Cours de graphes

20 février 2007 Cours de graphes 3 - Intranet 1

Cours de graphesLes arbres et arborescences.

Les arbres de recouvrement.

Les arbres de recouvrement minimaux.

Applications.


Les grandes lignes du cours• Définitions de base• Connexité• Les plus courts chemins• Dijkstra et Bellmann-Ford• Arbres• Arbres de recouvrement minimaux • Problèmes de flots• Coloriage de graphes• Couplage• Chemins d’Euler et de Hamilton• Problèmes NP-complets


Les arbres-----------------------------------------------------------------

Un arbre (non orienté) !

Une arborescence (orientée) !


Les arbres-----------------------------------------------------------------

• Définitions :

– Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets.

• Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger, . . .

– Une arborescence est un graphe orienté quasi-fortement connexe tel qu’il existe un et un seul chemin orienté de la racine vers tout autre sommet.

• D’abord, il n’y a qu’une seule racine !• On n’a pas de chemins multiples, ni de circuits !


Les arbres-----------------------------------------------------------------

• Uniquement pour les graphes non orientés :

– Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets.

– Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans cycle.

• Déf 1 => Déf 2 : – Connexité OK !– Par absurde, s’il y avait des cycles . . . il y aurait plusieurs

chemins, ce qui est contraire à l’hypothèse !u v


Les arbres-----------------------------------------------------------------

• Uniquement pour les graphes non orientés :

– Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets.

– Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans cycle.

• Déf 1 => Déf 2 : OK !• Déf 2 => Déf 1 :

– Par absurde, s’il n’y avait pas de chemin . . . le graphe ne serait pas connexe !

– Par absurde, s’il y avait plusieurs chemins . . . il y aurait des cycles, ce qui est contraire à l’hypothèse !u v


Les arbres-----------------------------------------------------------------

Les chemins uniques Connexe, sans cycles

Des définitionséquivalentes baséessur la connexité !

Des définitionséquivalentes baséessur l’absence de cycles !


Les arbres-----------------------------------------------------------------


Connexe, minimal

Définition :Un graphe est connexe, minimals’il est connexe et n’a pas plusd’arêtes qu’aucun autre grapheconnexe !


Les arbres-----------------------------------------------------------------


Connexe, minimal

Connexe, minimal => connexe, sans cycles :

Par absurde ! S’il y avait des cycles,nous pourrions enlever une arêtesans casser la connexité.Ceci est contraire à l’hypothèseque le graphe est minimal !


Les arbres-----------------------------------------------------------------


Connexe, minimal

Connexe avec | V | - 1 arêtes

=>

=>

>

Les implicationsque nous allonsprouver !


Les arbres-----------------------------------------------------------------


Connexe, minimal


=>

Connexe avec | V | - 1 arêtes=>

Connexe, minimal

Prouvons que pour êtreconnexe, il faut | V | - 1

arêtes au moins !

Par induction sur | V | :- Trivial pour 1 sommet et 0 arêtes !- Soit « u » un sommet quelconque. Pour relier les | V | - 1 autres sommets, il faut au moins | V | - 2 arêtes.- Ensuite, il faut au moins une arête pour relier « u » aux autres !


Les arbres-----------------------------------------------------------------


Connexe, minimal


=>

=>

Les chemins uniques =>


- Les chemins uniques impliquent la connexité !- Il existe au moins un sommet « u » de degré 1 ! Sinon, nous pourrions toujours continuer et donc faire des cycles ! ! !- Enlevez le sommet « u » de degré 1 et son unique arête ! Recommencez pour le graphe restant qui est à chemins uniques et a un sommet et une arête en moins !


Les arbres-----------------------------------------------------------------


Connexe, minimal


=>

=>

>


Les arbres-----------------------------------------------------------------


Connexe, minimal


Sans cycles, maximal

Définition :Un graphe est sans cycles,maximal s’il est sans cycles etn’a pas moins d’arêtes qu’aucunautre graphe sans cycles !


Les arbres-----------------------------------------------------------------


Connexe, minimal



Sans cycles, maximal => connexe, sans cycles :

Par absurde ! S’il y était nonconnexe, nous pourrions ajouterune arête sans créer de cycle.Ceci est contraire à l’hypothèseque le graphe est maximal !


