Dynamique-des-Systemes-de-Solides[1]

8/3/2019 Dynamique-des-Systemes-de-Solides[1]

1/134

Prparation aux Agrgations de Mcanique et de Gnie Mcanique

1

Prparation aux agrgations deMcanique et de Gnie Mcanique

Dynamique des systmes deSolides

Sylvie Pommier

2005-2006


2/134


2

1 INTRODUCTION................................................. ................................................................ ................ 4

2 RAPPELS DE MATHEMATIQUES ................................................................. ................................. 7

2.1 CALCUL VECTORIEL .......................................................... ........................................................... ....... 72.1.1 Oprations sur les vecteurs ................................................................ ......................................... 72.1.2 Champs de vecteurs......................................................... ............................................................ 92.1.3 Champ equiprojectif de vecteurs........................................................... .................................... 11

2.2 TORSEURS...................................................... ........................................................... ......................... 122.2.1 Dfinitions ......................................................... .................................................................. ...... 122.2.2 Oprations sur les torseurs ................................................................ ....................................... 14

2.3 DERIVATION VECTORIELLE .......................................................... ...................................................... 162.3.1 Drive dun vecteur ........................................................ ......................................................... 162.3.2 Changement de base de drivation........................................................... ................................. 16

2.4 A RETENIR..................................................... ........................................................... ......................... 19

3 CINEMATIQUE.................................................... ........................................................... .................. 20

3.1 RAPPELS ........................................................ ........................................................... ......................... 203.1.1 Cinmatique du point ................................................................ ................................................ 20

3.2 LE SOLIDE INDEFORMABLE .......................................................... ...................................................... 203.2.1 Dfinition..................................................... ............................................................ .................. 203.2.2 Equivalence Repre-Solide............................................................................. ........................... 21

3.3 PARAMETRAGE DE LA POSITION RELATIVE DE DEUX SOLIDES ....................................................... ..... 213.3.1 Dfinition des coordonnes de lorigine dun repre.......................................... ...................... 213.3.2 Dfinition de lorientation relative de deux bases..................................................................... 23

3.4 CINEMATIQUE DU SOLIDE................................................... ........................................................... ..... 263.4.1 Introduction, notations .......................................................... .................................................... 263.4.2 Champ des vecteurs vitesse des points dun solide : torseur cinmatique ................................ 273.4.3 Champ des vecteurs acclration des points dun solide. ......................................................... 293.4.4 Composition des mouvements ............................................................ ....................................... 293.4.5 Composition des vecteurs acclration...................................................... ............................... 323.4.6

A retenir .............................................................. ................................................................ ...... 33

3.5 CINEMATIQUE DES SYSTEMES DE SOLIDES ...................................................... ................................... 353.5.1 Dfinitions ......................................................... .................................................................. ...... 353.5.2 Tableau des liaisons normalises............. ................................................................ ................. 363.5.3 Cinmatique du contact entre deux solides .......................................................... ..................... 383.5.4 Modlisation de la cinmatique ................................................................ ................................ 393.5.5 Exemple : Presse de modlisme .............................................................. .................................. 403.5.6 A retenir .............................................................. ................................................................ ...... 44

4 CONSERVATION DE LA MASSE ................................................................ .................................. 45

4.1 SYSTEME MATERIEL A MASSE CONSERVATIVE .......................................................... ......................... 454.2 TORSEUR CINETIQUE, TORSEUR DYNAMIQUE ET ENERGIE CINETIQUE................................................. 46

4.2.2 Centre dinertie, oprateur dinertie................................................................ ......................... 47

4.2.3 Exemples ................................................................ ............................................................. ...... 494.3 CONSEQUENCES DU PRINCIPE DE CONSERVATION DE LA MASSE................................................ ......... 504.3.1 Torseur cintique.................................................................... ................................................... 504.3.2 Torseur dynamique................................................... ............................................................ ..... 514.3.3 nergie cintique............................................................ ........................................................... 524.3.4 Autres cas. Exemple : Action de la pesanteur ................................................................ ........... 53

4.4 A RETENIR..................................................... ........................................................... ......................... 54

5 CONSERVATION DE LENERGIE : PREMIER PRINCIPE...................................................... 55

5.1 INTRODUCTION ........................................................ ........................................................... ............... 555.2 ENERGETIQUE .......................................................... ........................................................... ............... 55

5.2.1 Torseur des actions mcaniques extrieures un solide........................................................... 555.2.2 Puissance......................................................................... .......................................................... 55

5.2.3 Travail .......................................................... ............................................................ ................. 575.2.4 Energie Potentielle....... ................................................................ ............................................. 575.2.5 Energie cintique............................................................ ........................................................... 59


3/134


3

5.3 CONSERVATION DE LENERGIE :THEOREME DE LENERGIE CINETIQUE.............................................. 605.3.1 Thorme de lnergie pour un solide S......................................................... ........................... 605.3.2 Thorme de lnergie cintique pour deux solides S1 et S2 .................................................... 605.3.3 Thorme de lnergie cintique pour un systme de n solides ............................................. 605.3.4 Intgrale premire de lnergie cintique : Systme conservatif .............................................. 61

5.4 A RETENIR..................................................... ........................................................... ......................... 62

6 CONSERVATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT ........................................................ 636.1 INTRODUCTION ........................................................ ........................................................... ............... 636.2 ACTIONS MECANIQUES OU EFFORTS ....................................................... ............................................ 63

6.2.1 Torseur des actions mcaniques extrieures un systme de solides .................................... 636.2.2 Exemple daction distance : la pesanteur....................................................................... ........ 646.2.3 Actions de contact : Loi de Coulomb ................................................................. ....................... 646.2.4 Graphe danalyse .......................................................... ............................................................ 68

6.3 PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE.................................................. ................................... 706.3.1 Introduction : un peu dhistoire ....................................................... ......................................... 706.3.2 Enonc du principe fondamental de la dynamique .................................................................. . 716.3.3 Consquences....... ............................................................ ......................................................... 716.3.4 Rfrentiels Galilens/non Galilens ................................................... ..................................... 72

6.4 PRINCIPE DES PUISSANCES VIRTUELLES .......................................................... ................................... 756.4.1 Introduction : un peu dhistoire. ......................................................... ...................................... 756.4.2 Enonc du principe des puissances virtuelles ou PPV. ....................................................... ...... 76

6.5 CHOIX DE TORSEURS VIRTUELS PARTICULIERS ET THEOREMES DE LA DYNAMIQUE............................ 766.5.1 Torseur global quelconque : Equivalence du principe des puissances virtuelles et du principe

fondamental de la dynamique ........................................................ ............................................................... 766.5.2 Torseur des vitesses galilennes : Thorme de lnergie cintique.................................. ....... 766.5.3 Torseurs de Lagrange : quations de Lagrange ............................................................... ........ 776.5.4 Combinaison des torseurs de Lagrange : Equation de Painlev............................................... 826.5.5 Application de la mthode de Lagrange et paramtrage du mouvement .................................. 83

7 METHODES DE RESOLUTION................................................................. ..................................... 94

7.1 INTRODUCTION ........................................................ ........................................................... ............... 947.2 LINEARISATION........................................................ ........................................................... ............... 957.2.1 Linarisation des quations de Lagrange ........................................................... ...................... 95

7.2.2 Exemple : Ltouffeur de vibrations ........................................................... ............................... 987.3 RAPPELS :RESOLUTION DE SYSTEMES LINEAIRES DEQUATIONS DIFFERENTIELLES......................... 100

7.3.1 Rsolution numrique............................... ................................................................ ............... 1017.3.2 Rsolution analytique............................................................ .................................................. 102

7.4 EQUILIBRE ET STABILITE ................................................... ........................................................... ... 1087.4.1 Introduction..... ............................................................... ......................................................... 1087.4.2 Systmes conservatifs ............................................................... ............................................... 1087.4.3 Cas gnral, mthode directe ou mthode de Liapounov.............. .......................................... 112

7.5 VIBRATIONS................................................... ........................................................... ....................... 1137.5.1 Introduction..... ............................................................... ......................................................... 1137.5.2 Vibrations libres............. ............................................................... .......................................... 1147.5.3 Vibrations forces ............................................................. ...................................................... 1147.5.4 Vibrations amorties................................................... ............................................................ .. 114

7.6 CHOCS ET PERCUSSIONS .................................................... ........................................................... ... 1147.6.1 Introduction..... ............................................................... ......................................................... 1147.6.2 Cas dun point matriel..... ................................................................ ...................................... 1157.6.3 Cas dun solide ou dun systme de solides ................................................................... ......... 1157.6.4 Percussion de liaison ......................................................... ..................................................... 1167.6.5 Choc sans frottement entre deux solides .................................................................... ............. 116

8 RECUEIL DEXERCICES........................................................ ...................................................... 121

8.1 CINEMATIQUE .......................................................... ........................................................... ............. 1218.2 CINETIQUE ..................................................... ........................................................... ....................... 1248.3 DYNAMIQUE DU SOLIDE OU DES SYSTEMES DE SOLIDES ...................................................... ............. 126

8.3.1 Mthodologie pour la rsolution des problmes de mcanique avec le PFD ......................... 1268.3.2 Exercices .......................................................... ............................................................ ........... 127


4/134


4

1 INTRODUCTION

La mcanique des systmes de solides, comme les autres branches de la mcanique, procde duneschmatisation des mouvements rels ou potentiels lintrieur du systme tudi. Le choix dun schmacinmatique plutt quun autre dpend du niveau de simplification recherch, des matriaux et de lchelle laquelle le problme est trait (voir les deux exemples ci-dessous). Ainsi si le champ des vitesses eulriennes lintrieur du systme tudi est :

Champ quiprojectif Solide indformable

Champ quiprojectif par morceaux tridimensionnels Systme de solides indformables

Champ quiprojectif par morceaux bidimensionnels Poutres de la mcanique des structures

Champ quiprojectif par morceaux unidimensionnels Plaques et coques

Des objets mathmatiques bien adapts chacun de ces schmas cinmatiques (mcanique des milieuxcontinus, coques, plaque, poutres, solides) ont t dvelopps afin de pouvoir exprimer les principesfondamentaux de la mcanique sous forme dquations. Lobjet mathmatique privilgi de la mcanique dessolides indformables est le torseur.

