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IUT Béthune – Génie Civil Année Spéciale– RDM S. KESTELOOT

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COURS : STATIQUE

I) Généralités : 1.1) Introduction :

La statique et la Mécanique des Structures ont pour but d’expliquer les phénomènes régissant le dimensionnement des constructions. Ces matières sont au dimensionnement ce que les tables d’additions et de multiplications sont aux mathématiques : comment comprendre une démonstration, un calcul … si on ne connaît pas l’addition ? ! ?

La statique et la Mécanique des Structures permettent d’appréhender la rupture ou la déformation d’une construction appelée structure (bâtiment, pont…). La statique est la science de base de la Mécanique des Structures. La Mécanique des Structures est elle-même la science de base du calcul béton armé, charpente métallique, béton précontraint, bois … Une structure reçoit des charges, elle est donc sollicitée. Sous ces charges, des déformations et fissures se produisent au sein du matériau. Il est donc primordial d’étudier, pour des raisons évidentes de sécurité, ces structures. L’étude de ces structures, appelées solides, peut se décomposer en trois domaines :

- la statique : étude des solides indépendamment du mouvement ; - la cinématique : étude du mouvement d’un solide indépendamment de ses causes ;

- la dynamique : étude des relations liant le mouvement du solide et sa cause.

Une structure subit des actions (exemple : l’effort d’une table sur le plancher). Cette action agit de son point d’application à son (ou ses) point(s) de transfert à une autre structure (généralement le sol). Tout au long de son parcours, l’action agit sur la structure, et peut engendrer des désordres. L’étude du parcours de ces efforts s’appelle descente de charge. Elle nécessite l’utilisation de lois physiques : la statique.

1.2) La Statique : La statique étudie les conditions d’équilibre des forces appliquées aux solides

considérés indéformables. Une relation entre les forces extérieures appliquées à un système matériel immobile est donné par le théorème de la Statique : le torseur de l’ensemble des forces extérieures est constamment nul.

1. 3) Processus d’étude d’une structure : � Structure dessinée par l’architecte ; � Modélisation de cette structure (on supprime les éléments qui ne participent pas à la résistance de la

structure, exemple : revêtement de sol, faux plafonds, cloisons …) ; � Evaluation des charges agissant sur la structure ; � Etude des sollicitations de chaque élément (cheminement des efforts dans la structure porteuse) ; � Dimensionnement de la structure porteuse ;

II) Actions : Les actions que subissent les structures sont de deux natures. On distingue deux types

de vecteurs :


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- les forces ; - les moments.

Ces actions sont caractérisées par : - leur point d’application ou point de transfert : les actions agissent sur le solide en son point d’application ; - leur intensité ou norme; - leur direction (axe support, droite d’action) - leur sens.

Dans le monde du génie civil, on distingue des natures d’actions différentes : - les charges permanentes (poids propre des ouvrages et de ses équipements…) ; - les charges variables (dans le temps et/ou dans l’espace) :

§ les charges d’exploitation (personnes et éléments pouvant bouger) ; § les charges climatiques (action du vent, de la neige …) ; § les charges accidentelles (camion venant percuter un bâtiment, séisme … action

qui a peu de chance de se réaliser mais qui doit quand même être étudiée).

2.1) Les forces : Si l’on considère une grue et son câble élastique. Le poids d’un élément préfabriqué

attaché sur ce câble entraîne, sous son poids propre (une force), un déplacement de translation vertical, du haut vers le bas :

Une force traduit l’action qui est due à une cause (par exemple la force représentée ci-dessus traduit l’action de l’élément préfabriqué sur la grue). Elle est provoquée par quelque chose.

@ Remarque : on dessine soit la force, soit la cause (soit l’élément préfabriqué, soit la flèche) mais JAMAIS les 2 en même temps.

2.1.1) Déplacement associé :

Une force ( F

) provoque une translation (u ) de l’objet (déplacement ou déformation). Dans la réalité, à chaque fois que l’on applique une force, il y a translation (même négligeable). Le déplacement provoqué doit être négligeable pour que l’on puisse traiter le problème grâce à la statique.

F

→ u

2.1.2) Représentation : On représente la force par une flèche de longueur proportionnelle à son intensité.

