La passion de Jésus-Christ. j ai désiré prendre ce repas de la Pâques avec vous.
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
AutomatiqueDynamique et Contrôle des Systèmes
NICOLAS PETIT
Centre Automatique et SystèmesUnité Mathématiques et Systèmes
MINES [email protected]
25 mars 2009Amphi 6
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Plan de l’amphi 6
1 Stabilisation et placement de pôles
2 Optimisation de transitoires
3 Contrôleur LQ
4 Régulateur LQR
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Stabilisation et placement de pôles
ddt
x = Ax + Bu
x ∈ Rn, A: matrice n × n, B: matrice n ×mEn boucle ouverte: on peut trouver une loi horaire[0, tf ] 3 t 7→ u(t) amenant le système de tout pointx(0) = p à tout point x(tf ) = q sous hypothèse decommandabilité
C = (B,AB, . . .An−1B) est de rang n = dim(x)
En boucle fermée: on cherche à modifier le système parbouclage
u = Kx
en particulier à le stabiliser. (A + BK )
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Stabilisation et placement de pôles
ddt
x = Ax + Bu
x ∈ Rn, A: matrice n × n, B: matrice n ×mEn boucle ouverte: on peut trouver une loi horaire[0, tf ] 3 t 7→ u(t) amenant le système de tout pointx(0) = p à tout point x(tf ) = q sous hypothèse decommandabilité
C = (B,AB, . . .An−1B) est de rang n = dim(x)
En boucle fermée: on cherche à modifier le système parbouclage
u = Kx
en particulier à le stabiliser. (A + BK )
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Exemple de stabilisation
A =
1 2 3−1 4 01 2 2
, B =
010
A + BK = A + B (k1 k2 k3) =
1 2 3−1 + k1 4 + k2 k3
1 2 2
Valeurs propres souhaitées −1, −2, −3On identifie le polynôme caractéristiques3 + (−k2 − 7)s2 + (−2k1 + 3k2 − 2k3 + 13)s +−2k1 + k2 + 6 = 0à (s + 1)(s + 2)(s + 3) = s3 + 6s2 + 11s + 6 = 0
3 équations linéaires à 3 inconnues
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Exemple de stabilisation
A =
1 2 3−1 4 01 2 2
, B =
010
A + BK = A + B (k1 k2 k3) =
1 2 3−1 + k1 4 + k2 k3
1 2 2
Valeurs propres souhaitées −1, −2, −3On identifie le polynôme caractéristiques3 + (−k2 − 7)s2 + (−2k1 + 3k2 − 2k3 + 13)s +−2k1 + k2 + 6 = 0à (s + 1)(s + 2)(s + 3) = s3 + 6s2 + 11s + 6 = 0
3 équations linéaires à 3 inconnues
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Exemple de stabilisation
A =
1 2 3−1 4 01 2 2
, B =
010
A + BK = A + B (k1 k2 k3) =
1 2 3−1 + k1 4 + k2 k3
1 2 2
Valeurs propres souhaitées −1, −2, −3On identifie le polynôme caractéristiques3 + (−k2 − 7)s2 + (−2k1 + 3k2 − 2k3 + 13)s +−2k1 + k2 + 6 = 0à (s + 1)(s + 2)(s + 3) = s3 + 6s2 + 11s + 6 = 0
3 équations linéaires à 3 inconnues
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Si le système est commandable, on aura toujours une solution.Avec une seule commande: formule d’Ackermann
K = [0 ...0 1] C−1P(A)
où P est le polynôme caractéristique désiré, C la matrice decommandabilité
Placement de pôles
Si la paire (A,B) est commandable alors, pour toute matriceréelle F de taille n × n, il existe une matrice m × n, K (nonnécessairement unique si m > 1), telle que le spectre deA + BK coïncide avec celui de F
Comment choisir les valeurs propres? à parties réelles <0, trèsnegatives le système sera très rapide, éloignées des valeurspropres en boucle ouverte on trouvera des gains forts.
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Si le système est commandable, on aura toujours une solution.Avec une seule commande: formule d’Ackermann
K = [0 ...0 1] C−1P(A)
où P est le polynôme caractéristique désiré, C la matrice decommandabilité
Placement de pôles
Si la paire (A,B) est commandable alors, pour toute matriceréelle F de taille n × n, il existe une matrice m × n, K (nonnécessairement unique si m > 1), telle que le spectre deA + BK coïncide avec celui de F
Comment choisir les valeurs propres? à parties réelles <0, trèsnegatives le système sera très rapide, éloignées des valeurspropres en boucle ouverte on trouvera des gains forts.
