COUR MECANIQUE

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 1,44 m A B 1 0 A   N  T  1 0 B  0,60 m 0,68 m G y x ϕ  
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    1,44 mA B

    10A N

    T

    10B

    0,60 m

    0,68 mG

    y

    x

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    TABLE DES MATIRES

    MODLISATION DES LIAISONS .............................................................................................................................................4

    1 - DEGRSDELIBERTDUNSOLIDE................................................................................................................................................ 42 - LIAISONSLMENTAIRESDE 2 SOLIDES.........................................................................................................................................43 - MODLISATIONDUNMCANISME................................................................................................................................................ 6

    MODLISATION DES ACTIONS MCANIQUES .................................................................................................................7

    1 - DFINITIONDUNE ACTION MCANIQUE (A.M.) ...........................................................................................................................72 - UNE A.M. PARTICULIRE : LA FORCE..........................................................................................................................................83 - A.M. ASSIMILABLESDESFORCES..............................................................................................................................................94 - MOMENTDUNEFORCEPARRAPPORTUNPOINT.........................................................................................................................115 - MODLISATIONDUNEFORCEPARUNTORSEUR............................................................................................................................136 - MODLISATIONDUNE A.M. QUELCONQUEPARUNTORSEUR.........................................................................................................147 - CHANGEMENTDUPOINTDERDUCTIONDUNTORSEUR..................................................................................................................158 - TORSEURSPARTICULIERS.......................................................................................................................................................... 159 - A.M. TRANSMISSIBLESPARLESLIAISONSUSUELLES......................................................................................................................16

    PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE .................................................................................................................19

    1 - ISOLEMENTDUNSYSTMEMATRIEL..........................................................................................................................................192 - EQUILIBREDUNSYSTMEMATRIELDANSUNREPREGALILEN.................................................................................................... 193 - PRINCIPEFONDAMENTALDELASTATIQUE....................................................................................................................................204 - CASDUNSYSTMESOUMIS 2 OU 3 FORCES..............................................................................................................................215 - SIMPLIFICATIONPLANE.............................................................................................................................................................236 - EQUILIBREISOSTATIQUEOUHYPERSTATIQUE................................................................................................................................247 - DMARCHEDERSOLUTIONDUNPROBLMEDESTATIQUE.............................................................................................................25

    CINMATIQUE ......................................................................................................................................................................... .26

    1 - TRAJECTOIRE, VITESSE, ACCLRATION....................................................................................................................................... 262 - MOUVEMENTSPLANS...............................................................................................................................................................283 - TORSEURCINMATIQUE............................................................................................................................................................30

    ENERGTIQUE ..........................................................................................................................................................................321 - LNERGIE.............................................................................................................................................................................322 - LAPUISSANCE.........................................................................................................................................................................323 - LEPRINCIPEDELACONSERVATIONDELNERGIE......................................................................................................................... 334 - RENDEMENTDUNSYSTME......................................................................................................................................................335 - TRAVAILETPUISSANCEDUNEACTIONMCANIQUE.......................................................................................................................336 - LESDIFFRENTESFORMESDELNERGIEMCANIQUE.................................................................................................................... 357 - CONSERVATIONDELNERGIEMCANIQUE.................................................................................................................................. 368 - THORMEDELNERGIECINTIQUE.......................................................................................................................................... 36

    DYNAMIQUE ............................................................................................................................................................................. .37

    1 - PRINCIPEFONDAMENTALDELADYNAMIQUE (P.F.D.) ...................................................................................................................372 - P.F.D. APPLIQUUNSOLIDEENMOUVEMENTDETRANSLATION (RECTILIGNEOUCURVILIGNE) .............................................. ........ ....373 - P.F.D. APPLIQUUNSOLIDEENMOUVEMENTDEROTATIONAUTOURDUNAXEFIXEDESYMTRIEDE (S) ..................................... .....38

    RSISTANCE DES MATRIAUX .................................................................................................................................... .......39

    1 - HYPOTHSESDELA R.D.M..................................................................................................................................................... 392 - TORSEURDECOHSIONDUNEPOUTRE........................................................................................................................................393 - CONTRAINTESLOCALESDANSLEMATRIAU.................................................................................................................................404 - CARACTRISTIQUESMCANIQUESDUNMATRIAU........................................................................................................................ 415 - TRACTION COMPRESSION.......................................................................................................................................................416 - CISAILLEMENT........................................................................................................................................................................427 - TORSION................................................................................................................................................................................428 - FLEXION................................................................................................................................................................................ 43

    MCANIQUE DES FLUIDES ............................................................................................................................................ .......45

    1 - HYPOTHSES...........................................................................................................................................................................452 - STATIQUEDESFLUIDES (HYDROSTATIQUE) .................................................................................................................................. .453 - ECOULEMENTPERMANENT.........................................................................................................................................................46

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    Modlisation des liaisons

    1 - Degrs de libert dun solide

    y

    xz

    Rx

    Ry

    Rz

    Tx

    Ty

    Tz

    Un solide libre dans lespace possde 6

    degrs de libert (ou mobilits) :- 3 translations- 3 rotations

    Ces 6 degrs de libert permettent ausolide doccuper nimporte quelle position danslespace.

    Si ce solide est une pice dun systme mcanique (ex : aiguille dune montre, rouedune voiture, contact mobile dun disjoncteur) le nombre de ses degrs de libert seralimit par les liaisons quil entretient avec les autres pices du systme.

    2 - Liaisons lmentaires de 2 solides

    Les liaisons lmentaires sont les liaisons les plus courantes qui peuvent unir 2pices dun mcanisme.

    On peut reconnatre une liaison lmentaire entre 2 solides :- en observant les mouvements possibles dun solide par rapport lautre- en identifiant la nature des surfaces de contact entre les 2 solides.

    Pour que les mobilits de la liaison puissent tre clairement dfinies, il faut lesexprimer dans un repre qui possde une orientation particulire par rapport la liaison.

    On les reprsente laide de schmas normaliss (voir tableau ci-aprs) quipermettent de modliser un mcanisme sous la forme dun schma cinmatique (comme onmodlise un circuit lectrique par un schma lectrique).

    Une liaison lmentaire peut tre obtenue par association dautres liaisonslmentaires (ex : glissire dun tau ralise par 2 pivots glissants).

    Toute liaison lmentaire peut-tre obtenue par association de liaisons ponctuelles.

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    3 - Modlisation dun mcanisme

    But de la modlisation: la modlisation consiste reprsenter un mcanisme defaon simplifie afin dtudier son comportement mcanique.

    Mthode gnrale pour modliser un mcanisme :

    Etapes Conseils Exemple du serre-joint

    1) Reprer quels sontles diffrents groupescinmatiques (ou sous-ensembles

    cinmatiquement lis ouencore classes

    dquivalence).

    Reprer les liaisonsencastrement puis colorier dunemme couleur toutes le piceslies entre elles.

    Lister les pices composantchacun des groupes :

    A = { 1, 3, }B = { 2,5, }

    A

    B

    C

    D

    x

    y

    2) Identifier la naturedes liaisons existantentre les groupes pourraliser le graphe desliaisons.

    Pour reconnatre une liaisonentre 2 groupes :

    - observer les mobilitspossibles entre ces 2 groupessans tenir compte des mobilitssupprimes par des liaisons

    avec dautres groupes.- identifier la nature de la

    surface de contact entre les 2groupes

    A

    BC

    D

    glissire

    hlicodale

    rotule

    3) Etablir le schmacinmatique dumcanisme en utilisant

    la reprsentationnormalise des liaisons.

