Contribution à l'étude numérique du comportement du béton...

N° d’ordre 00 ISAL0084 Année 2000

THESE

Présentée devant

L’institut national des sciences appliquées de Lyon

Pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR

Génie Civil: Sols, Matériaux, Structures, Physique du bâtimentÉcole doctorale MEGA

(Mécanique, Energétique, Génie Civil et Acoustique)

Par

Wahid NECHNECH

(Ingénieur d’Etat des Travaux Publics)(DEA de GénieCivil)

Contribution à l’étude numérique du comportement du béton

et des structures en béton armé soumises à des sollicitations

thermiques et mécaniques couplées :

Une approche thermo-élasto-plastique endommageable

Soutenue le 14 Décembre 2000 devant la commission d’examen

Jury MM.

A. Millard RapporteurG. Pijaudier-Cabot RapporteurS. Andrieux ExaminateurG. Heinfling ExaminateurB. Schrefler ExaminateurF. Sidoroff ExaminateurF. Meftah Directeur de thèseJ.M. Reynouard Directeur de thèse

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FEVRIER 2000

INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

Directeur : J. ROCHAT

Professeurs :AUDISIO S. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEBABOUX J.C. GEMPPM*BALLAND B. PHYSIQUE DE LA MATIEREBARBIER D. PHYSIQUE DE LA MATIEREBASTIDE J.P. THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEBAYADA G. MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUEBERGER C. (Melle) PHYSIQUE DE LA MATIEREBETEMPS M. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEBLANCHARD J.M. LAEPSI***BOISSON C. VIBRATIONS-ACOUSTIQUEBOIVIN M. MECANIQUE DES SOLIDESBOTTA H. Equipe DEVELOPPEMENT URBAINBOTTA-ZIMMERMANN M. (Mme) Equipe DEVELOPPEMENT URBAINBOULAYE G. (Prof. émérite) INFORMATIQUEBRAU J. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Thermique du bâtimentBRISSAU M. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEBRUNET M. MECANIQUE DES SOLIDESBRUNIE L. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATIONBUREAU J.C. THERMODYNAMIQUE APPLIQUEECAVAILLE J.Y. GEMPPM*CHANTE J.P. CEGELY**** - Composants de puissance et applicationsCHOCAT B. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Hydrologie urbaineCOUSIN M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - StructuresDOUTHEAU A. CHIMIE ORGANIQUEDUFOUR R. MECANIQUE DES STRUCTURESDUPUY J.C. PHYSIQUE DE LA MATIEREEMPTOZ H. RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISIONESNOUF C. GEMPPM*EYRAUD L. (Prof. émérite) GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEFANTOZZI G. GEMPPM*FAVREL J. PRISMa - PRoductique et Informatique des Systèmes ManufacturiersFAYARD J.M. BIOLOGIE APPLIQUEEFAYET M. MECANIQUE DES SOLIDESFERRARIS-BESSO G. MECANIQUE DES STRUCTURESFLAMAND L. MECANIQUE DES CONTACTSFLEISCHMANN P. GEMPPM*FLORY A. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATIONFOUGERES R. GEMPPM*FOUQUET F. GEMPPM*FRECON L. INFORMATIQUEGERARD J.F. MATERIAUX MACROMOLECULAIRESGIMENEZ G. CREATIS**GONNARD P. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEGONTRAND M. CEGELY**** - Composants de puissance et applicationsGOUTTE R. (Prof. émérite) CREATIS**GRANGE G. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEGUENIN G. GEMPPM*GUICHARDANT M. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIEGUILLOT G. PHYSIQUE DE LA MATIEREGUINET A. PRISMa - PRoductique et Informatique des Systèmes ManufacturiersGUYADER J.L. VIBRATIONS-ACOUSTIQUEGUYOMAR D. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEJACQUET RICHARDET G. MECANIQUE DES STRUCTURESJOLION J.M. RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISIONJULLIEN J.F. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - StructuresJUTARD A. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEKASTNER R. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - GéotechniqueKOULOUMDJIAN J. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATIONLAGARDE M. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIELALANNE M. (Prof. émérite) MECANIQUE DES STRUCTURESLALLEMAND A. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energétique et thermiqueLALLEMAND M. (Mme) CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energétique et thermiqueLAREAL P. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - GéotechniqueLAUGIER A. PHYSIQUE DE LA MATIERELAUGIER C. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE

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FEVRIER 2000

LEJEUNE P. GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMESLUBRECHT A. MECANIQUE DES CONTACTSMARTINEZ Y. INGENIERIE INFORMATIQUE INDUSTRIELLEMAZILLE H. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEMERLE P. GEMPPM*MERLIN J. GEMPPM*MILLET J.P. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEMIRAMOND M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Hydrologie urbaineMOREL R. MECANIQUE DES FLUIDESMOSZKOWICZ P. LAEPSI***NARDON P. (Prof. émérite) BIOLOGIE APPLIQUEENAVARRO A. LAEPSI***NOURI A. (Mme) MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUEODET C. CREATIS**OTTERBEIN M. (Prof. émérite) LAEPSI***PASCAULT J.P. MATERIAUX MACROMOLECULAIRESPAVIC G. VIBRATIONS-ACOUSTIQUEPELLETIER J.M. GEMPPM*PERA J. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - MatériauxPERACHON G. THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEPERRIAT P. GEMPPM*J. PERRIN J. ESCHIL – Equipe SCiences Humaines de l’Insa de LyonPINARD P. (Prof. émérite) PHYSIQUE DE LA MATIEREPINON J.M. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATIONPLAY D. CONCEPTION ET ANALYSE DES SYSTEMES MECANIQUESPOUSIN J. MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUEPREVOT P. GRACIMP – Groupe de Recherche en Apprentissage, Coopération et Interfaces

Multimodales pour la ProductiquePROST R. CREATIS**RAYNAUD M. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Transferts Interfaces et MatériauxREDARCE H. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEREYNOUARD J.M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - StructuresRIGAL J.F. CONCEPTION ET ANALYSE DES SYSTEMES MECANIQUESRIEUTORD E. (Prof. émérite) MECANIQUE DES FLUIDESROBERT-BAUDOUY J. (Mme) (Prof. émérite) GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMESROUBY D. GEMPPM*ROUX J.J. CENTRE DE THERMIQUE DE LYONRUBEL P. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATIONRUMELHART C. MECANIQUE DES SOLIDESSACADURA J.F. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Transferts Interfaces et MatériauxSAUTEREAU H. MATERIAUX MACROMOLECULAIRESSCAVARDA S. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLETHOMASSET D. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLETROCCAZ M. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEUNTERREINER R. CREATIS**VELEX P. MECANIQUE DES CONTACTSVIGIER G. GEMPPM*VINCENT A. GEMPPM*VUILLERMOZ P.L. (Prof. émérite) PHYSIQUE DE LA MATIERE

Directeurs de recherche C.N.R.S. :Y. BERTHIER MECANIQUE DES CONTACTSN. COTTE-PATAT (Mme) UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUEP. FRANCIOSI GEMPPM*M.A. MANDRAND (Mme) UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUEJ.F. QUINSON GEMPPM*A. ROCHE MATERIAUX MACROMOLECULAIRESA. SEGUELA GEMPPM*

Directeurs de recherche I.N.R.A. :G. FEBVAY BIOLOGIE APPLIQUEES. GRENIER BIOLOGIE APPLIQUEE

Directeurs de recherche I.N.S.E.R.M. :A-F. PRIGENT (Mme) BIOLOGIE ET PHARMACOLOGIEI. MAGNIN (Mme) CREATIS**

* GEMPPM GROUPE D'ETUDE METALLURGIE PHYSIQUE ET PHYSIQUE DES MATERIAUX** CREATIS CENTRE DE RECHERCHE ET D’APPLICATIONS EN TRAITEMENT DE L’IMAGE ET DU SIGNAL*** LAEPSI LABORATOIRE D’ANALYSE ENVIRONNEMENTALE DES PROCEDES ET SYSTEMES INDUSTRIELS**** CEGELY CENTRE DE GENIE ELECTRIQUE DE LYON

INSA DE LYONDPARTEMENT DES ETUDES DOCTORALESSEPTEMBRE 2000

ECOLES DOCTORALES ET DIPLOMES D’ETUDES APPROFONDIES HABILITES POUR LA PERIODE 1999-2003

ECOLES DOCTORALESN° code national

RESPONSABLEPRINCIPAL

CORRESPONDANTINSA

DEA INSAN° code national

RESPONSABLEDEA INSA

CHIMIE DE LYON(Chimie, Procédés, Environnement)

EDA206

M.D. SINOUUCBL104.72.44.62.63sec. 04.72.44.62.64Fax 04.72.44.81.60

M.P. MOSZKOWICZ83.45Sec. 84.30Fax. 87.17

Chimie Inorganique 910643Sciences et Stratégies Analytiques 910634Sciences et Techniques du Déchet 910675

M.J.F.QUINSONTél 83.51 Fax 85.28

M. P.MOSZKOWICZTél. 83.45 Fax 87.17

ECONOMIE ESPACE ET MODELISATION DESCOMPORTEMENTS

(E2MC)

EDA417

M A.BONNAFOUSLYON 204.72.72.64.38Sec 04.72.72.64.03Fax 04.72.72.64.48

Mme M.ZIMMERMANN84.71Fax 87.96

Ville et Sociétés 911218

Dimensions Cognitives et Modélisation 992678

Mme M.ZIMMERMANNTél. 84.71 Fax 87.96

M. L.FRECONTél. 82.39 Fax 85.18

ELECTRONIQUE,ELECTROTECHNIQUE,

AUTOMATIQUE

(E.E.A.)

EDA160

M. G.GIMENEZINSA de LYON83.32Fax 85.26.

Automatique Industrielle 910676Dispositifs de l’Electronique Intégrée 910696Génie Electrique de Lyon 910065Images et Systèmes 992254

M. M. BETEMPSTél. 85.59 Fax 85.35M. D.BARBIERTél. 85.47 Fax 60.81M. J.P.CHANTETél. 87.26 Fax 85.30Mme I.MAGNINTél. 85.63 Fax 85.26

EVOLUTION, ECOSYSTEME,MICROBIOLOGIE, MODELISATION

(E2M2)

EDA403

M. J.P.FLANDROISUCBL104.78.86.31.50Sec 04.78.86.31.52Fax 04.78.86.31.49

M. S.GRENIER79.88Fax 85.34

Analyse et Modélisation des SystèmesBiologiques 910509

M. S.GRENIERTél. 79.88 Fax 85.34

INFORMATIQUE ET INFORMATIONPOUR LA SOCIETE

EDA 407

M. J.M.JOLIONINSA de LYON87.59Fax 80.97

Documents Multimédia, Images et SystèmesD’Information Communicants 910509Extraction des Connaissances à partir desDonnées 992099Informatique et Systèmes coopératifs pourl’Entreprise 950131

M. A.FLORYTél. 84.66 Fax 85.97

M. J.F.BOULICAUTTél. 89.05 Fax 87.13

M. A.GUINETTél. 85.94 Fax 85.38

INTERDISCIPLINAIRE SCIENCES-SANTE

(EDISS)

EDA205

M. A.J.COZZONEUCBL104.72.72.26.72Sec 04.72.72.26.75Fax 04.72.72.26.01

M. M.LAGARDE82.40Fax 85.24

Biochimie 930032

M. M.LAGARDETél. 82.40 Fax 85.24

MATERIAUX DE LYON

UNIVERSITE LYON 1

EDA 034

M. J.JOSEPHECL04.72.18.62.44Sec 04.72.18.62.51Fax 04.72.18.60.90

M. J.M.PELLETIER83.18Fax 85.28

Génie des Matériaux : Microstructure,Comportement Mécanique, Durabilité 910527Matériaux Polymères et Composites 910607Matière Condensée, Surfaces et Interfaces 910577

M. J.M.PELLETIERTél. 83.18 Fax 85.28

M. H.SAUTEREAUTél. 81.78 Fax 85.27M. G.GUILLOTTél. 81.61 Fax 85.31

MATHEMATIQUES ETINFORMATION FONDAMENTALE

(Math IF)

EDA 409

M. NICOLASUCBL104.72.44.83.11Fax 04.72.43.00.35

M. J.POUSIN88.36Fax 85.29

Analyse Numérique, Equations aux dérivéespartielles et Calcul Scientifique 910281

M. G.BAYADATél. 83.12 Fax 85.29

MECANIQUE, ENERGETIQUE, GENIE CIVIL,ACOUSTIQUE

(MEGA)

EDA162

M. J.BATAILLEECL04.72.18.61.56Sec 04.72.18.61.60Fax 04.78.64.71.45

M. M.MIRAMOND82.16Fax 87.10

Acoustique 910016Génie Civil 992610Génie Mécanique 992111

Thermique et Energétique 910018

M. J.L.GUYADERTél. 80.80 Fax 87.12M. M.MIRAMONDTél. 82.16 Fax 87.10M. G.DALMAZTél. 83.03Fax 04.78.89.09.80Mme M.LALLEMANDTél. 81.54 Fax 60.10

En grisé : Les Ecoles doctorales et DEA dont l’INSA est établissement principal

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à mes parentsà mes sœurs et frères

à tous ceux qui me sont chers

-6-

AVANT PROPOS

Arrivé au bout de ce travail, effectué au sein du laboratoire URGC-Structures de l’InstitutNational des Sciences Appliquées de Lyon, je tiens à exprimer ma sincère reconnaissance àl’ensemble des personnes qui m’ont permis de le mener à terme.

Je tiens à remercie tout d’abord, Jean-Marie Reynouard, Professeur à l’INSA de Lyon et FekriMeftah, Maître de conférence à l’Université de Marne La Vallée de m’avoir encadréconjointement et d’avoir pu bénéficier aussi bien de leurs conseils et compétencesscientifiques que leurs qualités humaines. Je tiens d’autre part à remercier de nouveauProfesseur Jean Marie Reynouard, pour son soutien incessant aussi bien moral que matériel.

Messieurs les professeurs Alain Millard et Gilles Pijaudier-Cabot ont accepté la lourde tâched’être rapporteurs de ce travail. Leurs conseils et remarques intéressants m’ont permisd’améliorer significativement ce mémoire. Je souhaite qu’ils trouvent ici l’assurance de magratitude.

Je suis très sensible à la confiance que m’a accordé Monsieur François Sidoroff, Professeur àl’Ecole Centrale de Lyon en acceptant de faire parti de mon jury. Je lui dois, en effet, mespremiers pas dans le domaine de la modélisation de l’endommagement, qu’il en soitsincèrement remercie.

J’adresse également mes remerciements à Stéphane Andrieux, Docteur d’Université et adjointau chef du département Modélisation Mathématique et Numérique d’E.D.F., à GrégoryHeinfling, Docteur de l’INSA de Lyon et Ingénieur au Service Mécanique et Technologie desComposants d’E.D.F. et à Bernard Schrefler, Professeur à l’université Deglistudi Di Padova,d’avoir consacré leur temps précieux à examiner mon travail.

Mes remerciements s’adressent également à tous les membres et collègues du laboratoire pourles discutions fructueuses et particulièrement au Dr. Ali Limam, au Dr. Jean-François Georginet au Dr. Omar Merabet, Maîtres de Conférences à l’INSA de Lyon.

Que mes collègues de bureau trouvent ici toute ma reconnaissance pour ces trois annéespassées en leurs compagnies. Que l’avenir leur permette de réaliser leurs projets.

Je remercie enfin toutes les personnes qui ont contribué de manière directe ou indirecte à cetravail. Mes sincères remerciements à Madame Nicole Bouaouni, secrétaire de la formationdoctorale et à Madame Bernadette Escalier pour leur efficacité et leur patience. Je souhaiteenfin exprimer ma gratitude envers l’ensemble de mes collègues enseignants, chercheurs, ettechniciens du laboratoire et du département Génie Civil et Urbanisme de l’INSA de Lyon.

-7-

RESUME

Le but de cette recherche consiste en l’élaboration d’un modèle Eléments Finis pour l’analyse

des structures en béton armé sous sollicitations thermiques et mécaniques combinées.

Une synthèse des résultats disponibles sur le comportement du béton sous sollicitations

thermiques et mécaniques est exposée. Les différents comportements du béton qui peuvent

être rencontrés et notamment en analyse thermo-mécanique sont soulignés (Endommagement,

phénomène unilatéral, interaction thermo-mécanique,…). Les diverses familles de

modélisation sont par la suite analysées en soulignant les aspects importants du comportement

que chacune peut reproduire.

Un nouveau modèle thermo-plastique endommageable est alors développé, permettant de

rendre compte des divers phénomènes recensés lors de la synthèse. Ce modèle est construit

dans le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles et plus particulièrement sur

la thermo-plasticité couplée à l’endommagement. Un couplage entre le niveau d’écrouissage

atteint et l’endommagement est proposé. Deux variables d’endommagement scalaires y sont

introduites. Une première variable permet la modélisation des effets du chargement

mécanique et la seconde sert à représenter les effets du chargement thermique. Les relations

constitutives de la réponse thermo-élasto-plastique sont découplées de celles de la réponse

endommagée en utilisant le concept de la contrainte effective. Cette méthode confère une

souplesse dans l’implémentation numérique. En complément à ces développements, un

procédé simple est mis en place pour la gestion de la refermeture des fissures lors d’un

chargement cyclique. Un critère de plasticité, adapté à la description des surfaces de rupture

du béton sous hautes température, est alors repris et enrichi pour une meilleure modélisation

du béton.

Ce modèle est mis en œuvre dans l’analyse du comportement de spécimens en béton et de

structures en béton armé soumis à des sollicitations thermo-mécaniques cycliques à hautes

températures.

-8-

ABSTRACT

The aim of this research is the development of an Finite Element model for the analysis of

reinforced concrete structures under thermal, mechanical loadings or any combination of

them.

An available synthesis of results on the concrete behavior under thermal solicitation is

exposed. The different behavior of concrete that can be founded notably in thermo-

mechanical analysis (Damage, unilateral phenomenon, thermo-mechanical interaction,…) are

underlined. The various families of modeling are analyzed thereafter while underlining the

important aspects of the behavior that each one can retranscribe.

A new thermo-plastic damage model for plain concrete subjected to combined thermal and

cyclic loading is developed using the concept of plastic-work-hardening and stiffness

degradation in continuum damage mechanics. Two damage variables are used: the first one

for mechanical action and the second one for thermal action. Further, thermo-mechanical

interaction strains have been introduced to describe the influence of mechanical loading on

the physical process of thermal expansion of concrete. The constitutive relations for

elastoplastic responses are decoupled from the degradation damage responses by using the

effective stress concept. This method provides advantages in the numerical implementation.

A simple and thermodynamically consistent scalar degradation model is introduced to

simulate the effect of damage on elastic stiffness and its recovery during crack opening and

closing. Efficient computational algorithms for the proposed model are subsequently explored

and performance of this model is demonstrated with numerical examples.

Sommaire

-9-

TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION GENERALE.......................................................................................................... .............. 12

I. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

I-1 INTRODUCTION...................................................................................................................................... 17

I-2 COMPOSITION DU BETON................................................................................................................... 18

I-3 COMPORTEMENT MECANIQUE DU BETON A TEMPERATURE AMBIANTE........................ 20

I-3.1 COMPORTEMENT EN COMPRESSION.................................................................................................... 20

I-3.2 COMPORTEMENT EN TRACTION........................................................................................................... 23

I-3.3 COMPORTEMENT CYCLIQUE TRACTION-COMPRESSION........................................................................ 25

I-3.4 CONCLUSION DE LA PARTIE MECANIQUE............................................................................................. 26

I-4 REVUE DES TRAVAUX EXPERIMENTAUX REALISES SUR LA TENUE AU FEU DES

BETONS............................................................................................................................................................... 26

I-4.1 EFFETS DES HAUTES TEMPERATURES SUR LA MICROSTRUCTURE DU BETON........................................ 27

I-4.1.1 Déshydratation et modifications physico-chimiques du béton....................................................... 27

I-4.1.2 Micro-fissuration et dégradation de l'interface pâte-granulats..................................................... 28

I-4.1.3 Evolution de la porosité................................................................................................................. 28

I-4.1.4 Modification de l'état hydrique...................................................................................................... 29

I-4.2 EVOLUTION DES PROPRIETES THERMIQUES DU BETON AVEC LA TEMPERATURE.................................. 30

I-4.2.1 Conductivité thermique.................................................................................................................. 30

I-4.2.2 Chaleur spécifique......................................................................................................................... 31

I-4.2.3 Diffusivité thermique ..................................................................................................................... 32

I-4.3 EVOLUTION DES PROPRIETES MECANIQUES DU BETON AVEC LA TEMPERATURE.................................. 33

I-4.3.1 Module d'élasticité à hautes températures .................................................................................... 33

I-4.3.2 Résistance en compression à hautes températures ........................................................................ 34

I-4.3.3 Résistance en traction à hautes températures ............................................................................... 35

I-4.3.4 Effets des hautes températures sur l’énergie de fissuration du béton ........................................... 36

I-4.4 COMPORTEMENT MECANIQUE DU BETON A HAUTES TEMPERATURES.................................................. 36

I-4.4.1 Comportement du béton en compression à hautes températures................................................... 37

I-4.4.2 Comportement du béton en traction à hautes températures .......................................................... 39

I-4.5 DEFORMATION THERMIQUE DU BETON A HAUTES TEMPERATURES...................................................... 39

Sommaire

-10-

I-4.5.1 Déformation thermique libre ......................................................................................................... 40

I-4.5.2 Déformation du fluage thermique transitoire ................................................................................ 40

I-4.5.3 Influence des chemins de sollicitations.......................................................................................... 42

I-4.6 CONCLUSION DE LA PATRIE THERMIQUE............................................................................................. 43

I-5 CADRE THEORIQUE DE LA MODELISATION DU BETON .......................................................... 44

I-5.1 MODELES ELASTOPLASTIQUES POUR LE BETON................................................................................... 44

I-5.1.1 Formulation générale – lois d’états............................................................................................... 45

I-5.1.2 Critère de plasticité et règle d’écoulement.................................................................................... 46

I-5.2 MODELES D’ENDOMMAGEMENT POUR LE BETON................................................................................ 49

I-5.2.1 Formulation des modèles d’endommagement ............................................................................... 50

I-5.2.2 Effet de fermeture des microfissures : Comportement unilatéral .................................................. 52

I-5.3 COUPLAGE ENDOMMAGEMENT ET PLASTICITE.................................................................................... 55

I-5.4 EXTENSION POUR LA THERMIQUE........................................................................................................ 58

I-5.4.1 Approche par la théorie de la plasticité ........................................................................................ 58

I-5.4.2 Approche par la théorie de l’endommagement..............................................................................59

I-5.4.3 Modélisation de la déformation d’interaction thermo-mécanique ................................................ 60

I-5.5 PROBLEME DE LOCALISATION DES DEFORMATIONS............................................................................. 63

I-5.6 CONCLUSION DE LA PARTIE MODELISATION........................................................................................ 67

I-7 CONCLUSION .......................................................................................................................................... 69

II. FORMULATION DU MODELE

II-1 INTRODUCTION......................................................................................................................................71

II-2 ELABORATION D’UN MODELE D’ENDOMMAGEMENT-PLASTICITE COUPLES ................72

II-2.1 FORMULATION DU MODELE.................................................................................................................73

II-2.2 EVOLUTION DE L’ENDOMMAGEMENT..................................................................................................75

II-2.2.1 Variable d’endommagement mécanique...................................................................................76

II-2.2.2 Variable d’endommagement thermique ....................................................................................78

II-2.3 COUPLAGE ENTRE PLASTICITE ET ENDOMMAGEMENT.........................................................................79

II-2.4 CRITERE DE PLASTICITE – POTENTIEL PLASTIQUE...............................................................................80

II-2.5 LOIS DE COMPORTEMENT DU BETON A HAUTES TEMPERATURES.........................................................84

II-2.5.1 Identification des paramètres du modèle ..................................................................................86

II-2.5.2 Influence des paramètres du modèle.........................................................................................95

II-2.5.3 Bilans ........................................................................................................................................97

II-3 INTEGRATION DU MODELE DANS UN CODE DE CALCUL ELEMENT FINIS......................103

II-3.1 DESCRIPTION DU PROBLEME THERMO-MECANIQUE...........................................................................103

II-3.2 RESOLUTIONS NUMERIQUES DU PROBLEME THERMIQUE...................................................................105

Sommaire

-11-

II-3.3 RESOLUTION NUMERIQUE DU PROBLEME MECANIQUE.......................................................................108

II-3.4 INTEGRATION DES EQUATIONS CONSTITUTIVES DU MODELE.............................................................110

II-3.4.1 Algorithme de retour radial ....................................................................................................114

II-3.4.2 Schéma itératifs de résolution utilisés.....................................................................................123

II-3.4.3 Construction de l’opérateur tangent pour le modèle proposé ................................................127

II-3.4.4 Tableaux récapitulatifs ...........................................................................................................130

II-4 CONCLUSION ........................................................................................................................................134

III. VALIDATIONS ET SIMULATIONS NUMERIQUES

III-1 INTRODUCTION.................................................................................................................................... 137

III-2 APPLICATIONS A L’ANALYSE DU COMPORTEMENT DE SPECIMENS EN BETON........... 138

III-2.1 SIMULATION DES ESSAIS SOUS CHARGEMENTS MONOTONES............................................................. 138

III-2.2 SIMULATION DES ESSAIS SOUS CHARGEMENTS CYCLIQUES............................................................... 142

III-2.3 SIMULATION DES ESSAIS MONOTONES A HAUTES TEMPERATURES..................................................... 146

III-2.4 SIMULATION DES ESSAIS THERMO-MECANIQUES (EFFET DE L’ INTERACTION).................................... 151

III-3 APPLICATIONS A L’ANALYSE DE STRUCTURES EN BETON ET BETON ARME................ 156

III-3.1 SIMULATION D ’UN ESSAI DE FLEXION 4 POINTS................................................................................. 156

III-3.2 SIMULATION DE LA BOITE DE CISAILLEMENT..................................................................................... 161

III-3.2.1 Trajet 1 ........................................................................................................................................ 162

III-3.2.2 Trajet 2 ........................................................................................................................................ 162

III-3.3 SIMULATION D ’UN ESSAI DE RÉSISTANCE AU FEU.............................................................................. 164

III-4 CONCLUSION ........................................................................................................................................ 174

CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES .......................................................................................................... 176

REFERENCES ................................................................................................................................................. 181

ANNEXES

A : ANNOTATIONS ......................................................................................................................................... 193

B : METHODE DE REGULARISATION (HILLERBORG 1976) .............................................................. 195

C : FORMULATION THERMODYNAMIQUE............................................................................................ 200

D : EXTENSION AU VISCO-ENDOMMAGEMENT .................................................................................. 204

Introduction

-12-

INTRODUCTION GENERALE

Les installations à risque (centrales nucléaires, usines pétrochimiques et tunnel) peuvent être

le siège de sollicitations variées tant mécaniques (charge d’exploitation, séisme) que

thermiques (incendie). La rupture accidentelle de ces constructions engendre des désordres

majeurs sur des aspects aussi divers que les pertes humaines, l’environnement et l’économie

d’une région. Il est donc primordial de pouvoir estimer et prédire la tenue de ces installations.

Les outils développés à cet effet se doivent d’être les plus prédictifs possibles. La

modélisation doit intégrer un maximum d’informations tant sur la structure que sur le

comportement des matériaux. Ainsi, il est nécessaire dans le cas de ces installations, d’être

capable de rendre compte d’une part des effets de dégradations thermiques causés par le

processus du chauffage (endommagement et décohésion thermique) et d’autre part, des effets

de la dégradation mécanique au cours des cycles de chargement. En effet, la perte de la

capacité portante dans le cas des structures en béton armé peut être attribuée aux effets

mécaniques (déformation imposée, charge variable appliquée et effets de fatigue) ou encore

aux effets thermiques et leurs interactions avec la mécanique (déformation thermique, fluage

transitoire).

Dans ce contexte, ce travail a pour objectif le développement d’un outil numérique permettant

l’évaluation de la capacité portante ainsi que l’endommagement macroscopique de structures

en béton armé soumises à des sollicitations thermiques et mécaniques couplées.

Ce mémoire s’articule sur trois chapitres. La première partie se veut générale et introductive,

elle a pour but principal de situer les étapes des travaux dans leur environnement. Cependant,

elle n’est en rien un recensement exhaustif de la bibliographie. Nous pourrons à cet effet,

retrouver tout au long du mémoire des paragraphes restituant de manière spécifique, dans leur

contexte scientifique et chronologique, les développements réalisés. Ainsi, dans un premier

temps, nous nous proposons de décrire la réponse non linéaire du béton sous différentes

sollicitations thermiques et mécaniques. L’étude bibliographique des résultats expérimentaux

Introduction

-13-

sur éprouvettes permettra de mettre en évidence les différents comportements du béton qui

peuvent être rencontrés et notamment en analyse thermo-mécanique (Endommagement,

phénomène unilatéral, interaction thermo-mécanique,…). Les diverses familles de

modélisation des matériaux fragiles tels que le béton sont ensuite analysées en soulignant les

aspects importants du comportement que chacune peut retranscrire. Par la suite, nous nous

intéressons plus particulièrement à deux classes de modélisation : l’approche par la théorie de

la plasticité et celle par la théorie de l’endommagement. Ainsi, il se dégagera le besoin

d’adopter une approche élasto-plastique endommageable dans laquelle les deux types de

modélisations seront couplés pour mieux intégrer les différentes observations expérimentales

liées au comportement du béton depuis la température ambiante jusqu’à de hautes

températures.

Le développement d’un nouveau modèle de comportement de structures en béton et béton

armé sous sollicitations thermo-mécaniques est alors présenté dans le deuxième chapitre.

Celui-ci est construit dans le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles et plus

particulièrement sur la thermo-plasticité couplée à l’endommagement, outil efficace dans la

représentation continue des phénomènes de ruptures cohésives et frottantes.

Un couplage entre le niveau d’écrouissage atteint et l’endommagement est proposé. Deux

variables d’endommagements scalaires y sont introduites. Une première variable permet la

modélisation des effets de dégradation du matériau dus au chargement mécanique. La seconde

sert à représenter les effets du chargement thermique. Pour tenir compte de la dissymétrie du

comportement du matériau béton en traction et en compression, la variable

d’endommagement mécanique est subdivisée en deux parties ; une première partie pour

modéliser les chargements de traction et la seconde partie pour ceux de compression. Les

relations constitutives de la réponse thermo-elasto-plastique sont découplées de celles de la

réponse endommagée en utilisant le concept de la contrainte effective. Cette méthode confère

une souplesse dans l’implémentation numérique.

Le modèle élaboré prend en compte les variations irréversibles des caractéristiques

thermiques et ainsi que l’influence du chargement mécanique sur le processus de déformation

thermique. Ce phénomène a été bien étudié par Anderberg & Thelandersson (1976) et

Schneider (1985). Il est décrit sous le terme d’interaction thermo-mécanique ou fluage

thermique transitoire et se traduit par une forte dépendance de la réponse du béton à

Introduction

-14-

l’histoire des chargements thermiques et mécaniques combinés. Sa description ne peut être

réalisée de façon classique par une déformation thermique volumique uniquement fonction de

la température. Parmi les approches proposées pour la modélisation de ces déformations, nous

orientons notre choix vers la formulation proposée par Thelandersson (1987) qui permet de

représenter de façon correcte la phénoménologie de la déformation thermique du béton sous

chargements thermiques et mécaniques combinés avec un nombre limité de paramètres

identifiables expérimentalement. Un nouveau schéma d’intégration implicite est alors

formulé intégrant le terme de fluage thermique transitoire.

De plus, lors de chargements cycliques, il est nécessaire de prendre en considération l’effet

unilatéral. Ce phénomène s’observe lors du passage d’une sollicitation de traction à une

sollicitation de compression par une augmentation de la raideur dû à la fermeture de fissures.

Dans notre modélisation, la fermeture de fissures se manifeste au changement de signe de

contrainte par la modification de l’endommagement de traction ; ce dernier est multiplie par

un terme prenant en compte cet effet.

L’utilisation d’un modèle multi-critères de plasticité à écrouissage isotrope, adapté aux

matériaux dilatants sous chargements thermo-mécaniques, permet de gérer convenablement

les évolutions des déformations plastiques ainsi que l’endommagement résultant. En ce qui

concerne les écoulements plastiques, une loi associée d’écoulement est utilisée en traction,

par contre une loi non-associée est utilisée en compression pour tenir compte du

comportement dilatant du matériau béton (Chen 1982).

Le problème de la localisation des déformations n’est que partiellement traité en utilisant une

énergie de fissuration dépendante d’une longueur caractéristique, liée à la taille des éléments

(concept de Hillerborg 1976). Cette formulation prend également en compte la dépendance

des caractéristiques de la mécanique de la rupture du béton vis à vis de la température.

En l’absence de données expérimentales précises sur l’effet du processus de déformation et

d’endommagement sur la propagation de la chaleur dans le béton, une approche thermo-

mécanique découplée est généralement adoptée. Ce type d’approche, envisagée par différents

auteurs, a montré son efficacité pour l’analyse de structure en situation d’incendie. Les

paramètres majeurs identifiés dans ce cadre sont alors la dégradation irréversible des

caractéristiques thermiques et mécaniques du béton avec la température, et l’influence du

Introduction

-15-

chargement mécanique sur le processus de déformation thermique de ce matériau. Cette

approche est utilisée ici pour la résolution numérique du problème thermo-mécanique.

Dans le troisième et dernier chapitre, le modèle de comportement est testé et validé par

différentes simulations numériques. Les premières simulations se rapportent aux essais qui

ont permis de caler les paramètres du modèle ; ceci afin de tester l’implémentation numérique

et le domaine de validité du modèle. Une autre série de calcul est entamée par la suite, pour

vérifier la bonne prise en compte de divers phénomènes modélisés lors de l’élaboration du

modèle (Endommagement mécanique, endommagement thermique, décohesion thermique,

comportement unilatéral et phénomène d’interaction thermo-mécanique). Enfin, une dernière

série de calculs permettra de vérifier, dans le cas de structures plus complexes la validité du

modèle de comportement. Nous simulerons pour cela un essai de flexion quatre points, l’essai

de la boîte de cisaillement de Nooru-Mohamed (1992). Un essai de résistance au feu complète

ces validations.

Enfin, nous terminons ce manuscrit par une conclusion générale pour faire le point sur les

performances de ce modèle et définir les axes de développements permettant son amélioration

et son extension.

