Électrotechnique 2 - Modélisation du Moteur à Courant...

Lycée Gustave Eiffel de Dijon

Classe préparatoire P.T.S.I.

Année 2016 - 2017

Électrotechnique

2 - Modélisation duMoteur à Courant Continu

Table des matièresI Fonctionnement d’un moteur à courant continu 1

1 Force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Constitution d’un moteur à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

II Modèle de moteur à courant continu 51 Mise en équation des phénomènes physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Comportement global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Identification des grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

III Commande d’un moteur à courant continu 9

IV Aspect énergétique 101 Puissance d’entrée ou Puissance "absorbée" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Puissance électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Puissance de sortie ou Puissance "utile" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Pertes et rendement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

• Connaître le modèle de connaissance de la machine à courant continu.• Comprendre le comportement global de la machine à courant continu.• Savoir identifier les quadrants de fonctionnement de la machine à

Objectif :

Concevoir

Réaliser

Expérimenter

Communiquer

Analyser

Modéliser

Résoudre

Compétences

20 janvier 2017

1

ÉlectrotechniqueModélisation du

Moteur à Courant Continu

Chaîne d'informationInfos issues d'autres

systèmes et desinterfaces

homme/machine

Informations destinéesaux autres sustèmes et

aux interfaceshomme/machine

Nom

ACQUERIR

Nom

TRAITER

Nom

COMMUNIQUER

Chaîne d'énergie

Energied'entrée

Nom Nom Nom Nom

Nom

ACTIONALIMENTER DISTRIBUER CONVERTIR TRANSMETTRE

Ordres

Grandeursphysiquesà acquérir

MO

MO+VA

Figure 1 – Situation dans la chaîne fonctionnelle.

I. Fonctionnement d’un moteur à courant continu

1 Force de Laplace

Soit une portion de fil (petite, définie par un vecteur−→dl) traversée par un courant électrique I.

Supposons que ce fil soit plongé dans un champ magnétique−→B .

Alors cette portion de fil est soumise à une petite force−→dF , appelée force de Laplace telle

que :−→dF = I

−→dl ∧

−→B (1)

Propriété 1 : Force de Laplace

dl

dl

dF

dF

Figure 2 – Représentation des forces de Laplace.

Lycée Gustave Eiffel de Dijon 1 / 12 Classe préparatoire P.T.S.I.Année 2016 - 2017



Calculons les force de Laplace, engendrée dans chaque partie de fil (1) et (2) (les autres parties sontjugées négligeables). En déduire le couple autour du point O.

B

x y

z

U

i

i

L

Fil (1)

Fil (2)

D

O

• Fil 1 :

~F1 =

∫ L

0

−→dF =

∫ L

0

I−→dl ∧

−→B

= I

∫ L

0

dl−→y ∧ (−B−→x )

= IB

∫ L

0

−→z dl = IBL−→z

• Fil 2 :

~F2 =

∫ L

0

−→dF =

∫ L

0

I−→dl ∧ ~B

= −I∫ L

0

dl−→y ∧ (−B−→x )

= −IB∫ L

0

−→z dl = −IBL−→z

• Moment en O :

−−→MO = 2

∫fil

−→dF ∧

−−→OP =

∫fil

(I−→dl ∧

−→B)∧(y−→y +

D

2−→x)

= I

(∫ L

0

(+−→z ) ∧ (y−→y +D

2−→x )Bdl +

∫ L

0

(−−→z ) ∧ (y−→y − D

2−→x )Bdl

)

= IB

(∫ L

0

(+−→z ) ∧ (y−→y +D

2−→x )dl +

∫ L

0

(−−→z ) ∧ (y−→y − D

2−→x )dl

)

= IB

(∫ L

0

D

2−→y dl +

∫ L

0

D

2−→y dl

)

= 2IBLD

2−→y

Exemple 1 :

Le principe d’un moteur est donc de placer une (ou plusieurs) boucle(s) de fil traversée par un courantélectrique (on parle de bobinage), sur une pièce en rotation (appelée rotor), le tout placé dans un champmagnétique. Cela a pour effet de créer un couple qui fera tourner ce rotor.

