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REPUBLIQUE TUNISIENNE

Mi ist re de l’E seig e e t Sup rieur et de la recherche

Scientifique

Direction Générale des Etudes Technologiques

Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Gafsa

Département de Génie Civil

COURS DE RESISTANCE

DES MATERIAUX -2-

Najet BENAMARA

&

Ali MOUSSAOUI

A.U : 2013/2014

Cours de Resistance Des Matériaux 2 A.U : 2013/2014

Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI i

SOMMAIRE

SOMMAIRE ............................................................................................................................................... I

LISTE DES FIGURES .................................................................................................................................. III

LISTE DES TABLEAUX ............................................................................................................................... IV

INTRODUCTION ....................................................................................................................................... 1

CHAPITRE 1 : GENERALITES ...................................................................................................................... 2

1.1 NOTION DES POUTRES ............................................................................................................................ 2

1.2 NOTION DES CHARGES ............................................................................................................................ 3

1.3 NOTION DES APPUIS .............................................................................................................................. 4

1.4 NOTION DES REPERES ............................................................................................................................ 5

1.5 NOTION DE LA COUPE OU ELEMENTS DE REDUCTION ...................................................................................... 6

1.6 LES ETAPES DE RESOLUTION D UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE .......................................................................... 9

1.7 APPLICATIONS ..................................................................................................................................... 10

CHAPITRE 2 : DEFORMATIONS DES SYSTEMES ISOSTATIQUES ................................................................ 15

2.1 INTRODUCTION ................................................................................................................................... 15

2.2 CALCUL DES DEFORMATIONS PAR LA METHODE D INTEGRATION .................................................................... 15

2.3 CALCUL DES DEFORMATIONS PAR LES METHODES ENERGETIQUES................................................................... 19

2.4 CALCUL DES DEFORMATIONS PAR LES FORMULES DE NAVIER -BRESSE ............................................................. 28

2.5 CALCUL DES DEFORMATIONS PAR TABLE DE MHOR ...................................................................................... 29

2.6 APPLICATIONS ..................................................................................................................................... 29

CHAPITRE 3: INTRODUCTION AUX SYSTEMES HYPERSTATIQUES............................................................. 35

3.1 DEFINITIONS ....................................................................................................................................... 35

3.2 DEGRE D'HYPERSTATICITE ...................................................................................................................... 35

3.3 APPLICATION....................................................................................................................................... 37

CHAPITRE 4 : RESOLUTION DES SYSTEMES HYPERSTATIQUES PAR LA METHODE DES FORCES ............. 39

4.1 INTRODUCTION : PRINCIPE DE LA METHODE DES FORCES .............................................................................. 39

4.2 LES STRUCTURES ISOSTATIQUES EQUIVALENTES ......................................................................................... 39

4.3 PRINCIPE DE SUPERPOSITION .................................................................................................................. 40

4.4 PRINCIPE DE PROPORTIONNALITE ............................................................................................................ 41

4.5 PRINCIPE DE COMPATIBILITE DES DEFORMATIONS ....................................................................................... 42


Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI ii

4.6 DETERMINATION DES DEFORMATIONS ΔIJ ................................................................................................. 44

4.7 LES ETAPES DE LA METHODE DES FORCES .................................................................................................. 45

4.8 APPLICATIONS ..................................................................................................................................... 45

CHAPITRE 5 : REOLUTION DES POUTRES CONTINUES PAR LA METHODE DES TROIS MOMENTS ............. 59

5.1 INTRODUCTION ................................................................................................................................... 59

5.2 DEFINITIONS ....................................................................................................................................... 59

5.3 DEGRE D HYPERSTATICITE D UNE POUTRE CONTINUE ................................................................................. 60

5.4 THEOREME DES TROIS MOMENTS OU DE CLAPEYRON ................................................................................ 60

5.5 EXPRESSIONS DU MOMENT FLECHISSANT, EFFORT TRANCHANT ET REACTIONS D APPUIS ..................................... 62

5.6 LES ETAPES DE LA METHODE DES TROIS MOMENTS ...................................................................................... 63

5.7 APPLICATIONS ..................................................................................................................................... 64

CHAPITRE 6 : LIGNES D’INFLUENCE ......................................................................................................... 75

6.1 DEFINITION DES LIGNES D INFLUENCES ..................................................................................................... 75

6.2 LES LIGNES D INFLUENCES D UNE POUTRE ISOSTATIQUE .............................................................................. 75

6.3 LES REPRESENTATIONS DES LIGNES D INFLUENCES ....................................................................................... 76

6.4 LECTURE D UNE LIGNE D INFLUENCE ........................................................................................................ 78

6.5 UTILISATION DE LA LIGNE D INFLUENCE .................................................................................................... 79

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES ........................................................................................................... 80

ANNEXE .................................................................................................................................................. 81


Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI iii

LISTE DES FIGURES

Figure‎1-1: schématisation d une poutre .......................................................................................................2 Figure ‎1-2 : section transversale d une poutre .............................................................................................2 Figure ‎1-3: schématisation d appui simple ...................................................................................................4 Figure ‎1-4: schématisation d articulation .....................................................................................................5 Figure ‎1-5: schématisation de l encastrement ..............................................................................................5 Figure ‎1-6: schématisation d appui élastique. ..............................................................................................5 Figure ‎1-7: repère global et repères locaux ..................................................................................................6 Figure ‎1-8 : schéma d une poutre chargée ...................................................................................................7 Figure ‎1-9 : éléments de réduction (N, V et M).............................................................................................7 Figure ‎1-10 : Relation entre q, V et M ...........................................................................................................8 Figure ‎1-11 : schéma statique de la poutre (exercice 1.1) ......................................................................... 10 Figure ‎1-12 : les coupes et les diagrammes de la poutre (exercice 1.1) .................................................... 11 Figure ‎1-13 : schéma statique de la poutre (exercice 1.2) ......................................................................... 11 Figure ‎1-14 : les coupes et les diagrammes de la poutre (exercice 1.2) .................................................... 12 Figure ‎1-15 : schéma statique de la poutre (exercice 1.3) ......................................................................... 12 Figure ‎1-17 : schéma statique de demi-portique (exercice 1.4) ................................................................ 13 Figure ‎1-16 : les coupes et les diagrammes de la poutre (exercice 1.3) .................................................... 13 Figure ‎1-18: Les diagrammes des efforts internes de demi-portique (exercice 1.4) ................................. 14 Figure ‎2-1: schéma de déflexion ................................................................................................................ 17 Figure ‎2-2 : schéma statique de la poutre (exemple 2.1) exemple1 .......................................................... 18 Figure ‎2-3 : schéma de la poutre sous charge ponctuelle (exemple 2.2) .................................................. 22 Figure ‎2-4 : schéma de la poutre sous charge ponctuelle et couple C (exemple 2.2) ............................... 23 Figure ‎2-5 : schéma statique de la poutre (exemple 2.3) .......................................................................... 25 Figure ‎2-6: schéma du principe de réciprocité ........................................................................................... 27 Figure ‎2-7: schéma statique de la poutre (exemple 2.4) ........................................................................... 28 Figure ‎2-8: schéma statique de la poutre (exercice 2.1) ............................................................................ 29 Figure ‎2-9: Réactions des appuis (exercice 2.1) ......................................................................................... 30 Figure ‎2-10: schéma statique de système virtuel (exercice 2.1) ................................................................ 31 Figure ‎2-11 : schéma statique du principe de Castigliano (exercice 2.1) exercice 1 .................................. 31 Figure ‎2-12 : schéma statique de la poutre (exercice 2.2) exercice 2 ........................................................ 32 Figure ‎2-13 : Réactions des appuis (exercice 2.2) ...................................................................................... 32 Figure ‎2-14 : schéma statique du système virtuel (exercice 2.2) ............................................................... 33 Figure ‎3-1 : Exemples de calcul de degré d'hyperstaticité k des structures planes ................................... 36 Figure ‎3-2 : Exemples de calcul de degré d'hyperstaticité k des treillis ..................................................... 37 Figure ‎4-1 : Exemple 1 d une structure isostatique équivalente ............................................................... 39 Figure ‎4-2 : Exemple 2 d une structure isostatique équivalente ............................................................... 40 Figure ‎4-3 : Décomposition de la structure isostatique équivalente par le principe de superposition. .... 41 Figure ‎4-4 : Décomposition de la structure isostatique équivalente selon le principe de proportionnalité .................................................................................................................................................................... 42 Figure ‎4-5 : déplacements sens X1 ............................................................................................................. 43 Figure ‎4-6 : déplacements sens X2 ............................................................................................................. 43 Figure ‎4-7 : déplacements sens X3 ............................................................................................................. 43 Figure ‎4-8 : schéma statique de structure (S) (exercice 4.1) ...................................................................... 45 Figure ‎4-9 : structures isostatiques équivalentes à (S) (exercice 4.1) ........................................................ 46 Figure ‎4-10 : principe de superposition (exercice 4.1) ............................................................................... 46 Figure ‎4-11 : diagrammes des efforts internes (exercice 4.1) .................................................................... 48


Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI iv

Figure ‎4-12 : schéma statique de la structure (ABC) (exercice 4.2) ........................................................... 48 Figure ‎4-13 : structures isostatiques équivalentes à (ABC) (exercice 4.2) ................................................. 49 Figure ‎4-14 : principe de superposition (exercice 4.2) ............................................................................... 49 Figure ‎4-15 : diagrammes des Mi (exercice 4.2) ....................................................................................... 51 Figure ‎4-16 : schéma de détermination des réactions en A (exercice 4.2) ................................................ 52 Figure ‎4-17 : diagrammes des efforts internes (exercice 4.2) .................................................................... 53 Figure ‎4-18 : schéma statique de la structure (S) (exercice 4.3) ................................................................ 54 Figure ‎4-19 : structure isostatique équivalente à (S) (exercice 4.3)........................................................... 54 Figure ‎4-20 : principe de superposition (exercice 4.3) ............................................................................... 55 Figure ‎4-21 : diagrammes des Mi (exercice 4.3) ........................................................................................ 56 Figure ‎4-22 : schéma de détermination des réactions en A (exercice 4.3) ................................................ 57 Figure ‎4-23 : schéma de détermination des efforts normaux dans les barres (exercice 4.3) .................... 58 Figure ‎4-24 : diagrammes des efforts internes (exercice 4.3) .................................................................... 58 Figure ‎5-1 : schéma statique de la poutre continue .................................................................................. 59 Figure ‎5-2 : schéma statique de deux travées successives d une poutre continue ................................... 61 Figure ‎5-3 : décomposition de la poutre continue en travées indépendantes .......................................... 63 Figure ‎5-4 : Schéma statique de (S) (exercice 5.1) ..................................................................................... 64 Figure ‎5-5 : Schéma statique de la poutre ABC (exercice 5.2) ................................................................... 66 Figure ‎5-6 : Les diagrammes des efforts internes de la poutre ABC (exercice 5.2) ................................... 69 Figure ‎5-7 : Schéma statique de la poutre ABCD (exercice 5.3) ................................................................. 70 Figure ‎5-8 : Les diagrammes des efforts internes de la poutre ABCD (exercice 5.3) ................................. 74 Figure ‎6-1 : Schéma statique de la poutre isostatique ............................................................................... 75 Figure ‎6-2 : Les lignes d influence d une poutre isostatique...................................................................... 77 Figure ‎6-3 : la lecture de ligne d influence pour une charge uniformément répartie ............................... 78 Figure ‎6-4 : ligne d influence de moment fléchissant à L/2 ....................................................................... 78

LISTE DES TABLEAUX

Tableau ‎4-1 : Les efforts internes des systèmes isostatiques équivalents................................................. 50

Tableau ‎4-2 : Les efforts internes des systèmes isostatiques équivalents................................................. 55


Najet BENAMARA & Ali MOUSSAOUI 1

INTRODUCTION

La résistance des matériaux est une discipline importante et indispensable pour la

conception, le calcul, le dimensionnement et la vérification des structures de génie civil. Dans ce

contexte, un étudiant de cette spécialité doit apprendre à maitriser et résoudre manuellement

les problèmes des structures simples, malgré la diversité des programmes de calcul qui sont de

plus en plus perfectionnés.

Ce cours est destiné aux étudiants de deuxième année génie civil des instituts supérieurs

des études technologiques (ISET). Il comporte des parties diverses; Après avoir rappelé certaines

connaissances d'ordre générales et présenter les conventions qu’on adoptera dans ce cours, on

expose les méthodes de calcul des déformations des systèmes isostatiques. On introduit,

ensuite, les structures hyperstatiques avec une présentation des méthodes de calcul de leurs

degrés d’hyperstaticité. On développe, dans une autre partie, les méthodes de résolution des

structures hyperstatiques (méthode des forces, méthode des trois moments). Finalement, on

introduit la notion de charge mobile et donc une présentation de calcul des lignes d'influences

des structures isostatiques qui sera donnée par la suite.

