B. Le Système Calcul des Séquents (G.Gentzen)

IdéeUne preuve dans ce système aura la forme d’un arbre

S3 S4

S2

S1

Et s’interprétera comme suitPour prouver S1, il suffit de prouver S2 et pour prouver S2, il suffit de prouver S3, S4,….

Définition1Un séquent est une paire d(ensemble finis de la forme : Antécédent (Hypothèses) : Conséquent (Conclusions)A1, A2, …, An B1, B2,…., Bm s’interprétera comme A1A2 …. An B1 B2…. BmUn séquent est faux si tous les Bi sont faux et tous les Ai sont vraies

Définition2   : Règle d’inférenceLe passage d’un niveau à un autre de l’arbre se fait au moyen de règles d’inférence qui possède la forme suivante :

S1……Sn Sm

Sm : la conclusion de la règle S1,….Sn : sont les prémisses de la règle

Exemple de règle A, B,

d AB,

Cette règle est applicable sur tout séquent contenant une formule à droite dont le connecteur principal est un

ExempleA , BC (EF)F :{ A , BC }  : A : (EF) B:F

Une règle d’inférence possède la forme suivante1 1 ………… n n

m

Peut se lire de 2 manières Du haut vers le bas

Si est 1 démontrable sous 1 et ……si n est démontrable sous n alors est démontrable sous m

Du bas vers le hautPour démontrer sous m, il suffit de démontrer 1 sous 1 et ….n sous n

Pour chaque connecteur nous allons définir 2 règles : une règle à droite (le connecteur se trouve dans la partie droite) et une règle à gauche.Règle à gauche déduire de nouvelles hypothèsesRègle à droite dire comment manipuler les buts

Déf d’une preuveUne preuve de est une suite d’application de règles d’inférences commençant par et se terminant par des axiomes.

Les règles

A, B, d

AB,

Pour démontrer AB sous l’hypothèse, il suffit de démontrer A et de Démontrer le B sous la même Hypothèse

A,B, d

AB,

Pour démontrer AB sous l’hypothèse, il suffit de démontrer A ou bien le B sous la même Hypothèse

,A B, d

AB,

Pour démontrer AB sous l’hypothèse, il suffit de démontrer B sous L’hypothèse A

,A d

A, Axiome

,A A,

C. La résolution de Robinson (Algorithme de réfutation)

,A,B g

,AB

Si AB est en hypothèse alors A, B sont vrais et sont mis en Hypothèse

Si AB est en hypothèse alors soit A soit B sont vrais et nous démontrons le sous A ou bien sous B

,A ,B g

, AB

Si AB est en hypothèse alors il suffit de démontrer le A pour pouvoir mettre le B en hypothèse

A, ,B g

, AB

A, g

, A

A la différence des autres méthodes, la résolution de Robinson impose que les formules qu’on veut traiter soient en forme clausale (FNC)La méthode est réfutationnelle c'est-à-dire, on débute de la négation du théorème à prouver

On commence par un ensemble de clauses et on utilise une règle de résolution pour construire de nouvelles clauses jusqu’à obtenir un ensemble de clauses contenant la clause vide noté.

Règle d’inférence

{XA,XB}ABDémonstrationEn généralSi X est vraie alors, X est faux on a XB est vraie B est vraie donc AB est vraieLa même chose si X est faux

Résolvante de clausesSoit C1 et C2 deux clauses tel que l’atome L C1 et L C2La résolvante de C1 et C2 est obtenue en éliminant l’atome et sa négation et en réunissant les autres littéraux de C1 et C2 en éliminant les éléments redondants.ExempleSoit C1=ABC C2= ACD C3=AB C4=ADLes seules clauses dont on peut calculer la résolvante sont C1C3 ACetC2C3 BCD

Algorithme de Robinson

Soit S : un ensemble de clauses tq STant que S faire

- Choisir C1 et C2 S tq  ! LC1 et LC2- Calculer la résolvante de C1 et C3 noté res(C1,C2)- Ajouter res(C1,C2) à S

Fin faire

- Pour appliquer l’Algorithme sur une formule, On débute par la négation de la formuleOn détermine FNC et on applique l’algorithme

- Pour appliquer l’Algorithme sur un raisonnement L’ensemble des clauses initiales est les hypothèses union la négation du but