Chapitre I Etude bibliographique

-16-

CHAPITRE I

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

I-1 INTRODUCTION........................................................................................................................................ 1

I-2 COMPOSITION DU BETON................................................................................................................... 18

I-3 COMPORTEMENT MECANIQUE DU BETON A TEMPERATURE AMBIANTE........................ 19

I-3.1 COMPORTEMENT EN COMPRESSION.................................................................................................... 19

I-3.2 COMPORTEMENT EN TRACTION........................................................................................................... 23

I-3.3 COMPORTEMENT CYCLIQUE TRACTION-COMPRESSION........................................................................ 24

I-3.4 CONCLUSION DE LA PARTIE MECANIQUE............................................................................................. 25

I-4 REVUE DES TRAVAUX EXPERIMENTAUX REALISES SUR LA TENUE AU FEU DES

BETONS............................................................................................................................................................... 26

I-4.1 EFFETS DES HAUTES TEMPERATURES SUR LA MICROSTRUCTURE DU BETON........................................ 26

I-4.2 EVOLUTION DES PROPRIETES THERMIQUES DU BETON AVEC LA TEMPERATURE.................................. 29

I-4.3 EVOLUTION DES PROPRIETES MECANIQUES DU BETON AVEC LA TEMPERATURE.................................. 32

I-4.4 COMPORTEMENT MECANIQUE DU BETON A HAUTES TEMPERATURES.................................................. 36

I-4.5 DÉFORMATION THERMIQUE DU BETON A HAUTES TEMPERATURES...................................................... 39

I-4.6 CONCLUSION DE LA PARTIE THERMIQUE............................................................................................. 43

I-5 CADRE THEORIQUE DE LA MODELISATION DU BETON .......................................................... 44

I-5.1 MODELES ELASTOPLASTIQUES POUR LE BETON................................................................................... 44

I-5.2 MODELES D’ENDOMMAGEMENT POUR LE BETON................................................................................ 49

I-5.3 COUPLAGE ENDOMMAGEMENT ET PLASTICITE.................................................................................... 55

I-5.4 EXTENSION POUR LA THERMIQUE........................................................................................................ 58

I-5.5 PROBLEME DE LOCALISATION DES DEFORMATIONS............................................................................. 63

I-5.6 CONCLUSION DE LA PARTIE MODÉLISATION........................................................................................ 67

I-7 CONCLUSION .......................................................................................................................................... 69


-17-

I-1 INTRODUCTION

La complexité de la microstructure du matériau béton est une des causes des particularités de

son comportement mécanique. Le comportement très complexe et les mécanismes qui

conduisent à sa modification peuvent être bien définis, seulement en étudiant le béton au

niveau microscopique, et en prenant en considération ses modifications physico-chimiques et

les réactions qui ont lieu lors de chargement. Et leurs conséquences sur le comportement

macroscopiques.

Ainsi, dans un première partie, nous nous proposons de décrire la réponse non linéaire du

béton sous différentes sollicitations thermiques et mécaniques. L’étude bibliographique des

résultats expérimentaux sur éprouvettes permettra de mettre en évidence les différents

comportements du béton qui peuvent être rencontrés notamment, en analyse thermo-

mécanique (Endommagement, phénomène unilatéral, interaction thermo-mécanique,…).

Nous présentons dans un deuxième partie, une bibliographie de quelques modèles de

comportement du béton prenant en compte les divers résultats expérimentaux présentés en

première partie. Cette liste n’est pas exhaustive, mais elle permet de présenter les différentes

approches et les différents concepts développés. Nous nous intéressons plus particulièrement

à deux classes de modélisation des structures en béton armé : l’approche par la théorie de la

plasticité et l’approche par la théorie de l’endommagement en essayant de présenter les

phénomènes pris en compte dans chacune des modélisations et leurs limites.

Ainsi, il se dégagera de besoins d’adopter une approche thermo-plastique endommageable

dans laquelle les deux types de modélisations seront couplés pour mieux intégrer les différents

observations expérimentales liées au comportement du béton de la température ambiante

jusqu’aux hautes températures.

Une troisième partie présente une étude bibliographique des travaux effectués sur les

méthodes de régularisation de la localisation. En effet, l’utilisation de modèles présentant une

phase adoucissante entraîne une certaine dépendance des résultats numériques vis à vis de la

finesse du maillage. Ce problème peut être en partie résolu par différentes méthodes dites de

régularisation.


-18-

I-2 COMPOSITION DU BETON

Le béton est un composé multiphasique constitué d’un mélange de granulats et de pâte, elle-

même constituée de ciment et d’eau. La pâte de ciment représente 25 à 40 % du volume total

du béton. Chaque constituant a un rôle bien défini, celui de liant pour la pâte de ciment, celui

de remplissage atténuateur de variations volumiques (retrait) et source de résistance pour les

granulats.

Les mécanismes d’hydratation du ciment créent au sein du béton un espace poreux. On

distingue traditionnellement la porosité ouverte (dont les pores communiquent entre eux) de la

porosité fermée (dont les vides se trouvent isolés les uns des autres). Le schéma présenté à la

figure I.1 illustre la répartition des dimensions des différentes phases solides et poreuses que

l’on rencontre au sein de la matrice cimentaire du béton.

Figure I.1: Dimensions des pores et phases solides

présentes dans la pâte de ciment (Mehta 1986).

Il est à noter que la structure des pores a une grande influence sur les propriétés mécaniques

du béton (Rostasy & al. 1980, Perreira & al. 1989, Noumowe 1995). De nombreux essais ont

permis de mettre en évidence l'influence de la porosité sur les propriétés mécaniques du béton

et plusieurs auteurs ont mêmes proposé des relations théoriques permettant de lier la porosité

totale à diverses caractéristiques (Rossler & Older 1985, Perreira & al. 1989). La figure I.2

présente à titre indicatif les relations d'évolution de la résistance en compression en fonction

de la porosité ( )totp VV=φ , proposées par différents auteurs.


-19-

Sous hautes températures, la porosité évolue de façon significative du fait des pressions de

pores. Ceci provoque une altération des propriétés mécaniques comme il sera présenté au

paragraphe I.4.

Figure I.2: Evolution de la résistance en compression du béton

en fonction de sa porosité. (Rossler & Older 1985).

I-3 COMPORTEMENT MECANIQUE DU BETON A TEMPERATURE

AMBIANTE

Dans ce qui suit, on présente un aperçu du comportement mécanique du béton à température

ambiante sous divers types de sollicitations, en passant en revue son comportement sous

sollicitation de compression simple et cyclique, traction simple et cyclique. Cette partie a pour

but de mettre en évidence le lien entre la fissuration et l’endommagement. L’essai de traction-

compression cyclique, par contre, a pour but de mettre en évidence l’effet de la refermeture de

fissures (effet unilatéral).

I-3.1 Comportement en compression

L'essai de compression uniaxiale est un essai qui a largement été étudié afin de connaître la

résistance en compression. L'allure générale de la courbe contrainte-déformation est donnée

par la figure I.3. On observe principalement que la réponse est presque linéaire jusqu'à %30

de la limite en compression simple cf . En dépassant ce point, on observe que la courbe


-20-

devient de plus en plus non linéaire jusqu'à %75 de la limite en compression simple. Au-delà,

la courbe présente un pic suivi d'une branche post-pic correspondant à un comportement

adoucissant (figure I.3-a). Cette branche post-pic est associée à une forte dilatance (expansion

latérale) (figure I.3-b), qui donne la variation de la contrainte appliquée en fonction de la

variation de volume de l’éprouvette.

(a) (b)

Figure I.3: Comportement du béton en compression simple

(Extrait de Chen 1982)

L'interprétation micro-mécanique de ce comportement a fait l'objet de nombreux travaux

(Lorrain 1974, Mazars 1984, Berthaud 1988) et il est maintenant bien admis que la

dégradation est essentiellement liée au développement de micro-fissures. Le développement

des micro-fissures est lié selon plusieurs auteurs, (Lorrain 1974, Mazas 1984) à l'effet des

extensions ( ,0>ε déformation positive). Des observations au microscope optique sur des

tranches de matériaux présollicités ont montré que l'orientation privilégiée des micro-fissures

est perpendiculaire aux directions d'extensions, créant dans un premier stade une anisotropie

du comportement du béton, et dans un stade ultime des surfaces de rupture de même sens

(figure I.4). De plus, il a été montré (Torrenti 1994) que les déformations se localisent dans

l'éprouvette au pic d'effort, ce qui montre que le comportement post-pic observé est celui

d'une structure dans laquelle le matériau ne répond pas d'une manière homogène.


-21-

L'essai cyclique en compression simple présenté à la figure I.5, permet d'obtenir d'autres

renseignements sur le comportement du béton. D'une part, il permet de confirmer le rôle

prépondérant du développement de la micro-fissuration qui provoque une dégradation des

caractéristiques élastiques du matériau, et d'autre part, de mettre en évidence le

développement de déformations permanentes. Celles-ci sont le plus souvent expliquées par

l'effet de frottement entre surfaces des micro-fissures et la non refermeture complète des

micro-fissures après déchargement.

Un autre renseignement peut être tiré de cette figure, il concerne le développement de boucles

d'hystérésis. Ce phénomène peut être lié à deux aspects: d'une part, au frottement entre lèvres

de micro-fissures en cours de refermeture ou réouverture de celles-ci, et d'autres part, au

mouvement de l'eau dans la structure micro-poreuse de la pâte de ciment hydratée (Rossi

1986, Acker 1987).

Figure I.4: Résultats de l’observationaux rayons X d’une éprouvette encompression (Robinson 1965).


-22-

Figure I.5: Comportement cyclique du béton

en compression simple (Karsan 1969)

De ce qu'on a vu précédemment, on peut s'attendre à une sensibilité du matériau béton à

l'application de contrainte de confinement. C'est effectivement ce qui a été démontré par

plusieurs auteurs (Richart & al. 1928, Balmer 1949, Jamet & al. 1984). On peut constater sur

la figure I.6 que la réponse du béton est d'autant moins fragile que le confinement est

important et que l'on obtient un comportement ductile pour les très grands confinements. Ce

gain de rigidité est lié à l'augmentation des contacts au sein de la micro-structure du matériau

béton qui est une conséquence de la destruction des pores (Chen 1982, Ramtani 1990).

Figure I.6: Essais de compression triaxiale

(Jamet & al. 1984)

En ce qui concerne le comportement du béton sous chargements hydrostatiques, le béton

présente un comportement non linéaire. La figure I.7, présente le comportement expérimental

dans le cas d'une compression hydrostatique (Chen 1982). On remarque sur cette figure trois

phases de comportement: une phase élastique linéaire, une deuxième phase d'assouplissement

correspondant à l'effondrement progressif de la structure micro-poreuse de la pâte de ciment

hydraté et une dernière phase de raidissement liée à l'augmentation des contacts au sein de la

matière qui est une conséquence de la destruction des pores.


-23-

Figure I.7: Essai de compression hydrostatique

du béton (Extrait de Chen 1982)

I-3.2 Comportement en traction

Bien que le béton soit principalement conçu pour résister à la compression, la connaissance de

ses propriétés en traction est importante pour une description complète de son comportement

matériel. On peut faire la remarque ici sur la difficulté de la réalisation de ce type d’essais,

c’est pourquoi on fait souvent appel à des essais indirects pour déterminer ce comportement.

La figure I.8, présente la courbe contrainte-déformation pour le béton en traction simple (essai

de traction directe). Dans cette figure, on peut distinguer deux phases importantes du

comportement du béton: dans une première phase, le comportement est quasiment élastique

linéaire avec une légère perte de raideur juste avant d'atteindre le pic. Une deuxième phase

(phase adoucissante), après le pic, est caractérisée par une chute presque brutale de la

contrainte. Durant cette phase, les micro-fissures bifurquent dans la pâte de ciment et se

propagent en mode I essentiellement pour constituer une fissure continue perpendiculaire à

l'extension principale.

Les cycles charge-décharge permettent de constater une chute importante de la raideur en fin

d'essai ( )20EE ≅ et l'apparition de déformation résiduelle. Dans son état ultime, l'essai de

traction directe conduit à une fissure unique, localisée et perpendiculaire à la direction

d'extension.


Figure I.8: Comportement du béton en traction directe (Terrin 1980).

L'essai de traction cyclique présenté à la figure I.9, permet de confirmer le rôle prépondérant

du développement de la micro-fissuration qui provoque une dégradation des caractéristiques

élastiques du matériau. On note sur la figure I.9 que les boucles d'hystérésis sont très faibles.

Ceci paraît logique si l'on admet qu'elles sont principalement dues à des phénomènes de

frottement entre lèvres de micro-fissures ; phénomènes peu importants dans ce type de

sollicitation.

I-3.3 Comportement

Les essais cycliques d

importante du compor

en une restauration de

-24-

Figure I.9: Comportement cyclique du béton en

traction (Reinhardt & Corneilessen 1984)

cyclique traction-compression

e traction-compression permettent de mettre en évidence une propriété

tement du béton, c'est le caractère unilatéral. Ce phénomène consiste

la raideur lors du passage d’un chargement en traction, où cette raideur

m/s0.4/ µ=


-25-

est initialement endommagée du fait de la fissuration, à un chargement en compression (figure

I.10).

Figure I.10: Essai P.I.E.D Comportement uniaxial du béton sous chargement

Cyclique (Ramtani 1990)

Ce comportement est lié au fait que sous contrainte de compression les fissures de traction se

referment faisant en sorte qu’il n’y ait aucune interaction avec celles qui vont se créer en

compression dans une direction perpendiculaire. Le béton retrouve alors un comportement de

matériau sain.

I-3.4 Conclusion de la partie mécanique

Au vu des constatations expérimentales, il est important que le modèle de comportement

élaboré puisse reproduire les éléments les plus importants qui s’en dégagent. Pour notre part,

on retient les éléments suivants :

- Apparition d’une déformation irréversible en traction et en compression

- Apparition d’un comportement adoucissant après le pic de contrainte

- Dégradation de la raideur du matériau mise en évidence lors de la décharge

- Restauration de la raideur lors de l’inversion du signe de la contrainte.


-26-

I-4 REVUE DES TRAVAUX EXPERIMENTAUX REALISES SUR LA

TENUE AU FEU DES BETONS

Lorsque le béton est exposé à de hautes températures, sa microstructure subit des

modifications physico-chimiques tout au long du chauffage entraînant une déshydratation du

gel de ciment (CSH ). Cette déshydratation induit une évolution de la microstructure du

matériau, donc une évolution des propriétés mécaniques, thermiques et de transport. Elle

induit aussi la création d’eau libre à l’intérieur du matériau et donc une augmentation de

pression interstitielle.

Dans ce premier paragraphe, nous parlons des effets connus des hautes températures sur les

éléments constitutifs du béton, puis nous attachons la plus grande attention sur ce que peuvent

engendrer ces modifications sur le béton. A la fin de ce paragraphe, nous présentons quelques

constatations expérimentales sur le comportement mécanique du béton à hautes températures.

I-4.1 Effets des hautes températures sur la microstructure du béton

Les modifications subies simultanément par la matrice cimentaire et les granulats engendrent

une forte dégradation de la micro-structure du béton. Outre les effets directs des modifications

de ces deux composants élémentaires, les incompatibilités de comportement de ceux-ci

engendrent des dégradations spécifiques au matériau béton. Nous décrivons ici les principaux

phénomènes observés expérimentalement.

I-4.1.1Déshydratation et modifications physico-chimiques du béton

L'étude des résultats d'analyses thermiques différentielles et d'analyse thermo-gravimétriques

permet de détecter l'apparition de transformations chimiques se produisant au sein du béton

porté à des températures élevées, et de suivre leurs progressions. Plusieurs auteurs ont

présenté les résultats de ce type d'analyses réalisées sous diverses conditions (Philleo 1958,

Campbell-Allen & Desai 1967, Harmathy 1973, Schneider 1982). La synthèse de ces résultats

nous permet d’identifier les principales modifications subies par la micro-structure du béton

au cours du chauffage, et montre les évolutions suivantes :


-27-

1. Entre 30 et 120°C, l'eau libre et une partie de l'eau adsorbée s'échappent du béton. Si la

vitesse de chauffage est suffisamment lente, l'eau non liée est complètement éliminée à

120°C, sinon le processus d'évaporation peut se prolonger au-delà de 200°C.

2. La déshydratation du gel de ciment (CSH ) s'amorce à 180°C et se poursuit jusqu'à 300°C.

L'eau liée chimiquement commence alors à s'échapper du béton.

3. Entre 450°C et 550°C, la portlandite se décompose en eau et en chaux libre selon la

réaction suivante :

( ) OHCaOOHCa 22 +→ .

4. Autour de 570°C se produit la transformation du quartzα− en quartz β− dans les

agrégats quartzitiques et basaltiques. Il est à noter que cette réaction est expansive.

5. Entre 600°C et 700°C se produit la décomposition du .CSH C'est la seconde étape de

déshydratation des hydrates de calcium au sein du béton. On a donc une nouvelle phase

d'évacuation de l'eau liée chimiquement.

6. Entre 700°C et 900°C, le carbonate de calcium, composant principal des granulats

calcaires se décompose suivant la réaction: 23 COCaOCaCO +→ .

7. La fusion de la pâte et des agrégats s'amorce à partir de 1100°C.

I-4.1.2Micro-fissuration et dégradation de l'interface pâte-granulats

La matrice cimentaire et les granulats subissent généralement, au cours du chauffage des

modifications dimensionnelles opposées. Au-delà de 105°C, la matrice cimentaire subit

généralement un retrait lors du premier chauffage, tandis que les granulats subissent

essentiellement une expansion. Ce comportement opposé des deux composants du béton

engendre alors une micro-fissuration importante au sein de sa micro-structure (Blundell & al.

1976). L'initiation de cette micro-fissuration apparaît clairement sur les courbes présentant la

distribution de la porosité du béton à différentes températures (figure I.11).

En effet, les hautes températures provoquent comme nous l'avons vu, le départ de l'eau libre

contenue dans les pores ainsi que l'eau liée chimiquement. Dans la zone inter-faciale dite

auréole de transition, moins riche en CSH , cette déshydratation engendre une détérioration

rapide de la liaison entre le mortier et les granulats. De plus, la dégradation chimique des

constituants contribue à cette détérioration (Riley 1991).


-28-

Par ailleurs, des études expliquent les micro-fissures engendrées lors de chauffage du béton

par l'effet de l'incompatibilité du comportement des composants du béton (Venecanin 1978,

Baluch & al. 1989). Cet effet, qui à été nommé "Incompatibilité Thermique des Constituants

du Béton ou ITCB", trouve son explication dans la création de contraintes internes dans le

béton pendant la variation de température causée par l'incompatibilité des caractéristiques

thermiques des constituants du béton, et plus spécialement le coefficient d'expansion

thermique (Venecanin 1983, 1984).

I-4.1.3Evolution de la porosité

Comme nous l'avons vu précédemment, la structure de la porosité du béton possède une

grande influence sur les propriétés mécaniques du béton. Il apparaît clairement à l'heure

actuelle que la manière dont le volume poreux est distribué en terme de taille des pores est

une information plus importante que la simple mesure de la porosité totale. La figure I.11

présente les distributions des pores obtenues à différentes températures par Noumowe (1995)

au sein d'un béton ordinaire chauffé jusqu'à 600°C. La synthèse des résultats obtenus par

différents auteurs indique que dans le cas du béton ordinaire, la température engendre une

augmentation du volume total ainsi que de la dimension des pores. Elle peut être due à la

rupture des cloisons capillaires sous l'effet de la vaporisation de l'eau durant le chauffage,

ainsi qu'à la micro-fissuration engendrée par les dilatations différentielles de la matrice

cimentaire et des granulats (Noumowe 1995).

En travaillant sur la pression de pores et leur évolution pendant le chauffage, Bazant signale

que la perméabilité du béton subit un accroissement significatif quand la température dépasse

100°C (Bazant & al. 1978, 1979). Ce phénomène peut être expliqué par le fait que le transfert

d'humidité pour les températures ambiantes est contrôlé par de très minces tuyaux de

dimensions celles des pores, qui permettent l'évacuation de l'eau dans son état adsorbé et

empêchent le passage de l'eau à l'état liquide ou vapeur. L'augmentation de la perméabilité

après 100°C est liée à l'augmentation des dimensions de ces tuyaux pendant le chauffage, due

probablement à la rupture des cloisons capillaires sous l'effet de la pression de pores.


-29-

Figure I.11: Distribution des pores d'un béton ordinaire après exposition à différentes

Températures (Noumowe 1995)

I-4.1.4Modification de l'état hydrique

L'état hydrique au sein du béton à un instant donné est affecté par de nombreux facteurs tels

que la taille et la forme du spécimen de béton étudié, la vitesse de chauffage et les conditions

environnementales. Des valeurs expérimentales du taux d'humidité à l'équilibre hydrique au

sein du béton (l'équilibre hydrique est obtenu quand il n’y a aucun mouvement d'humidité

entre le béton et le milieu extérieur), pour des températures supérieures à 105°C ont été

données par de nombreux auteurs (Philleo 1958, Harmathy & Allen 1973). En revanche très

peu de données sont disponibles sur le temps nécessaire pour atteindre cet équilibre hydrique,

en particulier pour des températures supérieures à 105°C.

Enfin, de nombreux auteurs expliquent les phénomènes d'éclatements observés sous certaines

conditions sur des spécimens ou des structures en béton par le développement de pressions de

pores dont les valeurs, combinées aux contraintes thermiques, peuvent dépasser la résistance

en traction du béton (Nekrasov & al. 1963, Zhukov 1980, Noumowe 1995).

I-4.2 Evolution des propriétés thermiques du béton avec la température

L'évolution de la distribution des températures au sein des structures est gouvernée par les

propriétés thermiques du matériau, en particulier par la capacité calorifique et la conductivité

thermique. Dans le cas du béton, il est difficile de déterminer ces propriétés avec exactitude à

tous les niveaux de température en raison des nombreux phénomènes qui, comme nous

l'avons vus se produisent simultanément au sein de la micro-structure du béton et qui ne


-30-

peuvent être séparés facilement. Ces effets incluent en particulier l'évolution de la porosité,

les changements dans la composition chimique et la consommation de chaleurs latentes

engendrée par certains phénomènes chimiques (Harmathy 1968). Dans la mesure où ces

modifications physiques et chimiques se produisent à une certaine vitesse, les variations de

propriétés thermiques dépendent également de la vitesse et de l'historique du chauffage. Il

résulte de ces effets que les variations des propriétés thermiques du béton avec la température

ne peuvent pas en toute rigueur être décrites par des relations uniques valables en toutes

situations (Harmathy 1970). Différents protocoles et techniques de mesures expérimentales

peuvent conduire à des résultats contradictoires. Lors de l'analyse et la comparaison des

résultats obtenus par différents expérimentateurs, il est absolument nécessaire d'examiner

attentivement les procédures expérimentales employées. Cependant, les besoins de la

modélisation font que des relations décrivant ces évolutions doivent être spécifiées. Elles

seront adoptées de sorte à restituer les tendances générales qui se dégagent des observations

expérimentales.

I-4.2.1Conductivité thermique

La conductivité thermique mesure l'aptitude d'un matériau à conduire la chaleur. Pour les

bétons courant, la conductivité thermique diminue lorsque la température augmente. Les

principaux paramètres de cette variation sont: la teneur en eau, le type de granulat et la

formulation du béton. Le degré de saturation est le facteur principal puisque la conductivité de

l'air (la conductivité thermique de l'air à 20°C est de 100034.0 −CWm -1 ) est inférieure à celle

de l'eau (la conductivité thermique de l'eau à 20°C est de 100 −CWm .515 -1 ). Ainsi la

diminution de conductivité thermique en fonction de la température est assez marquée pour un

béton de granulat silico-calcaire, faible pour un béton de granulats calcaires, et peu

significative pour le béton léger (Collet 1977) (figure I.12). Enfin il est à signaler que la

conductivité thermique d'un béton pré-endommagé est plus faible que celle d'un béton sain, du

fait de la faible conductivité de l'air.


-31-

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 150 300 450 600

Température (°C)

Con

duct

ivité

(W

/m°K

) Gravier

Calcaire

Granu, léger

Figure I.12: Evolution de la conductivité

thermique mesurée sur différents types de

béton en fonction de la température

(Collet 1977)

I-4.2.2Chaleur spécifique

La chaleur spécifique mesure la quantité d'énergie nécessaire pour faire monter de 1°C la

température d'un kilogramme de matériau. Comparativement à la conductivité thermique, les

variations de cette propriété avec la température sont moins maîtrisées (Neville 1990). Une

estimation de la variation de la chaleur spécifique avec la température pour une pâte de ciment

est donnée par Harmathy (1970). Le résultat est reporté sur la figure I.13. On peut remarquer

qu'entre 100°C et 800°C, il y a une forte augmentation de la chaleur spécifique due à la

contribution de la chaleur latente causée par la déshydratation du ciment. Le pic observé à

500°C est associé à la déshydratation de l'hydroxide de calcium CH . D'après Franssen

(1987), les bétons humides présentent une capacité calorifique apparente qui est presque deux

fois plus élevée que celle des bétons secs.

Figure I.13: Variation de la chaleur

spécifique d'une pâte de ciment (Harmathy

1970).


-32-

I-4.2.3Diffusivité thermique

La diffusivité thermique représente la vitesse à laquelle la chaleur se propage à l'intérieur d'un

matériau. Elle est directement proportionnelle à la conductivité thermique et elle est

inversement proportionnelle à la chaleur spécifique et à la masse volumique. La diffusivité

thermique dépend fortement de la teneur en eau du béton. Schneider (1988) a souligné

l'importante dispersion observée sur les résultats de mesures expérimentales rapportés dans la

littérature. L’auteur explique cette dispersion par la difficulté des mesures directes devant être

réalisées en régime transitoire, et qui sont très sensibles aux conditions d'essais et au

traitement thermique subi par les spécimens testés avant les mesures. On peut toutefois

indiquer que la diffusivité thermique décroît progressivement avec la température. La figure

I.14 présente les variations de cette propriété avec la température, obtenues par différents

auteurs sur des bétons formulés avec différents types de granulats.

Température (°C)

Diff

usi

vité

th

erm

iqu

e (

10

-6 m

2 /s)

(a) Béton siliceux (Harada et al 1972)(b) Béton calcaire (Chu 1978)(c) Béton calcaire (Hildenbrand et al. 1978)(d) Béton siliceux (Hildenbrand et al. 1978)(e) Béton siliceux (Pogorzelski 1980)(f) Béton basaltique (Schneider 1982)(g) Béton léger (Schneider 1982)

Figure I.14: Variations de la diffusivité

thermique de différents types de béton avec la

température, d’après plusieurs auteurs (Bazant

& Kaplan 1996)

I-4.3 Evolution des propriétés mécaniques du béton avec la température

Exposée à de hautes températures, la microstructure du béton subit d’importantes

modifications physico-chimiques qui influencent son comportement mécanique. Il apparaît

que ces modifications ont un comportement irréversible en raison du caractère irrémédiable

des réactions chimiques (déshydratation) et micro-structurelles (rupture de cohésion) qui se

produisent. L’objectif de ce paragraphe est d’analyser l’évolution des propriétés mécaniques

du béton avec la température.


-33-

I-4.3.1Module d'élasticité à hautes températures

La rupture des liaisons internes de la micro-structure de la pâte de ciment due à l'élévation de

température engendre une diminution du module d'élasticité du béton. En même temps,

l'élévation de température produit une accélération du processus de fluage à court terme, et

qui a pour conséquence la diminution du module d'élasticité (Franssen 1987, Schneider 1988).

Ces évolutions sont influencées par le module élastique initial, la teneur en eau du béton, la

nature des granulats et la vitesse de chauffage (Harada & al. 1972, Schneider 1988). La figure

I.15 présente à titre d'exemple les variations du module d'élasticité obtenues par Dias et al.

(Dias & al. 1990).

Figure 15: Rapport du module d’élasticité sur le module initial (Dias & al. 1990)

Il est à noter que le processus de séchage du béton accompagnant l'augmentation de la

température, provoque lui aussi une réduction du module d'élasticité. Cette baisse est d'autant

plus forte que le séchage est élevé. Ceci peut être expliqué par la destruction de la micro-

structure du béton causé par le mouvement d'humidité et la pression de pore au cours du

séchage et l'effet des contraintes thermiques et des contraintes de retrait sur l'évolution de

l'endommagement de la micro-structure du béton (Gross 1973, Labani & Sullivan 1974). En

outre, Lankard (1971) signale une augmentation de la dégradation du module d'élasticité avec

les cycles thermiques.

I-4.3.2Résistance en compression à hautes températures

Tous les auteurs s'accordent sur le fait que la résistance en compression du béton varie en

fonction de la température à laquelle il est exposé ou a été exposé. Des comportements


-34-

différents peuvent être observés selon que les essais sont effectués par "la méthode d'état

régulier" (le spécimen testé est chauffé à une température donnée, ensuite la contrainte est

appliquée en contrôlant la vitesse de chargement) où "la méthode d'état transitoire" (le

spécimen testé est chargé au début, la charge est maintenue fixe puis il est chauffé en

contrôlant la vitesse de chauffage) où selon que les essais sont effectués au cours de chauffage

ou après refroidissement. L'évolution de la résistance en compression du béton avec la

température est affectée par de nombreux paramètres (nature du liant et des granulats, vitesse

du chauffage…).

On peut noter que pour des températures inférieures à 90°C la réduction de la résistance en

compression du béton est faible, entre 80°C et 90°C la réduction de la résistance en

compression varie entre 10 et 35% (Blundell 1969), en dépassant la température de 90°C, on

observe une augmentation de la résistance en compression, ceci peut être expliqué par

l'augmentation du processus de séchage. Ce départ provoque un accroissement des forces de

surface entre les particules de gel de CSH qui assurent la résistance de la pâte de ciment.

Pihlajavaara (1972) rapporte que la résistance d'un béton complètement sec est d'environ 50%

plus grande que celle d'un béton saturé. En dépassant les 200°C, le béton est complètement

sec, la résistance en compression du béton diminue progressivement avec la température. Ceci

peut être expliqué par les transformations chimiques et minéralogiques qui s'opèrent dans la

pâte de ciment (figure I.16).

Figure I.16: Rapport de la résistance en

compression sur la résistance initiale

(Schneider, 1982)


-35-

I-4.3.3Résistance en traction à hautes températures

Peu de recherches sont faites dans cet axe, néanmoins comme pour la résistance en

compression, la résistance en traction chute avec l’élévation de température. Des études

récentes ont indiquées une forte sensibilité de la résistance de traction à la température qui

dépasse même celle de la résistance en compression (Schneider 1982, Morley & Royles 1983,

Noumowe 1995, Felicetti & Gambarova 1999). L'évolution de la résistance en traction du

béton avec la température est affectée par les mêmes paramètres que pour la résistance en

compression (nature du liant et des granulats, teneur en eau, vitesse de chauffage…). La

figure I.17 présente à titre d'exemple les variations de la résistance en traction du béton avec

la température pour différents types de granulats obtenues par Blundell & al. (1976).

Figure I.17: Evolution de la résistance en

traction du béton avec la température

d’après (Blundell & al. 1976).

I-4.3.4Effets des hautes températures sur l’énergie de fissuration du béton

Comme nous l'avant vu auparavant, les hautes températures ont de grandes influences sur les

propriétés mécaniques du béton (module d'élasticité, résistance en compression et en traction).

Il est clair que cela induira une évolution de l'énergie de fissuration en fonction de la

température. L’analyse des résultats obtenus par différents auteurs (Baker 1996, Bazant &

Kaplan 1996, Heinfling 1997) indiquent que la variation de l’énergie de fissuration du béton

avec la température est un paramètre important influençant la fiabilité et la précision des

simulations de spécimens ou de structures en béton armé à hautes températures (Heinfling

1997). La figure I.18 présente l’évolution de la valeur moyenne de l’énergie de fissuration

avec la température. On peut noter la dispersion des résultats pour cette caractéristique et une

forte dépendance de l’énergie de fissuration aux paramètres énoncés pour la résistance (nature

du liant et des granulats, teneur en eau, vitesse du chauffage…).


-36-

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 100 200 300 400 500 600

Température (°C)

Gf /

Gfo

Baker (1996), refroidissement rapide

Bazant (1988), Béton sec,

Bazant (1988), Béton humide

Heinfling & Baker (1997)

Figure I.18: Variations relatives de l’énergie de

fissuration du béton avec la température (Heinfling

1998)

I-4.4 Comportement mécanique du béton à hautes températures

Les modifications subies par les propriétés mécaniques lors de l’élévation de température ont

un grand effet sur la réponse du béton lors des essais mécaniques en terme de diagramme

contrainte-déformation. Dans ce qui suit on verra la réponse du béton sous divers types de

sollicitations (essai de traction simple, essai de compression simple et biaxiale,…). Il est à

noter que le béton est très fortement sensible à l’histoire du chargement thermo-mécanique

qui se manifeste par l’apparition d’un nouveau mécanisme appelé fluage thermique

transitoire. Cet aspect sera traité au paragraphe I.4.5.

I-4.4.1Comportement du béton en compression à hautes températures

La courbe contrainte-déformation en compression uniaxiale est affectée par la température.

Outre les modifications de la pente, on peut noter une augmentation de la ductilité du béton et

une extension de son domaine plastique (Schneider 1988). La figure I.19 présente les courbes

contrainte-déformation obtenues en compression uniaxiale à différentes températures. Ces

essais ont été réalisés à chaud, ces courbes mettent bien en évidence deux aspects:

1. une perte irréversible de la rigidité (endommagement thermique)

2. une chute irréversible de la résistance en compression du béton (décohésion thermique)

De nombreux facteurs influencent l'évolution de cette courbe avec la température. En

particulier, le type de granulat et la teneur en eau initiale du béton sont les deux paramètres

principaux (Schneider 1988). Il est à noter que ces courbes mettent bien en évidence une

importante augmentation de la ductilité du béton au-delà de 450°C.


-37-

Figure I.19: Courbes contrainte-déformation

obtenues en compression uniaxiale à différentes

températures (Schneider 1988)

Enfin, l'évolution de la déformation ultime en compression est affectée quelque soit le type de

béton par la présence d'une charge de compression appliquée pendant le chauffage (Schneider

1988). La figure I.20 présente l'évolution de la déformation ultime en compression uniaxiale

en fonction de la température et pour différents niveaux de charge appliquée pendant le

chauffage sans confinement hydrique. Sur cette courbe, α représente le niveau de charge

défini par le rapport de la contrainte appliquée sur la résistance initiale en compression

uniaxiale à 20°C.

