Cours UE2 Keryvin 2014 1 Article

Master 2 Sciences Technologie Santm. Mcanique et Sciences pour lIngnieur

sp. Mcanique et Gnie Civil

U.E. 2Comportement mcanique et thermique des matriaux

lastoplasticit

Cours 1 Critres de limite dlasticit

novembre 2014

Pr. Vincent Keryvin

Universit de Bretagne-Sud, LIMATB EA [email protected] http://www-limatb.univ-ubs.fr/

1

Notations tensorielles utilises

a dsigne une grandeur scalaire

a dsigne une grandeur vectorielle (tenseur dordre un)

a dsigne une grandeur tensorielle dordre deux

adsigne une grandeur tensorielle dordre quatre

i dsigne le tenseur identit dordre 2 de reprsentation la matrice unit2

Tenseurs euclidiens

Espace physique = espace affine de dimension 3 (espace vectoriel des vecteurs E3 + points);

E3 euclidien, muni dun produit scalaire "" ;

Base orthonorme B = (e1 ,e2 ,e3 ) telle que : (i, j) {1,2,3}2 ei e j = i j (symbole deKRONECKER valant 0 si i 6= j et 1 si i = j.

u un vecteur de E3 :

u =

3i=1 ui

ei ;

(ui)1i3 sont les composantes du vecteuru dans la baseB ;

u est un tenseur euclidien dordre 1 (forme linaire) sur E3 ;

u ne change pas si lon change de base, sa reprsentation (ici (ui)1i3 dansB) change.

1

2 U.E. 2 - Comportement mcanique et thermique des matriaux - lastoplasticit

A un tenseur euclidien dordre 2 (forme bilinaire) de E3 :

A ne change pas si lon change de base ;

sa reprsentation (ici une matrice 33) change ;

=

0 0 0 0

0 0 0

B

=

0 00 0

0 0 0

B

pour un cisaillement dans le plan (e1 ,e2 ),

B tourne 45 %B dans ce plan.

Calcul indiciel

Convention de lindice rpt (ou de sommation dEINSTEIN) = "on enlve les signes sommes" ;

Avantages : lgret de lcriture, calculs simplifis ;

indice libre variant de 1 3 ;

indice muet valant 1, 2 et 3 ;

tr = 11 +22 +33 =3

i=1ii = ii

Produit simplement contract ("produit matriciel") :

T = n

Ti =3

j=1i jn j"="i j n j = iknk = i1n1 +i2n2 +i3n3

Produit doublement contract : (Trace du produit simplement contract)

I s2 = s : s =3

i=1

3j=1 si js ji "="si js ji = skl slk = s jisi j

I s2 = si1s1i + si2s2i + si3s3i

I s2 = s11s11 + s21s12 + s31s13 + s12s21 + s22s22 + s32s23 + s13s31 + s23s32 + s33s33

Sommaire

1 Traction 3

2 Rhologie 6

3 Critres 8

3.1 Critres 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Autres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Pr. Vincent Keryvin, Universit de Bretagne-Sud, novembre 2014

Cours 1 Critres de limite dlasticit 3

1 Lessai de traction : ses enseignements

Essai de traction

135

270

410

550

680

6% 12% 18% 24%

(MPa)

rupture

A%

6

Un critre 1D de limite dlasticit

Matriau, sollicitation, histoire critre 1D de limite dlasticit

initial : < y lasticit linaire = y plasticit possible

modifi par lcrouissage < y lasticit linaire = y plasticit possible

7

Domaines

E

domaine dlasticit

(ici linaire)totale rversibilit on revient au pointde dpart par le mmechemin qu laller loi de comportement = E (Hooke)

8

Domaines



E

y A ylimite dlasticit initiale

ou seuil initial de plasticitsi dcharge en A :lasticit linairesi on charge plus. . .

