Indice

1 Resume du rapport en francais 91.1 Les ponts haubannes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Comportement des cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Equation de la chaınette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Module fictif tangent et secant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Theorie quasi-secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Analyse au premier ordre dans les deplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 Equilibre en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.3 Pulsation propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Analyse au second ordre dans les deplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1 Statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.2 Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Introduzione sui ponti strallati 16

3 Compartamento dei cavi nei ponti strallati 193.1 Equazione della catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1 Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.2 Risoluzione dell’equazione differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.3 Determinazione delle costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Calcolo dei moduli fittizi secante e tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.1 Calcolo della lunghezza del cavo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.2 Calcolo dell’allungamento del cavo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.3 Determinazione del modulo tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.4 Determinazione del modulo secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.5 Caso particolare: teoria di Dischinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 La teoria quasi secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Analisi al primo ordine negli spostamenti 274.1 Equilibrio flessionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Analisi dei modi propri di vibrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3.1 Caso simmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.2 Caso antisimmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Analisi al secondo ordine negli spostamenti 385.1 Statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.1.1 Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.1.2 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2 Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2.1 Primo metodo: sviluppo in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2.2 Secondo metodo: piccole perturbazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6 Conclusione 47

7 Bibliografia 48

8 ELENCO DELLE FIGURE

Elenco delle figure

1 Schema del ponte strallato con torri di forma a H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Configurazione di equilibrio del cavo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Cavo: notazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Visualizzazione qualitativa dei moduli fittizi tangente e secante . . . . . . . . . . . . . . . 256 Rappresentazione piana degli spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Schema generale di una trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Schema del ponte in modo simmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 Schema del ponte in modo antisimmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3510 Rappresentazione del denominatore di δ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011 Rappresentazione di V0 (in chiaro) e di V (in scuro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

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1 Resume du rapport en francais

1.1 Les ponts haubannes

Le schema haubanne est de plus en plus utilise pour les ponts de grande portee. Cette evolution a eterendue possible grace au developpement de nouveaux materiaux et de nouvelles methodes de construction.Aujourd’hui, certaines realisations de ponts haubannes mettent en jeu des tabliers depassant les 1000metres. D’autre part, ce succes recent ne peut pas ne pas etre mis en rapport avec les resultats esthetiquesqu’apporte la solution haubannee. Dans ce rapport, nous nous attacherons a une etude analytique desponts haubannes grace a l’acceptation de quelques hypotheses simplificatrices.

Dans ce rapport, le schema de pont etudie est celui de la figure ci-dessus. Pour des raisons de stabilite,le rapport `/`0 doit etre superieur a 2.8 tandis que le rapport h/` est suppose egal a 0.2 . Dans la mesureou les ponts etudies ont une portee importante (plus de 800 m), nous ferons l’hypothese que la force descables sur le tablier est repartie continument le long du tablier.

Le schema ci-dessous presente les differents deplacements etudies.

10 1 RESUME DU RAPPORT EN FRANCAIS

1.2 Comportement des cables

1.2.1 Equation de la chaınette

En ecrivant l’equilibre d’un petit bout de cable, nous obtenons l’equation generale de la chaınette :

y(z)L

= −1τ

cosh(− τ

Lz + C1

)+ C2

avec C2(τ) = 1τ coshC1 et C1(τ) = ln

(C +

√C2 + eτ

)ou C(τ) = τeτ tan α

eτ−1 et τ = γ A LH ou H est la

valeur de la tension horizontale dans le cable (cette tension est constante selon l’abscisse), γ la massevolumique des cables, A l’aire de la section des cables et L la longueur a vide du cable.

1.2.2 Module fictif tangent et secant

L’evolution de la contrainte σ dans le cable en fonction de l’allongement ε n’est pas lineaire. Il alorspossible de definir un module d’elasticite fictif. La theorie classique de Dischinger definit un moduletangent et un module secant.

1.3 Analyse au premier ordre dans les deplacements 11

L’expression obtenue pour le module tangent est la suivante :

E∗td =Ec

1 + Ecγ2h2

12σ3 ζ2

ou ζ = z/h, σ la tension dans les cables.

1.2.3 Theorie quasi-secante

Dans la mesure ou le module tangent de Dischinger ne peut etre utilise que de maniere iterative et ou lemodule secant perd beaucoup en precision des que ∆σ n’est plus suffisamment petit, il est interessant deconstruire un module ’quasi-secant’ qui annule la quantite

R(∆σ,∆ε) = ∆σ − E∗S(∆σ)∆ε

lorsque l’on neglige les termes en ∆σ2 et ∆ε2. On obtient finalement l’expression :

∆σ =E∗t∣∣σ=σ0

∆ε

1−∆Es∆ε

ou ∆Es = 12

∂E∗t

∂σ

∣∣∣σ=σ0

1.3 Analyse au premier ordre dans les deplacements

1.3.1 Equilibre en flexion

Afin de determiner la force exercee par les cables sur le tablier, on utilise la relation donnee par la theoriede Dischinger et l’expression de l’allongement des cables:

∆N = E∗∆εA

avec∆ε =

∆`

`=

v

hsin2 α +

w − up

hsinα cos α

Apres projection sur les axes horizontaux et verticaux, on obtient l’expression des forces lineiquesreparties de l’interaction entre les cables et le tablier:

qv(z) =E∗ A

h ∆sin2 α (−v(z) sinα(z) + (up ± w) cos α(z))

qo(z) =E∗ A

h ∆sinα cos α (±v(z) sinα(z)− (w ± up) cos α(z))

En utilisant la loi de comportement elastique lineaire du tablier et en ecrivant l’equation de ladynamique, il vient :

ET Ix∂4v(z, t)

∂z4= qv(z, t)−mv(z, t) + Lae(z, t)

ou ET est le module elastique du tablier, Ix est le moment d’inertie par rapport a l’axe ex et Lae estla force aeroelastique exercee par le vent.


D’autre part, en ecrivant l’equilibre au sommet des piliers de gauche puis de droite, on obtient lesdeux equations suivantes :

−∫

S

qo(z)dz − kpup − So = 0∫

D

qo(z)dz − kpup + So = 0

ou kp est le coefficient de rigidite des piliers, S0 est la composante horizontale de la force dans les

cables d’amarage et∫

Set∫

Dcorrespondent respectivement a

∫ `/2

−`0et∫ `

2+`0`/2 .

Ces trois dernieres equations se reecrivent sous forme adimensionnelle :

ε4

4d4V (ζ)

dζ4+ eϕ(ζ)V (ζ)− ζeϕ(ζ)(Up ±W ) + MV (ζ)− σg

ET qgLae = 0

ρW − (ρ + χ)Up +∫

S

ζϕ(ζ)V (ζ)dζ = 0

ρW + (ρ + χ)Up −∫

D


Ou nous avons introduit les grandeurs adimensionnelles suivantes :

ζ =z

hV (z) =

v(z)h

W (z) =w(z)

hUp(z) =

up(z)h

ε4

4=

Ixσg

h3qg

ϕ(ζ) =1

(1 + ζ2)(1 + aζ2)e =

Ec

ETa =

Ecγ2h2

12σ3g

M =µhσg

Ecqgχ =

kpσg

Ecqg

ρ =∫

S

ζ2ϕ(ζ)dζ + χ0 a =Ecγ

2h2

12σ3g0

(`0h

)2

χ0 =σg

Ecqgh

Ec

1 + a

{g`02σg0

(( `

2`0

)2

− 1)(

(`0/h)2

1 + (`0/h)2

)}

1.3.2 Statique

En considerant un chargement specifique p(ζ) adimensionnalise, et sans tenir compte de la force aeroela-stique, nous obtenons les equations suivantes :

ε4

4d4V (ζ)

dζ4+ eϕ(ζ)V (ζ)− ζeϕ(ζ)(Up ±W ) = p(ζ)

ρW − (ρ + χ)Up +∫

S

ζϕ(ζ)V (ζ)dζ = 0 ρW + (ρ + χ)Up −∫

D


La solution exacte de ce systeme est difficile a trouver. Neanmoins, nous remarquons que le coefficientε est tres petit devant l’unite, et ce d’autant plus que le pont est long. Prendre ε nul revient a supposerun comportement reticulaire. Pour resoudre le systeme precedent, nous allons proceder par la methodedes petites perturbations. Nous calculons U0, V0 et W0 dans le cas ε = 0. On obtient :

W0 = 12χ0

(−∫

SζP (ζ)dζ +

∫D

ζP (ζ)dζ)

U0 = 12(χ0+χ)

( ∫S

ζP (ζ)dζ +∫

DζP (ζ)dζ

)V0(ζ) = (U0 ±W0)ζ + P (ζ)

ϕ(ζ)

1.4 Analyse au second ordre dans les deplacements 13

Nous ecrivons ensuite V (ζ) = V0(ζ) + V1(ζ). On pose V1(ζ) = K1e−f(ζ) sin f(ζ) + K2e

−f(ζ) cos f(ζ)avec f(ζ) = 1

ε

∫ ζ

0ϕ1/4(ζ)dζ.

En approximant ϕ(ζ) ≈ (1− bζ)4, il vient f(ζ) ≈ 1ε

((ζ − ζ0)− b

2 (ζ2 − ζ20 ))

.

On trouve enfin K1 et K2 grace aux conditions aux limites V ′(

`2h

)= V ′′′

(`2h

)= 0.

1.3.3 Pulsation propre

Dans le cas symetrique, le deplacement W est nul. Le systeme d’equation devient alors :

ϕ(ζ)V (ζ, t)− ζϕ(ζ)U(t) = −M∂2V

∂t2(ζ, t)

−(ρ + χ)U(t) +∫

S

ζϕ(ζ)V (ζ, t)dζ = 0

On pose V (ζ, t) = V (ζ) sinω0t et U(t) = U sinω0t. Il vient alors V (ζ) = ζϕ(ζ)ϕ(ζ)−Mω2

0U . En remplacant

dans la deuxieme equation et en developpant en serie la fraction 11−Mω2

0/ϕ(ζ)au premier ordre, on obtient

ω0 =

√χ + χ0

νM

ou ν =∫

Sζ2dζ.

