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GABRIELLE THÉRIAULT

EFFETS D'OUVERTURES CIRCULAIRES: FOCALISATION DE FAISCEAUX GAUSSIENS ET

MODELAGE D'IMPULSIONS

Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures de l'Université Laval

dans le cadre du programme de maîtrise en physique pour l'obtention du grade de maîtrise (M. Sc.)

Département de physique, de génie physique et d'optique Faculté des sciences et de génie

UNIVERSITÉ LA V AL QUÉBEC

2009

© Gabrielle Thériault, 2009

Resumé

En 1969, Lit et Tremblay [1] ont démontré qu'une série d'ouvertures circulaires dis

posées judicieusement sur un axe peut focaliser une onde sphérique. De telles structures agissent sur les distributions spatiale et spectrale des champs électromagnétiques et , par

un simple facteur d'échelle, elles sont applicables à tout le spectre électromagnétique.

Nous avons vu dans ces structures plusieurs applications potentielles, dont la foca

lisation de rayons X et le modelage d'impulsions laser. Afin d'investiguer la faisabilité éventuelle de ces applications, nous avons effectué des simulations numériques permet

tant d'étudier deux effets causés par une séquence d'ouvertures circulaires disposées

axialement : la focalisation de faisceaux gaussiens et le modelage d'impulsions ultrabrèves.

Les résultats de ces simulations ont montré qu'il est possible de focaliser un faisceau gaussien monochromatique divergent à l'aide de trois ouvertures circulaires coaxiales. Le

point focal obtenu a une intensité allant jusqu'à 16 fois l'intensité du faisceau gaussien

propagé dans le vide et il a une largeur à mi-hauteur transversale d'environ deux fois la longueur d'onde. Dans le cas des impulsions, un point focal a aussi été observé

et, pour les impulsions d'une durée de 20 fs et moins dont le spectre est centré sur

800 nm, l'impulsion est dédoublée temporellement. Les structures étudiées peuvent

donc être adaptées à la focalisation de rayons X et au modelage fréquentiel et temporel

des impulsions brèves. Les calculs présentés dans ce mémoire peuvent aussi aider à

prévenir des effets indésirables de focalisation de faisceaux ou d'impulsions brèves se

propageant dans certaines nanostructures.

À Etienne, mon demi-pamplemousse.

L'important, en science, n'est pas tant

d 'obtènir de nouveaux faits que de

trouver de nouvelles façons de les

interpréter.

- Sir William Lawrence Bragg (Traduction libre de l'anglais)

Table des matières

Resumé

Table des matières

Liste des symboles et des acronymes

1 Introduction 1.1 Problématique ..... .

1.2 Structure de ce mémoire

1.3 Théorie sur la diffraction

1.3.1 Intégrale de diffraction de Fresnel

1.3.2 Transformée de Fourier-Bessel ..

1.3.3 Ellipsoïdes de Fresnel . . . . . . .

1.3.4 Configurations à plusieurs ouvertures

2 Diffraction par une ouverture 2.1 Diffraction d'une onde plane uniforme.

2.1.1 Analyse théorique ...... .

2.1.2 Résultats numériques .... .

2.2 Diffraction d'une onde paraboloïdale

2.2.1 Analyse théorique .... .

2.2.2 Résultats numériques .. .

2.3 Diffraction d'un faisceau gaussien

3 Effets focalisants 3.1 Diffraction par 3 ouvertures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1 Comparaison des résultats numériques et expérimentaux

3.1.2 Effet de la taille du faisceau sur la focalisation ..

3.1.3 Effet du rayon de l'ouverture sur la focalisation

3.1.4 Effet de la distance de travail sur la focalisation

3.2 Diffraction par un cylindre

3.3 Focalisation de rayons X ................ .

ii

iv

VI

1

1

2

3

3

4

4

6

8

8

8

Il

12

12

14

15

17 17

18

19 21

22

23

26

Table des matières

4 Effets de modelage d'impulsion 4.1 Diffraction par une ouverture ................. .

4.1.1 Comparaison avec les résultats expérimentaux publiés.

4.1.2 Analyse temporelle .

4.2 Diffraction par 3 ouvertures

4.2.1 Analyse spectrale .

4.2.2 Analyse temporelle

5 Conclusion 5.1 Diffraction par une ouverture

5.2 Effets focalisants ...... .

5.3 Effets de modelage d 'impulsion

Bibliographie

A Algorithme

v

28 28

28

30

32 32 34

36

36

37

38

40

42


a

Ao

B{f(r)} (3

c

~d

~cjJ

~t

f(t) fi (ri) F(w) FFT

FG FWHM FWHML

FWHMT

r Jo(r) 10

IUB

k

L

À

Ào

M

N

NF OPU

OP

Rayon de l'ouverture

Amplitude complexe constante

Partie réelle de r , contrôle la durée T de l'impulsion

Transformée de Fourier-Bessel de la fonction f (r) Partie imaginaire de r , contrôle le glissement de fréquence

Vitesse de la lumière, en mis Déplacement d'une ouverture par rapport à sa position initiale

Différence de phase associée à deux parcours

Délai temporel entre deux parcours

Amplitude temporelle d'un champ

Amplitude du champ dans le plan i

Amplitude spectrale d'un champ

Transformée de Fourier rapide (Fast Fourier Transform) Faisceau gaussien

Largeur totale à mi-hauteur (Full Width at Half-Maximum) Largeur totale à ll1i-hauteur longitudinale

Largeur totale à mi-hauteur transversale

Paramètre complexe gaussien de l'impulsion (r == Cl: - j(3) Fonction de Bessel d'ordre 0

Intensité due à une propagation libre

Intensité maximale d'une distribution d'intensité

lm pulsion ul trabrève

Nombre d'onde (k == 27r 1 À) Fréquence spatiale radiale (~ == r 1 ÀL )

Distance entre les deux foyers d'un ellipsoïde Longueur d'onde

Longueur d'onde centrale d'un spectre

Nombre de Fresnel d'un ellipsoïde de Fresnel (M == N + 2) Nombre de Fresnel d'un ellipsoïde de Fresnel

Nombre de Fresnel d'une ouverture (NF == a2 /Àz) Onde plane uniforme

Onde paraboloïdale


P

Pi p(r) r· 1,

P t

T

()

u, v

Un ( U, V), Vn ( U, v )

w

Point quelconque sur la surface d 'un ellipsoïde

Plan transversal, situé à une distance Zi de l'origine Fonction pupillaire

Rayon dans le plan Pi, distance de l'axe optique

Rayon normalisé dans le plan Pi (r~ == ri/a) Distance entre un foyer d 'un ellipsoïde et le point P Temps, en secondes

Durée temporelle d 'une impulsion T == J21n 2/ Œ

Coordonnée azimutale

Variables utilisées dans les fonctions de Lommel

Fonctions de Lommel

Fréquence angulaire (w == 27rc/ À) Fréquence angulaire centrale d'un spectre (wo == 27rc/ Ào) Distance entre le plan ~ et l'origine

VIl

Chapitre 1

Introduction

1.1 Problématique

Vers la fin des années 1960, un groupe de l'Université Laval a étudié la diffraction

dans le régime des micro-ondes (À == 1.25 cm) par une série d'ouvertures circulaires

disposées sur un axe [1- 5], et ils ont découvert que ces structures peuvent focaliser une

onde sphérique. Cet effet, très sensible à la position et aux dimensions des ouvertures,

dépend aussi fortement de la longueur d'onde. De telles structures agissent donc sur

la distribution spatiale et spectrale des champs électromagnétiques et, par un simple

facteur d'échelle, elles sont applicables à tout le spectre électromagnétique. Nous avons

vu dans ces structures plusieurs applications potentielles, dont la focalisation de rayons

X et le modelage d'impulsions laser. Toutefois, avant de pouvoir développer des ap

plications, il est nécessaire de caractériser les effets de ces structures sur des champs électromagnétiques plus généraux que les ondes sphériques, notamment les faisceaux

gaussiens monochromatiques et pulsés.

À notre connaissance, le seul effet de ces structures qui a été observé de manière

expérimentale est celui de la focalisation d'une onde sphérique monochromatique avec

une longueur d'onde de 1.25 cm [1, 4, 5]. Le but de nos travaux est donc d'étudier

deux effets causés par une séquence d'ouvertures circulaires disposées axialement : la

focalisation de faisceaux gaussiens et le modelage d'impulsions ultrabrèves.

Pour connaître l'expression du champ électromagnétique à la sortie d'un système

d'ouvertures circulaires coaxiales, le champ à l'origine doit être propagé d'une ouverture

à l'autre, jusqu'à la sortie du système et ensuite jusqu'au plan d'observation. La dif

fraction causée par chaque ouverture rend les champs propagés impossibles à résoudre

Chapitre 1. Introduction 2

analytiquement pour un faisceau quelconque, donc nous avons développé un algorithme

de calcul numérique. Cet algorithme est à la base de tous nos résultats et il utilise la

transformée de Fourier-Bessel pour évaluer l'intégrale de diffraction de Fresnel [6]. Il permet de calculer le champ dans un plan d 'observation quelconque, tant que les dis

tances entre les différents éléments sont dans la limite paraxiale, et ce, peu importe le nombre d 'ouvertures circulaires ou la forme spectrale et spatiale du champ à l'origine.

1.2 Structure de ce mémoire

Dans un premier temps , puisque les effets étudiés ici sont causés par la diffraction, le reste de ce chapitre expose les aspects théoriques de la diffraction qui supportent ces travaux (section 1.3).

Au chapitre 2, il est question de caractériser la diffraction par une ouverture circulaire. Pour ce faire, nous avons analysé la diffraction de diverses formes d'ondes par une

seule ouverture, du cas le plus simple au cas plus général. Les effets de focalisation en champ intermédiaire causés par la diffraction d'une onde plane uniforme par une ouver

ture circulaire (section 2.1) sont bien connus [7, 8], et les résultats analytiques valident

nos premiers calculs numériques. Les résultats de la diffraction en champ intermédiaire

par une ouverture circulaire sont aussi présentés à la section 2.2 pour le cas d 'une onde

sphérique et à la section 2.3 pour le cas d'un faisceau gaussien.

Le chapitre 3 sert à vérifier et valider les effets focalisants de structures axiales circulaires à l'aide de calculs numériques de propagation d'onde. Nous avons donc étudié les effets causés par une séquence de trois ouvertures (section 3.1) et par un cylindre (section 3.2).

Finalement, au chapitre 4, nous avons utilisé les méthodes de calculs numériques dé

veloppées pour étudier les effets de modelage d'impulsion causés par de telles structures.

Encore une fois, nous avons commencé par le cas plus simple avant de complexifier la

chose. Nous présentons donc la diffraction par une seule ouverture (section 4.1), avant de passer à l'étude du cas à trois ouvertures (section 4.2).


1.3 Théorie sur la diffraction

Cette section rassemble et met en contexte les éléments de théorie qui se trouvent

dans la littérature actuelle afin de présenter les problématiques abordées dans ce mé

moire. C'est aussi l'occasion d 'introduire la terminologie et les équations de base afin de rendre ce document autoconsistant.

