ELE2611 Classe 5 - Filtres analogiques linéaires III
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Introduction
ELE2611 - Circuits Actifs
3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756
Cours 5 - Filtres analogiques lineaires IIISynthese globale de filtres passifs et actifs
Instructeur: Jerome Le [email protected]
Version du 20 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c©Le Ny, J. 1/38
Introduction
Motivation pour ce cours
I Contrairement a la synthese en cascade, les methodes de synthese“globale” ou “directe” realisent une fonction de transfert entiere en uneetape.
I Diverses techniques de synthese globable existent, tant pour les filtresactifs que passifs (a la difference de l’approche en cascade, qui necessitedes cellules actives). En particulier, des methodes classiques permettent desynthetiser une fonction de transfert par un circuit passif en echelle.
I Pour l’ingenieur practicien, des prototypes passifs de filtres classiques(Butterworth, Tchebychev, etc.) approximant le passe-bas normalise sontrepertories dans des manuels et logiciels. On peut alors produire le filtredesire avec la denormalisation en frequence du circuit directement.
I Un point fort des circuits passifs en echelle est leur faible sensibilite auxvariations des composants. Ils ont aussi des avantages aux hautesfrequences, et pour le traitement des signaux de grande amplitude, mais ilsne sont pas vraiment implementables sous forme de circuits integres.
I Une des methodes de synthese globale de filtres actifs consiste simplementa remplacer les bobines problematiques dans un filtre passif par deselements actifs. Pour cela, on peut par exemple utiliser le gyrateur ducours 2 ou le convertisseur d’impedance generalise.
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Introduction
Approches pour la conception de filtres
Choix du gabarit du
filtre
Normalisation en fréquence du gabarit (vers le passe-bas
normalisé)
Détermination d'une fonction de transfert satisfaisant le gabarit
normalisé
Dénormalisation en fréquence de
la fonction de transfert
Réalisation par un circuit de la fonction de
transfert dénormalisée
Filtre standards tabulés(Butterworth, Tchebyshev, etc.)Forme dévelopée et factorisée
Dénormalisation en impédance
Réalisation par un circuit de la fonction de
transfert normalisée
Tables de circuitsprototypes
disponibles (passifs, à simuler si besoin)
Dénormalisation en fréquence du circuit (transformation de
composants)
Plutôtsynthèse en cascade
d'un circuit actif
approche desynthèse globale
circuit final à vérifier et tester
ce cours
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Introduction
Choix de type de filtre en fonction de la frequence
1Hz
10 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 10111 MHz 1 GHz
Frequency, Hz
Discrete analog active RC filters
Switched-capacitor active RC filters
Integrated analog active filters
Passive filters
Distributed(waveguide) filters
[D’apres Schaumann et al., 2010]I Pour les filtres actifs, les limites dependent des composants actifs utilises
(AO et OTA : amplificateurs operationnels a transconductance)
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Introduction
Outline
Realisations passives de fonctions de transfertPrototypes passifs de filtres passe-bas en echelle et denormalisationApercu de synthese de fonction de transfert par circuits passifs en echelle
Synthese globale de filtre actifsConvertisseur d’impedance generalise et simulation de circuits en echelleSynthese globale par modeles d’etat
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Introduction
Realisations passives de fonctions de transfert
Prototypes passifs de filtres passe-bas en echelle et denormalisation
Outline
Realisations passives de fonctions de transfertPrototypes passifs de filtres passe-bas en echelle et denormalisationApercu de synthese de fonction de transfert par circuits passifs en echelle
Synthese globale de filtre actifsConvertisseur d’impedance generalise et simulation de circuits en echelleSynthese globale par modeles d’etat
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Introduction
Realisations passives de fonctions de transfert
Prototypes passifs de filtres passe-bas en echelle et denormalisation
Fonctions de transfert bilineaires
=+
Z1, Y1
Z2, Y2
C1
R1
R2C2Vi Vo
+
-
Vo(s)
Vi (s)=
Z2
Z1 + Z2=
Y1
Y1 + Y2
Yi = Gi + Ci s
⇒ Vo(s)
Vi (s)=
G1 + C1s
(G1 + G2) + (C1 + C2)s
I Zero a −1/R1C1 (a gauche du plan s necessairement).