Domaines

E

y A

B

domaine lastoplastique

charge plastique on va au-del de la limitedlasticit initiale irrversibilit

10

Domaines

E E

y A

B

si dcharge en Bdcharge lastique

mme pente : mme lasticitMAIS 6= 0

11

Domaines



EE

y A

B

p

Be

B

B

eB: dformation lastique

rcuprable par dcharge

p

B : dformation permanentenon rcuprableB : dformation totale en B

B = eB+

p

B

12

Plasticit : le quand ?

Critre initial 1D de limite dlasticit : y 0Si y < 0 alors comportement lastique Si y = 0 alors comportement plastique ?

Si on dcharge ce momentAlors pas de plasticitp = 0

Si on continue chargerAlors plasticitp 6= 0

13

crouissage

EE

y A

B

C

Si B < 0Alors lasticitSi B = 0Alors plasticit possible

14

crouissage

B est la nouvelle limite dlasticit ou nouveau seuil de plasticit

B > y : augmentation de la limite dlasticit : phnomne dcrouissage

B 0 est le critre 1D actuel de plasticit (rle de lhistoire du matriau)15



2 Une premire modlisation

Modles rhologiques

Modlisation mcanique simple des phnomnes physiques entrevus sur un essai de tractionsimple

Modlisation mcanique : relation entre la cinmatique (dplacements, dformations) et lasthnique (efforts, contraintes)

simple : 1D16

Comment ? laide dlments analogiques (cf. lectricit) et de leurs groupements (modles rhologiques)

Ressort

0

E

= E

Patin

0

s

|| < s = = 0 = s signe ()

= p (arbitraire)

Amortisseur

0

=

17

Association dlments analogiques

Analogie lectricit mcanique

I (courant) et U (tension)

Srie

0I II = I = II

= I + II

Parallle

0 I

II

= I +II= I = II

18

Modle de Saint Venant

lasticit linaire + plasticit parfaite (i.e. sans crouissage)

0

E s



< s : =

Ee

+0 lasticit linaire

= s : =

Ee

+ parbitraire

19

Modle de Saint Venant

s

EE

ep

W d = s pnergie dissipe

W e =1

2s e

pnergie lastique stockercuprable par dcharge

20

Modle de Saint Venant gnralis

lasticit linaire + plasticit + crouissage linaire

0

E1s1

E2s2

< s1 : =1

E1=2

E2et = 1 +2 = (E1 + E2)

s1 < s1 +s2 : 1 = s1 et 2 = E2 soit = E2 +s1

= s1 +s2 : = s1 +s2 et indtermin

21

Modle de Saint Venant gnralis



s1

s1 +s2

ep

W d = s1 pnergie dissipe

W e =1

2s2 e

pnergie lastique stocke,rcuprable par dcharge

W ec : crouissagenergie lastique stocke, non rcuprable par dcharge

Possibilit daugmenter le nombre dlments en par-allle pour mieux reprsenter lcrouissage22

3 Critres de limite dlasticit

3.1 Vers un critre 3D de limite dlasticit

But

Sollicitation 1DCritre 1D

Sollicitation 3DCritre 3D

critre initial :y < 0 lasticity = 0 plasticit ?

? critre initial :f ( ;y)< 0 lasticitf ( ;y) = 0 plasticit ?

Extension de la notion de contrainte seuil initiale de limite dlasticit en traction simple y untat de contraintes 3D

f : fonction de charge, fonction de ltat de contrainte , paramtre par y

f = 0 : quation du critre initial de limite dlasticit, dfinit une surface de charge dans lespacedes contraintes

23

Critres isotropes

Hypothse : apparition de dformations irrversibles identique quelque soit la direction desollicitation

Consquences

f indpendante du repre choisi

f fonction uniquement des invariants de

Invariants de

Invariants lmentaires : I1 = tr , I2, I3 = det

Choix dautres invariants quivalents

J1 = I1 = tr

J2 =1

2tr ( )



J3 =1

3tr ( )

f = f (J1 , J2 , J

3 ;y )

24

Critres isotropes insensibles la pression hydrostatique

Image : pice de monnaie au fond des ocans

Cadre : mtaux (oui), roches (non)

