cours_rn

Haute Ecole dIngnierie et de Gestiondu canton de Vaud (HEIG-VD)

Dpartement des TechnologiesIndustrielles (TIN)

Filire Gnie lectrique (GE)

Rgulation numrique (REN)

Ai

iutomatisation

n s t i t u t d '

n d u s t r i e l l e

Prof. Michel ETIQUE, septembre 2014,Yverdon-les-Bains

Copyright cMichel ETIQUE, 2014

HEIG-VD Rgulation numrique (REN)

Copyright cMichel ETIQUE, 2014 2 MEE \cours_rn.tex16 septembre 2014


Table des matires

1 Introduction la rgulation numrique 91.1 Structure et principe dun systme de rgulation numrique . . . . 9

1.1.1 Echantillonnage de la grandeur rgler y(t) . . . . . . . . 101.1.2 Grandeur rgler numrique y[k] . . . . . . . . . . . . . . 121.1.3 Consigne numrique w[k] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.4 Algorithme de rgulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.5 Grandeur de commande analogique u(t) . . . . . . . . . . 161.1.6 Systme rgler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.7 Faisabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2 Exemple : asservissement de vitesse par rgulateur PI numrique . 211.3 Composants spcifiques dun systme de rgulation numrique . . 25

1.3.1 Matriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.2 Logiciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4 Comparaison des rgulateurs numriques et analogiques . . . . . . 341.4.1 Points faibles et points forts des rgulateurs numriques . . 341.4.2 Exemple : comparaison des performances de rgulateurs PI

analogiques et numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.4.3 Exemple : commande anticipatrice (ou commande a priori) 38

1.5 Justification dune tude spcifique des systmes asservis numri-quement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.6 Une premire procdure de synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.6.1 Hypothses concernant la priode dchantillonnage h . . . 471.6.2 Inventaire des retards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.6.3 Approximation de la fonction de transfert dun retard pur

par une fraction rationnelle en s . . . . . . . . . . . . . . . 511.6.4 Schma fonctionnel analogique quivalent . . . . . . . . . . 541.6.5 Exemple : synthse par la mthode de Bode . . . . . . . . 54

1.A Exemple : synthse par le lieu des ples . . . . . . . . . . . . . . . 59

2 Echantillonnage et reconstruction 632.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.2 Le processus dchantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.2.1 Loprateur dchantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . 64



2.2.2 Transforme de Fourier dun signal numrique . . . . . . . 642.2.3 Recouvrement spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.3 Le thorme de lchantillonnage (ou thorme de Shannon) . . . 712.3.1 Enonc ([[1], 2.3]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.3.2 Consquences et ralits pratiques . . . . . . . . . . . . . . 712.3.3 Filtre anti-recouvrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.3.4 Choix de la priode dchantillonnage . . . . . . . . . . . . 76

2.4 Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.4.1 Loprateur de reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . 772.4.2 La reconstruction de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . 792.4.3 Reconstruction par bloqueur dordre zro . . . . . . . . . . 822.4.4 Reconstruction par bloqueur dordre suprieur . . . . . . . 87

3 Transforme en z 893.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.2 Signaux discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.2.1 Signaux discrets particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.3 Transforme en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.3.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.3.2 Commentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.3.4 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.3.5 Mthodes de calcul de la transforme en z . . . . . . . . . 993.3.6 Inversion de la transforme en z . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.A Table des transformes en z ([1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4 Reprsentation des systmes discrets 1074.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.2 Systmes dynamiques linaires discrets . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.2.1 Systmes dynamiques discrets : dfinition . . . . . . . . . . 1074.2.2 Proprits gnrales des systmes dynamiques discrets ([[1],

3.2.1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.2.3 Systmes dynamiques linaires discrets . . . . . . . . . . . 1104.2.4 Analyse temporelle des systmes linaires discrets . . . . . 110

4.3 Reprsentation des systmes dynamiques linaires discrets . . . . 1114.3.1 Reprsentation par lquation aux diffrences . . . . . . . . 1114.3.2 Reprsentation par la rponse impulsionnelle discrte g[k] . 1204.3.3 Reprsentation par la fonction de transfert G(z) . . . . . . 126

5 Fonction de transfert discrte 1275.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.2 Fonction de transfert dun systme dynamique discret . . . . . . . 127

5.2.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127



5.2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.2.3 Fonction de transfert dun systme dcrit par son quation

aux diffrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.2.4 Prsentation de G(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.2.5 Ples et zros, ordre et degr relatif . . . . . . . . . . . . . 1355.2.6 Schma structurel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.3 Modes temporels discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.3.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.3.2 Mode associ un ple rel . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.3.3 Mode associ une paire de ples complexes conjugus . . 1405.3.4 Relation entre la position des ples dans le plan complexe

et la forme des modes discrets . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.4 Analyse des proprits dun systme discret sur la base de sa fonc-

tion de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.4.1 Gain statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.4.2 Comportement intgrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.4.3 Comportement drivateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.4.4 Retard pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.5 Modle chantillonn du systme rgler . . . . . . . . . . . . . . 1515.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.5.2 Relation fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.5.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.6 Combinaisons de fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . 1545.6.1 Rgles gnrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.6.2 Fonctions de transfert dun systme de rgulation numrique154

5.7 Correspondance entre ples analogiques et discrets . . . . . . . . . 1555.7.1 Dfinition du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.7.2 Relation fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.7.3 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.7.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.7.5 Images de courbes et surfaces particulires . . . . . . . . . 162

5.A Fonction de transfert en rgulation de maintien Gv(z) . . . . . . . 171

6 Stabilit 1756.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.2 Stabilit des systmes discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.2.1 Dfinition de la stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.2.2 Condition fondamentale de stabilit . . . . . . . . . . . . . 176

6.3 Rponse harmonique dun systme numrique . . . . . . . . . . . 1796.3.1 Dfinition et calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.3.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.3.3 Lieu de de Nyquist et diagramme de Bode . . . . . . . . . 182



6.4 Etude de la stabilit par la rponse harmonique : critre de Nyquist([[1], 7.4]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1886.4.1 Critre de Nyquist simplifi (critre du revers) . . . . . . . 188

6.5 Elments de synthse frquentielle de rgulateurs numriques . . . 1926.5.1 Synthse frquentielle discrte . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.6 Elments de synthse de rgulateurs numriques dans le plan com-plexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966.6.1 Lieu des ples (ou lieu dEvans) . . . . . . . . . . . . . . . 1966.6.2 Principe de la synthse discrte dans le plan complexe . . 198

6.A Critre de Nyquist gnralis ([[1], 7.4.2]) . . . . . . . . . . . . . 2076.A.1 Thorme de Cauchy ou principe de largument ([[2], 6.11.2],

[[1], I.2], [[3], 5.2 p.122]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.A.2 Contour de Bromwhich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2086.A.3 Dmonstration du critre de Nyquist gnralis . . . . . . 2086.A.4 Lieu de Nyquist complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116.A.5 Exemple : systme instable sans intgrateur (P = 1, = 0) 2146.A.6 Exemple : systme instable avec intgrateur (P = 1, = 1) 215

7 Stratgies de commandes particulires et aspects pratiques desrgulateurs numriques et analogiques 2197.1 Choix des ples en boucle ferme en fonction de la priode dchan-

tillonnage h ([[4], 6.6]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.1.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

7.2 Compensation ple-zro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2257.3 Commande anticipe/a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

7.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2297.3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2307.3.3 Filtre de consigne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

7.4 Rgulation cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2347.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2347.4.2 Principe de la rgulation cascade . . . . . . . . . . . . . . 2347.4.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2357.4.4 Avantages de la structure cascade . . . . . . . . . . . . . . 2407.4.5 Inconvnients de la structure cascade . . . . . . . . . . . . 2417.4.6 Comparaison des rgulations cascade et parallle dans un

cas particulier (positionnement en machine-outil) . . . . . 2427.4.7 Calcul des fonctions de transfert en boucle ferme dans les

deux modes de rgulation (correspondance et maintien) . . 2467.4.8 Rgulation parallle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2507.4.9 Comparaison des structures parallle et cascade en rgula-

tion de maintien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2517.4.10 Comparaison des structures parallle et cascade en rgula-

tion de correspondance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252



7.5 Dcouplage de systmes ([5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2557.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2557.5.2 Dcouplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2567.5.3 Schma quivalent du systme dcoupl . . . . . . . . . . . 257

7.6 Anti-wind-up ([1], [3]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2597.6.1 Prsentation du problme : wind-up de lintgrateur . . . . 2597.6.2 Dispositif anti-wind-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

7.7 Influence de la rsolution de la grandeur rgle mesure . . . . . . 2657.8 Fonction de sensibilit ([6], 3.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

7.8.1 Application : spcification de performance ([6], 3.4) . . . 2707.9 Rgulateur RST polynmial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

7.9.1 Structure du rgualteur RST [1] [3] . . . . . . . . . . . . . 2747.9.2 Fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2747.9.3 Forme des polynmes et contraintes . . . . . . . . . . . . . 2757.9.4 Calcul de R(z) et S(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2777.9.5 Calcul des polynmes R(z) et S(z) : matrice de Sylvester

[[1], 10.3.3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280



Chapitre 1

Introduction la rgulationnumrique

1.1 Structure et principe dun systme de rgu-lation numrique

Le schma-bloc de la figure 1.1 page suivante prsente la structure dun sys-tme de rgulation numrique mono-variable (1 entre, 1 sortie). On reconnatlarchitecture classique dun systme boucl. Comme tout systme de rgulationautomatique, le but de linstallation est dassurer la correspondance entre le signalde consigne w(t)|t=kh, k, soit w(k h), et la grandeur rgle y(k h), indpen-damment des variations de w(k h) (rgulation de correspondance) et des effetsdes perturbations v(t) (rgulation de maintien). De plus, lensemble doit tre lemoins sensible possible au bruit n(t) intervenant sur la mesure.