Pour comprendre ce cours, l’étudiant doit maitriser :

les éléments mathématiques suivants: fonctions primitives, fonctions dérivées,

notion des matrices…

les notions de la mécanique statique.

les notions de la résistance des matériaux 1.



1 CHAPITRE 1 : GENERALITES

Dans ce chapitre on rappellera des notions vues ultérieurement et qui

seront utiles dans ce cours.

1.1 NOTION DES POUTRES

Une poutre est un solide dont une dimension est très grande par rapport aux deux

autres : généralement sa longueur est très grande par rapport aux dimensions de la section

droite S.

Les poutres sont associées, entre elles ou à d'autres types d'éléments pour constituer

des systèmes ou structures, Une structure simple peut-être assimilée à une poutre.

Une poutre est engendrée par une section transversale plane (S) dont le centre de

gravité décrit une courbe G0G1. Le pla π o te a t S reste normal à la courbe G0G1 (Figure

1.2).

On note:

s : abscisse curviligne ;

G0G1 : ligne moyenne (fibre moyenne) ;

∏: pla de la se tio d oite S s ;

S(s) : section droite (plane, perpendiculaire à la ligne moyenne) ;

G(s):centre de gravité de la section S(s) ;

n(s) : la normale à la section droite ;

Figure 1-2 : section transversale d’u e poutre

G0 G1

Plan ∏

𝑛 ⃗⃗ ⃗ 𝑠

S(s)

Figure1-1: schématisation d’u e poutre

S0 S



Si la fibre moyenne est plane, la poutre est dite plane (G0G1 Є pla ;

Si la fibre moyenne est rectiligne, la poutre est dite droite (G0G1 = droite) ;

Si la fibre moyenne est plane et la section droite admet ce plan comme plan de symétrie, la

poutre est dite à plan moyen.

Si la section S est constante sur toute la poutre, dans ce cas la poutre est dite à section

constante ou poutre prismatique.

Dans ce cours on se limitera au cas des structures planes composées des tronçons des

poutres droites et prismatiques.

1.2 NOTION DES CHARGES

On appelle charge, toute action sollicitant une structure, généralement représentée

sous forme d'une force. On cite les types de charges suivantes :

1.2.1 Charges permanentes

Ces charges sont dites également fixes ou invariables, elles sont dues au poids propre

des divers éléments de la construction, qu'ils soient porteurs ou non, tels que : dalles, murs

ev te e ts et …

1.2.2 Charges variables ou d'exploitation

Ces charges sont dites aussi charges utiles ou vives, Elles regroupent l'ensemble des

actions qui peuvent envahir la construction en fonction de sa destination, telles que meubles

pe so es, a hi es et …

1.2.3 Charges sous forme d'actions indirectes

Ce sont les charges qui ne peuvent se concrétiser sous forme de forces mais font

néanmoins naître des efforts internes dans une structure. Parmi ces charges on cite les

tassements différentiels, les dilatations et contractions forcées causées par des gradients

thermiques, retrait ou fluage des matériaux, frottement des appareils d'appui etc...

1.2.4 Charges dynamiques

Ce sont des charges qui entrent en interactions avec les oscillations possibles de la

o st u tio ve t, s is e, a hi es, explosio , salle de da se et …



1.2.5 Charges exceptionnelles

Ce sont des actions spéciales, improbables mais possibles telles que chocs du aux

véhicules, navires grues, chute de rochers, déraillement de véhicules ferroviaires,

développement incontrôlé d'incendie, tornade etc…

1.2.6 Charges dues au vent

L'action du vent sur les constructions résulte de l'écoulement plus ou moins entravé de

la masse d'air autour et aux bords des constructions. Le vent produit :

- des actions statiques qui se traduisent en forces globales agissant sur l'ensemble de la

construction ;

- pressions et dépressions locales s'exerçant sur les parois de la construction ;

- Pour les constructions souples, des actions dynamiques qui se manifestent par des

d oscillations partielles ou totales de la construction.

1.3 NOTION DES APPUIS

Les constructions reposent sur leurs fondations par l'intermédiaire des dispositifs

spéciaux appelés appuis. Leur but principal est de prévenir le mouvement d'ensemble de la

structure pour garantir leur équilibre. Au niveau des appuis apparaissent des réactions qui

réagissent à l'action des forces appliquées.

La classification des appuis se fait d'après le nombre de degrés de liberté (ddl) c'est-à-

dire les possibilités de mouvement qu'ils laissent au système et d'après la nature des réactions

qu'ils peuvent exercer.

Pour les structures planes on cite ces quatre types d appuis :

1.3.1 Appui simple

Le rôle essentiel de l appui simple est de permettre la libre dilatation du système. Il

impose un seul blocage de translation, laissant libre, les autres degrés de liberté. La réaction

d'appui agit suivant la ligne d'action du blocage.

Figure 1-3: schématisation d’appui si ple



1.3.2 Articulation ou appui double

L articulation s'oppose à toute translation du point d'appui, mais laisse au système une

libre rotation autour de ce point.

1.3.3 Encastrement

L encastrement ne permet aucun degré de liberté. La réaction d appui a trois

composantes dans ce cas.

1.3.4 Appui déformable (appui élastique)

C est un appui qui peut subir des déformations dans la direction d une composante de

réaction (exemple sol compressible). Si le déplacement est proportionnel à la réaction, l appui

déformable est dit élastique.

1.4 NOTION DES REPERES

Dans ce cours on se limitera aux cas des structures planes composées des tronçons des

barres droites.

On fixe un repère OXYZ (ou repère statique) pour repérer le plan de la structure, c’est le repère

global fixe. Ensuite chaque tronçon (ou travée) AiAj de la poutre sera nommé et affecté d un

repère local dont le système d axes est choisi comme suit :

- Origine Ai (extrémité gauche) ;

Figure 1-6: sch atisatio d’appui élastique.

Figure 1-5: schématisation de l’encastrement

Figure 1-4: sch atisatio d’articulatio



- l axe des x est tangent à la fibre moyenne ;

- l axe des y fait un angle (+ /2) avec l axe des x ;

- l axe des z est défini pour compléter le système orthonormé Aixyz.

Aixyz est un repère local mobile.

Pour une section droite le système d axes est centré en G. L axe Gx est tangent à la fibre

moyenne, l axe Gy est tel que l angle (Gx, Gy) vaut + /2 et l axe Gz est défini pour compléter le

système orthonormé Gxyz.

Figure 1-7: repère global et repères locaux

1.5 NOTION DE LA COUPE OU ELEMENTS DE REDUCTION

On considère la poutre chargée représentée par la figure 1-8. Celle-ci est en équilibre

sous l'action des charges extérieures et des réactions (supposées connues). Chaque partie de la

poutre se trouve également en équilibre.

G

z

x

y y

X

Y

O

x y

x

y

x

y

x y

x y

x y

Structure 1 Structure 2

Repère global

Section droite

La fibre moyenne



On pratique une coupe fictive dans la poutre suivant le plan vertical [yz], de manière à

avoir deux tronçons.

On s intéresse au tronçon à gauche (par exemple) ; celui-ci est en équilibre sous l'action

des sollicitations qui lui sont appliquées : composantes de réaction de l'appui A et de

composantes de l'action du tronçon à droite supprimé.

Les composantes de l action du tronçon à droite sur le tronçon à gauche (ou

inversement) sont appelés efforts internes ou encore éléments de réduction.

1.5.1 Effort normal

L effort normal N dans la section (S) est égal à la somme algébrique des projections sur

l'axe des x de toutes les forces (charges extérieures et réactions d'appui), agissant sur le

tronçon à gauche de (S). = ∑𝐅𝐱 Un effort normal exerçant une traction sur la section étudiée sera considéré comme

positif.

1.5.2 Effort tranchant

V

x N

Figure 1-9 : éléments de réduction (N, V et M)

V

M

N

M y

z

x S

Figure 1-8 : sch a d’u e poutre chargée

y



L'effort tranchant V dans la section (S) est égal à la somme algébrique des projections

sur l'axe des y de toutes les forces agissant sur la partie de la poutre située à droite de la

section (S). 𝐕 = ∑𝐅y

On considérera un effort tranchant comme positif s'il a tendance à faire tourner la

section (S) dans le sens horaire.

1.5.3 Moment fléchissant

Le moment fléchissant M dans la section (S) est égal à la somme algébrique des

moments créés dans cette section par toutes les sollicitations agissant sur le tronçon à droite

de (S). = ∑ + ∑ y. Où,

C représente un couple concentré ;

d le bras de levier de la composante transversale de la force F.

Un moment fléchissant qui provoque des tractions dans les fibres inférieures d'une

poutre horizontale sera considéré positif.

1.5.4 Relations différentielles entre q, V et M

M M + dM

V+dV

x

y

dx

q.dx

G1 G0

Figure 1-10 : Relation entre q, V et M

q(x)



Sur le tronçon dx, les grandeurs V et M subissent les variations dV et dM, l'équilibre du

tronçon est régi par les équations de la statique :

∑𝐹 = ⟹ 𝑉 − 𝑞𝑑𝑥 − 𝑉 − 𝑑𝑉 = ⟹ 𝑞 = −𝑑𝑉𝑑𝑥

∑𝑀/𝐺 = ⟹ −𝑀 − 𝑉𝑑𝑥 + 𝑞 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝑀 + 𝑑𝑀 = ⟹ 𝑉 = 𝑑𝑀𝑑𝑥

𝑞 = −𝑑𝑉𝑑𝑥 𝑒𝑡 𝑉 = 𝑑𝑀𝑑𝑥 ⟹ 𝑞 = − 𝑑 𝑀𝑑𝑥

Les relations permettent de tirer quelques renseignements qui facilitent la construction

et le contrôle des diagrammes de V et de M. On peut en déduire essentiellement :

L'effort tranchant est la tangente de l'angle formé par la tangente au diagramme de M au

niveau de la section considérée et l'axe longitudinal de la poutre ;

La valeur absolue de la charge répartie représente la tangente de l'angle formé par la

tangente au diagramme de V et l'axe longitudinal de la poutre ;

Là où V est nul, M a une valeur extrémale ;

Là où V passe par la valeur zéro de façon discontinue, le diagramme de M perd son allure

monotone ;

Là où V subit un saut mais sans passer par zéro, le diagramme de M présente un point

anguleux (M change de pente) ;

La variation de M sur un tronçon donné est égale à l'aire du diagramme de V sur ce

tronçon ;

La concavité du diagramme de M est tournée dans le sens contraire de la charge q ;

Le diagramme de V doit se refermer (en partant de l'extrémité gauche). Ce corollaire

exprime la nullité de la résultante des forces et permet en même temps de retrouver les

forces localisées ;

Le diagramme de M d'un système symétrique (géométrie et chargement) est symétrique

tandis que celui de V est antisymétrique.

1.6 LES ETAPES DE RESOLUTION D’UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE

1- Repérer la structure

2- Calculer les réactions d'appuis dans un repère global.



Pour chaque tronçon (ou barre)

3- Déterminer le nombre de coupes à effectuer et délimiter la barre en

sections ;

4- Représenter la partie gauche (ou droite) de la structure coupée sous

l actions de la partie droite (ou gauche) et les réactions d appuis;

5- Résoudre les équations d'équilibre pour chaque coupe afin de

déterminer les expressions de N, V et M en tout point de la barre ;

6- Calculer les valeurs aux limites de chaque section ;

7- Tracer les diagrammes de N, V et M à partir des équations trouvées et

des conditions aux limites.

1.7 APPLICATIONS

Déterminer, pour chacun des exercices ci dessous, les efforts internes (M, V, N) et tracer

leurs diagrammes.

