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E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2)

François Cuvelier

Laboratoire d'Analyse Géométrie et Applications

Institut Galilée

Université Paris XIII.

5 janvier 2015

Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 1 / 41

Plan

1 Introduction

ExemplesMétéorologie

Chimie : La réaction de Belousov-Zhabotinsky

Mécanique

Dé�nition des E.D.O.

Formulation générale : le problème de Cauchy

Dérivation numérique

Méthode des di�érences �nies pour le problème de Cauchy en

dimension m “ 1

Exemple

Stabilité (absolue)


dimension m


Le couplage Océan-Atmosphère est décrit par un système d'E.D.P. couplées

de Navier-Stokes de la mécanique des �uides.

Le modèle de Lorentz est une version très simpli�ée de ces équations

pour l'étude du phénomène de convection de Rayleigh-Bénard :

$

&

%

x 1ptq “ ´σxptq ` σyptqy 1ptq “ ´xptqyptq ` ρxptq ´ yptq

z 1ptq “ xptqyptq ´ βzptq(1)

où

‚ xptq : proportionnel à l'intensité du mouvement de convection,

‚ yptq : proportionnel à la di�érence de température entre les courants

ascendants et descendants,

‚ zptq :proportionnel à une variation de température


Modèle de LorentzAvec σ “ 10, ρ “ 28, β “ 8{3 et les données initales xp0q “ ´8, yp0q “ 8

et zp0q “ ρ´ 1.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−20

0

20x(

t)

t

Modele de Lorentz

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−50

0

50

y(t)

t

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

20

40

z(t)

t


Modèle de Lorentz : papillon


Modèle du Bruxelator

Une solution de bromate de potassium et d'acide sulfurique mélangée à une

solution d'acide manolique et de bromure de sodium peut entrainer, sous

certaines conditions, une oscillation de la couleur de la solution mélange du

rouge au bleue avec une période de 7 secondes.

Le modéle associé est nommé modèle du bruxelator. Sous certaines

hypothèses, le modèle simpli�é peut s'écrire :

"

A1ptq “ 1` αA2ptqBptq ´ pβ ` 1qAptq

B 1ptq “ ´αA2ptqBptq ` βAptq(2)


Modèle du BruxelatorAvec α “ 1, β “ 3.5 et les C.I. Ap0q “ 3 et Bp0q “ 2 :

0 5 10 15 20 25 30 35 400

1

2

3

4

5

6

t

Brusselator simplifie − Concentrations

A(t)

B(t)


Modèle du BruxelatorAvec α “ 1, β “ 3.5 et les C.I. Ap0q “ 3 et Bp0q “ 2 :

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

A(t)

B(t

)

Brusselator simplifie


Pendule pesant sans viscosité

Le pendule pesant : objet pesant accroché à une tige de masse négligeable,

l'autre extrémité de la tige est l'axe de rotation du pendule.

θ2ptq `g

Lsinpθptqq “ 0. (3)

où θptq est l'angle que fait, à l'instant t, le pendule par rapport à l'axe

vertical, L la longueur de la tige.

θ

L

M


Pendule pesant sans viscositéAvec g

L“ 3 et les C.I. θ0 “

5π6, θ10 “ 0 :

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−3

−2

−1

0

1

2

3

t

θ(t)

Pendule pesant − valeur angulaire

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−4

−2

0

2

4

t

θ’(t

)

Pendule pesant − vitesse angulaire



L“ 3 et les C.I. θ0 “

5π6, θ10 “ 0 :

−3 −2 −1 0 1 2 3−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

θ(t)

θ’(t

)

Pendule pesant



L“ 3 :

0 5 10 15 20

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

AB

C

θ

θ’

Représentation des courbes paramétrées (θ(t),θ’(t))


Plan

1 Introduction



Mécanique





dimension m “ 1

Exemple



dimension m


Soit une fonction yyy dé�nie sur un intervalle de R à valeurs dans Rm de

classe Cp (continûment dérivable d'ordre p) et on note yyy ppq la dérivée

d'ordre p de yyy .

Dé�nition

On appelle équation di�érentielle ordinaire (E.D.O.) d'ordre p une

équation de la forme :

Fpt,yyyptq,yyy p1qptq,yyy p2qptq, . . . ,yyy ppqptqq “ 0.