Ce schma comprend un bloc dsign "systme rgler", dans lequel se trouvent,outre le systme proprement dit, un amplificateur de puissance, le capteur de lagrandeur rgle y(t) voire des filtres analogiques. Par comparaison avec un asser-vissement analogique, les lments nouveaux suivants apparaissent :

un convertisseur analogique-digital (appel convertisseur A/D par la suite) ; un algorithme, faisant office de rgulateur, excut par une unit de calcul

comme un processeur ; un convertisseur digital analogique (appel convertisseur D/A par la suite) ; une horloge (ou timer).Chaque conversion A/D, lance intervalles rguliers h dtermins par

lhorloge, chantillonne le signal analogique y(t) reprsentant la grandeur rgleret met ainsi disposition du processeur un nombre y(k h) reprsentant la valeurde y(t) linstant t = k h auquel la conversion A/D sest effectue. Le processeurexcute alors lalgorithme de rgulation, formant en principe lcart de rgulatione(k h) = w(k h) y(k h) par comparaison de la grandeur rgle y(k h) avec lenombre w(k h) reprsentant la consigne, puis traitant cet cart. Le rsultat de



A

w ( k h )

y ( k h )

u ( t ) x ( t )u ( k h )

A N A L O G I Q U EN U M E R I Q U E

A L G O R I T H M E

S Y S T E M EA

R E G L E R

H O R L O G E

y ( k h )

k h

t

w ( k h )

k h t

h

t

y ( t )

v ( t )

n ( t )

c o n s i g n e

b r u i t s u r l a m e s u r e

g r a n d e u r r g l e

c o m m a n d ec o m m a n d e

p e r t u r b a t i o n

f _ 0 1 _ 0 1 . e p s

D

D

A

u ( k h )

k h

Figure 1.1 Schma fonctionnel gnral dun systme de rgulation numrique(src).

lexcution de lalgorithme est un autre nombre, la commande u(k h) appliquersans dlai (il faut minimiser les retards pour des raisons de degr de stabilit dela boucle dasservissement) au systme rgler. Le nombre u(k h) ntant pasun signal physique, il na aucune nergie et doit tre pralablement transformen un signal analogique u(t) par le convertisseur D/A. Le signal de commandeanalogique u(t) est alors appliqu lentre du systme rgler.

Cette suite doprations est rpte intervalles rguliers h imposs par lafrquence dchantillonnage fe = 1h . Celle-ci est normalement ajustable par pro-grammation de lhorloge, et constitue un paramtre part entire du systmeasservi numriquement.

1.1.1 Echantillonnage de la grandeur rgler y(t)Le convertisseur A/D convertit la grandeur rgler analogique y(t) en un

nombre y(kh) un rythme dict par lhorloge ( distinguer de lhorloge ncessaireau fonctionnement du processeur). Ce rythme est en principe rgulier et nestautre que la priode dchantillonnage, dsigne dans le cadre de ce courspar la lettre h. Le signal analogique y(t) subit en la circonstance lopration



H O R L O G E

ht

f _ 0 1 _ 0 2 . e p s

Figure 1.2 Mise en vidence de lhorloge (timer), ncessaire tous les systmesde rgulation numrique pour dfinir puis garantir une frquence dchantillon-nage fe = 1h dtermine, en principe fixe (src).

ky ( 0 )y ( 2 h )

y ( h )

y ( 3 h ) y ( 4 h )0 h 2 h 3 h 4 h

t

A D y ( k )y ( t ) f _ 0 1 _ 0 3 . e p sFigure 1.3 Echantillonnage de la grandeur rgler y(t) (src).

dchantillonnage chaque fois quune conversion est dmarre ; on dit que y(t)est chantillonn. Les instants

0 [s]h2 h3 h. . .k h. . .



k0 1 2 3 4 5 . . . k - 1 k ( k + 1 )

y ( k )y ( 0)

y ( 1) y( 2 ) y ( 3)

y ( 4)

y ( k)y ( k+ 1)

y ( k- 1 )

y ( 5) f _ 0 1 _ 0 4 . e p s

Figure 1.4 La grandeur rgle y[k] est une suite de nombres (src).

auxquels y(t) est chantillonn sont les instants dchantillonnage ; les nombres

y(0 [s])y(h)y(2 h)y(3 h). . .y(k h). . .

que prend y(t) ces mmes instants sont les chantillons.Comme la priode dchantillonnage h est constante et connue, il ny a aucun

risque de confusion si lon dsigne le signal numrique y(k h) de manire abrgepar y[k]. Cette notation, o la priode dchantillonnage h est implicite, permetdallger lcriture. La suite des chantillons de y(t) scrit donc :

y[0]y[1]y[2]y[3]. . .y[k]. . .

1.1.2 Grandeur rgler numrique y[k]Le signal y(k h) dlivr par le convertisseur A/D se prsente sous la forme

dune suite de nombres, espacs dans le temps dune dure h et reprsentant la va-



leur du signal y(t) aux instants de conversion successifs. Si la premire conversiona lieu au temps t = 0 [s], on obtient donc rgulirement

y[0]y[1]y[2]y[3]. . .y[k]. . .

Le signal y(k h) est discret puisquil ne peut varier quaux instants dchan-tillonnage. De plus, la rsolution du convertisseur A/D tant finie, lamplitudede y(k h) est quantifie. Le signal y(k h) est donc la fois discret et quantifi.Un tel signal est appel signal numrique ( 3.2 page 90).

Linstant k h est linstant prsent. Les valeurs aux instants prcdents dusignal discret y[k] sont :

y[k 1]y[k 2]. . .y[k n]. . .

1.1.3 Consigne numrique w[k]La grandeur rgle y[k] tant un signal numrique, il en va de mme de la

consigne w[k] puisque ces 2 signaux doivent tre compars afin de former lerreure[k] = w[k] y[k]. En pratique, on peut rencontrer deux cas de figure :

La consigne originale est un signal analogique w(t) (figure 1.5 page sui-vante). Il faut alors lchantillonner au moyen dun convertisseur A/D quiproduit le signal numrique w[k]. Un cas typique est celui o la consigneest fixe par un oprateur au moyen dun potentiomtre. Un autre cas estcelui o deux axes de machine doivent tourner de manire synchrone, desvitesses situes dans un rapport constant (y compris lors des phases tran-sitoires de dmarrage et darrt) : le premier (le matre), reoit sa consignede vitesse dune commande amont ; le second (lesclave) peut alors prendrepour consigne de vitesse le signal analogique provenant du capteur de vi-tesse du matre (par exemple une dynamo-tachymtrique). La figure 1.5page suivante illustre cet exemple.

Rappel : le saut unit de consignenest utilis qu des fins danalyse,sauf cas particulier, comme la rgu-lation du couple ou du courant dunservo-entranement lectrique [7].



w m a t r e ( k ) D

DA

-

+A l g o r i t h m e

d ur g u l a t e u rn u m r i q u e

u ( k )

y ( k )

e ( k )

M

i a

JR f

f = c o n s t

y ( t )

R a L a

( t )K tu ( t )

u a ( t )

AT

K TK E

D

DA

-

+A l g o r i t h m e

d ur g u l a t e u rn u m r i q u e

u ( k )

y ( k )

e ( k )

M

i a

JR f

f = c o n s t

y ( t )

R a L a

( t )K tu ( t )

u a ( t )

AT

K TK E

DA

w e s c l a v e ( k )

f_01_05.eps

Figure 1.5 Schma technologique de principe de la rgulation de 2 axes demachines dont les consignes sont coordonnes. Pour un tel systme, il est indis-pensable de synchroniser les lectroniques (numriques) effectuant la rgulationde chaque axe [7] (src).

La consigne originale est purement numrique, gnre par le processeurcharg de la rgulation ou une autre unit du mme type. Il faut relever quela gnration de consigne peut tre une tche extrmement complexe etexigeante en oprations arithmtiques. Un exemple notable est celui de lacoordination des axes dun centre dusinage, dun robot ou dune machinede packaging (axes ayant "rendez-vous", figure 1.6 page ci-contre).



T M P

G E N E R A T O R

T M P

G E N E R A T O R

C A M

C A M

A M P L I F I E R

C O N V E R T E R C O N V E R T E R

C O N V E R T E RC O N V E R T E R

A X I S

M

A X I S

M

A X I S

M

A X I S

M

4

2

3

1

M o t i o n P r o f i l e G e n e r a t o r s

C O R R E C T O R

M e a s u r e

P r o d u c t

R a t e

F i g u r e 2 2 P a c k a g i n g M a c h i n e D i a g r a m

Figure 1.6 Schma technologique dune machine de packaging (selon [8], p.33-34) : chacun des servo-moteurs ("axis") est pilot par un rgulateur numrique,lequel reoit sa consigne de position par un bus de terrain.



1.1.4 Algorithme de rgulation

w ( k )u ( k )A L G O R I T H M E

kk

y ( k )k

f _ 0 1 _ 0 6 . e p s

Figure 1.7 Le rgulateur prend la forme dun algorithme excut chaquepriode dchantillonnage h (src).

Lalgorithme remplit la fonction de rgulateur ; cest lui qui a pour tche deconstruire le signal de commande numrique u[k] en fonction des signaux dentrenumriques w[k] et y[k]. Ceux-ci tant numriques tout comme le signal de sortieu[k], lalgorithme est un systme numrique, excut par le processeur pour lequelil est programm.

La dure dexcution de lalgorithme est une donne importante connatrelors de la synthse du rgulateur numrique. Elle doit bien sr imprativementtre infrieure h (afin davoir un fonctionnement en temps rel), sans quoi lergulateur ne pourrait plus suivre le rythme darrive des valeurs successives de lagrandeur rgle y[k] et ne pourrait donc plus assumer sa fonction de dterminationde la commande u[k] appliquer au systme rgler afin minimiser lerreur e[k].La loi de commande dfinissant la manire dobtenir u[k] partir des signauxnumriques dentres w[k] et y[k]

u [k] = f [w [k] , w [k 1] , w [k 2] , . . . , y [k] , y [k 1] , y [k 2] , . . .]peut tre trs complexe sans que cela pose des problmes de ralisation duneenvergure comparable ceux rencontrs en rgulation analogique.