2 Constitution d’un moteur à courant continu

Le moteur à courant continu est principalement constitué de 2 ensembles :• Le stator : partie fixe du moteur ;• Le rotor : partie tournante du moteur.

a) Le stator




(a) (b) (c)

(d) (e)

Figure 3 – Différentes étapes de rotation d’un moteur à courant continu.

Le stator (ou « inducteur ») est la partie fixe du moteur (stator ∼= statique). Il a pour fonctionde créer un champ magnétique reçu par les bobines du rotor. Il peut être constitué d’aimantspermanents ou de bobines alimentées par un courant.

Définition 1 : Stator

(a) Photo d’un stator seul (b) Schéma d’un stator à 2 pairesde pôles.

Figure 4 – Stator.

b) Le rotor




Le rotor (ou « induit ») est la partie tournante du moteur (rotor ∼= rotation). Il est constituéd’un enroulement de spires conductrices réunies en faisceaux, disposés de telle manière quelorsqu’un côté est soumis au pôle nord, l’autre est au pôle sud : les faisceaux sont tous reliés ensérie grâce aux lames du collecteur.

Définition 2 : Rotor

Figure 5 – Photos d’un rotor.

Chaque faisceau est constitué d’un enroulement d’un grand nombre de spires. Les faisceaux sont disposésafin que deux côtés opposés d’une spire soient soumis aux deux pôles de l’aimant. L’intensité de la forceélectromagnétique d’entraînement dépend du nombre de spires.

Comme le courant électrique provient généralement d’une source extérieure fixe, pour ne pas emmêler les filslors de la rotation, les bobines du rotor sont alimentées par des contacts électriques frottants, via des balais oudes charbons fixé sur le stator. L’élément du rotor qui est en contact avec ces balais s’appelle le collecteur(fig.6).

Figure 6 – Collecteur.

c) Les paires de pôles

Pour améliorer la puissance, le couple généré et la fluidité du moteur, la bobine du rotor peut être doublée,triplée, etc... Chacune des ces bobines supplémentaire est soumise d’un coté à un pôle nord, de l’autre à un pôlesud. On parle alors de paire de pôles 1.

1. Cette définition sera essentielle pour l’étude des moteurs triphasés l’an prochain.




On appelle paire de pôles le nombre de bobines indépendantes dans le rotor. Ce nombrecorrespond également au nombre d’aimants sur le stator.

Définition 3 : Paire de pôles

Par exemple, la figure 3 schématise un moteur à une seule paire de pôles. La figure 4b représente un statorà 2 paires de pôles. La photo 4a représente un stator à 3 paires de pôles. Enfin, la photo 5 semble contenirégalement 3 paires de pôles.

II. Modèle de moteur à courant continu

1 Mise en équation des phénomènes physiques

Le moteur à courant continu peut être modélisé de deux manières, selon le régime.

a) Circuits équivalents

Comportement en régime établi

• Définition : On considère le régime commeétabli s’il n’y a pas de variation de vitesse ou detension.

• Modèle : Le moteur est constituée d’une ré-sistance R créée par les spires bobinées du rotor(R = ρL

S ), en série avec une force électromotrice Eprovoquée par une variation de flux sur le bobinageinduit (Loi de Lenz : E(t) = − dφ(t)

dt .)

U Mcc ⇔

R

E

U

Comportement en régime dynamique (outransitoire)

• Définition : On considère le régime commedynamique s’il n’est pas établi.

• Modèle : Le modèle est presque similaire aurégime établi, à cela près qu’on ajoute en série uneinductance L issue du bobinage induit.