I Pole a −(G1 + G2)/(C1 + C2) (stable necessairement).
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Introduction
Realisations passives de fonctions de transfert
Prototypes passifs de filtres passe-bas en echelle et denormalisation
Circuits en echelle
Z1
Z2
Z3
Z4
+
-
VoutVin
+
-
branchesen parallèle
branchesen série
I Un certain nombre de techniques classiques existent pour synthetiser unefonction de transfert Vout(s)/Vin(s) a partir de circuits passifs en echelle.
I On augmente l’ordre du filtre en ajoutant des niveaux.I On cree des zeros de deux facons, qui coupent la transmission du signal :
I Zi =∞ dans une branche serie.I Zi = 0 dans une branche parallele.
=+
Rs
C1
L2
C3
L4
C5
L6
C7 Rl Vout
+
-
Vin
Ex: Filtrepasse-basd'ordre 7
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Introduction
Realisations passives de fonctions de transfert
Prototypes passifs de filtres passe-bas en echelle et denormalisation
Sections productrices de zeros
=+Vin
Rs
C1
L2
C3
L4
C4
C5
L6 C7
L7
C8
Rl Vout
+
-
R9
C9
R6
A partir de l’expression de Zi (s) pour les sections elementaires suivantes, onvoit immediatement que
I Un condensateur en parallele ou une bobine en serie creent un zero al’infini
I Un condensateur en serie ou une bobine en parallele creent un zero a 0I Un circuit LC resonnant parallele en serie, ou serie en parallele creent une
paire de zeros imaginaires s = ±jω0, ou ω0 est la freqence de resonnance.I Un circuit RC ou RL parallele en serie, ou serie en parallele creent un zero
a s = a < 0.
[N.B. : l’impedance Z(s) d’un circuit RC a ses poles et zeros reels negatifs, etcelle d’un circuit LC a ses poles et zeros imaginaires purs].
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Introduction
Realisations passives de fonctions de transfert
Prototypes passifs de filtres passe-bas en echelle et denormalisation
Circuits en LC echelle
=+
Z1
Z2
Z3
Z4
Rs
Rl
+
-
VoutVin
Circuit LC en échelle
I Sidney Darlington a publie en 1939 un ensemble de methodes quipermettent de realiser une large gamme de fonctions de transfert a partird’un quadripole LC (donc sans perte) en echelle, termine par une ou deuxresistances (on peut avoir Rs = 0 ou Rl =∞ sur le schema).
I Si Rs 6= 0 et Rl 6=∞, on obtient une plus faible sensibilite de la fonctionde transfert aux variations de composants, en comparaison avec les cas Rs
ou Rl absent.
I Ces methodes touchent a des notions fondamentales de theorie dessystemes. Nous en donnerons juste un petit apercu.
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Introduction
Realisations passives de fonctions de transfert
Prototypes passifs de filtres passe-bas en echelle et denormalisation
Prototypes de filtres approximant le passe-bas normalise
I En pratique des tables (ou logiciels) donnent des prototypes de filtrespassifs approximant le passe-bas normalise (Butterworth, Tchebychev,etc.), comme pour les fonctions de transfert. Typiquement des circuits deDarlington (LC en echelle avec deux resistances).
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Introduction
Realisations passives de fonctions de transfert
Prototypes passifs de filtres passe-bas en echelle et denormalisation
Prototypes de filtres approximant le passe-bas normalise (suite)
I N.B. : Les filtres de Butterworth et Tchebychev ont tous leurs zeros al’infini, mais les prototypes de filtres elliptiques ont des sections LCresonnantes produisant les zeros finis necessaires.
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Introduction
Realisations passives de fonctions de transfert
Prototypes passifs de filtres passe-bas en echelle et denormalisation
Exemple de filtre elliptique
I Les sections LC des branches serie produisent les zeros finis dans la banded’arret (fz = 1/(2π
√LC)).
I Les sections C des branches paralleles produisent des zeros a l’infini(augmentation du degre relatif entre denominateur et numerateur).
I Ce filtre passe-bas a deja ete denormalise pour avoir fp = 1 MHz.
