Corr 8431

DIMENSIONNEMENT DE RÉGULATEURS

Corrigés d’exercices pour la section 8.4 1 J.-M. Allenbach 2001.03.09

E 8.4.31 Un système à régler (S) est connu par sa fonction de transfert:

G ss s ss ( )

( , ) ( , ) ( , )=

+ + +10

1 0 1 1 0 05 1 0 004

Performances requises pour la réponse indicielle du système global (G) par rapport à la consigne (w): • dépassement maximal inférieur à 5%. • temps de réponse à 5% inférieur à 17 [ms]. • écart statique nul. A Calculer le régulateur (R) par la méthode d'imposition des pôles dominants en boucle fermée. Donner le résultat sous forme de quotient de polynômes en s factorisés. Conseil pour le calcul avec tracé géométrique explicite: choisir une échelle de 1 [s–1] := 1 [mm] sur feuille A4 au format "à l'italienne" (paysage). B Refaire le point A à l’aide du programme MATLAB\Regupole\regupole.m. C Imprimer le comportement dynamique du système en boucle fermée à l’aide de MATLAB\ Regupole\papier.m. C 8.4.31 A Cahier des charges: D1 ≈ 5 % => Ψ = 45° ; tr ≈ 17 [ms] => –ρ = –123,5 (dessinés sur le diagramme) ; e∞ = 0 => régulateur à composant intégrale (pôle 0). On en déduit les pôles dominants souhaités pour la boucle fermée : pf1,f2 = –123,5±123,5j (2 pts) On exprime la fonction de transfert sous forme d’Evans pour mettre en évidence pôles, zéros et facteur d’Evans.

G ss s ss ( )

( )( )( )=

+ + +510

10 20 250

5

pôles = [–10 –20 –250] zéros = [] ks = 5 105 (1 pts) On détermine les zéros par la condition des angles :

α αn v+ = °+ °+ °+ °+ °= °= °180 135 133 130 45 623 263 choix arbitraire : αn = °133 pour compenser le premier pôle négatif =>αv = °130 On lit sur le diagramme : zn = –10 et zv = –20 => Tn = 100 et Tv = 50 [ms] (3 pts) On applique la condition des modules :

k0 = =174 166 159 177

166 15930798 => T T T

kki n v

s -65

105 10

ms= = =0

500030798

81[ ] (3 pts)

G ss s

sR ( )( )( )

=+ +− −

−1 100 10 1 50 10

81 10

3 3

3 (1 pts)

Temps étudiants 45’ TOTAL 10 pts

w S

v

y ucm +

–

R

G



C 8.4.31 B (suite)



C 8.4.31 B En appliquant le programme, on obtient le système à régler sous forme canonique. Transfer function: 5e005

------------------------------ s^3 + 280 s^2 + 7700 s + 50000

Le logiciel calcule le pôle dominant en boucle fermée en fonction du cahier des charges qu'on a introduit.

On vous propose d'imposer le pole suivant en boucle fermee: P1bf = -123.5294+129.544i

Le logiciel propose un choix de zéros et pôles du régulateur.

-250 -200 -150 -100 -50 0

0

20

40

60

80

100

120

Lieu d'Evans

Gr= Zero/pole/gain: 312.3978 (s+16.82) (s+10) ------------------------- s (s+5000)

Le logiciel invite l'utilisateur à confirmer le gain proposé. On peut l'écrire sous forme de Bode.

G ss s

s sR ( )

( )( , )

( )=

+ +

+

− −

− −1 100 10 1 59 5 10

95 10 1 200 10

3 3

3 6

On obtient environ le même régulateur qu'avec la méthode manuelle. Le pôle supplémentaire est destiné à rendre causal le régulateur PID. Il reste à vérifier le comportement dynamique.



C 8.4.31 C Résultat de la simulation

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

D1

Tr

Réponse à un saut de consigne

Dépassement maximal: D1= 2.845 [%]; temps de réponse: Tr= 0.017438[s] Le cahier des charges est assez presque respecté. On augmente légèrement le gain à 350 en profitant du fait que le dépassement est nettement inférieur à 5 %.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

D1

Tr

Réponse à un saut de consigne

Dépassement maximal: D1= 4.7765 [%];Temps de réponse: Tr= 0.015335[s]

Cette fois la réponse indicielle est complètement dans le gabarit.



-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20

-150

-100

-50

0

50

100

150

Lieu de pôles

Corr 8431

Documents

Transcript of Corr 8431