7/17/2019 Corr 6530

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STABILITÉ

Corrigé d’exercice pour section 6.5 1 011208

Exercice 6.5.30 Un système est connu par sa fonction de transfert en boucle ouverte:

G s K  s s s s0 R ( )

( , ) ( , ) ( , )=

+ + +

9

1 0 06 1 0 02 1 0 01

A  Tracer le module de la réponse harmonique en boucle ouverte, en approximation par 

droites pour  K R  = 1 (formulaire ci-joint).

B Quelle valeur de  K R   faut-il appliquer pour que le système en boucle fermée réponde aux

conditions prescrites pour son comportement dynamique:

e∞ = 0   D1 ≤ 5 %   t r  ≤ 400 [ms]?

C Sur le même formulaire que A, tracer la réponse harmonique en boucle fermée pour  K R 

calculé en B.

D Quelle est la bande passante du système en boucle fermée, entre grandeur de consigne et

grandeur réglée, pour une atténuation moindre que 6 [dB].

Corrigé 6.5.30 A On exprime la réponse harmonique:G j

 j j j j0 ( )( , ) ( , ) ( , )

ω 

ω ω ω ω  

=+ + +

9

1 0 06 1 0 02 1 0 01

Les pulsations de cassure sont les inverses des constantes de temps de la fonction de

transfert, à savoir: 16,67 50 et 100 [rad/s]. A gauche de 16,67, on trace une pente de –1, due

au " j ω " en facteur, qui passe par "1" pour ω  = 9 [rad/s]. La pente devient ensuite plus raide de

 –1 après chaque cassure. Tracé page suivante. (3 pts)

B Selon le tableau résumé, pour un dépassement de 5 % (on lit pour 4,3 %), il faudrait un

rapport ω c/ω 1 = 2, donc ω 1 = 8,33 [rad/s]. On a lu une valeur de 1,07 pour  K R  = 1 (le calcul

approximé est meilleur ici que la lecture graphique), il faut donc choisir  K R   = 0,93 pour 

respecter le dépassement prescrit.

  (2 pts)

L'écart statique nul est obtenu grâce à l'intégration pure présente dans G0. (1 pts)

On vérifie encore le temps de réponse: selon le tableau résumé, pour un dépassement de 5 %

(on lit pour 4,3 %), on a 4,2/ω c = t r  = 4,2/16,67 = 252 [ms] < 400 [ms], le cahier des charges

est donc complètement respecté.

(2 pts)

Remarque: avec ce calcul du temps de réponse, on suppose qu'il s'agit d'une fonction de

transfert du 2e ordre, on peut donc approximer la fonction, ce qui donne un autre ω c:

G j j j   c0 rad / s( )

( , ), [ ]ω 

ω ω 

ω =+

⇒ =9

1 0 091111

on a 4,2/ω c = t r  = 4,2/11,11 = 378 [ms] < 400 [ms], le cahier des charges est donc respecté.

C Pour calculer la fonction de transfert en boucle fermée Gf , on l'approxime à "1" lorsque le

fonction de transfert en boucle ouverte G0 est supérieure à 1, sinon on l'approxime à G0. Tracé

 page suivante. (2 pts)

D Une atténuation de 6 [dB] correspond à un module de 0,5. On lit que pour des pulsations

inférieures à 16,67 [rad/s], le module de la fonction de transfert en boucle fermée Gf   est

supérieur à 0,5, la bande passante comprend donc toutes les pulsations inférieures à 16,67

[rad/s], ou les fréquences inférieures à 2,65 [Hz]. Autrement dit, toutes les composantes du

signal d'entrée (décomposé selon Fourier) inférieures à cette fréquence seront transmise à la

grandeur de sortie en conservant plus de 50 % de leur amplitude.

Temps étudiant 15' TOTAL 12 pts

COMPARER AVEC L'EXERCICE 6.3.30

7/17/2019 Corr 6530

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STABILITÉ

Corrigé d’exercice pour section 6.5 2 011208

      G

        f

        1        0        0

        1        0        0

        1        0   -

        1

        1        0        1

        1        0        2

        5        0

        1        6  ,

        7

      G        0

        1        0        1

   C    6 .   5 .   3

   0   A    (  s

  u   i   t  e   )