UMcc ⇔

L

R

E

U

b) Équations électriques et mécaniques

Par loi des mailles sur le modèle précédent, il vient :

Comportement en régime établi

U (t) = E(t) +RI(t) (2)

Comportement en régimedynamique (ou transitoire)

U (t) = E(t) +RI(t) + LdI(t)

dt(3)

Propriété 2 : Loi des mailles




La force électromotrice E(t) est une tension induite par la variation de champ magnétique reçupar les bobinages (voir cours d’électromagnétisme en physique). On retiendra que cette variationest proportionnelle à la vitesse de rotation Ω(t) et :

E(t) = KΩ(t) (4)

où K est la constante électromagnétique (en V s/rad) caractéristique du moteur, donnéepar le constructeur a.

a. Pour info : K = 2πpN60a

Φ avec p = nombre de paires de pôles, a = nombre de paires de voies d’enroulements,N = nombre de conducteurs actifs (2/spires) et Φ = flux par pôles (Wb)

Propriété 3 : Force électromotrice

Le couple C(t) exercé par le stator sur le rotor est proportionnel au courant I(t) qui alimente lemoteur :

C(t) = KI(t) (5)

En l’absence de perte, le K présenté ci dessus est le même que pour la force électromotrice.

Propriété 4 : Couple

En l’absence de perte, il vient :

Pem(t) = C(t)Ω(t) Puissance mécanique (6)

= E(t)I(t) = U (t)I(t)−RI(t)2 Puissance électrique (7)

Propriété 5 : Puissance mécanique et électrique

Si on isole le rotor, le principe fondamental de la dynamique en rotation autour de l’arbre dumoteur donne

C(t) = JdΩ(t)

dt(En l’absence de frottement) (8)

C(t)− fΩ(t) = JdΩ(t)

dt(Avec frottement fluides f) (9)

C(t)− Cr(t)− fΩ(t) = JdΩ(t)

dt(Avec frottement fluides et couple résistant) (10)

où J est le moment d’inertie du rotor a

a. J représente l’inertie en rotation, c’est à dire la difficulté à modifier la vitesse de rotation.

Propriété 6 : Principe fondamental de la dynamique

2 Comportement global

Le comportement global d’un moteur à courant continu peut s’exprimer sous la forme d’un schéma bloc viales transformées de Laplace 2 :

U (t) = E(t) +RI(t) + L dI(t)dt

E(t) = KΩ(t)

C(t) = KI(t)

C(t)− Cr(t)− fΩ(t) = J dΩ(t)dt

L⇔

U(p) = E(p) + (R+ pL)I(p)

E(p) = KΩ(p)

C(p) = KI(p)

C(p)− Cr(p)− fΩ(p) = JpΩ(p)

Ces équations nous amènent au schéma bloc suivant :

2. On se place dans les conditions de Heaviside.




−+1

R+ LpK

−−+

1

Jp

f

K

U(p) I(p) C(p) Ω(p)

E(p)

Cr(p)

Après calcul, la fonction de transfert d’un moteur à courant continu (sans couple résistant) est :

HM (p) =K

(Jp+ f)(R+ Lp) +K2=

KfR+K2

JLfR+K2 p2 + fL+JR

fR+K2 p+ 1(11)

La forme canonique peut être exprimer comme produit de 2 premiers ordre :

HM (p) =K0

ττep2 + (τ + ατe)p+ 1(12)

avec τ = RJK2+Rf , τe = L

R , K0 = KK2+Rf et α = Rf

K2+Rf .• τ est appelé constante de temps électromécanique (d’autant plus grande que l’inertie J est grande)• τe est appelé constante de temps électrique (issue des composants électroniques, notamment l’inductance).En général, la partie électromécanique réagit moins vite que la partie électrique et on montre que :

τ τe (13)

Après quelques simplifications sur les ordres de grandeurs (non présentées), le moteur peut êtreconsidéré comme produit de deux fonctions du premier ordre :• une fonction liée à la mécanique (de constante de temps τ).• une fonction liée à l’électronique (de constante de temps τe).