Dans le cas antisymetrique, en ecrivant comme equation supplementaire l’equilibre horizontal du tablier,il est aussi possible d’obtenir l’expression d’une pulsation propre.

1.4 Analyse au second ordre dans les deplacements

Alors que dans la partie precedente nous n’avons tenu compte que des deplacements au premier ordre,au travers d’equations lineaires, nous allons a present pousser les developpements avec les deplacementsd’ordre 2, en particulier en utilisant non plus le module fictif de Dischinger mais la theorie quasi-secantedeveloppee plus haut.

1.4.1 Statique

L’equilibre du tablier s’ecrit a present

ϕ(ζ)eV (ζ)− a2U + a3(ζ)V 2(ζ) + a4(ζ)U2 ± a5(ζ)UV (ζ) = p(ζ)

L’equilibre du sommet des piliers gauches devient

−(ρ + χ)U + ρU2 +∫

S

(a2V − 2a4UV +

a5

2V 2

)dζ = 0

En utilisant la methode des petites pertubations, c’est-a-dire en ecrivant V (ζ) = V0(ζ) + δ1(ζ)V0(ζ) etU = U0 + δ2U0 ou V0 et U0 sont les solutions dans la theorie lineaire, et en reinjectant dans les equationsprecedentes, on commence par exprimer δ1(ζ) = a2δ2U0−a3V 2

0 −a4U20 (1+2δ2)+a5U0V0(1+δ2)

a2U0+2a3V 20 −a5U0V0

.En reintroduisant cette expression dans la deuxieme equation, on peut trouver δ2 grace a un logiciel decalcul. Nous avons utilise la methode de dichotomie pour determiner ce δ2. On connaıt alors δ1(ζ) et parconsequent la solution V (ζ).


On remarque que le terme correctif est a la fois tres faible pour ζ petit, et au contraire importantnotamment pour ζ = 2.5, c’est-a-dire au milieu du pont.

1.4.2 Dynamique

Le systeme d’equation non lineaire s’ecrit : MV (ζ, t) + ϕ(ζ)eV (ζ, t)− a2U(t) + a3(ζ)V 2(ζ, t) + a4(ζ)U2(t)± a5(ζ)V (ζ, t) = 0

−(ρ + χ)U + ρU2 +∫

S

(a2V − 2a4UV + a5

2 V 2

)dζ = 0

La premiere idee pour determiner une nouvelle pulsation propre est d’ecrire V (ζ, t) =∑+∞

k=1 fk(ζ)eikω0t

et U(t) =∑+∞

k=1 gkeikω0t ou ω0 est la pulsation dans le cas lineaire. En injectant ces expressions dans lesequations ci-dessus, et en effectuant un produit de Cauchy pour les termes U2, V 2, UV , on obtient :

∀k > 1, eϕfk(ζ)− a2gk +k−1∑j=1

(a3fj(ζ)fk−j(ζ) + a4gjgk−j + a5fj(ζ)gk−j

)−Mk2ω2

0fk(ζ) = 0

Neanmoins, si nous cherchons a calculer les fk(ζ) pour k ≥ 2 par la formule :

fk(ζ) =a2gk −

∑k−1j=1

(a3

(fj(ζ)fk−j(ζ)

)+ a4

(gjgk−j

)+ a5

(fj(ζ)gk−j

))eϕ−Mk2ω2

0

le denominateur s’annule pour un certain ζk verifiant 0 < ζk < 2.5 ce qui rend cette techniqueinutilisable.

La seconde idee est d’utiliser a nouveau la methode des petites perturbations.Cela peut se faire d’abord de la meme maniere qu’en statique. Neanmoins, si, en statique, l’expressionδ1(ζ) a un sens, en dynamique elle n’en a plus car ce meme δ1(ζ) dependrait cette fois aussi du temps.

On peut aussi ecrire simplement U(t) = U0(t) + U1(t) et V (ζ, t) = V0(ζ, t) + V1(ζ, t) avec U0 et V0 lessolutions du cas lineaire et reecrire le systeme d’equations precedent en negligeant les termes en U2

1 etV 2

1 .

1.5 Conclusion 15

L’interet est alors d’obtenir, a partir d’un systeme initialement non lineaire, le systeme d’equationslineaire suivant :

MV1 + (eϕ + 2a3V0 + a5U0)V1 + (−a2 + 2a4U0 + a5V0)U1 + a3V20 + a4U

20 + a5U0V0 = 0

U1(t) =−eρU2

0+R

S

(−a2V1+2a4(U0V0+V1U0)− a5

2

(V 2

0 +2V0V1

))dζ

−(ρ+χ)+2eρU0−2R

Sa4V0dζ

Ce systeme reste neanmoins difficile a exploiter par la faute de l’integration spatiale de fonctions mettanten jeu l’inconnue V1(ζ, t) dans la seconde equation.Nous avons surmonte cette difficulte a l’aide de la methode des elements finis sur la variable spatiale.V1(ζ, t)s’ecrit

V1(ζ, t) =n∑

k=0

φk(ζ)V k(t)

ou les φk sont les fonctions de formes. Les nouvelles inconnues sont alors les V k(t).On peut se ramener a une equation differentielle matricielle lineaire du type

M V + F (t)V + K(t) = 0

ou V est le vecteur colonne des V k(t).Cette equation peut etre traitee numeriquement pour evaluer les termes correctifs.

1.5 Conclusion

Alors que la theorie classique de Dischinger, au premier ordre dans les deplacements, nous fournit l’ex-pression des deplacements en statique ainsi que la pulsation propre du pont en dynamique, la modelisationplus raffinee au second ordre nous a permis en statique, d’evaluer le terme correctif qu’elle apporte etd’en souligner l’importance, et en dynamique de mettre en evidence une equation differentielle matriciellelineaire que verifie la discretisee du terme correctif. Cette equation peut etre traitee numeriquement.

16 2 INTRODUZIONE SUI PONTI STRALLATI

2 Introduzione sui ponti strallati

Lo schema di ponte strallato ha trovato numerose applicazioni per attraversamenti di grande luce. Questoe stato possibile grazie allo sviluppo di nuovi materiali, di nuove metodologie di progettazione e di nuovetecnologie, i quali hanno reso la scelta della soluzione strallata particolarmente competitiva rispetto allasoluzione sospesa per l’attrasaversamento di grandi luci. Oggi, numerose sono le realizzazioni di pontistrallati, recenti ed in fase di costruzione, con campate centrali che superano abbondantemente i 600 metri,e certe arrivano oltre i 1000 metri. D’altra parte, il recente successo della soluzione strallata nel mondoviene anche dal fatto che i resultati estetici che essa puo offrire sono molto soddisfacenti. Assumendoqualche ragionevole ipotesi semplificativa, l’analisi del comportamento dei ponti strallati di grande lucesi puo fare per via analitica.

Figura 1: Schema del ponte strallato con torri di forma a H

Lo schema del ponte che studiamo e quello della figura 1. La travata e sospesa alla sommita delletorri, le quali sono caratterizzate da una forma a H o ad A. Nel nostro lavoro, ci siamo solo interessati aquelli a forma a H.Gli stralli di ormeggio sono ancorati alla travata e per ragioni di stabilita, il rapporto `/`0 deve esseresuperiore a circa 2.8, mentre il rapporto h/` e generalmente posto pari a 0.2.La sezione trasversale dell’impalcato e assunta costante con z e lo schema e simmetrico sia rispetto ad unpiano verticale assiale che rispetto ad un piano verticale trasversale.Per i ponti strallati di grande luce (piu di 600 metri), siccome il passo ∆ degli stralli risulta molto piccolorispetto alla luce centrale `, facciamo l’ipotesi di una distribuzione continua della strallatura lungo latravata.

17

La configurazione deformata del ponte puo essere descritta tramite i seguenti parametri di sposta-mento:

- abbassamento verticale v(z, t) della travata- spostamento longitudinale w(t) della travata- rotazione torsionale θ(z, t)- rotazioni torsionali ΨS(t) e ΨD(t)- spostamento longitudinale up(t) in testa ai piloni

Figura 2: Spostamenti

Indicato con qg la distribuzione lineare di carichi fissi, N lo sforzo normale prodotto all’interno dellatravata, Ns la sforzo normale prodotto nel generico strallo ed n = Ns/∆ la distribuzione lineare di sforzonormale lungo la cortina degli stralli, l’equilibrio alla traslazione verticale del generico concio di trave dilunghezza ∆ puo scriversi:

n =qg

sinα

e pertanto, siccome

sinα = (1 + ζ2)−12

alo sforzo normale del generico strallo risulta:

18 2 INTRODUZIONE SUI PONTI STRALLATI

Ns = n∆ = qg∆(1 + ζ2)−12

L’equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale su un pezzettino della trave si scrive:

n(z) cos α dz + N(z + dz)−N(z) = 0

che possiamo riscrivere:

qg

tanα+ N ′(z) = 0

e osservando che

ζ = cotα

risulta:

N =qgh

2

[( `

2h

)2

− ζ2

]Lo sforzo normale degli stralli di ormeggio si determina scrivendo l’equilibrio alla traslazione orizzontale

del nodo di giunzione fra lo strallo di ormeggio e la travata:

N0 =qg`02

[1 +

(`0h

)2] 1

2[( `

2`0

)2

− 1]

Alla fine, possiamo esprimere la sezione resistente della doppia cortina di stralli con le formule seguenti:

Ac =Ns

σg=

qg∆σg sinα

(1)

Ac0 =N0

σg=

qg`02σg

[1 +

(`0h

)2] 1

2[( `

2`0

)2

− 1]

(2)

Sono queste sezioni equivalente che utilizzeremo nelle parti 4 et 5.

19

3 Compartamento dei cavi nei ponti strallati

Nello scopo di studiare gli sforzi dei cavi sulla travata, e necessario determinare prima il comportamentoelastico di questi.