Poids de l’élément

Grue

A

F Elément préfabriqué

Grue

A


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REPRESENTATION DE LA

FORCE : Vecteur FORCE : Flèche

Longueur de la flèche Intensité de la force Sens de la flèche Sens de la force Point origine de la flèche point d’application de la force

@ Remarque : Le signe de la composante sera obtenu en orientant le support, c'est-à-dire en donnant un repère conventionnel.

2.1.3) Deuxième loi de Newton :

L’unité de force est le newton [N]. Elle est dérivée des unités du SI selon la deuxième loi de Newton :

F m a= ×ur r

avec F : force [N] / m : masse [kg] / a : accélération [m/s²] (ou [N/kg]) Sur terre, on applique plus particulièrement la loi :

F m g= ×r r (g : accélération de pesanteur : gravité).

@ Remarque : nous prendrons toujours g = 10m/s² (ce qui provoque une exagération de 2% … « précis, mais pas ridicule ! »).

En vérité, un newton [N] est donc équivalent à un [kg.m/s²] en unité SI.

@ Exemple 1 : une personne de 80 kg exerce une force de 800 N sur le support où il marche (0,8 kN) ;

@ Exemple 2 : une machine de 10 tonnes exerce une force de 100 kN ;

@ Exemple 3 : une masse de 1 kg donne une force de 1 daN ;

@ Remarque : attention à la précision des calculs. Mettre « 8 » chiffres après la virgule ne sert à rien ! Toujours exprimer le résultat avec 3 chiffres significatifs.

2.1.4) Types de fores :

La force que nous venons de caractériser agit ponctuellement. C’est une force concentrée (comme l’action d’une toupie sur son support). Il existe aussi des forces :

- linéiques (comme l’action d’un cylindre au sol) ; - surfaciques (comme l’action d’une caisse sur son support, la pression de l’eau) ; - volumiques (comme le poids propre agissant sur chaque élément de matière).

2.1.5) Composantes cartésienne d’une force : Définir le signe de la composante d’une force n’est pas des plus aisée. C’est pourquoi on décompose l’espace par l’intermédiaire de 3 axes :

Point d’application A

Sens

Direction : droite d’action

F

A

Norme = F

=F

échelle repère


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)sin()cos( θϕ ××= FFx )sin(ϕ×= FFy

)cos()cos( θϕ ××= FFz 222zyx FFFF ++=

Les repères utilisés sont toujours des repères orthonormés (axes perpendiculaires) direct (sens des axes selon la règle des 3 doigts de la main droite).

Qu’on soit en 2D ou en 3D, la relation vectorielle suivante doit se vérifier : Σ Des forces = F (Soit en 3D :

x y zF F F F+ + =uur uur uur ur )

2.2) Les moments :

2.2.1) Notion de Moments : Lorsque l’on essaye d’ouvrir une porte, il ne nous vient pas à l’idée de pousser au niveau de la charnière. Faites l’essai, vous verrez que pour l’ouvrir vous effectuerez des efforts bien plus importants que si vous poussez sur la poignée (qui est éloignée de la charnière). De même, si l’on tire dans l’axe de la porte, la rotation ne se produira pas :

Lorsque vous dévissez un boulon, avec une clef, c’est plus facile.

θ

Où l’opérateur doit-il positionner sa main pour être le plus efficace ? Dans quel sens doit se faire l’action de l’opérateur sur la clef ?


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2.2.2) Déplacement associé : Cette fois ci, ce n’est plus une translation qui est provoquée par une force, mais une rotation engendrée par un moment.

MA/z → ωA 2.2.3) Définition :

Un moment est un vecteur tournant.