Les principes fondamentaux sont les suivants :

Conservation de la masse.

Conservation de lnergie (premier principe de la thermodynamique)

Conservation de la quantit de mouvement (dAlembert).

Second principe de la thermodynamique.

Lcriture des trois premiers principes conduit systmatiquement un systme dquations pour lequel lenombre dquations est infrieur au nombre dinconnues.

Les quations complmentaires sont donnes par les lois de comportement, dont on sassure quellespermettent de vrifier le second principe de la thermodynamique. Ces lois de comportement seront par exempledans le cadre de la mcanique du solide indformable :

Comportement rigide indformable pour les solides

Lois de contact entre solides (lois de Coulomb)

Comportement de liaisons entre solides (liaison parfaites ou liaisons lastiques).

Lois daction distance (attraction gravitationnelle, par exemple)

Lobjet de ce cours est dapporter les outils et les mthodes de travail permettant la rsolution de problmesmcaniques dans le cadre de la mcanique du solide indformable.

Pour cela, la premire partie sera consacre la description de la cinmatique dans le cadre de la mcaniquedes solides indformables. Puis les principes fondamentaux seront exprims en utilisant le formalisme associ ce schma cinmatique. Il ny aura pas de chapitre spcifique consacr aux lois de comportement, tant donnque les lois usuellement employes pour dcrire les interactions entre solides sont peu nombreuses et bienconnues. Une fois que les outils permettant de mettre les problmes en quations auront t prsents, desmthodes de rsolution des systmes dquations obtenus seront prsentes, dans le cadre des petits mouvementsautour dune position connue.

Plan du cours

Introduction.

Rappels de mathmatiques.

Schmatisation de la cinmatique.


5/134


5

Cinmatique du solide indformable.

Cinmatique des systmes de solides indformables.

Expression des principes fondamentaux.

Conservation de la masse.

Conservation de lnergie.Conservation de la quantit de mouvement.

Mthodes de rsolution.

Equilibre et Stabilit

Vibrations libres ou forces

Chocs

Exemple 1 : Vibration dune aile davion

Le dimensionnement mcanique dune aile davion se fait dans le cadre de la mcanique des structures.Laile peut tre schmatise comme une poutre section complexe et variable, et la portance, proportionnelle aucarr de la vitesse dune section, peut tre assimile une charge linique. Laile se flchit significativement envol, lamplitude de battement en bout daile est denviron un mtre en fonctionnement normal mais peut tre bien plus leve, aprs un trou dair, par exemple. Lapproche poutre permet de calculer le momentflchissant lattache de laile sur la cellule en fonction de la dflection en bout daile, c'est--dire de calculerla raideur de la structure. Si lon connat la dflection maximale , on peut en dduire les contraintes au niveaude lattache de laile sur la cellule et dimensionner cette attache.

Cependant, pour estimer cette dflection maximale , il est ncessaire de connatre le comportementdynamique de lavion complet. En effet, les moteurs, par exemple, ont une masse trs importante par rapport celle de lavion (masse dun moteur CFM56-3 = 2 tonnes, masse dun A320 hors moteur : 37 tonnes). Au coursde certaines manuvres, des oscillations des moteurs, coupls au battement des ailes peuvent apparatre. Pourconnatre, par exemple, la dflection maximale en bout daile et dimensionner lattache de laile sur la cellule,il faut connatre lamplitude de ces mouvements. Ceci ncessite une tude du comportement dynamique delavion complet, qui inclue la cellule, les ailes, lempennage, les moteurs et mme le chargement de lavion(mobile ou non). Pour ce type dtude, le dtail des dformations internes chacun des lments de lavion estnglig, pour se limiter ltude des mouvements relatifs entre ces lments. Laile par exemple pourra treassimile un ou plusieurs lments rigides attachs lavion et lis entre eux par des liaisons pivot lastiques.Le moteur pourra tre assimil une masse M, attache laile par une liaison pivot lastique.

Dans cet exemple particulier, les ailes sont dformables, mais sont assimiles un systme de solides rigidesafin de pouvoir traiter le comportement dynamique de lavion complet. Le choix des solides du systme

rsulte donc dune schmatisation du champ de dplacement des points de laile.


6/134


6

Exemple 2 : Ecoulement dun milieu granulaire

Lcoulement dun milieu granulaire (sable, poudres ), est trait de manire diffrente selon le point de vuede lobservateur.

A lchelle de lcoulement complet, le milieu granulaire peut tre trait en premire approximation commeun matriau continu dformable. On utilisera donc soit la mcanique des milieux continus, soit la mcanique desfluides pour traiter le problme, en utilisant des lois de comportement appropries.

A lchelle des grains, le milieu granulaire est un empilement irrgulier de grains. Individuellement, lesgrains peuvent tre considrs comme des solides indformables. Ces solides sont en contact et glissent ouroulent les uns par rapport aux autres. Lors de lcoulement et aprs lcoulement, les grains sarrangent envotes entre lesquelles il reste du vide. Cet difice peut tre dstabilis. Cest ce qui se produit par exemple surune pente enneige lors dune avalanche. Ltude des conditions de stabilit des difices de grains se fait laidede la mcanique des solides indformables, avec des lois de contact entre solides appropries.

Dans cet exemple particulier, le champ est solidifiant par morceaux, c'est--dire sur chacun des grains. Lechoix de la mcanique des milieux continus ou de la mcanique des solides se fait en fonction de la dimensiondes morceaux vis--vis de lchelle du problme traiter.

Sources bibliographiques

Mcanique 1,2,3, Cours et exercices (1995), Yves Brmont, Paul Rocreux, collection Sciences

Industrielles, Ed. Ellipses, Paris. Dynamique, Cours et exercices, (2002) Robert Lassia et Christophe Bard, Ed. Ellipses, Paris.

Cours de Physique, tome I : Mcanique, (1965), C. Kittel, W. Knight, M. Ruderman, traduit parP. Lallemand, Ed Dunod, Paris.

Mcanique Classique, (1971), J.J. Moreau, Ed. Masson et Cie, Paris.

Mcanique gnrale, (2001), Jean Claude Bne, Michel Boucher, Polycopis de tronc commun,ECP.

Quelques Complments de Mcanique gnrale, (1997), Jean Pierre Pelle, polycopi ENS pourla prparation lagrgation.

Equations diffrentielles et systmes dynamiques, (1999), J. Hubbard, B. West, traduit par V.

Gautheron, Ed. Cassini, Paris.


7/134

Prparation aux agrgations de mcanique et de gnie mcanique

2 RAPPELS DE MATHEMATIQUES

2.1 Calcul Vectoriel

2.1.1 Oprations sur les vecteurs

Produit scalaire

o Dfinition

Le produit scalaire des deux vecteurs U et V est le nombre rel suivant not U.V :

( )VUCosVUVU ,=

o Proprits :

Symtrie : UVVU =

Distributivit : ( ) WUVUWVU +=+

Multiplication par un rel : VUVU =

o Expression analytique

Dans une base orthonorme (x,y,z) le produit scalaire des deux vecteurs V1(x1,y1,z1) et V2(x2,y2,z2) scrit :

21212121 ... zzyyxxVV ++=

Produit vectoriel

o Dfinition

Le produit vectoriel des deux vecteurs U et V est le vecteur not VU tel que, VU soitperpendiculaire au plan (U,V), le tridre (U,V, VU ) soit direct, et la norme de VU soit gale :

( )VUSinVUVU ,=

o Interprtation gomtrique

La norme du produit vectoriel VU , reprsente la surface du paralllogramme dfini par les deux vecteursU et V :

o Proprits

Antisymtrie : UVVU =


8/134


Distributivit par rapport laddition : ( ) WUVUWVU +=+

Multiplication par un rel : ( )VUVU =

Application une base orthonorme directe (x,y,z) :

0

00

===

=== ===

zzxzyyzx

xyzyyzyx yxzzxyxx

Double produit vectoriel (Formule de Gibbs) : ( ) ( ) ( )WVUVWUWVU =

o Expression analytique

Dans une base orthonorme ( )zyx ,, le produit vectoriel des deux vecteurs V1(x1,y1,z1) et V2(x2,y2,z2)scrit :

( ) ( ) ( )zxyyxyzxxzxyzzyVV ......... 21212121212121 ++=

Produit mixte

o Dfinition

Le produit mixte des trois vecteurs U, V et W est le nombre rel suivant, et not (U,V,W) :

( ) ( )WVUWVU =,,


La valeur absolue du produit mixte (U,V,W) reprsente le volume du paralllpipde dfini par les troisvecteurs, U, V, W.

o Proprits

Permutation des oprateurs : ( ) ( ) ( ) WVUWVUWVU ==,,

Distributivit par rapport laddition : ( ) ( ) ( )WVXWVUWVXU ,,,,,, +=+

Multiplication par un rel : ( ) ( )WVUWVU ,,,, =

Permutation des vecteurs : ( ) ( )WUVWVU ,,,, =

Permutation circulaire : ( ) ( ) ( )VUWUWVWVU ,,,,,, ==

o Expression analytique.

