Ennocé TD1

8/4/2019 Ennoc TD1

1/3

Exercices - Denombrement : enonce

Denombrements pratiques

Exercice 1 - Dans une entreprise... - Prepa HEC - Dans une entreprise, il y a 800 employes. 300 sont des hommes, 352 sont membres dun

syndicat, 424 sont maries, 188 sont des hommes syndiques, 166 sont des hommes maries, 208sont syndiques et maries, 144 sont des hommes maries syndiques. Combien y-a-t-il de femmescelibataires non syndiquees ?

Exercice 2 - Nombres et chiffres - Prepa HEC - Soit A lensemble des nombres a 7 chiffres ne comportant aucun 1. Determiner les cardinaux

suivants :

1. A.

2. A1, ensemble des nombres de A ayant 7 chiffres differents.

3. A2, ensemble des nombres pairs de A.

4. A3, ensemble des nombres de A dont les chiffres forment une suite strictement croissante(dans lordre ou ils sont ecrits).

Exercice 3 - Tirage dans un jeu de cartes - Prepa HEC - On tire simultanement 5 cartes dun jeu de 32 cartes. Combien de tirages differents peut-on

obtenir :

1. sans imposer de contraintes sur les cartes.

2. contenant 5 carreaux ou 5 piques.

3. 2 carreaux et 3 piques.

4. au moins un roi.

5. au plus un roi.6. 2 rois et 3 piques.

Exercice 4 - Ranger des livres - Prepa HEC - On souhaite ranger sur une etagere 4 livres de mathematiques (distincts), 6 livres de phy-

sique, et 3 de chimie. De combien de facons peut-on effectuer ce rangement :

1. si les livres doivent etre groupes par matieres.

2. si seuls les livres de mathematiques doivent etre groupes.

Denombrements plus theoriques

Exercice 5 - Derangement et probleme des rencontres - Math Sup/L1 - Soit E un ensemble a n elements. On appelle derangement de E toute permutation de E ne

laissant aucun element invariant. On notera Dn le nombre de derangements de E.

1. Si E comporte un seul element, y-a-t-il des derangements de E? En deduire D1.

2. Si E comporte deux elements, combien y-a-t-il de derangements de E? En deduire D2.

http://www.bibmath.net 1

8/4/2019 Ennoc TD1

2/3


3. On suppose n quelconque, et on ecrit E = {a1, . . . , an}. Soit f une permutation de E. Onsuppose quelle laisse k elements invariants. Combien y-a-t-il de telles permutations ? Endeduire la formule suivante :

n! =n

k=0

n

kDk.

4. En deduire D3, D4, D5.

5. Cinq couples de danseurs se rendent a un bal masque. A larrivee, on separe les hommeset les femmes , on numerote les femmes de 1 a 5 , et les hommes de 1 a 5. On les faitensuite selancer sur une piste , chaque homme choississant au hasard une femme pourpartenaire.

(a) A chaque numero de femme, on associe le numero de lhomme avec lequel elle danse.Combien y a t-il dassociations possibles ?

(b) Donner la probabilite pour quaucun couple legitime ne soit reconstitue.

(c) Determiner la probabilite pour quun seul couple legitime soit reconstitue.

(d) Determiner la probabilite pour quil y ait plus de couples illegitimes sur la piste dedanse que de couples legitimes.

Exercice 6 - Partie sans entiers consecutifs - L1/Math Sup - Soit n 1 et p 0 des entiers. On note Fpn lensemble des parties de {1, . . . , n} ne contenant

aucune paire dentiers consecutifs. On note Kpn le cardinal de Fpn .

1. Determiner Kpn quand p > (n + 1)/2.

2. Soit {a1, . . . , ap} une partie de Fpn ecrite de sorte que ai < ai+1. On pose bk = ak + 1 k.

Prouver que 1 b1 < b2 < < bp n + 1 p.

3. Soit Gpn lensemble des parties a p elements de {1, . . . , n + 1p}. Construire une bijection

de Fpn sur Gpn.4. En deduire la valeur de Kpn.

5. Application : au loto on tire 6 numeros dans {1, . . . , 49}. Combien de tirages ne contiennentaucune paire dentiers consecutifs ?

Coefficients binomiaux

Exercice 7 - Une somme - L1/Math Sup - Soit n, p des entiers naturels avec n p. Demontrer que

nk=p

k

p

=

n + 1

p + 1

.

Exercice 8 - Bizarre, bizarre,... - L1/Math Sup - Montrer que, pour n 1, on a :

2n

n

=

nk=0

n

k

2.


8/4/2019 Ennoc TD1

3/3


Exercice 9 - Avec des nombres complexes - L1/Math Sup - Calculer (1 + i)4n. En deduire les valeurs de

2np=0

(1)p

4n2p

et

2n

1p=0

(1)p

4n2p + 1

.

Exercice 10 - Avec des polynomes - L1/Math Sup - Calculer les sommes suivantes :

Sn =n

k=0

(1)k

n

k

2et Tn =

nk=0

k

n

k

2.

Si vous trouvez une erreur, une faute de frappe, etc... dans ces exercices, merci de la signaler [email protected] Venez poursuivre le dialogue sur notre forum :

http://www.bibmath.net/forums


Ennocé TD1

Documents

Transcript of Ennocé TD1