Tout d 'abord, nous introduirons l'intégrale de diffraction de Fresnel (section 1.3.1)

et la transformée de Fourier-Bessel (section 1.3.2), qui serviront à évaluer la propa

gation d'un champ initial connu. Nous discuterons ensuite des ellipsoïdes de Fresnel

(section 1.3.3) et de leur utilité dans la conception de systèmes focalisants. Finalement , nous présenterons les configurations à plusieurs ouvertures qui seront étudiées plus en

détail dans les prochains chapitres (section 1.3.4).

1.3.1 Intégrale de diffraction de Fresnel

Lorsqu'on souhaite déterminer l'évolution, en fonction de la position z , d'un champ

initial connu dans un plan transversal donné, il est pratique d'utiliser une forme inté

grale de l'équation d'onde paraxiale. Dans ce mémoire, nous utiliserons l'intégrale de

diffraction de Fresnel, aussi appelée intégrale de Fresnel-Kirchhoff. Elle prend la forme

suivante dans la géométrie cylindrique lorsqu'il y a symétrie de révolution autour de

l'axe de propagation z, c'est-à-dire lorsque le champ est indépendant de la coordonnée azimutale e [8] :

(1.1)

Dans l'équation (1.1), fl(rl) est l'amplitude dans le plan initial Pl (à z == Zl) alors que f2(r2) représente l'amplitude dans le plan P2 (à Z == Z2), c'est-à-dire après

propagation sur une distance Z2 - Zl, et k est le nombre d'onde (défini par k == 21f / À) . Pour une ouverture circulaire de rayon a, située dans le plan Pl, la fonction pupillaire

Pl(rl) vaut un dans l'ouverture et zéro ailleurs. Le cas exprimé par l'équation (1.1) est représenté à la figure 1.1.

Chapitre 1. Introduction

z

FI G URE 1.1 - Schéma de l'intégrale de diffraction de Fresnel pour une ou verture.

1.3.2 Transformée de Fourier-Bessel

4

Afin de résoudre numériquement l'intégrale de diffraction de Fresnel en coordonnées

cylindriques, il est parfois utile d'avoir recours à la transformée de Fourier-Bessel (trans

formée de Fourier bidimensionnelle en coordonnées circulaires, aussi appelée transformée

de Hankel d'ordre 0). On définit la transformée de Fourier-Bessel par l'équation (1.2),

où ~ == T2/ À(Z2 - Zl) est la fréquence spatiale radiale [9] :

B{f(rd} = 27r 100

f(rl)JO( 27rKrl) ri drlo (l.2)

L'intégrale de diffraction de Fresnel en coordonnées cylindriques peut s'exprimer au

moyen d'une transformée de Fourier-Bessel :

]'e- jk(Z2- Z1) { } h( r2) = À( Z2 _ Zl) B ft (rl)Pl (ri )e-jk(ri+r~)/2(z2-Z,) 0 (1.3)

La transformée de Fourier-Bessel peut être évaluée numériquement, grâce à sa forme

quasi discrète [6]. Cette transformée présente un coût d'opération plus faible qu'une

transformée de Fourier rapide (communément appellée FFT) car elle résout l'intégrale

sur l'axe r seulement, au lieu de la résoudre dans un plan complet. Dans le cas de la

diffraction par une séquence d'ouvertures, la transformée de Fourier-Bessel est aussi

utilisée pour résoudre l'intégrale de diffraction de Fresnel, mais de manière séquentielle.

1.3.3 Ellipsoïdes de Fresnel

Un ellipsoïde est décrit par l'ensemble des points dont la somme des distances jusqu'à

deux points fixes (foyers) est constante. Ainsi, la distance Pl + P2 est une constante quand


le point P est un point sur un ellipsoïde dont les foyers sont situés à (" z) == (0 , 0) et

(0, L) (voir la figure 1.2). Cet ellipsoïde est défini par l'équation suivante:

,2 (z - L/2)2 - + == 1 a2 a2 + (L/2)2 '

(1.4)

où a est le rayon de l 'ellipsoïde à z == L/2 , z est son axe principal , ' est son axe secondaire et L est la distance entre ses deux foyers.

z

FIGURE 1.2 - Coupe dans le plan, - z d'un ellipsoïde de Fresnel.

La taille des ellipsoïdes de Fresnel est contrôlée par le nombre de Fresnel N , soit

par la condition Pl + P2 == L + N À/2, où N est un nombre réel. De cette condition , on peu t déduire une relation entre a et L :

~ = ~V N (~ + ~). (1.5)

Plaçons maintenant une source ponctuelle de longueur d'onde À à l'origine et une

ouverture circulaire dans le plan P, avec un rayon correspondant au rayon de l'ellipsoïde

de Fresnel dans ce plan. Certains rayons partant de cette source se rendent directement

au point (0, L), en parcourant une distance L, et d'autres rayons sont réfléchis par

le bord de l'ouverture. Ces rayons réfléchis font un parcours de distance Pl + P2. La

différence de phase ~cjJ associée à ces deux parcours est :

(1.6)

Le terme 1r est ajouté dans l'équation (1.6) pour tenir compte de la réflexion dure que

subit d'onde en se réfléchissant sur le bord de l'ouverture. Il y a interférence constructive

si la différence de phase est un multiple entier de 21r. Avec la condition de Fresnel

définissant l'ellipsoïde, on obtient

21r ~cjJ == T(L + NÀ/2 - L) + 1r == (N + 1)1r. (1.7)

Ainsi, si N est entier et impair et que l'ouverture coïncide avec la surface de l'ellipsoïde,

le point (0 , L) est nécessairement un foyer optique quand une source ponctuelle est

placée à l'origine.


1.3.4 Configurations à plusieurs ouvertures

Nous avons vu à la section précédente qu'une ouverture circulaire placée sur la sur

face d'un ellipsoïde de Fresnel peut créer un foyer optique sur l'axe, après l'ouverture.

Mais pourquoi s'arrêter à une seule ouverture? Il est logique de croire que si une ouverture placée sur l'ellipsoïde cause de la focalisation , l'effet cumulé de plusieurs ouver

tures pourrait concentrer encore plus d 'énergie au foyer. Deux configurations distinctes peuvent être envisagées [1] :

1. Plusieurs ouvertures de rayons différents , en ajustant la taille des ouvertures pour

qu 'elles soient en contact avec la surface d 'un seul ellipsoïde de Fresnel.

2. Plusieurs ouvertures circulaires de même rayon. Il faut alors placer les ouvertures sur des ellipsoïdes de Fresnel de nombres N impairs différents.

Les configurations composées de deux ouvertures circulaires de rayons différents ont été investiguées théoriquement et expérimentalement par Letfullin et George [10- 12]. Dans ce mémoire, nous examinerons les configurations avec des ouvertures de rayons identiques. Cette approche est privilégiée puisqu'elle permet d'envisager des procédures

d'usinage et d'allignement plus simples que la première approche.

L z

z

FIGURE 1.3 - Position des ouvertures avec les ellipsoïdes de Fresnel


Pour une configuration à trois ouvertures, l'ouverture centrale se trouve à mi-chemin

ent re les deux foyers d 'un ellipsoïde de Fresnel de nombre N (c'est-à-dire à z == L/2) . La relation ent re le rayon a des ouvert ures et la distance L ent re les foyers a été ex

primée précédemment, à l' équation (1.5). Les posit ions des deux aut res ouvert ures sont

déterminées par l'intersection d 'un deuxième ellipsoïde de Fresnel, de nombre M, avec un cylindre de rayon a (figure 1.3) :

Zi L 2L/À+ M J ( 4L ) ( 2 4ML ( a ) 2) ;:=2À± 4M(4L/ À+ M) M -;:- +M M + -À-- 16 ~ . (1.8)

Les tableaux 1.1 et 1.2 présentent les posit ions des ouvert ures pour les configurations ut ilisées au chapit re 3, et le tableau 1.3 présente la configuration u t ilisée au chapitre 4 .

TABLE 1.1 - Distances entre l'origine et les ouvertures, calculées à part ir de

l'équation (1.8) avec L == 318.75À.

N M a(À) Zl (À) Z2(À) Z3 (À) 1 3 8.9303 28.5823 159.375 290.1677

3 5 15.4798 57.6679 159.375 261.0821

5 7 20.0000 73.0832 159.375 245 .6677

7 9 23.6828 82.9768 159.375 235.7732

TABLE 1.2 - Distances entre l'origine et les ouvertures, calculées à partir de

l'équation (1.8) avec a == 20À.

N M L(À) Zl (À) Z2(À) Z3(À) 1 3 1599.750 146.1164 799.8750 1453.6336

3 5 532.583 96.9646 266.2917 435.6187

5 7 318.750 73.0832 159.3750 245.6677

7 9 226.821 58.6799 113.4107 168.1416

TABLE 1.3 - Distances entre l'origine et les ouvertures , calculées à partir de

l'équation (1.8) avec a == 2901.25Ào et Ào == 800 nm.

17 19 1 980 525.5 668 977.2 990 262.8 1 311 548.3

Chapitre 2

Diffraction par une ouverture

Dans ce chapitre, nous présenterons les résultats de nos calculs analytiques et nu

mériques pour la diffraction de différents fronts d'onde par une ouverture circulaire.

Trois types d'ondes seront étudiés, dans le but de valider nos simulations numériques:

les ondes planes uniformes (section 2.1) , les ondes paraboloïdales (section 2.2) et les faisceaux gaussiens (section 2.3).

2.1 Diffraction d'une onde plane uniforme

Cette section se veut un compte-rendu des résultats obtenus pour la diffraction d 'une

onde plane uniforme (OPU) par une ouverture circulaire. Nous débuterons en présentant une analyse théorique (section 2.1.1) et nous présenterons ensuite nos résultats numériques (section 2.1.2).

2.1.1 Analyse théorique

Considérons une OPU se propageant sur l'axe z, définie dans le plan Pi perpendiculaire à l'axe z par :

(2.1 )

où Ao est une amplitude complexe constante, k == 27r / À est le nombre d'onde et Zi est

la distance entre le plan Pi et l'origine. Plaçons maintenant une ouverture circulaire

de rayon r == a dans le plan Plo Le champ après l'ouverture, tel que décrit à la sec

tion 1.3.1 , est donné par l'intégrale de Fresnel-Kirchhoff en coordonnées cylindriques

Chapitre 2. Diffraction par une ouverture 9

(voir l'équation (1.1)). Dans le cas présent , nous avons !l(rl) == Ao exp( -jkz1 ); donc

le champ dans le plan P2 après l'ouverture devient:

12 (r2) == Ao exp( - J kzl ) Jo e -Jk(r1 +r2)/2(Z2-Z1) rI d r l. j ke- jk

(Z2 -z

I) la . ( krl r 2 ) . 2 2

Z2 - Zl 0 Z2 - Zl (2.2)

Introduisons maintenant un nombre adimensionnel d'une grande importance, appelé

nombre de Fresnel, Np == a2 1 À( Z2 - Zl) , où a est le rayon de l'ouverture circulaire, À

est la longueur d'onde incidente et ( Z2 - Zl) est la distance entre l'ouverture et le plan

d 'observation . En utilisant les coordonnées normalisées (r' == ria) , on peut résoudre

l'intégrale avec une notation plus légère. Appliquons aussi le changement de variables

suivant: u == 27r Np et v == 27r N pr;. Le champ diffracté s'écrit donc:

. (-jV2) rI (-ju(r l )2) f2(r;) = juAoe-Jk(Z2-zllexp ~ Jo Jo(vr~) exp 2 1 (2.3)

La solution de l'intégrale précédente peut s'exprimer comme une série infinie de fonc

tions de Bessel (fonctions de Lommel à deux variables). Les fonctions de Lommel

Un(u,v) et Vn(u,v) sont définies par [7]:

(2.4)

(2.5)

L'intégrale dans l'équation (2.3) peut s'écrire de manière équivalente en termes de

Un (u, v) ou bien en termes de Vn (u, v). La version de l'intégrale exprimée en termes des fonctions Un (u, v) est particulièrement utile pour les points d'observation dans l'ombre

géométrique, alors que celle en termes des fonctions Vn (u, v) est utile dans la région géométriquement éclairée (figure 2.1).

