EC3 Rlc Serie

7/24/2019 EC3 Rlc Serie

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Cours dlectrocintiqueEC3-Circuit RLC srie

Table des matires

1 Introduction 3

2 quation diffrentielle 3

3 tude du rgime libre 33.1 Dfinitions des variables rduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.1.1 Pulsation propre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.1.2 Facteur damortissement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.1.3 Coefficient damortissement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.1.4 Facteur de qualit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Les diffrents rgimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.1 Rgime apriodique : >0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.2 Rgime critique : = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2.3 Rgime pseudo-priodique :


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Electrocintique EC3-Circuit RLC srie 1. Introduction

1 Introduction

A la fin du chapitre prcdent, nous avons tudi les rgimes transitoires des circuits dupremier ordre RC et RL dont on a rsolu les quations diffrentielles pour trouver les expressionsdes tensions et intensits.

Nous allons ici tudier dans le mme esprit le rgime transitoire du circuit RLC srie quicomme nous allons le voir donne naissance des oscillations lectriques.

Le circuit RLC tant du deuxime ordre, ce sera aussi le cas de son quation diffrentielle.Elle fera alors apparatre la notion de rgimes : selon lamortissement du circuit par effet Joule,le rgime transitoire est diffrent.

2 quation diffrentielle

On tudie le circuit RL soumis une tension e(t), onsintresse la tension aux bornes du condensateuret lintensit qui parcourt le circuit. La bobine estidale. On applique la loi des mailles :

e= Ri +Ldi

dt+ u (1)

Comme i= Cdu

dt, on a :

LCd2u

dt

2 +RC

du

dt

+u= e (2)

Cette quation diffrentielle est une quation du se-cond ordre coefficient constant, le circuit RLC srieest appel circuit du second ordre.

Figure 1 Circuit RLC

3 tude du rgime libre

Nous allons nous intresser dans un premier temps au comportement du circuit lorsquele condensateur t pralablement charg sous la tension E du gnrateur, et lorsquil sedcharge dans la bobine et la rsistance.

Lquation diffrentielle correspondant ce rgime libre (appel aussi rgime propre) est lasuivante :

LCd2u

dt2 +RC

du

dt +u = 0 (3)

On cherche donc une solution de cette quation qui est une quation homogne. Cettesolution est du type u= Aert avec A une constante.Si on injecte cette solution dans(3) et que lon limine la solution u = 0 qui na pas de sensphysique, on obtient :

LCr2u+RCru+u= 0 r2 + RL

r+ 1

LC = 0 (4)

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Electro cintique EC3-Circuit RLC srie 3.1 Dfinitions des variables rduites

Cette dernire quation est appele polynme caractristique de lquation diffrentielle (3).Trouver les solutions de ce polynme permet de trouver les solutions de lquation diffrentielle.

Pour claircir la rsolution, nous allons utiliser des variables dites "rduites" :

3.1 Dfinitions des variables rduites

Lintrt des variables rduites est dutiliser des variables de mme dimension dans larsolution de lquation. On peut donc appliquer sa rsolution dans nimporte quel systmedunit.

3.1.1 Pulsation propre

Celle-ci correspond la pulsation des oscillations en labsence de "frottements" (amortisse-ment par effet Joule ici) :

0= 1

LC(5)

0: pulsation propre exprime enrad.s1 ou s1

L: inductance de la bobine exprime en Henry (H)C :capacit du condensateur exprime en Farad (F)

En effet, la dfinition du radian dit que dans un cercle, langle en radian est le rapport de lalongueur de larc que dcrit langle par le rayon. Il sagit du rapport de deux longueurs.