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Introduction
Realisations passives de fonctions de transfert
Prototypes passifs de filtres passe-bas en echelle et denormalisation
Denormalisation de filtres prototypes
I A partir des circuits prototypes, approximant le passe-bas normalise pourlequel ωp = 1 rad/s, on peut effectuer
I Une denormalisation en frequence, sans repasser par la fonction detransfert.
I Une denormalisation en impedance (cf. cours 4), par exemple pour ajusterla resistance de charge Rl a la valeur desiree.
I La denormalisation en frequence s’effectue directement par substitution decomposants dans les branches du circuit en echelle :
I Remplacer les bobines Z(s) = Ls et les condensateurs Y (s) = Cs duprototype normalise par des composants Z(s) = Lf (s) et Y (s) = Cf (s), ous = f (s) est une des tranformations du cours 3
I Les resistances restent inchangees.
I Exemple : pour la transformation passe-bas → passe-bande s =s2+ω2
0Bs
unebobine d’impedance Ls est remplacee par un circuit d’impedance
Z(s) = LB
s +Lω2
0Bs
, i.e., une bobine d’inductance L/B en serie avec uncondensateur de capacite B/(ω2
0L).
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Realisations passives de fonctions de transfert
Prototypes passifs de filtres passe-bas en echelle et denormalisation
Recapitulatif sur la denormalisation de prototypes de filtres
I Denormalization en frequence (exercice : retrouver ce tableau)
L
C
Prototype passe-bas normalisé
s
Passe-bas
s = s/!p
L/!p
C/!p
Passe-haut
s = !p/s
1
L!p
1
C!p
Passe-bande
s =s2 + !2
0
Bs
C
B
B
!20C
Coupe-bande
s =Bs
s2 + !20
BL
!20
1
BL
1
BCBC
!20
B
!20L
L
B
I Denormalization en impedance par un facteur α :I Utile pour changer les composants passifs vers des valeurs plus commodes.I Multiplier toutes les resistances par α.I Multiplier toutes les inductances par α.I Diviser toutes les capacites par α (afin de multiplier 1
Cspar α).
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Introduction
Realisations passives de fonctions de transfert
Prototypes passifs de filtres passe-bas en echelle et denormalisation
Exemple
I Concevoir un filtre passif passe-bande en echelle avec les specificationssuivantes
I Resistance de source et de charge : 50 Ω.I Augmentation d’attenuation aux hautes frequences : 60 dB/decadeI Frequence centrale de la bande passante : 230 kHzI Bande passante ”optimalement plate” avec une largeur de bande de 28 kHzI Attenuation maximale de 0.5 dB dans la bande passante
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Introduction
Realisations passives de fonctions de transfert
Apercu de synthese de fonction de transfert par circuits passifs en echelle
Outline
Realisations passives de fonctions de transfertPrototypes passifs de filtres passe-bas en echelle et denormalisationApercu de synthese de fonction de transfert par circuits passifs en echelle
Synthese globale de filtre actifsConvertisseur d’impedance generalise et simulation de circuits en echelleSynthese globale par modeles d’etat
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Introduction
Realisations passives de fonctions de transfert
Apercu de synthese de fonction de transfert par circuits passifs en echelle
Synthese de circuits en echelle
I Comment les circuits prototypes en echelle donnes dans les tables oulogiciels sont-ils concus ?
I Il existe plusieurs techniques de synthese de fonctions de transfert par descircuits passifs en echelle, developpees jusque dans les annees 70-80.
I Variations suivant la topologie utilisee. Le plus souvent une ou deuxterminaisons avec resistance, et un quadripole LC au milieu.
Quadripôle LC1 2
Rs
Rl
+
-
Vi
+
-
Vo
I1 I2
Zin(s)
I La configuration de Darlington avec deux resistances entourant unquadripole LC resulte en une realisation de fonction de transfert peusensible aux variations des composants.
I Vous seriez amene a utiliser ces methodes (ou leur impementationlogicielle) si la topologie que vous recherchez n’est pas tabulee, parexemple si Rs 6= Rl .
I Nous allons survoler une de ces methodes, peut-etre la plus importante.