Figure I.20: Déformation ultime en compression

uniaxiale en fonction de la température pour

différents niveaux de charge appliquée pendant

le chauffage (Schneider 1988)

L'analyse des résultats d'essais biaxiaux (Kordina & al. 1985, Schneider 1988) indique que la

résistance en compression biaxiale du béton diminue moins rapidement que la résistance en

compression uniaxiale. La figure I.21 présente à titre d'exemple les enveloppes de rupture en


-38-

compression biaxiale obtenues à différentes températures par Ehm & Schneider (1985). On

peut observer sur ces courbes le changement de forme des enveloppes de rupture. Cette

évolution met en évidence une augmentation de la sensibilité au confinement du béton avec la

température. Le rôle consolidateur de la compression biaxiale est accentué. Ceci s'explique

par la dégradation de la micro-structure du béton et par l'augmentation de sa porosité avec la

température.

Figure I.21: Enveloppes de rupture en

compression biaxiale à différentes températures

(Ehm & Schneider 1985)

Kordina & al. (1985) ont noté dans ces expériences que la résistance en compression est plus

faible à 150°C qu'à 300°C. Cette augmentation est expliquée par le départ de l'eau adsorbée

(Kordina & al. 1985). Ce départ provoque un accroissement des forces de surface entre les

particules de gel de CSH qui assurent la résistance de la pâte de ciment. Il est en effet admis

que la présence d'eau entre deux parois de gel atténue les forces de surface (Van Der Waals)

entre les particules de gel et ainsi réduit la résistance du béton. Il est à noter que les forces de

Van Der Waals sont inférieures aux forces de liaison chimiques, mais, dans cette gamme de

température, la structure chimique de la pâte n'est pas encore affectée.

I-4.4.2Comportement du béton en traction à hautes températures

La figure I.22 présente des courbes contrainte-déformation en traction simple à différentes

températures réalisées par Felicetti & Gambarova (1999). On peut remarquer sur ces courbes

une forte sensibilité à l’élévation de la température avec les mêmes tendances signalées dans

le cas de la compression (baisse du module d’élasticité et de la résistance ultime).


-39-

Par ailleurs Harada & al. (1972) affirment que, par rapport à la résistance en compression du

béton, la diminution de la résistance en traction est très marquée. Cela donnera des courbes

contraintes-deformations, plus sensible en traction à la température qu’en compression.

0

1

2

3

4

5

6

0 0,04 0,08 0,12 0,16 0,2

W (mm)

σ (M

Pa)

20°C105°C250°C400°C

Figure I.22: Courbes contrainte-déformation

obtenues en traction uniaxiale à différentes

températures (Felicetti & Gambarova 1999)

I-4.5 Déformation thermique du béton à hautes températures

Comme la plupart des matériaux, lorsqu'il est soumis à un changement de température, le

béton subit une déformation thermique. Cette déformation joue un rôle très important dans le

comportement des structures en béton soumises à de hautes températures. En raison des

gradients thermiques se développant durant les phases transitoires de propagation de la

chaleur, les déformations thermiques ne sont pas uniformes au sein de la structure. Cette non-

uniformité de température engendre des contraintes internes qui peuvent elles mêmes

engendrer un endommagement pouvant conduire à la ruine des structures en question. La

déformation thermique du béton à hautes températures est un élément très important à étudier.

En outre, l’application simultanée de contraintes mécaniques au processus de chauffage

affecte de façon significative le processus de déformation thermique du fait du phénomène de

fluage.

I-4.5.1Déformation thermique libre

Les déformations thermiques différentielles entre la pâte de ciment et les granulats engendrent

au-delà de 150°C une micro-fissuration au sein du béton (Blundell & al. 1976). Selon certains

auteurs cette micro-fissuration participe par effet de dilatance à la déformation thermique

mesurée sur des spécimens en béton non chargés (Weigler & Fischer 1972, Sullivan 1979,

Khoury & al. 1985).


-40-

La synthèse de ces résultats indique que la déformation thermique totale d'une éprouvette non

chargée soumise à une élévation de température très lente est due aux effets composés

suivants :

1. Expansion thermique des granulats,

2. Retrait de la matrice cimentaire,

3. Micro-fissuration engendrée par l'incompatibilité entre ces deux premiers effets,

4. Transformations et décompositions chimiques des constituants du béton s'accompagnant

de variations dimensionnelles.

Figure I.23: Déformation thermique libre de

différents types de béton (Schneider 1982)

I-4.5.2Déformation du fluage thermique transitoire

La déformation thermique du béton est fortement influencée par la présence d'une charge

pendant le chauffage. La figure I.24 présente la déformation totale de spécimens en béton

chargés en compression à différents niveaux puis chauffés sous charge constante. Sur cette

figure, le coefficient £ représente le niveau de chargement défini par le rapport de la

contrainte appliquée sur la résistance initiale en compression uniaxiale du béton à 20°C.

Les résultats d'essais indiquent, comme on peut le constater sur la figure I.24, une forte

diminution de la déformation thermique sous l'effet de la charge, présente pendant le

chauffage. Cette contraction à été nommée "Fluage Transitoire" ou "Interaction Thermo-

Mécanique" (Khoury & al. 1985). La synthèse des travaux expérimentaux concernant cet effet

indique qu'il apparaît uniquement en compression (Khoury & al. 1985) et qu'il est fortement

influencé par la teneur en eau, les conditions d’essais et de la vitesse du chauffage.

(a): Béton quartzique(b): Béton calcaire(c): Béton calcaire(d): Béton basaltique(e): Béton léger


-41-

Figure I.24: Déformation totale de différents

bétons chauffés sous charge constante

(Schneider 1988)

Dans le cas de cycles chauffage-refroidissement sous charge, les données expérimentales

disponibles indiquent que cet effet n'apparaît pas durant les phases de refroidissement du

matériau et qu'il est très fortement réduit durant les cycles thermiques (Khoury & al. 1985).

L'explication de ce phénomène se trouve dans l'interaction du processus de dilatation des

phases du béton avec le processus de retrait de dessiccation de la matrice. Ainsi, selon Khoury

& al. (1985), il semblerait que le fluage transitoire adapte les incompatibilités thermiques

entre la pâte de ciment et les granulats, spécialement au-delà de 100°C quand la pâte de

ciment rétrécit alors que les granulats se dilatent. De ce fait le fluage transitoire provient de la

pâte de ciment et il est restreint par le granulat. Il est principalement dû aux changements de

phase moléculaire et de microstructure qui ont lieu dans la pâte de ciment pendant le

chauffage. Bazant & Kaplan (1996), donnent une autre explication au fluage transitoire dans

laquelle cet l’effet est entièrement lié au fluage de dessiccation. Selon Schneider (1982) ce

phénomène s'explique par l'activation du processus de fluage du béton par la température du

fait du départ de l’eau inter-folière. Certains auteurs attribuent également une partie de cet

effet à la micro-fissuration se développant au sein du béton durant le chauffage (Hansen &

Eriksson 1966, Parrot 1979).

I-4.5.3Influence des chemins de sollicitations

Le phénomène de la dépendance de la réponse du béton aux chemins de sollicitations

s'observe de façon particulièrement claire sur les expériences menées par Anderberg &

Thelandersson (1973). Dans ces essais, deux spécimens en béton sont exposés au chargement

thermique dont l'évolution est donnée par la figure I.25. La figure I.26 présente les


-42-

déformations uniaxiales mesurées sur ces spécimens durant l'essai. Dans le premier cas (cas

n°1 de la figure I.26), une contrainte de compression uniaxiale est appliquée au spécimen une

fois que le chauffage a atteint son régime permanent (CstT = , au sein de l'éprouvette). Dans

le second cas (cas n°2 de la figure I.26), la même contrainte est appliquée au spécimen dès le

début du chauffage et est maintenue constante pendant toute la durée de l'essai.

0

50

100150

200

250

300350

400

450

0 1 2 3 4 5 6 7

Temps (h)

Tem

péra

ture

(°C

)

Régime transitoire

Régime permanent Figure I.25: Température au centre

des éprouvettes en fonction du

temps de chauffage (Thelandersson

1987)

Les points A et B repérés sur les courbes (Figure I.26), représentent les déformations

correspondant à la même combinaison de contrainte et de température appliquée aux deux

spécimens. Ceux-ci présentent toutefois une déformation complètement différente, de signe

opposé. Dans le cas n°2, la dilatation thermique axiale du spécimen est fortement réduite par

la présence de la contrainte mécanique durant la phase de chauffage. Ceci peut être interprété

comme une dépendance de la déformation thermique vis-à-vis du chemin emprunté dans

l'espace contrainte-température (Thelandresson 1987). Outre cette dépendance à l'histoire des

deux chargements combinés, ce phénomène engendre également une anisotropie de la

déformation thermique. Le concept d'interaction thermo-mécanique a été alors introduit par

Thelandersson (1987) pour modéliser ce phénomène. Suivant cette approche, la déformation

thermique n'est plus considérée comme une simple fonction de la température mais dépend

également de l'état de contrainte appliquée pendant le chauffage.


-43-

-2.E-03

-1.E-03

0.E+00

1.E-03

2.E-03

3.E-03

4.E-03

5.E-03

0 1 2 3 4 5 6 7

Temps (h)

Déf

orm

atio

n ax

iale

A

B

Cas n° 1 - Eprouvette n°1chauffée puis chargée

Cas n° 2 - Eprouvette n°2chargée puis chaufféesous charge constante

Application de la chargeà l'eprouvette n°1

Application de la chargeà l'eprouvette n°2

Figure I.26: Déformation totale mesurée

sur des éprouvettes en béton chauffées

(Contrainte mécanique appliquée = 0,45

°20cf )

I-4.6 Conclusion de la partie thermique

Au vu des constatations expérimentales, il est important que le modèle de comportement

élaboré puisse reproduire les éléments les plus importants qui s’en dégagent. Pour notre part,

on retient les éléments suivants :

- Evolutions des propriétés thermiques et mécaniques du béton pendant le chauffage.

- Interaction thermo-mécanique et dépendance de la déformation thermique du chemin

emprunté dans l'espace température-contrainte (Déformation d’interaction thermo-

mécanique).


-44-

I-5 CADRE THEORIQUE DE LA MODELISATION DU BETON

Dans cette partie nous allons donner le cadre théorique des deux grandes familles d’approches

pour la modélisation du comportement du béton à température ambiante : la théorie de la

plasticité et la théorie de l’endommagement. Nous mettons, notamment, l’accent sur les

caractéristiques de chaque approche quant à reproduire le comportement. Par la suite le

couplage de ces deux types de modélisations est abordé pour tirer profit de chacune d’entre

elles. Enfin, l’extension de ces modélisations au comportement du béton soumis à des

sollicitations mécaniques et à de hautes températures concomitantes est passée en revue. Il

s’agit notamment de la prise en compte de l’influence de la température sur les

caractéristiques mécaniques dans les modèles initiaux, ainsi que l’introduction du terme de

fluage transitoire.

I-5.1 Modèles élastoplastiques pour le béton

Dans cette étude, on se place dans le cadre général de la mécanique des milieux continus.

L’hypothèse des petites déformations est adoptée. Ainsi, le tenseur de déformation ε est

obtenu à partir du premier gradient du champ de déplacement ( )zyx , u, uu=u tel que

( )[ ]Tuu ⊗∇+⊗∇=2

1ε (I.1)

où ⊗ est le produit tensoriel et ∇ représente l’opérateur Nabla.

Les tenseurs symétriques de déformation ε et de contrainte σ peuvent se mettre sous la

forme vectorielle

( )( )Tyzxzxyzzyyxx

Tyzxzxyzzyyxx

σσσσσσ

εεεεεε

, , , , ,

, , , , ,

=

=

σ

ε(I.2)

Dans l’écriture tridimensionnelle des lois de comportement, l’hypothèse d’isotropie conduit à

utiliser les invariants des tenseurs de contraintes σ et de son déviateur s défini par :

( )1 σσ Tr3

1−=s (I.3)

où 1 est le tenseur unité et ( )σTr définit la trace du tenseur de contrainte donnée par :


-45-

( ) ∑=

=3

1iiiTr σσ (I.4)

En plasticité on fait souvent intervenir le premier invariant du tenseur de contrainte 1I , ainsi

que le deuxième invariant du tenseur de déviateur de contrainte définis par :

( )ss:

2

12

1

=

=

J

TrI σ(I.5)

où ( ): représente le produit tensoriel deux fois contracté.

I-5.1.1Formulation générale – lois d’étatsAfin de clairement définir et séparer les différents couplages entre les variables d'état, il est

intéressant d'utiliser le cadre théorique de la thermodynamique des milieux continus.

Rappelons tout d'abord l'expression de la dissipation totale du système (Lemaitre & Chaboche

1985):

0≥−= ψϕ εσ (I.6)

où ψ est l'énergie libre du système, fonction des différentes variables d'état

thermodynamique. Pour un matériau élasto-plastique à écrouissage, l’énergie libre est

classiquement définie comme une fonction des variables suivantes : la déformation totale ε ,

la déformation plastique pε et les variables internes iκ qui modélisent les évolutions

irréversibles que l’on peut associer, dans le cas du béton, à la micro-fissuration.

Dans le cas des petites déformations, la déformation plastique pε est associée à la

configuration relâchée. Elle résulte de la déformation totale par décharge élastique conduisant

à la partition des déformations

pe εεε += (I.7)

En élastoplasticité, les déformations n’interviennent que sous la forme de leur partition, soit :

( )ie κψψ ,ε= (I.8)

En dérivant par rapport au temps l’expression de l’énergie libre (équation I.8) et en substituant

dans l’équation I.6 , on obtient :


-46-

0≥∂∂−+

∂∂− i

i

pe

eκ

κψρψρ ε σε

εσ :: (I.9)

Cette inéquation devant être vérifiée même lorsque le matériau est élastique ( 0=pε et

0=iκ ), on déduit de cette expression que :

pe εεσ

∂∂−=

∂∂= ψρψρ et

iiA

κψρ

∂∂= (I.10)

qui définissent le tenseur de contrainte σ , et les variables, forces d'écrouissage iκ .

I-5.1.2Critère de plasticité et règle d’écoulementA tout modèle élasto-plastique est associé un critère de plasticité qui définit le domaine

d’élasticité EC , dans lequel le comportement du matériau reste réversible. Il définit également

le domaine plastique et permet ainsi de spécifier quand a lieu l’écoulement plastique. Cette

fonction, appelée fonction de charge (critère de charge), est donnée sous la forme suivante :

( ) 0, <⇔∈ iE AFC σσ (I.11)

Plusieurs critères ont vu le jour depuis le début de l’utilisation de cette théorie. Pour la

simulation du comportement non-linéaire de matériaux ductiles tels que les aciers, la plupart

des modèles se basent sur un critère du second invariant du déviateur des contraintes 2J .

L’utilisation de critères isotropes du type Von Mises s’est avérée bien adaptée à la description

du mode de rupture (dit mode II de rupture) dans ce type de matériaux, correspondant à des

phénomènes de glissement des plans de dislocations.

En ce qui concerne le béton, les mécanismes microscopiques mis en jeux sont plus

complexes, les propriétés cohésives jouent un rôle du moins aussi important que les propriétés

frottantes. Le mode de rupture correspond donc plus à une apparition de surfaces de

discontinuité avec décohésion du matériau qu’à un glissement frottant de celles-ci.

L’utilisation directe de ces modélisations s’avère donc inadaptée car elles se basent sur le

principe d’incompressibilité plastique ( 0][ =pTr ε correspondant à un mécanisme de

cisaillement), conséquence d’un écoulement normal à un critère fonction d’un seul paramètre

(second invariant du déviateur des contraintes). Ceci n’est pas le cas des géomatériaux

(roches, bétons,…). Il faut donc introduire dans le critère un terme prenant en compte les


-47-

effets de la composante hydrostatique des contraintes. L’introduction du premier invariant du

tenseur des contraintes (1I ) permet de prendre en compte les effets de confinement sous

pression triaxiale. La combinaison des deux précédents invariants conduit au critère de

Drucker-Prager (Drucker & Prager 1952).

Il est à noter que l’inconvénient du critère de Drucker-Prager réside dans l’impossibilité de

franchir le seuil de plasticité sous chargements hydrostatiques. Une solution consisté à fermer

le critère en compression triaxiale, c’est l’objet des "cap models" (Di Maggio & Sandler 1971,

Hofstetter & Simo 1993). Une autre solution consiste à adopter une surface analytiquement

fermée en tri-compression évitant ainsi la gestion des coins de raccordement (Gurson 1977,

Ulm 1994, Burlion 1997, Sercombe 1997).

Afin de mieux représenter la réponse du matériau béton sous différents trajets de

chargements, ce qui peut solliciter multiples mécanismes engendrant les non-linéarites du

matériau, le principe de plasticité multi-surfaces peut être appliqué, dans lequel chaque

mécanisme est géré par sa propre surface de charge (Yang et al. 1985).

Figure I.27: Représentation du critère multi-surfaces couplé dans l’espace

des contraintes principales (Feenstra 1993)

Cette plasticité multi-critères permet de coupler aisément fissuration et plasticité. Le

comportement fragile peut ainsi être géré par un critère en contrainte maximale (Rankine) et

la phase ductile (compression) par de la plasticité du type Drucker-Prager, tenant compte de la

pression hydrostatique (Feenstra 1993, Georgin 1998) (figure I.27).

Critère de Rankine

Critère deDrücker-Prager


-48-

L’écoulement plastique est régi par la règle d’écoulement définie à partir d’une fonction

convexe ( )iAG ,σ , appelée potentiel plastique. L’évolution des déformations plastiques est

supposée vérifier les relations suivantes (dites de Kuhn-Tucker) :

σε

∂∂= Gp λ avec

0et 0ou 0 si 0

0et 0 si 0

<=<≥

==≥FFF

FF

λλ

(I.12)

où λ est le multiplicateur plastique que l’on détermine à partir de la condition de

consistance :

0=∂∂+

∂∂= i

i

AA

FFF σ

σ(I.13)

On suppose ainsi dans la théorie de la plasticité qu’il n’y a des évolutions plastiques que si le

point de charge est sur la surface de charge (0=F ) et y reste ( 0=F ).

Si ( ) ( )ii AFAG , , σσ = , l’écoulement est dit associé, et la direction des incréments de

déformations plastiques est normale à la frontière du domaine d’élasticité EC . Dans le cas

contraire, l’écoulement est dit non-associé. Il est important de noter que dans le cadre de la

modélisation des géomatériaux, la plasticité est en général considérée comme non associée

afin de mieux représenter le comportement dilatant de ces matériaux (Chen 1994).

Dans le cas particulier des multi-critères l’écoulement plastique est donné conformément aux

propositions de Koiter (1953) et Maier (1969) en considérant la contribution individuelle de

chaque potentiel plastique. L’incrément de déformation plastique s’écrit donc :

∑= ∂

∂=

n

i

ii

p G

1 σε λ (I.14)

où iλ représente le paramètre multiplicateur plastique correspondant au potentiel plastique iG .

Les variables internes iκ de nature scalaire ou tensorielles représentent l’état actuel de la

matière, c’est à dire ici l’état d’écrouissage ; on utilise classiquement une variable scalaire

(variable d’écrouissage isotrope) :

- soit la déformation plastique cumulée qui s’exprime par :


-49-

( ) ppi εε 32 : =κ (I.15)

- soit le travail plastique dissipé :

pii εσ :=κτ (I.16)

Une variable cinématique souvent utilisée est la déformation plastique elle même (pii εκ = )

comme dans les modèles d’écrouissage de Prager (écrouissage cinématique linéaire).

I-5.2 Modèles d’endommagement pour le béton

Le principe de la mécanique de l’endommagement correspond à la modélisation des effets des

micro-fissures et micro-cavités d’un matériau sur le comportement de ce même matériau.

Cette modélisation est bien adaptée à la description des non-linéarités survenant dans le béton

ou dans les matériaux fragiles du même type, car il postule l’existence de décohésion au sein

du volume élémentaire représentatif.

Tout d’abord proposée par Kachanov (1958) afin de décrire le fluage des matériaux

métalliques, la mécanique de l’endommagement introduit la notion de variable interne de

dégradation d (tensorielle ou scalaire), qui peut être définit dans le cas scalaire de la manière

suivante :

0

1E

Ed −= , (I.17)

où E et 0E sont respectivement le module d’élasticité du matériau sain et du matériau

endommagé.

L’écriture de la loi d’élasticité dans le cadre uniaxial nous conduit à la relation suivante :

( ) εσ 1 0Ed−= (I.18)

L’endommagement d est donc perçu comme le facteur influençant la rigidité sécante du

matériau, 0=d pour un matériau vierge et 1=d pour un matériau complètement rompu.

La distinction entre un état du matériau sain et endommagé, à la base de cette théorie a

conduit au principe de contrainte effective, stipulant que la contrainte réelle s’appliquant sur

la partie de matière encore résistante est supérieure à la contrainte macroscopique. Cette

notion s’exprime souvent par le biais du principe d’équivalence en déformation (figure I.28).


-50-

Dans ce principe, la contrainte effective (Lemaitre 1971, 1992) est celle qui produit dans une

direction donnée la même déformation sur le matériau vierge que la contrainte macroscopique

sur le matériau endommagé, soit dans le cas d’un endommagement scalaire :

d−=

1~ σσ (I.19)

où σ~ représente la contrainte effective.

( ) 11 −-d

L εε L εε

σσ~σσ

Espace Physique Espace Effectif

Figure I.28 : Représentation schématique du principe de l’équivalence

en déformation

L’approximation de la rigidité élastique peut se faire par plusieurs biais selon la cinématique

adoptée pour la variable d’endommagement. En effet, elle peut être scalaire introduisant un

état de micro-fissuration homogène dans toutes les directions de l’espace (Mazars 1984), ou

bien tensorielle pouvant ainsi prendre en compte l’anisotropie induite par la fissuration

(Benouniche 1979, Pijaudier-Cabot 1985, Ramtani1990, Bary 1996, Raguneau 1999).

I-5.2.1Formulation des modèles d’endommagement

Ainsi, la micro-fissuration du matériau responsable de la non-linéarité du comportement est

associée, dans la théorie de l’endommagement à une quantité surfacique, définissant l’état du

matériau à un instant donné. Comme pour les modèles élasto-plastiques, l’écriture des

modèles d’endommagement peut être conduite dans un cadre thermodynamique. La non-

négativité de la puissance intrinsèque dissipée en chaleur ϕ , obtenue d’après l’inégalité

fondamentale de Clausius-Duhem (équation I.6).

ψ est fonction des variables d’état thermodynamique comme suit :


-51-

( ) nid ii ,...,1 , , == κψψ ε (I.20)

où id sont les variables d’endommagement et iκ les variables d’écrouissage. Suivant un

formalisme identique à celui présenté dans le cadre des modèles élastoplastiques. Les forces

thermodynamiques associées aux variables d’endommagement et aux variables d’écrouissage

sont respectivement les taux de restitution d’énergie iY et les forces d’écrouissage iA définis

par :

εσ

∂∂= ψ

, i

i dY

∂∂−= ψ

, i

iAκψ

∂∂−= (I.21)

Les différents modèles d’endommagement varient alors en fonction du nombre de variables

utilisées, du critère d’endommagement définissant le domaine d’élasticité initial, de la loi

d’évolution de l’endommagement et de la loi d’écrouissage choisie. Certains modèles utilisent

ainsi des variables d’endommagement distinctes pour la traction et la compression (Mazars

1984, La Borderie 1991, Frémond & Nedjar 1993) et une fonction linéaire de ces 2 variables

pour des chargements plus complexes (Mazars 1984). Le critère d’endommagement est

généralement donné dans l’espace des déformations par l’intermédiaire d’une fonction seuil

d’endommagement, fonction du taux du restitution d’énergie ( )εiY et des forces

d’écrouissages iA , que l’on peut définir par :

( )( ) 0 , <⇔∈ iiE AYFC εε (I.22)

L’évolution de l’endommagement peut alors être donnée comme pour l’élastoplasticité par

une loi qui n’induit des évolutions que si le point de charge est et reste sur la surface. Enfin, la

loi d’écrouissage définit l’évolution des variables d’écrouissage qui modifient le seuil

d’endommagement dans l’espace des déformations ou des contraintes (La Borderie 1991).

Nous nous intéressons ci-après au modèle scalaire d’endommagement prenant en compte la

dissymétrie entre la traction et la compression (Mazars 1984). Dans ce modèle, le type

d’endommagement traité étant directement lié à l’existence d’extensions, la traduction de ce

phénomène dans le modèle intervient à deux niveaux :

- Seuils d’endommagement

La notion de déformation équivalente, introduite par Mazars (1984), traduit l’état et l’intensité

d’extension locale. L’expression d’une déformation équivalente fonction des déformations

principales positives est donnée ci-dessous, +

x désigne la partie positive de x :


-52-

∑=

+=

3

1

2~

iiεε (I.23)

Ainsi pour un état d’endommagement donné d , le seuil d’évolution est donné par :

( ) ( ) 0~, =−= dkdF εε (I.24)

où ( )dk représente la variable histoire liée à l’endommagement et ( ) 00 kdk == est le seuil

initial d’endommagement.

- Couplage de deux endommagements

Deux formes de lois d’évolutions ont été proposées pur caractériser la dissymétrie de

comportement de ce type de matériau.

( )( )

==

0

0

~ ~

, k, ba,0fD

, k, ba,0fD

cccc

tttt (I.25)

où ( )tt , ba et ( )cc, ba représentent respectivement les paramètres du modèle en traction et en

compression.

I-5.2.2Effet de fermeture des microfissures : Comportement unilatéralDans le cas de chargements cycliques des structures en béton armé, la gestion des ouvertures

et refermetures de fissures est capitale. Dans le cadre d’une modélisation scalaire de

l’endommagement, une solution pour décrire ce phénomène est d’introduire plusieurs

variables d’endommagement susceptibles de traduire des états d’endommagement

anisotropes. Le minimum requis est de deux variables afin de séparer les effets mécaniques

d’ouverture et de fermeture des microfissures (La Borderie 1991).

Dans le modèle développé par La Borderie (1991), l’énergie libre (énergie libre de Gibbs)

exprimée en fonction des contraintes est donnée par :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )221120

22

10

112

02010

1

121212

κκβ

βνχ

RRTrdE

d

TrfdE

dTr

EdEdE

++−

+−

+−+−

+−

= −−++

σ

σσσσσσσσ

:::

(I.26)

Une séparation du tenseur des contraintes est introduite où +

σ et −

σ sont les parties

positive et négative du tenseur des contraintes. La variable 1d représente l’effet mécanique


-53-

des micro-fissures quand le matériau est soumis à une sollicitation de traction et 2d représente

l’effet mécanique des micro-fissures quand le matériau est soumis à une sollicitation de

compression.

l’expression de la loi d’état permettant de calculer la déformation peut ainsi être obtenue :

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

−+

∂∂

−=

−+−

+−

=

+=∂∂=

−+

1

1

20

22

10

11

02010

11

11

dE

df

dE

d

TrEdEdE

an

e

ane

ββ

ν

χ

σε

σσσσ

ε

εεσ

ε

(I.27)

où :

- 1β et 2β sont des paramètres matériaux à identifier permettant de décrire l’évolution des

déformations anélastiques.

- ( )11 κR et ( )22 κR les fonctions d’écrouissage.

L’évolution de l’endommagement est conditionnée par le respect d’une surface seuil dans

l’espace des contraintes :

iii AYF −= (I.28)

iY est la variable associée à l’endommagement id et iA la variable associée à la variable

d’écrouissage iκ .

Les lois d’évolution de l’endommagement s’expriment comme suit :

( )[ ] iCiii

iYYB

d0 1

11

−+−= (I.29)

où iB et iC sont des paramètres matériaux gérant la loi d’évolution de l’endommagement.

( )σf est la fonction de refermeture de fissures, qui annule les déformations anélastiques de

traction lors de la reprise de raideur, elle s’exprime en fonction de la trace du tenseur des

contraintes :


-54-

( ) [ [ ( )

( ) [ ] ( ) ( )

( ) ] ] ( )

=∂

∂→−∞−∈

+=

∂∂→−∈

=∂

∂→∞+∈

1

1 1

1

.0 ,

0 ,

, 0

σσσ

σσσσ

σσσ

fTr

TrfTr

fTr

f

ff

σ

σσ (I.30)

fσ est la contrainte de refermeture de fissure.

La réponse de ce modèle soumis à un cycle de chargement du type : traction – compression –

traction est présentée en figure I.29.

Figure I.29: Réponse uniaxiale du modèle avec endommagement

unilatéral (La Borderie 1991)

La difficulté de ce modèle réside dans sa formulation en contrainte rendant très lourde son

implémentation dans un code éléments finis en déplacement. La loi de comportement doit être

inversée à chaque itération.

Dragon & Halm (1998), proposent une modélisation anisotrope de l’endommagement dans

laquelle l’endommagement est le seul phénomène dissipatif considéré ; il consiste en la

création et la propagation de méso-surfaces de décohésion au sein d’un volume représentatif.

Le modèle utilise une variable interne tensorielle d’ordre 2 d’endommagement d décrivant

l’orientation et l’étendue des méso-fissures.

( ) ii

i

i n nsd ⊗= ∑d (I.31)


-55-

où in représente la normale unitaire au système ( )i de méso-fissures parallèles, (s)di est une

fonction scalaire adimensionnelle traduisant la densité de méso-fissures du système ( )i .

pour la description du phénomène unilatéral, une variable tensorielle d’ordre 4 est utilisée

pour traduire que seuls des déplacements tangentiels au niveau des lèvres des méso-fissures

sont autorisés.

L’expression (I.31) est donc étendue :

( ) iiii

i

i nnn nsd ⊗⊗⊗= ∑d (I.32)

Il est montré que la quasi totalité de théories exposées ci-dessus ont des défauts inacceptables

lorsqu’elles prennent en compte à la fois l’anisotropie induite par endommagement et l’effet

unilatéral de fermeture des fissures (Chaboche 1992, Pijaudier-Cabot 1994). Ces défauts

apparaissent sous la forme de discontinuités dans la réponse contrainte-déformation dues à la

condition unilatérale.

Quelques approches permettent de résoudre ces difficultés. On peut les classer en deux

catégories. La première catégorie utilise des variables différentes par caractériser

l’endommagement en traction et en compression. Ramtani (1990) propose une décomposition

du tenseur de déformations en partie positive et négative. Deux tenseurs d’endommagement

sont introduits, agissant l’un sur la partie positive des déformations, l’autre sur la partie

négative. Ainsi en fonction du signe des déformations et l’histoire du chargement, les valeurs

respectives des tenseurs d’endommagement produisent des raideurs différentes en traction et

en compression, ce qui permet de reproduire le caractère unilatéral. La seconde catégorie vise

à traduire un comportement du type endommagement fragile (Ju 1989) en utilisant un tenseur

d’ordre 4 d’endommagement fonction des extensions dans les directions principales. Cette

modélisation a l’avantage de n’utiliser qu’une seule variable d’endommagement pour

reproduire ce phénomène. Par contre, on peut regretter que cette variable d’endommagement

soit un tenseur d’ordre 4, par conséquent difficile à identifier.

I-5.3 Couplage endommagement et plasticité

Afin d’allier les avantages de la théorie de l’endommagement (modélisation des effets de la

micro-fissuration sur la rigidité du matériau au niveau macroscopique) et de la théorie de la

plasticité (modélisation des déformations irréversibles ou permanentes) (figure I.30), un


-56-

certain nombre de modèles couplés (plasticité-endommagement) ont été développés, tantôt sur

la plasticité en incluant une variable d’endommagement, tantôt basés sur l’endommagement

en incluant des déformations irréversibles. C’est par exemple le cas du modèle de La Borderie

(1991), celui de Dragon & Halm (1998) (déjà présentés ci-dessus), qui intègrent dans leurs

formulation un terme de déformation permanente lié aux variables d’endommagement, sans

pour autant introduire de variables supplémentaires.

σ

ε

(a) σ

ε

(b) σ

ε

(c)

Figure I.30: Exemples de modélisations : (a) : Elasto-plastique,

(b) : Elasto-Endommageable, (c) : Couplée.

Le couplage entre plasticité et endommagement peut être qualifié de fort au sens où le

comportement plastique et endommageable du matériau sont définis par des variables d’état

distincte (Ju 1989, Luccioni & al. 1996): le tenseur de déformation plastique et la variable

d’écrouissage pour le comportement irréversible du matériau ; la variable d’endommagement

d pour le comportement réversible. Leur formulation peut conduire à la définition de deux

seuils différents limitant les domaines d’élasticité. Les évolutions des deux variables peuvent

être dès lors pilotées dans des espaces différents et par des quantités distinctes (contraintes

pour les évolutions plastiques, déformations pour les évolutions de la variable

d’endommagement), ce qui laisse une grande liberté dans la modélisation mais introduit un

nombre de paramètres relativement important. L’identification de ces derniers est alors plus

difficile.

Un autre type de couplage peut être retenu. Dans ce cas le comportement non-linéaire du

matériau est uniquement défini par des variables d’état plastiques prenant en compte, au

niveau macroscopique des phénomènes physiques sous-jacents, l’effet de la micro-fissuration

sur les caractéristiques mécaniques du matériau est introduit en faisant dépendre directement

ces dernières des variables plastiques. Par conséquent, à un seul phénomène microscopique

(la micro-fissuration) correspond un seul type de variable macroscopique permettant de


-57-

modéliser les différents aspects du comportement du béton au niveau macroscopique :

apparition de déformations permanentes, évolution du module d’élasticité, écrouissage ou

adoucissement (Frantziskonis & Desai 1987, Ulm 1996, Sercombe 1997). Dans la suite de ce

paragraphe, on s’intéresse surtout aux modèles du deuxième type, étant donné leur

formulation plus simple et leur nombre de paramètres réduit.

Il est à noter que dans cette deuxième approche, on garde généralement le formalisme de la

théorie de l’endommagement en utilisant une variable d’endommagement spécifique dont

l’évolution est néanmoins définie non plus à partir d’un seuil ou potentiel d’endommagement

spécifique mais à partir des variables plastiques. C’est le cas par exemple du modèle de

Frantziskonis & Desai (1987) où l’évolution de l’endommagement est pilotée par la distorsion

plastique équivalente.

( )peqdd γ= (I.33)

( ) 1 :

−==

32

avec 21

pp

pppp

eq Trεεγγγγ (I.34)

Lubliner & al. (1989) proposent un modèle dans lequel l’endommagement est fonction du

taux d’énergie de fissuration élémentaire.

