EPFL

SAVOIR-FAIRE

EN

MATHÉMATIQUES

Mai 2007

c© Section de mathématiquesSMA-FSB-EPFL, Station 8, CH-1015 Lausanne

SAVOIR-FAIRE

EN

MATHÉMATIQUES

Mai 2007

c© Section de mathématiquesSMA-FSB-EPFL, Station 8, CH-1015 Lausanne

Tous droits réservés.Reproduction, même partielle,

sous quelque forme ou quelque support que ce soit,interdite sans l'accord écrit de l'éditeur.

Préface

Les mathématiques jouent un rôle essentiel dans le monde contemporain, dansdes domaines aussi variés que la technologie, l'ingénierie, les communications,la nance, la recherche scientique, etc. Il n'est donc pas surprenant que lesmathématiques soient l'un des piliers des études scientiques et d'ingénieur àl'EPFL.

Ce manuel a été conçu pour aider les étudiants à bien réussir leur premièreannée d'études à l'EPFL. Il peut être utile à la fois comme préparation avantd'entamer les études et comme support durant la première année. Il présentedes concepts de base des mathématiques, sous la forme de problèmes à résoudreaussi bien que de notions théoriques. Souvent, ces sujets ont déjà été étudiés,mais on a constaté de grandes diérences entre les étudiants, les uns présentantdes lacunes, alors que d'autres semblent plus à l'aise. Cet ouvrage fournit ainsiun support utile à tous.

On notera que ce manuel n'est pas un exposé détaillé et qu'il n'est pas prévupour remplacer d'autres ouvrages. Il est plutôt un outil qui devrait permettrede tester les capacités à résoudre un problème donné, en faisant appel au rai-sonnement autant qu'aux connaissances. C'est d'ailleurs pour cette raison qu'ilcommence par des problèmes de révision.

Si, après quelque temps de réexion, certaines méthodes de résolution fontdéfaut à l'étudiant, la partie théorique de cet ouvrage devrait lui fournir le lconducteur de la solution ou contribuer à lui rafraîchir la mémoire. Pour cetteraison, les chapitres sont tous structurés de la même manière, en trois parties :

(1) énoncés des exercices ;(2) notions théoriques liées aux exercices ;(3) solutions des exercices, plus ou moins détaillées.

Ce qui est essentiel pour l'étudiant qui résout tel ou tel problème proposé est dese rendre compte des éventuelles lacunes qui pourraient se révéler. Par consé-quent, l'important n'est pas de mémoriser le plus grand nombre de résolutionsapparaissant dans ce volume, mais d'acquérir un savoir-faire dans chacun dessujets traités.

L'EPFL remercie les trois auteurs, Yves Biollay, Amel Chaabouni et JoachimStubbe, pour leur patient et remarquable travail d'élaboration de ce manuel.

Section de mathématiques de l'EPFL, mai 2007

Connaissances préalables requises

Il est important que l'étudiant sache quels sont les sujets qui ne seront pasenseignés durant la première année à l'EPFL et ce qui est attendu de lui. Voicil'essentiel :• Les notions de base de géométrie du plan et de l'espace sont supposées connues.Elles apparaissent dans les paragraphes 4.1 et 4.2.• Les principes fondamentaux de la trigonométrie et du calcul des fonctionstrigonométriques sont aussi considérés comme acquis. Ils sont présentés dans lechapitre 5.• Pour le reste, les notions développées dans les autres chapitres de ce manuel nefont pas formellement partie des connaissances préalables requises. En eet, ellessont reprises, approfondies et généralisées durant les cours de première annéede l'EPFL (cours d'analyse du premier semestre et cours d'algèbre linéaire).Cependant, elles sont traitées à un rythme rapide et soutenu et elles ne sontexposées qu'une seule fois, ce qui correspond aux exigences habituelles du travailuniversitaire. Par conséquent, il est très utile que les futurs étudiants aientdéjà rencontré certains de ces sujets. Lorsque des notions ont été vues, mêmesuccinctement ou rapidement, il est d'autant plus facile de les revoir et de lesassimiler en profondeur.• Il est impossible de xer de manière rigide une liste de connaissances préa-lables requises, d'une part en raison des bagages très variés des étudiants quicommencent l'EPFL et qui proviennent d'horizons divers, mais aussi et surtoutparce que la possibilité de suivre avec succès des études universitaires dépendbeaucoup plus d'autres facteurs que d'une liste de connaissances préalables.Parmi ces facteurs, mentionnons la capacité de travailler de manière autonome,l'aptitude au raisonnement, la rapidité d'apprentissage, la ténacité dans la réso-lution de problèmes, la curiosité intellectuelle, l'indépendance, qui sont toutesdes qualités intrinsèques de l'étudiant qui ne peuvent se réduire à un inventairede connaissances.• Notons enn qu'une très bonne accointance avec les notions étudiées dansl'enseignement secondaire supérieur et un solide bagage en mathématiques sontautant d'atouts pour bien réussir les études. Cependant, l'expérience montreaussi qu'un décit initial peut être comblé par un étudiant motivé lorsqu'ils'investit fortement dès le début de l'année.

Mesures d'accompagnement pour

les étudiants

La distribution de ce manuel à tous les étudiants de première année fait partied'un ensemble de mesures mises en place par l'EPFL pour leur permettre debien commencer leurs études. En plus de ce manuel, les étudiants disposent despossibilités suivantes :• Test en ligneCe test permet à chaque étudiant d'évaluer ses connaissances en mathématiqueset de recevoir un résultat personnel et privé. Les professeurs n'y ont pas accèset il ne sera jamais utilisé dans aucun examen ou test à l'EPFL. Avec le présentmanuel, chaque étudiant reçoit un nom d'utilisateur et un mot de passe qui luipermettent de se connecter sur le site :

http ://matheval.ep.ch/diagnostic/• Bilan de compétencesAu tout début des cours de première année à l'EPFL, chaque étudiant passeun test de connaissances, analogue au test en ligne précédent. Ce bilan de com-pétences est à nouveau personnel et sans inuence sur la suite des études. Ilpermet à chaque étudiant de situer où se trouvent ses forces et ses faiblesses.• Exercices supplémentairesDe nombreux exercices apparaissent sur les sites des cours de l'EPFL, en parti-culier sur le site du Cours de Mathématiques Spéciales :

http ://cms.ep.ch/• Semestre PolyMathsPour les étudiants qui le désirent, un semestre de préparation aux études àl'EPFL est organisé au semestre de printemps (févrierjuin) et permet d'ap-profondir des connaissances ou de les rafraîchir. Cette ore peut intéresser desétudiants pour des raisons diverses (service militaire en automne, semestre depause en automne avant de commencer les études, doutes ou lacunes, désir deparfaire des connaissances de français tout en se préparant aux études, etc.).

Organisé par le Cours de Mathématiques Spéciales (CMS), le semestre CMSPolyMaths comprend des mathématiques, de la physique, un module de tech-nique de travail et un module d'orientation académique. Plus de détails sontdisponibles sur le site :

http ://cms.ep.ch/polymaths/• Nouvelle passerellePour les étudiants qui rencontrent des dicultés durant les premières semainesde leur première année à l'EPFL, la possibilité est oerte de quitter leur annéed'études sans qu'elle soit comptabilisée, de demander l'admission au semestreCMSPolyMaths an de le suivre pendant le deuxième semestre et de reprendrela première année d'études l'automne suivant.

Table des matières 7

Table des matièresPréface 3

Connaissances préalables requises 4

Mesures d'accompagnement pour les étudiants 5

Problèmes de révision 10Sujets des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1 Opérations, structure des nombres 25Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Notions théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.1 Classication des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2 Opérations sur les ensembles Q et R . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3 Relation d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4 Division polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6 Puissances et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.7 Exponentiel et logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.8 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.9 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.10 Diérents types de démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.10.1 Démonstration directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.10.2 Démonstration par l'absurde . . . . . . . . . . . . . . . . 351.10.3 Démonstration par récurrence ou induction . . . . . . . . 351.10.4 Le rôle des hypothèses, conditions nécessaires et susantes 36

1.11 Notions de la théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.12 Introduction à l'analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . 371.13 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.13.1 Opérations sur C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.13.2 Représentation polaire des nombres complexes . . . . . . 391.13.3 Racines d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . 40

Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2 Résolution des équations 46Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Notions théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.1 Equations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.1.1 Equations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.1.2 Equations de degré deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2 Equations transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2.1 Equations exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.2 Equations logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3 Systèmes d'équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3.1 Deux équations à deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . 502.3.2 Trois équations à trois inconnues . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4 Systèmes d'équations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4.1 Une équation linéaire et une équation quadratique . . . . 512.4.2 Deux équations quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.5.1 Inéquations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

8 Table des matières

2.5.2 Inéquations quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.5.3 Inéquations à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . 532.5.4 Inégalités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53


3 Fonctions 57Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Notions théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.1 Notions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2 Fonctions réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.3 Fonctions réelles particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 Géométrie 65Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Notions théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1 Géométrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1.2 Calcul des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.1.3 Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.1.4 Equations cartésienne et polaire d'une droite . . . . . . . 734.1.5 Equations cartésienne et polaire d'un cercle . . . . . . . . 744.1.6 Représentation paramétrique d'une courbe . . . . . . . . . 744.1.7 Sections coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 Géométrie dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2.2 Calcul de volumes et de surfaces . . . . . . . . . . . . . . 784.2.3 Equation cartésienne d'un plan . . . . . . . . . . . . . . . 794.2.4 Equations cartésiennes d'une droite . . . . . . . . . . . . 794.2.5 Equation cartésienne d'une sphère . . . . . . . . . . . . . 80

4.3 Géométrie vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3.1 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3.2 Géométrie vectorielle dans le plan . . . . . . . . . . . . . 844.3.3 Géométrie vectorielle dans l'espace . . . . . . . . . . . . . 85


5 Trigonométrie 90Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Notions théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.1 Mesures d'angles et longueur d'arc . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.2 Fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle . . . . . . 925.3 Le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.4 Valeurs pour des angles particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.5 Courbes représentatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.6 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.7 Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.8 Equations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.9 Relations trigonométriques dans un triangle quelconque . . . . . 99Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Table des matières 9

6 Suites, séries numériques et limites 105Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Notions théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.2.1 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.2.2 Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.3 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.3.1 Exemples de séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.4 Limite d'une fonction et fonction continue . . . . . . . . . . . . . 1116.5 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7 Calcul diérentiel 118Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Notions théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.1 Notions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.2 Règles de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.3 Théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.4 Dérivées d'ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.4.1 Caractérisation des extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.4.2 Variations locales du graphe de f . . . . . . . . . . . . . . 125


8 Calcul intégral 129Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Notions théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.1 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.2 Intégrale dénie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.3 Techniques d'intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9 Calcul matriciel 137Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Notions théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.1 Notions de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9.2.1 Somme de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.2.2 Multiplication d'une matrice par un nombre réel . . . . . 1409.2.3 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.2.4 Matrice transposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419.2.5 Déterminant des matrices 2× 2 et 3× 3 . . . . . . . . . . 1419.2.6 Inverse d'une matrice carrée d'ordre 6 3 . . . . . . . . . . 142

9.3 Applications du calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439.3.1 Résolution des systèmes linéaires de trois équations à trois

inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Références 147

Problèmes de révision

SUJET PRINCIPAL DE CHAQUE PROBLÈME

PR 1 Démonstration par récurrence.PR 2 Résolution d'inéquations.PR 3 Application de l'intégration au calcul d'aire sous une courbe.PR 4 Extremum et dérivation.PR 5 Fractions rationnelles : intégration.PR 6 Trigonométrie : théorèmes et formules.PR 7 Géométrie analytique : droites et cercles.PR 8 Extremums d'une fonction rationnelle.PR 9 Asymptotes.PR 10 Extremums d'une fonction.PR 11 Limites à l'inni.PR 12 Limites.PR 13 Nombres rationnels.PR 14 Nombres naturels.PR 15 Valeur absolue.PR 16 Logarithme.PR 17 Analyse combinatoire.PR 18 Equation irrationnelle.PR 19 Représentation paramétrique du cercle.PR 20 Formule de Heron.PR 21 Fonctions trigonométriques réciproques.PR 22 Suite convergente.PR 23 Tangentes communes.PR 24 Etudes de fonctions.PR 25 Problème 1 (obligatoire) du sujet de mathématiques niveau normal del'examen fédéral de maturité, automne 2004.PR 26 Problème 1 : analyse (obligatoire) du sujet de mathématiques niveauavancé de l'examen fédéral de maturité, printemps 2004.PR 27 Problème 1 : géométrie (obligatoire) du sujet de mathématiques niveausupérieur de l'examen fédéral de maturité, automne 2005.

Problèmes de révision 11

ÉNONCÉS

EPR 1 Montrer que le nombre Nn = n5 − n est divisible par 5 pour tout nnombre naturel > 1.

EPR 2 On considère un rectangle ABCD ayant le côté AB plus petit que lecôté BC, d'aire égale à 48 cm2 et inscrit dans un cercle de rayon 5 cm. Onplace un point E sur le côté CD à x cm de C (x > 0) et un point F sur le côtéCB à px cm de C (p > 0). Déterminer les valeurs de p pour lesquelles on peutconstruire un triangle isocèle AEF de base EF .

EPR 3 Calculer l'aire A du domaine limité par le graphe de la fonction

g(x) =7− 2ex − 3e−x

e−x − 2,

l'axe Ox et les droites x = ln 2 et x = 3 ln 2.

EPR 4 Soient Γ le demi-cercle de rayon 1 centré à l'origine, A un point de Γd'abscisse a > 0, D son symétrique par rapport à l'axe Oy, E et Frespectivement les projections de D et A sur l'axe Ox, C la projection de Asur l'axe Oy et B l'intersection de l'axe Oy avec l'arc AD de Γ. Déterminerpour quelle valeur de a l'aire ABCDEFA est maximale.

FOE

D C

B

A

EPR 5

(a) Montrer que (x+ 1)3

7x2 − 5x+ 1≥ 1 pour x ≥ 0 et en déduire que

f(x) =x3 − 4x2 + 8x+ 10

x2 + 1est positif pour x ≥ 0.

(b) Calculer l'aire A du domaine compris entre le graphe de f , son asymptoteoblique et les droites x+ y + 2 = 0, x = 0 et x = 6.

EPR 6 On considère un triangle ABC tel que AB = 4, CAB = α etACB = 2α. Déterminer pour quelle valeur de α > 0 l'aire S(α) du triangleABC est maximale.

EPR 7 Pour quelle valeur de m la droite δ d'équation y = 2mx est-elletangente au cercle γ de rayon 2 centré au point Ω de coordonnées (m, 0) ?

EPR 8 On considère les segments d1 = P1(0, 1)Q(2, 1) et d2 = P2(2, 0)Q(2, 1)et soient γi les cercles de centres Ωi ∈ di, de rayon ri, passant par Pi, i = 1, 2.Déterminer l'équation que doit satisfaire r1 pour que la somme des aires desdisques de frontières γi soit minimale lorsque les cercles sont tangentsextérieurement l'un à l'autre.

12 Problèmes de révision

EPR 9 Déterminer les nombres réels a, b et c pour que la fonction

f(x) =ax3 + bx2 − 2x+ 3

x2 + cx+ 2

admette comme asymptotes les droites x = 2 et y = 2x+ 3.

EPR 10 Quelles sont les dimensions du vase de volume maximum dont laforme est un cylindre de révolution d'aire totale égale à 1 m2.

EPR 11 En utilisant l'égalité limx→∞

(1 +

1x

)x

= e, déterminer α pour que

L = limx→0+

(1 + 2x)3/x + α limx→∞

(x

x+ 1

)2x

= 0

EPR 12 Calculer les limites suivantes :

limα→π

4

(√

2− 2 sinα)2

1− sin2 2αet lim

x→π

(x2 − (π + 1)x+ π) sin(π−x3 )

x3 − (2π + 1)x2 + (π2 + 2π)x− π2

EPR 13

(a) Démontrer que la racine carrée d'un nombre entier positif N est dans Q siet seulement si N est un carré, c'est-à-dire si N = K2, K ∈ N.(b) Soient p′ 6= p′′ deux nombres premiers > 1.Le nombre

√p′ +

√p′′ +

√p′p′′ est-il rationnel ?

EPR 14 On considère les nombres naturels formés des chiresa0 = 4, a1, a2, . . . , a24, ai ∈ 0, 1, 1 ≤ i ≤ 24. Montrer que si l'on retrouve 13fois le chire 0, ces nombres ne peuvent être les carrés d'un nombre naturel.

EPR 15 Montrer que si y 6= 0,∣∣∣xy

∣∣∣ =|x||y| et que

∣∣|x| − |y|∣∣ 6 |x− y|.

EPR 16 Trouver la condition nécessaire et susante portant sur a 6= 1, b et cpour que

logc+b a+ logc−b a = 2 logc+b a · logc−b a.

EPR 17 On considère les voyelles a, e, i, o, u et les consonnes m, n, p, r, s, t.

(a) Combien peut-on former de mots de 5 lettres distinctes contenant 2consonnes et 3 voyelles ?(b) Combien peut-on former de mots de 7 lettres distinctes contenant 3consonnes et 4 voyelles, dont o et u apparaissant dans cet ordre (on souhaiteavoir le son "ou") ?

EPR 18 Peut-on trouver x ∈ Q de telle sorte que√2p(p−√p+ 1) + x = 3

√p− 1 si p est un nombre premier > 1 ? Si x existe,

déterminer alors p.

EPR 19 Deux points Pi (i = 1, 2) décrivent des cercles Γi de centre Ωi et derayon ri dans le même temps. Les cercles Γi sont donnés par :Γ1 : Ω1 = (8, 4), r1 = 2 ; Γ2 passe par l'origine et Ω2 = (2, 2). Sachant qu'àchaque instant l'angle entre −−−→Ω1P1 et −−−→Ω2P2 est égal à π

4 , déterminer l'équationcartésienne du lieu Γ des points M , milieux des segments P1P2.


EPR 20 Démontrer la formule de Heron : l'aire d'un triangle de côtés a, b, cet de périmètre 2p est égale à

√p(p− a)(p− b)(p− c) (cf. 5.9).

EPR 21 Rendre la plus simple possible l'expression

α = arcsin(2t− 1) + 2 arctan

√1− t

t, 0 < t ≤ 1.

EPR 22 Déterminer α et β pour que la suite de terme général

xn =1

n2 + 1

[α(n2 − n)(1 + sin2 nπ

2) + β(n2 + n) cosnπ

]

converge vers 3.

EPR 23 Déterminer le point I d'où l'on peut mener les tangentes communesaux cercles Γ1 d'équation x2 + y2 = 25 et Γ2 d'équationx2 + y2 = 50− 14x− 2y.

EPR 24a) Etudier la fonction g(x) = ln(1 + | sinx|).b) Etudier la fonction f(x) = 3

√x3 − 3x+ 2 et en tracer le graphe γ ;

déterminer, s'il existe, le point T de γ ayant une tangente parallèle à sonasymptote δ.

EPR 25a) Etudier la fonction f(x) = x+ 1− ex

Donner domaine de dénition et éventuelle parité, asymptotes, dérivée de f ,tableau de variation de f et les éventuels extrema, représentation graphiquede f , (la dérivée seconde n'est pas demandée).

b) La courbe de la fonction g(x) = 1− x− ex admet-elle une asymptoteoblique ? Si oui, déterminer cette asymptote.

c) Pour quelles valeurs de α ∈ R les fonctions données par une expression dutype h(x) = α(x+ 1)− ex admettent-elles un maximum?Donner, en fonction de α, les coordonnées du maximum de h.

d) Calculer l'aire du domaine limité par les courbes de f , de g et les droitesd'équation x = 0 et x = 10.

EPR 26On considère la suite de fonctions réelles (fn)n∈N∗ dénies par

fn(x) =

xnex : si x ≤ 0xn ln(x) : si x > 0

Soit (Cn) la courbe représentant la fonction fn.

1. Vérier que les fonctions fn sont continues en x = 0. Pour quelles valeursde n ∈ N∗ les fonctions fn sont-elles dérivables en x = 0 ?

2. Etudier les intervalles de croissance et de décroissance de f1 (n = 1). Calculer les coordonnées du point d'inexion de f1. Représenter la courbe (C1). (On ne demande pas l'étude complète de

la fonction.)3. Calculer l'aire An(k) de la région déterminée par le graphe de fn et l'axe

des abscisses dans l'intervalle [k; 1] où 0 < k < 1.Montrer que lim

k−−→k>0

0An(k) =

1(n+ 1)2

, pour tout n ∈ N∗.


EPR 27Dans l'espace muni d'un repère orthonormé on donne les points

A( 0 ; 1 ; 3 ), B( 4 ; 3 ; 1 ), C( 6 ; 1 ; −3 ) et D( 4 ; −3 ; 1 ).

1. Déterminer l'équation cartésienne du plan ABC.2. Trouver des équations paramétriques de la hauteur issue de C dans le

tétraèdre ABCD (droite normale au plan ABD et passant par C).3. Calculer l'angle aigu que forment les plans ABC et ABD.4. Calculer la distance des deux droites gauches AB et CD.5. Déterminer le centre P de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD,

ainsi que son rayon r. Ecrire l'équation de cette sphère.


SOLUTIONS

SPR 1 Démonstration par récurrence : pour n = 2, N2 = 30 qui est divisiblepar 5. Supposons que Nn soit divisible par 5 pour un certain n ; alors

Nn+1 = (n+ 1)5 − (n+ 1) = n5 − n+ 5(n4 + 2n3 + 2n2 + n) = Nn + 5Mn ;

ainsi Nn+1 est divisible par 5 puisque Nn l'est, cqfd.SPR 2 Posons AB = 2a et BC = 2b. Il découle des relations b < a, ab = 12 eta2 + b2 = 25 que a = 3 et b = 4.L'égalité AE = AF implique AB2 +BF 2 = AD2 +DE2, d'où l'équationx2(1− p2) + 2x(8p− 6) = 0 qui donne x = 4

3− 4p1− p2

.Les conditions 0 < CE ≤ CD et 0 < CF ≤ CB déterminent le système

(S) :

0 <6− 8p1− p2

≤ 3

0 <3p− 4p2

1− p2≤ 2

Sachant que p est positif, en étudiant le tableau des signes suivant,

p 0 3/4 1 ∞signe de (6− 8p) +

... − −signe de (3p− 4p2) +

... − −signe de (1− p2) + +

... −signe de (6− 8p)/(1− p2) +

... − ‖ +

signe de (3p− 4p2)/(1− p2) +... − ‖ +

on constate que les p > 34 ne vérient pas le système (S). En eet, si 3

4 < p < 1alors 6−8p

1−p2 et 3p−4p2

1−p2 sont < 0 et si p > 1 alors l'inéquation 3p−4p2

1−p2 ≤ 2 n'estpas satisfaite. Le système (S) est donc équivalent à

0 < p < 34

3p2 − 8p+ 3 ≤ 02p2 − 3p+ 2 ≥ 0

, ce qui implique que 4−√73

≈ 0, 45 ≤ p <34.

SPR 3 On remarque que l'aire algébrique A =∫ ln 8

ln 2

g(x)dx ne répond pas à laquestion.Pour ln 2 ≤ x ≤ ln 8, on peut simplier g(x) =

(1− 2ex)(1− 3e−x)e−x(1− 2ex)

par lefacteur 1 − 2ex, qui ne s'annule qu'en x = − ln 2, et écrire g(x) = ex − 3. Onremarque alors que g(ln 2) = −1 < 0, g(ln 8) = 5 > 0 et que g(x) ne s'annuleque pour x = ln 3. Il s'ensuit que sur l'intervalle [ln 2, ln 8], g(x) change de signeune seule fois : elle est négative sur [ln 2, ln 3] et positive sur [ln 3, ln 8]. L'airecherchée A est donc

A = −∫ ln 3

ln 2

(ex − 3)dx+∫ ln 8

ln 3

(ex − 3)dx = 4 + 3 ln916≈ 2, 27.


SPR 4 Les coordonnées du point A sont (a,√

1− a2).Posons S(a) = aire ABCDEFA ; on a alors :

S(a) = aire CDEOC + aire BOFAB = a√

1− a2 +∫ a

0

√1− x2dx

= a√

1− a2 + F (a)− F (0),

où F (x) est une primitive de f(x) =√

1− x2. Ainsi,

S′(a) = (a√

1− a2)′ + F ′(a) =√

1− a2 − a2

√1− a2

+ f(a) =2− 3a2

√1− a2

et S′ s'annule et change de signe pour a =√

23 , valeur qui détermine le maximum

de S(a).SPR 5(a) On remarque que, pour tout x, 7x2−5x+1 > 0 et on en déduit que l'inégalitédonnée peut être écrite sous la forme x(x2 − 4x+ 8) ≥ 0, d'où le résultat. Il endécoule que, pour x ≥ 0, le numérateur de f(x) est positif et donc f(x) > 0.

(b) On peut écrire f(x) = x−4+7x+ 14x2 + 1

, d'où l'équation de l'asymptote obliqueest y = x − 4, elle coupe la droite d'équation y = −x − 2 au point (1,−3) etf(x) − (x − 4) > 0, pour x ≥ 0. Compte tenu de (a), l'aire demandée est doncdonnée par

A =∫ 6

0

f(x)dx+52

+52

=∫ 6

0

(x− 4 + 7x+ 2x2 + 1

)dx+ 5

=[12x2 − 4x+

72

ln(x2 + 1) + 14 arctanx]6

0

+ 5

=72

ln 37 + 14 arctan 6− 1 ≈ 31, 3.

SPR 6 Soit h la hauteur issue de B. Les propriétés des triangles impliquent que0 < α < π

3 et S(α) = 12AC · h. En utilisant le théorème du sinus on obtient :

S(α) = 4sin 3αcosα

et S′(α) = 0 implique

0 = 3 cos 3α · cosα+ sin 3α · sinα= cos 3α · cosα− sin 3α · sinα+ 2 cos 3α · cosα+ 2 sin 3α · sinα= cos 4α+ 2 cos 2α = 2(cos 2α)2 + 2 cos 2α− 1 = p(α)

En posant x = cos 2α, il reste à résoudre l'équation 2x2 + 2x − 1 = 0 dont lasolution admissible est x =

√3−12 . Finalement,

α =12

arccos

(√3− 12

)

dénit un maximum de S(α), comme le montre l'étude du signe de p(α).SPR 7 Supposons que la droite δ soit tangente au cercle γ. Soient T le pointde tangence entre eux et O l'origine. Alors OΩ = m et

2m = pente de δ =ΩTOT

=2√

m2 − 4.

On en déduit que m4 − 4m2 − 1 = 0, d'où m = ±√

2 +√

5.


SPR 8 Il faut rendre minimale la fonction S = π(r21 + r22) lorsque r1 + r2 =

|Ω1Ω2| =√

(2− r1)2 + (r2 − 1)2, donc lorsque r2 =5− 4r1

2(1 + r1). On peut alors

exprimer S en fonction de r1 seulement : S(r1) = π(r21 + (5−4r1)2

4(1+r1)2) et chercher

une condition pour que r1 vérie :

S′(r1) = π

(2r1 − 9(5− 4r1)

2(1 + r1)3

)

= π

(4r1(1 + r1)3 − 9(5− 4r1)

2(1 + r1)3

)

= 0 ;

il en découle que r1 doit satisfaire l'équation :

4r41 + 12r31 + 12r21 + 40r1 − 45 = 0.

SPR 9 Pour que la droite x = 2 soit une asymptote verticale, il faut que ledénominateur de f(x) s'annule pour x = 2, c'est-à-dire que 4 + 2c+ 2 = 0 doncc = −3. Pour que la droite y = 2x+ 3 soit une asymptote oblique, il faut que

limx→∞

(ax3 + bx2 − 2x+ 3

x2 − 3x+ 2− 2x− 3

)= 0

donc que a = 2 et b = −3 = c. On vérie que dans ce cas, le numérateur def(x) ne s'annule pas pour x = 2.SPR 10 Soit h la hauteur du cylindre et r le rayon de sa base. On chercheà maximaliser V = πr2h sous la condition : aire totale du cylindre égale 1 =

πr2 + 2πrh. On obtient V (r) =r − πr3

2. L'étude de sa variation donne V ′(r) =

1− 3πr2

2= 0 pour r =

1√3π

, V ′(r) > 0 pour r ∈]0, 1√3π

[ et V ′(r) < 0 pour

r ∈] 1√3π,∞[. Le volume V est donc maximal lorsque

r = h =1√3π

≈ 32, 6cm.

SPR 11 En posant x =12t, on a :

L = limt→∞

(1 +

1t

)6t

+ α limx→∞

1(1 + 1

x )2x= e6 +

α

e2= 0.

D'où α = −e8.SPR 12 Pour la première limite, on a :

limα→π

4

(√

2− 2 sinα)2

1− sin2 2α= lim

α→π4

(√2− 2 sinαcos 2α

)2

= limα→π

4

(2√

2 + 2 sinα

)2

=12.

Pour la deuxième limite, on a :

limx→π

(x2 − (π + 1)x+ π) sin(π−x3 )

x3 − (2π + 1)x2 + (π2 + 2π)x− π2= lim

x→π

(x− π)(x− 1) sin(π−x3 )

(x− π)(x− π)(x− 1)

=(x6=π)

limx→π

sin(π−x3 )

x− π= −1

3.


SPR 13(a) Décomposons le nombre naturel N en facteurs premiers :N = pk1

1 pk22 · · · pk`

` où pi 6= pj , si i 6= j, sont des nombres premiers > 1 etki ∈ N∗.

1. Tous les ki sont pairs :ki = 2mi et

√N = pm1

1 · · · pm`

` = K ∈ N∗, d'où N = K2 ;2. Un ou plusieurs ki sont impairs :

on admettra ki = 2mi +1, mi ≥ 0, i = 1, . . . , j. Alors,√N = N ′√p1 · · · pj

où N ′ ∈ N∗ ; il s'ensuit que√N /∈ Q car √p1 · · · pj /∈ Q. En eet, en

supposant le contraire, si √p1 · · · pj = m/n où m,n sont des nombres

naturels premiers entre eux, alors m2 = p1p2 · · · pjn2 et p1 est diviseur de

m2, donc diviseur de m : m = p1m′, ce qui implique p1m

′2 = p2 · · · pjn2 ;

ainsi, p1 est diviseur de n2, donc diviseur de n : n = p1n′. C'est une

contradiction.(b) Supposons que le nombre considéré soit rationnel, c'est-à-dire que√p′ +

√p′′ +

√p′p′′ = q ∈ Q+ ; on peut donc écrire

√p′ +

√p′′ = q −

√p′p′′ d'où p′ + 2

√p′

√p′′ + p′′ = q2 − 2q

√p′p′′ + p′p′′

et l'on a 2(1 + q)√p′p′′ = q2 + p′p′′ − p′ − p′′, ou aussi

√p′p′′ =

q2 + p′p′′ − p′ − p′′

2(1 + q)∈ Q,

ce qui est une contradiction puisque√p′p′′ /∈ Q.

SPR 14 Soit N un tel nombre : N contient le chire 4 et 11 fois le chire 1.La somme de ces chires vaut 4 + 11 = 15 ; N est donc divisible par 3 sans êtredivisible par 9 = 32. Donc, il ne peut pas être un carré parfait.

SPR 15 Si y 6= 0,∣∣∣xy

∣∣∣ =∣∣∣x1y

∣∣∣ = |x| ·∣∣∣1y

∣∣∣.

Or, 1 = |1| =∣∣∣y 1

y

∣∣∣ = |y| ·∣∣∣ 1y

∣∣∣ ce qui implique que∣∣∣ 1y

∣∣∣ = 1|y| . On a donc

∣∣∣xy

∣∣∣ = |x| ·∣∣∣1y

∣∣∣ = |x| 1|y| =

|x||y| .

Montrer que∣∣|x|−|y|

∣∣ 6 |x−y| revient à monter que −|x−y| 6 |x|−|y| 6 |x−y|.Or, |x| = |(x− y) + y| 6 |x− y|+ |y| d'où |x| − |y| 6 |x− y|.De même, |y| = |(y − x) + x| 6 |x − y| + |x| d'où −|x − y| 6 |x| − |y| et lerésultat est démontré.SPR 16 On note d'abord les conditions d'existence : a > 0, c > 0, −c < b < c,c+ b 6= 1 et c− b 6= 1. L'égalité considérée s'écrit

ln aln(c+ b)

+ln a

ln(c− b)= 2

ln aln(c+ b)

· ln aln(c− b)

et est équivalente à ln a · ln(c2 − b2) = ln a · ln a2 c'est-à-dire ln(c2 − b2) = ln a2.La dernière égalité est vériée si et seulement si c2 − b2 = a2.SPR 17

a) La réponse est( 6

2

)( 53

)· 5! = 18′000.

b) La réponse est( 6

3

)( 32

)· 5! · 6 = 43′200.


SPR 18 En élevant les deux membres au carré, on obtient

2p2 − 7p+ x− 1 = 2(p− 3)√p.

Si p 6= 3, l'équation √p =

2p2 − 7p+ x− 12(p− 3)

est impossible car √p /∈ Q ;si p = 3, alors x = 4.SPR 19 On exprime les coordonnées d'un point courant Pi ∈ Γi sous formeparamétrique, en tenant compte du déphasage π

4 .

P1 :xP1 = 8 + 2 cos tyP1 = 4 + 2 sin t , P2 :

xP2 = 2 + 2

√2 cos(t+ π

4 )yP2 = 2 + 2

√2 sin(t+ π

4 ).

De −−→OM = 12 (−−→OP1 +

−−→OP2), on déduit les coordonnées de M :

xM = 5 + 2 cos t− sin tyM = 3 + cos t+ 2 sin t ,

d'où l'équation cartésienne du lieu Γ : (x− 5)2 + (y − 3)2 = 5.SPR 20

Aire du triangle =12(base) · (hauteur) =

12ab sin γ (voir 1ère gure du 5.9)

=12ab

√1− cos2 γ =

12ab

√(1− cos γ)(1 + cos γ)

Or, par le théorème du cosinus, on a : cos γ =1

2ab[c2 − (a2 + b2)]. D'où,

Aire du triangle =12ab · 1

2ab

√[(a+ b)2 − c2][c2 − (a− b)2]

=14

√(a+ b− c)(a+ b+ c)(c− a+ b)(c+ a− b)

=√p(p− a)(p− b)(p− c)

puisque, par exemple, a+ b− c = 2p− 2c.SPR 21 On remarque, par exemple, que pour t = 1

2 et t = 1, on a α = π2 .

En utilisant la relation cos(arcsinx) =√

1− x2 et les formules

cos 2x =1− tan2 x

1 + tan2 x, sin 2x =

2 tanx1 + tan2 x

, on obtient

cosα =√

1− (2t− 1)2 · 1− 1−tt

1 + 1−tt

− (2t− 1)2√

1−tt

1 + 1−tt

= 2√t(1− t)(2t− 1)− (2t− 1)2

√1− t

√t = 0

et donc α =π

2pour tout t ∈]0, 1].

SPR 22 Si n est pair, xn =(α+ β)(n2 − n)

n2 + 1tend vers α+ β lorsque n tend

vers ∞ ;si n est impair, xn =

(2α− β)(n2 − n)n2 + 1

tend vers 2α− β lorsque n tend vers∞.La suite (xn) converge donc vers 3 si α + β = 2α − β = 3 d'où α = 2 etβ = 1.


