2011 COURS Meca G Entier

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Méca. solides rigides - CPMI 2011-2012ENSM-SE 1

DDDDéééécouvrir la mcouvrir la mcouvrir la mcouvrir la méééécanique de lcanique de lcanique de lcanique de l’’’’ingingingingéééénieurnieurnieurnieur

ConnaConnaConnaConnaîîîître les outils mathtre les outils mathtre les outils mathtre les outils mathéééématiques de base pour lmatiques de base pour lmatiques de base pour lmatiques de base pour l’’’’ingingingingéééénieurnieurnieurnieur

ConnaConnaConnaConnaîîîître les concepts fondamentaux de statique et dynamique des systtre les concepts fondamentaux de statique et dynamique des systtre les concepts fondamentaux de statique et dynamique des systtre les concepts fondamentaux de statique et dynamique des systèèèèmes mes mes mes

RRRRéééésoudre des problsoudre des problsoudre des problsoudre des problèèèèmes simplesmes simplesmes simplesmes simples

Cycle Préparatoire Médecin-Ingénieur 2011-2012

Cours de mCours de mCours de mCours de méééécanique des solides rigidescanique des solides rigidescanique des solides rigidescanique des solides rigides

Pierre BadelEcole des Mines Saint Etienne


Ch. 1 – Introduction générale

Ch. 2 – Introduction à la notion de torseur

Ch. 3 – Torseurs

Ch. 4 – Statique

Ch. 5 – Cinématique

Ch. 6 – Cinématique des liaisons

Ch. 7 – Dynamique

Ch. 8 – Géométrie des masses

Ch. 9 – Cinétique

Ch. 10 – Etude dynamique d’un système

Ch. 11 – Energétique

MMMMéééécanique des solides rigidescanique des solides rigidescanique des solides rigidescanique des solides rigides

2


Ch. 1 Introduction gCh. 1 Introduction gCh. 1 Introduction gCh. 1 Introduction géééénnnnééééraleraleralerale


Notre environnement est fait de Notre environnement est fait de Notre environnement est fait de Notre environnement est fait de systsystsystsystèèèèmesmesmesmes qui qui qui qui interagissentinteragissentinteragissentinteragissent entre eux.entre eux.entre eux.entre eux.

• Interactions électriques,

• chimiques,

• magnétiques,

• mécaniques…

Grande complexitGrande complexitGrande complexitGrande complexitéééé !!!!

On ne peut tout prendre en compte.

On ne considère que certaines interactions, on néglige les autres.

Différentes disciplines de la physique.

Notions de système et de modèle


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Notions de système et de modèle


On est toujours amenOn est toujours amenOn est toujours amenOn est toujours amenéééés s s s àààà faire des hypothfaire des hypothfaire des hypothfaire des hypothèèèèses, limiter les ses, limiter les ses, limiter les ses, limiter les éééétudestudestudestudes

Il s’agit d’interprétations physiques de la réalité - fondées sur des hypothèses, et

- basées sur des lois mathématiques.

ModModModModèèèèle = reprle = reprle = reprle = repréééésentation imparfaite de la rsentation imparfaite de la rsentation imparfaite de la rsentation imparfaite de la rééééalitalitalitalitéééé

Ils ont souvent une durée de vie limitée…

On construit des modOn construit des modOn construit des modOn construit des modèèèèlesleslesles

?⇔

Ce cours =Ce cours =Ce cours =Ce cours = éééétude des interactions mtude des interactions mtude des interactions mtude des interactions méééécaniques entre solides rigidescaniques entre solides rigidescaniques entre solides rigidescaniques entre solides rigideséééétude de ltude de ltude de ltude de l’é’é’é’état de repos/mouvement de systtat de repos/mouvement de systtat de repos/mouvement de systtat de repos/mouvement de systèèèèmesmesmesmes


Hypothèses et limites de la mécanique classique


Systèmes matériels non variables.

Un système matériel est constitué d’éléments individualisables : les points matériels.

Un ensemble de points matériels dont les distances entre points sont constantes

= un solide indéformable (ou rigide).

La masse ne dépend que de la nature du matériau.

LimitationsLimitationsLimitationsLimitations (on sort du domaine de validité des modèles) :

• Très petits systèmes matériels. Exemple : Taille < m.

• Vitesses proches de celle de la lumière.

• Autres interactions physiques peuvent être non négligeables.

Robotique, automobile, biomRobotique, automobile, biomRobotique, automobile, biomRobotique, automobile, bioméééécanique canique canique canique musculomusculomusculomusculo----squelettiquesquelettiquesquelettiquesquelettique…………

Applications

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Méthodologie générale


Dans un systDans un systDans un systDans un systèèèème, on va sme, on va sme, on va sme, on va s’’’’intintintintééééresser resser resser resser àààà chacun des solides : chacun des solides : chacun des solides : chacun des solides :

Isoler chaque solide.Isoler chaque solide.Isoler chaque solide.Isoler chaque solide.

Analyser ses mouvements (6 Analyser ses mouvements (6 Analyser ses mouvements (6 Analyser ses mouvements (6 ddlddlddlddl, 6 param, 6 param, 6 param, 6 paramèèèètres).tres).tres).tres).

Analyser les actions mAnalyser les actions mAnalyser les actions mAnalyser les actions méééécaniques extcaniques extcaniques extcaniques extéééérieures appliqurieures appliqurieures appliqurieures appliquéééées sur ce solide.es sur ce solide.es sur ce solide.es sur ce solide.

Analyser les relations entre ces deux derniers.Analyser les relations entre ces deux derniers.Analyser les relations entre ces deux derniers.Analyser les relations entre ces deux derniers.

Voir cours spVoir cours spVoir cours spVoir cours spéééécifique.cifique.cifique.cifique.

Rappels mathématiques


Ch. 2 Introduction Ch. 2 Introduction Ch. 2 Introduction Ch. 2 Introduction àààà la notionla notionla notionla notionde torseursde torseursde torseursde torseurs

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Point matPoint matPoint matPoint matéééériel riel riel riel

Portion de l’espace pourvue de matière et assez petite pour être considérée ponctuelle.

Solide indSolide indSolide indSolide indééééformableformableformableformable

Domaine contenant un ensemble de points matériels gardant des distances fixes entre eux au cours du temps

Remarque :Remarque :Remarque :Remarque :

Il s’agit de modèles. Tout solide est déformable ! Plus ou moins… Cf. second semestre

1 1 1 1 –––– ModModModModéééélisation dlisation dlisation dlisation d’’’’un solideun solideun solideun solide

Définitions

Ch. 2 Introduction Ch. 2 Introduction Ch. 2 Introduction Ch. 2 Introduction àààà la notion de torseurla notion de torseurla notion de torseurla notion de torseur

Petites déformations de surface Grandes déformations


1 1 1 1 –––– ModModModModéééélisation dlisation dlisation dlisation d’’’’un solideun solideun solideun solide

Repérage d’un solide


Soient 2 solides SSoient 2 solides SSoient 2 solides SSoient 2 solides S0000 et Set Set Set S1111 indindindindééééformablesformablesformablesformables

On peut associer un repOn peut associer un repOn peut associer un repOn peut associer un repèèèère Rre Rre Rre R0000 et Ret Ret Ret R1111 àààà chacun ( = 1 point + 1 base).chacun ( = 1 point + 1 base).chacun ( = 1 point + 1 base).chacun ( = 1 point + 1 base).

Relativement Relativement Relativement Relativement àààà RRRR0000 ::::

3 paramètres de positionnement d’1 point :

3 paramètres de positionnement d’1 base / l’autre : par exemple,

les angles d’Euler.

S0

S1

1x

1z

1y

O1

0x

0z

0y

O0

0 1 0 0 0O O = xx + yy + zz

6 param6 param6 param6 paramèèèètres ntres ntres ntres néééécessaires pour le repcessaires pour le repcessaires pour le repcessaires pour le repéééérage drage drage drage d’’’’un solideun solideun solideun solide

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2 2 2 2 –––– Actions mActions mActions mActions méééécaniquescaniquescaniquescaniques

Définition


Action mAction mAction mAction méééécanique =canique =canique =canique = toute action pouvant provoquer le mouvement dtoute action pouvant provoquer le mouvement dtoute action pouvant provoquer le mouvement dtoute action pouvant provoquer le mouvement d’’’’un solide un solide un solide un solide

ou une dou une dou une dou une dééééformation formation formation formation

Ici, on ne s’intéresse qu’aux modèles d’actions agissant sur les solides indéformables.

Actions Actions Actions Actions àààà distancedistancedistancedistance

Exemples : …

Actions de contactActions de contactActions de contactActions de contact

Actions mécaniques intérieures à la matière : actions de cohésion

Actions mécaniques extérieures = actions de liaisons entre solides

Classification des actions


Seul effet dSeul effet dSeul effet dSeul effet d’’’’une action sur un point = translationune action sur un point = translationune action sur un point = translationune action sur un point = translation

(une rotation n’a pas de sens)

Cette action est une force qui tend Cette action est une force qui tend Cette action est une force qui tend Cette action est une force qui tend àààà le dle dle dle dééééplacerplacerplacerplacer

Une force est caractUne force est caractUne force est caractUne force est caractéééérisrisrisriséééée par :e par :e par :e par :

• Direction

• Sens

• Intensité (en Newton)

• Point d’application (ou point de passage)

Remarque : l’action est identique tout le long de sa ligne d’action (analogie avec la ficelle)

UnitUnitUnitUnitéééé : Newton: Newton: Newton: Newton

Somme de plusieurs forces = somme vectorielleSomme de plusieurs forces = somme vectorielleSomme de plusieurs forces = somme vectorielleSomme de plusieurs forces = somme vectorielle


Modèle d’une force

P

P’P

P’

1F

2F

1 2F F+

3 3 3 3 –––– Actions mActions mActions mActions méééécaniques sur un point mat.caniques sur un point mat.caniques sur un point mat.caniques sur un point mat.

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Deux effets sont possibles : translation ET rotationDeux effets sont possibles : translation ET rotationDeux effets sont possibles : translation ET rotationDeux effets sont possibles : translation ET rotation

Lorsque la somme des actions se rLorsque la somme des actions se rLorsque la somme des actions se rLorsque la somme des actions se réééésume sume sume sume àààà une forceune forceune forceune force

Entraînement en translation

Ch. 2 Introduction Ch. 2 Introduction Ch. 2 Introduction Ch. 2 Introduction àààà la notion de torseurla notion de torseurla notion de torseurla notion de torseur 4 4 4 4 –––– Actions mActions mActions mActions méééécaniques sur un solidecaniques sur un solidecaniques sur un solidecaniques sur un solide

Tous les points du solide ont tendance Tous les points du solide ont tendance Tous les points du solide ont tendance Tous les points du solide ont tendance àààà suivre la translation dsuivre la translation dsuivre la translation dsuivre la translation dééééfinie par finie par finie par finie par ∆∆∆∆

1F

2F

∆∆∆∆

R


Entraînement en rotation

Pour le traduire, on utilise le vecteur moment en QPour le traduire, on utilise le vecteur moment en QPour le traduire, on utilise le vecteur moment en QPour le traduire, on utilise le vecteur moment en Q


Q

FP

L

h

Le moment (action dLe moment (action dLe moment (action dLe moment (action d’’’’entraentraentraentraîîîînement en rotation) est dnement en rotation) est dnement en rotation) est dnement en rotation) est d’’’’autant plus fort queautant plus fort queautant plus fort queautant plus fort que

• F est grand

• Le bras de levier QH est grand ( ) ( )M Q =QH. F = QP .sin QP, F . F

Cas gCas gCas gCas géééénnnnééééral ral ral ral –––– traduction vectorielletraduction vectorielletraduction vectorielletraduction vectorielle

M(Q) = QP F∧

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Action de n forces

La somme des actions mLa somme des actions mLa somme des actions mLa somme des actions méééécaniques, en un point, est donncaniques, en un point, est donncaniques, en un point, est donncaniques, en un point, est donnéééée par :e par :e par :e par :

• Une résultante

• Un moment résultant

Le modLe modLe modLe modèèèèle algle algle algle algéééébrique correspondant brique correspondant brique correspondant brique correspondant àààà llll’’’’association de ces deux champs est association de ces deux champs est association de ces deux champs est association de ces deux champs est celui du torseurcelui du torseurcelui du torseurcelui du torseur


ii

R = F∑

( ) ( )ii

M Q = M Q∑

Ce couple suffit Ce couple suffit Ce couple suffit Ce couple suffit àààà ddddééééterminer totalement lterminer totalement lterminer totalement lterminer totalement l’’’’action maction maction maction méééécanique en un point dcanique en un point dcanique en un point dcanique en un point d’’’’un solide.un solide.un solide.un solide.


