~ t u d e des assemblages boulonnCs soumis la flexion gauche

RAFI LOULOU, PIERRE SIBILLE ET JULES HOUDE Departement de genie civil, ~ c o l e polytechnique de Montreal, Campus de I'Universite de Montreal, C.P. 6079,

succursale A, Montreal (Quebec), Canada H3C 3A7

Requ le 17 mai 1991 Revision acceptee le 12 fevrier 1992

Cet article traite du probleme des assemblages boulonnes soumis a I'action simultanee de deux moments flechissants. L'etude s'impose car aucun calcul theorique complet n'a Cte developpi pour l'etude de ce type de joints soumis a la flexion gauche. En fait, les manuels de construction metallique fournissent les formules de verification necessaires et, dans certains cas, proposent des methodes de calcul des contraintes sous des sollicitations diverses. Mais rien n'a ete mentionne quant au probleme de flexion gauche appliquee aux assemblages boulonnes. L'article presente tout d'abord une formulation complete du problkme. Cette formulation se base sur les hypotheses de I'analyse elastique et adopte la theorie classique comme methode de calcul. Puis, un algorithme est propose pour la resolution des systemes d'kqua- tions formulees. Enfin, des courbes d'interaction entre differents efforts sont fournies. Ces resultats servent, d'une part, a valider cette etude et, d'autre part, ?I bvoquer les applications possibles.

Mots cles : assemblage boulonni, flexion gauche, effort axial, analyse Clastique, calcul sur ordinateur.

In this article, the problem of bolted connections subjected to biaxial bending is considered. Such a problem has not, up to now, been treated theoretically. Indeed, structural steel construction manuals normally propose various checking procedures and generally present design methods for connections subjected to various loadings. However nothing is said about bolted connections subjected to biaxial bending. First, a complete theoretical formulation of the problem is presented. It is based on elastic analysis principles and the assembly is treated classically. The resulting system of three equations is reduced to a system of two equations that can be solved numerically through iterative processes included in an algorithm with calculations done on a microcomputer. Interaction curves for various load combination are sup- plied. These results are used to validate the derivation and solve typical applications.

Key words: bolted connection, biaxial bending, axial force, elastic analysis, computing.

Can. J. Civ. Eng. 19, 781-793 (1992)

1. Introduction Le calcul et la verification d'un assemblage boulonne se

ramenent toujours, dans la majorite des normes actuelles, a la determination de l'etat de contrainte dans l'assemblage en ne considerant pas la precontrainte dans les boulons si elle existe. D'oh I'interCt de calculer les contraintes dans le ou les boulons les plus sollicites. La nature et la valeur de ces contraintes dependent du type d'efforts transmis par les pieces assemblees aux joints. Ces efforts peuvent Ctre classes en deux categories : (i) La premiere categorie correspond aux efforts agissant dans le plan de l'assemblage et intro- duisant, ainsi, des contraintes tangentielles dans les boulons. En designant par X et Y les axes principaux de l'assemblage, les sollicitations concernees sont les deux efforts tranchants V, et V, et le moment de torsion M,. La deuxikme catkgorie d'efforts correspond a ceux agissant dans un plan perpen- diculaire a celui de I'assemblage. Les sollicitations concer- nees sont l'effort axial N e t les deux moments flechissants Mf et MfY. Ces efforts introduisent des contraintes normales dans les boulons.

Pour la verification des boulons sollicitCs par ces deux types de contraintes, couplCes ou non, les manuels de cons- truction mktallique canadien (Institut canadien de la cons- truction en acier 1991) et americain (American Institute of Steel Construction 1980) fournissent les formules necessaires a la verification. Mais souvent, ils ne proposent pas de

methodes de calcul quant a la determination de ces con- traintes. La litterature fournit en fait quelques methodes per- mettant le calcul des assemblages soumis a chacune des sol- licitations mentionnees ci-haut, appliquees separement. Certains auteurs comme Ballio et Mazzolani(l983) et Sibille (1981) traitent aussi des cas oh les efforts agissent simulta- nement, par exemple, de la combinaison d'un effort tran- chant et d'un moment de torsion ou de la combinaison d'un effort axial et d'un moment flechissant. Cependant, cer- taines combinaisons d'efforts tels que la flexion gauche n'ont pas fait l'objet de calculs theoriques complets. M&me si les banques de donnees Metadex, Compendex, ISMEC et STN ont Cte consultkes, nous n'avons pas trouve d'article traitant de ce sujet complexe.

La difficulte du probleme reside dans le fait que les sec- tions actives correspondant a chacun des efforts ne sont pas identiques. Donc, une simple addition des contraintes obte- nues separement n'est pas permise. Et c'est l'ensemble des sollicitations qu'il faut considerer. Nous nous interessons alors, dans le present travail, a ce type d'efforts sollicitant un assemblage boulonne.

Dans le but de donner un aspect plus general a l'etude, nous avons aussi tenu compte de la presence d'un effort axial qui vient s'ajouter aux deux moments flechissants. Nous pouvons ainsi traiter les deux cas possibles, a savoir la flexion gauche, avec ou sans effort axial.