EXERCICE 1.1

REPONSE

Les réactions d’appuis

D après le principe fondamental de la statique (PFS) on a : H = et R = R = qL

Les efforts internes

Pour 𝑥 ∈ [ , 𝐿] L effort normal : 𝑁 𝑥 =

L effort tranchant : 𝑉 𝑥 = − 𝑞𝑥

Le moment fléchissant : 𝑀 𝑥 = 𝑥 − 𝑥

x

y

L

q

B A

Figure 1-11 : schéma statique de la poutre (exercice 1.1)



Traçage des diagrammes

EXERCICE 1.2

REPONSE


D après le principe fondamental de la statique (PFS) on a : 𝐻 = 𝑅 = 𝑃 ∗ 𝑏𝐿 𝑒𝑡 𝑅 = 𝑃 ∗ 𝑎𝐿


Pour 𝑥 ∈ [ , 𝑎] L effort normal : 𝑁 𝑥 =

L effort tranchant : 𝑉 𝑥 = 𝑃∗

Le moment fléchissant : 𝑀 𝑥 = 𝑃∗ 𝑥

Pour 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑙]

L

P

a b

x

y

B A


Figure 1-12 : les coupes et les diagrammes de la poutre (exercice 1.1)

x

q

N(x)

x

x

x

N(x)

V(x)

M(x)

𝑥 = 𝐿

𝑞𝐿 −𝑞𝐿

V(x)

M(x)

Coupe pour 𝑥 ∈ [ , 𝐿]

𝑀 = 𝑞𝐿

Diagrammes



L effort normal : 𝑁 𝑥 =

L effort tranchant : 𝑉 𝑥 = − 𝑃∗

Le moment fléchissant : 𝑀 𝑥 = 𝑃∗ 𝐿 − 𝑥


EXERCICE 1.3

REPONSE


D après le principe fondamental de la statique (PFS) on a : 𝐻 = 𝑅 = 𝑃 𝑒𝑡 𝑀 = −𝑃 ∗ 𝐿

Les efforts internes :

Pour 𝑥 ∈ [ , 𝐿] L effort normal : 𝑁 𝑥 =

L effort tranchant : 𝑉 𝑥 = 𝑃

Le moment fléchissant : 𝑀 𝑥 = −𝑃 𝐿 − 𝑥

L

P

x

y


x

x

x

N(x)

V(x)

M(x)

𝑃𝑏𝐿 x

A

B

−𝑃𝑎𝐿


Coupe 2 pour 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑙] L-x

N(x)

V(x)

M(x)

N(x)

V(x)

M(x)

𝑀 = 𝑃𝑎𝑏𝐿

Diagrammes Coupe 1 pour 𝑥 ∈ [ , 𝑎]




EXERCICE 1.4

C

A

B

L,

EI

L, EI

q

Figure 1-17 : schéma statique de demi-portique (exercice 1.4)

REPONSE


D après le principe fondamental de la statique (PFS) on a : 𝐻 = 𝑒t 𝑅 = 𝑅 = 𝑞𝐿/


Barre AB pour 𝑥 ∈ [ , 𝐿] L effort normal : 𝑁 𝑥 = −𝑞𝐿/

L effort tranchant : 𝑉 𝑥 =

Le moment fléchissant : 𝑀 𝑥 =

Barre BC pour 𝑥 ∈ [ , 𝐿] L effort normal : 𝑁 𝑥 =

Diagrammes

x

x

x

N(x)

V(x)

M(x)

𝑃


N(x)

V(x)

M(x) MA

HA

RA

𝑀 = −𝑃 ∗ 𝐿

Coupe pour 𝑥 ∈ [ , 𝐿]



L effort tranchant : 𝑉 𝑥 = −𝑞𝑥 + 𝑞𝐿/

Le moment fléchissant : 𝑀 𝑥 = 𝑞 𝐿 − 𝑥 𝑥/


C

A

B

Diagramme de M

C

A

B

Diagramme de V

qL/2

-qL/2

C

A

B

Diagramme de N

-qL/2

qL²/8 L/2

Figure 1-18: Les diagrammes des efforts internes de demi-portique (exercice 1.4)



2 CHAPITRE 2 : DEFORMATIONS DES SYSTEMES ISOSTATIQUES

Dans ce chapitre on présentera les déformations qui peuvent

apparaitre dans une section d’une structure isostatiques, puis on traitera les

méthodes de calcul de celles-ci.

2.1 INTRODUCTION

Une structure chargée, constituée des poutres à plan moyen prismatiques, se déforme.

Si on considère le repère Gxyz comme repère local, chaque point M de la structure aura :

Un déplacement suivant x noté u ;

Un déplacement suivant y noté v : la flèche ;

Une rotation de la section droite autour de Gz noté .

2.2 CALCUL DES DEFORMATIONS PAR LA METHODE D’INTEGRATION

Cette méthode permet de déterminer les déformations en tout point de la poutre par

une simple intégration.

2.2.1 Poutre soumise à l ’effort normal (N)

Pour déterminer l expression de déformation longitudinale u, on traite l exemple simple

d une poutre de longueur l, de section droite d aire A, soumise à un effort normal constant

N(x)=N.

On va exploiter les trois relations suivantes :

La relation 1 : Effort-contrainte : 𝜎 =

La relation 2 : Contrainte-déformation : Loi de Hooke 𝜎 = 𝐸. 𝓮

La relation 3 : Déformation locale-allongement global : 𝓮 =

Où, 𝜎 : La contrainte normale ;

E : Le module d Young ; 𝓮: La déformation locale.

A partir des ces relations on pourra écrire :



𝓮 = 𝑢𝑙 = 𝜎𝐸 = 𝑁𝐸𝐴 𝑑′𝑜ù 𝑢 = 𝑁𝐸𝐴 𝑙 Lorsque N est variable (pour un élément dx de la structure, on a N(x) est constant), on aura la

déformation suivante: = Pour retrouver la déformation de toute la structure il suffit d intégrer.

𝑢 = ∫ 𝑁 𝑥𝐸𝐴 𝑑𝑥

Donc la déformation longitudinale « u » est le résultat de simple intégration de l effort normal

N(x) par la raideur longitudinale de la poutre EA.

2.2.2 Poutre soumise à la flexion (M)

Pour déterminer l expression de déformation flexionnelle « θ », on traite l exemple

simple d une poutre, de section droite de moment quadratique I par rapport à l axe Gz,

soumise à un moment fléchissant M par rapport à l axe Gz.

Si on s intéresse à un point de la section droite d ordonnée y par rapport au centre de

gravité; (Voir figure 2-1) et en exploitant les relations suivantes :

La relation 1 : contrainte - moment : 𝝈 = − 𝑰

La relation 2 : contrainte - déformation : 𝝈 = ∗ 𝜺

La relation 3 : déformation - courbure C : 𝐶 = 𝜃 Il vient, 𝓮 = 𝑑𝑢𝑑𝑥 𝑜𝑟 𝜃 ≈ 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑢𝑦 𝑑′𝑜ù 𝑑𝑢 = −𝑦 . 𝑑𝜃

𝓮 = −𝑦 ∗ 𝑑𝜃𝑑𝑥 𝜃 ≈ 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑑𝑣𝑑𝑥 𝑑′𝑜ù 𝑑𝜃𝑑𝑥 = 𝑑²𝑣𝑑𝑥² 𝓮 = −𝑦 ∗ 𝜃 = 𝜎𝐸 = − 𝑧𝐸𝐼𝑧 𝑦 = − ² ² 𝑦 𝐶 = 𝜃 = = 𝐸𝐼 C est l équation différentielle de la courbe de déflexion de la

poutre.

Donc,



La rotation « θ » se détermine par simple intégration du rapport du moment fléchissant

M(x) par la raideur flexionnelle de la poutre EI :

𝜃 𝑥 = ∫𝑑𝜃 =∫𝑀 𝑥𝐸𝐼 𝑑𝑥

v(x) se détermine par double intégration du rapport du moment fléchissant M(x) par la

raideur flexionnelle de la poutre EI :

= ∫𝜽 = ∬ 𝑰

On aura des constantes d intégration qui seront déterminées par les conditions aux limites.

2.2.3 Poutre soumise à un effort tranchant (V)

De même pour une poutre soumise à effort tranchant V(x) on retrouve la déformation

transversale « v » par simple intégration de l effort tranchant par la raideur transversale de la

poutre GAt.

dx

dv

O : centre de la courbure

v

x

x dx

dϴ : angle de courbure

Rc rayon de courbure

x

v

ϴ

x

y

ϴ

y

u C : courbure C = 1/Rc = dϴ/ dx

tanϴ =dv/dx ϴ

tanϴ =-u/y ϴ u =-y.ϴ du =-y.dϴ

Figure 2-1: schéma de déflexion



v 𝑥 = ∫𝑉 𝑥𝐺𝐴t 𝑑𝑥

Où,

G : module de coulomb

At : aire de la section droite réduite.

Exemple2.1

Soit une poutre isostatique sur deux appuis, de portée L et de rigidité flexionnelle EI,

soumise à une charge repartie uniformément q sur toute sa portée, (voir figure 2-2).

L expression du moment fléchissant est : 𝑀 𝑥 = 𝑥 − 𝑥

D après la relation moment courbure on a :

= ² ² = − 𝑰 = 𝑞𝐿 𝑥 − 𝑞 𝑥𝑰

En intégrant une fois, on obtient :

= 𝜽 = 𝑞𝐿𝐸𝐼 𝑥 − 𝑞𝐸𝐼 𝑥 +

En intégrant une seconde fois :

= 𝑞𝐿𝐸𝐼 𝑥 − 𝑞𝐸𝐼 𝑥 + +

Pour trouver les constantes et il suffit d écrire les conditions aux limites, c'est-à-dire les

déplacements et rotations connus aux extrémités :

Au point A d abscisse x=0, on a une articulation, alors le déplacement vertical est bloqué v = v x = = qLEI − qEI + ∗ + = d où 𝛽 =

Au point B d abscisse x=L, on a un appui simple, alors le déplacement vertical est bloqué

L, EI

q

B A

Figure 2-2 : schéma statique de la poutre (exemple 2.1)

exemple1

x

y



v = v L = qLEI L − qEI L + ∗ L = d où = − qLEI D où l équation de déplacement vertical est la suivante :

𝑣 𝑥 = 𝑞𝐿𝐸𝐼 𝑥 − 𝑞𝐸𝐼 𝑥 − 𝑞𝐿𝐸𝐼 𝑥

La flèche maximale est donnée pour x=L/2

( ) = − 𝑰

Et l équation de rotation de sections est la suivante :

𝜽 = 𝑞𝐿𝐸𝐼 𝑥 − 𝑞𝐸𝐼 𝑥 − 𝑞𝐿𝐸𝐼

La rotation maximale est donnée pour x=0 (en A) et x=L (en B) :

𝜽 = 𝜽 = − 𝑞𝐿𝐸𝐼 𝑒𝑡 𝜽 = 𝜽 = 𝑞𝐿𝐸𝐼

2.3 CALCUL DES DEFORMATIONS PAR LES METHODES ENERGETIQUES

Soit une structure en équilibre ; déformée sous l'action des charges extérieures, ces

déformations sont causées par les efforts internes (N, V, M) résultant de l'action des charges.

En supposant que :

- Le comportement de matériau est élastique et linéaire ;

- L effet thermique est négligé ;

- La transformation est réversible ;

- Les charges sont appliquées lentement.

2.3.1 Potentiel interne

Le premier principe de la thermodynamique précise qu il y a conservation de l énergie

dans la transformation faisant passer de l état initial à l état final : 𝐝𝐰𝐞𝐱𝐭 + 𝐝𝐰𝐢𝐧𝐭 + 𝐝𝐐 − 𝐝𝐜 =

On a :

dwext : potentiel externe

dwint : potentiel interne : énergie de déformation



dQ : apport de chaleur de l extérieur = 0

dc : variation de l énergie cinétique = 0 car le système est en équilibre.

D où : 𝒊𝒏 = −

Le potentiel interne est égal à l opposé du travail des forces extérieures.

Pendant le chargement d une structure, les points où les forces sont appliquées se

déplacent et les sections où agissent les moments subissent des rotations. En d autres termes

les forces et les moments appliqués produisent un travail externe We. Ce travail sera

emmagasiné par la structure sous forme d énergie potentielle dite travail interne Wi.

2.3.2 Expression du travail externe

Pour un système soumis à n forces (F1, F2 , ….Fi…..Fn ) extérieures, on définit :

δi : déplacement sous Fi suivant sa direction. Ce déplacement est causé par toutes les forces

extérieures.

𝑑𝑤 = ∑𝐹𝑖 ∗ 𝑑𝓭𝑖 𝑒𝑡 𝑊 = 𝑖= ∑𝐹𝑖 ∗ 𝓭𝑖 𝑖=

Remarque :

Le travail total effectué par la force F1 au cours du déplacement 1 est obtenu par

sommation des travaux élémentaires, c'est-à-dire :

11

1

1δ

0e.δF

2

1dδδ

δ

FFdδW 1 = aire sous la courbe F=f().

2.3.3 Expression de potentiel interne

Pour une structure constituée des poutres droites, on calculera le travail interne

(énergie de déformation) en fonction des efforts internes N, M et V.

Soit un élément infinitésimal (ds)

𝑑𝑊𝑖 = 𝑁 ∗ 𝑑𝑢 + 𝑉 ∗ 𝑑𝑣 + 𝑀 ∗ 𝑑𝜃

La déformation longitudinale ou axiale : 𝑑𝑢 = 𝐸 𝑑𝑠



La déformation transversale: 𝑑𝑣 = 𝑉𝐺 𝑡 𝑑𝑠

La déformation flexionnelle : 𝑑𝜃 = 𝐸𝐼 𝑑𝑠

D où L énergie totale de déformation dite encore potentiel interne est :

𝒊𝒏 = ∫ + 𝑰 +

2.3.4 Calcul des déformations par le théorème de Castigliano

Soit une structure soumise à un chargement externe. Si à une section donnée (i) on a un

effort concentré (Pi : force ou Ci : couple), Castigliano a montré que :

La dérivée partielle du potentiel interne par rapport à la force Pi est égale au déplacement du

point (i) suivant la ligne d'action de la charge Pi :

𝓭𝑖 = 𝜕𝑊𝑖𝜕𝑃𝑖

Si l effort est un couple Ci, la rotation 𝜃𝑖 de la section i où agit le couple Ci est donnée par :

𝜃𝑖 = 𝜕𝑊𝑖𝜕𝐶𝑖

NB :

Le déplacement 𝓭𝑖 de la section i est de même direction et sens que la force Pi ;

La rotation 𝜃𝑖 de la section i est de même sens que le couple Ci.