Moment d’un vecteur lié (= bipoint = vecteur + pt. d’application)

Par dPar dPar dPar dééééfinition :finition :finition :finition :

Ch. 2 Introduction Ch. 2 Introduction Ch. 2 Introduction Ch. 2 Introduction àààà la notion de torseurla notion de torseurla notion de torseurla notion de torseur 5 5 5 5 –––– ComplComplComplComplééééments sur les moments ments sur les moments ments sur les moments ments sur les moments

M(Q) = QP F∧

Moment d’un vecteur glissant (= vecteur + droite d’application)

Q( )M Q

F

F

Pj

Pi

H

Pour tout PPour tout PPour tout PPour tout Piiii et et et et PPPPjjjj : : : :

( )i i j iM(Q) = QP+PP F=QP F∧ ∧

Relation de champ de moment

Relation entre les moments en 2 points quelconquesRelation entre les moments en 2 points quelconquesRelation entre les moments en 2 points quelconquesRelation entre les moments en 2 points quelconques

( )M( ) = AB+BP F = M( )+BA AB F∧ ∧

On définit en tout point de l’espace un champ de momentchamp de momentchamp de momentchamp de moment si on a cette relation pour 2 points A et B quelconques

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Ch. 3 TorseursCh. 3 TorseursCh. 3 TorseursCh. 3 Torseurs


On appelle torseur la superposition de 2 champs de vecteurs :On appelle torseur la superposition de 2 champs de vecteurs :On appelle torseur la superposition de 2 champs de vecteurs :On appelle torseur la superposition de 2 champs de vecteurs :

• Un champ uniforme

• Un champ de moment

On note le torseur et son reprOn note le torseur et son reprOn note le torseur et son reprOn note le torseur et son repréééésentant en A :sentant en A :sentant en A :sentant en A :

et sont les éléments de réduction du torseur.

Remarque importante : si on connaRemarque importante : si on connaRemarque importante : si on connaRemarque importante : si on connaîîîît un torseur en un point alors on peut t un torseur en un point alors on peut t un torseur en un point alors on peut t un torseur en un point alors on peut llll’’’’exprimer en tout point ( avec la exprimer en tout point ( avec la exprimer en tout point ( avec la exprimer en tout point ( avec la relation de champ de moment)relation de champ de moment)relation de champ de moment)relation de champ de moment)

Ch. 3 TorseursCh. 3 TorseursCh. 3 TorseursCh. 3 Torseurs 1 1 1 1 –––– DDDDééééfinitions finitions finitions finitions

R

M

T AT

( )A

R

M A

=

T

Définitions

R

M

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Opérations sur les torseurs

EgalitEgalitEgalitEgalitééééEléments de réduction égaux

AU MEME POINT

Somme Somme Somme Somme Somme des éléments de réduction

AU MEME POINT

Multiplication par un scalaireMultiplication par un scalaireMultiplication par un scalaireMultiplication par un scalaire

ComomentComomentComomentComoment de 2 torseursde 2 torseursde 2 torseursde 2 torseursScalaire défini par :

Remarque : le comoment est indépendant du point de calcul

Ch. 3 TorseursCh. 3 TorseursCh. 3 TorseursCh. 3 Torseurs 2 2 2 2 –––– OpOpOpOpéééérations sur les torseursrations sur les torseursrations sur les torseursrations sur les torseurs

( ) ( )

1 2

1 2

R = R

M A = M A

= ⇔

1 2T T

( ) ( )

1 2

A A

1 2

R + R

M A + M A

+ =

1 2T T

( )1

A

1

λRλ

λM A

=

1T

( ) ( ). 1 2 2 1A A = R .M A + R .M A

1 2T T


3 – Invariants

VectorielVectorielVectorielVectoriel

La résultante est un champ uniforme.

ScalaireScalaireScalaireScalaire

L’automoment est un invariant.

Preuve…

Ch. 3 TorseursCh. 3 TorseursCh. 3 TorseursCh. 3 Torseurs 3 3 3 3 –––– InvariantsInvariantsInvariantsInvariants

R.M

R

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Glisseur

SSSS’’’’il existe un point oil existe un point oil existe un point oil existe un point oùùùù le moment sle moment sle moment sle moment s’’’’annule, est un glisseurannule, est un glisseurannule, est un glisseurannule, est un glisseur

= mod= mod= mod= modèèèèle dle dle dle d’’’’une force une force une force une force

Remarque : En un point quelconque Q,

Ch. 3 TorseursCh. 3 TorseursCh. 3 TorseursCh. 3 Torseurs 3 3 3 3 –––– Torseurs particuliers (Torseurs particuliers (Torseurs particuliers (Torseurs particuliers (automomentautomomentautomomentautomoment nul)nul)nul)nul)

Si la rSi la rSi la rSi la réééésultante est nulle, est un torseur couplesultante est nulle, est un torseur couplesultante est nulle, est un torseur couplesultante est nulle, est un torseur couple

Remarque : le moment est alors le même partout.

Couple

Nul

SiSiSiSi

Remarque : il est nul partout.

T

( )Q

R=

M Q 0

≠

T

T

( )

R = M Q = 0R = M Q = 0R = M Q = 0R = M Q = 0


Equiprojectivité

Par dPar dPar dPar dééééfinition :finition :finition :finition :

…………

Rem : Tout champ équiprojectif est un champ de moment.

Ch. 3 TorseursCh. 3 TorseursCh. 3 TorseursCh. 3 Torseurs 4 4 4 4 –––– PropriPropriPropriPropriééééttttéééés du champ de moments du champ de moments du champ de moments du champ de moment

M(A) = M(B) + AB R∧

A

B

( )M B

( )M A

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Définition

LLLL’’’’axe central du torseur est laxe central du torseur est laxe central du torseur est laxe central du torseur est l’’’’ensemble des points I tels que soit ensemble des points I tels que soit ensemble des points I tels que soit ensemble des points I tels que soit colincolincolincolinééééaire aire aire aire àààà ....

Ch. 3 TorseursCh. 3 TorseursCh. 3 TorseursCh. 3 Torseurs 4 4 4 4 –––– Axe central dAxe central dAxe central dAxe central d’’’’un torseurun torseurun torseurun torseur

Propriétés

Le moment est minimum sur lLe moment est minimum sur lLe moment est minimum sur lLe moment est minimum sur l’’’’axe central du torseur.axe central du torseur.axe central du torseur.axe central du torseur.

Recherche de lRecherche de lRecherche de lRecherche de l’’’’axe central axe central axe central axe central cf. TD.cf. TD.cf. TD.cf. TD.

T M(I)M(I)M(I)M(I)

RRRR


Ch. 4 StatiqueCh. 4 StatiqueCh. 4 StatiqueCh. 4 Statique

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Principe d’équivalence

Le comportement en un point A dLe comportement en un point A dLe comportement en un point A dLe comportement en un point A d’’’’un solide soumis un solide soumis un solide soumis un solide soumis àààà n actions est dn actions est dn actions est dn actions est dééééfini parfini parfini parfini par

Ch. 4 StatiqueCh. 4 StatiqueCh. 4 StatiqueCh. 4 Statique 1 1 1 1 –––– Principe dPrincipe dPrincipe dPrincipe d’é’é’é’équivalencequivalencequivalencequivalence

( )

ii

i ii

R = F

M A = AP F

∧

∑

∑

Les effets des n actions sont les mêmes que ceux induits par cLes effets des n actions sont les mêmes que ceux induits par cLes effets des n actions sont les mêmes que ceux induits par cLes effets des n actions sont les mêmes que ceux induits par ce torseure torseure torseure torseur

1F

AA

( )M A

3F

2F

jF R


Définition

On appelle liaison tout ce qui restreint le mouvement dOn appelle liaison tout ce qui restreint le mouvement dOn appelle liaison tout ce qui restreint le mouvement dOn appelle liaison tout ce qui restreint le mouvement d’’’’un solide par rapport un solide par rapport un solide par rapport un solide par rapport àààà un autre.un autre.un autre.un autre.

Ch. 4 StatiqueCh. 4 StatiqueCh. 4 StatiqueCh. 4 Statique 2 2 2 2 –––– Torseurs dTorseurs dTorseurs dTorseurs d’’’’actions associactions associactions associactions associéééés aux liaisons normaliss aux liaisons normaliss aux liaisons normaliss aux liaisons normalisééééeseseses

Dans le cas des liaisons normalisDans le cas des liaisons normalisDans le cas des liaisons normalisDans le cas des liaisons normaliséééées, on associe un repes, on associe un repes, on associe un repes, on associe un repèèèère privilre privilre privilre priviléééégigigigiéééé dans dans dans dans lequel le torseur des actions mlequel le torseur des actions mlequel le torseur des actions mlequel le torseur des actions méééécaniques aura une forme bien dcaniques aura une forme bien dcaniques aura une forme bien dcaniques aura une forme bien dééééfinie.finie.finie.finie.

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Contact ponctuel (d’axe z)

SSSS1111 est en contact ponctuel avec Sest en contact ponctuel avec Sest en contact ponctuel avec Sest en contact ponctuel avec S2222 en un point A si les solides sont en contact en un point A si les solides sont en contact en un point A si les solides sont en contact en un point A si les solides sont en contact sur des surfaces parfaitement lisses (sur des surfaces parfaitement lisses (sur des surfaces parfaitement lisses (sur des surfaces parfaitement lisses («««« aucune rugositaucune rugositaucune rugositaucune rugositéééé »»»»). ). ). ).

La rLa rLa rLa réééésultante des actions de contacts est portsultante des actions de contacts est portsultante des actions de contacts est portsultante des actions de contacts est portéééée par la normale commune e par la normale commune e par la normale commune e par la normale commune au point de contact.au point de contact.au point de contact.au point de contact.


12121212nnnn

Le torseur des actions de liaison de SLe torseur des actions de liaison de SLe torseur des actions de liaison de SLe torseur des actions de liaison de S2222 sur Ssur Ssur Ssur S1111 éééécrit au centre A de la liaison a la crit au centre A de la liaison a la crit au centre A de la liaison a la crit au centre A de la liaison a la forme caractforme caractforme caractforme caractééééristique suivante :ristique suivante :ristique suivante :ristique suivante :

x

y z

A

( )2 1

x

2 1 2 1A

R 0

= R = 0 M A = 0

0 0

F


Liaison pivot glissant (d’axe x)

Interdit les mouvements suivants :Interdit les mouvements suivants :Interdit les mouvements suivants :Interdit les mouvements suivants :

• Translations selon

• Rotations autour de


Torseur des actions de liaison de STorseur des actions de liaison de STorseur des actions de liaison de STorseur des actions de liaison de S2222 sur Ssur Ssur Ssur S1111 éééécrit en un point A de lcrit en un point A de lcrit en un point A de lcrit en un point A de l’’’’axe :axe :axe :axe :

x

y

z

A

( )2 1 2 1 y 2 1 yA

z z

0 0

= R = R M A = M

R M

F

y et z

« Ry s’oppose aux translations selon l’axe y »

« Mz s’oppose aux rotation autour de l’axe z »

y et z

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Liaison sphérique (ou rotule)

Interdit toutes les translations. Toutes les rotations sont possInterdit toutes les translations. Toutes les rotations sont possInterdit toutes les translations. Toutes les rotations sont possInterdit toutes les translations. Toutes les rotations sont possibles.ibles.ibles.ibles.


Torseur des actions de liaison de STorseur des actions de liaison de STorseur des actions de liaison de STorseur des actions de liaison de S2222 sur Ssur Ssur Ssur S1111 éééécrit au centre de la liaisoncrit au centre de la liaisoncrit au centre de la liaisoncrit au centre de la liaison

x

y

z

A

( )2 1

x

2 1 y 2 1A

z

R 0

= R = R M A = 0

R 0

F

Cette liaison ne peut pas transmettre de moment.


Ch. 4 StatiqueCh. 4 StatiqueCh. 4 StatiqueCh. 4 Statique

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Schéma technologique

On peut avoir plusieurs liaisons entre 2 solides.On peut avoir plusieurs liaisons entre 2 solides.On peut avoir plusieurs liaisons entre 2 solides.On peut avoir plusieurs liaisons entre 2 solides.

Exemple d’utilisation : calcul d’efforts dans des roulements.

Ch. 4 StatiqueCh. 4 StatiqueCh. 4 StatiqueCh. 4 Statique 3 3 3 3 –––– SchSchSchSchéééématisationmatisationmatisationmatisation

Schéma cinématique (des mouvements)

Uniquement les modUniquement les modUniquement les modUniquement les modèèèèles de liaisons qui permettent de mettre en les de liaisons qui permettent de mettre en les de liaisons qui permettent de mettre en les de liaisons qui permettent de mettre en ééééquation les quation les quation les quation les lois de mouvement.lois de mouvement.lois de mouvement.lois de mouvement.

Exemple d’utilisation : déterminer les lois de mouvement.

On modOn modOn modOn modéééélise le comportement des lise le comportement des lise le comportement des lise le comportement des ééééllllééééments technologiques que lments technologiques que lments technologiques que lments technologiques que l’’’’on veut on veut on veut on veut éééétudier.tudier.tudier.tudier.