3.1 Equazione della catenaria

Figura 3: Configurazione di equilibrio del cavo

Consideriamo un pezzettino del cavo. Abbiamo le relazioni geometriche seguenti:

cos θ(z) =dz

dssin θ(z) =

dy

ds

Quindi, otteniamo:

tan θ(z) =dy

dz(3)

3.1.1 Equilibrio

Scriviamo l’equilibrio dell’elemento di cavo a traslazione orizzontale e verticale:

−N(z) cos θ(z) + N(z) cos θ(z) + d(N(z) cos θ(z)) = 0 (4)

−N(z) sin θ(z) + N(z) sin θ(z) + d(N(z) sin θ(z)) + q(z)dz = 0 (5)

Da (4):H = N(z) cos θ(z) = costante

E quindi, differenziando quest’ultima equazione:

dN =N sin θ(z)dθ

cos θ(z)

20 3 COMPARTAMENTO DEI CAVI NEI PONTI STRALLATI

Da (5):Hy′′(z) = −q(z) (6)

Il cavo e soggetto al suo peso proprio, cioe

q(z)dz = w ds

essendo w = γA il peso lineico del cavo. Risulta:

q(z) = wds

dz= w

1cos θ(z)

= w√

1 + y′(z)2

3.1.2 Risoluzione dell’equazione differenziale

L’equazione (6) diventa allora:

Hy′′(z) = −w√

1 + y′(z)2 (7)

dy′√1 + y′2

= −w

Hdz

Integrando risulta:

Arcsinh(y′) = −w

Hz + C1

Quindi:

y′(z) = sinh(−w

Hz + C1

)E pertanto:

y(z) = −H

wcosh

(−w

Hz + C1

)+ C2 (8)

Se poniamo

τ =γ A L

H

allora la (8) diventa:

y(z)L

= −1τ

cosh(− τ

Lz + C1

)+ C2 (9)

3.1 Equazione della catenaria 21

3.1.3 Determinazione delle costanti

Figura 4: Cavo: notazione

Se scriviamo le condizioni al contorno, cioe{y(0) = 0y(L) = L tanα

dalla prima si ricava:

C2(τ) =1τ

coshC1

mentre dalla seconda,

tanα = −1τ

(cosh (C1 − τ)− coshC1)

tanα =eτ − 1τeτ/2

sinh(C1 −

τ

2

)

Ponendo

C(τ) = τeτ tanα

eτ − 1


otteniamo

C1 −τ

2= Argsinh(Ce−τ/2) = ln

(Ce−τ/2 + e−τ/2

√C2 + eτ

)

e pertanto,

C1(τ) = ln(C +

√C2 + eτ

)

3.2 Calcolo dei moduli fittizi secante e tangente

3.2.1 Calcolo della lunghezza del cavo

L =∫ L

0

ds =∫ L

0

ds

dzdz =

∫ L

0

√dz2 + dy2

dzdz =

∫ L

0

√1 + y′(z)2dz

L =∫ L

0

cosh(− τ

Lz + C1

)

L = −L

τ

(sinh(−τ + C1)− sinh(C1)

)(10)

3.2.2 Calcolo dell’allungamento del cavo

∆L =∫ L

0

ε ds =∫ L

0

N(z)EcA

ds =∫ L

0

H

EcA cos θds

=H

EcA

∫ L

0

ds

dz

ds

dzdz =

H

EcA

∫ L

0

cosh2

(− τ

Lz + C1

)dz

aaOra,

∫cosh2(x)dx = 1

2 (x + coshx sinhx), quindi:

∆L = − H

2EcA

L

τ

(L + cosh(−τ + C1) sinh(−τ + C1)− cosh(C1) sinhC1

)(11)

3.2 Calcolo dei moduli fittizi secante e tangente 23

3.2.3 Determinazione del modulo tangente

Se Lu e la lunghezza del cavo senza precarico, abbiamo la relazione seguente:

L = Lu + ∆L (12)

Sostituendo le (10) e (11), al secondo ordine rispetto a τ , otteniamo con l’aiuto d’un calcolatore:

` +γ2`3

24σ2cos2 α = Lu +

σ`

Ec+

γ2`3

12Ec σ(13)

essendo ` = L/ cos α.

Tenendo conto del fatto che dLu = 0, e differenziando la (13) si ottiene:

dσ

d`=

1 + (γ2`2 cos2 α)/(8σ2)− σ/Ec − (γ2`2)/(4Ecσ)(γ2`3 cos2 α)/(12σ3) + `/Ec − (γ2`3)/(12Ecσ2)

(14)

aSapendo che dε = d`/`, e possibile definire il modulo tangente equivalente fittizio E∗t come il rapportofra la variazione di tensione e la variazione di deformazione: a

E∗t =dσ

dε=

dσ

d`` (15)

Sostituendo la (14) nella (15):

E∗t = Ec1 + (τ2 cos2 α)/8− ω(1 + τ2/4)1 + a(ζ2 + d2)(1− ω/ cos2 α)

(16)

essendo

ω =σ

Eca =

τ2β2

12ω=

Ecγ2h2

12σ3

3.2.4 Determinazione del modulo secante

Abbiamo la relazione tangente seguente:

dσ = E∗t (σ, τ)dε (17)


Definiamo il modulo secante E∗s :

E∗s (∆σ, τ) =∆σt

∆εt(18)

Dalla (17) deduciamo:

∆εt =∫ σ0+∆σt

σ0

dε =∫ σ0+∆σt

σ0

dσ

E∗t (σ, τ)(19)

Con la (18), ricaviamo:

E∗s (∆σ, τ) = ∆σt

(∫ σ0+∆σt

σ0

dσ

E∗t (σ, τ)

)−1

(20)

3.2.5 Caso particolare: teoria di Dischinger

Nel caso in cui il cavo e soggetto a forti tensioni, si possono ricavare i moduli tangente e secante diDischingera: infatti, le quantita τ e ω tendono allora verso 0. Quindi, dall’espressione (15) del modulotangente:

E∗td =Ec

1 + Ecγ2h2

12σ3 ζ2(21)

3.3 La teoria quasi secante

Si consideri la funzione residuale R, definita come:

R(∆σ,∆ε) = ∆σ − E∗s (∆σ)∆ε (22)

Nell’intorno di ∆σ = 0 e ∆ε = 0, si puo scrivere:

R(∆σ,∆ε) = ∆σ − E∗s∣∣∆σ→0

∆ε− ∂E∗s∂∆σ

∣∣∣∣σ=σ0

∆σ∆ε + o(∆σ2,∆ε2) (23)

3.3 La teoria quasi secante 25

Figura 5: Visualizzazione qualitativa dei moduli fittizi tangente e secante

Ora, poichelim

∆σ→0E∗s = E∗t

∣∣σ=σ0

Si puo ricordare che

∂E∗s∂∆σ

∣∣∣∣∆σ→0

=12

∂E∗t∂σ

∣∣∣∣σ=σ0

Infatti,

∂E∗s∂∆σ

=

∫ σ0+∆σ

σ0

dσE∗

t (σ,τ) −∆σ 1E∗

t (σ,τ)( ∫ σ0+∆σ

σ0

dσE∗

t (σ,τ)

)2 =N(σ, τ)D(σ, τ)

∂N

∂∆σ=

∆σ

E∗2t

∂E∗t∂σ

∂D

∂∆σ=

2E∗t

∫ σ0+∆σ

σ0

dσ

E∗t

Quindi, grazie al teorema di Lhopital, otteniamo:

lim∆σ→0

∂E∗s∂∆σ

= lim∆σ→0

12

∆σ∂E∗

t

∂σ

E∗t∫ σ0+∆σ

σ0

dσE∗

t

= lim∆σ→0

12

∂E∗t∂σ

E∗sE∗t

=12

∂E∗t∂σ

∣∣∣∣σ=σ0


Alla fine, utilizzando la (23):

R(∆σ,∆ε) = ∆σ − E∗t∣∣σ=σ0

∆ε− 12

∂E∗t∂σ

∣∣∣∣σ=σ0

∆σ∆ε + o(∆σ2,∆ε2) (24)

Trascurando i termini o(∆σ2,∆ε2), possiamo introdurre il modulo quasi-secante E∗qs:

E∗qs = E∗t∣∣σ=σ0

+ ∆Es∆σ (25)

con ∆Es = 12

∂E∗t

∂σ

∣∣∣σ=σ0

e otteniamo la relazione costitutiva apparente approssimata:

∆σ = E∗qs(∆σ)∆ε (26)

Finalmente, da (25) e (26) e possibile scrivere una relazione esplicita tra ∆σ e ∆ε che fornisce una

descrizione costitutiva del cavo con un approssimazione del secondo ordine sia rispetto a ∆σ che a ∆ε:

∆σ =E∗t∣∣σ=σ0

∆ε

1−∆Es∆ε(27)

Nell’ambito della teoria di Dischinger, la quantita ∆Es diventa:

∆Esd =12

∂E∗td∂σ

∣∣∣∣σ=σ0

≈ 32Ec

E∗td(1− E

∗td)

σ

dove E∗td = E∗td/Ec.

27

4 Analisi al primo ordine negli spostamenti

Come l’abbiamo visto nella parte precedente, il comportamento costitutivo degli stralli e differente aseconda che essi siano soggetti ad in incremento o ad un decremento della trazione ad essi relativa.L’utilizzo del modulo fittizio tangente di Dischinger permette di considerare che gli effetti flessionali etorsionali siano disaccopiati. Ci limiteremo allo studio della flessione.

4.1 Equilibrio flessionale

La deformazione flessionale del ponte e definita dai parametri di spostamento u(t), w(t) et v(z,t).

Figura 6: Rappresentazione piana degli spostamenti

Quando si applica lungo la travata un carico addizionale q(z), il generico strallo subisce un incrementodella sua deformazione pari a:

∆ε =∆`

`=

v sinα + (w − up) cos α

`=

v

hsin2 α +

w − up

hsinα cos α

perche ` = h/ sinα.

Con la teoria di Dischinger, sappiamo che la variazione della trazione nello strallo risulta:

∆N = E∗∆εAc

28 4 ANALISI AL PRIMO ORDINE NEGLI SPOSTAMENTI

dove E∗ e il modulo fittizio introdotto nel (21) ed Ac e l’area resistentedella sezione trasversale dello strallo.

