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7/25/2019 Cours_Torsion.pdf

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Geles Boned 10-06-14

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Sommaire

1-Dfinitions gnrales................................................................................................................. 3

1.1-Introduction......................................................................................................................... 3

1.2-Centre de cisaillement......................................................................................................... 4

1.2.1-Centre de cisaillement dans une section parois minces ouverte (mthode sectorielle)

............................................................................................................................................... 4

1.2.2-Centre de cisaillement dans une section parois minces ferme (mthode sectorielle)

............................................................................................................................................... 5

1.3-Exercice n6........................................................................................................................ 6

2-Torsion pure, libre et uniforme des poutres............................................................................... 7

2.1-Dfinitions.......................................................................................................................... 7

2.2-Proprits gnrales des contraintes de cisaillement dues la torsion pure, libre etuniforme.................................................................................................................................... 7

2.2.1-Conditions de bord....................................................................................................... 7

2.2.2-Analogie de la membrane............................................................................................ 7

2.3-Torsion pure des poutres section pleine Inertie de torsion............................................ 8

2.3.1-Dformation dune poutre droite section pleine en Torsion pure.............................. 8

2.3.2-Cas particulier des sections circulaires........................................................................ 9

2.3.3-Gauchissement des sections pleines d la Torsion.................................................. 10

2.3.4-Cas particulier des sections rectangulaires................................................................. 10

2.3.5-Cas particulier dune bande longue et mince............................................................. 11

2.3.6-Inertie de torsion dune section pleine compose dlments pleins......................... 11

2.4-Torsion libre des profils minces ouverts........................................................................... 12

2.4.1-Inertie de torsion dun profil mince ouvert................................................................ 12

2.5-Torsion libre des profils minces ferms............................................................................ 13

2.5.1-Torsion libre dun caisson ferm unicellulaire Inertie de torsion........................... 13

2.5.2-Diffrences de comportement la torsion entre les profils minces ouverts et ferms15

2.6-Exercice n7...................................................................................................................... 17

3-Vrifications en Torsion et Tranchant/Torsion (EN1992-1-1 et EN1992-2)........................... 18

3.1-Vrifications normatives en Torsion - Principe................................................................ 18

3.2-Cumul Tranchant/Torsion................................................................................................. 19

3.3-Vrification de la rsistance la torsion combine au tranchant...................................... 20

3.3.1-Vrification de la rsistance en compression des bielles........................................... 20

3.3.2-Armatures transversales............................................................................................. 21

3.3.3-Armatures longitudinales........................................................................................... 22

3.4-Exercice n8...................................................................................................................... 22

4-Torsion non uniforme ou gne............................................................................................... 23


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4.1- Torsion non uniforme ou gne des poutres parois minces, de section ouverte........... 23

4.1.1-Fonction de gauchissement de la section transversale............................................... 23

4.1.2-Contraintes de cisaillement secondaires.................................................................... 24

4.1.3-Equation diffrentielle de torsion non uniforme ou gne......................................... 24

4.1.4-Bimoment................................................................................................................... 25

4.2-Exercice n9 : Torsion gne dans un tablier de pont....................................................... 26

4.2-Exercice n10 : variante de lexercice n9........................................................................ 27

4.3- Torsion non uniforme ou gne des poutres parois minces, de section ferme............ 27

5-Bibliographie........................................................................................................................... 28


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1-Dfinitions gnrales

1.1-Introduction

Rappelons de la sance prcdente que :

Nous devons distinguer les poutres section pleine (auxquelles sapplique la thorie classique despoutres), des poutres section mince. Dans les poutres section mince, la section droite a une

dimension (paisseur) essentiellement plus petite que lautre (la longueur du contour), cette derniretant son tour nettement plus petite que la longueur de laxe de la poutre.

Dans la mesure o les sections transversales peuvent tre considres comme indformables, lesmodles classiques de calcul de contraintes et dformations tablis pour les poutres section pleine

peuvent tre employs. Cependant, du fait de leurs rapports gomtriques particuliers, le principe de StVenant ne leur est pas toujours applicable. Le principe de Navier-Bernouilli non plus. Sous certainstypes de sollicitations, comme la torsion, les sections droites subissent des contraintes complmentairesdrives de leur gauchissement.

