DIDACTIQUE DES DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUESMATHEMATIQUES

Cours de PREPA PE1Cours de PREPA PE1

O.MARTINELLIO.MARTINELLI

Plan du coursPlan du cours

PARTIE A : GENERALITES (diapo 3 à PARTIE A : GENERALITES (diapo 3 à 34) 34)

PARTIE B : LES ENTIERS ( diapo 36 à )PARTIE B : LES ENTIERS ( diapo 36 à )

Enseignement et apprentissage Enseignement et apprentissage des mathématiquesdes mathématiques

Pensez-vous qu’il y ait une différence Pensez-vous qu’il y ait une différence entre « apprendre » et « enseigner » entre « apprendre » et « enseigner » ??

Si oui précisez.Si oui précisez.

Réponses proposéesRéponses proposées

Rappelons les évidences Rappelons les évidences Apprendre c’est du côté élève , en latin Apprendre c’est du côté élève , en latin

«apprehendere» qui signifie saisir, «apprehendere» qui signifie saisir, s’emparer de, comprendre.s’emparer de, comprendre.

Enseigner c’est du côté professeur, en Enseigner c’est du côté professeur, en latin « signare » qui signifie placer un latin « signare » qui signifie placer un signe , laisser une marque, celle du signe , laisser une marque, celle du professeur.professeur.

Apprendre c’est un acte qui consiste à Apprendre c’est un acte qui consiste à s’approprier un savoir ou un savoir-faire.s’approprier un savoir ou un savoir-faire.

APPRENTISSAGESAPPRENTISSAGESLes grands courantsLes grands courants

1) Conception transmissive1) Conception transmissive 2) Béhaviorisme2) Béhaviorisme 3) Structuralisme3) Structuralisme 4) Socioconstructivisme4) Socioconstructivisme

La conception transmissive ( ou La conception transmissive ( ou conception de la tête vide)conception de la tête vide)

C’est une conception à laquelle on se C’est une conception à laquelle on se réfère spontanément quand on veut réfère spontanément quand on veut enseigner quelque chose à quelqu’un.enseigner quelque chose à quelqu’un.

On suppose que l’élève ne sait rien de la On suppose que l’élève ne sait rien de la connaissance nouvelle.connaissance nouvelle.

L’enseignant communique cette nouvelle L’enseignant communique cette nouvelle connaissance.connaissance.

L’élève attentif écoute et « imprime » dans L’élève attentif écoute et « imprime » dans sa tête la nouvelle connaissance.sa tête la nouvelle connaissance.

L’enseignant propose des exercices L’enseignant propose des exercices d’entraînement et de réinvestissement.d’entraînement et de réinvestissement.

Les limites de la conception de la Les limites de la conception de la tête videtête vide

Tout repose sur la « communication Tout repose sur la « communication »»

Or même quand les élèves sont très Or même quand les élèves sont très attentifs,ils n’ont pas la tête vide, ce attentifs,ils n’ont pas la tête vide, ce qui est dit par l’enseignant est qui est dit par l’enseignant est interprété à travers le filtre des interprété à travers le filtre des expériences personnelles.expériences personnelles.

Les avantages de la tête videLes avantages de la tête vide

Ce modèle est performant si :Ce modèle est performant si : Les élèves sont motivés et attentifsLes élèves sont motivés et attentifs Si l’expérience antérieure des élèves Si l’expérience antérieure des élèves

est suffisamment proche de celle de est suffisamment proche de celle de l’enseignant.l’enseignant.

Ce modèle est particulièrement Ce modèle est particulièrement efficace pour faciliter la structuration efficace pour faciliter la structuration des connaissances nouvelles.des connaissances nouvelles.

Quelques variantes de la tête videQuelques variantes de la tête vide

L’enseignant entrecoupe son exposé L’enseignant entrecoupe son exposé de questions pour soutenir l’attention de questions pour soutenir l’attention ou pour faire dire par l’élève des ou pour faire dire par l’élève des éléments de la connaissance éléments de la connaissance nouvelle.nouvelle.