2.2.4) Représentation et sens positif :

On représente le moment par une force tournante (pour rappeler qu’elle provoque une rotation) :

On définit un sens positif (« règle du tire bouchon » ou de la « main droite fermée ») :

Sens d’action du moment

positif

Sens positif et négatif dans un repère ( ), 0,x y

r ur

2.2.5) Moment d’une force par rapport à un point :

Formule : De manière générale, un moment est engendré par une force excentrée du point, centre

de rotation. Soit une force F et un point A :

θ

zAM /

A

x

y

O

A

MA/z z

Moment en A par rapport à l’axe z Rotation en A par rapport à l’axe z

Direction : droite d’action


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Le moment engendré par F

en A est un vecteur M

qui est perpendiculaire au plan formé par la droite d’action et BA

et tel que le vecteur BA

tourne dans le sens trigonométrique autour

de M

. Le moment engendré par F

en A est :

sin( )

M AB F

B dFM A FM α

= ∧

= = × × = ×

uuurr r

r

Définitions : La droite (HB) est appelée droite d’action de la force F

.

d est appelé « bras de levier ». C’est la distance la plus courte entre la droite d’action de la force et le point de calcul du moment. Cette distance est la longueur du segment perpendiculaire à la droite d’action passant par le point de calcul [AH].

@ Remarques : Plus le bras de levier [d] est important, plus le moment engendré l’est aussi (exemple de la porte). De même, plus la force est importante, plus le moment l’est aussi. Si le bras de levier est nul, quelque soit l’intensité de la force, le moment est nul (exemple : si on tire dans l’axe de la porte, elle ne tourne pas !).

L’unité du moment est donc le Newton mètre [N.m] (Attention, ne pas confondre avec Newton par mètre [N/m])

2.2.6) Composante cartésienne d’une force générant un moment – Théorème de Varignon :

Si F U V= +ur ur ur

, alors { } { } { }A A Az z z

M F M U M V= +ur ur ur

F d U du V dv× = × + × On peut donc en déduire la relation suivante :

si x yF F F= +ur uur uur

, alors { } { } { }A A x A yz z z

M F M F M F= +ur uur uur

2.2.8) Couple de forces :

Un couple de forces est, par exemple, l’effort que le pilote d’une automobile donne sur le volant pour tourner (lorsqu’il tient le volant à deux mains), ou encore celui pour faire tourner un tire bouchon :

( ) ( )220dFdFdFMM z ×+×=×==

@ Remarques : quelque soit le point O, le moment est le même.

d F

F

Z

(AB « vectoriel » F)


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III) Réduction et équilibre : 3.1) Réduction :

3.1.1) Définition : La réduction d’un système de forces consiste à le remplacer par un système

statiquement équivalent, pour simplifier le problème.

@ Remarque : statiquement équivalent, c'est-à-dire qui produit les même effets sur la structure en STATIQUE, mais il peut être différent en MECANIQUE DES STRUCTURES.

En définition : Soit FR la résultante des forces et MR le moment résultant

∑= FiFR

∑ ∑+×=iR MdFiM

3.1.2) Méthode graphique :

On peut ainsi réduire deux forces appliquées en un point d’une structure par une force égale à la somme vectorielle des deux premières :

Structure – schéma 1


avec :

Polygone des forces

@ Remarque 1 : Nous venons de réaliser de manière graphique une réduction. Dans le cas de plus de 2 forces,

on met aussi bout à bout les vecteurs pour trouver la résultante (relation de Chales).

@ Remarque 2 : Si ces forces ne sont pas appliquées au même point, la droite d’action de la résultante passe par l’intersection des droites d’action des deux forces. Le vecteur résultant est un vecteur libre (qui n’est pas attaché à un point, mais se ballade sur la droite d’action) :



Polygone des forces

3.1.3) Méthode analytique – réduction en un point :

De manière analytique, il est possible de remplacer un système de forces en un autre (généralement une force et un moment).

2Fuur

1 2F F F= +ur uur uur

1Fuur

1Fuur

x

y

O

A

2Fuur

x

y

O

A Fur

1 2F F F= +r r r

A

1Fr

2Fr

A

1Fr 2F

r Fr


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• Réduction d’une force : On veut réduire une force en un point A.

La force sera donc remplacée par une autre force, et un moment tel que : M F d= × (avec le signe : Très important – Schéma expliquant si le Moment est positif ou négatif))

• Réduction d’un moment :

On veut réduire un moment M en un point A.

L’intensité du moment ne changera pas : 'M M=

• Réduction d’une force et d’un moment :

On veut réduire un système (force + moment) en un point A.

La force sera donc remplacée par une autre force, et un moment tel que : 'M F d M= × +

On utilise le principe de superposition.