Daprs le principe de St Venant :

La rotation diffrentielle autour dun axe parallle Gx, entre deux sections distantes de dx, dpend dela grandeur suivante T = Mx+ VyzC VzyCappel couple de torsion. (Nota : le couple de torsion Tpeut tre not C parfois dans la littrature)

Avec (yC, zC) les coordonnes (dans le repre Gyz) du centre de cisaillement C(ou centre de flexion).

Si la section de la poutre possde 2 axes de symtrie, C G, au croisement des axes de

symtrie. Aussi T Mx

Pour une section quelconque sans axes de symtrie, C G, T Mx

o Si la section est pleine et de forme suffisamment rgulire, gnralement

C G et T Mxo Si la section est parois minces il convient en gnral de ne pas confondre Mxet couple

de torsion T.

En rsum, tout tranchant V(Vy,Vz) appliqu au centre de cisaillement C ninduit pas de torsion ; Tout

tranchant V(Vy,Vz) appliqu un point quelconque PC induit un moment de torsion de valeur CP^V

Le moment de torsion total vaut :

T = Mx+ VyzC VzyC

Nota : En grasdes entits vectorielles

Mxmoment longitudinal daxe

Gx

Moment longitudinal supplmentaire d

lexcentrement du tranchant (Vy,Vz) appliquen G, une distance (-yC, -zC) de C


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1.2-Centre de cisaillement

Pour chaque gomtrie de section on peut dfinir donc un point caractristique appel centre decisaillement C(yC, zC) (ou centre de flexion ). Il sagit du point o le moment des forces engendrespar les contraintes dues leffort tranchant est nul. Sa position peut tre dtermine :

Directement, une fois calculs les flux de cisaillement sous tranchant en tout point, sachant que

MC((Vy,Vz)) = 0, ou

Par la mthode sectorielle (voir 1.2.1 et 1.2.2)

1.2.1-Centre de cisaillement dans une section parois minces ouverte (mthode sectorielle)

Nous pouvons rechercher le centre de cisaillement dune section mince ouverte laide desformules suivantes :

yC= yP+ 1/Iy z Pe ds zC= zP- 1/Iz y Pe ds

La section est rapporte ses axes principaux dinertie Gy et Gz ; P est un ple quelconque de

coordonnes (yP, zP) partir duquel on construit laire sectorielleP; Iy, Izdsignent toujoursles moments principaux dinertie.

Laire sectorielle de ple P se formule ainsi :

P= 0 PM^dsAvec la ligne mdiane des parois minces, dote dune abscisse curviligne s et dune paisseure(s). I(y0,z0) est lorigine des abscisses curvilignes, M(y,z) est le point courant le long de ,P(yP, zP) est le ple.

Pa toujours une direction fixe (parallle Gxdo souvent on fait abstraction de son caractre

vectoriel)


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1.2.2-Centre de cisaillement dans une section parois minces ferme (mthode sectorielle)

Nous pouvons rechercher le centre de cisaillement dune section mince ferme laide desformules suivantes :

yC= yP+ 1/Iy z Pe ds zC= zP- 1/Iz y Pe ds

La section est rapporte ses axes principaux dinertie Gy et Gz ; P est un ple quelconque de

coordonnes (yP, zP) partir duquel on construit la fonction sectorielle P; Iy, Iz dsignenttoujours les moments principaux dinertie.

La fonction sectorielle de ple P se formule ainsi :

P= P(s) f(s)

Avec Plaire sectorielle de ple P construite partir dune origine I(y0,z0) quelconque ; f(s) estune fonction scalaire indpendante du ple P, construite partir de la mme origine I et dont la

drive est gale :

Zro sur les ramifications ouvertes i/e sur llment de paroi de la cellule n i non commun une autre cellule

(i-j)/e sur llment de paroi de la cellule n i, commun la cellule n j

Les paramtres isont obtenus comme solution du systme :

i = 1,,n 1 ijj= i= 2AiAvec :

= /

= /

O dsigne une intgrale portant sur le contour complet de la cellule i,

une intgrale portant sur la partie commune (ventuellement nulle) aux cellules i et j.Aiest laire dlimite par le contour moyen de la cellule n i.


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1.3-Exercice n6


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2-Torsion pure, libre et uniforme des poutres

2.1-Dfinitions

Par torsion pure, libre et uniforme, on envisage un mode de sollicitation des poutres qui se rduit un

moment longitudinal constant dans le cadre des liaisons de ces poutres qui ne gnent en aucune manirele gauchissement de leurs sections.