Dans une base orthonorme (x,y,z) le produit mixte des trois vecteurs V1(x1,y1,z1), V2(x2,y2,z2) et V3(x2,y2,z2)se calcule comme le dterminant suivant :


9/134


( ) 321312231213132123321

321

321

321 ............,, zyxzyxzyxzyxzyxzyx

zzz

yyy

xxx

VVV +++==

Division vectorielleo Dfinition

Soient deux vecteurs A et B non nuls et orthogonaux, le rsultat de la division vectorielle est lensemble desvecteurs X tels que :

BXA =

o Solution gnrale

Lensemble X est dfini de la manire suivante, tant un rel :

A

AA

ABX .+

=

2.1.2 Champs de vecteurs

Glisseur

o Dfinition

Un glisseur est dfini par un vecteur V et un point P quelconque de son support et not (P,V). Unreprsentant de ce glisseur est un bipoint, appartenant la droite (D) dfinie par (P,V). Ici, par exemple, lebipoint AB ou le bipoint CD.

Moment en un point dun glisseur

o DfinitionOn appelle moment au point A du glisseur (P,V), not MA(P,V) ou MA(V) le vecteur suivant :

( ) PAVVAPVMA ==


10/134



Soit H le pied de la perpendiculaire abaisse de A sur la droite (D) dfinie par le glisseur. La norme dumoment du glisseur (P,V) au point A, est gale :

( ) VAHVPMA =,

o Proprits

Le moment au point A du glisseur (P,V) est indpendant du choix du point P sur le support (D)du glisseur.

Champ des moments :

( ) ( ) ( ) VBAVPMVBAVAPVAPBAVBPVPM AB +=+=+== ,,

( ) ( ) VBAVPMVPM AB += ,,

Moment dun glisseur par rapport un axe

o Dfinition

On appelle moment par rapport laxe (A,x) du glisseur (P,V) le nombre rel suivant :

( ) ( ) ( )VAPxVPMxVPM A ,,,, ==


Le moment du glisseur (P,V) par rapport laxe (A,x) est gal au produit du bras de levier OH, par lacomposante W du vecteur V, perpendiculaire la fois au bras de levier et laxe.

Sur la figure ci-dessous :

( ) ( ) VANVPMetWHOVPM A == ,,

Ensembles de glisseurs

o Ensemble fini de glisseurs.

Si lon considre un ensemble fini de n glisseurs (Pi,Vi), deux grandeurs peuvent tre dfinies, la rsultante,R, et le moment au point A, MA, de lensemble fini de glisseurs.

=

=n

iiVR

1


11/134


=

=n

iiiA VAPM

1

Alors le champ des moments de lensemble fini de glisseurs vrifie aussi :

ABRMM AB +=

o Ensemble infini de glisseurs.

Si lon considre un ensemble infini de glisseurs (P,F(P)), o F(P) est une densit de champ de vecteursdfinie en tout point P dun domaine E. Deux grandeurs peuvent tre dfinies, la rsultante, R, et le moment aupoint A, MA, de lensemble infini de glisseurs.

( )

=EP

dvPFR

( )

=EP

A dvPFAPM

Alors le champ des moments de lensemble fini de glisseurs vrifie encore : ABRMM AB +=

2.1.3 Champ equiprojectif de vecteurs

Dfinition

Un champ de vecteur V est equiprojectif si : BA VABVABBA = ,

Proprits

Si un champ de vecteur equiprojectif est connu en trois points non aligns de lespace, alors il estconnu en tout point P (voir figure ci-dessous)

Par ailleurs si deux champs de vecteur V1 et V2 sont equiprojectif alors aV1+bV2 estequiprojectif aussi quel que soient les deux rels a et b choisis.


12/134


2.2 Torseurs

Le torseur est loutil privilgi de la mcanique du solide. Il est utilis pour reprsenter le mouvement dunsolide, caractriser une action mcanique, formuler le principe fondamental de la dynamique de maniregnrale, etc

2.2.1

DfinitionsUn torseur est un ensemble dfini par ses deux lments dits lments de rduction :

Un vecteur not R appel la rsultante du torseur

Un champ de vecteur M vrifiant la relation : ABRMMBA AB += ,

MA est appel le moment au point A du torseur T

Le torseur T se note de la faon suivante au point A :

{ }

=AA

M

RT

Champ des moments dun torseur.

Le champ des moments dun torseur est equiprojectif et rciproquement, tout champ de vecteur equiprojectifest le champ des moments dun torseur.

o Dmonstration :

Si lon prend le Torseur T tel que : { }

=

=BBAA

M

R

M

RT

Le champ des moments de ce torseur vrifie par dfinition : RBAMM AB +=

En appliquant un produit scalaire par AB a cette relation, on retrouve bien que ce champ des moments estequiprojectif.

( )44 344 21

0=

+= ABRBAABMABM AB

o Remarque :

Si un solide est indformable, le champ des vecteurs vitesse des points de ce solide est ncessairementequiprojectif. Par consquent il est reprsentable par un torseur, dont le vecteur moment est le vecteur vitesse dupoint considr. On verra plus loin que la rsultante du torseur est aussi le vecteur rotation de ce solide.

Torseur associ un ensemble de glisseurUn ensemble de glisseur fini ou infini rpond la dfinition du torseur, par consquent :

Ensemble fini de glisseurs : { }

=

=

=n

iii

n

ii

A

VAP

VT

1

1

Ensemble infini de glisseurs : { }( )

( )

=

EP

EP

A

dvPFAP

dvPF

T


13/134


Invariants du torseur.

Entre deux points quelconques A et B de lespace, deux composantes du torseur sont conserves, quiconstitue les deux invariants du torseur :

Premier invariant : La rsultante R

Second invariant : La projection du moment du torseur sur sa rsultante :BAAB MRMRABRMMBA =+= ,

Point central, axe central, moment central dun torseur

o Point central :

Point o le moment du torseur la mme direction que la rsultante.

o Axe central :

Ensemble des points centraux

On se propose de montrer que les points centraux sont aligns sur un mme axe, pour un torseur T, qui senote au point A :

{ }

=AA

M

RT

Le moment au point A du torseur peut se dcomposer en deux termes, U et W, o U est la composante de MAselon R et W est orthogonal a R alors :

00 ==+= RWetRUavecWUMA

Si B est un point central, du fait du second invariant, UMA B = , .

Comme WABRABRWUUABRMM AB =++=+= . Par divisionvectorielle, on en dduit :

RR

MRAB A +

=

2ainsi si lon pose :

2R

MRAH A

= alors les points centraux salignent sur

une droite de mme direction que la rsultante du torseur R et passant par le point H.

o Moment central :

Le moment central est le moment du torseur en un point quelconque de son axe central. La norme du momentdun torseur est minimale pour les points centraux. Par consquent si le moment dun torseur est nul en un point,ce point appartient laxe central. Laxe central se dfinit alors laide de ce point et de la rsultante.

Symtrie du champ des moments dun torseur. Origine du mot torseur .Soit R(B,x,y,z) un repre orthonorm direct, dont laxe (B,z) est confondu avec laxe central dun torseur T.

Posons alors :

{ }

=

==

zMM

zRRT

BBB.

.r

r

Si lon choisit un axe (H,u) quelconque dans un plan orthogonal z et qui rencontre laxe (B,z) au point H, etun nouveau repre associ cet axe R(H,u,v,z), alors pour un point A quelconque appartenant cet axe :

vrRzMbRBAMMurHAetzhBH BA ..... +=+===rrrr

Do lexpression du moment du torseur T au point A :


14/134


vrRzMbMA ... +=r

Lorsque la distance rde A laxe central (B,z) est nulle MA=MB.

Lorsque la distance raugmente le moment du torseur au point A tourne progressivement dans leplan (v,z) jusqu saligner avec la direction v.

Ainsi, observe ton une torsion du moment du torseur au point A, lorsque le point A

sloigne de laxe central du torseur, do lorigine du mot torseur.

2.2.2 Oprations sur les torseurs

Addition

La somme de deux torseurs {T} et {T} est le torseur {T+T}. Pour faire la somme de deux torseurs, il fautau pralable les crire au mme point :

{ } { } { } { } { }'''

' ' TTTTM

RTet

M

RT

AAAA

+=+

=

=

On vrifie ensuite que {T+T} est bien un torseur. C'est--dire que son champ des moments vrifie bien larelation suivante :

{ } { } { } BATTRBATTMTTM AB +++=+ ,'''

Dmonstration :

{ } { } { } { } { }( ) { } { }( )'''' TRBATMTRBATMTMTMTTM AABBB +++=+=+

{ } { } { } { } { }( ) { } { }''''' TTRBATTMTRTRBATMTMTTM AAAB +++=+++=+

Multiplication par un rel

Soit {T} un torseur et un rel :

{ } { }TM

RT

AA

=

=.

.

Dcomposition

o Torseur Couple

Un torseur couple est un torseur dont la rsultante est nulle.

{ }

=AA

MT

0

Le moment dun torseur couple est le mme en tout point de lespace.


15/134


Un torseur couple peut tre reprsent par un ensemble de glisseur de direction parallle, de mme norme etde sens contraire. En effet, si lon considre deux glisseurs (P,V) et (A,-V), alors le torseur associ cetensemble de glisseur vaut :

{ }

==

+

=VAPMVAP

VVT

AAAA

0

0

o Torseur rsultante

Un torseur rsultante est un torseur dont le moment central est nul.