Pour une poutre sollicitée, Le travail interne ou potentiel emmagasiné WInt est donné par :

𝑊𝑖 = ∫ 𝑁 𝑥𝐸𝐴 + 𝑀 𝑥𝐸𝐼 + 𝑉 𝑥𝐺𝐴 𝑑𝑠

Si l'on ne tient compte que des déformations de flexions qui sont en général les plus

importantes,

𝑊𝑖 = ∫ 𝑀𝐸𝐼 𝑑𝑠

Où M est le moment fléchissant en un point quelconque de la poutre causé par la

charge Pi (charge appliquée à la section i).



D où

𝓭𝑖 = 𝜕𝑊𝑖𝜕𝑃𝑖 = ∫ 𝜕𝑀𝐸𝐼 ∗ 𝜕𝑃𝑖 𝑑𝑠 = ∫ 𝑀𝐸𝐼 ∗ 𝜕𝑀𝜕𝑃𝑖 𝑑𝑠 = ∫ 𝑀𝐸𝐼 ∗ 𝜕𝑀𝜕𝑃𝑖 𝑑𝑠

Et

𝜃𝑖 = 𝜕𝑊𝑖𝜕𝐶𝑖 = ∫ 𝑀𝐸𝐼 ∗ 𝜕𝑀𝜕𝐶𝑖 𝑑𝑠

Remarque : On ne peut appliquer le théorème de Castigliano qu à l endroit d un effort

concentré (F → déplacement, C → rotation). Pour trouver les déplacements et les rotations à

un endroit quelconque, on applique une force fictive (ou un moment fictif) qu on annule après

calcul de déformation.

0C/C

Wθ,0/FF

Wδ

Exemple 2.2

Soit une poutre console encastrée en A, libre en B, de portée L et de rigidité flexionnelle

EI, la poutre est chargée par une force concentrée P appliquée en B.

1. Déterminer l expression de la flèche vB au point B.

2. Déterminer l exp essio de la otatio θB au point B.

REPONSE

1. Comme la force F, qui provoque vB, est appliquée en B ; donc on peut écrire directement :

dxF

M(x).

EI

M(x)v

L

0

B

L, EI

F

x y

B A

Figure 2-3 : schéma de la poutre sous charge ponctuelle (exemple 2.2)



Où,

x)(LF

M(x)etx)F(LM(x)

D où :

L

0

3L

0

B3EI

FLx)²dx(L

EI

Fdxx)](L.[

EI

x)F(Lv

2. Comme il n existe aucun moment appliqué en B, alors on va supposer un couple moment C

en ce point qu on annulera ensuite. C aura le sens direct de x vers y.

dxC

M(x).

EI

M(x)θL

0

B

Où,

1C

M(x)etCx)F(LM(x)

D où : EI

CL

EI

FLdxCxLF

EIdx

EI

CxLFLL

B

00

2

²))((

1)1.(

)(

Or C=0 donc EI

FLB

2

2

2.3.5 Théorème de Ménabrea

Pour une structure à appuis rigides et tels que Ri une réaction d appui et Mi un moment

d appui. 𝜕𝑊𝑖𝜕𝑅𝑖 = 𝑒𝑡 𝜕𝑊𝑖𝜕𝑀𝑖 =

L, EI

F

x y

B

A

Figure 2-4 : schéma de la poutre sous charge ponctuelle et couple C (exemple 2.2)

C



Ces équations constituent le théorème de MENABREA qui est le théorème du potentiel

minimal et qui s'énonce comme suit :

« Les valeurs des réactions hyperstatiques, correspondant à l'équilibre du système, rendent

minimal le potentiel WI. »

2.3.6 Calcul des déformations par la méthode du travail virtuel

On définit le travail virtuel comme étant le travail produit par une force réelle qui agit

suivant un déplacement virtuel, ou bien une force virtuelle qui agit suivant un déplacement

réel.

Soit i la déformation (rotation ou déplacement) à calculer (à la section i de la structure

et causée par des charges extérieures) par la méthode des travaux virtuels. Pour cela on

applique un effort unitaire ( P =1) virtuel à la section (i) dans la direction et sens de i.

Le travail externe correspondant au produit de la charge virtuelle ( P = 1) par la

déformation réelle recherchée (i) est égal au travail interne correspondant au produit des

efforts internes virtuels ( M ,V ,N ) par les déformations internes réelles.

On a donc :

�̅� ∗ 𝓭𝑖 = ∫ �̅� ∗ 𝑑𝑢 + �̅� ∗ 𝑑𝑣 + �̅� ∗ 𝑑𝜃 𝑑𝑠

Où,

�̅�, �̅� 𝑒𝑡 �̅� : expressions des efforts internes virtuels dus à la charge virtuelle unitaire

o ( P =1).

du, dv et d : déformations réelles dues à l'action de charges réelles.

Si on néglige l'effet de l'effort tranchant sur la déformation, on aura :

�̅� ∗ 𝓭𝑖 = ∫ �̅� ∗ 𝑑𝑢 + �̅� ∗ 𝑑𝜃 𝑑𝑠

En remplaçant P par sa valeur ( P = 1) ainsi que (du et d), on obtient l'expression suivante :



𝓭𝑖 = ∫ �̅� ∗ 𝑁𝐸𝐴 + �̅� ∗ 𝑀𝐸𝐼 𝑑𝑠

Où,

N et M : expressions des efforts internes réels dus à l'action des charges réelles ;

E : module d young ;

I : moment d inertie de la section droite

A: l aire de la section droite

Exemple 2.3

Soit une poutre console encastrée en A libre en B, de portée L et de rigidité flexionnelle

EI, la poutre est chargée par une force concentrée P appliquée en B.

Déterminer l expression de la flèche et la rotation au point B.

Réponse

Expression de la flèche vB au point B.

Pou d te i e la fl he δB au point B, on applique une force virtuelle unitaire et

dirigée vers le bas en ce point, puis on cherche les expressions des efforts internes

(x)Net(x)M

L, EI

F

x y

B A

Figure 2-5 : schéma statique de la poutre (exemple 2.3)



Système réel

(chargement réel)

Système virtuel

(chargement virtuel)

A

F

LB

EI=cte

A

1

L B

Les efforts internes réels

L][0,xx)F(LM(x) L][0,x0N(x)

Les efforts internes virtuels

L][0,xx)(L(x)M

L][0,x0(x)N

L

0

L

0

3L

0B 3EI

FLx)²dx(L

EL

Fdx

EI

x))(Lx).(F(L)dx

EA

N(x).N(x)

EI

(x)MM(x).(v

Remarque : La flèche vB est positive alors le point B se déplace vers le bas dans le même sens

que la force virtuelle.

Expression de la rotation θB au point B.

Pou d te i e la otatio θB au point B, on applique un moment virtuel unitaire au

point B, puis on cherche les expressions des efforts internes (x)Net(x)M .

Système réel

(chargement réel)

Système virtuel

(chargement virtuel)

A

F

LB

EI=cte

A L B

L][0,xx)F(LM(x) L][0,x0N(x)

L][0,x1(x)M

L][0,x0(x)N

L

0

L

0

L

0

B2EI

FL²x)dx(L

EL

Fdx

EI

1)x).(F(L)dx

EA

N(x).N(x)

EI

(x)MM(x).(θ

Remarque : La otatio θB est positive alors au point B la section tourne dans le même sens que

le moment virtuel.



2.3.7 Théorème de réciprocité de MAXWELL-BETTI

On considère une poutre droite reposant sur deux appuis simples. Sur la figure (2-6-a),

on montre la poutre déformée sous l action d une force verticale FA appliquée en A, qui

provoque au point B un déplacement B . Sur la figure (2-6-b), on montre la poutre déformée

sous l action d une force verticale FB appliquée en B, qui provoque au point A un déplacement

A .

FA

A AB BFB

B A

(a) (b)

Figure 2-6: schéma du principe de réciprocité

Le théorème de Maxwell-Betti s écrit comme suit :

BBAA.δF.δF t

Démonstration :

Pour calculer le déplacement B de la poutre de la figure (2-6-a), on applique au point B

une force virtuelle unité qui provoque un moment (x)mB . En un point quelconque de cette

poutre, le moment a pour expression MA(x) (moment dû à la force FA appliquée en A)

str

BAB dx

EI

(x)m(x)Mδ

Pour calculer le déplacement A de la poutre de la figure (2-6-b), on applique au point A

une force virtuelle unité qui provoque un moment (x)mA . En un point quelconque de cette

poutre, le moment a pour expression MB(x) (moment dû à la force FB appliquée en B)

str

ABA dx

EI

(x)m(x)Mδ

Or, on a :

(x)m.F(x)Met (x)m.F(x)MBA BBAA

BB

str

BAB

str

ABB

str

AABAA .δFdx

EI

(x).m(x).MFdx

EI

(x)(x).Mm.Fdx

EI

(x)mF(x)M.δF



D où :

BBAA .δF.δF

2.4 CALCUL DES DEFORMATIONS PAR LES FORMULES DE NAVIER -BRESSE

Les formules usuelles de Navier-Bresse donnent les déformations d'une section 2

par rapport à une section 1 :

dxEI

M

dxxxEI

Mxx

dxEA

Nuu

x

x

x

x

x

x

2

1

12

2

1

212112

2

1

)()(

12

Où,

u1 et u2 : déplacements longitudinaux des sections 1 et 2.

v1 et v2 : déplacements transversaux des sections 1 et 2.

θ1 et θ2 : rotations des sections 1 et 2.

Exemple 2.4

L][0,xx)F(LM(x)

Expression de la flèche vB au point B :

B

A

x

x

BABAAB x)dx(xEI

M(x))x(xθvv

L, EI

F

x y

B A

Figure 2-7: schéma statique de la poutre (exemple 2.4)



Où, 0θ0,vL,x0,xAABA

D où :

L

0

3L

0

B3EI

FLx)²dx(L

EI

Fx)dx(L

EI

x)F(Lv

Expressio de la rotatio θB au point B :

B

A

x

x

L

0AB 2EI

FL²dx

EI

x)F(Ldx

EI

M(x)θθ

Remarque : le signe des déformations respecte le repère local. On a la flèche vB négative car le

point B se déplace vers le bas alors que l axe des (y) est positif vers le haut.

2.5 CALCUL DES DEFORMATIONS PAR TABLE DE MHOR

Cette méthode se base sur des tables qui remplacent le calcul d intégrale dans la

méthode des travaux virtuel par des multiplications des diagrammes des moments.

2.6 APPLICATIONS

EXERCICE 2.1

Soit la poutre AB, simplement appuyée en A et articulée en B, d inertie flexionnelle E.I

constante et soumise à une charge uniformément répartie q.

1. Déterminer les réactions d appuis en A et B.

2. Déterminer les expressions des efforts internes.

3. Déterminer l exp essio de la otatio θA au point A.

a. En utilisant les formules de Bresse.

L, EI

q

B A

Figure 2-8: schéma statique de la poutre (exercice 2.1)

x

y



b. En appliquant le théorème des travaux virtuels.

c. En utilisant le théorème de Castigliano.

REPONSE

1.

0HB

2

LqRR

BA

2. Pour Lx0 : 0N(x) , x)(L2

xqM(x) et

2

Lqq.xV(x)

3.a) AB

L

0AB

θθetdxEI

M(x)θθ

Ce qui donne : 24EI

qLx²)dx(Lx

4EI

qdx

EI

M(x)

2

1θ3L

0A

3.b) On applique sur la structure un couple C=1 virtuel au point A et on détermine les efforts

internes qu on appelle : (x)M et (x)N

L, EI

q

B

RA

Figure 2-9: Réactions des appuis (exercice 2.1)

x

y

A

RB

HB



Les réactions d appuis sont : L

1R,

L

1R BA et 0HB

0(x)N et x)-(LL

1(x)M

24EI

qLdx

EI

x)(LL

1x)..(L

2

xq

)dxEA

(x)NN(x).

EI

(x)MM(x).(θ

3L

0

L

0

A

3.c) On applique au point A un couple C qu on annulera ensuite et on écrit :

0CetdxC

M(x).

EI

M(x)(θ

L

0

A

Pour Lx0 : 0N(x) , x)(LL

1

C

M(x)etx)(L

L

Cx)(L

2

xqM(x)

D où, 24EI

qLx)dx(L

L

1.