Les arbres-----------------------------------------------------------------


Connexe, minimal



Sans cycles avec | V | - 1 arêtes

=>

=>>Les implications

que nous allonsprouver !


Les arbres-----------------------------------------------------------------


Connexe, minimal




=>

Sans cycles avec | V | - 1 arêtes=>


Prouvons que pour êtresans cycles, on peut avoir | V | - 1 arêtes au plus !

Par induction sur | V | :- Trivial pour 1 sommet !- Soit « u » un sommet de degré 1.

- Les | V | - 1 autres sommets comportent au plus | V | - 2 arêtes.


Les arbres-----------------------------------------------------------------


Connexe, minimal




=>

=>

Les chemins uniques =>


- Les chemins uniques interdisent les cycles !

- Il existe au moins un sommet « u » de degré 1 !- Enlevez ce sommet et son arête !- Recommencez pour le graphe restant qui est à chemins uniques et a un sommet et une arête en moins !


Les arbres-----------------------------------------------------------------


Connexe, minimal




=>

=>>


Les arbres-----------------------------------------------------------------


Connexe, minimal




Nous n’avons pas la connexitéavec moins de | V | - 1 arêtes. . . mais nous pouvons avoir des cycles !

Nous n’avons pas l’absence de cyclesavec plus de | V | - 1 arêtes. . . mais nous pouvons ne pas avoir la connexité !


Les arborescences-----------------------------------------------------------------

• Une arborescence peut être caractérisée comme suit.– Elle possède | V | - 1 arcs.– Tous les sommets sauf un ont un degré entrant

unitaire.– Un sommet a un degré entrant nul.

• Preuve :– Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !– Sinon, il existe un sommet « u » de degré sortant nul ! – Nous enlevons « u » et l’unique arc ( x , u ) qui l’atteint !– Le graphe résultant est une arborescence qui vérifiera

donc par hypothèse les propriétés !– Il en sera de même pour tout le graphe.


Les arborescences-----------------------------------------------------------------

• Toute arborescence peut être transformée en arbre !– Il suffit de changer les arcs en arêtes.– Nous aurons | V | - 1 arêtes.– La connexité forte depuis la racine entraîne la

connexité.

• Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous laissant le choix de la racine !– Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !– Nous choisissons la racine « u » et transformons toute

arête ( u , v ) en arc.– Sans le lien ( u , v ), le sommet « v » appartient à un

arbre isolé du reste du graphe. Il peut être transformé en arborescence ayant « v » comme racine.


Les arbres de recouvrement-----------------------------------------------------------------

L E SA R B R E S

D E

R E C O U V R E M E N T



• Un arbre de recouvrement d’un graphe G connexe est un sous-graphe de G qui a la propriété d’être un arbre.

– Nous préservons la connexité !– Nous n’avons pas de cycles !– Nous avons un nombre minimal d’arêtes !– L’arbre de recouvrement n’est pas unique en

général ! Un arbre derecouvrement !

Un autre arbre derecouvrement !



• Un arbre est connexe sans cycles ! D’où l’algorithme :

– Tant que le graphe contient un cycle :– Enlever une des arêtes du cycle !

• Complexité :

– Il faut enlever jusqu’à O ( | E | ) arêtes !– Trouver un cycle est en O ( | V | ) !– D’où O ( | V | * | E | ) = O ( | V |^3 ) !– C’est beaucoup ! ! !



• Un algorithme qui ne cherche pas de cycles :

– Choisir une arête ( u , v ) à supprimer !– Si sa suppression ne casse pas la connexité entre

les sommets « u » et « v » (algorithme de la vague) :• nous continuons avec le graphe sans ( u , v ) !

– Si la suppression de ( u , v ) casse la connexité entre « u » et « v », alors :• nous calculons les AR des composantes

connexes de « u » et de « v »• et nous réintroduisons l’arête ( u , v ) à la fin !



• La suppression de ( u , v ) ne casse pas la connexité :

• La suppression de ( u , v ) casse la connexité :

u v

CC ( u ) CC ( v )Arbres de recouvrement !

u vNous cassons

un cycle !





u v

CC ( u ) CC ( v )Arbre de recouvrement global !

u vNous cassons

un cycle !