• Principe de superposition : Si l’on souhaite réduire plusieurs forces et moments en un point, on effectue la somme des réduction :

@ Remarque : on peut vérifier le principe de superposition sur la réduction d’une force et d’un moment.

x

y

O

A

x

y

O

A

M Fur

Fur

M

M>0 M<0

x

y

O

A

x

y

O

A M

M’

Action du vent Poids propre Poids propre Action du vent

x

y

O

A

x

y

O

A d

M

Fur

Fur

M’

x

y

O

A

x

y

O

A d M

Fur

Fur


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3.2) Définition de l’équilibre : Un système de forces (et/ou de moments) est dit en équilibre si, appliqué à un solide, il ne modifie pas l’état de repos (en statique) de ce solide.

Pour étudier l’état d’équilibre du solide, il est nécessaire de l’isoler, c'est-à-dire de le considérer comme dissocié de tout autre élément ne faisant pas partie de la structure étudiée (le sol par exemple pour un bâtiment ; recenser les efforts qui agissent sur le solide).

En génie civil, toutes les structures doivent être en équilibre (on veut qu’elles soient et restent immobiles).

3.3) Equilibre d’un système simple : Pour qu’un élément soumis à deux forces soit en équilibre, il faut que ces deux forces soient opposées (et appliquées au même solide), c'est-à-dire :

- de même intensité ; - de même droite d’action ; - de sens opposés.

@ Remarque : En effet, si l’une de ces conditions n’est pas respectée, un moment ou une force résiduelle existe, donc un déplacement ou une rotation aussi. L’équilibre n’est alors pas obtenu.

3.4) Equilibre – Principe fondamental de la statique : Théorème :

Un système de forces d’un solide isolé est en équilibre si ses résultantes sont nulles. En effet, si la force résultante n’est pas nulle, une translation se produit. De même, si un moment résultant subsiste, le solide tournera.

Par conséquent, on peut écrire l’équilibre de manière analytique :

Pour les problèmes 2D Pour les problèmes 3D (3éme loi de Newton)

10

n

iiF x

=

=∑ ∑=

=n

ii xF

1

0

∑=

=n

ii yF

1

0

10

n

iiF y

=

=∑ ∑=

=n

ii zF

1

0

∑=

=n

ii xM

1

0

10

n

iiM z

=

=∑

en un point bien précis

∑=

=n

ii yM

1

0

∑=

=n

ii zM

1

0

@ Remarque : si l’on recherche le système de forces à appliquer en A de manière à équilibrer le solide S, il suffit de réduire en A les forces que ce solide subit. Le système à appliquer est égal au système inverse de la réduction.

F

G

=-F

La somme des forces et nulle


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IV) Statique appliquée : Le but de la statique est de déterminer l’intensité des inconnues de liaisons des structures isostatiques (étude des efforts dans une structure donnée). Pour cela,

- on modélise la structure, c'est-à-dire que l’éclate la structure de manière à amener le moins d’inconnues possibles (décomposition minimale de la structure) ;

- on remplace les inconnues de liaisons (internes et externes) par les actions de liaisons en les nommant ;

- on résout le PFS jusqu’à obtention de toutes les inconnues.

4.1) Modélisation de la structure : 4.1.1) Principe :

Comme montré au paragraphe 1.6 la modélisation consiste à remplacer le solide par des barres ou courbes non pesantes.

@ Remarque : nous nous bornerons à étudier les structures 2D qui peuvent être décomposées en barres et dont les forces sont appliquées dans le même plan que celui de la structure.

4.1.2) Exemple :

c.f. §1.6.

4.2) Dessiner la structure isolée: 4.2.1) Principe de la coupure :

• définition : Il est fréquemment intéressant de connaître les efforts qui passent à l’intérieur de la matière de la structure en un point donné. Ces efforts sont appelés les forces de cohésion. Elles s’exercent sur les deux demi solides ainsi créés, et sont opposées (si on « recolle » la structure, ces efforts s’annulent). Si le solide d’origine est en équilibre, les deux demi solides doivent rester eux aussi en équilibre.

• Exemple : On souhaite effectuer la coupe de cette poutre au point A.