Celui que l’on va utiliser pour les

études cinématiques


Hypothèses et définitions

Ch. 4 StatiqueCh. 4 StatiqueCh. 4 StatiqueCh. 4 Statique 4 4 4 4 –––– Principe fondamental de la statique (PFS)Principe fondamental de la statique (PFS)Principe fondamental de la statique (PFS)Principe fondamental de la statique (PFS)

On ne considOn ne considOn ne considOn ne considèèèère que des re que des re que des re que des solides indsolides indsolides indsolides indééééformablesformablesformablesformables....

Un solide ou un systUn solide ou un systUn solide ou un systUn solide ou un systèèèème de solides est en me de solides est en me de solides est en me de solides est en ééééquilibre statiquequilibre statiquequilibre statiquequilibre statique si aucune de ses si aucune de ses si aucune de ses si aucune de ses parties ne se trouve en mouvement par rapport parties ne se trouve en mouvement par rapport parties ne se trouve en mouvement par rapport parties ne se trouve en mouvement par rapport àààà un observateur terrestre.un observateur terrestre.un observateur terrestre.un observateur terrestre.

Un solide ou un systUn solide ou un systUn solide ou un systUn solide ou un systèèèème de solides est me de solides est me de solides est me de solides est àààà llll’é’é’é’état stationnairetat stationnairetat stationnairetat stationnaire ssss’’’’il ne subit il ne subit il ne subit il ne subit aucune variation de vitesse par rapport aucune variation de vitesse par rapport aucune variation de vitesse par rapport aucune variation de vitesse par rapport àààà un observateur terrestre.un observateur terrestre.un observateur terrestre.un observateur terrestre.

Champ dChamp dChamp dChamp d’’’’applicationapplicationapplicationapplication : les lois de la statique s: les lois de la statique s: les lois de la statique s: les lois de la statique s’’’’appliquent dans la majoritappliquent dans la majoritappliquent dans la majoritappliquent dans la majoritéééé des des des des cas, au champ dcas, au champ dcas, au champ dcas, au champ d’’’’observation terrestre, laboratoire, atelierobservation terrestre, laboratoire, atelierobservation terrestre, laboratoire, atelierobservation terrestre, laboratoire, atelier…………

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PFS

On soustrait le solide à son environnement, on modélise les actions extérieures par le torseur des actions mécaniques extérieures.


ΣS1S2 Σ

Σ Σ A

0=

0

F

Un solide est en Un solide est en Un solide est en Un solide est en ééééquilibre statique quilibre statique quilibre statique quilibre statique

Condition nécessaire mais non suffisante pour un système de solides (ex : ciseaux)

Un systUn systUn systUn systèèèème est en me est en me est en me est en ééééquilibre statique quilibre statique quilibre statique quilibre statique chacune de ses parties est en chacune de ses parties est en chacune de ses parties est en chacune de ses parties est en ééééquilibrequilibrequilibrequilibre


Principe des actions mutuelles (réciprocité)

Exemple : deux solides en contact ponctuel


S1S2

Σ

1 1

2 2

Σ Σ

S S

S S

= 0

PFS = 0

= 0

⇒

F

F

F

1 1

2 2

S S

S S

=...

=...

F

F

1 2 2 1S S S S= −F F

S1

S2

18


Cas particuliers du PFS

Solide soumis Solide soumis Solide soumis Solide soumis àààà 2 forces2 forces2 forces2 forces


1F

B

A

Ecrire les conditions d’équilibre du solide au point A…

Solide soumis Solide soumis Solide soumis Solide soumis àààà 2 forces 2 forces 2 forces 2 forces ⇒⇒⇒⇒ Forces colinForces colinForces colinForces colinééééaires, de sens opposaires, de sens opposaires, de sens opposaires, de sens opposéééées, de même normees, de même normees, de même normees, de même norme

2F

PFSPFSPFSPFS


Cas particuliers du PFS

Solide soumis Solide soumis Solide soumis Solide soumis àààà 3 forces coplanaires3 forces coplanaires3 forces coplanaires3 forces coplanaires


B

C

Ecrire les conditions d’équilibre solide au point I intersection des directions de F1 et F2…

Solide soumis Solide soumis Solide soumis Solide soumis àààà 3 forces 3 forces 3 forces 3 forces ⇒⇒⇒⇒ Forces concourantes, de somme vectorielle nulle.Forces concourantes, de somme vectorielle nulle.Forces concourantes, de somme vectorielle nulle.Forces concourantes, de somme vectorielle nulle.

AI1F

2F

3F

PFSPFSPFSPFS

19


Cas général

Pour un systPour un systPour un systPour un systèèèème S, les conditions dme S, les conditions dme S, les conditions dme S, les conditions d’é’é’é’équilibre vont se traduire par :quilibre vont se traduire par :quilibre vont se traduire par :quilibre vont se traduire par :

• Deux équations vectorielles

= 6 équations en projection pour déterminer les paramètres inconnus

• Dans le plan, Il n’y en a plus que trois.


On ne peut rOn ne peut rOn ne peut rOn ne peut réééésoudre le problsoudre le problsoudre le problsoudre le problèèèème que si lme que si lme que si lme que si l’’’’on a autant don a autant don a autant don a autant d’é’é’é’équations que dquations que dquations que dquations que d’’’’inconnuesinconnuesinconnuesinconnues

R.x = 0 M.x = 0

R=0 R.y = 0 et M=0 M.y = 0

R.z = 0 M.z = 0

⇔ ⇔


Choix du système

• Simplicité de mise en œuvre (formulation)

• Recherche des actions inconnues

• Faisabilité de la résolution

Ch. 4 StatiqueCh. 4 StatiqueCh. 4 StatiqueCh. 4 Statique 5 5 5 5 –––– Etude dEtude dEtude dEtude d’’’’un problun problun problun problèèèème de statiqueme de statiqueme de statiqueme de statique

Méthode

• Définir le système isolé

• Bilan des actions extérieures à détailler sous forme de torseur (connues, inconnues, distance, contact)

• Ecrire les équations d’équilibre

• Résoudre le système, déterminer les inconnues.

20


Exemple de résolution graphique


• Effort nécessaire pour couper le boulon

1500 daN

• Liaisons parfaites

Déterminer l’effort de compression sur la vis


2 1F

3 1F

21



1 3F

3 1 1 3F F= −

22


1 3F

2 3F

5 3F


1 2F

3 2F

4 2F

23


2 4F

7 4F

6 4F


6 visF4 6F

24


Exemple de résolution analytique

• Un couple pur s’exerce sur l’arbre récepteur 1.

• Engrenage en C : relation connue entre Fx, Fy et Fz (il suffit d’en connaître une).

• Déterminer toutes les actions sur l’arbre.


r

C

D E

zx

b a

y

Fx

Fy

Fz


Ch. 5 CinCh. 5 CinCh. 5 CinCh. 5 Cinéééématiquematiquematiquematique

25


Définitions

RappelsRappelsRappelsRappels

• Point matPoint matPoint matPoint matéééérielrielrielriel : portion de l’espace pourvue de matière, assez petite pour être considérée comme ponctuelle

• Solide rigide ou indSolide rigide ou indSolide rigide ou indSolide rigide ou indééééformableformableformableformable : domaine D de l’espace contenant un ensemble de points matériels gardant des distances constantes entre eux.

On peut donc installer un repère sur D

• TempsTempsTempsTemps : t supposé s’écouler de manière identique pour tous les solides

CinCinCinCinéééématique matique matique matique : Etude des mouvements indépendamment de leur causes.

Ch. 5 CinCh. 5 CinCh. 5 CinCh. 5 Cinéééématiquematiquematiquematique 1 1 1 1 –––– IntroductionIntroductionIntroductionIntroduction


Mouvement


On aura mouvement de Si/Sj si un des paramètres varie avec t.

L’étude du mouvement se fait en regardant les variations de x(t), y(t)… θ(t)…

Mouvement = notion relative ! Mouvement = notion relative ! Mouvement = notion relative ! Mouvement = notion relative !

On On On On éééétudie le mouvement dtudie le mouvement dtudie le mouvement dtudie le mouvement d’’’’un repun repun repun repèèèère par rapport re par rapport re par rapport re par rapport àààà un autreun autreun autreun autre

Repérage

On utilise des repères orthonormés directs (r.o.n.d = 1 point + 1 base o.n.d)

RepRepRepRepéééérage donnrage donnrage donnrage donnéééé par :par :par :par :

• Pour un point P (dans R0) :

• Pour un solide S1 :

0 0 0 0O P = xx + yy + zz

( ) ( ) ( )( )1 0 1 1 1 1

0

position de O : O O = x O , y O , z O6 paramètres

orientation /R : paramètres d'Euler ou autres

x1

y1

z1

O1

x0

y0 z0

O0

26


Point liPoint liPoint liPoint liéééé ((((àààà un solide ou repun solide ou repun solide ou repun solide ou repèèèère)re)re)re)

Point qui reste fixe par rapport à un solide Sj donné. = point matériel.

Point gPoint gPoint gPoint gééééomomomoméééétriquetriquetriquetrique

Point dont la position est définie géométriquement.

Ex : pt de contact entre 2 solides, intersection de 2 droites…

Point coPoint coPoint coPoint coïïïïncident ncident ncident ncident

Soit M(t) mobile / repère R. A l’instant t, M correspond à un point P de R (fixe dans R).

Le point M de R coïncide avec P à l’instant t.

TrajectoireTrajectoireTrajectoireTrajectoire

Soit Mj mobile dans R. Sa trajectoire dans R est l’ensemble des points coïncidents à Pj dans R.

Différents types de points


P

MRP

t

M+

RP

t + ∆t

M-

PPosition de M(t)

t - ∆t

R

RMj(t)


Vitesse

DDDDééééfinitionfinitionfinitionfinition

Soit P mobile / repère Ri. Sa vitesse est définie par :

Notation compact :

Remarque : Remarque : Remarque : Remarque : Définition indépendante de Oi pourvu qu’il soit fixe dans Ri.

Expression :Expression :Expression :Expression :

Ch. 5 CinCh. 5 CinCh. 5 CinCh. 5 Cinéééématiquematiquematiquematique 2 2 2 2 –––– CinCinCinCinéééématique du pointmatique du pointmatique du pointmatique du point

Oi

PP’

(t)

(t+∆t)

( )i

i∆t 0 ∆t 0

R

PP' ∆P dV P/i = lim = lim = OP

∆t ∆t dt→ →

( )ii

i

dV P = OP

dt

( )ii

i

P P Pi i i

dV P = OP

dt

dx dy dz = x + y + z

dt dt dt

i P i P i P iOP = x x + y y + z z

( ) P PP

• • •i

i i iV P = x x + y y + z z

27


Accélération


Soit P mobile / repère Ri. Son accélération est définie par :

Notation compact :

Expression : Expression : Expression : Expression : àààà partir de celle de partir de celle de partir de celle de partir de celle de

Ch. 5 CinCh. 5 CinCh. 5 CinCh. 5 Cinéééématiquematiquematiquematique 2 2 2 2 –––– CinCinCinCinéééématique du pointmatique du pointmatique du pointmatique du point

Oi

PP’

( ) ( ) ( ) ( )i

i i

i

∆t 0R

V P' - V P dΓ P/i = lim = V P

∆t dt→

( ) ( )i i

i

dΓ P = V P

dt

( )

iiiiV PV PV PV P

( ) P PP

•• •• ••i

i i iΓ P = x x + y y + z z

( )iV P

( )iV P'


Le point B se dLe point B se dLe point B se dLe point B se dééééplace de : place de : place de : place de :

Soit :

Ou :

Relation de champ de moment ! On peut dRelation de champ de moment ! On peut dRelation de champ de moment ! On peut dRelation de champ de moment ! On peut dééééfinir : finir : finir : finir :

Le torseur des petits déplacements :

Petit déplacement d’un solide Sj /Rj

Ch. 5 CinCh. 5 CinCh. 5 CinCh. 5 Cinéééématiquematiquematiquematique 3 3 3 3 –––– CinCinCinCinéééématique du solidematique du solidematique du solidematique du solide

RiA1

∆t

B1 A2 B2 = +B’

A2B2

∆θA1

B1 A2

B’

A22B'B = ∆θ AB∧ ∆θ

1 2 1 2

1 2 2

B B = B B' + B'B

= A A + B'B

j i∆B = ∆A + ∆θ AB∧

j i∆B = ∆A + BA ∆θ∧

j i

j i P

∆θ∆ =

∆P

28


Champ des vitesses


( ) ( )i i ik k k k kV P = V O + P O Ω∧

Vecteur rotationVecteur rotationVecteur rotationVecteur rotation

A partir de la définition :

Notation :

Il vient donc :Il vient donc :Il vient donc :Il vient donc :

( )i kk

∆t 0

kk k

∆t®0 ∆t 0

∆PV P = lim

∆t

∆O ∆θ= lim + P O lim

∆t ∆t

→

→∧

( )ikV O

k iΩ

: vecteur rotation instantan: vecteur rotation instantan: vecteur rotation instantan: vecteur rotation instantanééééeeee

ik i kΩ =Ω

: vecteur rotation instantanée du solide Sk par rapport à Ri


Torseur cinématique

Le champ des vitesses est un champ de moment. est assimilaLe champ des vitesses est un champ de moment. est assimilaLe champ des vitesses est un champ de moment. est assimilaLe champ des vitesses est un champ de moment. est assimilable ble ble ble àààà ....

