Chapitre 1

Les matrices

1

Chapitre 2

Les espaces vectoriels

But : On veut generaliser la structure de l’ensemble des vecteurs du plan a d’autres

ensembles (par exemple, des ensembles de fonctions, de suites, de matrices, ...) ceci afin

de pouvoir utiliser des outils geometriques sur ces ensembles (calculs, equations, produit

scalaire, projection, norme, ...). On observe que sur ~P (ensemble des vecteurs du plan), on

dispose d’une loi de composition interne + qui permet d’additionner les vecteurs. Cette loi

+ fait de ~P un groupe abelien, de neutre le vecteur nul ~0. De plus, on ecrit, par exemple :

~u + ~u = 2~u, ou encore√

3~u. Il faut donc pouvoir donner un sens a ”reel «fois» vecteur”,

que l’on peut noter 2.~u,√

3.~u : l’operation «.» est appelee loi de composition externe de Rsur ~P .

Dans tout ce chapitre, K designe le corps R ou le corps C. K est donc muni de ses deux

lois de compositions internes (LCI) usuelles, l’addition + et la multiplication ×, de neutres

respectifs 0 et 1.

2.1 Loi de composition externe (L.C.E)

Definition 2.1. Soit E un ensemble non vide. On appelle loi de composition externe sur

E toute application definie sur K× E a valeurs dans E.

Exemples 2.1.

i) L’application

f : R× R3 −→ R3

(λ; (x, y, z)) 7−→ (λx, λy, λz)

est une loi de composition externe sur R3.

2

ii) Soit A(R, R) l’ensemble des applications a valeurs reelles definies sur R. L’application

qui a tout element (λ, f) de R×A(R, R) associe l’application notee λ.f , definie par

∀x ∈ R, (λ.f)(x) = λf(x);

est une loi de composition externe sur A(R, R).

iii) On considere F(N, R) l’ensemble des suites reelles definies sur N. L’application qui a

tout element (λ, (un)n∈N) de R× F(N, R) associe la suite (wn)n∈N, definie par

∀n ∈ N; wn = λun;

est une loi de composition externe sur F(N, R). La relation

f : R× Z −→ Z

(λ, x) 7−→ λx

n’est pas une loi de composition externe sur Z. En effet pour x = 1R, λ = 1, 5 ∈ Ron a λx = 1, 5.1 = 1, 5 /∈ Z.

2.2 Structure d’espace vectoriel

Soient E un ensemble quelconque et K un corps commutatif. Nous supposons que E

est muni d’une une loi de composition interne, notee additivement :

E × E −→ E : (x, y) 7−→ x + y,

et d’une loi de composition externe sur K, notee multiplicativement :

K× E −→ E : (λ, x) 7−→ λx.

On a alors la definition suivante.

Definition 2.2. On dit que (E, +, .) est un espace vectoriel sur K si

1. (E, +) est un groupe abelien,

2. La loi externe «.» verifie les proprietes

i) ∀(λ, µ) ∈ K2 et ∀x ∈ E, (λ + µ)x = (λx) + (µx),

ii) ∀(λ, µ) ∈ K2 et ∀x ∈ E, λ(µx) = (λµ)x,

3

iii) ∀λ ∈ K et ∀(x, y) ∈ E2, λ(x + y) = λx + µy,

iv) ∀x ∈ E, 1Kx = x,

1K etant l’element neutre du corps K.

On dit aussi que E est un K-espace vectoriel, ou encore un espace vectoriel reel (resp.

complexe) lorsque K = R (resp. K = C). Les elements de E sont les vecteurs (0E est le

vecteur nul), ceux de K les scalaires.