C’est le cours dialogué ( mémoire de C’est le cours dialogué ( mémoire de DEA de R.CHARNAY ) directement DEA de R.CHARNAY ) directement inspiré de l’approche de dite « inspiré de l’approche de dite « maïeutique » de SOCRATE.maïeutique » de SOCRATE.

La conception béhavioristeLa conception béhavioriste

Elle s’appuie sur le fait qu’on ne peut Elle s’appuie sur le fait qu’on ne peut pas avoir accès aux structures mentales pas avoir accès aux structures mentales d’une personne , par contre les d’une personne , par contre les comportements observables sont comportements observables sont accessibles.accessibles.

On peut modifier le comportement On peut modifier le comportement d’une personne par d’une personne par conditionnementconditionnement en en utilisant des « stimuli » ( PAVLOV) et un utilisant des « stimuli » ( PAVLOV) et un renforcement des réponses positives renforcement des réponses positives ((conditionnement opérantconditionnement opérant de SKINNER) de SKINNER)

Dans la classe Dans la classe

L’enseignant définit un objectif et L’enseignant définit un objectif et des sous objectifs sous la forme « à des sous objectifs sous la forme « à la fin de la séquence l’élève sera la fin de la séquence l’élève sera capable de ».capable de ».

À chaque fois qu’un sous objectif est À chaque fois qu’un sous objectif est atteint l’enseignant récompense et atteint l’enseignant récompense et propose des situations d’entraiment propose des situations d’entraiment pour automatiser le nouveau pour automatiser le nouveau comportement.comportement.

Les limites du béhaviorismeLes limites du béhaviorisme

Si l’objectif est trop complexe, l’enseignant Si l’objectif est trop complexe, l’enseignant le divise en de nombreux sous objectifs. Ce le divise en de nombreux sous objectifs. Ce guidage excessif empêche les élèves de guidage excessif empêche les élèves de prendre du recul par rapport aux prendre du recul par rapport aux connaissances enseignées.connaissances enseignées.

Quand on lâche la main à l’élève il ne sait Quand on lâche la main à l’élève il ne sait ni où aller ni comment y aller!ni où aller ni comment y aller!

L’acquisition des sous objectifs ne garantit L’acquisition des sous objectifs ne garantit pas l’acquisition de l’objectif. (ex: je sais pas l’acquisition de l’objectif. (ex: je sais débrayer , freiner, tenir le volant, ça ne débrayer , freiner, tenir le volant, ça ne garantit pas que je sache conduire)garantit pas que je sache conduire)

Avantages du béhaviorismeAvantages du béhaviorisme

Ce modèle rationalise la construction Ce modèle rationalise la construction des séquences d’enseignement ainsi des séquences d’enseignement ainsi que l’élaboration d’évaluationsque l’élaboration d’évaluations

Il favorise l’individualisation de Il favorise l’individualisation de l’enseignement l’enseignement

Enfin l’élève est en situation de Enfin l’élève est en situation de réussite.réussite.

STRUCTURALISMESTRUCTURALISME

Socio-constructivismeSocio-constructivisme Hypothèse 1 : Hypothèse 1 : L’acquisition de L’acquisition de

connaissances passe par connaissances passe par une une interaction entre le interaction entre le sujet et l’objetsujet et l’objet d’étude d’étude par le biais de la par le biais de la résolution de problème.résolution de problème.

Hypothèse 2 :Hypothèse 2 : La La tête de l’élève n’est tête de l’élève n’est

jamais vide de jamais vide de connaissancesconnaissances fussent fussent elles erronées.elles erronées.

Hypothèse 3:Hypothèse 3: dans une situation-dans une situation-

probléme probléme on met en défaut on met en défaut l’ancienne connaissance l’ancienne connaissance pour en construire une pour en construire une nouvelle.nouvelle. (voire schéma) (voire schéma)

Hypothèse 4:Hypothèse 4: L’élève n’arrivera a donner L’élève n’arrivera a donner

dudu sens sens à une à une connaissance que si elle connaissance que si elle apparaît comme apparaît comme un outil un outil indispensable pour indispensable pour résoudre des problèmesrésoudre des problèmes..