YA - T - I L

M I E U X ? ? ?




• A un moment du déroulement de l’algorithme, nous avons :– un sous-ensemble « S » des sommets qui sont traités– et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».

• Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et une dans « V \ S » :– nous en choisissons une, par exemple ( u , v ) , et

S V \ S

u vA


• A un moment du déroulement de l’algorithme, nous avons :– un sous-ensemble « S » des sommets qui sont traités– et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».

• Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et une dans « V \ S » :– nous en choisissons une, par exemple ( u , v ) , et A <- A v { ( u , v ) } et S <- S v { v }


S V \ S

u vA



• L’initialisation :– Nous choisissons un sommet « u » au hasard :

S <- { u } et A <- { }

• Chaque étape rajoute un sommet et une arrête :– Comme nous garantissons la connexité, c’est un arbre !

• Lorsque S = E , nous avons notre arbre de recouvrement !

• La complexité est en Q ( | V | ) , car nous devons choisir | V | - 1 arêtes et prenons les premières que nous trouvons !


Arbres de recouvrement minimaux-----------------------------------------------------------------

• Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal.

• L’algorithme de Prim !

• L’algorithme de Kruskal !

15 20

105

12 813

Un arbre derecouvrementde poids 53 !

Un arbre derecouvrementde poids 35 !

L’arbre de recouvrementminimal sera abrégé en ARM !



• L’algorithme de Prim :– Nous choisissons un sommet « u » : S <- { u } et A

<- { }

• Le cas général :– Les sommets de « S » sont traités et admettent l’ARM

« A » !

S V \ SL’ARM : A




<- { }


« A » !

• Parmi les arêtes ( x , y ) avec x dans S et y dans V \ S :

S V \ SL’ARM : A




<- { }


« A » !

• Parmi les arêtes ( x , y ) avec x dans S et y dans V \ S :– Trouvez l’arête ( u , v ) de poids minimal et

S V \ SL’ARM : A

u v




<- { }


« A » !

• Parmi les arêtes ( x , y ) avec x dans S et y dans V \ S :– Trouvez l’arête ( u , v ) de poids minimal et S <- S v { v } et A <- A v { ( u , v ) }

S V \ SL’ARM : A

u v



• Un exemple :

10

15

20

12

17

20

25

30

5



• Complexité : O ( | V | * D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) )

Il y a | V | - 1arêtes à choisir !

Lorsque nous traitons « v » , il peuty avoir jusqu’à D ( v ) nouvellesarêtes avec une extrémité dans « S »et l’autre dans « V \ S » !

Recherche par dichotomie, etc,parmi | V | * D ( G ) éléments !

Nous pouvons majorer par :O ( | E | * log ( | E | ) )



• Preuve de correction, par absurde :– Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne

soit pas le bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une autre arête !

– L’ARM ne comporte pas ( u , v ) ! ! !

u v





– L’ARM ne comporte pas ( u , v ) ! ! !– Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v »

qui traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au moins aussi lourde que ( u , v ) !

u v

x

y







– Nous pouvons enlever ( x , y ) et la remplacer par ( u , v ) !

u v

x

y







– Nous pouvons enlever ( x , y ) et la remplacer par ( u , v ) !

• Si le poids de ( u , v ) est strictement plus petit que celui de ( x , y ) , nous avons une contradiction avec le fait l’ARM est minimal par hypothèse.

• Si les arêtes ( u , v ) et ( x , y ) ont le même poids, le choix de ( u , v ) à la place de ( x , y ) est licite ! Il y a deux arbres de recouvrement minimaux ! ! !




– Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde !

– Nous choisissons | V | - 1 arêtes,– en commençant par l’arête la plus légère ( la

première )



1

23

4

5

610 15

5 7 12 17Les composantes connexes :

{ 1 } , { 2 } , { 3 } , { 4 } , { 5 } , { 6 }27

1 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3

Poids : 0



– Nous choisissons | V | - 1 arêtes,– en prenant à chaque itération l’arête la plus légère

. . .– . . . à moins que ceci ne crée un cycle !