( )ζdd = (I.35)

( )

( )∫

∫∞=

0

0

pp

pp

d

d

p

εεσ

εεσζ

ε

(I.36)

L’avantage de cette formulation provient de la définition conjointe des évolutions plastiques

et de l’endommagement qui n’interviennent que lorsque l’état de contrainte se trouve sur la

surface de charge plastique ( 0=F ) et y reste ( 0=F ). Pour compléter cette formulation et

introduire en contrepartie un effet de l’endommagement sur l’évolution des déformations

plastiques, le critère de plasticité et la règle d’écoulement sont formulées à partir des quantités

effectives (telles que le tenseur de contraintes effectives), supposant qu’une fois les micro-

fissures initiées, les contraintes locales dues à la micro-fissuration sont redistribuées dans un

domaine "effectif". Ces redistributions provoquent un état de contraintes dans ce domaine

plus important que celui qui est lié par l'équilibre mécanique à un effort extérieur. En


-58-

conséquence l'écoulement plastique est supposé dû aux "quantités effectives" (Ju 1989,

Chaboche 1992).

On peut alors réécrire le critère de plasticité (équation I.10) et la condition d’écoulement

(équation I.11) sous la forme suivante :

( ) 0 ,~ ~ FFCE ≤=⇔∈ ùσσ (I.37)

σε ~∂

∂= i

ip G

λ avec 0et 0ou 0 si 0

0et 0 si 0

<=<≥

==≥FFF

FF

λλ

(I.38)

Ulm (1996) propose d’exprimer directement les caractéristiques élastiques en fonction des

variables plastiques sans faire appel au concept de contrainte effective tels que :

( )( )κκ

GG

KK

==

(I.39)

où K est le module de compressibilité,G le module de cisaillement et κ la variable

plastique.

Il est à noter que l’emploi de modèle d’endommagement plastique (deuxième approche) ne

diminue pas le nombre de variables d’états du modèle. Il s’agit en effet d’une diminution de

variables d’évolutions, bien que la variable d’écrouissage associée à l’endommagement

disparaisse.

I-5.4 Extension pour la thermique

En thermique, la théorie de la plasticité comme celle de l’endommagement sont généralement

modifiées pour prendre en compte dans la modélisation les déformations d’origine thermique,

les déformations d’interaction thermo-mécaniques et la dépendance des caractéristiques

mécaniques à la température.

I-5.4.1Approche par la théorie de la plasticitéEn plasticité, des modifications sont apportées à la surface de charge et à la loi d’évolution du

paramètre d’écrouissage qui dépend alors de la température. La dégradation des

caractéristiques mécaniques est introduite en les faisant dépendre ces dernières de la

température T . La définition (I.10) du domaine d’élasticité devient alors :


-59-

( ) 0 , , <⇔∈ TAFC iE σσ (I.40)

Plusieurs modèles sont proposées pour l’étude du matériau béton en situation d’incendie.

Ahmad & Hamoush (1988) proposent un modèle formulé en élasticité non-linéaire pour la

modélisation du comportement en compression du béton en situation isotherme à hautes

températures. Ce modèle ne restitue pas l’accroissement de sensibilité au confinement de la

résistance en compression mutiaxiale du béton observée par différents auteurs (Ehm &

Schneider 1985, Kordina & al. 1985, Thienel & Rostasy 1993). Khennane (Khennane &

Baker 1992a, 1992b, 1993) se sont également intéressés spécifiquement au comportement du

béton sous sollicitation de compression biaxiale. Ils proposent un modèle formulé dans le

cadre de la théorie de la thermo-plasticité et limité au cas de contraintes planes de

compression. Les auteurs ne se sont intéressés qu’au comportement pré-pic du béton en

compression. Par ailleurs, Heinfling (1998) s’est intéressé au développement d’un modèle

béton sous sollicitation biaxiales prenant en compte l’aspect de la restitution de l’effet de

l’accroissement de sensibilité au confinement ainsi que la déformation d’interaction thermo-

mécanique, néanmoins ce modèle ne permet pas de gérer l’endommagement mécanique ainsi

que la fermeture de fissures lors de chargements cycliques.

I-5.4.2Approche par la théorie de l’endommagementEn théorie de l’endommagement les modifications apportées pour tenir compte des effets de

la température se rapprochent dans la forme de celles des modèles thermo-plastiques. Les

modifications sont apportées à la surface de charge et à la loi d’évolution de

l’endommagement pour prendre en compte les effets de la température.

Par ailleurs on peut noter que peu de modèles sont proposés dans la littérature pour la

prédiction du comportement mécanique du béton et des structures en béton armé à hautes

températures prenant à la fois l’endommagement mécanique et thermique.

Baker & Stabler (1998), en adaptant en thermique le modèle de Mazars (1984), introduisent

une dépendance du seuil initial d’endommagement à la température. L’expression de

l’endommagement est modifiée elle aussi par un terme correctif fonction de la température.

Ainsi la fonction de charge présentée au paragraphe I-6.2.1, est écrite sous sa nouvelle forme :

( ) ( ) 0 ,~ , =−= TdkdF εε (I.41)


-60-

Baker & de Borst (1995) proposent un modèle d’endommagement anisotrope, basé sur une

extension des modèles de Ortiz (1985) et Yazdani & Schreyer (1988) à des situations de

hautes températures. Cette extension est fondée sur la thermodynamique des processus

irréversibles dans laquelle la loi d’évolution du taux d’endommagement s’exprime comme

fonction de la contrainte σ , de l’endommagement d et de la température T .

( )Tddd , ,σ= (I.42)

Il est à noter que les surfaces de rupture et d’endommagement prédites par ce modèle ne

prennent pas en compte l’accroissement de sensibilité au confinement du béton en

compression avec la température.

Une nouvelle gamme de modèles qualifiés de chimo-plastique (Ulm & Acker 1997),

analogues par leurs formes aux modèles thermo-plastiques sont également proposées. Ils

différent entre eux par la formulation de la loi d’évolution de la surface de charge et le calage

du ou des paramètres associés au comportement. De manière générale, on peut définir pour

ces modèles la loi d’évolution par :

( )( ) 0, <⇔∈ ξiE AFC σσ (I.43)

où ξ représente le degré déshydratation, fonction de la température. C’est à travers cette

variable qu’on tient compte de l’endommagement thermo-chimique du matériau.

Il est à noter que ce modèle ne permet pas de prendre en compte l’endommagement

mécanique ainsi que l’effet unilatéral remarqué lors des essais cycliques. L’interaction

thermo-mécanique n’y est pas prise en compte.

I-5.4.3Modélisation de la déformation d’interaction thermo-mécanique

Intéressons nous maintenant plus spécifiquement au calcul de la déformation d’interaction

thermo-mécanique. On sait que dans le cas général, le taux de déformation totale ε est

décomposé en un taux de déformation élastique eε , un taux de déformation plastique pε (dans

le cas de plasticité), un taux de déformation de dilatation thermique θε et un taux de

déformation d’interaction thermo-mécanique tmε :

tmpe εεεεε +++= θ (I.44)


-61-

le calcul de la déformation plastique se fait comme dans le cas de la plasticité classique en

utilisant la loi d’écoulement :

( )σ

σε

∂∂

=TAG ip ,,λ (I.45)

La déformation thermique peut être calculée soit en faisant intervenir le coefficient de

dilatation thermique α , fonction de la température T (De Borst & Peeters 1989, Khennane &

Baker 1992), donnée par la formule suivante :

( ) 1 TT αθ =ε (I.46)

Soit en utilisant des formules empiriques exprimées par une fonction directe de la température

( )TΦ (Franssen 1987, Schneider 1988).

( )1 TΦ=θε (I.47)

En ce qui concerne la déformation d’interaction thermo-mécanique, deux approches ont été

proposées pour le calcul de cette composante :

La première approche (Bazant & Kaplan 1996, Schneider 1988) considère celle-ci comme une

déformation de fluage et utilise donc un formalisme de fluage dans lequel la déformation

d’interaction thermo-mécanique s’exprime dans le cas uniaxial par :

( )1ttTJ0tm , , ′= (I.48)

où ( )ttTJ ′ , , est la fonction complaisance de fluage qui représente la déformation engendrée à

l’instant t par une contrainte unitaire appliquée à l’instant t ′ .

Plusieurs auteurs (Khoury & al. 1985, Thelandersson 1987) pensent que l’introduction du

temps dans cette formulation ne se justifie pas dans la mesure où la déformation d’interaction

thermo-mécanique est quasi instantanée et pratiquement indépendante du temps. De plus,

cette formulation ne prend pas en compte l’accentuation de l’effet de la contrainte appliquée

sur le module d’Young qui joue un rôle important dans le développement de ces

déformations. La fonction complaisance de fluage J étant indépendante du niveau de

contrainte.

Schneider (1988), propose une nouvelle formule toujours dans le cadre de l’approche du

fluage basée sur une étude expérimentale dans laquelle la déformation d’interaction thermo-

mécanique est liée à différents mécanismes de fluage et s’écrit dans le cas uniaxial :


-62-

1

E0

tm φ= (I.49)

où E est le module de Young du béton, φ est une fonction de fluage transitoire. Cette

dernière dépend de la température et de l’histoire de chargement. Elle traduit l’évolution du

module de Young en fonction du niveau de chargement activé par la température.

Une seconde approche, Anderberg & Thelandersson (1973) considère la composante de

déformation d’interaction thermo-mécanique de façon plus globale en considérant qu’elle

représente l’effet de la contrainte appliqué sur la déformation thermique du béton et introduit

donc le concept d’interaction thermo-mécanique. Elle est donnée empiriquement dans le cas

uniaxial selon par :

20

0

c

tm0

f

1

0

β= (I.50)

où 20cf est la résistance en compression uniaxiale à 20°C, 0β est un paramètre matériau qui

varie entre 1,8 et 2,35 d’après Thelandersson (1987) et Schnieder (1988). σ représente la

contrainte uniaxiale appliquée. En supposant que le taux de déformation d’interaction thermo-

mécanique tm0 dépend linéairement de l’état de contrainte multiaxial appliqué et que le

processus physique de ce phénomène n’engendre pas d’anisotropie, une généralisation de

cette relation empirique à un état de contrainte multiaxial à été proposée et mis en œuvre par

de Borst & Peeters (1989) puis Khennane & Baker (1992) et enfin Heinfling (1998) :

σε :Q Ttm

= (I.51)

où Q est un tenseur du quatrième ordre s’exprimant par :

( )( )

+++−= jkiljlikklij

cijkl

f

Q δδδδγδγδ

βα1

2

1

0

0 (I.52)

où γ est un paramètre supplémentaire du matériau et ijδ est le symbole de Kronecker.

Thelandersson (1987) propose une autre façon de généraliser la loi uniaxiale (équation I.50),

dans laquelle le taux de déformation thermo-mécanique tmε est décomposé en une partie

déviatorique tmdε et une partie volumique tmvε tel que :

=

=

sT

pT

dtmd

vtmv

γ

γ

ε

ε 1(I.53)


-63-

où p est la pression hydrostatique, s est le vecteur contrainte déviatorique, vγ et dγ sont des

paramètres matériaux. Ces derniers peuvent être reliés à 0β et γ utilisés dans la formulation

précédente. Cette dernière formulation induit une anisotropie de la déformation d’interaction

thermo-mécanique. Le processus global de déformation thermique du béton (dilatation

thermique et interaction thermo-mecanique) devient alors anisotrope et des déformations de

cisaillement sont ainsi engendrées ce qui coïncide bien avec les observations de Thienel & al.

(1993).

Il est également à noter que l’effet du chargement mécanique sur l’évolution du module de

Young avec la température, introduit explicitement dans la formulation proposée par

Schneider (1988), peut être pris en compte par la définition d’une variable adéquate

d’endommagement thermique fonction de la température, comme il sera le cas de notre

modélisation. L’écriture de la déformation proposée par Thelandersson (1987), possède

l’avantage d’être identifiée avec un nombre limité de paramètres tout en décrivant les

phénomènes essentiels. Nous utilisons donc cette approche dans la suite de notre travail.

I-5.5 Problème de localisation des déformations

La localisation de la déformation et de l’endommagement est un phénomène fréquemment

observé pour une large classe de matériaux et notamment dans les matériaux "fragiles" tels

que les bétons, les roches et les sols. Lors d'essais de laboratoire (compression uniaxiale ou

triaxiales par exemple), on constate ainsi qu'à partir d'un certain état de chargement, les

déformations se concentrent puis croissent rapidement dans des bandes d'épaisseur faible mais

non nulle.

D'un point de vue mécanique, l'apparition d'une bande de localisation est donc associée à celle

d'une surface de discontinuité des déformations. En effet, théoriquement, les équations aux

dérivées partielles gouvernant l'équilibre changent de nature. En statique, le problème

d'équilibre est caractérisé par une perte d'ellipticité conduisant à l'existence d'une infinité de

solutions, dont certaines présentent des discontinuités du champ de déplacement (Benallal &

de Borst 1988). En dynamique, le problème décrivant le mouvement passe d’un problème

hyperbolique (avant adoucissement) à un problème parabolique ou elliptique (en phase

d’adoucissement). Dans tous ces cas de figures, il s’ensuit que le problème décrivant


-64-

l’équilibre devient mal posé. D’une manière plus générale on peut trouver dans (Benallal &

al. 1997) une discussion sur les conditions qu’il est nécessaire de vérifier pour que le

problème mécanique reste bien posé. Dans le cadre de la mécanique de l’endommagement.,

de tels critères permettent de prédire l’amorçage d’une macro-fissure ainsi que son

orientation, au moment ou le problème devient mal posé.

Différentes approches, dites méthodes de régularisation, ont été suggérées pour préserver la

nature des équations. Ceci se traduit le plus souvent par l'introduction d’un paramètre

longueur caractéristique ou longueur interne dans le modèle jouant le rôle de limiteur de

localisation et rendant compte du caractère fini de la zone localisé. Cela signifie que deux

échelles distinctes sont présentes : une échelle associée au comportement macroscopique de la

structure et une échelle microscopique associée à la zone de localisation et gouvernée par la

longueur interne. Cette amélioration de la description mécanique du milieu continu traduit sur

le plan physique le caractère non local du modèle. En effet, l’histoire du point dépend aussi de

la contribution d’un certain voisinage défini par la longueur interne et reflétant l’interaction de

la microstructure.

D’autres méthodes ont été développées afin d’introduire directement une longueur interne

dans la loi de comportement. Il est à noter que cette technique nécessite des conditions aux

limites supplémentaires, correspond à la modélisation non-locale. En ce qui concerne la

variable non-locale, plusieurs formulations utilisant une variable d’état (déformation,

déformation inélastique, mesure d’endommagement) non locale (Saouridis 1988, Pijaudier-

Cabot & Bodé 1992, Meftah 1997). Une variable non locale Y est définie en chaque point x

du milieu continu :

- par une moyenne pondérée en espace, centrée en ce point, de la variable locale Y dans le

cas d’une approche intégrale.

( ) ( ) ( ) Ω+Ω

= ∫Ω

d 1

ssxx

gYYr

(I.54)

où Ω est le volume de la structure, ( )xrΩ le volume représentatif autour de x .

( ) ( )∫Ω

Ω=Ω d sx gr (I.55)

et g(s) la fonction de pondération.


-65-

- par la prise en compte des gradients d’ordre pair (isotrope) dans le cas d’une approche

différentielle

( ) ( ) ( ) ⋅⋅⋅+∇+∇+= xxx YLYLYY 42

21 (I.56)

où les iL sont des constantes phénoménologiques définissant la contribution du voisinage au

travers des termes d’ordre supérieurs.

Toujours dans le cadre des modèles aux gradients, une approche différente est proposée par

Andrieux, Joussemet & al. (1996). Elle consiste à prendre en compte les gradients des

variables internes et la répartition spatiale des hétérogénéités. La construction d’une technique

d’homogénéisation permet de généraliser le potentiel d’énergie libre pour prendre en compte

le gradient d’endommagement.

Une autre approche est celle de la formulation micro-polaire basée sur les travaux de Cosserat

(1909). Il introduis des couples de contraintes comme résultat de la rotation locale de la

microstructure. La réciprocité des contraintes tangentielles n’est plus satisfaite, et des degrés

de liberté supplémentaires, i.e. des micromoments µ et des microrotations ω (figure I.31),

apparaissent dans les relations de comportement.

zyµ

xyσ

xxσ

yxσ

σyy

σyx

σxxσxy

σyy

zxµ

Figure I.31: tenseur de contrainte en milieu classique (gauche) et en

milieu de Cosserat (droite).

Il est à noter que l’utilisation de telles approches (non locales intégrales ou différentielles,

cosserat) nécessite généralement des développements numériques délicats. Une proposition

intermédiaire semblable à la première approche, consiste à choisir pour le milieu un pseudo-

comportement qui dépend de la finesse du maillage (Hillerborg 1976). Ceci consiste à faire

dépendre la pente post-pic de la relation contrainte-déformation de la taille de l’élément de


-66-

manière à dissiper à la rupture une énergie de fissuration constante (Bazant & Oh 1983,

Pietruszak & Mroz 1981).

Cette approche constitue un pas vers une description non locale du milieu continu. Elle est

basée sur une loi issue de la mécanique de la rupture (Hillerborg 1976) selon laquelle

l’énergie de fissuration en mode I est définie par :

∫=ru

f duG0

σ (I.56)

où u est le déplacement d’ouverture de fissure (figure I.32)

σ σ

u

σ σ

w

ε p

Figure I.32: Représentation d’une fissure discrète par

une fissuration répartie (Meftah 1997)

Dans une approche par fissuration répartie, la fissure est représentée par une zone de

localisation de taille w dans laquelle la déformation plastique pε est uniformément répartie.

En adoptant l’hypothèse du travail plastique cumulé proposée à l’équation (I.15) pour

l’évaluation du paramètre d’écrouissage, l’expression de l’énergie de fissuration peut être

exprimée dans ce cas:

f

0

g wdwGu

f == ∫κ

κτ (I.57)

où fg est l’énergie locale de fissuration représentée par l’aire sous le diagramme

d’écrouissage (figure I.33).

Cette approche considère l’énergie de fissuration fG comme un paramètre caractéristique du

matériau. En effet, il est suggéré par Bazant & Oh (1983) de conserver une énergie dissipée

constante afin d’éviter la sensibilité de la solution à la taille du maillage. Pour cela, la taille de

la zone de localisation w est reliée à la taille de l’élément fini cw (Bazant & Oh 1983, Rots


-67-

1988). Le paramètre d’écrouissage ultime u (figure I.33) est calculée de manière à ce que le

paramètre local fg dissipe l’énergie de fissuration fG sur l’élément.

κ

gf

κu

1h

ττ0 = f t

Figure I.33: Diagramme d’adoucissement linéaire du béton

en traction

Dans le cas du comportement adoucissant linéaire de la figure I.33, l’expression de la

déformation plastique ultime est établie en fonction de la taille de l’élément (Bazant & Oh

1983) telle que :

ct

f

w

G

f2

f

g2

t

fu ′

=′

= (I.58)

où tf ′ est la résistance en traction uniaxiale du béton.

Cette approche est très efficace pour les problèmes de fissuration en mode I à une seule

fissure et lorsque le maillage présente une orientation fixe durant les calculs. Cependant, la

perte d’ellipticité se pose toujours localement même si l’énergie dissipée reste constante en

adaptant le module d’écrouissage en fonction de la taille de l’élément. Ainsi, la déformation

continue à localiser dans une zone de taille réduite. Etant donnée la simplicité de sa mise en

œuvre et malgré ses lacunes, c’est cette technique que nous utilisons dans la construction de

notre modèle.

I-5.6 Conclusion de la partie modélisation

Dans cette partie de l’étude bibliographique, nous avons fait une revue de modèles de

comportement qui serviront de base à la modélisation que nous présentons dans le chapitre

qui suit. Les points suivants sont à retenir et nous seront utiles pour la suite :


-68-

- Les modèles de plasticité permettent d’avoir une description des déformations

irréversibles. Les modèles d’endommagement sont quant à eux appropriés aux

descriptions du phénomène de perte de rigidité observée expérimentalement, ainsi que le

phénomène de refermeture des fissures lors des chargements cycliques (phénomène

unilatéral). Le couplage entre plasticité et endommagement semble être la meilleure façon

d’allier les avantages des deux théories. Notre choix s’est porté sur une formulation

couplée avec l’approche endommagement plastique. Le comportement non-linéaire du

matériau est uniquement défini par des variables d’état plastiques dont l’avantage provient

de la définition conjointe des évolutions plastiques et de l’endommagement ; ce qui réduit

considérablement le nombre de variables d’évolution.

- Le choix du critère de charge pose un problème relativement difficile pour le béton du fait

de la variété des comportements observés en fonction du chargement. Une première

solution consiste à formuler un critère unique, ce qui conduit d’une part, à des expressions

souvent compliquées du critère (Ottosen, Willam-Warnke à 5 paramètres), et d’autre part,

à des difficultés dans le choix des variables d’écrouissage et des lois d’évolution. La

deuxième approche offre plus de souplesse dans la gestion des variables d’écrouissage.

Elle consiste à utiliser un critère multi-surfaces. L’inconvénient de cette approche reste

dans le traitement des couplages entre les critères élémentaires, ainsi que la mise en œuvre

numérique. C’est cette approche qui sera utilisée par la suite.

- Afin de modéliser de façon précise le comportement à hautes températures dans le cadre

d’une analyse thermo-mécanique, il est nécessaire de prendre en compte le développement

des déformations d’interaction thermo-mécanique. Parmi les approches proposées pour la

modélisation de ces déformations, nous orientons notre choix vers la formulation proposée

par Thelandersson (1987) qui permet de représenter de façon correcte la phénoménologie

de la déformation thermique du béton sous chargements thermiques et mécaniques

combinés avec un nombre limité de paramètres identifiables expérimentalement.

- Dans le cas où l’on a une description du comportement qui fait intervenir un écrouissage

négatif, il se pose un problème lié à la localisation des déformations. Plusieurs techniques

de régularisation ont été rappelées, en retenant le concept de Hillerborg (1976), comme

technique de régularisation.


-69-

I-7 CONCLUSION

L’étude bibliographique du comportement thermo-mécanique du béton nous a permis de

mettre en évidence certains phénomènes physiques qui peuvent apparaître notamment lors de

la dégradation du matériau.

Certains de ces phénomènes nous ont apparu primordiaux pour une bonne analyse de la

réponse sous chargement thermo-mécanique de structures en béton armé (endommagement,

caractère unilatéral, déformation plastique, décohésion thermique et interaction thermo-

mécanique).

L’analyse des différents modèles que nous avons pu relever dans la littérature montre que la

modélisation du comportement thermo-mécanique du béton reste un sujet relativement

nouveau.

Par ailleurs, cette étude a suscite notre attention à l’intérêt porté par l’utilisation d’une

modélisation thermo-plastique endommageable couplée avec l’approche endommagement

plastique.

Les choix entrepris en matière de la modélisation de la déformation d’interaction thermo-

mécanique ; le type de critère de charge et la méthode de la régularisation, nous ont parus les

plus adéquats pour notre étude. Ces choix seront utilisés par la suite pour le développement

d’un nouveau modèle.

Chapitre II Formulation du modèle

-70-

CHAPITRE II

FORMULATION DU MODELE

II-1 INTRODUCTION................................................................................................................................. 71

II-2 ELABORATION D’UN MODELE D’ENDOMMAGEMENT-PLASTICITE COUPLES............ 72

II-2.1 FORMULATION DU MODÈLE................................................................................................................. 73

II-2.2 EVOLUTION DE L’ENDOMMAGEMENT.................................................................................................. 75

II-2.3 COUPLAGE ENTRE PLASTICITÉ ET ENDOMMAGEMENT......................................................................... 79

II-2.4 CRITÈRE DE PLASTICITÉ – POTENTIEL PLASTIQUE............................................................................... 80

II-2.5 LOIS DE COMPORTEMENT DU BÉTON À HAUTES TEMPÉRATURES......................................................... 84

II-3 INTEGRATION DU MODELE DANS UN CODE DE CALCUL ELEMENT FINIS................. 103

II-3.1 DESCRIPTION DU PROBLÈME THERMO-MÉCANIQUE........................................................................... 103

II-3.2 RÉSOLUTIONS NUMÉRIQUES DU PROBLÈME THERMIQUE................................................................... 105

II-3.3 RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DU PROBLÈME MÉCANIQUE...................................................................... 108

II-3.4 INTÉGRATION DES ÉQUATIONS CONSTITUTIVES DU MODÈLE............................................................. 110

II-4 CONCLUSION.................................................................................................................................... 134


-71-

II-1 INTRODUCTION

Le but de ce chapitre consiste en l’élaboration d’un modèle de comportement pour le béton

permettant de prendre en compte l’endommagement mécanique et l’effet unilatéral lors des

chargements cycliques d’une part, ainsi que l’endommagement thermique et l’influence du

chargement mécanique sur le processus de déformation thermique (fluage thermique

transitoire) lors des chargements combinés. L’objectif final de ce travail est de pouvoir

intégrer ces différents phénomènes dans un calcul de structure afin d’améliorer et de rendre

plus prédictive la modélisation thermo-mecanique du béton.

Dans ce but, un modèle couplant le niveau d’écrouissage atteint en traction/compression avec

l’endommagement est proposé. Ce couplage endommagement-plasticité est assuré en utilisant

le principe de la contrainte effective. Sans pour autant perdre de vue la physique des

phénomènes, cette modélisation du matériau est effectuée de manière phénoménologique dans

le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles.


-72-

II-2 ELABORATION D’UN MODELE D’ENDOMMAGEMENT-

PLASTICITE COUPLES

Ainsi qu'il est apparu à travers l'analyse des résultats expérimentaux, donnés dans la partie

bibliographique, le comportement thermo-mécanique du béton en traction ou en compression

ne diffère du comportement à température ambiante que :

- par une résistance en compression /en traction et un module d'élasticité plus faibles,

fonction de la température

- par l'apparition d'une déformation d'interaction thermo-mécanique.

La modélisation du comportement micro-fissuré du béton sous chargement thermo-mécanique

peut être conduite de la même façon que sous chargement mécanique à température ambiante,

pourvu que les effets de température soient introduits dans la formulation du modèle.

S’intéressant maintenant à la modélisation non-linéaire du béton, pour des chargements

mécaniques à température ambiante, la connaissance de la variation de la déformation

plastique joue un rôle très important en ce qui concerne la description macroscopique non-

linéaire du béton (Frantziskonis & Desai 1987, Lubliner & al. 1989, Ulm 1996, Sercombe

1997). En effet, les déformations plastiques étant très fortement liées au développement de la

micro-fissuration. L'utilisation de cette variable pour piloter l'endommagement et

l'écrouissage semble adéquate pour la bonne représentation du couplage endommagement-

plasticité.

Le problème majeur est maintenant de savoir quel type de variable d’endommagement nous

allons choisir (endommagement anisotrope ou isotrope). On sait d’après l’analyse

expérimentale que les fissures se développent dans un plan perpendiculaire aux extensions,

créant dans un premier stade une anisotropie du comportement du béton, et dans un stade

ultime des surfaces de rupture de même sens. Une approche serait alors de considérer que

l’augmentation de l’endommagement induit une anisotropie et de choisir alors un

endommagement anisotrope.

Des résultats récents obtenus par Fichant & al. (1998) en statique montrent que dans des

situations où la fissuration du matériau est essentiellement pilotée par une extension


-73-

unidimensionnelle, un endommagement scalaire donne des résultats numériques, au niveau de

la structure, similaires à ceux issus par des modèles d’endommagement orthotrope. Nous

ferons l’hypothèse que cela reste vrai dans le cas ou la fissuration du matériau est contrôlée

par une variable de nature déformation plastique.

En fait, l’anisotropie induite par l’endommagement n’est importante que lorsque le matériau

est soumis à des extensions multiaxiales ou quand l’histoire le chargement appliqué au

matériau est fortement non radiale.

Etant donné la complexité des modèles d’endommagement anisotrope, comparés aux modèles

isotropes (à la fois du point de vue de la calibration du modèle et de son implémentation

numérique) nous considérons que l’endommagement est une variable scalaire. Il est

important de noter que ce choix ne compromet pas la prise en compte de la dissymétrie entre

les comportements de traction et la compression.

II-2.1 Formulation du modèle

Dans le but d’effectuer une modélisation isotrope des phénomènes thermo-plastiques couplés

à l’endommagement dans le cadre général de la thermodynamique des processus irréversibles,

nous postulons l’existence d’un potentiel thermodynamique (dans notre cas, nous avons choisi

l’énergie libre Helmhotz) s’exprimant comme une fonction à valeur scalaire et convexe par

rapport aux variables d’états.

( ) ( )Λ+Λ= ,, , , , , DD pe

e θψθψψ κε (II.1)

Dans cette équation eψ désigne le potentiel thermo-élastique endommageable donnée par :

( )0

2

2

1

2

1 , , ,

TCD eeee

e

θθθψ −−=Λ εεεεε ::: mE (II.2)

dans lequel C représente la chaleur spécifique et 0T la température de référence du système.

Le tenseur de rigidité du matériau E et le tenseur du deuxième ordre de couplage thermo-

mécanique m sont donnés par :

( ) 1mEEE ⋅=Λ= αKD 3 ; , , 0 (II.3)


-74-

où 0E est le tenseur de rigidité du matériau non endommagé. α,K désignent respectivement

le module de compressibilité volumique et le coefficient de dilatation thermique fonctions de

la température, 1 représente le tenseur unité.

Les variables d’états sont alors, le tenseur de déformation élastique eε , la température relative

0TT −=θ , la variable d’endommagement mécanique D et la variable d’endommagement

thermique Λ .

En outre, pψ désigne le potentiel thermo-plastique endommageable et κκ représente le

vecteur paramètre d’écrouissage qui contrôle le processus de plasticité. L’hypothèse du

découplage entre les effets de plasticité et les autres phénomènes est utilisée. La déformation

totale ε est alors décomposée en une part réversible, une part irréversible pε et une part

thermique θε comme suit :

θεεεε ++= pe (II.4)

L’influence du chargement mécanique sur le processus de déformation thermique, décrit sous

le terme d’interaction thermo-mécanique, est introduite en utilisant le concept de déformation

d’interaction thermo-mécanique développé par Anderberg & Thelandersson (1973).

La déformation d’interaction thermo-mécanique est donnée par :

( )( )

+++−=

=

jkiljlikklijc

ijkl

tm

Q

T

δδδδγδγδβα

12

1

f

0

0

σε :Q

(II.5)

où Q est un tenseur du quatrième ordre d’interaction thermo-mécanique, 0cf est la résistance

en compression uniaxiale à 20°C, 0β et γ sont les paramètres matériau (Schneider 1988,

Thelandersson 1976).

L’équation II.4 est alors réécrite sous la forme :

tmpe εεεεε ++= + θ (II.6)

Nous pouvons noter que lors de la prise en compte du fluage transitoire, l’énergie libre du

système n’est plus donnée par l’équation (II.2). La définition d’une nouvelle forme de

l’énergie libre se heurte à des problèmes liés à la définition de la déformation d’interaction


-75-

thermo-mécanique qui est obtenue par une approche phénoménologiquement (Baker &

Stabler 1998).

II-2.2 Evolution de l’endommagement

On a vu au premier chapitre que la variable d’endommagement associée au processus de

dégradation mécanique (i.e. thermique) peut être interprétée comme la densité de surfaces des

défauts affectant la matière (Kachanov 1958, Ju 1989) et peut alors être définie, comme la

proportion de la surface occupée par les micro-fissures ramenée à la surface totale. Cette

définition signifie que le paramètre d’endommagement ne peut pas être décroissant.

Vierge Endommagement mécanique Endommagement total

S~

S~

S~

SS =~ ( )DSS −= 1~ ( )( )Λ−−= 1 1

~DSS

Figure. II.1 : Représentation schématique de l’effet de l’endommagement

sur la surface résistante.

L'effet de la dégradation thermique sur le matériau béton se traduit par une baisse

supplémentaire de la surface résistante endommagée mécaniquement. La variable

d’endommagement total d, peut alors être définie à partir d’une combinaison des deux

endommagements mécanique et thermique, considérés comme complètement indépendants,

comme suit :

( )( )Λ−−−= 111 Dd (II.7)

où D est la variable d’endommagement mécanique fonction de la variable d’écrouissage κκ et

Λ représente la variable d’endommagement thermique fonction de la température T .


-76-

On peut noter que la forme de l’équation (II.7) est similaire à celle proposé par Gerard,

Pijaudier-Cabot & Laborderie (1998) lors de l’étude du couplage mécanique-diffusion

chimique.

La relation contrainte-déformation s’écrit alors comme pour le cas de comportement elasto-

endommageable sous la forme:

( ) ed εσ :01 E−= (II.8)

où σ est le tenseur de contraintes apparentes.

En remplaçant l’équation (II.6) dans l’équation (II.8), on obtient :

( ) ( )tmpd εεεεσ −−−−= θ:01 E (II.9)

L’utilisation du principe de la contrainte effective conduit à une relation liant la contrainte

réelle à la contrainte effective donnée par :

d−=

1~ σσ (II.10)

où σ~ est la contrainte effective.

Une nouvelle relation peut être écrite en utilisant l’équation (II.8) et l’équation (II.10), liant le

tenseur de contrainte effective au tenseur de déformation élastique:

eεσ :0~ E= (II.11)

II-2.2.1 Variable d’endommagement mécanique

Comme on a ennoncé auparavant, notre choix s’est porté sur un modèle d’endommagement

scalaire. Le degré de dégradation du matériau sous un chargement externe est représenté par

une variable scalaire unique d’endommagement D affectant le module d’Young.

( ) 01 E E D−= (II.12)

Plusieurs auteurs (La Borderie 1991, Lee 1998) ont noté dans leurs études la forme

exponentielle de la variation de la variable d’endommagement en fonction de la déformation


-77-

plastique. Notre choix s’est porté donc, sur une loi exponentielle fonction de la variable

d’écrouissage xκ (déformation plastique cumulée).

( )xxx cD κ exp1 −=− (II.13)

où xc est un paramètre du matériau ( tx = pour la traction et cx = pour la compression).

Cela signifie qu’en traction comme en compression nous considérons que le mécanisme

d’endommagement est lié au développement des micro-fissures contrôlé par la variable

déformation plastique cumulée. Il est à noter que cette formulation a l’avantage de la

définition conjointe des évolutions plastiques et de l’endommagement qui n’interviennent

qu’en même temps. Cette approche permet de s’affranchir de la définition d’une surface seuil

pour l’endommagement.

Pour décrire au mieux le comportement diffèrent du béton en traction et en compression,

l’endommagement total est ainsi subdivisé en deux parties (Mazars 1984, Lee 1998,

Ragueneau 1999). Une première partie pour décrire le comportement de traction et une

deuxième part pour décrire celui de compression.