{ }

= BetRavecR

TB

00

, o est laxe central du torseur.

o Dcomposition dun torseur

Tout torseur est donc en gnral la somme dun torseur couple et dun torseur rsultante. En effet, on peutcrire:

{ }

+

=

=

AAAAAM

RMRT 0

0

Produit ou co-moment de deux torseurs

Le produit de deux torseurs {T} et {T} dfinis au mme point A, est le nombre rel suivant :

{ } { } { } { } AAAAAA

MRMRTTM

RTet

M

RT +=

=

= '''

' ''

En outre, le produit de deux torseurs est commutatif : { } { } { } { }TTTT = ''

Torseur structure

Un torseur structure est un torseur dfini partir dune densit de champ infini de vecteurs F(P), c'est--direde la forme :

( )[ ]{ }( )

( )

=

EP

EP

A

dvPFAP

dvPF

PFT

Le produit dun torseur structure par un torseur quelconque se met sous la forme :

( )[ ]{ } { }( )

( )( ) ( )

+=

=

EPA

EPAAEP

EP

A

dvPFMdvPFAPRM

R

dvPFAP

dvPFTPFT

( )[ ]{ } { } ( )( ) ( ) ( )

++=EP

PEP

dvPFPARMdvPFAPRTPFT ,,

( )[ ]{ } { } ( )( ) ( ) ( )( )

++=EPEP

PEP

dvPFPARdvPFMdvPFAPRTPFT ,,,,

Soit finalement :( )[ ]{ } { } ( )

=EP P

dvPFMTPFT


16/134


2.3 Drivation vectorielle

2.3.1 Drive dun vecteur

Dfinition

Par dfinition la drive dun vecteur V(t) par rapport la variable t, dans lespace vectoriel E est le vecteursuivant :

{

( ) ( )h

tVhtVV

dt

d

hE

+=

0

lim

Par consquent, la drive dun vecteur V, dpend du choix de lespace vectoriel de rfrence dans lequel estexprim le vecteur. En pratique, il est donc ncessaire de toujours prciser par rapport quel rfrentiel dumouvement est effectue la drive.

Proprits

Somme : ( )RRR

Vdt

dVdt

dVVdt

d

+

=

+ 2121

Produit par une fonction scalairef: ( ) ( ) 11 Vdtdf

Vdt

dtfVtf

dt

d

RR

+

=

Drive du produit scalaire : ( )RR

Vdtd

VVVdtd

VVdtd

+

= 212121

Drive dun produit vectoriel : ( )RRR

Vdt

dVVV

dt

dVV

dt

d

+

=

212121

Drive dun produit mixte :

( )

+

+

=RRR

Vdt

dVVVV

dt

dVVVV

dt

dVVV

dt

d321321321322 ,,,,,,,,

Drive dune fonction de fonction : ( )[ ]dt

dV

d

dtV

dt

d

RR

=

2.3.2 Changement de base de drivation

Vocabulaire

La base dans laquelle on exprime les composantes des vecteurs sera indiffremment appele, base de calculou base de projection.

La base dans laquelle est effectue la drivation, sera indiffremment appele base de drivation, ourfrentiel du mouvement.

Drive dun vecteur exprim dans la base de drivation

Dans ce cas particulier, la base de projection est confondue avec le rfrentiel du mouvement choisi. Alors, siun vecteur V sexprime dans cette base R(0,x,y,z) laide de trois composantes a,b,c, comme les trois vecteursunitaires de cette base sont constants :

zdt

dc

ydt

db

xdt

da

Vdt

d

R +=


17/134


Drive dun vecteur exprim dans une base distincte de la base de drivation.

Supposons une base de projection R1(x1,x2,x3) dans laquelle le vecteur V est exprim laide de troiscomposantes (a1,a2,a3). Supposons aussi une base R(e1,e2,e3) attache au rfrentiel du mouvement et distinctede la premire.

Lors de la drivation du vecteur V par rapport au rfrentiel du mouvement R, il faut tenir compte du fait que

les vecteurs unitaires de la base R1 dans laquelle est exprim le vecteur V ne sont pas constants dans la base dedrivation R.

Ainsi :

=

+=

3

1i R

iii

i

R dt

dxax

dt

daV

dt

d

Soit en rassemblant les termes :

=

+

=

3

11 i R

ii

RR dt

dxaV

dt

dV

dt

d

A ce stade nous avons besoin de lexpression des drives des vecteurs unitaires de la base R1 par rapport aurfrentiel du mouvement R. Lorientation dune base par rapport une autre se dfinit laide trois angles derotation (k, k=1,3). Alors :

[ ] idx

dxk

k

Rk

iRi

=

=

3

1

et idt

dx

dt

dx

k

k

Rk

i

R

i

=

=

3

1

Par ailleurs, les paramtres k tant des angles de rotation, on a :

ik

Rk

i xex

=

.

Par suite : ixedt

d

dt

dx

kik

k

R

i =

=

3

1

Si lon dfinit un vecteur de la faon suivante :

( ) =

=3

1

1k

kk e

dt

dRR

ril vient ( ) i

R

i xRRdt

dx=

1

r

On en dduit alors la formule de changement de base de drivation :

( ) VRRV

dt

dV

dt

d

RR

rrrr+

=

1

1

O est le vecteur vitesse de rotation de la base R1 par rapport la base R.

Proprits du vecteur vitesse de rotation.

o Composition des rotations : ( ) ( ) ( )122313 RRRRRR +=rrr

Etant donn un vecteur V, on peut crire successivement :

( ) VRRVdt

dV

dt

d

RR

rrrr+

=

12

21


18/134


( ) VRRVdt

dV

dt

d

RR

rrrr+

=

23

32

Alors :

( ) ( )( ) VRRRRVdtd

Vdt

d

RR

rrrrr

++

=

122331

Soit :

( ) ( ) ( )122313 RRRRRR +=rrr

o Inversion des bases de drivations : ( ) ( )1221 RRRR =rr

( ) VRRVdt

dV

dt

d

RR

rrrr+

=

12

21

( ) VRRVdtdVdtd RR

rrrr

=

1212

Soit :

( ) ( )1221 RRRR =rr


19/134


2.4 A retenir

Champ quiprojectif :

Un champ de vecteur V est equiprojectif si : BA VBAVBABA

rrrr

= ,

Torseur : { }

=AA

M

RT

R (rsultante), M (champ des moments) tel que: ABRMMBA AB += ,

Le champ des moments dun torseur est equiprojectif

Produit de deux torseurs dfinis au mme point A :

{ } { } { } { } AAAAAA MRMRTTMR

TetM

R

T +=

=

= ''

'

''

'

Invariants du torseur

Premier invariant : La rsultante R

Second invariant : La projection du moment du torseur sur sa rsultante.

Axe et point centraux

Un point est dit central pour le torseur T, si en ce point son moment et sa rsultante ont mme direction. Lespoints centraux salignent sur un axe, dit axe central. La norme du moment est minimale sur laxe central. Ladirection de laxe central est celle de la rsultante, et laxe passe par le point H, dfini partir dun point Aquelconque par :

{ }

=AA

M

RT

2R

MRAH A

=

Changement de base de drivation

Si le mouvement dune base R1(x1,x2,x3) par rapport un rfrentiel R(e1,e2,e3) est dfini par trois angles(k, k=1,3).

Drive des vecteurs de la base R1 par rapport au rfrentiel R : ik

Rk

i xex

=

Vecteur vitesse de rotation de R1/R : ( ) =

=3

1

1k

kk e

dt

dRR

r

Composition des rotations : ( ) ( ) ( )122313 RRRRRR +=rrr

Changement de base de drivation : ( ) VRRVdt

dV

dt

d

RR

rrrr+

=

1

1


20/134


20

3 CINEMATIQUE

3.1 Rappels

3.1.1 Cinmatique du point

On rappelle ici les dfinitions de la position, de la vitesse et de lacclration dun point Ppar rapport unrepre R(O,x,y,z).

Vecteur position dun point

Le vecteur position du point P dans le repre R(O,x,y,z), linstant t, est le vecteur OP(t). La trajectoire (T)

du point P est lensemble des points P(t) obtenu lorsque t varie.

Vecteur vitesse dun point

Le vecteur vitesse du point P par rapport au repre R(O,x,y,z), linstant t, est la drive du vecteur positionOP(t) par rapport t, dans R.

( ) ( )R

tOPdt

dRPV

=

>/

r

Le vecteur vitesse du point P linstant t est tangent la trajectoire en P(t)

Si lon considre un point A fixe dans R, et le point M(t) tel que : ( ) ( )tRPVtAM /r

=>

, alors la trajectoire (H)

du point M est appele hodographe relatif au point A du vecteur vitesse de P par rapport au repre R.

Vecteur acclration dun point

Le vecteur acclration du point P par rapport au repre R(O,x,y,z), linstant t, est la drive du vecteurvitesse V(P/R) par rapport t, dans R.

( ) ( )R

RPVdt

dRP

= //

rr

Le vecteur acclration du point P par rapport au repre R linstant t est tangent lhodographe (H) duvecteur vitesse du point P au point M(t).

3.2 Le solide indformable

3.2.1 Dfinition

Un solide est dit indformable lorsque quels que soient les points A et B de ce solide, la distance AB resteconstante au cours du mouvement. On se limitera par la suite appeler solide un solide indformable.


21/134


21

3.2.2 Equivalence Repre-Solide

Dans un repre, la position relative des axes est invariante au cours du temps. Cest pourquoi un repre estquivalent un solide. Ltude du mouvement du solide S2 par rapport au solide S1 est identique ltude dumouvement du repre R2 attach au solide S2 par rapport au repre R1 attach au solide S1.

3.3 Paramtrage de la position relative de deux solides

Positionner le solide 2 par rapport au solide 1 revient donc positionner le repre R2(O2,x2,y2,z2) attach ausolide 2, par rapport au repre R1(O1,x1,y1,z1) par rapport au solide 1.