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Si le système est commandable, on aura toujours une solution.Avec une seule commande: formule d’Ackermann
K = [0 ...0 1] C−1P(A)
où P est le polynôme caractéristique désiré, C la matrice decommandabilité
Placement de pôles
Si la paire (A,B) est commandable alors, pour toute matriceréelle F de taille n × n, il existe une matrice m × n, K (nonnécessairement unique si m > 1), telle que le spectre deA + BK coïncide avec celui de F
Comment choisir les valeurs propres? à parties réelles <0, trèsnegatives le système sera très rapide, éloignées des valeurspropres en boucle ouverte on trouvera des gains forts.
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Si le système est commandable, on aura toujours une solution.Avec une seule commande: formule d’Ackermann
K = [0 ...0 1] C−1P(A)
où P est le polynôme caractéristique désiré, C la matrice decommandabilité
Placement de pôles
Si la paire (A,B) est commandable alors, pour toute matriceréelle F de taille n × n, il existe une matrice m × n, K (nonnécessairement unique si m > 1), telle que le spectre deA + BK coïncide avec celui de F
Comment choisir les valeurs propres? à parties réelles <0, trèsnegatives le système sera très rapide, éloignées des valeurspropres en boucle ouverte on trouvera des gains forts.
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Liens avec la forme normale
ddt
x = Ax + Bu, (dim B = n × 1)
Changement de variables z = Mx , v = Ex + Nu mettant lesystème sous forme normale de Brunovsky
ddt
z1 = z2, . . . ,ddt
zn−1 = zn,ddt
zn = v
c.-à-d. dn
dtn z1 = vForme canonique
A1 =
0 1 0 ... 00 0 1 ... ...... ... ... ...0 ... 0 0 10 ... 0 0 0
,B1 =
00...1
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Liens avec la forme normale
ddt
x = Ax + Bu, (dim B = n × 1)
Changement de variables z = Mx , v = Ex + Nu mettant lesystème sous forme normale de Brunovsky
ddt
z1 = z2, . . . ,ddt
zn−1 = zn,ddt
zn = v
c.-à-d. dn
dtn z1 = vForme canonique
A1 =
0 1 0 ... 00 0 1 ... ...... ... ... ...0 ... 0 0 10 ... 0 0 0
,B1 =
00...1
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
En boucle fermée, v = K1z: on obtient A1 + B1K1
A1 + B1K1 =
0 1 0 ... 00 0 1 ... ...... ... ... ...0 ... 0 0 1k0 k1 ... ... kn−1
Polynôme caractéristique
sn − kn−1sn−1 − ...− k1s − k0 = 0
à identifier au polynôme désiré.Enfin, changement de variables inverse pour revenir dans lesvariables d’origine (x ,u)
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Optimisation de transitoires
Exemple: réentrée atmosphérique, optimisation d’unetrajectoire (loi horaire)
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
“Rebonds atmosphériques”, osc. phugoïde, Zhukovskii 1949
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Linéarisé tangent autour d’une trajectoire (xr(t), ur(t))
OptimisationLa trajectoire elle même est issue d’une optimisation
∆x(0) = ∆x0
ddt ∆x(t) =
(∂f∂x
(xr (t),ur (t))
)︸ ︷︷ ︸
A(t)
·∆x(t) +
(∂f∂u
(xr (t),ur (t))
)︸ ︷︷ ︸
B(t)
·∆u(t)
ddt
x = A(t)x + B(t)u(t)
Problème à résoudre
Étant donné un point de départ (perturbation), on cherche lesmeilleures corrections (autour de la trajectoire)
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Optimisation de dimension finie