NOTA : Les commentaires sur le contenu de cet article doivent Objectifs de I'e'tude Ctre envoyes au directeur scientifique de la revue avant le 28 fevrier Le premier objectif de la presente etude est de mettre en 1993 (voir I'adresse au verso du plat supkrieur). equations toutes les formules necessaires pour definir l'etat Primed In Canada / lmnrimc au Canada

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de contrainte dans un assemblage, sous les sollicitations considkrtes.

Le second objectif est de fournir un algorithme de reso- lution pour les systkmes d'equations formules. Nous pro- posons deux methodes de resolution et justifions le choix des methodes adoptkes.

Enfin, le troisikme objectif, qui est neanmoins aussi important que les deux precedents, consiste a mettre au point un programme de resolution utilisable sur microordinateur. Ce programme va nous permettre de valider l'etude et de fournir plusieurs resultats qui seront prCsentCs sous forme d'abaques. Ces resultats permettent de verifier, avec les con- traintes admissibles approprikes, des connections soumises a des chargements simultanes, alors que jusqu'a maintenant les chargements etaient trait& de facon separee. Actuelle- ment, il n'existe pas suffisamment de donnCes expkrimen- tales sous chargements simultanes pour valider une deriva- tion theorique aux ttats limites.

2. Formulation du probleme 2.1. HypothGses de calcul

Les hypothkses de calcul sont celles de l'analyse Clastique (Massonnet 1968) et s'enoncent comme suit :

(a ) Lors de la rotation de l'assemblage par rapport a son axe neutre, les deformations sont proportionnelles aux dis- tances perpendiculaires a cet axe et les contraintes qui en dtcoulent sont Cgalement proportionnelles a ces distances. Cette hypothkse suppose une rigidit6 infinie de la plaque et se traduit par la relation suivante :

oh a(x, y ) est la contrainte perpendiculaire au plan de la plaque, calculke en un point M de la section active de coor- donnCes x et y; k, une constante de proportionnalite; et d(x, y), la distance la plus courte entre le point Me t la ligne neutre.

(b) La capacitk de l'assemblage est definie comme celle pour laquelle le boulon le plus sollicit6 (qui est necessaire- ment le plus CloignC de l'axe neutre) atteint sa limite de trac- tion admissible a,.

2.2. Mkthode de calcul et justification Comme mCthode de calcul, nous envisageons d'utiliser la

mtthode classique qui a l'avantage de s'appliquer aussi bien aux boulons ordinaires qu'aux boulons a haute resistance. Dans cette mtthode, nous ntgligeons la force de serrage. Nous supposons donc que les Ccrous ont ttC serres de facon a eliminer le jeu entre les pikces assembltes, sans introduire de precontrainte. Cette mkthode de calcul est particulikre- ment interessante lorsque la prtcontrainte des boulons n'est pas requise (pas de charges dynamiques) ou lors de 1'Cvalua- tion des structures existantes sans boulons prkcontraints.

2.3. Domaine d'application de l'e'tude Les assemblages concernts par cette etude doivent Etre

doublement symetriques. Nous ne faisons aucune restriction sur les espacements verticaux ou horizontaux entre boulons. Aucune restriction n'est faite quant aux espacements entre le bord de l'assemblage et la colonne ou la rangee de bou- lons la plus proche. Mais, comme nous l'avons mentionnk ci-haut, ces assemblages doivent Etre symktriques par rap- port a leurs axes principaux de reference. Cette condition, qui est d'ailleurs verifike pour un grand nombre d'assem-

FIG. 1. Definition des paramktres de calcul.

blages existant en pratique, n'affecte en rien l'aspect general de 1'Ctude. On verra, ci-aprb, comment la double symetrie peut simplifier la formulation du problkme.

2.4. Notations principales Nous illustrons et dkfinissons, a la figure 1, certains para-

mktres de calcul. On remarque que nous nous sommes ins- pire des notations matricielles dans I'attribution des divers indices. C'est-a-dire que nous considerons que l'assemblage est form6 de m rangees et n colonnes de boulons. Chaque boulon de l'assemblage est identifie par deux indices. Le pre- mier correspond au numkro de la rangee, le second au numtro de la colonne. Ainsi, un boulon bQ est situe dans la rangte i et la colonne j. Sa position est dkfinie dans le repkre principal (X, Y) par son abscisse xQ et son ordonnee yo, et il est caracttrisk par sa section aQ. La largeur et la hauteur de I'assemblage sont, respectivement, b et h. Nous definissons aussi, a la figure 1, deux paramktres que nous notons c: et c;. Ces paramktres dependent uniquement de la geometric de l'assemblage (b, h, section et disposition des boulons); c: definit la position de l'axe neutre quand Mf, agit seul; c; definit la position de I'axe neutre quand Mfy agit seul.

