ELC-STA Diap-Chp.2 Champ Et Potentiel

ELC-1111 LECTROSTATIQUE

CHAMP ET POTENTIEL

LECTROSTATIQUES

Chapitre

2

Prof. Mourad ZEGRARI

UNIVERSIT HASSAN II DE CASABLANCAcole Nationale Suprieure dArts et MtiersDpartement de Gnie lectrique

Champ et Potentiel lectrostatiqueslectrostatique M. ZEGRARI 2

Plan

Introduction

Forces lectrostatiques

Champ lectrostatique dans le vide

Potentiel lectrostatique

nergie potentielle

Diple lectrostatique

Mouvement des particules charges

lectrostatique


Introduction

lectrostatique : tude des phnomnes dinteraction entre corps

lectriss.

lectrisation dun corps : apparition de charges lectriques.

lectron : charge lmentaire ngative : qe = -1.610-19 C

Proton : charge lmentaire positive : qp = 1.610-19 C

Neutron : charge lmentaire neutre : qn = 0 C

La charge lectrique est exprime en Coulomb (C).

Llectrisation dun corps nat du dsquilibre entre le nombre

dlectrons et de protons du corps.

lectrostatique


Mise en vidence

Une tige en plastique est lectrise par frottement.

Une force dattraction apparat et modifie la position dquilibre.

Force lectrostatique.

Corps isolants : charge conserve l o le frottement a eu lieu.

Corps conducteurs : charge rpartie sur toute la surface.


Tige de plastique

PapierAttraction


Loi de Coulomb

Deux charges ponctuelles qA et qB places la distance AB = r :

Force exerce par qA sur qB :

Vecteur unitaire :

Coefficient k dans le vide :

Permittivit absolue du vide :


rA

qA

FA/B

FB/A

u

B

qB

A B A BA / B 22

q q q q ABF k u k

r ABAB

AB ru

rAB

9 2 20

1k 9 10 N.m / C

4

12 2 20 8.85 10 C / N.m


Proprits de la Loi de Coulomb

Dans un milieu autre que le vide de permittivit r :

Principe daction et de raction :

Force dpend de la nature des charges :

Forces rpulsives si :

Forces attractives si :


A B A BA / B

2 2

0 r

q q q q1 1F u u

4 r 4 r

Charles de Coulomb (1736-1806)

0 r

A/ B B/ AF F

ouA B

A B

A B

q 0 et q 0

q q 0

q 0 et q 0

ouA B

A B

A B

q 0 et q 0

q q 0

q 0 et q 0

A

+q +q

FB/A B FA/B

A

+q +q

FB/A BFA/B


Exemple 1.1

On considre un atome dhydrogne de rayon : r = 0.5310-10 m

Calculer la force de Coulomb FC (lectrostatique) exerce entre un

lectron et un proton.

Calculer la force de Newton FN (gravitation) appliqu entre un

lectron et un proton.

Comparer ces forces en calculant le rapport FC/FN.

Donnes :

Quantits de charges : |q| = 1.610-19 C

Masses des charges : me = 9.1110-31 kg ; mp = 1.6710

-27 kg

Coefficient gravitation : G = 6.6710-11 (N.m/kg)



Exemple 1.1

Calculer la force lectrostatique exerce entre un lectron et un proton dun atome

dhydrogne. Le rayon de latome est : r = 0.5310-10 m

Quantits des charges lectriques :

Force lectrostatique de Coulomb :

Comparaison avec la force de gravitation :

G = 6.6710-11 (N.m/kg) me = 9.1110-31 kg et mp = 1.6710

-27 kg

Force de gravitation (Loi de Newton) :

Comparaison des deux forces :


19

p eq q e 1.6 10 C

21929 8

C 22 100

1.6 101 eF 9 10 8.2 10 N

4 r 0.53 10

p e 47

G 2

m mF G 3.61 10 N

r

839C

47

G

F 8.2 102.3 10

F 3.61 10

attractive


Loi de Coulomb gnralise

Ensemble de charges ponctuelles qi :

Principe de superposition :

A1

M

q

Fn

A2

An

q1

q2

qn

F2

F1

FT

n ni

iT i2i 1 i 10 i

q qF F u

4 r

r1

Somme vectorielle



Exemple 1.2

Trois charges ponctuelles identiques q > 0 places aux sommets d'un triangle quilatral de ct a. On place une charge q0 < 0 au centre O de ce triangle.

Dterminer la force lectrostatique totale F laquelle est soumise la charge q0.

Force totale exerce sur q0 :


O A B CF F F F 0 Charge q0 en quilibre.

FA

q0

A

FB FC

uA

B Cqq

q

O

uCuBr

OA = OB = OC = rr

a a

a


Mise en vidence

Deux charges qA et qB places proximit dune charge q0.