SPR 23 Les centres et les rayons des cercles donnés sont respectivement Ω1(0, 0),Ω2(−7,−1) et R1 = 5, R2 = 10. Il y a, au plus, deux tangentes communespuisque δ(Ω1,Ω2) = 5

√2 < 15 = R1 + R2. On considère le cercle Γ′2 de centre

Ω2 et de rayon R2−R1 = 5 et l'on détermine les tangentes à Γ′2 issues du pointΩ1 = O ; on obtient les deux droites t′i d'équations 4x− 3y = 0 et 3x+ 4y = 0.Les tangentes ti communes aux Γi, parallèles aux t′i, sont, après calculs, don-nés par 4x − 3y = 25 et 3x + 4y = 25, d'où I(7, 1). On remarque que dans ceproblème, on a t1 perpendiculaire à t2.SPR 24

a) Le domaine de dénition de g est Dg = R, elle est périodique de périodefondamentale π, puisque la fonction sinus a pour période fondamentale 2π etvérie | sin(x + π)| = | sinx| ; il sut donc de l'étudier sur l'intervalle [0, π] etsur cet intervalle g(x) = ln(1 + sinx). On a alors g′(x) =

cosx1 + sinx

et g′′(x) =−1

1 + sinx, d'où le tableau de variation :

x 0 π/2 πg′ 1 + 0 − −1g′′ − −

ln 2g

0 0

Il en découle que la fonction g a, en (π2 , ln 2), un maximum local et une tan-

gente horizontale, et en (0, 0) et (π, 0) qui sont des points de rebroussement, unminimum local avec une tangente à droite de pente 1 et une tangente à gauchede pente −1 ; g est concave. D'où le graphe de g :

–1

–0.5

0.5

1

1.5

–1 1 2 3 4

b) La fonction f s'écrit f(x) = 3√

(x− 1)2(x+ 2) = (x + 2)1/3(x − 1)2/3, sondomaine de dénition est donc Df = R ; elle s'annule en x = −2 et x = 1 etchange de signe en x = −2. On a f ′(x) = (x + 1)(x + 2)−2/3(x − 1)−1/3 etf ′′(x) = −2(x− 1)−4/3(x+ 2)−5/3 d'où le tableau de variation :

x −∞ −2 −1 1 +∞f ′ + ‖ + 0 − ‖ +f ′′ + ‖ − ‖ −

3√

4 +∞f 0

−∞ 0


Ainsi, f possède un maximum local en (−1, 3√

4) et un minimum local en (1, 0)qui est un point de rebroussement à tangentes verticales. En (−2, 0), la tangenteà γ est verticale et pour x→ ±∞, γ est asymptotique à la droite δ d'équationy = x (en eet, lim

x→±∞f(x)x

= 1 et limx→±∞

f(x)−x = 0). Le graphe γ est convexesur l'intervalle ]−∞,−2[ et concave sur l'intervalle ]− 2,+∞[ comme l'indiquele signe de f ′′.

–6

–4

–2

0

2

4

6

–6 –4 –2 2 4 6

En égalant f ′(x) à la pente de l'asymptote δ, on obtient le point T (− 53 ,

43 ) où

la tangente à γ est parallèle à δ.

SPR 25a) La fonction f est dénie sur tout R donc Df = R ; elle n'est ni paire ni

impaire car f(−x) = −x+ 1− e−x. On a limx→+∞

f(x)x

= −∞ ; donc f n'a

pas d'asymptote en +∞. Puisque limx→−∞

f(x)x

= limx→−∞

1 +1x− ex

x= 1

et limx→−∞

(f(x) − x) = limx→−∞

(1 − ex) = 1, la droite d'équation y = x + 1

est une asymptote oblique en −∞. La dérivée de f , f ′(x) = 1 − ex quis'annule en x = 0, est positive si x < 0 et négative si x > 0 ; donc f a unmaximum en (0, 0) et son tableau de variation est le suivant :

x −∞ 0 +∞f ′ + 0 −

0f

−∞ −∞

d'où son graphe :


–6

–4

–2

0

2

4

–6 –4 –2 2 4 6

b) En −∞, g s'écrit g(x) = 1− x+ δ(x) avec limx→−∞

δ(x) = limx→−∞

−ex = 0 ;donc la courbe de la fonction g admet une asymptote oblique en −∞ quiest la droite d'équation y = −x + 1. En +∞, lim

x→+∞g(x)x

= −∞ donc gn'y a pas d'asymptote oblique.

c) Pour que les fonctions h admettent un extremum en (x0, h(x0)), il fautque h′(x0) = α − ex0 = 0 c'est-à-dire α = ex0 > 0. Alors, h′(x) > 0 pourx < lnα et h′(x) < 0 pour x > lnα ; donc les fonctions h admettent unmaximun et les valeurs cherchées sont α ∈ R∗+. Dans ce cas, les coordon-nées du maximun de h sont (lnα, α lnα).

d) On remarque que f(x) − g(x) = 2x > 0 pour x > 0 et on en déduit quel'aire demandée est

A =∫ 10

0

(f(x)− g(x)) dx =∫ 10

0

2x dx = x2∣∣∣10

0= 100

SPR 261. Comme n ∈ N∗, on a fn(0) = 0, lim

x−−−→x<0

0fn(x) = lim

x−−−→x<0

0xnex = 0 = fn(0)

et limx−−−→

x>00fn(x) = lim

x−−−→x>0

0xn ln(x) = 0 = fn(0), d'où les fn sont continues

en x = 0. Les fonctions fn sont dérivables en x = 0 pour n > 1 ; en eet,elles le sont si lim

h→0

fn(h)− fn(0)h

= limh→0

fn(h)h

existe ; or

limh−−−→

h<00

fn(h)h

= limh−−−→

h<00hn−1eh =

1 , si n = 10 , si n > 1

etlim

h−−−→h>0

0

fn(h)h

= limh−−−→

h>00hn−1 ln(h) =

−∞ , si n = 10 , si n > 1

2. On af ′1(x) =

ex(1 + x) , si x ≤ 0ln(x) + 1 , si x > 0 ;

il en découle que, sur les intervalles ]−∞,−1[ et ]0, e−1[, f ′1 < 0 et doncf1 est décroissante, et sur les intervalles ]− 1, 0[ et ]e−1,+∞[, f ′1 > 0 etdonc f1 est croissante.


Pour x < 0, f ′′1 (x) = ex(x + 2) s'annule et change de signe en x = −2,d'où f1 a un point d'inexion de coordonnées (−2,−2e−2). Pour x > 0,f ′′1 (x) > 0 donc il n'y a pas d'autres points d'inexion.

Représentation de la courbe (C1).

–1

1

2

3

–4 –3 –2 –1 1 2 3

3. Sur l'intervalle ]0, 1], fn(x) ≤ 0, d'où An(k) = −∫ 1

k

xn ln(x) dx qu'oncalcule par parties et l'on obtient :

An(k) = 0+kn+1

n+ 1ln(k)+

∫ 1

k

xn

n+ 1dx =

kn+1

n+ 1ln(k)+

1(n+ 1)2

− kn+1

(n+ 1)2

En remarquant que limk−−→

k>00kn+1 ln(k) = 0, on en déduit que

limk−−→

k>00An(k) = lim

k−−→k>0

0

(kn+1

n+ 1ln(k)

)+

1(n+ 1)2

− limk−−→

k>00

(kn+1

(n+ 1)2

)

=1

(n+ 1)2.

SPR 271. Le plan ABC a pour vecteurs directeurs les vecteurs :

−−→AB =

−−→OB −−→OA =

42

−2

et −→

AC =−−→OC −−→OA =

60

−6

,

qui ne sont pas colinéaires. Le vecteur

−→n =−−→AB ×−→AC =

−12

12−12

= −12

1−1

1

est donc un vecteur normal au plan. Il en découle que l'équation carté-sienne du plan ABC est de la forme x − y + z + α = 0 où α est uneconstante que l'on détermine en écrivant que les coordonnées de A véri-ent l'équation du plan. La réponse est donc x− y + z − 2 = 0.

2. On a

−−→AB =

42

−2

,

−−→AD =

4−4−2

donc −→d =

−−→AB ×−−→AD =

−12

0−24

.


Le vecteur −→d est un vecteur directeur de la hauteur issue de C dans letétraèdre ABCD ; en écrivant que −−→OQ =

−−→OC + λ

−→d où Q(x ; y ; z ) est

un point de la hauteur et λ un nombre réel, on obtient les équationsparamétriques suivantes :

x = 6 + λy = 1z = −3 + 2λ

, λ ∈ R.

3. Notons ϕ l'angle aigu que forment les plans ABC et ABD. Comme −→n estnormal à ABC et −→d normal à ABD, on a

cosϕ =|−→n · −→d |

‖−→n ‖ · ‖−→d ‖=

3√3√

5=√

3√5≈ 0.7746,

d'où ϕ ≈ 0, 6847 radians (≈ 39).4. On a

−−→AB =

42

−2

,

−−→CD =

−2−4

4

d'où −−→AB ×−−→CD =

0−12−12

.

La distance δ(AB,CD) des deux droites AB et CD est donc donnée par :

δ(AB,CD) =|(−−→AB ×−−→CD) · −→AC|‖−−→AB ×−−→CD‖

=72

12√

2= 3

√2.

5. Les coordonnées (x ; y ; z ) du centre P de la sphère circonscrite au tétra-èdre ABCD vérient les équations :

y = 0x− 3 = z

2x− 4 = z − y

qui découlent, après simplications, des relations : ‖−−→BP‖2 = ‖−−→DP‖2 = r2,‖−→AP‖2 = ‖−−→CP‖2 = r2 et ‖−→AP‖2 = ‖−−→BP‖2 = r2. En résolvant le système,on obtient x = 1, y = 0 et z = −2 donc P ( 1 ; 0 ; −2 ).Pour déterminer le rayon, il sut de calculer ‖−→AP‖ ; on trouve r = 3

√3.

L'équation de la sphère de centre P et de rayon r est donc :

(x−1)2+y2+(z+2)2 = 27 autrement dit x2+y2+z2−2x+4z−22 = 0.

chapitre 1Opérations, structure des nombres

ExercicesE1.1 Démontrer que la somme de deux nombres impairs consécutifs N ′ et N ′′

est toujours divisible par 4.

E1.2 A l'aide de la formule de la somme d'une progression arithmétique, dé-terminer la somme des n premiers nombres impairs. Vérier par récurrencel'exactitude du résultat.

E1.3 On considère le trinôme P (x) = x2 − 2(m + 2)x + (m2 + 4m + 3) où mest un paramètre dans Z.

a) Calculer P (m+ 1).b) Déduire que P (x) est divisible par x−m− 1.c) Factoriser P (x).d) Pour quels nombres entiers m ∈ Z les racines du trinôme P (x) sont-elles desnombres naturels inférieurs à 6 ?

E1.4 Montrer qu'un nombre naturel est divisible par 9 si la somme de seschires est divisible par 9. En déduire aussi la condition de divisibilité par 3.

E1.5 On considère les triangles rectangles d'hypoténuse a et de cathètes b et c.Déterminer a ∈ N∗ et b ∈ N∗ lorsque c = 34. Même question pour c = 35.

E1.6 Démontrer que 3√

333 n'est pas rationnel.

E1.7 Déterminer si le nombre réel r = 31/2 − 21/3 est rationnel.

E1.8

a) Ecrire le nombre r =√

5 + 2√

22√

5− 3√

2sous la forme a+ b

√c où a, b, c ∈ Q.

b) Déterminer q ∈ Q pour que le produit de r1 =

√72

+ q

√32par

r2 =5√

2−√422√

7− 3√

3soit rationnel.

E1.9 Montrer que r = (√

1 + α2 − α)1/3 − (√

1 + α2 + α)1/3 est racine del'équation x3 + 3x+ 2α = 0. Déterminer alors si δ = (

√5− 2)1/3 − (

√5 + 2)1/3

est rationnel ou non.

E1.10 Eectuer les divisions suivantes :

a) x6 + 5x4 + 40x3 + 15x+ 1

x+ 3.

26 Opérations, structure des nombres

b) −3x6 + x5 + 3x4 − 5x2 + 1

.Remarque : il est également possible d'eectuer la division "en sens inverse"c'est-à-dire en commençant par les puissances les plus petites.

c) −5 + 3x4 + x5 − 3x6

1 + x2[b) "en sens inverse"].

E1.11 Décomposer en une somme d'éléments simples les fractions suivantes :

a) 7x3 − 3x2 − 6x+ 1x4 + x3 + x+ 1

; b) 2x3 − 3x3 − x2 + 2x− 2

E1.12 Décomposer les fractions rationnelles suivantes en fractions simples :

a) 7− 3xx3 − 6x2 + 11x− 6

; b) x2 + x+ 1(x− 1)8

E1.13 Pour quelle valeur de p la décomposition en éléments simples de lafraction rationnelle R(x) =

−4x3 + px2 + 6x+ 3x4 − 1

possède-t-elle un numérateurd'élément simple qui s'annule en x = 0 ?

E1.14 Soit p > 0 et m ∈ Z.a) Simplier l'expression A = [−p(−p−2)m]−2m.Déterminer m pour que A soit égal à 165 lorsque p = 2.b) Simplier : B = (p4/3 − p2/3 + 1)(p2/3 + 1).c) Expliciter, en fonction de n, rn = √

prn−1, n ∈ N∗ et r0 = 1.

d) Rendre rationnel le dénominateur de D =6 + 121/2 + 181/2 + 541/2

31/2 + 21/2.

Eectuer les produits puis montrer que D =241/2

31/2 − 1.

E1.15 Simplier l'expression E =a4x − 1ax + a−x

.

E1.16 Evaluer, sans calculatrice, N = 3 log2(116 ) + 2 log√3(27).

E1.17 Montrer que si A1, A2 et A3 sont des ensembles distincts, il y en a aumoins un qui ne contient aucun des autres.

E1.18 Soient A, B et C des ensembles. Montrer que

(A ∪ B)× C = (A× C) ∪ (B × C)

E1.19 En substituant à x des valeurs numériques dans la formule du binôme,calculer

C0n + C2

n + C4n + · · ·+ C2p

n + · · · et C0n + 2C2

n + 4C4n + · · ·+ 2pC2p

n + · · ·

E1.20

a) Combien de nombre à 6 chires diérents peut-on former avec les chires de1 à 8 ?b) Même question, si chaque chire ne peut apparaître qu'une seule fois.c) Combien de nombres diérents à 7 chires et à 6 chires peut-on former avecles chires suivants : 1 - 1 - 1 - 3 - 4 - 4 - 5 ?

Exercices 27

E1.21 Une urne contient 10 boules blanches, 5 boules noires et 5 boules rouges.Si l'on tire 5 boules,

a) Quel est le pourcentage des cas où l'on ne tire que des boules blanches ?b) Quel est le pourcentage des cas où l'on tire les 3 couleurs avec autant deboules noires que de rouges ?c) Quel est le pourcentage des cas où l'on tire plus de boules noires que deblanches ?

E1.22

a) Pour z = 1 + i√

3, calculer z, |z|, arg z, z−1 et z3.b) Donner les racines de léquation z2 = 1 + i

√3 sous formes polaire et carté-

sienne.c) Exprimer sous forme polaire les racines cubiques de w = 1

1−i + 1i .

E1.23

a) Trouver tous les z satisfaisant la relation |z| − 9i = 3z − 7.b) Trouver tous les z satisfaisant l'égalité z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0.

E1.24 Montrer, en utilisant la formule de Moivre, que sin 3t = 3 sin t− 4 sin3 t.

E1.25 Pour quelles valeurs de l'entier n le nombre complexe (√

3+ i)n est-il unnombre réel positif, réel négatif ou imaginaire pur ?


Notions théoriques1.1 Classication des nombres

La notion de nombre regroupe les cas suivants :N : l'ensemble inni dénombrable des nombres naturels. Parmi ceux-ci, on

distingue les nombres premiers, caractérisés par le fait qu'ils sont divisiblesuniquement par 1 et eux-mêmes, et les nombres naturels décomposables,caractérisés par le fait qu'ils ne sont pas premiers. A noter qu'il existe uneinnité de nombres premiers.

Z : l'ensemble des nombres entiers qui sont les nombres naturels aectés dusigne + ou −, excepté 0 qui n'a pas de signe.

Q : l'ensemble des nombres rationnels qui sont les quotients de 2 nombresentiers, 0 n'étant jamais au dénominateur. On peut exprimer ces nombressous forme de nombres décimaux où les décimales forment un paquet niou se répétant indéniment après un certain rang tels que, par exemple,54125 = 0, 432 ou 4271

3700 = 1, 15432432432 . . .R : l'ensemble des nombres réels formé par tous les nombres décimaux.

On notera, comme dans [9], N∗ = N \ 0, Z∗ = Z \ 0, etc.

Les propriétés suivantes sont vériées : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Dans N, tout nombre se décompose de manière unique en produit de

nombres premiers.

Dans N, on dit que b est un diviseur de a (ou que b divise a) s'il existe unentier k tel que a = kb. On dit aussi que a est divisible par b.

Le PGCD de a et b est le plus grand élément de l'ensemble des diviseurscommuns à a et à b. Cet élément existe car l'ensemble dénombrable des divi-seurs communs à a et b est non vide puisque 1 en fait partie et est majoré para puisque si d divise a et b il est plus petit ou égal à a. On le désigne par lanotation PGCD(a, b).

Le PPCM de a et b est le plus petit éléments de l'ensemble des multiplescommuns à a et b qui sont strictement posititfs. Cet élément existe car cet en-semble dénombrable est non vide puisque ab en fait partie, et est une partie deN par dénition. On le désigne par la notation PPCM(a, b).

Les nombres a et b sont dits premiers entre eux si leur PGCD vaut 1 ; cecisignie qu'ils n'ont d'autres diviseurs communs que 1 et −1.

Pour illustrer la propriété Q ⊂ R, démontrer que√

2 n'est pas rationnel.Démonstration : Supposons que

√2 ∈ Q. Dans ce cas,

√2 peut s'écrire sous

forme de fraction irréductible, c'est-à-dire√

2 =a

b

avec a ∈ N, b ∈ N∗ et a et b premiers entre eux. En élevant les deux membresde l'équation au carré, on obtient

a2

b2= 2 ⇒ a2 = 2b2,

ce qui signie que a2 est pair et donc que a l'est aussi. On peut donc écrire asous la forme a = 2n, n ∈ N. D'où b2 = a2

2 = 2n2 est donc pair, ce qui implique

1.2 Opérations sur les ensembles Q et R 29

que b l'est aussi. Mais dans ce cas la fraction ab n'est pas irréductible puisque

a et b sont divisibles par 2. Il y a donc contradiction et il est impossible que√2 ∈ Q, d'où √2 /∈ Q cqfd.

1.2 Opérations sur les ensembles Q et RLes ensembles Q et R sont munis de deux lois internes : l'addition (notée +)

et la multiplication (noté ·). Ces lois vérient les propriétés suivantes.

Propriétés : ∀a, b, c ∈ R,

a+ b = b+ a a · b = b · a commutativitéa+ (b+ c) = (a+ b) + c a · (b · c) = (a · b) · c associativité

a+ 0 = a a · 1 = a éléments neutres∀a, ∃b tel que ∀a 6= 0, ∃b tel que

a+ b = 0 ⇒ b = −a a · b = 1 ⇒ b = 1/a existence d'inverses

a · (b+ c) = a · b+ a · c distributivité

Un ensemble possédant de telles propriétés est appelé un corps (les corps desrationnels et des réels dans notre cas).

Identités remarquables :

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

(a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc(a+ b)(a− b) = a2 − b2

(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

(a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3

(a− b)(a2 + ab+ b2) = a3 − b3

(a+ b)(a2 − ab+ b2) = a3 + b3

Binôme de Newton :

(a+ b)n =n∑

p=0

(np

)an−p bp

où(np

)= Cp

n sont les coecients binomiaux (cf.1.12).

1.3 Relation d'ordre et ensemble ordonnéSoit E un ensemble et R une relation sur E. R est une relation d'ordre si∀x, y, z ∈ E :

xRx réexivité,xRy et yRx ⇒ x = y symétrie,xRy et yRz ⇒ xRz transitivité.


L'ensemble (E,R) s'appelle alors ensemble ordonné.Exemples : les ensembles (N,6), (Z,6), (Q,6) et (R,6) sont des ensemblesordonnés. Par analogie, on note souvent R par 6.On dit que x < y si x 6 y et x 6= y et x > y si y < x. Dans les ensemblesci-dessus, on a trois cas, x < y, x = y ou x > y.

Propriétés de monotonie :

x 6 y ⇒ x+ z 6 y + z , ∀z0 6 x et 0 6 y ⇒ 0 6 xy

1.4 Division polynomialeMéthode standard :

3x4 - 7x3 + 4x2 + 4 x− 23x4 - 6x3 3x3 − x2 + 2x+ 4

- x3

- x3 + 2x2

2x2

2x2 - 4x4x4x - 8

12

Cas particulier :Division d'un polynôme P (x) par un monôme (x − x0) : la méthode appeléeschéma de Horner permet d'obtenir rapidement la valeur des coecients duquotient. On écrit

P (x) = anxn + · · ·+ a1x+ a0 = (x− x0)

(bnx

n−1 + · · ·+ b2x+ b1)

+ b0,

ce qui implique an = bn puis ak = bk−x0bk+1 c'est-à-dire la relation récurrentebk = ak + x0bk+1, k = n− 1, n− 2, . . . , 0.Pour eectuer l'algorithme, on forme un tableau de 3 lignes et n + 1 colonnesoù n est le degré de P (x). On porte sur la première ligne, en commençant parla première colonne, les coecients an, an−1, . . . , a1, a0. La deuxième ligne estformée de 0, x0bn, . . . , x0b1 et la dernière de bn = an, bn−1, . . . , b0 = P (x0).Exemple : P (x) = 3x4 − 7x3 + 4x2 + 4 et x0 = 2

3

²²

−7 4 0 4

6

²²

−2 4 8

+

3

·2

II¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶−1

·2

HHµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ2 4 12

3x4 − 7x3 + 4x2 + 4 = (x− 2) · (3x3 − x2 + 2x+ 4) + 12.

1.5 Décomposition en éléments simples 31

Le dernier terme de la troisième ligne est P (x0), ici P (2) = 12.

DivisibilitéUn polynôme P (x) est divisible par un polynôme D(x) s'il existe un polynômeQ(x) tel que P (x) = D(x) ·Q(x) pour tout x ∈ R.

Règle :Si un polynôme P (x) s'annule en a ∈ R, alors il est divisible par x− a.

1.5 Décomposition en éléments simples

Soit la fraction P (x)Q(x)

. Si le degré de P (x) est supérieur ou égal au degré de

Q(x), on eectue la division. Soit R(x) le reste de la divison. La fraction R(x)Q(x)

peut se décomposer en éléments simples de première et de deuxième espèce.Tout polynôme (x − a)n gurant dans la factorisation de Q(x) fait apparaîtreune somme d'éléments appelés éléments simples de première espèce, de la forme

n∑

i=1

Ai

(x− a)i, Ai ∈ R.

Tout polynôme irréductible (x2 +bx+c)m tel que ∆ = b2−4c < 0, présent dansla factorisation de Q(x), fait apparaître une somme d'éléments appelés élémentssimples de deuxième espèce, de la forme

m∑

j=1

Bjx+ Cj

(x2 + bx+ c)j, Bj , Cj ∈ R.

Remarque : on peut montrer que tout polynôme Q(x) peut être factorisé defaçon unique dans R de la manière suivante :

Q(x) = (x− a1)k1 · · · (x− am)km · (x2 + b1x+ c1)l1 · · · (x2 + bnx+ cn)ln ,

où k1, . . . km, l1, . . . ln ∈ N∗ et l'on a : k1 + · · ·+ km + 2(l1 + ·+ ln) = degré deQ.

Exemple : soit la fraction 6x6+x5−2x4+x+5x4−x3−x+1 . On peut eectuer la division se-

lon la méthode standard et l'on obtient :6x6 + x5 − 2x4 + x+ 5

x4 − x3 − x+ 1= 6x2 + 7x+ 5 +

11x3 + x2 − x

x4 − x3 − x+ 1.

La fraction 11x3+x2−xx4−x3−x+1 peut être décomposée en une somme d'éléments simples.

Remarquons d'abord que x4 − x3 − x+ 1 = (x− 1)2(x2 + x+ 1). On aura donc

11x3 + x2 − x

x4 − x3 − x+ 1=

A1

x− 1+

A2

(x− 1)2+

B1x+ C1

x2 + x+ 1.

On peut trouver la valeur des coecients A1, A2, B1 et C1 en sommant lesfractions et en égalant les numérateurs de part et d'autre de l'égalité :

A1(x−1)(x2 +x+1)+A2(x2 +x+1)+(B1x+C1)(x−1)2 = 11x3 +x2−x (∗)On obtient ainsi un système linéaire de quatre équations à quatre inconnues àrésoudre :


A1 +B1 = 11A2 − 2B1 + C1 = 1A2 +B1 − 2C1 = −1−A1 +A2 + C1 = 0

dont les solutions sont A1 = 233 , A2 = 11

3 , B1 = 103 et C1 = 4.

Remarque : on peut simplier le calcul, en posant x = 1 dans (∗) : on obtientainsi 3A2 = 11, d'où A2.

1.6 Puissances et racines

Propriétés : ∀x réel > 0 et r, s rationnels,

x0 = 1xp/q = q

√xp (p ∈ N, q ∈ N∗)

xr · xs = x(r+s)

(xr)s = x(r·s)

Exemple : 30,75 = 33/4 = (33)1/4 = 4√

27.

1.7 L'exponentiel et le logarithmeNombre d'Euler

e := limn→∞

(1 +1n

)n ≈ 2, 71828

ExponentielOn appelle exponentiel de base a > 0 le nombre ax, ou aussi la fonction x 7→ ax,ayant les propriétés suivantes :

Propriétés :ax · ay = a(x+y)

ax

ay = a(x−y)

(ax)y = a(x·y)

On appelle ex exponentiel de x.

Logarithme naturelOn appelle logarithme naturel de x > 0, le nombre noté lnx et donné par :

eln x = x, ∀x > 0

1.8 Intervalles 33

Propriétés : ∀x, y > 0,

ln(1) = 0, ln(e) = 1, (e ≈ 2, 71828)ln(x · y) = lnx+ ln y

ln(x

y

)= lnx− ln y

∀x > 0, ∀y ∈ R,ln(xy) = y ln(x)ln(ey) = y

Logarithme de base a > 0, a 6= 1On appelle logarithme de base a de x > 0, noté loga(x), le nombre

loga(x) =ln(x)ln(a)

qui vérie aloga(x) = x.

On note log(x) le logarithme de base 10 de x.Pour la dénition des fonctions exponentielles et logarithmes, voir le chapitre 3.

1.8 IntervallesSoit A 6= ∅ un sous-ensemble de l'ensemble ordonné R.

MinorantA est dit minoré s'il existe a ∈ R tel que pour tout x ∈ A on a x ≥ a. Le nombrea est appelé minorant de A.

MajorantA est dit majoré s'il existe b ∈ R tel que pout tout x ∈ A on a x ≤ b. Le nombreb est appelé majorant de A.

Sous-ensemble bornéA est dit borné, s'il est à la fois minoré et majoré.

InmumUn minorant a ∈ R est dit inmum ou borne inférieure de A, noté a = inf A, sia est le plus grand minorant. Si A n'est pas minoré, on pose inf A = −∞.

SupremumUn majorant b ∈ R est dit supremum ou borne supérieure de A, noté b = supA,si b est le plus petit majorant. Si A n'est pas majoré, on pose supA = +∞.

MinimumUn minorant a ∈ R est dit minimum de A, noté a = minA, si a = inf A et a ∈ A.

MaximumUn majorant b ∈ R est ditmaximum de A, noté b = maxA, si b = supA et b ∈ A.

Intervalles bornésUn intervalle est un sous-ensemble A 6= ∅ de R qui contient tous les nombresentre inf A et supA. Pour les intervalles bornés, on a quatre possibilités suivant


que inf A et supA appartiennent ou n'appartiennent pas à l'intervalle. Soient−∞ < a < b < +∞.

Intervalle ouvert : ]a, b[ = x ∈ R : a < x < b.Intervalle fermé : [a, b] = x ∈ R : a 6 x 6 b.Intervalle semi-ouvert à gauche : ]a, b] = x ∈ R : a < x 6 b.Intervalle semi-ouvert à droite : [a, b[ = x ∈ R : a 6 x < b.

Intervalles non bornésIntervalle ouvert : ]−∞, b[ = x ∈ R : x < b.Intervalle fermé (à gauche) : [a,+∞[ = x ∈ R : x > a.

Remarque : selon les situations, R peut être considéré comme un ensembleouvert ou fermé.

1.9 Valeur absolueA tout nombre réel x, on peut associer le nombre réel positif ou nul déni

par|x| =

x si x ≥ 0,

−x sinonet |x| est appelé la valeur absolue de x.Il en découle que

|x| < a⇔ −a < x < a et |x| 6 a⇔ −a 6 x 6 a

|x| > a⇔ x < −a ou x > a et |x| > a⇔ x 6 −a ou x > a.

Propriétés : Pour x, y ∈ R on a :

Homogénéité : |xy| = |x||y|.Inégalité triangulaire : |x+ y| 6 |x|+ |y|.Positivité : |x| > 0 et

|x| = 0 ⇔ x = 0.

Conséquences :• Si y 6= 0,

∣∣∣xy

∣∣∣ =|x||y| .

• ∣∣|x| − |y|∣∣ 6 |x− y|.

1.10 Les diérents types de démonstrations1.10.1 Démonstration directe

Elle consiste à démontrer la proposition énoncée (par exemple un théorème)en partant directement des hypothèses données et en arrivant à la conclusionpar une suite d'implications logiques.

Exemple :Soit n un nombre entier positif ou nul (n ∈ N) et considérons P (n) = n2+7n+12.Alors il n'existe pas n tel que

√P (n) ∈ N.

Démonstration :

Pour tout n , n2 + 6n+ 9 < n2 + 7n+ 12 < n2 + 8n+ 16,

1.10 Diérents types de démonstrations 35

d'où (n+ 3)2 < P (n) < (n+ 4)2,

donc |n+ 3| <√P (n) < |n+ 4|.

Puisque n+ 3 > 0, on déduit quen+ 3 <

√P < (n+ 3) + 1, d'où

√P /∈ N cqfd.

1.10.2 Démonstration par l'absurdeElle consiste à supposer le contraire de la proposition énoncée et de montrer

qu'on aboutit alors à une contradiction (impossibilité).

Exemple :Soit P (n) = n2 + 2n− 21 ; alors

√P (n) /∈ N.

Démonstration : supposons que pour un certain n, P (n) soit un carré parfait.On peut poser : n2 + 2n− 21 = (p+ 1)2 = p2 + 2p+ 1 , p ∈ N

⇒ n2 − p2 + 2(n− p) = 22 ⇒ (n− p)︸︷︷︸∈N

· (n+ p+ 2)︸︷︷︸∈N

= 22 = 1 · 22 = 2 · 11.

n+ p+ 2 = 22 11ou

n− p = 1 2

⇒ 2p+ 2 = 21 ou 9

⇒ p =192

ou 72/∈ N, contradiction.

1.10.3 Démonstration par récurrence ou inductionOn l'utilise dans le cas où la proposition fait intervenir (directement ou in-

directement) les nombres naturels ; en particulier, le résultat est fonction del'indice n ∈ N∗.Méthode : on montre d'abord que le résultat est vrai pour n=1 (ou plusgénéralement pour un indice N0 ∈ N) ; puis on démontre, en admettant qu'ilest vrai pour n, n ≥ 1(plus généralement n ≥ N0), qu'il reste vrai pour n+ 1.

Exemple : Vérier S(n) = 12 + 22 + . . .+ n2 =16n(n+ 1)(2n+ 1) (∗∗)

Démonstration : on a, pour n=1, 12 =16· 1 · 2 · 3 ⇒ 1 = 1 vrai.

Admettons l'égalité vraie pour n ; alors

S(n+1) = 12+22+. . .+n2+(n+1)2 = S(n)+(n+1)2 =16n(n+1)(2n+1)+(n+1)2

=16(n+ 1)(2n2 + 7n+ 6) =

16(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3)

=16(n+ 1)[(n+ 1) + 1][2(n+ 1) + 1];

c'est (∗∗), où l'on a remplacé n par n+ 1 cqfd.

Attention : il faut montrer que le résultat est vrai pour n = 1. Admettrequ'un résultat est vrai pour n et montrer qu'il reste vrai pour n+1 ne sut pas !Contre-exemple : soit S(n) = −1+3·2−3+3·4−5+3·6−. . .−(2n−1)+3·2n.Admettons que S(n) = (n+ 1)(2n+ 1). Alors,S(n+1) = S(n)−(2n+1)+3·2(n+1) = (n+1)(2n+1)−(2n+1)+6n+6 = 2n2+7n+6

= (n+ 2)(2n+ 3) = [(n+ 1) + 1][2(n+ 1) + 1].

Mais S(1) = −1 + 6 6= 2 · 3 !


1.10.4 Le rôle des hypothèses, conditions nécessaires et susantes

Si les hypothèses ne sont pas vériées, la conclusion proposée n'est pas forcé-ment fausse !Exemple :

Hypothèse : soit x = 10n, n ∈ N∗.Conclusion : x est divisible par 5.

Le nombre 15 ne vérie pas l'hypothèse. Il est pourtant divisible par 5 !

Soient A, B, et C des propriétés, on note A, B, et C les propriétés non A, res-pectivement non B et non C. d'une manière générale, si A ⇒ B, alors B ⇒ A(non B implique non A), mais A; B.

(A ou B) ⇒ C est démontré si l'on montre que A⇒ C ou B ⇒ C.A ⇒ (B et C) est démontré si l'on montre que A⇒ B et A⇒ C.De plus, on a(A et B) ⇒ C est démontré si l'on montre que (A et C) ⇒ B.(A et B) ⇒ C est démontré si l'on montre, qu'il existe une propriété D telleque (A et B et C) ⇒ (D et D).

Conditions nécessaires et susantesExemple 1 :

Les conditions suivantes sont vraies si l'on veut qu'un nombre soit divisiblepar 6 :

Condition nécessaire : il doit être divisible par 2.Condition susante : il est divisible par 12.Condition nécessaire et susante : il est divisible par 2 et par 3.

Exemple 2 :Les conditions suivantes sont vraies si l'on veut qu'un quadrilatère Q soit

un losange :Condition nécessaire : Q est un parallélogramme.Condition susante : Q est un carré.Condition nécessaire et susante : les diagonales de Q se coupent

perpendiculairement en leur milieu.

1.11 Notions de la théorie des ensembles

Soient A, B et C des ensembles.Inclusion : A ⊂ B ⇔ ∀a ∈ A ⇒ a ∈ B.Intersection : x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A et x ∈ B.Réunion : x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ou x ∈ B.Complémentaire : x ∈ A ⇔ x /∈ A (parfois A est noté Ac).Cardinalité d'un ensemble ni : card(A) = nombre d'éléments de l'ensemble A.remarque : A = B si et seulement si A ⊂ B et B ⊂ A.

1.12 Introduction à l'analyse combinatoire 37

Propriétés :

commutativitéA ∩ B = B ∩ A et A ∪ B = B ∪ A

associativitéA ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C et A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

distributivitéA ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

lois de Morgan(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc et (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

Diérence : A \ B = A ∩ Bc.Diérence symétrique : A M B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B).Principe d'inclusion-exclusion : card(A∪B) = card(A) + card(B) − card(A∩B).Produit cartésien : A× B = (a, b) | a ∈ A et b ∈ B ;

card(A× B) = card(A) · card(B).

1.12 Introduction à l'analyse combinatoirePermutationsLe nombre de possibilités de ranger n objets parmi n distinguables est

Pn = Ann = n!

Arrangements de p objets parmi nLe nombre de possibilités de ranger p objets choisis parmi n, en tenant comptede l'ordre, est

Apn = n(n− 1) . . . (n− p+ 1) =

n!(n− p)!

Combinaisons de p objets parmi nSi l'on ne tient pas compte de l'ordre des objets dans le rangement, le nombrede possibilités est alors

Cpn =

(np

)=

n!p!(n− p)!

