Conversions analogique - numérique et numérique - emse.fr dutertre/documents/cours_  · Principe

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Conception avances des circuits intgrs analogiques.Convertisseurs A/N et N/A

www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2009 1

Conversions analogique - numrique et numrique - a nalogique.

I. Introduction.

Le monde physique est par nature analogique (dans la quasi-totalit des cas). Il est peru via

des signaux analogiques (son, ondes visuelles, etc.) qui peuvent tre traits par des systmes

analogiques (cf. Fig. I.1).

x(t) Traitement analogique

y(t)

Fig. I.1 Traitement analogique.

Depuis une vingtaine dannes, le traitement numrique des donnes prend le pas sur les

approches purement analogiques. Le recours au numrique permet en effet un stockage ais

de linformation, une excellente reproductibilit des traitements, la possibilit de dvelopper

relativement aisment des fonctionnalits complexes, une rduction des cots de production,

etc.

Linterface ncessaire entre le monde analogique et un traitement numrique donn est ralis

par des convertisseurs analogique numrique (CAN, ou ADC pour Analog to Digital

Converter en anglais1) et numrique analogique (CNA, ou DAC pour Digital to Analog

Converter). Le rle dun CAN est de convertir un signal analogique en un signal numrique

pouvant tre trait par une logique numrique, et le rle dun CNA est de reconvertir le signal

numrique une fois trait en un signal analogique (cf. Fig. I.2).

x(t) CANN

x [k]Traitement numrique N

y [k]

CNA y(t)

Fig. I.2 Conversions et traitement numrique des donnes.

Les parties suivantes dcrivent les principes de conversion et les architectures des CAN

(partie II) et des CNA (partie III).

1 Ce cours utilise frquemment des termes et abrviations en langue anglaise, on les retrouve dans la documentation technique, les livres de rfrences et les publications scientifiques .

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II. Conversion analogique numrique.

II.1. Principe de la conversion analogique numrique.

Dfinition : Un convertisseur analogique numrique (CAN) est un dispositif lectronique

permettant la conversion dun signal analogique en un signal numrique.

Cette premire dfinition pour tre complte en appelle deux autres, celles des signaux

analogiques et numriques :

Signal analogique : signal continu en temps et en amplitude.

Signal numrique : signal chantillonn et quantifi, discret en temps et en amplitude.

Conceptuellement, la conversion analogique numrique peut tre divise en trois tapes :

lchantillonnage temporel, la quantification et le codage.

La figure II.1 prsente successivement ces trois tapes pour un CAN dont la sortie du signal

numrique est sur 3 bits :

t

va(t) 011 10

1

110

111

101

010

001

010

011

100

011

011

t

vech (k.Tech)

0 Tech

vq [k]

k0

( i ) ( ii ) ( iii )

Fig. II.1 (i) signal analogique (ii) signal chantillonn (iii) puis quantifi.

Un signal analogique, va(t) continu en temps et en amplitude (i) est chantillonn une

priode dchantillonnage constante Tech. On obtient alors un signal chantillonn

vech(k.Tech) discret en temps et continu en amplitude (ii). Ce dernier est ensuite quantifi, on

obtient alors un signal numrique vq[k] discret en temps et en amplitude (iii). La

quantification est lie la rsolution du CAN (son nombre de bits) ; dans lexemple

prcdent vq[k] peut prendre huit amplitudes diffrentes (soit 23, 3 tant le nombre de bits du

CAN). La figure II.1.iii prsente galement le code numrique sur trois bits (en code binaire

naturel) associ vq[k] en fonction du temps.

Les notions prcdentes seront approfondies dans les parties suivantes.

La figure II.2 prsente le symbole dun CAN N bits qui sera utilis dans la suite de ce cours.

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CAN

b1

va(t)b2

bN

vq [k]N bits

Fig. II.2 Convertisseur analogique numrique.

II.2. Aspects temporels et frquentiels de lchantillonnage.

Lobtention dun signal chantillonn xech(k.Tech) partir dun signal analogique x(t) peut tre

modlise mathmatiquement dans le domaine temporel par la multiplication de x(t) par un

peigne de Dirac de priode Tech (not Tech (t) ):

==k

echTechechech TkttxttxTkx ).().()().().(

Lchantillonnage est illustr graphiquement dans le domaine temporel aux points (i), (ii) et

(iii) de la figure II.3.

x(t)

t

xech (k.Tech)

0 Tech

X(f)

t f

ffech-fech fmax

Xech (f) x Tech

t f

Tech (t)

0

1

Tech

fech (f)

fech-fech 0

1 / Tech

fmax0

0

x *

( i )

convolution

domaine temporel domaine frquentiel

( ii )

( iii )

( iv )

( v )

( vi )

multiplication

Fig. II.3 Echantillonnage dun signal analogique.