1.1.5 Grandeur de commande analogique u(t)Le signal de commande u(t) est obtenu par conversion D/A du signal de

commande numrique u[k]. Cest lopration de construction dun signal analo-gique partir dun signal numrique. La transformation dune suite de nombressans nergie en un signal analogique nergie non-nulle ne pose pas de grandesdifficults techniques. Cependant, la manire de combler labsence de toute infor-mation entre deux instants dchantillonnage (pas de signal source) est a prioridu ressort du concepteur. Dans la grande majorit des applications, le convertis-seur D/A comprend un lment de maintien (bloqueur/extrapolateur dordre 0,



AD u ( t )u ( k )k h t

f _ 0 1 _ 0 7 . e p s

Figure 1.8 La grandeur de commande analogique u(t) est typiquementconstruite partir de la commande numrique u[k] par un convertisseur D/Aavec lment de maintien (src).

2.4.3 page 82) qui construit le signal analogique en convertissant chaque ins-tant dchantillonnage le nombre u[k] en une tension proportionnelle u(t), celle-citant alors maintenue constante pendant une dure h.

Le signal analogique u(t) prend ainsi la forme dune suite dimpulsions rec-tangulaires juxtaposes, de largeur h constante et de hauteur

u[0]u[1]. . .u[k]. . .

1.1.6 Systme rgler

u ( t ) y ( t )S Y S T E M EA

R E G L E R

tt

f _ 0 1 _ 0 8 . e p s

Figure 1.9 Le systme rgler (src).

Le systme rgler est par nature analogique. Comme il a toujours un com-portement de type passe-bas, i.e. comme il prsente toujours une certaine inertie,



AD

AD

u ( t ) y ( t )u ( k ) S Y S T E M EA

R E G L E R

k

y ( t )y ( k )

k

A L G O R I T H M ED E R E G U L A T I O N

f _ 0 1 _ 0 9 . e p s

Figure 1.10 Lalgorithme peroit le systme rgler au travers des convertis-seurs A/D et D/A, soit par lintermdiaire des signaux numriques y[k] et u[k](src).

le caractre discontinu de la commande u(t) ne sobserve en principe pas sur lagrandeur rgler analogique y(t).

Le systme rgler comprend forcmentle capteur de la grandeur rgle ainsi que,selon les cas, un amplificateur de puis-sance, un actionneur, des filtres analo-giques, etc. En un mot, tout ce quil y aentre la commande u(t) et la (mesure dela) grandeur rgle y(t).

Globalement, on remarque que lalgorithme peroit le systme rgler autravers des convertisseurs A/D et D/A, soit par lintermdiaire des signaux nu-mriques y[k] et u[k] (voir figure 1.10).

1.1.7 FaisabilitAvec le principe de lchantillonnage de la grandeur rgle plutt que son

observation continue, on peut tout de mme sinquiter du fait que le systme rgler nest plus sous contrle entre deux instants dchantillonnage, soit laplupart du temps !

En effet, ce nest qu des moments prcis (les instants dchantillonnage k)que le rgulateur savise de ltat du systme rgler en chantillonnant la gran-deur rgler. En termes de rgulation, le systme est en boucle ouverte entre deux



f _ 0 1 _ 1 0 . e p s

E n r o u l e m e n t

d e N 1 s p i r e s

m o n t s u r n o y a u

f e r r o m a g n t i q u e

i 1

F 1

s p h r e f e r r o m a g n t i q u e

e n s u s t e n t a t i o n

0

x

L a m p e

L o u p e

P h o t o t r a n s i s t o r

A m p l i f i c a t e u r

S o r t i e s

E n t r e s

Figure 1.11 Sustentation magntique (src).

instants dchantillonnage, le rgulateur tant pendant cette priode aveugle etincapable de ragir toute variation de y(t). Le concept de base du systme dergulation numrique est-il raisonnable ? Des exemples peuvent frapper limagi-nation :

Exemple 1 Rgulation numrique de la position dun ascenseur/monte-charge.Le rgulateur a pour tche de maintenir lascenseur une position constanteimpose par la consigne. Ce faisant, il a finalement pour fonction de com-penser leffet de la pesanteur. Ose-t-on dlibrment le rendre "aveugle" lamajeure partie du temps ?

Exemple 2 Sustentation magntique dune sphre mtallique (figure 1.11).Il sagit dun systme "encore plus instable" que celui de lascenseur. Lergulateur doit crer un champ dinduction suffisant pour crer une forcecompensant leffet de la pesanteur mais doit viter que ce mme champ soittrop grand, auquel cas la sphre se colle trs violemment la bobine. Peut-on l aussi envisager "doublier" ce systme rgler entre deux instantsdchantillonnage ?

Exemple 3 Rgulation de la vitesse dun axe de machine-outil. On consi-



SS

-

+ ++

T p e r t

yu ( t ) wDA

DA

S

-

+w ( k ) A l g o r i t h m ed ur g u l a t e u r

u ( k )

y ( k )

e ( k )

t0 h h h h h

T p e r t

f _ 0 1 _ 1 1 . e p s

Figure 1.12 Systme de rgulation automatique de vitesse subissant des per-turbations rapides (src).

dre un axe de machine devant tourner vitesse constante (rgulationde maintien, figure 1.12), sur lequel agissent des perturbations de charge(impulsions de couple perturbateur) trs violentes en amplitude et trsbrves en dure (de dure comparable la priode dchantillonnage h).Un rgulateur numrique est-il en la circonstance rellement capable deremplacer un rgulateur analogique ?

Bien que ces interrogations soient pleinement justifies, il est facile dy r-pondre en rappelant :

quentre deux instants dchantillonnage, la grandeur de commande est vi-demment prsente. Dans le cas le plus courant, elle a une valeur constante,gale lamplitude de la dernire commande discrte u[k], selon 1.1.5page 16 ;

que la dure pendant laquelle le rgulateur est aveugle (soit la priodedchantillonnage h) est un paramtre part entire que lon fixe aprsune analyse approfondie de lapplication ;

quun systme rgler a toujours un comportement de type filtre passe-bas, excluant ainsi toute variation brutale (par exemple un saut) de lagrandeur rgle y(t).

Ces quelques exemples mettent dj en vidence le besoin dune analyse par-ticulire adapte lutilisation de rgulateurs numriques. Cette analyse ne peutavoir lieu que si lon dispose doutils thoriques puissants, spcifiques aux sys-tmes chantillonns, qui sont pour une bonne part dj fournis par les spcialistesdu traitement numrique des signaux.



M

J

y ( t )

w ( t )u ( t )u a ( t )

T

f _ 0 1 _ 1 2 . e p s

K m wR f

R a L aK T , K Ei a ( t )

Figure 1.13 Systme rgler : servo-moteur courant continu (src).

D

DA

S

-+

w ( k ) A l g o r i t h m ed u

r g u l a t e u rP I n u m r i q u e

u ( k )

y ( k )

e ( k )M

J

y ( t )

w ( t ) K m wu ( t )u a ( t )

A T

K TK E

f_01_13.eps

R fR a L ai a ( t )

Figure 1.14 Systme de rgulation automatique de vitesse par rgulateur PInumrique (src).

1.2 Exemple : asservissement de vitesse par r-gulateur PI numrique

Soit le systme rgler donn par le schma technologique de la figure 1.13. Onse propose dasservir ce systme en vitesse au moyen dun rgulateur numriquede type Proportionnel-Intgral ("Rgulateur PI"). Le schma fonctionnel dtaillde linstallation, comprenant le rgulateur numrique, est donn sur la figure 1.14.

La loi de commande de ce dernier sobtient par discrtisation de celle dunrgulateur PI analogique, laquelle tant

u (t) = Kp (e (t) + 1

Ti t

e () d)

o e(t) est le signal derreur.



Evalue linstant dchantillonnage k h, cette loi devient discrte et scrit :

u (k h) = Kp (e (k h) + 1

Ti kh

e () d)

La rsolution de lintgrale passe par le calcul de laire comprise entre laxe t etle signal e(t). Une approximation de cette aire peut tre faite par la mthode desrectangles (figure 1.15).

On se propose ainsi dapproximer cette aire par une somme de rectangles delargeur h et de hauteur

e(0 h)e(1 h). . .e(k h h)

On a : kh

e () d k1l=0

e(l h) h

La loi de commande discrte du rgulateur PI numrique devient :

u (k h) = Kp (e (k h) + 1

Tik1l=0

e(l h) h)

k h( k - 1 ) h

( k - 1 ) i m er e c t a n g l e

e ( t )e ( k )

e ( k - 1 )

h

e ( 1 )

e ( 0 )

h ( k + 1 ) h t ,k0

e ( k + 1 )

f _ 0 1 _ 1 7 . e p s

Figure 1.15 Approximation de lintgrale de lerreur par une somme de rec-tangles (src).

Cette forme se prte mal la programmation, puisquelle ncessite la mmo-risation de toutes les valeurs passes e(0), e(h), e(2 h),. . ., e(k h h) du signal



derreur numrique e(k h). Afin de contourner cette difficult, on peut crire leslois de commande aux instants prsent k h et et prcdent (k1) h et soustrairemembre membre :

u (k h) = Kp (e (k h) + 1Ti h

k1l=0

e (l h))

u ((k 1) h) = Kp (e ((k 1) h) + 1Ti h

k2l=0

e (l h))

u(k h) u((k 1) h) = Kp (e(k h) e((k 1) h) + 1Ti h

k1l=0

e(l h) 1Ti h k2l=0

e(l h))

En regroupant le termes relatifs au mme instant dchantillonnage, on obtientfinalement lexpression de la loi de commande recherche, aprs avoir allg lanotation en omettant la priode dchantillonnage h lorsque celle-ci intervientpour dsigner un instant (et non une dure !) :

u[k] = u[k 1] +Kp e[k] +Kp (h

Ti 1

) e[k 1]

Sous forme compacte, on a :

u[k] = u[k 1] + b0 e[k] + b1 e[k 1]

avec{b0 = Kpb1 = Kp

(hTi 1

) . La programmation du rgulateur PI numrique peutds lors prendre la forme suivante :void regulateur_PI ( ){

/ l i t l e contenu du r e g i s t r e de s o r t i e du conve r t i s s eu r A/D /AD_Conv(y [ 0 ] ) ;e [ 0 ] = w[ 0 ] y [ 0 ] ; / forme l erreur // Calcu le l a commande u [ k ] /u [ 0 ] = u [ 1 ] + b0 e [ 0 ] + b1 e [ 1 ] ;DA_Conv(u [ 0 ] ) ; / Commande l a convers ion D/A de u [ k ] /u [ 1 ] = u [ 0 ] ; / mise a jour , g e s t i on de l a p i l e u /e [ 1 ] = e [ 0 ] ; / mise a jour , g e s t i on de l a p i l e e /

}

On prsente sur la figure 1.16 page suivante la rponse indicielle discrte y[k] =[k] en boucle ferme (rgulation de correspondance), telle que lalgorithme laperoit au travers du convertisseur A/D. On y a superpos en pointill lallure dusignal analogique y(t) ainsi quon pourrait lobserver au moyen dun oscilloscopeanalogique.