Propriétés :

C0n = Cn

n = 1( n

0

)=

( nn

)= 1

Cpn = Cn−p

n ou( np

)=

( nn− p

)

Cpn = Cp−1

n−1 + Cpn−1

( np

)=

( n− 1p− 1

)+

( n− 1p

)


Triangle de Pascal :

1

¡¡¡¡¡¡

¡¡¡

ÁÁ>>>

>>>>

1

¡¡¡¡¡¡

¡¡¡

ÁÁ>>>

>>>>

1

¡¡¡¡¡¡

¡¡¡

ÁÁ>>>

>>>>

1

¡¡¡¡¡¡

¡¡¡

ÁÁ>>>

>>>>

2

¡¡¡¡¡¡

¡¡¡

ÁÁ>>>

>>>>

1

¡¡¡¡¡¡

¡¡¡

ÁÁ>>>

>>>>

1

¡¡¡¡¡¡

¡¡¡

ÁÁ>>>

>>>>

3

¡¡¡¡¡¡

¡¡¡

ÁÁ>>>

>>>>

3

¡¡¡¡¡¡

¡¡¡

ÁÁ>>>

>>>>

1

¡¡¡¡¡¡

¡¡¡

ÁÁ>>>

>>>>

1

ÄÄ ÃÃ

4

~~ ÃÃ

6

~~ ÃÃ

4

~~ ÃÃ

1

~~ ÂÂ

Remarque : il découle de la formule du binôme de Newton quen∑

k=0

Ckn = 2n.

RemarqueSi l'on dispose d'une innité d'exemplaires de n objets, ou si l'on eectue untirage avec remise, on augmente le nombre de possibilités.On obtient dans ce cas :

A′pn = np et C

′pn = Cp

n+p−1 =(n+ p− 1)!p!(n− 1)!

Nombre de possibilités d'avoir ni fois le ième objet, i = 1, 2 . . . , k :

P ′n(n1, n2, . . . , nk) =(n1 + n2 + · · ·+ nk)!

n1!n2! · · ·nk!

1.13 Introduction aux nombres complexes, éléments de C

Un nombre complexe z est de la forme, z = x+ iy où (x, y) ∈ R2 et i2 = −1.On appelle x partie réelle de z et y partie imaginaire de z et on note x = Re z,y = Im z et C l'ensemble des nombres complexes. Deux nombres complexesz1 = x1 + iy1 et z2 = x2 + iy2 sont égaux si et seulement si x1 = x2 et y1 = y2.Remarque : si Im z = 0 alors z ∈ R et on a

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

On représente géométriquement l'ensemble C par le plan R2, muni d'un repèreorthonormé directe, qu'on appelle plan complexe et on dit qu'un point du planest d'axe z = x + iy s'il a pour coordonnées (x, y) comme dans la gure ci-dessous.

1.13 Nombres complexes 39

-

6

R

R

O x1

y1z1 = x1 + iy1

z2

z = z1 + z2

©©©©©©©©*

¡¡

¡¡

¡¡µ

3

1.13.1 Opérations sur C

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2).z1 · z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1).i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i.

ModuleSi z = x+ iy, le nombre réel |z| =

√x2 + y2 est appelé le module de z. Si z ∈ R,

|z| est égal à la valeur absolue (√x2 = |x|). Dans le plan complexe, |z| représente

la distance d'un point d'axe z à l'origine d'axe 0.

Propriétés du module. Pour z, z1, z2 ∈ C on a :

1. Positivité : |z| ≥ 0 et |z| = 0 ⇔ z = 0.2. Homogénéité : |z1z2| = |z1||z2|.3. Inégalité triangulaire : |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|.

Conséquences :• Si z2 6= 0, | z1

z2| = |z1|

|z2| .•

∣∣|z1| − |z2|∣∣ ≤ |z1 − z2|.

Conjugué complexeSi z = x+ iy, le nombre z = x− iy est appelé le conjugué complexe de z.

Propriétés du conjugué. Pour z, z1, z2 ∈ C on a :

1. z = z.2. z1 + z2 = z1 + z2.3. z1 · z2 = z1 · z2.4. Si z2 6= 0, ( z1

z2) = z1

z2.

5. z · z = |z|2 et |z| = |z|.6. Si z 6= 0, z−1 = 1

z = z|z|2 .

7. Rez = z+z2 Imz = z−z

2i .

1.13.2 Représentation polaire des nombres complexesSoit z = x+ iy 6= 0. Donc |z| = r 6= 0 et z

r correspond à un point unique surle cercle unité. Il existe ainsi une valeur θ, unique dans l'intervalle [0, 2π[, telle


quex = r cos θy = r sin θ

-

6

©©©©©©z

r

θ

r

θ est appelé l'argument de z et on le note θ = arg z. Ainsi déni, le couple(r, θ) détermine un seul z.Remarque : (r, θ′), où θ′ = θ+ 2kπ, k ∈ Z dénit un nombre complexe z′ égalà z.

Tout nombre complexe z 6= 0 peut donc s'écrire sous forme polaire :

z = r(cos θ + i sin θ)

où r = |z| et θ = arg z.

Formule de Moivre. Pour tout entier n ∈ N et θ ∈ R :

(cos θ + i sin θ)n = cosnθ + i sinnθ.

La formule de Moivre reste vraie pour n ∈ Z.

Calcul en représentaion polaire. Soit zk = rk(cos θk + i sin θk), k = 1, 2.

1. zk = rk(cos θk − i sin θk).2. Si zk 6= 0, 1

zk= 1

rk(cos θk − i sin θk).

3. z1 · z2 = r1r2(cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)

).

4. arg(z1 · z2) = arg z1 + arg z2 + 2kπ, k ∈ Z.

Multiplier par un nombre complexe z = r(cos θ + i sin θ) 6= 0 correspond doncà une homothétie de centre O et de rapport r suivie d'une rotation de mêmecentre et d'angle θ.

1.13.3 Racines d'un nombre complexe

Proposition : Soient s > 0, β ∈ R et n un entier positif. L'équation

zn = s(cosβ + i sinβ)

admet exactement n solutions distinctes qui sont de la forme

z = n√s · (cos θ + i sin θ) où θ =

β + 2kπn

, k = 0, 1, . . . , n− 1.

1.13 Nombres complexes 41

Racine carrée (expression algébrique).Les solutions de l'équation z2 = a+ ib, b 6= 0 sont

z = ±[sgn b

√12(√a2 + b2 + a) + i

√12(√a2 + b2 − a)

].

(voir 3.3 pour la fonction sgn)


SolutionsS1.1 Soient N ′ et N ′′ deux nombres impairs consécutifs. Il existe n ∈ N∗ telque N ′ = 2n− 1 et N ′′ = 2n+ 1, d'où N ′ +N ′′ = 4n, multiple de 4.S1.2 Notons S(n) la somme cherchée :

S(n) = 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) =n

2(1 + 2n− 1) = n2 ;

on a bien S(1) = 1 = 12 et S(n+1) = S(n)+ (2n+1) = n2 +2n+1 = (n+1)2.S1.3

a) On a P (m+ 1) = (m+ 1)2− 2(m+ 2)(m+ 1) + (m2 + 4m+ 3) = m2 + 2m+1− 2(m2 + 3m+ 2) +m2 + 4m+ 3 = 0.b) Le trinôme P (x) s'annule en x = (m+1) ; il est donc divisible par x−(m+1).c) On divise P (x) par x−m− 1 et on obtient : P (x) = (x−m− 1)(x−m− 3).d) Les racines du trinôme étant m+ 1 et m+ 3, la condition imposée impliquem ∈ −1, 0, 1, 2.S1.4 Un nombre naturel N peut s'écrire de manière unique comme suit :

N = an · 10n + an−1 · 10n−1 + · · ·+ a2 · 102 + a1 · 10 + a0

où an, an−1, . . . , a0 ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Alors,

N = an(10n−1)+an−1(10n−1−1)+· · ·+a2(102−1)+a1(10−1)+an+· · ·+a1+a0.

Or, pour k ∈ 1, . . . , 9, (10k − 1) est divisible par 9. Donc si an + · · ·+ a0 estdivisible par 9, alors N est divisible par 9.Il s'ensuit également que si an + · · ·+ a0 est divisible par 3, N l'est aussi.

S1.5 Le système à résoudre est

a+ b = d′

a− b = d′′ où d′ > d′′ sont des entiers tels

que d′d′′ = c2. Pour c = 34, on obtient (a, b) = (290, 288) et pour c = 35, on a :

(a, b) ∈ (613, 612), (125, 120), (91, 84), (37, 12).

S1.6 Si l'on suppose que 3√

333 =a

b, où a, b ∈ N∗ sont premiers entre eux (1),

alors 333b3 = a3, d'où 3 est diviseur de a3 ; donc 3 est aussi diviseur de a. Onécrit a = 3a′, a′ ∈ N∗ et on a 333b3 = 27a′3 ou aussi 37b3 = 3a′3 ce qui impliqueque 3 divise b3 ; donc 3 est diviseur de b. Il en découle que a et b ont un diviseurcommun, ce qui contredit (1).S1.7 On a :

√3 − r = 3

√2, d'où r3 + 9r + 2 = (3r2 + 3)

√3 c'est-à-dire

r2 + 9r + 23(r2 + 1)

=√

3. Si r ∈ Q, alors la fraction est rationnelle, ce qui est im-

possible car√

3 /∈ Q ; donc r /∈ Q.S1.8

a) On amplie la fraction par le conjugué du dénominateur soit 2√

5 + 3√

2,d'où

r =12(√

5 + 2√

2)(2√

5 + 3√

2) = 11 +72

√10.

b) Après transformation, comme pour a), on peut écrire r2 =√

14 +√

6.

On doit avoir (√

72

+q√

32)(√

14+√

6) = q′ ∈ Q d'où (√

7+q√

3)(√

7+√

3) = q′

et (1 + q)√

21 = q′ − 3q − 7, d'où nécessairement q = −1 et q′ = 4.

Solutions des exercices 43

S1.9 On vérie que r3 + 3r + 2α = 0 en utilisant la formule du cube de a+ b.Si α = 2, alors r = δ d'où δ3+3δ+4 = 0 = (δ+1)(δ2−δ+4) ; on en conclut que laseule racine réelle est δ = −1, nombre entier, d'où (

√5−2)1/3−(

√5+2)1/3 ∈ Q.

S1.10

a) x6 + 5x4 + 40x3 + 15x+ 1

x+ 3= x5 − 3x4 + 14x3 − 2x2 + 6x− 3 +

10x+ 3

.

b) −3x6 + x5 + 3x4 − 5x2 + 1

= −3x4 + x3 + 6x2 − x− 6 +x+ 1x2 + 1

.

c) −5 + 3x4 + x5 − 3x6

1 + x2= −5 + 5x2 − 2x4 +

x5 − x6

1 + x2.

S1.11

a) On factorise d'abord le dénominateur et on obtient : x4 + x3 + x + 1 =(x+ 1)2(x2 − x+ 1). On aura donc

7x3 − 3x2 − 6x+ 1x4 + x3 + x+ 1

=A1

x+ 1+

A2

(x+ 1)2+

Bx+ C

x2 − x+ 1.

On peut trouver la valeur des coecients A1, A2, B et C en identiant les deuxmembres de l'égalité. On obtient ainsi un système linéaire de quatre équationsà quatre inconnues à résoudre :

A1 +B = 7A2 + 2B + C = −3−A2 +B + 2C = −6A1 +A2 + C = 1

dont la solution est A1 = 6, A2 = −1, B = 1 et C1 = −4. La fraction s'écritdonc :

7x3 − 3x2 − 6x+ 1x4 + x3 + x+ 1

=6

x+ 1− 1

(x+ 1)2+

x− 4x2 − x+ 1

.

b) Dans ce cas,

2x3 − 3x3 − x2 + 2x− 2

= 2 +2x2 − 4x+ 1

(x− 1)(x2 + 2)= 2 +

A

x− 1+Bx+ C

x2 + 2;

A, B et C doivent vérier le système

A+B = 2B − C = 42A− C = 1

dont la solution est :

A = − 13 , B = 7

3 et C = − 53 . Ainsi,

2x3 − 3x3 − x2 + 2x− 2

= 2− 13(x− 1)

+7x− 5

3(x2 + 2)

S1.12

a) La décomposition de cette fraction est de la forme A

x− 1+

B

x− 2+

C

x− 3,

d'où l'on tire

7− 3x = A(x− 2)(x− 3) +B(x− 1)(x− 3) + C(x− 1)(x− 2).

En posant x = 1, respectivement 2 et 3, on trouve A = 2, B = −1 et C = −1

d'où 7− 3xx3 − 6x2 + 11x− 6

=2

x− 1− 1x− 2

− 1x− 3

.


b) En écrivant x = (x−1)+1, on obtient au numérateur l'expression (x−1)2 +3(x− 1) + 3, par conséquent,

x2 + x+ 1(x− 1)8

=3

(x− 1)8+

3(x− 1)7

+1

(x− 1)6.

S1.13 On a R(x) =A

x− 1+

B

x+ 1+Cx+D

x2 + 1et la condition imposée implique

D = 0. Il s'en suit :

A(x+ 1)(x2 + 1) +B(x− 1)(x2 + 1) + Cx(x2 − 1) = −4x3 + px2 + 6x+ 3,

d'où, en posant x = 1 puis x = −1 et enn x = 0, on obtient A = 14 (p + 5),

B = − 14 (p+ 1) et 3 = 1

4 (p+ 5) + 14 (p+ 1), ce qui implique que p = 3.

S1.14

a) A = p2m(2m−1) ; m = −2.b) B = p2 + 1.c) rn = p1−2−n .d) D = 3

√2 +

√6 =

√6(√

3 + 1).

S1.15 On a E = a2x a2x − a−2x

ax + a−x= a2x (ax + a−x)(ax − a−x)

ax + a−x= a3x − ax.

S1.16 On a N = 3 log2(2−4) + 2 log√3(√

3)6 = 3 · (−4) + 2 · 6 = 0.S1.17 On va démontrer cette proposition par l'absurde. On suppose donc quechaque Ai, i = 1, 2, 3 contient au moins un autre. Il existe donc j tel queAj ⊂ A1, j = 2 ou j = 3. De même, il existe k tel que Ak ⊂ Aj , k 6= j et k 6= 1,car si k = 1 on aura A1 ⊂ Aj ⊂ A1 donc A1 = Aj ce qui contredit l'hypothèse.On en déduit que si j = 2 alors k = 3 et si j = 3 alors k = 2. Soit m tel queAm ⊂ Ak. Par le même raisonnement, on peut voir que m 6= k et m 6= j doncm 6= 2 et m 6= 3 d'où m = 1 ; mais A1 ⊂ Ak ⊂ Aj ⊂ A1 implique que les troisensembles sont identiques ce qui n'est pas possible. Cette contradiction montrequ'il existe au moins un des Ai qui ne contient aucun autre Aj .S1.18Montrons d'abord que (A∪B)×C ⊂ A×C∪B×C. Soit (x, y) ∈ (A∪B)×C ;on a alors x ∈ (A ∪ B) et y ∈ C, donc x ∈ A ou x ∈ B et y ∈ C ce qui revient àdire (x, y) ∈ A×C ou (x, y) ∈ B×C ; d'où (x, y) ∈ A×C ∪B×C ce qui impliquel'inclusion ci-dessus.Réciproquement, si (x, y) ∈ A×C∪B×C, alors (x, y) ∈ A×C ou (x, y) ∈ B×C.Le couple (x, y) est tel que x ∈ A et y ∈ C ou x ∈ B et y ∈ C, c'est-à-direx ∈ (A ∪ B) et y ∈ C. On en déduit que (x, y) ∈ (A ∪ B) × C et donc queA× C ∪ B × C ⊂ (A∪ B)× C. Les deux inclusions obtenues impliquent l'égalitécherchée.S1.19 On a

(1 + 1)n + (1− 1)n

2= C0

n + C2n + C4

n + · · ·+ C2pn + · · · = 2n−1

De même,

(1 +√

2)n + (1−√2)n

2= C0

n + 2C2n + 4C4

n + · · ·+ 2pC2pn + · · ·

S1.20

a) La réponse est 86 = 262′144.


b) Dans ce cas, la réponse est 8!2! = 20′160.

c) Il y a 420 nombres à 7 chires et 180 + 60 + 120 + 60 = 420 à 6 chires.

S1.21

a) Nombre de cas favorables : 252. Nombre de cas possibles : 15′504 ; d'où lepourcentage est 1, 63% .b) Nombre de cas favorables : 3000 + 1000 = 4000. Nombre de cas possibles :15′504 ; d'où le pourcentage est 25, 8% .c) Pour le nombre de cas favorables, il faut considérer tous les cas où l'on a plusde boules noires que de boules blanches (9 cas). Par exemple pour le cas 3 noires1 blanche (et donc 1 rouge) on aura

( 53

)( 101

)( 51

)= 500 cas possibles.

En tout, on a par conséquent : Nombre de cas favorables : 25 + 100 + 100 +25 + 1 + 1000 + 500 + 50 + 450 = 2251. Nombre de cas possibles : 15′504 doncle pourcentage est 14, 5% .

S1.22

a) z = 1− i√

3, |z| = 2, arg z =π

3, z−1 =

1− i√

34

et z3 = −8.

b) Noter que 1 + i√

3 = 2(cos π3 + i sin π

3 ). La forme polaire des deux racines estdonc z1 =

√2(cos π

6 + i sin π6 ), z2 =

√2(cos 7π

6 + i sin 7π6 ), et la forme cartésienne

est z1 =√

22

(√

3 + i), z2 = −√

22

(√

3 + i).

c) On a aussi w = 12 − 1

2 i, d'où |w| = 2−1/2 et argw = 7π4 . Les racines cubiques

sont donc données par 16√2

(cos( 7π

12 + 2kπ3 ) + i sin( 7π

12 + 2kπ3 )

), k ∈ 0, 1, 2 .

S1.23

a) On doit résoudre l'équation√x2 + y2 − 9i = 3x + 3yi − 7, c'est-à-dire√

x2 + y2 = 3x− 7 ≥ 0 et 3y = −9. On obtient une unique solution z = 4− 3i.b) On a l'identité (1−z) ·(1+z · · ·+z6) = 1−z7, donc 1+z · · ·+z6 = 0 équivautà 1−z7 = 0 et z 6= 1. Les solutions de z7 = 1, z 6= 1 sont alors cos 2kπ

7 +i sin 2kπ7 ,

k ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6 .

S1.24 On a (cos t+ i sin t)3 = cos 3t+ i sin 3t, d'où

sin 3t = Im (cos3 t+ 3i cos2 t sin t− 3 cos t sin2 t− i sin3 t)= 3(1− sin2 t) sin t− sin3 t = 3 sin t− 4 sin3 t.

S1.25 Posons z =√

3 + i. On a alors |z| = 2, arg z = π6 . Donc

z = 2(cosπ

6+ i sin

π

6) et zn = 2n

(cos(

nπ

6) + i sin(

nπ

6)).

On en déduit que z est réel positif pour n = 12k, k ∈ Z, z est réel négatif pourn = 6(1 + 2k), k ∈ Z et z est imaginaire pur pour n = 3(1 + 2k), k ∈ Z.

chapitre 2Résolution des équations

ExercicesE2.1 Déterminer l'ensemble S des solutions de l'équation

x2 − x+ 3 =2x3 + x2 − 8x+ 6

x+ 2.

E2.2 Expliciter les valeurs positives de x satisfaisant la relation x

1− 1x

=x− 2

x

1 + 1x

.

E2.3 Résoudre l'équation x|x| − 6x+ 7 = 0.

E2.4 Résoudre le système

x < 1− 2|x|

4x2 + 7x− 2 ≤ 0

E2.5 Un promeneur se trouve sur un barrage dont la hauteur du mur est 284 m.Il aimerait connaître la hauteur de la colonne d'eau contre le barrage, en sonmilieu. Pour ce faire, il lance une pierre en direction du lac, avec un angle de 30

au-dessus de l'horizontale et une vitesse initiale de 10 m/s. La pierre atteint lasurface de l'eau après 4 secondes. Quelle est la hauteur de la colonne d'eau ? (Onadmettra pour simplier les calculs et permettre une résolution sans calculatriceque l'accélération due à la pesanteur est de 10 m/s2).

E2.6 Une voiture est arrêtée à 98 m d'un individu. A un instant donné, elledémarre et roule avec une accélération constante. Si l'accélération est de 4 m/s2,après combien de temps la voiture passe-t-elle devant l'individu ?Si une seconde voiture, partie du même endroit, met le double de temps pouratteindre l'individu, quelle est son accélération (qu'on suppose constante) ?

E2.7 Résoudre2

(e

32 x − e−

32 x

)= e

12 x + 5e−

12 x.

E2.8

a) Expliciter y en fonction de x sachant que

ln(ey − ex) = y + ln 2− ln(ey + ex).

b) Résoudre log 12(2x− 13− 15

x) < 1 + log 1

22(x− 15).

E2.9 Déterminer le paramètre p pour que le système (S) :

(p+ 6)x+ py = 3px+ y = p− 2

possède une innité de solutions.

Exercices 47

E2.10 On appelle forme quadratique une expression du typeQ(x, y) = ax2 + by2 + cxy + dx+ ey + f , où x et y sont des variables et a, b, c, d, eet f des nombres réels. L'équation Q(x, y) = 0 dénit, en général, une conique.Résoudre le système suivant (intersection d'une conique et d'une droite) :

x2 + 2y2 + 3xy − 5x+ y − 2 = 0x+ 3y + 7 = −1

E2.11 Trouver les coordonnées dans R3 des points situés à la fois : sur un cercle contenu dans un plan parallèle au plan Oxy, de centre (2, 3, 4)

et de diamètre égal à la distance entre ces deux plans ; dans le plan passant par les points A = (1, 4, 8) , B = (2, 3, 4) et C =

(4, 1, 1).(voir chapitre 4).

E2.12 Résoudre |x|+ |2− x| 6 x+ 1.

E2.13 Résoudre x− 4 >√

2x(x− 7).

E2.14 En utilisant les relations sgn(xy) = sgn(x) · sgn(y) pour xy 6= 0 etx · sgn(x) = |x| pour x 6= 0, résoudre

|x| · (24x−2 + sgn(x3 + x2 + x))< 10.

E2.15 Déterminer le domaine D du plan complexe déni par :c|z − i| ≤ |z + 4 + 7i| lorsque (a) c = 1, (b) c =

√2.

E2.16 Montrer que pour a, b, c > 0, on a :1) a2 + b2 + c2 ≥ ab+ bc+ ca ;2) (a+ b+ c)( 1

a + 1b + 1

c ) ≥ 9.

48 Résolution des équations

Notions théoriquesOn peut transformer une équation en une équation équivalente en :

additionant un même terme aux deux membres, multipliant ou divisant les deux membres par un réel non nul, élevant les deux membres au carré (par exemple) ; dans ce cas, il est né-

cessaire d'imposer éventuellement certaines conditions auxiliaires.

2.1 Equations algébriquesOn dit qu'une équation est algébrique sur R, respectivement sur C, si elle

est de la formeP (x) = 0,

où P est un polynôme à coecients réels, respectivement complexes. Cependant,une équation algébrique sur R peut avoir comme solution un nombre complexe,par exemple x2 +e = 0. A noter qu'une équation ayant pour solution un nombreréel n'est pas forcément algébrique sur R ; par exemple, l'équation non algébriquee · x− ex = 0 possède la solution unique x = 1.Propriétés :Si un nombre complexe z est racine d'un polynôme P à coecients réels, alorsz et aussi racine de P .Toute équation algébrique sur C se linéarise, c'est-à-dire si P (x) est un polynômede degré n à coecients complexes, alors il existe z1, . . . , zn tels que P (x) =(x− z1) · (x− z2) · · · · · (x− zn).

2.1.1 Equations linéairesL'équation ax+ b = 0 (a, b ∈ R) peut aussi s'écrire ax = −b. Si a 6= 0, alors lasolution de l'équation est x = − b

a .Si a = 0 on obtient 0 ·x = b ; dans ce cas, si b 6= 0 l'équation n'a pas de solutionet si b = 0, tout nombre réel est solution de l'équation.

Pour résoudre graphiquement ax+ b = 0, il est nécessaire d'ajouter une di-mension pour pouvoir représenter l'équation dans le plan. On dessinera doncla droite y = ax+ b dans R2 et la solution sera donnée par l'abscisse de l'inter-section de la droite avec l'axe des x.

-

6

ux

y

O

y = −x2 + 2

x = 4

HHHHHHHHHHHHHHHHHH

Si l'on doit résoudre graphiquementax+ b = cx+ d,

2.2 Equations transcendentes 49

on peut procéder de deux manières : soit dessiner les deux droites y = ax+ b ety = cx + d, soit tracer la droite y = (a − c)x + (b − d). Dans le premier cas lasolution sera donnée par l'abscisse de l'intersection des deux droites, voir 2.3.1,dans le second cas on se ramène à la résolution de ax+ b = 0.

2.1.2 Equations de degré deux

Considérons l'équation de degré deux suivante :

ax2 + bx+ c = 0 (a, b, c réels et a 6= 0).

En divisant tous les coecients de l'équation par a et en posant p = ba et q = c

a ,on peut l'écrire sous forme normale :

x2 + px+ q = 0.

On trouve la solution de cette équation en complétant le carré :(x+

p

2

)2

=(p

2

)2

− q,

ce qui donne,

x1,2 = −p2±

√(p2

)2

− q =−b±√b2 − 4ac

2a.

Si l'on se restreint aux solutions réelles, il est nécessaire que le discriminant soitsupérieur ou égal à zéro ; si celui-ci est négatif, on obtient comme solutions desnombres complexes. La situation est la suivante :

b2 − 4ac > 0 deux racines réellesb2 − 4ac = 0 une racine double réelleb2 − 4ac < 0 deux racines complexes conjuguées

Si l'équation est sous forme normale, on a les relations suivantes entre lesracines et les coecients (formules de Viète) :

Formules de Viètex1 + x2 = −p et x1x2 = q

Ces relations se généralisent pour des polynômes de degré supérieur, notam-ment pour le polynôme x3 + px2 + qx+ r = 0. Si l'on note les racines x1, x2 etx3 les relations sont alors

x1 + x2 + x3 = −p ; x1x2 + x2x3 + x3x1 = q ; x1x2x3 = −r

2.2 Equations transcendantesToutes les équations non algébriques sont appelées transcendantes. Parmi

elles se trouvent les équations exponentielles, logarithmiques et trigonométriques.


2.2.1 Equations exponentiellesExemples

1) Résoudre 42x = 8.On ramène les deux membres de l'équation à une forme exponentielle de mêmebase : (22)2x = 23 ou 24x = 23 ; il en découle que 4x = 3 et x = 3

4 .2) Résoudre 9 · 3x · 27x = 81.On écrit l'équation sous la forme : 32 · 3x · 33x = 34 ou 32+4x = 34 et on endéduit que 2 + 4x = 4 donc x = 1

2 .3) Résoudre 7 · 2x + 2x+3 + 2x+2 = 76.L'équation s'écrit 2x(7 + 8 + 4) = 76 ou 2x = 22, ce qui implique que x = 2.

2.2.2 Equations logarithmiquesExemples

1) Résoudre loga(x+ 1) + loga(3) = loga(6).Pour que loga(x+ 1) existe, on doit avoir x > −1 ; dans ce cas, l'équations'écrit : loga(3x+ 3) = loga(6). D'où 3x+ 3 = 6 et x = 1.2) Résoudre log(x− 2) + log(x− 5) = 1.On doit chercher x > 5 pour que les deux logarithmes soient dénis. On écritl'équation sous la forme : log(x2 − 7x + 10) = 1 et on en déduit que x vériex2 − 7x + 10 = 10 dont les solutions sont x = 0 et x = 7. Seule x = 7 satisfaitla condition x > 5 et est donc la solution cherchée.3) Résoudre 3x+2 = 23x−5.On égalise le logarithme des deux membres de l'équation et on obtient :log(3x+2) = log(23x−5) qui s'écrit (x+ 2) log(3) = (2x− 5) log(2) et impliquex =

2 log(3) + 5 log(2)2 log(2)− log(3)

.

2.3 Systèmes d'équations linéairesUn système d'équations est dit sous-déterminé s'il a plus d'inconnues que

d'équations et sur-déterminé s'il a plus d'équations que d'inconnues. En règlegénérale, un système d'équations sous-déterminé possède une innité de solu-tions et un système sur-déterminé ne possède pas de solution. On se limiteraaux cas de deux équations à deux inconnues respectivement trois équations àtrois inconnues et on présentera deux méthodes de résolution qui peuvent êtreappliquées aussi bien à l'un ou l'autre cas.

2.3.1 Deux équations à deux inconnuesSoit le système suivant :

x+ 3y = 152x− y = 2

La première méthode de résolution est la substitution :La deuxième équation, par exemple, peut s'écrire y = 2x− 2 ; en substituant ydans la première, on obtient une équation à une inconnue et l'on trouve x = 3,d'où y = 4, voir 2.1.1.

On peut également résoudre graphiquement un tel système. Prenons parexemple les deux équations

2.4 Systèmes d'équations non linéaires 51

y + 2 = x+ 3

2y + 3 = −4x+ 11 =⇒

y = x+ 1y = −2x+ 4

Si l'on représente les deux droites y = x + 1 et y = −2x + 4 dans le plan, leurintersection I(1; 2) fournit la solution cherchée.

-

6

x

y

O

y = x+ 1

u

y = −2x+ 4

(1, 2)

AAAAAAAAAAAAAAA

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

2.3.2 Trois équations à trois inconnuesLa seconde méthode de résolution consiste à éliminer une inconnue à chaque

étape, par combinaisons linéaires. Soit le système :

x+ y + z = 53x− y + 2z = 22x+ y − z = 4

Dans cet exemple, on peut faire disparaître l'inconnue y si l'on additionne lapremière et la deuxième équation et la deuxième et la troisième équation. Onobtient ainsi un système de deux équations à deux inconnues :

4x+ 3z = 75x+ z = 6

On peut dès lors poursuivre le même principe ou procéder à une substitution,et l'on obtient comme solution x = 1, y = 3 et z = 1.

Il est également possible de résoudre un tel système graphiquement (parexemple en géométrie descriptive). Dans ce cas, chaque équation représente unplan dans R3. La solution, si elle existe, sera donnée par l'intersection des plans.

2.4 Systèmes d'équations non linéairesCes systèmes résultent souvent de problèmes géométriques.

2.4.1 Une équation linéaire et une équation quadratiqueUn tel système est facile à résoudre par la méthode de substitution.

ExempleRésoudre le système suivant :

x2 + y2 − 4x− 1 = 0x− y = 1


On écrit x = y + 1, d'après la deuxième équation, et en substituant x dans lapremière, on obtient l'équation quadratique y2 − y− 2 = 0 qui a pour solutionsy1 = −1 et y2 = 2 ; l'ensemble des solutions du système est alorsS = (x1 = 0, y1 = −1); (x2 = 3, y2 = 2).

2.4.2 Deux équations quadratiquesSelon la forme des équations du système, on cherchera à les combiner an

d'obtenir la méthode de résolution la mieux adaptée.ExempleRésoudre le système suivant :

x2 + y2 − 4x− 4y + 6 = 0x2

2 + y2

2 − x− y − 1 = 0

Ici, on multiplie la deuxième équation par 2 puis on la soustrait de la première eton obtient −2x−2y+8 = 0, on se ramène alors à un système du type précédent.On peut donc écrire x = 4 − y et le substituer dans la première équation quidevient y2− 4y+ 3 = 0 dont les solutions sont y1 = 1 et y2 = 3. L'ensemble dessolutions du système est doncS = (x1 = 3, y1 = 1); (x2 = 1, y2 = 3).

Dans le cas suivant, on résout une des équations en considérant y commeparamètre ; puis en substituant le résultat dans l'autre, on obtient une équationquadratique en x dont les solutions permettent de trouver celles du système.ExempleRésoudre le système suivant :

2x2 + 3xy − y2 = 9x2 − 6xy + 5y2 = 0

La deuxième équation s'écrit (x− y)(x− 5y) d'où, x = y ou x = 5y. En substi-tuant, dans la première équation, x = y, on obtient y = ± 3

2 ; puis, avec x = 5y,on obtient y = ± 3

8 . L'ensemble des solutions est donc

S =

(32,32); (−3

2,−3

2); (

158,38); (−15

8,−3

8).

2.5 Inégalités2.5.1 Inéquations linéairesSoit l'inéquation

ax+ b > 0, a, b ∈ R.La résolution dépend essentiellement de la valeur de a.

Si a = 0, on obtient l'inéquation b > 0. Si b est réellement supérieur à 0,l'inéquation est vériée pour tout x ∈ R. Sinon, il n'y a pas de solution.

Si a 6= 0, ax > −b implique :

x >−ba

si a > 0, c'est-à-dire x ∈]− b/a; +∞[;

x <−ba

si a < 0, c'est-à-dire x ∈]−∞;−b/a[.

2.5 Inégalités 53

2.5.2 Inéquations quadratiquesSoit le polynôme de degré deux suivant : P (x) = ax2 + bx+ c où a, b, c sont

réels et a 6= 0. Ce polynôme s'écrit :

P (x) = a

((x+

b

2a)2 − b2 − 4ac

4a2

).

Il est facile d'en déduire que le signe de P (x) dépend de celui de b2−4ac commesuit :

1) Si b2 − 4ac > 0 alors l'équation P (x) = 0 a deux racines distinctes x1 < x2.Le signe de P (x) est celui de a pour x ∈]−∞, x1[∪]x2,+∞[ et est celui de −apour x ∈]x1, x2[.2) Si b2 − 4ac = 0 alors le signe de P (x) est celui de a pour x ∈ R \ x0 où x0

est la racine double de P (x) = 0.3) Si b2 − 4ac < 0 alors le signe de P (x) est celui de a pour tout x ∈ R.On en conclut que le signe de P (x) est celui du coecient de x2, sauf entre lesracines de P , s'il y en a.ExempleRésoudre l'inégalité 3x2 − 8x+ 7 > 2x2 − 3x+ 1.On l'écrit sous la forme : x2− 5x+ 6 > 0 et on cherche les racines de l'équationx2 − 5x + 6 = 0 qui sont x1 = 2 et x2 = 3. L'inégalité donnée est satisfaitequand x < 2 ou x > 3.

2.5.3 Inéquations à deux variablesSoit P (x, y) un polynôme. Sur chaque région du plan délimitée par la courbe

P (x, y) = 0, la fonction P (x, y) garde un signe constant. Pour le déterminer, ilsut d'évaluer P en un point particulier de la région.Remarque : Cette propriété est valable pour P (x) un polynôme d'une variable,elle se généralise aussi à Rn.ExempleDéterminer le domaine du plan où P (x, y) = 2y + x− 4 > 0.La courbe P (x, y) = 0 est une droite passant par les points (4, 0) et (0, 2). Surchaque demi-plan délimité par cette droite, le signe de P ne change pas. CommeP (0, 0) = −4 < 0 et P (5, 0) = 1 > 0, la réponse est le demi-plan délimité par ladroite P (x, y) = 0 et contenant le point (5, 0)

2.5.4 Inégalités remarquablesInégalité triangulaire

|x+ y| 6 |x|+ |y|.

Inégalité des moyennesSoient x1 et x2 deux réels > 0. Alors,

21x1

+ 1x2︸︷︷︸

moyenne harmonique

6 2√x1x2︸︷︷︸

moyenne géométrique

6 x1 + x2

2︸︷︷︸moyenne arithmétique

Il n'y a égalité que si x1 = x2.Cette double inégalité peut être généralisée à n variables x1, . . . , xn.


Démonstration (cas n = 2) :

on a 21x1

+ 1x2

6 √x1x2 (1) , √

x1x2 6 x1+x22 (2).

L'inégalité (2) est équivalente à 4x1x2 6 (x1 + x2)2 qui est équivalente à0 6 (x1 − x2)2 qui est vraie ∀x1, x2.

L'inégalité (1) est équivalente à 2x1x2

x1 + x26 √

x1x2 qui est équivalente à (2)donc vraie.

Inégalité de BernoulliPour tout entier naturel n > 1 et tout nombre réel x > −1, on a :

(1 + x)n ≥ 1 + nx

L'égalité n'a lieu que si x = 0.