La torsion non uniformese caractrise par une distribution non constante du moment de torsion.

La torsion gnea lieu en prsence de liaisons qui empchent le gauchissement des sections.

Dans les poutres section pleine, la torsion uniforme peut engendrer des contraintes normales au

voisinage des zones dapplication defforts concentrs, l o le gauchissement peut tre gn. Mais envertu du principe de St Venant, ces zones sont dtendue trs limite, et partout ailleurs on peut admettreque le gauchissement est uniforme, ce qui nentrane lapparition daucune contrainte normale.

Si la poutre section pleine est soumise une torsion non uniforme, le gauchissement nest plus

uniforme et il apparat des contraintes normales, indpendamment du fait que le gauchissement puissetre gne ou non dans une section quelconque. Toutefois, il est dusage de considrer que les contraintesnormales dues la torsion non uniforme, sans tre gne, sont dintensit modre et peuvent trengliges dans les calculs.

Par contre, dans lespoutres dont la section est un profil mince ouvert ou ferm, la torsion non uniformeou la torsion gne engendrent des contraintes normales dont lintensit est loin dtre ngligeable car leprincipe de St Venant ne leur est pas toujours applicable.

2.2-Proprits gnrales des contraintes de cisaillement dues la torsion pure,

libre et uniforme

2.2.1-Conditions de bord

Les contraintes de cisaillement dues la torsion possdent, au voisinage du contour des sections, lesmmes proprits que celles dues leffort tranchant : elles sont tangentes au contour si celui-ci nest

pas anguleux et nulles dans le cas contraire.

2.2.2-Analogie de la membrane

La distribution des contraintes de cisaillement dues la torsion dans une section quelconque ne se prtepas une formulation analytique simple. Nous pouvons avoir recours une analogie pour rsoudre le

problme. En effet, quelle que soit la forme de la section tudie, le problme de la torsion dune poutrese ramne la mme quation diffrentielle que le problme de lquilibre dune membrane tendue surun contour identique et charge par une pression uniforme.

x = (y,z) = quation de la dforme de la membrane sous une pression uniforme p

V = volume entre la membrane dforme et le plan de la section

T = moment de torsion

xy, xzcomposantes de la contrainte de cisaillement au point courant de la section.

Lanalogie de la membrane permet dtablir les correspondances suivantes :

T2V xy /z xz- /y


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Autrement dit, il y a correspondance entre la valeur de la contrainte en un point et la pente de lamembrane dforme en ce mme point.

Thorme :

Considrons une section de poutre soumise au couple de torsion T induisant des contraintes de

cisaillement de composantes xy, xzdans un repre orthonorm Oyz direct. Il est clair que :

T = S(yxz-zxy)dy dz

On peut dmontre que :

Syxzdy dz = - Szxydy dz = T/2

2.3-Torsion pure des poutres section pleine Inertie de torsion

2.3.1-Dformation dune poutre droite section pleine en Torsion pure

On considre une poutre droite section pleine et fibres parallles soumise une sollicitation de torsion

pure uniforme.

Les sections subissent en gnral, du fait de cette sollicitation, un gauchissement (elles ne restent pasplanes). Par ailleurs, le dplacement relatif de deux sections voisines est une rotation autour dun axelongitudinal dont la trace, dans le plan des sections droites est appel centre de torsion.

Nous pouvons crire : d/dx = -T/(GK)

Avec K linertie de torsion(constante ayant pour units [m4])

Le produit GK est galement appel rigidit de torsion


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2.3.2-Cas particulier des sections circulaires

Considrons une section quelconque dune poutre section pleine circulaire de rayon R, soumise un

moment de torsion T uniforme. On peut dmontrer que, dans ce cas particulier, la section ne connataucun gauchissement: les sections planes restent planes ; elles ne font que tourner les unes par rapportaux autres autour de laxe de symtrie du cylindre.

Les contraintes de cisaillement engendres par la torsion sont toujours perpendiculaires au rayon ettelles que :

(r)= T r / K

Avec K le moment dinertie polaire (ou inertie de torsion) :

K = R4/ 2

Par ailleurs la contrainte maximale se produit sur les contours de la section et vaut :

max= (R) = T R/K = 2T/(R3)

La dformation engendre par la torsion est une rotation relative des sections infiniment voisines, devaleur :

d/dx = -(r)/(G r)

Avec G = E / (2(1+)) le module de glissement

La rotation totale dune poutre de longueur L et section circulaire pleine, encastre une extrmit, en

torsion pure et uniforme, vaudrait donc = - T L /(G K)


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2.3.3-Gauchissement des sections pleines d la Torsion

Dans le cas gnral, la torsion induit, dans les poutres section non circulaire, un gauchissement des

sections droites. Ce gauchissement est schmatis ci-dessous pour une poutre section rectangulairesoumise la torsion pure libre.