On définit les vitesses d’un solide par le torseur cinématique :


iiiikkkk

ΩΩΩΩ

RRRR

( ) ( )k

iki

k P i i ik k k k k k k

ΩV =

V P = V O + P O Ω

∧

Equiprojectivité des vitesses

On retrouve cette propriOn retrouve cette propriOn retrouve cette propriOn retrouve cette propriééééttttéééé des champs de moment :des champs de moment :des champs de moment :des champs de moment :

En dérivant par rapport à t :

Soit :

Ex : Bielle manivelle…

( ) ( )i iPQ.V Q = PQ.V P

( ) 2te tekP,Q S , PQ =c PQ = c∀ ∈ ⇒

i

i i

i i

d2PQ. PQ = 0

dt

d dPQ. PO + OQ = 0

dt dt

29


Formule de la base mobile

Vecteur fixe dans Vecteur fixe dans Vecteur fixe dans Vecteur fixe dans RRRRkkkk

Soit Mk et Nk fixes dans Rk :

…

D’où pour fixe dans Rk

Vecteur mobile, cas gVecteur mobile, cas gVecteur mobile, cas gVecteur mobile, cas géééénnnnééééralralralral

Soit mobile dans Rk

Finalement :

Exemple…


kU

ik k k

i

dU = Ω U

dt∧

( ) ( )i i ik k k k kV N = V M + N M Ω∧

Oi

Ok

Mk

Nk

k k kw = xx + yy + zz

i

dw = .......

dt

ik

i k

d dw = w + Ω w

dt dt∧

Oi

Ok

w


A partir du champ des vitessesA partir du champ des vitessesA partir du champ des vitessesA partir du champ des vitesses

Il vient

…

Remarque : Remarque : Remarque : Remarque :

• Ce n’est pas un champ de moment

• Fonctionne pour les points lilililiééééssss (fixes dans Rk)

Champ des accélérations


( ) ( ) ∧

i i ii i ii i ii i ik k k k kk k k k kk k k k kk k k k kV P = V O + P OV P = V O + P OV P = V O + P OV P = V O + P O ΩΩΩΩ

( ) ( ) ( )i i i

k k k k k

i i

d dΓ P = V O + P O Ω

dt dt∧

( ) ( ) ( )i i i i ik k k k k k k k k

i

dΓ P = Γ O + P O Ω + Ω P O Ω

dt∧ ∧ ∧

30


Composition des vitesses Composition des vitesses Composition des vitesses Composition des vitesses

Ri et Rj mobiles l’un par rapport à l’autre

P en mouvement par rapport à Ri et Rj.


On définit trois mouvements : absolu : P / Ri

relatif : P / Rj

entraînement : P de Rj / Ri (vitesse qu’aurait P si fixe dans Rj)

Si P appartient au solide Sk :

Exemples…

Composition des mouvements


( )ii

i

i j j

i i

dV P = OP

dt

d d= OO + O P

dt dt

= ..........

( ) ( ) ( )i j ijV P = V P + V P

( ) ( ) ( )i j ijk kV P = V P + V P


Composition des rotationsComposition des rotationsComposition des rotationsComposition des rotations

On montre facilement que

ConsConsConsConsééééquences : quences : quences : quences :

• Torseur cinématique :



i j ijk kΩ = Ω + Ω

i j ijk k = +V V V

j ii j = −V V

31


Composition des accComposition des accComposition des accComposition des accéééélllléééérationsrationsrationsrations

Ri et Rj mobiles l’un par rapport à l’autre

P en mouvement par rapport à Ri et Rj.


• On définit quatre termes : absolu : P / Ri

relatif : P / Rj

entraînement : P de Rj / Ri (vitesse qu’aurait P si fixe dans Rj)

Accélération de CoriolisCoriolisCoriolisCoriolis (ou complémentaire)

• Si P appartient au solide Sk :



( ) ( ) ( ) ( )i j i i jj jΓ P = Γ P + Γ P + 2Ω V P∧

Oi

Oj

P

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )i j i i j i ij j j j j

i i i

d d dV P = V P + V P V P = V P + V O + PO Ω

dt dt dt⇒ ∧

… démonstration en TD

( ) ( ) ( ) ( )i j i i jj jk k kΓ P = Γ P + Γ P + 2Ω V P∧


TranslationTranslationTranslationTranslation

Sk en translation par rapport à Ri

Remarques : - Torseur cinématique = torseur couple

- Tous les points du solide ont même vitesse

- Tous les points ont même accélération.

- Tout vecteur de Sk reste indépendant du temps.

Rotation autour dRotation autour dRotation autour dRotation autour d’’’’un axeun axeun axeun axe

Sk en rotation par rapport à Ri

Remarques : - Torseur cinématique = torseur glisseur

- En un point M quelconque :

- Trajectoires : cercles centrés sur l’axe, contenus dans ses plans orthogonaux.

- Tous les points ont même accélération.

Mouvements fondamentaux


ikt, Ω =0⇒∀

Ri

RkV

( ) ( )i ik k kP,P' S tq V P = V P' = 0⇒ ∃ ∈

H

Ri P’

P

M

V(M)( ) ( )i i i

k k k

ik

ik

V M = V P + MP Ω

= MP Ω

= MH Ω

∧

∧

∧

trajectoire

32


Cinématique d’un contact entre deux solides

Torseur cinTorseur cinTorseur cinTorseur cinéééématique en un point de contactmatique en un point de contactmatique en un point de contactmatique en un point de contact

Soit I point GEOMETRIQUE de contact entre Sk et Sj

Les torseurs cinématiques de Sk et Sj par rapport à Ri sont :

Qu’en est il entre Sk et Sj ?

On utilise

Vitesse de glissementVitesse de glissementVitesse de glissementVitesse de glissement

Solides indéformables

est la vitesse de glissement au point de contact de Sk et Sj.

Elle est donc contenue dans le plan tangent au contact.

I est REDEFINI à CHAQUE INSTANT. Il n’est ni lié à Sk ni à Sj.


i ijk et V V

( ) ( ) ( )

j i ijk kI

j i ijk k

j i ijk k

=

Ω = Ω - Ω

V I = V I - V I

−

=

V V V

Sj

Sk

n

I

( )jkV I

( )jk V I .n = 0⇒

( )jkV I


Condition de roulement sans glissement

Condition qui exprime que la vitesse relative au point de contacCondition qui exprime que la vitesse relative au point de contacCondition qui exprime que la vitesse relative au point de contacCondition qui exprime que la vitesse relative au point de contact I est nulle :t I est nulle :t I est nulle :t I est nulle :

Exemple :Exemple :Exemple :Exemple :

• Il y a RSG en I.

• Rotation de S1 / S0 : .

Quelle est la vitesse d’avance du moyeu ?


( )jkV I = 0

•

αz

S1

I

1y

α

S0

0y

0x

1x

33


Ch. 6 CinCh. 6 CinCh. 6 CinCh. 6 Cinéééématique des liaisonsmatique des liaisonsmatique des liaisonsmatique des liaisons


Définitions

SystSystSystSystèèèème mme mme mme méééécanique : canique : canique : canique : assemblage de solides.

LiaisonLiaisonLiaisonLiaison

Deux solides en mouvement l’un par rapport à l’autre sont soumis à des liaisons si leurs positions et/ou leurs vitesses sont astreintes à satisfaire des conditions.

DistinctionDistinctionDistinctionDistinction

• Liaisons bilatérales / unilatérales se traduit par des équations / inéquations

• Liaisons holonomes se traduit par des conditions géométriques seulement.

• Liaisons non holonomes se traduit par des relations linéaires entre les vitesses (relations non intégrables directement).

Ch. 6 CinCh. 6 CinCh. 6 CinCh. 6 Cinéééématique des liaisonsmatique des liaisonsmatique des liaisonsmatique des liaisons 1 1 1 1 ---- DDDDééééfinitionsfinitionsfinitionsfinitions

34


Tableau des liaisons normalisées

Liaisons dont le torseur cinLiaisons dont le torseur cinLiaisons dont le torseur cinLiaisons dont le torseur cinéééématique (exprimmatique (exprimmatique (exprimmatique (expriméééé en son centre) prend une en son centre) prend une en son centre) prend une en son centre) prend une forme particuliforme particuliforme particuliforme particulièèèèrererere

On donne pour ces liaisons On donne pour ces liaisons On donne pour ces liaisons On donne pour ces liaisons

• Forme du torseur cinématique de Si / Sj

• mij = degré de mobilité d’une liaison = nb. de ddl qu’elle autorise.

• Lij = degré de liaison = nb. de ddl qu’elle interdit.

Lij = 6 – mij

Chaque liaison normalisChaque liaison normalisChaque liaison normalisChaque liaison normaliséééée peut se traduire par des conditions ge peut se traduire par des conditions ge peut se traduire par des conditions ge peut se traduire par des conditions gééééomomomoméééétriques triques triques triques àààà respecter.respecter.respecter.respecter.

Exemples Exemples Exemples Exemples àààà suivresuivresuivresuivre…………

Ch. 6 CinCh. 6 CinCh. 6 CinCh. 6 Cinéééématique des liaisonsmatique des liaisonsmatique des liaisonsmatique des liaisons 2 2 2 2 –––– Liaisons gLiaisons gLiaisons gLiaisons gééééomomomoméééétriques de basetriques de basetriques de basetriques de base


Mi

Contact ponctuel

= ramener le point = ramener le point = ramener le point = ramener le point OOOOjjjj sur la surface de Ssur la surface de Ssur la surface de Ssur la surface de Siiii....

6 param6 param6 param6 paramèèèètres de position de tres de position de tres de position de tres de position de SSSSjjjj / S/ S/ S/ Siiii sont relisont relisont relisont reliéééés par une s par une s par une s par une ééééquation scalairequation scalairequation scalairequation scalaire

LLLLijijijij = 1= 1= 1= 1

mmmmijijijij = 5= 5= 5= 5


j i iO M.x = 0 i i

i i

M : point de la surface S

x : normale à la surface en M

Oi

ix

jx

Oj

35


Appui plan (ou plane) de normale xi

= = = = OOOOiiii et et et et OOOOjjjj confondus.confondus.confondus.confondus.


i jOO = 0

(équation vectorielle = 3 eq scalaires en projection)

Sphérique (rotule)

i j iOO .x = 0

etj i

j i

j i

x .y = 0 ou x x = 0

x .z = 0

∧

Pivot glissant d’axe xi

i j i

i j i

i j i

OO .y = 0 ou OO x = 0

OO .z = 0

∧

OOOOjjjj ∈ axe xaxe xaxe xaxe xiiii : : : :

xxxxjjjj colincolincolincolinééééaire aire aire aire àààà xxxxiiii : : : :

i j iOO = λx ⇔

j i

j i

j i

x .y = 0 ou x x = 0

x .z = 0

∧

j ix = x ⇔

j ix = x ⇔


Glissière d’axe xi


i jOO = 0

Pivot d’axe xi

et

+ Pas de rotation autour de+ Pas de rotation autour de+ Pas de rotation autour de+ Pas de rotation autour de xxxxiiii

j i

j i

j i

x .y = 0 ou x x = 0

x .z = 0

∧

et

i j i

j i

i j i

OO .y = 0 ou x x = 0

OO .z = 0

∧

j i

j i

j i

x .y = 0 ou x x = 0

x .z = 0

∧

j ix = x ⇔

j iy .y = 1

i j iOO = λx ⇔

36


Rappel

Pour une Pour une Pour une Pour une éééétude cintude cintude cintude cinéééématique on ne prend en compte que les modmatique on ne prend en compte que les modmatique on ne prend en compte que les modmatique on ne prend en compte que les modèèèèles de les de les de les de liaisons qui permettent de mettre en liaisons qui permettent de mettre en liaisons qui permettent de mettre en liaisons qui permettent de mettre en ééééquation les lois de mouvement.quation les lois de mouvement.quation les lois de mouvement.quation les lois de mouvement.

