Chap.3 : DYNAMIQUE · Dynamique des Solides 2015-2016 Chapitre 3 ISET De Sousse 23 Le principe...

Dynamique des Solides 2015-2016 Chapitre 3

ISET De Sousse

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Chap.3 : DYNAMIQUE

L’objectif de ce chapitre est l’étude des forces et de leurs effets sur le mouvement des

systèmes matériels. On va décrire les torseurs de forces extérieures et énoncer le principe

liant ces actions à l'évolution des paramètres.

I. TORSEUR DYNAMIQUE : ...................................................................................................... 19

1. Définitions : ............................................................................................................................ 19

2. Expression du torseur dynamique d’un système : .................................................................. 19

3. Relation entre le moment cinétique et le moment dynamique : ............................................. 19

4. Changement de point d’un moment d’un torseur dynamique : .............................................. 20

5. Application : Disque roulant sur un plan incliné : ................................................................. 21

II. Exercices : .............................................................................................................................. 21

III. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE : ...................................................... 22

1. Enoncé : .................................................................................................................................. 22

2. Théorèmes généraux de la dynamique : ................................................................................. 23

2.1. Théorème de la résultante dynamique : .............................................................................. 23

2.2. Théorème du moment dynamique : .................................................................................... 23

2.3. Suite de l’application précédente : ..................................................................................... 23

IV. Exercices : .............................................................................................................................. 25


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I. TORSEUR DYNAMIQUE :

1. Définitions :

Le torseur dynamique de l’ensemble matériel (E) de centre d’inertie (G) en mouvement par rapport

au repère R, en un point A quelconque est le torseur suivant :

EP

EP

A

ARE

dmRPAP

dmRP

D

La résultante dynamique « quantité d'accélération » : dmRPEP

Le moment dynamique au point A : dmRPAPREEP

A

Remarque :

L’accélération dépend du repère de référence choisi et donc le torseur dynamique dépend

également du repère de référence choisi.

2. Expression du torseur dynamique d’un système :

On sait que : dmRPVRGVmEP

Dérivons les deux membres : dmRPVdtdRGV

dtdm

EP RR

On obtient finalement dmRPRGmEP

Le torseur dynamique s’écrit donc

RE

RGm

AA

ARE

D

3. Relation entre le moment cinétique et le moment dynamique :

On a : dmRPVAPREEP

A

Calculons la dérivée par rapport au temps dans (R) du moment cinétique au point A :

dmRPVAPdtdRE

dtd

EP RRA

RRR

RPVdt

dAPRPVAP

dt

dRPVAP

dt

d

Or R

APdtd =

R

OPdtd

R

OAdtd = RPV RAV


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Alors RPAPRAVRAVRPVRPVAPdtd

R

RPAPRAVRPV

D’où dmRPAPdmRPVRAVREdtd

RPRA

dmRPAPdmRPVRAVREdtd

RPRA

dmRPAPRGVmRAVREdtd

RPRA

RGVRAVmREdtdRE

RAA

Attention à ne pas confondre cette relation avec celle du Changement de point d’un moment d’un torseur

dynamique.

Cas particulier :

On peut écrire R

AA REdt

dRE

Lorsque :

- A est un point fixe

- G est un point fixe

- A confondu avec G

4. Changement de point d’un moment d’un torseur dynamique :

dmRPAPBAdmRPBPREB

dmRPAPdmRPBA

dmRPAPdmRPBA

Donc le torseur dynamique obéit aux mêmes règles que les autres torseurs :

Alors quelques soient les points A et B on a : RGmBARERE AB


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5. Application : Disque roulant sur un plan incliné :

x

x ( 0R )

1x

G

(S)

I x

y

1ère méthode :

