Torsion Des Poutres Circulaires
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5/14/2018 Torsion Des Poutres Circulaires
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Torsion des poutres circulairesI-Definition
Une poutre circulaire est dite sollicitee en torsion pure si au centre de gravite de chaque sectiondroite, seulle moment de torsion est different de 0, ~;, = I - < ?
II-Contraintes et deformations dans une poutre circulaire plaine1)Definition
Soit un arbre circulaire plein soumis a ses 2 extremites a des moments de torsions egaux et de signeopposes suivant l'axe.Dans chaque section droite, la resultante des efforts exterieurs en G a pour unique composanteToutes les sections droites apres chargement restent planes, circulaires et normales a l'axe ducylindre ( Hypothese de la RDM ) . Ces sections toument chacune autour de leur centre respectif.Un rayon trace dans une section droite reste rectiligne et l'angle entre 2 rayons reste constant aucours de la deformation, ce qui entraine que chaque section droite toume autour de son centrecomme un disque rigide.
Soit d lP la rotation de ces 2 sectionsl'une par rapport a l'autre.
9-::. d q >d " . .
Le volume OABO'A'B' est soumisau cisaillement pur puisqu'il ne subitque des contraintes de cisaillement ?( ou des contraintes tangentielles )
,A - l1 1 : : f J ' - P : . f < 9 - -AA' d l l c . .
~ . j. .. . . .
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_ItJ_~ \32 .
Cette expression montre que les contraintes de cisaillement dans les poutres de sections circulairesvarient de facon lineaire en fonction de ~ et sont proportionnelles a la torsion unitaire So
Repartition du cisaillement dans la section droite circulaire - Variation lineaire
c - c ( Effort de cisaillement ? )< 7 ( Mpa ) : Module de Coulombf (m ) : distance au centree- ( rad/m ) : torsion unitaire
3) Relations entre l'angle de torsion unitaire 6- et Ie moment de torsion HI-La resultante des cisaillements ~ dans une section droite circulaire est nulle d'apres leurdistribution ( schema du dessus ) . Le moment resultant doit etre egal au moment de torsion.Calcul: N I - = ) , ~ f t l ' ! >
:: ) G f2.e- Js: : < 7 . So ) f'J 5~ r> t.....e",\- q"...J rQ . [" ' ( v~
Relation:La rotation unitaire a pour expression : ~ ~Pour un arbre circulaire plein:
4 ) Relation entre Ie cisaillement ?t Ie moment de torsion M tLe cisaillement varie de facon lineaire en fonction de 4 > , il suffit de relier le cisaillement aumoment de torsion.
G ToLe cisaillement a maintenant pour expression :rolfAvec T... le Module de Resistance en Torsione
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dLa valeur du cisaillement maximum sera atteinte sur la peripherie de la section droite, done pour f:-;:
5 ) Rotation axialeLa rotation axiale relative de deux sections extremes distantes de P d'une poutre sollicitee entorsion pure a pour expression:
6 ) Condition de resistance et deformation des arb res en torsionsLe calcul d'un arbre circulaire en torsion doit satisfaire :
la condition de resistance en torsion- la condition de deformationa ) Condition de resistance en torsion
La poutre de section circulaire doit en aucun point atteindre la resistance pratique au cisaillement.
d/Z
Avec le moment quadratique Ie dimensionnement a la resistance du diametre est:d ~ ~'(6 .4~
'i'r > C ~nb ) Condition de deformation en torsion
La condition de resistance en torsion n'est pas toujours suffisante.K~e-~ ~ erM~
L 1:.0 ~ J-i{r-G&..L , ",z );f t-
'Ii Go S-,...Avec e-.. l'angle max acceptable en fonctionnement
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III - Contraintes et deformations dans une poutre circulaire creuse1)Repartition
Repartition du cisaillement dans la section circulaire creuse
On remarque que la valeur des contraintes de cisaillement est negligeable a l'interieur del'evidement par rapport au contour exterieur de la section droite circulaire.
2 ) Pourquoi utiliser des sections circulaires creuses ?Car le materiaux, au centre de la section droit, n'est plus solliciteAvantages : gain en masseAttention: toujours faire attention entre le prix de l'arbre creux / plein par rapport au domained'utilisation.
3 ) Calcul des arb res circulaires creuxTout est identique, seulle moment quadratique polaire de la section droite change 10til" Olz""\0 ' (( f 2 .f l pJ\!r li (D"_~t;)) i > ) cllz vz .
../6 H \-
IV - Contraintes et deformations dans les tubes de faible epaisseur1)Repartition du cisaillement
Considerons une poutre creuse, si l'epaisseur du tube reste faiblepar rapport au rayon. ~ Va peut varier suivant I'epaisseur,Hypotheses: pour les tubes d'epaisseurs minces, la valeurde~ varie tres peu. Dans ce cas, la repartition de la contrainte decisaillement sera supposee uniforme suivant l'epaisseur du tube.
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- L : la longueur de la poutre de section S- M : moment de torsion ( couples ponctuels )- Densite Iineique de torsion y
x
2 ) Calcul du cisaillementQ.: ~ e L . . . . . s . . . . . kS~ ..".._~ t.L ~
. V - Expression et diagramme du moment de torsion
~ : ~~~;2 : -;;:. [ z M: + ) ee ~ ( f 7 e ) J ~ ]o
A () : ~ -. ~ ~ T .: [~)..(.-.. S L ;f(.J J"" ]lie ...
VI - Relation entre Ie moment de torsion et la densite lineique de torsionIsolons un element de poutre de longueur h sollicite par des moments de torsions ponctuels et desdensites lineiques de couple de torsion.
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Si M(x) = 0 ---+d X 1 -- :0--+ Mt = constanted n c ; .