2.3.4-Cas particulier des sections rectangulaires

On peut dduire, par lanalogie de la membrane, que les contraintes de cisaillement sont nulles auvoisinage des angles et maximales au milieu des grand cts.

A= max= T/(ab) B= max K = ab3


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2.3.5-Cas particulier dune bande longue et mince

Si nous considrons une bande mince dpaisseur e (constante) et longueur L, et nous appliquons

lanalogie de la membrane, on peut sapercevoir que celle-ci aura une dformation cylindrique le longde la bande (en dehors des extrmits). Si nous tablissons, en premire approximation, que cettedforme de la membrane est parabolique, on dduit que la distribution des contraintes de cisaillementest linaire dans lpaisseur de la bande, et antisymtrique.

On peut dmontrer que :

max= 3T/(Le) K = Le3/3

2.3.6-Inertie de torsion dune section pleine compose dlments pleins

Considrons une section pleine compose dlments pleins, chacun ayant pour inertie de torsion Ki.

Si la section est indformable sous torsion pure, cest--dire, si la rotation de chaque lment pris

individuellement est gale celle des autres lments et gale celle de la section totale, alors linertiede torsion de la section globale est la somme des inerties de torsion de chacun de ses lments

K = Ki


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2.4-Torsion libre des profils minces ouverts

Dans une poutre parois minces ouverte les contraintes dues la torsion libre sont contenues dans leplan de la section (contraintes tangentes ou de cisaillement) et distribues linairement suivantlpaisseur des parois, en sannulant le long du contour moyen.

2.4.1-Inertie de torsion dun profil mince ouvert

On considre une poutre rsultant de lassemblage de voiles plans dpaisseur constante : sa sectiondroite est donc compose de n segments de longueur Liet paisseur ei.

Si la section est indformable sous torsion pure, cest--dire, si la rotation de chaque lment prisindividuellement est gale celle des autres lments et gale celle de la section totale, alors linertiede torsion de la section globale est la somme des inerties de torsion de chacun de ses lments

K = (Li ei3

/3)

En effet, chaque paroi reprend un moment de torsion Ti, de sorte que Ti= T,et comme la section estindformable par hypothse - d/dx = Ti/(GKi). On dduit :

- d/dx = T1/(GK1) = T2/(GK2) =.= Tn/(GKn) = Ti/(GKi) = T/(GK)

Dans ce cas :

i,max= T ei / K = 3Ti/(Liei)=-G ei d/dx

La plus forte contrainte tangente est donc obtenue sur les bords de llment le plus pais.

Exemple :

K = 4/3 b1 t13+ 1/3 b2 t2

3

Dans les ailes : 1,max= T e1 / K = 3T e1 / (4 b1 t13+ b2 t2

3)

Dans lme : 2,max= T e2 / K = 3T e2 / (4 b1 t13+ b2 t2

3)

Rotation de torsion : d/dx = -T/(GK) = 3T/[G(4 b1 t13+ b2 t2

3)]


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2.5-Torsion libre des profils minces ferms

Dans une poutre parois minces de section ferme, les contraintes dues la torsion libre sont contenues

dans le plan de la section droite et, en premire approximation, uniformment distribues dans

lpaisseur des parois. Le produit e de la contraintes de cisaillement par lpaisseur de la paroi estappel flux de cisaillement.

2.5.1-Torsion libre dun caisson ferm unicellulaire Inertie de torsion

Le flux de cisaillement se calcule comme :

= e = T/= T/(2A)

O T est le couple de torsion ; A laire dlimite par le contour moyen de la cellule.

Linertie de torsion scrit :

K = 4 A /(/)Pour une valuation plus prcise de linertie de torsion, il convient de tenir compte de la rigidit entorsion propre des parois (comme si elles formaient une section ouverte). Le complment correspondant

dinertie de torsion est gnralement ngligeable, sauf, ventuellement, dans le cas dune sectionunicellulaire avec ramifications ouvertes : on tient compte alors de linertie de torsion propre delensemble des lments de parois constituant la cellule ferme et ses ramifications.


