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CHAP I - LE COURANT ELECTRIQUED'OHM

1. Vecteur densit de courant. Icourant.considrons des charges en mouv

un conducteur.Dsignons par v

leur vitesse moyinstant t et en un point P du condudensit volumique de ces charges mob

La quantit d'lectricit dq qui traverselmentaire dS dfinie autour de P,temps dt, est contenue dans le cylind

dS et de gnratrices dtv

: dq m

Le vecteur vi m


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La quantit dSnidtdqdI

/ e

du courant qui traverse la section dSune surface S non ferme l

conducteur on a : S dSniI

Dans un conducteur mtallique sens du courant est linverse ddplacement des lectrons.

2. Loi d'Ohm.

si les charges sont en mouvemenexiste dans le conducteur u

lectrostatique . En dsignant conductivit du conducteur, la loi dscrit:

Ei

En appliquant la relation prcd

portion de conducteur de rsistancd'Ohm s'crit :


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3. Rsistance des conducteurs.

La rsistance d'un conducteur est fsa conductivit et de sa forme gomtrPour un conducteur cylindrique de

de longueur l :

S

lR

1

SlR

Elle varie aussi avec la temprature t 1

0 0

: rsistivit 0 C : coefficient de tempraturet : temprature en C

Association des rsistances.

En srie : i iRR ; en parallle : i iRR /11 .

4. Units.L'unit d'intensit est I'ampre (A)

du vecteur densit de courant s'


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CHAP II - ENERGIE ELECTROCIN

1. Loi de Joule.

Dans un conducteur, la puissansous forme de chaleur, lintrieur d

lmentaire dV, est donne par la sous forme locale :

2

2 iE

dV

dP

La loi de Joule pour une portion dede rsistance R s'crit :

2IRIUP

- 21 VVU : diffrence de potentiel ade la rsistance.

- La puissance s'exprime en watts (W)i t I A


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2. Gnrateur - Rcepteur.

Un gnrateur de force Iectromrsistance interne ngligeable et travcourant d'intensit I, fournit au circuit epuissance lectrique gale :

IEP

Un rcepteur de force contre-lectr

parcouru par un courant d'intensit I, apuissance P telle que :

IEP

Les grandeurs E et E' s'expriment en v

3. Loi d'Ohm gnralise.

Entre deux points A et B d'un circuitrouvent placs des gnrateurs et desl l i d'Oh li ' i


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Lexpressionci-dessus est gnraledadapter les conventions suivantes:

- I est positif si le courant circule dengatif dans le cas contraire.

- E a le signe de la borne par laquellegnrateur quand on va de A vers B.

- E' a le signe de I.


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CHAP III - Les rgimes perm

sinusodaux

1. Grandeur sinusodale du temps.

Cest un signal de laforme Ax m cos tAx m sin

est la pulsation en radian p

(rad/s).t+ est la phase instantane et

lorigine des temps.

La priode du signal dfinie par x(t+TT = 2/. La frquence est f = 1/T.

2. Valeur moyenne, valeur efficace.

Pour un signal x(t) priodique de pdfinit


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la valeur

dttxT

txX Teff 022 1

Pour un signal sinusodal, la valeur m

nulle et la valeur efficace vaut :2

mA

.3. Vecteur tournant, vecteur de Fresne

Dans le plan Oxy, on considre un v

de norme mA tournant la vitesse alangle (t) valant t+.On obtient ainsi un vecteur tournaprojection sur laxe Ox fournit

sinusodale tAx m cos et celvibration tAx m sin .


9/50

On peut galement figer cette reprschoisissant t=0.On obtient alors un point Mo fixe et

0OM qui ne tourne plus : cest le Fresnel associ la grandeur

tAx m cos ou tAx m sin

4. Grandeur complexe.

Le vecteur de Fresnel a pour affixecomplexe X = a + jb dont le mod

A


10/50

5. Diples passifs en rgime sinusoda

Soit un diple passif utilis en rcepteur parcouru par un

tIti eff cos2 pris en rfrence

prsentant une ddp Utu eff cos2ses bornes.