Lchantillonnage peut galement tre dcris graphiquement dans le domaine frquentiel.

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Au signal analogique x(t), est associ dans le domaine frquentiel le spectre X(f) (cf.

Fig. II.3.iv) stendant sur une bande de frquence de fmax fmax.

Lon rappelle un certain nombre de rsultats dmontrs en cours danalyse de Fourier :

- Une multiplication dans le domaine temporel correspond un produit de convolution

dans le domaine spectral (et inversement),

- La transforme de Fourier dun peigne de Dirac temporel, de priode Tech, et

damplitude 1, est un peigne de Dirac dans le domaine frquentiel, de priode

fech = 1 / Tech et damplitude 1 / Tech.

Ainsi, la multiplication temporelle x(t).Tech(t) on fait correspondre dans le domaine

frquentiel le produit de convolution X(f)* fech(f) (fech(f) tant la transforme de Fourier de

Tech(t), cf. point (v) de la Fig. II.3). Le rsultat de ce produit de convolution (Fig. II.3.vi) est

la transforme de Fourier du signal chantillonn xech(k.Tech). On obtient le spectre X(f) rpt

toutes les frquences multiples de la frquence dchantillonnage (centrs sur les k.fech, k

entier), un facteur multiplicatif prs sur lamplitude Tech introduit par le peigne frquentiel

de Dirac.

Une approche graphique dans le domaine spectrale permet dillustrer la rcupration de

linformation contenue dans un signal chantillonn par un filtrage passe bas (cf. Fig. II.4). En

supposant un filtrage passe bas parfait (un tel filtre est impossible raliser) sur la bande de

frquence de fech/2 fech/2 (appele bande de Nyquist, le frquence fech/2 tant appele

frquence de Nyquist), on retrouve le spectre X(f) et donc le signal temporel qui y

correspond x(t).

ffech-fech fmax

Xech (f) x Tech

0 fech / 2- fech / 2

filtrage

ffech-fech fmax0fech / 2- fech / 2

X(f)

x(t)

t

Fig. II.4 Rcupration de linformation par filtrage passe bas.

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Notion de repliement de spectre (aliasing).

Les illustrations graphiques prcdentes correspondent au cas o fech/2 > fmax. Dans le cas o

on augmente la priode dchantillonnage (on a alors fech qui diminue) il apparat un

phnomne de recouvrement spectral illustr figure II.5.

t0

Tech

ffech-fech

Xech (f) / Tech

xech (k.Tech)

Fig. II.5 Repliement de spectre.

Ce phnomne apparat ds lors que fmax, la plus grande frquence de la partie du spectre

centr sur 0, devient suprieur fech - fmax la plus basse frquence de la partie du spectre

centre sur fech ; les parties du spectre qui se superposent sajoutent, et on obtient le spectre

repli de la figure prcdente. Il nest plus possible de rcuprer le signal analogique de

dpart par filtrage passe bas.

La contrainte qui en dcoule sur la frquence dchantillonnage pour viter le repliement

scrit mathmatiquement :

fech > 2.fmax

Elle snonce sous la forme du thorme de Shannon, ou thorme de lchantillonnage :

"Un signal x(t) peut tre reprsent de manire univoque par une suite de valeurs

chantillonnes si la frquence dchantillonnage, fech, est au moins deux fois plus leve que

la plus grande des frquences, fmax, contenues dans le spectre."

A titre dexemple, la plage de frquences audio que nous percevons stend de 20 Hz

20 kHz, ce qui explique le choix de la frquence dchantillonnage des CD qui a t fixe

44,1 kHz (avec une lgre marge, entre autre, lie la difficult de raliser des filtres

abruptes).

Le spectre rel est gnralement de largeur infinie ( cause du bruit, ou de signaux interfrents

non dsirs), il y a donc toujours un phnomne de repliement spectral susceptible de ramener

dans la bande de Nyquist, du bruit ou un signal dinterfrence. Do la ncessit de toujours