Le signal de commande analogique u(t) prsente une variation caractristiqueen escalier (figure 1.17 page suivante), qui nest autre que la reconstitution parlment de maintien du signal numrique u[k] correspondant.



0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1

1.5Grandeur rgle (rgulateur PI numrique)

t, k

y[k], y

(t)

f_01_matlab_23_7.eps

Figure 1.16 Rponse indicielle discrte en boucle ferme, rgulation de corres-pondance, avec rgulateur PI numrique. La grandeur rgle analogique y(t) estgalement donne (src).

0 2 4 6 8 10 12 14 160

1

2

3

4

5

6Commande (rgulateur PI numrique)

t, k

u[k]

, u(t)


Figure 1.17 Commande u[k] dlivre par le rgulateur PI numrique dansle cas dun saut unit de consigne w[k]. Sa reconstruction analogique u(t) estgalement donne (src).



RAM, EEPROM

m P

AD

E L E M E N TD E

M A I N T I E N

MULTIPLEXEUR

ANALOGIQUE

H O R L O G E

ENTREES

/SORTIES

y 1 ( t )E L E M E N TD E

M A I N T I E N y 2 ( t )

y n ( t )

F I L T R EA N T I -

R E P L I E M E N T

F I L T R EA N T I -

R E P L I E M E N T

D A T A B U S & A D D R E S S B U S

AD

E L E M E N TD E

M A I N T I E N

DEMULTIPLEXEUR

ANALOGIQUE E L E M E N T

D E M A I N T I E N u 2 ( t )

u n ( t )

u 1 ( t )

COMMANDES

GRANDEURS

REGLEES

CIRCUIT DE

COMMUNICATION

f _ 0 1 _ 1 4 . e p s

Figure 1.18 Ralisation hardware typique pour un systme de rgulation nu-mrique (src).

1.3 Composants spcifiques dun systme de r-gulation numrique

1.3.1 Matriel

Une ralisation minimale dun systme de rgulation numrique se prsentesous la forme dcrite la figure 1.18.

Outre la prsence dj voque du processeur, des convertisseurs A/D et D/A,ainsi que dune horloge programmable permettant de fixer la priode dchan-tillonnage h, il est indispensable de disposer de mmoire RAM et/ou EPROM,dun certain nombre dentre/sorties digitales et finalement de circuits de com-munication. Ont galement t prvus des multiplexeur et dmultiplexeur analo-giques, ncessaires dans les installations de rgulation multivariable.



Processeur

Lavnement au dbut des annes 80 des processeurs de signaux (DSP : Digi-tal Signal Processor) a fourni aux ingnieurs-automaticiens la puissance de calculncessaire la mise en oeuvre dalgorithmes de rgulation volus (Texas Ins-truments, Nec, Analog Devices, Fujitsu, Motorola, etc). Ces processeurs, dontlensemble dinstructions est rduit, se caractrisent par une vitesse de calcul re-marquable ( 10 [ns] de dure de cycle instruction) et notamment par le fait quilsdisposent dun oprateur de multiplication hardware (donc ni cod ni micro-cod,mais cbl), rendant la multiplication de deux nombres (un coefficient et la va-leur dun signal numrique) aussi rapide que nimporte quelle autre instruction debase. A titre dexemple, la loi de commande du rgulateur PI numrique obtenueau 1.2 page 21 ncessite deux multiplications

u[k] = u[k 1] + b0 e[k] + b1 e[k 1]et limplantation en assembleur dune telle loi de commande pour le processeurDSP Texas TMS320F2407 (16 bits, virgule fixe) est donn ci-dessous :

REGULATEUR PI

LAC W,0 ;ACC = WSUB Y,0 ;ACC = WYSACL E_0,0 ; e r r eu r i n s t an t pre sent sauvegardee dans E0LAC U_1,12 ;ACC = 2^12U_1LT E_1 ; e r r eu r a l i n s t an t precedent dans r e g i s t r e T

MPYB1 ; r e g i s t r e P=B1E1 (B1=2^12b1 )LTDE_0 ;ACC=2^12U_1+B1E1 , E0 cop i e dansE_1MPYB0 ;P=B0E0 (B0=2^12b0 )APAC ;ACC=2^12U_1+B0E0+B1E1SACHU_0,4 ;U_0=U_1+b0E0+b1E1DMOVU_0 ;U0 cop i e dansU_1

A 10 [ns] de dure dexcution pour chaque instruction, mme pour les multi-plications, on voit que le processeur mettrait 10 10 [ns] = 100 [ns] = 0.1 [s]pour excuter le code du rgulateur PI numrique ci-dessus. Il manque dans lecode laccs aux registres des convertisseurs A/D et D/A afin dobtenir Y et deconvertir U_0 respectivement.

Le prix des processeurs DSP est tout fait abordable, si lon se contentede versions 16 bits virgule fixe, bien quactuellement certaines versions vir-gule flottante soient comptitives dun point de vue conomique. Le problme duprix est en fait report sur les composants priphriques, notamment la mmoireRAM, dont la rapidit doit concorder avec celle du processeur. Fort heureuse-ment, les DSPs daujourdhui (Texas TMS320F2407, Analog Devices ADMC401)comportent dsormais on chip de tels priphriques, linstar des microcontr-leurs voqus brivement ci-dessous.



Dans les applications trs dynamiques (entranements rgls, rgulation decourant), pour lesquelles la priode dchantillonnage est petite (h = 50 [s] 1 [ms]), le temps dexcution imparti lalgorithme de rgulation est ncessai-rement court, ce qui implique un code de longueur rduite. Par consquent, lesexigences en quantit de mmoire rapide peuvent devenir tout fait raisonnables(typiquement 4 64 [kbytes]).

Dautre types de processeurs trs bien adapts aux besoins de la rgulationnumrique sont galement disponibles sur le march : il sagit desmicrocontrleurs(Motorola, Hitachi, Nec, Siemens, etc), se distinguant par le fait quils intgrentsur une mme puce un processeur, des convertisseurs A/D et D/A multi-canaux,des compteurs/dcompteurs, des entres/sorties digitales, une horloge, de la RAMet de la PROM ainsi que des circuits de communication tel que par exemple desinterfaces pour le bus de terrain CAN. Ils sont oprationnels presque sans ajout decomposants externes. Par rapport aux DSPs, ils prsentent linconvnient dtremoins rapides, mais lvolution de ces circuits est fulgurante.

La vitesse du processeur choisi dpend compltement de lapplication et deses exigences en rapidit, et par consquent de la priode dchantillonnage h.Celle-ci peut prendre les valeurs suivantes (table 1.3.1), cites dans le but de fixerdes ordres de grandeurs [1] :

Grandeur chantillonne/ Domainedapplication

h

Courant dans les entranements rgls 50 . . . 100 [s]Position en robotique et machines spciales(imprimerie, textiles, emballage)

200 [s] . . . 1 [ms]

Position en machine-outil 500 [s] . . . 10 [ms]Dbit, pression, niveau 0.1 [s] 10 [s]

Table 1.1 Priodes dchantillonnage typiques, selon [1].

Les rsultats des calculs effectus par le processeur dterminant les com-mandes appliques dans lenvironnement immdiat par les actionneurs, le fonc-tionnement du processeur ou celui de lalgorithme devrait tre surveill par uncircuit de type watchdog.

Convertisseur analogique-digital

Les performances des convertisseurs A/D ont suivi une volution parallle celle de DSPs, mme si le prix dun convertisseur A/D rapide dune rsolution de12 bits est lev. Lavnement des convertisseurs A/D de type utiliss enmasse en audio-numrique na pour linstant pas amlior la situation de ce pointde vue l. Des temps de conversion de lordre de la microseconde sont courants.



Il existe des situations o le convertisseur A/D est superflu en tant que compo-sant, notamment lorsque le capteur de la grandeur rgler fournit une informationintrinsquement discrte. Cest par exemple le cas lors de lutilisation de capteursoptiques de position linaires ou rotatifs de type incrmental (encodeur optiqueincrmental, figure 1.19), que lon trouve trs frquemment dans le domaine dela machine-outil. Un codeur incrmental rotatif fournit par exemple 4096 impul-sions par tour quil suffit de compter pour connatre la position angulaire. Onmentionnera galement la conversion tension-frquence, alternative peu coteuse la conversion A/D. Le signal analogique sortant du capteur est une suite dim-pulsions module en frquence. Dans un cas comme dans lautre, lobtention dunnombre reprsentatif de la valeur instantane du signal mesur seffectue par unsimple compteur/dcompteur (soit un intgrateur numrique, 4.3.1 page 114).La plupart des microcontrleurs comportent plusieurs compteurs/dcompteurs.Formellement, la fonction conversion A/D est donc bien sr toujours prsente.

Figure 1.19 Capteur de position de type codeur incrmental.

En pratique, on peut (voire on doit...) souvent se contenter dune rsolutionde 10 12 bits. Il sagit dans la plupart des cas dune rsolution raisonnable, eugard aux rapports signal sur bruit des grandeurs convertir.