La position du repre R2(O2,x2,y2,z2) par rapport R1(O1,x1,y1,z1) est compltement dtermine si lon sefixe :

les coordonnes de lorigine O2 du repre R2(O2,x2,y2,z2) dans le repre R1(O1,x1,y1,z1). Ilexiste plusieurs faons de dfinir ces coordonnes (cartsienne, cylindrique et sphrique). Danstous les cas 3 paramtres indpendants sont ncessaires pour positionner O2 dansR1(O1,x1,y1,z1).

lorientation de la base R2(O2,x2,y2,z2) par rapport R1(O1,x1,y1,z1). La baseR2(O2,x2,y2,z2) est dfinie par 2 vecteurs (6 paramtres) unitaires (2 quations) et orthogonaux(1 quation), le troisime vecteur se dduisant des deux autres par un produit vectoriel. Trois paramtres indpendants sont galement ncessaires pour positionner lorientation de la base(x2,y2,z2) par rapport la base (x1,y1,z1).

3.3.1 Dfinition des coordonnes de lorigine dun repre.

On cherche en premier lieu positionner lorigine O2 du repre R2(O2,x2,y2,z2), dans un repreR1(O1,x,y,z). Il existe trois systmes de coordonnes classiques, les coordonnes, cartsiennes, cylindriques etsphriques.

n.b. Lorigine O2 du repre R2, est choisie de faon arbitraire.

Coordonnes cartsiennes

Les coordonnes cartsiennes, notes (x,y,z) du point O2 dans le repre R1(O1,x,y,z) sont les projections duvecteur O1O2 sur chacun des axes (x,y,z).

=

=

=++=

zOOzyOOyxOOxzzyyxxOOrrrrrr

21212121

En coordonnes cartsiennes, la vitesse du point O2, par rapport au repre R1(O1,x,y,z) scrit:

zdtdzy

dtdy

xdtdx

dt

OdO rrr++=

21


22/134


22

Coordonnes cylindriques

Pour dfinir les coordonnes cylindriques, il faut dabord dfinir la projection H du point O2 dans le plan(O1,x,y), puis un vecteur unitaire u de direction O1H.

Les coordonnes cylindriques du point O2 sont alors

______

1HOr= , la mesure algbrique de la distance de O1 H

( )uxrr

,= , angle orient dans le plan de normale z

z, projection de O1O2 sur laxe z.

Relation entre les coordonnes cartsiennes et cylindriques : cos.rx = et sin.ry =

En coordonnes cylindriques, la vitesse du point O2, par rapport au repre R1(O1,x,y,z) scrit:

zdt

dzv

dt

dru

dt

dr

dt

OdO rrr++=

.21, o uzv

rrr

= En effet, en appliquant la formule de changement de base de drivation :

( ) ( )

( )

=

+

=

=

211

,,

21

,,

21

1

OOBBdt

OdO

dt

OdOo

zvuBzyxBo

r

Soit

( )( ) vdt

d

rzdt

dz

udt

dr

zzurzdt

d

zdt

dz

udt

dr

dt

OdO

zyxBo

rrrrrrrr

++=+

+

+=

=

,,

21

Coordonnes sphriques

Pour dfinir les coordonnes sphriques, il faut dabord dfinir la projection H du point O2 dans le plan(O1,x,y), puis un vecteur unitaire u de direction O1H, et enfin un vecteur unitaire w de direction O1O2.

Les coordonnes sphriques du point O2 sont alors

______

21OO= , la mesure algbrique de la distance de O1 O2

( )uxrr

,= , angle orient dans le plan de normale z


23/134


23

( )wzrr

,= , angle orient dans le plan de normale v, o uzvrrr

=

Relation entre les coordonnes cartsiennes et sphriques :

cos.sin.=x , sin.sin.=y et cos.=z

En coordonnes sphriques, la vitesse du point O2, par rapport au repre R1(01,x,y,z) scrit :

zdtd

SinvdtdSinw

dtd

dt

OdO rrr

....21 +=

En effet, en appliquant la formule de changement de base de drivation :

( ) ( )

( )

=

+

=

=

211

,,

21

,,

21

1

OOBBdt

OdO

dt

OdOo

wvnBzyxBo

r

Soit :

( )

( )wvdt

dz

dt

dw

dt

d

dt

OdO

zyxBo

rrrr

++=

=

,,

21

( )

( )uzvdt

dz

dt

dw

dt

d

dt

OdO

zyxBo

rrrrr

sincos

,,

21 +

++=

=

Do le rsultat.

3.3.2 Dfinition de lorientation relative de deux bases

Dans un deuxime temps on cherche dfinir lorientation de la base (X,Y,Z) du repre R2(O2,X,Y,Y) parrapport la base (x1,y1,z1) du repre R1(O1,x1,y1,z1). Cette orientation est toujours dfinie par trois paramtres. La mthode la plus gnrale consiste reprsenter cette orientation par une rotation autour dunvecteur axial unitaire. Cest ce que lon appelle la paramtrisation axio-angulaire. Dautres mthodes deparamtrage existent galement, qui permettent de dcomposer la rotation de la base 1 par rapport celle de labase 2 en rotations lmentaires autour daxes connus. La plus communment utilise est le paramtrage par lesangles dEuler. Mais on trouvera aussi les angles de Cardan dit aussi de roulis, tangage, lacet .


24/134


24

Paramtrisation axio-angulaire des rotations

Notons Q loprateur rotation dangle autour dun axe dfini par le vecteur unitaire e, qui transforme unvecteura en un vecteurb. On peut montrer que :

( ) ( ) ( )( ) ( )( )aeeaeaaQb ++== sincos1cos LoprateurQ peut alors scrire :

( ) ( ) ( )

++= eeeIQ sincos1cos

O loprateur

e est tel que ( ) vveve =

Angles dEuler

Les trois angles dEuler correspondent la composition de trois rotations planes successives qui permettentde faire concider la base (x1,y1,z1) avec la base (X,Y,Z).

La premire rotation dangle , autour de laxe z1 permet de passer une premire base intermdiaire(x2,y2,z2=z1). Langle est appel angle de prcession .

Une seconde rotation dangle , est alors applique autour de laxe x2, de la premire base intermdiaire, cequi permet de dfinir une seconde base intermdiaire (x3=x2,y3,z3). Langle est appel angle de nutation .

Une dernire rotation dangle est applique autour de laxe z3 de la seconde base intermdiaire, ce quipermet de positionner la base (X,Y,Z=z3). Langle est appel angle de rotation propre .


25/134


25

La composition de rotations planes successives permet de dessiner des figures de projection qui sont souventtrs utiles pour la rsolution des problmes.

Figures de projection correspondant aux trois angles dEuler

Angles de Cardan

Les trois angles de cardan, ou roulis, tangage, lacet correspondent la composition de trois rotationsplanes successives qui permettent de faire concider la base (x1,y1,z1) avec la base (x4,y4,z4).

La premire rotation dangle , autour de laxe x1 permet de passer une premire base intermdiaire(x2=x1,y2,z2=z1). Langle est appel angle de roulis .

Une seconde rotation dangle , est alors applique autour de laxe y2, de la premire base intermdiaire, cequi permet de dfinir une seconde base intermdiaire (x3,y3=y2,z3). Langle est appel angle de tangage .


26/134


26

Une dernire rotation dangle est applique autour de laxe z3 de la seconde base intermdiaire, ce quipermet de positionner la base (x4,y4,z4=z3). Langle est appel angle de lacet .

Figures de projection correspondant aux trois angles de Cardan

Ce paramtrage est habituellement employ pour paramtrer de petits mouvements du solide autour dunebase (x1,y1,z1) dfinie laide de la trajectoire du centre de gravit du solide dans le rfrentiel du mouvementR. La direction x1, axe de roulis, est confondue avec la direction du vecteur vitesse du point O1 par rapport aurfrentiel R. La direction y1, axe de tangage, est orthogonale x1, dans le plan local dfini par la trajectoire dupoint O1. La direction z1, axe de lacet, est orthogonale au plan local dfini par la trajectoire du point O1.

3.4 Cinmatique du solide

3.4.1 Introduction, notations

Soit un point P1 dun solide S1 en mouvement par rapport au repre R(O,x,y,z). Les vecteurs vitesse etacclration du point P1 par rapport au repre R sont alors nots :


27/134


27

( )RSPV /11r

et ( )RSP /11r

Cette notation permet de distinguer la vitesse dun point appartenant un solide de la vitesse dun point delespace nappartenant aucun solide, comme par exemple le point de contact P entre les solides S1 et S2. Lavitesse du point P sera alors note :

( )RPV /

r

3.4.2 Champ des vecteurs vitesse des points dun solide : torseur cinmatique

La formule de changement de base de drivation, permet de dfinir la vitesse dun point dun solide, parrapport au rfrentiel du mouvement.

Supposons un rfrentiel du mouvement R1(O1,x1,y1,z1) et un solide S2 en mouvement par rapport cerfrentiel, auquel est attach un repre R2(O2,x2,y2,z2). La base attache R2 a une vitesse de rotation parrapport la base attache R1. Supposons deux points quelconques A et B du solide S2, alors :

+

+

=

+

=

AORR

R

dt

AOd

R

dt

OOd

R

dt

AOd

R

dt

OOd

R

dt

AOd2)1/2(

2

2

1

21

1

2

1

21

1

1r

De mme :

+

+

=

+

=

BORR

R

dt

BOd

R

dt

OOd

R

dt

BOd

R

dt

OOd

R

dt

BOd2)1/2(

2

2

1

21

1

2

1

21

1

1 r

Comme le solide S2 est indformable :

BARSBA

R

dt

AOd

R

dt

BOd

R

dt

AOd

R

dt

BOd

+

=

=

=

,)1/2(

1

1

1

10

2

2

2

2

r

Soit :

)1/2()1/2()1/2(2, RSBARSAVRSBVSBA

+=rrr

Le champ des vecteurs vitesses des points du solide S2 par rapport R1(O1,x1,y1,z1), peut donc trereprsent par un torseur, dit torseur cinmatique, dont la rsultante est la vitesse de rotation de la base(x2,y2,z2) par rapport la base (x1,y1,z1), et le moment en un point A, la vitesse du point A appartenant ausolide 2, par rapport au repre R1 :

{ }

=)/(

)1/2()1/2(12A RSAV

RSA

RS r

r

V


28/134


28

Proprit : Equiprojectivit.