( ) ( )( ) Ttcttcc DDD κκκκκ ,et )()( 111 =−−−= κκ (II.14)

Les essais de traction-compression cycliques permettent de mettre en évidence une propriété

importante du comportement du béton, c'est le caractère unilatéral. Ce phénomène consiste

en une restauration de la raideur lors du passage d’un chargement de traction, où apparaît de

l’endommagement (fissuration), à un chargement de compression.

Le phénomène unilatéral observé lors d’un chargement cyclique est introduit en modifiant

l’endommagement de traction en le multipliant par un paramètre p fonction de l’état de

contrainte (Lee 1998, Nechnech & al. 2000), tels que 10≤≤ p .

L’équation (II.14) devient alors :

( ) ( ) ( )( ))()( ~111~ , ttcc DpDD κκ σσ −−−=κκ (II.15)


-78-

Le paramètre p est choisi de telle manière à bien représenter la fermeture de fissure. Dans le

cas d’un chargement tridimensionnel, ce paramètre peut s’écrire en fonction du tenseur de

contrainte effective de la manière suivante :

( ) ( ) ( )σσ ~ 1~00 rppp −+= (II.16)

Dans cette équation, 10 0 ≤≤ p est un paramètre matériau et ( )σ~r une fonction poids scalaire

(cette fonction sert à quantifier le pourcentage des contraintes de traction par rapport aux

contraintes de compression dans le cas tridimensionnel) qui s’écrit :

( )

=

=

∑

∑

=

= +sinon

~

~

0~ si 0

~

3

1

3

1

ii

iir

σ

σ

σ

σ (II.17)

où i

σ~ représente la i ième composante du tenseur de contrainte effective principale, et

( ) 2xxx +=+

, désigne la partie positive de x .

La définition (II.15) signifie que la prise en compte du phénomène unilatéral, lors du passage

d’une sollicitation de traction à une sollicitation de compression, se fait par une diminution de

l’endommagement de traction affecté par la fonction ( )σ~p qui pilote la fermeture de fissure.

II-2.2.2 Variable d’endommagement thermique

La haute température produit une dégradation irréversible du module d'élasticité. Dans une

description macroscopique des phénomènes, ce comportement est généralement décrit par une

dépendance du module d'élasticité à la température ( )TEE = . L'endommagement thermique

peut être défini à partir de la relation liant la variation du module d'élasticité à la température

( )TE , d'une manière analogue à celle qui a été utilisée pour définir l'endommagement

mécanique, de telle sorte que :

( ) ( )0

1E

TET −=Λ avec

0 si 0

0 si 0

≤=Λ

>>Λ

θθ

(II.18)


-79-

La définition (II.18), est une hypothèse simplificatrice car le module d’élasticité du béton ne

dépend pas seulement du seuil de température mais aussi de la vitesse du chauffage, de la

teneur en eau, etc.…

II-2.3 Couplage entre plasticité et endommagement

Une fois les micro-fissures initiées, les contraintes locales dues à cette micro-fissuration, sont

redistribuées dans un domaine "effectif". Ces redistributions provoquent un état de contraintes

dans ce domaine plus important que celui qui est lié par l'équilibre mécanique à un effort

extérieur. En conséquence, l'écoulement plastique est supposé dû aux "quantités effectives".

(Ju 1989).

En effet, si on utilise la théorie de la plasticité pour décrire d’une manière phénoménologique

le comportement du béton, la surface de charge peut être définie à partir de la connaissance de

la contrainte nominale en traction tτ , contrainte nominale en compression cτ et la

température T , comme suit :

( ) 0 , , , T22F ct ≤σ (II.19)

où la contrainte nominale de traction t2 , respectivement de compression c2 , est exprimée en

fonction de la déformation plastique équivalente de traction tκ et de la température,

respectivement la déformation plastique cumulée de compression cκ et de la température.

( ) ( )TT cccttt , ; , κττκττ == (II.20)

En effet, dans cette approche, les contraintes nominales ( )ct ττ , pilotent l’état de fissuration

du matériau. On suppose que ces dernières sont factorisées dans l’espace des contraintes

effectives de la même façon que le module d’élasticité (équation II.12), comme suit :

( )( ) ( ) ( )( ) ( )TT cccccttttt DD ,~ )(1 1 ; ,~ )(1 1 κτκτκτκτ −Λ−=−Λ−= (II.21)

où ct ττ ~et ~ représentent respectivement la contrainte nominale effective de traction et la

contrainte nominale effective de compression, quantités ne pouvant être déterminée

expérimentalement, mais déduites de II.21.


-80-

En combinant les équations (II.10, II.19 et II.21), la surface de charge peut s’écrire sous sa

nouvelle forme :

( ) 0 ~ ,~ ,~ 22F ct ≤σ (II.22)

Il est à noter que du fait que les courbes uniaxiales dépendent explicitement de la température,

cela entraîne un couplage entre la variable d'écrouissage plastique κ et la température. Ce

couplage se traduit par un adoucissement de nature thermique (non-plastique).

Une différence fondamentale existe cependant entre les deux types d'écrouissage:

l'écrouissage plastique (instantané) n'apparaît que lorsque le point de charge se trouve sur la

surface de charge (c'est-à-dire lorsque 0=F ) et y reste (c'est-à-dire lorsque 0=F ), alors que

l'écrouissage thermique apparaît indépendamment de la position du point de charge, qu'il soit

dans le domaine élastique ou dans le domaine plastique. Cet adoucissement thermique

conduit à une évolution non-instantanée de la surface de charge qui permet ainsi de modéliser

la diminution de la résistance du béton en fonction de la température.

II-2.4 Critère de plasticité – Potentiel plastique

Nous nous intéressons dans ce paragraphe au choix du critère de charge. Un grand nombre de

propositions existent dans la littérature. Cependant le choix du critère pose un problème

relativement difficile pour le béton du fait de la variété des comportements observés selon le

chargement, le niveau de température et le confinement. Une première solution consiste à

formuler un critère unique, ce qui conduit d’une part, à des expressions souvent compliquées

du critère (Ottosen, Willam-Warnke à 5 paramètres), et d’autre part, à des difficultés dans le

choix des variables d’écrouissage et des lois d’évolutions. La deuxième approche, offrant plus

de souplesse dans la gestions des variables d’écrouissage. Elle consiste à utiliser une surface

multi-critères. L’inconvénient de cette approche reste dans le traitement des couplages entre

les critères élémentaires ainsi que dans mise en œuvre numérique.

Vu les avantages offerts par les surfaces multicritères en terme de la gestion distincte de

l’écrouissage (i.e. de l’endommagement car dans notre cas l’endommagement est relié

directement à la variable d’écrouissage) notre choix s’est porté sur l’utilisation d’un critère

multi-surface de plasticité (Feenstra 1993, Georgin 1998, Heinfling 1998). Il est formé d’un

critère de Rankine en traction


-81-

( ) ( )TTF ttItt ,~~ , ,~ κτσκ −=σ (II.23)

et d’un critère de Drucker-Prager en compression

( ) ( ) ( ) ( )TIJTF ccfcc ,~ ~ ~ , ,~12 κτβακ −+= σσσ s (II.24)

où Iσ~ est la contrainte effective principale majeure, ( )σ~1I est le premier invariant du tenseur

de contrainte effective, ( )s~2J est le deuxième invariant du tenseur déviateur de contrainte

effective s~ , ( βα ,f ) sont deux paramètres du critère de compression déterminés à partir des

caractéristiques mécaniques du matériau: la résistance en compression simple cf et la

résistance en compression biaxiale bf .

( ) ( )( )

=−

=−−

=

TfTf cbc

c

c

c

cf

ββββ

ββα

12 ;

21

1

(II.25)

En utilisant des considérations d’équilibre du milieu continu (cercle de Mohr), entre la

contrainte principale majeure et les contraintes exprimées dans un repère quelconque, on

obtient :

( ) ( ) 22 ~~~4

1~~2

1~xyyxyxI σσσσσσ ++++= . (II.26)

Les deux critères peuvent se mettre sous la forme (Feenstra 1993) :

( ) ( ) ( )TfTF xxxx ,~~ , ,~ κτκ −= σσσ (II.27)

où ( )σ~f est une fonction du tenseur de contrainte effective.

La figure II.2, montre une représentation schématique de la surface seuil dans le plan de

contrainte principales en 2D.


-82-

Adoucissement

Critère de Rankine

Ecrouissage

CritèreDrucker-Prager

σ1

σ2

fc0fc ft

Adoucissement thermique

Température Croissante

Adoucissement

Figure II.2 : Tracé du critère de rupture dans le plan des

contraintes principales

Pour prendre en compte l’augmentation de la sensibilité au confinement du béton en

compression avec la température il est nécessaire d’introduire la variation du paramètre cβ

avec la température (Heinfling 1998). La figure II.3 présente les surfaces de rupture

comparées aux surfaces expérimentales relevées par (Kordina & al. 1985). La figure II.4

présente la loi de variation de cβ avec la température (Heinfling 1998)

σ1/fc

Critère défini

Surface de rupture expérimentales

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00

βc = cste

750°C

600°C

450°C

300°C

20°C

σ 2/f

c

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00

Critère défini

Surface de rupture expérimentales

750°C

600°C

450°C

300°C20°C

βc = f(T)

σ1/fc

σ 2/f c

(a) (b)

Figure II.3 : Surfaces de rupture obtenues comparées aux surfaces de rupture Expérimentales

(Kordina & al. 1985) : (a) cβ constante ; (b) cβ variable


-83-

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Température [°C]

βc

Figure II.4 : Loi de variation de cβ avec la température (Heinfling 1998)

En ce qui concerne les écoulements plastiques, une loi associée d’écoulement est utilisée en

traction, par contre une loi non-associée est utilisée en compression pour tenir compte du

comportement dilatant du matériau béton (Chen 1982). Un potentiel plastique est alors

introduit pour pouvoir reproduire la dilatance du matériau observée en compression.

( ) ( ) ( )TIJG ccgc ,~ ~ ~12 κτβα −+= σσs (II.28)

Le paramètre gα est un paramètre matériau choisi d’une manière à bien restituer la

déformation volumique en compression.

Ainsi la loi d'évolution de la déformation plastique est donnée conformément à la proposition

de Koiter (1953) par :

σσε ~~ ∂

∂+

∂∂

= cc

tt

p GF λλ (II.29)

où tλ et cλ représentent respectivement le multiplicateur plastique en traction et en

compression,

où la loi de normalité est adoptée dans le cas de la traction. Sur le plan numérique, cette

expression nécessitera un traitement particulier pour la gestion de l’activation des deux

critères plastiques. Cet aspect sera traité ultérieurement.


-84-

σ1

σ2

fc ft

Fc = 0

Gc (αg = 0.1)

Gc (αg = 0.2)

Ft = Gt

Figure II.5 : Tracé du potentiel plastique dans le plan des

contraintes principales

II-2.5 Lois de comportement du béton à hautes températures

Dans le cadre de la théorie de la plasticité couplée à l’endommagement, le comportement du

matériau est géré par la connaissance de la courbe uniaxiale (ou des courbes uniaxiales) liant

à chaque pas de temps la contrainte nominale à la variable d'écrouissage. De ce fait, il est

important de définir correctement cette courbe afin de décrire au mieux le comportement du

béton aussi bien en traction qu'en compression. Les relations contrainte-déformation du béton

présentées ici ont été établies a priori afin d'être les plus représentatives possibles du

comportement du béton à hautes températures tout en assurant une mise en œuvre numérique

simple.

En ce qui concerne les lois uniaxiales, une relation exponentielle appropriée est utilisée. Elle

s’exprime d’une manière unique pour la traction et la compression sous la forme:

( ) ( ) ( )[ ]xxxxxxxx babaf κκτ 2exp exp10 −−−+= (II.30)

où 0xf est la contrainte limite d’élasticité fonction de la température ( tt ff =0 pour la traction

et cc ff 3.00 = pour la compression), ( ) ( )( )TbTa xx , sont les paramètres du modèle déterminés

à partir des essais uniaxiaux, la constante xa détermine si oui ou non on a un écrouissage

positif après avoir atteint la limite d’élasticité.

- ( )1<ta correspond à un comportement de traction.


-85-

- ( )1>ca correspond à un comportement de compression.

La combinaison des équations (II.21, II.30), nous donne l’expression de la contrainte effective

nécessaire pour exprimer le critère de plasticité dans l’espace effectives.

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

−−−+

Λ−=

−

−

x

x

x

x

b

c

xxxb

c

xxxx

x babaf 210 exp exp1

1~ κκτ (II.31)

Pour maintenir l’objectivité des résultats au niveau structurel, on utilise l’approche de

régularisation par l’énergie de fissuration (Hillerborg 1976) selon laquelle la densité de

l’énergie de fissuration ( )Tgx est liée à l’énergie de fissuration ( )TGx par :

( )c

xx l

TGg = (II.32)

où cl est la longueur caractéristique liée à la taille de zone localisée.

la densité d’énergie de fissuration est donnée par :

∫∞

=0

κτ dg xx (II.33)

t0f

W t

tN

ftg

cf

Wc

cN

fcg

c0f

Figure II.6 : Comportement non-linéaire local : (a) en traction,

(b) en compression

(a) (b)


-86-

II-2.5.1 Identification des paramètres du modèle

La détermination des paramètres du modèle est relativement aisée. Une description de la

méthode pour déterminer les différents paramètres est explicitée ci-après pour le cas d’un

chargement mécanique et thermique.

i. Cas de la traction

Le comportement du béton en traction est supposé élastique jusqu’à sa résistance en traction

0tf . Le comportement post-pic est défini par la connaissance de deux paramètres (tt ba , ).

L’expression mathématique de cette courbe est donnée par l’équation (II.30) qui s’écrit dans

le cas uniaxial sous la forme :

( ) ( ) ( )[ ]tttttttt babaf κκτ 2expexp10 −−−+= (II.34)

Les paramètres tt ba et sont déterminés de sorte que cette courbe reproduise la réponse du

matériau lors de la traction.

L'endommagement de traction étant défini par :

( )ttt cD κ−=− exp1 (II.35)

l’expression de la contrainte effective est alors donnée par l’équation (II.31), comme suit :

( ) ( )( ) ( )( )

−−−+=

−

−

t

t

t

t

b

c

tttb

c

ttttt babaf 210 expexp1 ~ κκτ (II.36)

La densité d’énergie de fissuration est donnée par :

+== ∫

∞

21 0

0

t

t

ttt

a

b

fdg κτ (II.37)

Le paramètre ta pilote le comportement avant le pic (écrouissage positif), en traction ce

paramètre ne représente pas une caractéristique physique car le comportement du béton en

traction est supposé linéaire jusqu'au pic. De ce fait, on peut choisir une valeur fixe pour ce

paramètre (une valeur de 5.0−=ta donne une bonne représentation de la courbe uniaxiale)

et chercher la valeur de tb en se servant de l’équation (II.32) de l'énergie de rupture. En

combinant les équations (II.36, II.37), on obtient :


-87-

+=

210

t

t

ctt

a

G

lfb (II.38)

La détermination du paramètre tc pilotant la loi d’endommagement de traction est réalisée en

spécifiant la valeur d’endommagement dans le cas uniaxial pour une certaine valeur de

contrainte, ceci permet de calibrer ce paramètre en fonction des données expérimentales.

Cette technique d’identification du paramètre tc à partir d’un point expérimental s’avère,

comme il sera montré lors des simulations d’essais uniaxiaux, très efficace pour reproduire

l’endommagement du module sur l’ensemble du processus de fissuration.

Supposons que l’on connaisse la valeur d'endommagement (notée tD ) pour une contrainte

égale à 20tf , et cherchons à déterminer la valeur de la déformation plastique pour cet état de

contrainte (figure II. 7):

σ

ε

0tf

20tf

0E ( ) 01 EDt−Figure II.7 : Comportement uniaxial en traction

La résolution de l’équation (II.34) pour 2

0tt

f=τ permet d’obtenir la valeur de la déformation

plastique correspondante.

( )

+−+−=

t

tt

t

p

a

aa

b 2

11ln

12

ε (II.39)

En combinant les équations (II.35, II.39), on obtient :

[ ]( )

+−+

−=

t

tt

t

t

t

a

aa

D

b

c

2

11ln

1ln2

(II.40)


-88-

Ainsi, une identification de la valeur de l'endommagement tD (correspondant à 2

0tf=σ ), a

été réalisée en utilisant l’essai de traction cyclique figure (II.8) de Gopalaratnam & Shah

(1985) donne.

25.0=tD (II.41)

Cette valeur injectée dans la relation (II.40) permet de calculer la valeur du paramètre tc après

identification des paramètres tt ba et comme déjà spécifié.

0

1

2

3

4

0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005

Déformations (-)

Con

trai

nte

(MP

a)

Figure II.8 : Essai de traction cyclique

(Gopalaratnam & Shah 1985)

ii. Cas de la compression

Le comportement du béton en compression est supposé élastique jusqu’à sa limite d'élasticité

0cf . Après cette limite, le béton présente un comportement écrouissable jusqu'à sa résistance

en compression cf , qui se termine par une branche adoucissante (figure II.5).

L'expression mathématique de la courbe uniaxiale est donnée de façon similaire à celle de la

traction :

( ) ( ) ( )[ ]pcc

pcccc babaf εετ 2expexp10 −−−+= (II.42)

L'endommagement quand à lui est défini par :

( )pcc dD ε−=− exp1 (II.43)

En utilisant l’équation (II.9), la relation contrainte-déformation s’écrit :

( ) ec ED εσ 1 0−= (II.44)


-89-

Par transformations algébriques de l’équation (II.42), le paramètre ca peut être exprimé en

fonction de la résistance en compression cf du béton et sa limite d’élasticité 0cf de la

manière suivante :

( )[ ] ( ) ( )02

00 21 2 ccccccc ffffffa −+−= (II.45)

Par exemple, pour une valeur de cc ff 3.00 = , 2444.11=ca .

En ce qui concerne la détermination du paramètre cb , nous avons recours au même procédé

que celui évoqué précédemment dans le cas de la traction (équation II.38), dans ce cas

l’énergie de rupture en compression est utilisée. Le paramètre cb s’exprime alors sous la

forme :

+=

210

c

c

ccc

a

G

lfb (II.46)

La détermination du paramètre cc pilotant la loi d’endommagement de compression est

réalisée en spécifiant la valeur d’endommagement cD dans le cas uniaxial de compression au

pic (figure II.9) et dans une démarche similaire au cas de la traction.

σ

ε

cf

0cf

( ) 01 EDc−mε

Figure II.9 : Comportement uniaxial en compression

La résolution de l’équation (II.42) pour cc f=τ permet d’obtenir la valeur de la déformation

plastique correspondante.

+−=

c

c

c

p

a

a

b 2

1ln

1ε (II.47)


-90-

le paramètre cc pilotant la loi d’endommagement de compression peut être lié au paramètre

cb de la courbe uniaxiale en utilisant l’équation (II.43), comme suit :

[ ]

+−

=

c

c

c

c

c

a

a

D

b

c

2

1ln

1ln(II.48)

Il est à noter qu’en combinant les équations (II.43, II.44 et II.47), nous pouvons obtenir une

nouvelle relation liant le paramètre cb à la déformation au pic mε .

( )

−

−

+

=m

c

c

c

c

c

ED

f

a

a

b

ε0 1

2

1ln

(II.49)

Vu la forme particulière de la courbe uniaxiale, il est impossible de caler le paramètre cb en

fonction de l’énergie de rupture en compression cG et de la déformation au pic mε

simultanément. Nous utilisons donc la relation (II.46) pour identifier le paramètre cb (sauf

dans le cas où le paramètre énergie de rupture n’est pas mentionné).

En ce qui concerne l’identification de la valeur de l'endommagement cD au pic, l’essai de

compression cyclique (figure II.10) de Karsan & Jirsa (1969) donne une valeur,

18.0=cD (II.50)

0

5

10

15

20

25

30

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005

Déformations (-)

Con

trai

nte

(MP

a)

Figure II.10 : Essai de traction cyclique

(Karsan & Jirsa 1969)


-91-

En utilisant les paramètres précédemment établis, la réponse du modèle en traction simple est

représentée à titre d’illustration par la figure (II.11), nous pouvons remarquer que l’évolution

de l’endommagement est étroitement lié au développement de la plasticité dans le régime

adoucissant.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001

Déformations

Con

trai

nte

/ Rés

ista

nce Contrainte réelle

Contrainte effective

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001

Déformations

End

omm

agem

en

Figure II.11 : Réponse du modèle en traction et évolution

de l’endommagement correspondant

La réponse du modèle en compression simple est représentée par la figure (II.12). Nous

pouvons faire les mêmes remarques que dans le cas de la traction. La réponse montre

cependant un endommagement pré-pic à partir de 3cf=σ .


-92-

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01

Déformations

Con

trai

nte

/ Rés

ista

nce Contrainte réelle

Contrainte effective

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01

Déformations

End

omm

agem

en

Figure II.12 : Réponse du modèle en compression et évolution

de l’endommagement correspondant

iii. Cas d’un chargement thermique

Dans le cas de la thermique, les paramètres du modèle sont détermines de la même manière

que dans le cas d’un chargement mécanique. A la différence que cette fois-ci, on introduit la

variation des différentes caractéristiques mécaniques avec la température.

- En ce qui concerne la traction à haute température, le comportement du béton à la

température T est considéré élastique jusqu’à sa résistance en traction ( )Tft0 . Le

comportement post-pic est défini par la connaissance de deux paramètres (( ) ( )TbTa tt , ).

Le paramètre ta , comme on l’a vu précédemment, ne représente pas une caractéristique

physique du comportement. Ce paramètre est considéré indépendant de la température. Le

paramètre tb quant à lui, est donné par l’équation (II.32), dans laquelle l’énergie de

fissuration tG et la résistance en traction sont fonction de la température, comme suit :


-93-

( ) ( ) ( )

+=

210

t

t

ctt

a

TG

lTfTb (II.51)

Peu d’auteurs se sont intéressés à l’étude de la variation de la longueur caractéristique cl avec

la température. Di Prisco & al. (1997) se sont récemment intéressés à l’évaluation de cette

dimension à partir d’essais réalisés à hautes températures sur des spécimens de béton à hautes

performances. Il s’agit à notre connaissance de la seule étude réalisée sur cet aspect du

comportement du béton. Du fait de la rareté des études experimentales présentées, nous ne

disposons pas d’information sur la sensibilité de l’evolution de ce paramètre aux conditions

thermiques, hydriques et mécaniques des essais. De ce fait, la longueur caractéristique est

supposée indépendante de la température.

La détermination du paramètre tc se fait de la même manière qu’en (II.48). Le paramètre cD

dans cette équation représentant la mesure de l’endommagement au pic de contrainte et

supposé indépendant de la température.

La détermination de ce paramètre se fait à partir de la connaissance de la courbe de

compression cyclique à 20°C. Cela signifie qu’on suppose que l’endommagement

supplémentaire observé à haute température est dû à l’endommagement thermique TΛ ,

comme dans le cas de la traction.

σ

ε

( )Tft0

( )2

0 Tft

0E

( )( ) 011 ED Tt Λ−−

Courbes à :20°CT

Figure II.13 : Comportement uniaxial en traction

à différents températures.

- En ce qui concerne la compression à haute température, le comportement du béton est

supposé élastique jusqu’à sa limite d’élasticité ( )Tfc0 . Après cette limite, le béton présente un


-94-

comportement écrouissable jusqu’à sa résistance en compression ( )Tfc , qui se termine par

une branche adoucissante.

Le paramètre ca est donné par l’équation (II.45) comme dans le cas du béton à température

ambiante. Le paramètre cb quant à lui, est donné par la connaissance de la variation de

l’énergie de rupture (équation II.46) sous la forme :

( ) ( ) ( )

+=

210

c

c

ccc

a

TG

lTfTb (II.52)

Une autre relation peut être obtenue en utilisant l’équation (II.8) comme suit :

( ) ( )( )( ) ( )

−

Λ−

+

=T

ED

Tf

a

a

Tbm

Tc

c

c

c

c

ε0 -11

2

1ln

(II.53)

Dans cette relation le paramètre cb est lié à l’endommagement thermique TΛ atteint à la

température T .

La détermination du paramètre tc se fait de la même manière qu’en (II.40). Le paramètre tD

dans cette équation représentant la mesure de l’endommagement pour une contrainte égale à

20tf est supposé indépendant de la température et est déterminé à partir de la connaissance

de la courbe de traction cyclique à 20°C. Cela signifie qu’on suppose que l’endommagement

supplémentaire observé à haute température est due à l’endommagement thermique TΛ .

σ

ε

( )Tfc

( )Tfc0 ( )( ) 01 1 ED Tc Λ−−mε

Courbes à :20°CT

Figure II.14 : Comportement uniaxial en traction

à différentes températures.


-95-

II-2.5.2 Influence des paramètres du modèle

Nous allons mettre en évidence dans ce paragraphe l’influence des divers paramètres du

modèle sur la réponse contrainte-déformation ; notamment en terme d’évolution de

l’endommagement et de représentation de l’effet unilatéral. La connaissance du rôle de

chaque paramètre doit permettre une identification plus précise de la réponse du modèle et de

la sensibilité de celle-ci à ce paramètre.

i. Paramètres d’endommagement

Nous allons nous intéresser ici aux paramètres d’endommagement du modèle, pour la

simulation d’essais de traction directe et d’essais de compression directe. Ce type de

chargement permet en effet de comprendre directement l’effet de chacun des paramètres sur la

réponse en contrainte-déformation.

La figure (II.15-a) montre la réponse en compression pour 3 valeurs différentes du paramètre

d’endommagement cD rentrant dans la définition du coefficient cc , gérant la loi d’évolution

de l’endommagement de compression. La figure (II.15-b) quant a elle montre la réponse en

traction pour 3 valeurs différentes du paramètre d’endommagement tD rentrant dans la

définition du paramètre tc , gérant la loi d’évolution de l’endommagement de traction.

(a) (b)

0

5

10

15

20

25

30

35

0 0,001 0,002 0,003

Déformations

Con

trai

nte

(MP

a)

0,18

0,3

0,05

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,0001 0,0002 0,0003

Déformations

Con

trai

nte

(MP

a)

0,1

0,25

0,4

Figure II.15 : Influence du paramètre cD en compression (a) et

du paramètre tD en traction (b)


-96-

Des figures précédentes, on remarque qu’une augmentation du paramètre d’endommagement

de compression cD ou du paramètre d’endommagement de traction tD donnera une réponse

plus fragile sur les courbes contraintes-déformation correspondantes. Cependant la variation

est moins sensible dans le cas de la traction. Nous allons maintenant regarder l’influence du

paramètre lié à la refermeture de fissures.

ii. Paramètre lié à la fermeture de fissure

La figure (II.16) présente la réponse contrainte-déformation lors du passage de la traction à la

compression pour différentes valeurs du paramètre 0p .

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025 0,0003 0,00035

Déformations

Con

trai

nte

(MP

a)

Valeur de P00

0,10,40,81

Figure II.16 : Influence du paramètre 0p sur le passage

Traction-compression

Nous pouvons remarquer que selon la valeur prise par le paramètre 0p , le phénomène de

restitution de la raideur est différent. Une valeur zéro du paramètre de fermeture de fissure 0p

a pour conséquence une restitution complète de la raideur, alors qu’une valeur unitaire de

celui-ci a pour conséquence une non restitution de la raideur, le modèle conservera la raideur

endommagée acquise en traction lors du passage à la compression. Ce paramètre représente

en quelque sorte le pourcentage des micro-fissures restreint à rester ouvertes.

La figure II.17, présente une simulation du comportement du béton avec un cycle complet de

traction-compression. La valeur adoptée du paramètre de refermeture est 1.00 =p


-97-

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

-0,0016 -0,0012 -0,0008 -0,0004 0 0,0004

Déformation

Con

trai

nte

(MP

a)

O

AB

C

D

E

F

G

FigureII.17 : Simulation d’un essai traction-compression

Le résultat obtenu par le modèle et présenté à la figure III.17 valide la capacité du modèle à

décrire ce phénomène unilatéral. Lors de la décharge en traction (chemin B-C) et du passage à

la compression (chemin C-D). L’effet unilatéral se manifeste par une augmentation de la

raideur.

II-2.5.3 Bilans

Afin de conclure quant à la description du modèle précédemment développé, nous allons

dresser un bilan récapitulatif des paramètres introduits. Nous parlons de leur identification

dans le cas général d’un chargement thermo-mécanique.

Le modèle thermo-plastique endommageable proposé offre l’avantage de ne faire intervenir

que 15 paramètres, dont la plupart sont facilement identifiables (par des procédures

classiques) et leurs évolutions respectives avec la température.

Paramètres

ν ,E , c ,, βtc ff caractéristiques matériau

gα comportement dilatant

ct DD , endommagement

0p phénomène unilatéral

α thermique

γβ ,0 interaction thermo-mécanique

ct GG , cl régularisation (Hillerborg 1976)


-98-

A l’exception de la longueur caractéristique uniquement liée aux caractéristiques

géométriques des éléments du maillage du fait de la régularisation adoptée, ces paramètres

sont tous identifiables à partir d’essais expérimentaux. L’identification expérimentale des

variations de ces paramètres avec la température est délicate. Les résultats des essais de

caractérisation sont en effet très fortement dépendant des conditions thermiques, hydriques et

mécaniques appliquées (vitesse de chauffage, confinement hydrique ou non, charge appliquée

pendant le chauffage ...). Les procédures d’essai utilisées doivent reproduire le plus

précisément possible les conditions dans lesquelles se trouve le béton au sein d’une structure.

L’identification expérimentale des lois de variations de certains paramètres font l’objet de

recommandations générales proposées par le comité TC129 MHT de la RILEM (RILEM

1997).

Dans ces recommandations différentes conditions d’essais à appliquer, selon le type de

structure à étudier sont proposées, afin de se rapprocher le plus possible des caractéristiques

réelles du matériau. Nous donnons ici quelques indications permettant d’évaluer les valeurs

initiales de ces paramètres et les lois de variations pour des bétons courants.

- Module d’élasticité ( )θE

Les variations de ce paramètre avec la température peuvent être identifiées par la réalisation

d’essais classiques de compression à différentes températures. Les règles de calcul P92-701

(1993) ainsi que l’EUROCODE4 (1994) proposent des lois de variations de ce paramètre avec

la température pour des bétons courants.

- Coefficient de poisson ( )θν

Les variations de ce paramètre avec la température ne sont pas parfaitement connues à l’heure

actuelle. Khennane & Baker (1992) ont testé différentes lois de variations de ce coefficient

avec la température lors de la simulation d’essais biaxiaux à hautes températures (Ehm &

Schneider 1985, Kordina & al. 1985). Les résultats obtenus ne mettent pas en évidence un

apport significatif de l’utilisation d’un coefficient de Poisson variable avec la température sur

la précision des résultats obtenus. Nous utilisons donc un coefficient de Poisson constant dont

la valeur est généralement comprise entre 0,1 et 0,2.


-99-

- Résistance en compression uniaxiale ( )θcf

Les variations de ce paramètre avec la température peuvent être identifiées par des essais

classiques de compression uniaxiale sur des spécimens en béton à différentes températures.

Les règles de calcul P92-701 (1993) ainsi que l’EUROCODE4 (1994) proposent des lois

générales de variations de ce paramètre avec la température pour des bétons courants.

- Rapport de la résistance en compression biaxiale à la résistance en compression

uniaxiale ( )θβ c

La loi de variation de ce paramètre avec la température peut être obtenue à partir d’une série

d’essais biaxiaux isothermes à haute température tels que ceux réalisés par Ehm & Schneider

(1985) ou Kordina & al (1985).

- Résistance en traction uniaxiale ( )θtf

Les variations de ce paramètre avec la température peuvent être identifiées par des essais

classiques de flexion ou de traction directe sur des spécimens en béton à différentes

températures. Les règles de calcul P92-701 (1993) ainsi que l’EUROCODE4 (1994)

proposent des lois générales de variations de ce paramètre avec la température pour des

bétons courants.

- Energie de fissuration ( )θtG


actuelle. Quelques études (Bazant & Prat 1988, Baker 1996, Heinfling & al. 1997) semblent

indiquer une diminution significative de ce paramètre avec la température au delà de 300°C.

En l’absence de données expérimentales précises, nous utilisons une valeur constante de ce

paramètre sauf dans le cas où il est donné.

L’identification de celle-ci à température ambiante fait l’objet d’une recommandation par la

RILEM (RILEM TC 50-FMC, 1985). Le comité Européen du béton propose une règle

empirique (CEB-FIP model code 1990):

7.03 10 cft faG −= (II.54)

où fa est un coefficient fonction de la taille du plus gros granulat maxd .


-100-

maxd :(mm) fa

8 4

16 6

32 10

Tableau II.1: Coefficient fa pour l’estimation de fG

Pour des bétons courants, l’application de cette formule conduit à des valeurs de fG

comprises entre 0,05 et 0,2 Nmm/mm2.

- Energie de rupture en compression ( )θcG


actuelle. En l’absence de données expérimentales précises, nous utilisons une valeur constante

de celui-ci. Les résultats obtenus par Vonk (1992) indiquent des valeurs comprises entre 10 et

25 Nmm/mm2, ce qui correspond à 50 à 100 fois la valeur de l’énergie de fissuration du

béton.

- Coefficient de dilatation thermique ( )θα

L’identification objective de ce paramètre est réalisée par l’intermédiaire d’un essai de

dilatation libre d’un spécimen en béton. Les conditions optimales d’essais pour différentes

applications font l’objet de la recommandation RILEM TC 129 MHT, Part 6: "Thermal strain,

for service and accident conditions", Draft n°11, May 1997. Une loi couramment adoptée (De

Borst & Peeters 1989, Khennane & Baker 1992) consiste en une valeur constante entre 0 et

400°C, puis une valeur constante égale au double de la valeur initiale entre 400°C et 800°C.

- Coefficient d’interaction thermo-mécanique γβ ,0

L'identification de ces paramètres peut être réalisée à partir d’essais expérimentaux durant

lesquels un spécimen en béton est chauffé sous charge constante. Les conditions optimales

d’essais pour différentes applications font l’objet de la recommandation RILEM TC 129

MHT: Part 7: Transient Creep, for service and accident conditions, Draft n°9, March 1997. Ici

ces paramètres sont considérés comme constants avec la température. Nous rappelons que le

phénomène d’interaction thermo-mécanique se produit uniquement durant le premier


-101-

chauffage. Il ne se produit pas pendant le refroidissement ni lors d’une seconde phase

immédiate de chauffage jusqu’à la température maximale atteinte durant le premier cycle. Ce

coefficient est donc mis à zéro durant ces phases.