    Il est inutile de respecterles dimensions.

    Par contre il faut

    absolument respecter la positionrelative et lorientation desliaisons.

    A

    B

    C

    D

    y

    x

    4) Rsoudre unproblme technique enappliquant les lois de lamcanique.

    a cest pour plus tard Ex : connaissant leffort deserrage exerc par le patin D sur la pice serrer, ondsire connatre leffortexerc par le coulisseau B

    sur le mors fixe A .

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    Modlisation des Actions Mcaniques

    1 - Dfinition dune Action Mcanique (A.M.)

    Une A.M. est un phnomne physique capable de :

    crer un

    dplacement

    maintenirun corps enquilibre

    dformer un corps

    On distingue :

    - Les A.M. de contact ou surfaciques, exerces par un solide sur un autre solide parlintermdiaire de leur surface de contact.

    - Les A.M. distance ou volumique, qui sexercent sur tous les lments de volume

    du solide sans quil y ait besoin de contact (ex : action de la pesanteur, forcesmagntiques).

    Remarque importante :Si un systme 1 exerce sur un systme 2 une A.M., alors le systme 2 exerce sur le

    systme 1 une A.M. exactement oppose.Cest ce que lon appelle le principe des actions rciproques ou la troisime loi de

    Newton.

    Ex : une balle de tennis exerce sur la raquette une A.M. exactement oppose cellequexerce la raquette sur la balle.

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    2 - Une A.M. particulire : la Force

    2.1 Dfinition

    Une force est laction quexerce un

    solide sur un autre solide lorsquils sont enliaison ponctuelle.

    Solide 1 Solide 2

    Plan tangent au contact

    entre les 2 solides

    A

    A12

    2.2 Caractristiques

    La force est dfinie par :

    un point dapplication : le point de contact entre les 2

    solides (ici le point A) une direction : normale (=perpendiculaire) au plan tangent

    au contact. un sens : du solide 1 vers le solide 2 sil sagit de lA.M. de

    1 sur 2. une intensit exprime en Newton (N)

    2.3 Modle mathmatique

    Le modle mathmatique de la force est le vecteur

    li ou pointeur, cest dire un vecteur auquel on associe unpoint origine.

    Pour la force exerce en A par le solide 1 sur lesolide 2, on utilisera la notation suivante :

    21A

    dont les proprits algbrique sont les suivantes :

    y

    xA

    yA

    xA

    21A

    21X

    21Y

    Coordonnes du

    point dapplication(en mm ou en m)

    Composantes

    algbriques du vecteur(en N)

    Norme du vecteur = intensit

    de la force(en N)

    En 2D

    A

    A

    y

    xA

    21

    21

    2/1Y

    XA 2

    21

    2

    2121 += YXA

    En 3D

    A

    A

    A

    z

    y

    x

    A

    21

    21

    21

    2/1

    Z

    Y

    X

    A

    2

    21

    2

    21

    2

    2121 ++= ZYXA

    notation simplifie : 2/1A

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    3 - A.M. assimilables des forces

    3.1 Le poids dun solide

    La pesanteur ou attraction terrestre agit sur chaque petit lment constituant unsolide (A.M. distance ou volumique).

    La somme de ces petites actions mcaniques lmentaires est quivalente uneforce dont les caractristiques sont les suivantes :

    point dapplication : G, centre de gravit du solide direction : Verticale sens : Vers le bas intensit : gmP = en Newton (N)

    m : masse du solide en Kgg : acclration de la pesanteur en m.s-2

    2.81,9 = smg mais on prendra 2.10 = smg (2% derreur)

    Cette force note P sappelle lepoids du solide :

    G

    P

    3.2 Les forces de pressionUn fluide sous pression (air, huile, ) en contact avec un solide exerce sur chaque

    lment de surface du solide une action mcanique lmentaire (A.M. de contact ousurfacique).

    La somme de toutes ces A.M. lmentaires est quivalente une force dont voici lesproprits :

    point dapplication : C, centre gomtrique de la surface en contact avec le fluide direction : normale (perpendiculaire) la surface

    sens : du fluide vers la surface intensit : SpF = en Newton (N)

    p : pression du fluide en Pa (Pascal) ; 1 Pa = 1 N/m2

    S : surface de contact en m2

    F

    C

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    3.3 Force exerce par un ressort hlicodal

    Un ressort hlicodal se comprime ou s'tire proportionnellement l'effort qui luiest appliqu.

    0

    Ressort au

    repos

    Ressort

    soumis un

    effort

    0

    0LLL =

    F

    La force applique sur le ressort a les proprits suivantes :

    point dapplication : extrmit du ressort direction : le long de l'axe du ressort sens : dpend du sens de dformation du ressort (compression ou

    extension)

    intensit : LkF = en Newton (N)k : raideur du rssort en N/mm

    0LLL = : flche (dformation du ressort) en mm

    Remarque : la raideur d'un ressort dpend du matriau qui le compose (gnralement del'acier spcial dit "acier ressort").Les autres caractristiques d'un ressort hlicodal qui font varier sa raideur sont :

    D: diamtre denroulement du ressort (k diminue si D augmente)d: diamtre du fil du ressort (k augmente si d augmente)

    n: nombre de spires du ressort (k diminue si n augmente)

    D

    d

    n

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 10

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    4 - Moment dune force par rapport un point

    4.1 Signification physique du moment dune force

    Le moment dune force par rapport

    un point est un outil qui permet de mesurerla capacit de cette force crer unmouvement rotation autour de ce point.

    Ex : le moment de la force de lutilisateurpar rapport au point A est sa capacit faire tourner la porte autour du point A :

    B

    A

    porterutilisateuB

    4.2 Modle mathmatique du moment dune force

    On considre une force applique en un point B etun point A quelconque.

    Le moment de 21B par rapport au point A est un

    vecteurnot ( )21BMA dont les caractristiques sont lessuivantes :

    B

    A21B

    direction : perpendiculaire au plan contenantle point A et la force 21B :

    sens : on applique la rgle du tire-bouchon en considrant que 21B faittourner le tire-bouchon autour de A. :

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 11

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    intensit : elle sexprime en Newton mtre (N.m) et on a 3 faons quivalentes de ladterminer :

    21' B

    A

    B

    21B

    ( )2121

    '.

    = BABBMA

    21B

    A

    B

    ( ) sin..2121

    = BABBMA

    A

    B

    21B

    H( )

    2121.

    = BAHBMA

    4.3 Dtermination analytique du moment dune force

    4.3.1. un outil mathmatique : le produit vectoriel

    Le produit vectoriel est une opration entre 2 vecteurs qui donne comme rsulta unvecteur.