A ces deux grandeurs instantanes, oncomplexes I et U :

eff

j

eff IeII 0

et effUU


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Rsistance Z=R |Z|=R ABobinedinductance L

Z=jL |Z|=L A

Condensateurde capacit C

Z=1/jC |Z|=1/C A

Dans le cas dun diple passif quelconqlimpdance

Z = R + j X

et ladmittanceY = 1/Z = G + j B

R : est la rsistance

X : est la ractanceG : est la conductanceB : est la susceptance.

Remarque : G nest pas linverse de R.

6. Les puissances.


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A B

i(t) Z

u(t)

A B

i(t) Z

u(t)La puissance instantane p(t) reue p

est : titutp

La puissance moyenne reue scrit

titutpP

Dans le cas dun rgime sinusodal, eni(t) en rfrence de phase, on a

tIti eff cos2 tUtu eff cos2

Soit


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On peut alors scinder p(t) en deux part

fpPtp

aveccos effeff IUP tIUp effefff 2cos

P est la puissance moyenne apppuissance active Pa, et pf reprsente fluctuante, fonction du temps et de la p

cos effeffa IUPP

La puissance ractive Pr est dfinie pasin effeffr IUP

Remarquons que la puissance active aun condensateur est nulle de mmconsomme par une bobine puisque le premier cas et =/2 dans le s


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CHAP IV - Rseaux lina

I - Dfinition :

Un rseau est dit linaire quand il relation linaire entre lintensit qui

circuit et Ia diffrence de potentiel applUn lment linaire prsente une indpendante de lintensit du coutraverse.

IIDiviseur de tension, diviseur de cou

1) Diviseur de tension

CACAB UUU

IZIZE21

IZV 22

EZZ

ZV

21

2

2

Z


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2) Diviseur de courant

IZIZUAB 211

IZZ

ZI21

21

et

IZZ

ZI

21

1

2

IIThorme de superposition

Soit un rseau linaire qui renferm

gnrateurs. Le courant qui traverse uquelconque est la somme des cofournirait chacun des gnrateurisolment, les autres gnrateurs tan

par leur impdance quivalentes.

Exercice 1 :Calculer le


16/50

IIIThorme de Thvenin

Ce thorme a pour but de reprsenterpartie dun rseau actif linaire sous la simplifie dun gnrateur de tension q

1) Thorme :

Un rseau linaire actif vu de deux

sortie quelconque A et B peut tre remgnrateur de tension idal ETh en simpdance ZTh :

- la source idale ETh reprsenlectromotrice du rseau, vue des B,li d ZTh t li


17/50

Dans le cas o la charge est une imtension aux bornes est donne par ladiviseur de tension.

2) Application : si on branche une rentre les points A et B, Ie courant qu

est gal : RZE

ITH

TH

R

3) Exercice 2 : dterminer l'aide du tThvenin le courant qui traverse la rslexercice 1.

IVThorme de Norton

Il permet de remplacer le rseau ci-degnrateur de courant quelconque.


18/50

Tout circuit actif linaire possdant deusortie A et B peut tre remplac par unde courant idal I en parallleadmittance.

La valeur du gnrateur de courant e

courant mesur lorsque les sorties Acourt-circuites.

La valeur de ladmittance est gale

interne vue des points A et B lorsque passives les sources contenues dan(voir Thvenin).

Remarque : IN = courant dans la branccourt-circuit.

Dans le cas o la charge est une adcourant dans cette admittance est dondes diviseurs de courant :

CHYII


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Les thormes de Norton et de Thvenquivalents.

NNTH ZIE et THN EI

NTH ZZ et N Z

2) Exercice 3 : Calculer Ie courant qursistance R de lexercice 1 en athorme de Norton.


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V - Thorme de Kennely (transformtriangle)

Le circuit enest quivalent au rseau

A

AZ

Z

A

BZ

Z

A

CZ

Z

C

CBCABA

ABZ

ZZZZZZZ

A

CBCABA

BCZ

ZZZZZZZ

B

CBCABAAC

ZZZZZZZZ


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VI - Calcul dun rseau :

1) Lois de Kirchoff :

a) Loi des noeuds : La somme algcourants relatifs un noeud est nulle :

i > 0 pour les courants qui se dirignud;i < 0 dans le cas contraire.