- Longueur caractéristique cl

Une estimation très simple a été proposée par Rots (1988) pour les cas bidimensionnels:

ec Arl = (II.55)

où eA est l’aire de l’élément considéré et r est un facteur correcteur égal à 1 pour les

éléments quadratiques et à 2 pour les éléments linéaires. En pratique cette estimation

convient pour des éléments de forme régulière mais peut s’avérer insuffisante pour des

éléments de forme quelconque, de plus en plus répandus dans les maillages non-structurés.

Millard (1996) propose une méthode permettant de corriger cette estimation en fonction de la

forme de l’élément.

- Endommagement en traction tD

L’identification de ce paramètre est réalisée par l’intermédiaire d’un essai de traction cyclique

(Gopalaratnam & Shah 1985). Les données expérimentales concernant le comportement

cyclique en traction du béton sont rares. On considère que ce paramètre ne varie pas avec la

température. Une valeur de 25,0=tD est choisie pour effectuer la plupart des validations.

- Endommagement en compression cD

L’identification de ce paramètre est réalisée par l’intermédiaire d’un essai de compression

cyclique (Karsan & Jirsa 1969). Comme pour le cas de la traction, ce paramètre ne varie pas

avec la température. Une valeur de 18,0=cD est choisie pour effectuer la plupart des

validations.

- Paramètre de refermeture de fissure 0p

L’identification de ce paramètre est réalisée par l’intermédiaire d’un essai de traction-

compression cyclique (Ramtani 1990, Reinhardt & Corneilessen 1984). Comme pour les deux

paramètres d’endommagement, il est très difficile de réaliser des essais de traction-


-102-

compression cycliques à haute température. On considère que ce paramètre ne varie pas avec

la température.

- Paramètre du potentiel plastique gα

Ce paramètre peut être calibré à partir d’un essai de compression biaxiale. Il est à noter que

celui-ci peut s’exprimer en fonction du taux de la déformation plastique volumique pvε

comme suit :

ppv αλε 3 = (III.56)

Ce paramètre est choisi pour mieux représenter la dilatance. Dans le cas de variation de

température, on considère que la forme globale du potentiel plastique reste fixe, elle subit

juste une contraction isotrope par rapport au potentiel plastique initial. Ce choix nous permet

de considérer que ce paramètre n’est pas dépendant de la température. Une valeur 2.0=pα

identifiée numériquement à partir des essais de Kupfer & al. (1969) sera utilisée dans le reste

de cette étude.


-103-

II-3 INTEGRATION DU MODELE DANS UN CODE DE CALCUL

ELEMENT FINIS

Dans ce paragraphe, les équations différentielles non-linéaires pour le modèle thermo-élasto-

plastique endommageable présentées au paragraphe précédent sont résolus numériquement en

utilisant la méthode des Eléments Finis. Dans le cadre de cette méthode, fondée sur une

approche en déplacements, la structure est discrétisée en éléments pour lesquels une relation

entre les forces et les déplacements nodaux est établie. L’assemblage des éléments conduit à

un système d’équations traduisant l’équilibre de la structure. La réponse de celle-ci est

calculée suivant un processus incrémental dans lequel le chargement total est appliqué en

plusieurs pas reproduisant son historique. Supposons la structure en équilibre au temps nt , les

équations d’équilibre doivent être résolues au temps 1+nt . Celles-ci sont en général non-

linéaires et leur résolution passe par un processus itératif.

L’objectif principal de ce paragraphe est donc de décrire les méthodes de résolution des

équations non-linéaires d’équilibre pour la mécanique et les équations de thermique

transitoire utilisées dans le code de calcul CAST3M du C.E.A. (Millard 1993) et de donner les

grandes lignes de l'algorithme général d’intégration des lois constitutives données par le

modèle.

II-3.1 Description du problème thermo-mécanique

Dans le cadre de la thermodynamique des milieux continus, notre problème est gouverné par

l’ensemble des équations d’équilibre et de conservation d’énergie :

( )( ) q

0

)(

)(

bdive

adiv

−=⋅

=

ε:σ

σρ

(II.57)

où σσ est le tenseur de contraintes, ε le tenseur de vitesses de déformation, e le taux

d’énergie interne, ρ la masse volumique du matériau et q le vecteur flux de chaleur donné

par la loi de Fourier,

gradTc λ−=q (II.58)

où cλ représente le coefficient de conductivité thermique.


-104-

Il est à noter qu’en général, l’ensemble des variables thermiques et mécaniques intervenant

dans ce système d’équations sont couplées. La conductivité thermique par exemple dépend

fortement de la porosité. On peut donc penser, introduire une conductivité thermique

dépendant de la variable d’endommagement totale définie précédemment.

( )dcc λλ = (II.59)

Néanmoins, peu de données expérimentales sont disponibles pour quantifier l’effet du

chargement thermo-mécanique sur la conductivité. Cela peut s’expliquer par la complexité et

la simultanéité des phénomènes physiques et chimiques se produisant au sein du béton lors

d’un chargement thermo-mécanique combiné (Bazant & Kaplan 1996).

Nous nous orientons donc vers un traitement découplé du système d’équations (II.57). Ce

problème thermo-mécanique est donc séparé en deux étapes : la première consiste à résoudre

l’équation de la chaleur au sein de la structure. Cette étape, dans le cas du béton soumis à

haute températures, prend en compte les variations des caractéristiques thermiques de ce

matériau avec la température. Ensuite, un second calcul est mené dans lequel les distributions

de température sont des données du problème à chaque pas(figure II.18).

nnnn

n

D

T

, , , Λεεσσ nnnn

n

D

T

, , , 1

1

+

+

Λεεσσ 1111

1

, , , ++++

+

Λ nnnn

n

D

T

εεσσ

Calcul

Thermique

Calcul

Mécanique

Figure II.18 : Représentation schématique du traitement

découplée des équations (II.54)

où l’indice n correspond au numéro du pas de temps. Dans la plupart des situations de

structures en béton soumises à de hautes températures, cette approche adoptée par de

nombreux auteurs apparaît satisfaisante (Franssen 1987, De Borst & Peeters 1989, Khennane

& Baker 1992, Heinfling 1998). On peut signaler qu’il est nécessaire de rester attentif au

choix du maillage ainsi que la discrétisation temporelle qui peuvent ne pas être identiques

pour les deux calculs, thermique et mécanique, compte tenu des conditions aux limites de

chargement et des algorithmes de résolution différents employés dans les deux cas (Bliard &


-105-

al. 1995, Heinfling 1998). Ce choix peut engendrer une perte de précision ou d’informations

ou des dispersions numériques. Dans cette étude, nous nous sommes efforcés de limiter les

pertes de précisions occasionnées dans les différents cas d’applications réalisés.

L’analyse complète du problème thermo-mécanique à résoudre passe, comme nous l’avons vu

dans un premier temps, par la résolutions d’un problème thermique transitoire prenant en

compte les variations des caractéristiques thermiques du béton avec la température puis la

résolution du problème mécanique. Dans ce qui suit, on verra avec plus de détails ces deux

algorithmes.

II-3.2 Résolutions numériques du problème thermique

Soit un volume Ω de masse volumique ρ soumis à chaque instant t de l’intervalle total de

temps [ ]1 ,0 t à un flux de chaleur q sur une partie de sa frontière, à une source volumique de

chaleur notée r (par effet de Joule ou réaction chimique) ainsi qu’à un champ de température

T sur la partie complémentaire de sa frontière (voir figure II.19).

q

cq

rq

TT1Ω∂

T2Ω∂

T3Ω∂

T4Ω∂

Ω

r

Ω∂=Ω∂∪Ω∂∪Ω∂∪Ω∂ TTTT4321

et

∅=Ω∂∩Ω∂∩Ω∂∩Ω∂ TTTT4321

Figure II.19 : Problème thermique de référence

Dans le code de calcul aux élément finis CASTEM2000 (Jeanvoine & De Gayffier 1995), le

problème thermique transitoire non-linéaire est gouverné par la loi de diffusion de la chaleur

suivante :

rt

H =∇+∂

∂q. (II.60)


-106-

où H représente l’enthalpie volumique du système. Comme nous l’avons décrit dans le

chapitre précédent, ces propriétés dépendent de la température. On peut donc écrire :

TcTcTT

H

t

Hp

==∂∂=

∂∂ ρ (II.61)

où pc est la chaleur massique du béton et c représente sa capacité calorifique. En remplaçant

l’équation (II.61) dans l’équation (II.60), on obtient :

rTc =∇+ q. (II.62)

L’équation (II.62) est résolue par une méthode de Galerkin. Les conditions aux limites dans

un problème de diffusion de la chaleur sont de quatre types :

9 Une condition au limite de type Dirichlet (température imposée T ) sur la surface T1Ω∂ .

9 Trois conditions aux limites de type Newmann représentant respectivement :

i. Une condition de convection sur T2Ω∂ , tel que le flux de chaleur sur cette zone est

régit par l’équation : ( )ec TThq −= ,

ii. Une condition de rayonnement sur T3Ω∂ , tel que le flux de chaleur d’origine radiative

émis par cette zone est donné par la loi de Stephane-Boltzmann :

( )44 er TTq −−= ξϕ ,

iii. Une condition de flux de chaleur imposé sur T4Ω∂ ( qq = ).

où h et eT représentent respectivement le coefficient d’échange convectif et la température

extérieure correspondant à la surface T2Ω∂ .

ξ et ϕ représentent le facteur d’émission et la constante de Stephan.

La formulation variationnelle faible de l’équation de la chaleur s’exprime sous la forme :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ∫∫∫

∫∫∫∫

ΩΩ∂Ω∂

Ω∂Ω∂ΩΩ

Ω=+−

+−++Ω∇∇+Ω

drTdSTdSTTT

dSTThTdSTdTTdTcT

TTe

T

eT

fTT

cT

TT

TT

..

43

21

44 δδξϕδ

δδλδδ

q

q

(II.63)

où Tδ représente une fonction virtuelle du champ de température et fq , le flux de chaleur

(inconnu) correspondant au champ de température (connu) sur la frontière T1Ω∂ , donné

conformément à la loi de Fourier :


-107-

Tgradcf λ−=q (II.64)

La densité de flux de chaleur d’origine radiative émise par la surface 3Γ , peut être ramenée à

une condition aux limites de type convection en effectuant l’approximation suivante :

( ) ( )( )323344 eeee TTTTTTTT ++−=− ∗∗ (II.65)

Cette approximation n’est évidemment valable qu’au voisinage de ∗T .

La discrétisation du champ de température sur un élément fini de type C0, nous donne :

TT δδ NN == TT δ ; (II.66)

TT BN =∇=∇ T (II.67)

où N est la matrice des fonction de forme. T T δδet représentent respectivement le vecteur

variables nodales du champ de température et le vecteur variable nodales du champ virtuel de

température Tδ .

En remplaçant cette discretisation dans l’équation (II.63), on obtient :

( ) ( ) fK =+ T TCT T (II.68)

où

( )

Ω−−−=

Ω=

++Ω=

∫∫∫∫

∫

∫∫∫

ΩΩ∂Ω∂Ω∂

Ω

Ω∂

∗

Ω∂Ω

drdSqdSqdSTh

dc

dSTdShd

TTT

TT

fe

T

TTTc

412

32

NNNN f

NN

NN NN BB K3

C

ξϕλ

(II.69)

Deux types d’algorithmes sont disponibles dans CAST3M du C.E.A. (Millard 1993) pour la

résolution numérique du système (II.69).

- Un schéma d’intégration classique à un pas de temps non itératif est proposé (Theta-

méthode). Celui-ci s’avère être inconditionnellement stable.

- Un schéma à deux pas de temps est également disponible (Dupont). Celui-ci offre des

propriétés de stabilité et de précision intéressantes pour la résolution de ce type de

problème. De plus, Hogge (1981) a constaté sur différents exemples, une très bonne


-108-

précision des résultats obtenus et très peu d’oscillations. Ces observations sont

valables pour de grands pas de temps et pour des variations rapides des

caractéristiques thermiques du matériau avec la température, telles que celles

engendrée par un changement de phase sur la chaleur massique.

Comme nous l’avons vu dans le chapitre I, la modélisation du comportement thermique du

béton à hautes températures peut nécessiter la prise en compte d’une variation rapide de la

chaleur de ce matériau à certaines températures. Ce type d’algorithme est donc

particulièrement adapté à notre problème.

II-3.3 Résolution numérique du problème mécanique

Considérons maintenant le même volume Ω en équilibre au temps 1+nt , soumis à des forces

de volume df ainsi qu’à des efforts surfaciques dF sur une partie de sa frontière notée M2Ω∂

et à des déplacements imposés du sur la partie complémentaire M1Ω∂ (voir figure II.17).

Ω

dF

df

du

M1Ω∂

M2Ω∂

Ω∂=Ω∂∪Ω∂ MM21

et

∅=Ω∂∩Ω∂ MM21

Figure II.20 : Problème mécanique de référence

La formulation variationnelle faible du principe des déplacements virtuels s’exprime, par

l’intermédiaire du résidu (Bathe & Wilson 1976) :

( ) ( )11int

++ −=Φ next

n tFF u (II.70)

où u est le vecteur des déplacements. intF et ( )1+next tF correspondent respectivement au

vecteur des forces internes et à celui des forces externes, qui s'expriment par:


-109-

Ω= +Ω∫ d n

T1

int σBF (II.71)

Ω+= ∫∫ΩΩ∂

df dSF dT

dText

M

NN2

F (II.72)

où B est la matrice opérateur différentiel liant le tenseur de déformation 1+nε au vecteur

déplacement 1+nu , tel que:

11 ++ = nn u Bε (II.73)

La contrainte au temps 1+nt est donnée par:

( )1111 , , ++++ += nnnnn Tf σσσ u Bσ (II.74)

La fonction σf , est une fonction fortement non-linéaire fonction de l'état du point de charge

dans l'espace contrainte-déformation.

L'équilibre du volume Ω est défini à partir de:

0=Φ (II.75)

La résolution de ce problème est réalisés par une méthode itérative de type Newton-Raphson.

A chaque itération (i), le problème linéarisé suivant est résolu:

( )( )i

i

nd

d Φ−=δ

Φ

+

uu 1

(II.76)

où la dérivée du résidu est donnée par l'expression suivante:

Ω=

Ω=Φ

+

+

Ω

+

+

+

+

Ω+

∫

∫

dd

d

dd

d

d

d

d

d

n

nT

n

n

n

nT

n

BB

uB

u

1

1

1

1

1

1

1

εσ

εεσ

(II.77)

jusqu’à ce que Φ devienne nul à une précision près. Dans la double notation employée,

l’indice 1+n correspond à l’incrément du temps et l’exposant (i ) correspond à l’itération

dans l’incrément.

L'algorithme de résolution de l'équation non-linéaire (II.77), pour 1+nu peut alors être décrit

par le tableau suivant:


-110-

0. ( )nn uu =+

01

1. ( ) ( ) extn

extn

ext tt FFF ∆+=+1

2. ( )inn 11 ++ = u Bε

3. Evaluation de l'état de contrainte 1+nσ4. Ω= +

Ω∫ d n

T1

int σBF

5. ( ) ( ) ( )11int

++ −=Φ next

ni tFF u

6. Test de convergence:

Si ( ) ≤Φ i Tolérance, alors l'équilibre global est satisfait. Sinon

7. Evaluation de:( )

( )ii

nd

d Φ−=δ

Φ

+

uu 1

pour uδ

8. ( ) ( ) uuu δ+= +++

in

in 1

11

9. Pas suivant:1+= ii , aller à (2)

Tableau II.2 : Algorithme de résolution du système non linéaire global

Il est à noter qu'à l'étape (3), un nouveau processus d'itération peut être nécessaire pour

obtenir l'état admissible de contrainte, ce processus est appelé processus d'itérations internes

et fait l’objet de notre travail décrit dans le paragraphe suivant.

II-3.4 Intégration des équations constitutives du modèle

Quelque soit l’algorithme de résolution du système non-linéaire global, l’étape locale

d’intégration de la loi de comportement demeure un point clé du calcul. Dans un code

éléments finis classique basé sur une approche en déplacement, elle permet de calculer en

chaque point de Gauss les efforts internes à partir du champ de déplacement prédit à chaque

itération. Il est à noter que la précision de cette intégration conditionne d’une manière

significative la qualité ainsi que l’efficacité de la résolution globale.

En se plaçant dans le cadre général de la plasticité couplée à l’endommagement, les équations

à résoudre se résument à calculer toutes les variables internes de la loi de comportement au


-111-

temps 1+nt connaissant l’état du matériau au temps nt . On intègre à 1+nε fixe et on cherche

1+nσ :

( )1111111 , , , , , +++++++ = nnntmn

pnnn TDf κκεεεσ (II.78)

Dans ce qui suit, on présentera l’application de l’algorithme du type retour radial (ou return

mapping) à notre modèle (voir la figure II.21). Cet algorithme est basé sur le principe d’une

prédiction élastique de la contrainte puis une correction plastique. Les corrections plastiques

sont apportées en utilisant les propriétés de la surface seuil, dont principalement la loi de

normalité (Ortiz & Simo 1986).

001 >+nF

nσσ01

1 =++i

nF

11

++

inσσ

01+nσσ

nσσ

01+nσσ

11

++

inσσ

>

>

+

+

0

00

1 ,2

01 ,1

n

n

F

F

=

=+

+

++

0

01

1 ,2

11 ,1

in

in

F

F

(a) (b)

Figure II.21 : Algorithme de retour radial : (a) cas d’une seule surface de charge,

(b) cas d’une surface multicritère

Commençons tout d’abord par faire un récapitulatif des choix effectués en matière de critère

de charge, de potentiel plastique et de la loi d’écrouissage.

Comme on a vu précédemment, le critère de charge dans notre cas est une surface multicritère

formée de deux surfaces, un critère de Rankine noté 1F pour représenter la zone de traction et

un critère de Drucker-Prager noté 2F , pour la zone de compression.

Dans le cas où il s'agit d'un problème de contrainte plane, la condition 0=zσ est obtenue sur

les conditions d'équilibre en imposant la condition de contrainte plane dans l'algorithme


-112-

présenté par de Borst (1991). Les composantes des tenseurs de contraintes et de déformation

sous forme vectorielle sont respectivement:

xyzyxT σσσσ ,,,=σ (II.79)

xyzyxT εεεε ,,,=ε (II.80)

Les deux critères précédemment définis peuvent s’écrie sous forme vectorielle de la façon

suivante :

( ) ( )( )[ ] ( )

−+==

−+==

TFF

TFFT

fT

c

TTt

,~~ ~~21

,~~21~~21

222

21

22

111

21

11

κτβα

κτ

σπσσ

σπσσ

P

P(II.81)

où 1P et 2P représentent les matrices de projections données par:

−

−

=

2000

0000

002121

002121

1

P (II.82)

et

−−−−−−

=

6000

0211

0121

0112

2

P (II.83)

T1π et T

2π représentent quand à eux les vecteurs de projections données par :

0 ,0 ,1 ,11 =Tπ (II.84)

0,1,1,12 T =π (II.85)

1~τ et 2

~τ représentent respectivement la contrainte effective équivalente en traction simple,

fonction du paramètre d'écrouissage 1κ et de la température T et la contrainte équivalente en

compression simple fonction du paramètre d'écrouissage 2κ et de la température T .


-113-

Les deux paramètres du critère ( )βα ,f sont alors, déterminés à partir des caractéristiques

mécaniques du matériau: résistance en compression simple cf , résistance en traction simple

tf et la résistance en compression biaxiale bf .

c

cf β

βα

21

1

−−

= (II.86)

12 −=

c

c

ββ

β (II.87)

( )cbc ff=β (II.88)

En ce qui concerne la loi d'évolution de la déformation plastique, celle-ci est donnée par la

connaissance des fonctions potentielle plastique (21 ,GG ) et est donnée conformément à la

proposition de Koiter (1953) par :

∑= ∂

∂=

2

1~

i

ii

p G

σε λ (II.89)

où iλ est le multiplicateur plastique. Ainsi les conditions de Kuhn-Tucker doivent être

satisfaits.

0 et 0 ,0 =≤≥ iiii FF λλ (II.90)

Les fonctions potentielles plastiques, quant à elles, s’écrivent sous la forme suivante:

( )[ ] ( )

−+==

==

TGG

FGGT

gT

c

t

,~~ ~~21 222

21

22

11

κτβα σπσσ P(II.91)

où gα représente un paramètre matériau choisi de manière à bien représenter la dilatance du

matériau.

De plus, le paramètre d’écrouissage κ est égal à l’intégration dans le temps durant le

chargement de la déformation plastique cumulée κ donnée par :

( ) pTp ε:ε

3

2=κ (II.92)


-114-

∫= dt κκ (II.93)

Dans le cas où deux critères sont actifs, la loi d’écrouissage peut être exprimée sous la forme

générale :

λλ

Lq =

=2

1

κκ

(II.94)

avec

=

2221

1211

LL

LLL et

=2

1

λλ

λλ (II.95)

En faisant l’hypothèse de découplage ( 02112 == LL ) des écrouissages en traction et en

compression, la loi d'écrouissage précédemment définie s'écrit :

=

2

1

22

11

2

1

0

0

λλ

κκ

L

L(II.96)

avec

( )

+=

=

21

121

22

11

gL

L

α(II.97)

obtenus pour les deux potentiels plastique iG adoptés par le biais du terme σ~∂

∂ iG.

Il est important de noter que l’utilisation de l’hypothèse de la déformation plastique cumulée

trouve sa justification dans la simplicité de la relation paramètre d’écrouissage-multiplicateur

plastique. Dans notre cas (écoulement non-associée en compression), l’utilisation de

l'hypothèse du travail plastique nous aurait conduit à une expression plus complexe de la

relation paramètre d’écrouissage-multiplicateur-plastique ( )

( ) ,~ 1 1

2222

−+= I

TL fg

κταα

.

II-3.4.1 Algorithme de retour radial

Nous présentons dans cette partie les développements numériques correspondant à

l’application de l’algorithme de type retour radial à notre modèle. Nous posons les équations


-115-

de remise à jour de l’état de contrainte dans les différents cas selon le nombre de critères

actifs puis nous décrivons pour chacun la méthode de résolution employée.

Connaissant l’état du matériau ( nnn q , ,σε ) au temps nt , on peut écrire la contrainte, la

déformation et la variable l’écrouissage au temps 1+nt sous la forme :

∑=

++

+

+

∆+=

∆+=∆+=

2

11,1

1

1

jijninn

nn

nn

L qq λ

εεεσσσ

(II.98)

L’équation (II.10), liant le tenseur de contrainte réelle au tenseur de contrainte effective,

s’exprime sous la forme :

( ) 111~1 +++ −= nnn d σσ (II.99)

( )( )111 111 +++ −Λ−=− nnn Dd (II.100)

où 111 , , +++ Λ nnn Dd représentent respectivement la variable d’endommagement total (thermo-

mécanique), celle d’endommagement thermique et celle d’endommagement mécanique.

En utilisant l’équation (II.11), le tenseur de contrainte effective s’exprime sous la forme :

( ) ( )( ) tm

npn

trn

tmnnn

pnnn T

1101

101101101

~

~

+++

++++++

∆+∆−=

−∆−−=

εεσ

εεεσ

:

::

E

EmE(II.101)

avec

( ) Im 101011 3 ; ++++ =−=∆ nnnnn KTTT α (II.102)

où α , ,0 IK représentent le module de compressibilité initial, la matrice unitaire et le

coefficient d'expansion thermique.

trn 1

~+σ représente le prédicteur élastique du tenseur contrainte effective donné par:

( ) ( ) 110101 ~++++ ∆−−−= nn

tmn

pnn

trn TmE εεεσ : (II.103)

L'incrément de déformation d'interaction thermo-mécanique peut s’écrire dans l’espace des

contraintes effectives d’une manière analogue qu’en (II.5) :

1111~ ++++ ∆=∆ nnn

tmn T σε :Q (II.104)


-116-

où 1+nQ est un tenseur du couplage thermo-mécanique donnée par l’équation (II.5).

Il est à noter que l’on considère que le fluage thermique transitoire n’a lieu que dans la partie

saine du matériau, donc piloté par la contrainte effective.

En remplaçant l’équation (II.104) dans l’équation (II.101), on obtient :

pnn

tmn

pn

trnn

111

1011

~

~~

+++

++++

∆−=

∆−=

εσ

εσσ

:

:

D

EH -11n (II.105)

avec

( )

=

∆+=

++

+++

0

101

EHD

EIH1-

1n1n

1n

:

Q: nnT(II.106)

et

( )

∆−

∆−−=

=

++=

++

+++

∑ 1100

1

11

~

~

nn

n

innn

pnn

trn

tmn

TT mHD

H

1-1n

-11n

::Q:

:

σεε

σσ(II.107)

Les équations (II.99) à (II.107) peuvent être interprétées comme une nouvelle façon d’utiliser

la méthode prédicteur-correcteur intégrant un terme de fluage :

9 tmn 1

~+σ représente le prédicteur thermo-élastique de la contrainte effective corrigé par effet

du fluage transitoire.

9 ( )pnn 11 ++ ∆εε:D représente le correcteur plastique corrigé par effet du fluage transitoire.

9 11~

++ nnd σ représente le correcteur d'endommagement.

Il est intéressant de signaler que l’utilisation du concept de la contrainte effective nous permet

de découpler la réponse thermo-elasto-plastique de celle de la réponse endommagée (figure

II.22). Cette méthode confère une souplesse dans l’implémentation numérique du modèle , car

les développements sont faits comme en plasticité classique avec des caractéristiques initiales

(non endommagés), sauf que cette fois-ci c’est dans l’espace des contraintes effectives.

tmn 1

~+σ est un terme en contrainte faisant intervenir des quantités au pas précédent plus la

variation de la température au pas 1+n . Ces quantités sont toutes connues à ce stade du


-117-

calcul. La seule inconnue reste donc l’incrément de déformation plastique pn 1+∆εε . Une fois la

déformation plastique est estimée, on passe à la détermination de la contrainte réelle.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,002 0,004 0,006 0,008

Déformations

Co

ntr

ain

te/R

ési

sta

nce

Réelle

Effective

Figure II.22 : Réponse du modèle en compression en contraintes

réelles et effectives

Le calcul de la contrainte se fait alors en deux temps : tout d’abord nous pouvons nous

occuper de la plasticité puis, dans un second temps, de l’endommagement (figure II.23).

( )TfD i ,κ=

iT

Bloc 1:THERMIQUE

Bloc 2:MECANIQUE

ijε ijσ

iij κσ ,~

( ) ( ) fK =+ T TCT T

( )( )i

i

nd

d Φ−=δ

Φ

+

uu 1

( ) 0,,~ ≤TF itr

i κσ

Module 1: Plasticité Module 2: Endommagement

0

1

2

3

Figure II.23 : Schéma représentatif de l’organigramme

de calcul du tenseur des contraintes


-118-

En utilisant les expressions des potentiels plastiques définies précédemment (l’équation II.91),

l'incrément de déformation plastique, dans le cas de deux critères actifs, s’exprime par :

( )( ) 21

1211 ,2

21

1111 ,1

21 ,2

121,21

1 ,1

111,11

~~21

~~21

2

~21

2

~

+++

+++

+

++

+

+++

=Ψ

=Ψ

+

Ψ∆+

+

Ψ∆=∆

nTnn

nTnn

gn

nn

n

nn

pn

σσ

σσ

πσ

πσ

ε

P

P

PP αλλ

(II.108)

En remplaçant l’expression de l’incrément de déformation plastique (équation II.108) dans

l’équation (II.105), on obtient une nouvelle expression de l’équation de remise à jour :

+

Ψ∆+

+

Ψ∆−=

+

++

+

+++++ 2

1 ,2

121,21

1 ,1

111,1111 2

~21

2

~~~ π

σπ

σσσ g

n

nn

n

nnn

tmnn αλλ PP

D : (II.109)

Cette dernière expression peut se mettre sous la forme :

Ψ

∆+

Ψ∆

+=

∆−∆−=

++

++

+

++

+++++++

211 ,2

1,211

1 ,1

1,11

211,2111,111

22

21~~

P DP DIA

D DA 1-1n

nn

nn

n

nn

nngnntmnn

λλ

λαλ ππσσ

(II.110)

On remarque que les expressions (II.110), présentent un inconvénient lié au fait que le schéma

d’intégration des équations constitutives est alors implicite. En effet, par la forme de cette

expression, le vecteur de contrainte effective actualisé donné en (II.109) n’est pas lié de façon

linéaire à l’état de contrainte de test. D’une manière analogue à celle proposée par Feenstra

(1993), nous proposons d’utiliser la technique suivante pour s'affranchir de cette difficulté. La

condition de consistance doit être satisfaite à la fin du pas du temps 1+n , 021 == FF . Par

conséquent les expressions de 1 ,1 +Ψ n et 1 ,2 +Ψ n , peuvent s'écrire sous la forme :

( )( )

−=Ψ

−=Ψ

++++

++++

1211,221 ,2

1111,111 ,1

~ ,~

~21,~

nT

fnnn

nT

nnn

T

T

σπ

σπ

ακτβ

κτ(II.111)

En multipliant l’équation (II.110) par AT2π , on obtient la relation suivante :

2121,21121,112112 21~~ ππππσπσπ D DA +++++++ ∆−∆−= nT

ngnT

ntmn

Tnn

T λαλ (II.112)

or


-119-

( )( )

=

=

+=

+=

+

+

+++

+++

T

T

0

0

2

1

PD

PD

D

D

12

12

12,1

11,1212

12,1

11,1112

23

22

nT

nT

nnn

T

nnn

T

DD

DD

π

π

ππ

ππ

(II.113)

donc,

21212112111212112 21~~ ππππσπσπσπ ++++++++ ∆−∆−== nT

,ngnT

,ntrn

Tn

Tnn

T DDA λαλ (II.114)

On peut donc finalement exprimer 1,2 +Ψ n sous la forme :

( ) ( )

∆

+∆+−

−=Ψ ++

++++++ 1211

12,1

11,11211,221 ,2 323~ ,~

,ng

,nnntm

nTf

nnn DDT λβ

αλ

βα

κτ σπ (II.115)

La méthode décrite ci-dessus n’est pas directement applicable dans le cas de 1Ψ car la

simplification alors obtenue n'est plus possible. Cependant en multipliant l'équation (II.110)

par AT1π , on obtient :

2112111111111 21~~ ππππσπσπ D DA T,ng

T,n

tmn

Tnn

T+++++ ∆−∆−= λαλ (II.116)

Les propriétés vérifiées sont désormais les suivantes :

( )( )

( )

−=

=

+=

+=

++

++

++

0 ,2 ,1 ,1

22

2

12,1

11,11

01

12,1

11,121

12,1

11,111

nnT

T

nnT

nnT

DD

DD

DD

2

1

P D

PE

D

D

π

π

ππ

ππ

T0(II.117)

Enfin, la relation (II.110) peut se mettre sous la forme :

( ) ( )

( ) ( ) 1z

1 ,2

12,1

11,11,21

2,11

1,112

12,1

11,1111111

1 ,2

12,1

11,11,2

~ 2 2

~~2

+

+

+++++

+

+++++

+

+++

Ψ

−∆++∆

−

+∆−=

Ψ

−∆+

n

n

nnnnn

,ng

nn,n

tmn

Tn

T

n

nnn

DDDD

DDDD

σβ

λλ

βα

λβ

λσπσπ1

(II.118)

Afin d’exprimer le tenseur des contraintes 1~

+nσ seulement en fonction des multiplicateurs

plastiques ( 11 +∆ ,nλ , 12 +∆ ,nλ ) comme inconnues, il est nécessaire de connaître l’expression de

1~ +nzσ rentrant dans la définition de l’équation (II.118). Cette dernière est obtenue à l'aide de

l'équation (II.105) :


-120-

( )

( )12,1

11,11,2

11 ,2

12,1

11,11,21

2,1111,1

2

~0 ,2 ,1- ,1-2

~

+++

++

++++

+++

+∆

−

Ψ−∆

−∆−=

nnn

g

nn

nnnn

,ntr

nznz

DD

DDD 1

λβ

α

βλ

λσ σ(II.119)

cette dernière équation (II.119), peut se mettre sous la forme :

( )( )

( )

+∆

−

Ψ−∆

+

∆−

−∆+Ψ

Ψ=

+++

+

+++

+++

++++

++

12,1

11,112

112

12,1

11,11,2

12,1111,

12,1

11,1121 ,2

1 ,21

2

~2

~

~

nn,n

g

nT

nnn

n,n

trnz

nn,nn

nnz

DD

DD

D

DD

λβ

αβ

λ

λσ

λββ

σ σπ (II.120)

En substituant l'expression de 1~ +nzσ dans l’équation (II.118), on obtient l'expression finale de

11~

+nT σπ .

( )( )( )

( )( )

( )( ) ( )

+∆

−

∆−

−∆+Ψ

−∆+

+∆

−

+∆−

−∆+Ψ

−∆+Ψ=

+++

+++

++++

+++

+++

++++

++++

++++

+

12,1

11,11n2,

12,11n1,1 ,

12,1

11,11,21 ,2

12,1

11,11,2

12,1

11,11n2,

12,1

11,11n1,11

12,1

11,11,21 ,2

12,1

11,11,21 ,2

11

2

~

3 2

2

2 2

~

3 2

2~

nng

ntrnz

nnnn

nnn

nng

nntmn

T

nnnn

nnnn

nT

DD

D

DD

DD

DD

DD

DD

DD

λβ

α

λσ

λβλ

λβ

α

λ

λλ

σπσπ

(II.121)

Enfin, en substituant l’expression de 11~

+nT σπ dans la l’équation (II.114), on obtient

l’expression de 1 ,1 +Ψ n .

Dans le cas où les deux surfaces de charge sont actives, deux possibilités peuvent conduire à

des indéterminations mathématiques dans le calcul de l’expression de 1+nA (équation II.110) :

- Lorsque 1Ψ devient égal à zéro, on suppose que l’apex du double critère est

complètement géré par la fonction de charge de Rankine. On utilise alors la méthode

décrite au paragraphe précédent qui correspond au critère de Rankine seul actif.


-121-

- Lorsque le critère de Drucker-Prager est réduit à un point, on a ( 02 =Ψ ) ou ( 01 =Ψ

et 02 =Ψ ). On peut montrer que 1−A reste définie dans ces deux cas si une

décomposition spectrale est utilisée.

La matrice thermo-élastique transitoireD , la matrice de projection 1P et la matrice de

projection 2P possèdent le même sous espace de vecteurs propres. On peut donc exprimer la

matrice A dans sa base propre où elle est diagonale. Nous la notons alors AΛ :

22

1,21

1

1,1

22 PDn

PDn

IA Ψ

∆+

Ψ∆

+= ++ λλ(II.122)

Avec,

122

111

1

−

−

−

=

=

=

QQP

QQP

QQD

P

P

D

(II.123)

Et les matrices suivantes :

[ ]

3,33

2,11,12

2,11,11

3211

2

, , ,

D

DD

DD

diagD

=Ω+=Ω−=Ω

ΩΩΩΩ=

(II.124)

[ ]2,0,1,01 diagP = (II.125)

[ ]6,0,3,32 diagP = (II.126)

Connaissant AΛ ,on peut facilement exprimer son inverse 1−A puis sa limite lorsque 1Ψ et 2Ψ

tendent vers 0. On détermine la matrice 1−A à l’aide de la relation:

11 −−= QQA-1A (II.127)

avec,

−

−

=

1000

031062

0312161

0312161

Q (II.128)


-122-

et,

=

−

−

−

−

−

144

133

122

111

1

000

000

000

000

A

A

A

A

A

Λ (II.129)

On obtient finalement l’expression de 1−A quand Ψ1 et Ψ2 tendent vers 0:

=−

0000

0313131

0313131

0313131

1A (II.130)

Dans le cas où une seule surface est activée on obtient :

- critère de traction seul actif

la relation de mise à jour de la contrainte effective s'écrit :

+

Ψ∆−= +

+++ 11

111n1,11 21

2

~ ~~ πσσσ ntm

nn

PD λ: (II.131)

( ) ( ) 2,11,11n1,1111,111 ~ 2

1,~ DDT tm

nT

nn +∆−

−=Ψ ++++ λκτ σπ (II.132)

Dans le cas ou 01 =Ψ . On peut montrer que 1−A reste défini dans ce cas si une

décomposition spectrale est utilisée comme précédemment.

11

1,1

2 PDn

IA Ψ

∆+= +λ

(II.133)

Connaissant AΛ ,on peut facilement exprimer son inverse 1−A puis sa limite lorsque 1Ψ tend

vers 0. La matrice 1−A est déterminée à l’aide de la relation (II.127), quand Ψ1 tend vers 0 :

=−

0000

0100

002121

002121

1A (II.134)


-123-

- critère de compression seul actif

la relation de mise à jour de la contrainte effective s'écrit :

+

Ψ∆−=

+

+++++ 2

1 ,2

121n2,111 2

~ ~~ π

σσσ g

n

nn

tmnn αλ P

D : (II.135)

( ) ( )

+∆

−

−=Ψ ++

+++++1

2,11

1,11n2,1211,221 ,2 2 3~,~ nngtmn

Tfnnn DDT λ

βα

βα

κτ σπ (II.136)

Dans le cas ou 02 =Ψ . On peut montrer que 1−A reste défini dans ces deux cas si une

décomposition spectrale est utilisée comme précédemment.

22

1,2

2 PDn

IA Ψ

∆+= +λ

(II.137)

Connaissant AΛ ,on peut facilement exprimer son inverse 1−A puis sa limite lorsque 1Ψ tend

vers 0. La matrice 1−A est déterminée à l’aide de la relation (II.127), quand Ψ1 tend vers 0:

=

−

−

−

−

−

144

133

122

111

1

000

000

000

000

A

A

A

A

A

Λ (II.138)

On obtient finalement l’expression de 1−A quand Ψ1 tend vers 0:

=−

0000

0313131

0313131

0313131

1A (II.139)

II-3.4.2 Schéma itératifs de résolution utilisés

Dans le paragraphe précédent nous avons développé les équations de remise à jour de l’état de

contrainte dans le cas des critères de Rankine et de Drucker-Prager. Le problème réside

maintenant dans l’évaluation de l’incrément de multiplicateur plastique vérifiant la condition

de consistance. Nous avons vu au paragraphe précédente que dans le cas général où deux

critères sont actifs, le système à résoudre est le suivant:


-124-

=∆∆=∆∆

+++

+++

0),,(

0),,(

11,21,12

11,21,11

nnn

nnn

TF

TF

λλλλ

(II.140)

La mise à jour de l’écoulement est effectuée par une méthode de Newton-Raphson. La

relation vectorielle correspondant à l’application de cette méthode pour le calcul de

l’incrément de multiplicateur plastique s’écrit :

( ) ( )

( )

( )i

nnn

nnn-i

i

n

n

i

n

n

TF

TF

∆∆∆∆

−

∆∆

=

∆∆

+++

+++

+

++

+

+

),,(

),,(.

11,21,12

11,21,111

1,2

1,1

1

1,2

1,1

λλλλ

λλ

λλ

J (II.141)

où l’indice ( )i correspond à l’itération interne effectuée dans l’incrément 1+n .

L’actualisation du Jacobien à chaque itération est réalisée par une méthode de Broyden (Roux

1987). Cette méthode correspond à celle de la sécante en dimension supérieure. Nous avons

ainsi la relation:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )11111

111111 ,

,

−−

−−−

−−−−− −+= ii

iii

iTiiii

i-i ssyJs

JsyJsJJ (II.142)

où ( )ba, représente le produit scalaire baT

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )( )1

11111

1111

, , +−+++−

−++−

∆−∆=

∆−∆=

ni

nni

ni

in

ini

TFTF λλ

λλ

y

s(II.143)

avec:

( )i

n

nin

∆∆

=∆+

++

1,2

1,1

1 λλ

λ (II.144)

et,

( )( ) ( )( )

( )i

nnn

nnnin TF

TFF

∆∆∆∆

=∆+++

++++

11,21,12

11,21,111 , ,

, ,

λλλλ

λ (II.145)

Ce processus itératif nécessite la connaissance des valeurs initiales d’indice (0) du Jacobien.

Une estimation de celui-ci est possible par linéarisation des critères au voisinage du prédicteur

élastique. On exprime le Jacobien du système à l’itération (i) sous la forme:


-125-

( )

( )i

i

FF

FF

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

2

2

1

2

2

1

1

1

λλ

λλJ (II.146)

La décomposition du critère de traction en série de Taylor au premier ordre au voisinage du

prédicteur élastique corrigé par le fluage transitoire tmn 1

~+σ , conduit à la relation:

( ) ( ) ( )nn

t

nn

t

tmnn

t

tn

FFFFF ,21,2

2

1,11,1

1

111

111,1