Consquence (s dviateur des contraintes)

f = f (J s2, Js3;y )

Forme gnrale des critres 3D de limite dlasticit

initiaux

isotropes

sans influence de la pression hydrostatique

25

Reprsenter f ( ;y )

a six composantes distinctes R6 !!!

diagonalisable espace des contraintes principales R3

I

I I

I I I

123

26



Surface de charge

I

I I

I I I

a

b

f ( ;y ) = 0 : surface de charge

: f ( a;y )< 0, le point figuratif de ltat de contrainte(

a) est dans le domaine dlasticit Ce (comportement lastique) : f ( b;y ) = 0, le pointfiguratif de ltat de contrainte (

b) est sur la surface de charge (irrversibilit possible)

27

Reprsentation dun chargement

I

I I

I I I

traction simple jusqu la limite dlasticiten traction simple suivant laxe principal I

trajet de chargementlastique quelconque

28

Insensibilit la pression

=p i tat de contraintes hydrostatique sur laxe (1,1,1) (trissectrice, axe hydrostatique)



I

I I

I I I

I = I I = I I I

29

Critre isotrope insensible la pressionpas de variation du critre pour deux pressions diffrentes cylindre de gnratrice laxe hydro-

statique

I

I I

I I I

30

3.2 Critre de Tresca

Point de dpart physique

La plasticit est cre par le glissement de dfauts liniques dans les cristaux : les dislocations

Loi de Schmidt et Boas (monocristal) : une dislocation peut glisser si sa cission rduite atteintune valeur critique

R = m n

n

mplan de glissement



31


O la dislocation glisse telle ?

Dans les plans denses (CFC)

Comment la dislocation glisse telle ?

Suivant les directions denses (CFC)

Quand la dislocation glisse telle ?

R < k non glissement

R = k glissement plasticit

Gnralisation mso (VER) : on atteint la limite dlasticit lorsque la contrainte de cisaille-ment atteint une valeur critique k

32

Plan de Mohr

=

II I

I I I

Bp

I

I I

I I I

max

max = |I I I I

2|= sup

i 6= j|i j

2|

33

Critre de Tresca (1863)

max k 0

f ( ; k) =1

2supi 6= j

|i j | k 0

k : limite dlasticit initiale en cisaillement pur34



Identification en traction simple

Diagonalisation de

Traction simple suivant1 : =

I 0

0

(1 ,2 ,3 )

I 6= 0, I I = I I I = 0

I

max =

2

Tresca :

2 k 0 ou

2 k 0

2 k : limite dlasticitinitiale en traction simple

35

Reprsentation

dans lespace des contraintes principales

cylindre daxe (1,1,1)

traction / compression : limite=2 k cisaillement : limite = k

= cylindre base hexagonale daxe (1,1,1)36

Reprsentation : vue 3D

I

I I

I I I

37



Reprsentation : section

I I I

I I I

38

Reprsentation : plan de Mohr

I

I I

I I I

max

+k

k39

3.3 Critre de Huber von Mises


Micro (physique) : Loi de Schmidt et Boas sur le cisaillement

Mso (VER) : on atteint la limite dlasticit lorsque lnergie lastique de cisaillement atteintune valeur critique k



Wcis =1

4s : s =

1

2J s2 < seuil (lasticit) et Wcis = seuil (plasticit possible)

f ( ; k) =

pJ s2 k 0

k : limite dlasticit initiale en cisaillement pur40

nergie de cisaillement lastique

Dcomposition en parties sphrique et dviatoire

= s+1

3(tr ) i tr s = 0

= e+1

3(tr) i tr e = 0

Loi de Duhamel-Neumann

= (tr) i+ 2 = (+2

3) (tr) i+ 2 e

Identification

s = 2 etr = (3+ 2) tr = 3K tr

Densit dnergie lastique linaire

we =1

2 : =

1

4s : s

wcis

+1

18K(tr )