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K

K K K


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2.5.2-Diffrences de comportement la torsion entre les profils minces ouverts et ferms

Lanalogie de la membrane permet de matrialiser facilement la diffrence de comportement la torsion

libre entre les profils minces ouverts et ferms :

Si lon dcoupe sur un support rigide une ouverture de la forme de la section tudier ; on colle unemembrane lastique sur cette ouverture et on souffle de lair par-dessous, on constante que :

Pour le profil ouvert, la membrane va prendre une forme parabolique dans le sens de

lpaisseur. Do une rpartition linaire et antisymtrique des contraintes .

Pour le profil ferm, llment de support isol par le dcoupage se soulve dune hauteur h

la manire dun couvercle. La dformation de la membrane est linaire. Do une rpartition

constante des contraintes dans lpaisseur, et comme h = e tan= constant (le couvercle est

horizontal) et la pente tanest lanalogue de , alors le flux est forcment constant aussi :

= e = constant


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En effet, dans une section mince ouverte soumise au couple de torsion T :

i,max section ouverte =T ei / K = T ei /(Li ei3/3)

Alors que le mme couple de torsion T appliqu sur la mme section, ferme cette fois-ci (unicellulaire),

engendre une contrainte :

i section ferme= T/(2Aei)

Nous allons voir dans lexercice n7 que la diffrence est importante : i,max section ouverte >> i section ferme

Profil mince ouvert

Dforme de la membrane : parabole danslpaisseur des parois

Diagramme de linaire antisymtrique

nulle sur la ligne mdiane du contour

Inertie de torsion faible: K = Li ei3/3

Plus grande dformabilit en torsion

Section plus cisaille T gal

Profil mince ferm

Dforme de la membrane : linaire dansl'paisseur des parois. La membrane sesoulve la manire d'un "couvercle"

Diagramme de uniforme

constante sur l'paisseur de chaque paroi;Flux constant sur toutes les parois de la

mme cellule: 1e1= 2e2= e =cst

Inertie de torsion forte:

K proportionnelle 4 A

Plus petite dformabilit en torsion

Section moins cisaille T gal


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Nota : il est bien vident que si une section ferme prsente des ramifications ouvertes, les contraintes dues la torsion dans ces ramifications rpondent aux caractristiques des parois des sections ouvertes.

2.6-Exercice n7

Exercice n7

Soit une section tubulaire ouverte de rayon R et paisseur e, face une autre section tubulaire fermede mmes rayon et paisseur.

R = 0.75 m

e = 0.04 m

T = 0.5 MNm

Comparez les comportements la torsion pure de ces deux sections

K

K K K


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3-Vrifications en Torsion et Tranchant/Torsion (EN1992-1-1 et EN1992-2)

3.1-Vrifications normatives en Torsion - Principe

LEurocode 2 ne traite explicitement que de la rsistance la torsion pure dun lment de section

pleine ou creuse, et nonce que la torsion gne peut tre nglige dans le cas des caissons et dessections pleines.

Par ailleurs, lEurocode 2 effectue la justification de la rsistance en torsion pure dans une sectionferme parois minces, partir de lquilibre avec le flux de cisaillement exerc. Le cas dune sectionpleine est trait en lassimilant une section creuse parois minces quivalente.

Chaque paroi de section est alors vrifie sparment, selon le principe dun treillis rsistant leffort

tranchant qui lui est appliqu.

Nous devons donc adopter des paisseurs pour les parois. Dans le cas dune section creuse lespaisseurs de calcul tef,isont les paisseurs relles. Dans le cas dune section pleine, on dtermine despaisseurs fictives reprsentant la section creuse quivalente. L'paisseur des parois tef,i est alorssuppose constante.

tef,i= A/u en gnral

A est l'aire totale de la section dlimite par le primtre extrieur, partie creuse comprise

u est le primtre extrieur de la section

tef,idoit tre suprieure deux fois la distance entre le parement extrieur et l'axe des armatureslongitudinales.

Le flux de cisaillement en torsion pure est donn par :

T,itef,i= TEd/ (2 Ak)

O: TEdest le moment de torsion agissant de calcul

T,iest la contrainte tangente de torsion dans la paroi i


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Akest l'aire intrieure au feuillet moyen des parois, partie creuse comprise

La sollicitation tangente VEd,idans une paroi i du fait de la torsion est donne par le produit du flux parla longueur de la paroi en question:

VEd,i= T,itef,izi

O zi est la longueur de la paroi i, dfinie par la distance entre points d'intersection des paroisadjacentes.