On sait que zmRRPG 2

21 , déjà déterminer au paravent

Appliquons RGVmIGRSRS GI

IGRSRIVRGV et puisque 0RIV et yRxRzIGRS

RGVmIG = zRyRxR 2

zmRRSI 2

21 + zR 2 = zmR 2

23

Appliquons maintenant RGVRIVmRSdtdRS

RII et puisque 0RSVI alors

R

II RSdtdRS D’où RSI = zmR 2

23

2ème méthode :

R

GG RSdtdRS = zmR 2

21

RGmIGRSRS GI

zmR 2

21 + ymRxR = zmR 2

23

Finalement RSI = zmR 2

23

II. Exercices :

Exercice 1 :

Une wagonnette en accélération. Il est mis à sont

poids gmP , à une traction T et aux actions des rails : A

et B supposées verticales (voir figure ci-contre).

On demande de :

1. Calculer RWG ?

2. Calculer RWA ?

W G T

gm

A B A B

Déterminer le moment dynamique au point I (point de contact)

du cylindre plein ( S ) de rayon R dans sont mouvement par

rapport au repère 0R .

On sait que le moment d’inertie du cylindre par rapport à l’axe

zG, est 2

21 RmI RSGZ


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Exercice 2 :

Une pièce coudée (1) est en liaison pivot par rapport

au bâti (0), et une tige (2) est en liaison glissière avec

(1) comme l’indique la figure ci-contre. Le mécanisme

est plan. Les paramètres du mouvement ux, et

uOG 2 .

On demande de :

1. Calculer RG 22 ?

2. Calculer RG 22 ?

3. Donner l’équation de RG 22 ?

4. Calculer RO 2 ?

1R

R

Exercice 3 :

Soit un système composé des deux solides (1) et (2) de masse

respective 1m et 2m .

On demande de calculer :

1. Les éléments de réductions des torseurs cinétiques de

(1) et (2) par rapport à 0R ?

2. Les éléments de réductions des torseurs dynamiques

de (1) et (2) par rapport à 0R ?

0R 1R

III. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE :

1. Enoncé :

u B

A

G2

x

y v

1

2

O

0y

1x

0x

1y

u

(1)

(2)

O

A

B

G

Il existe au moins un repère R galiléen (lié à la terre), et au moins

une chronologie, tels que pour tout sous-ensemble matériel (e) d’un

ensemble matériel (E), le torseur dynamique de (e) dans son

mouvement par rapport au repère R soit égale au torseur des actions

mécaniques extérieures à (e).

e

e

E

R


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Le principe fondamental de la dynamique : DFP .. eextFReD

pour Ee

2. Théorèmes généraux de la dynamique :

En exprimant que les deux torseurs intervenant dans le principe fondamental ont une même

résultante générale et un même moment résultant en tout point, on obtient deux théorèmes appelés

théorèmes généraux de la dynamique.

Soient (m) la masse et G le centre d’inertie du sous-ensemble matériel (e) de l’ensemble matériel

(E) en mouvement par rapport au repère R. Si, en un point quelconque A on a :

Re

RGm

AA

ARe

D

et

eextA

eext

A

A FM

FR

eext

2.1. Théorème de la résultante dynamique :

Pour tout sous-ensemble matériel (e) de l’ensemble matériel (E) en mouvement par rapport au

repère galiléen R, la résultante dynamique de (e) dans son mouvement par rapport au repère R est

égale à la résultante générale du torseur associé aux actions mécaniques extérieures à (e).

Soit : eextFRRGm

2.2. Théorème du moment dynamique :

Pour tout sous-ensemble matériel (e) de l’ensemble matériel (E) en mouvement par rapport au

repère galiléen R, le moment dynamique de (e) dans son mouvement par rapport au repère R est égale

au moment résultant du torseur associé aux actions mécaniques extérieures à (e).

