RLC forcee

AMOR YOUSSEF- Les oscillations électrique forcées en régime sinusoïdales 1

Oscillations forcées en régime sinusoïdal.Contrôle des prérequis :

1- a- Rappeler l’expression de la période en fonction de la pulsationb- Donner l’expression de la période propre d’un circuit RLC série

2- On donne sur le graphe suivant l’évolution de l’intensité électrique traversant un circuit :

Cocher la bonne réponse :1- La période de l’intensité du courant est T=:¨ 2,2 ms ¨ 2,4 ms ¨ 2,0 ms¨ 1,4 ms.2- La fréquence des oscillations est N= :¨ 500 ms ¨ 500 Hz ¨ 0,5 Hz.3- La valeur maximale de intensité est Im= :¨-4 mA ¨ -2 mA ¨ 4 mA ¨ 2 mA.

4- La valeur efficace de l’intensité est donnée par :: ¨ I= mI 2 ¨m

2II

= ¨ mII2

=

I. Réponse d’un circuit RLC série à une tension sinusoïdale.

I-1 Production des oscillations électriques forcéesa- Etude expérimentale.

Le montage électrique schématisé par la figure 1est formé d’un dipôle RLC série connecté auxbornes d’un générateur basse fréquence (G.B.F)délivrant une tension sinusoïdale u(t) d’amplitudeUm et de fréquence N réglable : soit

mu(t) U sin( t)= w .Un oscilloscope bicourbe est connecté au montagecomme l’indique la figure 1.

Activité 1

a. Flécher les tensions aux bornes du résistor de résistance R0, la bobine d’inductance L et derésistance, et le condensateur de capacité C et le G.B.F.

b. Identifier la tension visualisée sur chaque voie de l’oscilloscope.c. Expliquer comment la tension visualisée, sur la voie A de l’oscilloscope permet l’étude de

l’évolution de l’intensité du courant électrique dans le circuit.

Figure 1

1 2 3 4

i(mA)

-4

-2

0

2

4

t(ms)


Activité 2Pour quatre valeurs de la fréquence N on obtient les quatre écrans reproduits sur la figure 2.

1- Identifier les tensions visualisées sur chaque écran.2- Comparer la forme de l’oscillogramme représentant i(t) à celle de u(t).3- a. Sans faire de calcul comparer pour chaque écran la fréquence des oscillation de i(t) à celle de

u(t).b. Mesurer pour chaque écran la période T des oscillations et déduire la fréquence N.

4- Conclure quant à la réponse d’un circuit RLC série à une tension sinusoïdale.5- a. Calculer la période propre T0, déduire la fréquence propre N0.

b. Pour une fréquence N donnée de la tension u(t), la tension i(t) oscille t-elle à la fréquencepropre du circuit RLC série.

c. Sur chaque écran de la figure 2 indiquer la valeur Um de la tension maximale aux bornes dugénérateur et UR0m la valeur maximale de la tension aux bornes du résistor.

d. Que peut-on conclure quant à l’influence de la fréquence N sur la valeur maximale del’intensité du courant électrique.

e. Déduire pourquoi les oscillation de l’intensité i(t) sont qualifiées de « forcées ».

b- Etude théorique.Activité 31- Reproduire le schéma du circuit RLC série suivant et flécher lesdiverses tensions.2- Le générateur basse fréquence délivre une tension sinusoïdaledonnée par l’expression : mu(t) U sin( t)= w .

Um= UR0m=

T = N =

Um= UR0m=

T = N=

Um= UR0m=

T = N=

Um= UR0m=

T = N=

Figure 2

Ecran (1) Ecran (2)

Ecran (3) Ecran (4)

R0 L,r C

GBF


a- Etablir l’équation différentielle régissant les oscillations électriques de l’intensité du courantélectrique i(t).

b- L’équation différentielle ayant un second membre non nulle admet comme solutionparticulière : mi(t) I sin( t )= w + j .Les oscillations du courant électrique sont-elle forcée ? Justifier.