Hm(p) ≈ K0

(1 + τp)(1 + τep)(14)

Propriété 7 :

3 Identification des grandeurs

D’après ce qui précède, le modèle d’un moteur à courant continu peut se caractériser par 3 grandeurs 3 :• son inductance L,• sa résistance interne R,• sa constance électromotrice (ou constante de couple) K.Ces paramètres sont généralement données par le constructeur. Toutefois, il peut être nécessaire de les caracté-riser.

a) Identifier R :

R s’obtient simplement par mesure de la résistance via un ohmmètre.

3. J n’est pas considéré comme une grandeur caractéristique du moteur car il fait intervenir le reste du mécanisme (réducteur,charge, etc.).




La connexion des balais du collecteur influe beaucoup sur la mesure de la résistance. Il faudradonc penser à faire plusieurs mesures en faisant légèrement tourner le moteur à chaque fois.

Attention :

b) Identifier L :

La loi d’Ohm (équation 3) permet de déduire l’équation différentielle suivante :

LdI(t)

dt+RI(t) = U (t)− E(t) (15)

Prenons le cas où l’on bloque le moteur (Ω(t) = 0 rad/s). On en déduit : E(t) = 0V. Appliquons un échelon detension à l’entrée : U (t) = U0 = Cte pour t > 0. La solution de cette équation est alors :

I(t) =U0

R

(1− e−R

L t)

(16)

i(t)

t

imax

0.63 imax

0.95 imax

L/R 3L/R

Figure 7 – Courant traversant le moteur bloqué en rotation, auquel on soumet un échelon de tension.

La constante de temps de cette réponse est :

τ =L

R= (temps de réponse pour 63%) =

1

3(temps de réponse à 5%) (17)

Dans les conditions citées ci-dessus (moteur bloqué + échelon de tension), L s’obtient en recherchant letemps à 5% (t5%

r ) :

L =Rt5%

r

3(18)

Astuce 1 :

c) Identifier K :

K est présent dans deux équations :• l’équation (4) joignant la force électromotrice à la vitesse de rotation,• l’équation (5) joignant le couple au courant ;

Il y a donc 2 manière de calculer K.1. En calculant E(t) = U (t)−RI(t) en régime établit (il faut donc connaître préalablement R et mesurer I(t))

et en mesurant Ω(t).2. En mesurant le couple fourni par le moteur et le courant absorbé.




III. Commande d’un moteur à courant continu

La commande d’un moteur n’est pas triviale car celui-ci peut adopter plusieurs comportements : parfoismoteur, parfois générateur, dans un sens, dans l’autre, . . . Selon les cas, le circuit de commande doit êtrecapable de gérer chacun de ces modes de fonctionnement.

Les modes de fonctionnement du moteur dépendent :• du sens de rotation Ω(t). En effet, le moteur peut tourner dans le sens positif ou négatif (selon la convention

choisie).• du sens du couple C(t). En effet, indépendamment du sens, le moteur peut aider ou gêner le rotor dans sa

rotation. On rappelle, d’après l’équation 5 que le couple est intimement lié au courant.

+

+I

UM+

+Ω

I

UG

++I

UM +

+I

UG

Fonctionnement engénératrice avant

FREIN

C

Quadrant 2Fonctionnement en

moteur avant

Quadrant 1

C Ω

Quadrant 3Fonctionnement en

moteur arrière

Quadrant 4Fonctionnement engénératrice arrière

FREIN

CΩ Ω

C

Couple

C

Vitesse de rotation

Ω

+

+

-

-

Figure 8 – Quadrants de fonctionnement du moteur.