Comme les champs des vecteurs vitesses dun solide se reprsente par un torseur, cest galement un champquiprojectif. Ceci signifie que quels que soient deux points A et B dun solide S2 :

( ) ( )12122 //, RSBVABRSAVABSBA =>> rr

On peut aussi le montrer directement, partir de la proprit dindformabilit du solide :

Si S2 est un solide indformable, quels que soient A et B deux points appartenant S2 alors la distance ABreste constante au cours du temps. Ceci scrit :

( ) ABABdt

dABAB

dt

d

R

==

10

Ceci scrit aussi :

( ) ( )[ ] 0// 12121

11 ==

ABRSAVRSBVABAO

dt

dBO

dt

d

R

rr

Dont on dduit :

( ) ( )12122 //, RSBVABRSAVABSBA =>> rr

Le champ des vitesses des points dun solide indformable est donc bien quiprojectif.

Calcul du vecteur rotation instantane.

Daprs ce qui a t dit plus haut, la drive des vecteurs unitaires (x2,y2,z2) de la base du repreR2(O2,x2,y2,z2) par rapport au rfrentiel R1, se calcule comme suit :

=

22 )1/2(

1

xRS

Rdt

xd r

On en dduit alors, si lon connat les drives des vecteurs unitaires :

111

)1/2(22

22

22

2

Rdt

zdz

Rdt

ydy

Rdt

xdxRS

+

+

=r

Exemple : Mouvement de translation

Si le mouvement du solide S2 par rapport R1 se reprsente par un torseur couple :

{ }

=)/(

)1/2(012A RSAVA

RS r

r

V

Alors : )1/2()1/2(2 RSAVRSBVSB =rr

Le solide S2 est donc en translation par rapport R1.

Exemple : Mouvement de rotation instantane

Si le mouvement du solide S2 par rapport R1 se reprsente au point A, par un torseur rsultante :

{ }

=)/(0

)1/2(12A r

rRS

A

RSV


29/134


29

Alors : )1/2()1/2(2 RSBARSBVSB

=rr

Le solide S2 est donc en rotation par rapport R1 autour de laxe central, () du torseur cinmatique. Cet axecentral passe par le point A et sa direction est aligne avec .

3.4.3 Champ des vecteurs acclration des points dun solide.La formule de changement de base de drivation, permet galement de dfinir le champ des vecteurs

acclration des points dun solide, par rapport au rfrentiel du mouvement.

Supposons un rfrentiel du mouvement R1(O1,x1,y1,z1) et un solide S2 en mouvement par rapport cerfrentiel, auquel est attach un repre R2(O2,x2,y2,z2). La base attache R2 a une vitesse de rotation parrapport la base attache R1. Supposons deux points quelconques A et B du solide S2, alors :

)1/2()1/2()1/2(2, RSBARSAVRSBVSBA

+=rrr

La relation entre les vecteurs acclration des points A et B du solide S2 dans son mouvement par rapport aurepre R1, sobtient en drivant les deux membres de cette galit par rapport t dans le repre R1.

111

)1/2()1/2()1/2(

RRRRSBA

dt

dRSAV

dt

dRSBV

dt

d

+

=

rrr

Soit :

1

)1/2()1/2()1/2(

R

RSBAdt

dRSARSB

+=

rrr

En dveloppant :

11

)1

/2

()1

/2

()1/2()1/2(RR

RSdt

dBARSBA

dt

dRSARSB

+

+=

rrrr

Pour calculer la drive de BA par rapport t, on utilise la formule de changement de base de drivation,soit :

( ) ( )

+=

+

=

BARSBARSBA

dt

dBA

dt

d

SR

1/201/2

21

r

Do la relation cherche :

( )1

)1/2()1/2(1/2)1/2()1/2(R

RSdt

dBARSBARSRSARSB

+

+=

rrrrr

O encore :

( )

+

+= ABRSRSABRS

dt

dRSARSB

R1/2)1/2()1/2()1/2()1/2(

1

rrrrr

Ainsi, le champ des vecteurs acclrations des points dun solide ne peut pas tre reprsent par un torseur,du fait de lexistence du dernier terme.

3.4.4 Composition des mouvements

Introduction

Soit un point P, appartenant un solide S2, en mouvement la fois par rapport un repre R1(O1,x1,y1,z1)et par rapport un repre R(O,x,y,z). On va chercher la relation entre les vecteurs vitesses V(P/R1) et V(P/R),


30/134


30

ainsi que la relation entre les vecteurs acclration (P/R1) et (P/R). Ces relations, dites de composition dumouvement , sont particulirement utiles lorsquon tudie des mcanismes dans lesquels les mouvementsrelatifs mutuels des pices sont connus, mais pas la cinmatique densemble du mcanisme.

Composition des vecteurs vitesse

On cherche dfinir en premier lieu la relation entre V(P/R) et V(P/R1)

( )R

OPdt

dRPV

=

/

ret ( )

111/

R

POdt

dRPV

=

r

o Relation de composition des vecteurs vitesses

Donc :

( )RRR

POdt

dOO

dt

dOP

dt

dRPV

+

=

=

11/r

or : ( )RROVOOdt

d

R

/111 =

Par ailleurs : ( ) ( ) ( )

+=+

=

PORRRPVPORRPO

dt

dPO

dt

d

RR11

111 /11//1

r

Par suite : ( ) ( ) ( ) ( )

++= PORRRROVRPVRPV 11 /1/11//rr

Si maintenant on considre le point de R1 qui concide avec P linstant t :

( ) ( ) ( )

+= PORRRROVRRPV 1111 /1//rr

Et donc :

( ) ( ) ( )RRPVRPVRPV /11// +=rrr

o Dfinitions

Dans le mouvement du point P par rapport aux deux repres R et R1, on appelle :

Vecteur vitesse absolue : ( )RPV /r

Vecteur vitesse relative : ( )1/RPVr


31/134


31

Vecteur vitesse dentranement : ( )RRPV /1r

o Gnralisation

Soit un point P mobile par rapport n repres Ri(i=1,n). On peut crire successivement :

( ) ( ) ( )11 /// += nnnn RRPVRPVRPV

rrr

Ainsi :

( ) ( ) ( )=

+=n

iiin RRPVRPVRPV

211 ///

rrr

o Composition des torseurs cinmatiques

Il a dj t montr en utilisant la formule de changement de base de drivation que lors de la compositiondes mouvements par rapport n repres,

( ) ( )

==

n

iiin RRRR

211

rr

Comme par ailleurs :

( ) ( ) ( )=

+=n

iiin RRPVRPVRPV

211 ///

rrr

On peut donc crire la relation de composition des torseurs cinmatiques :

Avec, ( ){ }( )

( )

=

1

11

/

//

ii

iiii

RRPV

RRRR r

r

V

La relation de composition des torseurs cinmatiques scrit :

( ){ } ( ){ }=

=n

iiin RRRR

211 // VV

o Exemple

Lobjectif de cet exemple est dillustrer la distinction entre le vecteur vitesse absolue dun point I, ( )RIV /r

et

son vecteur vitesse dentranement ( )RSIV /1r

par un solide S1.

Supposons deux roues de friction S1 et S2. S1 est en rotation autour de laxe (O,z) et S2 autour de laxe(A,z).

On pose : ( ) zRSr

1/1 = et ( ) zRSr

2/2 =

Les deux roues de friction sont en contact au point I : yrOIr

1=

et yrAIr

2=

Le vecteur vitesse absolue du point de contact I par rapport au repre R sobtient en drivant le vecteurposition du point I :

( )RR

yrdt

dOI

dt

dRIV

=

=

rr1/ Soit : ( ) 0/

rr=RIV

Le vecteur vitesse du point du solide S1 qui linstant t concide avec I, not IS1, est le vecteur vitessedun point du solide S1 qui dcrit un cercle de centre O et de rayon r1 la vitesse 1. C'est--dire quon calculela vitesse au point not IS1, comme si ce point appartenait physiquement S1.

Soit : ( ) ( ) ( ) zyrRSIORSOVRSIVrrrrrr

110/1/1/1 =+=


32/134


32

Soit encore : ( ) xrRSIVrr

11/1 =

Le vecteur vitesse du point du solide S2 qui linstant t concide avec I, not IS2, est le vecteur vitessedun point qui dcrit un cercle de centre A et de rayon r2 la vitesse 2.

Soit : ( ) xrRSIVrr

22/2 =

3.4.5 Composition des vecteurs acclration

Soit un point P, appartenant un solide S2, en mouvement la fois par rapport un repre R1(O1,x1,y1,z1)et par rapport un repre R(O,x,y,z). On va chercher maintenant la relation entre les vecteurs acclration(P/R1) et (P/R).