L'équation (2.6) résume l'expression du champ diffracté lorsqu'une OPU est inci

dente sur une ouverture circulaire, et la figure 2.2 présente les distributions en intensité

transversale et longitudinale de cette équation. Ces résultats concordent avec les ex

pressions analytiques publiées par English et George [13].

(2.6)

Le nombre de Fresnel de l'ouverture (Np), que nous avons introduit plus haut pour

simplifier l'intégrale de diffraction de Fresnel, peut aussi servir à prédire les positions

Chapitre 2. Diffraction par une ouverture

r r,

r2>a

a

Ré ion éclairée r2<a

z, géométriquement z2

FIGURE 2.1 - Régions éclairées et ombragées pour une ouverture circulaire éclairée par une OPU.

4. 0 ,.--rrn-.......-r--n--r---,..---,.--.----r-~--=.-_r_-,..-__,-..,.___.___,

3.5

,~ 3.0 Vl

§ 2.5

~ 2.0 'ClJ

.~ 1.5 c ClJ

Ë 1.0

0.5

0.0 "--&:"'-'--L __ """-~---'-_""----&....--I._...L.---'--___ -'---'&"'--' 0.0 '---_..L..-_...a.......;::....:=..:::: ...... _--'

o 100 200 300 400 500 600 700 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Distance de l'ouverture (z/Î,,) Distance de l'axe (ria)

FIGURE 2.2 - Distributions axiale (gauche) et radiales (droite) de l'intensité

pour une ouverture circulaire de rayon a = 20À, éclairée par une OPU. Les

distributions ont été calculées à partir des expressions analytiques pour la

diffraction d'une OPU par une ouverture circulaire (équation (2.6)).

10

des maxima et minima de la distribution d'intensité sur l'axe, pour la diffraction d'une

OPU par une ouverture circulaire. En effet, lorsque r~ = 0, l'équation (2.6) se simplifie

à f2(r~ = 0) = Aoexp(-jk(Z2 - Zl)) [1- exp(-j7rNp )]. Aux positions pour lesquelles Np est impair, l'interférence entre l'onde directe et l'onde diffractée est complètement

constructive (1 max / 10 = 4), et aux positions pour lesquelles Np est pair, l'interférence

est complètement destructive (Imax/ 10 = 0). À la figure 2.2, les distributions radiales

d'intensité sont présentées pour trois plans, correspondant à Np = 1 (z = 400À),

Np = 2 (z = 200À) et Np = 3 (z = 133.33À). On y voit clairement que l'interférence

sur l'axe pour ces plans correspond aux prévisions apportées par le nombre de Fresnel

de l'ouverture.

Chapitre 2. Diffraction par une ouverture Il

2.1.2 Résultats numériques

Les résultats numériques pour la diffraction d 'une OPU par une ouverture circulaire

placée dans un plan perpendiculaire à l'axe de propagation ont été obtenus avec la

transformée de Fourier-Bessel (voir l 'annexe A pour l'algorithme de calcul). Finalement ,

les intensités obtenues ont été normalisées par rapport à l 'intensité initiale de l 'OPU.

4.0~~~~~--~~--~~~~~--~ __ ~~

3.5

,~ 3.0 VI

~ 2.5 o c 2.0

'ClJ +-1 .i:il 1.5 c ClJ

Ë 1.0

0.5

0.0 r........s.; ........... ---L __ ""--..JoK..----I __ ....L.--.L. __ L..-.......... ----L __ ...I..----'-----IL......-...I

o 1 00 200 300 400 500 600 700 Distance de l'ouverture (zrA)

4.0 ----~--.,..---~--....."

3.5

,~ 3.0 .~ 1

~ 2.5 : o c 2.0

'ClJ

.~ 1.5 c ClJ

Ë 1.0

0.0

z = 400 À

z = 200 À

z = 133 À

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Distance de l'axe (ria)

FIGURE 2.3 - Distributions axiale (gauche) et radiales (droite) de l 'intensité

pour une ouverture circulaire de rayon a = 20.\, éclairée par une OPU. Les

distributions ont été calculées numériquement pour la diffraction d 'une OPU

par une ouverture circulaire, à l'aide de la transformée de Fourier-Bessel.

30

;:z 20 ? ~ 10

JO

~ 0 ClJ

~ -10 ru +-1 VI

0-20

-30

100 200 300 400 500 Distance de l'ouverture (zr;...,,)

4.0

3.5

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0 600 700

FIGURE 2.4 - Distribution dans le plan r - z de l'intensité pour une ouverture

circulaire de rayon a = 20.\, éclairée par une OPU.

La figure 2.3 présente les distributions en intensité transversale et longitudinale

calculées numériquement, et la figure 2.4 montre la distribution en intensité dans le


plan r-z. Lorsque Np == 1 et 3 (à Z == 400À et 133.33À) , l'intensité maximale est de

3.94 fois l'intensité de l'OPU en propagation libre et 4.7% de l'énergie dans ces plans

se retrouve dans la tache centrale (i. e. à l'intérieur d'un rayon équivalent à la largeur à

mi-hauteur radiale. À Np == 2 (z == 200À) , l'intensité sur l'axe est presque nulle , donc on ne peut pas calculer d 'efficacité de focalisation.

L'accord entre nos résultats analytiques (figure 2.2) et numerlques (figure 2.3)

confirme la validité de nos méthodes de calcul, dans le cas de l'OPU.

2.2 Diffraction d'une onde paraboloïdale

Dans cette section, nous présentons les résultats théoriques (section 2.2.1) et nu

mériques (section 2.2.2) pour la diffraction d'une onde paraboloïdale (OP) par une ouverture circulaire.

2.2.1 Analyse théorique

Considérons maintenant une onde sphérique fI (rI) incidente sur une ouverture cir

culaire de rayon a située dans le plan Pl, à Z == Zl. Dans l'approximation paraxiale , l'onde sphérique prend la forme d'une OP :

(2.7)

où Ao est une amplitude complexe constante, k == 27r / À est le nombre d'onde et Zl est

la distance entre la source (placée à Z == 0) et l'ouverture circulaire (figure 2.5).

Pour le problème de la diffraction d'une OP, il est utile de définir deux nombres de

Fresnel: NI == a2 / ÀZl et N 2 == a2

/ À(Z2 - Zl). Avec les coordonnées normalisées r' - ria,

l'intégrale de Fresnel-Kirchhoff devient:

Cette fois, les paramètres u et v dans le cas de la diffraction d'une OP sont u ==


Région éclairée o z, géométriquement z2 z

FIGURE 2.5 - Géométrie de la diffraction d 'une OP par une ouverture circu

laire.

13

27f(N1 + N 2 ) et v = 27f N 2r;. Le champ diffracté prend donc la forme finale suivante :

12 (r;) = Aoe -jkz2 { [exp ( _j~~:~)2) - ~~j7rNl e-j7rN2(1+(r~?) (Vo ( u, v) + jV1 (u , v))]

Z 2 J e -J1rNl e -JTiN2(1+(r2) ) (U1 (u, v) + JU2 (u , v))

SI IV/Ul < 1

SI Iv/ul > 1

(2.9)

Les distributions axiale et radiale de l'intensité représentée par l'équation (2.9) sont

illustrées à la figure 2.6 , avec une ouverture de rayon a = 20À et une distance entre la

source et l'ouverture de Z l = 159.375À.

4.0 r-----r----.--onr--y---.,..-,----.----'T-~--r---'T-~--r----. 4.0 ~-r---r----'r-------'

3.5 3.5

,~ 3.0 ,~ 3.0 .~ V'l

~ 2.5 o c 2.0

E 2.5 o c 2.0

'Q) 'Q)

.~ 1 5 c . ~

';:n 1.5 c

Q) Q)

Ë 1.0 ë 1.0

0.5 0.5

O. 0 L....,.;.;~L-.L. __ "-.....L....---&;:........:;.....L.---'-----L _ _'__--'------L_..L..---'-----' O. 0 ~_L------,L----I ____ --J

o 100 200 300 400 500 600 700 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Distance de l'ouverture (zn.,) Distance de l'axe (ria)

FIGURE 2.6 - Distributions axiale (gauche) et radiale (droite) de l'intensité

pour une ouverture circulaire de rayon a = 20À, éclairée par une OP, avec

Z l = 159.375À. Les distributions ont été calculées à partir des expressions

analytiques pour la diffraction d'une OP par une ouverture circulaire (équa

tion (2.9)).


En choisissant a = 20,\ et Zl = 159.375'\ , nous avons recréé une situation correspon

dant à un ellipsoïde de Fresnel de nombre N = 5, coupé en son centre par l'ouverture

(voir la section 1.3.3). La position et la dimension de l'ouverture génèrent donc de l'in

terférence constructive sur l'axe, au deuxième foyer de l'ellipsoïde. Ce maximum local

est visible dans la figure 2.6 , à la position z = 159.375'\ , ainsi que sur la distribution radiale d 'intensité.

2.2.2 Résultats numériques

Les résultats numériques pour la diffraction d 'une OP par une ouverture circulaire placée dans un plan perpendiculaire à l'axe de propagation de l'OP ont été obtenus avec

la transformée de Fourier-Bessel. Finalement , les intensités obtenues ont été normalisées par rapport aux intensités d'une onde libre (OP qui se serait propagée dans le vide , sans obstacle).

4.0~~~--~~~~~~--~~-,--~~--~~ 4.0 r-----..,.....---~---r----.......

3.5 3.5

,~ 3.0 ,~ 3.0 VI VI

E 2.5 o c 2.0

~ 2.5 o c 2.0

'Q) 'Q)

.~ 1.5 .~ 1.5 c Q)

c Q)

.Ë 1.0 .Ë 1.0

0.5 0.5

0.0 L.......IlI.L&....IL.......L._.&.....-......L.--.II"""""-.a.....-.......... ----I. __ ..a....-........... ----I __ ....&....----'-----' 0.0 '---__ ...I....-__________ ...J

o 100 200 300 400 500 600 700 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Distance de l'ouverture (zrA-) Distance de l'axe (ria)


pour une ouverture circulaire éclairée par une OP, avec Zl = 159.375'\ et

a = 20'\. Les distributions ont été calculées numériquement, à l'aide de la

transformée de Fourier-Bessel.