4 2 kN

3 m 4 2 kN

4 2 kN 12 2 kN.m

4 2 kN

4 2 kN A O

3 m 2 m 4 2 kN

8 kN A O

3 m 2 m 45°

F

O

FA

FA

MA

MA F

A O


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4.2.2) Principe des actions mutuelles : Ce principe vient d’être évoqué : « Lorsque une coupure est réalisée, les actions de cohésion libérées sont opposées deux à deux » (1ére loi de Newtons).

@ Mise en évidence sur un exemple simple : la barre en compression

Bien évidemment, les deux parties de la barre sont en compression !

@ Exemple précédent :

4.2.3) Poids propre des matériaux :

Le poids propre des structures doit être représenté car les structures modélisées sont non pesantes. A partir de la connaissance des poids volumiques des matériaux et des formes géométriques des barres, cette étape est possible.

Matériau Acier Alu B.A. Bois feuillus

Bois résineux

Masse volumique [kg/m3] 7850 2700 2500 800 600 4.3) Détermination de la nature de la structure

Avant de déterminer la nature de la structure, il faut connaître les liaisons internes et externes de la structure.

4.3.1) Les appuis – Liaisons extérieures : Lorsque nous modélisons la structure, il est nécessaire de définir les appuis. Ils représentent la liaison avec une structure extérieure non déformable (non étudiée – exemple : la terre). Ces liaisons permettent d’avoir un problème de STATIQUE, c'est-à-dire un solide exempt de tout mouvement (pas comme une voiture qui bouge, du moins si on ne met pas le frein).

12 2 kN.m

4 2 kN

O 3 m 4 2 kN

4 2 kN 12 2 kN.m 4 2 kN

4 2 kN 4 2 kN

4 2 kN A O

3 m 2 m 4 2 kN

F F A

F F F F


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Type de liaison – Schéma

Mouvement empêché

Mouvement autorisé (ddl)

Réaction d’appuis (nombre d’inconnues)

L’appui simple :

Translation selon y : yu

Selon la position de l’appui

Translation selon x : xu

Rotation selon z : zω

1 inconnue L’articulation :



Rotation selon z :

zω

1 degré de liberté (rotation).

2 inconnues

L’encastrement :




Pas de degré de liberté (ddl).

3 inconnues

@ Remarque 1 : pour les structures 3D, se rattacher aux appuis ci-dessus dans les différents plans.

@ Remarque 2 : de manière générale, lorsqu’on modélise une structure, on considère les liaisons comme parfaites : rotule sans frottement …

@ Remarque 3 : les fondations sont les appuis de la construction. Selon leur ferraillage, on obtiendra une articulation ou un encastrement.

4.3.2) Les Liaisons internes :

A l’intérieur d’une structure, des relâchements peuvent être observés. Par exemple, une barre peut tourner autour d’une autre (si une barre est assemblée à une autre par un seul boulon).

Type de liaison – Schéma

Mouvement empêché

Mouvement autorisé (ddl)

Actions de cohésion (nombre d’inconnues)

L’articulation :



Rotation selon z :

zω

1 degré de liberté (rotation).

2 inconnues L’encastrement :




Pas de degré de liberté (ddl).

3 inconnues

@ Remarque : le principe est le même que pour les appuis.

x

Fy

y Fx

M x

y

x

Fy

y Fx

x

y

x

Fy

y

x

Fy

y Fx

x

Fy

y Fx

M x

y

x

y

ou

x

y exemple : la roulette

de chariot

exemple : balais d’essuie glace de la voiture

exemple : bâton scellé dans le sol


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4.3.3) Nature de la structure : • Définition :

Certaines structures peuvent être résolues à l’aide de la statique (en appliquant le principe fondamental de la statique). D’autres ne peuvent pas être résolues de cette manière. On pose :

- e : le nombre d’équations obtenues en appliquant le PFS ; - x : le nombre d’inconnues obtenues lorsque l’on « éclate » la structure (c.f. les

deux tableaux ci-dessus) ;

On distingue donc :

Nature Résolution Equation

Les structures isostatiques qui peuvent être résolues à l’aide de la statique.

x e=

Les structures hypostatiques

qui ne peuvent pas être résolues, car ceux sont des mécanismes (ces structures s’écroulent).

x e<

Les structures hyperstatiques qui sont des structures trop difficiles à résoudre (du moins au début – « hyper » dure).

x e>

@ Remarque : La nature d’une structure n’est pas fonction de son chargement.