Exemples 2.2.

a) Le corps K, muni de l’addition pour loi interne et de la multiplication pour loi externe,

est un K-espace vectoriel. Les elements de K sont alors simultanement consideres

comme des vecteurs et des scalaires. En particulier, R (resp. C) est un espace vectoriel

sur R (resp. C).

b) E = R2, l’ensemble des couples de reels (r1, r2), muni de la LCI «+» et la LCE «.»definies par :

(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) et λ(x1, x2) = (λx1, λx2) pour λ ∈ R

est un R-espace vectoriel, de vecteur nul 0R2 = (0, 0).

c) De meme, R3, l’ensemble des triplets de reels (r1, r2, r3), muni de la LCI «+» et la LCE

«.» definies par :

(x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)

et λ(x1, x2, x3) = (λx1, λx2, λx3) pour λ ∈ R

est un R-espace vectoriel, de vecteur nul 0R3 = (0, 0, 0).

d) Plus generalement, pour tout entier n ≥ 1, Rn, l’ensemble des n-uplets de reels (r1, r2, ..., rn),

muni de la LCI «+» et la LCE «.» definies par :

(x1, x2, ..., xn) + (y1, y2, ..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn)

et λ(x1, x2, ..., xn) = (λx1, λx2, ..., λxn) pour λ ∈ R

est un R-espace vectoriel, de vecteur nul 0Rn = (0, 0, ..., 0).

e) Encore plus generalement, avec K = R ou C (Kn, +, .) est un K-espace vectoriel, de

vecteur nul 0Kn = (0, 0, ..., 0).

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f) Le plan vectoriel usuel est un espace vectoriel reel.

g) L’ensemble K[X] des polynomes a coefficients dans K, muni de l’addition usuelle et de

la multiplication externe λP = λa0+ ...+λanXn, pour λ ∈ K et P = a0+ ...+anXn ∈K[X], est un espace vectoriel sur K.

h) Si E = {0E}, on parle d’espace vectoriel nul.

i) Si I est une partie de R (par exemple un intervalle de R, ou meme I = R), alors

l’ensemble F (I, R) = RI l’ensemble des fonctions f : I −→ R muni de la LCI «+» et

de la LCE «.» definies par :

pour tous f, g ∈ F (I, R) : f + g est la fonction

f + g : I −→ R

x 7−→ f(x) + g(x)

Autrement dit, f + g est definie par : ∀x ∈ X, (f + g)(x) = f(x) + g(x)

Pour tout λ ∈ R, pour tout f ∈ F (I, R) : λf est la fonction

f : λf : I −→

x 7−→ λf(x)

Autrement dit,λf est definie par : ∀x ∈ I, (λf)(x) = λf(x)

est un R-espace vectoriel, de vecteur nul la fonction nulle

0 : I −→ R

x 7−→ 0(x) = 0

Donc les fonctions cos, exp, IdR sont des vecteurs, en tant qu’elements de l’espace

vectoriel RR.

Proposition 2.1. Soit E un espace vectoriel sur K. On a, pour tous λ, µ de K et pour

tous x, y de E,

1. λx = 0E ⇐⇒ (λ = 0K ou x = 0E),

2. (λ− µ)x = λx− µx,

3. λ(x− y) = λx− µy

2.3 Sous-espaces vectoriels

Soit E un espace vectoriel sur K.

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2.3.1 Combinaisons lineaires de p vecteurs

Definition 2.3. Soient (u1, ..., up) p vecteurs de E. x est une combinaison lineaire (CL)

de u1, ..., up s’il existe p scalaires λ1, ..., λp tels que :

x = λ1u1 + ... + λpup =

p∑i=1

λiui

Exemples 2.3.

Dans R2, le vecteur (1, 3) est une CL des vecteurs (2, 1), (1, 1) et (−2, 1).

En effet,

(1, 3) = −5(2, 1) + 5(1, 1)− 3(−2, 1), ou encore (1, 3) = 4(2, 1)− 7(1, 1) + 0(−2, 1)

Dans R[X], le polynome X2 est une CL des polynomes 1, (X − 1) et (X − 1)2. En effet,

X2 = (1 + (X − 1))2 = 1 + 2(X − 1) + (X − 1)2

Definition 2.4. Une partie F de l’espace vectoriel E est appelee un sous-espace vectoriel

(sev en abrege) de E si elle est stable pour l’addition et la multiplication externe, et que

munie des deux lois induites, elle est un K-espace vectoriel.