I-2 L’impédance du dipôle RLC série.Activité 4A l’aide du circuit de la figure 1, on réalise l’expérience suivante :On fixe la valeur de N=200 Hz et on varie la valeur de l’amplitude Um de la tension u(t).Pour chaque valeur de Um , on mesure la tension maximale UR0m et on en déduit la valeur de Im. Lesrésultats sont consignés dans le tableau suivant :

Um(V) 2 4 6 8 10

UR0m(10-3 V) 139 278 415 556 695Im(10-3 A) 5,56 6,95

m

m

UI 1438 1438 1438

1-Compléter le tableau ci-dessus.

2-Quelle est l’unité du rapport m

m

UI

.

3-Définir l’impédance du circuit RLC série.

II- Le déphasageOn considère deux fonctions sinusoïdales données par les expressions :

11 m 1y (t) Y sin( t )= w + j et22 m 2y (t) Y sin( t )= w + j

1- Définition2- Exemples de déphasage entre deux fonctions sinusoïdales

a- La concordance de phase

b- L’opposition de phase

t

Tension

0

y1(t)y2(t)

Cas (a)

Axe desphases

Tension

0

+ · Décalage horaire

· Déphasage

· Décalage horaire

· Déphasage

Cas (b)

t

Tension

0Axe desphases

Tension

0

+


c- La quadrature de phase avance

d- La quadrature de phase retard

3- Conclusion :

Recopier et compléter le texte suivant :Deux fonctions sinusoïdales y1(t) et y2(t) isochrone ( ……………………………………………) sont :· En concordance de phase ou en phase si : tD = soit Dj =· En opposition de phase si : tD = soit Dj =· En quadrature de phase si : tD = soit Dj =* Si 2 1 0,Dj =j - j > y1(t) est ………………………….. de phase par rapport à y2(t).* Si 2 1 0,Dj =j - j < y1(t) est ………………………….. de phase par rapport à y2(t).

4- Application : Déphasage intensité tension

On considère un circuit RLC série parcouru par un courant électrique d’intensité mi(t) I sin( t )= w + j .1- Ecrire en fonction du temps les expressions des tensions uR(t),uL(t) et uC(t).2- Déduire les déphasages suivants :

Ri u( )j - j ;Li u( )j - j ;

Ci u( )j - j .3- Représenter à une date quelconque le vecteur de Fresnel correspondant à chacune des tensions

uR(t),uL(t) et uC(t).

Axe desphases

Tension

0

+

t

Tension

0

Cas (c)


· Déphasage

t

Tension

0

Cas (d)


· DéphasageAxe desphases

Tension

0

+


III- Influence de la fréquence de l’excitateur sur la réponse d’un dipôle RLC série.

III-1 Etude expérimentale

On réalise le montage électrique schématisé par la figure 1. Le dipôle RLC série connecté aux bornesd’un générateur basse fréquence (G.B.F) délivrant une tension sinusoïdale u (t) d’amplitude Um=2V etde fréquence N réglable : soit u(t) 2sin(2 Nt)= p .On faisant varier la fréquence N de l’excitateur on constate que qu’a chaque fois uR0(t) garde la mêmeforme mais sa valeur maximale URm et son décalage tD par rapport à u(t), changent.

Les résultats des mesures ont permis d'obtenir :

- le tracé de la figure 4a représentant l'évolution de l'amplitude Im de l'intensité i(t) en fonction de N.- le tracé de la figure 4b représentant l'évolution de la phase initiale j de l'intensité i en fonction de N.

Activité 5

1. Montrer que, dans les conditions de l'expérience réalisée, la valeur de la phase initiale j est égale à lavaleur du déphasage entre i et u.2. Décrire la forme particulière de la courbe représentant Im en fonction de N.3. a. Déterminer graphiquement la valeur de la fréquence N pour laquelle l'intensité maximale Im ducourant oscillant est à sa valeur la plus élevée Im0 et la comparer à la fréquence propre N0 del’oscillateur. b. Relever la valeur de Im0 et la valeur de 0j correspondante. c. Calculer l’impédance Z du circuit RMC lorsque Im= Im0. Comparer cette valeur à sa résistancetotale (R0+r).