Les efforts externes sont notts de la facon suivante : N, effort axial (positif si traction, negatif si compression); Mf,, moment flichissant par rapport a l'axe X, Mfy, moment flkchissant par rapport a l'axe Y. En nous basant sur l'hypothkse b, section 2.1, nous pouvons definir les efforts resistants de l'assemblage que nous notons

m n

N,, effort resistant en traction egal a aQa, i = 1 j z l

Mrx, moment agissant autour de X, pour lequel le boulon le plus CloignC de l'axe neutre atteint la contrainte admissible a,

MrY, moment agissant autour de Y, pour lequel le boulon le plus CloignC de l'axe neutre atteint la contrainte admissible a,

Remarque : Dans cette etude, nous considerons que les paramktres m et n associCs a un assemblage quelconque restent invariables d'une rangee a l'autre et d'une colonne

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FIG. 2. Orientation de I'axe neutre selon le signe des moments.

A l'autre. Cela n'empEche pas de considirer le cas de bou- lons manquants dans une rangee ou une colonne, tel que montre A la figure 1 en associant, a chaque boulon man- quant, une section nulle.

2.5. Positions de I'axe neutre h conside'rer La presence de deux moments flkchissants entraine un axe

neutre oblique qui peut avoir plusieurs positions; celles-ci sont illustrees a la figure 2. Du fait de la double symetrie, nous pouvons ne considerer que les positions de la figure 2a. Ces positions, qui sont au nombre de quatre, correspondent aux cas ob les moments flkchissants sont positifs; la zone comprimke est ainsi situee au coin inferieur droit de l'assem- blage. Si l'assemblage est, en outre, soumis a un effort nor- mal, la ligne neutre peut Etre situee en dehors de l'assem- blage. C'est le cas ou le centre de pression est a l'interieur du noyau central. D b lors, 1'Ctat de contrainte dans l'assem- blage est obtenu par application du principe de superposi- tion, puisque la section active est parfaitement definie. Cette section active est constituee soit de la totalit6 des boulons quand il s'agit d'un effort axial de traction, soit de toute la section (bh) lorsqu'il s'agit d'un effort axial de compres- sion. Tel que montrk a la figure 3, l'axe neutre separe la zone comprimee de la partie tendue. La zone comprimee est la partie du joint en contact avec la pikce assemblee. Quant a la partie tendue, elle est constituee des sections transversales des boulons soumis a des efforts de traction. Toutes ces sections constituent la section active de l'assem-

Position 1 Position 2

d t4

Position 3 Position 4

FIG. 3 . Section active pour les diffkrentes positions de la ligne nmeutre.

blage. La position 1 correspond au cas ob Mf est prepon- derant, et la position 3 au cas ob Mfy est p&ponderant. Quant a la position 2, elle correspond au cas oh Mfr et Mf sont de mEme ordre d'importance. La position 4 ne peuf exister que lorsqu'il y a un effort axial de compression. Chacune des quatre positions est definie par les deux para- mktres dl et d2.

2.6. Mise en e'quations ~qua t ions ge'nkrales Pour definir l'etat de contrainte dans l'assemblage, nous

devons connaitre la position de l'axe neutre (paramktres dl et d2) et la constante de proportionnalite k figurant dans l'equation 1 decoulant de l'hypothbe de l'analyse Clastique. Pour determiner les trois inconnues du probleme (k, dl et d,), nous avons besoin de trois equations qui peuvent Etre fournies par 1'Cquilibre des efforts internes avec les efforts externes. Voici la forme gCnCrale des systkmes d'equations A formuler :

ou A, correspond a l'aire de la zone comprimee de l'assem- blage. Les principaux paramktres intervenant dans la mise

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en equations se definissent comme suit : dl et d2, paramk- Position 1 de I'axe neutre tres difinissant la position de l'axe neutre; k, constante de En se referant aux figures 3 et 4a, les expressions neces- proportionnalitk; a, angle d'inclinaison de I'axe neutre par saires a la formulation sont les suivantes : rapport A l'un des axes de reference de l'assemblage; M(x, y), un point appartenant a la surface active, de coor- donnees (x, y); d(x, y), distance du point M(x, y ) a l'axe equation de l'axe neutre : neutre (positive dans la zone en traction, negative en zone de compression); a(x, y), contrainte au point M(x, y) (posi- [3] y = p ( ~ ) = ---

1

(' b x + T ( d 2 + dl - h) tive si traction, negative si compression).

distance d'un point M(x, y ) a l'axe neutre

[4] d(x, y ) = cos a 1 [y - ( ) - - (d2 + dl - 2

contrainte en un point M(x, y ) de la surface active :

ou a = arctan (v). Systbme d'kquations associk a la position 1 - En designant par n* le nombre de colonnes comprenant des boulons

tendus et par p(j) le nombre de boulons tendus dans la colonne j , le systkme d'equations s'kcrit

d2 - dl [6] k cos a(: ;=: [yu - - b xc - - 1 (d2 + dl - h) a-y- - - d: + di + dld2(dl + d2)

;= 1 2 ] 264 [ - 2h(df + dld2 + d;)

De la mEme faqon, et en se referant aux figures 3, 4b, 4c et 4d, nous pouvons fournir les systkmes d'equations associes aux positions 2, 3 et 4 de la ligne neutre. Une derivation complkte peut Etre trouvie dans Loulou (1991).