Inégalité de Cauchy-SchwarzSoient (x1, . . . , xn) et (y1, . . . , yn) des réels. Alors :

n∑

i=1

|xiyi| 6(

n∑

i=1

x2i

)1/2 (n∑

i=1

y2i

)1/2

.

DémonstrationConsidérons le polynôme en λ de degré deux suivant (λ ∈ R) :

P (λ) =n∑

i=1

(|xi|+ λ|yi|)2 =

n∑

i=1

|xi|2 + 2λn∑

i=1

|xiyi|+ λ2n∑

i=1

|yi|2.

Ce polynôme étant positif (ou nul) ∀λ, son discriminant sera négatif (ou égal àzéro) ; c'est-à-dire, on aura :(

2n∑

i=1

|xiyi|)2

−4·n∑

i=1

|xi|2·n∑

i=1

|yi|2 6 0 ⇒(

n∑

i=1

x2i ·

n∑

i=1

y2i

)1/2

>∣∣∣∣∣

n∑

i=1

|xiyi|∣∣∣∣∣ =

n∑

i=1

|xiyi|

cqfd.L'égalité n'a lieu que si les |xi| sont proportionnels aux |yi|.


SolutionsS2.1 On doit avoir x3 − 9x = 0, d'où S = −3, 0, 3.S2.2 Pour x > 0 et x 6= 1, l'équation se ramène, après transformations, àx2 + x− 1 = 0 ; on obtient x = 1

2 (√

5− 1).S2.3 En distinguant les cas x < 0 et x ≥ 0, on obtient deux équations du seconddegré : x2 + 6x− 7 = 0 pour x < 0 et x2 − 6x+ 7 = 0 pour x ≥ 0. Les racinesadmissibles de ces équations sont x1 = −7, x2 = 3−√2, x3 = 3 +

√2.

S2.4 De l'inéquation x+ 2|x| < 1 on déduit −x < 1 pour x < 0

3x < 1 pour x ≥ 0c'est-à-dire −1 < x < 1

3 .La deuxième inéquation implique −2 ≤ x ≤ 1

4 , d'où la solution −1 < x ≤ 14 .

S2.5 La hauteur de la colonne d'eau est 224 m.S2.6 La voiture passe devant l'individu après 7 secondes.L'accélération cherchée est de 1 m/s2. On remarque que lorsque l'accélérationest divisée par quatre, le temps double et ne quadruple pas !S2.7 En multipliant l'équation par e 3

2 x, on obtient 2e3x − e2x − 5ex − 2 = 0,c'est-à-dire avec u = ex : 2u3 − u2 − 5u − 2 = 0, d'où u = −1 ou − 1

2 ou 2. Laseule solution admissible est x = ln 2.S2.8

a) L'équation donnée implique e2y − e2x = 2ey ; ainsi, ey vérie l'équationt2 − 2t− e2x = 0. En ne gardant que la solution positive, on obtient alorsy = ln(1 +

√1 + e2x).

b) La condition d'existence est x > 15 et l'inéquation peut s'écrire sous la formelog 1

2(2x− 13− 15

x ) < log 12( 122(x− 15)), ce qui équivaut à

ln(2x− 13− 15x

) > ln(x− 15)

puisque log 12a = ln a

ln 12et ln 1

2 < 0. On en déduit que 2x−13− 15x > x−15 ce qui

implique x2 + 2x− 15 > 0, d'où x ∈ (]−∞,−5[∪]3,+∞[)∩]15,+∞[ c'est-à-direx ∈]15,+∞[.

S2.9 On peut interpréter le problème comme intersection de 2 droites : il y aune innité de solutions si elles sont confondues. En particulier, les coecientsde x et de y des équations données doivent être nécessairement proportionnels,c'est-à-dire,

p+ 6p

=p

1ou p2 − p− 6 = 0 donc p = −2 ou p = 3.

Pour p = −2, (S) devient

4x− 2y = 3−2x+ y = −4 : ce système n'a pas de solutions.

Pour p = 3, (S) devient

9x+ 3y = 33x+ y = 1 , de solution (x, y) tels que y = 1− 3x,

x arbitraire.S2.10 Par substitution, on obtient deux solutions ; donc deux intersections :(x, y) = (1,−3) ou (43,−17)

S2.11 Selon la donnée, il est clair que les points cherchés sont dans le pland'équation z = 4. Leur troisième coordonnée est donc 4.Pour trouver l'équation du plan passant par A, B et C, on peut chercher son


vecteur normal en eectuant par exemple −−→AB ×−→AC.Avec l'équation du cercle et l'équation du plan, on obtient un système de deuxéquations à deux inconnues

x+ y − 5 = 0(x− 2)2 + (y − 3)2 = 4

de solutions : (2−√2 , 3 +√

2 , 4) et (2 +√

2 , 3−√2 , 4).S2.12 On étudie l'inéquation suivant les signes de x et de 2− x et on en déduitla solution : x ∈ [1, 3].S2.13 On xe d'abord les conditions existentielles, puis on se ramène à uneinéquation quadratique et on obtient la solution : x ∈ [7, 8[.S2.14 On a :

10 > 24|x|x2

+|x|sgn (x(x2 + x+ 1)

)= 24

|x||x|2 +|x|sgn(x)·sgn(x2+x+1) =

24|x|+x·1,

d'où x|x| − 10|x|+ 24 < 0, c'est-à-dire aussi

x2 − 10x− 24 > 0 , x < 0x2 − 10x+ 24 < 0 , x > 0

d'où x ∈]−∞,−2[∪]4, 6[.S2.15

a) On doit avoir√x2 + (y − 1)2 ≤

√(x+ 4)2 + (y + 7)2, c'est-à-dire, après

élévation au carré : y ≥ − 12 (x+8). Le domaineD est donc le demi-plan supérieur

limité par la droite d'équation x+ 2y + 8 = 0.b) L'inégalité se ramène à : (x − 4)2 + (y − 9)2 ≤ 160. Dans ce cas, D estl'intérieur du disque centré en (4, 9) et de rayon 4

√10, frontière incluse.

S2.16 En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on peut écrire1) a · b+ b · c+ c · a ≤ (a2 + b2 + c2)1/2(b2 + c2 + a2)1/2 ;2) 3 =

√a · 1√

a+√b · 1√

b+√c · 1√

c≤ (a+ b+ c)1/2( 1

a + 1b + 1

c )1/2.

chapitre 3Fonctions

ExercicesE3.1 Soit f(x) = 3ax2 + a2bx+ a3 et a, b ∈ R. Calculer f(a), f(2b) et f(ab).

E3.2 On considère les fonctions réelles f > 0 telles que f(u + v) = f(u)f(v)

pour tout u, v réels. Montrer que f(u− v) =f(u)f(v)

.

E3.3 Soient f1(x) = x2 + 1 et f2(x) = x+ 1. Calculer (f1 f2 − f2 f1)(x).

E3.4 On pose f(x) = x+1, f1 = f et soit fn+1 = f fn, n = 1, 2, . . . Expliciterfk(x).

E3.5 Déterminer ψ(x) = f g(x) si f(x) =√x2 + 1 et g(x) =

√x2 − 1, x2 ≥ 1.

E3.6 Soit f(x) = lnx2 + sinx et g(x) = e2x. Expliciter f(g(x)) et g(f(x)).

E3.7 Donner le domaine de dénition de la fonction f(x) = ln(x−2x−1 ).

E3.8 Montrer que la fonction f : R −→ R dénie par f(x) = x3 est injective.

E3.9 Déterminer la fonction réciproque de f : R+ −→ R lorsquea) f(x) = x2 + x, b) f(x) = 3e2x − 4ex + 1.

E3.10 Déterminer, si elle existe, la période T de la fonction f(x) = x− [x], x ∈R.

E3.11 Montrer que la fonction f : R −→ R donnée par f(x) =√x2 + 2 −√

x2 + 1 est bornée.

E3.12 Soient γ1 et γ2 les courbes d'équation y1(x) = x3 − 3x2 + 2x et y2(x) =x2+px+q. Pour quels p et q les courbes γi se coupent-elles sur la droite verticalex = −2 ainsi que sur l'axe des x positifs ?

E3.13 Tracer le graphe de la fonction y(x) = x15 |x| 1

20 + 2|x| 14 .

E3.14 On considère la courbe γ dénie par y(x) =x5 − x4 + ax3 − 13x+ 6

x4 + ax2 − 8et

soient M et N les points de γ d'abscisse xM = −1 et xN = 1.

(a) Déterminer a pour que le segment MN coupe l'axe Oy en y = − 59 .

(b) Quelles sont, pour le a obtenu, les intersections I de γ et de la droite passantpar les points A(−1,−3) et B(2, 3) ?

58 Fonctions

Notions théoriques3.1 Notions généralesFonctionsSoient X,Y deux ensembles non-vides. La correspondance, qui à tout élémentx ∈ X associe un élément y ∈ Y , est appelée une fonction ou encore uneapplication de X dans Y et on la note par f : X → Y . Pour indiquer que f(x)est l'élément de Y associé à x par la fonction f , on utilise la notation x 7→ f(x).On dit que f(x) est la valeur de f au point x ou l'image de x par f . L'ensembleX est appelé domaine de dénition de f et Y son ensemble d'arrivée ou aussidomaine des valeurs. Si X et Y sont des sous-ensembles de R, la fonction f estappelée fonction réelle. On introduit encore les notions suivantes :Image d'une fonctionLe sous-ensemble de Y noté f [X] et donné par

f [X] = y ∈ Y : il existe x ∈ X tel que f(x) = y= f(x) : x ∈ X

est appelé l'image de X par f ou l'ensemble des images et on le note souventIm(f).

Graphe d'une fonctionLe graphe d'une fonction f , noté Gf est le sous-ensemble de X × Y déni par

Gf = (x, f(x)) : x ∈ X.En général, on peut le représenter dans un système de coordonnées. Par exemple,pour une fonction réelle, le graphe est représenté par sa courbe dans le plan munides coordonnées cartésiennes.

Fonction surjectiveUne fonction f : X → Y est dite surjective si f [X] = Y ou, autrement dit, sitout y ∈ Y est l'image par f d'au moins un élément x ∈ X.

Fonction injectiveUne fonction f : X → Y est dite injective si x1 6= x2 implique f(x1) 6= f(x2)pour tout x1, x2 ∈ X. Autrement dit, tout y ∈ f [X] est l'image par f d'un seulélément x ∈ X.

Fonction bijectiveUne fonction f : X → Y est dite bijective si elle est à la fois surjective et injec-tive.

Fonction identitéLa fonction IdX : X → X dénie par IdX(x) = x est appelée la fonction identitésur X. La fonction identité est bijective.

Fonction constanteUne fonction f : X → Y est dite constante si f(x1) = f(x2) pour tout couple(x1, x2) ∈ X ×X.

Composition de fonctionsSoient f : X → Y et g : Y ′ → Z deux fonctions telles que f [X] ⊂ Y ′. Alors, lafonction g f : X → Z, dénie par g f(x) = g(f(x)), est appelée la fonctioncomposée de g et f .

3.2 Fonctions réelles 59

Fonction réciproqueLorsque f : X → Y est bijective, on peut dénir une fonction f−1 : Y → X qui,à tout y ∈ Y , associe l'élément x de X solution unique de l'équation y = f(x).La fonction f−1 est appelée la fonction réciproque de f , elle est bijective etvérie f−1 f = IdX , f f−1 = IdY .

Restriction d'une fonctionSoit S un sous-ensemble de X et g : S → Y une fonction telle que g(x) = f(x)pour tout x ∈ S. On appelle g restriction de f et on la note f/S qu'on lit frestreinte à S.

Prolongement d'une fonctionSoit X ⊂ S. Une fonction g, dénie sur S, est appelée prolongement de f si fest une restriction de g à X, i.e. g/X = f .

3.2 Fonctions réellesSoient X et Y des sous-ensembles non-vides de R, f : X → Y une fonction

réelle et x, x1, x2 ∈ X.

Zéros d'une fonctionLes zéros d'une fonction f sont les valeurs de x pour lesquelles la fonction s'an-nule, c'est-à-dire que xi est un zéro de f si et seulement si f(xi) = 0.

Fonction croissante, strictement croissanteUne fonction f est dite croissante si x1 < x2 implique f(x1) ≤ f(x2).Une fonction f est dite strictement croissante si x1 < x2 implique f(x1) < f(x2).

Fonction décroissante, strictement décroissanteUne fonction f est dite décroissante si x1 < x2 implique f(x1) ≥ f(x2).Une fonction f est dite strictement décroissante si x1 < x2 implique f(x1) >f(x2).

Fonction bornéeSoit A un sous-ensemble non vide de X. Une fonction f : X → Y est dite ma-jorée sur A si l'ensemble f [A] est majoré, c'est-à-dire si il existe M ∈ R tel quef(a) 6 M , pour tout a ∈ A.Elle est dite minorée sur A si l'ensemble f(A) est minoré, c'est-à-dire si il existem ∈ R tel que f(a) > m, pour tout a ∈ A.Si f est à la fois majorée et minorée sur A, on dit qu'elle est bornée sur A. Unefonction f est bornée sur A si et seulement s'il existe une constante C > 0 telleque |f(a)| ≤ C pour tout a ∈ A.

ParitéUne fonction f : X → Y est dite paire si pour tout x ∈ X, −x ∈ X et f(−x) =f(x). Elle est dite impaire si pour tout x ∈ X, −x ∈ X et f(−x) = −f(x).

PériodicitéUne fonction f : R→ R est dite périodique de période p 6= 0 si f(x+ p) = f(x)pour tout x ∈ R. Il en découle que f est de période np, n ∈ Z∗.On peut souvent déterminer le plus petit p > 0 possible. En particulier, sif(x) est une fonction continue non constante (voir chapitre 6), alors le nombreT = inf p tel que f(x + p) = f(x) est un nombre positif appelé la période fon-

60 Fonctions

damentale de f .

Fonction convexeSoit I un intervalle. Une fonction f : I → R est dite convexe sur I si pour toutcouple x1, x2 dans I et tout t ∈ [0, 1] :

f(tx1 + (1− t)x2) ≤ tf(x1) + (1− t)f(x2). (3.1)

La fonction f est dite strictement convexe si pour tout couple x1 6= x2 dans Iet tout t ∈]0, 1[ :

f(tx1 + (1− t)x2) < tf(x1) + (1− t)f(x2).

Soit f : I → R convexe sur I et x1 < x2. En posant t =x2 − x

x2 − x1, x ∈ [x1, x2] ,

l'inégalité (3.1) devient alors

f(x) 6 f(x2)− f(x1)x2 − x1

(x− x2) + f(x2).

Géométriquement, cela signie que le segment de droite passant par les points(x1, f(x1)) et (x2, f(x2)) se situe toujours au-dessus de la courbe y = f(x) pourx ∈ [x1;x2].

x1 x2

f(x1)f(x2)

f(x)

••

Si f : I → R est convexe et dérivable (voir chapitre 7), alors toute tangenteà la courbe y = f(x) se situe au-dessous de cette courbe.

Fonction concaveUne fonction f est dite concave, respectivement strictement concave, si −f estconvexe, respectivement strictement convexe.

3.3 Fonctions réelles particulièresFonction linéaire et aneUne fonction ane est une fonction du type f(x) = ax+b, avec a ∈ R et b ∈ R,elle représente une droite dans R2 ; si b = 0, on dit qu'elle est linéaire et sareprésentation graphique dans R2 passe par l'origine.

Fonction quadratiqueUne fonction quadratique est une fonction du type f(x) = ax2 + bx + c, aveca ∈ R∗ et b, c ∈ R, elle représente une parabole dans R2. Une fonction qua-dratique n'est en principe ni injective ni surjective, néanmoins certaines de sesrestrictions sont bijectives. Par exemple, la fonction

f : R+ → R+

x 7→ x2

3.3 Fonctions réelles particulières 61

est bijective et sa fonction réciproque est la fonction racine carrée, notée f−1(x) =√x.

Fonction polynômialeUne fonction polynômiale f est une fonction de la forme

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0,

où an est non-nul et les ai sont des nombres réels. L'entier naturel n est le degréde la fonction polynômiale.Les racines de f sont les zéros de f c'est-à-dire les xi tels que f(xi) = 0. Si xi

est une racine de f , on peut factoriser f(x) par (x− xi) (voir 1.4).

Fonction rationnelleOn appelle fonction rationnelle, une fonction dénie par

f(x) =p(x)q(x)

,

où p(x) et q(x) sont des polynômes et où au moins un des coecients de q(x)est non-nul. Les x pour lesquels q(x) = 0 sont appelés des pôles de f . (voir 1.5 pour la décomposition en éléments simples).

Fonction puissanceSoit p ∈ R. La fonction f(x) = xp, x ∈ R∗+ est appelée fonction puissance.Si p ∈ Q, on peut étendre son domaine de dénition Df qui dépendra de p.

pf(x)=x

y

x

p>1p=1

0<p<1

p=0

p<0

0

1

2

3

1 2 3

1. Si p = 0 : f(x) = 1, Df = R ;2. Si p ∈ N∗ : Df = R et f est impaire, respectivement paire, si p est impair,

respectivement pair ;3. Si p ∈ Z∗− : Df = R∗ ;4. Si p > 0, p /∈ N∗ : Df = R ou R+ et p < 0, p /∈ Z∗− : Df = R∗ ou R∗+.

La fonction reciproque de f(x) = xp est donnée par f−1(x) = x1p si x ≥ 0.

On peut aussi dénir la fonction xp par ep ln x lorsque p ∈ R.

62 Fonctions

Fonctions exponentielles et logarithmiquesVoir 1.7

Fonctions trigonométriquesVoir chapitre 5.

Fonctions hyperboliquesPar dénition :

sinhx =ex − e−x

2coshx =

ex + e−x

2

tanhx =sinhxcoshx

=ex − e−x

ex + e−xcothx =

coshxsinhx

=ex + e−x

ex − e−xsi x 6= 0

On note parfois shx, respectivement, chx, thx et cthx pour sinhx, respective-ment coshx, tanhx et cothx.

Fonction signe et fonction partie entièreLa fonction signe, notée sgn est dénie par

sgn : R∗ −→ −1;+1x 7−→

−1 si x < 0+1 si x > 0

On note [x] la fonction partie entière dénie comme suit :soit x ∈ R que l'on écrit sous la forme x = n + δ où n ∈ Z et 0 ≤ δ < 1. Alorsf(x) = [x] = n

Exemple : [0] = 0, [ 613 ] = [20+ 13 ] = 20, [−1] = −1 et [−π] = [−4+(4−π)] = −4.


Solutions des exercicesS3.1 On obtient : f(a) = a3(4 + b), f(2b) = a3 + 12ab2 + 2a2b2, f(ab) =a3(1 + 4b2).S3.2 On a : f(u) = f(u − v + v) = f((u − v) + v) = f(u − v)f(v) d'oùf(u− v) = f(u)/f(v).S3.3 On obtient (f1 f2 − f2 f1)(x) = f1 f2(x) − f2 f1(x) = f1(f2(x)) −f2(f1(x)) = (x+ 1)2 + 1− ((x2 + 1) + 1) = 2x.S3.4 Démonstration par récurrence de fk(x) = x + k pour tout k. C'est vraipour k = 1 et on suppose fk(x) = x + k ; on a bien fk+1(x) = f(fk(x)) =f(x+ k) = (x+ k) + 1 = x+ (k + 1).

S3.5 On a ψ(x) =√

(√x2 − 1)2 + 1 = |x|, restreinte à x ∈]−∞,−1] ∪ [1,∞[.

S3.6 Les fonctions composées sont : f(g(x)) = 4x + sin(e2x) et g(f(x)) =x4e2 sin x.S3.7 Le domaine cherché est Df =]−∞, 1[∪]2,∞[.S3.8 On cherche à démontrer que f(x1) = f(x2) implique x1 = x2. Ici, x3

1 = x32

donne0 = x3

1 − x32 = (x1 − x2)[(x1 +

12x2)2 +

34x2

2]

donc x1 − x2 = 0 ou

x2 = 0x1 + 1

2x2 = 0 c'est-à-dire x1 = x2 = 0.

S3.9a) On résout x2 + x = y et x ≥ 0, d'où x = −1+

√1+4y

2 = f−1(y) et l'on écritf−1(x) = 1

2

(√4x+ 1− 1

), x ∈ R+.

b) De manière analogue, on obtient f−1(x) = ln(√

3x+ 1 + 2)− ln 3, x ∈ R+.

S3.10 On a : f(x + 1) = x + 1 − ([x] + 1) = f(x) ; donc T ≤ 1. Ainsi, si on serestreint à x ∈ [0, 1[, alors f(x) = x qui n'est pas périodique, d'où T = 1.S3.11 On peut écrire

f(x) =√x2 + 2−

√x2 + 1 =

1√x2 + 2 +

√x2 + 1

d'où 0 < f ≤ 1√2+1

et |f(x)| ≤ √2− 1.

S3.12 De l'égalité y1(−2) = y2(−2), on déduit que 2p − q = 28 et de y1(x) =y2(x) = 0, on déduit que x = 2 ou x = 1 et donc que p+q = −1 ou 2p+q = −4.Ainsi, p et q doivent satisfaire les systèmes

2p− q = 28p+ q = −1 ou

2p− q = 282p+ q = −4 ,

dont les solutions sont (p, q) = (6,−16) ou (p, q) = (9,−10).S3.13 Pour x 6= 0, on peut écrire y(x) sous la forme [sgn(x

15 ) + 2]|x| 14 c'est-à-

dire y = |x| 14 = (−x) 14 si x < 0 et y = 3|x| 14 = 3x

14 si x > 0. Le graphe de y est

formé de deux arcs de courbes qui sont des fonctions puissances.S3.14(a) Les coordonnées de M et N sont respectivement (−1, 17−a

a−7 ), a 6= 7 et (1, 1),

et l'équation de MN est y − 1 =(

12− 17− a

2(a− 7)

)(x − 1). Puisque (0,− 5

9 ) estun point de MN , on trouve a = −2.

64 Fonctions

(b) Pour a = −2, on peut écrire, après simplication par x+ 2,

y =x4 − 3x3 + 4x2 − 8x+ 3

(x− 2)(x2 + 2);

l'équation de la droite AB étant y = 2x − 1, il en découle que l'abscisse de Idoit satisfaire x4 − 2x3 + 2x2 − 2x+ 1 = 0 c'est-à-dire (x− 1)2(x2 + 1) = 0. Laseule solution est donc I = N .

chapitre 4Géométrie

ExercicesE4.1 A l'aide du théorème de Pythagore, démontrer les théorèmes suivants.Soit ABC un triangle rectangle et a, b, c, a′, b′, h comme indiqué sur la gureci-dessous.Théorème d'Euclide : a2 = a′ · c et b2 = b′ · c.Théorème de la hauteur : h2 = a′ · b′

¢¢¢¢¢¢HHHHHHHHHHHH

C

BA cb′ a′

hb

a

E4.2 On donne l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Quel est le lieu géomé-trique du sommet qui lui est opposé ?

E4.3 Quels sont les triangles rectangles dont une cathète est la moyenne arith-métique de l'autre et de l'hypoténuse ?

E4.4 Soient A(2, 5) un point donné du plan xOy et I l'intersection des droitesd1, d'équation 3x + y − 22 = 0, et d2 d'équation x − 4y + 10 = 0. Déterminerl'équation de la perpendiculaire p à AI passant par le point P (1,−3).

E4.5 On considère deux cercles σ1 et σ2, de rayon R1 < R2. Combien detangentes communes peut-on mener au σi, i = 1, 2 ?

E4.6 Déterminer le rayon R du cercle Γ de centre Ω(15, 36) tangent au cercleΓ′ d'équation x2 + y2 − 169 = 0.

E4.7 Trouver l'équation du cercle γ passant par les points A(0, 0), B(−2, 4) etC(4, 4).

E4.8 Calculer le volume V d'un tétraèdre (pyramide à base triangulaire) dontla base est déterminée par les points A(− 1

3 , 1, 1), B(−3,−1, 2) et C(1, 2,−1) etdont la hauteur est de 12.

E4.9 On donne trois points A(2,−2, 1), B(2,−3, 3), C(3,−3, 1) et une droite dpassant par Q(2,−3, 1) de direction −→d = (3, 1,−6). Déterminer un point D surd tel que le volume du tétraèdre ABCD soit égal à 1.

E4.10 Déterminer m pour que les droites, d1 d'équation 6mx + (2m + 3)y +m√m2 + 1 = 0 et d2 d'équation ( 5

6m + 1)x − (2m − 3)y + e−m√17

= 0, soientperpendiculaires.

66 Géométrie

E4.11 a) Déterminer l'équation du plan médiateur des points A(2, 1,−4) etB(4, 3, 2)

b) Trouver sur la droite d d'équationsx− y + z = 2y − 2z = 3 le point C situé à

égale distance de A et B.

E4.12 Soit τ la droite de pente négative, issue du point P (1, 4), tangente aucercle γ passant par A(0, 2), B(3,−1) et C(4, 0). Déterminer sur τ un point Qd'abscisse xQ > 6 tel que la distance de Q à K(12, 13) soit égale à 13.

E4.13 A l'aide de la formule de la distance entre un point et un plan, trouverla formule de la distance entre deux droites gauches ayant respectivement pourvecteurs directeurs −→d1 et −→d2 et passant respectivement par les points P1 et P2.

E4.14 Expliquer pourquoi∥∥∥−→AP ×

−→d

‖−→d ‖∥∥∥ représente la distance du point P à

la droite d passant par A de vecteur directeur −→d .

E4.15 Soit π un plan donné par trois points A(1, 8, 1), B(4,−1, 10), C(−2, 3, 6).Un rayon lumineux émis par une source ponctuelle P (−13, 2, 4) atteint le pointQ(19,−11,−25) après réexion sur le plan π. Déterminer le point d'impact Isur π et l'angle d'incidence α du rayon.

E4.16 La droite passant par les points E( 52 , 2 , 1

2 ) et F ( 72 , 3 , 3

2 ) coupe-t-elle la sphère passant par les points A( 0 , 0 , 0 ), B( 1 , 0 , 1 ), C( 1 , 2 , 1 )et D( 0 , 0 , 1 ) ?Indication : on ne demande pas les coordonnées des éventuelles intersections,mais uniquement si elles existent ou non.

E4.17 Soit la sphère d'équation (x−1)2+(y+2)2+z2 = 81. Un rayon lumineux,issu d'une source S située en (−2, 14, 24) frappe la sphère au point T ( 2 , 2 , 8 ).Le rayon rééchi passe-t-il par le point P ( 169 , 103 , 372 ) ?

E4.18 Déterminer le symétrique P ′ du point P (1, 2, 1) par rapport à la droited passant par A(1,−3, 7) et B(4, 3,−2).

E4.19 On appelle transversale une droite coupant deux droites gauches. Trou-ver les points intersection de la transversale t de direction −→t = (3, 3, 5) cou-pant les droites gauches g1 et g2 données par −→r g1 = (1, 4,−1) + λ(1, 2, 1) et−→r g2 = (2, 3, 1) + µ(1, 1, 2) (on note −→r g =

−−→OP, P ∈ g, un point courant de g).

E4.20 On donne deux droites gauches : −→r g1 = (−7,−1, 3) + λ(4, 1,−1) et−→r g2 = (6, 2, 10) + µ(4,−3, 1). Trouver les extrémités du plus petit segment ABtel que A ∈ g1 et B ∈ g2.

67

Notions théoriques4.1 Géométrie planeOn suppose les notions de points et de droites connues.

4.1.1 Notions de baseDroites parallèlesOn dit que deux droites sont parallèles si elles n'ont aucun point commun ou sielles sont confondues. Si elles ont un unique point en commun, on dit qu'elles sontsécantes, qu'elles sont concourantes ou qu'elles se coupent. Si elles se coupenten formant un angle de 90, on dit qu'elles sont perpendiculaires ou orthogonales.

Segment de droiteOn note (AB) la droite passant par les points A et B. Un segment de droite[AB] est la partie de la droite (AB) comprise entre les points A et B qui sontappelés extrémités du segment.

Projection orthogonaleLa projection orthogonale d'un point A sur une droite d est le point d'intersec-tion entre la droite d et la droite passant par A qui lui est perpendiculaire.

Distance entre deux pointsLa distance entre deux points A et B est égale à la longueur du segment [AB].On note δ(A,B) ou |AB|.

Distance entre un point et une droiteLa distance entre un point A et une droite d, notée δ(A, d), est l'inmum de ladistance entre A et un point B quand B décrit la droite d ; c'est donc la distanceentre A et le point P de la droite d tel que le segment [AP ] forme un angle droitavec la droite d. Le point P est donc la projection orthogonale de A sur d.

Distance entre deux droites parallèlesLa distance entre deux droites parallèles d1 et d2, notée δ(d1, d2), est la distanceentre un point de d1 et la droite d2.

Lieu géométriqueOn appelle lieu géométrique l'ensemble des points satisfaisant une ou plusieursconditions données.

MédiatriceLa médiatrice de [AB] est le lieu géométrique des points à égale distance desdeux extrémités A et B. C'est une droite qui coupe le segment [AB] perpendi-culairement en son milieu.

BissectriceLa bissectrice de deux droites sécantes est le lieu géométrique des points à égaledistance entre les deux droites. C'est une droite qui partage l'angle entre lesdeux droites en deux angles égaux. Lorsque deux droites se coupent, deux pairesd'angles sont formés. Il y a donc, dans ce cas, deux bissectrices perpendiculairesentre elles.

Demi-droiteOn appelle demi-droite l'ensemble des points d'une droite situés du même côté

68 Géométrie

d'un point A de cette droite, appelé l'origine de la demi-droite. On dit aussi,dans ce cas, que la demi-droite est issue du point A. Ainsi, comme le montrela gure ci-dessous, en plaçant un point A sur une droite d, on dénit deuxdemi-droites d1 et d2.

³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³

u

uu

d2

A

A

A

d

d1

AnglesOn appelle angle la gure formée par deux demi-droites issues du même point.Ce point est appelé le sommet de l'angle. Un angle dénit ainsi la partie du planque l'on peut balayer par l'une des demi-droites que l'on amène sur l'autre parrotation autour du sommet. Un angle peut être orienté : par convention il estorienté dans le sens positif ou trigonométrique si la rotation est eectuée dansle sens inverse du sens des aiguilles d'une montre.On utilisera ici comme mesure d'angle le degré ou le radian (voir 5.1).

Deux angles dont la somme vaut 90 ou π/2 sont dits complémentaires. Si lasomme des deux angles vaut 180 ou π les angles sont dits supplémentaires. Unangle de 90 est appelé un angle droit et un angle de 180 un angle plat.

Lorsque deux droites se coupent, les angles formés sont égaux deux à deux.α1 = α2 et β1 = β2. On dit que α1 et α2, respectivement β1 et β2, sont opposéspar leur sommet.

!!!!!!!!!!!!!!!!XXXXXXXXXXXXXXX

mα2

β2

β1

α1

Lorsqu'une droite d coupe deux autres droites d1 et d2, comme dans la gureci-après, on a la situation suivante :α2 et γ1 sont appelés alternes-internes, α1 et γ2 alternes-externes et α1 et γ1

correspondants.

4.1 Géométrie plane 69

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

((((((((((((((((m

m

d

d2

d1

α2 β2

β1 α1

γ2δ2

δ1 γ1

Si d1 est parallèle à d2, les angles alternes-internes, alternes-externes et cor-respondants sont égaux deux à deux, c'est-à-dire α1 = α2 = γ1 = γ2 etβ1 = β2 = δ1 = δ2.

TrianglesUn triangle est un polygone à trois côtés, il possède donc trois angles. La sommede ses angles vaut 180 ou π.

Un triangle rectangle est un triangle possédant un angle droit. Un triangle ayantdeux côtés égaux, donc deux angles égaux, est isocèle. Un triangle ayant ses troiscôtés égaux, et donc trois angles de 60, est équilatéral.

Une médiane est une droite issue d'un des sommet du triangle et coupant lecôté opposé en son milieu. Les trois médianes d'un triangle sont concourantes ;elles se coupent en un point appelé centre de gravité G du triangle. Le point Gest aussi le barycentre des trois sommets et il se situe au 2/3 de chaque médiane.

La hauteur d'un triangle est le segment de droite issu d'un sommet et for-mant un angle droit avec le côté opposé. Autrement dit, c'est le segment entreun sommet et sa projection orthogonale sur le côté opposé. Les hauteurs secoupent en un point H : c'est l'orthocentre.

Dans un triangle, les médiatrices sont concourantes ainsi que les bissectrices.Dans un triangle isocèle, si les angles sont α, α et β, alors la bissectrice de l'angleβ est confondue avec la médiatrice, la médiane et la hauteur correspondantes.Dans un triangle équilatéral, les médiatrices, les bissectrices, les médianes et leshauteurs issues d'un sommet sont confondues ; on a donc G = H = Ω = I, oùΩ est l'intersection des médiatrices et I est l'intersection des bissectrices.

Deux triangles sont égaux s'ils ont, entre eux, soit trois côtés égaux, deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés égaux, un côté et deux angles égaux (donc forcément les trois angles égaux).

Ainsi, on peut entièrement déterminer un triangle en donnant soit la longueur de ses trois côtés, la longueur de deux côtés et la valeur de l'angle compris entre ces deux

côtés, la longueur d'un côté et la valeur de deux angles.

70 Géométrie

Remarque : si l'on connaît deux angles α et β, le troisième vaut γ =(180− α− β).

Deux triangles sont semblables si deux angles de l'un sont égaux à deux angles de l'autre, et donc forcément

leurs trois angles sont égaux, deux côtés du premier sont proportionnels à deux côtés du second et l'angle

entre ces deux côtés est égal dans les deux triangles, les trois côtés du premier triangle sont proportionnels aux trois côtés du

second, leurs côtés sont deux à deux parallèles ou deux à deux perpendiculaires.

Théorème de PythagoreDans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme descarrés des cathètes, c'est-à-dire c2 = a2 + b2.

©©©©©©©©©©

bc

a

Théorème de ThalèsSoit le triangle ABC et deux droites d1, d2 parallèles à (BC). Alors,

AD

AB=AE

AC=DE

BC

etGE

FD=EC

DB=GC

FB

AAAAAAAAAAAAAAAA¯

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

A

F G

D E

B C

d2

d1

CerclesLe cercle est le lieu géométrique des points qui sont à une distance donnée rd'un point xe Ω appelé centre du cercle ; r est le rayon du cercle.On appelle corde [CD] d'un cercle le segment dont les extrémités C et D sontsur le cercle.Une corde [AB] qui passe par le centre du cercle est appelée diamètre du cercle ;


dans ce cas A et B sont diamétralement opposés.La médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle.

ThéorèmePar trois points A, B, C non alignés, il passe un cercle et un seul.

Le cercle circonscrit d'un triangle ABC est le cercle passant par les sommetsA, B et C. Son centre Ω est donné par l'intersection des médiatrices qui sontconcourantes.

Dans un cercle de centre Ω, avec des angles comme l'indique la gure ci-dessous,l'angle α est appelé angle inscrit et l'angle β angle au centre.On a toujours la relation β = 2α.

Ω•ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

••µµµµµµµµµµµµµµµµµµ

???????????,,,

,,,,

,,,,

,,,,

,,,,

β

α

La tangente à un cercle de centre Ω et de rayon r est une droite d qui ne touchele cercle qu'en un seul point. Dans ce cas, la distance entre Ω et d est égale à r.

ThéorèmePar un point P extérieur à un cercle de centre Ω et de rayon r, c'est-à-dire telque δ(P,Ω) > r, il passe deux tangentes à ce cercle.

Le cercle inscrit d'un triangle est le cercle tangent au trois côtés du triangle.Son centre I est donné par l'intersection des bissectrices qui sont concourantes.