Le componenti verticale e longitudinale di ∆N nel cavo risultano:

∆Nv = − v

hE∗ Ac sin3 α +

up ± w

hE∗ A sin2 α cos α

∆No = ± v

hE∗ Ac sin2 α cos α− w ± up

hE∗ Ac sinα cos2 α

dove i segni ‘− ‘ e ‘ + ‘ sono relativi rispettivamente alla parta sinistra o destra della struttura.

In conseguenza, l’effetto di interazione tra i stralli e la travata puo rappresentarsi con i seguenti carichidistribuiti addizionali verticale e longitudinale:

qv(z) =E∗ A

h ∆sin2 α (−v(z) sinα(z) + (up ± w) cos α(z))

qo(z) =E∗ A

h ∆sinα cos α (±v(z) sinα(z)− (w ± up) cos α(z))

dove A e l’area equivalente resistente di una coppia di stralli (uno dalla cortina anteriore e l’altro dallacortina posteriore): A = 2 Ac.

La travata segue la legge di comportamento elastico lineare:

v′′(z) = −Mx(z)ET Ix

(28)

Ora, nel caso generale di una trave, scrivendo l’equilibrio delle forze su un pezzettino di lunghezza∆z:

(q(z) + f(z)

)∆z + T

(z +

∆z

2

)− T

(z − ∆z

2

)= ∆Mv

4.1 Equilibrio flessionale 29

Figura 7: Schema generale di una trave

Quindiq(z) + f(z) + T ′(z) = mv

essendo m la massa distribuita. Adesso, scriviamo l’equilibrio dei momenti:

[− T

(z +

∆z

2

)− T

(z − ∆z

2

)]∆z

2+ M

(z +

∆z

2

)−M

(z − ∆z

2

)+ md(z)∆z = 0

Si puo allora scrivere:

−T (z) + M ′(z) + md(z) = 0

Per riassumere, si ottengono le equazioni seguenti:

{q(z) + f(z) + T ′(z) = mv−T (z) + M ′(z) + md(z) = 0 (29)

Se utilizziamo la 29) lungo l’asse ey, combinando le due equazioni si ricava:

M ′′(z, t)− qv(z, t)− Lae(z, t)−mv(z, t) = 0

essendo Lae la forza aeroelastica di portanza dovuta all’azione del vento.


Sostituendo la (28) in quest’ultima equazione:

ET Ix∂4v(z, t)

∂z4= qv(z, t)−mv(z, t) + Lae(z, t) (30)

Indicando con So la componente longitudinale della trazione negli stralli di ormeggio, le condizioni diequilibrio a traslazione orizzontale per la testa dei piloni destro e sinistro si scrivono:

−∫

S

qo(z)dz − kpup − So = 0∫

D

qo(z)dz − kpup + So = 0 (31)

avendo indicato con kp la rigidezza flessionale globale di ciascun sostegno per spostamenti orizzontali

in testa ed in cui∫

Se∫

Dsignificano rispettivamente

∫ `/2

−`0e∫ `

2+`0`/2 .

La quantita So si ricava dalla formula di ∆No considerando che in corrispondenza degli ormeggi risultav = 0:

So = −w ± up

hE∗o Ao sinαo cos2 αo

dove il pedice ’o’ riferito a quantita relative ai cavi di ormeggio.

Le equazioni (30) e (31) si pongono in forma adimensionale:

ε4

4d4V (ζ)

dζ4+ eϕ(ζ)V (ζ)− ζeϕ(ζ)(Up ±W ) + MV (ζ)− σg

ET qgLae = 0 (32)

ρW − (ρ + χ)Up +∫

S

ζϕ(ζ)V (ζ)dζ = 0 (33)

ρW + (ρ + χ)Up −∫

D

ζϕ(ζ)V (ζ)dζ = 0 (34)

dove sono introdotte le grandezze adimensionalizzate seguente:

ζ =z

hV (z) =

v(z)h

W (z) =w(z)

hUp(z) =

up(z)h

ε4

4=

Ixσg

h3qg

ϕ(ζ) =1

(1 + ζ2)(1 + aζ2)e =

Ec

ET

a =Ecγ

2h2

12σ3g

M =µhσg

Ecqgχ =

kpσg

Ecqg

ρ =∫

S

ζ2ϕ(ζ)dζ + χ0

χ0 =σg

Ecqgh

Ec

1 + a

{g`02σg0

(( `

2`0

)2

− 1)(

(`0/h)2

1 + (`0/h)2

)}

4.2 Statica 31

a =Ecγ

2h2

12σ3g0

(`0h

)2

4.2 Statica

Considerando un carico vivo p(ζ) e senza tenere conto delle forze aeroelastiche, le equazioni d’equilibriostatico (32), (33) e (34) diventano:

ε4

4d4V (ζ)

dζ4+ eϕ(ζ)V (ζ)− ζeϕ(ζ)(Up ±W ) = P (ζ) (35)

dove P (ζ) = σg

ET qgp(ζ)

ρW − (ρ + χ)Up +∫

S

ζϕ(ζ)V (ζ)dζ = 0 (36)

ρW + (ρ + χ)Up −∫

D

ζϕ(ζ)V (ζ)dζ = 0 (37)

La soluzione esatta di (35), (36) e (37) e difficile da trovare. Pero, possiamo trovare una soluzioneapprossimata utilizzando il modo di fare seguente:Siccome il parametro

ε =(4Ixσg

h3qg

)1/4

per un ponte di grande luce, e piccolo (circa a 0,2), e osservando che piu piccolo e ε, piu il ponte ha uncomportamento reticolare, e possibile trascurare il termine in ε4

4 V IV per calcolare gli spostamenti U0, V0

et W0 nel caso reticolare. Calcoleremo in un secondo tempo la soluzione generale col metodo delle piccoleperturbazioni.

Nel caso reticolare, otteniamo:

eϕ(ζ)V0(ζ)− e(U0 ±W0)ζϕ(ζ) = P (ζ)

ρW0 − (ρ + χ)U0 +∫

Sζϕ(ζ)V0(ζ)dζ = 0

ρW0 + (ρ + χ)U0 −∫

Dζϕ(ζ)V0(ζ)dζ = 0

(38)

La soluzione del sistema e:

W0 = 12χ0

(−∫

SζP (ζ)dζ +

∫D

ζP (ζ)dζ)

U0 = 12(χ0+χ)

( ∫S

ζP (ζ)dζ +∫

DζP (ζ)dζ

)V0(ζ) = (U0 ±W0)ζ + P (ζ)

ϕ(ζ)

(39)


Adesso, scriviamo la soluzione generale come la somma di X0 = (U0, V0,W0) e di X1 = (U1, V1,W1).

Poniamo

V1(ζ) = e(±1±i)f(ζ) U1 = W1 = 0

con

f(ζ) =1ε

∫ ζ

0

ϕ1/4(ζ)dζ

Facciamo l’approssimazione

ϕ(ζ) ≈ (1− bζ)4

dove

b =12

(1− 1

(5(1 + 4a))1/4

)

ottenuto facendo l’inerpolazione di ϕ(ζ) per ζ = 0 e ζ = 2.

Pertanto

f(ζ) ≈ 1ε

((ζ − ζ0)−

b

2(ζ2 − ζ2

0 ))

Scrivendo

V1(ζ) = K1e−f(ζ) sin f(ζ) + K2e

−f(ζ) cos f(ζ)

e tenendo conto delle condizioni

V ′( `

2h

)= V ′′′

( `

2h

)= 0 con V = V0 + V1

e considerando un carico vivo costante P, possiamo scrivere la soluzione generale del problema statico

4.3 Analisi dei modi propri di vibrare 33

W = 0

U = 12

(`2h

)2P

χ+χ0

V (ζ) = P

[12

(`2h

)2ζ

χ+χ0+ (1 + aζ2)(1 + ζ2)

]+P ε

2ϕ1/4(ζ)

[[ 12(

`2h

)2ζ

χ+χ0+ 2(1 + a) `

2h + 4a(

`2h

)3][

e−f(ζ) sin f(ζ)− e−f(ζ) cos f(ζ)]

(40)

4.3 Analisi dei modi propri di vibrare

4.3.1 Caso simmetrico

Figura 8: Schema del ponte in modo simmetrico

Nel caso simmetrico, lo spostamento W e nullo. Quindi, dalla (32) e (33), le equazioni, in forma adi-mensionale, che definiscono la configurazione delle vibrazioni simmetriche in un ponte a comportamentoreticolare (cioe ε = 0) sono:

ϕ(ζ)V (ζ, t)− ζϕ(ζ)U(t) = −M∂2V

∂t2(ζ, t) (41)

−(ρ + χ)U(t) +∫

S

ζϕ(ζ)V (ζ, t)dζ = 0 (42)


Ora, poniamo:V (ζ, t) = V (ζ) sinω0t U(t) = U sinω0t (43)

Introducendo la (52) in (41):

V (ζ) =ζϕ(ζ)

ϕ(ζ)−Mω20

U (44)

Sostituendo la (44) nella (42):

−(ρ + χ) +∫

S

ζ2ϕ2(ζ)ϕ(ζ)−Mω2

0

dζ = 0 (45)

Sviluppando in serie la frazione che compare in quest’ultimo integrale, assumendo che la quantitaMω2

0ϕ(ζ) sia piccola rispetto all’unita (vero nell’ipotesi reticolare):

ζ2ϕ2(ζ)ϕ(ζ)−Mω2

0

= ζ2ϕ(ζ)+∞∑k=0

(Mω2

0

ϕ(ζ)

)k

Facendo un’approssimazione lineare, otteniamo:

−(ρ + χ) +∫ `/2h

−`0/h

ζ2ϕ(ζ)dζ + Mω20

∫ `/2h

−`0/h

ζ2dζ = 0 (46)

che si puo scrivere

−(χ + χ0) + νMω20 = 0 (47)

dove

ν =∫

S

ζ2dζ =13

(( `

2h

)3

+(`0

h

)3)

Quindi risulta

ω0 =

√χ + χ0

νM(48)


Se facciamo un’approssimazione quadratica in (45), otteniamo:

−(χ0 + χ) + νMω20 + βM2ω4

0 = 0

essendo β =∫

Sζ2

ϕ(ζ)dζ.