Il faut tre conscient du fait que le convertisseur A/D possde une caractris-tique statique non-linaire dont les effets ne sont pas toujours ngligeables ( 7.7page 265). Une introduction lanalyse des systmes non-linaires permettradvaluer leffet de la quantification sur la stabilit.

Souvent cependant, la rsolution du convertisseur A/D est suffisante pourque la prsence de cette non-linarit dans la boucle soit sans consquence no-table. Leffet de la quantification de lamplitude de y(k h) peut donc tre sansautre nglig, les signaux numriques tant alors assimils des signaux discrets.Cest lhypothse qui sera adopte pour la suite, et les deux dsignations serontindiffremment employes ( 3.2 page 90).



0 y

y q

f _ 0 1 _ 1 5 . e p s

D y q

Figure 1.20 Caractristique non-linaire dun convertisseur A/D. Leffet de laquantification de lamplitude (pas de quantification yq) du signal converti peuttre assimil un bruit sur la mesure. La variance de ce bruit a pour expression2q =

yq12 ( 7.7 page 265 et [9], 10.3.4) (src).

Convertisseur digital-analogique

Il sagit de llment posant le moins de difficult, quel que soit le point devue. Cest fonctionnellement un composant relativement simple raliser, sontemps de conversion nest pas comparable aux autres temps morts de la boucle(conversion A/D et dure dexcution de lalgorithme, 1.6.2 page 48) et son prixnest pas dterminant dans le cot global du circuit.

Sa rsolution est suppose infinie pour la suite du cours, mme si elle se monteen ralit souvent 12 bits.

1.3.2 Logiciel

Il faut relever le fait que la tche de rgulation proprement dite nest quunepetite partie de lensemble du code, le processeur pouvant et devant effectuer biendautres tches annexes indispensables au bon fonctionnement de lapplication.

Routine de rgulation

La squence des oprations effectues ds linstant k h et pendant une dureinfrieure la priode dchantillonnage h est gnralement la suivante (voirgalement figure 1.31 page 44) :



Lecture et traitement du rsultat

de la conversion A/D (=> y(k))

Excution de l'algorithme de

rgulation

=> u(k) = f(w(k), w(k-1), ...,y(k), y(k-1),...) )

Lancement d'une conversion D/A

de la commande u(k) => u(t)

Mises jour, lecture de la

prochaine consigne w(k+1)

k k + 1

h

T c o n v A D T c o n v D AT c a l c u l

Lancement d'une conversion A/D

de la grandeur rgle y(t)

Lancement d'une conversion A/D

de la grandeur rgle y(t)

t

k k + 1 t

T c h e s

etc

interruption

S i g n a l d ' h o r l o g e( b a s e d e t e m p sp o u r d f i n i r h )

f _ 0 1 _ 1 6 . e p s

Figure 1.21 Visualisation de la squence des oprations effectues par le logicieldun systme de rgulation numrique (src).

Opration1 Le signal dhorloge gnre une interruption.2 Le processeur commence lexcution de sa routine dinterruption,

lance la conversion A/D de y(t). Celle-ci termine, il lit le nombrey[k] , rsultant de lchantillonnage de y(t) linstant t = k h.

3 Excution de lalgorithme de rgulation, version programme dela loi de commande du rgulateur numrique, avec en principe lecalcul de lcarte(k h) = w(k h) y(k h)Le rsultat est la commande u[k] appliquer au systme rgler.

4 Le processeur lance la conversion D/A de u[k] ; il en rsulte u(t).5 Fin de la routine dinterruption, excution de tches de fond.



La minimisation de la dure de calcul passe naturellement par un code delongueur rduite, qui sobtient parfois au prix dun effort soutenu doptimisation,que le langage de programmation soit de haut niveau (le plus souvent C) ou duniveau machine (assembleur). Dans certains cas, on est contraint de faire descompromis quant la portabilit, la structuration et la lisibilit du code. Si cescompromis ne concernent que la routine de rgulation (la loi de commande), soitune trs petite partie de lensemble, ils peuvent tre exceptionnellement accepts.

Gestion de la mesure (conversion A/D, slection du canal et/ou ducapteur)

Le processeur est normalement charg de la gestion de la conversion A/D. Laslection du signal convertir (cas de rgulation multi-variables), le traitement dela valeur brute issue du convertisseur lui incombent. Entre autres tches, on peutimaginer des routines effectuant un filtrage numrique de la mesure ou traitant lescas o celle-ci est temporairement absente ou non-valide (parasite, saturation duconvertisseur A/D). Par exemple, une tche peut avoir pour but pallier labsencedune mesure en la reconstituant par extrapolation des donnes prcdentes oupar un procd de dtection denveloppe.

Rception / gnration de la consigne

Si la consigne est cre dans une autre unit ou provient directement dunsignal analogique, il suffit au processeur charg de la rgulation de la rceptionnerpar ses circuits de communication (cas dune consigne numrique transmise parbus de terrain) ou de la convertir en un signal numrique en ayant recours unconvertisseur A/D.

La gnration de consigne est un travail considrable, trs gourmand en tempsde calcul. De surcrot, sa programmation en virgule fixe peut relever de lexploit.Si ce travail est du ressort du processeur, les performances de ce dernier et lapriode dchantillonnage doivent tre choisies aprs une tude soigne.

Exemple : consigne "bang-bang" La consigne bang-bang est gnre pardeux courbes du second ordre (paraboles) raccordes (haut de la figure 1.22 pagesuivante). Elle est naturellement plus douce quune consigne en forme de sautunit, mais cette douceur nest quapparente.

En imaginant quil sagisse dune consigne de position angulaire (c[k]), sesdrives premire et seconde reprsentent respectivement les consignes de vitessec[k] et dacclration c[k]. Cette dernire montre un profil discontinu, o lesphases dacclration/freinage, bien visibles, sont brutales. Le couple moteur cor-respondant aura une allure similaire, provoquant une sollicitation importante delactionneur.



0 5 10 15 20 25 300

0.5

1w

(k)

Consigne de position c(k)

0 5 10 15 20 25 301

0

1

2

3

c(k

)

Consigne de vitesse c(k)

0 5 10 15 20 25 305

0

5

10

k

c(k

)

Consigne d"acclration c(k)

f_01_matlab_60_1c.eps

Figure 1.22 Consigne de position produite par un gnrateur de consigne detype "bang-bang" (src).

La difficult de la gnration de telles consignes survient lorsquelles doiventtre programmes en nombres entiers : il faut alors simultanment satisfaire lescontraintes suivantes :

toutes les valeurs instantanes des 3 signaux c[k], c[k] et c[k] doiventtre arrondies, par exemple avec une rsolution de 16 bits sans que cela nerajoute des discontinuits dans le mouvement ;

il faut que la somme (lintgrale) des acclrations c[k] concide en toutinstant k parfaitement avec la vitesse c[k], de mme que la somme dec[k] doit correspondre c[k]. Si cela nest pas respect, les 3 consignes neseront pas concordantes, ce dgradera les performances de lasservissementsi celui-ci comporte, comme souvent, des commandes anticipes ( 7.3page 229).



AD

AD

w ( k )

y ( k )

u ( t ) y ( t )A l g o r i t h m ed u

r g u l a t e u rS Y S T E M EA

R E G L E R

u ( k )v

u+ u m a x

- u m a x

L I M I T A T I O Nv ( k )

f _ 0 1 _ 1 8 . e p s

Figure 1.23 Insertion dun disposition de limitation de la grandeur de com-mande. La ralisation de ce dispositif se fait avantageusement par logiciel (src).

Limitation, surveillance et protection

Lactionneur utilis ayant ncessairement un domaine de fonctionnement li-mit (par exemple couple maximum dun moteur lectrique), il est logique de nepas lui demander plus quil ne peut. Cest la raison pour laquelle une limitationlogicielle de la commande u[k] doit faire partie de lalgorithme de rgulation.Cette limitation prsente le double avantage de protger lactionneur (une limi-tation hardware supplmentaire peut tre requise) et dinformer le rgulateur quela commande demande ne pourra tre ralise.

Le processeur, en ayant connaissance chaque instant dchantillonnage dela grandeur rgle et de la commande, est mme de surveiller le fonctionne-ment de linstallation. Une grandeur rgle divergente, incontrlable doit tredtecte temps et lalgorithme doit dcider (selon des critres dfinir) desdispositions prendre (arrt durgence, signalisation en amont, etc). De mme,une commande en tat prolong de saturation, ou oscillante peut tre le signedun mauvais fonctionnement ou dune inadquation des performances requiseset celles effectivement possibles.

Tches de fond

Il existe moult tches annexes ou secondaires ncessaires au fonctionnementsr dune installation mme simple. Beaucoup dentre-elles peuvent sexcuter un rythme bien infrieur celui fix par la priode dchantillonnage, et dautres,lourdes en temps de calcul, voient leur excution rpartie sur plusieurs priodesdchantillonnage. Ces tches vont du plus simple au plus compliqu, passant pardes surveillances diverses, des affichages de ltat actuel (diode LED, affichage7 segments, etc), le dialogue avec la commande matre, le monitoring de certainesvariables, etc.



1.4 Comparaison des rgulateurs numriques etanalogiques

1.4.1 Points faibles et points forts des rgulateurs num-riques

Le principal avantage dun rgulateur numrique est sans nul doute la facilitavec laquelle une loi de commande mme complique peut tre programme. Lamodification des coefficients de cette loi en vue de ladapter diffrents systmes rgler est une opration extrmement simple, automatique dans certains cas(rgulateur STR : Self Tuning Regulator). Quant au changement de la loi decommande (modification de la structure du rgulateur), elle nimplique quunereprogrammation, suivie dune compilation et enfin dun chargement/tlcharge-ment du nouveau code excutable.

Sur cette base de comparaison, un rgulateur numrique supplante indiscuta-blement sa version analogique. Nanmoins, un rgulateur numrique possde uncertain nombre de points faibles (tableau 1.4.1 page 36).