La figure 2.7 présente les distributions en intensité transversale et longitudinale

calculées numériquement, et la figure 2.8 montre la distribution en intensité dans le

plan r-z. Dans le plan focal (à z = 159.375'\), l'intensité maximale est de 3.94 fois

l'intensité de l'OP en propagation libre et 1.85% de l'énergie dans ce plan se retrouve

dans la tache centrale (i. e. à l'intérieur d 'un rayon équivalent à la largeur à mi-hauteur

radiale) .

L'accord entre nos résultats analytiques et numériques confirme la validité de nos


30

~ 20 ~ ~ 10

_ru

~ 0 QJ

~ -10 ru ... V"I

0-20

-30

100 200 300 400 500 Distance de l'ouverture (zJ)d

4.0

3.5

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0 600 700

FIGURE 2.8 - Distribution de l'intensité dans le plan r-z pour une ouverture

circulaire éclairée par une OP, avec Z l == 159.375.\ et a == 20.\.

méthodes de calcul, dans le cas de l'OP.

2.3 Diffraction d'un faisceau gaussien

15

À notre connaissance, il n'existe pas de solution analytique pour la diffraction d'un

faisceau gaussien (FG) par une ouverture circulaire, en champ proche. Nous ne présen

terons donc que des résultats numériques pour la diffraction d'un FG par une ouverture

circulaire placée dans un plan perpendiculaire à l'axe de propagation du FG. Les ré

sultats ont été obtenus avec la transformée de Fourier-Bessel (voir l'annexe A pour

l'algorithme de calcul), et les intensités ont été normalisées par rapport aux intensités

d'une onde libre (FG qui se serait propagé dans le vide, sans rencontrer d'ouverture).

La figure 2.9 présente les distributions en intensité calculées numériquement, et la

figure 2.10 montre la distribution en intensité dans le plan r-z. Dans le plan focal (à Z == 159.375.\), l'intensité maximale est de 2.34 fois l'intensité du FG en propagation libre

et 2.23% de l'énergie dans ce plan se retrouve dans la tache centrale (i. e. à l'intérieur

d'un rayon équivalent à la largeur à mi-hauteur radiale).


OJ 'OJ V'I

cu

2.0

2.5 ,....--.......--~-~-.....,

2.0 OJ

'OJ .~ cu

E 1.5 E 1.5 o o c c

'OJ 'OJ .~ 1.0 .~ 1.0 c OJ +-' C

c OJ +-' C

- 0.5 - 0.5

0.0 ""'---........... ----'-_"""'---'-~_...I....-.......... ____I._..10...._ ........... ____'_....1....____'_____1 0.0 '--_"""'-_...I..-_....J....-_-J

o 100 200 300 400 500 600 700 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Distance de l'ouverture (zr'A) Distance de l'axe (ria)


pour une ouverture circulaire éclairée par un FG, avec Wo == 2À, Z l == 159.375À

et a == 20À. Les distributions ont été calculées numériquement pour la dif

fraction d'un FG par une ouverture circulaire, à l'aide de la transformée de

Fourier-Bessel.

30

~ 20 ? ~ 10

_cu

~ 0 OJ

~ -10 cu +-' V'I

ëS -20

-30

-40 L.......L_--'--_'----_

100 200 300 400 500 Distance de l'ouverture (z/"A)

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0 600 700

FIGURE 2.10 - Distribution dans le plan r-z de l'intensité pour une ouverture

circulaire éclairée par un FG, avec Wo == 2À, Z l == 159.375À et a == 20À.

16

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Chapitre 3

Effets focalisants

Ce chapitre se veut un compte rendu de nos résultats et observations sur la focalisa

tion de faisceaux gaussiens monochromatiques par un système d'ouvertures circulaires. En fait, deux systèmes focalisants sont étudiés dans ce chapitre: un système composé de trois ouvertures circulaires coaxiales (section 3.1) et un cylindre métallique creux

(section 3.2). Nous présenterons ensuite les effets focalisants que prévoient nos calculs

dans le cas de la diffraction de rayons X par une séquence de trois ouvertures circu

laires (section 3.3). Les ondes planes uniformes et les ondes paraboloïdales ne sont pas

utilisées dans ce chapitre car elles représentent des cas limites des faisceaux gaussiens et sont seulement valides dans la théorie.


Dans cette section, nous présentons les résultats obtenus pour la diffraction de fais

ceaux gaussiens par une séquence de trois ouvertures circulaires coaxiales de même

rayon. Nous débuterons donc par valider nos simulations numériques en comparant nos

résultats à des résultats expérimentaux publiés précédemment [4, 5] (section 3.1.1).

Plusieurs paramètres sont utilisés pour concevoir les géométries focalisantes pré

sentées ici, et chacun de ces paramètres a un effet sur les propriétés focalisantes du

système. Les paramètres que nous avons variés indépendamment sont les suivants: la

taille à l'étranglement Wo du faisceau gaussien (section 3.1.2), le rayon des ouvertures a

(section 3.1.3) et la distance de travail ou, de manière équivalente, la distance L entre

les deux foyers des ellipsoïdes (section 3.1.4).

Chapitre 3. Effets fo calisants 18

3.1.1 Comparaison des résultats numériques et expérimentaux

La validité des ellipsoïdes de Fresnel a déjà été démontrée expérimentalement [4 5].

Nous comparons maintenant nos résultats numériques à ces résultats expérimentaux,

obtenus avec des micro-ondes (À == 1.25 cm) . La figure 3.1 présente les distributions

longit udinales et transversales d 'intensité pour la diffraction d'un faisceau gaussien avec

une taille à l'étranglement Wo == À par trois ouvertures de rayon a == 20À, placées avec

les ellipsoïdes de Fresnel de nombre N == 5 et M == 7 (voir le tableau 1.2 pour les

positions des ouvertures). Les intensités ont été normalisées par rapport au maximum

et l'accord entre les données expérimentales et numériques confirme la validité de nos

méthodes de calculs numériques. Les résultats numériques (courbe continue) ont été obtenus avec la transformée de Fourier-Bessel (voir l 'annexe A pour l 'algorithme de

calcul) et les résultats expérimentaux (croix) proviennent des recherches antérieures.

La similitude entre les deux séries de données indique que les deux fronts d 'ondes ut ilisés sont de nature semblable, bien que la source utilisée pour les données expéri

mentales ait été un cône à micro-ondes. La figure 3.2 montre la distribution d 'intensité dans le plan r - z pour cette même configuration , obtenue par calculs numériques.

1.0~--~--~--~------,~--~--~ 1.0 )f-------,r----~--...,

Numérique

OJ 0.8 x Expérimental OJ 0.8

'OJ .~ ru

'OJ Vl

ru E 0.6 E 0.6 o o c c

'OJ 'OJ .~ 0.4 x .~ 0.4 c OJ +-' C

x x

x

c OJ +-' C

- 0.2 x - 0.2 x

Xx

0.0 L....-..I~_""---__ -'--__ --'--__ --'-______ ----'

-50 -25 0 25 50 75 100 Distance du point focal de l'ellipsoïde (z-L)/À

0.0 '--_----' __ --'-__ ....J

o 5 10 15 Distance de l'axe (r/À)

FIGURE 3.1 - Comparaison des résultats expérimentaux et numériques , pour la

diffraction d'un faisceau gaussien avec Wo == À par trois ouvertures circulaires

de rayon a == 20À, placées avec les ellipsoïdes de Fresnel de nombre N == 5 et

M == 7. Les distributions longitudinales ont été mesurées sur l'axe, à r == 0, et

les distributions transversales ont été mesurées dans le plan focal, à z == L.

Le point focal principal présente une profondeur de champ relativement grande,

avec une résolution transversale élevée. La largeur totale à mi-hauteur de la distribu

tion radiale (ou FW H MT, pour transverse full width at half-maximum) est de 2.162À.

La FWHM longitudinale (FW H ML) du point fo cal principal est de 16.75À. Lorsqu 'on

Chapitre 3. Effets focalisants

40.-------_r--------~------_r--------~------~

30

~ 20 ';:::-

~ 0 Q) u c-l0 (\l +-' VI

0-20

-30

-40~------~--------~------~--------~------~ -50 0 50 100 150 200

Distance du foyer de l'ellipsoïde, (z-L)/À

12

10

8

6

4

2

FIGURE 3.2 - Distribution de l'intensité normalisée dans le plan r - z pour

la diffraction d'un FG avec Wo == À par trois ouvertures circulaires de rayon

a == 20À, placées avec les ellipsoïdes de Fresnel de nombre N == 5 et M == 7.

19

compare la distribution d'intensité calculée à celle obtenue lors de la propagation libre

d'un faisceau gaussien avec les mêmes paramètres initiaux, on trouve que , au foyer , l'intensité du faisceau diffracté est 13.12 fois plus forte que celle du faisceau en pro

pagation libre. La tache focale contient aussi une bonne quantité d 'énergie. En effet ,

3.357% de l'énergie du plan focal est contenue dans la tache focale ( i. e. à l'intérieur d 'un

rayon équivalent à la FWHM radiale: r ::; FW H MT)' Finalement, la distribution sur l'axe de propagation présente le pic d'intensité prévu par la théorie au point focal des ellipsoïdes de Fresnel, mais il y a aussi des pics d'intensité secondaires, avant et après le foyer principal. Puisque ce système peut être appliqué à n'importe quelle longueur

d'onde, il serait possible de tirer profit de la présence de ces pics d'intensité pour des applications telles que la microfabrication et le piégeage de particules.

3.1.2 Effet de la taille du faisceau sur la focalisation

Pour étudier l'effet de la taille Wo du faisceau à l'étranglement sur les propriétés

focalisantes du système, une seule configuration a été utilisée, et le seul paramètre qui

a été modifié est le rapport de la taille du faisceau sur la taille des ouvertures, soit

wo/ a. La figure 3.3 présente la variation de l'intensité normalisée pour la diffraction de

faisceaux gaussiens avec différentes tailles à l'étranglement Wo par trois ouvertures de rayon a == 20À, placées avec les ellipsoïdes de Fresnel de nombre N == 5 et M == 7, et

avec L == 318.75À. Les rapports de taille du faisceau sur la taille des ouvertures qui ont

été utilisés sont les suivants: 1/ 20, 1/ 15, 1/ 10 et 1/ 5. Les positions des ouvertures pour


cette configuration se trou vent au tableau 1.1.

14~--~------,-------~------~------~

12

" '\

2

wo= a/20

wo= ailS wo= all0

wo= aiS

.. ..,- .. - ............ ~ ,,,,;. .. ~ .. ~

,b .. ~ ..

O~~~------~------~------~------~ o 100 200 300 400 Distance du point focal de l'ellipsoïde (z-L)/À

14

12 (J)

~~ 10 ~

E 0 c

'(J) ...... 'v; c (J) ...... E

8

6

4

2

O-------------ll.....------l 0.0 0.25 0.5 0.75 1.0

Distance de l'axe (ria)

FIGURE 3.3 - Comparaison de la diffraction d 'un faisceau gaussien avec diffé

rentes valeurs de Wo par trois ouvertures circulaires de rayon a == 20À, placées

avec les ellipsoïdes de Fresnel de nombre N == 5 et M == 7. Les distribu

tions longitudinales ont été mesurées sur l'axe, à r == 0, et les distributions

transversales ont été mesurées dans le plan focal, à Z == L.