1

23

4

5

610 15


{ 1 , 2 } , { 3 } , { 4 } , { 5 } , { 6 }27

1 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3

Poids : 5







1

23

4

5

610 15


{ 1 , 2 , 4 } , { 3 } , { 5 } , { 6 }27

1 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3

Poids : 12







1

23

4

5

610 15


{ 1 , 2 , 4 } , { 3 , 5 } , { 6 }27

1 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3

Poids : 24







1

23

4

5

610 15


{ 1 , 2 , 4 , 6 } , { 3 , 5 }27

1 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3

Poids : 39







1

23

4

5

610 15


{ 1 , 2 , 4 , 6 , 3 , 5 }27

1 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3

Poids : 56







• Synthèse :

– L’arbre de recouvrement en Q ( | V | ) !– L’arbre de recouvrement minimal en Q ( | E | * log ( |

E | ) ) !

• Pour les graphes orientés :

– . . . en travaux dirigés !


Applications-----------------------------------------------------------------

• Réalisation d’un réseau de communication :

ParisRennes

Bordeaux

Nancy

Lyon

MarseilleNiceToulouse

Leslignesenvisagées !

Les devis !150

120

80 100

120

150

170

90

100

80

20080110

180

130


Applications-----------------------------------------------------------------

• Réalisation d’un réseau de communication :

ParisRennes

Bordeaux

Nancy

Lyon

NiceToulouseLeslignesenvisagées !

Les devis !

120

80 100

120

90

80

80

L’ARM coûte 670 !


Applications-----------------------------------------------------------------

• Réalisation d’un circuit de voyageur de commerce :


Applications-----------------------------------------------------------------


Lesparcoursenvisagés !

Les distances !Paris

Rennes

Bordeaux

Nancy

Lyon


150

120

80 100

120

150

170

90

100

80

20080110

Coût 670 !

180

130


Applications-----------------------------------------------------------------



ParisRennes

Bordeaux

Nancy

Lyon


150

120

80 100

120

150

170

90

100

80

20080110

Coût 1340 !

180

130

Les distances !


Applications-----------------------------------------------------------------



ParisRennes

Bordeaux

Nancy

Lyon


150

120

80 100

120

150

170

90

100

80

20080110

Coût 1260 !

180

130

Les distances !


Applications-----------------------------------------------------------------



ParisRennes

Bordeaux

Nancy

Lyon


150

120

80 100

120

150

170

90

100

80

20080110

Coût 1190 !

180

130

Les distances !


Applications-----------------------------------------------------------------



ParisRennes

Bordeaux

Nancy

Lyon


150

120

80 100

120

150

170

90

100

80

20080110

Coût 1130 !

180

130

Les distances !


Applications-----------------------------------------------------------------



ParisRennes

Bordeaux

Nancy

Lyon


150

120

80 100

120

150

170

90

100

80

20080110

Coût 1150 !

180

130

Les distances !


Applications-----------------------------------------------------------------



ParisRennes

Bordeaux

Nancy

Lyon


150

120

80 100

120

150

170

90

100

80

20080110

Coût 1090 !

180

130

Les distances !


Applications-----------------------------------------------------------------



ParisRennes

Bordeaux

Nancy

Lyon


150

120

80 100

120

150

170

90

100

80

20080110

Coût 980 !

180

130

Les distances !


Applications-----------------------------------------------------------------


ParisRennes

Bordeaux

Nancy

Lyon


120

80

120

90

80

200110

Coût 980 !

180

Le circuitretenu !


Variantes d’arbres de recouvrement-----------------------------------------------------------------

• Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme l’arbre de recouvrement goulot d’étranglement :

– Nous ne sommons pas les poids, mais nous les minimisons !

– L’arête la plus légère est le goulot d’étranglement !

• Nous pouvons maximiser sur l’ensemble des AR-GE et chercher l’arbre pour lequel le goulot est aussi large que possible !

10

1512

10

88

17

13

Goulot : 8

Le goulot leplus large : 10


Synthèse-----------------------------------------------------------------

Les arbres et arborescences.

Les arbres de recouvrement.

Les arbres de recouvrement minimaux.

Applications.

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