Relation de composition des vecteurs acclration

Il a t montr aux paragraphes prcdents que :

( ) ( ) ( )RRPVRPVRPV /11// +=rrr

Ce qui scrit aussi :

( ) ( ) ( ) ( )

++= PORRRROVRPVRPV 11 /1/11//rr

Drivons chaque terme par rapport au temps dans le repre R :

( ) ( ) ( ) ( )RRRR

PORRdt

dRROV

dt

dRPV

dt

dRPV

dt

d

+

+

=

11 /1/11//

rr

Soit, en appliquant la formule de changement de base de drivation au premier terme :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1//11/1//11/1/1

RPVRRRPRPVRRRPVdt

dRPV

dt

d

RR

rrrrr+=+

=

Comme O1 est lorigine du repre R1 :

( ) ( )RRORROVdt

d

R/1/1 11 =

Enfin, en appliquant la formule de changement de base de drivation au dernier terme :

( ) ( ) ( )

R

POdt

dRRPO

RRR

dt

d

R

PORRdt

d

+

=

1/11/11/1


33/134


33

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

++

=

PORRRPVRRPO

RRR

dt

d

R

PORRdt

d1/11//11/11/1

Comme, par ailleurs, daprs la formule de changement de point du champ de vecteurs acclrations:

+

+= PORRRRPORRdtdRRORRP

R11 )/1()/1()/1()/11()/1( rrrrr

On en dduit en regroupant tous les termes :

( )1/)/1(.2)/1()1/()/( RPVRRRRPRPRP ++=rrrr

Dfinitions

Dans le mouvement du point P par rapport aux repres R et R1, on appelle :

o Vecteur acclration absolue : )/( RPr

o Vecteur acclration relative : )1/( RPr

o Vecteur acclration dentranement : )/1( RRPr

o Vecteur acclration de Coriolis : ( )1/)/1(.2 RPVRR r

3.4.6 A retenir

o Indformabilit quivalence repre/solide

o Paramtrage complet de la position dun solide par rapport un rfrentiel

Coordonnes de lorigine (3 paramtres)

Orientation de la base (3 paramtres)

Cinmatique du point :

o Vecteur vitesse du point P, par rapport R, linstant t : ( ) ( )R

tOPdt

dRPV

=

>/

r

o Vecteur acclration du point P, par rapport R, linstant t : ( ) ( )

R

RPVdt

dRP

= //rr

Cinmatique du solide :

o Vecteur vitesse du point P, appartenant au solide S1 par rapport R, linstant t : )/1( RSPV r

o Vecteur acclration du point P, appartenant au solide S1,par rapport R, linstant t : )/1( RSP

Formules de changement de point

o Formules de changement de point du champ des vecteurs vitesse dun solide

)/1()/1()/1(1, RSBARSAVRSBVSBA +=

rrr


34/134


34

Le champ des vecteurs vitesses des points du solide S1 en mouvement par rapport R, se reprsente par untorseur, dit torseur cinmatique :

{ }

=)/(

)/1(

)/1(1A RSAV

RS

ARS r

r

V

o Formules de changement de point du champ des vecteurs acclration dun solide

( )

+

+= ABRSRSABRS

dt

dRSARSB

R

/)/1()/1()/1()/1( 1rrrrr

Le champ des vecteurs acclration des points du solide S1 en mouvement par rapport R, ne se reprsentepas par un torseur.

Formules de composition des mouvements.

On suppose un point P en mouvement par rapport un solide S1 auquel est attach un repre R1, lui-mmeen mouvement par rapport au rfrentiel du mouvement R. On note (PR1) le point du solide S1 qui linstant t,

concide avec P alors :( ) ( ) ( )

44 344 21

r

43421

r

43421

r

ntentranemerelativeabsolue

RRPVRPVRPV /11// +=

( )4444 34444 21

r

44 344 21

r

43421

r

43421

r

Coriolisntentranemerelativeabsolue

RPVRRRRPRPRP 1/)/1(.2)/1()1/()/( ++=


35/134


35

3.5 Cinmatique des systmes de solides

3.5.1 Dfinitions

Lorsque la mcanique du solide est applique des mcanismes, les mouvements relatifs entre solides sontlimits par lexistence de liaisons entre les diffrentes pices du mcanisme.

Ainsi, un systme de solide est il constitu de deux sous-ensembles, lensemble des solides indformables etlensemble des liaisons entre solides. Par la suite, le systme de solides sera enrichi dun troisime sous-ensemble, lensemble des actions mcaniques. Le systme de solides pourra donc tre reprsent par desgraphes, dont lanalyse permet de dfinir le nombre dinconnues cinmatiques du systme. Par ailleurs, cettereprsentation permet daider au choix des sous-systmes isoler, des thormes gnraux appliquer et desprojections pertinentes effectuer.

Graphe cinmatique : les liaisons constituent les sommets, les solides constituent les arcs.

Graphe de structure : les solides constituent les sommets, les liaisons constituent les arcs.

Types de liaisonso Liaison unilatrale/bilatrale

Lorsquune liaison du fait mme de sa ralisation technologique ne peut pas tre rompue (sauf pardestruction du systme), elle est dite bilatrale. Dans le cas contraire, la liaison est dite unilatrale.

o Liaison holonome/non holonome

Les liaisons pour lesquelles lquation de liaison est uniquement fonction des paramtres de position(quation holonome), est dite liaison cinmatique. Sinon, la lquation de liaison est dite non-holonome.

Par exemple, une liaison pivot, autorise la rotation autour de laxe du pivot, mais interdit les autresmouvements, translations, ou rotations autour des deux autres axes. Si les mouvements relatifs entre les deuxsolides S1 et S2 sont paramtrs par trois paramtres de translation et trois paramtres de rotation :

zZyYxXnsTranslatiorrr

...: ++ zyxRotationsrrr

...: ++

Alors lexistence dune liaison pivot impose les cinq quations holonomes suivantes :

X=Xo, Y=Yo, Z=Zo,=o, =o

Si cette liaison est motorise et que le moteur impose une vitesse de rotation w(t), cette motorisation impose

une dernire quation de liaison qui, cette fois, est non-holonome: ( )tdt

d

= .

En rgle gnrale, un actionneur impose lvolution temporelle dun paramtre de position et conduit donc,quelles que soient les conditions de fonctionnement des quations non-holonomes..


36/134


36

Reprsentation dune liaison.

Par rapport au repre local attach une liaison entre deux pices, le champ des vitesses relatives entre lesdeux pices (S1 et S2) relies par la liaison en question peut tre reprsent par un torseur. Le repre de la liaisonest en gnral choisi de telle sorte que laxe x, soit un axe central pour la liaison, align avec . Alors en toutpoint A de cet axe :

{ } ( )xOAV

SSSS

A

rr

r,

)1/2(12A

=)/(V

Degrs de libert dune liaison.

Dans le repre local associ la liaison entre deux solides, les mouvements relatifs des deux solides sontlimits trois translations et trois rotations au maximum. Parmi ces 6 mouvements lmentaires, le nombre demouvements lmentaires indpendants autoriss par la liaison dfinit le degr de libert de cette liaison.

La liaison pivot ci-dessus est un seul degr de libert. Une liaison hlicodale (vis-crou) permet deuxmouvements, rotation autour de laxe de la liaison et translation le long de ce mme axe. Mais dans ce cas,rotation et translation sont proportionnelles. Par consquent la liaison hlicodale est galement un seul degr

de libert.

3.5.2 Tableau des liaisons normalises

Les liaisons normalises prsentes dans le tableau qui suit sont classes par degr de libert croissant. Lareprsentation graphique de la liaison ne prsume pas de la ralisation technologique de ces liaisons, mais estune reprsentation schmatique normalise des mouvements autoriss par cette liaison entre les deux solides Sket Si..


37/134


37


38/134


38

3.5.3 Cinmatique du contact entre deux solides

Dans le cas du contact ponctuel, une terminologie particulire est employe, qui est dcrite ci-dessous. Pourun contact surfacique ou linique, tout ce qui est crit pour le contact ponctuel reste valable en chaque point de lasurface ou de la ligne de contact.

Supposons deux solides S1 et S2 en contact en un point I. Il existe un unique plan tangent entre les deuxsolides, dfini par la normale n21, S2 ou S1, au point de contact I, dirige de S2 vers S1.

Alors les lments de rduction du torseur cinmatique en I du mouvement de S1 par rapport S2 sont :

{ }

=)/(

)2/1(

)2/1(21I SSIV

SS

IRS r

r

V

On note alors :

( ) ( )4444 34444 21

rrrr

44 344 21

rrr

RoulementPivotement

nSSnnnSSSS 21212121 )2/1()2/1()2/1( +=

La projection du vecteur rotation sur la normale au plan de contact, est le terme de pivotement.

La composante du vecteur rotation appartement au plan tangent est le terme de roulement.

Enfin, le moment en I du torseur )2/1( SSIV r

est le glissement en I de S1 par rapport S2. On le note

souvent aussi : )2/1( SSIGr

. Daprs la formule de composition des vitesses :

( ) ( ) ( )44 344 21

r

43421

r

43421

r

ntentranemerelativeabsolue

SSIVSIVSIV 2/11/2/ +=

Ce qui donne donc ici :

( ) ( )1/2/)2/1( SIVSIVSSIrrr

=G

Ainsi le glissement en I de S1 par rapport S2 est un vecteur parallle au plan de contact.


39/134


39

3.5.4 Modlisation de la cinmatique

Introduction

Un systme de solides indformables est compos de deux sous-ensembles : les solides et les liaisons entreles solides. Une reprsentation peut donc en tre faite au moyen dun graphe. Un graphe est aussi compos de

deux sous-ensembles : des points appels sommets du graphe et des lignes appels arcs qui relient certainssommets entre eux. Il y a donc deux bijections possibles entre un systme de solides indformables et un graphe.

Graphe cinmatique

Lorsquon reprsente un systme de solides par un graphe cinmatique, les sommets du graphe reprsententles liaisons et les arcs, les solides. Les sommets reprsentatifs des liaisons sont dessins en respectant lanormalisation et les positions spatiales relatives des entits gomtriques caractristiques. Un graphecinmatique est donc en gnral (le cas particulier est relatif un problme plan) un graphe tridimensionnel et sedessine en perspective.