20

Le cas offrant les intensités les plus élevées est celui pour lequel wo/ a == 1/20, ce qui

est près de la limite diffractionnelle pour un faisceau gaussien. Puisque le paramètre Wo

contrôle la divergence du faisceau, plus Wo est petit, plus le faisceau est intense sur les

ouvertures, car il diverge plus. Il est donc logique que les effets de la diffraction soient

plus forts pour de très petites valeurs de wo. Le tableau 3.1 présente les propriétés foca

lisantes de chaque cas étudié, caractérisées par les FWHM longitudinale et transversale,

la puissance contenue dans la tache focale et l'intensité normalisée maximale. Le ta

bleau 3.1 présente aussi les valeurs de la zone de Rayleigh (ZR) pour chaque faisceau

gaussien utilisé. Sachant que la première ouverture se situe à 73.08 À de l'origine, la

valeur de ZR permet d'évaluer la divergence du FG à l'ouverture.

TABLE 3.1 - Effet de la taille à l'étranglement du faisceau gaussien Wo sur les

propriétés focalisantes du système à trois ouvertures.

ZR == 7rW6/ À FWHMT FWHML Puissance encerclée Imax/lo Wo (À) (À) (À) (%)

a/ 20 3.142 2.162 16.75 3.357 13.12

a/15 5.585 2.162 16.50 2.572 10.17

a/ 10 12.57 2.162 15.50 1.622 6.338

a/ 5 50.27 2.803 18.50 1.089 1.754


3.1.3 Effet du rayon de l'ouverture sur la focalisation

Pour étudier l'effet du rayon de l'ouvert ure sur les propriétés focalisantes du système,

plusieurs configurations ont été utilisées , en gardant constants les paramètres L et wo, c'est-à-dire la distance ent re les foyers des ellipsoïdes et la taille à l'étranglement du

faisceau. La valeur de Wo qui a été ut ilisée est celle qui a donné les meilleurs résultats à

la section 3.1.2, soit Wo == À. La fi gure 3.4 présente la variation de l'intensité normalisée

pour la diffraction de faisceaux gaussiens avec Wo == À par t rois ouvert ures de même

rayon, placées avec différents ellipsoïdes de Fresnel avec L == 318.75 À. Pour chaque

configuration , les posit ions des ouvertures se trouvent au tableau 1.1.

16~~~----------------------~------~

14

,~ 12 .~

~ 10 o c: 8

' QJ +-' .~ 6 QJ

C 4

2 --- ------

" " ---

o ~--~------~------~------~----~~ o 50 100 150 200 Distance du point focal de l'ellipsdïde (z-L)/À

16----~~~~~~

14

E 10

g 8 'QJ +-' .~ 6 QJ

C 4

2

N=l, M=3

N=3, M=5 N=5, M=7 N=7, M=9

o .. _--, o 0.25 0.5 0.75

Distance de l'axe (ria)

FIGURE 3.4 - Comparaison de la diffraction d 'un faisceau gaussien avec Wo == À

par t rois ouvertures circulaires de même rayon , placées avec des ellipsoïdes de Fresnel, pour diverses valeurs de N et M. La distance entre les foyers des

ellipsoïdes de Fresnel est L == 318.75À. Les distributions longitudinales ont été

mesurées sur l'axe, à r == 0, et les distributions transversales ont ét é mesurées

dans le plan focal, à z == L.

TABLE 3.2 - Effet du rayon des ouvertures a sur les propriétés focalisantes du

système à trois ouvertures.

N M a(À) FWHMT FWHML Puissance encerclée

Imax /lo CX) (À) (%) 1 3 8.930 2.467 12.50 16.04 14.15

3 5 15.48 2.417 17.25 8.424 15.94

5 7 20.00 2.162 16.75 3.357 13.12

7 9 23 .68 2.086 15.50 1.459 9.348

Le cas offrant les intensités les plus fortes est celui pour lequel a 15.48 À, ce

Chapitre 3. Effets fo calisan ts 22

qui correspond à une configuration avec les ellipsoïdes de Fresnel de nombre N == 3

et M == 5. Le tableau 3.2 présente les propriétés focalisantes de chaque cas étudié , caractérisées par les FW HM longit udinale et t ransversale, la puissance contenue dans la tache focale et l'intensité normalisée maximale.

3.1.4 Effet de la distance de travail sur la focalisation

À l'équation (1.5), nous avons démont ré que les paramètres a et L des ellipsoïdes

de Fresnel sont int rinsèquement reliés . Pour étudier l'effet de la distance de travail

sur les propriétés focalisantes du système, plusieurs configurations ont été ut ilisées , en gardant constants les param ètres a et wo, c 'est-à-d ire le rayon des ouver t u res et la t aille

à l'étranglement du faisceau. La figure 3.5 présente la variation de l'intensité normalisée

pour la diffraction de faisceaux gaussiens avec Wo == À par t rois ouvert ures de rayon

a == 20À , placées avec différents ellipsoïdes de Fresnel. Pour chaque configuration , les posit ions des ouvertures se t rouvent au tableau 1.2.

16~--~------~------~--------r-----~

14

QJ 12 'QJ VI

~ 10 E g 8

'QJ

.~ 6 c QJ

ë 4

2

1 / "- ..

/" \ , ,

1.,' '\ , ,

,

N=l, M=3 N=3, M=5 N=5, M=7 N=7, M=9

o ~--~------~------~------~------~ o 50 100 150 200 Distance du point focal de l'ellipsoïde (z-L)/À

16----~--~--~--~

QJ 'QJ

~ m E o c 8

'QJ +-' ·Vi 6 c QJ

ë 4

2

o '---__ ...I....----..;;.~ __ ...L-__ .....J

0.0 0.25 0.5 0.75 1.0 Distance de l'axe (ria)

FIGURE 3.5 - Comparaison de la diffraction d 'un faisceau gaussien avec Wo == À

par t rois ouvertures circulaires de rayon a == 20À, placées avec des ellipsoïdes

de Fresnel, pour diverses valeurs de N et M. Les distributions longitudinales

ont ét é mesurées sur l'axe, à r == 0, et les distributions transversales ont été

mesurées dans le plan focal, à z == L.

Comme à la section 3.1.3 , le cas offrant les intensités les plus fortes est celui pour

lequel N == 3 et M == 5, ce qui correspond cett e fois-ci à une distance L == 532.58À. Le

tableau 3.3 présente les propriétés focalisantes de chaque cas étudié, caractérisées par

les FWHM longitudinale et transversale, la puissance contenue dans la tache focale et

l'intensité normalisée maximale.


TABLE 3.3 - Effet de la distance entre les foyers L sur les propriétés fo calisantes

du système à trois ouvertures.

N M L(À) FWHMT FWHML Puissance encerclée

Imax/ la (À) (À) (%) 1 3 1599.75 5.606 62.50 15.80 14.07

3 5 532.58 3.123 29.00 8.340 16.02

5 7 318.75 2.162 16.75 3.357 13.12

7 9 226.82 1.762 Il.00 1.422 9.276

3.2 Diffraction par un cylindre

La théorie présentée à la section 1.3 ne permet pas de généraliser une méthode pour

obtenir la figure de diffraction produite par un cylindre. Au lieu de développer une

toute autre théorie pour la diffraction par des cylindres, nous avons posé l'hypothèse

que le cylindre peut correctement être modélisé par trois ouvertures équidistantes . La

stratégie est de simuler le pourtour de chaque extrémité du cylindre par une ouverture

et de placer la troisième ouverture à mi-chemin entre les deux premières , pour jouer le

rôle de la paroi du cylindre (figure 3.6).

FIGURE 3.6 - Modélisation d'un cylindre de longueur l == 60À par trois ouver

tures circulaires .

Une simulation numérique a été effectuée pour le cas illustré à la figure 3.6, c'est-à

dire pour la diffraction d 'un faisceau gaussien avec une taille à l'étranglement Wo == À par

trois ouvertures de rayon a == 20À. La distance entre la première et la dernière ouverture

Chapitre 3. Effets focalisants 24

est de 60À et l'ouverture centrale est à mi-chemin entre les deux, et l'étranglement du

faisceau gaussien est placé à 159.375À de l'ouverture centrale.

À la figure 3.7, nos résultats numériques sont comparés aux résultats expérimentaux

obtenus avec des micro-ondes (À === 1.25 cm) par Russel Boulay [5]. Les intensités ont

été normalisées par rapport au maximum, et l'accord entre les données expérimentales

et numériques confirme la validité de cette hypothèse. Les résultats numériques ont été

obtenus avec la transformée de Fourier-Bessel (voir l 'annexe A pour l 'algorithme de

calcul) et les résultats expérimentaux proviennent des recherches antérieures [5].

1.0 r-----r----~--.,....._-~--___yo--__,

QJ

'<lJ ln

ru

0.8

E 0.6 o c

'<lJ .~ 004 c <lJ +-' C - 0.2

Numérique x Expéri menta 1

0.0 '------.,; __ ~_....L..._ __ .......... __ --'-__ ___'_ __ _'

-75 -50 -25 0 25 50 75 Distance du point focal de l'ellipsoïde (z-L)/À

FIGURE 3.7 - Comparaison des distributions axiales de l'intensité pour un

cylindre de longueur l === 60À et de rayon a === 20À éclairé par un FG avec

Wo === À.

La figure 3.8 présente les distributions longitudinale et transversale d'intensité pour

cette même configuration, obtenues par calculs numériques, et la figure 3.9 montre la

distribution d'intensité dans le plan r - z.

Le point focal principal présente une courte profondeur de champ, avec une résolu

tion transversale élevée. La FWHM longitudinale est de 60À et la FWHM transversale

du point focal principal est de 3.2À. Lorsqu'on compare la distribution d'intensité cal

culée à celle obtenue lors de la propagation libre d'un faisceau gaussien avec les mêmes

paramètres initiaux (mais sans les ouvertures circulaires), on trouve que, au foyer, l'in

tensité du faisceau diffracté est 14.6 fois plus forte que celle du faisceau en propagation

libre. La théorie des ellipsoïdes de Fresnel ne suffit pas à expliquer cet effet d'interfé

rence constructive car le cylindre est trop court pour que ses extrémités intersectent un

ellipsoïde de Fresnel de nombre impair. En fait, l'ouverture centrale intersecte un ellip

soïde de Fresnel de nombre N === 5, tandisque les deux autres ouvertures en intersectent

un de nombre M ~ 5.1799.


Q) 'Q)

12.5 Q)

15.0 r----r----r--~-.....,

12.5

~ 10.0 E

'Q)

~ 10.0 E o

c: 7.5 o c: 7.5

'Q) +-' 0v;

'Q) +-'

~ 5.0 0v; ~ 5.0

+-' c: +-'

c 2.5

0.5

000 L....-...L.L....-...._..I.....---'----IL...-....I....---'-_.L....-.......... ----.L_...L.----'-_L...--.....I 0.0 '--_..&.--....I....-_...&......;~_ o 100 200 300 400 500 600 700 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Distance du cylindre (z/À) Distance de l'axe (ria)

FIGURE 3.8 - Distributions longitudinales et transversales d'intensité, pour la


de rayon a == 20À simulant un cylindre de longueur l == 60À. L'étranglement

du faisceau gaussien est placé à 159.375À de l'ouverture centrale. Les distri

butions longitudinales ont été calculées sur l'axe, à r == 0, et les distributions

transversales ont été calculées dans le plan focal , à z == L.