EI

x)-(L2

xq

(θ3L

0

A

EXERCICE 2.2

Soit la poutre AB, ci-dessous, simplement appuyée en A et articulée en B avec console

de coté de A, d inertie flexionnelle E.I constante et soumise à une charge uniformément

répartie q.

L, EI

q

B A

Figure 2-11 : schéma statique du principe de Castigliano (exercice 2.1) exercice

1

x

y C

L, EI

B A

Figure 2-10: schéma statique de système virtuel (exercice 2.1)

x

y

C



1. Déterminer les réactions d appuis en A et B.

2. Déterminer les expressions des efforts internes le long de la poutre.

3. En négligeant l effet de l effort tranchant sur les déformations, déterminer :

a la fl he δ de l extrémité libre de la poutre.

la otatio θA de l appui A.

la otatio θB de l appui B.

REPONSE

1.

0HB

4

5qLRR

BA

08

L.

4

Lq.

2

L²q.LR

B

L, EI

q

A

Figure 2-13 : Réactions des appuis (exercice 2.2)

x

y

L/4

RB

HB B

L, EI

q

B A

Figure 2-12 : schéma statique de la poutre (exercice 2.2) exercice 2

x

y

L/4

RA



Ce qui donne : qL32

15R,qL

32

25R

BA et 0H

B

2. Pour 4

Lx0 : 0N(x) et

2

x²qM(x)

Pour 4

5Lx

4

L : 0N(x) et qL²

128

25qLx

32

25

2

x²q)

4

L.(xR

2

x²qM(x)

A

3.a) Principe des travaux virtuels : Pou d te i e δ pa le PTV, o appli ue u e fo e vi tuelle

unitaire dirigée vers le bas à l extrémité libre de la poutre et on détermine les efforts internes

qu on appelle : (x)M et (x)N

Les réactions d appuis seront : 4

1R,

4

5R BA et 0HB

Expressions de (x)M et (x)N

Pour 4

Lx0 : 0(x)N et x(x)M

Pour 4

5Lx

4

L : 0(x)N et x)

4

5L(

4

1(x)M

5L/4

L/4

L/4

0

5L/4

0

dxEI

x))4

5L(

4

1qL²).(

128

25qLx

32

25

2

x²(-q

dxEI

x).(2

x²q-

)dxEA

(x)NN(x).

EI

(x)MM(x).(δ

Ce qui donne ; 2048.EI

15q.Lδ4

3.b) Pou d te i e θA, on va appliquer la 2ème formule de Bresse entre la section d abscisse

x2=0 (extrémité libre) et la section d abscisse x1=L/4 (point A)

L, EI

1

A

Figure 2-14 : schéma statique du système virtuel (exercice 2.2)

x

y

L/4 B



x1

x1A1AA

A

x)dx(xEI

M(x))x(xθδδ

0

L/4

L/4

0AAA

x)dx(EI

M(x)θ4

L-x)dx(0

EI

M(x))

4

L(0θδδ

Ce qui donne :

32EI

qLdx

2

qx

LEI

4

128EI

qL.

L

4M(x).xdx

LEI

4δL

4θ3L/4

0

34L/4

0A

3.c) Pour d te i e θB, on va appliquer la 3ème formule de Bresse entre la section d abscisse

x1=L/4 (point A) et la section d abscisse x2=5L/4 (point B)

32

1

qL192EI

7qL²)dx

128

25qLx

32

25

2

x²q(θdx

EI

M(x)θθ5L/4

L/4A

x

xAB



3 CHAPITRE 3: INTRODUCTION AUX SYSTEMES HYPERSTATIQUES

Dans ce chapitre on définira les structures hyperstatiques

puis on calculera leurs degrés d’hyperstaticité.

3.1 DEFINITIONS

Une structure est dite hyperstatique lorsque le nombre d équations et d efforts internes

connus sont insuffisants pour la résoudre. Elle comprend plus d éléments ou de liaisons qu il

n est strictement nécessaire pour garantir l équilibre.

Par exemple, une poutre plane chargée verticalement et fixée à trois appuis est une

structure hyperstatique car même avec la suppression d un appui la structure reste stable.

Comparé au système isostatique, un système hyperstatique est :

plus sensible aux déplacements différentiels et aux charges thermiques ;

plus ductile et plus sécuritaire ;

Plus raide et plus résistante ;

plus difficile à réaliser.

3.2 DEGRE D'HYPERSTATICITE

3.2.1 Définition

Pour les structures hyperstatiques les nombres d inconnues est supérieur au nombre

d équations. Le nombre d inconnues supplémentaires est appelé degré d’hyperstaticité, noté k.

3.2.2 Degré d'hyperstaticité des structures planes

D'une manière générale, le degré d'hyperstaticité k d'un système plan est donné par : 𝒌 = + 𝒏 − 𝒏 +

Où

r : nombre des réactions d appuis ;

ncf : le nombre de cadres fermés ;

n : nombre d équations de la statique (en plan n=3 et en espace n=6);

q : nombre d équations supplémentaires.



Exemples 3.1

3.2.3 Degré d'hyperstaticité des structures articulées ou treillis

On appelle treillis un assemblage de barres articulées entre elles de manière à ce

que chacune des barres ne soit sollicitée qu en traction ou en compression.

Pour les treillis, le degré d'hyperstaticité est donné par : 𝒌 = + – 𝒏′ Où :

b : le nombre de barres ;

r : le nombre de réactions ;

n : le o e de œuds.

Structure 1 : k = (4+3*0)-(3+0)=1 Structure 2 : k = (3+3*1)-(3+0)=3

Figure 3-1 : Exemples de calcul de degré d'hyperstaticité k des structures planes

Structure 4 : k = (4+1*3)-(3+1)=3 Structure 3 : k = (6+2*3)-(3+1)=8



Exemples 3.2

3.3 APPLICATION

Calculer les degrés d hyperstaticité des structures suivantes :

Structure articulée 1 : k =4+13-2*8=1 …………………………….……………

Structure articulée 2 : k =4+25-2*14=1 …………………………….……………

Structure articulée 3 : k = 3+13-2*8=0

Figure 3-2 : Exemples de calcul de degré d'hyperstaticité k des treillis



Structure 1 : k = ……………………………………..

Structure 2 : k = …………………………………

Structure 3 : k = ……………………………

Structure 4 : k = …………….…………

Structure 5 : k = ………………………………..…

Figure 3-3 : application pour le calcul de degré d'hyperstaticité



4 CHAPITRE 4 : RESOLUTION DES SYSTEMES HYPERSTATIQUES PAR LA

METHODE DES FORCES

Dans ce chapitre on présentera le principe de résolution

d’une structure hyperstatique par la méthode des forces.

4.1 INTRODUCTION : PRINCIPE DE LA METHODE DES FORCES

La résolution d une structure hyperstatique par la méthode des forces consiste à la

remplacer par une structure isostatique équivalente en pratiquant des coupures choisies

judicieusement ; c'est-à-dire à chaque coupure:

Faire introduire une force correspondante Xi.

Ecrire une condition de compatibilité des déformations.

Si la structure hyperstatique est de degré k, alors on aura k coupures à effectuer, k forces à

introduire (Xi inconnues) et k équations de compatibilité à écrire.

4.2 LES STRUCTURES ISOSTATIQUES EQUIVALENTES

Soit une structure hyperstatique (S) de degré d'hyperstaticité k, soumise à un

chargement initial X0 connu. On peut rendre (S) en une structure isostatique en pratiquant k

coupures et de les remplacer par des forces inconnues Xi (i : ….k . Cette structure est une

structure isostatique équivalente à (S) qu on note (S0), dite aussi structure isostatique associée

à (S).

Pour une structure hyperstatique, il existe plusieurs structures isostatiques

équivalentes.

Exemple 4.1

B

(S)

Equivaut àA (S0)1

X1

équivaut àA

F F

(S0)2

X1

F F

B

F F

A

et

Figure 4-1 : Exemple 1 d’une structure isostatique équivalente



Le degré d hyperstaticité de la structure (S) est k=1

Dans la structure (S0)1, on a éliminé l appui simple et on a introduit la réaction

correspondante X1 (X1=RB réaction de l appui B).

Dans la structure (S0)2, on a remplacé l encastrement en articulation en introduisant le

couple X1.

Exemple 4.2

X0 0

X1

X2

Equivaut à(S) (S0)1

X0

X1

X2

(S0)2et Equivaut àX3

X3

Figure 4-2 : Exemple 2 d’une structure isostatique équivalente

Le degré d hyperstaticité de la structure (S) est k=3

Dans la structure (S0)1, on a éliminé l encastrement et on a introduit les réactions

correspondantes X1, X2 et X3.

Dans la structure (S0)2, on a remplacé le premier encastrement par une articulation et

un moment X3 et le deuxième encastrement par un appui simple et deux réactions X1 et X2.

Remarque : pour l exemple 2, on n a pas représenté toutes les structures isostatiques

équivalentes.

4.3 PRINCIPE DE SUPERPOSITION

En utilisant Le principe de superposition on peut mettre la structure isostatique

équivalente soumise à un ensemble de chargement (chargement extérieur connu X0 et les

chargements inconnus Xi) sous forme de somme de plusieurs structures dont chacune est

soumise à un seul chargement.



Exemple 4.3

X0 X0

(S) (S0)

X1

X2X3

X0

(0) (1) (2) (3)+ +

1

X2X3

+

Figure 4-3 : Décomposition de la structure isostatique équivalente par le principe de superposition.

La structure hyperstatique initiale (S) est un portique bi-encastré soumis à un chargement initial

X0 et de degré d hyperstaticité k=3.

La structure isostatique équivalente (S0) est soumise aux chargements X0 et aux k chargements

Xi.

D après le principe de superposition on peut écrire : Le système (S0) est égal à la somme des

systèmes (0, 1, 2 et 3).

4.4 PRINCIPE DE PROPORTIONNALITE

Dans le domaine élastique linéaire, l effet produit par une force Xi est égal à l effet d une

force unitaire multiplié par Xi.

Exemple 4.4

Dans la figure 4-4, on a représenté l effet d une force Xi par Xi multiplié par l effet d une force

unitaire Xi=1.



X0 X0

1 1

+(S) (0) (1) (2) (3)X1 X2 X3

Figure 4-4 : Décomposition de la structure isostatique équivalente selon le principe de proportionnalité

Si on note :

M(x) : l expression du moment fléchissant de (S) soumise à X0 ;

M0(x) : l expression du moment fléchissant de (S0) soumise à X0 ;

M1(x) : l expression du moment fléchissant de (S0) soumise à X1=1;

M2(x) : l expression du moment fléchissant de (S0) soumise à X2=1;

M3(x) : l expression du moment fléchissant de (S0) soumise à X3=1.

On peut écrire :

(x)MX(x)MX(x)MX(x)MM(x)3322110

De même pour l effort tranchant et l effort normal, on peut écrire :

(x)NX(x)NX(x)NX(x)NN(x)

(x)VX(x)VX(x)VX(x)VV(x)

3322110

3322110

4.5 PRINCIPE DE COMPATIBILITE DES DEFORMATIONS

À fin que la compatibilité des déformations entre la structure (S) et la structure (S0) soit

assurée, on doit écrire pour chaque coupure de (S) une équation de compatibilité.

Si on note :

δi.j : les déformations (déplacements ou rotations) du point de coupure de (S0), dans le

sens de Xi causés par le chargement Xj.

δi.0 : les déformations (déplacements ou rotations) du point de coupure de (S0), dans le

sens de Xi causés par le chargement initial X0.



Pour l exemple de portique bi-encastré, au point D on a un encastrement donc les trois

déformations en D sont nulles (uD=0, vD= et θD=0), or pour (S0) choisie, on a libéré le point D.

pour avoir une compatibilité des déformations :

Déplacement du point de coupure dans le sens X1:

X0 X0

11 1

+(S) (0) (1) (2) (3)X1 X2 X3

1.0

1.1 1.2

1.3

Figure 4-5 : déplacements sens X1

1.031.321.211.11.331.221.111.0D δ-XδXδXδautrementou δXδXδXδ0v Déplacement du point de coupure dans le sens X2 :

0 0

11 1

+(S) (0) (1) (2) (3)X1 X2 X3

2.0

2.1 2.22.3


2.032.322.212.12.332.222.112.0D δ-XδXδXδautrementou δXδXδXδ0u Déplacement du point de coupure dans le sens X3:

X0 X0

11 1

+(S) (0) (1) (2) (3)X1 X2 X3

3.03.1

3.23.3


3.033.323.213.13.333.223.113.0D δ-XδXδXδautrementou δXδXδXδ0



On obtient finalement le système d équations suivant:

3.033.323.213.1

2.032.322.212.1

1.031.321.211.1

δXδXδXδδXδXδXδδXδXδXδ

Ou matriciellement :

30

20

10

3

2

1

333231

232221

131211

X

X

X

δδδδδδδδδ

En cas général, pour une structure de degré d hyperstaticité k, on a :

k0kkk2k21k1

i0221i1

20k2k222121

10k1k212111

Xδ.............XδXδ.