Position 2 de I'axe neutre

oc a = arctan (2).

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Position

FIG. 4. Positions de la ligne

3 de I'axe neutre

neutre et leurs parametres correspondants.

Le paramktre m* designe le nombre de lignes comprenant des boulons tendus, et p ( i ) represente le nombre de boulons

tendus dans la ligne i , I'angle a Ctant Cgal a arctan

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Position 4 de l'axe neutre

k cos cr (5 IYjj - (")x.. - bdl + hd2 - 2dld2 ( b - d2)(h2 + hdl + d:) j= I b - d 2 " 2(b - d2)

]ajj - 6

- hd2(hb - d,d2) 2(b - d2)

h - d l [9] k cos cr (5 , = I 'f) ; = I [ y jj - (-)x.. b - d 2 " - bdl + hd2 - 2dld2 I a , . .. - ( b - d2)(d7 - hd: - h2dl - h3)

2(b - d2) ,J', 24

12

3. RCsolution des Cquations 3.1. Principe de rkso[ution

Nous venons de definir quatre systkmes d'equations qui ont la forme generale suivante :

I k cos a Fi(d1 , d2) = N

[lo] k cos cr Gi(d l , d2) = Mfx { [ k cos a Hi(d l , d2) = Mfy

Notons que F', G' et H' (I'indice i faisant reference a la position consideree de l'axe neutre) sont des fonctions non liniaires en d l et d2 et que le parametre k apparait toujours comme une variable de premier degre.

Le fait que k soit du premier degre nous offre la possibi- lit6 de l'iliminer et de reduire le systkme de trois equations a deux Cquations a deux inconnues dl et d2. Nous avons inter& a Climiner la constante de proportionnaliti k pour trois raisons essentielles : ( i ) economie du temps de calcul; (ii) simplification de l'algorithme de risolution; (iii) besoin d'avoir un critkre de transfert, c'est-a-dire un ensemble de tests qui vont nous permettre de passer d'un systkme d'iqua- tions a un autre, car pour des valeurs bien dkterminees de Mf,y et Mfy, nous n'avons aucune idee de la position de l'axe neutre et nous ne savons pas quel systkme choisir. Db lors, nous choisissons, au debut, un systkme d'une faqon plus ou moins arbitraire et, a chaque paire de valeurs obte- nues pour d l et d2, nous verifions que ces valeurs corres- pondent a l'hypothbe faite sur la position de l'axe neutre.

Nous changerons de systkme d'kquations si nous nous rendons compte que d l ou d2 ne fait plus partie de son domaine d'appartenance. Nous definissons ci-dessous les nouveaux systkmes d'iquations a rksoudre.

SystPmes d'kquations 1, 2 et 4 Mfr etant non nu1 dans le cas des positions 1, 2 et 4 de

la ligne neutre, nous pouvons ecrire, a partir de la deuxieme equation du systkme 10

[ l l ] k cos cr = Mf,

G'(d1, d2) (G1(dl , d2) est necessairement non nu1 puisque Mfy, k et cos cr sont non nuls).

En remplaqant k cos cr par dans les deux G'(d1, d2)

autres equations du systkme 10, nous definissons le nouveau systeme d'equations ne faisant intervenir que d l et d2.

~ ' ( d , , d2) = M ~ G ' ( ~ I , d2) - NGi(dl, d2) = 0

1 2 ( - f O

~ ' ( d , , d2) = M, Hi (d1 , d2) - M ~ ? G ' ( ~ , , d2) = 0 - f O

SystPme d'kquations 3 Nous procedons de la m&me faqon que precedemment,

mais en exprimant k cos cr en fonction de Mfy (Mfy etant non nu1 dans le cas de la position 3 de la ligne neutre). Par

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TABLEAU 1 . Valeurs initiales de d, et d,

Position

Newton-Raphson, (d,,d:) ( f c , ; , ; ~ ; ) ( f b , f h ) (;c;,$) -

Levenberg-Marquardt, (d?, d3 ( f h , 5h) ( f b , i h ) ( g b . :b) ( i h , i b )

un raisonnement analogue au precedent, nous obtenons le systkme d'equations associe a la position 3 de I'axe neutre.

1131 k cos a = MfY

ff3(dl, d2)

[ s3(d1, d2) = M f Y ~ ' ( d l , d2) - Mf/ff3(d1, d2) = 0 - Z 0

Nous nous limitons donc, en premier lieu, a la resolution du problkme geomitrique qui consiste a positionner l'axe neutre (definir les paramktres dl et d2). En deuxikme lieu, nous dkterminons la constante k a I'aide de la troisikme equation du systkme correspondant.