4.1.2 Calcul des aires

Triangle

Aire = b · h2

=base · hauteur

2

©©©©©©©©©©©©©©

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

h

b

Si l'on connaît les longueurs a,b et c des côtés du triangle, l'aire est donnée par

72 Géométrie

la formule de Héron,

Aire =√p(p− a)(p− b)(p− c)

où p est le demi-périmètre du triangle, c'est-à-dire p = 12 (a+ b+ c). Si de plus

on connaît le rayon r du cercle circonscrit et les anngles α, β et γ du triangle,on a

Aire =abc

4r= 2r2 sinα sinβ sin γ

Si l'on connaît le rayon du cercle inscrit R, on a la formule suivante :

Aire = R · p

PolygonesSi l'on ne connaît pas de formule exprimant l'aire, on décompose le polygone entriangles et on somme les aires des triangles formés en utilisant les théorèmesde Pythagore, du sinus et du cosinus (voir chapitre 5).

Cercle

Aire = π · r2

&%

'$¡¡r

Secteur circulaireVoir chapitre 5.

4.1.3 Systèmes de coordonnéesCoordonnées cartésiennes :(x, y)

-

6

u

I

J

O

P (x, y)

Coordonnées polaires : (ρ, θ)

IO

P (ρ, θ)

ρ

θ

r

©©©©©©©©©

Dans le système cartésien, on appelle le point O l'origine, l'axe OI l'axe desabscisses et l'axe OJ l'axe des ordonnées. Dans le système polaire, on appellele point O le pôle et la droite OI l'axe polaire.Pour passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes on a lesrelations

x = ρ cos θy = ρ sin θ


et pour passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires on a

ρ =√x2 + y2

θ = arctany

xresp. π + arctan

y

x

4.1.4 Equations cartésienne et polaire d'une droiteUne droite d, dans le plan Oxy, est le lieu géométrique des points qui vérient

une équation du typeax+ by + c = 0

où a, b, c ∈ R. Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite d. Sib 6= 0, sa pente m vaut

m = −ab

Si la droite passe par les points A(a1, a2) et B(b1, b2), son équation cartésienneest donnée par

x− a1

b1 − a1=

y − a2

b2 − a2si b1 − a1 6= 0 et b2 − a2 6= 0

x = a1 si b1 − a1 = 0 et b2 − a2 6= 0

y = a2 si b1 − a1 6= 0 et b2 − a2 = 0

Dans le premier cas, la pente m de la droite vaut alors

m =b2 − a2

b1 − a1

et l'on peut écrire l'équation de la droite sous la formey − a2 = m(x− a1)

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente.

On peut également représenter une droite à l'aide des coordonnées polaires.Si la droite d passe par le pôle O, l'équation polaire de d est simplement

θ = constanteSi la droite d ne passe pas par le pôle O, on peut déterminer son équation à l'aidedes coordonnées (θ0, ρ0) du point d'intersection entre d et sa perpendiculairepassant par O. On a alors

ρ =ρ0

cos(θ − θ0)

O

££££££ρ

θ

AAAAAAAAAAAAAAd

ρ0

θ0

r

©©©©

74 Géométrie

Remarque : on a aussi, à partir de l'équation cartésienne ax+ by = −c 6= 0,la relation ρ =

−ca cos θ + b sin θ

.

4.1.5 Equations cartésienne et polaire d'un cercleL'équation canonique d'un cercle de centre Ω(x0, y0) et de rayon r est

(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2

Cette formule découle directement du théorème de Pythagore.L'équation générale d'un cercle est de la forme

ax2 + ay2 + 2dx+ 2ey + f = 0 où a 6= 0 et d2 + e2 > af

L'équation de la tangente au cercle de centre Ω(x0, y0) et de rayon r passantpar un point T (xt, yt) du cercle est

(xt − x0)(x− x0) + (yt − y0)(y − y0)− r2 = 0.

Si le cercle est donné par son équation générale, l'équation de la même tangentedevient

axtx+ ayty + d(xt + x) + e(yt + y) + f = 0

(principe du dédoublement).Les deux tangentes de pente m au cercle de centre Ω(x0, y0) et de rayon r ontpour équations

y − y0 = m(x− x0)± r√m2 + 1

En coordonnées polaires, l'équation d'un cercle de centre Ω(x0, y0) et de rayonr est

ρ2 − 2ρρ0 cos(θ − θ0) + ρ20 = r2

où ρ0 et θ0 sont les coordonnées polaires de Ω.Pour obtenir cette équation à partir de l'équation cartésienne, il sut de poser(x0, y0) = (ρ0 cos θ0, ρ0 sin θ0), (x, y) = (ρ cos θ, ρ sin θ) et d'utiliser les propriétésdes fonctions trigonométriques (voir chapitre 5).

4.1.6 Représentation paramétrique d'une courbeUne courbe peut être représentée comme l'ensemble des points dont les co-

ordonnées cartésiennes x et y satisfontx = f(t)y = g(t)

où f et g sont deux fonctions dénies sur une partie de R.Cette représentation est appelée représentation paramétrique de la courbe et test le paramètre ; le plus souvent, t peut être interprété comme variable tempo-relle.La représentation paramétrique d'une droite passant par les points A(a1, a2) etB(b1, b2) est la suivante,

x = a1 + t(b1 − a1)y = a2 + t(b2 − a2)

, t ∈ R

Pour un cercle de centre Ω(a, b) et de rayon r, la représentation paramétriqueest

x = a+ r cos ty = b+ r sin t , t ∈ R


4.1.7 Sections coniquesLes sections coniques sont des courbes planes obtenues par l'intersection d'un

cône de révolution avec un plan ne contenant pas le sommet du cône. On peutainsi obtenir :

un cercle, une ellipse, une parabole, une hyperbole.

Le cercle n'est en fait qu'un cas particulier d'une ellipse et a déjà été traitéprécédemment.

L'ellipseUne ellipse est le lieu géométrique des points du plan dont la somme des dis-tances à deux points donnés, appelés foyers, est constante et égale à = 2a. Ellepossède deux axes de symétrie orthogonaux, appelés grand axe et petit axe del'ellipse, dont l'intersection est le centre de l'ellipse. Les intersections de l'ellipseavec ses axes sont les sommets de l'ellipse. Les foyers se situent sur le grand axe,à égale distance de part et d'autre du centre.L'équation canonique, ou réduite, d'une ellipse de centre C(x0, y0) et dont legrand axe est parallèle à l'axe Ox est

(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2− 1 = 0 , a > b

2b est la longueur du petit axe de l'ellipse ; on note 2c la distance entre les deuxfoyers, appelée distance focale et on a a2 = b2 + c2.Si le grand axe est vertical, on permute les variables x− x0 et y − y0.

L'hyperboleL'hyperbole est le lieu géométrique des points du plan dont la diérence desdistances à deux points xes, appelés foyers, est constante et égale à = 2a. Ellepossède deux axes de symétries orthogonaux. Le premier passe par les foyers etest appelé l'axe focal. Les points d'intersections de l'hyperbole avec l'axe focalsont les sommets de l'hyperbole.Si l'axe focal est parallèle à l'axe Ox, l'équation canonique de l'hyperbole decentre C(x0, y0) est donnée par

(x− x0)2

a2− (y − y0)2

b2− 1 = 0

Elle possède deux asymptotes obliques d'équation(x− x0)2

a2− (y − y0)2

b2= 0

Si l'axe focal est vertical, on permute les variables x− x0 et y − y0.

La paraboleLa parabole est le lieu géométrique des points du plan équidistant d'une droiteappelée directrice et d'un point appelé foyer. Elle possède un axe de symétriepassant par son foyer, appelé axe focal. L'intersection de la parabole avec sonaxe focal dénit le sommet de la parabole.Si l'axe focal de la parabole est parallèle à l'axe Ox et que son sommet est lepoint S(x0, y0), son équation canonique est :

(y − y0)2 = 2p(x− x0)

76 Géométrie

où |p| est la distance entre le foyer et la directrice, ou le double de la distanceentre le foyer et le sommet.

Si l'axe focal est perpendiculaire à l'abscisse, l'équation devient

(y − y0) =12p

(x− x0)2

Conséquence : le graphe de y = ax2 + bx+ c est une parabole.

Equation générale d'une coniqueL'équation générale d'une conique est

ax2 + by2 + cxy + dx+ gy + f = 0

En eectuant une rotation adéquate du système de coordonnées, on obtient l'unedes trois équations présentées précédemment. On peut également eectuer unetranslation pour amener le centre ou un foyer de la conique en un point voulu,par exemple l'origine.

L'excentricitéIl est également possible de dénir les coniques à l'aide d'une grandeur que l'onappelle excentricité. Si l'on se donne un point F appelé foyer et une droite dappelée directrice, une conique est alors l'ensemble des points P dont le rap-port des distances au foyer et à la directrice est constant. Cette constante estl'excentricité de la conique, notée

e =δ(P, F )δ(P, d)

Si 0 < e < 1 on a une ellipse, si e = 1 une parabole et si e > 1 une hyperbole.De plus, si la distance entre le foyer et la directrice est r, c'est-à-dire si δ(F, d) =r, en plaçant le foyer à l'origine et l'axe focal sur l'axe Ox, l'équation cartésiennede la conique s'écrit

(1− e2)x2 + y2 − 2e2rx− e2r2 = 0

et en coordonnées polairesρ =

er

1− e cos θ

Tangentes aux coniques

Equation de la tangente au point T (xt, yt)Equation de la conique

de la conique

(x− x0)2

a2± (y − y0)2

b2− 1 = 0

(xt − x0)(x− x0)a2

± (yt − y0)(y − y0)b2

− 1 = 0

(y − y0)2 = 2p(x− x0) (yt − y0)(y − y0) = p(xt − x0) + p(x− x0)

4.2 Géométrie dans l'espace 77

Equation de la conique Equation des tangentes de pente m

(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2− 1 = 0 y − y0 = m(x− x0)±

√a2m2 + b2

(x− x0)2

a2− (y − y0)2

b2− 1 = 0 y − y0 = m(x− x0)±

√a2m2 − b2

(y − y0)2 = 2p(x− x0) (y − y0) = m(x− x0) + p2m

(x− x0)2 = 2p(y − y0) (y − y0) = m(x− x0)− pm2

2

4.2 Géométrie dans l'espaceOn considère les notions de points, droites et plans connues

4.2.1 Notions de baseDroite perpendiculaire et droite parallèle à un planSoit une droite coupant un plan en un point P . Si cette droite est perpendiculaireà toutes les droites du plan passant par P , on dit qu'elle est perpendiculaire,ou orthogonale, au plan et on l'appelle la normale du plan.Si une droite n'a aucun point ou plus d'un point commun avec un plan, elle estparallèle au plan.

Plans sécants, plans parallèles et plans orthogonauxOn dit que deux plans sont parallèles s'ils n'ont aucun point commun ou s'ilssont confondus. Dans le cas contraire, on dit qu'ils sont sécants. L'intersectionde deux plans sécants est une droite. Deux plans sont orthogonaux, ou per-pendiculaires, si les normales issues d'un point commun aux deux plans sontperpendiculaires.

Droites parallèles et droites gauchesDeux droites sont dites parallèles si elles sont confondues ou si elles n'ont au-cun point commun et qu'il existe un plan passant par ces deux droites. Si ellesn'ont aucun point commun mais qu'un tel plan n'existe pas, on dit qu'elles sontgauches.

Angle entre deux planL'angle entre deux plans est égal à l'angle entre leurs normales.

Projection orthogonale d'un point ou d'une droite sur un planLa projection orthogonale d'un point P sur un plan est le point P ′ du plan telque la droite PP ′ est orthogonale au plan. C'est aussi l'intersection entre le planet la normale du plan passant par le point P . La projection orthogonale d'unedroite d sur un plan est la droite du plan formée des projections orthogonalesdes points de la droite d.

Angle entre un plan et une droiteL'angle entre un plan et une droite est l'angle entre cette droite et sa projectionorthogonale sur le plan.

78 Géométrie

Distance d'un point à un planLa distance d'un point P à un plan π est égale à la distance entre P et sa pro-jection orthogonale P ′ sur π ; c'est la longueur du segment [PP ′] que l'on noteδ(P, π).Remarque : Pour tout point P ′′ ∈ π, δ(P, π) ≤ δ(P, P ′′).

Distance d'une droite à un planLa distance entre un plan π et une droite d parallèle à ce plan est la distanceentre n'importe quel point P de d et π ; on la note δ(d, π). Si d est une droitede π, alors δ(d, π) = 0. Dans le cas où la droite d coupe π, on peut convenir quela distance entre d et π est nulle.

Distance entre deux droites gauchesLa distance entre deux droites gauches di, i = 1, 2, est la distance entre la pre-mière droite et le plan qui lui est parallèle contenant la seconde droite. C'estaussi la longueur δ qui satisfait la relation δ = min δ(P1, P2) où Pi ∈ di.

Distance entre deux plansSi les deux plans sont parallèles, la distance entre eux est la distance entre unpoint ou une droite du premier plan et le second plan.

Plan médiateurUn plan médiateur de deux points, respectivement de deux droites parallèles, estle lieu géométrique des points à égale distance des deux points, respectivementdes deux droites parallèles.

Plan bissecteurUn plan bissecteur de deux droites sécantes, respectivement de deux plans sé-cants, est le lieu géométrique des points à égale distance des deux droites, res-pectivement des deux plans.

4.2.2 Calcul de volumes et de surfacesLe cubeSi a est la longueur d'une arête du cube, alors

Volume = a3 Aire totale = 6a2

Le prisme droit

Volume = aire de la base · hauteur= aire de la section droite · longueur de l'arête

Aire latérale = périmètre de la section droite · longueur de l'arête

La pyramide régulière

Volume = 13· aire de la base · hauteur

Le cylindre de révolution

4.2 Géométrie dans l'espace 79

Si l'on note r le rayon du disque de base du cylindre et h la hauteur du cylindre,on a

Volume = πr2h

Aire latérale = 2πrh

Aire totale = 2πr(r + h)

Le cône de révolutionSi l'on note r le rayon du disque de base du cône, h la hauteur du cône etl =

√h2 + r2 la distance d'un point du cercle limitant le disque au sommet du

cône, on a

Volume = 13πr2h

Aire latérale = πrl

Aire totale = πr(r + l)

La sphèreSi le rayon de la sphère est r, on a

Volume = 43πr3 Aire = 4πr2

Le principe de Cavalieri1. Si toutes les coupes de deux surfaces planes ont même longueur, alors ces

surfaces ont même aire.2. Si toutes les sections de deux solides ont même aire, alors ces solides ont

même volume.Exemples : deux parallélogrammes, ou deux triangles, avec des bases égales etdes hauteurs égales ont même aire ; deux prismes, ou deux pyramides, avec desbases égales et des hauteurs égales ont même volume. On choisit ici les coupeset les sections parallèles aux bases

4.2.3 Equation cartésienne d'un planUn plan est le lieu géométrique des points de l'espace (Oxyz) qui vérient

une équation du typeax+ by + cz + d = 0

4.2.4 Equations cartésiennes d'une droiteDans l'espace, une droite peut être interprétée comme l'intersection de deux

plans sécants. La droite est donc le lieu géométrique des points dont les coor-données sont solution d'un système formé par les équations des deux plans :

a1x+ b1y + c1z + d1 = 0a2x+ b2y + c2z + d2 = 0

80 Géométrie

4.2.5 Equation cartésienne d'une sphèreLa sphère est le lieu géométrique des points de l'espace à égale distance, ap-

pelée rayon, d'un point donné, appelé centre de la sphère. L'équation cartésienned'une sphère Σ de centre (x0, y0, z0) et de rayon r est

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r2.

Un plan tangent à une sphère Σ est un plan ne touchant Σ qu'en un point T .Si ce point a pour coordonnées (xT , yT , zT ) l'équation du plan tangent sera

(xT − x0)(x− x0) + (yT − y0)(y − y0) + (zT − z0)(z − z0) = r2

Toute droite du plan tangent passant par le point T est une tangente à la sphère.

4.3 Géométrie vectorielle dans le plan et dans l'espace4.3.1 Vecteurs

Dans ce qui suit, nous allons considérer uniquement les vecteurs de R2 et R3.

Si l'on se place dans R2, respectivement dans R3, un vecteur correspond àun couple, respectivement un triplet, de nombres, appelés les composantes duvecteur, qui dénissent une direction, un sens et une longueur ou une norme.Ainsi, si l'on représente A(1, 2) et B(3, 5) dans le plan cartésien, le vecteur−−→AB =

(23

)correspond graphiquement à la èche d'origine A et d'extrémité

B.Si l'on prend les points C(5, 1) et D(7, 4), le vecteur −−→CD =

(23

)est le même

que −−→AB. En eet, bien qu'il n'aient pas la même origine et la même extrémité,ils indiquent la même direction, le même sens et la même longueur.

-

6

O

A(1, 2)

B(3, 5)

C(5, 1)

D(7, 4)

Á

Á

Norme d'un vecteur

Soit −→u =(u1

u2

)un vecteur de R2. La norme, notée ‖−→u ‖, est égale à la lon-

gueur du vecteur −→u . On a donc ‖−→u ‖ =√u2

1 + u22.

Dans R3, la norme du vecteur −→u =

u1

u2

u3

est ‖−→u ‖ =

√u2

1 + u22 + u2

3.

Si la norme d'un vecteur vaut 1, on dit que le vecteur est normé, ou unitaire.

4.3 Géométrie vectorielle 81

Addition de vecteursIl est possible d'additionner des vecteurs, composante par composante. Ainsi levecteur −→u =

(14

)auquel on additionne le vecteur −→v =

(31

)est le vecteur

−→w = −→u +−→v =(

14

)+

(31

)=

(1 + 34 + 1

)=

(45

).

Si on pose A(1, 4) et B(4, 5), on a selon la gure ci-dessous, −→u + −→v = −→w ,d'où

−−→AB =

(31

)= −→v = −→w −−→u =

−−→OB −−→OA.

Ainsi, si l'on donne deux points A(a1, a2) et B(b1, b2), on aura

−−→AB =

(b1b2

)−

(a1

a2

)=

(b1 − a1

b2 − a2

).

Il en va de même pour des vecteurs de R3.

-

6

O

AB−→v

−→w−→u

¤¤¤¤¤¤º

¿¿

¿¿

¿¿

¿¶¶7³³³³³1

Il en découle la propriété suivante, appelée relation de Chales−−→AB +

−−→BC =

−→AC.

Propriétés

(i) commutativité : −→u +−→v = −→v +−→u(ii) associativité : −→u + (−→v +−→w ) = (−→u +−→v ) +−→w(iii) élément neutre : −→

0 +−→u = −→u = −→u +−→0

(iv) élément inverse : Pour tout vecteur −→u il existe un unique vecteurnoté −−→u tel que −→u −−→u = −−→u +−→u =

−→0

Multiplication par un scalaireMultiplier un vecteur par un scalaire α ∈ R ne change pas sa direction, mais mul-tiplie sa longueur, ou sa norme, par |α|. Si −→u =

(u1

u2

), alors α−→u =

(αu1

αu2

).

Le sens est conservé si α > 0 et inversé si α < 0. On a donc −−−→AB =−−→BA.

82 Géométrie

Propriétés(v) α(−→u +−→v ) = α−→u + α−→v

(vi) (α+ β)−→u = α−→u + β−→u(vii) α(β−→u ) = (αβ)−→u

(viii) 1 · −→u = −→u

Colinéarité et orthogonalitéDeux vecteurs sont colinéaires si l'un est le produit de l'autre par un scalaire.Deux vecteurs −→u et −→v sont orthogonaux si leurs directions sont perpendicu-laires. On note −→u ⊥ −→v .

Repère et baseDans le plan, on appelle repère tout triplet de points non alignés. Si l'on prendtrois points A, B et C dans R2 formant un repère, alors les vecteurs −−→AB et −→ACne sont pas colinéaires. De plus, tout autre vecteur −→u de R2 peut s'exprimersous la forme −→u = α1

−−→AB + α2

−→AC, où α1, α2 sont des réels. On dit alors que

ces deux vecteurs forment une base. Toute autre base de R2 contient égalementdeux vecteurs.

Dans l'espace, un repère est un quadruplet de points dont trois forment unrepère dans un plan et dont le quatrième n'est pas contenu dans ce plan. Si l'onprend quatre points A, B, C et D de R3 formant un repère, on pourra construiretrois vecteurs −−→AB, −→AC et −−→AD tels que tout autre vecteur −→w de R3 pourra s'écriresous la forme −→w = α1

−−→AB + α2

−→AC + α3

−−→AD, où αi ∈ R. Ils dénissent une base

de R3.

Un repère (O; I; J) du plan est dit orthonormé si∥∥−→OI

∥∥ =∥∥−→OJ

∥∥ = 1 et −→OI ⊥ −→

OJ.

Dans l'espace, un repère (O; I; J ;K) est orthonormé si

∥∥−→OI∥∥ =

∥∥−→OJ∥∥ =

∥∥−−→OK∥∥ = 1 et −→

OI ⊥ −→OJ , −→OI ⊥ −−→

OK , −→OJ ⊥ −−→OK.

Le produit scalaire dans R2 et R3

Le produit scalaire de −→u et −→v dans R2, où −→u =(u1

u2

)et −→v =

(v1v2

), est

le nombre réel −→u · −→v = u1v1 + u2v2.

Le produit scalaire de −→u et −→v dans R3, où −→u =

u1

u2

u3

et −→v =

v1v2v3

est

le nombre réel −→u · −→v = u1v1 + u2v2 + u3v3.

Propriétés du produit scalaire dans R2 et R3

−→u · −→v = −→v · −→u−→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w−→u · (α−→v ) = α(−→u · −→v )−→u · −→u > 0et −→u · −→u = 0 ⇔ −→u =

−→0


De plus, on a les relations suivantes entre la norme et le produit scalaire

‖−→u ‖ =√−→u · −→u

|−→u · −→v | 6 ‖−→u ‖ ‖−→v ‖ Inégalité de Cauchy-Schwarz

−→u · −→v = 12

(‖−→u +−→v ‖2 − ‖−→u ‖2 − ‖−→v ‖2)

−→u · −→v = ‖−→u ‖ ‖−→v ‖ cosϕ où ϕ est l'angle entre −→u et −→v

Le produit scalaire permet également de vérier rapidement si deux vecteursnon nuls sont orthogonaux :

−→u · −→v = 0 si et seulement si −→u ⊥ −→v ou −→u =−→0 ou −→v =

−→0

En eet, −→u · −→v = ‖−→u ‖ ‖−→v ‖ cosϕ = 0 ; si −→u 6= 0, −→v 6= 0, alors cosϕ = 0 d'oùϕ = ±π

2.

Le produit vectorielLe produit vectoriel de −→u et −→v dans R3, noté −→u ×−→v , ou −→u ∧−→v , est un vecteurorthogonal à −→u et −→v .Si −→u et −→v ne sont pas parallèles, alors −→u ; −→v ; −→u ×−→v est une base de R3

orientée positivement (règle de la main droite).Les composantes du vecteur −→u ×−→v sont

−→u ×−→v =

u2v3 − u3v2u3v1 − u1v3u1v2 − u2v1

Remarque : géométriquement, ‖−→u ×−→v ‖ représente l'aire du parallélogrammeconstruit sur −→u et −→v .Par ailleurs,

‖−→u ×−→v ‖ = ‖−→u ‖ ‖−→v ‖ |sinϕ|

Propriétés−→u ×−→v = −−→v ×−→u−→u × (−→v +−→w ) = −→u ×−→v +−→u ×−→w

(−→u +−→v )×−→w = (−→u ×−→w ) + (−→v ×−→w )(α−→u )×−→v = α(−→u ×−→v ) , α ∈ R−→u × (−→v ×−→w ) = (−→u · −→w )−→v − (−→u · −→v )−→w

−→u et −→v sont parallèles si et seulement si −→u ×−→v =−→0

Le produit mixteLe produit mixte des vecteurs −→u , −→v et −→w dans R3 est le nombre réel déni par−→u · (−→v ×−→w ) = u1v2w3 + u2v3w1 + u3v1w2 − u1v3w2 − u2v1w3 − u3v2w1.

On utilise parfois la notation suivante : −→u · (−→v ×−→w ) = [−→u ,−→v ,−→w ].

84 Géométrie

Propriétés

[−→u ,−→v ,−→w ] = [−→v ,−→w ,−→u ] = [−→w ,−→u ,−→v ][−→u ,−→v ,−→w ] = -[−→u ,−→w ,−→v ] = -[−→v ,−→u ,−→w ] = -[−→w ,−→v ,−→u ]λ · [−→u ,−→v ,−→w ] = [λ−→u ,−→v ,−→w ] = [−→u , λ−→v ,−→w ] = [−→u ,−→v , λ−→w ][−→u +

−→u′ ,−→v ,−→w ] = [−→u ,−→v ,−→w ] + [

−→u′ ,−→v ,−→w ]

Remarque : géométriquement, |−→u · (−→v ×−→w )| représente le volume du parallé-lépipède construit sur −→u , −→v et −→w .

Inégalité de Hadamard : |−→u · (−→v ×−→w )| 6 ‖−→u ‖ ‖−→v ×−→w ‖ 6 ‖−→u ‖ ‖−→v ‖ ‖−→w ‖.

4.3.2 Géométrie vectorielle dans le planEquation vectorielle d'une droite

Soit A(xA, yA) et B(xB , yB) deux points du plan. Un point P appartient ausegment [AB] si et seulement s'il existe un réel α, 0 6 α 6 1, tel que −→AP = α

−−→AB,

c'est-à-dire −−→OP = (1− α)

−→OA+ α

−−→OB

On dit que P divise le segment [AB] dans le rapport α.Si M est le milieu du segment [AB], on a donc α = 1

2 et

−−→OM =

12

(−→OA+

−−→OB

)=

(xA + xB

2,yA + yB

2

).

La droite d'équation ax+ by + c = 0 peut s'écrire comme l'ensemble des pointsP satisfaisant l'équation vectorielle de la droite qui est de la forme

−−→OP =

−→OA+ λ

−→d , λ ∈ R

A est un point de la droite et −→d =( −b

a

)est le vecteur directeur de la droite.

Si on donne deux points distincts A et B de la droite, on peut prendre −−→ABcomme vecteur directeur.

On dénit le vecteur normal à la droite, qu'on note −→n , comme étant le vecteurperpendiculaire à −→d . Si la droite a pour équation cartésienne ax + by + c = 0,alors

−→n =(ab

)et −→n · −→d = 0.

La distance de la droite ax+ by + c = 0 au point P1(x1, y1) est donnée par

δ =∣∣∣−−→AP1 ·

−→n‖−→n ‖

∣∣∣ =|ax1 + by1 + c|√

a2 + b2

où A est un point de la droite.

La projection orthogonale de P1 sur cette même droite est le point P ′ telque

−−→OP ′ =

−−→OP1 −

(−−→AP1 ·

−→n‖−→n ‖

)·−→n‖−→n ‖


Le point symétrique de P1 par rapport à cette droite est donc le point P ′′ telque

−−→OP ′′ =

−−→OP1 − 2

(−−→AP1 ·

−→n‖−→n ‖

)·−→n‖−→n ‖

Si A = (xA, yA) et −→d =(d1

d2

)on passe d'une représentation de la droite à

une autre de la manière suivante :

−−→OP =

−→OA+ λ

−→d ⇔

x = xA + λd1

y = yA + λd2⇔ d2x− d1y − d2xA + d1yA = 0

Puisque −→d1 · −→d2 = ‖−→d1‖ ‖−→d2‖ cosϕ, l'angle ϕ entre deux droites d1 et d2 estdonné par

ϕ = arccos|−→d1 · −→d2|‖−→d1‖ ‖−→d2‖

= arccos|−→n1 · −→n2|‖−→n1‖ ‖−→n2‖

Les deux équations des bissectrices des droites aix+ biy + ci, i = 1, 2 sonta1x+ b1y + c1√

a21 + b21

= ±a2x+ b2y + c2√a22 + b22

Equation vectorielle d'un cercle

Vectoriellement, le cercle est l'ensemble des points P tels que

‖−−→P0P‖ = r ou ‖−−→P0P‖2 = r2

La tangente au point P1(x1, y1) du cercle est l'ensemble des points P satisfai-sant : −−−→

P0P1 · −−→P0P = r2 ou −−−→P0P1 · −−→P1P = 0

4.3.3 Géométrie vectorielle dans l'espaceEquation vectorielle d'un plan

Il est également possible de dénir vectoriellement un plan passant par unpoint P1(x1, y1, z1) et de vecteurs directeurs −→u et −→v non colinéaires. Ce planest donné par l'ensemble des points P vériant

−→0P =

−−→0P1 + λ−→u + µ−→v , λ, µ ∈ R

Si l'on donne deux autres points du plan P2 et P3, tels que P1, P2 et P3 ne sontpas colinéaires, on peut prendre comme vecteurs directeurs −−−→P1P2 et −−−→P1P3.Si l'on donne l'équation cartésienne ax+ by+cz+d = 0 d'un plan, son vecteurnormal sera

−→n =

abc

et l'équation du plan pourra s'écrire−→n · −−→PP1 = 0

Si l'on connaît le vecteur normal −→n =

n1

n2

n3

et un point A = (xA, yA, zA)

du plan, son équation cartésienne est donc

n1x+ n2y + n3z − n1xA − n2yA − n3zA = 0

86 Géométrie

Remarque : pour établir l'équation cartésienne d'un plan à partir de son équa-tion vectorielle, on peut prendre comme vecteur normal le vecteur −→u × −→v où−→u et −→v sont les deux vecteurs directeurs du plan.

La distance entre un point P1(x1, y1, z1) et le plan ax + by + cz + d = 0contenant le point A est donnée par

δ =∣∣∣−−→AP1 ·

−→n‖−→n ‖

∣∣∣ =|ax1 + by1 + cz1 + d|√

a2 + b2 + c2

La projection orthogonale de P1 sur ce même plan sera le point P ′ tel que

−−→OP ′ =

−−→OP1 −

(−−→AP1 ·

−→n‖−→n ‖

)·−→n‖−→n ‖

On établit la formule pour le symétrique P ′′ de P1 par rapport au plan de lamême manière que pour la droite.

Dans l'espace, il n'est plus possible de dénir la normale d'une droite ; il ya une innité de droites perpendiculaires à une droite donnée en un point donnéde cette droite qui génèrent un plan normal à la droite.Si −→d est le vecteur directeur de la droite d, A un point de d et P un pointextérieur à d, la distance de P à d est

δ(P, d) =∥∥∥−→AP ×

−→d

‖−→d ‖∥∥∥

et la projection orthogonale de P sur d sera le point P ′ tel que

−−→OP ′ =

−→OA+

(−→AP ·

−→d

‖−→d ‖

)·−→d

‖−→d ‖

L'angle ϕ entre deux plans ayant pour normales −→n1 et −→n2 est

ϕ = arccos|−→n1 · −→n2|‖−→n1‖ ‖−→n2‖

Si les deux plans ont pour équations a1x + b1y + c1z + d1 = 0 et a2x + b2y +c2z + d2 = 0, les équations des plans bissecteurs sont données par

a1x+ b1y + c1z + d1√a21 + b21 + c21

= ±a2x+ b2y + c2z + d2√a22 + b22 + c22

Equation vectorielle d'une sphère

L'équation vectorielle de la sphère de centre P0(x0, y0, z0) et de rayon r est

‖−−→P0P‖ = r ou ‖−−→P0P‖2 = r2

Le plan tangent au point P1 de la sphère est l'ensemble des points P vériant−−−→P0P1 · −−→P0P = r2 ou −−−→

P0P1 · −−→P1P = 0


Solutions des exercicesS4.1 Théorème d'Euclide :En utilisant les relations a2 + b2 = c2 et b′2 + h2 = b2, on déduit que

a2 = c2 − b′2 − h2 = (a′ + b′)2 − b′2 − (a2 − a′2)

d'où 2a2 = 2a′(a′ + b′) et a2 = a′c.

Théorème de la hauteur :On peut utiliser le théorème d'Euclide pour démontrer le théorème de la hau-teur. On a h2 = a2 − a′2 = a′c− a′2 = a′(c− a′) = a′b′.S4.2 C'est le cercle dont le diamètre est l'hypoténuse donné. En eet, il sutd'appliquer la propriété de l'angle inscrit et de l'angle au centre d'un cercle enchoisissant ici respectivement 90 et 180.S4.3 Soient a, b les cathètes et c l'hypoténuse du triangle cherché ; on doit avoir

a2 +(a+ c

2

)2

= c2, d'où en posant ac = X, 5X2 + 2X − 3 = 0. On obtient

X = 35 et (a, b, c) = (3r, 4r, 5r), r réel positif.

S4.4 Les coordonnées de I sont (6, 4) et le coecient angulaire de AI est égalà − 1

4 . On en déduit l'équation de p : y + 3x− 1

= 4 c'est-à-dire 4x− y − 7 = 0.

S4.5 Le nombre de tangentes communes à σ1 et σ2 est 0 si σ1 est intérieur àσ2, 1 si σ1 est tangent intérieurement à σ2, 2 si σ1 et σ2 se coupent, 3 si σ1 esttangent extérieurement à σ2 et 4 si σ1 est extérieur à σ2.S4.6 L'équation de la droite des centres d passant par OΩ est donnée par 12x−5y = 0. On détermine d ∩ Γ′ qui sont les points I1(5, 12) et I2(−5,−12) puisl'on calcule R = ‖IΩ‖ d'où R1 = 26 et R2 = 52.S4.7 Méthode générale : on peut résoudre le problème en utilisant les média-trices de [AB] et [AC] qui ont pour équations respectivement x − 2y + 5 = 0et x+ y − 4 = 0 et dont l'intersection détermine le centre Ω de γ. Le rayon estensuite donné par ‖−→ΩA‖, ce qui permet d'établir l'équation du cercle.

Dans le cas présent, l'équation du cercle γ est de la forme x2 +y2 +αx+βy = 0 ;puisque (0, 0) ∈ γ. En écrivant que B et C sont sur γ, on obtient

α− 2β = 10α+ β = −8 d'où (α, β) = (−2,−6) et γ : (x− 1)2 + (y − 3)2 = 10

S4.8 Le volume cherché est V = 13 (aire de la base) · (hauteur), d'où

V =13

(12

∥∥∥−−→AB ×−→AC∥∥∥)· 12 = 2

∥∥∥−−→AB ×−→AC∥∥∥ = 10

S4.9 Les coordonnées d'un point D de d sont (2 + 3λ,−3 + λ, 1 − 6λ). Il fautainsi résoudre 1 = 1

6 |[−−→AB,

−→AC,

−−→AD]| = 1

6 |−−→AD · (−−→AB × −→AC)| d'où 2λ − 2 = ±6.

On trouve donc deux points, D1(14, 1,−23) et D2(−4,−5, 13).S4.10 En utilisant l'orthogonalité des vecteurs directeurs ou normaux, on trouvem = −3.S4.11a) Le vecteur −−→AB = 2(1, 1, 3) est normal au plan cherché et M(3, 2,−1), milieude [AB], est un point de ce plan, d'où son équation : x+ y + 3z = 2.b) Le point C est déterminé par l'intersection de d et du plan médiateur de A etB. En utilisant l'équation vectorielle de d, −→r d =

−−→OP = (3,−1,−2) + λ(1, 2, 1),

on trouve λ = 1 et C(4, 1,−1).