Exemples 2.4.

– E et 0E sont deux SEV de l’espace vectoriel E

– L’ensemble C(I, R) des fonctions continues de l’intervalle I dans R est un SEV de

F (I, R).

– L’ensemble des suites convergentes est un SEV de l’ensemble des suites reelles.

– L’ensemble Rn[X] des polynomes de degre inferieur ou egal a n est un SEV de R[X].

Proposition 2.2. Si E est un K-espace vectoriel et si F ⊂ E, alors

F est un sous-espace vectoriel de E ⇐⇒

(1) F 6= ∅;(2) ∀ x, y F ; x + y ∈ F ;(3) ∀ λ ∈ K,∀ x ∈ F, λx ∈ F.

Preuve.

• ⇐=) Supposons que F ⊂ E, et que F verifie (1), (2) et (3) de la proposition precedente.

Montrons que (F, +) est un groupe abelien : la propriete (2) prouve que la loi + est une

LCI sur F . De plus, cette loi + est associative et commutative sur E, donc elle l’est

egalement sur F , puisque F ⊂ E. D’apres (1), il existe au moins un element x dans F :

avec (3) (et λ = 0), on en deduit 0.x ∈ F , (i.e) 0E ∈ F . Ainsi, F contient bien 0E, qui

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est l’element neutre pour la loi +. De plus, pour tout element x ∈ F , (−1).x = −x ∈ F

(toujours d’apres (3) avec λ = −1), ce qui prouve que tout element de F possede bien

son symetrique (l’oppose) pour + dans F . Ceci acheve la preuve que (F, +) est un groupe

abelien, de neutre 0E. On aurait pu prouver plus simplement que (F, +) est un sous-groupe

de (E, +).

Montrons que les 4 regles i), ii), iii), iv) de la definition 2.2 sont verifiees sur F : c’est

immediat. En effet, ces regles sont vraies pour les elements de E, donc a fortiori pour les

elements de F puisque F ⊂ E. La seule chose a verifier, c’est que «.» est bien une loi de

composition externe sur F , (i.e) verifier : ∀λ ∈ K,∀x ∈ F, λx existe et λx appartient a F .

L’existence est immediate (car F ⊂ E), et (3) exprime exactement l’appartenance de λx a

F . Conclusion : F est bien un K-espace vectoriel.

• =⇒) Supposons que F est un SEV de E. par definition, F est non vide. De plus, si u et

v sont des vecteurs de F et si λ un scalaire alors, F etant stable par ”.”, λu est dans F .

Enfin, F etant stable par +, u + v est aussi dans F .

Remarque 2.1. D’apres la preuve, on remarque que si F est un SEV de E, alors 0 ∈ F .

Par contraposee, on en deduit que si un sous-ensemble de E ne contient pas son vecteur

nul 0E, alors il ne peut pas etre un sev de E.

Exemples 2.5.

– Soit F le sous-ensemble de R2 defini par F = {(x, y) ∈ R2 : 3x− 4y = 0}.Montrons que F est un SEV de R2 : 3.0− 4.0 = 0 donc (0, 0) ∈ F , en particulier F

est non vide.

Soient u = (x, y) et u′ = (x′, y′) des vecteurs de F et soient λ et µ des reels. On pose

v = λu + µu′ = (λ(x, y) + µ(x′, y′)) = (λx + µx′, λy + µy′). Verifions que v ∈ F :

3(λx + µx′)− 4(λy + µy′) = λ(3x− 4y) + µ(3x′ − 4y′) = λ0− µ0 = 0,

donc F est bien stable par combinaisons lineaires, par suite F est bien un SEV de R2.

– En revanche, F = {(x, y, z) R3/2x−y− z = 1} n’est pas un sous-espace vectoriel car

0R3 = (0, 0, 0) /∈ F .