3.1.2 Facteur damortissement

Il va tre li la rsistance globale du circuit. Plus ce facteur sera grand, plus lamortissement

sera lev :

= R

2L (6)

: facteur damortissement exprim en s1

L: inductance de la bobine exprime en Henry (H)R: rsistance totale du circuit exprime en Ohm ()

3.1.3 Coefficient damortissement

Il peut tre intressant de travailler avec une grandeur sans dimension. On dfinit alors lecoefficient damortissement par :

=

0 (7)

Ce coefficient peut tre exprime en fonction des valeurs des composants du circuit :

= R

2

C

L (8)

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Electrocintique EC3-Circuit RLC srie 3.2 Les diffrents rgimes

3.1.4 Facteur de qualit

Pour caractriser un circuit, on utilise souvent une autre grandeur appele facteur de qualit.Elle est relie toutes les grandeurs dont on vient de parler :

Q= 1

2=

L0

R =

1

RC0(9)

En utilisant ces variables rduites, on peut donc crire le polynme caractristique de lamanire suivante :

r2 + 2r+ 20 = 0 ou r2 + 20r+

20 = 0 (10)

3.2 Les diffrents rgimes

Le polynme caractristique acceptant plusieurs solutions selon la valeur de son discriminant,

il en est de mme pour lquation diffrentielle.

Vu la forme du polynme, nous allons utiliser le discriminant rduit.

Rappel mathmatiqueLorsquune quation du second degr est de la forme ax2 + 2bx+ c = 0, on peut utiliser lediscriminant rduit pour en trouver les solutions.Ce discriminant rduit a pour expression : =b2 ac.On obtient alors les solutions :

x1

=b +

a x

2=b

a si > 0 (11)

x1=b +j

a x2=

b ja

si 0

Si >0 alors > 0, > 1 R >2

L

C Q < 1

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Racines du polynme

Le polynme admet deux racines ngatives, on a :

r1 = +2 20 = 0+ 0

2 1 (14)

r2 = 2 20 = 0 02 1 (15)

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Solution de lquation diffrentielle

La solution de lquation diffrentielle (3) scrit donc :

u(t) =A1er1t +A2e

r2t (16)

Les racines tant toutes deux ngatives, on sassure que la solution u(t) ne tend pas vers linfini,cela naurait pas de signification physique.

Dtermination des constantes

On peut utiliser les conditions initiales pour expliciter les constantes A1 et A2. Cest parceque le circuit est du deuxime ordre quexistent ces deux constantes et quil faut deux conditionsinitiales pour les dterminer.

La continuit de la tension aux bornes du condensateur implique que u(t= 0) =E.La continuit de lintensit dans la bobine implique que i(t= 0) = 0.On obtient alors deux quations deux inconnues qui nous permettent de dterminer A1 et A2:

u(t= 0) = A1+A2 = E (17)

i(t= 0) = r1A1+r2A2= 0 A2= r1A1r2

(18)

On remplace cette expression de A2 dans (17) :

A1 r1A1r2

=E (19)

A1 31 r1r24 =E (20) A1 = r2E

r2 r1(21)

On remplace cette expression de A1 dans lexpression de A2 de (18) :

A2 =r1Er2 r1

(22)

Expression et allure de la tension aux bornes du condensateur

Finalement :

u(t) = r2E

r2 r1 er1t r1E

r2 r1 er2t (23)

Lorsque > 1 Q < 12 , il ny a pas doscillationslectrique car lamortissement est trop fort.

On remarque qu t=0, la pente de u(t) est nulle :

en effet, i(t= 0) =Cdu

dt = 0.

Figure 2 Tension auxbornes du condensateur enrgime apriodique libre du

circuit RLC srie

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Expression et allure de lintensit dans le circuit

Grce la relationi(t) = Cdudt

, on trouve lexpression

de lintensit :

i(t) = r2r1EC

r2 r1 (er1t er2t) (24)

Figure 3 Intensit dans lecircuit en rgime apriodique

libre du circuit RLC srie

3.2.2 Rgime critique : = 0

Si = 0 alors = 0, = 1 R= 2LC

=RC Q= 12

Racines du polynme

Le polynme admet une racine double ngative, on a :

r1= = 0 (25)

Solution de lquation diffrentielle

Alors la solution a pour expression :

u(t) = (A1t+A2)et (26)

Dtermination des constantes

On utilise les mmes conditions que prcdemment :

u(t= 0) = E A2= E (27)On exprime i(t) :

i(t) = C(A1t+A2)et +A1Cet =C et (A1 (A1t+A2)) (28)(29)

Et on crit la condition de continuit :

i(t= 0) =A1 A2= 0 (30)A1= A2= E (31)


La solution scrit donc :u(t) =E(t+ 1)et (32)

Le rgime critique tant le premier rgime apriodique, lallure de la courbe est identique celle du rgime apriodique, le "retour lquilibre" se fait plus rapidement.