88 Géométrie

S4.12 Le centre Ω de γ est l'intersection des médiatrices x−y = 1 et x+y = 3,d'où Ω(2, 1) et l'équation de γ est (x− 2)2 + (y − 1)2 = ‖−→ΩA‖2 = 5.Soit T (ξ, η) le point de tangence de τ ; l'équation de τ est (ξ − 2)(x − 2) +(η − 1)(y − 1) = 5 et P ∈ τ implique ξ − 3η = −6 d'où, puisque T ∈ γ,(3η − 8)2 + (η − 1)2 = 5 ; on obtient η = 2 ou 3, ce qui détermine T1(0, 2) etT2(3, 3). La pente de τ étant négative, seul T2 est à retenir : l'équation de τ estdonc x+ 2y = 9.Il reste à trouver Q, intersection de τ et d'un cercle de rayon 13 et de centreK, donc d'équation (x− 12)2 + (y − 13)2 = 169, ce qui implique (−2y − 3)2 +(y − 13)2 = 169 d'où y = 1 ou 9

5 et x = 7 ou 275 . Finalement, xQ > 6 implique

xQ = 7, yQ = 1.S4.13 La distance entre un point P2(x2, y2, z2) et le plan ax+ by + cz + d = 0contenant le point A est donnée par

δ =∣∣∣−−→AP2 ·

−→n‖−→n ‖

∣∣∣

Dans notre cas, les deux droites gauches d1 et d2 de vecteur directeurs −→d1 et −→d2

passent respectivement par les points P1 et P2 ; il sut de considérer alors qued1 est contenue dans le plan engendré par −→d1 et −→d2 et de chercher la distanceentre P2 et ce plan.Comme −→d1×−→d2 est un vecteur normal au plan, la distance entre les deux droitesest simplement ∣∣−−−→P1P2 · (−→d1 ×−→d2)

∣∣‖−→d1 ×−→d2‖

.

S4.14 Si P ′ est la projection de P sur d et α l'angle entre −→AP et −→d orientédans le sens positif, alors

∥∥∥−→AP ×−→d

‖−→d ‖∥∥∥ =

∣∣∣ 1

‖−→d ‖‖−→AP‖ ‖−→d ‖ sinα

∣∣∣ = |PP ′| = δ(P ; d).

S4.15 On détermine P ′′ le symétrique de P par rapport π ; I est alors l'inter-section de la droite (P ′′Q) et du plan π, puisque |PI| + |IQ| = |P ′′I| + |IQ|est le plus court chemin de P à Q en passant par I (propriété physique de latrajectoire des rayons lumineux). On obtient I(−11, 4, 5) et α = π/4.

S4.16 Pour répondre à la question, il sut de déterminer si la distance de ladroite au centre de la sphère est plus petite ou plus grande que le rayon. Paranalogie à l'exercice 4.7, on peut utiliser des plans médiateurs pour trouver lescoordonnées du centre ou, ce qui revient au même, chercher le point P tel que‖−→PA‖ = ‖−−→PB‖ = ‖−−→PC‖ = ‖−−→PD‖.Si l'on note (p1, p2, p3) les coordonnées de P , on a :‖−→PA‖ = ‖−−→PD‖ donne p2

1 + p22 + p2

3 = p21 + p2

2 + p23 − 2p3 + 1, d'où p3 = 1/2,

‖−→PA‖ = ‖−−→PB‖ donne p21 + p2

2 + p23 = p2

1 − 2p1 + 1 + p22 + p2

3 − 2p3 + 1 d'oùp1 = 1/2,‖−→PA‖ = ‖−−→PC‖ donne p2

1 + p22 + p2

3 = p21 − 2p1 + 1 + p2

2 − 4p2 + 4 + p23 − 2p3 + 1

d'où p2 = 1.

Il s'ensuit que le rayon est ‖−→AP‖ =√

62

.En choisissant comme vecteur directeur de la droite le vecteur −−→EF = (1, 1, 1) =−→d , on obtient δ(P ; d) =

∥∥∥−−→EP ×−→d

‖−→d ‖∥∥∥ =

√2 >

√6

2=

√1, 5. Donc la droite ne

coupe pas la sphère.


S4.17 Il faut tout d'abord chercher le plan tangent à la sphère au point T . Ontrouve comme équation de ce plan

x+ 4y + 8z − 74 = 0.

On vérie ensuite si la droite (ST ) passe par P ′′, le point symétrique du pointP par rapport au plan tangent (ou également si (PT ) passe par S′′), ce qui estle cas.On peut également contrôler que

(1) P est dans le plan contenant les droites (ST ) et (ΩT ),où Ω est le centre de la sphère ;

(2) cos (ST,ΩT ) = cos (PT,ΩT ).S4.18 L'équation du plan π, orthogonal à d et passant par P est x+2y−3z = 2.Soit I l'intersection de π et d ; alors −→OI = 1

2 (−−→OP +

−−→OP ′), c'est-à-dire−−→

OP ′ = 2−→OI −−−→OP = 2(3, 1, 1)− (1, 2, 1) = (5, 0, 1).

S4.19 Soient G1 ∈ g1 et G2 ∈ g2 deux points choisis et I1, I2 les intersectionsrespectives de la transversale avec g1 et g2. Les vecteurs −→g1 , −→g2 et −→t formentune base et on a −−−→G1G2 =

−−−→G1I1 +

−−→I1I2 +

−−−→I2G2 = λ−→g1 + τ

−→t + µ−→g2 , d'où, par

exemple, −−−→G1G2 · (−→t ×−→g1) = λ · 0 + τ · 0 + µ−→g2 · (−→t ×−→g1). Numériquement, avec−−−→G1G2 = (2, 3, 1) − (1, 4,−1) = (1,−1, 2), on obtient µ = −3 et, avec un calculanalogue, λ = −2. Alors −−→OI1 =

−−→OG1 +λ−→g1 = (−1, 0,−3) et −−→OI2 =

−−→OG2−µ−→g2 =

(5, 6, 7).S4.20 Il s'agit de la plus courte distance entre les deux droites gauches gi. Ladroite (AB) est ici une transversale dont la direction est −→t = −→g1×−→g2 ∼ (1, 4, 8).La méthode de l'exercice 4.19 s'applique et l'on obtient A(1, 1, 1), B(2, 5, 9) d'où‖−−→AB‖ = 9.

chapitre 5Trigonométrie

ExercicesE5.1 Soit C un cercle de centre O et de rayon r = 12cm. Un angle α, de sommetO, intercepte sur C un arc AB de longueur l = 3, 14cm.

a) Déterminer α en radians et en degrés, (on accepte l'approximation π ≈ 3, 14).b) En écrivant α = β − γ, où β et γ sont des angles choisis judicieusement,déterminer, sans calculatrice, sinα, cosα et tanα.c) Soit P la projection orthogonale de A sur OB. Quelles sont les longueurs deOP et AP ?

E5.2 On considère la fonction réelle f(x) = 3 cos(πx + π2 ). Montrer que f est

impaire, périodique de période 2 et que f(x) < 0 pour x ∈]0, 1[.

E5.3 Soient f(x) = 2 cos(2x+ π4 ) et g(x) = 2 sin(2x+ π

4 ).

a) Déterminer les points d'intersection des graphes de f et g.b) Montrer que la fonction h(x) = (f(x))2 + (g(x))2 est constante.

E5.4 Soit ABC un triangle. Sachant que ABC =π

12, BAC =

π

4et AB = 2

√3,

déterminer AC et BC.

E5.5 On considère les domaines Di(αi, ri, Ri), i = 1, 2 semblables à celui es-quissé dans la gure ci-dessous. Déterminer R1 en fonction de r1 et R2 sachantque les aires de D1 et D2 sont égales, que α1 est le double de α2 et que r2 = R1.

•

MMMMMM

αi

Diri

Ri

E5.6 Une charge est hissée à l'aide d'un câble enroulé sur une poulie de rayonégal à 12cm. Calculer la longueur du cable en contact avec la poulie sachant quele bout du câble sur lequel on tire forme un angle de 15 avec la verticale.

E5.7 Trouver la période de la fonction f : x 7→ 1 + 4 cos(3x+√π).

E5.8 Soit ABC un triangle rectangle en C. Déterminer le sinus et le cosinus del'angle CAB sachant que AC = 5 et CB = 12. Déterminer, sans calculatrice, siCAB est plus grand ou plus petit que π/3.

Exercices 91

E5.9 Montrer que dans un triangle quelconque, non rectangle, d'angles α, β, γon a :

tanα+ tanβ + tan γ = tanα tanβ tan γ.

E5.10 Un bateau se trouve au pied d'une falaise de 600m, orientée est-ouest. Ilprend la mer en suivant le méridien du lieu ; déterminer la hauteur de la partiede la falaise encore visible depuis le bateau lorsque celui-ci a parcouru 80kmainsi que la distance minimale à parcourir pour ne plus voir la falaise.On admettra que la Terre est une sphère de rayon égal à 6370km.

E5.11 Un promeneur doit rejoindre nuitamment un point B depuis un pointA. Marchant à la vitesse de 4km/h, il quitte A en ligne droite, en dérivant de15. Arrivé à un point P , il corrige sa direction de 40 dans le sens adéquat etmet encore 15 minutes pour atteindre B. Calculer la distance AB

E5.12 Un observateur mesure, sous un angle de 30, la hauteur d'un mât situéen face de lui sur la berge opposée d'une rivière. En se déplaçant de 20m lelong de la rive, l'observateur voit alors le mât sous un angle de 15. Calculer lalargeur de la rivière ainsi que la hauteur du mât.

E5.13 Résoudre l'équation : sinx+ cos 5x = cos 3x− sin 7x.

E5.14 Trouver A > 0 et ϕ tels que :

3 · cosx+ 4 · sinx = A · cos(x− ϕ), ∀x.E5.15 Résoudre l'équation

6 sin t =cos 2t− 5√

tanX

si X est solution de

8 sin 2x+ cos 2x = 10 cotx− 2.

E5.16 Résoudre l'équation suivante pour 3π < t < 7π2 :

(sin t− 2−√

3 cos t)(2 + sin t−√

3 cos t) = 3(√

2 sin t−√

6 cos t)− 8.

E5.17 Soit ABC un triangle tel que a = 7, b = 8, c = 9. Déterminer l'angle α′pour que le triangle A′B′C ′ ait la même aire que ABC, sachant que b′ = 2

√5

et c′ = 24.

E5.18 On cherche à déterminer la distance δ d'un point A à un point B nonvisible de A. En se déplaçant le long d'une demi-droite issue de A, on choisitdeux points D1 et D2 d'où l'on peut voir A et B.Ayant mesuré les distances AD1 = 600m et AD2 = 700m ainsi que les angles]AD1B = 56, 25 et ]AD2B = 43, 09, calculer la distance δ.

E5.19 Deux navires N1 et N2 situés sur un même méridien et distants l'un del'autre de d kilomètres observent un satellite S.A l'instant où la trajectoire de S coupe la verticale de N1, l'observateur de N2

voit le satellite sous un angle α. Déterminer l'altitude h = N1S du satellite (onnote r, en km, le rayon de la Terre supposée sphérique).

E5.20 Les fonctions trigonométriques suivantes sont-elles périodiques ? Si oui,quelle est leur période ?

(1) f(x) = sin(π

14x)+cos(

π

91x) ; (2) f(x) = sinx+sin(

√2x) ; (3) f(x) =

52+sin2 x.

E5.21 Etudier la fonction h(x) = esin(πx/2).

92 Trigonométrie

Notions théoriques5.1 Mesures d'angles et longueur d'arc

La mesure en radians d'un angle de sommet O est égale au nombre quidétermine la longueur de l'arc s que l'angle intercepte sur un cercle de rayon 1,centré en O :

rO

¡¡

¡¡

¡¡

1

1

s

α

Le radian est donc la mesure de l'angle de sommet O qui intercepte sur uncercle de centre O un arc de longueur égale au rayon de ce cercle.

Le degré est la mesure de l'angle de sommet O qui intercepte sur un cerclede centre O un arc égal à la 360ème partie de ce cercle. Pour convertir des degrésen radians, on a la formule suivante :

α(rad)2π

=α()360

Sur un cercle de centre O et de rayon r, un angle au centre de α radiansintercepte un arc de longueur

l = α · ret l'aire du secteur circulaire ainsi déni est :

σ =12αr2.

5.2 Fonctions trigonométriques dans un triangle rectangleDénitions

©©©©©©©©©©©©©

b

ca

A

B

C

α

β

Soit α < π2 l'angle correspondant au sommet A d'un triangle ABC, rectangle

en C ; on note sinα, cosα, tanα et cotα respectivement le sinus, le cosinus, latangente et la cotangente de α dénis comme suit :

5.3 Le cercle trigonométrique 93

sinα =a

ccosα =

b

c

tanα =a

b=

sinαcosα

cotα =b

a=

1tanα

Propriétéscos2 α+ sin2 α = 1

sinβ = sin(π/2− α) = cosα tanβ = tan(π/2− α) = cotα.

1cos2 α

= 1 + tan2 α1

sin2 α= 1 + cot2 α

5.3 Le cercle trigonométrique

-

6

α

1

1

−1

−1

""

""

""

""

""

""

""

""

""

cosα

sinαtanα

cotα

0 ≤ α ≤ π2

-

6

1

1

−1

−1

\\

\\

\\

\\

\\

\\

\\\

cosα

sinα

tanα

cotα

π2 ≤ α ≤ π

α

-

6

α

1

1

−1

−1

""

""

""

""

""

""

""

""

""

cosαsinα

tanα

cotα

π ≤ α ≤ 3π2

-

6

1

1

−1

−1

\\

\\

\\

\\

\\

\\

\\\

sinα

cosα

tanα

cotα

3π2 ≤ α ≤ 2π

α

Les quadrants déterminent les signes des couples (cosα, sinα).

94 Trigonométrie

5.4 Valeurs pour des angles particuliers

α cosα sinα tanα cotα

0 1 0 0 n.d.

π

6

√3

212

√3

3√

3

π

4

√2

2

√2

21 1

π

312

√3

2√

3√

33

π

20 1 n.d. 0

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

@@

@@

@@

@@

c =√

2a

a a

•

π/4 π/4

a

a a

h =√

32 a

π/3 π/3

π/3

5.5 Courbes représentatives et propriétés des fonctionstrigonométriques

cos

sin

–2

–1

0

1

2

–4 –2 2 4

sin : ]−∞,∞[−→ [−1, 1] cos : ]−∞,∞[−→ [−1, 1]

5.6 Formules 95

cotan

tan

–4

–2

0

2

4

–4 –2 2 4

tan : ]π2 + kπ, π

2 + (k + 1)π[−→]−∞,∞[cot : ]kπ, (k + 1)π[−→]−∞,∞[, k ∈ Z.

sin(α+ 2πn) = sin(α), n ∈ Z cos(α+ 2πn) = cos(α), n ∈ Zsin(−α) = − sin(α) cos(−α) = cos(α)tan(α+ nπ) = tan(α), n ∈ Z cot(α+ nπ) = cot(α), n ∈ Ztan(−α) = − tan(α), cot(−α) = − cot(α)

La fonction impaire sin est donc périodique de période 2π ; on dit aussi qu'elleest 2π-périodique. Il en découle que, pour p xé, la période de sin(pα) est 2π

p.

La fonction cos est 2π-périodique et paire, les fonctions tan et cot sont π-périodiques et impaires.

5.6 Quelques formules

sin(α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ sin(α− β) = sinα cosβ − cosα sinβcos(α+ β) = cosα cosβ − sinα sinβ cos(α− β) = cosα cosβ + sinα sinβ

Démonstration graphique de sin(α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ.

96 Trigonométrie

´´

´´

´´

´´

´´

´´

JJ

JJ

JJJ

O A C

E D

B

1 • •

•

α

α

β

sin(α+ β) = |AB| = |AE|+ |EB|= |CD|+ |EB|= |OD| sinα+ |BD| cosα= cosβ sinα+ sinβ cosα

Problème : exprimer tan(α+β) en fonction de tanα et tanβ à l'aide des quatreformules principales précédentes.

tan(α+ β) =sin(α+ β)cos(α+ β)

=sinα cosβ + cosα sinβcosα cosβ − sinα sinβ

=cosα cosβ

(sinαcosα + sinβ

cosβ

)

cosα cosβ(1− sinα sinβ

cosα cosβ

) =tanα+ tanβ

1− tanα tanβ

De même, on en déduit les formules trigonométriques suivantes :

tan(α+ β) =tanα+ tanβ

1− tanα tanβtan(α− β) =

tanα− tanβ1 + tanα tanβ

cot(α+ β) =cotα cotβ − 1cotβ + cotα

cot(α− β) =cotα cotβ + 1cotβ − cotα

On a d'autre part :sin(2ϕ) = sin(ϕ+ ϕ) = sinϕ cosϕ+ cosϕ sinϕ

= 2 sinϕ cosϕ

sinα+ sinβ

= 2 sinα

2cos

α

2+ 2 sin

β

2cos

β

2= 2

(sin

α

2cos

α

2+ sin

β

2cos

β

2

)

= 2[(

sinα

2cos

α

2

) (sin2 β

2+ cos2

β

2

)+

(sin

β

2cos

β

2

) (sin2 α

2+ cos2

α

2

)]

= 2(

sinα

2cos

α

2cos2

β

2+ sin2 α

2sin

β

2cos

β

2+ cos2

α

2sin

β

2cos

β

2+ sin

α

2cos

α

2sin2 β

2

)

= 2[(

sinα

2cos

β

2+ cos

α

2sin

β

2

)(cos

α

2cos

β

2+ sin

α

2sin

β

2

)]

= 2 sin(α+ β)

2cos

(α− β)2

5.6 Formules 97

sinα sinβ =12

[cosα cosβ + sinα sinβ − cosα cosβ + sinα sinβ]

=12

[cos(α− β)− cos(α+ β)]

sin(2ϕ) = 2 sinϕ cosϕ cos(2ϕ) = cos2 ϕ− sin2 ϕ= 1− 2 sin2 ϕ = 2 cos2 ϕ− 1

sinϕ

2= ±

√1− cosϕ

2cos

ϕ

2= ±

√1 + cosϕ

2

tanϕ

2= ±

√1− cosϕ1 + cosϕ

cotϕ

2= ±

√1 + cosϕ1− cosϕ

=sinϕ

1 + cosϕ=

1− cosϕsinϕ

=sinϕ

1− cosϕ=

1 + cosϕsinϕ

sinϕ = 2 tan ϕ2

1 + tan2 ϕ2

cosϕ = 1− tan2 ϕ2

1 + tan2 ϕ2

sinα+ sinβ = 2 sinα+ β

2cos

α− β

2cosα+ cosβ = 2 cos

α+ β

2cos

α− β

2

sinα− sinβ = 2 cosα+ β

2sin

α− β

2cosα− cosβ = −2 sin

α+ β

2sin

α− β

2

tanα+ tanβ =sin(α+ β)cosα cosβ

cotα+ cotβ =sin(α+ β)sinα sinβ

tanα− tanβ =sin(α− β)cosα cosβ

cotα− cotβ =− sin(α− β)sinα sinβ

sinα sinβ =12[cos(α− β)− cos(α+ β)]

tanα tanβ =tanα+ tanβcotα+ cotβ

cosα cosβ =12[cos(α− β) + cos(α+ β)]

tanα cotβ =tanα+ cotβcotα+ tanβ

sinα cosβ =12[sin(α− β) + sin(α+ β)]

cotα cotβ =cotα+ cotβtanα+ tanβ

cosα sinβ =12[sin(α+ β)− sin(α− β)]

98 Trigonométrie

5.7 Fonctions réciproques des fonctions trigonométriques

arcsin

arccos

–1

1

2

3

–1 –0.5 0.5 1

arctanarccot

–1

0

1

2

3

–4 –2 2 4

arcsin : [−1, 1] −→ [−π2 ,

π2 ] arctan : R −→]− π

2 ,π2 [

arccos : [−1, 1] −→ [0, π] arccot : R −→]0, π[.

Si y = sinα et x = cosα 6= 0, on a toujours tanα = y/x ; cependant,

α =

arctan(y/x) si x > 0 et y > 0π + arctan(y/x) si x < 0 et y ∈ R2π + arctan(y/x) si x > 0 et y < 0

π/2 si x = 0 et y > 03π/2 si x = 0 et y < 0

5.8 Equations trigonométriquesPour tout k ∈ Z, on a :

cosx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ tanx = 0 ⇔ x = kπsinx = 0 ⇔ x = kπ cotx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ

cosx = cos y ⇔

x = y + 2kπou

x = −y + 2kπtanx = tan y ⇔ x = y + kπ

sinx = sin y ⇔

x = y + 2kπou

x = π − y + 2kπcotx = cot y ⇔ x = y + kπ

5.9 Relations trigonométriques dans un triangle quelconque 99

5.9 Relations trigonométriques dans un triangle quelconque

•???

????

???

'''''''''''''''

¨¨

¨¨

¨¨

¨¨

¨

A B

C

r

ab

c

α β

γ

Théorème du sinus :

a

sinα=

b

sinβ=

c

sin γ= 2r

En eet, comme le montre la gure ci-dessous, on a bien : sin γ =c/2r

=c

2r.

•xxxxxxxxxx

FFFFFFFFFF

'''''''''''''''

¨¨

¨¨

¨¨

¨¨

¨

A B

C

r

c/2

.....

γ

γ

Théorème du cosinus :

a2 = b2 + c2 − 2bc cosαb2 = c2 + a2 − 2ca cosβc2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

En eet, d'après la gure suivante, on a :

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡

b

c

a

A B

C

x

y

β π − β

b2 = (x+ c)2 + y2 = x2 + 2xc+ c2 + y2 = (x2 + y2) + c2 + 2xc = a2 + c2 + 2xc.

100 Trigonométrie

Or, cos(π − β) = x/a et cos(π − β) = − cosβ ; on obtient donc,

b2 = a2 + c2 + 2ac cos(π − β) = a2 + c2 − 2ac cosβ.

Formule de Heron :

Aire du triangle =√p(p− a)(p− b)(p− c)

où 2p = a+ b+ c = périmètre du triangle.


Solutions des exercicesS5.1

a) on a l = α · r, d'où α(rad) =l

r=

3, 1412

≈ π

12.

Par suite, α() =180π· α(rad) =

180π· π12

= 15.

b) On écrit π

12=π

4− π

6(ou aussi 15 = 45 − 30) d'où

sin(π

12) = sin(

π

4) cos(

π

6)− cos(

π

4) sin(

π

6) =

√6−√2

4≈ 0, 2588

cos(π

12) = cos(

π

4) cos(

π

6) + sin(

π

4) sin(

π

6) =

√6 +

√2

4≈ 0, 9659

et par suite tan(π

12) =

√6−√2√6 +

√2≈ 0, 2679.

c) On a OA = r = 12 cm et donc OP = r cosα = 12 cos(π

12) ≈ 11, 591 cm. et

AP = r sinα = 12 sin(π

12) ≈ 3, 105 cm.

S5.2 On peut utiliser l'égalité cosα = sin(π2 − α) pour remarquer que f(x) =

3 sin(−πx) = −3 sin(πx), d'où f(−x) = 3 sin(πx) = −f(x) et f est impaire.La période fondamentale de la fonction cos est 2π, donc celle de f est T telleque π(x+ T ) + π

2 = πx+ π2 + 2π, d'où T = 2.

Comme f(x) = −3 sin(πx) et sin(πx) > 0 pour x ∈]0, 1[, on a f(x) < 0 pourx ∈]0, 1[.S5.3

a) On cherche les valeurs de x vériant g(x)− f(x) = 0 c'est-à-dire les solutionsde sin(2x + π

4 ) − cos(2x + π4 ) = 0. En utilisant les égalités cos(2x + π

4 ) =

sin(π2 − (2x + π

4 )) = sin(π4 − 2x) et sinα − sinβ = 2 cos

α+ β

2sin

α− β

2on

obtient g(x) − f(x) = 0 équivalent à 2 cos π4 sin(2x) = 0. Les valeurs cherchées

sont donc xk = k π2 , k ∈ Z, solution de sin(2x) = 0. On en déduit que les points

d'intersection des graphes de f et g sont les points Pk

(k π

2 , (−1)k√

2), k ∈ Z.

b) De l'égalité cos2 α + sin2 α = 1, on déduit que h(x) = (f(x))2 + (g(x))2 = 4pour tout x.

S5.4 On utilise le théorème du sinus, en remarquant que ACB = π−(π

12+π

4) =

2π3, et on obtient

AC =2√

3sin( 2π

3 )sin(

π

12) = 4 sin(

π

12) ≈ 1, 0352 ,

BC =2√

3sin( 2π

3 )sin(

π

4) = 4 sin(

π

4) ≈ 2, 8284 .

S5.5 En utilisant les relations Di = 12αi(R2

i − r2i ), i = 1, 2 on obtient

R1 =

√13(2r21 +R2

2).

102 Trigonométrie

S5.6 Sachant que la longueur cherchée est l = α · r où r = 12cm et α = 165

qu'il faut exprimer en radians, on trouve

l = 11 · π ≈ 34, 56cm.

S5.7 La fonction f est périodique de période 2π3.

S5.8 Un calcul simple donne la longueur AB = 13 et permet de déduire, enposant ϕ = CAB, que sinϕ = 12/13, cosϕ = 5/13 et que ϕ > π/3, carcos(π/3) = 1/2 > 5/13 = cosϕ.S5.9 Considérer tan(α+ β) qui peut être exprimé en fonction de tanα et tanβet qui vaut − tan γ.S5.10 La hauteur H encore visible après 80km est, en mètres, 600 − h ; sir = 6370km est le rayon de la Terre et ϕ l'angle au centre de la Terre interceptépar les 80km parcourus, alors (r + h) cosϕ = r d'où H ≈ 97, 61m. De même, ladistance minimum à parcourir pour ne plus voir la falaise est 87, 427km.S5.11 On applique le théorème du sinus et on obtient AB

sin 140 = 1kmsin 15 , d'où la

distance AB ≈ 2, 48km.S5.12 Largeur de la rivière : 10,48 m ; hauteur du mât : 6,05 m.S5.13 L'équation est équivalente à 2 sin(4x) cos(3x) = 2 sin(4x) sin(x), d'où :x =

mπ

4ou π

8+nπ

2, m, n ∈ Z

S5.14 On déduit que A et ϕ doivent vérier le système :A cosϕ = 3A sinϕ = 4 ,

ce qui implique que A = 5 et ϕ ≈ 0, 927radian.S5.15 En posant z = tanx (z 6= 0), on obtient z3 + 6z2 + 3z − 10 = 0 d'oùz ∈ −5,−2, 1 ; seule est admissible la solution tanX = 1. L'équation donnéedevient : sin t+ 1 = 0 et a pour solution t = −π

2 + 2kπ, k ∈ Z.S5.16 On pose y = sin t−√3 cos t ; l'équation devient

(y − 2)(y + 2) = 3√

2y − 8 et s'écrit y2 − 3√

2y + 4 = 0.

Elle admet deux racines distinctes : y1 =√

2 et y2 = 2√

2.Il reste à résoudre

sin t−√

3 cos t = yi ;

or, on peut écrire le membre de gauche sous la forme A sin(t − α) avec A = 2,cosα = 1/2 et sinα =

√3/2, d'où α = π/3.

Ainsi,

sin(t− π

3) =

√2

2ou sin(t− π

3) =

√2, ce qui est impossible.

Doncsin(t− π

3) = sin

π

4d'où t− π

3=π

4+ 2kπ

out− π

3= π − π

4+ 2kπ =

3π4

+ 2kπ

c'est-à-diret =

7π12

+ 2kπ ou 13π12

+ 2kπ, k ∈ Z

La condition 3π < t <7π2

implique alors t =37π12

.


S5.17 A l'aide de la formule de Heron, on obtient l'aire du triangle ABC = 12√

5égale aussi à l'aire du triangle A′B′C ′ qui vaut 1

2b′c′ sinα′. On en déduit que

sinα′ = 0.5 d'où α′ =π

6ou 5π

6.

S5.18 En utilisant le théorème du sinus dans le triangle BD1D2, on trouveD1B ≈ 300m, puis à l'aide du le théorème du cosinus dans le triangle BAD1 ondétermine δ2 d'où δ = AB ≈ 500m.S5.19

•ooooooooooooooooooooooooooooooo

gggggggggggggggggggggggggggggS

N2

N1r

α

O

dh

On a :ON2S =

π

2+ α

N2SO =π

2− (α+ ϕ) où ϕ =

d

r= SON2.

Il s'ensuit, par le théorème du sinus :

sin(π

2− (α+ ϕ)

)

r=

sin(π

2+ α

)

h+ rd'où

cos(α+

d

r

)

r=

cosαh+ r

eth = r

[ cosα

cos(α+

d

r

) − 1].

S5.20(1) Posons f1(x) = sin( π

14x) et f2(x) = cos( π91x). Ces fonctions sont pério-

diques de périodes respectives T1 = 28 et T2 = 182. La fonction f = f1+f2est périodique de période T si l'on peut trouver m et n dans N∗ telsque m · 28 = n · 182 ; les plus petites valeurs sont m = 13, n = 2 d'oùT = 364 = PPCM(T1, T2).

(2) Dans ce cas, on doit trouver m et n tels que 2π ·m = 2π√2· n, ce qui est

impossible puisque√

2 n'est pas rationnel : la fonction f n'est donc paspériodique.

(3) La fonction f s'écrit f(x) = 3− 12 cos(2x), elle est donc π-périodique.

S5.21 La fonction h est dénie sur tout R donc Dh = R ; elle est pério-dique de période fondamentale 4, puisque la période fondamentale de la fonc-tion sin est 2π. Il sut donc de l'étudier sur l'intervalle [0, 4]. On a h′(x) =π

2cos(

πx

2)esin( πx

2 ) s'annule en x = 1 et x = 3, elle est positive sur les intervalles[0, 1[ et ]3, 4] ; donc h y est croissante, et négative sur ]1, 3[ ; donc h y est décrois-sante. Pour trouver les zéros de h′′(x) =

π2

4

(1− sin2(

πx

2)− sin(

πx

2))esin( πx

2 ),on pose t = sin(πx

2 ) et on résout l'équation : t2 + t − 1 = 0, on obtient

t = sin(πx

2) =

−1 +√

52

seule solution admissible, d'où, dans notre intervalle,

104 Trigonométrie

x = 0, 424 et x = 1.576 sont les zéros de h′′. On résume ces résultats dans letableau de variation suivant :

x 0 0.424 1 1.576 3 4h′ + + 0 − − 0 +h′′ + 0 − − 0 + +

e 1h e

−1+√

52 e

−1+√

52

1 e−1

on en déduit que h a un maximum local en (1, e), un minimum local en (3, 1e ),

deux points d'inexion en (0.424, e0.618) et (1.576, e0.618) ; (0.618 = −1+√

52 ),

elle est concave sur [0.424, 1.576] et est convexe sur les intervalles [0, 0.424] et[1.576, 4] et son graphe :

–1

1

2

3

–2 –1 1 2 3 4 5

chapitre 6Suites, séries numériques et limites

ExercicesE6.1 Déterminer, si elles existent, les limites des suites (an) suivantes, n ∈ N∗ ;

a) an = π+(−1)n+1

n; b) an =

1n

[π+(−1)n·n] ; c) an =n2 + n

√n cosπn− 1

2n2 + n cosπn.

E6.2 Soit (xn) la suite donnée par x0 = 2, x1 = 1 et 2xn+1 = 3xn − xn−1.Montrer par récurrence que xn =

12n−1

. En déduire que la suite (xn) est conver-gente et donner sa limite.

E6.3 Calculer la somme de la série∑∞

k=0(−2)−k.

E6.4 Soit f(x) = x−[x], où [x] est la partie entière de x dénie au 3.3. Donnerl'expression de f(x) sur l'intervalle ]k, k + 1[ en fonction de k, pour k ∈ Z. Endéduire lim

x→k+f(x) et lim

x→k−f(x), pour k ∈ Z.

E6.5 Soit f(x) =x3 + x2|x|+ 1

x2 − 1. Montrer que les droites d'équations x = −1,

x = 1, y = 0 et y = 2x sont des asymptotes de la fonction f .

E6.6 Même question que E 6.1 pour les suites de terme général xn :

a) xn =2(n+ 1)!− n · n!

(n+ 2)!; b) xn =

[1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1)]2

(2n− 1)4;

c) xn = cos[ 3n + πn

3n + (π − 14 )n

] 1n ; d) xn =

[2n2

(n+ 1)(2n+ 1)

]n

.

E6.7 Calculer y = limn→∞

yn si yn =sin(n2 + lnn)

7√n11

E6.8 Soit xn la suite donnée par xn+1 = 12xn + 3 et x0 = 0. Calculer la limite

de (xn)n∈N.

E6.9a) Calculer la somme de la série

∞∑

k=1

13k

.

b) Calculer la somme de la série∞∑

k=1

k

3k.

Remarque : on peut écrire k

3k=

13k

+k − 13k

pour k ≥ 2.

E6.10 Soit C1 un cube d'arête c1 = c donné, de volume V1, et dont la base estsituée dans Oxy. On pose sur C1 un cube C2 tel que V2 = 1

2V1 puis sur C2 uncube C3 tel que V3 = 1

2V2, etc . . .Quelle est la hauteur h maximum que peut atteindre l'ensemble des cubes ainsisuperposés ? Quel est le volume V du corps solide correspondant ?

106 Suites, séries numériques et limites

E6.11 On considère un point O et deux demi-droites p et q issues de O, tellesque l'angle ϕ compris entre ces droites soit aigu. A partir d'un point P1(6= O)de p, on mène une perpendiculaire sur q coupant q en Q1 ; à partir de Q1, onmène une perpendiculaire sur p coupant p en P2 ; et ainsi de suite.Sachant que OP1 = a, calculer - quand cette somme existe -

L(ϕ) = limn→∞

n∑

k=1

(PkQk +QkPk+1).

E6.12 On considère dans R2 les vecteurs horizontaux −−−−−→Ak−1Ak, k ∈ N∗, telsque leur sens soit positif si k est impair et négatif si k est pair. Sachant queA0 = O, ‖−−−→A0A1‖ = ` et ‖−−−−−→AkAk+1‖ = 1

2‖−−−−−→Ak−1Ak‖, calculer lim

k→∞‖−−→OAk‖.

E6.13 En utilisant la dénition de la limite d'une fonction en un point, montrerque lim

x→0cosx = 1.

E6.14 Déterminer, si elles existent, les limites suivantes :

a) limx→+∞

sinxx

; b) limx→0

x sin1x.

E6.15 Calculer lim e1/x√|x| lorsque x tend vers zéro.

E6.16 On considère les fonctions f et g dénies par :

a) f(x) =

arctan( 1x−3 ) si x 6= 3

π2 si x = 3

, b) g(x) =

(x+ 1)2 si x < 14 si x = 11x + 3 si x > 1

Etudier la continuité de f en x0 = 3 et de g en x0 = 1.

E6.17 Etudier la continuité des fonctions suivantes sur leur domaine de déni-tion.

a) f1(x) = cos(5x2 − e2x+1) b) f2(x) = |x|

c) f3(x) = [x] d) f4(x) = sgn xoù |x| est la valeur absolue de x, [x] la partie entière de x et sgn x le signe dex, dénis aux 1.9 et 3.3.

E6.18a) Représenter graphiquement dans l'intervalle −1

3≤ x ≤ 1

2, la fonction

f(x) = [1− x2] où [x] est la partie entière de x.b) Pour quel c la fonction g(x) = 2[x(2 − x)] + c[cosπx] est-elle continue enx = 1 ?

E6.19 Déterminer les asymptotes des fonctions suivantes :

a) f1(x) =x2 − x− 2

2x− 6; b) f2(x) =

x2 − 1x2 + 1

.

107

Notions théoriques6.1 EnsemblesOpérations booléennesVoir 1.11

Ensembles bornés et intervallesVoir 1.8

VoisinageSoit V une partie de R et soit x ∈ V . V est un voisinage de x dans R s'il existeun intervalle ouvert ]a, b[⊂ V tel que x ∈]a, b[.Cela revient à dire que V est un voisinage de x dans R s'il existe, par exemple,δ > 0 tel que ]x− δ, x+ δ[⊂ V .Notons encore que si U et V sont deux voisinages de x dans R, alors U ∩ V etU ∪ V sont aussi des voisinages de x dans R.

6.2 SuitesSuiteUne suite numérique est une application f de N dans R. On désigne la suite par(x0, x1, x2, . . .) ou (xn)n∈N ou plus brièvement (xn).