..............X

.

Xδ.............XδXδXδ.............XδXδ

kiki XX

Ou matriciellement

0

0

20

10

2

1

21

21

222221

111211

.

.

k

i

k

i

kkkjkk

ikijii

kj

kj

X

X

X

X

4.6 DETERMINATION DES DEFORMATIONS δij

Pou la d te i atio des d fo atio s δij et les δi.0 on peut appliquer l une des

méthodes étudiées au chapitre 2 (déformations des systèmes isostatiques).

Matrice de souplesse (Connue)

Vecteur forces (Inconnu)

Vecteur déformations

(connu)



4.7 LES ETAPES DE LA METHODE DES FORCES

La résolution d une structure hyperstatique (S) par la méthode des forces se fait comme suit :

1. déterminer le degré d hyperstaticité k ;

2. associer à (S) une structure isostatique (S0) équivalente en supprimant k inconnues

hyperstatiques Xi, les inconnues hyperstatiques peuvent être des réactions d appuis ou

des efforts intérieurs surabondants qu on met en évidence en effectuant des coupures

aux appuis ou dans les barres de la structure ;

3. appliquer à (S0) les charges réelles initialement données X0. On note ce système état (0) ;

4. soumettre (S0) à l action de charges (X1=1,X2= ,…..Xi= ….Xk=1) un par un, ces sont les k

états (i) ;

5. déterminer pour chaque état (i) les efforts internes Ni(x) ; Vi(x) et Mi(x) ;

6. Calculer à chaque point de (S0) où agit une inconnue hyperstatique :

Les d fo atio s δi.0 dues aux charges réelles données ;

Les d fo atio s δij dues aux charges ou couples Xi=1 ;

7. Déterminer les valeurs des Xi en résolvant le système suivant :

0iiij

X tels que (i=1 à k et j=0 à k) ;

8. Ecrire les équations des efforts internes de système hyperstatique (S) comme suit :

(x)MX(x)MX(x)MM(x)kk110

............

(x)VX.............(x)VX(x)VV(x) kk110

(x)NX...........(x)NX(x)NN(x) kk110

4.8 APPLICATIONS

EXERCICE 4.1

Soit la structure (S) de la figure 4-8, simplement appuyée en A et encastrée en B,

d inertie flexionnelle E.I constante et soumise à une charge uniformément répartie q.

A

L

Figure 4-8 : schéma statique de structure (S) (exercice 4.1)



1. Calculer le degré d hyperstaticité de S.

2. Représenter toutes les structures isostatiques équivalentes à S.

3. En appliquant la méthode des forces, déterminer la réaction en A. En déduire les réactions en

B.

4. Déterminer les expressions des efforts internes le long de S puis représenter leurs

diagrammes.

REPONSE

1. k=(4+3x0) – (3+0) = 1

2. Les structures isostatiques équivalentes à (S) sont les structures (S0)1 et (S0)2 suivantes :

A

X1(S0)2

A

X1

Figure 4-9 : structures isostatiques équivalentes à (S) (exercice 4.1)

X1 étant l inconnu hyperstatique.

3. Pour répondre à cette question, on va considérer la structure (S0)1. Pour cette structure X1

représente la réaction en A (X1=RA).

A B+

A

X1(0) (1)

Figure 4-10 : principe de superposition (exercice 4.1)

D après le principe de superposition, l effet sur la structure (S) est la somme des effets sur les

structures (0) et (1).

Si M(x) est le moment de (S), M0(x) est le moment de (0) et M1(x) est le moment de (1)

soumise à X1=1 alors : M(x)=M0(x) + X1 M1(x).

Expression de M1 M1(x) = x (avec x[0, L])



Expression de M0 2

qx²(x)M

0 (avec x[0, L])

Les équations de compatibilité s écrivent : δ11.X1= - δ10 ce qui donne

1.1

1.0

1 δ

δX

L

0

3L

0

111.1

3EI

Ldx

EI

x²dx

EI

(x)(x).MMδ (ici N0(x)=N1(x)=0)

L

0

4L

0

011.0

8EI

qL.x.dx

2EI

qx²-dx

EI

(x)(x).MMδ

D où,

A3

4

1 RqL8

3

3EI

L

8EI

qL

X

En écrivant l équilibre de la structure (S0)1.

qL8

5R-qLR0qLRR ABBA

8

qL²

2

L²q-LRM0

2

L²qMLR ABBA (MB est pris dans le sens

trigonométrique)

4. qLx8

3

2

qx²(x)MX(x)MM(x)

110 (avec x[0, L])

qL8

3qx

dx

dM(x)V(x)

0N(x)

Digramme de M :

allure parabolique

M(0) = MA = 0, 8

qL²MM(L)

B , M(x)=0 implique x=0 ou L

4

3x ,

qL²128

9L)

8

3M(xMmax



Digramme de V :

allure linéaire

L8

3x0V(x)L,

8

5qV(L)L,

8

3qV(0)

BA

3qL/8

- 5qL/83L/8

BA

M(x)

-qL²/8

9qL²/128

Figure 4-11 : diagrammes des efforts internes (exercice 4.1)

EXERCICE 4.2

On considère la structure (ABC) de la figure 4-12, composée de deux barres AB et BC,

encastrée en A et articulée en C, d inertie flexionnelle E.I variable et soumise à une charge

répartie q sur la demi-travée BC.

C

A

B

L, E

I

L/2

Figure 4-12 : schéma statique de la structure (ABC) (exercice 4.2)

1. Calculer le degré d hyperstaticité de (ABC).

2. En appliquant la méthode des forces, déterminer les réactions en C. En déduire celles en A.



3. Déterminer les expressions des efforts internes le long de ABC puis représenter leurs

diagrammes.

N.B : Dans le calcul des déformations, on ne tiendra compte que de moment fléchissant.

REPONSE

1. k=(5+3x0) – (3+0) = 2

2. Pour répondre à cette question, on va considérer la structure (S0) suivante :

C

A

BX1

X2q

S L (S0)

Figure 4-13 : structures isostatiques équivalentes à (ABC) (exercice 4.2)

X1= RC et X2= HC

A

Bq

(S) L (S0)L (0)

C

A

B1

(1)

C

A

B1

(2)

C

+ X1 + X2


On appelle,

M(x), N(x) et V(x) le moment fléchissant, effort normal et effort tranchant de (S),

Mi(x), Ni(x) et Vi(x) le moment fléchissant, effort normal et effort tranchant de l état (i)

(i=0, 1 et 2)

On a :

M(x) = M0(x) + X1 M1(x) + X2 M2(x) de même pour N et V.



Le tableau 4-1, suivant, présente les expressions des efforts internes pour les trois

structures(0), (1) et (2) :

Tableau 4-1 : Les efforts internes des systèmes isostatiques équivalents (exercice 4.2)

Barres (AB) (BC)

x 𝑥 ∈ [ , 𝐿] 𝑥 ∈ [ , 𝐿] 𝑥 ∈ [𝐿 , 𝐿] EI EI 2EI

Etude De

système (0)

(x)M0

8

L²q

2)2

(2

qx

L

0

(x)V0 0 x)2

Lq((x)V

0 0

(x)N0

2

Lq

0 0

Etude De

système (1)

(x)M1 L L-x

(x)V1 0 -1

(x)N1 1 0

Etude De

système (2)

(x)M2 L-x 0

(x)V2 -1 0

(x)N2 0 -1

Les équations de compatibilité s écrivent,

20

10

2

1

2221

1211

δ

δ

X

X

δδ

δδ

str

ji

ij dxEI

(x)(x).MMδ

O va al ule les δij à l aide des tables de Mohr, pour cela on doit tracer en 1èr lieu les

diagrammes de Mi.



C

A

B

-qL²/8

-qL²/8

Diagramme de M0

C

A

B

L

Diagramme de M1

L

C

A

B

L

Diagramme de M2

Figure 4-15 : diagrammes des Mi (exercice 4.2)

6EI

7L)

3

L²(

2EI

L(LxL)

EI

L(x)dx(x).MM

EI

1δ3

str

111.1

2EI

L0LxL)

2

1(

EI

L(x)dx(x).MM

EI

1δδ3

str

212.11.2

3EI

L0x2xLxL)

6

1(

EI

L(x)dx(x).MM

EI

1δ3

str

222.2

]]2

L)x

8

L²q()xL

4

L²q[2x(

6

1[

4EI

L)xL)]

8

L²[(-q

EI

L(x)dx(x).MM

EI

1δstr

011.0

384EI

53.q.Lδ4

1.0

16EI

q.L0)xL)]

8

L²(-q

2

1[

EI

L(x)dx(x).MM

EI

1δ4

str

022.0

Les équations de compatibilité s écrivent,

16EI

q.L

384EI

53.q.L

X

X

3EI

L

2EI

L

2EI

L

6EI

7L

4

4

2

1

33

33

Plus simplement,



16

q.L

384

53.q.L

X

X

3

1

2

1

2

1

6

7

2

1

La résolution de ce système donne :

C2C1 H,028qL0qL320

9XetR0,106qLqL

320

34X

C

A

B

X1

X2q

RA

HA

MA

Figure 4-16 : schéma de détermination des réactions en A (exercice 4.2)

qL320

9HH CA

qL320

126qL

320

34

2

LqR

2

LqR CA

q.L²320

3qL²

320

9qL²

320

34

8

L²q.LX.LX

8

L²qM 21A

3. Expressions des efforts internes

Barre AB : (x[0, L])

x)-qL(L320

9

320

qL²6M(x)

qL320

9V(x)

qL320

126-qL

320

34

2

LqN(x)

Barre BC : (x[0, L/2])



x)-qL(L320

34

2

x)²2

L(

qM(x)

qL320

34x)

2

Lq(V(x)

qL320

9N(x)

(x[L/2, L]

qL320

9N(x)

qL320

34-V(x)

x)-qL(L320

34M(x)

Diagrammes

-9/320 qL

-194/320 qL

126/320 qL

3/320‎qL²

0-6/320‎qL²

-6/320‎qL²

Diagramme de M Diagramme de V Diagramme de N

-126/320 qL

-9/320 qL


EXERCICE 4.3

Soit la structure (S) ci dessous, encastrée en A et simplement appuyée en B, d inertie

flexionnelle E.I constante et soumise à une charge répartie q sur la travée BC.



C

A

B

L,

EI

q

Figure 4-18 : schéma statique de la structure (S) (exercice 4.3)

1. Calculer le degré d hyperstaticité de la structure (S).

2. En appliquant la méthode des forces, déterminer la réaction en C. En déduire celles en A.

3. Déterminer les expressions des efforts internes le long de S puis représenter leurs

diagrammes.

N.B : Pour le calcul des déformations, on ne tient compte que de moment fléchissant.

REPONSE

1. k=(4+3x0) – (3+0) = 1

2. Pour répondre à cette question, on va considérer la structure (S0) suivante :

C

A

BX1

S L (S0)

q

Figure 4-19 : structure isostatique équivalente à (S) (exercice 4.3)

X1= RC



A

B

(S) L (S0)L (0)

C

A

B1

(1)

C

+ X1

q


On appelle,

M(x) le moment fléchissant de (S) ;

Mi(x) le moment fléchissant de l état (i) ; (i=1 et 2)

On a :

M(x) = M0(x) + X1 M1(x).

Le tableau 4-2, suivant, présente les expressions des efforts internes pour les deux

structures (0) et (1) :

Tableau 4-2 : Les efforts internes des systèmes isostatiques équivalents

Barres (AB) (BC)

x 𝑥 ∈ [ , 𝐿] 𝑥 ∈ [ , 𝐿] EI EI EI

Etude De

système (0)

(x)M0

8

L²q

2

x)²-(Lq

(x)V0 0 x)-q(L

(x)N0 -qL 0

Etude De

système (1)

(x)M1 L L-x

(x)V1 0 -1

(x)N1 1 0

Les équations de compatibilité s écrivent : 10111 δδ X ou autrement 11

101 δ

δX

Avec : str

ji

ij dxEI

(x)(x).MMδ

On va al ule les δ11 δ10 à l aide des tables de Mohr, pour cela on doit tracer en 1èr lieu

les diagrammes des Mi.