40 14

30 12

~ 20 ? 10 Q) 10 x ~ 8 Q) 0 .. -0 Q)

~-10 6 cu +-' V"l

0-20 4

-30 2

-40 o 100 200 300 400 500 600 700

Distance du cylindre (zlÀ-)

FIGURE 3.9 - Distribution de l'intensité normalisée dans le plan r - z pour la


de rayon a == 20À simulant un cylindre de longueur l == 60À. L'étranglement

du faisceau gaussien est placé à 159.375À de l'ouverture centrale, et les calculs

ont été effectués à l'aide de la transformée de Fourier-Bessel.

25


3.3 Focalisation de rayons X

Plusieurs applications, telles que l'imagerie nanométrique et la nanospectroscopie,

requièrent la focalisation d 'ondes électromagnétiques en des taches focales incroyable

ment petit es. La taille de la tache focale d 'un faisceau gaussien est limitée par la diffrac

tion, donc elle est proportionnelle à la longueur d'onde. Malheureusement, les lentilles

réfractives sont seulement efficaces pour une plage restreinte de longueurs d 'onde (de

l'infrarouge lointain à l'ultraviolet).

Le cas particulier de la focalisation de rayons X durs (h v 2: 8 ke V, À :::; 0.15 nm) est

complexe à cause de la faible interaction de ces longueurs d 'onde avec la matière. Néan

mois, plusieurs approches ont été proposées récemment. Des résolutions inférieures au

micron ont été démontrées avec des lentilles de type Bragg-Fresnel et avec des lentilles

réfractives composées (Compound Refractive Lenses) [14, 15]. D'autres techniques ont

même dévoilé des résolutions inférieures à 100 nm : les plaques de zones de Fresnel (Fresnel Zone Plates) [16], ainsi que diverses techniques réflectives [17, 18] ont atteint des

résolutions de 90 nm, pour des énergies supérieures à 8 keV. À notre connaissance, les

plus petites résolutions obtenues expérimentalement dans les rayons X durs sont d 'en

viron 25 nm, avec une lentille multicouches de type Laue (Multilayer Laue Lens) [19], à 19.5 keV et avec un miroir à surface ultraprécise [20], à 15 keV.

La solution que nous proposons pourrait théoriquement dépasser ces résolutions d 'un

facteur cent. Notre système focalisant est en fait une lentille diffractive, consistant tout

simplement de trois ouvertures circulaires de même rayon, placées selon la géométrie des

ellipsoïdes de Fresnel. Ces structures et leurs effets ont été présentées à la section 3.1,

et nous montrons ici comment elles pourraient s'appliquer à la focalisation de rayons X.

Dans les cas présentés à la section 3.1, celui offrant les intensités les plus fortes

utilise des ellipsoïdes de Fresnel de nombre N == 3 et M == 5, avec un rayon a == 20À

et une distance entre les foyers L == 532.58À. Le tableau 1.2 présente les positions des

ouvertures, et le tableau 3.3 présente les propriétés focalisantes de ce cas, normalisées

par la longueur d'onde. Voici maintenant, dans tableau 3.4, les paramètres calculés pour

la diffraction de rayons X avec des énergies de 15 keV et 19.5 keV (À == 0.0827 nm et

0.0636 nm).

Toutefois, nous sommes parfaitement conscients que la réalisation expérimentale des

trois ouvertures coaxiales poserait un défi considérable. L'ajustement des distances entre

les plans des ouvertures pourrait être réalisé par des dépositions de couches alternées

de diélectrique et de métal. Cependant , la réalisation d'une ouverture circulaire de


diamètre aussi petit est beaucoup plus difficile à envisager.

TABLE 3.4 - Focalisation de rayons X durs par un système de trois ouvertures.

hv 15 keV 19.5 keV

À 0.0827 nm 0.0636 nm

a 1.6531 nm 1.2726 nm

L 44.0123 nm 33.8625 nm

Z l 8.0147 nm 6.1652 nm

Z 2 22.0106 nm 16.9313 nm

Z3 36.0065 nm 27.6973 nm

Imax /lo 16.02 16.02 FWHMT 0.2581 nm 0.1986 nm

FWHML 2.3970 nm 1.8439 nm

Chapitre 4

Effets de modelage d'impulsion

Dans ce chapitre, nous présentons les résultats de nos calculs numériques pour la

diffraction d'une impulsion ultrabrève (IUB) par une ouverture circulaire (section 4.1)

et par trois ouvertures circulaires (section 4.2).

4.1 Diffraction par une ouverture

Cette section se veut une introduction au modelage d'impulsions par des ouvertures,

en traitant du cas simple de la diffraction d'IUB par un seule ouverture. Nous compa

rons ici nos résultats numériques à des mesures expérimentales (section 4.1.1) et nous

présentons une analyse temporelle de ces résultats (section 4.1.2).

4.1.1 Comparaison avec les résultats expérimentaux publiés

La diffraction par une ouverture circulaire d'une impulsion est étudiée de manière théorique depuis plusieurs années [21-23]. Récemment, la diffraction d'une IUB de 20 fs

par une ouverture de rayon a == 2321f-Lm a été mesurée expérimentalement [24]. Puisque

la longueur d'onde centrale de la distribution spectrale est "\0 == 800 nm, cette ouverture

correspond à 2901.25"\0. La distance entre l'étranglement (à z == 0) et le plan d'obser

vation est de 1493 mm. L'ouverture est placée à z == 38.78 mm +~d et le spectre est

mesuré pour diverses valeurs de ~d. Pour obtenir les résultats numériques, le spectre

publié par Horvath et al. (2004) a été échantillonné et l'algorithme utilisé pour les

calculs est présenté à l'annexe A. Ces résultats sont présentés à la figure 4.1.

Chapitre 4. Effets de modelage d'impulsion 29

(a) ,~ en j

i~: l j r'5

,,0.0 :::>0.0 i ~ .. i

- 740 760 780 800 820 840 860 740 7fIJ 780 800 820 840 860 Longueur d'onde À (nm) Longueur d'onde À (nm)

(b) Q)

(cl

'Q)

.~ 1.5 ~

E g 1.0 'E . ~ 0.5

Q)

.Ë 0.0 ~t:....::....::::...........L __ ...J.....-_----L.. __ ~_--L-....=...!!Ioo--.l

en ~

.~ 0.5

~ CIl en '2 'ë :J

0.0 ....... -=:r:=---.--___.._--r--r---r----.----..--.----.--~_._ 740 760 780 800 820 840 860 740 7fIJ 780 800 820 840 8fIJ

Q) 2.0 ~~ ~ E 1.5 o c ~ 1.0 c .§ 0.5

Longueur d'onde À (nm)

en ~ .~

~ 0.5 CIl en '2 'ë :J

Longueur d'onde À (m11)

0.0 ~.tr::....::...----=.l __ --1-_----L __ ...L--_~~__.J 0.0 ~~;:::::::::::..__,..___,___..-...__-....-~___.._~::..2:..:~...,.... 740 760 780 800 820 840 860 740 780 800 820 840 860

Longueur d'onde À (nm) Longueur d'onde À (nm)

{dl 2.5

l.0

0.0 0.0 ~~~__r__....__---r"____r-..__-.--~__,_~~~ ... 740 760 780 800 820 840 860 740 700 780 800 820 840 860


{el 2.5 1.0

0.0 0.0 __ -~_....____.._--r-..--__.___ ............ -~~ ......... 740 760 780 800 820 840 860 740 7fIJ 780 800 820 840 8fIJ


FIGURE 4.1 - Distribution spectrale sur l'axe pour une ouverture circulaire

éclairée par une IUB, avec Wo = 5.8Ào, T = 20 fs et a = 2901.25Ào. L'ouverture

est placée à z - 38.78 mm +~d, avec (a)~d = 0 mm, (b)~d = 13 mm,

(c)~d = 33 mm, (d)~d = 69 mm et (e)~d = 199 mm. Les résultats présentés

à droite sont expérimentaux [24], et nous avons calculé les résultats de gauche.

--- ----- -------------------------------------------~


La similitude entre les deux séries de données démontre que l'algorithme de calcul

reproduit très bien les résultats expérimentaux. Il sera donc valide d'utiliser la même

méthode de calcul pour étudier la diffraction d'une IUB par trois ouvertures de même rayon.


Avant de passer au cas de la diffraction d 'une IUB par trois ouvertures , une analyse

plus approfondie de la diffraction par une seule ouverture s'impose. En fait , la géométrie

du problème suggère que deux impulsions, espacées temporellement par un délai !:lt , devraient être observées sur l'axe z (figure 4.2). Nous avons donc exprimé les distribu

tions présentées à la figure 4.1 dans le domaine temporel afin de vérifier la présence de la deuxième impulsion générée par l'ouverture circulaire.

r

o z

FIGURE 4.2 - Schéma de la diffraction d'une IUB par une ouverture.

La transformée de Fourier permet de passer du domaine temporel au domaine spec

tral, selon l'équation suivante:

F(w) = 1= j(t)e-jwtdt, ( 4.1)

et la transformée de Fourier inverse permet de faire l'opération contraire:

f(t) == - F(w)e+jwtdw. 1 100

27r 0 (4.2)

où f(t) est la forme temporelle du champ de l'impulsion, F(w) est sa forme spectrale et w

est la fréquence angulaire, définie par w == 27rc/ À. Les spectres calculés à la section 4.1.1

Chapi tre 4. Effets de modelage d 'impulsion 31 ... : ~

-.

ont donc p'u être t ransformés et les distribut ions temporelles de ces impulsions diffractées

sont illustrées à la figure 4.3. Selon la géométrie (figure 4.2) , les délais ent re les deux

impulsions devraient être de (a) 237 fs, (b) 173 fs, (c) 131 fs, (d) 89.8 fs et (e) 44.9 fs.

Ces délais calculés correspondent parfaitement à ceux présentés sur les courbes de la

figure 4.3.

1.0 ~----r-------r-~-___ ---'T----~---~-----'

0.8

E 0.6 ~

o c

,(]) .~

ê 0.4 (]) +-' c

0.2

- Propagation libre - (a),~d=Omm

- (b),~d = 15 mm - (c),~d = 33 mm

- (d),~d=69mm

- (e), ~d = 199 mm

0.0 L--~~====:::::::iii""'_"''''''IIiII.-_Illllliiiii __ ''''iIiIiI.-_ __ ''''' __ ''''''

o 50 100 1 50 200 250 300 Temps après le passage de l'impulsion principale (fs)

FIGURE 4.3 - Distribution temporelle au foyer théorique pour une ouverture

circulaire éclairée par une IUB, avec Wo == '\0 , T == 20 fs et a == 2901.25'\0 ' La

dist ance entre l'étranglement (à z == 0) et le plan d 'observation est de 1493

mm. L'ouverture est placée à z == 38.78 mm +~d, avec différentes valeurs de

~d .