2.3.2 Intersection de deux SEV de E

Theoreme 2.1. Si F et G sont deux SEV de E alors F ∩G est un SEV de E.

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Preuve. Voir TD.

Remarque 2.2. Ce resultat est faux pour la reunion de deux SEV de E.

On peut montrer que : F ∪G est un sev de E ssi F ⊂ G ou G ⊂ F .

2.3.3 Sous-espace vectoriel engendre par p vecteurs

Soit p ∈ N∗ et soient u1, ..., up p vecteurs de E.

On note F le sous-ensemble de E formes de toutes les CL de u1, ..., up :

F = {λ1u1 + ... + λpup; λ1, ..., λp des scalaires }

Proposition. L’ensemble F ainsi defini est un SEV de E.

Preuve. 0 ∈ F (prendre λ1 = ... = λp = 0) donc F est non vide.

Soient v = λ1u1 + ... + λpup et v′ = λ′1u1 + ... + λ′

pup deux elements de F et α et β deux

scalaires.

αv + βv′ = (αλ1 + βλ′1)u1 + ... + (αλp + βλ′

p)up donc αv + βv′ ∈ F.

F est stable par combinaisons lineaires.

Donc F est bien un SEV de E.

Definition 2.5. Ce SEV est appele sous-espace vectoriel engendre par u1, ..., up. On le

note F = V ect(u1, ..., up).

F = V ect(u1, ..., up) = {λ1u1 + ... + λpup; λ1, ..., λp des scalires }

Exemples 2.6.

1. Reprenons un exemple vu precedemment,

soit F le sous-ensemble de R2 defini par F = {(x, y) ∈ R2 : 3x− 4y = 0}.Nous avons demontre que F est un sev de R2. Plus precisement, on peut montrer

que F est le sev de R2 engendre par le vecteur u(4, 3).

On dira que F est une droite vectorielle

2. Soit F = {(x, y, z) ∈ R3/ x = 2y + 3z}. Nous allons demontrer que F est un SEV de

R3. En effet

F = {(2y + 3z, y, z) : (y, z) ∈ R2} = {y(2, 1, 0) + z(3, 0, 1) : (y, z) ∈ R2}

F est en fait l’ensemble des CL des vecteurs u(2, 1, 0) et v (3, 0, 1)

Donc F est le SEV engendre par les vecteurs u et v.

On dira que F est un plan vectoriel

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Remarque 2.3. Si u1, ..., up sont dans V ect(v1, ..., vk) alors V ect(u1, ..., up) ⊂ V ect(v1, ..., vk).

2.4 Familles libres, familles generatrices, bases

Definition 2.6. (Sur et sous-famille). Soit E un K-espace vectoriel et F et G deux familles

finies de vecteurs de E. On dit que :

– F est une sous-famille de G si F ⊂ G.

– F est une sur-famille de G si G ⊂ F .

Definition 2.7. (Famille generatrice) Soit E un K-espace vectoriel et F = {x1, x2, ..., xn}une famille de n vecteurs de E. On dit que la famille F est une famille generatrice de E si

E = V ect(F ), c’est-a-dire si tout element de E peut s’ecrire comme combinaison lineaire

d’elements de F .

”une famille generatrice d’un ev E est donc en quelque sorte un resume de l’information

contenue dans E, puisque la connaissance de la famille generatrice, permet d’obtenir la

connaissance de E tout entier”.

Exemples 2.7. Dans R2 la famille {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} est generatrice car tout

x = (x1, x2) ∈ R2 s’ecrit : (x1, x2) = x1(1, 0) + x2(0, 1) = x1e1 + x2e2.

Proposition. Toute sur-famille d’une famille generatrice est generatrice.

Preuve. Il suffit de bien noter les vecteurs en mettant d’abord ceux de la famille generatrice

et les autres ensuite.

Exemples 2.8. la famille {(1, 0), (0, 1), (1, 1)} est generatrice.