    On note 21 VV qui se lit : V1 vectoriel V2

    Si on a 21 VVV = alors les caractristiques de V sont les suivantes : direction : Perpendiculaire 1V et 2V donc

    au plan dfini par 1V et 2V

    sens : Rgle du tire-bouchon quand on

    rabat 1V sur 2V

    intensit : sin21 = VVV( : angle entre les 2 vecteurs)

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 12

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    4.3.2. calcul analytique du produit vectoriel

    on a les vecteurs suivants :

    2

    2

    2

    2

    1

    1

    1

    1

    Z

    Y

    X

    V

    Z

    Y

    X

    V

    Z

    Y

    X

    V

    si 21 VVV = alors2121

    2121

    2121

    XYYXZZXXZY

    YZZYX

    ==

    =

    mthode mnmotechnique :

    4.3.3. dtermination du moment laide du produit vectoriel

    B

    A

    21B AB Le moment par rapport aupoint A de la force appliqueen B a pour expression :

    ( )2121

    = BABBMA

    si les coordonnes des vecteurs et des points sont les suivantes :

    ( )

    Z

    Y

    X

    B

    z

    y

    x

    B

    z

    y

    x

    A

    N

    M

    L

    BM

    B

    B

    B

    A

    A

    A

    A 2121

    alors on a : ( )Z

    Y

    X

    zz

    yy

    xx

    N

    M

    L

    BM

    AB

    AB

    AB

    A

    ==21

    5 - Modlisation dune force par un torseur

    Nous avons vu quune force tait compltement dfinie par :- un point dapplication (ex : B)

    - un vecteur (ex :21

    B

    )

    Elle peut tre aussi compltement dfinie par :

    - un vecteur (ex : 21B )

    - son moment par rapport un point quelconque (ex : ( )21BMA )

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 13

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    On peut alors modliser la force laide dun torseur :

    { }( )

    ( )zyxA

    A

    A

    A

    AA NZ

    MY

    LX

    BM

    B

    ,,2121

    2121

    2121

    21

    2121

    =

    =

    torseur de la

    force de 1 sur 2

    moment de la force par

    rapport au point de

    rduction du torseur

    point de

    rduction du

    torseur

    vecteur

    force

    coordonnes du

    vecteur force (en N)

    coordonnes du vecteur

    moment (en N.m)

    base dans

    laquelle sont

    exprimes les

    coordonnes

    des vecteurs

    6 - Modlisation dune A.M. quelconque par un torseur

    Toute action mcanique (force ou autre) exerce sur un systme S par une entit Eextrieure S peut tre modlise par un torseur :

    { }( )

    =

    =

    NZ

    MY

    LX

    SEM

    R

    A

    A

    SE

    A

    SE

    ZY

    X

    R SE

    est la rsultante de lA.M. de E sur S

    ( )

    N

    M

    L

    SEMA

    est le moment rsultant au point A de lA.M. de E sur S

    Remarques : Un mme torseur peut scrire en nimporte quel point :

    { }( ) ( ) ( )

    =

    =

    =

    SEM

    R

    SEM

    R

    SEM

    R SE

    B

    SE

    BA

    SE

    A

    SE

    ......

    son expression varie mais il modlise toujours la mme A.M.

    La rsultante dun torseur est invariante (ne change pas) quel que soit lepoint auquel on exprime le torseur.

    csteR SE =

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 14

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    { }SE est souvent la somme des torseurs des forces lmentaires

    quexerce E sur S.On peut faire la somme de 2 torseurs uniquement sils sont exprims aumme point (mme point de rduction). Dans ce cas on additionne lesrsultantes entre elles et les moments entre eux :

    ++++

    ++

    =

    +

    2121

    2121

    2121

    22

    22

    22

    11

    11

    11

    NNZZ

    MMYY

    LLXX

    NZ

    MY

    LX

    NZ

    MY

    LX

    AAA

    Le Principe des actions rciproques stipule que lA.M. dun systme E surun systme S est exactement oppose lA.M. de S sur E :

    { } { }ESSE =

    ( ) ( )

    =

    ESM

    R

    SEM

    R

    A

    ES

    AA

    SE

    A

    ( )( )

    ( )

    ( )( )

    ( )

    =

    ESNZ

    ESMY

    ESLX

    SENZ

    SEMY

    SELX

    AES

    AES

    AES

    AASE

    ASE

    ASE

    A

    7 - Changement du point de rduction dun torseur

    Lorsquon change le point de rduction dun torseur, seule lexpression du moment

    rsultant varie.La loi du transport des moments permet alors, connaissant le moment de lA.M. enun point, de dterminer le moment en nimporte quel point :

    ( ) ( )21

    2121

    += RBAMMAB

    8 - Torseurs particuliers

    8.1 Le torseur glisseur

    Un torseur glisseur est un torseur qui peut toujours scrire avec un momentrsultant nul, condition quon lexprime en un point dune droite particulire appele axeprincipal du torseur :

    { }

    =

    0

    0

    0

    Z

    Y

    X

    A

    si ( )A ( ) : axe principal du torseur

    ex : Les A.M. de type force sont modlisables par des glisseurs. En effet, quelle que soit le

    point de la droite daction de la force o lon exprime le torseur, son moment rsultantest nul :

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 15

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    ( )A

    Solide 1 Solide 2 A1 2

    A

    A

    { }

    =

    =

    =

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    21

    21

    21

    ''21

    21

    21

    '21

    21

    21

    21

    Z

    Y

    X

    Z

    Y

    X

    Z

    Y

    X

    AAA

    car ( )'',', AAA

    8.2 Le torseur couple

    Un torseur couple est un torseur dont la rsultante est nulle quel que soit le pointauquel on lexprime :

    { } A

    N

    M

    L

    A

    =

    0

    0

    0

    Daprs la loi du transport des moments :( ) ( ) ( ) ( )

    AAB

    MRBAMM =+=car

    ( ) 0=R

    Donc lexpression dun torseur couple reste la mme quel que soit son point derduction.

    ex : lA.M. quexerce le stator dun moteur lectrique sur son rotor peut tre modlise parun torseur couple

    9 - A.M. transmissibles par les liaisons usuelles

    9.1 Cas des liaisons parfaites

    On dit que des liaisons sont parfaites si on considre quil ny pas de frottement,cest dire que les dplacements autoriss par la liaison se font sans aucune rsistance.

    Lorsque 2 pices (ou groupes cinmatiques) sont lies par une liaison usuelle parfaite,la forme de lA.M. quelles peuvent exercer lune sur lautre dpend de la nature de la liaison(voir tableau).

    Si la liaison permet un mouvement de translation suivant une direction, aucune

    rsultante ne peut alors tre transmise suivant cette direction.Si la liaison permet un mouvement de rotation autour dun axe, aucun moment ne peutalors tre transmis selon cet axe.

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 16

  • 8/7/2019 COUR MECANIQUE

    17/48

    Nature de laliaison et

    position parrapport au

    repre

    Schmatisationspatiale

    Schmatisationplane

    Mouvementspossibles

    Torseurtransmissible

    { }21

    au point

    A

    EncastrementR quelconque x

    z

    yA

    21

    A x

    y 0

    0

    0

    00

    0

    X

    Y

    Z

    LM

    NA

    Glissire d'axe(A,x )

    z

    yx

    A1

    2

    x

    A

    y Tx

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    Y

    Z

    L

    M

    NA

    Pivot d'axe (A,z

    )

    y

    z x

    A

    2

    1

    y

    x

    A

    0

    0

    0

    0

    0

    Rz

    X

    Y

    Z

    L

    M

    0A

    Pivot glissantd'axe (A,z )

    y

    xz

    A

    1

    2 y

    xA

    0

    0

    Tz

    0

    0

    Rz

    X

    Y

    0

    L

    M

    0A

    Rotule de centreA

    z

    yx

    A

    12

    x

    y

    A

    0

    0

    0

    Rx

    Ry

    Rz

    X

    Y

    Z

    0

    0

    0A

    Linaireannulaire decentre A etd'axe (A, y )

    A

    x

    zy

    1 2

    yx

    A

    0Ty

    0

    Rx

    Ry

    Rz

    X0

    Z

    0

    0

    0A

    Appui plan denormale (A, y )

    y

    A

    z x

    2

    1

    x

    A

    y Tx

    0

    Tz

    0

    Ry

    0

    0

    Y

    0

    L

    0

    NA

    Linairerectiligne de

    normale (A, y )et de droite decontact (A,x )

    xy

    zA

    2

    1 x

    A

    y Tx

    0Tz

    Rx

    Ry0

    0

    Y0

    0

    0NA

    Ponctuelle denormale (A,x )

    x

    y z

    A

    1

    2

    y

    A

    x 0

    Ty

    Tz

    Rx

    Ry

    Rz

    X

    0

    0

    0

    0

    0A

    9.2 Cas des contacts avec frottement

    Jusqu prsent nous avons considr les liaisons comme parfaites, cest dire sansefforts dus au frottement.