Hypothèse 5:Hypothèse 5: Les Les interaction sociales interaction sociales

favorisent l’apprentissagefavorisent l’apprentissage (travail en groupe, débat..)(travail en groupe, débat..)

SITUATION-PROBLEME (socioconstructivismeSITUATION-PROBLEME (socioconstructivisme)) La situation-problème occupe une La situation-problème occupe une

place centrale dans la conception place centrale dans la conception socioconstructiviste.socioconstructiviste.

Caractéristiques liées au Caractéristiques liées au problème:problème:

1- On a repéré un1- On a repéré un obstacle obstacle c’est-c’est-à-dire une connaissance qui « à-dire une connaissance qui « empêche » l’acquisition de la empêche » l’acquisition de la nouvelle.nouvelle.

2- Les élève doivent pouvoir 2- Les élève doivent pouvoir s’engager facilement dans la s’engager facilement dans la résolutionrésolution..

3- Les 3- Les connaissances anciennes connaissances anciennes doivent être mise en défautdoivent être mise en défaut..

4- Les élèves doivent avoir un 4- Les élèves doivent avoir un moyen de moyen de contrôler eux-mêmes contrôler eux-mêmes leurs résultats.leurs résultats.

5- la nouvelle connaissance doit 5- la nouvelle connaissance doit être être l’outil le plus adaptél’outil le plus adapté à la à la résolution du problème.résolution du problème.

Caractéristiques liées à la Caractéristiques liées à la gestion de classegestion de classe

Phase de dévolution:Phase de dévolution: l’enseignant s’assure que les l’enseignant s’assure que les élèves prennent à leur charge élèves prennent à leur charge le problèmele problème

Phase d’actionPhase d’action (souvent en (souvent en groupe) : les élève mettent en groupe) : les élève mettent en place des procédures souvent place des procédures souvent implicite.implicite.

Phase de formulationPhase de formulation : les : les élèves explicitent les élèves explicitent les procédures utiliséesprocédures utilisées

Phase de validation:Phase de validation: les les élèves vont se convaincre que élèves vont se convaincre que la solution est valable.la solution est valable.

Phase d’institutionnalisationPhase d’institutionnalisation: : l’enseignant identifie les l’enseignant identifie les nouveaux savoirs et savoir-nouveaux savoirs et savoir-faire, il trie et dit ce qu’il faut faire, il trie et dit ce qu’il faut retenir. retenir.

Les limites du socioconstructivismeLes limites du socioconstructivisme

Gérer des situations problèmes dans Gérer des situations problèmes dans une classe présente des difficultés une classe présente des difficultés spécifiques surtout quand l’effectif spécifiques surtout quand l’effectif est important.est important.

On utilise les situations problèmes On utilise les situations problèmes pour quelques concepts il n’est pas pour quelques concepts il n’est pas certain que cette approche soit certain que cette approche soit pertinente pour tous les conceptspertinente pour tous les concepts

Avantages de l’approche Avantages de l’approche socioconstructivistesocioconstructiviste

Elle donne un véritable statut à Elle donne un véritable statut à l’erreur. Les erreurs repérées comme l’erreur. Les erreurs repérées comme des obstacles sont des points d’appui des obstacles sont des points d’appui pour l’apprentissage.pour l’apprentissage.

Ce modèle prend en compte les Ce modèle prend en compte les conceptions initiales des élèves.conceptions initiales des élèves.

Dans ce modèle on donne du sens Dans ce modèle on donne du sens aux connaissances.aux connaissances.