Quindi, risulta

ω0 =

√−ν ±

√ν2 + 4β(χ0 + χ)2βM

4.3.2 Caso antisimmetrico

Figura 9: Schema del ponte in modo antisimmetrico

Nel caso antisimmetrico, le equazioni (32) e (33) diventano:

ϕ(ζ)V (ζ, t)− ζϕ(ζ)(U(t)−W (t)) = −M∂2V (ζ, t)

∂t2(ζ, t) (49)

ρW (t)− (ρ + χ)U(t) +∫

S

ζϕ(ζ)V (ζ, t)dζ = 0 (50)

E scrivendo l’equilibrio alla traslazione orizzontale della travata si ottiene:∫S

ζϕ(ζ)V (ζ, t)dζ − (U(t)−W (t))ρ = −MΨ∂2W (t)

∂t2(ζ, t) (51)

essendo Ψ =(

`0h + `

2h

)


Ora, poniamo:

V (ζ, t) = V (ζ) sinω0t U(t) = U sinω0t W (t) = W sinω0t (52)

sostituendo nelle equazioni (49), (50) e (51), dalla terza otteniamo:

∫S

ζϕ(ζ)V (ζ)dζ = −ρW + (ρ + χ)U

Combinando con la prima, viene:

U =MΨWω2

0

χ

Utilizzando quest’ultima espressione di U nella seconda equazione, risulta:

V (ζ) =ζϕ(ζ)

ϕ(ζ)−Mω20

(MΨω20

χ− 1)W

E pertanto, con (51):

ρW − (ρ + χ)MΨω2

0

χW +

(MΨω20

χ− 1)∫

S

ζ2ϕ2(ζ)Wϕ(ζ)−Mω2

0

dζ = 0 (53)

Facendo un’approssimazione lineare, viene:

ρ− (ρ + χ)MΨω2

0

χ+(MΨω2

0

χ− 1)(∫

S

ζ2ϕ(ζ)dζ + Mω20ν)

= 0

E pertanto:

w0 =

√√√√√(χ( νΨ + 1

)+ χ0

)±√(

χ(

νΨ + 1

)− χ0

)2

+ 4χ0χ

2νM


Facendo un’approssimazione quadratica, otteniamo:

ρ− (ρ + χ)MΨω2

0

χ+(MΨω2

0

χ− 1)(∫

S

ζ2ϕ(ζ)dζ + Mω20ν + M2ω4

0β)

= 0

da cui si puo trovare una soluzione ω0 con un calcolatore.

38 5 ANALISI AL SECONDO ORDINE NEGLI SPOSTAMENTI

5 Analisi al secondo ordine negli spostamenti

Nella scorsa parte, abbiamo solo tenuto conto degli spostamenti al primo ordine, nell’ambito della teoriadi Dischinger. In questa parte, invece, utilizzeremo i risultati che vengono dalla teoria quasi-secantesviluppata nella seconda parte di questo lavoro. Ci limiteremo al caso simmetrico, cioe W = 0.

5.1 Statica

5.1.1 Teoria

L’equazione di equilibrio flessionale della travata si scrive in forma adimensionale [7]:

ϕ(ζ)eV (ζ)− a2U + a3(ζ)V 2(ζ) + a4(ζ)U2 ± a5(ζ)UV (ζ) = p(ζ) (54)

essendo

a1(ζ) = ϕ(ζ)e

a2(ζ) = eζϕ(ζ)

a3(ζ) =ϕ(ζ)eβ(ζ)

2(3ζ2 + 1 + 2∆Esd)

a4(ζ) =ϕ(ζ)eβ(ζ)

2(−3ζ2 + 1 + 2∆Esdζ

2)

a5(ζ) = ϕ(ζ)eζβ(ζ)(ζ2 − 3 + 2∆Esd)

∆Esd =3

2σ(1 + aζ2)

(1− 1

1 + aζ2

)

Per quanto riguarda l’equilibrio della torre abbiamo l’equazione [7]:

−(ρ + χ)U + ρU2 +∫

S

(a2V − 2a4UV +

a5

2V 2

)dζ = 0 (55)

essendo:

ρ =∫

S

ϕeβζ

2(3− ζ2 + 2∆Esdζ

2)dζ + χ0

χ0 =12ϕ(`0

h

)cos α0 sin2 α0

[3− cos2 α0

sin2 α0

(1− 2∆Esd

(`0h

))]B0

B0 = EcAcσg

ET qgh

5.1 Statica 39

Per trovare le soluzioni di questo sistema d’equazioni, utilizziamo il metodo delle piccole perturbazioni,e possibile scrivere:

{V (ζ) = V0(ζ) + δ1(ζ)V0(ζ)

U = U0 + δ2U0

(56)

dove U0 e V0 sono le soluzioni quando consideriamo solo gli spostamenti al primo ordine, cioe abbiamo:

{ϕ(ζ)eV0(ζ)− a2U0 = 0

−(ρ + χ)U0 +∫

Sa2V0(ζ)dζ = 0

(57)

In particolare, ricordiamo che abbiamo:

V0(ζ) = ζU0 +p(ζ)ϕ(ζ)

sostituendo (56) in (54) e trascurendo i termini in δ21 e δ2

2 :

ϕeV0 + δ1ϕeV0 − a2U0 − a2U0δ2 + a3V20 (1 + 2δ1) + a4U

20 (1 + 2δ2)− a5U0V0(1 + δ1 + δ2) = 0

Ora, con (57):

δ1ϕeV0 = δ1a2U0

Quindi

a2U0(δ1 − δ2) + a3V20 (1 + 2δ1) + a4U

20 (1 + 2δ2)− a5U0V0(1 + δ1 + δ2) = 0 (58)

D’altro canto, abbiamo anche:

ρU20 (1 + 2δ2) +

∫S

(a2V0(δ1 + δ2)− 2a4U0V0(1 + δ1 + δ2) +

a5

2V 2

0 (1 + 2δ1))

dζ = 0 (59)


Dalla (58):

δ1(ζ) =a2δ2U0 − a3V

20 − a4U

20 (1 + 2δ2) + a5U0V0(1 + δ2)

a2U0 + 2a3V 20 − a5U0V0

(60)

Poi, sostituendo quest’ultima espressione di δ1 in (59), otteniamo un’equazione del primo grado in δ2

di cui si puo calcolare la soluzione con un software di calcolo (cf. Allegato). Conoscendo δ2, conosciamoanche δ1 grazie alla (60).

5.1.2 Risultati

Prima di tutto, se tracciamo con un calcolatore l’evoluzione del denominatore globale di δ1 in funzionedi ζ, vediamo che questo puo diventare nullo per ζ = 0. Cio vuol dire che l’espressione (60) non fa sensoall’intorno di ζ = 0. Pero, per il nostro lavoro, ci interessiamo sopratutto alla parte all’intorno della metadel ponte dove lo spostamento v e il piu grande.

Figura 10: Rappresentazione del denominatore di δ1

5.2 Dinamica 41

sostituendo l’espressione di δ1 in (59), proviamo a determinare δ2 grazie a quest’ultima equazione,attraverso un metodo iterativo. Troviamo allora δ1(ζ) e pertanto, V (ζ) = V0(ζ) + δ1(ζ)V0(ζ):

Figura 11: Rappresentazione di V0 (in chiaro) e di V (in scuro)

Come abbiamo detto, V non e definito in ζ = 0. Pero, possiamo verificare su questo grafico chel’ipotesi V ≈ V0 intorno a ζ = 0 e valida.In piu, se il termine correttivo e quasi trascurabile per ζ piccolo, questo e invece importante nell’intornodella meta del ponte.

5.2 Dinamica

Lo scopo di questa parte e stato di determinare la nuova pulsazione propria del ponte, tenendo contodegli spostamenti al secondo ordine. Ricordiamo che abbiamo gia espresso una pulsazione nell’ambitodella teoria lineare:

ω0 =

√χ + χ0

νM

In dinamica, il sistema d’equazioni e:

ϕ(ζ)eV (ζ)− a2(ζ)U + a3(ζ)V 2(ζ) + a4(ζ)U2 ± a5(ζ)V (ζ)U + MV (ζ) = 0

−(ρ + χ)U + ρU2 +∫

S

(a2V − 2a4UV + a5

2 V 2

)dζ = 0

(61)


5.2.1 Primo metodo: sviluppo in serie

Facciamo l’ipotesi che U e V si scrivino come:

V (ζ, t) =+∞∑k=1

fk(ζ)eikω0t (62)

U(t) =+∞∑k=1

gkeikω0t (63)

Ricordiamo che il prodotto di due serie∑

k ak e∑

k bk puo scriversi (prodotto di Cauchy):

( +∞∑k=0

ak

)( +∞∑k=0

bk

)=

+∞∑k=0

k∑j=0

akbk−j

Quindi, nel nostro caso, la prima equazione di (61):

+∞∑k=1

(eϕfk(ζ)− a2gk +

k−1∑j=1


)−Mk2ω2

0fk(ζ))

eikω0t = 0

E pertanto, ogni coefficiente della serie e nullo. Cioe:

∀k > 1, eϕfk(ζ)− a2gk +k−1∑j=1


)−Mk2ω2

0fk(ζ) = 0

Cosı, possiamo dunque definire fk in un modo iterativo:

fk(ζ) =a2gk −

∑k−1j=1


)eϕ−Mk2ω2

0

Pero, appena k = 2, l’espressione precedente non e definita per un certo ζ2 tale che 0 < ζ2 < 2.5

5.2 Dinamica 43

5.2.2 Secondo metodo: piccole perturbazioni

La prima idea sarebbe di utilizzare lo stesso modo di fare che nel caso statico, cioe scrivere:

{V (ζ, t) = V0(ζ, t) + δ1(ζ)V0(ζ, t)

U(t) = U0(t) + δ2U0(t)

Pero, l’espressione che esce di δ1(ζ) e

δ1(ζ) =a2δ2U0(t)− a3V

20 (ζ, t)− a4U

20 (t)(1 + 2δ2) + a5U0(t)V0(ζ, t)(1 + δ2)

a2U0(t) + 2a3V 20 (ζ, t)− a5U0(t)V0(ζ, t)

che e dipendente del tempo. Anzi, la dipendenza di questo δ1 rispetto al tempo diventa periodicamenteinfinita.