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 17

  • 8/7/2019 COUR MECANIQUE

    18/48

    Dans la ralit, les frottements vont crer des efforts supplmentaires quisopposent aux dplacements.

    ex : contact ponctuel

    Sans frottement Avec frottement

    21C est normale la surface de contact. 21C est comprise dans un cne de demi-

    angle au sommet par rapport la normale

    au contact.

    Le coefficient de frottement tan=f dpend essentiellement du couple dematriaux en contact.

    Tant que 21C est lintrieur du cne de frottement dangle , il ny a pas

    glissement possible entre les solides 1 et 2 (on dit quil y a adhrence).

    Lorsquil y a glissement entre 1 et 2, 21C se trouve enlimite du cne dadhrence et fait donc un angle avec lanormale au contact :

    Leffort rel C1/2 se dcompose en un effort normalau contact N et un effort tangentiel au contact T .

    On a donc : NTtanf =

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 18

    21C

    1

    2

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    Principe Fondamental de la Statique

    1 - Isolement dun systme matriel

    On appelle Systme Matriel une quantit de matire dont la masse reste constante

    pendant quon ltudie.Un systme matriel peut tre :

    - un solide (ex : mors mobile de ltau)- un ensemble de solides (ex : ltau complet)- une masse de fluide (ex : leau dun barrage E.D.F.)- des solides et des fluides (ex : un vrin hydraulique)

    Isoler un systme matriel consiste diviser lunivers en 2 parties :- le systme matriel considr, not S .

    - le milieu extrieur S , cest dire tout ce qui nest pas S et qui estsusceptible dagir sur lui, que lon note ext.

    On distingue alors :- les A.M. intrieures S , qui agissent entre les lments de S .- les A.M. extrieures S , qui sont exerces par ext sur S .

    Lensemble des A.M. extrieures peut tre modlise par un unique torseur expimen un point A quelconque:

    { }( )

    ( )

    =

    SextM

    SextR

    AA

    Sext

    2 - Equilibre dun systme matriel dans un repre galilen

    Un systme matriel est en quilibre par rapport un repre sil est immobile dansce repre.

    Un repre est dit galilen sil est fixe ou en mouvement de translation rectiligne

    vitesse constante dans lunivers.Pour nos tudes de mcanique, les repres lis la Terre ou en translation rectiligne vitesse constante par rapport la Terre seront considrs comme galilens.

    Ex : un repre li un vhicule qui roule en ligne droite vitesse constante seraconsidr comme galilen. un repre li un vhicule qui prend un virage, qui freine ou qui acclre nepourra pas tre considr comme galilen.

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 19

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    3 - Principe fondamental de la statique

    Si un systme matriel S est en quilibre dans un repre galilen, alors le torseurdes A.M. extrieures est gal au torseur nul :

    { } { }0=SextT

    Ce qui se traduit par 2 thormes :

    Thorme de la rsultante statique :Si le systme est en quilibre alors la somme des rsultantes des A.M. extrieures

    est nulle.

    Thorme du moment statique :Si le systme est en quilibre alors la somme des moments des A.M. extrieures par

    rapport un mme point est nulle.

    Remarques : Lapplication du P.F.S. fournit 6 quations :

    thorme de larsultante statique :

    ===

    0

    0

    0

    Z

    Y

    X

    R

    R

    R thorme dumoment statique :

    ===

    0

    0

    0

    Z

    Y

    X

    M

    M

    M

    Attention !Si le torseur des A.M. extrieures un systme est nul, le systme nestpas forcment en quilibre.

    Cest la premire loi de Newton ou principe de linertie (initialement formulpar Galile)

    Ex : une paire de ciseaux

    Si lutilisateur exerce 2 forces opposessur les ciseaux, le torseur des A.M.extrieures aux ciseaux est nul, mais lesystme nest pas en quilibre (les ciseauxvont se fermer vitesse constante)

    FF

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 20

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    4 - Cas dun systme soumis 2 ou 3 forces

    4.1 Systme soumis 2 forces

    Soit un systme S en quilibre sous laction de 2 forces SextA et SextB appliques

    en A et en B.

    Lapplication du P.F.S. se traduit par :

    Le thorme de la rsultante statique :0=+ SextSext BA do SextSext BA =

    Conclusion : Les 2 forces sont opposes (mme norme, mme direction, sens contraire)

    Le thorme du moment statique :La somme des moments de chacune de ces forces par rapport un point quelconque

    est nulle.

    ex :On doit avoir :

    ( ) ( ) 0=+ SextASextA BMAMor ( ) 0=SextA AM car A est le point dapplicationde la force

    donc ( ) 0=SextA BMor ( ) SextSextA BAHBM =comme 0SextB alors 0=AH

    Conclusion : Les 2 forces ont mme droite daction.

    En rsum : Si un systme est en quilibre sous laction de 2 forces alors ces 2 forcessont opposes et ont mme droite daction.

    4.2 Systme soumis 3 forces

    Soit un systme S en quilibre sous laction de 3 forces quelconques SextA , SextB

    et SextC appliques aux points A, B et C.

    Le P.F.S. se traduit alors par :

    Le thorme de la rsultante statique :0=++ SextSextSext CBA

    Ceci se traduit graphiquement par le fait que letriangle form par les 3 vecteurs mis bout bout est fermet donc que les 3 vecteurs sont contenus dans un mme plan.

    SextB SextA

    SextC

    Conclusion : La somme vectorielledes 3 vecteurs force est nulle et ces 3 vecteurs sont

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 21

  • 8/7/2019 COUR MECANIQUE

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    donc coplanaires.

    Le thorme du moment statique :La somme des moments de chacune des 3 forces par rapport un point quelconque

    est nulle.

    ex :

    Soit I le point dintersection des droites daction

    de SextA et SextB On doit avoir :

    ( ) ( ) ( ) 0=++ SextISextISextI CMBMAMor ( 0=SextI AM et ( ) 0=SextI BM car I est surles droites daction de SextA et SextB

    donc ( 0=SextI CMdonc 0== SextSextI CIHCM

    comme 0SextC alors 0=IH

    Conclusion : Les droites daction des 3 forces sont concourantes.

    Attention,cas particulier :

    Si 2 des 3 forces sont parallles alorselles ne peuvent pas tre concourantes.

    Dans ce cas, la 3me force est forcmentparallle aux 2 autres pour que leur sommevectorielle puisse tre nulle.

    De plus pour que le thorme du momentstatique soit respect, les 3 forces doivent setrouver dans un mme plan.

    En rsum : Si un systme est en quilibre sous laction de 3 forces non parallles, alorsces 3 forces sont concourantes, coplanaires et de somme vectorielle nulle.

    Si un systme est en quilibre sous laction de 3 forces dont 2 sontparallles, alors ces 3 forces sont parallles, coplanaires et de sommevectorielle nulle.