Dé�nition

On appelle forme canonique d'une E.D.O. une expression du type :

yyy ppqptq “ GGGpt,yyyptq,yyy p1qptq,yyy p2qptq, . . . ,yyy pp´1qptqq. (4)

Proposition

Toute équation di�érentielle d'ordre p sous forme canonique peut s'écrire

comme un système de p équations di�érentielles d'ordre 1.


Plan

1 Introduction



Mécanique





dimension m “ 1

Exemple



dimension m


Dé�nition (problème de Cauchy)

Soit fff l'application continue dé�nie par

fff : rt0, t0 ` T s ˆ Rm ÝÑ Rm

pt,yyyq ÞÝÑ fff pt,yyyq

avec T Ps0,`8s. Le problème de Cauchy revient à chercher une

fonction yyy dé�nie par

yyy : rt0, t0 ` T s ÝÑ Rm

t ÞÝÑ yyyptq

continue et dérivable, telle que

"

yyy 1ptq “ fff pt,yyyptqq, @t P rt0, t0 ` T s

yyypt0q “ yyy0 P Rm.(5)


pCq"


yyypt0q “ yyy r0s P Rm.

Exercice

Quelles sont les données du problème de Cauchy ?

"


yyypt0q “ yyy0 P Rm.(6)

t0 P R, T P R`˚, m P N˚

la fonction fff

le vecteur yyy r0s P Rm


Exercice

Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du Bruxelator

simpli�é :

pBq"

A1ptq “ 1` αA2ptqBptq ´ pβ ` 1qAptq

B 1ptq “ ´αA2ptqBptq ` βAptq

avec C.I. Ap0q “ A0 et Bp0q “ A0.

On pose yyyptq “

ˆ

y1ptq

y2ptq

˙

avec y1ptq “ Aptq et y2ptq “ Bptq.

La forme canonique de pBq est yyy 1ptq “ GGGbpt,yyyptqq avec p “ 1 et

GGGbpt,zzzq “

ˆ

1` αz21 z2 ´ pβ ` 1qz1´αz21 z2 ` βz1

˙

.

On pose fff bpt,zzzq “ GGGbpt,zzzq et yyyr0s “ pA0,B0q

t

pCBq"

yyy 1ptq “ fff bpt,yyyptqq, @t P r0,T s

yyypt0q “ yyy r0s P R2.


Exercice

Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du pendule pesant

simpli�é :

pPq θp2qptq `g

Lsinpθptqq “ 0.

avec C.I. θp0q “ θ0 et θ1p0q “ θ10.

On pose yyyptq “ py1ptq, y2ptqqt avec y1ptq “ θptq et y2ptq “ θ1ptq.

yyy p1qptq “

˜

yp1q1 ptq

yp1q2 ptq

¸

“

ˆ

θp1qptq

θp2qptq

˙

“

ˆ

θp1qptq´

gLsinpθptqq

˙

“

ˆ

y2ptq

´gLsinpy1ptqq

˙

.

On pose fff ppt,zzzq “

ˆ

z2´

gLsinpz1q

˙

et yyy r0s “ pθ0, θ10qt

pCPq"

yyy 1ptq “ fff ppt,yyyptqq, @t P r0,T s

yyypt0q “ yyy r0s P R2.


Exercice

Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du pendule pesant

simpli�é :

pPq θp2qptq `g

Lsinpθptqq “ 0.

avec C.I. θp0q “ θ0 et θ1p0q “ θ10.

On pose yyyptq “ py1ptq, y2ptqqt avec y1ptq “ θptq et y2ptq “ θ1ptq.

yyy p1qptq “

˜

yp1q1 ptq

yp1q2 ptq

¸

“

ˆ

θp1qptq

θp2qptq

˙

“

ˆ

θp1qptq´

gLsinpθptqq

˙

“

ˆ

y2ptq

´gLsinpy1ptqq

˙

.