b) Loi des mailles : la somme algtensions le long de toute maille ferme

2 ) Mthode des mailles indpendantesSoit un circuit qui comporte un nobranches, un nombre n de noeudcalculer toutes les variables de ce cirnombre dquations m tel que :

m = bn + 1


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Exemple :

Ecrivons les lois de Kirchoff dans les tr

313111

IIZIZE

325222 IIZIZE

3423536313

0 IZIIZIZIIZ

331311 IZIZZE

352522 IZIZZE

365432513

0 IZZZZIZIZ

0

0

2

1

552

331

I

I

I

ZZZZZZ

ZZZ

ZZZ


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De cet exemple, on dduit :

Les impdances Zmm de la maille m sla somme des impdances de cette impdances Zmn., sont les communes aux deux mailles m et n

affectes du signe + si les courants sosens, sinon du signe -. Les impdanZnm sont gales.La tension Vm est la somme

lectromotrices appartenant la maisont affectes du signe + si elles ont leque le courant Im, sinon du signe -.

Exercice 5 : calculer en appliquant la mmailles le courant qui traverse la rsislexercice 1.

3) Mthode des Noeuds :


24/50

Avec l'exemple prcdent, on appelle Les potentiels aux diffrents noeuds e

potentiel de rfrence au noeugnrateurs de tension sont remplacgnrateurs de courant quivalents (TNorton), on remplace Les impdance

admittance Y = 1/ Z,

Ecrivons la loi des noeuds.

21413111 VVYVYYYE

325212422 VVYYVVYYE

36235222 VYVVYYYE

24143111 VYVYYYYE 35225421422

VYYVYYYVYYE

365225222 VYYYVYYYE

3

2

1

65252

525424

4431

0

0

V

V

V

YYYYY

YYYYYY

YYYY


25/50

Ladmittance Ymm est gale la admittances qui aboutissent au Ladmittance Ymn, est ladmittance signe qui joint les nouds m et n. Les Ymn et Ynm sont gales.

Le courant Im est la somme des incourant des gnrateurs de caboutissent au noeud m. elles sont asigne + si les gnrateurs d

correspondants sont dirigs vers le ndu signe -.

Exercice 6 : Calculer le courant quirsistance R de lexercice 1 en amthode des noeuds.

Remarque : on constatera que cette mla plus rapide pour cet exercice, car

deux noeuds dans le circuit (dont 1 serfrence).


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VII - Thorme de MillMann

Ce thorme, qui n'est rien d'autre qunuds, permet d'effectuer des calculs

en simplifiant considrablement dinconnues dans la mise en quation dGrce ce thorme, il est possible dpotentiel dun point en lequel concoure

branches modlises par leur qThvenin.

Ecrivons que la somme des courants

chaque branche est nulle1

n

i i

iAB

Z

EU

n

iE

n

ii EY


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VIII - Thorme de rciprocit (MAXW

Dans un rseau linaire sourcerapport de La grandeur dentre (excgrandeur de sortie (rponse) est consque soient Les positions respectives d

d'excitation et de lendroit o lon rponse.Soit Ir Ie courant circulant dans la maillcrire :

s

Z

rrr

Z

r

Z

rr VVVVI

2

2

1

1

avecZ dterminant matrice impdanc

Si Le rseau ne comporte que La sourcvient :

Z

sr

sr VI

do srZs Ztr

I

V


28/50

En intervertissant les sources, il faut v

avec

Z

rs

rs VI

Is est le courant circulant dans la brancest la source

do: rsrs

Z

s

r ZtrI

V

rs

Ztr

estlimpdance de transfert entreet la maille s.

Or, dans un rseau linaire passifimpdance est symtrique par radiagonale principale et les cofacteurssont gaux.

Donc le courant dans la maille r d

tension place dans la maille s est icourant dans la maille s Lorsque la mde tension est situe dans la maille r.


29/50

Ce thorme continue sappliquer dales rseaux contiennent une source de

La tension entre les extrmits M et N due une somme de courant placpoints A et B de ce rseau est la mtension mesure entre les points A et

mme source de courant est placextrmits M et N.

D l t ti l d l


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CHAP IV - Les quadrip

1 - Dfinition :

Un quadriple Q est un rseau qui c

avec lextrieur par deux paires Lentre sera le cot o sont apsignaux.