• Exemple : Pour déterminer la structure, il faut donc l’éclater :

- le nombre d’inconnues correspond au nombre d’actions de cohésion et de liaison libérées ;

- le nombre d’équations correspond au nombre de fois où on applique une équation du PFS, soit3 nombre de barres× .

Structure « Explosion » de la structure Détermination de la nature

x = 2 + 1 = 3 e = 3 x 1 = 3 => isostatique

x = 4 x 2 = 8 e = 3 x 3 = 9 => hypostatique de degré 1 (mécanisme évident !)

x = 3 + 3 x 2 = 9 e = 3 x 3 = 9 => isostatique

x = 3 x 4 =12 e = 3 x 3 = 9 => hyperstatique de degré 3 3

3

6

2 3

2 2

2

2 2

2

1

2


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x = 2 + 3 x 3 + 4 x 2 = 19 e = 6 x 3 = 18 => hyperstatique de degré 1

x = 2 x 3 + 3 x 2 = 12 e = 4 x 3 = 12 => isostatique

x = 3 x 2 = 12 e = 3 x 2 => isostatique

@ Remarque : il est possible d’exploser les structures de manière différentes (c.f. les 2 derniers exemples). La nature de la structure n’en sera pas changée (décomposition minimale) ;

@ Astuce : pour vérifier le résultat, si on obtient une structure isostatique, en enlevant une inconnue de liaison on doit obtenir un mécanisme. Si la structure est hypostatique de degré n, en ajoutant n blocages judicieusement placés, on doit obtenir une structure iso. Si la structure est hyperstatique de degré n, en retirant n+1 inconnues de liaisons, la structure doit devenir un mécanisme.

@ Explications : cas des liaisons internes : le nombre d’inconnues au nœud est tel que : • Erreurs à ne pas commettre :

Il est important d’être rigoureux quand à la modélisation : Si l’on dessine une liaison ou un appuis, il ne faut pas dessiner les efforts de cohésion, car ils ne sont libérés que s’il y a coupure !

• Cas particuliers de certains mécanismes :

2

2 2

3

2 2

2

3

3

3 2

4

3

4

q P

A B

C

q P

A B

C

YC XC q P

A B

C

YC XC

YC

XC q P

A B

C

YA XA

YB XB

Structure d’origine :

Erreurs

Solutions

q P

A B

YC XC YC XC q P

C

YA XA YB XB

q P

YA XA YB XB

YC XC YC XC


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Il peut arriver que les structures soient des mécanismes alors que le nombre d’équations et d’inconnues sont égaux. Voici un exemple. Il est donc impératif d’imaginer les déplacements possibles des nœuds avant de conclure qu’une structure est bel et bien isostatique, voire hyperstatique et non pas hypostatique.

Autres exemples de mécanisme :

• Structures ressemblantes, mais différentes : Il arrive que les modélisations de deux structures différentes soient très proches. Il faut donc faire extrêmement attention à la lecture :

≠ =

4.4) Ecriture et résolution du PFS On applique le PFS c.f. § 4.4.

Au fur et à mesure de la pratique, nous pourrons nous passer de l’écriture du PFS. En effet, juste en représentant la structure éclatée avec son chargement, les inconnues de liaison seront facilement intuitées.

4.5) Schéma Bilan A la fin de la résolution, il est nécessaire de dessiner la structure avec les actions de liaisons et leurs intensités.

4.6) Organigramme de résolution � Modéliser la structure [barres, liaisons, chargement, repère global (x, y, M+)] ; � Dessiner la structure isolée (Remplacer les liaisons (internes et externes) par leurs actions en nommant

les vecteurs) ; � Déterminer la nature de la structure, et poursuivre si elle est isostatique ; � Ecrire le PFS ; � Résoudre le PFS (et donc trouver les valeurs des actions de liaison) ; � Dessiner la structure avec les actions de liaison et leurs intensités (structure isolée en équilibre).

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