~~~ κκ

κκκ

κ−

∂∂

+−∂∂

+−∂∂

+≈ +++++ σσσ

(II.147)

D’après la loi d’écrouissage (II.98) et l’équation de remise à jour du vecteur des contraintes

(II.101), nous pouvons exprimer ce critère linéarisé sous la forme :

1,22

11,1

1

111

1111 ~ +++++ ∆

∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

−≈ n

t

n

t

pnn

t

t,n

FFFFF λ

κλ

κε

σ:D (II.148)

En utilisant la loi d’écoulement défini par l’équation (II.89), l’équation (II.148) peut se mettre

sous la forme :

1,22

11,1

1

1

211,2

111,1

111,1

~~~

++

+++++

∆∂∂

+∆∂∂

+

∂∂

∆+∂∂

∆∂∂

−≈

n

t

n

t

t

nn

t

nn

t

tn

FF

GGFFF

λκ

λκ

λλσσσ

:: DD

(II.149)

que l’on peut réorganiser :

~~~~ 1,22

1211,1

1

11111,1 +++++ ∆

∂∂

+∂

∂∂∂

−+∆

∂∂

+∂∂

∂∂

−+≈ n

ttt

n

ttt

tn

FGFFGFFF λ

κλ

κ σσσσ 1n1n DD(II.150)

Pour le critère de compression, on obtient de la même façon :

~~~~ 1,22

2221,1

1

21221,2 +++++ ∆

∂∂

+∂

∂∂∂

−+∆

∂∂

+∂∂

∂∂

−+≈ n

ttt

n

ttt

tn

FGFFGFFF λ

κλ

κ σσσσ 1n1n DD(II.151)

Les équations (II.150, II.151) peuvent se mettre sous la forme :


-126-

−

−=

∆∆

×

∂∂+

∂∂

∂∂−

∂∂+

∂∂

∂∂−

∂∂+

∂∂

∂∂−

∂∂+

∂∂

∂∂−

+

+

+

+

++

++

tn

tn

n

n

tt

n

ttt

n

t

tt

n

ttt

n

t

FF

FF

FGFFGF

FGFFGF

21,2

11,1

1,2

1,1

2

221

2

1

211

2

2

121

1

1

111

1

~~~~

~~~~

λλ

κκ

κκ

σσσσ

σσσσ

DD

DD

(II.152)

L'équation (II.152) s’écrit alors sous une forme plus condencée de la manière suivante :

−

−=

∆∆

×

+−−

−+−

+

+

+

+

++

++t

n

tn

n

n

nT

nT

nT

nT

FF

FF

h

h

21,2

11,1

1,2

1,1

2212112

2111111

λλ

mD nm D n

m D nm D n(II.153)

Finalement, on obtient l’estimation du Jacobien au prédicteur élastique:

( )

+−−

−+−=

++

++

2212112

21111110

h

h

nT

nT

nT

nT

mD nm D n

m D nm D nJ (II.154)

Dans le cas particulier où un seul critère est actif, le problème à résoudre se ramène à:

( ) 0, 11 =∆ ++ nn TF λ (II.155)

La relation correspondant à l’application de la méthode de Newton s’écrit dans ce cas:

( ) ( )( )

( ) ),(.J 111

111 ++

−+

++ ∆−∆=∆ n

ini

in

in TF λλλ (II.156)

Le Jacobien du système non linéaire (un scalaire dans ce cas) est actualisé suivant la relation:

( )( )( ) ( )( )

( ) ( )in

in

ni

nni

ni TFTF

111

11111 ,,

J+

−+

+++−+

∆−∆∆−∆

=λλ

λλ(II.157)

Cette méthode de résolution correspond exactement à la méthode dite de la sécante dont la

figure (II.24) fournit une représentation géométrique. La décomposition du critère au

voisinage du prédicteur élastique en série de Taylor au premier ordre s’exprime donc dans ce

cas:

( ) ( )nn

ttmnn

tt

n

FFFF κκ

κ−

∂∂+−

∂∂+≈ ++++ 1111

~~~ σσσ

(II.158)

expression équivalente à :

111,1 ~~ +++ ∆

∂∂+

∂∂

∂∂−≈− n

tttt

n

FGFFF λ

κσσ 1nD (II.159)

d'où une estimation du Jacobien initial :


-127-

( )( ) ( )

h

FGFFF

T

ttt

+−=

∂∂+

∂∂

∂∂−=

∆∆≅

∂∂=

+

+

m D n

D

1n

1n

~~J00

0

κλλ σσ (II.160)

)0(λ∆ )1(λ∆ )2(λ∆ )( iλ∆

F

λ∆

Figure II.24 : Représentation schématique du

processus itératif de résolution de l’équation (II.155)

par la méthode sécante

II-3.4.3 Construction de l’opérateur tangent pour le modèle proposé

Dans le cadre de la méthode de Newton-Raphson utilisée pour la résolution des équations

d’équilibre, la linéarisation de celles-ci se traduit par l’utilisation d’une matrice de raideur

tangente. La construction de celle-ci joue un rôle important dans la stabilité, la rapidité et la

précision. Simo & Taylor (1986) ont mis en évidence que, pour conserver ces propriétés, la

matrice de raideur tangente doit être construite à partir d’un opérateur liant l’incrément de

contrainte à l’incrément de déformation linéarisé de façon précise à la fin du processus de

retour sur les surfaces de charge. Cet opérateur appelé opérateur tangent consistant doit être

construit à la fin de l’itération ( )1+i dans l’incrément concerné. A la fin de l’itération ( )1+i ,

le vecteur de contrainte actualisé, dans le cas général où les deux critères sont actifs, peut être

exprimé sous la forme:

( ) 111~1 +++ −= nnn d σσ (II.161)

La dérivée totale du vecteur de contraintes (équation II.158) s’écrit sous la forme :

( ) ( )

( ) ( )1

1

111

11111

~~

~ 1

~~ 1

++

+++

+++++

−−=

−−=

nn

nnn

nnnnn

dd

ddd

ddddd

σσ

σ

σσσ(II.162)

Calculons tout d’abord 1~

+ndσ , on sait que la contrainte effective peut s’exprimer comme suit:

pn

tmnn

pnnnn 11111

~+++++ ∆−−−−= εεεεεεσ θ:D (II.163)


-128-

soit :

∂∂

∆−−−−= ∑= +

+++++

2

1 11,1111 ~

~i n

ini

tmnn

pnnnn

G

σεεεεσ λθ:D (II.164)

La dérivée totale du vecteur de contraintes effective peut donc être obtenue. Elle s’exprime

sous la forme:

∂∂

∂∆+

∂∂

−= ∑=

+++

++

+++

2

11

11

2

1,1

111~

~~~~

in

nn

ini

n

iinnn d

GGddd σ

σσσεσ λλ:D (II.165)

En utilisant la formulation générale proposée par Riggs & Powel (1990), on exprime cette

relation sous la forme:

λεσ ddd nnn U: −= +++ 111~ (II.166)

où

∂∂

=2~

1~

G

G

σ

σU (II.167)

et

=2

1

λλ

d

ddλ (II.168)

et la matrice Π est donnée par:

[ ] 111

1

11

22

1,211

12

1,111 ~~~~

−++

−

+++

+++++

=

∂∂

∂∆+∂∂

∂∆+=

nn

nnn

nnnnn

GG

DC

Cσσσσ

Π λλ(II.169)

La condition de consistance appliquée aux deux surfaces fournit les relations:

=∂+∂

=∂+∂

+

+

0 ~

0 ~

2212~

1111~

2

1

κ

κ

κσ

κσ

dFdF

dFdF

nT

nT

σ

σ(II.170)

compte tenu de la loi d’écrouissage (II.98) adoptée, on peut exprimer les relations (II.170),

sous la forme :

σλ ~1 dd TVE −= (II.171)


-129-

avec :

∂−

∂−=

2

1

2

1

0

0

F

F

κ

κE (II.172)

et

∂∂

=T

T

F

F

2~

1~

σ

σV (II.173)

En substituant la relation (II.171) dans l’équation (II.166) on obtient:

[ ] ( ) ( )11

11

111

~ ++

++

−−+ =+ i

ni

nT

n dd εσΠ VUE (II.174)

L’application de la formule de Shermann-Morrison-Woodbury nous permet finalement

d’aboutir à l’expression:

( ) ( )[ ] ( )111

1

11111 ~ +

++−

+++++ +−= i

nnT

nT

nni

n dd εΠΠΠΠσ VUV EU (II.175)

D’où la formulation de l’opérateur tangent cohérent:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1

1

1111

111

11, ~

~ 1 +−

++++

+++

++ +−

−−= nT

nT

nnn

nnn

int d

ddd ΠΠΠΠ

σσ VUV EUE (II.176)

Dans le cas où un seul critère est actif, à la fin de l’itération ( )1+i , le vecteur de contrainte

actualisé peut être exprimé sous la forme:

pn

tmnn

pnnn 111

~+++ ∆−−−−= εεεεεεσ θ:D (II.177)

En suivant le même raisonnement que précédemment et en posant cette fois ci,

1

11

2

111 ~~

−

+++++

∂∂

∂∆+=nn

nnn

G

σσΠ λC (II.178)

on obtient l’expression de l’opérateur tangent cohérent dans le cas où un seul critère est actif:

( ) ( ) ( )

11

11

111

1

111

11, ~

~ 1

++

++

+++

+

+++

++

∂∂=

−

−

−−=

nn

nnT

nT

nn

n

nnn

int

Fh

hd

ddd

κ

mn

n mE

ΠΠΠ

Πσ

σ(II.179)

où :


-130-

( )

( )

∂∂

+

∂∂

=

∂∂

+

∂∂

=

+

+

+

+

+

+

+

+

++

++

+

++

1

1

1

1

1

1

1

1

11

11

1

11

~~~

~~

n

n

n

n

T

n

n

n

n

nn

nn

T

n

nn

d

d

dd

d

dd

dd

dd

dd

σσσ

σσ

κκκκ

κκκκ

(II.180)

le paramètre d’endommagement ne dépend pas d’une manière directe de la contrainte, on a

alors:

( )

∂∂

=⇒=∂∂

+

+

+

+

+

+

+

+

1

1

1

1

1

1

1

1~~0~

n

n

T

n

n

n

n

n

n

d

dd

d

ddd

σσσκκ

κκ(II.181)

d’après la condition de consistance on peut écrire:

=∂

∂+

∂∂

=∂

∂+

∂∂

⇔

=

=

++

++

++

++

0~~

0~~

0

0

1,21,2

21

1

2

1,11,1

11

1

1

2

1

nn

n

T

n

nn

n

T

n

dF

dF

dF

dF

F

F

κκ

κκ

σσ

σσ

(II.182)

ce qui donne,

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂∂

−=

=

++

++

+

+

+

+

+

+

1,2

2

1

2

1,1

1

1

1

1,2

1

1

1,1

1

1

~

~

~

~

~

n

T

n

n

T

n

n

n

n

n

n

n

FF

FF

d

d

d

d

d

d

κ

κ

κ

κ

σ

σ

σσ

σκκ

(II.183)

Il est à noter que dans le cas d’utilisation d’un écoulement non-associé (gf αα ≠ ) l’opérateur

tangent n’est pas symétrique.

II-3.4.4 Tableaux récapitulatifsLes tableaux II.3, II.4, II.5 et II.6 résument les différents étapes de l’algorithme d’intégration

des équations constitutives proposées. Le tableau II.3 présente le calcul du prédicteur

élastique et la première estimation du nombre de critères actifs. Les tableaux II.4 et II.5

proposent ensuite le principe de l’algorithme utilisé respectivement dans le cas ou un critère

est actif et le cas où les deux critères sont actifs. Le tableau II.6 présente la dernière étape de

l'algorithme, qui consiste en la mise à jour de la contrainte et le calcul de l’opérateur tangent.


-131-

1. Initialisation :

11 ; ++ Λ nnε( ) ( ) ( ) ( )

nnpn

pnnnnn D D ==== ++++

01

01,2

01,2,1

01,1 ; ; ; εεκκκκ

2. Prédicteur thermo-élastique transitoire effectif :

( ) ( ) 11n0101

1 ~+++

−+ ∆−−−= n

trn

pnn

tmn TmEH εεεσ ::

3. Estimation du nombre de critères actifs:

( ) ( )( ) ( )

≤

≤

+++

+++

II ? 0,,~I ? 0,,~

11,212

11,111

nntmn

nntmn

TF

TFIf

κ

κ

σ

σ

9 Si oui ( )I et oui ( )II :

Va à l'étape (13) [Tableau II.6]

9 Si non ( )I et oui ( )II , ou oui ( )I et non ( )II :

Va à l'étape (4) [Tableau II.4]

9 Si non ( )I et non ( )II :

Va à l’étape (8) [Tableau II.5]

Tableau II.3 : Première étape - Estimation du nombre de critères actifs

4. Initialisation du processus, 0=i :

( )

∂∂+

∂∂

∂∂−=

tttFGF

Jκσσ ~~ 0

0 D

( )( ) ),,~(.J 111

11 +++

−+ −=∆ nn

tmni

in TF κλ σ

5. Mise à jour de la contrainte effective et du paramètre d'écrouissage :( ) ( ) ( )( ) i

ni

ni

n 111~~

+++ ∆= σσσ( ) ( ) ( )i

ni

ni

n 1111 +

−++ ∆+=

6. Vérification du convergence :

( ) ? ,,~ 111 TolTFIf nntmn ≤+++ κσ

9 Si oui Va à l’étape (13)9 Sinon Va à l'étape (7)

7. Nouvelle estimation du jacobien et du multiplicateur plastique :

( )( )( ) ( )( )

( ) ( )in

in

ni

nni

ni TFTF

111

11111 ,,

J+

−+

+++−+

∆−∆∆−∆

=λλ

λλ

( ) ( )( )

( ) ),(.J 111

111 ++

−+

++ ∆−∆=∆ n

ini

in

in TF λλλ

Va à l'étape (7)

Tableau II.4 : Principe de résolution numérique

Cas d’un seul critère actif


-132-

8. Initialisation du processus, 0=i :

( )

+−−

−+−=

++

++

22212

211110

h

hTT

TT

mD nm D n

m D nm D n

1n1n

1n1nJ

( )

( )

−−=

∆∆

+++

+++−

+

+

),,~(

),,~(.J

11,212

11,11110

1,2

1,1

nntmn

nntmn

i

n

n

TF

TF

κ

κλλ

σ

σ

9. Si ( 01,1 ≤∆ +nλ et 01,2 >∆ +nλ ) ou ( 01,1 >∆ +nλ et 01,2 ≤∆ +nλ ) Va à l'étape (4)

Si 01,1 ≤∆ +nλ et 01,2 ≤∆ +nλ Va à l'étape (13)

10. Mise à jour de la contrainte effective et du paramètre d'écrouissage :( ) ( ) ( ) ( )( )i

nin

in

in , 1,21,111

~~++++ ∆∆= σσσ

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )in

in

in

in

in

in

11

1,21,2

111,11,1

+−

++

+−++

∆+=

∆+=

κκ

κκ

11. Vérification du convergence :

( )( ) )( ? ,,~

)( ? ,,~

11,21

11,11

IVTolTFIf

IIITolTFIf

nntrn

nntrn

≤

≤

+++

+++

κ

κ

σ

σ

9 Si oui ( )III et oui ( )IV :

Va à l'étape (13)

Si non ( )III et oui ( )IV , ou oui ( )III et non ( )IV :

Va à l'étape (12)

9 Si non ( )III et non ( )IV :

Va à l'étape (12)12. Nouvelle estimation du jacobien :

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )11111

111111 ,

, −−−−−

−−−−− −+= ii

iii

iTiiii

i-i

ss

yJs

JsyJsJJ

( ) ( )

( )

( )i

nnn

nnn-i

i

n

n

i

n

n

TF

TF

∆∆∆∆

−

∆∆

=

∆∆

+++

+++

+

++

+

+

),,(

),,(.

11,21,12

11,21,111

1,2

1,1

1

1,2

1,1

λλλλ

λλ

λλ

J

Va à l'étape (10)

Tableau II.5 : Principe de résolution numérique

Cas de deux critères actifs


-133-

13. Calcul de l’opérateur tangent dans l’espace des contraintes effectives :9 Un seul critère actif :

−

−=

++

+++

+

+ 11

111

1

1

~

nnT

nT

nn

i

n hd

d

mn

n m

ΠΠΠ

Πεσ

9 Deux critères actifs :

( )[ ] ~1

1

111

1

1+

−+++

+

+

+−=

nT

nT

nn

i

nd

d ΠΠΠΠεσ

VUV EU

14. Mise à jour de la contrainte et de la variable d'endommagement :

( )111 , +++ Λ= nnn dd κ

( ) 111~1 +++ −= nnn d σσ

15. Calcul de l’opérateur tangent :

( ) ( ) ( ) 1

11

111

1

1

11,

~

~~ 1

+

++

+++

+

+

++

−−=

=

i

nn

nnn

i

n

int d

d

d

ddd

d

d

εσ

σσ

εσ

E

1+= nn Va à l’étape (1)

Tableau II.6 : Dernière étape de l'algorithme thermo-élasto-plastique-endommageable

Mise à jour de la contrainte et calcul de l’opérateur tangent


-134-

II-4 CONCLUSION

Ce chapitre a permis de présenter le plus clairement possible un nouveau modèle de

comportement du béton depuis son élaboration jusqu’à son implantation dans un code E. F. en

spécifiant les hypothèses et les choix adoptés.

Le modèle formulé dans le cadre de la théorie de l’endommagement couplé à la plasticité est

proposé pour la description du comportement non-linéaire du béton sous chargement thermo-

mécanique. Les variations irréversibles des caractéristiques thermiques et mécaniques sont

prises en compte ainsi que le développement de déformation d’interaction thermo-mecanique

et la fermeture des fissures lors du chargement cyclique. Un critère multisurfaces de plasticité

permettant de décrire le comportement spécifique de ce matériau a été construit. Le problème

de la sensibilité pathologique de la solution numérique à la finesse et à l’orientation du

maillage, engendrée par l’introduction d’un comportement adoucissant du béton en traction et

en compression, est partiellement résolu en introduisant l’énergie de fissuration dépendant

d’une longueur caractéristique liée à la taille des éléments. Un schéma d’intégration implicite

a été formulé intégrant le terme de fluage thermique transitoire. L’utilisation du principe de la

contrainte effective, nous a permis de découpler la réponse thermo-élasto-plastique de la

réponse endommagée, cela offre l’avantage de conserver la méthode de résolution numérique

de type plasticité pour le calcul de l’incrément plastique.

Ce modèle offre un traitement complet du comportement du béton sous chargements

mécanique et thermique aussi bien dans le domaine de la compression que dans celui de la

traction. L’ensemble des paramètres du modèle est identifiable expérimentalement par des

essais simples et réalistes.

Toutefois des limites au modèle proposé existent. La première concerne le choix de la

variable endommagement, un endommagement isotrope ne décrit pas l’anisotropie liée à la

fissuration. Cette lacune peut conduire à une réponse erronée du modèle dans le cas de

chargements non-radiaux.

Le problème de la localisation des déformations n’est que partiellement traité. En particulier,

les effets spécifiques liés aux hautes températures doivent être étudiés. En effet le couplage

thermo-mécanique nécessitant l’enchaînement des analyses thermique et mécanique peut


-135-

accentuer par cumul l’effet de sensibilité au maillage. De plus, les effets de l’introduction de

caractéristiques du béton décroissantes avec la température sur la nature des équations du

problème mécanique doivent être analysés. Ces aspects font partie des perspectives que nous

dégageons à la suite de ce travail.

Chapitre III Validations et simulations

-136-

CHAPITRE III

VALIDATIONS ET SIMULATIONS NUMERIQUES

III-1 INTRODUCTION.............................................................................................................. ................. 137

III-2 APPLICATIONS À L’ANALYSE DU COMPORTEMENT DE SPECIMENS EN BETON...... 138

III-2.1 SIMULATION DES ESSAIS SOUS CHARGEMENTS MONOTONES............................................................. 138

III-2.2 SIMULATION DES ESSAIS SOUS CHARGEMENTS CYCLIQUES............................................................... 142

III-2.3 SIMULATION DES ESSAIS MONOTONES À HAUTES TEMPÉRATURES..................................................... 146

III-2.4 SIMULATION DES ESSAIS THERMO-MÉCANIQUES (EFFET DE L’ INTERACTION).................................... 151

III-3 APPLICATIONS A L’ANALYSE DE STRUCTURES EN BETON ET BETON ARME........... 156

III-3.1 SIMULATION D ’UN ESSAI DE FLEXION 4 POINTS................................................................................. 156

III-3.2 SIMULATION DE LA BOITE DE CISAILLEMENT .................................................................................... 161

III-3.3 SIMULATION D ’UN ESSAI DE RÉSISTANCE AU FEU.............................................................................. 164

III-4 CONCLUSION.................................................................................................................................... 174


-137-

III-1 INTRODUCTION

Nous avons développé, au chapitre précédent, un modèle numérique permettant d’étudier le

comportement des structures planes en béton et béton armé sous chargement mécanique et

thermique.

Afin de vérifier la capacité du modèle à reproduire le comportement du béton, celui-ci est mis

en œuvre dans l’analyse du comportement de spécimen en béton soumis à des sollicitations

thermo-mécaniques. Les résultats des simulations sont comparés avec l’expérience.

Les premiers calculs consistent à simuler les essais qui ont permis de caler les paramètres du

modèle, ceci afin de tester l’implantation numérique et définir le domaine de validité du

modèle.

Une autre série de validation d’essais cycliques de traction et de compression est effectuée

afin de montrer la bonne prise en compte de l’endommagement lors des cycles

charge/décharge. Cette deuxième série se termine par une simulation d’un essai traction-

compression cyclique avec refermeture de fissures.

Nous présentons ensuite l’analyse de différentes structures en béton et béton armé soumises à

des essais impliquant des chargements mécanique et thermique. Ces études permettent de

valider la capacité de notre modèle à fournir une prédiction fiable du comportement de

structures en béton armé. Ces simulations apportent également une contribution à la

compréhension des mécanismes de ruines des différents types de structures.


-138-

III-2 APPLICATIONS A L’ANALYSE DU COMPORTEMENT DE

SPECIMENS EN BETON

Nous présentons ici les résultats de simulation d’essais élémentaires réalisés sur des

éprouvettes sous chargements mécaniques monotones et cycliques ainsi que dans le cas de

chargements thermo-mécaniques en situation isothermes et anisothermes.

En premier lieu le modèle est mis en œuvre dans la simulation des essais de traction et

compression monotones. Ces essais permettent de vérifier que le modèle restitue parfaitement

le comportement attendu à partir des paramètres introduits. Les essais de traction et de

compression cycliques sont aussi simulés dans un but de vérifier que le modèle traduit bien le

caractère d’endommagement observé lors de cycles charge/décharge, ainsi que la refermeture

de fissures lors du passage d’une sollicitation de traction à une sollicitation de compression.

En deuxième lieu une série d’essais sur des éprouvettes en compression et en traction sous

chargement thermique permet d’évaluer l’importance de différentes hypothèses introduites

dans le modèle pour ce type de sollicitation. Nous présentons ensuite un essai permettant de

mettre en évidence la nécessité de la prise en compte des déformations d’interactions thermo-

mécaniques pour une description correcte du comportement de spécimens en béton sous

compression à hautes températures.

III-2.1 Simulation des essais sous chargements monotones

Ces essais permettent de vérifier, que le modèle restitue parfaitement les paramètres

introduits. Les résultats expérimentaux utilisés sont ceux obtenus par Kupfer & al. (1969)

pour la compression et Gopalaratnam & Shah (1985) pour la traction. Les données

géométriques des éprouvettes sont données par la figure (III.1). Ces essais sont simulés en

contraintes planes, seul un quart de l’éprouvette est représentée pour tenir compte des

conditions de symétrie. De plus, bien que certains travaux mettent en évidence une

hétérogénéité se développant à l’approche du pic (Van Mier 1984), nous supposons l’état de

contrainte homogène dans le spécimen sur l’ensemble du test. Le maillage adopté est réalisé

avec deux éléments TRI3 de membrane et l’analyse est menée en contraintes planes.


-139-

200 m m

200 m m 50 m m σ 1

σ 1

σ 2

σ 2

σ 1

σ 2

Figure III.1: Géométrie, dimensions, maillage et conditions

aux limites de l’essai.

Les propriétés matérielles des tests sont données dans le tableau suivant :

Caractéristiques Essai de compression Essai de traction

Module d’élasticité E (N/mm2) 31034× 1031 3×

Coefficient de poisson ν 2.0 2.0

Résistance en compression cf (N/mm2) 8.32 8.34

Résistance en traction tf (N/mm2) ct ff 1.0= ct ff 1.0=

Rapport cbc ff=β 16.1 16.1

Energie de fissuration (Nmm/mm2)056.0=tG

GG tc 001=

040.0=tG

GG tc 001=

Paramètres du modèle18.0=cD

2.0=gα

25.0=tD

fg αα =

Tableau III.1: Propriétés matérielles utilisées pour les essais monotones.

Les résultats de calculs reproduits sur les figures III.2 et III.3 pour la compression simple et la

traction simple indiquent un accord satisfaisant avec les résultats expérimentaux. La

détermination du module d’Young et la résistance en compression suffisent à donner une

prédiction acceptable comme le montre la figure III.2.

Nous pouvons remarquer que la réponse transversale est correctement représentée, cela est dû

au caractère non-associé du critère de compression.


-140-

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-0,004 -0,002 0 0,002 0,004

ε

σ/f c

− Modèle---o--- Expérience

Figure III.2: Essai de compression simple : déformation longitudinale

et transversale (Kupfer & al. 1969).

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,0001 0,0002 0,0003

Modèle

Expérience

ε

σ/f t

Figure III.3: Essai de traction simple : comparaison entre

expérience (Gopalaratnam & Shah 1985) et calcul.

La figure III.3 montre une courbe expérimentale très fragile en post-pic, due à la méthode de

mesure. La réponse du modèle numérique ne peut pas simuler une rigidité négative si

importante car les courbes uniaxiales introduites dans le modèle sont construites en tant que

différences de deux fonctions exponentielles donnée par :

( ) ( ) ( )[ ]ptt

ptttt babaf εετ 2expexp10 −−−+=


-141-

La simulation de l’essai de bi-compression prédit un niveau correct de ruine (figure III.4).

Cependant, on peut observer une sous estimation de la déformation au pic.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,001 0,002 0,003 0,004

Simulation

Expérience

ε

σ/f c

Figure III.4: Test de bi-compression : comparaison entre

expérience (Kupfer & al. 1969) et calcul.

Une nouvelle simulation est menée, dans laquelle le paramètre cb n’est plus calculé à partir de

l’équation (II.46) ; ce paramètre étant relié à l’énergie de fissuration cG .

Equation II.46 :

+=

210

c

c

ccc

a

G

lfb

Désormais, on utilise l’équation (II.49) dans laquelle la déformation au pic mε est spécifiée

explicitement dans la formule ci-dessous :

Equation II.49 :

( )

−

−

+

=m

c

c

c

c

c

ED

f

a

a

b

ε0 1

2

1ln

Dans cette simulation, on a modifié le paramètre cD . Une valeur de 10.0=cD est choisie au

lieu de la valeur 18.0=cD utilisée précédemment. Ce choix se justifie par une évolution

moins rapide de l’endommagement en bi-compression que dans le cas de la compression

uniaxiale.

La figure III.5 présente la confrontation entre la réponse du modèle et celle obtenue par

l’expérience. On peut observer que l’utilisation de l’équation (II.49) dans la détermination du


-142-

paramètre du modèle cb améliore sensiblement la prédiction. La déformation au pic est bien

prédite dans ce cas.

Néanmoins, on ne peut pas utiliser la relation de l’équation II.46 dans le reste des tests de

validations sur structures car elle ne fait pas apparaître l’énergie de rupture. Ce paramètre est

essentiel pour l’utilisation de la méthode de Hillerborg (1976).

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,001 0,002 0,003 0,004

ε

σ/f c

Expérience

Eq. (II.49)

Eq. (II.46)

Figure III.5: Test de bi-compression : comparaison entre expérience

(Kupfer & al. 1969) et calcul pour les deux valeurs du paramètre cb .