L’altra idea e allora di scrivere semplicemente

{U(t) = U0(t) + U1(t)V (ζ, t) = V0(ζ, t) + V1(ζ, t)

dove U0(t) e V0(ζ, t) sono le soluzioni del caso lineare.

In particolare:

U0(t) = U0eiω0t U0(ζ, t) = V 0(ζ)eiω0t

sostituendo in (61) e trascurando i termini U21 e V 2

1 , otteniamo allora:

MV1 + (eϕ + 2a3V0 + a5U0)V1 + (−a2 + 2a4U0 + a5V0)U1 + a3V20 + a4U

20 + a5U0V0 = 0 (64)

e anche

[− (ρ + χ) + 2ρU0 − 2

∫S

a4V0dζ

]U1 = −ρU2

0 +∫

S

(− a2V1 + 2a4(U0V0 + V1U0)−

a5

2(V 2

0 + 2V0V1

))dζ


Quindi:

U1(t) =−ρU2

0 +∫

S

(− a2V1 + 2a4(U0V0 + V1U0)− a5

2

(V 2

0 + 2V0V1

))dζ

−(ρ + χ) + 2ρU0 − 2∫

Sa4V0dζ

(65)

A partire dal sistema non lineare (61), ci siamo dunque ridotti a un sistema di due equazioni lineari(64) e (65) in U1 e V1.

Il problema viene dall’integrale sullo spazio che coinvolge l’inconita V1(ζ, t).Per valutare quest’integrale, utilizziamo il metodo degli elementi finiti, cioe adottiamo un’approcciodiscreto, sostituendo all’intervallo continuo

[− `0

h , `2h

]i punti nodali

(ζk

).

V1(ζ, t) =n∑

k=0

φk(ζ)V k(t)

dove le φk sono le funzioni di forma:

∀k ∈ [0, n] φk(ζk) = 1 ∀i 6= k φk(ζi) = 0

L’equazione (65) si scrive allora:

U1(t) =γe2iω0t +

∑k V k(t)

(ε1,k + ε2,keiω0t

)−(ρ + χ) + δeiω0t

dove

γ = −ρU2

0 +∫

S

(2a4U0V 0 −

a5

2V

2

0

)dζ

δ = 2ρU0 − 2∫

S

a4V 0dζ

ε1,k = −∫

S

a2φkdζ

ε2,k =∫

S

φk

(2a4U0 − a5V 0

)dζ

5.2 Dinamica 45

Iniettando in (64):

n∑k=0

(Mφk(ζ)V k(t) +

(a1(ζ) + α(ζ)φk(ζ)eiω0t

)φk(ζ)V k(t)

)+(−a2(ζ)+β(ζ)eiω0t

)γe2iω0t +∑

k V k(t)(ε1,k + ε2,keiω0t

)−(ρ + χ) + δeiω0t

+η(ζ)e2iω0t = 0

Valutando quest’ultima somma in ζ = ζk abbiamo ∀k ∈ [0, n]:

MV k(t)+(a1(ζk)+α(ζk)eiω0t

)V k(t)+

(−a2(ζk)+β(ζk)eiω0t

)γe2iω0t +∑

k V k(t)(ε1,k + ε2,keiω0t

)−(ρ + χ) + δeiω0t

+η(ζk)e2iω0t = 0

doveα(ζ) = 2a3V 0 + a5U0

β(ζ) = 2a4U0 + a5V 0

η(ζ) = a3V2

0 + a4U2

0 + a5U0V 0

Notando che δ(ζ)ρ+χ � 1 possiamo scrivere:

1−(ρ + χ) + δeiω0t

≈ − 1ρ + χ

(1 +

δ

ρ + χeiω0t +

δ2

(ρ + χ)2e2iω0t

)

Il sistema viene allora scritto in forma matriciale:

M V +[A0 +A1e

iω0t +A2e2iω0t +A3e

3iω0t +A4e4iω0t

]V +

[K0 +K1e

iω0t +K2e2iω0t +K3e

3iω0t]e2iω0t = 0

dove

V =

V 1(t)

...V k(t)

...

A0 =

a1 + a2ε1,0

ρ+χ

. . .(

a2ε1,k

ρ+χ

)(

a2ε1,k

ρ+χ

) . . .

a1 + a2ε1,n

ρ+χ


A1 =

α(ζ0) + 1

ρ+χ

[a2(ζ0)

(ε2,0 + ε1,0δ

ρ+χ

)− β(ζ0)ε1,0

]. . .

(1

ρ+χ

[a2(ζk)

(ε2,k + ε1,kδ

ρ+χ

)− β(ζk)ε1,k

])(1

ρ+χ

[a2(ζk)

(ε2,k + ε1,kδ

ρ+χ

)− β(ζk)ε1,k

]) . . .

α(ζn) + 1ρ+χ

[a2(ζn)

(ε2,n + ε1,nδ

ρ+χ

)− β(ζn)ε1,n

]

A2 = − 1ρ + χ

β(ζ0)ε2,0 + δ

ρ+χ

[β(ζ0)ε1,0 − a2(ζ0)

(ε2,0 + δ

ρ+χε1,0

)]β(ζn)ε2,n + δ

ρ+χ

[β(ζn)ε1,n − a2(ζn)

(ε2,n + δ

ρ+χε1,n

)]...

......

......

...

A3 = − δ

(ρ + χ)2

β(ζ0)ε2,0 + δ

ρ+χ

(ε1,0β(ζ0)− ε2,0a2(ζ0)

). . . β(ζn)ε2,n + δ

ρ+χ

(ε1,nβ(ζn)− ε2,na2(ζn)

)...

......

...

A4 = − δ2

(ρ + χ)3

ε2,0β(ζ0) . . . ε2,nβ(ζn)

......

......

K0 =

η(ζ0) + a2(ζ0)γ

ρ+χ...

η(ζk) + a2(ζk)γρ+χ

...

K1 =γ

ρ + χ

−β(ζ0) + a2(ζ0)δ

ρ+χ...

−β(ζk) + a2(ζk)δρ+χ

...

K2 = − γδ

(ρ + χ)2

β(ζ0)− a2(ζ0) δ

ρ+χ...

β(ζn)− a2(ζn) δρ+χ

...

K3 = − γδ2

(ρ + χ)3

β(ζ0)

...β(ζn)

...

47

6 Conclusione

In questo periodo di stage si e condotto dapprima lo studio di teorie classiche (al primo ordine neglispostamenti) per analizzare il comportamento statico e la dinamica libera di ponti strallati di grandeluce. Successivamente, l’analisi al secondo ordine negli spostamenti consente di sviluppare una teoria piucomplessa di quella di Dischinger. Abbiamo applicato questa teoria raffinata in statica, osservando che itermini correttivi, se sono piccoli intorno alle torri, diventano non trascurabili nell’intorno della meta delponte.Per quanto riguarda la dinamica, il nostro scopo iniziale era di calcolare una nuova pulsazione proprianell’ambito della nuova teoria. A questo scopo, abbiamo provato diversi metodi. In particolare, il metododelle piccole perturbazioni permette, attraverso di un schema di elementi finiti nello spazio, di ottene-re un’equazione matriciale differenziale lineare con coefficienti che dipendono regolarmente del tempo.Quest’equazione potrebbe essere risolta numericamente con l’aiuto di un calcolatore.

48 7 BIBLIOGRAFIA

7 Bibliografia

[1] DE MIRANDA F., GRIMALDI A., MACERI F., COMO M., Basic Problems in long-span cableaaaaaa[0]stayed bridgesaa[0]aaaaReport n. 25 Universita della Calibria, 1979.

[2] COMO M., GRIMALDI A., MACERI F., Statical behaviour of long-span cable-stayed bridges,aaa[0]aa aInt. J. Sol. Str. 21(8), 1985, pp.831-850.

[3] LEONARDI A., Un’analisi numerica sui modi di vibrare dei ponti strallati,aaa[0]aa aRapporto n.23, Universita di Roma Tor Vergata, 1989.

[4] VAIRO G., Ponti di grande luce: modellazione e simulazione del comportamento aeroelastico,aa[0]aaa aPhD Thesis Universita di Roma “Tor Vergata”, 2002.

[5] VAIRO G., Sul comportamento aeroelastico dei ponti strallati di grande luce,aaaaa a[0]Convegno Nazionale XXIII AIAS, 2004.

[6] VAIRO G., DELL’AMORE FACHINETTI S., ’Quasi-secant’ behabiour of elastic cables foraaaa[0]a acable-stayed structures, XXIV Convegno Nazionale AIAS, 2005.

[7] DELL’AMORE FACHINETTI S., Refined models of long span cable-stayed bridges[0]aaaaa aPhD Thesis Universita di Roma Tor Vergata, 2006.