Il est également intéressant de remarquer que la durée temporelle de l'impulsion

principale n 'est pas affectée, sauf dans le dernier cas (avec ~d == 199 mm), où la durée

de l'impulsion diffractée est légèrement plus courte que celle de l'impulsion initiale car ,

dans cette situation, l'impulsion secondaire chevauche presque l'impulsion principale.

Le modelage spectral que subissent les IUB à cause de la diffraction par une ouvert ure

ne cause donc pas d 'étalement temporel, et dans certaines situations , il peut même

diminuer la durée de l'impulsion.



Grâce aux algorithmes de calculs développés pour calculer la diffraction d 'une IUB

par une ouverture , ainsi que ceux utilisés pour calculer la diffraction d'un FG par une

séquence de trois ouvertures circulaires de même rayon, il nous a été possible d 'analyser

la diffraction d'une IUB par trois ouvertures. Dans cette section, nous présenterons les

résultats numériques obtenus pour ce cas. Les résultats seront présentés dans le domaine

spectral à la section 4.2.1 et dans le domaine temporel à la section 4.2.2.

4.2.1 Analyse spectrale

Afin de minimiser les risques d'erreur dans les calculs numériques, la configuration

qui a été sélectionnée pour la diffraction d'une IUB par trois ouvertures se rapproche

grandement du cas expérimental étudié à la section 4.1.1. Nous avons donc utilisé des

ouvertures de rayon a == 2901.25Ào, et pour que la distance L se rapproche de 1493 mm

(la distance entre l'étranglement et le plan d'observation à la section 4.1.1), nous avons

posé N == 17. Les positions des ouvertures sont détaillées dans le tableau 1.3.

Les impulsions que nous avons utilisées dans les simulations numériques ont des

formes temporelle et spectrale gaussiennes. Elles sont définies par les équations sui

vantes [8] :

f ( t) == exp ( - rt2 + j Wo t) , ( 4.3)

F ( ) == (( W - Wo) 2

) W exp 4r ' (4.4)

où f(t) est la forme temporelle du champ de l'impulsion, F(w) est sa forme spectrale,

r == a - j {3 est le paramètre complexe gaussien de l'impulsion (dans ce cas-ci, il n'y a

pas de glissement de fréquence, donc r == a) et Wo est la fréquence angulaire centrale

du spectre. La fréquence angulaire centrale du spectre est définie par Wo == 27rc/ Ào,

où Ào == 800 nm est la longueur d'onde centrale du spectre. La durée temporelle de

l'impulsion (largeur à mi-hauteur de l'intensité) est donnée par:

T = J2~2 (4.5)

La distribution spectrale obtenue au foyer théorique des ellipsoïdes est présentée à

la figure 4.4, à la page suivante, pour différentes durées d'impulsion.

Chapitre 4. Effets de modelage d 'impulsion

(1)

(a) '(1) Vl 1.0 ru E ~

0 c (1) 0.5 +-' ·Vi c (1) +-'

c 0.0

(1)

(b) '(1) Vl 1.0 t\l

E ~

0 c (1) 0.5

.-t= Vl C (1) +-'

c 0.0

(1)

{cl '(1) 1.0 Vl

ru E ~

0

~ 0.5 .-t= Vl C (1) +-'

c 0.0

(1)

{dl '(1) Vl

ru 1.0 E ~

0 c ~ 0.5 ·Vi c (1) +-'

c 0.0

- - Propagation libre -Impulsion diffractée

T = 12.5 fs

500 600 700 800 900 1000 Longueur d'onde À (nm)

Propagation libre -Impulsion diffractée

1100

\ T = 10.0 fs

\\~

500 600 700 800 900 1000 Longueur d'onde À (nm)

Propagation libre -Impulsion diffractée

1100

T = 7.5 fs

500 600 700 800 900 1000 1100 Longueur d'onde À (nm)

- - Propagation libre -Impulsion diffractée

T = 5.0 fs

500 600 700 800 900 1000 1100 Longueur d'onde À (nm)

FIGURE 4.4 - Distribution spectrale au foyer théorique pour une séquence de

trois ouvertures circulaires éclairées par une IUB, avec Wo == 5.8Ào, N == 17,

M == 19, a == 2901.25Ào et (a) T == 12.5 fs, (b) T == 10.0 fs, (c) T == 7. 5 fs et (d)

T == 5.0 fs.

33


En observant la figure 4.4, on voit que plus l'impulsion est courte, plus la modulation

du spectre est forte. Les spectres des impulsions diffractées comportent deux types de

modulation: une oscillation lente de grande amplitude et une oscillation rapide de petite

amplitude. La modulation rapide de petite amplitude est probablement causée par les

erreurs numériques (arrondissements, interpolations, etc.), tandis que l'oscillation lente

est probablement due à la diffraction, comme c'était le cas pour la diffraction par une

seule ouverture. Qui plus est, les maxima et minima de la modulation spectrale de

large amplitude se retrouvent aux mêmes longueurs d'onde, peu importe la durée de

l'impulsion. Il est aussi possible que la modulation de faible amplitude soit causée par

les effets de diffraction de deuxième et troisième ordre (la diffraction par la première

ouverture affecte la diffraction par les deux suivantes, et ainsi de suite).


Afin de d'étudier l'effet qu'aurait une séquence des trois ouvertures circulaires sur la

forme temporelle d'une IUB, les spectres obtenus à la section 4.2.1 ont été transposés

dans le domaine temporel à l'aide d'une transformée de Fourier inverse de ces spectres

d'intensité. La distribution temporelle au foyer théorique des ellipsoïdes est présentée

à la figure 4.5, pour différentes durées d'impulsion.

Selon la géométrie (figure 4.2), les impulsions secondaires devraient avoir un délai

par rapport à l'impulsion principale de 25.33 fs pour la première ouverture, de 22.67 fs

pour l'ouverture centrale et de 17.11 fs pour la dernière ouverture. Les impulsions

secondaires n'ont pas exactement ces délais, mais il est possible que ce décallage soit

dû aux effets de diffraction de deuxième et troisième ordre.

La diffraction par trois ouvertures augmente la durée de l'impulsion principale, sur

tout lorsque les impulsions secondaires ne sont pas clairement séparées de l'impulsion

principale. L'impulsion de 12.5 fs est deux fois plus longue qu'à l'origine, avec une durée

de 25 fs, l'impulsion de 10 fs est allongée à 16 fs, et celle de 7.5 fs dure 9 fs après la dif

fraction. La seule durée d'impulsion qui n'est presque pas affectée par la diffraction est

celle de l'impulsion de 5 fs, qui devient 5.5 fs après la diffraction par trois ouvertures.

Chapitre 4. Effets de modelage d 'impulsion

1.0 r-----r-------r----.,...-----,-------,-------.,

0.8

E 0.6 ~

o c

,(]) ~

·Vi c 0.4 (]) ~

c

0.2

- t = 12.5 fs -- T = 10.0fs

- 't=7.5fs - t=5.0fs

0.0 L-_~ __ ...L.... __ ...1....._~~~Iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii.-_ ..... ___ "'__ __ __'

o 10 20 30 40 50 60 Temps après le passage de l'impulsion principale (fs)

FIGURE 4.5 - Distribution temporelle au foyer théorique pour une séquence

de trois ouvertures circulaires éclairées par une IUB, avec Wo = Ào, N = 17,

M = 19, a = 2901.25Ào et différentes valeurs de T, la durée d'impulsion.

35

Chapitre 5

Conclusion

Puisque chaque chapitre du corps de ce mémoire comporte un aspect différent , ce

chapitre de conclusion sera, à même enseigne, divisé en trois sections : la diffraction

par une ouverture (section 5.1), la focalisation de faisceaux (section 5.2) et le modelage d 'impulsions (section 5.3).

5.1 Diffraction par une ouverture

Dans le chapitre 2, nous avons présenté les résultats qui ont servi de tests préliminaires pour les algorithmes. En partant du cas le plus simple possible (la diffraction

d 'une onde plane par une ouverture circulaire) et en incrémentant graduellement la complexité du problème, nous avons pu démontrer que nos méthodes de calcul sont justes et nous avons paufiné l'algorithme utilisé.

Les résultats numériques obtenus pour la diffraction d'ondes planes et paraboloïdales

sont en accord avec la théorie, ce qui confirme la validité des calculs. Qui plus est, les

résultats montrent que l'intensité oscille entre 0 et 4 fois l'intensité de l'onde propagée

dans le vide, ce qui correspond à l'interférence entre deux ondes de même intensité

(l 'onde directe et l'onde générée par l'ouverture). De plus, les positions sur l'axe des

maxima pour la diffraction d'une onde plane uniforme peuvent être prédits par un tracé

de rayons simple. De la même façon, le maximum principal sur l'axe de la diffraction d 'une onde paraboloïdale par une ouverture peut être prédit par tracé de rayons et par les ellipsoïdes de Fresnel.

Chapitre 5. Conclusion 37

Pour le cas de la diffraction d 'un faisceau gaussien par une ouverture , il n 'y a pas

(à notre connaissance) de résultat analytique , donc nos résultats numériques n 'ont pas

pu être comparés. Toutefois, les courbes obtenues montrent un comportement similaire

aux ondes paraboloïdales, avec comme seule différence un contraste moins élevé.

5.2 Effets focalisants

Au chapitre 3, une application successive de l'intégrale de diffraction de Fresnel a

permis de trouver la figure de diffraction produite par une cascade d 'ouvertures. Les résultats numériques et expérimentaux sont en accord presque parfait, ce qui confirme, une fois de plus, la validité de nos méthodes de calcul.

Les paramètres qui affectent les propriétés focalisantes du système (la taille à l'étran

glement Wo du faisceau gaussien, le rayon a des ouvertures et la distance L entre les

deux foyers des ellipsoïdes) ont été variés indépendamment, afin d'observer leur effet sur

la focalisation. Nous avons observé que la taille à l'étranglement Wo affecte le contraste

de la distribution d'intensité sans toutefois en modifier la forme. Plus Wo est petit, plus

l'intensité au point focal des ellipsoïdes est grande. En fait, le cas offrant les intensités

les plus élevées est celui pour lequel Wo = À, ce qui correspond à la limite diffractionnelle

pour un faisceau gaussien. Les paramètres a et L ont à peu près le même effet sur la

focalisation et dans les deux cas, les intensités les plus élevées (environ 16 fois l'intensité

de l'onde propagée dans le vide) ont été obtenues avec N = 3 et M = 5. Dans ce cas,

plus de 8 % de l'énergie du plan focal est contenue dans la tache centrale. Nous avons

aussi remarqué que plus N et M sont grands, meilleure est la résolution transversale.

Finalement, nous avons approximé la propagation à l'intérieur d'un cylindre métal

lique par 3 ouvertures également espacées, de même rayon que le cylindre. La comparai

son des résultats numériques avec des résultats expérimentaux précédemment publiés

ont démontré que cette approximation est valide. De tels cylindres présentent ainsi des

propriétés focalisantes et pourraient être utilisés comme concentrateurs non imageants de puissance optique.