Soit : ApourFMRe eextAA

2.3. Suite de l’application précédente :

Etude dynamique du disque roulant sur un plan incliné

Le torseur dynamique au centre d’inertie du disque (S) est

RS

RGm

GG

RSD


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avec RSm G = ymR RSG = zmR 2

21

Les actions extérieures qui s’exercent sur le cylindre ont :

Pesanteur

0PG

P

M

yCosxSingMR

Action de contact avec le sol

0R

A

A

M

yNxTR

ARGM IGRM ARI

A zRTyRyNxT

Soit en définitive :

extFR xSingMT yCosgMN

zRTM extFG

y x

G

P N

T

En appliquant le principe fondamental de la dynamique au point G :

On obtient :

RSM

FRR

GF

G

SextF

ext

ext

Ou encore :

021

RMT

CosgMN

SingMxMT

Nous sommes en présence d’un système de trois équations à quatre inconnues ,,, xNT . Pour

le résoudre, il nous faut une équation supplémentaire que l’on va obtenir en examinant les conditions

de roulement au point de contact I entre le disque et le plan incliné.

Si on fait l’hypothèse qu’il y a roulement sans glissement du disque (D) sur le plan (P), alors la

vitesse de glissement de (D) sur (P) est nulle. Soit : )/()/( 00 RPVRDVV IIgI

Or 0)/( 0 RPVI (le plan étant fixe)

Et GIRDRDGVRDVI )/()/()/( 000 = xRxyRzxx )()(

La condition de roulement sans glissement nous fournit l’équation :

Rx =0

Soit en dérivant par rapport au temps : 0

Rx

I


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On résout alors le système :

sinMgxMT

cosMgN

02

1

MRT

0

Rx

On obtient après résolution :

sin3

2gx

R

g

sin

3

2

3

sinMgT

cosMgN

IV. Exercices :

EXERCICE 1:

Reprendre l'exercice 1 du Chapitre 6.

e) Calculer le torseur dynamique de ( S ) au point O

EXERCICE 2 :

On considère un système constitué d'une tige (T) de

masse m de longueur L et d'un disque (D) de centre C

de masse m et de rayon L/3. La tige est articulée au

point O par une liaison pivot d'axe

zO, et est liée

au disque par une liaison pivot en C d’axe

zC, . Le

disque est en contact permanent au point I avec un

solide (S) immobile.

On repère les mouvements du système par les paramètres suivants :

zyxOR ,,,

000

: Le repère de référence lié à (S),

zyxOR ,,,

111

: Un repère mobile lié à (T),


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zyxCR ,,,

222

: Un repère mobile lié au disque (D),

Tel que 10, xx 10 , yy et 21, xx

21, yy .

On supposera qu'il y a roulement sans glissement en I.

ETUDE DE LA TIGE

Soit G le centre de gravité de la tige (T).

1) Calculez la vitesse de G ?

2) Donnez la matrice d'inertie de la tige (T) au point G dans la base b1 ?

3) Calculez le torseur cinétique de la tige au point G ?

4) Calculez le torseur dynamique de la tige au point C ?

5) Calculez l'énergie cinétique de la tige (T) ?

6) Calculez l'énergie potentielle de la tige (T) ?

7) Ecrire les équations découlant du DFP .. pour la tige (T) ?

ETUDE DU DISQUE

8) Donnez la matrice d'inertie du disque (D) au point C dans la base b2 ?

9) Calculez le torseur cinétique du disque (D) au point C ?

10) Calculez l'énergie cinétique du disque (D) ?

11) Calculez l'énergie potentielle du disque (D) ?

12) Calculez le torseur dynamique du disque (D) au point C ?

13) Ecrire les équations découlant du DFP .. pour le disque (D) ?

14) Donner l'équation de roulement sans glissement de (D) sur (S) ?

EXERCICE 3 :

Le mécanisme proposé à l’étude est celui d’une Planétaire (voir le schéma cinématique du mécanisme ci-

dessous).

On considère, dans un repère 0000 ,,, zyxOR , le mouvement plan d'un disque (D), de rayon a,

astreint à se déplacer dans le plan 00 ,, yxO . Le centre C du disque décrit une circonférence de

rayon L, de centre O. On pose OC L u

La tige (T) est en liaison pivot d’axe (O, 0z ) avec le bâti (0) (entraînée par un moteur M1 non

représenté).