3.2. Particularite' de chaque type d'effort axial Pour pouvoir justifier le choix des methodes de resolu-

tion, il est essentiel de mentionner la particularite de chaque type d'effort axial. Pour ceci, nous distinguons les deux cas suivants, a savoir I'effort nu1 ou de traction et l'effort de compression. Tout d'abord, mentionnons que l'effort axial nu1 ou de traction ne fait intervenir que les trois premikres positions de I'axe neutre (positions 1, 2 et 3) alors que l'effort de compression fait intervenir les quatre. Ensuite, on remar- que que l'application d'un effort de compression fait aug- menter la surface de contact A, et, de ce fait, l'estimation des valeurs initiales de d l et d2 se trouve a Etre affectee selon que nous effectuons la resolution pour la traction ou la compression.

3.3. Me'thodes de resolution adoptees Les equations que nous avons a risoudre sont de la forme

oh R' et S' sont deux fonctions non lineaires en dl et d2. I1 s'agit donc d'appliquer une methode de resolution de

systkmes non lineaires pour la determination des inconnues dl et d2. Pour ceci, plusieurs methodes iteratives ont ete decrites dans la littkrature et nous choisissons de presenter deux algorithmes qui peuvent s'adapter numeriquement a la particularite de chaque type d'effort axial.

I . Methode de Newton-Raphson (Mathews 1987) Nous adoptons cette mkthode pour le cas de flexion gau-

che avec un effort axial nu1 ou de traction. Cet algorithme

converge genkralement bien a condition d'amorcer le pro- cessus de calcul par un bon estime des valeurs initiales de dl et d2. En fait, pour ce type d'effort axial, nous pouvons fournir de bonnes valeurs initiales pour d l et d2, car la zone comprimee est assez rkduite (d l et d2 sont en general gou- vernes par les paramktres ci et c,!).

2. Methode de Levenberg-Marquardt (Gourdin et Boumahrat 1989)

La convergence de l'algorithme de Newton-Raphson ne peut Etre assurke que lorsque les valeurs initiales de dl et d2 sont assez proches de la solution exacte. I1 s'avbe donc que l'utilisation de cet algorithme pour le cas de la compres- sion n'est pas possible car, comme nous l'avons mentionne au paragraphe 3.2, l'application d'un effort de compression augmente la surface de contact A, et rend difficile l'estima- tion des valeurs initiales de d l et d2. Nous changeons alors de methode pour le cas de la compression et choisissons l'algorithme de Levenberg-Marquardt, lequel a l'avantage de converger a partir d'estimes qui peuvent Etre eloignks de la solution exacte. En resume, nous avons tenu compte des conditions de convergence et de la performance de chacun des algorithmes pour le choix des methodes de resolution. L'algorithme de Newton-Raphson reste trks performant, mais son application se limite au cas de l'effort axial nu1 ou de traction. L'algorithme de Levenberg-Marquardt est moins performant (moins rapide) mais garde l'avantage d'avoir une convergence certaine pour l'etude du cas de la compression.

Nous prksentons, a la figure 5, I'algorithme de Newton- Raphson ayant permis l'obtention des resultats presentes a la section 4. Et nous referons le lecteur au livre de Gourdin et Boumahrat (1989) pour les details concernant l'algorithme de Levenberg-Marquardt. Toutefois, il est important de trai- ter certaines etapes de resolution communes aux deux algorithmes.

Initialisation - Nous fournissons, au tableau 1, les valeurs initiales adoptees pour chaque position d'axe neutre. Ces valeurs changent selon le type d'effort axial applique. Dans I'algorithme de Newton-Raphson, nous trouvons les valeurs correspondant au cas de l'effort axial nu1 ou de trac- tion. Et nous trouvons, dans l'algorithme de Levenberg- Marquardt, les valeurs correspondant au cas de la compression.

Identification des boulons tendus - Cette procedure determine soit les entiers n* et les p(j) correspondants (cas des systkmes 1, 2 et 4), soit les entiers m* et les p ( i ) corres- pondants (cas du systkme d'equations 3). Pour ce faire, nous calculons, pour chaque boulon de l'assemblage, sa distance

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FIG. 5. Resolution par I'algorithme de Newton-Raphson.

Dkbut

1 Initialisation : d, - d!

-1 I Identification des boulons tendus

r 1 Calcul du jacobien

Calcul du second membre

1 Rksolution - 6d',, 6d;

d;+', d;+' oui

a I'axe neutre d(xU, yo) et nous verifions le signe de cette systkmes d'equations a rboudre. Dans l'algorithme de derniere. Newton-Raphson (fig. 6) , nous amorCons le processus de

4

I dI+' = d; + 6 4 1

Si d(xij , yij) > 0 - bU E la partie tendue

T

Si d(xU, yij) I 0 - bU $ la partie tendue

Ainsi, a chaque iteration, nous pouvons identifier tous les boulons tendus intervenant dans les equations d'equilibre. Ceci consiste a redifinir le systkme d'equations a resoudre a chaque fois qu'apparaissent deux nouvelles valeurs de dl et d2.

