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UE : SYSTEMES DYNAMIQUES ET MODELISATION EN ECOLOGIE MASTER -2 ème année Système dynamique : variable (ou ensemble de variables) qui évolue(nt) au cours du temps. Domaines d’applications : Dippner et al., MEPS, 2002 Domaines d’applications : • Astronomie • Physique • Cardiologie • Neurologie • Biologie (physiologie, cellules, organes, …) • Écologie

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UE : SYSTEMES DYNAMIQUES ET MODELISATION EN

ECOLOGIE

MASTER - 2ème année

Système dynamique : variable (ouensemble de variables) qui évolue(nt) aucours du temps.

Domaines d’applications :

Dippner et al., MEPS, 2002

Domaines d’applications :

• Astronomie

• Physique

• Cardiologie

• Neurologie

• Biologie (physiologie, cellules, organes, …)

• Écologie

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X

CONCEPTS

( )tX

( ) ( )( )tXFtX =+1 ( )XFdX =( ) ( )( )tXFtX =+1

( ) ( ) ( ) ( )( )ktXtXtXFtX −−=+ ,...,1,1

( )XFdt

dX =

( ) ( )( )τ−= tXtXFdt

dX;

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Données :

Séries chronologiques

Mathématiques :

Équations différentielles, …

Modélisation

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Mathématiques

Comportement dynamique : constant, périodique, quasi-périodique, apériodique

Attracteur : équilibre, cycle limite, tore, attracteur étrange

Changement de comportement qualitatif : bifurcationsChangement de comportement qualitatif : bifurcations

Bifurcation = perte de stabilité d’un attracteur

Stabilité = linéarisation au voisinage de l’attracteur

Linéarisation = Systèmes différentiels linéaires

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Mathématiques

Comportement dynamique : constant, périodique, complexe ?

• sensibilité aux conditions initiales (SCI)

• Exposant de Lyapunov positif

• Non prédictibilité• Non prédictibilité

• attracteur de dimension fractale (dimension de corrélation)

• Comportement erratique des solutions du système différentiel

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Données : séries chronologiques

Changement de comportement qualitatifcomportement qualitatif

Bifurcations

D’après Fusham et al., 1999

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Données :

Séries chronologiques

Mathématiques :

Équations différentielles, …

Analyse de Fourier, Analyse de stabilité,

Modélisation

Analyse de Fourier,

Autocorrélation,

dimension de

plongement, etc.

Analyse de stabilité,

SCI, exposant de

Lyapunov, dimension

d’attracteurs, etc.

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Exemples de modèles déterministes présentant du chaos :

les chaînes trophiques

ZdP

cPPP

bN

aNe

dt

dP

PbN

aN

K

NrN

dt

dN

+−−

+=

+−

−=

11

11

µ

mZZdP

cP

dt

dZ

dPbNdt

−+

=

++

1

11

ε

r=1;K=1;

a=5;b=3;e=1; mu=0.4;

c=0.1;d=2;epsilon=1;m=0.01;

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Analyse de la quantification de récurrences

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Les points récurrentsLes points récurrents

Attention : C’est la définition de la boule de centre X0 et de rayon r, non d’un point récurrent

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Diagramme de récurrencesDiagramme de récurrences

NXXXX ,...,,, 321

+−

+−

pN

pN

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

2

1

4

3

3

2

2

1

,...,,,

+−

++ N

pN

ppp X

X

X

X

X

X

X

X

⋮⋮⋮⋮

3

2

5

1

43 ,...,,,

N-p+1 points dans IRp

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Diagramme de récurrencesDiagramme de récurrences

Point i

Boule de rayon r

+−

+−+−+−

1,12,11,1

2,21,2

1,11,1

pn

pnpnpn

aaa

aa

aa

⋰⋮

Point j

1== jiij aa

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Diagramme de récurrencesDiagramme de récurrences

Cas des systèmes déterministes :

si le point i et le point j sont proches, alors les points i+1 et j+1 ne peuvent pas être trop éloignés !

APPARITION DE STRUCTURES OBLIQUES,

PARRALELES A LA BISSECTRICE PRINCIPALE

L’absence de telles structures signifie une forte L’absence de telles structures signifie une forte importance des phénomènes aléatoires.importance des phénomènes aléatoires.

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Diagramme de récurrencesDiagramme de récurrences

Les structures et la quantification

1 – Le pourcentage de récurrence : nombre de points récurrents rapporté au nombre total de points (=proportion de points noirs).

2 – Le pourcentage de déterminisme : nombre de points récurrents qui forment des morceaux de diagonales (hors diagonale principale), rapporté au nombre total de points

( )∑n

3 – L’entropie de Shannon : ( )∑=

−=n

i

ii ppI1

log

4 – La tendance : elle quantifie le palissement des points récurrents observé lorsqu’on s’éloigne de la diagonale et donne donc une mesure de la non stationnarité décrite par le diagramme de récurrence.

5 – La longueur maximale des lignes diagonales : elle donne une mesure de la sensibilité aux conditions initiales, elle est inversement proportionnelle à l’exposant de Lyapounov.

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Diagramme de récurrencesDiagramme de récurrences

… et dimension de plongement.… et dimension de plongement.

p=10 p=5

p=2

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Diagramme de récurrencesDiagramme de récurrences

… et dimension de plongement.… et dimension de plongement.

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Diagramme de récurrencesDiagramme de récurrences

… et dimension de plongement.… et dimension de plongement.

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Effet du choix de Effet du choix de rr

Le log d’un % devrait être devrait être inférieur à 0.

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Effet du choix de Effet du choix de rr

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Effet du choix de Effet du choix de rr

Série de données aléatoires

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Histogramme de récurrencesHistogramme de récurrences

Série périodique de période 30

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Histogramme de récurrencesHistogramme de récurrences

Série logistique

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Histogramme de récurrences Histogramme de récurrences

pour le picophytoplanctonpour le picophytoplancton

Série initiale Histogramme

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Histogramme de récurrences Histogramme de récurrences

pour le nanophytoplanctonpour le nanophytoplancton

Série initiale Histogramme

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Histogramme de récurrences Histogramme de récurrences

pour les calanoïdespour les calanoïdes

Série initiale Histogramme

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Histogramme de récurrences Histogramme de récurrences

pour les rotifèrespour les rotifères

Série initiale Histogramme

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Diagramme de récurrences pour Diagramme de récurrences pour

le picophytoplanctonle picophytoplancton

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Diagramme de récurrences pour Diagramme de récurrences pour

le nanophytoplanctonle nanophytoplancton

dinoflagellates

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Diagramme de récurrences pour Diagramme de récurrences pour

les calanoïdesles calanoïdes

Eurytemora affinis

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Diagramme de récurrences pour Diagramme de récurrences pour

les rotifèresles rotifères

Brachionus

angularis