On pose fff ppt,zzzq “

ˆ

z2´

gLsinpz1q

˙

et yyy r0s “ pθ0, θ10qt

pCPq"

yyy 1ptq “ fff ppt,yyyptqq, @t P r0,T s

yyypt0q “ yyy r0s P R2.Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 19 / 41

Problème de Cauchy linéaire :

"

y 1ptq “ 3yptq ´ 3t, si t ą 0

yp0q “ 1

On a f pt, vq “ 3v ´ 3t et une solution yptq “ p1´ 1{3qe3t ` t ` 1{3.

Problème non-linéaire :"

y 1ptq “ 3a

yptq, si t ą 0

yp0q “ 0

On a f pt, vq “ 3?v et trois solutions yptq “ 0, yptq “

a

8t3{27 et

yptq “ ´a

8t3{27.


pPCq"

yyy 1ptq “ fff pt,yyyptqqyyypt0q “ yyy0 P Rm.

avec fff : U ÝÑ Rm, U un ouvert de Rˆ Rm et pt0,yyy r0s P U.

Theorem (Cauchy-Lipschitz)

On suppose que la fonction fff est continue sur U et quelle est localement

lipschitzienne en yyy : @pt,yyyq P U, DW voisinage ttt, DV voisinage yyy , DL ą 0

tels que

@s PW, @puuu,vvvq P V2, }fff ps,uuuq ´ fff ps,vvvq} ď L }uuu ´ vvv} (7)

Sous ces hypothèses le problème de Cauchy pPCq admet une unique

solution.

Proposition

SiBfff

Byyypt,yyyq est continue et bornée, alors fff satisfait (7).


Plan

1 Introduction



Mécanique





dimension m “ 1

Exemple



dimension m


On note tn “ a ` nh, n P v0,Nw et h “ pb ´ aq{N une discrétisation

régulière de ra, bs. Soit pDyqn une approximation de y 1ptnq. On appelle

di�érence �nie progressive l'approximation

pDyqPn “yptn`1q ´ yptnq

h, @n P v0,N ´ 1w (8)

di�érence �nie rétrograde l'approximation

pDyqRn “yptnq ´ yptn´1q

h, @n P v1,Nw (9)

di�érence �nie centrée l'approximation

pDyqCn “yptn`1q ´ yptn´1q

2h, @n P v1,N ´ 1w (10)


De�nition

Soit g une fonction. On dit que g se comporte comme un grand O de

hq quand h tend vers 0

DH ą 0, DC ą 0, t.q. |gphq| ď Chq, @h Ps ´ H,Hr ô gphq “ Ophqq

Proposition (Développement de Taylor)

Soit f P Cr`1pra, bs;Rq.‚ @px , yq P ra, bs2 il existe un ξ Psx , y r tel que

f pxq “ f pyq `rÿ

k“0

f pkqpyq

k!px ´ yqk `

f pr`1qpξq

pr ` 1q!px ´ yqr`1 (11)

‚ @x P ra, bs, @h P R˚ véri�ant x ` h P ra, bs, il existeξ Psminpx , x ` hq,maxpx , x ` hqr tel quel

f px ` hq “ f pxq `rÿ

k“0

f pkqpxq

k!hk `

f pr`1qpξq

pr ` 1q!hr`1 (12)


Plan

1 Introduction



Mécanique





dimension m “ 1

Exemple



dimension m


On veut résoudre le problème de Cauchy :

pPCq"

y 1ptq “ f pt, yptqq, @t P rt0, t0 ` T s

ypt0q “ y0 P R.

La méthode d'Euler progressive est donnée par le schéma

"

yn`1 “ yn ` hf ptn, ynq, @n P v0,N ´ 1w

y0 “ ypt0q(16)

Ce schéma est explicite, car il permet le calcul direct de yn`1 en fonction

de yn.



pPCq"

y 1ptq “ f pt, yptqq, @t P rt0, t0 ` T s

ypt0q “ y0 P R.

La méthode d'Euler régressive est donnée par le schéma

"

yn`1 “ yn ` hf ptn`1, yn`1q, @n P v0,N ´ 1w

y0 “ ypt0q(17)

Ce schéma est implicite, car yn`1 est dé�nit implicitement en fonction de

yn. Il faut donc résoudre à chaque pas de temps une équation non-linéaire

en utilisant des méthodes de point �xe par exemple.