Le dveloppement dtaill de ces points sera effectu dans des chapitres sui-vants. En regard de ces inconvnients, il faut videmment numrer les pointsforts dun rgulateur numrique (tableau 1.4.1 page 37).

De plus, il faut insister sur le fait que ds le moment o lon dispose dunprocesseur pour effectuer la rgulation, on en profitera pour lui faire excuterde multiples autres travaux (surveillance, protection, monitoring), un degr telque la fonction de rgulation devient en complexit et en temps dexcution trssecondaire. Sur ce plan l, un rgulateur numrique est imbattable, et cet aspectdoit tre pris en compte lors de la comparaison prix/performances des deux typesde rgulateurs.

1.4.2 Exemple : comparaison des performances de rgu-lateurs PI analogiques et numriques

Les rponses indicielles en boucle ferme suivantes sont celles correspondantaux cas o :

1. Le rgulateur PI est analogique, le gain est optimal (=0.5) ; voir fi-gure 1.24 page ci-contre ;

2. Le rgulateur PI est numrique, les gains tant les mmes quen 1). La com-paraison avec la rponse indicielle obtenue sous les conditions 1) montreque le systme asservi par le rgulateur numrique a un degr de stabilitmoindre ; voir figure 1.24 page suivante ;

3. Le rgulateur PI est numrique, les gains tant rajusts de faon que lecomportement soit optimal ( = 0.5) comme en sur la figure 1.24. On



0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1

1.5Grandeur rgle (rgulateur PI analogique et numrique)

t, k

y[k], y

(t)


Figure 1.24 Rponses indicielles de 2 systmes asservis, lun par un rgulateurPI analogique et le second par un rgulateur PI numrique. Les gains Kp et Tiinstalls sont identiques. On observe que le rgulateur PI numrique offre undegr de stabilit moindre (src).

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1

1.5Grandeur rgle (rgulateur PI analogique et numrique)

t, k

y[k], y

(t)


Figure 1.25 Rponses indicielles de 2 systmes asservis, lun par un rgulateurPI analogique et le second par un rgulateur PI numrique. Les gains Kp et Tiutiliss pour le rgulateur numrique ont d tre rduit afin doffrir un degr destabilit identique (src).



Points faibles dun rgulateur numrique compar un rgula-teur analogique

1 Observation discontinue de la grandeur rgle (systme en boucle ouverteentre deux instants dchantillonnage).

2 Sans prcautions particulires, insertion de non-linarits dans la bouclede rgulation, dues la quantification des convertisseurs, la prcision decalcul finie du processeur et au procd dchantillonnage (recouvrementspectral). Ces non-linarits peuvent avoir un effet dstabilisant (cycleslimites) et introduisent des bruits supplmentaires, voire des battements.

3 Insertion de retards purs dans la boucle de rgulation : temps de conversion A/D ; temps dexcution de lalgorithme de rgulation ; temps de conversion D/A.

4 Insertion dans la boucle de rgulation dun retard supplmentaire d la construction imparfaite de la commande analogique partir de lacommande numrique.

5 Insertion dans la boucle de rgulation dun retard (dphasage) suppl-mentaire d la prsence dun filtre anti-repliement (voir cours de trai-tement de signal et chapitre2 du prsent cours).

6 Excitation possible de modes rapides mal amortis du systme rgler encas de commande variant par sauts brusques (quantification grossire duconvertisseur D/A).

7 Synthse frquentielle plus dlicate.8 Infrastructure logicielle lourde (mulateur, compilateur, assembleur, di-

teur de liens).9 Pour un rgulateur simple, grand nombre de composants, dune com-

plexit suprieure.10 A structure et gains du rgulateur identiques (par exemple PI analogique

et PI numrique), le rgulateur analogique offre des performances sup-rieures.



Points forts dun rgulateur numrique compar un rgulateuranalogique

1 Souplesse demploi exceptionnelle, modification aise des paramtres etde la structure du rgulateur.

2 Adaptation (en temps rel ou off line) des paramtres du rgulateur enfonction des variations de ceux du systme rgler ("gain scheduling"(prvision du gain) et commande adaptative).

3 Ralisation aise de rgulateurs complexes, lois de commande raffines.Facilit de mise en oeuvre de commandes anticipatrices (compensationpar rapport la consigne ou certaines perturbations). Mise en oeuvredalgorithmes de rgulation sans quivalent analogique (rgulateur r-ponse pile, "deadbeat").

4 Insensibilit de la caractristique entre-sortie du rgulateur aux para-sites, aux variations de temprature, au vieillissement, etc.

5 Pas de dispersion des paramtres du rgulateur en cas de fabrication ensrie.

6 Prise en compte de dfauts, des limites et comportements particuliers dusystme rgler (non-linarits, saturation) par simple programmation.Linarisation autour dun point de fonctionnement ajustable.



observe qu degr de stabilit identique, le rgulateur analogique offre demeilleures performances ; voir figure 1.25 page 35.

1.4.3 Exemple : commande anticipatrice (ou commande apriori)

Lexemple du paragraphe prcdent montre clairement la supriorit du r-gulateur analogique sur son quivalent numrique. Montrons qu degrs de sta-bilit identiques, un asservissement par rgulateur numrique, en principe pluslent, peut tre rendu plus rapide que son concurrent 100% analogique par simpleadjonction dune commande anticipatrice ( 7.3 page 229) dont la programmationest extrmement simple.

0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Poursuite dune consigne bang bang: consignes et grandeurs rgles

w, y a

na

logi

que,

y n

um

riq

ue

wy

analogiquey

numrique (a priori)

0 2 4 6 8 10 12 140.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Poursuite dune consigne bang bang: erreurs

t [s]

e an

alo

giqu

e, e n

um

riq

ue

eanalogique

enumrique (a priori)


Figure 1.26 Amlioration des performances par commande anticipe ou apriori (src).

On considre le cas dun asservissement par rgulateur P. Les gains des rgula-teurs analogique et numrique sont ajusts de faon ce que le degr de stabilitsoit identique en boucle ferme. La commande du rgulateur P numrique esttoutefois complte par une commande anticipe compensant grosso modo leffet



des constantes de temps dominantes du systme rgler ( 7.3 page 229). Laroutine de rgulation devient :

void regulateur_P ( ){

AD_Conv(y [ 0 ] ) ; / l i t l e contenu du r e g i s t r e de s o r t i e du conve r t i s s eu r A/D/e [ 0 ] = w[ 0 ] y [ 0 ] ; / forme l erreur // Calcu le l a commande u( k ) /u [ 0 ] = Kp e [ 0 ] + t0 w[ 0 ] + t1 w[ 1 ] + t2 w [ 2 ] ;DA_Conv(u [ 0 ] ) ; / Commande l a convers ion D/A de u( k ) /w[ 2 ] = w [ 1 ] ; / mise a jour , g e s t i on de l a p i l e w /w[ 1 ] = w [ 0 ] ;

}

Afin de rendre la simulation significative (comme le montre la loi de com-mande, il faut que la consigne volue pour que les commandes anticipes ap-portent une amlioration), une consigne de type bang-bang (selon 1.3.2 page 31)est applique au systme asservi ; la figure 1.26 page ci-contre montre les rponsesen boucle ferme dans les deux cas.

La visualisation de lerreur dans les deux cas (bas figure 1.26 page prcdente)montre que non seulement la dure de rglage est plus faible, mais quil en estgalement ainsi de lerreur en rgime transitoire.

On conoit que la commande anticipatrice ralise analogiquement donnera demeilleurs rsultats encore. Mais les modifications ncessaires du circuit pourrontla rendre conomiquement impossible raliser.

En guise de conclusion de ce paragraphe, on rappellera qu structure et gainsidentiques, un rgulateur numrique est toujours moins performant que sa ver-sion analogique. Ce nest quen exploitant la souplesse demploi dun rgulateurnumrique quon peut le rendre plus performant.



1.5 Justification dune tude spcifique des sys-tmes asservis numriquement

Lexemple de la rgulation de vitesse trait au 1.2 page 21 peut laisser croireque la synthse dun rgulateur numrique repose compltement sur les mthodesvues en analogique. Au pire, une lgre diminution des gains peut savrer n-cessaire afin de conserver un degr de stabilit suffisant ( 7.4.10 page 252). Ilne sagirait que dun ajustage, rendant le prsent cours de rgulation numriquesuperflu . . .

Cette optique est la fois vraie et fausse ; vraie car il est juste que moyennantquelques simples prcautions, les procdures de synthse frquentielles et com-plexes (lieu des ples) des rgulateurs analogiques peuvent tre appliques avecsuccs leurs correspondants numriques. Les prcautions prendre consistentessentiellement :

1. Sassurer que la priode dchantillonnage h soit faible par rapport auxconstantes de temps dominantes en boucle ouverte et ferme ;

2. A prendre en compte le retard pur total imputable au fonctionnement enmode chantillonn.

La satisfaction simultane de ces deux exigences conduira de trs bons r-sultats. Il sagit de la mthode pseudo-continue, tudie ultrieurement (chap.6).

Cette faon de faire possde nanmoins quelques points faibles :1. Une priode dchantillonnage faible est synonyme dun cot lev en ma-

triel. Parfois, il est dsirable dobtenir la mme qualit de rgulation pourune priode dchantillonnage compatible avec les impratifs conomiques,voire techniques (plus la priode dchantillonnage est faible, moins il y ade temps disponible pour dautres tches que la rgulation). Le problmedu choix de la priode dchantillonnage nest pas facile traiter. Il nexistepas de rgle stricte permettant de la fixer. Il faudra donc y revenir plu-sieurs fois dans ce cours, aprs avoir acquis une certaine exprience pourdfinir une mthode de calcul.

2. Si lon y prend pas garde, lchantillonnage des signaux peut induire desphnomnes trs complexes identifier, pnalisant les performances ; onsexpose ainsi lapparition de comportements tout fait inattendus.Exemple : battement provoqu par le non-respect du thorme dchan-tillonnage (figures 1.27 page ci-contre et 1.28 page suivante, selon [1]).On considre lchantillonnage et la reconstruction immdiate, sans trai-tement, dun signal analogique u(t) constant bruit par un signal sinusodalde frquence 0.52 [Hz] (voir figure 1.27 page ci-contre).La frquence dchantillonnage fe est de 1 [Hz]. La figure 1.28 page suivantemontre lapparition de composantes spectrales de basses frquences, nonvisibles dans le spectre du signal dentre.