Les justifications se font ensuite pour chacune des parois, de la mme manire que pour l'efforttranchant.

3.2-Cumul Tranchant/Torsion

A condition davoir lentretoisement et raidissage suffisant pour assurer l'indformabilit des sectionstransversales, on traite l'excentrement des charges Q et q de trafic en les modlisant par des charges Qet q centres et des charges de torsion (MQconcentr et mqrparti). La figure ci-dessous prsente cette

dcomposition. Le point C est le centre de cisaillement de la section transversale.

Les actions horizontales excentres (comme le vent transversal par exemple) sont traiter de la mmefaon.

Dans tous les cas, les effets de la torsion et de l'effort tranchant peuvent tre cumuls en prenant unemme valeur pour l'inclinaison des bielles. Les valeurs limites sont celles dfinies pour l'efforttranchant.

Dans le cas des caissons, il convient de vrifier chaque paroi sparment en tenant compte du cumulalgbrique des cisaillements de tranchant et de torsion.

Dans le cas de sections pleines, le cumul tranchant-torsion ne peut plus se faire simplement par cumuldes cisaillements correspondants comme prsent ci-dessus. Le cisaillement de tranchant s'exerce eneffet sur toute la largeur de l'lment, alors que le cisaillement de torsion s'exerce sur les parois de lasection creuse quivalente. Il est alors ncessaire de revenir aux sollicitations de tranchant et de torsionpour effectuer la vrification, comme prsent ci-dessous.

A Torsion

B - Effort tranchant

C - Combinaison


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3.3-Vrification de la rsistance la torsion combine au tranchant

3.3.1-Vrification de la rsistance en compression des bielles

La mthode de vrification de la rsistance des bielles de bton des lments soumis aux sollicitationsdeffort tranchant et de torsion distingue les sections pleines des sections creuses.

Pour les sections pleines, il convient de vrifier :

TEd/ TRd,max+ VEd/ VRd,max 1

O :

TEdest le moment de torsion agissant de calcul

VEdest l'effort tranchant agissant de calcul

TRd,maxest le moment de torsion rsistant de calcul donn par :

TRd,max= 2 cwfcdAktef,isincos

Avec donn en [EC2-1-1 6.2.2(6)] et cwpar la note 3 de l'expression (6.9) de lEC2-1-1,comme nous lavions vu lors de la prcdente sance sur le Tranchant.

VRd,maxest la valeur maximale de l'effort tranchant rsistant de calcul. Il sagit de la valeur ci-dessous (pour des armatures transversales perpendiculaires fibre moyenne), comme dj vu

lors de la prcdente sance sur le Tranchant :

On est dans le cas de sections pleines, et la largeur complte de l'me peut tre utilise pourdterminer VRd,max.

Pour les caissons :

Il convient de vrifier sparment chaque paroi pour les effets combins de la torsion et del'effort tranchant concomitant s'il existe, appliqus la paroi. Il faut donc que pour chaque paroila somme des sollicitations tangentes de torsion et de tranchant reste infrieure l'efforttranchant rsistant de calcul de la paroi, soit :

VEd,i(T)+ VEd,i(V)< VRd,max,i

Avec :VEd,i(T)= T,itef,izi: sollicitation tangente dans la paroi i due la torsion.

VEd,i(V): part de leffort tranchant total sollicitant la paroi i

VRd,max,i : effort tranchant rsistant de la paroi i, soit la valeur ci-dessous (pour des armaturestransversales perpendiculaires fibre moyenne), comme dj vu lors de la prcdente sance surle Tranchant

On est dans le cas de sections creuses, et la largeur utiliser pour dterminer VRd,max,i est

naturellement lpaisseur de la paroi i.


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Dans le cas des caissons on peut formuler la vrification en fonction des contraintes de

cisaillement :T,i+ V,i Rd,max,i

O T,iet V,isont respectivement les contraintes de cisaillement de torsion et de tranchant dansla paroi i et Rd,max,ila contrainte de cisaillement limite admissible.