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 22

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    5 - Simplification plane

    Si la gomtrie des liaisons dun systme matriel prsente un plan de symtrie etque les A.M. extrieures exerces sur ce systme sont symtriques par rapport ce plan,alors on peut admettre que le mcanisme est plan , cest dire que :

    - les rsultantes des A.M. extrieures sont contenues dans le plan de symtrie

    - les moments des A.M. extrieures sont perpendiculaires au plan de symtrie.

    x

    z

    F2 F2F1 F1

    P

    x

    P

    2F2

    2F1

    O

    Exemple :

    Le plan (O,x,y) est plan de symtrie de lagomtrie et des A.M. extrieurs donc toutes les A.M.scrivent sous la forme suivante :

    X

    Y

    -

    -

    -

    NA

    A quelconque

    Lapplication du PFS ne ncessite donc que la rsolution de 3 quations :

    = =

    =

    0

    0

    0

    Z

    Y

    X

    M

    R

    R

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 23

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    6 - Equilibre isostatique ou hyperstatique

    6.1 Dfinition

    Un systme matriel est en quilibre isostatique si les composantes inconnues destorseurs des A.M. extrieures peuvent tre dtermines uniquement avec les 6 quations

    fournies par le P.F.S. (3 quations dans le cas dun systme plan).Dans le cas contraire (plus dinconnues que dquations fournies par le PFS), on dit que

    le systme est en quilibre hyperstatique.

    6.2 Comment reconnatre un systme en quilibre hyperstatique ?

    Si le systme que lon isole possde plus de liaisons lmentaires avec lextrieur quele strict minimum permettant dassurer ses mobilits, alors il est en quilibrehyperstatique.

    6.3 Exemples de systmes en quilibre iso ou hyperstatiqueSystmes isostatiques :

    - la porte avec une seule charnire- un tabouret en appui sur 3 pieds

    Systmes hyperstatiques :- la porte avec plus dune charnire- le coulisseau de la carrelette avec ses 2liaisons pivot glissant- un tabouret en appui sur 4 pieds

    6.4 Comment rsoudre un problme hyperstatique ?

    En formulant des hypothses simplificatrices

    ex : pour le cric hydraulique on fait lhypothse que les A.M. sur les roues sontidentiques de chaque ct (hypothse de symtrie)

    ex : pour la carrelette on a remplac les 2 pivots glissants par une glissire

    En faisant appel des calculs dlasticit des matriaux (hors programme).

    6.5 Avantages et inconvnients des systmes iso ou hyperstatiques

    Avantages Inconvnients

    SystmeIsostatique Calcul ais des efforts ext. Montage facile Positionnement relatif peu prcisdes liaisons

    Solidit et rigidit rduites ouobtenues en apportant beaucoup dematire.

    SystmeHyperstatique

    Solidit et rigidit avec peu dematire

    Difficults de calcul des efforts Montage parfois dlicat Ncessit de ralisation desliaisons avec plus de prcision.

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 24

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    7 - Dmarche de rsolution dun problme de statique

    OUI

    Isoler un systme de solides sur lequel on connat une

    action mcanique

    Faire le bilan des actions mcaniques extrieures en

    prcisant les liaisons associes

    Disposer un repre local sur chaque liaison du systme

    isol (si le repre global ne permet pas dexprimer

    clairement les A.M.)

    Ecrire les torseurs associs aux actions mcaniques

    dans le repre local (ou dans le repre global si cest

    possible)

    Simplifier les torseurs si le problme est plan.

    Compter les inconnues.

    Isoler un autre systme de solides de faon lever une

    inconnue (par exemple soumis deux glisseurs, ce qui

    permet de trouver la direction d'une force).

    Revenir au systme isol prcdent puis RESOUDRE

    RESOUDRE

    Nombre d'inconnues infrieur

    au nombre d'quations

    NON

    Remarques : Pour simplifier la rsolution il est conseill dappliquer le thorme dumoment statique au centre dune liaison dont le torseur associ comportebeaucoup dinconnues. On limite ainsi le nombre dinconnues dans lesquations obtenues.

    Lorsquun systme comporte beaucoup de pices isoler, il est conseillde commencer par isoler les solides soumis 2 forces.Ceci permet de dterminer rapidement la direction de ces forces et

    simplifie les calculs par la suite.

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 25

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    Cinmatique

    1 - Trajectoire, vitesse, acclration

    1.1 Position dun solide

    B

    A

    x

    y

    z

    O

    OA

    OB

    La position dun solide par rapport unrepre R est dfinie par les coordonnes de sesdiffrents point dans ce repre.

    A

    A

    A

    z

    y

    x

    OA

    B

    B

    B

    z

    y

    x

    OB

    Ces coordonnes varient en fonction dutemps.

    1.2 Trajectoire dun point et abscisse curviligne

    A

    x

    y

    zO

    A0La trajectoire dun point est lensemble des

    positions quil a occup pendant un intervalle detemps donn.

    Labscisse curviligne s est la longueur delarc allant de lorigine de la trajectoire A0(position de A t=0) au point A (position

    linstant prsent).AAs 0=

    1.3 Vitesse dun point

    1.3.1. vitesse moyenne

    La vitesse moyenne dun point A entre 2 datest1et t2 est :

    parcoursdetemps

    parcouruedistance

    12

    12

    12

    21 ==

    =

    =

    t

    s

    tt

    ss

    tt

    AAVmoy

    en m/s (ou m.s-1)

    A2

    x

    y

    zO

    A0

    A1

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 26

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    1.3.2. vecteur vitesse instantanne

    Les proprits du vecteur vitesse du point A linstant t sont les suivantes :

    A

    x

    y

    zO

    A0

    Tangente latrajectoire au point A

    AV

    AV

    point dapplication : A (position linstant t)

    direction : tangente la trajectoiresens : sens de parcours de la trajectoire

    intensit :

    ( )tempsdeinfimevariation

    retrajectoideinfimevariation==dt

    dstv

    en m/s (ou m.s-1)

    Le vecteur vitesse instantane est en fait la drive par rapport au temps duvecteur position :

    dt

    OAdVA =

    avec( )( )

    ( )

    tz

    tytx

    OA donc( )( )

    ( )

    tz

    tytx

    VA

    '

    ''

    1.4 Acclration dun point

    1.4.1. vecteur acclration instantane

    ( )

    ( )

    ( )tv

    tv

    tv

    dt

    Vda

    z

    y

    x

    AA

    '

    '

    '

    == ou( )

    ( )

    ( )tz

    ty

    tx

    dt

    OAdaA

    ''

    ''

    ''

    2

    2

    == intensit en m/s2 (ou m.s-2)

    1.4.2. acclration normale et tangentielle

    Le vecteur acclration instantane peut toujours se dcomposer en :- un composante perpendiculaire la trajectoire : lacclration normale- un composante tangente la trajectoire : lacclration tangentielle

    ntA aaa +=

    ta est dans le sens de la trajectoire si le point Aacclre et dans le sens oppos sil ralentit.

    dtdvat =

    na est toujours dirige vers lintrieure de lacourbure de la trajectoire.

    R

    van

    2

    = R: rayon de courbure de la trajectoire

    A

    x

    y

    zO

    A0

    Tangente la

    trajectoire au point A

    Aa

    ta

    na

    1.5 Mouvements particuliers dun point

    1.5.1. Mouvement rectiligne uniforme (M.R.U.)

    La trajectoire du point est rectiligne et sa vitesse est constante.Si ( )xO, est laxe de la trajectoire, lquation des abscisses est :

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 27

  • 8/7/2019 COUR MECANIQUE

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    ( )0

    . xtvtx +=

    avec ( )tx : abscisse du point sur ( )xO, en fonction du temps tv : vitesse constante (indpendante de t)

    0x : abscisse 0=t

    1.5.2. Mouvement rectiligne uniformment vari (M.R.U.V.)

    La trajectoire est rectiligne et lacclration est constante (positive ou ngative).Si ( )xO, est laxe de la trajectoire,

    lquation de la vitesse est : ( ) 0. vtatv +=

    lquation des abscisses est : ( ) 002 ..21

    xtvtatx ++=

    avec ( )tv : vitesse en fonction du temps t( )tx : abscisse du point sur ( )xO, en fonction du temps ta : acclration constante (indpendante de t)

    0v : vitesse 0=t

    0x

    : abscisse 0=t

    2 - Mouvements plans

    2.1 Mouvement de translation

    Le corps 1 est en mouvement de

    translation par rapport au sol 0. Les vecteurs vitesse de 1/0

    sont identiques en tout point(appartenant ou non physiquement ausolide 1).