Analyse d’énoncé et de productions d’élèvesAnalyse d’énoncé et de productions d’élèves

RéponsesRéponses 1) 1) Résolution algébriqueRésolution algébrique

(coté prof )(coté prof ) on résout le système: F on résout le système: F

= T + 11 et F + T = 73= T + 11 et F + T = 73 On trouve donne F = On trouve donne F =

42 et T = 3142 et T = 31 l’autre problème donne l’autre problème donne

L= 85 et Z = 95L= 85 et Z = 95

Résolution arithmétiqueRésolution arithmétique ( coté élève) ( coté élève)

Il donne 11 images à F Il donne 11 images à F et répartit et répartit équitablement le reste équitablement le reste entre F et Tentre F et T

73-11= 62 62/2=31 73-11= 62 62/2=31 31 +11 =4231 +11 =42

Résolution par essaisRésolution par essais On fixe une contrainte On fixe une contrainte ( la différence vaut 11)( la différence vaut 11) On ajuste l’autreOn ajuste l’autre ( la somme vaut 73)( la somme vaut 73)

Résolution par partage Résolution par partage équitableéquitable

On fait la division On fait la division Euclienne de 73 par 2Euclienne de 73 par 2

On attribue le reste à On attribue le reste à FF

Puis on fait des Puis on fait des échanges de T vers F échanges de T vers F jusqu’à ce que la jusqu’à ce que la contrainte différence contrainte différence soit vérifiée.soit vérifiée.

Réponses (suite)Réponses (suite)

2) difficultés rencontrées par l’élève:2) difficultés rencontrées par l’élève: - gestion et organisation des essais- gestion et organisation des essais - choix de la contrainte à tordre ou à - choix de la contrainte à tordre ou à

fixerfixer

Toutes les difficultés viennent d’une Toutes les difficultés viennent d’une rupture du contrat didactique rupture du contrat didactique habituel.habituel.

réponseréponse Groupe A:Groupe A: Il trouve la bonne Il trouve la bonne

réponse en utilisant réponse en utilisant une procédure par une procédure par essaisessais

Groupe B:Groupe B: Il échoue en utilisant Il échoue en utilisant

une procédure de une procédure de partage équitable mais partage équitable mais ne parvient pas à ne parvient pas à respecter la contrainte respecter la contrainte de la différence. de la différence. L’effet L’effet contratcontrat lui fait faire 2 lui fait faire 2 opérations inutilesopérations inutiles

Groupe C:Groupe C: Il utilise la Il utilise la

procédure de procédure de partage équitable , partage équitable , commence les commence les échanges et échanges et commet une erreur commet une erreur au dernier au dernier échange.échange.

Groupe D:Groupe D: Il trouve la bonne Il trouve la bonne

réponse en réponse en utilisant une utilisant une procédure de procédure de partage équitable.partage équitable.

réponseréponse

Il alterne les procédures.Il alterne les procédures. Il commence par une procédure de Il commence par une procédure de

partage équitable 180/2=90partage équitable 180/2=90 Puis il respecte la contrainte sur la Puis il respecte la contrainte sur la

différence en prélevant 10 à Ldifférence en prélevant 10 à L Puis il partage cette dizaine en 2 et Puis il partage cette dizaine en 2 et

la distribue équitablement.la distribue équitablement.

1) compétence:1) compétence: Reconnaître , identifier Reconnaître , identifier

les données les données pertinentes.pertinentes.

Mettre en oeuvre un Mettre en oeuvre un raisonnement.raisonnement.

Savoir faire une Savoir faire une soustraction.soustraction.

2) difficulté pour un 2) difficulté pour un élève de CM2:élève de CM2:

Présence d’une Présence d’une donnée inutiledonnée inutile

La situation es difficile La situation es difficile à se représenter sous à se représenter sous forme de schémaforme de schéma

3) analyse des 3) analyse des productions élèvesproductions élèves

Romain : il repère bien Romain : il repère bien les données utiles les données utiles mais pour lui la mais pour lui la réponse est le résultat réponse est le résultat d’un seul calcul, il d’un seul calcul, il rupture du contrat rupture du contrat didactique.didactique.

Jerémy ne sait pas Jerémy ne sait pas qu’il peut utiliser un qu’il peut utiliser un résultat intermédiaire.résultat intermédiaire.

Sélie: elle trouve le Sélie: elle trouve le bon résultat en posant bon résultat en posant des additions à trou.des additions à trou.