Contrainte de cisaillement de torsion : T,i = TEd/(2Aktef,i)

La contrainte de cisaillement de tranchant, issue de l'effort tranchant trouv dans le treillisconstitu par chaque paroi, est obtenue daprs lEurocode en divisant cet effort tranchant par la

section de la paroi (tef,i zi). Il sagit donc une contrainte de cisaillement moyenne. Si onconduit le critre avec la contrainte de cisaillement maximale dans la paroi (que nous savons

calculer depuis la sance prcdente) cela devrait nous placer du ct de la scurit.

La contrainte de cisaillement limite admissible sexprime, dans le cas darmatures

perpendiculaires la fibre moyenne, comme suit : Rd,max= cw1fcdz/zisin(2)/2

Nota : ne confondons pas z = bras de levier du couple lastique de la paroi, avec zilongueur dela paroi.

3.3.2-Armatures transversales

Selon [EC2-1-1 9.2.3(1)], les armatures de reprise des cisaillements de torsion doivent treperpendiculaires la fibre moyenne de l'lment structural ; Il est donc conseill de garder cette

disposition dans le cas du cumul de cisaillements de torsion et de tranchant.

L'effort sollicitant cumul doit tre quilibr par l'effort rsistant VRd,s apport par les armatures. La

section d'armatures dans la paroi i est ainsi donne par :

Asw,i/s = (VEd,i(V)+ VEd,i(T))/(z fywdcotg)

Les cadres de torsion doivent tre ferms et correctement ancrs :

On peut formuler la vrification en fonction des contraintes de cisaillement. Dans ce cas on divisera lesefforts tranchants dans chaque paroi par tef,i zipour faire apparatre les cisaillements moyens dans

l'expression prcdente, soit :

Asw,i/s = (V,i + T,i) tef,i zi/(z fywd cotg)

Nota : ne confondons pas z = bras de levier du couple lastique de la paroi, avec zilongueur de la paroi.


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3.3.3-Armatures longitudinales

Elles s'obtiennent partir de l'expression :

Aslfyd/ uk= TEdcotg/ (2Ak)

O:

uk est le primtre de la surface Ak

fyd est la limite d'lasticit de calcul des armatures longitudinales Asl

est l'angle des bielles de compression

Dans les membrures comprimes, les armatures longitudinales peuvent tre rduites en proportion de

l'effort de compression prsent dans la membrure.

Dans les membrures tendues, il convient d'ajouter les armatures longitudinales de torsion aux autresarmatures, calcules pour un mme cas de charge.

Il convient gnralement de rpartir les armatures longitudinales sur la longueur de paroi zi

3.4-Exercice n8

z

Exercice n8 (Suite des Exercices n4 et n5)

Soit un tablier de pont caisson soumis un effort tranchant vertical concomitant un moment de torsion

B

B = 12.75 m

es G b = 5.9 my ea h h = 3.2 m

ei es = 0.25 m

ea = 0.3 m

b ei = 0.25 m

Gz est axe de symtrie de la section.

Vz = VEd = 9 MN

Nconc = 40 MN

Effort de torsion concomitant TEd = 1.8 MNm

Vrifiez la section sous le cumul Tranchant/Torsion. Calculez les armatures ncessaires


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4-Torsion non uniforme ou gne

4.1- Torsion non uniforme ou gne des poutres parois minces, de section ouverte

4.1.1-Fonction de gauchissement de la section transversale

Sous leffet de la torsion, toutes les poutres parois minces subissent un gauchissement.

Cela signifie que leurs sections droites ne restent pas planes : un point quelconque dabscisse curvilignetransversale s appartenant la section dabscisse x se dplace longitudinalement :

La fonction reprsentative de ce dplacement est ce que lon appelle la fonction de gauchissement

w(x,s), qui a pour expression :

w(x,s) = -C(s) d/dx

O :

C(s) est laire sectorielle de ple C, centre de torsion (encore appele aire sectorielleprincipale); le centre de torsion est confondu avec le centre de flexion

(x) est langle de rotation des sections autour de laxe longitudinal Cx

Les contraintes normales dues la torsion non uniforme ou gne (comptes positivement encompression) scrivent :

(x,s) = E C(s) d/dx


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4.1.2-Contraintes de cisaillement secondaires

Les contraintes de cisaillement secondaires sont dues lapparition des contraintes normales,

consquence du gauchissement non uniforme.

Elles sont uniformment distribues dans lpaisseur des parois de la poutre et leur flux a pour

expression :

= e = -* = - E d3/dx3*Ce dsO *est la portion de contour moyen de la section comprise entre une extrmit libre et le point de lasection o on calcule le flux en question.