    On distingue :- la translation rectiligne (lestrajectoires des points sont des droites

    parallles).- la translation quelconque (lestrajectoires des points sont quelconquesmais toutes identiques).

    (1) : corps de

    lhlicoptre

    (0) : sol

    (2) : rotor

    translation rectiligne

    translationquelconque

    A

    0/1AV

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 28

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    29/48

    2.2 Mouvement de rotation

    Le rotor 2 est en mouvement derotation par rapport au corps 1.

    Les vecteurs vitesse de 2/1sont perpendiculaires la droite joignantleur origine et le centre de rotation I.

    Intensit :V = .r = 2 N.r

    en rad/sN en tour/s

    r

    I

    (1) : corps de

    lhlicoptre

    (0) : sol

    (2) : rotor

    A

    1/2AV

    2.3 Composition de mouvement

    Le mouvement de 2/0 est lacomposition du mouvement de 2/1 et dumouvement de 1/0.

    En tout point A on a :

    V A2/0 = V A2/1 + V A1/0

    De faon gnrale on a :

    VAa/i = VAa/b + VAb/c +

    . +VAg/h + VAh/i

    Cest la loi de composition desvitesses.

    A

    1/2AV

    0/1AV

    A

    0/2AV

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 29

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    2.4 Centre instantan de rotation (C.I.R.)

    Pour tout mouvement dun solidepar rapport un autre qui nest pas unetranslation rectiligne pure, il existe tout instant un point o la vitesse estnulle, cest le C.I.R. (Centre instantande rotation).

    Tous les vecteurs vitesse de cemouvement sont perpendiculaires ladroite joignant leur origine et le C.I.R.

    I2/0

    I2/0 : CIR du

    mouvement de 2/0

    2.5 Equiprojectivit des vecteurs vitesse

    Quel que soit le mouvement entre2 solide, les projections orthogonales de2 vecteurs vitesse quelconques de cemouvement sur laxe joignant leursorigines sont identiques.

    On dit quil y a quiprojectivit du

    champ des vecteurs vitesse.

    3 - Torseur cinmatique

    3.1 Dfinition

    Le torseur cinmatique permet de dfinir compltement un instant donn lemouvement dun solide (2) par rapport un autre (1) :

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 30

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    { }( )zyxA

    A

    A

    A

    AA VzzVyy

    Vxx

    V

    ,,1/21/2

    1/21/2

    1/21/2

    1/2

    1/21/2

    =

    =

    V

    torseur du

    mouvement de 2

    par rapport 1

    vecteur vitesse

    instantane du

    point de rduction

    point de

    rduction du

    torseur

    vecteur rotation

    instantane

    coordonnes du vecteur

    rotation instantane (en rad/s)

    coordonnes du vecteur

    vitesse instantane (en m/s)

    base dans

    laquelle sont

    exprimes lescoordonnes

    des vecteurs

    3.2 Changement de point de rduction

    Lorsquon connat le torseur cinmatique du mouvement dun solide en un point, onpeut le dterminer en nimporte quel point :

    { }

    =

    = 1/2

    1/2

    1/2

    1/2

    1/2

    BVV

    BAA

    V avec 1/21/21/2 += BAVV AB

    3.3 Cas particuliers

    3.3.1. Expression du torseur au C.I.R.

    Au C.I.R. du mouvement de 2/1 quon appelle I2/1, la vitesse est nulle :

    { }

    =0

    1/21/2

    1/2

    I

    V do MIMIVM 1/21/21/21/21/2 ==

    En ralit, dans lespace il y a une infinit de C.I.R. le long dun axe parallle 1/2 .

    On parle daxe instantan de rotation.

    3.3.2. Torseur dun mouvement de translation

    Dans le cas dune translation de 2/1, le vecteur rotation est nul :

    { }

    =

    1/2

    1/20

    AAVV avec 1/21/21/2 0 =+= AA VBAVVB

    Lexpression du torseur est la mme en nimporte quel point (la vitesse est identiqueen chaque point du solide).

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 31

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    3 - Le principe de la conservation de lnergie

    Lnergie peut se transformer mais ne peut jamais disparatre. Si on isole unemachine qui ne stocke pas dnergie, elle doit donc en fournir autant quelle en reoit. Danslexemple prcdent du moteur lectrique on doit donc avoir :

    0=++ jua PPP

    4 - Rendement dun systme

    Le rendement ( ta ) dune machine est le rapport entre la puissance utilefournie par celle-ci et la puissance absorbe :

    absorbe

    utile

    P

    P= avec perdueabsorbeutile PPP =

    Aucun systme ntant parfait, il y a toujours de lnergie perdue, gnralement par

    effet joule (chaleur). On a donc toujours :1

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    Lintensit et le signe du travail dpendent de lorientation de la force par rapportau dplacement :

    F

    AB

    F

    AB

    F

    AB

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    5.3 Expression du travail et de la puissance dans les cas les plus simples

    Action mcanique Force F Couple C

    MouvementDplacement l vitesse V

    colinaire la forceRotation dangle vitesseangulaire autour du mme

    axe que le couple

    Travail lFW = =CW

    Puissance VFP = =CP

    6 - Les diffrentes formes de lnergie mcanique

    6.1 Energie potentielle de pesanteur

    Un corps soumis la pesanteur acquiert de lnergie potentielle (capacit fournirde lnergie) lorsquil slve en altitude. Il pourra par exemple restituer cette nergie enretombant au sol.

    Lexpression de lnergie potentielle de pesanteurest alors :

    zgMEp ..=

    avec M : masse du solide considr (en kg)g : acclration de la pesanteur ( g=9.81 m.s-2)z : altitude du centre de gravit du solide (en m)

    remarque : laltitude 0=z est choisie arbitrairement.

    G

    z

    z =0

    6.2 Energie potentielle lastique

    Un ressort (ou autre corps lastique) quon comprime ou quon tire acquiert delnergie potentielle quil pourra librer en revenant a sa position initiale.

    Pour un ressort hlicodal, lnergie potentielle lastique est :2

    0)(

    2

    llk

    Elast =

    avec k : raideur du ressort en N/m

    0l : longueur vide du ressort en ml : longueur du ressort comprim ou tendu en m

    l0

    l

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 35

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    6.3 Energie cintique

    Un solide en mouvement possde une nergie appele nergie cintique. Pour un solide de masse M en mouvement de translation avec une vitesse V , elle

    sexprime de la faon suivante :2

    2

    1VMEc =

    Pour un solide en mouvement de rotation autour dun axe ( ) avec une vitesseangulaire et dont le moment dinertie (voir chapitre sur la dynamique) autour de ( ) est J , elle sexprime de la faon suivante :

    2

    2

    1= JEc

    Pour un solide en mouvement quelconque, lnergie cintique sera :22

    .2

    1.