Test de convergence C/6d/ / < E - Nous fixons E = lo-' mm comme valeur acceptable d'erreur. Nous arrCtons les iterations si le test de convergence est verifie, sinon, nous passons a I'itkration suivante aprks avoir fait les corrections ntcessaires, soit df" = df + 6d;. Les 6df sont les ame- liorations que nous pouvons apporter aux valeurs de dl et d2 a I'itkration r. I1 reste une autre verification a faire avant de continuer les iterations, car chaque valeur df de l'itkra- tion r doit appartenir a son domaine. Si la condition n'est

oui

pas verifiee, nous faisons le transfert a un autre systkme d'eauations.

dl, dz

calcul en choisissant, en fonction des rapports Mfx/Mrr et Mfy/Mry, de solutionner soit le systkme d'equations 1 soit le systkme d'equations 3. A chaque iteration, nous devons verifier si d l et d2 appartiennent a leur domaines respectifs (d ; E D;). Les domaines d'appartenance de dl et d2 ( [ O , h] et [ O , b ] ) sont definis selon la position d'axe neutre consi- dCrCe. Si nous nous rendons compte que di n'appartient pas a Di, nous transferons les calculs au systkme d'equations 2. A la figure 7, nous illustrons le principe du choix du systkme d'equations pour l'algorithme de Levenberg-Marquardt. Si Mfr est non nul, nous commenCons par solutionner le systkme d'equations 1 . Nous continuons les iterations s'il y a convergence et nous transferons les calculs a un autre systkme d'equations si dl ou d2 n'appartient plus au domaine qui lui est assign& L'ordre de transfert suit les numeros attribues aux systkmes d'equations a savoir 2, 3 et 4. Si par contre Mf est nul, nous solutionnons directe- ment le systkme d7eq;ations 3.

Envoi B un autre systhme d'kquations

1- Fin

4. Validation et resultats Choix du systkme d'kquations a rksoudre - Les figures 6 La rksolution dont nous venons de presenter les algo-

et 7 montrent les critkres de transfert pour le choix des rithmes, se fait a I'aide d'un programme utilisable sur

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Calcul de dl, d2

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FIG. 6. Criteres de transfert dans l'algorithme de Newton-Raphson.

Systhme 3

microordinateur. Ce programme va nous permettre, d'une part, de valider I'etude qui sous-entend la validation des equations formulees. D'autre part, il servira a tracer des courbes d'interaction entre differents efforts pouvant solli- citer un assemblage. On verra que ces rksultats peuvent aussi ttre un moyen de validation. Notons que les resultats que nous presentons dans cette section concernent les sept modkles d'assemblages illustres a la figure 9.

Systbme 1

4.1. Test de validation I1 est evident que la verification doit tout d'abord se faire

sur les paramktres (d l et d2), definissant I'axe neutre, et non pas sur les contraintes dans les boulons. Ces dernikres dependent d'un resultat prkliminaire de calcul qui consiste a dkfinir dl et d2. Nous verifions ensuite que plus le boulon est CloignC de l'axe neutre, plus il est sollicitk. Nous donnons ci-dessous les Ctapes de validation :

(i) Commencer par verifier les positions de l'axe neutre quand Mfx et Mry agissent separement. Nous considerons donc les combinaisons d'efforts (Mfx # 0; Mfy = 0) et (MfY # 0; Mfx = 0).

(ii) Faire augmenter graduellement le rapport Mfy /Mfi de facon a balayer toutes les positions possibles de l'axe neutre et a verifier tout particulierement le passage corres- pondant de la position 1 a la position 2, comme le montre la figure 8, a une position intermediaire qui peut Etre solu- tionnee aussi bien par le systkme 1 que par le systkme 2. La mEme verification doit Etre faite pour le passage de la posi- tion 2 a la position 3. Cette position intermediaire peut Ctre solutionnee par l'un ou l'autre des systkmes 2 et 3. Enfin,

1 Systhme 2

nous faisons la dernikre verification (position 1 a 4) qui, en presence d'un effort axial de compression, fait intervenir les deux systkmes d'equations 1 et 4.

4.2. Presentation des resultats pour un exernple L'exemple traite d'un cas de flexion gauche sans effort

axial. Les combinaisons considtrees de (Mf/Mrx, Mfy/M,,) fournissent les trois categories d'axe neutre possibles. Nous mentionnons, a la figure 10, les trois combinaisons d'efforts choisies et nous reprbentons, pour un assemblage typique, l'etat de contrainte associk a chacune de ces combinaisons. (Les contraintes sont exprimees en megapascals, les distan- ces en millimktres, et la section est la mtme (= 314 mm2) pour tous les boulons de l'assemblage.)

4.3. Courbes d'interaction Nous traitons, dans ce paragraphe, de l'interaction entre

differents efforts pouvant solliciter un assemblage. Pour ceci, nous choisissons un echantillqnnage de sept assembla- ges ayant des paramktres geomitriques varies (voir fig. 9) et nous representons les courbes d'interaction pour les com- binaisons d'efforts considiries. Des paramktres que nous avons fait varier, nous citons : (i) le nombre de boulons dans un assemblage; (ii) le rapport b/h; (iii) l'espacement hori- zontal entre boulons; (iv) l'espacement vertical entre bou- lons; et (v) l'espacement correspondant a la distance qui separe le bord de l'assemblage de la rangee ou de la colonne de boulons la plus proche.