Ch. 6 CinCh. 6 CinCh. 6 CinCh. 6 Cinéééématique des liaisonsmatique des liaisonsmatique des liaisonsmatique des liaisons 3 3 3 3 –––– SchSchSchSchééééma des mouvementsma des mouvementsma des mouvementsma des mouvements


S0 : solide de référence

Si : solide courant du système étudié

Paramètre cinématique

Symbolisme

Le graphe des liaisons est prLe graphe des liaisons est prLe graphe des liaisons est prLe graphe des liaisons est prééééalable alable alable alable àààà llll’é’é’é’étude. Il va permettre de prtude. Il va permettre de prtude. Il va permettre de prtude. Il va permettre de prééééciser :ciser :ciser :ciser :

• Les types de liaisons entre les sous ensembles.

• Le paramétrage.

• Le solide de référence.

Ch. 6 CinCh. 6 CinCh. 6 CinCh. 6 Cinéééématique des liaisonsmatique des liaisonsmatique des liaisonsmatique des liaisons 4 4 4 4 –––– Graphe des liaisonsGraphe des liaisonsGraphe des liaisonsGraphe des liaisons

0

Si

Paramétrage

Les paramLes paramLes paramLes paramèèèètres correspondent aux variables cintres correspondent aux variables cintres correspondent aux variables cintres correspondent aux variables cinéééématiques nmatiques nmatiques nmatiques néééécessaires cessaires cessaires cessaires àààà ddddééééterminer terminer terminer terminer les lois de les lois de les lois de les lois de mvtmvtmvtmvt....

Leur choix, non unique peut avoir une influence sur la facilité de résolution du problème.

( On s’aidera le plus souvent des repères privilégiés des liaisons)

Liaison

Bouclage par équation de liaison

qi

qi

qi

37


Chaînes cinématiques

On peut rencontrer différents types de graphe.

ChaChaChaChaîîîînes ouvertesnes ouvertesnes ouvertesnes ouvertes

Succession de pièces liées à la précédente.

Exemples typiques : manipulateurs, bras de robot…


0 i1 n

0 21 3

θ1

θ2

z

x

S1

S2

S3

x, θ2θ1 z


Chaînes cinématiques

ChaChaChaChaîîîînes fermnes fermnes fermnes fermééééeseseses

On obtient des boucles dans le graphe

Exemples typiques : machines de transformation de mouvement


0 1

θ1

θ2

x

S1

S2

S3

0 21

3

θ2θ1

x

38


ParamParamParamParaméééétrage relatiftrage relatiftrage relatiftrage relatif

Chaque solide est repéré par rapport par rapport par rapport par rapport àààà celui qui le prcelui qui le prcelui qui le prcelui qui le prééééccccèèèèdededede.

On traduit directement (et uniquement) les liaisons entre solides

où dij = degré de mobilité de la liaison i / j.

Paramétrage

Objectif : Objectif : Objectif : Objectif : Déterminer ces lois pour les cas de systèmes à chaînes fermées.

Ch. 6 CinCh. 6 CinCh. 6 CinCh. 6 Cinéééématique des liaisonsmatique des liaisonsmatique des liaisonsmatique des liaisons 5 5 5 5 –––– DDDDéééétermination des lois de mouvementtermination des lois de mouvementtermination des lois de mouvementtermination des lois de mouvement

Pour repérer un solide / un autre, il faut 6 paramètres cinématiques.

ParamParamParamParaméééétrage absolutrage absolutrage absolutrage absolu

Chaque solide est repéré par rapport par rapport par rapport par rapport àààà SSSS0000. Nous avons P solides :

ij paramètres cinématiques = d⇒ ∑ ∑

0

2

1

3

x1 y1 z1

Ψ1 θ1 φ1

x2 y2 z2

Ψ2 θ2 φ2

x3 y3 z3

Ψ3 θ3 φ3

ij Liaisons entre solides : l = L⇒ ∑

paramètres cinématiques = 6P⇒ ∑ peut être long

0

2

1

3

x1 φ1

φ2z3

Ψ3


Degré de mobilité d’un mécanisme

Nombre minimal de mouvements indNombre minimal de mouvements indNombre minimal de mouvements indNombre minimal de mouvements indéééépendantspendantspendantspendants

= nombre de param= nombre de param= nombre de param= nombre de paramèèèètres cintres cintres cintres cinéééématiques indmatiques indmatiques indmatiques indéééépendantspendantspendantspendants

( = rang du syst( = rang du syst( = rang du syst( = rang du systèèèème de L me de L me de L me de L ééééquations quations quations quations àààà 6P inconnues)6P inconnues)6P inconnues)6P inconnues)

En pratique, dans la plupart des cas simples que nous étudierons, avec le paramétrage relatif :


ij ijm = d l

n - l

−

=∑ ∑ n = nombre de paramètres cinématiques

l = nombre d’équations de liaison

39


Méthode de résolution

La méthode proposée permet d’obtenir un système minimum d’équations menant aux lois de mouvement.

Elle s’adresse aux mécanismes à chaînes fermées.

Bouclage par Bouclage par Bouclage par Bouclage par ééééquations de liaisons gquations de liaisons gquations de liaisons gquations de liaisons gééééomomomoméééétriquestriquestriquestriques

A l’intérieur d’une boucle, on substitue une liaison par les équations nécessaires à la reconstituer.

Ex : Bielle manivelle

Bouclage par Bouclage par Bouclage par Bouclage par ééééquations de liaisons de type jointquations de liaisons de type jointquations de liaisons de type jointquations de liaisons de type joint

On substitue une pièce ou un groupe de pièces (que l’on appellera joint) et on traduit les contraintes géométriques correspondantes.

Ex : Bielle manivelle


0 21

3

+ équations

0 21

3

0 1

3

+ équations

0 1

3

2


Ch. 7 DynamiqueCh. 7 DynamiqueCh. 7 DynamiqueCh. 7 Dynamique

40


Notions fondamentalesNotions fondamentalesNotions fondamentalesNotions fondamentales

• Point matPoint matPoint matPoint matéééérielrielrielriel : portion de l’espace pourvue de matière, assez petite pour être considérée comme ponctuelle

• Solide rigide ou indSolide rigide ou indSolide rigide ou indSolide rigide ou indééééformableformableformableformable : domaine D de l’espace contenant un ensemble de points matériels gardant des distances constantes entre eux.

On peut donc installer un repère sur D

• TempsTempsTempsTemps : t supposé s’écouler de manière identique pour tous les solides

• MasseMasseMasseMasse : A chaque point matériel, on peut associer un scalaire positif et invariable au cours du temps. Il représente la quantité de matière du point considéré.

Il permet de caractériser les effets dynamiques et d’attraction universelle.

• ForceForceForceForce : La notion de force est associée aux actions qui agissent sur un point matériel.

Le modèle mathématique de cette action est celui du glisseur.

Dynamique Dynamique Dynamique Dynamique : Etude des relations entre les mouvements et leurs causes.

Ch. 7 DynamiqueCh. 7 DynamiqueCh. 7 DynamiqueCh. 7 Dynamique 0 0 0 0 –––– IntroductionIntroductionIntroductionIntroduction

Introduction


1 1 1 1 –––– Principe fondamental appliquPrincipe fondamental appliquPrincipe fondamental appliquPrincipe fondamental appliquéééé àààà un pointun pointun pointun point

RemarquesRemarquesRemarquesRemarques

• Noter que est homogène à une force.

• Formulation de d’Alembert :

• avec

• Exemple : Lune, fronde…

Soit un point P de masse m.

Le principe fondamental de la dynamique (PFD) permet d’écrire :

: Résultante des efforts sur P

Rg : Repère absolu ou galiléen (supposé exister) où le PFD est vérifié.

( )gF = mΓ P

Rg

Ch. 7 DynamiqueCh. 7 DynamiqueCh. 7 DynamiqueCh. 7 Dynamique

P

F ( )gmΓ P

F

Enoncé

( )gmΓ P

inertieF + F = 0

( )ginertieF = -mΓ P

41


Le PFD est vLe PFD est vLe PFD est vLe PFD est véééérifirifirifirifiéééé seulement dans un repseulement dans un repseulement dans un repseulement dans un repèèèère galilre galilre galilre galilééééen (ou absolu).en (ou absolu).en (ou absolu).en (ou absolu).

Prenons un repère Rk quelconque et écrivons par composition :

Tout repTout repTout repTout repèèèère en translation rectiligne uniforme par rapport re en translation rectiligne uniforme par rapport re en translation rectiligne uniforme par rapport re en translation rectiligne uniforme par rapport àààà un repun repun repun repèèèère re re re galilgalilgalilgalilééééen est lui aussi galilen est lui aussi galilen est lui aussi galilen est lui aussi galilééééen. en. en. en.

Repère galiléen

2 2 2 2 –––– Autres notions nAutres notions nAutres notions nAutres notions néééécessairescessairescessairescessairesCh. 7 DynamiqueCh. 7 DynamiqueCh. 7 DynamiqueCh. 7 Dynamique

( )gΓ P

( ) ( ) ( ) ( )g k g g kk kΓ P = Γ P + Γ P + 2Ω V P∧

( ) ( ) ( )g g g kk ksi Γ P = Ω = 0 alors Γ P = Γ P


Echelle humaineEchelle humaineEchelle humaineEchelle humaine

Exemple : machine

Repère lié à Terre = galiléen.

Echelle terrestreEchelle terrestreEchelle terrestreEchelle terrestre

Exemple : météo

Les effets de la rotation de la Terre sont non négligeables

Repère centré sur Terre et directions des 3 axes pointent vers des étoiles = galiléen.

Echelle planEchelle planEchelle planEchelle planéééétairetairetairetaire

Exemple : système solaire, satellites

Prise en compte des déplacements de la Terre / Soleil.

Repère centré sur le Soleil et pointant vers 3 étoiles = galiléen.

Mécanique à différentes échelles

2 2 2 2 –––– Autres notions nAutres notions nAutres notions nAutres notions néééécessairescessairescessairescessairesCh. 7 DynamiqueCh. 7 DynamiqueCh. 7 DynamiqueCh. 7 Dynamique

( ) ( ) ( ) ( )( )g terre g g terreterre terremΓ P = m Γ P + Γ P + 2Ω V P∧

négligeable

Classifications des actions (rappel)

Actions à distance Actions de contact : intérieures

extérieures

42


Pi

Principe des actions mutuelles (rappel)

Soit un domaine D (= un solide) et un point P de D.

P est soumis à :

Que vaut ?Que vaut ?Que vaut ?Que vaut ?

Ce sont les actions exercées par les autres points du domaine :

Or, principe de réciprocité

i j j i

0 =

0

+

F F

3 3 3 3 –––– Principe fondamental appliquPrincipe fondamental appliquPrincipe fondamental appliquPrincipe fondamental appliquéééé àààà un systun systun systun systèèèèmemememeCh. 7 DynamiqueCh. 7 DynamiqueCh. 7 DynamiqueCh. 7 Dynamique

Torseur des actions mécaniques intérieures

Actions extérieures à D = Actions intérieures à D =

extF

intF

int AF

i j j i

i j j i

P P P PD

int A

i P P j P PD

F +F

F =AP F +AP F

→ →

→ →

∧ ∧

∑

∑

( )i j j i

i j

P P P P i j

i j P P

F + F = 0 donc F colinéaire à PP

AP - AP F = 0

→ →

→

⇒

⇒ ∧

int

0=

0

F

Σ

APj


Torseur des actions mécaniques extérieures (rappel)

Soit un domaine Σ et un point P de ce solide. On définit :

3 3 3 3 –––– Principe fondamental appliquPrincipe fondamental appliquPrincipe fondamental appliquPrincipe fondamental appliquéééé àààà un systun systun systun systèèèèmemememeCh. 7 DynamiqueCh. 7 DynamiqueCh. 7 DynamiqueCh. 7 Dynamique

Torseur dynamique

( )

iiΣ Σ

ext A

i iΣ Σi

FR

= = M A AP F

→

→

∧

∑

∑F

( )

( )

g

Σg

A g

Σ

Γ P dm

= AP Γ P dm

Σ

∧

∫

∫D

Principe fondamental de la dynamique appliqué à un système

gext Σ=F D

Remarque : cas particuliersRemarque : cas particuliersRemarque : cas particuliersRemarque : cas particuliers

Forme particulière quand le torseur dynamique est nul : état stationnaire, statique.

( )gdmΓ P

Σ

A

P

43


Ch. 8 GCh. 8 GCh. 8 GCh. 8 Gééééomomomoméééétrie des massestrie des massestrie des massestrie des masses


1 1 1 1 –––– IntroductionIntroductionIntroductionIntroductionCh. 8 GCh. 8 GCh. 8 GCh. 8 Gééééomomomoméééétrie des massestrie des massestrie des massestrie des masses

Le PFD requiert le calcul du torseur dynamique Le PFD requiert le calcul du torseur dynamique Le PFD requiert le calcul du torseur dynamique Le PFD requiert le calcul du torseur dynamique D....