min x ∈ Rn
h1(x) = 0, . . . ,hp(x) = 0
J(x)
- on rajoute des multiplicateurs de Lagrange λ = (λ1, ..., λp) ∈ Rp
- on introduit le Lagrangien
L(x , λ) = J(x) +
p∑i=1
λihi(x) = J(x) + λT h(x)
- on explicite les conditions de stationnarité du Lagrangien enfaisant comme si les variables x et λ pouvaient varier librement.Ces conditions sont δL = 0 pour toutes variationsinfinitésimales δx et δλ des variables x et λ
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Optimisation de dimension finie
min x ∈ Rn
h1(x) = 0, . . . ,hp(x) = 0
J(x)
- on rajoute des multiplicateurs de Lagrange λ = (λ1, ..., λp) ∈ Rp
- on introduit le Lagrangien
L(x , λ) = J(x) +
p∑i=1
λihi(x) = J(x) + λT h(x)
- on explicite les conditions de stationnarité du Lagrangien enfaisant comme si les variables x et λ pouvaient varier librement.Ces conditions sont δL = 0 pour toutes variationsinfinitésimales δx et δλ des variables x et λ
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Optimisation de dimension finie
min x ∈ Rn
h1(x) = 0, . . . ,hp(x) = 0
J(x)
- on rajoute des multiplicateurs de Lagrange λ = (λ1, ..., λp) ∈ Rp
- on introduit le Lagrangien
L(x , λ) = J(x) +
p∑i=1
λihi(x) = J(x) + λT h(x)
- on explicite les conditions de stationnarité du Lagrangien enfaisant comme si les variables x et λ pouvaient varier librement.Ces conditions sont δL = 0 pour toutes variationsinfinitésimales δx et δλ des variables x et λ
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Optimisation de dimension finie
min x ∈ Rn
h1(x) = 0, . . . ,hp(x) = 0
J(x)
- on rajoute des multiplicateurs de Lagrange λ = (λ1, ..., λp) ∈ Rp
- on introduit le Lagrangien
L(x , λ) = J(x) +
p∑i=1
λihi(x) = J(x) + λT h(x)
- on explicite les conditions de stationnarité du Lagrangien enfaisant comme si les variables x et λ pouvaient varier librement.Ces conditions sont δL = 0 pour toutes variationsinfinitésimales δx et δλ des variables x et λ
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Théorème de stationnaritéSi (x∗, λ∗) est un point stationnaire du LagrangienL(x , λ) = J(x) + λT h(x) (i.e. ∂L
∂x = 0, ∂L∂λ = 0, (n+p équations))alors x∗ est un point stationnaire de J sous les contraintes h,i.e. un candidat à être solution de
min x ∈ Rn
h1(x) = 0, . . . ,hp(x) = 0
J(x)
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Calcul des variations et adjoint
minx ,u
l(x(tf )) +
∫ tf
0L(x(t),u(t)) dt
[0, tf ] 3 t 7→ (x(t),u(t)) ∈ Rn × Rm
x(0) = x0
f1(x(t),u(t))− ddt x1(t) = 0, t ∈ [0, tf ]
...fn(x(t),u(t))− d
dt xn(t) = 0, t ∈ [0, tf ]
On introduit le Lagrangien
L(x ,u, λ) = l(x(tf )) +
∫ tf
0L(x(t),u(t)) dt
+n∑
i=1
∫ tf
0λi(t)
(fi(x(t),u(t))− d
dtxi(t)
)dt
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Le Lagrangien L est une fonctionnelle
On écrit les conditions de stationnarité de L pour toutesvariations
t 7→ δλ(t)t 7→ δu(t)t 7→ δx(t) (δx(0) = 0)
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Conditions de stationnarité (1)
Pour toute fonction t 7→ δλ(t) ∈ Rn on doit avoir
δL =
∫ tf
0δλT (t)
(f (x(t),u(t))− d
dtx(t)
)dt = 0
La seule possibilité 1 est qu’à chaque instant t ∈ [0, tf ],
f (x(t),u(t))− ddt
x(t) = 0
1On se reportera au lemme de du Bois-Reymond.