Par exemple (3, 2) = 3(1, 0) + 2(0, 1) + 0(1, 1) = (1, 0) + 0(0, 1) + 2(1, 1) = ...

Definition 2.8. (Familles libres finie). Soit E un K-espace vectoriel.

On dit qu’une famille F = {x1, x2, ..., xn} de n elements de E est une famille libre de E si

∀λ1, ..., λn ∈ Kn : λ1x1 + λ2x2 + ... + λnxn = 0 ⇐⇒ λ1 = λ2 = ... = λn = 0,

c’est-a-dire que la seule combinaison lineaire nulle des xi, i = 1, 2, ..., n est celle dont tous

les coefficients sont nuls.

On dit alors que les vecteurs de cette famille sont lineairement independants.

Definition 2.9. Une famille qui n’est pas libre est dite liee.

Les vecteurs de cette famille sont alors dits lineairement dependants.

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Exemples 2.9.

(a) La famille {(1, 3,−5), (6, 0, 4)} est une famille libre de R3. En effet soient (λ, µ) ∈ R2

tels que λ(1, 3,−5) + µ(6, 0, 4) = 0.

λ(1, 3,−5) + µ(6, 0, 4) = (0, 0, 0) ⇐⇒

λ + 6µ = 03λ = 0−5λ + 4µ = 0

⇐⇒ λ = µ = 0

(b) La famille {(1, 2), (3, 4), (5, 6)} de R2 est liee : en effet soient 3 reels λ, β, γ tels que

λ(1, 2)+β(3, 4)+γ(5, 6) = 0. Alors (λ+3β+5γ, 2λ+4β+6λ) = (0, 0) ⇐⇒{

λ + 3β + 5γ = 02λ + 4β + 6λ = 0

⇐⇒{

λ + 3β + 5γ = 0−2β − 4γ = 0

⇐⇒{

λ + 3β = −5γβ = −2γ

⇐⇒{

λ = γβ = −2γ

En particulier, en prenant λ = 1, β = −2, γ = 1 : (1, 2)− 2(3, 4) + (5, 6) = 0.

Donc la famille est liee.

Proposition. Toute sous-famille d’une famille libre est libre. Toute sur-famille d’une fa-

mille liee est liee.

2.4.1 Bases et dimension

Definition 2.10. Soit E un K-espace vectoriel. On dit qu’une famille F = {e1, e2, ..., en}de n elements de E est une base de E si F est une famille libre et generatrice de E.

Exemples.

Proposition. Soit E un K-espace vectoriel et F = {e1, e2, ..., en} une base de E.

Soit x ∈ E, alors x s’ecrit de maniere unique sous la forme

x = λ1e1 + λ2e2 + ... + λnen,

c’est-a-dire que les scalaires λ1, λ2, ..., λn existent et sont uniques.

Preuve. Supposons le contraire, c.a.d, il existe λ1, λ2, ..., λn et µ1, µ2, ..., µn dans K, tels

que

x = λ1e1 + λ2e2 + ... + λnen = µ1e1 + µ2e2 + ... + µnen,

ce qui impliquen∑

i=1

(λi − µi)ei = 0

comme la famille {e1, e2, ..., en} est une base donc libre, alors (λi − µi) = 0, ∀ i = 1, ..., n

D’ou λi = µi,∀ i = 1, ..., n.

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Theoreme 2.2. Soit E un K-espace vectoriel et F = {e1, e2, ..., en} une famille de n

vecteurs de E, alors les proprietes suivantes sont equivalentes :

(i) F est une base de E ;

(ii) pour tout x ∈ E, il existe d’uniques scalaires λ1, λ2, ..., λn dans K tels que

x = λ1e1 + λ2e2 + ... + λnen.

Preuve.

(i) =⇒ (ii) C’est la proposition precedente.

(ii) =⇒ (i) L’existence des scalaires montre que F est generatrice. L’unicite est equivalente

au fait que F est libre.