Conclusion :1. Quelle est la réponse d’un circuit RLC soumit à une tension u(t) de fréquence N=N0 ?2. Quand est ce que le circuit RLC est en résonance d’intensité ?3. Comment se comporte le circuit RLC en résonance d’intensité ?

tD

Tension (V)

t

1TN

=UmURm

Figure 3

Figure 4 a Figure 4 b


III-2 Etude théoriqueLes oscillations de l’intensité du courant électrique traversant le circuit RLC précédemment étudié

sont régis par l’équation différentielle : t mdi 1R i L idt U sin( t)dt C

+ + = wò avec Rt=R0+r.

La solution de cette équation différentielle est i(t)= Imsin( tw + j ).

III-2-1 Construction de Fresnel de l’équation différentielle.

Activité 61. Monter que l’équation différentielle s’écrit sous la forme :

t m m m m1R I sin( t ) L I sin( t ) I sin( t ) U sin( t)

2 C 2p p

w + j + w w + j + + w + j - = ww

2. Attribuer à chaque tension de l’équation différentielle un vecteur de Fresnel.3. Représenter la construction de Fresnel correspondante à l’équation différentielle dans le cas

suivant :

a- 1LC

w >w

.

b- 1LC

w =w

c- 1LC

w <w

Préciser dans chaque cas la nature : Capacitif –inductif ou résistif du circuit.

III-2-2 Expression de l’intensité maximale Im et de la phase initiale j del’intensité i(t).

Activité 7 : Expression de l’intensité maximale

On considère un circuit RLC série en oscillationsélectriques forcées. La construction de Fresnelcorrespondante à l’équation différentielle régissant lesoscillations de l’intensité du courant électrique estdonnée par la figure suivante :1- En exploitant la construction ci-contre déterminerl’expression de l’intensité maximale Im.2-Représenter l’allure de la courbe Im=f( w)2- Déduire l’expression de l’impédance Z du circuit RLC série.

Activité 8 : Expression de la phase initialej de l’intensité i(t)1- Exprimer tg ejon fonction des modules des vecteur de Fresnel

2- Vérifier que2 2p p

- < j < .

3- Représenter l’allure de la courbe j=f( w)

III-3-1 La résonance d’intensité.On considère que le circuit RLC série étudier précédemment se trouve en état de résonance d’intensité.

Activité 9 :Donner dans ce cas :

a- La valeur de la fréquence des oscillations

0Axedes phases

OAuuur

1OAuuur

2OAuuur

3OAuuur

j


b- L’expression de l’intensité maximalec- L’expression de l’impédance Z du circuit RLCd- La nature du circuit.e- La valeur du déphasage entre l’intensité i(t) et la tension excitatrice u(t).

III-3-2 Influence de la résistance totale sur la résonance d’intensité.

Activité 10 :On refait l'étude expérimentale du paragraphe III, toujours avec L = 0,2H et C = 0,47µF, mais en fixantR0 successivement aux valeurs R02 = 20W et R03 = 200 W .Les résultats des mesures faites permettentd'obtenir :

-Les courbes de résonance d'intensité (1) et (2) de la figure 5a, correspondant respectivement à R02 etR03.

- Les courbes (a) et (b) de la figure 5b représentant l'évolution de la phase initiale jde l'intensité i enfonction de N et correspondant respectivement à R02 et R03.

1. Comparer les allures des courbes de résonance (1) et (2) entre elles.2. Pour les valeurs R02 et R03 de R0, déterminer graphiquement :

a. la valeur de la fréquence de résonance.b. le déphasage correspondant entre l'intensité i et la tension d'alimentation u.

3. En déduire l'influence de la résistance totale du circuit sur la résonance.

III-3-3 La surtension.Activité 11

On considère le montage de la figure 6 toujours avecL = 0,2H, C = 0,47µF et Um = 2V, mais en choisissantcomme fréquence d'excitation, la fréquence propre (N0 =520Hz) du circuit RLC série. On mesure la valeur maximaleUCm de la tension aux bornes du condensateur pour des valeurs de la résistance R0 égales à R01 = 20 W ,R02 = 50W et R03 = 200W . Les résultats des mesures sont consignés dans le tableau suivant :

R0(W ) 20 50 200UCm(V) 40 21 6,5

1. Reproduire, puis compléter le tableau suivant :R0( W ) 20 50 200

Q = UCm/Um

2. Le quotient Q = UCm/Um est appelé facteur de surtension à la résonance. Justifier cette appellation.3. a) Montrer théoriquement que Q peut s'écrire uniquement en fonction des caractéristiques R, L et Cde l'oscillateur.b. Calculer les valeurs théoriques de Q, correspondant respectivement aux valeurs 20 W , 50W et 200Wde la résistance R0.4. Quelle précaution faut-il prendre pour avoir un facteur de surtension modéré à la résonance

N(Hz)

Figure 5.a Figure 5.b

R0 L,r C

GBF

Voie A Voie B

Figure 6


IV-La puissance électrique moyenne.