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En utilisant la relation i(t) =Cdu

dt, on trouve :

i(t) = EC2

te

t

(33)

De la mme manire que prcdemment, on retrouve lallure de lintensit du courant du rgimeapriodique.

3.2.3 Rgime pseudo-priodique :


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Dtermination des constantes A1 et A2

Premire condition :

u(t= 0) = E A1= E (40)On exprime i(t) :

i(t) =C1

(A1 sin(t) +A2 cos(t)) et (A1cos(t) +A2sin(t)) et2

(41)

=C et (A1 sin(t) +A2 cos(t)A1 cos(t) A2sin(t)) (42)

Deuxime condition :

i(t= 0) = A2 A1= 0 A2 =

E (43)

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La solution scrit donc :

u(t) =E(cos(t) +

sin(t))et (44)

Cette solution se dcoupe en deux parties : Une partie oscillante la pulsation ; Une amplitude dcroissance de manire expo-

nentielle.

Figure4 Tension auxbornes du condensateur en

rgime pseudopriodique libredu circuit RLC srie


On a :

i(t) =E CetA sin(t) + cos(t) cos(t)

2

sin(t)

B (45)

i(t) =

CE(

2 + 2

)et sin(t) (46)

Figure 5 Intensit dans lecircuit en rgime

pseudopriodique libre ducircuit RLC srie

Pseudo-priode des oscillations

On observe donc des oscillations lectriques lapulsation , donc de pseudo-priode :

T = 2

= 20

1 2 (47)

On parle de pseudo-priode car lamplitude dcrot.Figure 6 Dfinition de la

pseudo-prriode

La pseudo-priode est voisine mais plus grande que la priode propre du circuit (celle quicorrespond un circuit non amorti (R=0)).Plus lamortissement est fort (), plus la pseudo-priode sloigne de la priode propre.

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Electro cintique EC3- Circuit R LC s rie 4. Circuit RL C s rie et chelon de tens io n

4 Rponse du circuit RLC srie un chelon de tension

Cette tude ne comporte pas de difficults mme sil faut veiller ne pas aller trop vite :

Lquation diffrentielle concernant la tension aux bornes du condensateur dans ce cas a la

forme suivante :

LCd2u

dt2 +RC

du

dt +u= E (48)

Ainsi, la solution de cette quation sera la somme de la solution de lquation homogne u1(qui sera identique celle que lon a trouv pour le rgime libre dans les trois cas) et dunesolution particulire qui est simplementu2 = E. (solution particulire constante car le deuximemembre est constant).

Mais la dtermination des constantes de la solution homogne doit tre effectue en tenantcompte de la solution particulire. Ainsi :

On crira la solution de lquation homogne avec ces constantes ; On lui ajoutera la solution particulire ; Et en dernier lieu, on dterminera les constantes avec les conditions initiales.

5 Aspect nergtique : rgime libre

Reprenons la loi des mailles crites dans ce cas :

Ri+Ldi

dt+ u= 0 (49)

Multiplions cette quation pari= C

du

dt :

Ri2 +Lidi

dt+ C u

du

dt = 0 (50)

Ri2 +d112Li

22

dt +

d112Cu

22

dt = 0 (51)

Dans cette expression, nous reconnaissons : Ri2 : la puissance dissipe par effet Joule dans la rsistance ;

d112Li

22

dt

: la puissance reue par la bobine. Elle peut tre positive ou ngative et

correspond aux variations dnergie magntique dans la bobine ;

d112Cu

22

dt : la puissance reue par le condensateur. Elle peut tre positive ou ngative et

correspond aux variations dnergie lectrique dans le condensateur.

Pour obtenir les variations nergtiques, on peut intgrer la relation (51) entre t= 0 et t .On obtient lquation EJ+ EC+ EL = 0.Cette relation indique que lorsque lnergie emmagasine dans le condensateur va varier, elle vase dissiper par effet Joule en partie, la partie restante tant accumule par la bobine. Puis la

bobine cdera son nergie au condensateur et au conducteur ohmique et ainsi de suite, jusquce quil ny ait plus dnergie dans le circuit.

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