Theoreme 2.3. Soit E un K-espace vectoriel et F = {u1, u2, ..., un} une famille E, v un

vecteur de E, alors on a

F est libre ⇐⇒ v /∈ V ect(F ).

Preuve. La demonstration est laissee a titre d’exercice.

Theoreme 2.4. Soit E un K-espace vectoriel admettant une base {e1, ..., en} ayant n

elements. Alors une famille libre dans E contient au plus n elements et une famille generatrice

de E contient au moins n elements. Il suit que toutes les bases de E admettent exactement

n elements.

Theoreme 2.5. Soit E un K-espace vectoriel, on suppose que E admet une famille generatrice

finie, alors on peut en extraire une base.

Preuve. D’une famille generatrice non libre, on peut enlever un vecteur pour obtenir une

autre famille generatrice. On repete le processus jusqu’a obtenir une famille qui est toujours

generatrice mais qui est aussi libre (i.e. une base). C’est forcement le cas a un moment,

sinon on descend jusqu’a l’ensemble vide qui ne peut pas etre une famille generatrice.

Definition 2.11 (Espace vectoriel de dimension n). Soit E un K-espace vectoriel, on

dit que E est de dimension n, avec n ∈ N donne (et on note dimE = n), si E admet une

base ayant n elements.

Exemples 2.10.

– {0K} est un K-espace vectoriel de dimension 0.

– R2 et C sont des R-espaces vectoriels de dimension 2.

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– R est un R-espace vectoriel de dimension 1. C est un C-espace vectoriel de dimension

1.

– Pour n ∈ N∗, Rn est un R-espace vectoriel de dimension n et Cn est un C-espace

vectoriel de dimension n.

– L’ensemble P = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + 2z = 0} est un sous-espace vectoriel de R3

de dimension 2.

– L’ensemble D = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + 2z = 0 et x + 3y = z} est un sous-espace

vectoriel de R3 de dimension 1.

Definition 2.12 (Espace vectoriel de dimension finie, infinie). Soit E un K-espace

vectoriel. On dit que E est de dimension finie s’il existe n ∈ N tel que E soit de dimension

n. Si ce n’est pas le cas, on dit que E est de dimension infinie.

Exemples 2.11.

– Rn[X] est un R-espace vectoriel de dimension n + 1.

– L’ensemble des fonctions continues sur R a valeurs reelles est un R-espace vectoriel

de dimension infinie.

– Resultats analogues sur C.

Proposition. Un K-espace vectoriel E est de dimension finie si et seulement s’il admet

une famille generatrice finie.

Preuve. L’implication E de dimension finie =⇒ il existe une famille generatrice finie est

claire. La reciproque est une consequence directe du theoreme 2.5.

Theoreme 2.6 (de la base incomplete). Soit E un K-espace vectoriel de dimension

finie, Si I est une famille libre et K une famille generatrice, avec I ⊂ K, alors il existe J

avec I ⊂ J ⊂ K tel que J soit une base.

Preuve.

1. Soit une sous-famille libre initiale (ui) ⊂ I.

2. Si cette famille n’est pas generatrice (n’est pas une base), il existe un indice i tel que

ui n’est pas une combinaison lineaire de (ui)i∈I . Necessairement, ui n’appartient pas a I

(d’apres le theoreme 2.3).

3. On remplace I par I ∪ {i}, qui est une sous-famille libre de J . On reitere 2.

La boucle se termine en un nombre fini d’etapes lorsque la famille obtenue est une famille

generatrice, donc une base de E.

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Proposition. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit F un sous-espace vec-

toriel de E. Alors :

1. F est de dimension finie m ≤ n ;

2. dimF = n si et seulement si F = E.

Preuve.

1. Supposons que F soit de dimension infinie, alors F admet pour tout k une famille libre

de k elements. En particulier, pour k = n + 1, soit F une telle famille. Elle peut etre

completee en une base de E qui contient strictement plus de n vecteurs. C’est absurde. F

est donc de dimension finie. Soit B une base de F , c’est une famille libre de E, elle admet

donc au plus n elements, d’ou le resultat.