Nous avons donc remarqué que les structures composées de plusieurs ouvertures

circulaires peuvent servir à focaliser les ondes électromagnétiques à partir de la dif

fraction. Ces lentilles diffractives pourraient s'avérer fort utiles pour les applications

utilisant des longueurs d'onde pour lesquelles les lentilles réfractives traditionnelles ne

sont pas disponibles, comme par exemple en imagerie par rayons X. La même approche

pourrait aussi éventuellement servir à la focalisation de faisceaux cl' électrons, via la


longueur d'onde de De Broglie. Ces structures seraient aussi potentiellement utiles en

microlithographie, quand les intensités sont déjà trop élevées et endommagent les len

tilles , mais des intensités encore plus élevées sont désirées , ou encore pour le piégeage

de particules, où la série de pics intenses pourraient servir à piéger plusieurs particules ou groupes de particules sur un même axe.

À l'opposé , nous croyons que nos résultats sont tout aussi utiles pour prédire une

concentration fortuite de faisceaux laser dans des systèmes périodiques ou non pério

diques à l'échelle des nanostructures , actuellement en développement.

5.3 Effets de lllodelage d'illlPulsion

Au chapitre 4, nous avons étudié la diffraction d'une impulsion ultrabrève par une et par trois ouvertures circulaires.

Le problème de la diffraction d'une impulsion ultrabrève par une ouverture circu

laire ayant déjà été approché expérimentalement, nous avons comparé nos résultats

numériques aux résultats expérimentaux publiés. La similitude entre les deux séries de

données a démontré que l'algorithme de calcul reproduit très bien les résultats expé

rimentaux, et justifie qu'il soit utilisé pour étudier la diffraction d'une IUB par trois ouvertures de même rayon. Les spectres obtenus ont été transposés au domaine temporel, et nous avons remarqué que les impulsions sont dédoublées temporellement. En

effet, des impulsions secondaires ont été observées sur chaque courbe, et les délais calculés correspondent parfaitement à ceux qui ont été déduits de la géométrie du problème.

Nous avons aussi remarqué que le modelage spectral que subissent les impulsions à

cause de la diffraction par une ouverture ne cause pas d'étalement temporel, et dans

certaines situations, il peut même diminuer la durée de l'impulsion.

Grâce aux algorithmes de calculs développés pour calculer la diffraction d'une impulsion ultrabrève par une ouverture, il nous a été possible d'analyser la diffraction

par trois ouvertures. En observant les distributions spectrales, nous avons remarqué

que plus l'impulsion est courte, plus la modulation du spectre est forte. Les maxima et

minima de cette modulation se retrouvent aux mêmes longueurs d'onde, peu importe la

durée de l'impulsion, et la diffraction de deuxième et troisième ordre produisent une mo

dulation supplémentaire, de faible amplitude et très rapide. Des impulsions secondaires

ont aussi été observées dans les distributions temporelles, mais les délais de celles-ci

diffèrent légèrement des délais prévus par la géométrie.


Les structures diffractives composées d 'une ou plusieurs ouvertures circulaires pour

raient ainsi servir à développer de nouvelles méthodes de modelage d 'impulsions ultra

brèves. Finalement, l'algorithme de calcul que nous avons développé pourra éventuel

lement servir à analyser les effets de nanostructures sur les faisceaux laser cohérents et sur les impulsions ultrabrèves.

Bibliographie

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tion of the boundary wave pulse," Opt. Commun. Vol. 239, 243-250 (2004).

Annexe A

Algorithme

Voici l'algorithme Matlab utilisé pour calculer les résultats présentés dans ce mémOIre.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Initialisation %%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% N = 17; aO = 2901.25; % sqrt(N*(L+N/4))/2; L 4*aO~2/N-N/4;

M 19; d = (2*L+M)*sqrt(M*(4*L+M)*(M~2+4*M*L-16*aO~2))/(4*M*(4*L+M)); z = [-d 0 d];

zO L/2; fO L/2;

%distance entre la source et la premiere ouverture %position du foyer theorique p/r a la derniere ouverture

%% Echantillonnage du spectre % Pour le cas monochromatique, remplacer cette section par % lam=1; poids=1; Ns = 1024; L_O = 800; tau = 10e-15; gamma = 2*log(2)/tau~2; w_centre = 2*pi*2.99792458e8./(L_0*1e-9); dw = 4*log(2)/tau; w = linspace(w_centre-4*dw,w_centre+4*dw,Ns);

Annexe A . Algorithme

lam = le9*2*pi*2.99792458e8./w; dlam = le9*2*pi*2 . 99792458e8*(1/(w_centre-dw/2)-1/(w_centre+dw/2)); s = exp(-(w-w_centre) .~2/(4*gamma)); poids = s/sum(s);

load c.mat; c = c(l,:); load C_3000.mat; z_lin = fa;

Nx = 1; %nombre de points transverses echantillones

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Distribution d'intensite %%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% spec = zeros(length(z_lin),Ns); specO = zeros (length(z_lin) ,Ns); %aO = 2901.25; wO = 1/500;

for n = l:Ns [fig, rJ = HT(aO, wO, Z, zO, lam(n) , L_O, c, C, z_lin); f_amp_lam = fig*(poids(n)); spec(: ,n) = f_amp_lam(l, :); [fig, rJ = HT(aO, wO, [J, zO, lam(n) , L_O, c, C, z_lin); f_amp_lamO fig*(poids(n)); specO(: ,n) = f_amp_lamO(l, :);

end Si abs(spec*sum(s)) .~2; SO = abs(specO*sum(s)) .~2;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Affichage %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fsize = 16; % grandeur de police pour les graphiques dw = w(end)-w(l); SO_w = interpl(2*pi*2 .99792458e8./(lam*le-9),SO,w,'spline' ,0); Sl_w = interpl(2*pi*2.99792458e8./(lam*le-9),Sl,w,'spline' ,0); facteur_TF = 16; % augmente la resolution temporelle dt = 2*pi/(dw); t = (-facteur_TF*Ns/2:(facteur_TF*Ns/2-1))*dt/facteur_TF;

43


%Champ sur l'axe au point focal, en fonction du temps ff ifft(SO_w,facteur_TF*Ns); fc = ifftshift(ff)/dt; FO abs(fc) .~2;

ff ifft(Sl_w,facteur_TF*Ns); fc ifftshift(ff)/dt; Fl = abs(fc) .~2;

%% Distributions spectrales figure, subplot(2,1,1) set(gca,'Fontsize' ,fsize), plot(lam,SO(1, :)/max(SO(1, :)),'--k', 'LineWidth',2), hold on,

plot(lam,S_filtre(9:end)/max(SO(1,:)),'-k' ,'LineWidth' ,2), grid on, title('Distribution spectrale'), xlabel('Longueur d"onde \lambda (nm)'), ylabel('Intensite normalisee');

axis([800-2*dlam 800+2*dlam 0 max([l S_filtre/max(SO)])])

subplot(2,1,2),

plot(t*le15,FO/max(FO),'--k', 'Linewidth' ,2), hold on, plot(t*le15,Fl/max(FO),'-k', 'Linewidth' ,2), set(gca,'Fontsize' ,fsize), grid on

title('Distribution temporelle'), ylabel('Intensite normalisee'); xlabel('Temps apres le passage de l"impulsion principale (fs)'), legend('Propagation libre','Impulsion difractee') axis([O 100 0 max([l Fl/max(FO)])]) set(gca,'Linewidth' ,1);

saveas(gcf,sprintf('IUB_horvath_d_%dfs_w%d.eps',tau*le15,1/wO));

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function [fig, r_fin] = HT(aO, wO, Z,zO,lam, L_O,c,C, z_lin) % % Ce programme a ete teste et eprouve avec Matlab 7.0 R14 % Largement inspire par M. Guizar-Sicairos et J. C. Gutierrez-Vega, % Computation of quasi-dis crete Hankel transforms of integer order for % propagating optical wave fields, J. Opt. Soc. Am. A 21, 53-58 (2004).

% Ecrit par G. Theriault, mai 2007.

Annexe A . A lgorithme

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Parametres d'entree %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%aO = 2901.25; a = 1;

N

R

3000;

6;

%% N length(c)-l;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Calcul de la matrice %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

ord = 0;

r = c(l:N)'*R/c(N+l); %% Radius vector v = c(1:N)'/(2*pi*R); %% Frequency vector ml (abs(besselj(ord+l,c(l:N)))/R)'; %% ml prepares input vector m2 ml*R/(c(N+l)/(2*pi*R)); %% m2 prepares output vector vd [-v (end: -1 : 1) ; v]; rd [ - r ( end: -1 : 1); r]; r_fin = 0;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Initialization %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

M = max(size(Z)); %% M est le nombre d'ouvertures lambda = lam/(L_O*aO); k 2*pi/lambda; Z = Z/aO; zO = zO/aO; if M==O

L ouv = zO; else

L ouv zO + Z(l); end z_lin = z_lin/aO; Nz = max(size(z_lin));

45


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Calculs de diffraction %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% champ incident sur la premiere ouverture

% % Pour une DPU, remplacer cette section par % Pour une OP, remplacer cette section par % f_entree = exp(-i*k*r.~2/(2*L_ouv)) . *exp(-i*k*L_ouv)/L_ouv;

% %wO = 1/20; z_r = p i *(wO~2)/lambda;

w = wO.*sqrt(1+(L_ouv/z_r) .~2); Rg = L_ouv + (z_r . ~2) .*(L_ouv) .-(-1);

zeta = atan(L_ouv./z_r); f_entree = exp(-i*k*(L_ouv+r.-2.*(2*Rg) .-( - 1))+i*zeta-(r.~2) ./(w.-2));

%% champ incident sur les ouvertures suivantes if M > 1

for n=1:M-1 z = Z(n+1) - Zen); Nf = a~2/(lambda*z); %% Nombre de fresnel f_fresnel = exp(-i*pi*Nf*r.-2); f = f_entree.*f_fresnel.*(r<=1);

46

F = f./m1; %% Prepares vector for transformation

end end

F2 = C*F; %% Obtains the Hankel transform f_trans = F2.*m2; %% Prepares vector for display f_trans(find(isnan(f_trans)))=O; f2d = [f_trans(end:-1:1); f_transJ ;%% miroir des valeurs f_trans2 = interp1((vd/Nf), f2d, rd,'nearest'); K = exp( -i*( k*z + pi*(rd(N+1:end)) .-2 /(lambda*z))); f_entree = i*Nf*K.*f_trans2(N+1:end);

%% champ dans tous les plans de z_lin (apres la derniere ouverture) for m = 1 :Nz

z = z_lin(m); Nf = a-2/(lambda*z); %% Nombre de fresnel

Annexe A . A lgorithme

end

if M==O

f

el se

end F = f./ml;

F2 = C*F;

%% S'il n'y a pas d'ouverture

%% Prepares vector for transformation %% Obtains the Hankel transform

f_trans = F2.*m2; %% Prepares vector for display f_trans(find(isnan(f_trans)))=O;

f2d = [f_trans(end:-l:l); f_transJ; %% miroir des valeurs f_trans2 = interpl((vd/Nf), f2d, r_fin,'nearest'); K = i*Nf*exp( -i*(k*z + pi*r_fin.-2 /(lambda*z))); fig e: ,m) = K.*f_trans2;

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