La première génération de TGV (1978–1988) fonctionnaitavec des moteurs à courant continu. Les trains étaient (etsont toujours) équipés de deux motrices (locomotives) : lamotrice avant tire le train pendant que la motrice arrièrele pousse.On suppose que le train accélère jusqu’à sa vitesse decroisière, puis décélère pour s’arrêter en gare. Ensuite, ilrepart dans l’autre sens en suivant le profile inverse. Onsuppose que l’aller correspond au sens positif de rotationdes moteurs. On suppose également qu’en vitesse de croi-sière, les frottements de l’air obligent à exercer un couplemoteur constant.

Définir, pour chaque phase, le quadrant de fonctionnement des moteurs.

Ωt

Exemple 2 : TGV

• A condition que la chaîne cinématique le permette, pour passer des quadrants 1→ 4 ou 2→ 3le dispositif d’alimentation devra être réversible en courant.

• A condition que la chaîne cinématique le permette, pour passer des quadrants 1→ 2 ou 3→ 4le dispositif d’alimentation devra être réversible en tension.

Remarques 1 :

Selon le sens de C, on comprend que le courant I doit pouvoir changer de sens également. Ledistributeur qui pilote le moteur doit ainsi pouvoir gérer ce changement de signe. Cette remarquefera l’objet du prochain cours sur les hacheurs.

Remarque 2 :

IV. Aspect énergétique

1 Puissance d’entrée ou Puissance "absorbée"

La puissance absorbée est la puissance électrique utilisée par le moteur, vue depuis l’extérieur du moteur.Si U est la tension d’alimentation du moteur et i est le courant qui le traverse, alors :

Pa = U × i (19)

2 Puissance électromagnétique

C’est la puissance que le moteur est théoriquement capable de convertir, lorsque l’on néglige les pertes.

PEM = E × i (En régime permanent)




3 Puissance de sortie ou Puissance "utile"

La puissance utile est la puissance mécanique réellement récoltée à la sortie du moteur.Si ω est la vitesse de rotation du rotor, et Cu le couple généré par le moteur, alors :

PU = ω × Cu (20)

4 Pertes et rendement

Lors de sa transformation, toute la puissance n’est donc pas transmise ; il y a des pertes :• les pertes Joules : PJ = Ri2. C’est la puissance dissipée par la résistance électrique du rotor (bobinage. . .).• les pertes collectives : Cette puissance perdue et la somme de deux choses : Les pertes fer PF : Ce sont les pertes dues aux effets du champs magnétiques sur le noyaux du rotor

(autre que le bobinage). Les courants de Foucault créent, entre autre, un échauffement du noyau, et doncune perte sous forme de chaleur. Les pertes mécanique PM : Ce sont les pertes liées aux frottements du rotor, notamment dans la liaison

pivot, dans les frottements de l’air, etc..Les pertes collectives peuvent être déterminées par un essai à vide (sans charge) : la puissance de sortie est

donc nulle ; les pertes collectives correspondent à la puissance électromagnétique.

Pertes JoulesPJ=R×i²

Pertes ferPF

PertesMécaniques

PM

PuissanceabsorbéePa=U×i

Puissanceutile

PU=ω×Cu

PuissanceEléctromagnétique

PEM=E×i

Figure 9 – Schéma des puissance et des pertes dans la conversion d’un moteur à courant continu.

On appelle rendement du moteur à courant continu, le coefficient (sans unité) :

η =Puissance utile

Puissance absorbée=PUPa

=PU

PU + PJ + PF + PM(21)

Définition 4 : Rendement




Questions de cours

Q1. Définir la force de Laplace

Q2. Qu’est ce qu’un collecteur

Q3. Qu’est ce qu’une paire de pôles ?

Q4. De quoi dépend la force électromotrice E ?

Q5. De quoi dépend le couple moteur C ?

Q6. Quelle est la constante de temps électrique du moteur ?

Q7. Comment déterminer K expérimentalement ?

Q8. Mon moteur tourne dans le sens positif, mais je cherche à le freiner. Dans quel quadrantde fonctionnement dois-je être ?


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