2. Supposons dimF = n et F 6= E. Soit x ∈ E \ F alors x n’est pas combinaison lineaire

des elements d’une base B quelconque de F , donc B ∪ {x} est un systeme libre de n + 1

elements, ce qui est impossible car dimE = n.

Theoreme 2.7. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, les proprietes suivantes sont

equivalentes :

1. F est une base de E ;

2. F est une famille libre de n elements ;

3. F est une famille generatrice de n elements.

Preuve. Par definition d’une base, on a 1 =⇒ 2.) et 1 =⇒ 3. Supposons 2., si la famille

n’est pas generatrice, il existe x ∈ E qui n’est pas combinaison lineaire des elements de

F , alors F ∪ {x} est une famille libre de n + 1 elements dans E ce qui est absurde. Donc

2. =⇒ 3. et il suit donc aussi 2. =⇒ 1. Supposons maintenant 3., si la famille n’est pas

libre on peut en enlever un vecteur et conserver une famille generatrice, on obtient ainsi

une famille generatrice de n− 1 elements dont on peut extraire une base. On trouve donc

une base ayant strictement moins de n elements ce qui est absurde. Donc 3. =⇒ 2. et il

suit donc aussi 3. =⇒ 1.

2.5 Somme de sous-espaces vectoriels

2.5.1 Definition et premieres proprietes

Definition 2.13. Soient F1 et F2 des SEV de E.

On appelle somme de F1 et F2, on note F1 +F2 l’ensemble des vecteurs v de E qui peuvent

13

s’ecrire v = v1 + v2, avec v1 ∈ F1 et v2 ∈ F2.

F1 + F2 ={v ∈ E : (v1, v2) ∈ F1 × F2 tels que v = v1 + v2

}.

Proposition. Si F1 et F2 sont des SEV de E alors F1 + F2 est un SEV de E.

Preuve. F1 et F2 sont des SEV de E donc ∈ F1 et 0 ∈ F2 d’ou 0 + 0 = 0 ∈ F1 + F2, en

particulier F1 + F2 n’est pas vide. Soient u et v dans F1 + F2 et λ et µ des reels.

Par definition,

∃(u1, u2) ∈ F1 × F2 tels que u = u1 + u2

∃(v1, v2) ∈ F1 × F2 tels que v = v1 + v2

Donc λu + µv = λ(u1 + u2) + µ(v1 + v2) = (λu1 + µv1) + (λu2 + µv2),

or F1 et F2 sont stables par combinaisons lineaires donc λu1 + µv1 ∈ F1 et λu2 + µv2 ∈ F2

donc λu + µv ∈ F1 + F2. F1 + F2 est stable par combinaisons lineaires.

D’ou F1 + F2 est un SEV de E.

Exemple 1. Soit F1 et F2 deux sev de R2 definis par : F1 = V ect{(1, 1)} et F2 =

V ect{(1,−1)}. On sait que F1 + F2 est un sev de R2. En fait, on a meme F1 + F2 = R2.

En effet, Soit X = (x, y) un vecteur de R2, alors : X =x + y

2(1, 1) +

x− y

2(1,−1) donc

X ∈ F1 + F2. D’ou R2 ∈ F1 + F2 et donc F1 + F2 = R2.

2.5.2 Somme directe

Definition 2.14. Soient F1 et F2 deux SEV de E. Si tout vecteur v de F1+F2 peut s’ecrire

de maniere unique sous la forme v = v1 + v2, avec v1 ∈ F1 et v2 ∈ F2, on dit alors que la

somme F1 + F2 est directe.

On la note F1 ⊕ F2.

Proposition. La somme F1 + F2 est directe si et seulement si F1 ∩ F2 = ∅.

Preuve. =⇒) Supposons que la somme est directe.