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Introduction
Realisations passives de fonctions de transfert
Apercu de synthese de fonction de transfert par circuits passifs en echelle
Methode de synthese de Darlington : circuit LC entre deux resistances
Quadripôle LC1 2
Rs
Rl
+
-
Vi
+
-
Vo
I1 I2
Zin(s)
I Idee : ramener le probleme de realisation de H(s) = Vo (s)Vi (s)
a celui de la
realisation d’une impedance Zin(s) de circuit LC termine par Rl , pourlequel des methodes sont disponibles.
I Puissance moyenne (en R.P.S.) dissipee dans la charge : P0(jω) = |Vo (jω)|2Rl
I En R.P.S., la puissance moyenne fournie au port 1 est egale a Po , car lecircuit LC ne dissipe pas d’energie
P1(jω) = Re[Zin(jω)]|I1(jω)|2 = Re[Zin(jω)]| |Vi (jω)|2
|Rs + Zin(jω)|2
= Po(jω) =|Vo(jω)|2
Rl
⇒|H(jω)|2 =
∣∣∣∣Vo(jω)
Vi (jω)
∣∣∣∣2
=Re[Zin(jω)]Rl
|Rs + Zin(jω)|2 .
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Introduction
Realisations passives de fonctions de transfert
Apercu de synthese de fonction de transfert par circuits passifs en echelle
Methode de synthese de Darlington (2)
I Puissance maximum transferable par la source : Pa(jω) = |Vi (jω)|24Rs
I Maximum atteint pout Zin(jω) = Rs (impedances adaptees, cf. ELE1600A)
I Definition du coefficient de transmission :
|τ(jω)|2 =P0(jω)
Pa(jω)=
4Rs
Rl
|Vo(jω)|2
|Vi (jω)|2 =4Rs
Rl|H(jω)|2 ≤ 1 (circuit passif)
I Coefficient de reflection : |ρ(jω)|2 = 1− |τ(jω)|2. Donc
|ρ(jω)|2 = 1− 4Rs
Rl
Re[Zin(jω)]Rl
|Rs + Zin|2= 1− 4Rs
Re[Zin(jω)]
|Rs + Zin|2
i.e., ρ(jω)ρ(−jω) =|Rs − Zin(jω)|2
|Rs + Zin(jω)|2 =Rs − Zin(jω)
Rs + Zin(jω)
Rs − Zin(−jω)
Rs + Zin(−jω)
⇒ ρ(s) = ±Rs − Zin(s)
Rs + Zin(s)
I ρ(s) est determine par la contrainte |ρ(jω)|2 = 1− 4Rs |H(jω)|2/Rl , puisune etape de factorisation spectrale produisant ρ(s) (hors programme)
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Introduction
Realisations passives de fonctions de transfert
Apercu de synthese de fonction de transfert par circuits passifs en echelle
Methode de synthese de Darlington (3)
I Finalement on doit realiser l’impedance suivante avec le circuit LC + Rs :
Zin(s) = Rs1− ρ(s)
1 + ρ(s)ou Zin(s) = Rs
1 + ρ(s)
1− ρ(s).
avec ρ(s) une fonction determinee a partir des H(s), Rs et Rl specifes.I Reste a realiser un de ces Zin(s) par un quadripole LC termine par Rl .I Nous n’etudierons pas cette question formellement, mais illustrons les
possibilites par un exemple.I Supposons que la fonction de transfert a realiser est H(s) = 1/D(s), ou
D(s) est un polynomes dont les racines sont a gauche du plan complexe(ex : Butterworth, Tchebychev, . . . ).
I Tous les zeros de H(s) sont a l’infini, et la fonction de transfert peut etrerealisee par un circuit de Cauer (premiere forme)
+
-
Vi
+
-
Vo ou+
-
Vi
+
-
VoRlC1
L2 L1
C2 Rl
Rs Rs
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Introduction
Realisations passives de fonctions de transfert
Apercu de synthese de fonction de transfert par circuits passifs en echelle
Methode de synthese de Darlington (4) : realisation de Cauer
I La methode de Cauer pour synthetiser le circuit precedent repose surl’expression de Zin(s) en fraction continue
Zin(s) = k1s +1
k2s +1
k3s + · · ·
ou Zin(s) =1
k1s +1
k2s +1
k3s + · · ·
, ki > 0
I Par exemple pour le premier cas Zin(s) = k1s + 1Y2(s)
, Y2(s) = k2s + 1Z3(s)
,. . . , a l’interpretation
k1 H
Y2
k1 H
k2 F
Z3
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Introduction
Realisations passives de fonctions de transfert
Apercu de synthese de fonction de transfert par circuits passifs en echelle
Methode de synthese de Darlington (5) : Exemple
I Realiser H(s) = Ks3+2s2+2s+1
= KD(s)
, filtre de Butterworth d’ordre 3, a l’aided’un circuit LC de Darlington, avec Rl = Rs = 1Ω.