Grégory interprète Grégory interprète mal les infos donnéesmal les infos données

Luel n’a pas su Luel n’a pas su interpréter les interpréter les données. Sa réponse données. Sa réponse n’a rien à voir avec les n’a rien à voir avec les calculs qu’il a posé.calculs qu’il a posé.

Les sources de difficultés dans la Les sources de difficultés dans la résolutions d’exercices résolutions d’exercices

(côté élèves) (côté élèves) L’effet contratL’effet contrat Les adaptations qu’il a à réaliserLes adaptations qu’il a à réaliser La gestion des donnéesLa gestion des données Les obstacles épistémologiquesLes obstacles épistémologiques

L’effet contratL’effet contrat L’élève obéit a une coutume existante L’élève obéit a une coutume existante

dans la classedans la classe pour résoudre un pour résoudre un certain type de problème. certain type de problème.

exemple: la diapo 27 la production de exemple: la diapo 27 la production de Romain. Pour lui , pour trouver le Romain. Pour lui , pour trouver le résultat il ne faut qu’une seule résultat il ne faut qu’une seule opération et pas deux.opération et pas deux.

Par exemple: la diapo 23 la Par exemple: la diapo 23 la production du groupe B. Il fait des production du groupe B. Il fait des opérations vides de sens car il faut opérations vides de sens car il faut absolument utiliser les données absolument utiliser les données contenues dans l’énoncé.contenues dans l’énoncé.

Les différentes adaptations à réaliser dans la résolution de Les différentes adaptations à réaliser dans la résolution de problèmes.problèmes.

A1: les A1: les reconnaissancesreconnaissances des modalités des modalités d’application des connaissances.d’application des connaissances.

A2: A2: l’introduction d’intermédiairel’introduction d’intermédiaire ( une notation, un ( une notation, un point, une droite qui ne sont pas sur la figure point, une droite qui ne sont pas sur la figure initiale )initiale )

A3 : les A3 : les mélanges de cadres ou notionsmélanges de cadres ou notions (pour (pour résoudre un problème de géométrie on est amené résoudre un problème de géométrie on est amené à résoudre un problème d’arithmétique, exemple à résoudre un problème d’arithmétique, exemple l’agrandissement du puzzle)l’agrandissement du puzzle)

A4: A4: l’introduction d’étapesl’introduction d’étapes dans l’organisation des dans l’organisation des calculs ou du raisonnement (diapo27)calculs ou du raisonnement (diapo27)

A5: A5: l’utilisation des questions précédentesl’utilisation des questions précédentes pour pour résoudre un problèmerésoudre un problème

A6: A6: l’existence de choixl’existence de choix A7: A7: manque de nouvelles connaissancesmanque de nouvelles connaissances ( exemple ( exemple

diapo 20 gestion de la double contrainte ) diapo 20 gestion de la double contrainte )

La gestion des donnéesLa gestion des données

La donnée inutile est une source La donnée inutile est une source d’erreurs très classique. ( diapo 27)d’erreurs très classique. ( diapo 27)

Les obstacles épistémologiquesLes obstacles épistémologiques

Raisons historiquesRaisons historiques Raisons pratiquesRaisons pratiques

PARTIE B : LES NOMBRES ENTIERSPARTIE B : LES NOMBRES ENTIERS

1 ) Peano, la construction de lN:1 ) Peano, la construction de lN: la notion de prédécesseur de successeurla notion de prédécesseur de successeur

2 )la notion de collection. 2 )la notion de collection. En début d’apprentissage le nombre est associé à En début d’apprentissage le nombre est associé à

un objet. Un nombre correspond à une collection un objet. Un nombre correspond à une collection d’objet.d’objet.

3 ) les différentes représentations du nombre 3 ) les différentes représentations du nombre Représentation par le dessin une collection Représentation par le dessin une collection

d’objet, représentation orale, représentation d’objet, représentation orale, représentation écrite en lettre, représentation écrite en chiffre.écrite en lettre, représentation écrite en chiffre.