4.1.3-Equation diffrentielle de torsion non uniforme ou gne

Lquation diffrentielle de torsion non uniforme ou gne scrit :

E Id3/dx3 GK d/dx = T

O :

est le moment dinertie sectorielle : I= Ce ds (il est calcul partir de laire sectorielleprincipale Cet se mesure en m

6)

Cest laire sectorielle principale

K est linertie de torsion de St Venant (torsion pure)

Le couple de torsion agissant T est quilibr la fois par des contraintes de cisaillement rparties

antisymtriquement dans lpaisseur des parois et par des contraintes de cisaillement uniformmentrparties dans la dite paisseur. Les premires quilibrent la fraction T1de T, les secondes quilibrent la

fraction T2de T. Evidemment T1+T2= T :

T1= -GK d/dx T2 = E Id3/dx

3

Torsion de St Venant (torsion pure) Torsion gne


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Lquation diffrentielle de torsion non uniforme ou gne a comme solution une expression en sinus et

cosinus hyperboliques. Pour rsoudre lquation, on pose :

= GK/(E I)

Do (x) = A + B chx + C shx + 1/(GK)

[

(

)

1]

(

)

0

Les constantes dintgration sont dtermines en exprimant les conditions aux limites :

Rotation empche : = 0

Gauchissement libre : ''= 0 (carproportionnel '')

Gauchissement empch : '= 0 (carwproportionnel ')

4.1.4-Bimoment

Le bimoment est une grandeur auto-quilibre, exprimable en MNm, qui ne peut tre dtermine laide des quations de la statique. Son expression est :

B= Ce ds = E Id/dx

La dfinition du bimoment permet de donner lexpression la plus gnrale des contraintes normales dansune section :

(y,z) = N/S + z My/Iy y Mz/Iz+ C(s)B/ I


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4.2-Exercice n9 : Torsion gne dans un tablier de pont

z

Exercice n9 (Suite des Exercices n3 et n6)

Soit un tablier de pont deux poutres

B L = 50 mB = 15 m

es b = 8.4 m

y G ea h h = 2.775 m

es = 0.45 m

ea = 0.95 m

b E = 40000 Mpa

= 0.15

q = 0.01 MN/m

Gz est axe de symtrie de la section. d = b/2 = 4.2 m

G = 17391 MPa

La trave est simplement appuye en flexion,et encastre en torsion aux extrmits

On suppose qu'il existe un entretoisement suffisant pour

rendre la section transversale indformable

On suppose que cet entretoisement n'empche pas

le libre gauchissement aux extrmits

Recherchez l'expression du couple de torsion T(x)

Donnez le Moment d'inertie de torsion pure (ou de St Venant)

Calculez l'angle de rotation x=L/2 (en hypothse de torsion pure)

Calculez le moment principal d'inertie sectorielle I

Trouvez la solution de l'quation diffrentielle de la torsion non uniforme et gne; quelle est

dans ce cas la rotation du tablier en x = L/2

Donnez l'expression du Bimoment le long de la poutre


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4.2-Exercice n10 : variante de lexercice n9

4.3- Torsion non uniforme ou gne des poutres parois minces, de section ferme

Ce sujet dpasse le cadre de ce cours mais lon pourra trouver toutes les informations dans labibliographie dtaille au chapitre 5.

z

Exercice n10 (variante de l'Exercice n9)

Soit un tablier de pont deux poutres B L = 50 m

B = 15 m

es b = 8.4 m

y G ea h h = 2.775 m

es = 0.45 m

ea = 0.95 m

b E = 40000 Mpa

= 0.15

q = 0.01 MN/m

Gz est axe de symtrie de la section. d = b/2 = 4.2 m

G = 17391 MPa

Soit le mme ennonc de l'Exercice n9 mais avec uniquement une des deux charges q

comme reprsent ci-dessus

Resolvez l'exercice de faon analogue au n9


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5-Bibliographie

Projet et construction des ponts Analyse structurale des tabliers de ponts (J.A Calgaro)

Poutres parois minces Etude du cisaillement (J.A Calgaro)

Eurocode 2 Application aux ponts-routes en bton - Guide mthodologique (SETRA)

EN 1992-1-1 et son Annexe Nationale

EN 1992-2 et son Annexe Nationale

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