I On a necessairement K = 1/2 : gain statique qui se lit immediatement surle circuit de Darlington.
I D’autre part
|ρ(jω)|2 = 1− 4Rs
Rl|H(jω)|2 = 1− 1
1 + ω6=
ω6
1 + ω6
=(−s2)3|s2=−ω2
D(s)D(−s)|s=jω=
s3(−s)3|s=jω
D(s)D(−s)|s=jω
implique ρ(s) = s3
D(s).
I Apres calcul, une des deux solutions pour Zin(s) est
Zin(s) =2s2 + 2s + 1
2s3 + 2s2 + 2s + 1
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Introduction
Realisations passives de fonctions de transfert
Apercu de synthese de fonction de transfert par circuits passifs en echelle
Methode de synthese de Darlington (5) : Exemple (suite)
I Comme lims→∞ Zin(s) = 0, on cherche la deuxieme forme de fractioncontinue
Zin(s) =1
k1s +1
k2s +1
k3s + · · ·
, ki > 0
I Calculs par divisions successives (inverser la fraction restante chaque fois) :
Yin(s) =2s3 + 2s2 + 2s + 1
2s2 + 2s + 1= s +
s + 1
2s2 + 2s + 1,
2s2 + 2s + 1
s + 1= 2s +
1
s + 1
⇒Zin(s) =1
s +1
2s +1
s + 1
⇒ C1 = 1F , L2 = 2H,C3 = 1F ,Yl = 1S
I N.B. : Ici on obtient Yl = 1 = 1/Rl , compatible avec notre specification.En general, pour Rl 6= Rs , il se peut qu’une des deux solutions pour Zin(s)ne fonctionne pas.
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Introduction
Synthese globale de filtre actifs
Outline
Realisations passives de fonctions de transfertPrototypes passifs de filtres passe-bas en echelle et denormalisationApercu de synthese de fonction de transfert par circuits passifs en echelle
Synthese globale de filtre actifsConvertisseur d’impedance generalise et simulation de circuits en echelleSynthese globale par modeles d’etat
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Introduction
Synthese globale de filtre actifs
Techniques de synthese globale de filtre actifs
Parmi les techniques de synthese directe de filtres actifs, nous allons couvrir lesdeux suivantes :
I Simulation de circuits passifs en echelle
I On part des circuits synthetises dans la section precedente, puis on cherchea supprimer les bobines a l’aide de composants actifs
I Surtout utile pour les filtres a frequences moderees, ou les bobines seraientgrosses et les composants actifs se comportent bien
I Synthese globale par filtre a variable d’etat
I Generalise le filtre d’ordre 2 a variable d’etat rencontre au cours 4
I Avantage : methode completement generale pour synthetiser n’importequ’elle fonction de transfert, et applicable sans difficultes. Grande libertedans le reglage des parametres.