4 ) la numération de position4 ) la numération de position un nombre revêt deux aspects : ordinal et un nombre revêt deux aspects : ordinal et

cardinalcardinal

Exo 1Exo 1

Correction exo 1Correction exo 1

1) évaluation diagnostique:1) évaluation diagnostique: repère les manques et les acquis , repère les manques et les acquis ,

permetpermet la prise de décisions la prise de décisions : : (remédiation, différenciation, choix (remédiation, différenciation, choix d’une méthode d’apprentissage).d’une méthode d’apprentissage).

2) Consigne de l’exercice 3:2) Consigne de l’exercice 3: « vous écrivez en chiffre les « vous écrivez en chiffre les

nombres que je dicte »nombres que je dicte »

Correction exo 1 (suite)Correction exo 1 (suite) 3 et 4 ) Compétences et 3 et 4 ) Compétences et

difficultésdifficultés Exo1 :Exo1 : Compétence = dénombrerCompétence = dénombrer Difficultés = taille de la Difficultés = taille de la

collection et emplacement en collection et emplacement en vrac des objetsvrac des objets

EXo2 :EXo2 : Compétence= encadrer à Compétence= encadrer à

l’unité + connaître l’unité + connaître prédécesseur et successeur prédécesseur et successeur dans lNdans lN

Difficultés = la consigne est Difficultés = la consigne est implicite + la présence du 0 implicite + la présence du 0 et du 9 comme chiffre des et du 9 comme chiffre des unités qui peut faire obstacle unités qui peut faire obstacle au prédécesseur et successeurau prédécesseur et successeur

Exo6:Exo6: compétence = produire des compétence = produire des

suites écritessuites écrites Difficulté = consigne impliciteDifficulté = consigne implicite

Exo3:Exo3: Compétence= associer Compétence= associer

représentation orale et écrite représentation orale et écrite du nombredu nombre

Difficultés = présence de 0 Difficultés = présence de 0 intercalé (709) + rupture entre intercalé (709) + rupture entre numération orale et écrite numération orale et écrite (comptine de Tchou).(comptine de Tchou).

Exo4:Exo4: Compétence =Ranger des Compétence =Ranger des

nombresnombres Difficultés = choix de la Difficultés = choix de la

technique à utiliser(on repère technique à utiliser(on repère le rang ou on se réfère la le rang ou on se réfère la comptine numérique)comptine numérique)

Exo5:Exo5: Compétence:comprendre la Compétence:comprendre la

numération de positionnumération de position Difficulté: si le travail sur les Difficulté: si le travail sur les

objets n’a pas été fait objets n’a pas été fait l’écriture pas de sens pour l l’écriture pas de sens pour l ‘élève‘élève

Exo 2:Exo 2:

Réponses exo 2Réponses exo 2 1) interprétation des réussites différentes1) interprétation des réussites différentes Dans le second nombre quand on le lit on n’entend pas Dans le second nombre quand on le lit on n’entend pas

le fait qu’ il n’y ait pas de centaine et de dizaine de le fait qu’ il n’y ait pas de centaine et de dizaine de milliers et de centaine d’unités.milliers et de centaine d’unités.

2) interprétation des erreurs2) interprétation des erreurs 2 340 500 = simple inversion de mot2 340 500 = simple inversion de mot 2000030040115015 = l’élève essaie d’écrire tous les 2000030040115015 = l’élève essaie d’écrire tous les

nombres qu’il entend.nombres qu’il entend.

3) la consigne du maître3) la consigne du maître Dans les 2 cas la consigne du maître est respectée Dans les 2 cas la consigne du maître est respectée

(dans le premier cas il entend 200 au lieu de 2)(dans le premier cas il entend 200 au lieu de 2)

4 et 5 ) Comment invalider les réponses fausses?4 et 5 ) Comment invalider les réponses fausses? On distinguant le rang du cardinal , en montrant On distinguant le rang du cardinal , en montrant

l’insuffisance de la convention je mets un espace (ex 2 l’insuffisance de la convention je mets un espace (ex 2 058 ; 2 000 058) 058 ; 2 000 058)