Comme pour les diples, on ne sintrelinaires c d composs dlmen(sources et diples passifs). On pourles Q passifs, actifs, ractifs, symsuppose que les sources sont ligrandeurs internes).


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3- Paramtres d'un quadriple

Ce sont des fonctions des lments dqui permettent dexprimer les relationgrandeurs dentre et de sortie. Chaqpeut tre exprime en fonction de de

autres grandeurs. Soit six groupes de p

3.1- paramtres chane

Ce sont les grandeurs qui vrifient linaires :

221 IBVAV

221 IDVCI

Ou sous forme matricielle

2

2

2

2

1

1

I

Va

I

V

DC

BA

I

V

a est la matrice chane directe du qua

3 2- paramtres chane inverse ia


32/50

3.3- paramtres impdance

2

1

2

1

2221

1211

2

1

I

IZ

I

I

ZZ

ZZ

V

V

3.4- paramtres admittance

2

1

2

1

2221

1211

2

1

V

VY

V

V

YY

YY

I

I

3.5- paramtres hybrides

2

1

2

1

2221

1211

2

1

V

Ih

V

I

hh

hh

I

V

3.6- paramtres hybrides inverse

2

1

2

1

2221

1211

2

1

I

Vg

I

V

gg

gg

V

I

On voit immdiatement que 1 hg

4- Dtermination des paramtres


33/50

01

1

11

2

VI

Vh soit la sortie court-circ

01

2

21

2

VI

Ih soit la sortie court-circ

02

1

12

1

IV

Vh soit lentecircuit-ou

02

2

22

1

IV

Ih soit lentecircuit-ou

Remarque :Toutes les relations linair

avons utilises concernent le mme qest donc possible dexprimer un paramtres en fonction des paramtregroupe.

Par exemple : passage des paramparamtres Z

(1)2121111 VhIhV

et121111 IZIZV

(2) 2221212 VhIhI 221212 ZIZV (2) => 2212122 / hIhIV (1) => / hIhIhIhV


34/50

On peut refaire ce calcul pour tousgroupes de paramtres (ta

correspondance).

5- Quadriples passifs

Les quadriples passifs constitueparticulier de rseaux passifs, le thrciprocit sapplique. Ceci se tradrelation supplmentaire entre les

ncessaires pour dfinir un Q passif.

Exemples

5.1- paramtre chane


35/50

On a221

IBVAV 21 0 IBEAV EAI 2

221 IDVCI 21 IDECI CI 1

E

B

DACBI

1 Plaons maintenant la source E lent

221 IBVAV 21 IBEV BEI /2 221

IDVCI 21 IDI BEDI /1

B

EI 2

Thorme de rciprocit : i1 = i2

B

EE

B

DACB

1 CBDA


36/50

5.2- deuxime exemple paramtre hyb

2121111 VhIhV EhIhV 121111 0 11 hI

2221212 VhIhI EhIhI 221212 hI 212

E

h

hI

11

12

1


37/50

Eh

hI

11

21

2

Thorme de rciprocit : i1 = i2E

h

hE

h

h

11

21

11

12

Il vient 1221 hh Pour les autres paramtres, on peut m

2112 ZZ 2112 YY et

6- Quadriples symtriques (passifs)

On obtient dans ce cas unsupplmentaire en crivant que les des quations ne changent pas lorsqu

les grandeurs dentre et de sortie.Soit, par exemple :

2121111 IZIZV 1122112 IZIZV

2221212 IZIZV 1222211 IZIZV

On a la relation supplmentaire :2211

ZZ


38/50

7- Association de Quadriples

7.1- Association en chane ou en casca

11 VVT 12 VV 11

IIT 12 II

2

2

2

2

1

1

I

Va

I

V

DC

BA

I

V

;