    2

    1GGc JVME +=

    avec M : masse du solide

    GV

    : vitesse de son centre de gravit (ou centre dinertie)GJ : moment dinertie du solide autour de laxe parallle au vecteur rotation

    passant par le centre de gravit G . : vitesse de rotation du solide (rad/s)

    7 - Conservation de lnergie mcanique

    Si un systme est isol (pas dchange dnergie avec lextrieur) alors son nergie

    mcanique totale reste constante : cste=++= clastpmca EEEE

    8 - Thorme de lnergie cintique

    Dans un repre (R) galilen, la variation dnergie cintique dun solide entre lesdates t1 et t2 est gale la somme des travaux des A.M. extrieures appliques sur (S)entre ces 2 dates :

    ( )SextWEEcc

    =2

    112

    En appliquant ce thorme sur un intervalle de temps lmentaire on a :

    Sextc P

    dt

    dE=

    la puissance des A.M. extrieures est gale la drive de lnergie cintique.

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 36

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    Dynamique

    1 - Principe fondamental de la dynamique (P.F.D.)

    Cest la deuxime loi de Newton (ou thorme du centre dinertie) :

    1.1 P.F.D. appliqu un point matriel

    On appelle point matriel un point (sans volume) affect dune masse.

    On considre un systme matriel lmentaire (S) constitu uniquement dun pointmatriel M de masse m.

    (S) est soumis des A.M. extrieures modlises par le torseur { }Sext et il subit

    une acclration RSMa

    /

    par rapport un repre galilen R (voir chapitre sur le P.F.S.).En un point quelconque A, le principe fondamental de la dynamique (P.F.D.) sexprimealors de la faon suivante :

    { }

    =

    =

    RSM

    RSM

    ASextA

    Sext

    A

    SextamAM

    am

    M

    R

    /

    /

    )(

    1.2 P.F.D. appliqu un systme matriel

    Un systme matriel (S) quelconque de masse m peut tre considr comme une

    somme de points matriels de masses mi avec( )

    =S

    imm

    On appelle G le centre de gravit de (S).Le P.F.D. appliqu (S) sexprime alors de la faon suivante en un point A

    quelconque :

    { } ( )( )

    =

    =

    S

    RSM

    G

    ASextA

    Sext

    A

    Sext amAM

    am

    M

    R

    /)(

    les acclrations tant comme prcdemment par rapport un rfrentiel galilen.

    2 - P.F.D. appliqu un solide en mouvement de translation (rectiligne oucurviligne)

    2.1 Rduction en un point A quelconque { }

    =

    =

    amAG

    am

    M

    R

    ASextA

    Sext

    A

    Sext

    )(

    2.2 Rduction en G centre de gravit de S { }

    =

    =

    0)(

    am

    M

    R

    GSextG

    Sext

    G

    Sext

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 37

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    3 - P.F.D. appliqu un solide en mouvement de rotation autour dun axefixe de symtrie de (S)

    3.1 Moment dinertie dun solide par rapport un axe

    3.1.1. dfinition

    z

    O

    M

    md

    i

    (S)

    Soit md la masse dun point matriel lmentaireM appartenant un solide (S)

    On considre un axe ( )z,0 . Soit i la distanceentre M et ( )z,0 .

    On appelle moment dinertie OzJ de (S) parrapport laxe ( )z,0 le scalaire suivant :

    ( )=S

    iOzmJ d

    2

    3.1.2. quelques valeurs particulires connatre

    Cylindre de rvolution plein ethomogne

    O

    z

    R

    masse M

    2

    2

    1MRJOz =

    Enveloppe cylindrique homognede faible paisseur

    O

    z

    R

    e

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    Rsistance des matriaux

    1 - Hypothses de la R.D.M.

    La rsistance des matriaux (R.D.M.) se base sur un certain nombre dhypothses

    simplificatrices : Le matriau est homogne (pareil partout) et isotrope (mme proprits dans

    toutes les direction, ce qui nest pas le cas des matriaux composites) Les pices tudies sont assimilables des poutres cest dire :

    - grande longueur par rapport aux autres dimensions- forme droite (ou trs faiblement courbe)- section constante (ou variant trs progressivement)- existence dun plan de symtrie dans le sens de la longueur.

    Plan de symtrie

    Ligne moyenne

    Section

    G

    Centre de la section

    Les actions mcaniques sont comprises dans le plan de symtrie de la poutre ousont symtriques par rapport celui-ci.

    Les dformations sont faibles donc on suppose que les points dapplication des A.M.ne bougent pas aprs dformation.

    A B A B

    B

    Avant dformation Aprs dformationF F

    2 - Torseur de cohsion dune poutre

    Le torseur de cohsion modlise laction mcanique dune partie de la poutre sur uneautre partie de la poutre, de part et dautre dune coupure fictive.

    Cest la somme de toutes les A.M. lmentaires quexercent les particules de matire(atomes, molcules) pour assurer la cohsion du matriau.

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 39

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    x

    x

    y

    zO

    G

    Coupurefictive

    y

    z

    (1)

    (2)

    y

    zO

    G

    z(1)

    y

    x

    Ty

    Tz

    N

    Mt

    Mfy

    Mfz

    { } { }12= cohsion{ }1= Ext

    { }2= Ext

    { }

    =

    zz

    yy

    G

    cohsion

    MfT

    MfT

    MtN

    Cisaillement (effort

    tranchant)expression au point G,

    centre de la section tudie

    Traction-Compression

    (effort normal)

    Flexion (moment

    flchissant)

    Torsion

    (moment de

    torsion)

    3 - Contraintes locales dans le matriau

    LA.M. de cohsion se traduit en diffrents points de la section tudie par descontraintes locales.

    Ces contraintes peuvent tre de 2 types :- contraintes normales , perpendiculaires la section.- contraintes tangentielles , parallles la section.

    section de

    la poutre

    lment de

    surface de la

    section

    et sexpriment en pascal (Pa) oumga-pascal (Mpa)

    1 Pa = 1 N/m2

    1 MPa = 1 N/mm2

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 40

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    4 - Caractristiques mcaniques dun matriau

    Suivant lintensit des contraintes quon lui applique le matriau descomportements diffrents :

    - dformations lastiques : le matriau se dforme sous la contrainte puisrevient en position initiale lorsquon supprime les efforts.

    - dformations plastiques : le matriau se dforme sous la contrainte et restedform lorsquon supprime les efforts.

    - rupture : sous la contrainte, le matriau se rompt.

    Pour caractriser chaque matriau on utilise alors les paramtres suivants :E : module de Young (coefficient dlasticit longitudinale)G : module de Coulomb (coefficient dlasticit transversale) eet e : contraintes limites de comportement lastique ret r : contraintes de rupture.