Courbes d'interaction (M fx, M fy) La figure 11 represente les courbes d'interaction entre

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Systerne 1 r non , 1

FIG. 7 . Critkres de transfert dans l'algorithme de Levenberg-Marquardt.

oui

Systerne 3

11

o ui -

Systkme 4

-

moments flechissants pour les sept differents assemblages choisis. Ces courbes ont la mCme allure et chacune d'elles peut Ctre exprimee approximativement par une equation de la forme

-

Le tableau 2 montre, pour chaque assemblage, les valeurs prises par p determinees par regression non linkaire (Cody et Jeffrey 1987) sur l'ensemble des 40 points de la courbe correspondante. Au mCme tableau et dans la troisikme colonne, figurent les valeurs correspondant a la somme des carrks des erreurs. Ces valeurs, trks proches de zero, nous permettent de conclure que la regression est assez significa- tive. Enfin, dans la quatrikme colonne, nous exprimons les valeurs de p pour un intervalle de confiance egal a 95 '70.

Remarque : En se referant a la figure I 1, on remarque que les courbes d'interaction se trouvent au-dessus de la droite d'kquation

-

Nous concluons donc, que la contrainte due a l'action simul- tanee de deux moments flechissants est inferieure ou egale a la somme des contraintes calculees separement. Cette cons- tatation se traduit par

gG. VOL. 19, 1992

FIG. 8. Positions particulieres de l'axe neutre.

Courbes d'interaction (N, Mfx) Les courbes d'interaction (N, Mfx) sont representees a la

figure 12. Ces courbes associees aux sept differents assem- blages presentent un aspect lineaire avec un point anguleux dQ a un changement de pente entre la partie 1 et la partie 2 de la courbe. Ce point anguleux correspond au passage du centre de pression de l'interieur vers l'exterieur du noyau central. Notons que l'interaction (N, MfY) presente la m&me allure que celle obtenue a la figure 12.

Commentaire : L'ensemble des courbes d'interaction effort normal de traction - moment flechissant dkcrit un fuseau qui peut Ctre idealist par une courbe constituee de deux segments de droite ayant pour equations :

Nous changeons Mfx/MrI par MfY/MTY quand il s'agit d'un moment qui agit autour de l'axe Y. L'kquation 19 reprksente en fait l'interaction effort normal de traction - moment flechissant quand l'axe neutre est en dehors de l'assemblage. Ce cas (axe neutre en dehors de I'assemblage) ne prtsente aucune difficulte pour le calcul. La determina- tion de l'etat de contrainte se reduit a une application directe du principe de superposition.

L'kquation 20 nous parait plus interessante. Elle met en evidence l'interaction effort normal de traction - moment flechissant quand l'axe neutre est a l'interieur de l'assem- blage (centre de pression Cp a l'exterieur du noyau central). Dans ce cas, la determination de I'etat de contrainte ne peut plus decouler d'une application directe de formules et nous devons necessairement passer par la formulation et la reso- lution des equations appropriees. Ceci constitue un effort non negligeable de calcul pour le concepteur. Alors, l'equa- tion 20 peut servir a une verification prkliminaire de l'assem- blage avant de passer a la determination exacte de 1'Ctat de contrainte dans les boulons. Notons enfin que, pour les sept

assemblages, la difference A - entre l'equation 20 et les (3 valeurs rtelles se limite A 0,03. ~ e c e fait, l'equation consti- tue une bonne approximation des valeurs reelles.

Courbes d'interaction (N, Mfx, Mf) Nous avons choisi le modkle d'assemblage A3 pour don-

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FIG. 9. Geometric de sept rnodkles d'assernblages.

ner l'allure des courbes d'interaction entre les differents efforts N, Mfx, Mfy pouvant solliciter l'assemblage. Nous illustrons, a la figure 13, l'interaction (Mf , Mfy) pour dif- ferent~ rapports de N/N,. Remarquons que ies courbes gardent la m&me allure pour de faibles rapports de N/N, (centre de pression a l'exterieur du noyau central) et qu'elles se ramknent a des courbes se rapprochant de la loi lineaire pour des rapports plus grands de N/N, (cas ou le centre de pression est a l'interieur du noyau central).

5. Conclusion Cet article presente une analyse Clastique avec une solu-

tion thkorique complkte du problkme traitant des assem- blages boulonnes soumis B une flexion gauche avec ou sans effort axial. L'Ctude a consiste a envisager tous les cas pos- s ible~ d'un axe neutre oblique et a developper les systkmes

d'equations correspondants. La mise en equations a ete suivie par la presentation de deux algorithmes de rbolution. Le premier, celui de Newton-Raphson, est a la fois un algo- rithme simple et performant, mais ses applications se limitent au cas de l'effort axial nu1 ou de traction. Cet algorithme ne converge que lorsque les valeurs initiales sont assez proches de la solution exacte. Le deuxikme algorithme (Levenberg-Marquardt) traite du cas de flexion gauche avec effort axial de compression. Bien que moins performant que le premier, cet algorithme presente l'avantage de converger a partir d'estimks qui peuvent Ctre eloignes de la solution exacte. La resolution, faisant appel a un processus iteratif de calcul, a necessite l'klaboration d'un programme utilisa- ble sur microordinateur. Ce programme a servi, d'une part, a la validation et, d'autre part, a l'etude de l'interaction entre difftrents efforts pouvant introduire des contraintes nor- males dans les boulons. Une application possible de notre etude consisterait a utiliser ces courbes d'interaction pour