Allegato

> restart:

Espressioni delle funzioni coinvolte nelle equazioni

> v0:=u0*x+p/phi:phi:=1/((1+a*x^2)*(1+x^2)):

> solve(delta1*a2*u0-delta2*a2*u0+a3*v0^2+

2*a3*delta1*v0^2+a4*u0^2+2*a4*delta2*u0^2+

a5*u0*v0*(1+delta1+delta2)=0,delta1):

delta1:=%:

> beta:=1/sqrt(1+x^2):a2:=e*x*phi:a3:=phi*e*beta/2*

(3*x^2+1+2*DELTA):

a4:=phi*e*beta/2*(1-3*x^2+2*DELTA*x^2):

a5:=phi*e*beta*x*(x^2-3+2*DELTA):

v0:=u0*a2/(e*phi-M*w0^2):

DELTA:=3*(1-1/(1+a*x^2))/(2*sigma*(1+a*x^2)):

Valori numerici

> a:=0.1:e:=1:sigma:=1000:rho:=0.1:

u0:=int(x*p,x=-1.6..2.5)/2:p:=0.01:

B0:=0.001*10000/(200*10):

DELTA1:=3*(1-1/(1+a*(5/3)^2))/(2*sigma*(1+a*(5/3)^2)):

cosa0:=333/sqrt(333^2+200^2):

sina0:=200/sqrt(333^2+200^2):

khi0:=(1/((1+a*(5/3)^2)*(1+(5/3)^2)))*cosa0*

sina0^2*B0*(3-(cosa0^2/sina0^2)*(1-2*DELTA1))/2:

rho:=evalf(int(phi*e*beta*x*

(3-x^2+2*DELTA*x^2)/2,x=-5/3..2.5)+khi0):

Rappresentazione grafica del denominatore di delta1

> plot(simplify(denom(delta1)),x=-5/3..2.5,y=-1..1);

Scelta di delta2 (metodo iterativo)

> delta2:=0.2752565188075:

Verifica :

> int(a2*v0*(delta1+delta2)-2*a4*u0*v0*(1+delta1+delta2)+

a5/2*v0^2*(1+2*delta1),x=5/3..2.5)

-0.04425505697*u0^2*(1+2*delta2);

0.

Rappresentazioni grafiche di delta1, v0 e v

> plot(simplify(evalf(delta1)),x=-5/3..2.5,y=-1..1);

> plot(-[simplify(evalf(delta1))*v0+v0,v0]

,x=-5/3..2.5,y=-0.04..0.04);

53

Bilanci personali

Bilancio personale di Eric Jeangirard

In un primo momento avevo scelto di effettuare il mio stage scientifico a Roma per il contesto enon per il contenuto: infatti, inizialmente, e stata soprattutto la volonta di scoprire questa citta e diprogredire sul piano linguistico che mi ha incoraggiato a porre la mia candidatura per questo stage. Sonoaspetti che del resto non mi hanno deluso. L’accoglienza in una residenza di elite e stata un fatto moltopositivo per l’integrazione, per migliorare la lingua e anche per scoprire la citta. D’altra parte, i viaggiche ho potuto intraprendere, grazie alla borsa attribuita dalla Ecole Nationale des Ponts et Chaussees, aVenezia, Firenze, Gaeta, Numana (sulla costa adriatica delle Marche) e poi, dopo lo stage, in Piemonte,sono stati un’occasione unica per scoprire il paese ed una parte della sua - o piuttosto delle sue - culturee particolarita. Cosı, questo stage mi ha dato la possibilita d’immergermi in questo Paese e, alla fine, dicapire un po’ meglio il suo modo di funzionare.

Tuttavia, nella misura in cui mi oriento verso il dipartimento d’Ingenierie Mathematique et Informati-que (Ingegneria matematica e informatica), all’inizio dello stage, temevo di dover studiare un argomentoche non corrispondeva esattamente a cio che mi piace. Comunque, ho iniziato pieno di buona volonta econ la speranza di esser capace di ottenere dei risultati interessanti.

Durante le prime sei settimane, la nostra attivita e consistita nello studio di articoli di consultazioneche trattavano del nostro argomento, cioe i ponti strallati di grande luce. In questo periodo, mi sono resoconto rapidamente che l’approccio adottato dal laboratorio in cui studiavamo era molto teorico. Il chemi ha sorpreso in un modo positivo. La fase di comprensione iniziale e una tappa fondamentale: si trattadi capire le ricerche gia fatte, il proprio interesse e, forse, i propri limiti. D’altronde, Yann ed io abbiamorifatto a mano la maggioranza dei calcoli presupposti in questi articoli per essere certi di capirli bene.

Durante le sei settimane successive, abbiamo dedicato i nostri sforzi a due compiti distinti: la redazionedel rapporto ed i nostri studi di ricerca. La redazione del rapporto ci ha dato la possibilita di tornaresulle cose che avevamo gia studiato e, nello stesso tempo, chiarirci le idee sulle ricerche che stavamofacendo. Inoltre, questo stage ha avuto il merito di farmi scoprire quello che poteva essere un lavoro diricerca scientifica autonomo: scelta del metodo, adattamento di un metodo usato altrove, ottenimento diun risultato, eventuale correzione e discussione. D’altra parte, sono stato felicissimo di poter mettere afrutto le conoscenze acquisite nelle classes preparatoires e nel primo anno dell’Ecole Nationale des Pontset Chaussees: si sono rivelati utilissimi il corso di meccanica, ovviamente, e i corsi di analisi e di calcoloscientifico.

Finalmente, considero questo stage come un successo anche perche la gestione delle relazioni umanee andata benissimo: infatti, facevamo parte di uno dei rari stage in binomio, e anche se Yann ed ioandavamo d’accordo gia prima di partire per Roma, non e mai sicuro che una simile esperienza nonfinisca per porre problemi. Invece, siamo riusciti a mettere a frutto i nostri diversi punti di vista per faremeglio. Inoltre, abbiamo avuto il piacere di studiare e di sviluppare il nostro progetto con insegnantie ricercatori del dipartimento d’Ingegneria Civile dell’universita di Tor Vergata, in particolare il Prof.Maceri e il Dott. Vairo. Il rapporto che abbiamo avuto con loro e stato molto proficuo perche ci hannolasciato abbastanza autonomia pur aiutandoci quando era necessario.

Insomma, questo stage scientifico a Roma e stato per me un vero successo, che mi ha arricchito tantosul piano culturale quanto su quelli tecnico e umano.

54

Bilancio personale di Yann Sambarino

Il mio stage si e svolto all’universita di Tor Vergata a Roma dove studiavo i ponti di grande luce in binomiocon Eric Jeangirard. Avevo scelto quest’argomento, prima di tutto, per causa del mio forte interesse perla meccanica delle strutture; infatti l’anno prossimo mi oriento verso il dipartimento ingegneria meccanicae materiali all’ Ecole Nationale des Ponts et Chaussees, e questo stage mi permetteva di acquisire unaprima esperienza, un primo esempio, in un settore che rischio di incontrare numerose volte nella miacarriera.

Inoltre, le mie origini italiane mi avevano spinto a studiare l’italiano al collegio ed all’liceo, cosıquesto stage mi permetteva di migliorare il mio livello di lingua. Considero che oggi, oltre all’inglese chee diventato indispensabile, la conoscenza di un’altra lingua permetta di aprire numerose porte in unacarriera professionale.

Desideravo anche riscoprire la citta di Roma che avevo visitato piu piccolo. Sapevo prima di partire,che passare tre mesi sarebbe stato un’esperienza straordinaria.

La determinazione dell’obiettivo finale del nostro stage non era possibile all’inizio, per causa dellamancanza di sapere e d’esperienza di Eric ed io nel settore dei ponti. Quindi il stage ha comportato duefasi successive principali: la prima parte consisteva in un’acquisizione di conoscenze su tutte le robe legatealla meccanica strutture: statica e dinamica; cosı abbiamo letto articoli che ci aveva dato il professoreMaceri ed abbiamo tentato di trovare le equazioni. Questa tappa di circa un mese e mezzo si e rivelatamolto utile per la seconda parte del stage dove abbiamo cercato di approfondire cio che abbiamo letto negliarticoli (fase di ricerca) ed in cui abbiamo redatto il rapporto. Nello stesso modo in cui per il progetto diprimo anno, ho realizzato a quale punto questa tappa d’acquisizione di conoscenze e indispensabile perabbordare qualsiasi tipo d’argomento, perche permette di determinare perfettamente cio che si farannole settimane future. Secondo me, un buono capo di progetto e una persona che si e bene informata eche ha preso sufficientemente distanze sul progetto per potere prevedere la sua sporgenza, anticipare glieventuali problemi...

Di piu abbiamo avuto l’onore di lavorare con i professori e ricercatori cosı brillanti come il ProfessoreIngegnere Maceri ed il Dottore Ingenere Vairo. Hanno realmente saputo mostrarmi cio che era il mondodella ricerca. Per la prima volta nei miei studi, mi hanno dato obiettivi da raggiungere, dei termini e mihanno lasciato gestito il resto in modo autonomo. Quest’esperienza e molto piu vicina di quelle che miaspettano nel mondo industriale che tutti i modi d’apprendistato che ho potuto vivere prima.

Non ho avuto problemi per lavorare in collaborazione con Eric Jeangirard perche ci conoscevamogia perfettamente. E sempre molto valorizzante lavorare in un gruppo, in piu di tutti cio che possonoinsegnarci gli altri, impariamo ad ascoltare ed intendere le loro opinioni, le loro idee; inoltre, penso chel’ascolto sia una delle qualita indispensabile per essere un buono ingegnere. Cosı, ho potuto approfittaredelle qualita del mio amico e lo ringrazio per la sua collaborazione. Eravamo complementari, cio che hapermesso un miscuglio incredibile di idee. Di piu Eric ed io avevamo gia un livello medio in italiano,facilitando lo scambio con i professori e ricercatori italiani all’universita. Per finire, Eric ha insistito perredigere il rapporto con LATEX, e cosı mi ha insegnato ad utilizzarlo. Devo riconoscere che quest’attrezzodi redazione permette di ottenere un rapporto molto piu chiaro e piu professionale che con Word. Delresto, non e un caso se i ricercatori dell’universita di Tor Vergata redigono tutti i loro articoli scientificicon LATEX.

Per quanto riguarda l’italiano, lo stage e stato piuttosto un successo. abitavamo in una residenzariservata agli studenti italiani piu bravi; del resto erano molto accessibili, facilitando cosı le discussionie l’integrazione nella cultura italiana. Il mio solo rammarico per quanto riguarda l’italiano e che all’u-niversita parlavamo poco con gli altri ricercatori. Eric ed io facevamo le ricerche e di tanto in tanto

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mostaravamo loro cio che avevamo trovato. Mi aspettavo piu a lavorare in collaborazione continuata coni ricercatori e quindi a parlare italiano tutto il giorno.