La fonction principale du graphe cinmatique est daider la comprhension du fonctionnement du systme, la visualisation du paramtrage et au calcul.

Graphe de structure ou graphe des liaisonsA linverse, lorsquon reprsente un systme de solides par un graphe de structure, les sommets du graphe

reprsentent les solides et les arcs, les liaisons. Ce graphe pourra tre complt par la suite par des arcs paralllesfigurant les actions mcaniques.

Sur chaque arc, il y a le nom de la liaison quil reprsente ainsi que les caractristiques gomtriques. Auxsommets sont placs les symboles alphanumriques dsignant les solides.

Le graphe de structure a deux fonctions principales :

- aider la dtermination de la mobilit du systme cest dire du nombre minimal de paramtres permettantde dcrire compltement la cinmatique du systme,

- aider au choix des sous-systmes isoler, des thormes gnraux de la dynamique utiliser, des

projections effectuer pour rpondre un problme pos.

Mobilit dun systme

La mobilit dun systme correspond au nombre minimal de paramtres indpendants ncessaires pourdcrire totalement la cinmatique du systme. Dans un mcanisme, chaque liaison prsente un certains nombrede degrs de libert. Mais la mobilit du systme complet nest pas gale la somme des degrs de libert dechacune des liaisons. Le graphe de structure sera gnralement employ pour dterminer la mobilit du systmeet choisir les paramtres indpendants du problme. En effet, lorsque le graphe prsente des fermetures, desquations supplmentaires entre les paramtres apparaissent, ce qui diminue dautant la mobilit du systme.

o Fermeture gomtrique

Lorsque dans le graphe de structure apparat un chemin ferm, (S1, S2, ; Sn-1, Sn, S1) alors, la fermeturegomtrique de ce chemin scrit :

011....21r

=+++ OnOOnOOO n et ( ) ( ) ( ) IdentitbbPbbPbbP nn = 12111 /...//

o (Oi,bi) est le repre, dorigine Oi et de base bi, attach chaque solide Si, et o P(b i+1,bi) est une matricede changement de base

Les quations scalaires obtenues sont des quations holonomes.

o Fermeture cinmatique

Si le chemin ferm possde des liaisons cinmatiques, il faut alors crire une quation de fermeturecinmatique portant sur le torseur cinmatique du chemin ferm :

{V(Sn/S1)}+{V(S1/S2)}+ + {V(Sn-1/Sn)}=0

Les quations scalaires obtenues sont des quations non-holonomes.


40/134


40

Il est toujours possible dcrire une fermeture cinmatique la place dune fermeture gomtrique. Lesquations non holonomes de la fermeture cinmatique forment un systme quivalent celui obtenu pardrivation temporelle des quations holonomes de la fermeture gomtrique.

Le choix dutiliser une fermeture gomtrique ou une fermeture cinmatique sera guid par des conditions desimplicit de mise en uvre et conduira souvent une procdure mixte.

Calcul de la mobilitCest le nombre minimal de paramtres indpendants ncessaires pour dcrire totalement la cinmatique du

systme. Pour lobtenir, il faut suivre la procdure suivante :

En premier lieu, dterminer le nombre maximal de chemins ferms indpendants. Ce nombre sappelle lenombre cyclomatique et vaut : = nl - ns + 1, avec nl=nombre de liaisons et ns=nombre de sommets du graphe.

En second lieu, pour chacun de ces chemins ferms, il faut crire les quations de fermeture et dterminerle rang rdu systme dquations obtenu.

Si on note np, nombre total de paramtres de position, qui est gal la somme des degrs de libert de toutesles liaisons du systme, la mobilit m du systme est alors par dfinition : m = np - r

Cette procdure est systmatique, mais gnralement fastidieuse. Dans la pratique, il nest pas ncessaire de paramtrer explicitement tous les degrs de libert de toutes les liaisons et dexpliciter ensuite toutes lesquations de fermeture. On peut souvent remplacer les chemins ferms du graphe de structure par une liaisonquivalente (voir lexemple ci-dessous). Ceci permet de rduire le graphe de structure et den dduire un graphede structure minimal et un paramtrage minimal.

On peut alors calculer la mobilit en appliquant la procdure dcrite ici au graphe de structure minimal oubien la dterminer en imaginant le blocage dun degr de libert dune liaison. On regarde si le systme restemobile ou non. Sil reste mobile, on ajoute un deuxime blocage dun nouveau degr de libert et ainsi de suitejusqu immobilit complte du systme. La mobilit est alors le nombre de blocages effectus.

o Mobilit utile et mobilit interne

On peut classer les np paramtres de position en deux catgories suivant quils sont associs des liaisons

avec lextrieur du systme ou des liaisons internes au systme. Par commodit, on parlera de paramtres utileset de paramtres internes.

La mobilit utile peut tre trouve en utilisant la procdure du blocage. On observe le systme sous laforme dune bote noire dont les seuls degrs de libert observables et accessibles (donc blocables) sont ceux desliaisons externes.

o Bilan : Choix dun paramtrage

Identifier les solides, identifier les liaisons.

Tracer le graphe de structure complet.

Calculer le nombre maximal de chemins ferms indpendants.

Rduire le graphe de structure en remplaant autant de chemins ferms indpendants quepossible par une liaison quivalente.

Tracer le graphe de structure minimal.

Choisir un paramtrage minimal associ au graphe de structure minimal.

Tracer les figures de projection associes au paramtrage choisi.

Expliciter les quations de fermeture restantes.

3.5.5 Exemple : Presse de modlisme

Le cas dune presse de modlisme est prsent ici pour illustrer les principes de la modlisation cinmatiquequi ont t voqus plus haut. Le plan du mcanisme est prsent ci-dessous. Cet exemple est issu de Mecanique

1, Yves Brmont/Paul Rocreux.


41/134


41

Plan du mcanisme

La presse est constitue dun bti, constitu dune embase 00, dun plan dappui 05, de deux colonnes 01 et02 et dune bague suprieure 04. Ces pices nont aucun mouvement relatif. Lensemble de ces pices sera doncnot par (0).

Par ailleurs, la traverse 10, les deux bagues 11, et les deux rondelles 12 et 13 nont galement aucunmouvement relatif. Lensemble de ces pices sera not (1).

Construction du graphe de structure

Nous avons donc 6 solides principaux et 8 liaisons. Ce qui permet de dessiner le graphe de structure et dechoisir les paramtres du mouvement pour chacune des liaisons. On tient compte du fait que le problme est

plan.


42/134


42

Dans ce graphe apparaissent des chemins ferms. On peut calculer le nombre maximal de chemins fermsindpendant comme suit :

Nombre de liaisons nl=8

Nombre de sommets ns=6

Nombre de chemins ferms indpendants ou nombre cyclomatique = nl -ns +1=3.

Ces chemins ferms permettent dcrire des quations de fermeture et donc de rduire le nombre deparamtres ncessaire la modlisation complte de la cinmatique du systme. On peut paramtrer chacune desliaisons puis poser les quations et rduire le nombre de paramtres, ou analyser le problme et remplacer leschemins ferms par des liaisons quivalentes

Rduction du graphe de structure

Lexistence de deux liaisons pivots parallles entre le bti (0) et la traverse (10) interdit la rotation autour deces axes. Ainsi ces deux liaisons parallles peuvent elles tre remplaces par une liaison glissire. On limineainsi un premier chemin ferm.

Ensuite, la tige 20 est lie la traverse 10 par deux branches parallles. Dans chaque branche on trouve uneliaison rotule de centre O (40/10) ou (30/10) puis une liaison appui plan (20/30) ou (20/40). La mise en sriedune rotule et dun appui plan est quivalente une liaison ponctuelle. Deux liaisons ponctuelles au mmepoint, quivalent une seule. Ainsi le second chemin ferm est-il ramen une unique liaison ponctuelle.

Enfin, le dernier chemin ferm est naturellement rduit en considrant que la traverse sommet (03), encastreau bti, fait partie du bti.

On peut alors dessiner un graphe de structure simplifi, pour lequel est aussi choisi un paramtrage. Il resteencore un chemin ferm donc des quations de fermeture poser.


43/134


43

Construction du graphe cinmatique

La modlisation cinmatique retenue peut tre galement reprsente laide du schma cinmatique, pour

lequel on place les liaisons aux sommets et les solides sur les arcs du graphe. Ce graphe permet une meilleurecomprhension du fonctionnement du systme.

Mobilit du systme

Nombre total de paramtres np=7

Nombre de liaisons nl=3 Nombre de sommets ns=3

Nombre de chemins ferms indpendants ou nombre cyclomatique = nl -ns +1=1

Nombre dquations scalaires de fermeture crire n=6 : vecteur translation et vecteur rotationprojets sur les axes x,y,z.

Mobilit m=np-n=1

Mobilit utile : Le paramtre dentre est z, paramtre de sortie az. Les deux paramtres sontlis, la mobilit utile est gale un.

Mobilit interne : La mobilit interne est alors gale zro. Les deux dplacements bx et by etles trois rotations rx, ry et rz sont bloques.


44/134


44

3.5.6 A retenir

o Systme de solides ensemble {{solides}, {liaisons}}.

Se modlise laide dun graphe.

Graphe de structure : Sommets=solides, arcs=liaisons.

Graphe cinmatique : Sommets=liaisons, arcs=solides.

La modlisation permet le calcul de la mobilit et le choix dun paramtrage.

Le choix dun paramtrage permet la mise en place des figures de projections.

o Liaison

Se reprsente par un torseur cinmatique

Bilatrale/Unilatrale

Holonome/Non Holonome

o

Dynamique-des-Systemes-de-Solides[1]

Documents

Transcript of Dynamique-des-Systemes-de-Solides[1]