C

A

B

-qL²/2

-qL²/2

Diagramme de M0

C

A

B

L

Diagramme de M1

L

Figure 4-21 : diagrammes des Mi (exercice 4.3)

BC

11

AB

11

str

111.1 (x)dx(x).MMEI

1(x)dx(x).MM

EI

1(x)dx(x).MM

EI

1δ

3EI

4LLxL)

3

1

EI

L(LxL)

EI

L 3

BC

01

AB

01

str

011.0 (x)dx(x).MMEI

1(x)dx(x).MM

EI

1(x)dx(x).MM

EI

1δ

8EI

5qL0))(3L

2

L²(-q

12

1

EI

LxL)

2

L²(-q

EI

L 4

D où :

C3

4

1 RqL32

15

/3EI4L

/8EI5qLX

REMARQUE

X1 peut être aussi déterminé par calcul comme suit :

3EI

4L

3EI

L

EI

Ldx

EI

x)²-(Ldx

EI

L²(x)dx(x).MM

EI

1δ333

BC

L

0str

111.1

8EI

5qLdx

EI

)2

x)²-(Lqx)(-(L

dxEI

)2

qL²L(-

(x)dx(x).MMEI

1δ4

BC

L

0str

011.0

D où : qL32

15

/3EI4L

/8EI5qLX

3

4

1



C

A

B

X1

RA

HA

MA

q

Figure 4-22 : schéma de détermination des réactions en A (exercice 4.3)

D après le PFS, on a :

0HA

qL32

17qL

32

15qLXqLR 1A

q.L²32

1qL²

32

15

2

L²q.LX

2

L²qM 1A

3. On a:

M(x)=M0(x)+X1M1(x)

d(x)

dM(x)V(x)

N(x) peut être déterminé en faisant l uili e du œud B.

Barre AB : (x[0, L])

32

L²-qqL.L

32

15

2

L²q(x)MAB

0(x)VAB

Barre BC : (x[0, L])

x)-qL(L32

15

2

x)²(Lq(x)MBC

qL32

15x)q(L(x)VBC



Pour déterminer l expression de l effo t o al, isolo s le œud B :

B NBC

NBA

VAB(B)=0

VBC(B)=-15qL/32

Figure 4-23 : schéma de détermination des efforts normaux dans les barres (exercice 4.3)

On a:

NBA=-VBC(B)=-15ql/32

NBC=-VAB(B)=0

Diagrammes

0,1qL²qL²2048

225L)

32

17MBC(0,53LL

32

17x0=(x)VBC

C

A

B

-qL²/32

-qL²/32

Diagramme de M

C

A

B

Diagramme de V

17qL/32

-15qL/32

C

A

B

Diagramme de N

15qL/32

0,1qL² 0,53L




5 CHAPITRE 5 : REOLUTION DES POUTRES CONTINUES PAR LA METHODE

DES TROIS MOMENTS

Dans ce chapitre on présentera le principe de résolution

des poutres continues par la méthode des trois moments.

5.1 INTRODUCTION

La méthode des trois moments est une méthode bien adaptée pour la résolution des

poutres continues, établie à partir de la méthode des forces. Elle consiste à découper une

poutre continue en travées indépendantes, et faire introduire des moments sur appuis (Mi)

comme des inconnus hyperstatiques.

La rotation de chaque appui intermédiaire de la poutre continue est nulle, c est la

condition de compatibilité des déformations.

5.2 DEFINITIONS

Une poutre est dite continue si elle repose sur plus de deux appuis. Les appuis

intermédiaires sont obligatoirement des appuis simples alors que Les appuis aux extrémités,

dits aussi appuis de rive, peuvent être des encastrements.

On commence par la numérotation des appuis de zéro (0) à (n) ;

Une travée (i) est délimitée par les deux appuis (i-1) et (i), de portée Li et de rigidité EIi ;

on aura donc :

n+1 appuis , ,…….. ;

n travées : (1, ,…… ;

Portée de la travée(i) : Li ;

Rigidité flexionnelle de la travée(i): EIi.

0 1 2 i-1 i i+1 n-1 n

L1, EI1 L2, EI2 Li, EIi Li+1, EIi+1 Ln, EIn

Figure 5-1 : schéma statique de la poutre continue

q



Chaque travée (i) est repérée par un repère orthonormé local tel que :

Origine : l appui (i+1) ;

l axe des (x) est confondu avec la fibre moyenne de la poutre ;

l axe des y fait un angle (+ /2) avec l axe des x ;

l axe des z est défini pour compléter le système orthonormé xyz.

5.3 DEGRE D’HYPERSTATICITE D’UNE POUTRE CONTINUE

Les équations : nombre d équations de la statique est égal à 2 car les forces sont

perpendiculaires à l axe des x.

Les inconnus : (réactions ou moments aux appuis)

n+1 inconnues si les appuis de rive sont des appuis simples ;

n+2 inconnues si un appui de rive est un encastrement ;

n+3 inconnues si les deux appuis de rive sont des encastrements.

D où

le degré d’hyperstaticite K :

K= n-1 : si les appuis de rive sont des appuis simples ;

K= n : si un appui de rive est un encastrement ;

K= n+1 si les deux appuis de rive sont des encastrements.

5.4 THEOREME DES TROIS MOMENTS OU DE CLAPEYRON

5.4.1 Enoncé

On considère deux travées consécutives (i) et (i+1) d une poutre hyperstatique à n

travées, d inerties flexionnelles respectives EIi et EIi+1, de longueurs respectives Li et Li+1 et

soumises respectivement à des charges X0i et X0(i+1) (voir figure 5-2). De plus, on suppose que les

appuis (i-1), (i) et (i+1) subissent des déplacements respectifs vi-1, vi et vi+1 vers le bas,



i+1

L i+1 I i+1

M i-1 M i M i+1

ii-1

L i I i

X 0,(i+1)X 0,i

Travée (i) Travée (i+1)

i-1

i

i+

1

i'd

i'g

Figure 5-2 : schéma statique de deux travées successives d’une poutre continue

Où,

ϴid la rotation à droite de l appui i pour la travée (i) considérée indépendante ;

ϴig la rotation à gauche de l appui i pour la travée (i-1) considérée indépendante.

Les formules de Navier-Bresse pour deux travées consécutives s écrivent :

(3)

(2)

(1)

101

1111

011

01

iL

iEI

dxx

iLx

iM

iL

iii

iL

iEI

dxx

iLx

iM

iL

iii

iL

iEI

dxx

iM

ii

))((.

))((.

)(

En effectuanti1i L

)2(

L

)3(

, on obtient :

Cas général



Cas où l’inertie de la poutre est constante sur chaque travée (i) et sans dénivellation des

appuis

5.5 EXPRESSIONS DU MOMENT FLECHISSANT, EFFORT TRANCHANT ET REACTIONS D’APPUIS

Pour la travée (i) située entre les appuis (i-1) et (i), on peut écrire les relations suivantes:

Moment fléchissant :

i

i

i

iiiL

xM

L

xMxmxM )1()()( 1

Où,

mi(x) : expression du moment fléchissant dû aux chargements extérieurs X0i de la travée

(i-1) supposée indépendante.

Mi : moment sur appui (i)

Effort tranchant :

i

ii

ii L

MMxvxV 1

)()(

Où,

vi(x) : expression de l effort tranchant dû aux chargements extérieurs X0i de la travée (i)

supposée indépendante.

)(6)(2

:' 3

,6

,3

1

1

1

1

11

g

i

d

ii

i

ii

i

i

i

ii

i

i

ii

ii

ii

MEI

LM

EI

L

EI

LM

EI

L

oùdEI

Lc

EI

Lb

EI

La

1)(iet i) ( appuis des rigides rotations :;

)(

)()1(

)1(

:

)(

1

11

1

2

0

0

2

0

11111

i

iii

i

iii

i

L

i

i

ii

L

i

i

i

L

i

i

ii

g

i

d

iiiiiiii

L

vv

L

vv

EI

dx

L

xc

EI

dx

L

x

L

xb

EI

dx

L

xa

avec

MbMacMb

i

i

i



Mi : moment sur appui (i)

Réactions d appuis :

1i

i1i

i

i1idi

gii

L

MM

L

MMrrR

Où,

ri d: la réaction à droite de l appui (i) de la travée isostatique (i)

ri g: la réaction à gauche de l appui (i) de la travée isostatique (i+1)

5.6 LES ETAPES DE LA METHODE DES TROIS MOMENTS

1. Déterminer le degré d hyperstaticité de la poutre k ;

2. Découper la poutre à (n) travées indépendantes (i) chacune de portée Li et de rigidité

flexionnelle EIi;

NB : si l un des appuis de rive est un encastrement, on le remplace par une travée fictive de

rigidité flexionnelle infinie 𝐸𝐼 = ∞. (Voir figure 5-3)

3. Pour chaque poutre isostatique de travée (i), déterminer :

les réactions des appuis : 𝑟𝑖− 𝑒𝑡 𝑟𝑖𝑔 les expressions efforts internes : l effort tranchant 𝑣𝑖 𝑥 et moment fléchissant 𝑚𝑖 𝑥 ;

les rotations des appuis : 𝜃𝑖− 𝑒𝑡 𝜃𝑖𝑔

Figure 5-3 : décomposition de la poutre continue en travées indépendantes

0 1 2 i-1 i i+1 n-1 n

0 1

2

i-1 i

i+1

n-1 n

1 i n n+1

L1, EI1

L2, EI2

Li, EIi

Li+1, EIi+1

Ln, EIn

Ln+1, EIn+1=∞

Travée fictive



4. Ecrire les k équations de 3 moments pour chaque deux travées consécutives (i) et (i+1): 𝐿𝑖𝐸𝐼𝑖 𝑀𝑖− + ( 𝐿𝑖𝐸𝐼𝑖 + 𝐿𝑖+𝐸𝐼𝑖+ )𝑀𝑖 + 𝐿𝑖+𝐸𝐼𝑖+ 𝑀𝑖+ = 𝜃𝑖 − 𝜃𝑖𝑔

5. Résoudre ces équations pour déterminer les moments Mi sur appuis.

6. calculer les réactions et les efforts internes par les formules suivantes :

Les réactions des appuis : 1

11

i

ii

i

iid

i

g

iiL

MM

L

MMrrR

L effort tranchant : i

iiii

L

MMxvxV 1)()(

Le moment fléchissant : i

i

i

iiiL

xM

L

xMxmxM )1()()( 1

5.7 APPLICATIONS

EXERCICE 5.1

Soit la structure (S) de la figure (5-4), simplement

appuyée en A et encastrée en B, d inertie flexionnelle

E.I constante et soumise à une charge uniformément

répartie q.

1. Calculer le degré d hyperstaticité de la structure S.

2. Déterminer les expressions des moments aux appuis.

3. Déterminer les expressions des efforts internes le

long de S.

REPONSE

1. k = (4+3x0) – (3+0) = 1

2. les expressions des moments aux appuis

Schéma statique

Li L1=L L2=L EIi EI1=EI EI2=∞

1 2 L2, EI2=∞

q

0 1 L1, EI1

Figure 5-4 : Schéma statique de (S)

(exercice 5.1)

0 1

A

q

L EI

B



Etu

de

d

es

tra

vé

es

iso

sta

tiq

ue

s 𝒊− 𝒊 𝑟 = 𝑞𝐿

𝑟𝑔 = 𝑞𝐿

𝑟 = 𝑣𝑖 𝑥 𝑣 𝑥 = 𝑞𝐿 − 𝑞𝑥 - 𝑚𝑖 𝑥 𝑚 𝑥 = 𝑞𝐿 𝑥 − 𝑞𝑥

- 𝜽𝒊− 𝜽𝒊 𝜃 = −𝑞𝐿𝐸𝐼 𝜃𝑔 = 𝑞𝐿𝐸𝐼 𝜃 = -

Moments sur

appuis Mi M0=0 M1 : inconnu hyperstatique M2=0

Les équations des

3 moments

𝐿𝐸𝐼 𝑀 + ( 𝐿𝐸𝐼 + 𝐿𝐸𝐼 )𝑀 + 𝐿𝐸𝐼 𝑀 = (𝜃𝑑 − 𝜃𝑔) → = −

3. Les expressions des efforts internes le long de S

Appuis 0 1

Etu

de

po

utr

e c

on

tin

ue

Mi M0=0 = − M2=0

Ri

𝑅= 𝑞𝐿 + 𝑀 − 𝑀𝐿

𝑹 =

𝑅= 𝑞𝐿 + 𝑀 − 𝑀𝐿

𝑹 =

- -

Vi(x)

𝑉 𝑥 = 𝑞𝐿 − 𝑞𝑥 + 𝑀 − 𝑀𝐿

= −

- -

Mi(x)

𝑀 𝑥 = 𝑞𝐿 𝑥 − 𝑞𝑥 + 𝑀 ( − 𝑥𝐿 ) + 𝑀 𝑥𝐿

= −

- -

EXERCICE 5.2

On considère la poutre continue ABC (figure 5-5) constituée de deux travées de mêmes

longueurs l et de même inerties flexionnelles EI.



CB

L

q

A

L0 1 2

Figure 5-5 : Schéma statique de la poutre ABC (exercice 5.2)

1. Calculer le degré d hyperstaticité de ABC.

2. Déterminer les moments aux appuis.

3. En déduire l expression du moment fléchissant et l effort tranchant le long de la poutre, ainsi

que les réactions aux appuis.