Suite bornéeSoit (xn) une suite. On appelle ensemble des valeurs de (xn) ou l'ensemble desimages de (xn) l'ensemble des valeurs prises par (xn). La notion de suite bor-née correspond à celle d'un ensemble borné si l'on considère son ensemble desvaleurs.Ainsi, on dira que (xn) est minorée s'il existe m ∈ R tel que pour tout n ∈ Non a xn > m et que (xn) est majorée s'il existe M ∈ R tel que pour tout n ∈ Non a xn 6 M . Elle sera dite bornée si elle est à la fois minorée et majorée.

PropositionLa suite (xn) est bornée si et seulement s'il existe c > 0 tel que |xn| 6 c pourtout n ∈ N.

Suite monotoneUne suite (xn) est dite croissante, respectivement strictement croissante, sixn 6 xn+1, respectivement xn < xn+1, pour tout n ∈ N. Elle est dite décrois-sante, respectivement strictement décroissante, si xn > xn+1, respectivementxn > xn+1, pour tout n ∈ N. Elle est dite monotone si elle est toujours crois-sante ou toujours décroissante.

Suite convergenteUne suite (xn) converge vers x ∈ R, si à tout ε > 0, on peut associer un entiernaturel Nε tel que pour tout n > Nε on a |xn − x| < ε. On écrit alors

limn→+∞

xn = x.

On dit que la suite (xn) est convergente et admet pour limite x ∈ R.Une suite non convergente est dite divergente.


Remarque : Lorsque la limite existe, elle est unique, c'est-à-dire quetoute suite possède au plus une limite.

PropositionToute suite convergente est bornée.

Propriétés des valeurs limitesSoient (xn) et (yn) deux suites telles que lim

n→+∞xn = x et lim

n→+∞yn = y.

Pour tout α, β ∈ R :

limn→+∞

(αxn + βyn) = αx+ βy. (6.1)

limn→+∞

xnyn = xy. (6.2)

limn→+∞

xn

yn=x

ysi yn, y 6= 0. (6.3)

limn→+∞

|xn| = |x|(= | limn→+∞

xn|). (6.4)

Suite arithmétiqueUne suite arithmétique est une suite de terme général xn = n · a + d, n ∈ N eta, d ∈ R. Si a = 0, la suite est constante et donc converge ; sinon, elle diverge.

Suite géométriqueUne suite géométrique est une suite de terme général xn = λ · an, n ∈ N eta, λ ∈ R. Si a = 1, la suite est constante et donc converge ; si a = −1 ellediverge.Pour |a| > 1, la suite diverge et pour |a| < 1, elle converge vers 0.

Suite puissanceSoit q un rationnel positif ; les suites 1

nqet (−1)n

nq, n ≥ 1, sont convergentes et

leur limite est nulle.

6.2.1 Critères de convergenceCritère des deux gendarmes ou théorème de l'encadrementSoient (xn), (un) et (vn) trois suites telles que (un) et (vn) convergent vers lamême limite L. S'il existe un entier naturel N0 tel que pour tout n > N0 on aun 6 xn 6 vn, alors (xn) converge vers L.

Il s'ensuit les critères de convergence suivants : Soit (xn) une suite pour laquelle la limite

ρ = limn→+∞

∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣

existe. Alors, si ρ < 1 la suite converge et si ρ > 1, elle diverge. Si ρ = 1, lasuite peut être convergente (par exemple, la suite donnée par xn = 1 pourtout n ∈ N) ou divergente (par exemple, la suite donnée par xn = (−1)n).

Soit (xn) une suite bornée et (yn) une suite qui converge vers 0. Alors, lasuite (xnyn) converge vers 0.

6.2 Suites 109

Critères de monotonie1. Toute suite croissante et majorée converge vers le supremum de son

ensemble des valeurs.2. Toute suite décroissante et minorée converge vers l'inmum de son

ensemble des valeurs.3. Soit (xn) une suite croissante et (yn) une suite décroissante telles que

limn→+∞

(xn − yn) = 0.

Alors,(a) pour tout n ∈ N : x0 6 xn 6 xn+1 6 yn+1 6 yn 6 y0.(b) (xn) et (yn) convergent vers la même limite.

6.2.2 Suites récurrentes

La récurrence linéaire xn+1 = qxn + bSoit (xn) dénie par

xn+1 = qxn + b et x0 = a

Le terme général peut s'écrire explicitement (démonstration par récurrence) :

xn = x0qn + b

1− qn

1− q=

b

1− q+

(a− b

1− q

)qn si q 6= 1

etxn = a+ bn si q = 1.

Soit q 6= 1. Il découle de ce qui précède (suite géométrique) que l'on a le résultatsuivant :

La suite récurrente xn+1 = qxn + b converge pour tout x0 siet seulement si |q| < 1. Dans ce cas,

limn→+∞

xn =b

1− q

La récurrence xn+1 = (1 + q)xn − qxn−1

Soit la suite (xn) dénie par

xn+1 = (1 + q)xn − qxn−1 et x0 = a0, x1 = a1.

Le terme général peut s'écrire explicitement (démonstration par récurrence) :

xn =a1 − qa0

1− q+a0 − a1

1− qqn, n > 2 si q 6= 1

etxn = a0 + n(a1 − a0) si q = 1.

La suite ainsi dénie converge pour tout couple (a0, a1) siet seulement si |q| < 1. Dans ce cas,

limn→+∞

xn =a1 − qa0

1− q


Suites récurrentes non-linéairesSoit la suite (xn) dénie par

xn+1 = f(xn) et x0 = a

où f est une fonction continue (voir section 6.4). Si la suite converge vers unelimite l, alors l doit vérier l'équation

l = f(l).

Ainsi, si l'on montre que (xn) converge, alors sa limite est une racine déterminéeL de l'équation l = f(l) (les autres solutions éventuelles étant à rejeter).

6.3 SériesSérie de terme général xn

On appelle série de terme général xn le couple formé des deux suites (xn) et(Sn) tel que

Sn =n∑

k=0

xk = x0 + x1 + . . .+ xn.

xn est appelé le nème terme de la série et Sn la nème somme partielle de la sériede terme général xn.

ConvergenceUne série est dite convergente, ou qu'elle converge, si la suite (Sn) de ses sommespartielles converge, c'est-à-dire si

limn→∞

Sn = S.

S est appelé la somme de la série. Dans ce cas, S =∑∞

k=0 xk.Si une série ne converge pas, on dit qu'elle est divergente, ou qu'elle diverge.

6.3.1 Exemples de sériesSérie géométriqueOn appelle série géométrique la série dont le terme général est xn = xn. Ellevérie les propriétés suivantes :

1.n∑

k=m

xk =

n−m+ 1 si x = 1

xn+1 − xm

x− 1si x 6= 1

;

2. elle converge si et seulement si |x| < 1 ; dans ce cas,∞∑

k=0

xk =1

1− x.

Série harmoniqueOn appelle série harmonique la série dont le terme général xn et déni par

xn =1n

et x0 = 0

Cette série diverge.

Série harmonique alternée

6.4 Limite d'une fonction et fonction continue 111

On appelle série harmonique alternée la série dont le terme général xn et dénipar

xn =(−1)n

net x0 = 0

Cette série converge vers − ln 2.

6.4 Limite d'une fonction et fonction continueLimite d'une fonction (réelle)On dit qu'une fonction f : X → Y a pour limite le nombre l lorsque x tend versx0, ou tend vers l lorsque x tend vers x0, si pour tout ε > 0, il existe δ > 0 telque pour x ∈ X,

0 < |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− l| < ε

Remarquons que δ dépend de x0 et de ε.On note lim

x→x0f(x) = l.

Remarque : Une fonction f tend vers l lorsque x tend vers x0, si et seule-ment si pour toute suite (xn) tendant vers x0, la suite (f(xn)) tend vers l.

Limite à droite et limite à gaucheOn dit qu'une fonction f : X → Y dénie à droite, respectivement à gauche, dex0 a pour limite à droite, respectivement limite à gauche, au point x0 le nombrel si pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que pour x ∈ X,

0 < x− x0 < δ , respectivement 0 < x0 − x < δ , ⇒ |f(x)− l| < ε

On note limx→x+

0

f(x) = l, respectivement limx→x−0

f(x) = l.

Limite à l'inniOn dit que f(x) tend vers l lorsque x tend vers l'inni si pour tout ε > 0, ilexiste N ∈ R tel que

x > N ⇒ |f(x)− l| < ε.

On note limx→∞

f(x) = l ou limx→+∞

f(x) = l.

On dit que f(x) tend vers l lorsque x tend vers moins l'inni si pour toutε > 0, il existe N ∈ R tel que

x < N ⇒ |f(x)− l| < ε.

On note limx→−∞

f(x) = l.

Propriétés des limitesLes règles (6.1), (6.2), (6.3), (6.4) et le théorème de l'encadrement établies pourles limites des suites peuvent être étendues aux limites de fonctions. On a alors :si f , g et h sont des fonctions dénies au voisinage de a tels que

limx→a

f(x) = L et limx→a

g(x) = l où a est ni ou inni et L, l sont nis ;


alors, pour tout α, β ∈ R on a

limx→a

(αf(x) + βg(x)) = αL+ βl

limx→a

f(x)g(x) = Ll

limx→a

f(x)g(x)

=L

lsi l 6= 0 ;

si de plus L = l et f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), alors limx→a

h(x) = l = L.

remarque : Les cas où L, l sont simultanément nuls ou innis peuvent donnerlieu à des formes indéterminées que l'on peut souvent lever à l'aide du théorèmede Bernoulli-L'Hospital, voir 7.3.

Fonction continue en x0

Une fonction f est dite continue en x0 si limx→x0

f(x) = f(x0). Cela revient à direque pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que

|x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε

En d'autres termes, la valeur limite en x = x0 et la valeur de dénition de f(x)en ce point sont égales.

Fonction continue à droite et continue à gauche en x0

Une fonction f est dite continue à droite en x0 si limx→x+

0

f(x) = f(x0).

Une fonction f est dite continue à gauche en x0 si limx→x−0

f(x) = f(x0).

Remarque : Une fonction est continue en x0 si et seulement si elle est conti-nue à droite et à gauche en x0.

Fonction continue sur un intervalle ouvert ]a, b[Une fonction f est dite continue sur ]a, b[ si f(x) est continue en tout x0 ∈]a, b[.

Fonction continue sur un intervalle borné et fermé [a, b]Une fonction f est dite continue sur [a, b] si f(x) est continue sur ]a, b[, continueà droite en a et continue à gauche en b.

Opérations sur les fonctions continuesSoient f et g des fonctions continues sur un intervalle I et h une fonction conti-nue sur un intervalle J contenant f(I). Alors αf + βg et fg sont continues surI, où α , β ∈ R, f

gest continue sur I \les zéros de g et hf est continue sur I.

Fonctions continues particulières1. Toute fonction polynomiale f(x) = anx

n + · · ·+ a1x+ a0 est continue surR.

2. Une fonction rationnelle f(x) = p(x)q(x) est continue en tout point x0 tel que

q(x0) 6= 0.3. Les fonctions puissances f(x) = ax (a > 0) sont continues sur R.4. Les fonctions logarithmes f(x) = logb(x) (b > 0, b 6= 1) sont continue surR∗+.

6.5 Asymptotes 113

5. Les fonctions trigonométriques sinx et cosx sont continues sur R, tanxest continue en tout x0 6= (2k + 1)π

2 , k ∈ N et cotx est continue en toutx0 6= kπ, k ∈ N.

Théorème de la valeur intermédiaireSoit f : [a, b] → R une fonction continue. Alors f possède un maximumM et unminimum m et f prend toutes les valeurs comprises entre m et M , c'est-à-direImf = [m,M ].En conséquence, si c est une valeur intermédiaire comprise entre f(a) et f(b),alors il existe x0 ∈ [a, b] tel que f(x0) = c.En particulier, si f(a)f(b) < 0, alors il existe x0 ∈]a, b[ tel que f(x0) = 0.

6.5 AsymptotesAsymptote verticaleOn appelle asymptote verticale de la fonction f , la droite d'équation x = a, si

limx→a+

f(x) = ±∞ ou limx→a−

f(x) = ±∞

Asymptote horizontaleOn appelle asymptote horizontale de la fonction f en +∞, la droite d'équationy = h1, si

limx→+∞

f(x) = h1.

De même, si limx→−∞

f(x) = h2, la droite d'équation y = h2 est une asymptotehorizontale de la fonction f en −∞.

Asymptote obliqueOn appelle asymptote oblique de la fonction f en +∞, la droite d'équationy = m1x+ h1, si

f(x) = m1x+ h1 + ∆(x) avec limx→+∞

∆(x) = 0.

Dans ce cas,

m1 = limx→+∞

f(x)x

et h1 = limx→+∞

(f(x)−m1x

).

La dénition est analogue pour une asymptote oblique de la fonction f en −∞.


Solutions des exercicesS6.1a) lim

n→∞an = π ; b) il n'existe pas de limite ;

c) an =1 + (−1)n

√n− 1

n2

2 + (−1)n

n

d'où limn→∞

an =12.

S6.2 On a bien x0 =1

2−1= 2 et x1 =

120

= 1. Supposons que xp =1

2p−1pour

tout 0 ≤ p ≤ n ; on a alors 2xn+1 = 3xn − xn−1 =3

2n−1− 1

2n−2=

12n−1

d'où

xn+1 =12n

ce qui termine la démonstration.La suite (xn) est une suite géométrique de raison 1

2 , elle converge donc vers 0.S6.3 La série donnée est une série géométrique de raison q = − 1

2 ; sa somme estdonc 2

3 .S6.4 Pour x ∈]k, k + 1[, on a [x] = k par dénition de la partie entière de x,d'où f(x) = x− k. On en déduit que :

limx→k+

f(x) = limx−−−→

x>kkf(x) = lim

x−−−→x>k

kx− k = 0, et

limx→k−

f(x) = limx−−−→

x<kkf(x) = lim

x−−−→x<k

kx− (k − 1) = 1.

S6.5 Pour x ≥ 0, |x| = x et f(x) =2x3 + 1x2 − 1

. La fonction f n'est donc pasdénie en x = 1, de plus lim

x→1+f(x) = +∞ et lim

x→1−f(x) = −∞ ; par conséquent

la droite d'équation x = 1 est une asymptote verticale.En étudiant la limite de f(x) à l'inni, on obtient

limx→+∞

f(x) = limx→+∞

x2 + 1

x3

1− 1x2

= +∞,

limx→+∞

f(x)x

= limx→+∞

2 + 1x3

1− 1x2

= 2

et limx→+∞

f(x)− 2x = limx→+∞

1x2 + 2

x

1− 1x2

= 0.

Il en découle que la droite y = 2x est une asymptote oblique en +∞.Remarque : on a ici f(x) = 2x+

2x+ 1x2 − 1

.

De même, pour x < 0, |x| = −x et f(x) =1

x2 − 1. La fonction f n'est donc

pas dénie en x = −1, de plus limx→−1+

f(x) = −∞ et limx→−1−

f(x) = +∞ ; parconséquent la droite d'équation x = −1 est une asymptote verticale.En −∞ on a lim

x→−∞f(x) = 0+, d'où il découle que la droite y = 0 est une

asymptote horizontale.S6.6a) La limite cherchée est 0 ; en eet, xn =

1n+ 1

;

b) On a xn =n4

(2n)4(1− 12n )4

, d'où la limite de cette suite est 116

;

c) On écrit : xn = cos(π

3· [1 + (q1)n]1/n

[1 + (q2)n]1/n

)où q1 et q2 sont des positifs < 1,


d'où limx→+∞

xn =12;

d) On a xn =nn

(n+ 1)n· (2n)n

(2n+ 1)n=

1(1 + 1

n )n· 1√

(1 + 12n )2n

,

d'où limx→∞

xn = e−3/2 (cf 1.7).

S6.7 Puisque 0 ≤ |yn| ≤ 1n11/7

, |yn| tend vers 0 quand n tend vers l'inni d'oùy = 0.S6.8 Cette suite est récurrente du type xn+1 = qxn + b avec q = 1

2 et b = 3,d'où sa limite est 6.S6.9a) Cette série est une série géométrique de raison q = 1

3 , son premier terme est13 ; sa somme est donc

∞∑

k=1

13k

=∞∑

k=0

13k− 1 =

11− 1

3

− 1 =12.

b) Notons S la somme cherchée. En utilisant la remarque et a), on obtient

S =∞∑

k=1

13k

+∞∑

k=2

k − 13k

=12

+13

∞∑

k=2

k − 13k−1

=12

+13

∞∑

k′=1

k′

3k′ =12

+13S.

De l'égalité S = 12 + 1

3S, on déduit que S =34.

S6.10 Puisque le cube Ck+1 a pour volume Vk+1 =12Vk, son arête est ck+1 =

13√

2ck. On a alors

h = limn→∞

n∑

k=1

ck = c

∞∑m=0

(13√

2)m = ( 3

√2 + 3

√4 + 2)c

etV = V1

∞∑m=0

(12)m = 2c3.

S6.11

©©©©©©©©©©©©©©©

P1

Q1

P2

Q2

O

ϕ

ϕϕ

ϕ

D'après la gure ci-dessus,

L(ϕ) = limn→∞

(l + l cosϕ+ l cos2 ϕ+ · · ·+ l cosn+1 ϕ) où l = P1Q1 ;

d'où L(ϕ) =l

1− cosϕ=

a sinϕ1− cosϕ

.


S6.12 Compte tenu du sens des vecteurs −−−−−→Ak−1Ak, on obtient :

‖−−→OAk‖ = ‖−−−→A0A1‖ − ‖−−−→A1A2‖+ ‖−−−→A2A3‖ − · · ·+ (−1)k−1‖−−−−−→Ak−1Ak‖

= `− 12`+

14`− 1

8`+ · · ·+ (−1)k−1

2k−1`.

Donc, limk→∞

‖−−→OAk‖ est la somme de la série géométrique alternée

(1− 12

+14− 1

8+

116− · · · )` qui vaut `

1 + 12

=23`.

S6.13 On a

| cosx− 1| = 2 sin2(x

2) = 2| sin(

x

2)| · | sin(

x

2)| ≤ 2|x

2| · |x

2| = x2

2< ε

pour |x| < √2ε = δ ; il s'ensuit que lim

x→0cosx = 1.

S6.14

a) La fonction sinx est comprise entre −1 et +1 ; on a donc l'inégalité :

− 1x≤ sinx

x≤ 1x

pour x > 0.

Or, limx→∞

1x

= limx→∞

− 1x

= 0 ; il en résulte que limx→∞

sinxx

= 0.

b) De même que a), puisque −|x| ≤ x sin1x≤ |x| et que lim

x→0|x| = lim

x→0−|x| = 0,

on a limx→0

x sin1x

= 0.

S6.15 Si x tend vers zéro par valeur positive, on obtient limx→0+

e1/x√

x = +∞ ;

si x tend vers zéro par valeur négative, on obtient limx→0−

e1/x√−x = 0.

S6.16

a) On calcule les limites à droite et à gauche de f(x) en x0 = 3 et on obtient :

limx→3+

arctan(1

x− 3) =

π

2= f(3)

d'où f est continue à droite en 3 ; d'autre part,

limx→3−

arctan(1

x− 3) = −π

26= f(3).

Ainsi, f n'est pas continue à gauche en 3 et donc n'est pas continue en x0 = 3.b) Dans ce cas on a :

limx→1−

g(x) = limx→1−

(x+ 1)2 = 4 = limx→1+

g(x) = limx→1+

(1x

+ 3) et g(1) = 4 ;

donc g(x) est continue en x0 = 1.

S6.17

a) La fonction f1(x) = (h g)(x), où h(x) = cosx et g(x) = 5x2 − e2x+1 sontdes fonctions continues sur R, est donc continue sur R.


b) La fonction f2(x) = |x| est dénie sur R ; elle est continue sur R+ car f2(x) = xsi x ≥ 0, continue sur R∗− car f2(x) = −x si x < 0 et vérie lim

x→0−f2(x) = 0 =

f2(0), c'est-à-dire qu'elle est continue à gauche en 0 ; elle est donc continue en0 et par suite continue sur tout R.c) La fonction f3(x) = [x] est dénie sur R, elle est continue sur chaque intervalle]n, n+1[ où n ∈ Z mais n'est pas continue en xn = n ∈ Z ; en eet, pour n ∈ Z,lim

x→n−[x] = n− 1 et lim

x→n+[x] = n ; elle est, par conséquent, continue à droite sur

R.d) La fonction f4(x) = sgn x est dénie sur R∗, elle est continue sur R∗+ et surR∗− donc sur son domaine de dénition.

S6.18a) On obtient f(0) = 1, f(x) = 0 ailleurs et donc lim

x→0f(x) 6= f(0).

b) On a : g(1) = 2[1] + c[−1] = 2− c.Pour x = 1± ε, 0 < ε ≤ 1

4 , on a g(1± ε) = 2[1− ε2]− c[cosπε] = 2 · 0− c · 0puisque

√2

2≤ cosπε < 1 ; ainsi, ` = lim

x→1g(x) = 0 et g est continue si ` = g(1),

d'où c = 2.S6.19

a) La fonction f1(x) =x2 − x− 2

2x− 6est dénie et continue sur R \ 3. En 3, on

a limx→3+

f1(x) = +∞ et limx→3−

f1(x) = −∞ : la droite d'équation x = 3 est une

asymptote verticale. D'autre part, on peut écrire f1(x) =x

2+ 1 +

42x− 6

et en

déduire que limx→±∞

f1(x)− (x

2+ 1) = 0 ; donc la droite d'équation y =

x

2+ 1 est

une asymptote oblique de f1 en ±∞.

b) La fonction f2(x) =x2 − 1x2 + 1

est dénie et continue sur R et l'on a limx→±∞

f2(x) =

1 ; il en découle que la droite d'équation y = 1 est une asymptote horizontale def2 en ±∞.

chapitre 7Calcul diérentiel

ExercicesE7.1 En utilisant la formule fondamentale de la dérivée y′(x0) = lim

x→x0

y(x)− y(x0)x− x0

,déterminer y′(1) lorsque y(x) =

√x.

E7.2 Déterminer les x pour lesquels la dérivée de la fonction f(x) = ex− 2e−x

est égale à 3.

E7.3 Etablir l'équation de la tangente t à la courbe Γ : y = 2x2 − x + 1parallèle à la tangente τ à la courbe γ : η = x2 + 3x+ 1 au point P (0, 1).

E7.4 Pour quels x la courbe σ : y(x) = esin x · ecos x a-t-elle des tangenteshorizontales ?

E7.5 Soient g(x) une fonction continue et positive dans R et f(x) =sin[αxg(x)]√

g(x).

A l'aide de la relation fondamentale f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)h

, détermi-ner α pour que f ′(0) = g(0).

E7.6 Soit γ l'arc de courbe d'équation y =x2

1 + x2, x > 1

2.

Déterminer l'équation de la tangente à γ issue du point P ( 4 , 2 ).

E7.7 Soit la fonction f dénie par

f(x) =

x2 − 2x si x < 0sinxx2 + 1

si x > 0;

(i) Montrer que f est continue en 0.(ii) f est-elle dérivable en 0 ?

E7.8 On considère les courbesγ1 : y = x2 − px, x 6 1 et γ2 : y = q sin π

4x+ cos π4x, x > 2.

On raccorde γ1 à γ2 à l'aide d'un segment de droite dans x ∈ [1, 2].Déterminer p et q pour que la courbe Γ obtenue sur R soit continûment dérivablepartout.

E7.9 Calculer la dérivée des fonctions suivantes :

(i) esin(x3+cos x2) (ii) cos2(x3 + 1x2 + 1

).

E7.10 A l'aide de la formule [g(f(x))]′ = g′(f(x)) · f ′(x), calculer les dérivéesde arctanx et arcsinx.Indication : on a f ′(x) =

[g(f(x))]′

g′(f(x)). Poser f(x) = arctanx (ou arcsinx) et

choisir la fonction appropriée pour g.

Exercices 119

E7.11 A l'aide des propriétés du logarithme (voir 1.7) et de la formule (g f)′ = (g′ f) · f ′, calculer les dérivées des fonctions suivantes pour a > 0 etx > 0 :

(i) ax (ii) loga x (iii) xx

E7.12 Calculer la dérivée des fonctions tanhx et argtanhx (voir 3.3)

E7.13 Déterminer b 6= 0 de telle sorte que limx→0

1− bx− e− sin bx

x2= −b .

E7.14 Calculer la dérivée de f(x) =

√x

√x

√x√x , x > 0.

E7.15 On considère f(x) = sin ax. Montrer que f (n)(x) = an sin(ax+ nπ2 ) .

E7.16 Déterminer les extrema relatifs et le minimum absolu éventuels de lafonction

f(x) = 3√x3 − 4x2 + 5x− 2, x > 0

(on demande les coordonnées exactes).

E7.17 En quel point P de la parabole γ d'équation y = x2−6x+3 la tangenteà γ en P est-elle parallèle à celle de la courbe y = x3 + 6x2 + 14x − 7 en sonpoint d'inexion ?

E7.18 On considère une citerne à mazout C formée d'un réservoir cylindriqued'axe horizontal dont la section est un disque de rayon R = 50cm ; la longueurdu réservoir est L = 4m.Sachant que le uide contenu dans C s'écoule par le fond à un débit constantδ = 2 litres par heure, à quelle vitesse diminue le niveau du liquide quand lajauge indique que celui-ci se trouve à 75cm du haut du réservoir ?

120 Calcul diérentiel

Notions théoriques

7.1 Notions fondamentales

Dérivée d'une fonction en un pointSoit f une fonction continue, x0 ∈ Df et h 6= 0 un réel tel que x0 + h ∈ Df .On dit que f est dérivable au point x0 si la limite suivante existe :

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)h

.

Dans ce cas, elle se note f ′(x0) : c'est la dérivée de f en x0.Pour une fonction dérivable en x0, on peut écrire par conséquent

f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0) · h+ h · r(h) où limh→0

r(h) = 0 ;

il en découle que f(x) est continue en x = x0.

Fonction dérivéeSoit D(f ′) l'ensemble des éléments de X pour lesquels la fonction f : X → Yest dérivable. Si D(f ′) n'est pas vide, l'application de D(f ′) dans R qui, à toutélément x de D(f ′), fait correspondre le nombre réel f ′(x) est appelée la fonc-tion dérivée de f ou la dérivée de f . On la note f ′ ou df

dx. L'opérateur d

dxest

un opérateur diérentiel.Si f(x) = y, on a la relation f ′(x) =

df(x)dx

=dy

dx, d'où dy = f ′(x)dx ;

on appelle dy la diérentielle de y.

ThéorèmeSoit f une fonction dénie sur l'intervalle ouvert I ; si f ′(x) existe sur I, alorsf est continue sur I.

RemarqueUne fonction continue f peut admettre une dérivée f ′ non continue. On noteC1(I) l'ensemble des fonctions continûment dérivable sur I, c'est-à-dire les fonc-tions dont la dérivée est continue sur I.

Interprétation géométriqueLa pente de la droite sécante passant par les points (x0, f(x0)) et(x0 + h, f(x0 + h)) est égale à

f(x0 + h)− f(x0)h

Lorsque h tend vers 0 la sécante tend vers la tangente de f en x0. f ′(x0) estdonc la pente de la tangente de f en x0 et l'équation de cette tangente est

y = f ′(x0) · (x− x0) + f(x0).

7.1 Notions fondamentales 121

x0 x0 + h

h

f(x0)

f(x)

Interprétation physique (mécanique)

La notion de dérivée, ou plus gé-néralement le calcul diérentiel,a été développé pour répondre àcertains besoins de la physique.On doit son développement no-tamment à Newton et Leibniz.Du point de vue de la méca-nique, si x(t) représente l'abs-cisse de la position d'une parti-cule au cours du temps, sa déri-vée x′(t) représente la vitesse decette abscisse, comme le montrela gure ci-contre (où l'on a notév(t) pour la vitesse).Comme nous l'avons vu ci-dessus, la valeur de la vitesse (-gure du bas) à un instant donnécorrespond à la pente de la tan-gente, au même instant, dans lagure du haut.Il est également à remarquerque, dans cet exemple, l'aire dudomaine situé entre la courbe dela vitesse et l'axe des t a unevaleur égale à la distance par-courue par l'abscisse (ordonnéenale dans la gure du haut)(voir chapitre 8).

x(t)

t

t

v(t)

AB

C

A noter par exemple que AB est un segment de droite et BC un arc de parabole.

Dérivée à gauche et dérivée à droiteUne fonction f : X → Y dénie à droite d'un point x0 de son domaine dedénition est dite dérivable à droite en x0 si la limite suivante existe :

limh→0+

f(x0 + h)− f(x0)h

.

Dans ce cas, elle se note f ′(x+0 ) : c'est la dérivée à droite de f en x0.


On dénit de manière analogue la dérivée à gauche :

f ′(x−0 ) = limh→0−

f(x0 + h)− f(x0)h

= limk→0+

f(x0)− f(x0 − k)k

PropositionUne fonction f est dérivable en x0 si et seulement si f ′(x−0 ) = f ′(x+

0 ) = f ′(x0).

7.2 Règles de dérivation et dérivées des fonctions élémen-taires

Si f et g sont dérivables (ou diérentiables) sur I, on a alors les

Règles de dérivation

(i) (αf(x) + βg(x))′ = αf ′(x) + βg′(x)

(ii) (f(x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

(iii)(f(x)g(x)

)′=f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)

(g(x))2

(iv) (g(f(x)))′ = g′(f(x)) · f ′(x)

La propriété (iv) s'écrit aussi

dg(f(x)

)

dx

∣∣∣∣∣x=x0

=dg(y)dy

∣∣∣∣y=f(x0)

· df(x)dx

∣∣∣∣x=x0

Dérivée des fonctions réciproquesSi f(x) est une fonction bijective dérivable, la relation y = f−1(x) impliquex = f(y) et dx = f ′(y)dy, d'où dy

dx=

1f ′(y)

c'est-à-dire

[f−1(x)]′ =1

f ′(f−1(x))

Exemple :f(x) = sinhx ; la fonction réciproque est notée f−1(x) = argsinh x, x réel.Alors,(argsinh x)′ =

1cosh(argsinh x) =

1√1 + sinh2(argsinh x)

=1√

1 + x2.

7.3 Théorèmes 123

Dérivées usuelles élémentaires :

f(x) f ′(x)

a 0

xp pxp−1 (p ∈ R)

|x| sgnx (x 6= 0)

lnx1x

ex ex

sinx cosx

cosx − sinx

tanx1

cos2 x= 1 + tan2 x

cotx − 1sin2 x

= −(1 + cot2 x)

NB : si p est un réel quelconque, xp n'est déni que pour x > 0.A l'aide des règles de dérivation et du tableau ci-dessus, il est possible de calculern'importe quelle dérivée (cf exercices).

7.3 ThéorèmesThéorème de RolleSi f est une fonction continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ avec f(a) = f(b),alors il existe c ∈]a, b[ tel que f ′(c) = 0.

Théorème des accroissements nisSi f est une fonction continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, alors il existe c ∈]a, b[tel que

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a

-

6

»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»

a bc

f(x)


Pour calculer certaines expressions indéterminées du type 00 , on peut utiliser le

Théorème de Bernoulli-L'HospitalSoient f et g deux fonctions dérivables en a telles que f(a) = g(a) = 0. Alors,si g′(a) 6= 0 et si lim

x→a

f ′(x)g′(x)

existe, on a

limx→a

f(x)g(x)

= limx→a

f ′(x)g′(x)

.

Ce théorème peut être généralisé aux cas où f et g ne sont pas dénies en a.

7.4 Dérivées d'ordre supérieurSi f ′ est elle-même dérivable, on écrit (f ′)′ = f ′′ (on dit que f ′′ est la

dérivée seconde de f) et ainsi de suite : f ′′′, f (4),. . . , f (n). On écrit l'opérateuritéré comme suit :

f (n)(x) =df (n−1)(x)

dx=dnf(x)dxn

On dénit Ck(I) comme étant l'ensemble des fonctions k fois dérivables sur I,telles que f (k) soient continues (par convention, C0(I) est l'ensemble des fonc-tions continues sur I). On a donc les inclusions suivantes :Ck+1(I) ⊂ Ck(I) ⊂ . . . ⊂ C0(I).

Interprétation géométrique et physiqueNous avons vu que f ′(x0) représente la pente de la tangente à f(x) en x0, c'est-à-dire la variation innitésimale de f(x) au voisinage de x0. De même, f ′′(x0)représente la variation innitésimale de f ′(x) en x0, ou ce que l'on appelle laconvexité de f(x) en x0. Si f ′′(x0) > 0 la courbe de f(x) est convexe en x0 ; sif ′′(x0) 6 0 elle est concave en x0 (voir chapitre 3).D'un point de vue physique, si x(t) est la position d'une particule se déplaçantsur l'axe Ox et v(t) = x′(t) sa vitesse, x′′(t) = v′(t) représentera la variation dela vitesse, c'est-à-dire l'accélération.

7.4.1 Caractérisation des extremaSoit f ∈ C0(I). Il est possible de caractériser les extrema d'une fonction à

l'aide de ses dérivées. Si (x0, f(x0)) est un extremum, alors x0 appartient à l'undes trois ensembles suivants :

1. les extrémités (éventuelles) de I ;2. les points intérieurs de I où f ′ n'existe pas ;3. les points intérieurs de I où f ′ existe et est nulle.

Pour le cas (3), supposons que f ′ existe sur ]x0 − α, x0 + α[⊂ I.

Si

f ′(x) < 0 pour x0 − α < x < x0

f ′(x0) = 0f ′(x) > 0 pour x0 < x < x0 + α

, alors f(x0) est un minimum

(on a l'analogue pour le cas d'un maximum en intervertissant les signes < et >pour f ′(x)).Ainsi : si f ′(x) change de signe en x = x0 alors f possède un extremum en

7.4 Dérivées d'ordre supérieur 125

(x0,f(x0)).La dérivée seconde permet d'étudier et de s'assurer du changement de signe def ′ et donc de caractériser les extrema. Si f ′(x0) = 0 alors :

f ′′(x0) > 0 ⇒ (x0, f(x0)) est un minimum local.f ′′(x0) < 0 ⇒ (x0, f(x0)) est un maximum local.

7.4.2 Variations locales du graphe de fSi f ′ > 0, respectivement f ′ < 0, pour tout x ∈ I, la fonction est strictementcroissante, respectivement strictement décroissante, sur cet intervalle.Si f ′(x0) = 0, le graphe de f possède une tangente horizontale en (x0, f(x0)).Si f est continue en x0 et si f ′(x−0 ) 6= f ′(x+

0 ) existent, le graphe de f possèdeun point anguleux en (x0, f(x0)).Si f est continue en x0 et si lim

x→x0|f ′(x)| = +∞, le graphe de f possède une

tangente verticale en (x0, f(x0)).

Point d'inexionLe point (x0, f(x0)) est un point d'inexion du graphe de f si la courbe γ def traverse la tangente à γ en x0. Plus précisément, si l'équation de la tangenteest y(x) = f(x0) + f ′(x0) · (x− x0), alors

f(x)−y(x) change de signe en x = x0 ⇒ (x0, f(x0)) est un point d'inexion .

Si f ′′ change de signe au voisinage de x0, c'est-à-dire si f change de convexitéen x0, le graphe possède de même un point d'inexion en (x0, f(x0)). Dans lecas où f ′(x0) = 0, le point d'inexion est à tangente horizontale ; sinon, il estdit à tangente oblique.


Solutions des exercicesS7.1 On a :

y′(1) = limx→1

√x−√1x− 1

= limx→1

√x− 1

(√x− 1)(

√x+ 1)

= limx→1

1√x+ 1

=12.

S7.2 Il faut résoudre f ′(x) = ex + 2e−x = 3, ce qui implique l'équation (ex)2 −3ex + 2 = 0 d'où ex = 1 ou ex = 2 c'est-à-dire x = 0 ou x = ln 2.

S7.3 Soient µ la pente de τ et m la pente de t. On a µ = η′(0) = (2x+ 3)∣∣∣0

= 3et m = 4x − 1 = µ = 3 d'où x = 1 et y = 2. On en déduit l'équation det : 3x− y − 1 = 0.