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

u(t)

, u(k)

Souschantillonnage dun signal analogique

f_01_matlab_43_44_1.eps

Figure 1.27 Echantillonnage du signal sinusodal u(t) = 0.4 + 0.1 sin (2 pi 0.52 [Hz] t) (src).

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t [s]

y(t)

Reconstruction du signal analogique

f_01_matlab_43_44_2.eps

Figure 1.28 Battement provoqu par le non-respect du thorme de lchan-tillonnage (src).



10 100 700 1300 10000150

140

130

120

110

100

90

80

f [Hz]

|Y N(

)/UN

()| [

dB] (f

e=8k

Hz)

10 100 700 1300 10000150

140

130

120

110

100

90

80

f [Hz]

|Y N(

)/UN

()| [

dB] (f

e=2k

Hz)

f_replie_01_5.eps

Figure 1.29 Identification de la rponse harmonique dun systme rglerayant une rsonance vers 1.3 [kHz] : dans le premier cas, la frquence dchan-tillonnage est fe = 8 [kHz] et convient, contrairement au second cas (fe = 2 [kHz])o en plus dun pic 1.3 [kHz] apparat un autre pic vers 700 [Hz] (src).

La figure 2 montre les rsultats de lidentification de la rponse harmoniquedun systme rgler industriel (systme dimpression de haute prcision)pour 2 frquences dchantillonnages. Pour fe = 8 [kHz], on observe trsdistinctement une rsonance 1.3 [kHz] alors que pour fe = 2 [kHz], 2rsonances apparaissent 700 [Hz] et 1.3 [kHz]. Dans ce dernier cas, fenest manifestement pas assez leve et provoque un phnomne identique celui observ sur la figure 1.28 page prcdente, i.e. linjection de basses-frquences dans le spectre du signal chantillonn.



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6Rponse indicielle analogique y(t) et chantillonne y(k)

t [s], kf_01_matlab_66_3c.eps

Figure 1.30 Oscillation (amortie) quasi invisible au rgulateur numrique (src).

Dautres phnomnes peuvent se manifester. La figure 2 montre la gran-deur rgle analogique y(t) dun systme asservi numriquement et sa ver-sion chantillonne y[k]. Loscillation bien visible de y(t) napparat ab-solument pas dans y[k], donc le rgulateur numrique ne peut la voir etnentreprend par consquent aucune action.Les systmes mixtes (numriques et analogiques) peuvent prsenter uncomportement non-stationnaire, comme dans lexemple de la figure 1.31page suivante, o le signal analogique dentre u(t) est filtr numrique-ment. En effet, on voit sur la figure 1.32 page suivante que y(t) est retardpar rapport u(t) dune valeur dpendant de linstant dapparition deu(t).



DAy ( k ) y ( t )

u ( k )

A L G O R I T H M E AD

u ( t )kt

H O R L O G E

f e

F I L T R E N U M E R I Q U E f _ 0 1 _ 1 9 . e p s

Figure 1.31 Filtre numrique : le signaux dentre u(t) et sortie y(t) sontanalogiques, seul le traitement est numrique (src).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

u(t)

, u(k)

, y(t)

Rponse indicielle dun filtre numrique

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t [s], k

u(t)

, u(k)

, y(t)


Figure 1.32 Rponses indicielles du filtre numrique de la figure 1.31 : selonlinstant dapplication du signal dentre u(t) filtrer, la rponse (analogique)y(t) pourra tre diffrente (src).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

k

y(k)

Rponse indicielle dun systme de rgulation automatique rponse pile


Figure 1.33 Systme asservi par un rgulateur rponse pile (src).

3. En sastreignant analyser les systmes numriques en tant que tels, sanstoujours vouloir leur trouver des quivalents analogiques, on rentabiliselinvestissement du processeur en exploitant au mieux le potentiel num-rique quil offre. Qui plus est, de nouveaux algorithmes de rgulation,purement numriques, peuvent tre dvelopps : cest par exemple le casdu rgulateur rponse pile (figure 3).On observe que la grandeur rgle atteint la consigne exactement aprsdeux priodes dchantillonnage, comportement sans quivalent analogique.



0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.031.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

t [s]

Poursuite sans dphasage dune consigne sinusodale (rgulateur RST)

Consigne

Grandeur rgle

Figure 1.34 Poursuite dune consigne sinusodale sans erreur (src).

Un autre exemple est celui de la poursuite, sans dphasage et donc sanserreur, dune consigne sinusodale (figure 1.34).



0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

y(t)

Rponse indicielle

Treg+/5%=6.2[s]

TdepT10%

T90%

Tm

=1.3[s]

D=23.1788%

yInf=1


Figure 1.35 Rponse indicielle en boucle ferme avec rgulateur analogiquepour effectuer le choix de la priode dchantillonnage h (src).

1.6 Une premire procdure de synthseOn propose ici une premire mthode de synthse, fort utilise en pratique

et simple appliquer puisquelle ne ncessite presque aucune connaissance dessystmes chantillonns. Mise en oeuvre au laboratoire de rgulation automatiqueds le dbut du semestre dt, cette mthode est dj prsente en introductionde ce cours, dans le but de faciliter la comprhension de phnomnes particuliersqui seront observs.

La mthode consiste remplacer un systme de rgulation numrique par unsystme analogique quivalent. Cette quivalence est obtenue par le biais dunretard pur insr dans la boucle.

1.6.1 Hypothses concernant la priode dchantillonnageh

Lapplication de la mthode propose ne donne des rsultats satisfaisants quesi la priode dchantillonnage h est petite par rapport au temps de monte dela grandeur rgle y(t). Comme ordre de grandeur, h doit tre li la dure derglage Trg par la relation

N = Trgh

= 4 . . . 10



ADw ( k ) u ( t )

y ( t )

u ( k ) S Y S T E M EA

R E G L E R

ADy ( k )

A L G O R I T H M EF I L T R EA N T I -

R E P L I E M E N T

t e m p s d e m o n t e d uf i l t r e a n t i - r e p l i e m e n t

t e m p s d e c o n v e r s i o nA / D , y c o m p r i su n t e m p s d e m a i n t i e np r c d a n t l a c o n v e r s i o n

r e t a r d d l a m t h o d ed e r e c o n s t r u c t i o nt e m p s d e c a l c u l

y ( t )

t e m p s d ec o n v e r s i o n D / A

f _ 0 1 _ 2 0 . e p s

Figure 1.36 Inventaire des retards dun systme de rgulation numrique (src).

indiquant que 5 11 chantillons (figure 1.35 page prcdente) doivent tre me-surs lors de ltablissement de y(t). Dans la rgle, on choisira plutt 10 que5.

Dans cette relation, Trg est la dure de rglage du systme asservi, i.e. ladure ncessaire pour que y(t) passe de 0% 5% de sa valeur finale, et N estle nombre de priodes dchantillonnage mesures pendant Trg.

Dans la plupart des cas, cest le temps de monte de la rponse indicielleen boucle ferme qui est le plus faible, les contraintes sur la dure de rglageprovoquant souvent une diminution considrable de Trg par suite dune contre-raction gain dynamique lev.

1.6.2 Inventaire des retardsPar comparaison avec une boucle rgulation analogique, un systme de rgu-

lation numrique possde une srie de retards incontournables (figure 1.36). Enrappelant ce qui a t dit au 1.4 page 34, on relve lexistence de retards dusau filtre anti-repliement (voir chap.2), aux conversions A/D et D/A, au tempsde calcul et au principe de reconstruction du signal analogique u(t) partir deu(k). En pratique, seuls ces deux derniers sont importants.

Retard d au filtre anti-repliement

Ce filtre tant par nature ralis analogiquement (voir chap.2), sa fonction detransfert doit tre incorpore celle du reste de la boucle analogique (amplifica-



teur de puissance, actionneur, systme, capteur, etc). Si la priode dchantillon-nage est choisie selon les indications du 1.6.1 page 47, leffet de ce filtre peutsouvent tre nglig.

Retards dus aux conversions (TconvAD et TconvDA)

Les temps de conversion A/D et D/A, TconvAD et TconvDA peuvent tre souventngligs, se montant des valeurs de lordre de

h

100 . . .h

10On doit nanmoins vrifier cette hypothse dans chaque cas.

Retard d au temps de calcul (Tcal)

Le temps de calcul Tcal dpend bien sr de la vitesse du processeur et de lacomplexit du rgulateur. Il est difficile de citer un chiffre, mais compte tenu desrflexions du 1.4.1 page 34, un temps de calcul de lordre dune demi-priodedchantillonnage semble tre un maximum :

Tcal 2 max

La dmonstration de ce thorme est due Shannon (1949). Il est fondamentalpour les systmes chantillonns et ses consquences pratiques sont trs impor-tantes. Il montre quun signal analogique peut tre dcrit compltement, sansperte dinformation, par la suite complte de ses chantillons pour autant quela pulsation dchantillonnage e soit au moins gale au double de la plus grandepulsation max contenue dans le signal analogique.

On note que la demi-pulsation dchantillonnage possde une importance cru-ciale ; elle porte le nom de pulsation de Nyquist :

N =12 e > max

2.3.2 Consquences et ralits pratiquesLe thorme de lchantillonnage impose une limite infrieure absolue pour la

pulsation dchantillonnage e. Il part cependant de lhypothse que le signal ana-logique xa(t) subissant lchantillonnage est largeur de bande limite max. Hors,il faut tre conscient quen ralit [[9], 9.3.2], tout signal analogique physi-quement ralisable ne peut tre bande limite. Son chantillonnage,mme rapide, provoque donc invitablement un certain recouvrement spectralcar max

Toutefois, lnergie+ x

2a () d dun signal rel tant ncessairement finie,

on peut dmontrer que le spectre damplitude tend vers zro lorsque lafrquence tend vers linfini.