Le disque (D) est en liaison pivot d’axe (C, 0z ) avec la tige (T).

Repères associés :

On considère les repères orthonormés directs suivants :


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0000 ,,, zyxOR repère lié le bâti (0) ;

01 ,,, zyxCR repère lié au disque (D) ;

02 ,,, zvuOR repère lié à la tige (T).

Paramètres cinématiques et de positions :

Dans les deux parties u sera repéré par l’angle ux ,0 ,

La position de x sera repérée soit par rapport à 0x , xx ,0 , soit par rapport à u ,

xut , .

On remarque que ces paramètres sont liés par la relation .

Schéma cinématique du mécanisme :

0

y x

P u

C 0x

GT

O 0x

Hypothèses

Toutes les liaisons sont supposées parfaites.

La tige (T) est de longueur (L), de masse (mT) et de centre d’inertie (GT).

Le disque (D) est de rayon R, de masse (m D) et de centre d’inertie (C)

Les actions exercées par le moteur (M1), le moteur (M2), la tige (T) et le disque (D) sont :

Le moteur (M1) lié à (0) applique sur la tige (T) un couple : 011 zCC

La pesanteur applique sur la tige (T) le poids : 0ygmP TT

La pesanteur applique sur le disque (D) le poids : 0ygmP DD

avec ( g est l’accélération de pesanteur)

La matrice d’inertie 2RTITG

de la tige (T) par rapport à la base 0,, zvu :


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0,,00

00

000

zvuT

TT

B

BGI

La matrice d’inertie 0RDIC

du disque (D) par rapport à la base 000 ,, zyx :

000 ,,00

00

00

zyxD

D

D

C

A

A

CI

Partie I : Etude Cinématique

1. Donner les vecteurs rotations :

)0/(T , )0/(D et )/( TD .

2. Calculer la vitesse au point (C) de la tige (T) par rapport au repère 0R :

0/ RTV C .

En déduire la vitesse au point (GT) de la tige (T) par rapport au repère 0R :

0/ RTVTG .

3. Calculer l'accélération du point (C) de la tige (T) par rapport au repère 0R :

0/ RTC .

En déduire l'accélération du point (GT) de la tige (T) par rapport au repère 0R :

0/ RTTG .

4. Calculer la vitesse du point (P) du disque (D) par rapport au repère 0R :

0/ RDV P .

En déduire l'accélération du point (P) du disque (D) par rapport au repère 0R :

0/ RDP

Partie II : Etude Cinétique

1. Déterminer le moment d’inertie TB de la tige (T) par rapport à l’axe (GT, 0z ) :

En déduire son moment par rapport à l’axe (O, 0z )


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2. Déterminer le moment d’inertie DC du disque (D) par rapport à l’axe (C, 0z ) :

En déduire son moment par rapport à l’axe (O, 0z )

3. Calculer le moment cinétique au point (GT) de la tige (T) dans son mouvement par rapport à

0R : 0/ RTTG .

4. Calculer le moment cinétique au point (O) de la tige (T) dans son mouvement par rapport à

0R : 0/ RTO

5. Calculer le moment cinétique au point (C) du disque (D) dans son mouvement par rapport à

0R : 0/ RDC

6. Calculer le moment dynamique au point (GT) de la tige (T) dans son mouvement par rapport

à 0R : 0RTTG .

7. Calculer le moment dynamique au point (O) de la tige (T) dans son mouvement par rapport à

0R : 0RTO .

8. Calculer le moment dynamique au point (O) du système [tige (T) + disque (D)] dans leur

mouvements par rapport à 0R : 0)( RDTO .

Partie III : Principe Fondamentale de la Dynamique

En appliquant le principe fondamentale dynamique théorème des moments dynamiques au

point (O) à l’ensemble [(T) + (D)]. Donner l’expression de 1C en fonction des données du

problème.

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