Celui-ci se calcule à partir d’autres torseurs (cinématique et cinétique). Le calcul du moment dynamique passe notamment par celui du moment cinétique (noter la similarité) :

En un point Oi d’un solide Si, celui-ci s’écrit :

Apparaissent des termes liApparaissent des termes liApparaissent des termes liApparaissent des termes liéééés s s s àààà des caractdes caractdes caractdes caractééééristiques intrinsristiques intrinsristiques intrinsristiques intrinsèèèèques de gques de gques de gques de gééééomomomoméééétrie trie trie trie et de ret de ret de ret de réééépartition de la matipartition de la matipartition de la matipartition de la matièèèère dans le solide. re dans le solide. re dans le solide. re dans le solide.

( ) ( )g

Σ

σ A = AP V P dm∧∫

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

i

i

i i

g gi i i

S

g gi i i i

S

g gi i i i i

S S

σ O = OP V P dm

= OP V O +PO Ω dm

= OPdm V O + OP Ω OP dm

∧

∧ ∧

∧ ∧ ∧

∫

∫

∫ ∫

44


Masse (grandeur scalaire)

On appelle masse dOn appelle masse dOn appelle masse dOn appelle masse d’’’’un systun systun systun systèèèème la quantitme la quantitme la quantitme la quantitéééé ::::

Où D représente le domaine d’intégration : volumique, surfacique, linéique.

Rem. : - unité SI : kilogramme

- Pour la suite, on considère le champ ρ continu par morceaux à l’intérieur de D.

- Si le système comporte un nombre fini de points, on réalise une somme discrète.

2 2 2 2 –––– Grandeurs associGrandeurs associGrandeurs associGrandeurs associéééées es es es àààà la matila matila matila matièèèèrererereCh. 8 GCh. 8 GCh. 8 GCh. 8 Gééééomomomoméééétrie des massestrie des massestrie des massestrie des masses

M= dm∫D

Définition : masse spécifique

( )dε 0

dmρ P =lim

dε→où dε = élément de volume (dV), de surface (dS) ou de longueur (dL)

ρ(P) représente alors la masse volumique, surfacique ou linéique de l’élément considéré.

A tout point P d’un système matériel, on associe le champ ρ(P).


Position du centre d’inertie (grandeur vectorielle)


Soit G le centre d’inertie du domaine D :

Ou, avec les coordonnées :

SystSystSystSystèèèème complexeme complexeme complexeme complexe

Dans le cas d’un assemblage de n systèmes matériels, on peut associer à chaque système Si sa masse Mi et son centre d’inertie Gi.

Il vient :

Exemple : plaque trouée


OPdm

OG = dm

∫

∫D

D

G

DG

G G

DG

G

D

1x = xdm

Mx x

1OP = y ; OG = y y = ydm

Mz z

1z = zdm

M

⇒

∫

∫

∫

i ii

ii

M OG

OG = M

∑

∑

45


Grandeur tensorielle : tenseur d’inertie

DDDDééééfinition dfinition dfinition dfinition d’’’’un tenseurun tenseurun tenseurun tenseur

Dans la théorie des tenseurs, vecteur = tenseur d’ordre 1

• 3 composantes (dans un espace à 3D)

• Matrice colonne, en projectionprojectionprojectionprojection dans une base donnée

• Par changement de base, composantes dans la nouvelle base = combinaisons linéaires des composantes dans l’ancienne base

Tenseur dTenseur dTenseur dTenseur d’’’’ordre 2ordre 2ordre 2ordre 2

• Exemple : tenseur d’inertie = tenseur d’ordre 2.

• 9 composantes, soit une matrice (3x3) en projectionprojectionprojectionprojection dans une base donnée.

• Par changement de base, nouvelles composantes = combinaisons linéaires des anciennes.

• Le tenseur d’inertie est indépendant de toute base.

Mais, pour l’exprimer sous forme de matrice (3x3) il faut le projeter dans une base.



Tenseur d’inertie

UtilitUtilitUtilitUtilitéééé dans ce cours ?dans ce cours ?dans ce cours ?dans ce cours ?

Rappel, nous avons besoin de l’expression :

Nécessité de calculer

Formule du double produit vectoriel :

Application au domaine D :


( )OP Ω OP∧ ∧

( ) ( ) ( )i i

g g gi i i i i i i

S S

σ O = OPdm V O + OP Ω OP dm

∧ ∧ ∧ ∫ ∫

( ) ( )

( )( )

( )

2

2 2

x

2 2y

2 2 z RR

OP Ω OP = Ω.OP - OP Ω.OP

=...

y +z -xy -xz Ω

= -xy x +z -yz Ω

Ω-xz -yz x +y

∧ ∧

( )( )

( )( )

2 2

D D D x

2 2y

D D D Dz R2 2

D D D R

y +z dm -xydm -xzdmΩ

OP Ω OP dm = -xydm x +z dm -yzdm Ω

Ω-xzdm -yzdm x +y dm

∧ ∧

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

46


Tenseur d’inertie

Il vient donc :Il vient donc :Il vient donc :Il vient donc :

I(O,D) est le tenseur dI(O,D) est le tenseur dI(O,D) est le tenseur dI(O,D) est le tenseur d’’’’inertie, calculinertie, calculinertie, calculinertie, calculéééé en O, du solide en O, du solide en O, du solide en O, du solide D

Convention de BinetConvention de BinetConvention de BinetConvention de Binet

Remarques : opérateur symétrique

unités : kg.m²


( ) ( )xx xy xz x

yx yy yz y

Dzx zy zz z RR

I I I Ω

OP Ω OP dm = I I I Ω = I O,D Ω

I I I Ω

∧ ∧

∫

( ) ( )D

I O, Ω = OP Ω OP dm∧ ∧∫D

( )A -F -E

I O, = -F B -D

-E -D C

D


Définitions

Moment dMoment dMoment dMoment d’’’’inertieinertieinertieinertie

On appelle moment d’inertie de D par rapport à ε le scalaire :

d représente la distance du pt. courant à l’élément ε considéré (un point, une droite ou un plan)

Ex. : Moment d’inertie d’une barre homogène par rapport à un axe perpendiculaire passant par son centre de masse.

Produit dProduit dProduit dProduit d’’’’inertie par rapport inertie par rapport inertie par rapport inertie par rapport àààà 2 plans orthogonaux2 plans orthogonaux2 plans orthogonaux2 plans orthogonaux

On appelle produit d’inertie par rapport à P et P’ le scalaire :

où δ (resp. δ’) représente la distance du point au plan P (resp. P’).

Ch. 8 GCh. 8 GCh. 8 GCh. 8 Gééééomomomoméééétrie des massestrie des massestrie des massestrie des masses 3 3 3 3 –––– InterprInterprInterprInterpréééétation des tation des tation des tation des ééééllllééééments de ments de ments de ments de I

2εI = d dm∫

D

PP'I = - δδ'dm∫D

47


avec d²=…

On obtient :On obtient :On obtient :On obtient :

Interprétation du tenseur d’inertie


( )I O,D

( )A -F -E

I O, = -F B -D

-E -D C

D

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xx yy zzI =A= y +z dm ; I =B= x +z dm ; I =C= x +y dm∫ ∫ ∫

D D D

yz zy xz zx xy yxI =I =-D=- yzdm ; I =I =-E=- xzdm ; I =I =-F=- xydm∫ ∫ ∫D D D

Représentent les moments d’inertie de D par rapport aux

axes (O,x), (O,y) et (O,z).

Représentent les produits d’inertie de D par rapport aux plans (O,xz)(O,xy), (O,yz)(O,xy) et (O,xz)(O,yz)

P

Inertie par rapport à un axe quelconque passant par O, connaissant

( )∆I = u.I O, .uD

( )I O,D

2∆I = d dm∫

D

O

∆

u

d


Plan de symPlan de symPlan de symPlan de syméééétrietrietrietrie

Exemple : (O,x,y) plan de symétrie

Certains termes s’annulent

Ixz = Iyz = 0

Solide de rSolide de rSolide de rSolide de réééévolutionvolutionvolutionvolution

Exemple : (O,x) axe de symétrie

Axe de révolution = 2 plans de symétrie perpendiculaires + 2 directions « équivalentes »

Ixz = Iyz = Ixy = 0

Iyy = Izz

Cas de simplifications


O

x

y

z

x

y

z

48


Exprimer le tenseur dExprimer le tenseur dExprimer le tenseur dExprimer le tenseur d’’’’inertie en un point quelconque inertie en un point quelconque inertie en un point quelconque inertie en un point quelconque àààà partir du tenseur en Gpartir du tenseur en Gpartir du tenseur en Gpartir du tenseur en G

Remarques : Pour changer de point, il fautil fautil fautil faut passer par G.

Faire attention aux bases d’expression des grandeurs.

Théorème de Koenig

Ch. 8 GCh. 8 GCh. 8 GCh. 8 Gééééomomomoméééétrie des massestrie des massestrie des massestrie des masses 4 4 4 4 –––– ththththééééororororèèèème de Koenig me de Koenig me de Koenig me de Koenig

( ) ( )( )

D

I A, Ω = AP Ω AP dm et AP=AG+GP

I A, Ω = ...

∧ ∧∫D

D

( ) ( ) ( )

( ) ( )D

I A, Ω = AG Ω AG dm+I G, Ω

= H A,m, +I G, Ω

∧ ∧

∫D D

D D

( )( )

( )( )

2 2

2 2

2 2R

R

m b +c -mab -maca

Avec AG = b H A,m, = -mab m a +c -mbc

c -mac -mbc m a +b

⇒ ∧

A

G


Repère principal d’inertie

La matrice du tenseur est symétrique à coeff. réels. Elle peut être diagonalisée.

Les directions propres sont orthogonales et sont appelées axes principaux d’inertie (ou directions principales).

Les valeurs propres sont appelées moments principaux d’inertie.

Ch. 8 GCh. 8 GCh. 8 GCh. 8 Gééééomomomoméééétrie des massestrie des massestrie des massestrie des masses 5 5 5 5 –––– RepRepRepRepèèèère principal dre principal dre principal dre principal d’’’’inertie inertie inertie inertie

x

y

z

x*

y*

z*

( )R

A -F -E

I G, = -F B -D

-E -D C

D ( )R*

A 0 0

I G, = 0 A 0

0 0 C

D

G G

49



Ch. 9 CinCh. 9 CinCh. 9 CinCh. 9 Cinéééétiquetiquetiquetique

50


L’écriture du PFD nécessite de connaître le torseur associé à l’ensemble des de chacun des points du solide Σ.

CinCinCinCinéééétique tique tique tique : Etude et calcul des grandeurs cinétiques et dynamiques.

On procède par étape en traitant les grandeurs cinétiques (liées aux vitesses) puis en passant aux grandeurs dynamiques (liées aux accélérations).

Ch. 9 CinCh. 9 CinCh. 9 CinCh. 9 Cinéééétiquetiquetiquetique 0 0 0 0 –––– IntroductionIntroductionIntroductionIntroduction

Introduction

( )gmΓ P


dm

Définition, cas d’une masse élémentaire

Soit un point P de masse élémentaire dm.

QuantitQuantitQuantitQuantitéééé de mouvementde mouvementde mouvementde mouvement

La quantité de mouvement est caractérisée par le vecteur suivant :

Moment cinMoment cinMoment cinMoment cinéééétique tique tique tique éééélllléééémentaire en Amentaire en Amentaire en Amentaire en A

Le moment cinétique est le moment de la quantité de mouvement au point considéré :

Ch. 9 CinCh. 9 CinCh. 9 CinCh. 9 Cinéééétiquetiquetiquetique 1 1 1 1 –––– Torseur cinTorseur cinTorseur cinTorseur cinéééétiquetiquetiquetique

( ) ( )g gp P = V P dm P

( )V P

dm

( ) ( )g gPσ A = AP V P dm∧

P( )V P dm

A

( )gPσ A

51


Cas d’un système matériel

Soit un système matériel Σ, constitué d’un ensemble de points matériels.

RRRRéééésultante cinsultante cinsultante cinsultante cinéééétiquetiquetiquetique

M masse totale de Σ

G centre de masse de Σ

Moment cinMoment cinMoment cinMoment cinéééétiquetiquetiquetique

Détermination de la relation entre les moments cinétiques en A et B…

…

Le torseur cinétique satisfait à la relation de champs de moment.


Σ

P ( )V P dm

dm

( )

( )

g gΣ

ΣgΣ

g gΣ

Σ

p = V P dm

σ = AP V P dm

=

∧

∫

∫C

( ) ( )g g gΣ

Σ

p = V P dm = mV G∫

( ) ( ) ( )g g gΣ Σσ A = σ B + AB MV G∧


Théorème de Koenig

Soit Rk un repère en translationtranslationtranslationtranslation par rapport à Rg et centrcentrcentrcentréééé en Gen Gen Gen G.

Théorème de Koenig ≈ « composition » des moments cinétiques.