Plan

1 Introduction



Mécanique





dimension m “ 1

Exemple



dimension m


Soit l'E.D.O. suivante"

y 1ptq “ yptq ` t2y2ptq, pour t P r0, 5s,yp0q “ ´1

de solution exacte

yptq “ 1{pe´t ´ t2 ` 2t ´ 2q.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−2

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

t

y’(t)=y(t)+t2 y2(t) avec y(0)=−1 et N=10

exacte

Euler Progressive

Euler Regressive


Soit l'E.D.O. suivante"

y 1ptq “ yptq ` t2y2ptq, pour t P r0, 5s,yp0q “ ´1

de solution exacte

yptq “ 1{pe´t ´ t2 ` 2t ´ 2q.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

t

y’(t)=y(t)+t2 y2(t) avec y(0)=−1 et N=50

exacte

Euler Progressive

Euler Regressive


Plan

1 Introduction



Mécanique





dimension m “ 1

Exemple



dimension m


Stabilité (absolue)On étudie le problème modèle suivant :

"

y 1ptq “ λyptq, pour t P R`,yp0q “ y0

où λ ă 0 est donné. La solution exacte est

yptq “ y0eλt .

En particulier, on a

limtÑ`8

yptq “ 0

Dé�nition

On pose tn “ nh, où le pas de temps h ą 0 est donné et yn une

approximation de yptnq par un schéma donné. On dit alors que le schéma

associé à ce problème est absolument stable si

limnÑ`8

yn “ 0.


Stabilité (absolue)Ce n'est malheureusement pas toujours le cas avec le schéma d'Euler

progressif et h “ 2019« 1.05.

Instabilité Euler progressif - Stabilité Euler rétrograde :

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

t

y’(t)=−2y(t) avec y(0)=1 et h=1.0526

exacte

Euler Progressive

Euler Regressive



Par contre, avec h “ 2021« 0.95, le même schéma est stable.

Stabilité Euler progressif - Stabilité Euler rétrograde :

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

y’(t)=−2y(t) avec y(0)=1 et h=0.95238

exacteEuler ProgressiveEuler Regressive


Stabilité (absolue)Avec h “ 0.1, les deux schémas sont stables :

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

y’(t)=−2y(t) avec y(0)=1 et h=0.1

exacteEuler ProgressiveEuler Regressive


Stabilité (absolue) pour Euler progressif

Le schéma d'Euler progressif associé au problème modèle

"


yn`1 “ yn ` hf ptn, ynq “ yn ` λhyn “ p1` λhqyn

yn “ p1` λhqny0, @n ě 0.

si |1` λh| ă 1 alors limnÑ`8 |yn| “ 0,

si |1` λh| ą 1 alors limnÑ`8 |yn| “ `8,

Stabilité ssi |1` λh| ă 1ðñ 0 ă h ă ´ 2λ .

Le schéma d'Euler progressif est conditionnellement stable.


Stabilité (absolue) pour Euler régressif

Le schéma d'Euler régressif associé au problème modèle

"


yn`1 “ yn ` hf ptn`1, yn`1q “ yn ` λhyn`1 “1

1´ λhyn

yn “

ˆ

1

1´ λh

˙n

y0, @n ě 0.

Or | 11´λh | ă 1 donc limnÑ`8 |y

n| “ 0,

Le schéma d'Euler régressif est inconditionnellement stable.


Plan

1 Introduction



Mécanique





dimension m “ 1

Exemple



dimension m



pPCq"


yyypt0q “ yyy0 P Rm.

La méthode d'Euler progressive est donnée par le schéma

"

yyyn`1 “ yyyn ` hfff ptn,yyynq, @n P v0,N ´ 1w

yyy0 “ yyypt0q(18)

Ce schéma est explicite, car il permet le calcul direct de yyyn`1 en fonction

de yyyn.



pPCq"


yyypt0q “ yyy0 P Rm.

La méthode d'Euler régressive est donnée par le schéma

"

yyyn`1 “ yyyn ` hfff ptn`1,yyyn`1q, @n P v0,N ´ 1w

yyy0 “ yyypt0q(19)

Ce schéma est implicite, car yyyn`1 est dé�nit implicitement en fonction de

yyyn.


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