Uno dei punti molto positivo dello stage sta nella possibilita che abbiamo avuto di vivere e visitareRoma. Cosı, siamo stati impregnati dalla cultura romana ed abbiamo adottato completamente il mododi vita; il ritorno a Parigi sara certamente difficile da quel punto di vista... Di piu, grazie alla borsa datadalla scuola, abbiamo potuto visitare Venezia, Firenze e siamo andati su spiagge di sogno a Gaeta vicinoa Napoli. Credo che abbiamo saputo cogliere questa possibilita di potere fare uno stage in una citta cosıstraordinaria come Roma.

Per concludere, voglio insistere sulla qualita di questo scambio con l’universita di Tor Vergata perchee per noi, allievi des Ponts et Chaussees, un successo umano, culturale e linguistico.

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A l’attention des lecteurs francais

Bilan personnel d’Eric Jeangirard

J’avais choisi d’effectuer mon stage scientifique a Rome d’abord pour le contexte et non pour le contenu:en effet, initialement, c’est surtout la volonte de decouvrir cette ville de l’Italie et de progresser surla plan linguistique qui m’a encourager a postuler pour ce stage. Je n’aurais d’ailleurs pas ete decusur ces differents aspects. L’accueil dans une residence universitaire d’elite a ete un point tres positifd’integration et m’a permis d’ameliorer ma langue ainsi que decouvrir la ville. D’autre part, les voyagesque j’ai entrepris grace a la bourse accordee par l’Ecole Nationale des Ponts et Chaussees a Venise,Florence, Gaeta, Numana sur la cote adriatique, puis, apres le stage, dans le Piemont, ont ete uneoccasion unique de decouvrir le pays, une partie de sa - ou plutot de ses cultures et ses particularites quien font la richesse. Ce stage m’aura ainsi donne la possibilite de m’immerger dans ce pays et finalementd’en comprendre un peu mieux le mode de fonctionnement.

Neanmoins, dans la mesure ou je m’oriente dans le departement Ingenierie Mathematique et Infor-matique, en debut de stage je craignais d’avoir a travailler sur un sujet qui n’avait rien a voir avec mesmatieres de predilection. Je partai pourtant avec beaucoup de bonne volonte et l’espoir d’etre capabled’apporter une certaine valeur ajoutee au travail aborde.

Les six premieres semaines consisterent en la lecture des articles de reference sur le sujet traite, asavoir les ponts haubannes de longue portee. Et je me suis rapidement rendu compte que l’approcheadoptee par le laboratoire de recherche dans lequel nous evoluions etait tres theorique, ce qui m’a surprisd’une maniere tres positive. Ce travail de comprehension initial est tout a fait primordial : il s’agit decomprendre les travaux de recherche deja menes, en saisir leur interet et eventuellement leur limite. Pouretre d’ailleurs certains de bien s’en impregner, Yann et moi avons refait tous les calculs de ces travaux,ce qui nous a permis de bien noter chaque raisonnement et approximation utilises.

Durant les six semaines suivantes, nous avons alors mene deux combats de front : la redaction durapport ainsi que nos propres travaux de recherche. La redaction du rapport nous donnait la possibilite derevenir sur les choses que nous avions etudiees precedemment, et avait le merite de nous forcer a avoir lesidees claires sur ces travaux ; cela nous a aide dans nos propres recherches qui les reprenaient et tentaientd’en ameliorer les objectifs. Le stage m’aura d’ailleurs fait decouvrir ce que pouvait etre un travail derecherche autonome : choix de la methode, adaptation d’une autre methode utilisee ailleurs, obtentiond’un resultat, verification, correction, discussion. Cela aura ete une des meilleures decouvertes que m’aapportees le stage scientifique. D’autre part, j’ai ete ravi dans ce travail de pouvoir mettre a profit lesconnaissances que j’ai pu acquerir en prepa et en premiere annee : entre autres, le cours de mecanique,evidemment, mais aussi les cours d’analyse et de calcul scientifique se sont reveles tres utiles.

Enfin, si je considere que ce stage a ete une reussite, c’est aussi parce que la gestion des relationshumaines s’est tres bien deroulee : en effet, nous faisions partie des rares stages a s’effectuer en binome,et, bien que Yann et moi-meme s’entendions tres bien avant de partir en stage, il n’est jamais certainqu’une telle experience se deroule parfaitement. Et pourtant, nous avons su au contraire mettre a profitnos differences de point de vue pour mener a bien notre travail et le rendre toujours meilleur. D’autrepart, nous avons eu la chance de travailler en collaboration avec des chercheurs emerites du departementIngenierie Civile de l’universite de Tor Vergata, a savoir le Professeur F. Maceri et le Docteur G. Vairo etl’interaction que nous avions avec eux nous a ete tres profitable en ce sens qu’ils etaient presents lorsquenous ne trouvions plus de solutions mais qu’ils ont aussi su nous laisser de l’autonomie.

Au final, ce stage scientifique a Rome aura ete pour moi une complete reussite, tant il m’aura apportea la fois culturellement, techniquement et humainement.

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Bilan personnel de Yann Sambarino

Mon stage s’est deroule a l’universite de Tor Vergata a Rome ou j’etudiais, en binome avec Eric Jeangirard,les ponts a longue portee. J’avais choisi ce sujet, tout d’abord, en raison de mon fort interet pour lamecanique des structures ; en effet l’annee prochaine je m’oriente vers le departement Genie Mecaniqueet Materiaux a l’Ecole Nationale des Ponts et Chaussees, et ce stage me permettait d’acquerir une premiereexperience, un premier exemple, dans un domaine que je risque de rencontrer de nombreuses fois dansma carriere.

De plus, mes origines italiennes m’avaient poussees a etudier l’italien au college et au lycee, ainsi cestage me permettait d’ameliorer mon niveau de langue. Je considere qu’aujourd’hui, outre l’anglais quiest devenu indispensable, la connaissance d’une autre langue permet d’ouvrir de nombreuses portes dansune carriere professionnelle.

Je desirais aussi redecouvrir la ville de Rome que j’avais visitee plus jeune. Je savais avant de partir,que y passer trois mois serait une experience extraordinaire.

La determination de l’objectif final de notre stage n’etait pas envisageable au debut, en raison dumanque de savoir et d’experience d’Eric et moi-meme dans le domaine des ponts. Par consequent lestage a comporte deux phases successives majeures : la premiere partie consistait en une acquisition deconnaissances sur tous ce qui avait attrait a la mecanique des structures : statique et dynamique; ainsinous avons lu des articles que nous avait donnes le Professeur Maceri et nous avons tente de retrouverles equations. Cette etape d’un mois et demi environ s’est averee fort utile pour la deuxieme partie dustage ou nous avons cherche a approfondir ce que nous avions lu dans les articles (phase de recherche) etou nous avons redige le rapport. De la meme maniere que pour le projet de premiere annee, j’ai realise aquel point cette etape d’acquisition des connaissance est indispensable pour aborder n’importe quel typede sujet, car elle permet de cibler parfaitement ce qu’on va faire durant les semaines a venir. Selon moi,un bon chef de projet est une personne qui s’est bien renseignee et qui a pris suffisamment de recule surle projet pour pouvoir prevoir son avancee, anticiper les eventuels problemes,. . .

De plus nous avons eu l’honneur de travailler avec des professeurs et chercheurs aussi brillants quele Professeur Maceri et le Docteur Vairo. Ils ont vraiment su me montrer ce qu’etait le monde de larecherche. Pour la premiere fois dans mes etudes, on m’a donne des objectifs a atteindre, des delais eton m’a laisse gere le reste de maniere autonome. Cette experience est beaucoup plus proche de celle quim’attend dans le monde industriel que tous les modes d’apprentissage que j’ai pu vivre auparavant.

Je n’ai pas eu du tout de mal a travailler en collaboration avec Eric Jeangirard car nous nous connais-sions deja bien. Il est toujours tres enrichissant de travailler dans un groupe, car en plus de tous ce quepeuvent nous apprendre les autres, cela apprend a ecouter et entendre leurs opinions, leurs idees; aussi,je pense que l’ecoute est une des qualite indispensable pour un bon ingenieur. Ainsi, j’ai pu profiterdes qualites de mon camarade et je le remercie de sa collaboration. Nous etions complementaires, cequi a permis un melange incroyable d’idees. De plus nous avions tous les deux un niveau correcte enitalien, facilitant ainsi l’echange avec les professeurs et chercheurs italiens a l’universite. Pour finir, Eric ainsiste pour que l’on tape le rapport en LATEX, ainsi il m’a appris a l’utiliser. Je dois avouer que cet outilde redaction permet d’obtenir un rapport beaucoup plus clair, plus propre et plus professionnel qu’avecWord. Ce n’est d’ailleurs pas un hasard si les chercheurs de l’universite de Tor Vergata redigent tousleurs articles scientifiques avec LATEX.

En ce qui concerne l’italien, le stage a ete plutot une reussite. Nous etions loges dans une residencereservee aux etudiants italiens les plus meritants ; ces derniers etaient d’ailleurs tres accueillants, facilitantainsi les discussions et l’integration dans la culture italienne. Mon seul regret en ce qui concerne l’italienest qu’a l’universite nous parlions que tres peu avec les autres chercheurs. Eric et moi faisions les recherches

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et de temps en temps nous allions leurs montrer ce que nous avions trouve. Je m’attendais plus a travailleren collaboration continue avec des chercheurs et donc a parler italien toute la journee.

Un des points tres positif du stage reside en la possibilite que nous avons eu de vivre et visiter Rome.Ainsi, nous avons ete impregne par la culture romaine et avons adopte totalement le mode de vie ; leretour a Paris sera sans doute difficile de ce point de vue la... De plus grace a la bourse donnee parl’ecole, nous avons pu visiter Venise, Florence et nous sommes alles sur des plages de reves a Gaeta presde Naples. Je crois que nous avons su saisir cette chance de pouvoir faire un stage dans une ville aussiextraordinaire que Rome.

Pour conclure, je tiens a insister sur la qualite de cette echange avec l’universite de Tor Vergata caril est pour nous, eleves des Ponts et Chaussees, une reussite humaine, culturelle et linguistique.

Etude des ponts haubannés à longue portée Ponti strallati di...

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