1

1

DC

BA

I

V

T

T

T

T

I

Vaa

I

V

DC

BA

DC

BA

I

V

2

2

2

2

1

1

aaaT


39/50

7.2- Association en srie

111 VVVT 111 IIIT

222 VVVT 222 III T

T

T

T

T

I

IZZ

I

IZ

I

IZ

V

V

V

V

V

V

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1


40/50

7.3- Association en parallle

111 IIIT 111 VVVT

222 III T 222 VVVT

T

T

T

T

V

VYY

V

VY

V

VY

I

I

I

I

I

I

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1


41/50

7.4 - Association srie parallle

111 VVVT 111 IIIT

222 III T 222 VVVT

T

T

T

T

V

IHH

V

IH

V

IH

I

V

I

V

I

V

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

7 5 A i ti lll i


42/50

7.5 - Association paralllesrie

111 IIIT 111 VVVT

222 VVVT 222 III T

T

T

T

T

V

VGG

I

VG

I

VG

V

I

V

I

V

I

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

8 G i d d i l


43/50

8 - Gain dun quadriple

Le quadriple est associ un dimpdance interne Zg et chargimpdance ZCH

On dfinit le gain en tension :1

2

VVGV

On dfinit le gain en courant :1

2

I

IGi

On dfinit le gain en puissance :1

2

P

PGp

8.1Calcul du gain en tension en foncparamtres h

2121111

1 VhIhV

E t t l t I1 d


44/50

En rapportant le courant I1 donn pa 2 dans la premire quation, on a :

CH

CHV

Zhh

Zh

V

VG

11

21

1

2

8.2Calcul du gain en courant

2121111

1 VhIhV

22212122 VhIhI 2212122 IZhIhI Ch

22

3 IZV Ch

De lquation (2) on tire le gain en cou

Ch

iZh

h

I

IG

22

21

1

2

1

9Impdance dentre du quadriple

2121111

1 VhIhV

O l l i d V2 d l


45/50

On remplace lexpression de V2 de ldans lquation 1 et on trouve dentredu quadriple :

CH

CH

eZh

Zhh

I

VZ

22

11

1

1

1

10-Impdance de sortie du quadriple

2121111

1 VhIhV 21211111 VhIhIZG

112121 /1 hZVhI G

2221212

2 VhIhI

11

3 VIZE GG 1103 VIZE GG 3

En injectant lquation 1 dans lquattrouve limpdance de sortie du quadrip

G

G

E

sZhh

Zh

I

VZ

G

22

11

02

2


46/50

1 2

3 4

2121111 IZIZV

221212 ZIZV

22 IZV Ch 11

VIZE gg

2121111 VYVYI

2221212 VYVYI

22 IZV Ch

11 VIZE gg

121111 VhIhV

221212 hIhI

22 IZV Ch 1 VIZE gg

VG

Ch

Ch

ZZZ

ZZ

11

21 Ch

Ch

ZY

ZY

22

21

1

Ch

Ch

Zhh

Zh

11

21

iG

ChZZ

Z

22

21 ChZYY

Y

11

21 ChZh

h

22

21

1

eZ

Ch

Ch

ZZ

ZZZ

22

11 Ch

Ch

ZYY

ZY

11

221

Ch

Ch

Zh

Zhh

22

11

1

SZ

g

g

ZZ

ZZZ

11

22

g

g

ZYY

ZY

22

111

g

g

Zhh

Zh

22

11

1

1

Z

2

Z

1

2

2

ZZ

Z

2

3

2

Z

Z

Z


47/50

22

21

12

11

Z

Z

Z

Z

22

21

12

11

Y

Y

Y

Y

22

21

12

11

h

h

h

h

D

C

B

A

Z

Z

Z

Z

Z1

1

1

0

1

1

0

1 Z

Z

Z

Z

Z

1

1

1

1

0

1

1

Z

1

01

Z

2

2

2

2

1

Z

Z

Z

Z

Z

2

2

1

1

1

1

1

1

Z

Z

Z

Z

2

1

1

1

1 Z

Z

1

2

2

2

1

Z

Z

Z

Z

2

1

1

1

1

Z

Z

Z

Z

Z

3

2

1

Z

Z

Z

Zi

2

2

2

2

1

2

1

1

1

1

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

2

1

2

1

1

2

1

1

2

1

2

1

1

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

1

1

1

2

11

ZZ

Z

Z

Z

()

i

i

i

i

ZZ

Z

Z

ZZ

Z

ZZ

Z

ZZ

Z

Z

2

1

3

3

1

3

1

3

2

1

3

2

3

2

2

2

2

1

2

1

1

1 Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

2

1

3

2

1

1

2

1

1

2

1

2

1

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

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