Les charges qA et qB subissent des forces lectrostatiques.

Ces forces sont dues au champ lectrostatique cr par q0 :

Le champ lectrostatique est exprim en Volt par mtre (V/m).

Champ lectrostatique

O

FA

FB

A

qA 0

qB 0

Bq0 0

F qE

FE

q


Cas dune charge ponctuelle

Deux charges qA et qB places la distance AB = r.

Force de Coulomb exerce par qA sur qB :

Champ lectrostatique cr par qA au point B :

Expression gnralise, charge q au point O la distance OM = r :


r FA/BE(B)A

qA

B

qB

A BA / B

2

0

q q1F u

4 r

A / B A

B2

B 0

qF 1E u

q 4 r

M 20

q1E u

4 r


Cas dune distribution discontinue

Ensemble de charges ponctuelles qi :

Principe de superposition :


A1

M

En

A2

An

q1

q2

qn

E2

E1

ET

n ni

iT i2i 1 i 10 i

q1E E u

4 r

r1

Somme vectorielle


Exemple 1.3

Une distribution de charges comporte quatre charges ponctuelles q1, q2, q3 et q4 places

aux sommets A, B, C et D dun carr de ct 1 cm.

Calculer le champ lectrostatique total cr au centre O de ce carr.

On donne : q1 = q4 = 10-8 C ; q2 = q3 = - 0.510

-8 C


q1

+

+

-

-

q2

q3q4

A B

CD

ex

ey

O

r1

r4

r2

r3

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm


Exemple 1.3

Une distribution de charges comporte quatre charges ponctuelles q1, q2, q3 et q4 places

aux sommets A, B, C et D dun carr de ct 1 cm.

Calculer le champ lectrostatique total cr au centre O de ce carr.

On donne : q1 = q4 = 10-8 C ; q2 = q3 = - 0.510

-8 C

Application du principe de superpositions :

Champ rsultant au point O


q1

+

+

-

-

q2

q3q4

A B

CD

E1

E3

E4

E2ex

ey

ETO

r1

r4

r2

r3

n 4i

iT i2i 1 i 10 i

q1E E u

4 r

2 2

1 2 3 4

1r r r r 0.5 0.5 cm

2 1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

4 41 1

(O) x x

0 0

q q10 10 2E 3cos e 3 e

4 2 4 2 2

9 12 3(O) x x

3 2E 9 10 10 e 9.55 10 e

4


Cas dune distribution continue

La charge peut tre rpartie dune faon continue sur une ligne, une

surface ou un volume.

On choisit une charge lmentaire dq suffisamment petite.

Le champ rsultant est calcul daprs le principe de superposition :

Distribution discontinue :

Distribution continue :


ii i2

0 i

q1E u

4 r

Sommation

n ni

iT i2i 1 i 10 i

q1E E u

4 r

2

0

dq1dE u

4 r

Intgration T 2

charg e charg e0

dq1E dE u

4 r


Distribution Linique

La charge est rpartie sur toute une courbe (C).

Si est constante densit uniforme.

Champ lmentaire cr au point M :

Champ total cr par la courbe (C) :


: densit linique de charge (C/m).

2 2

0 0

ddq1 1dE u u

4 r 4 r

T 2Courbe C0

d1E dE u

4 r

dq

d

M

r

d

dE

(C)

u


Exemple 1.4

Calculer le champ lectrostatique cr par une ligne indfinie, charge avec

une densit uniforme, en tout point M situ la distance d de la ligne.

Champ lmentaire cr par d :

Par symtrie, le champ est sur laxe OX :

Champ rsultant au point M :


M

r

d

()

u

eyd

dE'

d'

Xex

dE

dET

2 2

0 0

ddq1 1dE u u

4 r 4 r

T x x2

0

d cosdE dEcos e e

4 r

d dcos r

r cos

2

ddtg d d

cos

/ 2

T T x x x

fil / 20 0

E dE e cos d e e4 d 2 d

T x

0

E e2 d


Distribution Surfacique

La charge est rpartie sur toute une surface (S).



Champ total cr par la surface (S) :


: densit surfacique de charge (C/m2).

2 2

0 0

dSdq1 1dE u u

4 r 4 r

T 2Surface S0

dS1E dE u

4 r

dq

dS

Mr

dS

dE

(S)

u


Distribution Volumique

La charge est rpartie sur tout un volume ().



Champ total cr par le volume () :


: densit volumique de charge (C/m3).

2 2

0 0

ddq1 1dE u u

4 r 4 r

T 2Volume S0

d1E dE u

4 r

dq

d

Mr

d

dE()

u


Lignes de champ

Courbe tangente en chacun de ses points au vecteur champ associ.

quation caractristique :


M

N

P

E(M)

E(N)

E(P)

Ligne de champ

d E 0


Surface de niveau

Ensemble de points o le module du champ lectrique est constant.