VarianteVarianteVarianteVariante

Puisque

…


( ) ( ) ( )g k gΣ Σ kσ A = σ A +AG MV G∧

( ) ( ) ( )g k gkV P = V P + V P

( ) ( ) ( )( )g k gΣ k

Σ

σ A = AP V P +V P dm = ...⇒ ∧∫

( ) ( ) ( )k k kΣ Σσ A = σ G + AG MV G∧

( ) ( ) ( )g k gΣ Σ kσ A = σ G + AG MV G∧

52


Calcul du moment cinétique en un point Oi d’un solide Si

Soit Ri le repère associé au solide Si.

On utilise ici la relation du champ des vitesses d’un solide :

Rappel : pour le produit , les deux éléments doivent être dans la même base.

Il est intéressant de choisir un repère où le tenseur d’inertie est de forme simple.


( ) ( ) ( )g g gi i i i i i iσ O = I O , S Ω + OG MV O∧

( ) ( )g g gi i iV P = V O + PO Ω∧

( ) ( )( )i

g g gi i i i i i

S

σ O = OP V O + PO Ω dm = ...⇒ ∧ ∧∫

( ) gi i iI O ,S Ω


Calcul du moment cinétique en un point Oi d’un solide Si : cas particuliers

Cas dCas dCas dCas d’’’’un point fixeun point fixeun point fixeun point fixe

Cas oCas oCas oCas oùùùù OOOOiiii = G= G= G= G


( ) ( )g gi i i i iσ O = I O , S Ω

( )giV O = 0 ⇒

( ) ( )g gi i iσ G = I G, S Ω

iOG = 0 ⇒

53


Forme générale du moment cinétique d’un solide en un point quelconque

Or car Rk est en translation par rapport à Rg

Le moment cinétique en un point est égal à la somme du moment cinétique du solide en G et du moment en ce point de la quantité de mouvement.


( ) ( )k ki i iσ G = I G, S Ω

k gi iΩ = Ω

( ) ( ) ( )g k gi i i (Koenig)σ A = σ G + AG MV G ∧

( ) ( ) ( )g k gi i i iσ A = I G, S Ω +AG MV G∧

( ) ( ) ( )g g gi i i i σ A = I G, S Ω + AG MV G⇒ ∧


dm

Définition, cas d’une masse élémentaire

Soit un point P de masse élémentaire dm.

QuantitQuantitQuantitQuantitéééé dddd’’’’accaccaccaccéééélllléééérationrationrationration

La quantité d’accélération est caractérisée par le vecteur suivant :

Moment dynamique Moment dynamique Moment dynamique Moment dynamique éééélllléééémentaire en Amentaire en Amentaire en Amentaire en A

Le moment dynamique est le moment de la quantité d’accélération au point considéré :

Ch. 9 CinCh. 9 CinCh. 9 CinCh. 9 Cinéééétiquetiquetiquetique 2 2 2 2 –––– Torseur dynamiqueTorseur dynamiqueTorseur dynamiqueTorseur dynamique

( ) ( )g gD P = Γ P dm P

( )Γ P

dm

( ) ( )g gPδ A = AP Γ P dm∧

P( )Γ P dm

A

( )gPδ A

54


Cas d’un système matériel

Si l’on considère un système matériel Σ, les éléments du torseur prennent la forme :

RRRRéééésultante dynamiquesultante dynamiquesultante dynamiquesultante dynamique

Remarque : la résultante dynamique est la dérivée de la résultant cinétique.

Moment dynamiqueMoment dynamiqueMoment dynamiqueMoment dynamique

Relation des champs de moment du torseur dynamiqueRelation des champs de moment du torseur dynamiqueRelation des champs de moment du torseur dynamiqueRelation des champs de moment du torseur dynamique


( )g gΣ

Σ

D = Γ P dm = ...∫

( ) ( )g gΣ

Σ

δ A = AP Γ P dm∧∫

2 2 2 2 –––– Torseur dynamiqueTorseur dynamiqueTorseur dynamiqueTorseur dynamique

Σ

P ( )gΓ P

dmG ( )gMΓ G

( ) ( )g g gΣ

Σ

D = Γ P dm = MΓ G∫

( ) ( ) ( )g g gΣ Σδ A = δ B + AB MΓ G∧


Relation entre moments cinétique et dynamique

Si l’on dérive le moment cinétique…

AttentionAttentionAttentionAttention : dans le cas général, le moment dynamique n’est donc pas la dérivée du moment cinétique


Σ

P

dm


G

( ) ( )( ) ( ) ( )g g g gΣ Σ

g

dδ A = σ A + V A MV G

dt∧

( ) ( ) ( ) ( )( )g g gΣ

g g gΣ Σ

d d dσ A = AP V P dm + AP V P dm

dt dt dt

= ...

∧ ∧ ∫ ∫ ( )gΓ P

( )gMΓ G

55


Calcul du moment dynamique : cas particuliers

Cas dCas dCas dCas d’’’’un point fixeun point fixeun point fixeun point fixe

Cas oCas oCas oCas oùùùù A = GA = GA = GA = G

En pratique, le plus simple est souventEn pratique, le plus simple est souventEn pratique, le plus simple est souventEn pratique, le plus simple est souvent…………

• Calcul du moment cinétique en G

• Calcul du moment dynamique en G

• Relation des champs de moment


Σ

P

dm


G

( ) ( )( )g gΣ Σ

g

dδ G = σ G

dt

( ) ( )( )g gΣ Σ

g

dδ A = σ A

dt

( )gV A = 0 ⇒

( ) ( )( ) ( ) ( )g g g gΣ Σ

g

dδ G = σ G + V G MV G

dt∧ ⇒

( ) ( )g gi i iσ G = I G, S Ω

( ) ( )( )g gΣ Σ

g

dδ G = σ G

dt

( ) ( ) ( )g g gΣ Σδ A = δ B + AB MΓ G∧

( )gΓ P

( )gMΓ G


Ch. 10 Etude dynamique dCh. 10 Etude dynamique dCh. 10 Etude dynamique dCh. 10 Etude dynamique d’’’’un un un un systsystsystsystèèèèmemememe

56


Dans un système, on peut retrouver des éléments qui sont hors des hypothèses de la mécanique des solides indéformables.

Exemple typique : les ressorts.

Ces éléments peuvent souvent conduire à l’écriture d’équations de liaisons supplémentaires. Ces équations sont « expérimentales », on peut les appeler « lois de comportement ».

Elles peuvent faire intervenir les différentes paramètres cinématiques ou actions de liaisons entre les solides.

Ces lois de comportement influencent lCes lois de comportement influencent lCes lois de comportement influencent lCes lois de comportement influencent l’é’é’é’équilibre dynamique dquilibre dynamique dquilibre dynamique dquilibre dynamique d’’’’un systun systun systun systèèèèmemememe

La rLa rLa rLa réééésolution dsolution dsolution dsolution d’’’’un systun systun systun systèèèème dynamique requiert leur me dynamique requiert leur me dynamique requiert leur me dynamique requiert leur éééécriturecriturecriturecriture

Ch. 10 Dynamique dCh. 10 Dynamique dCh. 10 Dynamique dCh. 10 Dynamique d’’’’un systun systun systun systèèèèmemememe 1 1 1 1 –––– Dynamique des liaisonsDynamique des liaisonsDynamique des liaisonsDynamique des liaisons

Lois de comportement


Les ressorts sont des éléments déformables qui relient deux solides Si et Sj.

L’écriture de la loi de comportement du ressort permet d’obtenir le modèle de l’action entre Si et Sj.


Ressort de traction-compression

Pi u Pj

L0

L-L0

j/iF i/jF

• Masse négligeable• L0 longueur au repos (libre)• k raideur (en Newton)• L-L0 allongement

On peut considérer que Si agit sur Sj par l’intermédiaire du ressort.

Il en résulte une action de liaison sous la forme d’un glisseurglisseurglisseurglisseur de résultante :

( )i/j 0 j/iF = -k L-L u = -F

Ressort de torsion

On peut considérer que Si agit sur Sj par l’intermédiaire du ressort.

Il en résulte une action de liaison sous la forme d’un torseur coupletorseur coupletorseur coupletorseur couple de moment :

( )i/j 0 j/iM = -k θ-θ u = -M

j/iM i/jM

• Inertie négligeable• θ0 position angulaire au repos• k raideur (en Newton)• θ - θ0 rotation de Si/Sj selon u

57


L’amortisseur est un élément constitué de deux parties qui contraignent un fluide

visqueux à s’écouler à travers un petit orifice. La viscosité du fluide dissipe alors de

l’énergie.

L’effort dans l’amortisseur est fonction de la viscosité du fluide, de la section des

trous, et de la vitesse d’écoulement dans les trous.


Amortisseur de translation

• Masse négligeable• c coefficient d’amortissement

(en Newton mètre)

Le modèle de l’action de Si sur Sj est celui d’un

glisseurglisseurglisseurglisseur de résultante :

( )( )•

i/j j/i

ij j

F = -cLu = -F

= -c V P .u u

Amortisseur de rotation

Le modèle de l’action de Si sur Sj est celui d’un

torseur coupletorseur coupletorseur coupletorseur couple avec :

( )•

i/j j/i

ij

M = -cθu =-M

= -c Ω .u u

• Inertie négligeable• vitesse de rotation de Sj/Si

• c coefficient d’amortissementθɺ

j/iM i/jM

Pi

L

j/iF

i/jF

Pj

u


Contact ponctuel avec frottement

Efforts dans un contact ponctuelEfforts dans un contact ponctuelEfforts dans un contact ponctuelEfforts dans un contact ponctuel

Le modèle de la liaison ponctuelle est idéalisé

Dans un contact réel, le torseur des actions mécaniques est de la forme :

Les actions de contact entre i et j sont connues de manière expérimentale.

Une des lois classiques est la loi de CoulombUne des lois classiques est la loi de CoulombUne des lois classiques est la loi de CoulombUne des lois classiques est la loi de Coulomb

Elle caractérise les situations de frottement et d’adhérence.


( )i j

i/j Ii j

R =

M I

F

58


Loi de Coulomb

Il y a glissement au contact (et donc Il y a glissement au contact (et donc Il y a glissement au contact (et donc Il y a glissement au contact (et donc frottementfrottementfrottementfrottement) lorsque) lorsque) lorsque) lorsque

Dans ce cas, la loi de Coulomb s’écrit :

avec

L’effort de frottement s’oppose à la vitesse de glissement.

Il y a Il y a Il y a Il y a adhadhadhadhéééérencerencerencerence (pas de mouvement relatif) lorsque (pas de mouvement relatif) lorsque (pas de mouvement relatif) lorsque (pas de mouvement relatif) lorsque

φa définit un cône autour de la normale au contact.

Tant que est à l’intérieur du cône d’adhérence, la vitesse de glissement au contact reste nulle.

RemarquesRemarquesRemarquesRemarques

• F dépend de nombreux paramètres (matériaux, état de surface, lubrification…)

• Généralement φa > φg (explique des phénomènes de « broutage »)

• Ce modèle a un domaine de validité limité


( )

iiiijjjj V I V I V I V I 0000

( )( )

ij

i/j g i/jij

V I T = -f N

V I

( )i/j

g g

i/j

T = tan = f

Nϕ

i/jT

( )

iiiijjjj V I =0 V I =0 V I =0 V I =0

( )i/j

a a

i/j

T < tan = f

Nϕ

i/jF


Exemple pour 1 solide

DDDDééééssssééééquilibre dquilibre dquilibre dquilibre d’’’’une roue : une roue : une roue : une roue : Ecrire le PFD pour une roue S de masse M

Inertie : . Position de son centre d’inertie G : cf. figure.

Actions du moteur sur la roue S :

Liaisons parfaites. Le repère R0 lié au châssis est supposé galiléen.

Ch. 10 Dynamique dCh. 10 Dynamique dCh. 10 Dynamique dCh. 10 Dynamique d’’’’un systun systun systun systèèèèmemememe 2 2 2 2 –––– RRRRéééésolution dsolution dsolution dsolution d’’’’un problun problun problun problèèèème par le PFDme par le PFDme par le PFDme par le PFD

( )Rr

A -F -E

I O, = -F B -D

-E -D C

S

0

moteur/S G

R

0 C

= 0 0

0 0

F

0 rx x=

0y

ry0y

O

59


PFD appliqué à un système

Rappel : nombre de paramRappel : nombre de paramRappel : nombre de paramRappel : nombre de paramèèèètres dtres dtres dtres d’’’’une liaisonune liaisonune liaisonune liaison

Les liaisons normalisées peuvent être définies par la forme caractéristique de leur torseur.

Si on les considère comme parfaites, les liaisons présentent d paramètres cinématiques et 6-d degrés de liaison correspondant aux composantes du torseur d’effort dans la liaison.