I Desavantage : nombre de composants necessaires relativement grand(jusqu’a n + 2 AO pour un filtre d’ordre n)
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Introduction
Synthese globale de filtre actifs
Convertisseur d’impedance generalise et simulation de circuits en echelle
Outline
Realisations passives de fonctions de transfertPrototypes passifs de filtres passe-bas en echelle et denormalisationApercu de synthese de fonction de transfert par circuits passifs en echelle
Synthese globale de filtre actifsConvertisseur d’impedance generalise et simulation de circuits en echelleSynthese globale par modeles d’etat
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Introduction
Synthese globale de filtre actifs
Convertisseur d’impedance generalise et simulation de circuits en echelle
Convertisseur d’impedance generalise
+-
+-
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
A
Z
A
Z =Z1Z3Z5
Z2Z4
1
2
3
4
Bobine miseà la terre
Applications
Résistance négativedépendant de la
fréquence (FDNR)
VA = V2 = V4 =: V , I =V − V1
Z1
V1 − V
Z2+
V3 − V
Z3= 0,
V3 − V
Z4+−V
Z5= 0
⇒ Z =V
I=
Z1Z3Z5
Z2Z4
2 cas importants :
I Tous les Zi resistances, sauf Z2 (ou Z4)condensateur → bobine simulee
Z =R1R3R5
R4(1/jωC2)= jωL, L =
R1R3R5C2
R4
I Tous les Zi resistances, sauf Z1 et Z5
condensateurs → FDNR
Z =(1/jωC1)R3(1/jωC5)
R2R4= − 1
ω2D,
avec D =R2R4C1C5
R3
Version du 20 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c©Le Ny, J. 28/38
Introduction
Synthese globale de filtre actifs
Convertisseur d’impedance generalise et simulation de circuits en echelle
Bobines flottantes et FDNR
I Le CIG permet donc de simuler, entre autres, des bobine Z(s) = Ls et desFDNR Z(s) = 1
Ds2 , dans les deux cas avec un des terminaux mis a la terre.
I Les bobines dont aucun terminal n’est mis a la terre peuvent aussi etresimulees par des circuits RC actifs, mais ces derniers sont plus complexeset moins performants.
I En presence de telles bobines flottantes, et si les condensateurs sont mis ala terre, on peut contourner le probleme grace a la transformationsuivante :
I Diviser toutes les impedances par jω (ou par s) ne change pas une fonctionde transfert qui est un rapport de tensions ou de courant (sans unite).
I Par cette division : les resistances deviennent des capacitances, les bobinesde resistances, et les condensateurs des FDNRs
R → R
jω=
1
jωR−1, L→ jωL
jω= L ,
1
jωC→ 1/jωC
jω= − 1
ω2C
Version du 20 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c©Le Ny, J. 29/38
Introduction
Synthese globale de filtre actifs
Convertisseur d’impedance generalise et simulation de circuits en echelle
Suppression d’une bobine flottante a l’aide d’un FDNR : illustration
R → R
jω=
1
jωR−1, L→ jωL
jω= L ,
1
jωC→ 1/jωC
jω= − 1
ω2C
=+ C
LR
=+ C
LR-1+
-
ViVi Vo
+
-
Vo
I Les deux circuits ci-dessus ont la meme fonction de transfert Vo (s)Vi (s)
I Dans certains cas, cette transformation ne suffit pas (ex : passe-bande), etil faudra vous reporter a la litterature sur la simulation de circuits enechelle.
Version du 20 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c©Le Ny, J. 30/38
Introduction
Synthese globale de filtre actifs
Convertisseur d’impedance generalise et simulation de circuits en echelle
Exemple
I Le circuit suivant est un prototype passe-bas normalise (i.e., avec ωp = 1)de filtre elliptique d’ordre 5.
=+
+
-
1 Ω
1 Ω 1.02789 H
L1L2
C2
L3L4
C4
L5R
R VoVi0.15134 H
1.21517 F
0.44083 H
1.63179 H 0.81549 H
0.93525 F
I Denormaliser ce circuit pour obtenir un passe-haut avec ωp = 2π× 300 Hzet R = 100 kΩ.
I Donner une implementation active de ce circuit n’utilisant pas de bobine.
Version du 20 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c©Le Ny, J. 31/38
Introduction
Synthese globale de filtre actifs
Synthese globale par modeles d’etat
Outline
Realisations passives de fonctions de transfertPrototypes passifs de filtres passe-bas en echelle et denormalisationApercu de synthese de fonction de transfert par circuits passifs en echelle
Synthese globale de filtre actifsConvertisseur d’impedance generalise et simulation de circuits en echelleSynthese globale par modeles d’etat
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Introduction
Synthese globale de filtre actifs
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Variables d’etat
I Probleme : synthetiser une fonction de transfert (sans zero pour l’instant)
H(s) =Y (s)
U(s)=
1
sn + an−1sn−1 + . . .+ a0
I D’apres MTH1115, cette fonction de transfert correspond a l’EDO lineaire
y (n) + an−1y (n−1) + . . .+ a1y + a0y = u
qui se transforme en systeme d’EDO suivant (prendrex0 = y , x1 = y , . . . , xn−1 = y (n−1))
x0 = x1
x1 = x2
...