Exemple : charge ponctuelle


teE r k C

0

q1E

4 r

Surfaces de

niveau

q

+Mr E(M)

N

E(N)

Lignes de champ

q

+


Proprits du champ lectrostatique

Tube de champ

Surface forme par un ensemble de lignes de

champ qui sappuient sur un contour ferm.

Champ uniforme

Le vecteur champ lectrostatique garde les

mmes proprits (module, direction, sens).

Lignes de champ = droites parallles.


Ligne de champ

+

+

+

+

+

E --

-

-

-

-


Circulation du champ lectrique

Circulation lmentaire de M vers M :

Soit :

Circulation totale de A vers B :

Soit :


d E.d Ed cos C

dr d cos

C2

0

q drd Edr

4 r

O

q

M

M'

d

r

r'

A

B

rA

rB

u

E (M)

C CB

A

rBB

A 2A r0

q drd

4 r

B

A

0 A B

q 1 1

4 r r

C Circulation indpendante de la trajectoire choisie.

Circulation nulle pour un parcours ferm.

dr


nergie du champ lectrostatique

Charge q0 place au point M Force lectrostatique.

Travail lmentaire :

Sur un parcours ferm :

Soit :

Force lectrostatiques conservatives nergie potentielle Ep


O

q

M

M'

d

r

u

E (M) F

0 0dW F.d q E.d q d C

0W q C

q0 dr

M

M M 0 MW q 0 C

M

M

0

q 1 1E.d 0

4 r r

C


nergie du champ lectrostatique

Formulation du travail lmentaire :

Force ayant tendance dplacer q0

Pour positionner q0 au point M :

Fournir une nergie potentielle Epoppose au travail de la force F :

Soit :


0

2

0

qq drdW F.d Fdr

4 r

O

q

M

M'

d

r

u

E (M) F

q0 dr

PdE dW

0P rf

0

qq 1E E

4 r

0P 2

0

qq drE dW

4 r


Dfinition du potentiel lectrostatique

Fonction scalaire introduite par Lagrange : Relation Force-nergie

Le champ lectrostatique dcrot le potentiel :

Si on introduit la notion dnergie lectrostatique :

Soit :

Le potentiel lectrostatique V traduit laspect nergtique du champ.


dV E.d d C

P 0dE dW q d C

P 0dE q dV


Potentiel cr par une charge ponctuelle

Soit q une charge place au point O et M un point la distance OM = r

La variation dV du potentiel au point M est :

Potentiel cr au point M :

Convention : V() = 0 k = 0


O

q

M

r

V (M)20

q drdV Edr

4 r

M

0

q 1V k

4 r


Potentiel cr par une distribution

Distribution discontinue :

Distribution continue :

Linique () :

Surfacique () :

Volumique () :


ii

0 i

q1V

4 r

Sommation

n ni

iMi 1 i 10 i

q1V V

4 r

(M)

(C)0

1 dV

4 r

0

dq1dV

4 r

Intgration

M

q q0

dq1V dV

4 r

(M)

(S)0

dS1V

4 r

(M)

( )0

1 dV

4 r


Exemple 1.5

Sphre de rayon R uniformment charge en surface avec la densit .

Calculer le potentiel cr en tout point de la surface.

Potentiel lmentaire :

Surface lmentaire :

Potentiel total :

Potentiel de la sphre :

Charge lectrique totale :


dS

R

O

0

dSdV

4 R

2dS R sin d d

2

0 0(S)0 0

dS R1V sin d d

4 R 4

0

RV

2

(S) 0

QQ dS 4 R V

4 R

(coordonnes sphriques)


Surface quipotentielle

Rgion de lespace o le potentiel est constant :

Exemple : charge ponctuelle

quipotentielles = Sphres concentrique


teV r k C

0

q1V r

4 r

Surfaces

quipotentielles

E

Lignes de champ

q

+

dV E.d 0 E d Vecteur champ perpendiculaire toute surface quipotentielle.

d

teV r C r k


Relation Champ-Potentiel

Le champ lectrique est fonction de la variation du potentiel :

La relation fondamentale Champ-Potentiel est :


dV E.d d C

x

y x y z

z

E dx

d E E .d dy E dx E dy E dz

E dz

CV V V

dV dx dy dzx y z

x y z

V V VE.d dV E dx E dy E dz dx dy dz

x y z

x x y y z z x y z

V V VE E e E e E e e e e

x y z

E gradV


Exemple 1.6

Deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont places dans un champ uniforme.