    Exemples de valeurs (approximatives, varient en fonction des alliages et traitements) :

    Matriau E (MPa) e (MPa) r (MPa) G (MPa) e (MPa) r (MPa)Acier dusage courant 200000 250 400 80000 e/2 r/2Acier spciaux 200000 400 750 80000 e/2 r/2Fonte 100000 200 300 40000 rAluminium (Duralumin) 72000 240 32000

    Bton comp. 15trac. 1,5

    Polyamide 1830 49

    5 - Traction Compression

    5.1 Relation Sollicitation Contrainte

    S

    N= N: effort normal en NS: surface de la section en m2

    La contrainte normale engendre est identique dans toute la section :

    traction compression

    5.2 Loi de comportement lastique

    .E= E: module de Young en Pa

    l

    l= : allongement relatif (sans unit)

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 41

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    6 - Cisaillement

    6.1 Relation Sollicitation Contrainte

    S

    T= T: effort tranchant en N

    S: surface de la section en m2

    La contrainte tangentielle engendre estidentique dans toute la section :

    6.2 Loi de comportement lastique

    .G=G : module de Coulomb en Pa

    x

    y

    = : glissement transversal relatif (sans unit)

    7 - Torsion

    7.1 Moment quadratique polaire

    7.1.1. dfinition

    O (S)

    SM

    y

    x

    z

    Le moment quadratique polairede la surface (S) par rapport au point Oest :

    Io = ( )S 2 . S

    7.1.2. quelques expressions usuelles

    6

    4aIG =

    ( )12

    22 hbbhIG

    +=32

    4dIG

    = ( )

    32

    44 dDIG

    =

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 42

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    7.2 Relation Sollicitation Contrainte

    =GI

    Mt

    Mt : moment de torsion en NmIG : moment quadratique polaire de lasection en m4

    : distance au centre de la section en m

    G

    Fibre neutre

    M

    La contrainte tangentielle engendre est nulle aucentre de la section (fibre neutre) et est de plus en plusleve lorsquon sen loigne.

    7.3 Loi de comportement lastique

    GIGMt = G : module de Coulomb en Pa

    x

    = : angle de torsion unitaire en rad/m

    IG : moment quadratique polaire de la sectionen m4

    8 - Flexion

    8.1 Moment quadratique par rapport un axe

    8.1.1. dfinition

    O(S)

    SM

    y

    y

    x

    Le moment quadratique de lasurface (S) par rapport laxe (Ox)est :

    IOx = ( )S y2 . S

    8.1.2. quelques expressions usuelles

    12

    4a

    II GyGx == 1212

    33 hb

    I

    bh

    I GyGx == 64

    4d

    II GyGx

    ==

    ( )64

    44 dD

    II GyGx

    ==

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 43

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    8.1.3. relation entre moment quadratique polaire et axial

    O (S)

    SM

    y

    x

    z

    yx

    On a : 2 = x2 + y2

    donc : IO = ( )S 2. S =

    ( )S x2. S +

    ( )S

    y2. S

    do : IO= IOx+ IOy

    8.2 Relation Sollicitation Contrainte

    yI

    Mf

    Gz

    z =

    Mfz : moment de flexion en NmIGz : moment quadratique de la sectionpar rapport laxe (Gz) en m4

    y : distance par rapport laxe (Gz) en m

    y

    z

    x

    M

    G

    La contrainte normale engendre est nulle le longde laxe (Gz) (fibre neutre) et est de plus en plusleve lorsquon sen loigne.

    8.3 Loi de comportement lastique

    ''fIEMf Gzz =Mfz: moment de flexion en NmE: module de Young en PaIGz : moment quadratique par rapport laxe z de la section en m4

    f: flche (cart verticale par rapport la position sans sollicitation) en mf: drive seconde de la flche par rapport labscissex

    Pour obtenir lexpression de la flche, onintgre 2 fois la formule prcdente. Lesconstantes qui apparaissent lors des

    intgrations sont dtermines grce auxconditions aux limites.

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 44

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    Mcanique des fluides

    1 - Hypothses

    Tous les fluides que nous tudierons seront considrs comme incompressible, cest

    dire que leur masse volumique reste constante : tecons

    V

    mtan== avec

    m : masse en kg V : volume en m3

    : masse volumique en kg/m3

    Les liquides comme leau ou lhuile pourront tre considrs comme des fluidesincompressibles. Les gaz comme lair ne pourront pas tre considrs comme des fluidesincompressibles.

    2 - Statique des fluides (hydrostatique)

    2.1 Pression dun fluide

    2.1.1. dfinition

    La pression en un point quelconque dun fluide caractrise la force lmentaireexerce sur une surface lmentaire de fluide :

    ds

    dFA dS

    dFp = avec dF force lmentaire enN

    dS surface lmentaire en m2

    ppression en Pa (ouN/m

    2

    )2.1.2. units usuelles

    Lunit lgale est le pascal : 1 Pa = 1 N/m2

    mais on rencontre souvent :- le mgapascal : 1 MPa = 1 N/mm2

    - le bar : 1 bar 105 Pa 0,1 MPa 0,1 daN/cm2

    1 bar quivaut la pression atmosphrique terrestre au niveau de la mer.

    2.1.3. pression relative (ou effective)

    Cest la pression couramment indique par les appareils de mesure. Cest ladiffrence entre la pression absolue (relle) et la pression atmosphrique :

    0ppp relleeff =

    La pression dun pneumatique dautomobile sexprime par exemple en pressionrelative.

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 45

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    2.2 Pression dans un fluide soumis lattraction terrestre

    AB

    z

    zA

    zB h

    Considrons 2 points A et B dans un fluide des altitudesdiffrentes Az et Bz . Les pressions Ap et Bp respectivementau point A et B sont alors lies par la relation suivante :

    ( )ABBA zzgpp = ou hgp =

    avec : masse volumique du fluide en kg/m32m.s1081,9 =g : acclration de la pesanteur

    2.3 Thorme de Pascal

    Toute variation de pression en un point dun fluide au repos entrane la mmevariation de pression en tout point du fluide.

    3 - Ecoulement permanent

    3.1 Dbit dun fluide dans une conduite

    3.1.1. dbit volumique

    v= SqVavec S : section de la conduite en m2

    v : vitesse (ou clrit) du fluide dans la conduite en m/s

    Vq : dbit volumique en m3

    /s3.1.2. dbit massique

    Vm qq =avec : masse volumique du fluide en kg/m3

    Vq : dbit volumique en m3/s

    mq : dbit massique en kg/s

    3.2 Caractristiques dun coulement nombre de Renolds

    Le nombre de Renolds permet de caractriser un coulement. Il sexprime de lafaon suivante :

    dR

    .v=

    avec v : vitesse (ou clrit) du fluide dans la conduite en m/sd : diamtre de la conduite en m : viscosit cinmatique du fluide en m2/s

    (unit courante : le stocke : 1 St = 10-3 m2/s ) 2000

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    3.3 Pertes de charge

    On appelle pertes de charge J lnergie perdue par unit de masse dun fluide. Ellesexprime en J/kg et son signe est toujours ngatif (perte dnergie).

    3.3.1. Pertes de charge rgulires

    Cest lnergie perdue par frottement entre les filets de fluide (viscosit) et contre

    les parois :

    d

    lJ =

    2

    v 2

    avec : coefficient de pertes de charge (sans unit)l : longueur de la conduite considre en m

    coulement laminaire R

    64= (Poiseuille)

    coulement turbulent lisse 25,0316,0 = R (Blasius)

    coulement turbulent rugueuxd

    79,0= (Blench)

    3.3.2. Pertes de charge singulires

    Cest lnergie perdue par les turbulences des filets de fluides dans les variationsbrusques de section, coudes, etc. :

    2

    v2=J avec : coefficient caractristique de laccident de section (sans

    unit, valeurs donnes dans des tableaux)

    3.4 Thorme de Bernoulli (conservation de lnergie)

    A

    B

    zA

    zB

    pAvA

    pB

    vB

    Machine

    Lnergie mcanique totale dun fluide devant rester constante, la variation totalednergie par unit de masse entre 2 points dun circuit hydraulique doit rester nulle (enJ/kg) :

    J. FRAISSE 10/01/11 Mcanique - Principe Fondamental de la Statique page 47

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    ( )zg

    pJW +

    +

    =+

    2

    v2

    Variation

    dnergiecintique

    Variation dnergie

    potentielle de

    pesanteur

    Energie fournie

    ou prleve par

    une machine

    ( 0>W pour une

    pompe, 0