Soit v ∈ F1 ∩ F2 alors on peut ecrire :

v = v + 0 avec v ∈ F1 et 0 ∈ F2 et v = 0 + v avec 0 ∈ F1 et v ∈ F2, d’ou, par unicite de la

decomposition dans F1 ⊕ F2, v = 0.

On a donc bien F1 ∩ F2 = {0}.⇐=) Supposons que F1 ∩ F2 = {0}. Soit v ∈ F1 + F2 tel que v = v1 + v2 = v′

1 + v′2 avec v1

et v′1 dans F1 et v2 et v′

2 dans F2.

On a donc v1 − v′1 = v′

2 − v2, or v1 − v′1 ∈ F1 et v′

2 − v2 ∈ F2.

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Comme F1 ∩ F2 = {0}, on en deduit que v1 − v′1 = v′

2 − v2 = 0

et donc v − 1 = v′ − 1 et v′2 = v2.

La decomposition de v est donc unique et la somme F1 + F2 est directe.

Exemple 2. Reprenons l’exemple precedent :

On peut montrer que F1 = V ect{(1, 1)} et F2 = V ect{(1,−1)} sont en somme directe dans

R2.

2.5.3 Sous-espaces supplementaires dans E

Definition 2.15. Soient F1 et F2 deux SEV de E.

F1 et F2 sont dits supplementaires dans E si leur somme est directe et egale a E.

Proposition. F1 et F2 sont supplementaires dans E si

{F1 ∩ F2 = {0}F1 + F2 = E

Remarque 2.4. F1 et F2 etant deux SEV de E, F1 + F2 est aussi un SEV de E.

Dans la pratique, on se contentera de verifier que E ⊂ F1 +F2, c’est a dire que tout vecteur

de E se decompose comme somme d’un vecteur de F1 et d’un vecteur de F2.

Exemple 3. D’apres ce qui a ete fait plus haut, on peut dire que F1 = V ect{(1, 1)} et

F2 = V ect{(1,−1)} sont supplementaires dans R2.

Exemple 4. Soient F1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 2y + 3z} et F2 = {(x, 0, 0) ou x ∈ R}.Nous avons deja demontre que F1 est le SEV de R3 engendre par les vecteurs (2, 1, 0) et

(3, 0, 1). De la meme maniere F2 est le SEV de R3 engendre par le vecteur (1, 0, 0).

Nous allons demontrer que F1 et F2 sont supplementaires dans R3 :

- Soit v ∈ F1 ∩ F2, alors v = (2y + 3z, y, z) = (x, 0, 0).

On en deduit que y = z = 0 et donc x = 2y + 3z = 0. Par suite, v = 0.

D’ou F1 ∩ F2 = {0}.

- Soit a present v ∈ R3, v(x, y, z). On cherche u1 ∈ F1 et u2 ∈ F2 tels que v = u1 + u2.

Donc (x, y, z) = (2y1 + 3z1, y1, z1) + (x2, 0, 0) = (x2 + 2y1 + 3z1, y1, z1).

On choisit donc y1 = y, z1 = z et x2 = x− 2y1 − 3z1 = x− 2y − 3z.

On obtient v = (x − 2y − 3z, 0, 0) + (2y + 3z, y, z). Donc v peut s’ecrire comme somme

d’un vecteur de F1 et d’un vecteur de F2.

- On a donc bien F1 ⊕ F2 = R3.

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Theoreme 2.8. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sous-

espaces vectoriels de E, alors

dim(F + G) = dimF + dimG− dim(F G).

Preuve. On prend une base B de F \G, on la complete en une base B1 de F en rajoutant

dimF−dim(F ∩G) elements et on la complete egalement en une base B2 de G en rajoutant

dimG− dim(F ∩G) elements. Alors B1 ∪B2 est une famille generatrice de F + G est c’est

aussi une famille libre par construction. C’est donc une base de F+G. Le nombre d’elements

qu’elle contient est

dim(F ∩G) + dimF − dim(F ∩G) + dimG− dim(F ∩G) = dimF − dimG− dim(F ∩G).

Ceci demontre le resultat.

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