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Conditions de stationnarité (2)
Pour toute fonction t 7→ δu(t) ∈ Rm, on doit avoir
δL =
∫ tf
0
(∂L∂u
∣∣∣∣(x(t),u(t))
δu(t) + λT (t)∂f∂u
∣∣∣∣(x(t),u(t))
δu(t)
)dt = 0
En mettant δu en facteur on obtient
δL =
∫ tf
0
(∂L∂u
∣∣∣∣(x(t),u(t))
+ λT (t)∂f∂u
∣∣∣∣(x(t),u(t))
)δu(t) dt = 0
Ceci donne la condition de stationnarité sur u
∂L∂u
(x ,u) + λT ∂f∂u
(x ,u) = 0, t ∈ [0, tf ]
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Conditions de stationnarité (3)
Pour toute fonction t 7→ δx(t) ∈ Rn telle que δx(0) = 0, on doitavoir
0 = δL =∂l∂x
(x(tf ))δx(tf )+∫ tf
0
[∂L∂x
∣∣∣∣(x(t),u(t))
δx(t) + λT (t)
(∂f∂x
∣∣∣∣(x(t),u(t))
δx(t)− ddtδx(t)
)]dt
Intégration par partie
−∫ tf
0λT (t)
ddtδx(t) dt = −[λT δx ]tf0 +
∫ tf
0
ddtλT (t) δx(t) dt
= −λT (tf )δx(tf ) +
∫ tf
0
ddtλT (t) δx(t) dt
(car δx(0) = 0)
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Pour toute fonction t 7→ δx(t) telle que δx(0) = δx(tf ) = 0, on a∫ tf
0
[∂L∂x
∣∣∣∣(x(t),u(t))
+ λT (t)∂f∂x
∣∣∣∣(x(t),u(t))
+ddtλT (t)
]δx(t) dt = 0
On en déduit
∂L∂x
∣∣∣∣(x(t),u(t))
+ λT (t)∂f∂x
∣∣∣∣(x(t),u(t))
+ddtλT (t) = 0
c.-à-d. (∂L∂x
)T
(x ,u)
+
(∂f∂x
)T
(x ,u)
λ+ddtλ = 0, t ∈ [0, tf ]
Enfin, avec δx(tf ) 6= 0 on obtient de δL = 0 la condition finale
λ(tf ) =∂l∂x
(x(tf ))
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Problème aux deux bouts
En somme, les conditions de stationarité sont, pour t ∈ [0, tf ]
ddt
x(t)= f (x(t),u(t))
ddtλ(t)= −
(∂f∂x
)T
(x(t),u(t))λ(t)−
(∂L∂x
)T
(x(t),u(t))
0=
(∂L∂u
)(x(t),u(t))
+ λT(∂f∂u
)(x(t),u(t))
avec comme conditions au bord
x(0) = x0, λ(tf ) =∂l∂x
(x(tf ))
Il s’agit d’un problème aux deux bouts, ce n’est pas unproblème de Cauchy
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Contrôleur LQ
En particulier, pour un système linéaire (instationnaire)
ddt
x(t) = A(t)x(t) + B(t)u
et un coût quadratique à minimiser
12
xT (tf )Sf x(tf ) +12
∫ tf
0
(xT (t)Rx(t) + uT (t)Qu(t)
)compromis tolérance sur l’erreur d’état, effort sur la commandeSf , R sont sym. positives, Q est sym. définie pos.
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Problème aux deux bouts
f = Ax + Bu, L = 12(xT Rx + uT Qu) et l = 1
2xT Sf x
ddt
x(t) = A(t)x(t)− BQ−1BTλ(t)
ddtλ(t) = −Rx(t)− AT (t)λ(t)
avec les conditions limites bilatérales
x(0) = x0, λ(tf ) = Sf x(tf )
L’état adjoint λ est de la même dimension que x . Lacommande optimale est alors donnée par
u(t) = −Q−1BT (t)λ(t)
Solution explicite sous forme linéaire
λ(t) = S(t)x(t)
avec S(tf ) = Sf
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
En substituant, on obtient
ddt
S(t)x(t) + S(t)A(t)x(t)− S(t)B(t)Q−1BT (t)S(t)x(t)
= −Rx(t)− AT (t)S(t)x(t)
Il suffit alors de choisir S solution de l’équation différentiellematricielle de Riccati en temps rétrograde (quadratique enl’inconnue S)
ddt
S(t) = −S(t)A(t) + S(t)B(t)Q−1BT (t)S(t)− R − AT (t)S(t)
S(tf ) = Sf
pour obtenir finalement la commande optimale
u(t) = −Q−1BT (t)S(t)x(t)
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Énoncé
Contrôleur LQ
Soit ddt x(t) = A(t)x(t) + B(t)u avec x(0) comme condition
initiale, et le critère à minimiser
J =12
xT (tf )Sf x(tf ) +12
∫ tf
0
(xT (t)Rx(t) + uT (t)Qu(t)
)dt
où A(t) est une matrice n × n, B(t) est une matrice n ×m, Sf etR sont symétriques positives, Q est symétrique définie positive.La solution à ce problème de minimisation est la loi de feedbackoptimal
u(t) = −Q−1BT (t)S(t)x(t)