Calculer la diffrence de potentiel : VAB = VA VB

Champ uniforme :

Relation fondamentale :

Potentiel lectrostatique :

Diffrence de potentiel :

Expression finale :


X

A

B

xA xB

yA

yB

YChamp E uniformex

E E e

xdV

E gradV E edx

V x E.d Edx

B

AB A B

A

V V V Edx

AB B AV E x x E x


nergie dune charge ponctuelle

Nous avons vu que lnergie potentielle correspond loppos du travail

des forces lectrostatiques :

nergie potentielle au point M :

On dduit la relation Champ-nergie potentielle :

nergie Potentielle

0P 2

0

qq drdE dW

4 r

O

q

Mdr

r

X

u

q0F

(initial)

(final)

M M0 0

P 2

0 0

qq qqdr 1E dW

4 r 4 r

P 0 (M)E q V

PEE gradV gradq

PF qE gradE


nergie dun systme de charges

Systme de deux charges ponctuelles qA et qB :

Potentiel au point A :

Potentiel au point B :

Expression de lnergie potentielle :

nergie potentielle dun systme de N charges ponctuelles :

nergie Potentielle

BA

0

q 1V

4 r

A

qAB

r

qBVB

VA

AB

0

q 1V

4 r

A BP A A B B A A B B0

q q 1 1E q V q V q V q V

4 r 2

N

P i i

i 1

1E q V

2


nergie dune distribution continue

Formulation dduite partir de celle dune distribution discontinue :

V : potentiel au point o se trouve la charge lmentaire dq.

Linique () :

Surfacique () :

Volumique () :

nergie Potentielle

P

(Distrib.)

1E Vdq

2

P(C) (C)

1 1E Vdq V d

2 2

P(S) (S)

1 1E Vdq V dS

2 2

P( ) ( )

1 1E Vdq V d

2 2



Structure de deux charges opposes +q et q situes la distance .

Moment bipolaire :

Exemples de diples :


-q +q

up

B A

p

pp q q u

p

H+ C-

p

C+ O-

p = 0

C+ O-O-

H+

H+

O-p

Structure CO Structure HC Structure CO2Structure H2O


Potentiel cr par un diple

On considre un point M assez loign du diple : OM = r

Potentiel cr au point M :

Expression du potentiel :


M

-q +q

O

= 2a

r2 r1r

p

B AX

Y

2 1

A BM

0 1 2 0 1 2

q q r r1 1V V V

4 r r 4 r r

1 2 1

2

2 1 2

r r acos r r 2acosr

r r acos r r r

r

M 2 2

0 0

q p.ucos 1V

4 r 4 r


Champ cr par un diple

On dtermine le champ lectrique partir du potentiel dj calcul :

Relation Champ-Potentiel :

Expression du champ lectrostatique :


r 3

0

3

0

z

2pcosVE

r 4 r

p sin1 VE E

r 4 r

VE 0

z

2

0

p.u1E grad V grad

4 r

r

M 2 2

0 0

q p.ucos 1V

4 r 4 r

Coordonnes polaires


quipotentielles et lignes de champ

quation des quipotentielles :

quation des lignes de champ :

Soit :


0M 20

q cosV V

4 r

0 0

pcosr

4 V

d E 0

2

Ln r 2Ln sin A Ln sin A

2r K sin

Surfaces

quipotentielles

Lignes de

champ

r

rd cos d d sindr dr2 2

E E r sin sin

K : constante dintgration dont la valeur dfinie les lignes de champ.


Actions dun champ uniforme

Diple lectrostatique de moment p plac dans un champ uniforme.


Diffrence de potentiel

nergie potentielle


Le diple ne subit aucune force de translation.

X

p

Y

Champ E uniforme

F2

F1

xB xA

B

A

E

T 1 2 1 2F F F q E E

TF 0

AB A B A BL

V V V E.d E x x

P ABE qV Eq cos dipleE p.E

ABV E cos

P PA PB A B ABE E E q V V qV


Moment du couple appliqu

Les forces F1 et F2 appliquent au diple un couple de moment T :

On dduit :

Expression du couple :

Le diple trouve une position dquilibre si p et E sont parallles.


X

p

Y

Champ E uniforme

F2

F1

xB xA

B

A

E

dO

T

1 2T T T

1 2T T d F d Fsin .Fsin2

1T 2T .Fsin q .Esin

T p E


Mouvement des charges

Une charge ponctuelle q place dans un champ uniforme E :

Loi de Newton :

Loi de Coulomb :

lquilibre :

Principe de conservation de lnergie :

Soit :

Mouvement des charges

X

Y

Champ E uniforme

vi

Pi

vf

Vi

Pf

Vf

mF ma

cF qE

qa E

m

T i T fE P E P

2 2

i i f f

1 1m qV m qV

2 2 v v

2 2f i i f1

m q V V2

v v

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