4. Tracer les diagrammes des efforts internes.

REPONSE

1. k = (5+0) – (3+0) = 2

2. Les moments aux appuis



Schéma statique

Li L1=L L2=L L3=L

EIi EI1=∞ EI2= EI EI3= EI

Etu

de

d

es

tra

vé

es

iso

sta

tiq

ue

s

𝒊− 𝒊 𝑟 = 𝑟𝑔 = 𝑟 = 𝑞𝐿 𝑟𝑔 = 𝑞𝐿

𝑟 = 𝑟𝑔 =

vi(x) 0 𝑣 𝑥 = 𝑞𝐿 − 𝑞𝑥 𝑣 𝑥 =

Mi(x) 0 𝑚 𝑥 = 𝑞𝐿 𝑥 − 𝑞𝑥

𝑚 𝑥 =

𝜽𝒊− 𝜽𝒊 𝜃𝑔 = 𝜃 = −𝑞𝐿𝐸𝐼 𝜃𝑔 = 𝑞𝐿𝐸𝐼 𝜃 =

Moments sur appuis Mi M0=0 M1 = ? M2= ? M3=0

Les Equations des 3

moments

𝐿𝐸𝐼 𝑀 + ( 𝐿𝐸𝐼 + 𝐿𝐸𝐼 )𝑀 + 𝐿𝐸𝐼 𝑀 = (𝜃𝑑 − 𝜃𝑔) → 𝑀 + 𝑀 = −𝑞𝐿


Moments sur appuis Mi M0=0 = − = − M3=0

q

1 2 L2, EI2 0 1

L1, EI1=∞ 2 3

L3, EI3



3. Les expressions des réactions aux appuis ainsi que le moment fléchissant et l effort tranchant le long de la poutre:

Po

utr

e c

on

tin

ue

X -- Travée 1-2 : 𝑥 ∈ [ , 𝐿] Travée 2-3 : 𝑥 ∈ [ , 𝐿] Ri - 𝑹 = 𝑹 = 𝑹 = −

Vi(x) - 𝑉 𝑥 = 𝑞𝐿 − 𝑞𝑥 𝑉 𝑥 = 𝑞𝐿

Mi(x) - 𝑀 𝑥 = 𝑞𝐿 𝑥 − 𝑞𝑥 − 𝑞𝐿 − 𝑥𝐿− 𝑞𝐿𝑥

𝑀 𝑥 = −𝑞𝐿 − 𝑥𝐿



BA

4ql/7

ql/28

- 3ql/74l/7

BA

M(x) 4l/7

l²/28-ql²/28

11ql²/196

C

C

Figure 5-6 : Les diagrammes des efforts internes de la poutre ABC (exercice 5.2)



EXERCICE 5.3

On considère la poutre hyperstatique ABCD, ci-dessous, constituée de trois travées de

même inertie flexionnelle EI.

DC

2L

A

L

B

L

Figure 5-7 : Schéma statique de la poutre ABCD (exercice 5.3)

1. Calculer le degré d hyperstaticité de cette structure.

2. Déterminer les moments aux appuis.

3. En déduire l expression du moment fléchissant et l effort tranchant le long de la poutre, ainsi

que les réactions aux appuis.

4. Tracer les diagrammes des efforts internes.

REPONSE

1. k = (5+0) – (3+0) = 2

2. Les moments aux appuis



Schéma statique

Li L1=L L2=L L3=2L

EIi EI1=EI EI2= EI EI3= EI

Etu

de

de

s tr

av

ée

s is

ost

ati

qu

es 𝒊− 𝒊 𝑟 = 𝑞𝐿

𝑟𝑔 = 𝑞𝐿 𝑟 = 𝑟𝑔 = 𝑟 = 𝑞𝐿 𝑟𝑔 = 𝑞𝐿

vi(x) 𝑣 𝑥 = 𝑞𝐿 − 𝑞𝑥 𝑣 𝑥 = 𝑣 𝑥 = 𝑞𝐿 − 𝑞𝑥

Mi(x) 𝑚 𝑥 = 𝑞𝐿 𝑥 − 𝑞𝑥 𝑚 𝑥 = 𝑚 𝑥 = 𝑞𝐿𝑥 − 𝑞𝑥

𝜽𝒊− 𝜽𝒊 𝜃 = −𝑞𝐿𝐸𝐼 𝜃𝑔 = 𝑞𝐿𝐸𝐼 𝜃 = 𝜃𝑔 = 𝜃 = −𝑞𝐿𝐸𝐼 𝜃𝑔 = 𝑞𝐿𝐸𝐼

Moments sur appuis Mi M0=0 M1 = ? M2= ? M3=0

Les Equations de 3

moments


𝐿𝐸𝐼 𝑀 + ( 𝐿𝐸𝐼 + 𝐿𝐸𝐼 )𝑀 + 𝐿𝐸𝐼 𝑀 = (𝜃𝑑 − 𝜃𝑔) → 𝑀 + 𝑀 = − 𝑞𝐿

Moments sur appuis Mi M0=0 = = − M3=0

q

2 3 L3, EI3

q

0 1 L1, EI1 1 2

L2, EI2



3. Les expressions des réactions aux appuis ainsi que le moment fléchissant et l effort tranchant le long de la poutre: P

ou

tre

co

nti

nu

e

x Travée (0-1) : 𝑥 ∈ [ , 𝐿] Travée 1-2 : 𝑥 ∈ [ , 𝐿] Travée 2-3 : 𝑥 ∈ [ , 𝐿]

Ri 𝑹 = . 𝑹 = . 𝑹 = . 𝑹 = . Vi(x) = − = −

= −

Mi(x) = − = + − = − −

Cours Resistance Des Matériaux 2 AU : 2013/2014



Travée AB

23

12qx q(x)V

AB

l : V a une allure linéaire ;

ll

ll

lll

52,023

12X0(X)V;0,48q -

23

11q)(V;52,0

23

12q(0)V ABABAB q

M a une allure parabolique

20,14q529

q 77)

23

12(MM ;20,02q

46

qM0;M

²²AB

max

ABBAl

lll

l

Travée BC

ll

q360,92

33q(x)V

BC) ] l [0,x ( : V a une allure linéaire (constante)

M a une allure linéaire ²²

²²

33,092

31qM ;0,02q

46

qM CB l

ll

lq

Travée CD

184

215q xq(x)VCD

l : V a une allure linéaire

ll

ll

lll

17,1184

215X0(X)V;0,83q

184

153q)(2V;17,1

184

215q(0)V CDCDCD q

M a une allure parabolique

lll

lll 2

0,69q33856

q 23409)

184

215(MM

0;)(2MM;-0,33qq92

31(0)MM

²

²

CD

max

CD

CDDCDC

lll

l 2ou x 2

0,33x92

31qxq

184

215

2

x²q0(x)MCD



CA

V(x)0,52qL

0,52L DB

-0,48qL

-0,358qL

1,17qL

-0,83qL

CA DB

0,14qL²

M(x)

0,02qL²

-0,33qL²

0,52L

1,17L

0,33L

0,69qL²

1,17L

0,021qL²

Figure 5-8 : Les diagrammes des efforts internes de la poutre ABCD (exercice 5.3)



6 CHAPITRE 6 : LIGNES D’INFLUENCE

Dans ce chapitre on définira les lignes d’influence, et on

les présentera pour une poutre isostatique.

6.1 DEFINITION DES LIGNES D’INFLUENCES

On définit une ligne d i flue e Li α o e ta t la ep se tatio g aphi ue d un

effet en un point donné d une structure, dû à une force mobile unité. Le terme effet désigne

une réaction d appui, un effort intérieur ou un déplacement. L ordonnée à l abscisse de la

ligne d influence donne la valeur de l effet en un point donné de la structure lorsque la force

unité est placée à l abscisse.

6.2 LES LIGNES D’INFLUENCES D’UNE POUTRE ISOSTATIQUE

Dans cette étude on se limitera aux lignes d influence d une poutre isostatique sur 2

appuis simples, sur laquelle est placée une force verticale unité à l abscisse , puis on

déterminera la réaction à un appui, ou encore les efforts intérieurs ou le déplacement dus à

cette force en un point x donné de la poutre. La force verticale unité étant mobile, à chaque

valeur de l abscisse correspond une nouvelle valeur pour la réaction, les efforts intérieurs ou

le déplacement.

A

RA RBL

P

A

RA RBL

1

Figure 6-1 : Schéma statique de la poutre isostatique

6.2.1 Les lignes d’influence des réactions

Pour une charge ponctuelle P à la positio α o a :

LLiLiP

LP

L

PR

LLiLiP

LPl

L

PR

B

A

)()(.)(

)()(.)()(

1

11

6.2.2 Lignes d’influence de l ’effort tranchant



xpour )(

pour )1()(

)(.)(

xpour

pour )1(

)(

LLi

xL

Li

LiPxV

LP

xL

P

xV

6.2.3 Lignes d’influence du moment fléchissant

xpour )1()(

pour )1()(

)(.)(

xpour x)-(L

pour )1(

)(

L

xLi

xL

xLi

LiPxM

LP

xL

Px

xM

f

f

6.3 LES REPRESENTATIONS DES LIGNES D’INFLUENCES

Voir figure 6.2.



Figure 6-2 : Les lignes d’influence d’une poutre isostatique

y=1

y=1

P

x A B

Lig e d i flue e du Mo e t fléchissant à la section x : Li Mx

Lig e d i flue e du Mo e t fléchissant à la section x =L/2

x= L/2

y=x(L-x)/L

y=L/4

y= (L-x)/L

y=-x/L y=-1

y=1

Lig e d i flue e de l effo t tranchant à la section x : Li Tx

Lig e d i flue e de la a tio RA

Lig e d i flue e de la a tio RB

yi

yi

yi

yi

yi

A

C



A

L=4m

B

q=20KN/m

C

MC

1

6.4 LECTURE D’UNE LIGNE D’INFLUENCE

6.4.1 Charge ponctuelle

Effet = P.yi

yi : lecture directe sur la ligne d influence

6.4.2 Charge uniformément répartie

Effet = b

a

b

ay.dx avec ..... dxyqdxyq l aire sous la courbe de la ligne d influence.

Figure 6-3 : la lecture de ligne d’influence pour une charge uniformément répartie

6.4.3 Exemples

Ligne d’influence de MC

q

dx

a

b

dq=qdx

y

Ligne d'influence

a bdx

Figure 6-4 : lig e d’i flue ce de o e t fl chissa t à L/2



KNm408

²qLM

KNm402

4x1.20dx.y.qM

C

L

0C

6.5 UTILISATION DE LA LIGNE D’INFLUENCE

Les lignes d influence servent à déterminer la valeur des effets dus à plusieurs

chargements verticaux mobiles qui peuvent être soit des charges concentrées ou des charges

réparties.

En appliquant le principe de superposition, on aura :

Effet =

n

1iii yP +

b

adxyq .

Avec

yi : ordonnée de la ligne d influence sous charge Pi

b

adxy. : Surface sous ligne d influence sous charge repartie de a à b.

Effet : Réaction d appui, effort tranchant, moment fléchissant ou déplacement.



7 REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

[1] Comprendre simplement la résistance des matériaux : la structure, principes et enjeux pour la conception / Rémy Mouterde et François Fleury.-̶ Paris : éditions du Moniteur, 2007. -̶ 320 pages ; 24cm x 24cm.

[2] Analyse et calcul des structures/ Aram Samikian.- ̶ Paris : Gaëtan Morin Editeur, 1994. - ̶ 580 pages ; 20cm x 25cm.

[3] Conception et calcul des structures de batiment : formulaire / Henry Thonier -̶

Paris : éditions Presses Ponts et Chaussées, 1999. -̶ 295 pages ; 17cm x 24cm [4] [5] Cours résistance des matériaux / Nabil Belkahla. -̶ l Ecole Nationale des Ingénieurs

de Gabes ; AU : 1997-1998. [6] Cours calcul des structures / Khaled Maala. -̶ l Ecole Nationale des Ingénieurs de

Gabes ; AU : 1997-1998. [7] Wikipédia, l'encyclopédie libre. - Contributeurs de Wikipédia. [Internet]. Disponible

à l'adresse: http://fr.wikipedia.org. [8] RDM6 7.01, logiciel gratuit . - Institut Universitaire de Technologie du Mans

Département Génie Mécanique et Productique. [Internet]. Disponible à l'adresse: http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/rdm_version_7.html#logiciel.

[9] Dossier technique de banc de flexion SM1004/ TQ education and training Ltd, 2003. - ̶ 59 pages ; A4.

[10] Guide d enseignant déformation de portique/ TQ education and training Ltd, 2003. -̶ 14 pages ; A4.

http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Bibliographie&oldid=65553513

http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/rdm_version_7.html#logiciel



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