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792 CAN. J. CIV. ENG. VOL. 19, 1992

Position 1 Position 2 Position 3

-49,4 MPa

P=I 7 -66,3 MPa M I

-60,l MPa

pour or = 240 MPa, Mrx = 91,6 kN.m ; Mry = 83,9 kN.m

FIG. 10. Contraintes dans les boulons sous l'action de flexion gauche sans effort axial de traction.

(I) -- centre de pression a I'intbrieur du noyau central

(2) --centre de pression a I'extkrieur du noyau central

F I G . 1 1 . Courbes d'interaction ( M f x , M f Y ) . F I G . 12. Courbes d'interaction de force axiale et de moment

flechissant (N, MG) .

developper des formules approximatives ou des abaques per- tant de ce genre de problkmes, de realiser des essais et de mettant de calculer la contrainte dans le boulon le plus sol- comparer les resultats experimentaux avec ceux obtenus dans licite sous l'action simultanee de plusieurs efforts. I1 serait notre etude. Enfin, il convient de mentionner qu'une legkre aussi interessant, afin de doter la litterature de donnees trai- modification des equations d'equilibre permettrait une

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LOULOU ET AL. 793

FIG. 13. Courbes d'interaction (Mfx, MfY) pour diffkrents rapports de (N, Nr).

TABLEAU 2. Valeurs de p dans l'equation 16

Assemblage p SCE IC a 95 %

NOTA : SCE, sornrne des carris des erreurs; lC, intervalle de confiance.

analyse Clastique des plaques d'assise des poteaux ou des sections en bCton arm6 soumises a une flexion gauche. La modification a apporter doit tenir compte de la prCsence de deux matCriaux diffkrents (acier et biton) formant la sec- tion active.

Remerciements Les auteurs voudraient remercier le DCpartement de gCnie

civil de 1 '~cole polytechnique de MontrCal et le Conseil de recherches en sciences naturelles et en gCnie du Canada (sub- vention no A8937) pour leur support financier.

Cody, R. P., et Jeffrey, K. S. 1987. Applied statistics and the SAS programming language. North-Holland, New York.

Gourdin, A., et Boumahrat, M. 1989. MCthodes numkriques appli- quCes. Technique et Documentation, Paris.

Institut canadien de la construction en acier. 1991. Handbook of steel construction. Se id . Institut canadien de la construction en acier, Willowdale.

Loulou, R. 1991. Etude des assemblages boulonnes soumis,a la flexion gauche. Memoire de maitrise i s sciences appliquees, Ecole polytechnique, UniversitC de MontrCal, MontrCal.

Mathews, H. J. 1987. Numerical methods for computer science, engineering, and mathematics. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs.

Massonnet, C. 1968. RCsistance des matiriaux. Tome 1. Dunod, Paris.

Sibille, P. 1981. Cours de constructions mktalliques. 11. ~ c o l e poly- technique, UniversitC de MontrCal, Montreal.

x, X' Y Xij

Yij a

Liste des symboles aire de la zone comprimCe de l'assemblage aire du boulon bij largeur de l'assemblage boulon situC a la rangCe i et la colonne j parametre difinissant l'axe neutre quand MCe agit seul paramktre dkfinissant l'axe neutre quand Mfy agit seul distance du point M(x, y ) a l'axe neutre paramktres difinissant la position de l'axe neutre centre de gravitC de l'assemblage hauteur de l'assemblage constante de proportionnalite nombre de boulons par colonne nombre de rangCes comprenant des boulons tendus un point appartenant a la surface active, de coor- donnCes (x, y ) moment flCchissant par rapport a l'axe X moment flichissant par rapport a l'axe Y moment rCsistant par rapport a l'axe X moment rksistant par rapport a l'axe Y nombre de boulons par rangee nombre de colonnes comprenant des boulons tendus effort axial effort de traction rCsistant de l'assemblage axes de rCfCrence associCs a l'assemblage abscisse et ordonnCe d'un point de l'assemblage abscisse du boulon bij dans le repere principal ordonnCe du boulon bij dans le repere principal angle d'inclinaison de l'axe neutre par rapport a l'un des axes de rCfCrence de l'assemblage

AX) fonction dkfinissant l'axe neutre American Institute of Steel Construction. 1980. Manual of steel 'Jr risistance a la traction admissible des boulons

construction. 8e Cd. American Institute of Steel Construction, U(X, y ) contrainte en un point M(x, y ) Chicago.

Ballio, G., et Mazzolani, F. M. 1983. Theory and design of steel structures. Chapman and Hall, New York. 1991.

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