où S est définie par l’équation différentielle deRiccati rétrograde, et la valeur du critère qui lui est associée estJopt = 1
2xT (0)S(0)x(0)
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Corrections optimales:
∆u(t) = −Q−1BT (t)S(t)∆x(t)
Coût total de la correction:
12
xT (0)S(0)x(0)
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Régulateur LQR
Passage à la limite tf → +∞ on va utiliser la commande LQ enfeedback, l’horizon étant naturellement glissant
∫ +∞
0
(xT (t)Rx(t) + uT (t)Qu(t)
)dt
où R est sym. positive, Q sym. définie positive et le systèmeest linéaire stationnaire
ddt
x(t) = Ax(t) + Bu
où l’état x ∈ Rn, la commande u ∈ Rm et les matrices A et Bsont de tailles n × n et n ×m
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Régulateur LQR
minu
∫ +∞
0
(xT (t)Rx(t) + uT (t)Qu(t)
)dt ,
ddt
x(t) = Ax(t) + Bu
i) (A,B) est commandable ii) R est sym. pos. iii) Q est sym. déf.pos. iv) ∃ une racine de R telle que (R1/2,AT ) est commandableSolution: loi de feedback optimal
u(t) = −Q−1BT S0x(t)
où S0 est l’unique solution symétrique stabilisante de l’équation deRiccati algébrique
0 = SA + AT S − SBQ−1BT S + R
et la valeur du critère qui lui est associée est xT (0)S0x(0)
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Preuve: construction d’une solution
1 comparaison avec un placement de pôles: exp. stabilisant,il fournit une intégrale convergente. t 7→ minu
∫ t0 est
majorée et croissante donc convergente. Limite:xT (0)Σ∞x(0)
2 Σ∞ est solution de l’équation de Riccati algébrique
0 = SA + AT S − SBQ−1BT S + R3 Σ∞ est sym. déf. pos. sous l’hypothèse de commandabilité4 V (x) = xT Σ∞x est fonction de Lyapounov. L’ensemble
ddt V (x) = 0 est donné par
R1/2x(0) = 0 = R1/2Ax(0) = ... = R1/2An−1x(0)
qui est réduit à {0}5 Unicité de la solution de l’éq. de Riccati stabilisante:
lemme d’algèbre linéaire6 Calcul du coût optimum
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
ExempleProblème
Considérons le système ddt x = −1
τ x + u et le critère quadratiqueà minimiser 1
2
∫ +∞0 (ax2 + bu2)dt où a ≥ 0, b > 0
SolutionL’équation (ici scalaire) de Riccati algébrique associée est
0 = −2τ
S − S2
b+ a
possède 2 solutions S± = −bτ ±
√b2
τ2 + ab. La commande
associée est u =(
1τ ∓
√1τ2 + a
b
)x . La commande optimale
correspond à S+
a→ +∞, max|u| → +∞
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Propriété de robustesse
minu
∫ +∞
0
(xT (t)Rx(t) + uT (t)Qu(t)
)dt ,
ddt
x(t) = Ax(t) + Bu
K (sI − A)−1B
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Lieu de Nyquist
K (sI − A)−1B = Q−1BT S0(sI − A)−1B
Lieu de Nyquist (s parcourt +ı∞→ −ı∞) (cas mono-entrée)
‖1 + K (sI − A)−1B‖2 = (1 + K (sI − A)−1B)T
(I + K (sI − A)−1B)
= 1 +1Q
(sI − A)−1TR(sI − A)−1
en utilisant l’équation de Riccati algébrique
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
‖1 + K (sI − A)−1B‖2 ≥ 1
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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Résumé
1 Stabilisation et placement de pôles: sous hypothèse decommandabilité, direct sous la forme normale,
2 Optimisation de transitoires: problème aux deux bouts
3 Contrôleur LQ: solution explicite dans le cas linéairequadratique, feedback instationnaire, équation deRiccati différentielle
4 Régulateur LQR: cas limite tf → +∞, feedbackstationnaire, équation de Riccati algébrique. Le LQRrépond indirectement à la question, où placer les valeurspropres?