IV-1 Expression de la puissance électrique moyenneIV-2 Forme de la puissance électrique moyenne d’un circuit RLC série

Activité 12

Monter que quelque soit la fréquence de l’excitateur la puissance moyenne électrique d’un circuit RLCest dissipée par effet joule.

IV-3 Evolution de la puissance électrique moyenne d’un circuit RLC série enfonction de la fréquence.

Activité 131. a. Montre que la puissance moyenne électrique fournit par le G.B.F peut s’écrire sous la

forme :2

2 2

RUP 1R (L )C

=+ w -

w b. Préciser les pulsations wpour lesquelles le transfert de puissance (de l’énergie) est nul ; estmaximal. c. Quelle est l’influence de la valeur de R sur lavaleur de l’énergie transférée ?

2. Application : On donne sur la figure 7 les courbes del’évolution de la puissance électrique moyenne P enfonction de la fréquence N pour deux valeurs R01> et R02 de larésistance R0.

a. Attribuer à chaque courbe la valeur de la résistancecorrespondante.b. Indiquer sur chaque courbe s’il s’agit d’unerésonance floue ou aigue.c. Pour quelle fréquence le circuit est en état derésonance de puissance ? S’agit-il aussi d’unerésonance d’intensité ?

d. Déterminer la valeur du facteur de puissance à la résonance de puissance.e. Sachant que Um=2V. Déterminer les valeurs des résistances R01 et R02.

IV-3 Importance du cos j

La tension U imposée par le réseau STEG est (220V, 50 Hz), la puissance Pnécessaire pour une installation électrique, P U.I.cos= j .

Ainsi le courant s’adapte suivant la relation : PIU.cos

=j

.

Problème économique : plus I est faible plus les pertes sont faibles. Pourdiminuer I sans modifier P ou U, il faut augmenter cos j.

On dit qu’il faut relever le facteur de puissance.

Problème électrique : comment modifier cos j sans modifier la puissance P ?

0 100 300 520 700 N(Hz)

0,8

1,6

2,4

3,2

4

4,8

5,6

6,4

P(mW)

Courbe 1

Courbe 2

Résonance

……………

Résonance

…………….

Figure 7

cos phi mètre


Réponse : le facteur de puissance peut s’exprimer de la façon suivante ;2 2

Rcos1R (L )

C

j =+ w -

w

.

Plus ( 1LC

w -w

) se rapproche de 0, plus cos j se rapproche de 1. En rajoutant à l’installation électrique des

condensateurs ou des inductances, on modifie ( 1LC

w -w

) sans modifier P.

Relèvement du facteur de puissance

Si l’installation électrique est inductive ( 1LC

w -w

> 0), il faut diminuer 1(L )C

w -w

en adjoignant des

condensateurs.

Si l’installation électrique est capacitive ( 1LC

w -w

< 0), il faut augmenter 1(L )C

w -w

en adjoignant des

inductances.

Inconvénient d'avoir un mauvais facteur de puissance

Pour le producteur (STEG):

- nécessité d'avoir des alternateurs et des transformateurs plus importants,- posséder une tension plus élevée au départ de la ligne,- besoin d'avoir des lignes de plus forte section,- pertes Joules plus élevées,- appareils de contrôle, de protection et de coupure plus importants.

Pour le consommateur :

- nécessité d'avoir des transformateurs, des moteurs, des appareillages de manœuvre plus importants,- tension d'utilisation plus faible,- intensité plus grand,- pertes Joules plus élevées,- rendement des appareils mauvais.

Condensateur pour redresser cos phi

Plaque signalétique d’un moteur

Wattmètre et cos phi mètre

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