S7.4 On doit avoir

0 = y′(x) =(esin x+cos x

)′= (cosx− sinx) esin x+cos x,

d'où tanx = 1 et donc xk = π(k + 14 ), k ∈ Z.

S7.5 On a ici x0 = 0 , f(0) = 0 etf ′(0) = lim

h→0

f(h)h

= limh→0

sin[αhg(h)]hαg(h)

· α√g(h) = α

√g(0) puisque lim

t→0

sin tt

= 1.

Il s'ensuit que la condition f ′(0) = g(0) implique α =√g(0) .

S7.6 L'équation de la tangente est y =12x.

En eet, si xP , yP sont les coordonnées de P et (xT , yT ) ∈ γ est le point detangence à γ, on a yT − yP

xT − xP= y′

∣∣∣xT

d'où x4 + 5x2 − 8x+ 2 = 0 qui ne possède

qu'une racine > 12. Car on peut écrire, après factorisation,

x4 + 5x2 − 8x+ 2 = (x− 1)(x3 + x2 + 6x− 2) = (x− 1)P3(x) ;

comme on a P ′3(x) > 0 pour x > 0 et P3(12) > 0, alors P3(x) > 0 pour x > 1

2.

S7.7 (i) Il sut de montrer que limx→0−

f(x) = limx→0+

f(x) = f(0) c'est-à-dire

limx→0−

(x2 − 2x) = limx→0+

sinxx2 + 1

= 0.

(ii) Il faut vérier si f ′(0−) = f ′(0+). On trouve f ′(0−) = −2 et f ′(0+) = 1 : fn'est donc pas dérivable en 0.

S7.8 Soient x1 = 1, x2 = 2, yi, i = 1, 2, l'ordonnée du point de Γ d'abscissexi et y′i, i = 1, 2, la pente de la tangente à Γ au point (xi, yi). On doit avoiry′1 = y′2 d'où p = 2 +

π

4, et y2 − y1 = −π

4d'où q = −

(1 +

π

2

).

S7.9(i)

(esin(x3+cos x2)

)′ =(esin(x3+cos x2)

) · ( sin(x3 + cosx2))′

=(esin(x3+cos x2)

) · cos(x3 + cosx2) · (x3 + cosx2)′

=(esin(x3+cos x2)

) · cos(x3 + cosx2) · (3x2 − sinx2 · (x2)′)

=(esin(x3+cos x2)

) · cos(x3 + cosx2) · (3x2 − 2x sinx2) .

(ii)[cos2

(x3 + 1x2 + 1

)]′=−x

4 + 3x2 − 2x(x2 + 1)2

sin 2(x3 + 1x2 + 1

).


S7.10 On a f ′(x) =

[g(f(x)

)]′

g′(f(x)

) . En posant f(x) = arctanx et g(x) = tanx,

et donc g′(x) = 1 + (tanx)2, on obtient

(arctanx

)′ =

(tan(arctanx)

)′

1 +(tan(arctanx)

)2 =(x)′

1 + x2=

11 + x2

En utilisant la même méthode (ou la formule du 7.2), on obtient(arcsinx

)′ =1√

1− x2.

S7.11(i) Pour dériver des fonctions dont l'exposant est une fonction de la variable,

on utilise une propriété du logarithme : on sait (voir 1.7) que ln ax = x ln a.En posant f(x) = ax, on a : ln f(x) = x ln a d'où f ′(x)

f(x)= ln a et f ′(x) = ax ln a.

(ii) On sait que loga x =lnxln a

. On a donc (loga x)′ =1

x ln a.

(iii) Si f(x) = xx alors ln f(x) = x lnx d'où f ′(x) = f(x) · (lnx + 1) =(1 + lnx)xx.

S7.12 (tanhx)′ =(

sinhxcoshx

)′=

1cosh2 x

= 1− tanh2 x.

(argtanhx)' = 1

1− (tanh(arg tanhx)

)2 =1

1− x2.

S7.13 En utilisant deux fois la règle de Bernoulli-L'Hospital, on obtient :−b = − b

2limx→0

1− cos bx · e− sin bx

x= −b

2

2limx→0

(sin bx+ cos2 bx)e− sin bx

d'où b = 2.S7.14 La fonction donnée s'écrit aussi : f(x) = x

12x

14x

18x

116 = x

1516 d'où

f ′(x) = 1516x

− 116 .

S7.15 On a f ′(x) = a cos ax = a sin(ax+ π2 ) , ce qui montre que la formule est

vraie pour n = 1. On suppose qu'elle est vraie pour n : f (n)(x) = an sin(ax+nπ2 ) ;

alors, f (n+1)(x) = [f (n)(x)]′ = an cos(ax+ nπ2 ) ·a = an+1 sin(ax+ (n+1)π

2 ) cqfd.

S7.16 Le maximum relatif de f est en (1, 0), le minimun relatif est en (53,−

3√

43

)

et le minimum absolu est en (0,− 3√

2).S7.17 L'abscisse du point d'inexion I est égale à −2 et la pente de la tangenteen I vaut 2, d'où P (4,−5).S7.18 Si l'on commence à vider la citerne à l'instant t = 0 et si h = h(t)représente le niveau du mazout mesuré à partir du fond de la citerne, alors,après t heures,

h = R−R cosα = R(1− cosα)

et le volume du mazout qui reste dans la citerne est

V = L · (12· 2α ·R2 − 1

2· 2R sinα ·R cosα) = LR2(α− 1

2sin 2α),

où α est l'angle indiqué dans la gure ci-dessous.


αR

6

?h

Ainsi, puisque V , h et α varient en fonction de t :

dV

dt= LR2(1− cos 2α) · dα

dtet dh

dt= R sinα

dα

dt

d'où dh

dt=

R sinαLR2(1− cos 2α)

· dVdt

=δ

2LR sinα.

Numériquement,h = 2R− 75 = 25cm d'où cosα = 1

2 , sinα =√

32 ; alors |dh

dt| = 1

10√

3cm/heure.

chapitre 8Calcul intégral

ExercicesE8.1 On considère les fonctions F1(x) = 2 arcsin x√

2et F2(x) = arcsin

√1− x2,

−1 ≤ x ≤ 0 . Déterminer les fonctions fi(x) , i = 1, 2, dont les primitives sontles Fi. Que peut-on conclure ?

E8.2 On considère, pour x > 0, les fonctions F1(x) =∫ x

0

(t3 + 2t2 − 3t− 1) dt

et F2(x) =∫ x

0

(t3 + t2 − 2t − 2) dt. Montrer, sans intégrer, que le polynômeP (x) = F1(x)− F2(x) n'a pas de racines positives.

E8.3 Pour quel α l'intégrale dénie I =∫ 1

0

(x− 1)(αx− 1) dx est-elle nulle ?

E8.4 Démontrer que si f(−x) = f(x) sur l'intervalle [−a, a], alors∫ a

−a

f(x) dx =

2∫ a

0

f(x) dx.

E8.5 Vérier que∫ 1

0

(34

)x

dx =1

ln 256− ln 81.

E8.6 Trouver la courbe γ asymptotique à la droite y = 1 , et dont la pente mde la tangente en chaque point P (x, y) ∈ γ vaut 4x

(1 + x2)2.

E8.7 Calculer l'aire A du domaine D = (x, y) ∈ R2 | x ∈ [0, 1], x3 6 y 6 3√x.

E8.8 Soit γ la courbe dénie par xy − x + 1 = 0. On mène par l'origine unetangente τ à γ. Déterminer l'aire A du domaine ni limité par τ , l'axe Ox et γ.

E8.9 On considère dans xOy les droites d parallèles à la première bissectrice.Déterminer l'équation de celle qui forme avec la courbe γ : y = x2 − x + 1 lafrontière d'un domaine ni d'aire égale à 288.

E8.10 Déterminer a) I =∫

11 + ex

dx b) I =∫

11 + x+

√1 + x

dx.

E8.11 Déterminer I =∫

arcsinx dx.

E8.12 Déterminer a) I =∫

(lnx)2 dx b) I =∫x3 cosx dx.

E8.13 Pour quelle valeur de p la fonction f(x) =4x3 − px2 − 6x− 3

1− x4possède-

t-elle des primitives F (x) où ne gure pas de fonction arctanx ? Détermineralors F (x).

130 Calcul intégral

E8.14 CalculerI =

∫ π

0

x sinx1 + cos2 x

dx

en utilisant la relation, à démontrer,∫ b

a

f(x)dx =∫ b

a

f(a+ b− x)dx.

131

Notions théoriques8.1 PrimitivePrimitive de f sur ISoit f une fonction dénie sur un intervalle I ⊂ R. On appelle primitive de fsur I une fonction dérivable F telle que F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I ; il s'ensuit que Fest continue sur I.

Remarque : une primitive est dénie à une constante additive près, c'est-à-dire que deux primitives d'une même fonction sur un intervalle I peuvent varierd'une constante.

Exemple :f(x) = x2 + 1 F1(x) =

x3

3+ x+ 2 F2(x) =

x3

3+ x− 1

f(x) = sin 2x F1(x) = 1 + sin2 x F2(x) = 4− cos2 x

Intégrale indénieSoit f une fonction dénie sur un intervalle I ⊂ R. On note

∫f(x)dx

l'ensemble des primitives de f sur I. C'est l'intégrale indénie de f .Si F est une primitive particulière de f sur I, on a donc

∫f(x)dx = F (x) + C , C ∈ R.

Propriété :

∫ (αf(x) + βg(x)

)dx = α

∫f(x)dx+ β

∫g(x)dx


Primitives usuelles

f(x) F (x) f(x) F (x)

a ax1x

ln |x|

xp xp+1

p+ 1(p ∈ R \ 1) 1

1 + x2arctanx

lnx x(lnx− 1)1√

1− x2arcsinx

ex ex 1√1 + x2

argsinhx

sinx − cosx1√

x2 − 1argcoshx

cosx sinx sinhx coshx

tanx − ln | cosx| coshx sinhx

cotx ln | sinx| 1(x− a)(x− b)

1a− b

ln∣∣∣∣x− a

x− b

∣∣∣∣ (a 6= b)

8.2 Intégrale dénieIntégrale dénieSoient f une fonction continue sur [a; b] et x0, x1, . . . , xn la subdivision de [a, b]telle que x0 = a, xn = b et h = b−a

n le pas de subdivision constant. On appelleintégrale dénie de f sur [a, b] la limite suivante :

limn→∞

n∑

i=1

f(ci) · b− a

n, ci ∈ [xi−1, xi].

Si elle existe, on note cette limite∫ b

af(x)dx et on appelle a et b les bornes d'in-

tégration.Il est également possible d'utiliser une subdivision quelconque de l'intervalle[a; b], c'est-à-dire une subdivision dont le pas n'est pas constant. Il faut néan-moins que tous les pas tendent vers zéro lorsque n tend vers l'inni. On parledans ce cas d'intégrale de Riemann.

Interprétation géométriqueSi f est positive sur [a, b], la valeur de

∫ b

af(x)dx correspond à l'aire du domaine

délimité par le graphe de f , l'axe Ox et les droites x = a et x = b (on parleparfois d'aire sous la courbe). Si f est négative, l'aire est comptée négativement.Par conséquent,

∫ b

af(x)dx représente une aire algébrique.

8.3 Techniques d'intégration 133

-

6

a b

f(x)©©©©©

©©©

©©©©©©©©© ©©©©©

©©©©©©©©

Théorème fondamental du calcul innitésimalSoit F une primitive de f sur [a, b]. Alors,

∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a).

Propriétés de l'intégrale dénie

(i)∫ a

a

f(x)dx = 0

(ii)∫ b

a

f(x)dx = −∫ a

b

f(x)dx

(iii)∫ b

a

(αf(x) + βg(x)

)dx = α

∫ b

a

f(x)dx+ β

∫ b

a

g(x)dx

(iv) f(x) 6 g(x) ∀x ∈ [a, b] ⇒∫ b

a

f(x)dx 6∫ b

a

g(x)dx

(v)∫ b

a

f(x)dx =∫ c

a

f(x)dx+∫ b

c

f(x)dx , a < c < b

(iv)∣∣∣∫ b

a

f(x)dx∣∣∣ 6

∫ b

a

∣∣f(x)∣∣dx , a < b

Théorème de la moyenne (du calcul intégral)Soient f ∈ C0(I) et ρ(x) > 0 ∀x ∈ I = [a, b] ; alors il existe c ∈ [a, b] tel que

∫ b

a

ρ(x)f(x)dx = f(c)∫ b

a

ρ(x)dx

Cas particulier ρ ≡ 1 :∫ b

a

f(x)dx = (b− a)f(c)

8.3 Recherche des primitives, techniques d'intégrationCalcul directCertaines primitives sont obtenues directement à partir des règles du calculdiérentiel. On considère l'intégrant f(x) que l'on transforme si nécessaire


pour obtenir une forme connue de dérivée.Principe : on regarde en particulier si l'intégrant est du type u′(x)h(u(x)) ; sil'on sait trouver H tel que H ′ = h, alors

∫u′(x)h(u(x))dx = H(u(x)) + C.

Dans le cas d'une intégrale dénie, si u est continûment dérivable sur [a, b] et hcontinue entre u(a) et u(b), alors

∫ b

a

u′(x)h(u(x))dx =∫ u(b)

u(a)

h(t)dt.

Intégration par partiesElle découle de la relation (f(x)·g(x))′ = f ′(x)g(x)+f(x)g′(x) d'où f ′(x)g(x) =(f(x) · g(x))′ − f(x)g′(x). On a donc

∫f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x)−

∫f(x)g′(x)dx.

Dans le cas d'une intégrale dénie, on obtient∫ b

a

f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x)∣∣∣b

a−

∫ b

a

f(x)g′(x)dx.

où, par dénition, f(x)g(x)∣∣∣b

a= f(b)g(b)− f(a)g(a).

Remarque : dans certains cas on peut faire plusieurs intégrations par par-ties succesives jusqu'à obtention d'une intégrale connue.

Intégration par changement de variablesOn pose x = Φ(t). Alors f(x) = f

(Φ(t)

)et dx = Φ′(t)dt. On a donc

∫f(x)dx =

∫f(Φ(t))Φ′(t)dt.

Si f est continue sur [a, b] et que Φ est continûment dérivable sur [c, d], avecΦ(c) = a et Φ(d) = b, on a alors, dans le cas d'une intégrale dénie,

∫ Φ(d)

Φ(c)

f(x)dx =∫ d

c

f(Φ(t)

)Φ′(t)dt

Primitives de fonctions rationnellesLa méthode est basée sur la décomposition en facteurs irréductibles des po-lynÃ´mes et la décomposition en éléments simples. Chaque élément simple (frac-tion) admet une primitive élémentaire.

Exemple :∫x2 + x+ 1x3 + x

dx =∫ (

1x

+1

1 + x2

)dx = ln |x|+ arctanx+ C.


Solutions des exercicesS8.1 Pour trouver fi(x), on calcule F ′i (x) ; on obtient ici f1(x) =

2√2− x2

=

f2(x). Par conséquent, F1 et F2 ne dièrent que d'une constante.

S8.2 On a P (x) =∫ x

0

(t2 − t + 1) dt ; or t2 − t + 1 > 0 pour tout t impliqueP (x) > 0 pour tout x > 0.

S8.3 Il faut résoudre 0 =∫ 1

0

[αx2 − (1 + α)x+ 1

]dx =

13α − 1

2(1 + α) + 1 ,

d'où α = 3.

S8.4 Soit S =∫ a

−a

f(x) dx =∫ 0

−a

f(x) dx +∫ a

0

f(x) dx ; en posant I =∫ a

0

f(x) dx et t = −x dans l'autre intégrale, on obtient

S =∫ 0

a

f(−t) (−dt) + I =∫ a

0

f(−t) dt+ I =∫ a

0

f(t) dt+ I = 2I .

S8.5 On a∫ 1

0

(34

)x

dx =∫ 1

0

ex ln 34 dx =

1ln 3

4

(34

)x ∣∣∣1

0=

14(ln 4− ln 3)

.

S8.6 En chaque P (x, y(x)), on doit avoir y′(x) =4x

(1 + x2)2; d'où, après inté-

gration,y(x) = − 2

1 + x2+C. Comme lim

x→∞y(x) = 1, on obtient C = 1 et y(x) =

x2 − 1x2 + 1

.

S8.7 L'aire A est donnée par : A =∫ 1

0

3√xdx−

∫ 1

0

x3dx =12.

S8.8 Soient T (xT , yT ) le point de tangence et y = y(x) l'équation explicite deγ. On a : y′(xT ) =

yT

xTd'où T (2,

12).

Alors,

A = [ Aire du triangle rectangle d'hypoténuse OT ]−∫ 2

1

(1− 1x

) dx = ln 2− 12.

S8.9 Soit y = x+ h l'équation de d, avec h à déterminer de telle sorte que

I =∫ b

a

[(x + h) − (x2 − x + 1)]dx = 288 où a et b sont les abscisses des points

intersections de γ par d. On trouve a = 1 −√h et b = 1 +

√h et l'on obtient,

après calculs, I = 43h√h, d'où h = 36.

S8.10a) I =

∫e−x

e−x + 1dx = − ln |e−x + 1|+ C.

b) I =∫

1√1 + x(

√1 + x+ 1)

dx =∫ 1√

1+x

1 +√

1 + xdx = 2 ln(1 +

√x+ 1) + C.

S8.11 On intègre par parties et on obtient :I =

∫(x)′ arcsinx dx = x arcsinx−

∫x√

1− x2dx = x arcsinx+

√1− x2 +C.


S8.12a) On intègre par parties deux fois et on obtient :

I =∫

(x)′(lnx)2 dx = x(lnx)2 − 2∫

lnx dx = x(lnx)2 − 2(x lnx−

∫1 dx

)

= x(lnx)2 − 2x lnx+ 2x+ C.

b) On intègre par parties trois fois et on obtient :

I =∫x3(sinx)′ dx = x3 sinx− 3

∫x2 sinx dx

= x3 sinx− 3[−x2 cosx−

∫(−2x cosx) dx

]

= x3 sinx− 3[−x2 cosx+ 2

(x sinx−

∫sinx dx

)]

= x3 sinx+ 3x2 cosx− 6x sinx− 6 cosx+ C.

S8.13 On décompose f(x) en fractions simples : f(x) =A

x− 1+

B

x+ 1+

Cx+D

x2 + 1. Pour que la fonction arctanx ne gure pas dans la primitive de f(x),

il faut imposer D = 0. On trouve A = 14 (p+5) , B = − 1

4 (p+1) , −3 = −A+Ben posant x = 0, d'où p = 3 puis C = −5.Ainsi, F (x) =

∫4x3 − 3x2 − 6x− 3

1− x4dx = 2 ln |x−1|−ln |x+1|−5

2ln(x2+1)+K.

S8.14 Si l'on pose x = a+ b− t, on a :∫ b

x=a

f(x)dx = −∫ a

t=b

f(a+ b− t)dt =∫ b

a

f(a+ b− t)dt.

Ainsi, I =∫ π

0

(π − x) sin(π − x)1 + cos2(π − x)

dx =∫ π

0

π sinx1 + cos2 x

dx−∫ π

0

x sinx1 + cos2 x

dx,

d'où 2I = π

∫ π

0

sinx1 + cos2 x

dx = −π arctan(cosx)∣∣∣π

0=π2

2, et donc I =

π2

4.

chapitre 9Calcul matriciel

ExercicesE9.1 Sachant que A =

( −1 0 25 −2 1

), B =

(2 3 −1−2 0 4

)et M =

(2 −4 6−8 10 −2

), calculer A+B et 1

2M .

E9.2 Sachant que A =

1 10 11 0

et B =

(5 −11 7

),

calculer A ·B et B ·A quand c'est possible.

E9.3 Calculer An où n ∈ N∗ si a) A =( −1 0

0 0

)et b) A =

(0 0−1 0

).

E9.4 Calculer le déterminant Det(A) où A =

1 2 5−3 4 −7−2 −4 −10

.

E9.5 Calculer l'inverse A−1 de la matrice A =(

1 −2−1 4

)si c'est possible.

E9.6 Soient

A =

1 1 10 2 11 −2 0

, B =

2 1 00 0 11 0 1

, C =

−3 4 3

8 −10 −71 −1 −1

.

Calculer A ·B · C. Quelles conclusions peut-on tirer du résultat ?

E9.7 Peut-on trouver une matrice A telle que A ·(

1 22 4

)=

(1 01 1

)?

E9.8 Soit A =(

0 11 0

). Calculer A2 et A−1. Qu'en conclure ?

E9.9 Soient A =(

1 1 10 0 1

), B =

1 −10 00 1

et C =

−1 3

2 −40 1

.

Calculer AB et AC.

E9.10 Trouver la matrice A telle que A ·(

2 22 4

)=

(1 01 1

).

E9.11 Calculer l'inverse de la matrice A =

1 2 34 5 43 2 1

.

138 Calcul matriciel

E9.12 Résoudre, à l'aide de la règle de Cramer, le système suivant :

2x+ 2y + 3z = −33x− 7y − 5z = 45x− 3y − 2z = 5

139

Notions théoriques9.1 Notions de basesMatriceSoient m et n ∈ N∗. On appelle matrice m × n, ou matrice de type m × n, oumatrice d'ordre m× n, un tableau à m lignes et n colonnes

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

...am1 am2 · · · amn

On note aussi A = (aij)i=1,...,mj=1,...,n ou encore A = (aij). Les aij sont des nombres

réels appelés coecients de la matrice A.

Exemples :

A1 =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, A2 =

a11

a21

a31

, A3 =

(a11 a12

a21 a22

)

Les matrices A1, A2 et A3 sont de type respectivement 3× 3, 3× 1 et 2× 2.

Remarque : un vecteur dans R3 peut être représenté par une matrice 3 × 1.Une matrice peut donc être considérée comme formée de plusieurs vecteurs côteà côte (voir 9.2.5).

Matrice carréeSi m = n, on dit que la matrice est carrée d'ordre m. Les matrices A1 et A3 del'exemple précédent sont carrées d'ordre 3 et 2 respectivement.

Matrices particulièresLa matrice O = (oij) avec oij = 0 ∀i, j est une matrice nulle.La matrice carrée d'ordre n dénie par In =

(δij

), où δij est le symbole de Kro-

necker, c'est-à-dire δij = 1 si i = j et 0 sinon, est la matrice identité d'ordre n.

Exemples : matrices nulles

O =(

0 00 0

), O =

0 00 00 0

matrices identité

I2 =(

1 00 1

), I3 =

1 0 00 1 00 0 1

.

9.2 Opérations sur les matrices9.2.1 Somme de deux matrices

Pour pouvoir additionner deux matrices A et B, il est nécessaire qu'ellessoient de même type. Si tel est le cas, la somme s'eectue coecient par coef-cient ayant mêmes indices, c'est-à-dire A+B = (aij) + (bij) = (aij + bij).


Exemple :(

2 0 11 0 −1

)+

(0 1 3

−1 −2 4

)=

(2 1 40 −2 3

).

Propriétés :

(i) A+B = B +A(ii) A+ (B + C) = (A+B) + C = A+B + C(iii) A+O = A

9.2.2 Multiplication d'une matrice par un nombre réel

Si l'on multiplie la matrice A = (aij) par λ ∈ R, chaque coecient de lamatrice est multiplié par λ. En d'autres termes, λ ·A = λ · (aij) = (λ · aij).

Exemple : −12·

2 06 −6

−2 4

=

−1 0−3 3

1 −2

.

Propriétés :(i) A · λ = λ ·A(ii) λ · (A+B) = λ ·A+ λ ·B(iii) (λ+ µ) ·A = λ ·A+ µ ·A(iv) λ · (µ ·A) = (λµ) ·A(v) 1 ·A = A(vi) 0 ·A = O

9.2.3 Produit de deux matrices

Le produit A·B de deux matrices n'est déni que si le nombre de colonnesde A est égal au nombre de lignes de B. En particulier, il est possible queA ·B soit déni, mais que B ·A ne le soit pas.Soient A = (aik) une matrice m× p et B = (bkj) une matrice p× n. La matriceC = A ·B sera la matrice m× n dénie par C = (cij) tel que

cij =p∑

k=1

aikbkj .

Produit ligne-colonne : l'élément cij est égal au produit scalaire de la ième

ligne de la première matrice et de la jème colonne de la seconde matrice.

Exemple : AB =(

1 0 20 3 4

)·

1 0−3 −1

0 1

=

(1 · 1 + 0 · (−3) + 2 · 0 1 · 0 + 0 · (−1) + 2 · 10 · 1 + 3 · (−3) + 4 · 0 0 · 0 + 3 · (−1) + 4 · 1

)=

(1 2

−9 1

).

Dans cet exemple, BA a un sens et est égal à

1 0 2−3 −3 −10

0 3 4

.

9.2 Opérations sur les matrices 141

Propriétés :(i) A · (B + C) = A ·B +A · C(ii) A · (B · C) = (A ·B) · C(iii) (A+B) · C = A · C +B · C(iv) A · (λ ·B) = λ · (A ·B)

NB : Si A et B sont des matrices carrées n× n, les produits AB et BA ont unsens, mais en général A ·B 6= B ·A : le produit de deux matrices n'est pas uneopération commutative.

9.2.4 Matrice transposéeLa matrice transposée de la matrice A = (aij) est la matrice notée tA dé-

nie par tA = (aji). En d'autres termes la ième ligne, respectivement la jème

colonne, de la matrice A devient la ième colonne, respectivement la jème ligne,de la matrice tA.

Exemple : si A =

1 40 25 3

alors tA =

(1 0 54 2 3

).

Propriétés :(i) t(A+B) = tA + tB(ii) t(λ ·A) = λ · tA(iii) t(A ·B) = tB · tA

9.2.5 Déterminant des matrices 2× 2 et 3× 3

Soit A la matrice carrée d'ordre 2 suivante :

A =(a11 a12

a21 a22

).

Son déterminant, noté Det(A) ou |A| est le nombre réel |A| = a11a22 − a21a12.Dans le cas d'une matrice carrée A d'ordre 3 dénie par

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

,

on peut appliquer la règle de Sarrus pour calculer son déterminant : on addi-tionne le produit des diagonales descendantes et on soustrait le produit desdiagonales montantes ; cette règle n'est valable que pour lesmatrices carréesd'ordre 2 et 3.On procède donc de la façon suivante :

a11

EEEE

EEEE

a12

EEEE

EEEE

a13

EEEE

EEEE

a11 a12

a21 a22

EEEE

EEEE

a23

EEEE

EEEE

a21

EEEE

EEEE

a22

a31 a32 a33 a31 a32


et on obtientDet(A) = a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32−a31a22a13−a32a23a11−a33a21a12.

NB : le déterminant n'est déni que pour des matrices carrées.

Remarque : soient −→a =(a1

a2

)et −→b =

(b1b2

)deux vecteurs, et M la

matrice formée de la juxtaposition de −→a et −→b . On a donc M =(a1 b1a2 b2

)et

on note parfois Det(−→a ;−→b ) au lieu de Det(M).

De même, si−→a =

a1

a2

a3

,−→b =

b1b2b3

,−→c =

c1c2c3

etM =

a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

,

on note parfois Det(−→a ;−→b ;−→c ) au lieu de Det(M).

Propriétés :(i) Det(A ·B) = Det(A) ·Det(B)(ii) Det(tA) = Det(A)(iii) Additionner à une ligne, respectivement une colonne, le multiple

d'une autre ligne, respectivement d'une autre colonne, ne changepas le déterminant.

(iv) Si l'on permute deux lignes (ou deux colonnes) le déterminantchange de signe.

(v) Si l'on multiplie une ligne (ou une colonne) par λ, le déterminantest aussi multiplié par λ.

(vi) Pour les matrices d'ordre 2,Det(−→a1 +−→a2;

−→b )=Det(−→a1;

−→b )+Det(−→a2;

−→b ),

et pour les matrices d'ordre 3,Det(−→a1 +−→a2;

−→b ;−→c )=Det(−→a1;

−→b ;−→c )+Det(−→a2;

−→b ;−→c ) ;

en particulier, si une matrice a une ligne ou une colonne necomportant que des 0, son déterminant est nul.

NB : en général, Det(A+B) 6= Det(A)+Det(B) et Det(λA) 6= λDet(A) mais,si A est une matrice carrée d'ordre n, Det(λA) = λnDet(A), d'après la propriété(v), puisque λA est obtenue en multipliant chaque ligne de A par λ.

9.2.6 Inverse d'une matrice carrée d'ordre 6 3La matrice inverse d'une matrice carrée A d'ordre n est la matrice A−1 déniepar

A−1 ·A = A ·A−1 = In.

Remarque : soit A une matrice carrée ; sa matrice inverse existe si et seulementsi Det(A) 6= 0. Dans ce cas, on dit que la matrice A est inversible.

Soit A une matrice carrée d'ordre 2 dénie par

A =(a bc d

)

9.3 Applications du calcul matriciel 143

et telle que ad− cb 6= 0, c'est-à-dire que les vecteurs non nuls(ac

)et

(bd

)

ne sont pas colinéaires ; sa matrice inverse est alors

A−1 =1

ad− cb

(d −b−c a

)(9.1)

Si A est une matrice carrée d'ordre 3 telle que Det(A) 6= 0, sa matrice inverseest donnée par

A−1 =1

Det(A)

((−1)i+j · dij

),

où dij est le déterminant de la matrice que l'on obtient en supprimant la ième

ligne et la jème colonne de tA.

Exemple : soit la matrice

A =

1 2 0−1 0 3

2 1 1

.

Après avoir écrit la transposée, on trouve d11 = 0 · 1 − 3 · 1 = −3, d12 = 2,d13 = 6 et ainsi de suite. Après calcul du déterminant de A et en n'oubliant pasde multiplier chaque dij par (−1)i+j , on obtient

A−1 =111

−3 −2 6

7 1 −3−1 3 2

.

Propriétés :(i) (A ·B)−1 = B−1 ·A−1

(ii) t(A−1) = (tA)−1

(iii) Det(A−1) =1

Det(A)(iv) (λ ·A)−1 = λ−1 ·A−1

9.3 Applications du calcul matricielLe calcul matriciel permet, entre autres applications, de résoudre très faci-

lement les problèmes de n équations à n inconnues. Pour ce faire, on utilise icila règle de Cramer.

9.3.1 Résolution des systèmes linéaires de trois équations à troisinconnues

Soit le système linéaire suivant :

a1x+ b1y + c1z = d1

a2x+ b2y + c2z = d2

a3x+ b3y + c3z = d3

On pose

−→a =

a1

a2

a3

,

−→b =

b1b2b3

, −→c =

c1c2c3

,

−→d =

d1

d2

d3

.


Le système admet une solution unique si et seulement si Det(−→a ;−→b ;−→c ) 6= 0. Ce

déterminant est appelé déterminant principal. Dans le cas considéré, la solutionest alors :

x =Det(

−→d ;−→b ;−→c )

Det(−→a ;−→b ;−→c )

, y =Det(−→a ;

−→d ;−→c )

Det(−→a ;−→b ;−→c )

, z =Det(−→a ;

−→b ;−→d )

Det(−→a ;−→b ;−→c )

.

Si Det(−→a ;−→b ;−→c ) = 0, deux cas peuvent se présenter :

1. Det(−→d ;−→b ;−→c ) = Det(−→a ;

−→d ;−→c ) = Det(−→a ;

−→b ;−→d ) = 0 et le système pos-

sède une innité de solutions,2. au moins un de ces trois déterminants est non nul et dans ce cas le système

ne possède aucune solution.


Solutions des exercicesS9.1 La réponse est A+B =

(1 3 13 −2 5

)et 1

2M =(

1 −2 3−4 5 −1

).

S9.2 On obtient, après calcul, A ·B =

6 61 75 −1

. Le produit B ·A n'est pas

déni car le nombre de colonnes de B qui est 2 est diérent du nombre de lignesde A qui est 3.S9.3a) On trouve par récurrence An =

((−1)n 0

0 0

).

b) On eectue le calcul de A2 = A ·A et on obtient A2 =(

0 00 0

), d'où, pour

tout n > 2, An = An−2 ·A2 =(

0 00 0

).

S9.4 Le déterminant ne change pas si on ajoute à la troisième ligne 2 fois la

première ligne ; on obtient Det(A) = Det

1 2 5−3 4 −70 0 0

= 0 car la dernière

ligne ne comporte que des 0.S9.5 On a Det(A) = 2 ; donc A est inversible et, après calcul, on obtientA−1 =

12

(4 21 1

).

S9.6

A ·B · C =

1 0 00 1 00 0 1

.

On en déduit que A, B et C sont inversibles et que A = C−1 ·B−1, B = A−1 ·C−1

et C = B−1 ·A−1.

S9.7 La matrice A doit être de type 2 × 2. Si l'on note B =(

1 22 4

)et

C =(

1 01 1

), alors Det(B) = 0, Det(C) = 1 et donc A n'existe pas, car

sinon, on aurait :Det(AB) = Det(A) ·Det(B) = Det(C) c'est-à-dire 0 = 1, ce qui n'est pas pos-sible.

S9.8A2 =

(1 00 1

).

Comme A2 est égal à la matrice identité, on en déduit que A = A−1, ce quel'on peut également vérier en appliquant la formule (9.1) de 9.2.6. Il estdonc possible qu'une matrice soit sa propre inverse, sans que cette matrice soitl'identité.

S9.9A ·B = A · C =

(1 00 1

).


On voit donc que pour des matrices qui ne sont pas carrées, A ·B = A ·C n'im-plique pas nécessairement B = C. On remarque aussi que A · B = A · C = I2mais que ni B ni C ne sont les matrices inverses de A, puisque A n'étant pasune matrice carrée, elle n'a pas d'inverse.

S9.10 Si l'on note B =(

2 22 4

)et C =

(1 01 1

), alors Det(B) 6= 0, donc

B est inversible et A = C ·B−1 =12

(2 −11 0

).

S9.11 On obtient

A−1 =18

3 −4 7−8 8 −8

7 −4 3

.

S9.12 La solution du système est : x =3838

= 1 , y =7638

= 2 , z =−11438

= −3 .

Références 147

Références

[1] Commission romande de mathématiques (CRM), Notions élémentaires, Edi-tions du Tricorne, collection Fundamentum de mathématiques, 2005.

[2] Commission romande de mathématiques (CRM), Géométrie 1, Editions duTricorne, collection Fundamentum de mathématiques, 7ème édition, 1999.

[3] Commission romande de mathématiques (CRM), Géométrie 2, Editions duTricorne, collection Fundamentum de mathématiques, 7ème édition, 1999.

[4] Commission romande de mathématiques (CRM), Algèbre, Editions du Tri-corne, collection Fundamentum de mathématiques, 2ème édition, 1996.

[5] Commission romande de mathématiques (CRM), Analyse, Editions du Tri-corne, collection Fundamentum de mathématiques, 2002.

[6] Commission romande de mathématiques (CRM), Géométrie vectorielle etanalytique plane, Editions du Tricorne, collection Fundamentum de mathé-matiques, 2ème édition, 1993.

[7] Commission romande de mathématiques (CRM), Géométrie vectorielle etanalytique de l'espace, Editions du Tricorne, collection Fundamentum de ma-thématiques, 2ème édition, 2003.

[8] Commission romande de mathématiques (CRM), Algèbre linéaire, Editionsdu Tricorne, collection Fundamentum de mathématiques, 2ème édition, 2000.

[9] Commission romande de mathématiques (CRM), Formulaires et tables, Edi-tions du Tricorne, 2002.

[10] Jean-Michel Kern, Algèbre, Editions Loisirs et Pédagogie (L.E.P.), 3ème

édition, 1992.[11] Heinrich Matzinger, Aide-mémoire d'analyse, Presses polytechniques et

universitaires romandes (PPUR), 2000.[12] J. Douchet et B. Zwahlen, Calcul diérentiel et intégral. Fonctions réelles

d'une variable réelle, PPUR, 2ème édition, 1992.[Référence de manuel de base proposé aux étudiants de 1ère année à l'EPFL].

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