Ainsi donc, bien que le recouvrement spectral ait effectivement toujours lieu,ses consquences peuvent tre limites si la pulsation dchantillonnage e estchoisie suffisamment leve.

Bien que le spectre tende effectivement vers 0 pour les hautes frquences,cette tendance peut apparatre des frquences si hautes quafin de respecter la lettre le thorme de lchantillonnage, une pulsation dchantillonnage devaleur forcment trs leve devrait tre choisie. Cest notamment le cas lorsque lespectre de certains signaux est accidentellement largi par la prsence de bruits,dont lchantillonnage selon les conditions de Shannon :

requiert une pulsation dchantillonnage plus leve que celle qui seraitstrictement ncessaire pour chantillonner le signal utile ;

est parfaitement inutile, linformation recherche tant concentre dans lapartie non-bruite du signal.

Ainsi, on peut parfois tre tent de choisir une pulsation dchantillonnage deplus faible valeur, a priori sans respecter la lettre le thorme de lchantillon-nage.

En dautres circonstances, des impratifs techniques ou conomiques imposentune pulsation dchantillonnage limite une valeur bien plus modeste que 2max.Les consquences dun fort recouvrement spectral tant dans le mme tempsinacceptables, le strict respect du thorme de lchantillonnage reste impratif etnanmoins possible condition dliminer (tout au moins attnuer) pralablement lchantillonnage toutes les composantes spectrales du signal analogique situesau-del de la pulsation de Nyquist N = 12 e.

Cette opration doit donc tre effectue ncessairement avant celle de lchan-tillonnage, par un filtre nomm filtre anti-recouvrement, dont ltude fait lobjetdu paragraphe suivant.

2.3.3 Filtre anti-recouvrementEn pratique, la pulsation dchantillonnage e nest pas slectionnable lenvi.

Des impratifs lis la ralisation matrielle et notamment aux cots de celle-ciimposent souvent la gamme de e.

Or, un chantillonnage des signaux ne provoquant aucune perte dinformationest garanti selon Shannon pour autant que leur largeur de bande soit infrieure la pulsation de Nyquist :

max < N =12 e

Cette rgle ne peut tre observe que lorsquun filtre passe-bas trs slectif estinsr en amont du convertisseur A/D (figure 2.8 page suivante).

Ce filtre, appel filtre anti-recouvrement (ou "anti-repliement", voire "an-tialiasing"), a pour charge dliminer les composantes spectrales de pulsations



A Ds i g n a la n a l o g i q u eb r u t

x ( k )x a ( t )F I L T R EA N T I -R E C O U V R E M E N T

f _ 0 2 _ d e s i g n e r _ 0 2 . e p s

Figure 2.8 Un filtre anti-recouvrement est ncessaire avant la conversion A/Dpour prvenir du recouvrement spectral (src).

suprieures celle de Nyquist. Sa pulsation de coupure c doit donc tre ajuste la pulsation de Nyquist N

N =12 e

Il va de soi que les composantes essentielles du signal chantillonn ne doiventpas tre altres pas le filtre. Thoriquement, un filtre anti-recouvrement doittre idal, de rponse harmonique (fentre frquentielle, figure 2.9) :

W (j ) = () ( e2

)

8 6 4 2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

[rad/s]

|X a(j

)|, |W

(j)|,

|W(j

)||Xa(j

)|

e=2 [rad/s], N=1 [rad/s]

|Xa()|

|W()||W()||X

a()|

f_ch_02_22_2.eps

Figure 2.9 Visualisation des spectres du signal analogique original xa(t) etdu filtre anti-repliement idal, lequel limine toutes les composantes spectrale deXa(j ) suprieures N = e2 (src).



8 6 4 2 0 2 4 6 80.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k = t/h

g(t)

Filtre passebas idal: rponse impulsionnelle

f_ch_02_03_1c.eps

Figure 2.10 Rponse impulsionnelle dun filtre passse-bas idal : elle dmarreavant lexcitation ! Le filtre passe-bas idal nest donc pas causal (src).

Malgr toutes ses qualits apparentes, un tel filtre prsente le grave inconv-nient de ne pas tre causal et par consquent de ne pas tre ralisable en tempsrel. En effet, la rponse impulsionnelle du filtre passe-bas idal (un sinus cardi-nal) dmarre avant lexcitation (figure 2.10) !

Pour des motifs de ralisabilit, on doit donc pratiquement se contenter dunfiltre dordre idalement trs lev (4 8), le plus souvent de type Butterworthou Bessel.

Un tel filtre doit tre intgr tout systme chantillonn, mme si unepartie de son action est souvent dj ralise par le systme rglerlui-mme, ce dernier tant par nature de type filtre passe-bas.

Le filtre anti-recouvrement est invitablement vu dun mauvais oeil par lingnieur-automaticien. Il provoque en effet des dphasages (quasi synonymes de retards,figure 2.11 page ci-contre) considrables dans la boucle de rgulation, diminuant,pour une prcision donne, le degr de stabilit (typiquement : baisse de la margede phase m). Il faut en effet se rendre compte (figure 2.12 page suivante) quunfiltre dordre n provoque un dphasage final de n 90 [], un dphasage importantintervenant dj en basse frquence, dans la zone des frquences de travail, lmme o le critre de stabilit de Nyquist doit tre satisfait (zone o lon mesureen particulier la pulsation de coupure 0 [dB] en boucle ouverte co). A titreindicatif, un filtre dordre 4 de pulsation de coupure c = N dphase grossomodo de 445 [

]10 20 [] en c10 , ce est qui loin dtre ngligeable.



0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

Rponse indicielle dun filtre de Butterworth dordre 4

f_fil_a_al_1.eps

Figure 2.11 Rponse indicielle dun filtre passe-bas de type Butterworth, ordre4, utilis typiquement comme filtre anti-repliement (src).

101 100 10180

60

40

20

0Rponse harmonique dun filtre de Butterworth dordre 4

gain

[dB]

101 100 101180

135

90

45

0

45

90

180

[rad/s]

phas

e [de

gr]

f_fil_a_al_2.eps

Figure 2.12 Rponse frquentielle dun filtre passe-bas de type Butterworth,ordre 4 : le dphasage est considrable et son effet intervient dj en basse fr-quence, i.e. dans la zone de travail de lasservissement. Comparativement unasservissement analogique, cela se traduit par une baisse nette de la marge dephase m et par suite du degr de stabilit (src).



8 6 4 2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

[rad/s]

|X a(j

)|, |W

(j)|,

|W(j

)||Xa(j

)|


|Xa()|

|W()||W()||X

a()|

f_ch_02_23_2c.eps

Figure 2.13 Un filtre passe-bas idal tant impossible raliser, on doit secontenter dun filtre dont lattnuation est progressive (par exemple 80

[dBdc.

]).

Ce filtre ne pourra donc pas liminer totalement le recouvrement spectral, maissil suffisamment slectif et/ou si sa pulsation de coupure est suffisamment leve,limportance de recouvrement sera limite (figure 2.14 page suivante) (src).

2.3.4 Choix de la priode dchantillonnage

La borne infrieure de la valeur de la pulsation dchantillonnage est fixepar le thorme de lchantillonnage. Cette valeur pourrait constituer un choix, condition de disposer dun filtre anti-recouvrement idal, ce qui est impossiblepour des motifs de ralisabilit. Il faut donc se contenter dune solution de com-promis, visant remplacer le filtre idal par un filtre causal dordre lev. Ceciimplique un nouveau choix de la pulsation dchantillonnage. En effet, lattnua-tion dun filtre causal, si lev soit son ordre, est gnralement insuffisante im-mdiatement au-dessus de sa pulsation de coupure pour viter un recouvrementspectral significatif. Le seul remde consiste augmenter la pulsation dchan-tillonnage, afin de disjoindre suffisamment (mais nanmoins pas compltementpuisque cest impossible) les spectres juxtaposs.

Cest la raison pour laquelle le choix de la pulsation dchantillonnage tel queprconis par thorme de Shannon ne peut sutiliser en pratique, notammentdans le domaine des systmes fonctionnant en temps rel. Pour fixer e, on devradonc faire appel des rgles beaucoup plus restrictives, comme celle dj nonce



8 6 4 2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

[rad/s]

|X(j)

|

8 6 4 2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5|X a

(j)|


8 6 4 2 0 2 4 6 80

1

2

|W(j

)|

8 6 4 2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

|W(j

)||Xa(j

)|

f_ch_02_23_1c.eps

Figure 2.14 Malgr la prsence dun filtre, un certain repliement a lieu, sonimportance pouvant tre limite en agissant sur les paramtres du filtre commela pulsation de coupure, le type et lordre (src).

dans le chapitre 1, i.e.N = Trg

h= 4 . . . 10

Ces rgles, pour tre nonces, ncessitent une tude plus approfondie des sys-tmes discrets, raison pour laquelle ce sujet sera repris au chapitre 7.

2.4 Reconstruction2.4.1 Loprateur de reconstruction

Par symtrie avec lopration dchantillonnage, loprateur de reconstructionutilis est un convertisseur D/A, qui excute une conversion un rythme dictpar la pulsation dchantillonnage e. Le signal numrique subissant loprationde conversion numrique-analogique est u[k], le signal analogique rsultant tantua(t).



u ( k )

AD

u a ( t )

k t?

f _ 0 2 _ d e s i g n e r _ 0 5 . e p s

Figure 2.15 Construction dun signal analogique partir dun signal num-rique : quelle mthode employer ? (src).

8 6 4 2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

[rad/s]

|X(j)

|


f_ch_02_24_2c.eps

Figure 2.16 Spectre damplitude du signal numrique convertir. Il ny a pasde recouvrement si lchantillonnage sest effectu en respectant le thorme deShannon (src).

La question qui se pose ici est de savoir comment convertir un signal numriqueu[k] en un signal analogique ua (t) sans perte dinformation. Lors de la phase dereconstruction, le signal source est numrique et cest linformation quil contientqui idalement doit se retrou

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