Exemple : liaison pivot glissant d’axe x :

Bilan des Bilan des Bilan des Bilan des ééééquations et inconnuesquations et inconnuesquations et inconnuesquations et inconnues

Première étape importante afin d’entreprendre de manière efficace la résolution du problème.


i i

j

i

•

x

ji i/j y yO O

z z RR

ω x 0 0

= 0 0 et = R M

0 0 R M

V F


SystSystSystSystèèèème soluble si le rang du systme soluble si le rang du systme soluble si le rang du systme soluble si le rang du systèèèème de 6P+N me de 6P+N me de 6P+N me de 6P+N ééééquations = M + Lquations = M + Lquations = M + Lquations = M + L

ou, de maniou, de maniou, de maniou, de manièèèère re re re ééééquivalente, si le rang des 6P quivalente, si le rang des 6P quivalente, si le rang des 6P quivalente, si le rang des 6P ééééquations = quations = quations = quations = mmmmcccc + L+ L+ L+ L

PFD appliqué à un système – Bilan inconnues/équations


BILANBILANBILANBILAN

6P équations de dynamique

N équations de liaisons

mc paramètres cinématiques indépendants

L paramètres dynamiques

On applique à chaque solide la PFD, soit un total de 6P 6P 6P 6P ééééquationsquationsquationsquations

L=L=L=L=ΣΣΣΣllllijijijij est le nombre de paramètres dynamiques (efforts de liaison)

Les M paramètres cinématiques sont reliés par

N équations de liaisons de type géométrique ou cinématique

mmmmccccest le nombre de paramparamparamparamèèèètres cintres cintres cintres cinéééématiques indmatiques indmatiques indmatiques indéééépendantspendantspendantspendants

Le système contient M=M=M=M=ΣΣΣΣmmmmijijijijparamparamparamparamèèèètres cintres cintres cintres cinéééématiquesmatiquesmatiquesmatiques

60


A B

PFD appliqué à un système


Notion dNotion dNotion dNotion d’’’’hyperstaticithyperstaticithyperstaticithyperstaticitéééé

• Système isostatique (ou isodynamique)

6P – (mc + L) = 0

Tous les paramètres peuvent être déterminés par les lois de la mécanique.

• Système hyperstatique

6P – (mc + L) < 0

Les seules lois de la dynamique ne suffisent pas à déterminer toutes les paramètres.

Il faut faire appel à d’autre équations (exemple : mécanique des solides déformables)

• Exemple : pompe à barillet

6P = 12 et mc + L = 12

• Autre exemple :

x x

ext/1 y yA

z z

R M

+ = R M

R M

F


Ch. 10 Dynamique dCh. 10 Dynamique dCh. 10 Dynamique dCh. 10 Dynamique d’’’’un systun systun systun systèèèèmemememe 3 3 3 3 –––– DDDDéééétermination des lois de mouvementtermination des lois de mouvementtermination des lois de mouvementtermination des lois de mouvement

Pourquoi dPourquoi dPourquoi dPourquoi dééééterminer les lois de mouvementterminer les lois de mouvementterminer les lois de mouvementterminer les lois de mouvement

Au travers de l’étude dynamique d’un système, la détermination des lois de mouvements est un des objectifs principaux (un autre objectif important est de déterminer les efforts de liaison).

Intérêt : par exemple, étudier la stabilité d’un véhicule, déterminer les modes de vibration d’un système…

Choix du systChoix du systChoix du systChoix du systèèèème minimum dme minimum dme minimum dme minimum d’é’é’é’équationsquationsquationsquations

Si l’on souhaite uniquement les lois temporelles d’évolution des paramètres cinématiques (toutes les inconnues ne nous intéressent pas)

ALORS un nombre restreint d’équations est suffisant. Pas besoin des 6P équations.

Il faut faire le bon choix d’équations parmi les 6P+N équations disponibles…

61


Mécanisme en chaîne ouverte

Exemple : pendule dExemple : pendule dExemple : pendule dExemple : pendule d’’’’EulerEulerEulerEuler

Hypothèse : mécanisme plan

• Graphe des liaisons…

• Bilan inc/eq…

• Ecriture du PFD…

Le système 1+2 et chacun des systèmes 1 et 2 doivent vérifier le PFD

• Quelles sont les équations nécessaires à la détermination des lois de mouvement ?

MMMMééééthode pour le choix du systthode pour le choix du systthode pour le choix du systthode pour le choix du systèèèème minimumme minimumme minimumme minimum

Choix des équations qui mettent en évidence les efforts de liaisons nuls.

Choix facile à effectuer à partir du graphe des liaisons.


yyyy0,10,10,10,1

xxxx1111

y

AAAA

xxxx2222

θ


Mécanisme en chaîne fermée

MMMMééééthode pour le choix du systthode pour le choix du systthode pour le choix du systthode pour le choix du systèèèème minimum me minimum me minimum me minimum (exemple bielle manivelle)

Système minimum (mécanisme plan) :

- Equations de liaison (1 équation vectorielle) : 2

- 3 équations de dynamique


0 21

3

θ2θ1

x

0 21

3

θ2θ1

x+ équations de

liaison

0 21

3

62


Ch. 11 EnergCh. 11 EnergCh. 11 EnergCh. 11 Energéééétiquetiquetiquetique


Puissance des actions appliquées à une particule élémentaire

Soit une particule M en mouvement par rapport à Ri. La puissance développée au cours de son mouvement est donnée par le scalaire :

Unité normalisée : Watt (W)

Remarque à ne pas oublier :

Ch. 11 EnergCh. 11 EnergCh. 11 EnergCh. 11 Energéééétiquetiquetiquetique 1 1 1 1 –––– PuissancePuissancePuissancePuissance

( ) ( )i iM = R.V MP

M

( )iV M

R

( ) ( )i iR V M M =0⊥ ⇒ P

M

( )iV M

R

63


Puissance des efforts extérieurs appliqués à un solide indéformable

La puissance développée par des actions mécaniques extérieures appliquées à un solide D par rapport à un repère Ri est égale à la somme des puissances développées par chacune de ses particules

En introduisant la relation du champ des vitesses du solide :

La puissance dLa puissance dLa puissance dLa puissance dééééveloppveloppveloppveloppéééée par un torseur de par un torseur de par un torseur de par un torseur d’’’’actions mactions mactions mactions méééécaniques extcaniques extcaniques extcaniques extéééérieures appliqurieures appliqurieures appliqurieures appliquéééé àààà un solide un solide un solide un solide est est est est éééégale au gale au gale au gale au comomentcomomentcomomentcomoment du torseur des actions mdu torseur des actions mdu torseur des actions mdu torseur des actions méééécaniques par le torseur cincaniques par le torseur cincaniques par le torseur cincaniques par le torseur cinéééématique.matique.matique.matique.


i ij = → →D D D D

P F V

P

( )iV P

( )f P d

ici d = dV

Ri

ici d = dS

( ) ( )( )i i ij j = f P . V A + PA Ω d

= ...

→ ∧∫D D

D

P

( ) ( )i if P .V P d→ = ∫D D

D

P


Puissance développée dans une liaison intérieure à un système

Soient deux solides Si et Sj en mouvement par rapport à Rg et reliés par une liaison Lij.

La puissance dissipée par la liaison Lij est alors :

Remarques :

• Puissance indPuissance indPuissance indPuissance indéééépendante du reppendante du reppendante du reppendante du repèèèère de rre de rre de rre de rééééfffféééérence.rence.rence.rence.

• Dans le cas gDans le cas gDans le cas gDans le cas géééénnnnééééral, elle nral, elle nral, elle nral, elle n’’’’est pas nulle !est pas nulle !est pas nulle !est pas nulle !

• Cas particuliers oCas particuliers oCas particuliers oCas particuliers oùùùù : LIAISONS PARFAITES: LIAISONS PARFAITES: LIAISONS PARFAITES: LIAISONS PARFAITES

Puissance développée par les actions de cohésion de la matière :

Dans le cas des solides Dans le cas des solides Dans le cas des solides Dans le cas des solides indindindindééééformablesformablesformablesformables, , , ,


( ) ( ) ( ) ( )g g g g gLij i j i i j i j i j j i j = V P .R +Ω .M P + V P .R +Ω .M P

= ...

→ → → →

P

Lij

Rg

Si

Sj

j iLij j i i j i j→ →= =P F V F V

LijLijLijLij = 0 = 0 = 0 = 0P

Pcohésioncohésioncohésioncohésion = 0 = 0 = 0 = 0

i*icohésion cohésion

i*i

=

0 =

0

P F V

V

Si

Si*

i i*R →

i i*M→

64


Travail élémentaire développé par une particule

Soit une particule M en mouvement par rapport à Ri. Le travail élémentaire développépendant un instant dt au cours de son mouvement est donné par le scalaire :

Unité normalisée : Joule (J)

Le travail développé entre les instants t1 et t2 par les actions mécaniques extérieures appliquées à un solide D par rapport à un repère Ri est donné par :

Ch. 11 EnergCh. 11 EnergCh. 11 EnergCh. 11 Energéééétiquetiquetiquetique 2 2 2 2 –––– TravailTravailTravailTravail

( ) ( )i idW P = R.V M dt

P

( )idl = V M dt

R

Pdl

( )f P d

Ri

tttt1111

tttt2222

2

1

t

i ij

t

W = → →∫D D D DF V

Travail des efforts extérieurs appliqué à un solide


Définitions

Energie cinétique élémentaire :

L’énergie cinétique du point P de masse dm par rapport à Rg est représentée par la quantité scalaire :

Energie cinétique d’un système Σ :

Remarque : la somme se fait de manière continue pour un solide ou bien discrète pour un système de solides

Ch. 11 EnergCh. 11 EnergCh. 11 EnergCh. 11 Energéééétiquetiquetiquetique 3 3 3 3 –––– Energie cinEnergie cinEnergie cinEnergie cinéééétiquetiquetiquetique

( ) ( )2

g g1T P = V P dm

2

P

( )gV P

dm

( ) ( )2

g g1T Σ = V P dm

2 Σ∫

65


Théorème de Koenig appliqué à l’énergie cinétique

Soit un solide Si en mouvement par rapport à Rg.

Rk un repère en translation et centré en G.

Soit un solide Si et un point fixe Oi par rapport à Rg.


( ) ( ) ( )( )

g k gk

2g

V P = V P + V P

V P = ...⇒

( ) ( ) ( )2

g k gi i k

1T S = T S + MV G

2

Cas d’un solide ayant un point fixe

( )( )

g gi i

gi

V P = Ω OP

T S =...

∧

⇒

P

( )gV P

( )gMV G

G

Rg

Oi

P

( )gV P

Rk

( )gMV G

Rg

G

dm

( ) ( )g g gi i i i i

1T S = Ω .I O , S .Ω

2


Théorème de Koenig pour un solide

De ce qui précède, il vient :

Exemple : roue de vélo


( ) ( ) ( )2

g k k gi i i i i k

1 1T S = Ω .I G , S .Ω + MV G

2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2g k g

i i ik

k k ki i i i i

1T S = T S + MV G

2

1et T S = Ω .I G, S .Ω

2

Rg

( )gMV G

G

Rk

gkΩ

S1

0x

0y

1x

1y

θ

x

- Masse M- Moment d’inertie de S1 par rapport à (G, z1) : C1

66


Application à un système de solides

A partir d’un principe fondamental de la dynamique appliqué à chaque particule,

on multiplie chaque terme par le vecteur vitesse, il vient :

En distinguant les actions intérieures à D et les actions extérieures à D :

La variation dLa variation dLa variation dLa variation d’é’é’é’énergie cinnergie cinnergie cinnergie cinéééétique galiltique galiltique galiltique galilééééenne par rapport au temps enne par rapport au temps enne par rapport au temps enne par rapport au temps éééégale la somme des puissances gale la somme des puissances gale la somme des puissances gale la somme des puissances galilgalilgalilgalilééééenne des actions menne des actions menne des actions menne des actions méééécaniques intcaniques intcaniques intcaniques intéééérieures et extrieures et extrieures et extrieures et extéééérieures srieures srieures srieures s’’’’exerexerexerexerççççant sur le systant sur le systant sur le systant sur le systèèèème.me.me.me.

Remarque :

Solide indSolide indSolide indSolide indééééformable et liaisons parfaites : formable et liaisons parfaites : formable et liaisons parfaites : formable et liaisons parfaites :

Ch. 11 EnergCh. 11 EnergCh. 11 EnergCh. 11 Energéééétiquetiquetiquetique 4 4 4 4 –––– ThThThThééééororororèèèème de lme de lme de lme de l’é’é’é’énergie cinnergie cinnergie cinnergie cinéééétiquetiquetiquetique

( )g gint ext

d = T Σ

dt+P P

P

( )gV P

( )f P d

Rg

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

g g g

2g g g

g g

f P .V P d = Γ P .V P dm

d d 1= V P .V P dm = V P dm

dt dt 2

∫ ∫

∫ ∫

D D

D D

⇒ intintintint = 0 = 0 = 0 = 0P ( )g gext

d = T Σ

dtP

2011 COURS Meca G Entier

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