2

wdil

41



=

0 00 0 00 0 0

(1 ,2 ,3 )

s = 1

3(tr ) i=

2

30 0

0 3

0

0 0 3

(1 ,2 ,3 )

J s2 =1

2s : s =

2

3soit

p3 k 0

p3 k : limite dlasticit initiale en traction simple

42



Identification en cisaillement pur

Identification en cisaillement pur

=

0 0 0 00 0 0

(1 ,2 ,3 )

s =

J s2 =1

2s : s =

2 soit k 0

k : limite dlasticit initiale en cisaillement pur

43

Contrainte quivalente

eq =p3p

J s2 =

3

2

ps : s "="J2 de P. Pilvin (U.E. 1)

contrainte quivalente au sens de von Mises

scalaire qui donne la mesure du cisaillement 3D

construit pour comparer avec la traction

eq y 0 critre en traction ; y =p3 k

p3y 0 critre en cisaillement

44

Reprsentation

dans lespace des contraintes principales

cylindre daxe (1,1,1)

traction / compression : limite=p3 k

cisaillement : limite = k

plan dviateur :p

J s2 =p

s2I + s2I I + s

2I I I = k

est un cercle de rayon k

= cylindre de rvolution daxe (1,1,1)45



Reprsentation : vue 3D

I

I I

I I I

46

Reprsentation : section

I I I

I I I

47

3.4 Remarques sur ces deux critres

Construction par traction



I

I I

I I I

von Mises

Tresca

48

Construction par traction

Plan des contraintes planes I I I = 0

I

I I

von Mises

Tresca

y

y

-y

-y

k =yp3

k =y

2

bitraction

cisaillement pur

49

Construction par cisaillement



I

I I

I I I

von Mises

Tresca

50

Construction par cisaillement

Plan des contraintes planes I I I = 0

I

I I

von Mises

Tresca

2 k

2 k

-2 k

-2 k

k

p3 k

p3 k

-p3 k

-p3 k

bitraction

cisaillement pur

51

Donnes exprimentales (Bui, 1970)



52

Donnes exprimentales (Bui, 1970)Plan traction - cisaillement

von Mises :p2 + 32 = y

Tresca :p2 + 42 = y

53

Remarques gnrales

critres relativement proches (moins de 15% dcart)

von Mises rgularise Tresca, est plus utilis dans les codes EF

Tresca est plus utilis en microplasticit

Autres critres : isotropes dpendant de la pression (Mohr-Coulomb, Drucker-Prager), anisotropes(Hill, Tsai)

54



3.5 Autres critres

Courbe intrinsque de Mohr-Caquot

Diffrents essais de cisaillement pression fixe diffrents cercles correspondants ltat decontrainte lastique limite

||= g() enveloppe des cercles55

Courbe intrinsque de Mohr-Caquot

Cadre : gomatriaux (sols, roches), btons 56

Critre de Coulomb

C

C : cohsion, : angle de frottement interne (tan = f coefficient de frottement) || C tan 57

Critre de Drucker-Prager



1 1

2 2

3 3

Tresca

von Mises

Mohr-Coulomb

Drucker-Prager

Cadre : polymres, gomatriaux, verres mtalliques (cf. TD)58

Critre de Hill (1950)

critre indpendant de la pression, gnralisation orthotrope (3 plans de symtrie orthogo-naux) de Huber von Mises

expression dans les axes dorthotropie

F (11 22)2+ G (22 33)2 + F (11 33)2+2 (L212 +M

213 + N

223)

1= 0

Cadre : composites, mtaux aprs laminage59

Critre de Tsai

critre dpendant de la pression (diffrence traction / compression, orthotrope, gnralisationde Hill

expression dans les axes dorthotropie

F (11 22)2+ G (22 33)2 + F (11 33)2+2 (L212 +M

213 + N

223)

+P11 +Q22 + (P +Q)33 1= 0

Cadre : composites, monocristaux60


TractionRhologieCritresCritres 3DTrescavon MisesRemarquesAutres

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