xn−1 = −an−1xn−1 − . . .− a1x1 − a0x0 + u
I x0, x1, . . . , xn−1 sont n variables d’etat du systeme
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Realisation en schema bloc
I Le systeme precedent
x0 = x1, x1 = x2, . . . xn−2 = xn−1
xn−1 = −an−1xn−1 − . . .− a1x1 − a0x0 + u
se realise immediatement a l’aide de n integrateurs et une combinaisonlineaire supplementaire
1
s
1
s
1
s
x0 = y1
s
x1 = x0x2xn2xn1+u xn1
a0an1 a1
- --
I Pour une implementation, on realise plus facilement des integrateursinverseurs Vo = − 1
RCsVi , ce qui nous oblige a une petite variation
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Realisation par circuit actif (cas n impair)
1
RCs 1
RCs 1
RCs 1
RCs
Vo
V1
= sRCVo
V2
V3
V4
Vi-+
-+Va
(0 V )
Ri
Ra
Ra R1
R2
R3
R4
C4
R0
Va = −(
Ra
R1V1 +
Ra
R3V3
)Somme a l’AO d’entree :
Vi
Ri+
Va
Ra+ sC4V4 +
V4
R4+
V2
R2+
Vo
R0= 0
Vi
Ri+
(1
R0+
RC
R1s +
(RC)2
R2s2 +
(RC)3
R3s3 +
(RC)4
R4s4 + (RC)4C4s5
)Vo = 0
I On peut donc ajuster tous les coefficients de la fonction de transfert
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Filtres a variable d’etat : forme generale
I Dans le cas general (avec numerateur pas necessairement constant)
H(s) =Y (s)
U(s)=
cn−1sn−1 + . . . c1s + c0
sn + an−1sn−1 + . . .+ a0
On realise X0 comme avant X0(s)U(s)
= 1sn+an−1sn−1+...+a0
, puis
Y (s) = cn−1sn−1X0 + . . . c0X0 = cn−1Xn−1 + . . .+ c0X0
1
s
1
s
1
s
1
s
x1 = x0x2xn2xn1+u xn1
a0an1 a1
- --
c0
x0
c1cn1
y
++
+
I Un AO supplementaire pour la combinaison lineaire en sortieI Forme canonique commandable d’une fonction de transfert
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Exemple
I Concevoir un filtre de Tchebychev a l’aide d’un circuit a variable d’etat,avec les specifications suivantes
I Bande passante 1000 rad/sI Amax = 0.1 dBI Amin = 40 dB pour ω ≥ 6000 rad/s
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Conclusion
I Nous avons presente dans cette serie de cours quelques demarchesclassiques pour la conception de circuits analogiques (actifs ou passifs)realisant des fonctions de filtrage de base : depuis le choix d’un gabarit,jusqu’a l’utilisation de methodes de synthese.
I Recapitulatif sur les choix technologiques :I L’utilisation des AO est possible pour des frequences pas trop elevees. Nous
verrons au prochain cours la raison de cette limite, qui est la chute du gainen boucle ouverte quand la frequence augmente.
I Les methodes couvertes ici sont assez generales mais ont certaines limites,en particulier pour la fabrication de circuits integres monolithiques (parexemple en raison de la trop grande precision requise pour les produits RC).D’autres techniques (filtres gm-C , a capacites commutees, . . . ) sontutilisees dans ce cas (application par exemple aux systemes decommunication). Il y a encore de la recherche dans ce domaine.
I A tres hautes frequences (ou pour un faible bruit), on doit utiliser desbobines, mais elles peuvent alors etre de petite taille et posent donc moinsde problemes.
I Les choix de conception pratiques sont aussi generalement dictes par desconsiderations de cout, de complexite, et surtout de robustesse auxvariations des parametres des composants. Le prochain cours nous donneraun apercu des aspects non ideaux des composants utilises jusqu’ici.
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