III-2.2 Simulation des essais sous chargements cycliques

L’analyse des données expérimentales nous a conduit à identifier deux phénomènes majeurs

du comportement du béton lors de chargement cyclique. Le premier phénomène est le

comportement endommagé, observé lors de cycles charge/décharge. Le deuxième

phénomène concerne la restitution de la raideur lors du passage d’un chargement de traction à

un chargement de compression : l’effet unilatéral . Nous présentons donc ici les résultats de

simulation d’essais cycliques dans lesquels nous mettons en évidence clairement ces

phénomènes. Les trois essais sont :

- Essai de traction cyclique

- Essai de compression cyclique

- Essai de traction-compression cyclique


-143-

Le but des deux premiers essais est montrer la capacité du modèle à reproduire la diminution

de la raideur du béton sous sollicitations cycliques. Le troisième essai a pour but de montrer la

capacité du modèle à reproduire non seulement les effets d’endommagements (déjà clarifiés

par les deux précédents exemples) mais aussi la prise en compte par le modèle du phénomène

de refermeture de fissures.

Dans ces essais, le maillage est réalisé avec deux éléments TRI3 de membrane comme dans le

cas de la première validation (figure III.1).

Les propriétés matérielles pour l’essai de traction cyclique sont celles énoncées

précédemment pour l’essai de traction simple (tableau III.1). En ce qui concerne le deuxième

et le troisième essai, les données matérielles sont reportées dans le tableau suivant :

Caractéristiques Compression cyclique Traction-compression

Module d’élasticité E (N/mm2) 107.31 3× 104.16 3×

Coefficient de poisson ν 2.0 2.0

Résistance en compression cf (N/mm2) 6.27 1.17

Résistance en traction tf (N/mm2) ct ff 1.0= 14.1

Rapport cbc ff=β 16.1 16.1


GG tc 001=

045.0=tG

GG tc 001=


2.0=gα

6.0=tD , 3.0=cD

1.00 =p , 2.0=gα

Tableau III.2: Propriétés matérielles utilisées pour les essais cycliques.

Les figures III.6, III.7 et III.8 présentent la confrontation entre la réponse du modèle et celle

obtenue par l’expérience respectivement, en traction cyclique (Gopalaratnam & Shah 1985),

en compression cyclique (Karsan & Jirsa 1969) et en traction-compression cyclique (Ramtani

1990).


-144-

0

1

2

3

4

0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004

ε

σ (M

Pa)

Modèle

Expérience

Figure III.6: Test de traction cyclique : comparaison entre

expérience (Gopalaratnam & Shah 1985) et calcul.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005

ε

σ (M

Pa)

Expérience

Modèle

Figure III.7: Test de compression cyclique : comparaison entre

expérience (Karsan & Jirsa 1969) et calcul.

On observe, sur les figures précédentes, une bonne concordance entre les simulations et les

résultats expérimentaux. L’augmentation de l’endommagement mécanique au cours des

cycles charge/décharge est bien représentée. Les boucles d’hystérésis dues à des phénomènes

de frottement ne sont pas modélisées mais par contre l’allure des autres phénomènes

(déformation plastique, endommagement, comportement adoucissant) sont bien restituées.

L’effet unilatéral se manifeste, conformément à notre modélisation, au changement de signe

des contraintes. Ceci est illustré sur la figure III.8 sur laquelle est reporté le résultat de la


-145-

simulation comparée à l’expérience pour deux valeurs du paramètre de refermeture de fissures

0p .

Dans le cas où l’on considère que 10% des fissures restent ouvertes (ce qui correspond à

1.00 =p ), le résultat obtenu par le modèle, présenté à la figure III.8, valide la capacité du

modèle à décrire ce phénomène. Lors de la décharge en traction (chemin C-D) et du passage à

la compression (chemin D-E), l’effet unilatéral se manifeste par une augmentation de la

raideur.

Dans le cas où on néglige l’effet unilatéral (ce qui correspond à considérer que 100% des

fissures restent ouvertes, (dans notre modélisation cela correspond à 10 =p ), le modèle donne

une mauvaise prédiction et s’éloigne trop des résultats expérimentaux.

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-0,0003 -0,0002 -0,0001 0 0,0001 0,0002 0,0003

Déformations

Con

trai

ntes

(M

Pa)

Expérience

Simulation P0 = 0.1

Simulation P0 = 1

O

AB

C

D

E

F

Figure III.8: Caractère unilatéral. Comparaison entre essai

(Ramtani 1990) et modèle pour deux valeurs du paramètre 0p .

Ces résultats prouvent la nécessité de la prise en compte de l’effet unilatéral pour une

meilleure prédiction du comportement cyclique du béton.

Dans le modèle de Ramtani (1990), le phénomène unilatéral se manifeste dans la modélisation

au changement de signe des déformations élastiques. La figure III.9 présente la confrontation


-146-

entre la réponse de notre modèle, celui de Ramtani (1990) et celle issue de l’expérience. Dans

le cas de la deuxième décharge, notre modèle surestime l’endommagement. De ce fait, la

compression intervient en retard par rapport à la réalité, mais néanmoins, lors du chargement

en compression, il retrouve un comportement très proche de l’expérience.

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-0,0003 -0,0002 -0,0001 0 0,0001 0,0002 0,0003

Déformations

Co

ntr

ain

tes

(MP

a)

Expérience

Modèle

Ramtani

Figure III.9: Caractère unilatéral. Comparaison entre essai

(Ramtani 1990) et modèle.

III-2.3 Simulation des essais monotones à hautes températures

Nous présentons ici les résultats d’une série d’essais de compression simple réalisés par

Schneider (1988) et de traction simple réalisés par Felicetti & Gambarova (1999) pour un

béton à haute performance. On peut noter que les essais sont réalisés en conditions

isothermes.

La géométrie et les dimensions des spécimens testés sont présentées à la figure III.10.

200 m m

200 m m 50 m m σ 1

σ 1

σ 2

σ 2

σ 1

σ 2

Figure III.10: Géométrie, dimensions, maillage et conditions



-147-

Pour la série d’essais de compression, les éprouvettes sont amenées à la température d’essai à

une vitesse contrôlée de min/2 C° . Un palier est réalisé à cette température avant l’essai

mécanique. Ces conditions de chauffage assurent une température homogène au sein des

éprouvettes au moment de l’essai. Celles-ci sont simulées en situation de contraintes planes.

Les essais uniaxiaux réalisés par Schneider (1988) nous permettent d’établir les lois de

variations du module d’élasticité E , de la résistance en compression uniaxiale cf et de la

résistance en traction uniaxiale tf , en fonction de la température (figures III.11, III.12). Le

tableau III.3 présente les valeurs de l’ensemble des caractéristiques mécaniques utilisées pour

le calcul.

Caractéristiques Valeur à 20°C Variations avec la température

Module d’élasticité initial 0E (N/mm2) 107.31 3× Loi définie à la figure III.11-a

Coefficient de poisson ν 2.0 Constant

Résistance en compression cf (N/mm2) 6.27 Loi définie à la figure III.11-b

Résistance en traction tf (N/mm2) ct ff 1.0= Loi définie à la figure III.12-a

Rapport cbc ff=β 16.1 Constant


2.0=gαConstant

Tableau III.3 Propriétés matérielles pour l’essai de compression

à hautes températures.

L’auteur (Schneider 1988) ne spécifie ni la valeur de l’énergie de rupture en compression, ni

la loi de variation de ce paramètre avec la température. Par contre, il donne la loi de variation

de la déformation au pic avec la température (figure III.12-b). Nous avons utilisé ce paramètre

pour la détermination du paramètre du modèle cb (équation II.49).


-148-

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 200 400 600 800

T (°C)

E/E

20

° Expérience

Idéalisation

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 200 400 600 800T (°C)

fc/f

c20

°

Expérience

Idéalisation

(a) (b)

Figure III.11: Variation des caractéristiques mécaniques avec la température :

(a) Module d’élasticité; (b) Résistance en compression.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 200 400 600 800

T (°C)

ft/f

t20°

Expérience

Idéalisation

01

234

56

7

0 200 400 600 800

T (°C)

εpic (1

0-3)

Expérience

Idéalisation

(a) (b)


(a) Résistance en traction; (b) Déformation au pic.

En ce qui concerne la série d’essais de traction, les éprouvettes sont amenées à la température

d’essai à la vitesse contrôlée de min/2 C° . Un palier de 12 heures est réalisé à cette

température avant de refroidir les spécimens à la vitesse contrôlée de min/2 C°− . Ensuite,

l’essai est réalisé juste après refroidissement.

Les essais uniaxiaux réalisés par Felicetti & Gambarova (1999), sur un béton à haute

performance, nous permettent d’établir les lois de variations du module d’élasticité E , de la

résistance en compression uniaxial cf et de l’énergie de fissuration tG en fonction de la

température (figures III.13, III.14).


-149-

Le tableau III.4 présente les valeurs de l’ensemble des caractéristiques mécaniques utilisées

pour le calcul.


Module d’élasticité initial 0E (N/mm2) 1050 3×Loi définie à la figure III.13-a

(Endommagement thermique)


Résistance en traction tf (N/mm2) 4.5 Loi définie à la figure III.13-b

Energie de rupture tG (Nmm/mm2) 205.0 Loi définie à la figure III.14

Rapport cbc ff=β 16.1 Constant

Paramètres du modèle25.0=tD

2.0=gαConstant

Tableau III.4: Propriétés matérielles de l’essai de traction


0

10

20

30

40

50

60

0 100 200 300 400

T (°C)

E (

GP

a)

0

1

2

3

4

5

6

0 100 200 300 400

T(°C)

ft (M

Pa)

(a) (b)


(a) Module d’élasticité; (b) Résistance en traction.


-150-

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 100 200 300 400

T (°C)G

t (N

mm

/mm2 )

Figure III.14: Variation de l’énergie de rupture en traction

avec la température.

Les courbes contrainte-déformation en compression obtenues avec le présent modèle sont

présentées en figure III.15. Elles sont comparées aux courbes fournies par les essais

expérimentaux de Schneider (1988).

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10

ε (10−3)

σ/fc

20°

20 °C 150 °C 350 °C

450 °C 550 °C 750 °C

Figure III.15: Courbes contrainte-déformation en compression à

différentes températures (Schneider 1988).

A toutes les températures, la contrainte maximale est correctement prédite par le modèle. En

particulier on peut noter que la détermination du paramètre du modèle cb à partir de

l’équation II.49 nous a permis d’estimer correctement la déformation au pic de contrainte à

toutes les températures. Les résultats de calculs reproduits sur la figure III.15 indiquent aussi

un très bon accord concernant l’évolution de la densité de l’énergie de fissuration, bien que le


-151-

paramètre cb ne soit pas déterminé à partir de la connaissance de l’énergie de fissuration elle-

même. Ceci indique que le critère de rupture et la courbe d’écrouissage définie en

compression, constituent une représentation correcte du comportement du béton.

Les courbes contraintes-déformations en traction à différentes températures, obtenues avec le

présent modèle sont présentées en figure III.16. Elles sont comparées avec les courbes des

essais expérimentaux rapportées par Felicetti & Gambarova (1998). L'accord est satisfaisant.

Ces résultats montrent que le modèle capture correctement les principales tendances

rapportées dans les données expérimentales (endommagement thermique, decohésion

thermique, évolution de la déformation au pic).

0

1

2

3

4

5

6

0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008

ε

σ (M

Pa)

20 °C 105 °C

250 °C 400 °C

Figure III.16: Courbes contraintes-déformations en traction à

différentes températures (Felicetti & Gambarova 1998).

III-2.4 Simulation des essais thermo-mécaniques (effet de l’interaction)

Lors de chargements thermo-mécaniques, le phénomène d’interaction joue un rôle très

important dans le comportement du béton à hautes températures. Ce phénomène se traduit, en

particulier, par une déformation totale du béton fortement dépendante de l’histoire du

chargement. Il est important de vérifier que cet effet est correctement décrit par le modèle.

Nous proposons donc ici les résultats de simulations relatif à l’essai réalisé par Anderberg &

Thelandersson (1976) présenté au chapitre I et qui met en évidence de façon claire ce

phénomène.


-152-

Dans cet essai deux spécimens axisymétriques sont soumis à un chargement comprenant une

phase transitoire et une phase de régime permanent. Ce chargement thermique est appliqué

par l’intermédiaire d’une température imposée sur toutes les faces des spécimens et évoluant

dans le temps. Une contrainte de compression uniaxiale est ensuite appliquée à l’une des

éprouvettes dès que le chauffage a atteint son régime permanent (température constante au

sein des éprouvettes). La même contrainte est appliquée à la seconde éprouvette dès le début

du chauffage et elle est maintenue constante pendant toute la durée de l’essai. Les éprouvettes

sont simplement posées sur le plancher du four et la charge est appliquée dans les deux cas de

façon quasi-instantanée par l’intermédiaire d’un poids mort. La contrainte appliquée aux deux

spécimens correspond à 45% de la résistance en compression uniaxiale initiale (à 20°C).

La figure III.17 présente la géométrie, les dimensions, le maillage et les conditions aux limites

adoptées pour cet essai.

Plancherdu four

φ = 75mm

150

mm

°= 20 %45.0 cfσ °= 20 %45.0 cfσ

(a) (b) (c)

Figure III.17: (a) : Géométrie, (b) : dimensions, (c) : maillage et conditions


Le chauffage est réalisé durant la phase transitoire à la vitesse contrôlée de 5°C/min. Les

petites dimensions des spécimens testés ainsi que cette vitesse de chauffage assurent une

distribution quasi-homogène de la température au sein du béton durant tout l’essai.

Anderberg & Thelandersson (1976) ont réalisé une série d’essais de caractérisation du béton

utilisé à différentes températures. Ces essais permettent d’établir les lois de variation du

module d’élasticité E et la résistance en compression uniaxiale cf en fonction de la


-153-

température (figure III.18). Des essais de dilatométrie (dilatation thermique libre) indiquent

que le coefficient de dilatation thermique α du béton utilisé est constant jusqu’à 400°C. Le

tableau III.5 présente les valeurs de l’ensemble des caractéristiques mécaniques utilisées. Les

valeurs des coefficients thermo-mécaniques sont celles données par Anderberg &

Thelandersson (1976).


Module d’élasticité initial 0E (N/mm2) 1032 3× Loi définie à la figure III.16-a


Résistance en compression cf (N/mm2) 40 Loi définie à la figure III.16-b

Résistance en traction tf (N/mm2) ct ff 1.0= Loi définie à la figure III.16-b

Rapport cbc ff=β 16.1 Loi définie à la figure II.3

Coefficient de dilatation thermique α 61012 −× Constant

Coefficient d’interaction35.20 =β

20.0=γConstant


tc GG 100=Constant

Paramètres du modèle

25.0=tD

18.0=cD

2.0=gα

Constant

Tableau III.5: Propriétés matérielles de l’essai de traction


Les variations des propriétés mécaniques avec la température sont données par les figures

suivantes :


-154-

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 200 400 600 800T (°C)

E/E

20

° Expérience

Idéalisation

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 200 400 600 800T (°C)

f c/f

c20

°

Expérience

Idéalisation

(a) (b)


(a) Module d’élasticité; (b) Résistance en compression.

La figure III.19 présente, pour les deux spécimens, la déformation axiale obtenue par le

modèle en fonction du temps lorsque les déformations d’interaction thermo-mécaniques sont

prises en compte (cas 1 et 2).

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 1 2 3

Figure III.19: Réponse du modèle pour d

(Anderberg & Thelander

La comparaison avec les résultats expérimentau

est correctement prédit. Dans le cas ou les dé

sont négligées (cas 3), on observe que la défor

d’essai vis à vis du chemin parcouru dans l’e

Cas 2 : Chargée

ο, : Expérience

: Simulations

Cas 1 : Chauffée puis chargée

Cas 3 : Interaction

Th-M négligée

4 5 6

Temps (h)

eux histoires de chargement

sson 1976).

x indique que le comportement des spécimens

formations d’interactions thermo-mécaniques

mation axiale calculée est indépendante en fin

space contrainte-temperature ; ce qui est en

puis chauffée


-155-

contradiction avec les résultats expérimentaux. On peut observer, en particulier, dans ce cas

que la déformation fournie par le modèle est de signe opposé à celle mesurée

expérimentalement. En effet, les cas 2 et 3 sont supposés traduire les mêmes conditions

d’essais.

Une seconde validation relative aux essais d’Anderberg & Thelandersson (1976) est réalisée.

Dans cette simulation, en second lieu, le modèle est utilisé pour simuler la réponse d'un

spécimen de béton soumis à une température variable sous contrainte constante. Durant ces

essais, la déformation dans la direction de la charge est enregistrée en fonction de la

température. Nous présentons ici, les résultats de trois simulations. La contrainte constante

appliquée dans une direction est égale à 22,5%, 45% et 67,5% de la résistance en compression

uniaxiale à 20°C. Les résultats donnés par le modèle sont comparés aux essais de fluage

transitoire d'Anderberg & Thelandersson (1976).

La figure III.20 présente les résultats obtenus dans les trois cas (déformations d’interaction

thermo-mécaniques prises en compte). Le modèle décrit de façon correcte l’évolution de la

déformation. On peut observer sur ces résultats que le rôle de ces déformations est d’autant

plus important que l’état de contrainte de compression appliquée est élevé. L'accord entre la

réponse du modèle et l'expérience est satisfaisant.

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0 200 400 600 800

T (°C)

ε (%

)

22,5% 67,5%

45%

Figure III.20: Déformation dans la direction de la charge en fonction

de la température (Anderberg & Thelandersson 1976).


-156-

Ces résultats mettent en évidence la nécessité de la prise en compte des déformations

d’interaction thermo-mécaniques pour une modélisation précise du comportement du béton

sous sollicitations thermiques et mécaniques combinées à hautes températures.

III-3 APPLICATIONS A L’ANALYSE DE STRUCTURES EN BETON

ET BETON ARME

Après la validation du modèle sur des cas d’éprouvettes en béton, nous présentons maintenant

des applications du modèle proposé à l’analyse de structures plus complexes soumises dans

un premier temps à des sollicitations mécaniques seules puis dans un second temps à des

sollicitations thermiques et mécaniques couplées. Ces essais proviennent de la littérature.

La première validation consiste à simuler une structure en béton armé dans laquelle les

chemins de contraintes sont très proches des chemins de sollicitations simples. La poutre

isostatique sous armée expérimentée à l’Université de Claude Bernard- Lyon (Varastehpour

1996). La seconde validation est réalisée sur la boite de cisaillement de Nooru-Mohamed

(1992). L’intérêt réside dans le caractère bi-dimensionel de l’essai. Il s’agit d’une éprouvette

entaillée soumise à un test de fissuration par mode mixte.

La dernière validation consiste en un essai de tenue au feu de dalles de plancher en béton

armé (Minne & Vandamme 1982). Dans ce test, une charge est préalablement appliquée, puis

la structure est chauffée sous charge constante jusqu’à la ruine.

III-3.1 Simulation d’un essai de flexion 4 points

Cet exemple traite le cas statique d’une poutre en béton armé présentant un faible pourcentage

d’acier (1.09 %) soumise à une flexion 4 points (Varastehpour 1996). Les données

géométriques de la poutre et du ferraillage sont indiquées à la figure III.21.


-157-

P/2

1000 mm

250 mm

700 mm 300 mm

150 mm

φ 6 2 φ 14

enrobage 20 mm

enrobage 20 mm2 φ 8

@ 80 mm

Figure III.21: Données géométriques de la poutre.

Les caractéristiques du béton et de l’acier sont répertoriées dans le tableau III.6. Par raison de

symétrie, nous analysons uniquement la moitié de la poutre. La modélisation du béton

s’appuie sur des éléments de membrane à 4 nœuds. L’acier est discrétisé par des éléments

linéiques à 2 nœuds. On suppose parfaite la liaison acier-béton.

Caractéristiques Béton

Module d’élasticité E (N/mm2) 3106.37 ×

Coefficient de poisson ν 2.0

Résistance en compression cf (N/mm2) 39

Résistance en traction tf (N/mm2) ct ff 1.0=

Rapport cbc ff=β 16.1

Energie de fissuration (Nmm/mm2) 11.0=tG ; 5.5=cG

Paramètres du modèle 25.0=tD ; 18.0=cD ; fg αα =

Caractéristiques Acier

Module d’élasticité aE (N/mm2) 3109.210 ×

limite d’élasticité conventionnelle Y (N/mm2) 580

Tableau III.6: Propriétés matérielles.

La figure III.22 souligne la capacité du modèle à simuler les différentes phases du

comportement monotone global d’un tel élément de béton armé en terme de courbe charge-


-158-

flèche. La simulation montre une bonne estimation de la charge de ruine de la poutre (8% de

différence par rapport à l’expérience).

0

20

40

60

80

100

120

140

0 3 6 9 12 15

Flèche (mm)

Cha

rge

(kN

)

Expérience

Simulation

Figure III.22: Courbe charge-Flèche (Varastehpour 1996).

L’évolution du faciès de fissuration est donné par les figures III.23-a, III.23-b et III.23-c pour

différents niveaux de charge. Comme on a pu l’observer dans l’expérimentation, on ne trouve

pas de fissures à 45° significatives, ni de rupture due au cisaillement (la poutre est

surdimensionnée vis-à-vis de l’effort tranchant). On peut toutefois remarquer que les

directions des fissures évoluent après apparition de celles-ci. Cet aspect est lié au caractère

"rotating crack" du modèle de fissuration utilisé.

(a)


-159-

Figure III.23: Fissuration à différents niveaux de charge :

(a) 55 kN ; (b) 80 kN ; (c) 102 kN.

La figure III.24 présente les isovaleurs de la contrainte principale majeure

apparaître une zone de très forte compression au point d’application de la

rupture de cette poutre est classique c’est-à-dire une rupture de béton pa

comprimée après plastification des aciers.

Figure III.24: Isovaleurs de la contrainte principale majeure.

Les figures III.25 et III.26 montrent les résultats théoriques et expériment

fonction des déformations des aciers (figure III.25) et de la déformation de

du béton (figure III.26) jusqu’à la rupture. La rigidité de la poutre diminue

(b)

(c)

. On voit nettement

charge. Le mode de

r écrasement en zone

aux de la charge en

la fibre supérieure

après fissuration


-160-

du béton en zone tendue et les déformations augmentent avec une pente moins significative.

La déformation augmente donc presque linéairement jusqu’à la plastification des armatures

longitudinales et ensuite elle reste quasi constante jusqu’à la rupture.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0,003 0,006 0,009 0,012 0,015

Déformlation des aciers

Cha

rge

(kN

)

Experience

Simulation

Figure III.25: Courbe charge-déformation de traction dans

l’acier (Varastehpour 1996).

En ce qui concerne l’évolution de la déformation de la fibre supérieure du béton (figure

III.26), la courbe s’écarte sensiblement des valeurs expérimentales avec une pente plus raide à

l’origine. Ce résultat n’est pas étonnant puisque nous avons disposé une couche d’éléments

BARRE2 juste à côté de la maille supérieure. Par conséquent, la rigidité de la maille

correspond à la somme de la rigidité de l’acier ajoutée à celle du béton.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003

Déformation de béton

Cha

rge

(kN

)

Expérience

Simulation

Figure III.26: Courbe charge-Déformation de compression dans

le béton (Varastehpour 1996).


-161-

III-3.2 Simulation de la boite de cisaillement

Dans cet essai effectué par Nooru-Mohamed (1992), une éprouvette carrée de longueur

mm 200 et d’épaisseur mm, 50 entaillée de chaque coté, est soumise à un test de fissuration

par mode mixte. L’éprouvette est fixée par collage au dispositif d’application du chargement

(figure III.27-a). Une force de cisaillement sP ainsi qu’une force de tension nP peuvent alors

être appliquées.

La force de tension est appliquée en déplacement imposé en contrôlant le déplacement normal

relatif donnant l’ouverture de la fissurée nδ mesurée entre les points ( MM ′ , ) et ( NN ′ , ).

Le problème est traité en contraintes planes. Les éléments utilisés sont des quadrilatères

isoparamètriques à 4 nœuds (figure III.27-b)

100

100

65

25 25150

P'

P

M'

M N

N'

δδnδδs

Ps

Pn

(a) (b)

Figure III.27: Boîte de cisaillement : (a) Configuration géométrique ; (b) Maillage.

Les caractéristiques matérielles sont rappelées dans le tableau ci dessous.

Caractéristiques Béton

Module d’élasticité E (N/mm2) 31032×

Coefficient de poisson ν 2.0

Résistance en compression cf (N/mm2) 4.38


-162-

Résistance en traction tf (N/mm2) 3

Rapport cbc ff=β 16.1

Energie de fissuration (Nmm/mm2) 11.0=tG ; 5.5=cG

Paramètres du modèle 25.0=tD ; 18.0=cD ; fg αα =

Tableau III.7: Propriétés matérielles.

III-3.2.1 Trajet 1Lors de ce trajet, l’éprouvette est initialement soumise à une force de cisaillement de 5 kN.

Cette force étant maintenue constante, l’éprouvette est soumise à un déplacement imposé de

traction.

III-3.2.2 Trajet 2Lors de ce trajet l’éprouvette est initialement soumise à la force maximale de cisaillement.

Cette force est maintenue constante et l’éprouvette est soumise à un déplacement imposé de

traction.

Pour cela, il est nécessaire de connaître la valeur maximale de la force de cisaillement. Ainsi

une simulation en déplacement imposé est initialement effectuée pour déterminer cette charge

( ( ) kN 30maxPs = ).

La comparaison entre les résultats expérimentaux et ceux issus des simulations est effectuée

en terme de courbe force normale nP fonction du déplacement normal nδ . Une confrontation

du faciès de fissuration expérimental avec le profil d’endommagement dans les spécimens est

également menée. Le déplacement normal en question est obtenu de la manière suivante :

( ) 2N'n

Nn

M'n

Mnn δδδδδ −+−= (III.1)

La figure III.28 montre la réponse du modèle en terme de capacité portante résiduelle en

traction après application de la charge de cisaillement pour les deux trajets. Globalement, le

modèle reproduit de façon correcte l’expérience.


-163-

-5

0

5

10

15

20

0 0,04 0,08 0,12 0,16

Experiment : Ps (5 kN)

Experiment : Ps (max)

Model : Ps (5 kN)

Model : Ps (max)

Pn (kN)

δn (mm)

Figure III.28: Courbe force normale nP en fonction du déplacement

normal nG (Nooru-Mohamed 1992).

Dans le cas d’un cisaillement de 5 kN, on remarque que la charge limite est surestimée

(d’environ 10%), mais la rigidité initiale et le comportement adoucissant sont bien décrits. La

réponse de la simulation rejoint rapidement celle obtenue expérimentalement. Dans le cas du

cisaillement maximal, on observe, contrairement à l’expérience que l’éprouvette présente une

faible charge résiduelle positive d’une valeur de 0,8 kN. Par la suite, le confinement généré

par la bielle de compression due au cisaillement fait passer l’éprouvette en compression.

L’expérience montre que la charge devient alors négative. Cependant, le pic en charge est

surestimé bien que la phase adoucissante soit bien représentée.

Pour ce qui est de la fissuration, le faciès d’endommagement ( kN 30Ps = ; figure III.29)

montre deux fissures distinctes qui se sont initiées à partir des lèvres de chaque entaille. Lors

du cisaillement, les bords supérieur droit et inférieur gauche sont astreints à rester droit pour

reproduire l’effet du dispositif rigide de mise en charge. Ainsi la fissuration apparaît à ce

niveau, puis disparaît presque totalement du fait des deux fissures localisées en mode mixte. Il

est à noter que cette fissuration a été également observée par Nooru-Mohamed (1992),

conduisant pour certains spécimens testés à une rupture à ce niveau et non pas par des fissures

au niveau des entailles comme c’est le cas ici (figure III.25-b)


-164-

(a) (b)

Figure III.29: Faciès de fissuration avec cisaillement de 5 kN :

(a) Modèle ; (b) Expérience.

III-3.3 Simulation d’un essai de résistance au feu

Le dernier type de validation concerne maintenant un essai de structure en béton armé. Il

s’agit d’un essai de résistance au feu de dalles de plancher, rapporté dans le travail de Minne

& Vandamme (1982). Les dalles testées reposent, dans leur largeur, sur des appuis linéiques.

Au début de l’essai, un chargement linéique est appliqué sur la largeur de la face supérieure

en deux sections (flexion circulaire). Ces structures sont chauffées sur leurs faces inférieures ;

le chargement mécanique étant maintenu constant. La figure III.30, présente la géométrie de

ces essais. Les simulations réalisées concernent les dalles G1 et G3 distinguées par un

enrobage différent des aciers, dont les caractéristiques géométriques sont données au tableau

III.8.

2250 mm

2450 mm

150

mm

d

P= cste

1900 mm

Figure III.30: Géométrie des essais.


-165-

Dalle G1 Dalle G3

Enrobage des aciers d (mm) 15 35

Section d’acier (mm2) 1178 1414

Charge linéique constante appliquée

sur la largeur P (kN/m)14.5 14.6

Tableau III.8: Caractéristiques géométriques des dalles G1 et G3.

Ces essais sont analysés en contraintes planes. Les dalles sont maillées dans le plan de

l’épaisseur. Les éléments utilisés sont des quadrilatères isoparamètriques à 8 nœuds pour le

béton et des barres à 3 nœuds pour l’acier. La symétrie de l’essai conduit aux conditions aux

limites présentées sur la figure III.31 où seule la moitié de la travée est modélisée. Ce

maillage est utilisé pour le calcul thermique et pour le calcul mécanique.

Figure III.31: Maillage et conditions aux limites.

Une analyse thermique transitoire non-linéaire est réalisée de façon à obtenir le champ de

température dans l’épaisseur des dalles et son évolution tout au long de l’essai. Les conditions

aux limites appliquées pour ce calcul sont données à la figure III.32.

φ = 0φ = 0

T°C imposée en fonction du temps

Figure III.32: Conditions aux limites du calcul thermique.

Les caractéristiques thermiques utilisées sont données dans le tableau III.9. Celles-ci n’étant

pas fournies par les auteurs des essais, nous avons choisi des valeurs moyennes correspondant

à des bétons courants.


-166-

Caractéristiques Valeur initiale à 20°C Variations avec la température

Masse volumique 3mKg 2500=ρ Constante

Conductivité thermique CmW 2.2 °=λ Loi définie à la figure III.33-a

Chaleur massique CKgJ 920 °=C Loi définie à la figure III.33-b

Tableau III.9: Caractéristiques thermiques du béton utilisées pour le calcul.

Les variations de la conductivité et de la chaleur massique avec la température, données

respectivement à la figure III.33, correspondent à celles recommandées par l’Eurocode 4

(1994).

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 200 400 600 800 1000

T (°C)

λ/λ2

0°

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

0 200 400 600 800 1000

T (°C)

C/C

20

°

(a) (b)

Figure III.33: Variation des caractéristiques thermiques avec la température :

(a) Conductivité thermique; (b) Chaleur massique.

La sollicitation thermique appliquée à ces dalles est caractérisée par la courbe donnant la

température imposée sur la face chauffée en fonction du temps représentée à la figure III.34.

Les distributions de température dans l’épaisseur, obtenues à différents instants, sont

présentées à la figure III.35. Les isothermes sont parallèles à la face chauffée. Le gradient

thermique est très important dans le tiers inférieur des dalles et augmente avec la température.

Nous pouvons également observer que les aciers sont rapidement affectés par les températures

élevées.


-167-

0

200

400

600

800

1000

1200

0 50 100 150 200 250

Temps (min)

T (

°C)

0

50

100

150

0 200 400 600 800 1000

T (°C)

Hau

teur

(m

m)

Temps (min)510203040506090

Position des aciers

G1

G3

Figure III.34: Température imposée sur

la face chauffée en fonction du temps.

Figure III.35: Distribution de température

dans l’épaisseur à différents instants.

Les caractéristiques mécaniques utilisées pour le béton et l’acier sont recensées dans le

tableau III.10. Les auteurs des essais ne fournissant pas de données concernant leurs

variations avec la température, nous avons utilisé des lois généralement observées pour des

bétons courants. Les variations de la limite élastique de l’acier Y et de son module d’élasticité

aE ont été prises en compte suivant les lois proposées par les règles de calcul de résistance au

feu des matériaux et éléments de construction P92-701 (1993). Enfin, une valeur courante a

également été adoptée pour le coefficient d’interaction thermo-mécanique.

Béton Valeur à 20°C Variations avec la température

Module d’élasticité E (N/mm2) 1042 3× Loi définie à la figure III.36-a


Résistance en compression cf (N/mm2) 43 Loi définie à la figure III.36-b

Résistance en traction tf (N/mm2) 6.2=tf Loi définie à la figure III.36-b

Rapport cbc ff=β 16.1 Loi définie à la figure II.3

Coefficient de dilatation thermique α 61010 −× Loi définie à la figure III.37

Coefficient d’interaction35.20 =β

20.0=γ Constant


tc GG 0 10=Constant


-168-

Paramètres du modèle

25.0=tD

18.0=cD

2.0=gα

Constant

Acier Valeur à 20°C Variations avec la température

Module d’élasticité aE (N/mm2) 310215× Loi définie à la figure III.38-a

Limite d’élasticité Y (N/mm2) 504 Loi définie à la figure III.38-b

Tableau III.10: Caractéristiques mécaniques du béton et de l’acier.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 200 400 600 800 1000

T (°C)

E/E

20

°

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 200 400 600 800 1000

T (°C)

fc/f

c20°

(a) (b)

Figure III.36: Variation des caractéristiques mécaniques du béton avec la température : (a) Module

d’élasticité ; (b) Résistance en compression.

0

0,5

1

1,5

2

0 200 400 600 800 1000

T (°C)

α/α

20

°

Figure III.37: Lois de variation du coefficient de

dilatation thermique du béton.


-169-

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 200 400 600 800 1000

T (°C)

Ea/E

a2

0°

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 200 400 600 800 1000T (°C)

Y/Y

20°

(a) (b)

Figure III.38: Variation des caractéristiques mécaniques de l’acier avec la température : (a) Module

d’élasticité ; (b) Loi de variation de la limite élastique.

La figure III.39 présente le déplacement vertical à mi-travée en fonction du temps de

chauffage pour les deux dalles.

0

50

100

150

200

250

0 30 60 90 120

Temps (min)

Flè

che

(mm

)

Experience G3

Modèle G3

Modèle G1

Experience G1

Figure III.39: Déplacement vertical à mi-travée en fonction du temps de

chauffage comparé aux résultats expérimentaux (Minne 1982).

Les résultats des calculs obtenus avec prise en compte du phénomène d’interaction thermo-

mécanique sont comparés aux résultats expérimentaux. Ils indiquent pour les deux dalles, une

bonne description du comportement global de la structure lorsque le phénomène d’interaction


-170-

thermo-mécanique est pris en compte. La différence dans l’amplitude du déplacement vertical

entre calcul et l’expérience, dans les deux cas, peut être attribuée à plusieurs hypothèses :

- Les hypothèses concernant les caractéristiques thermiques du béton et leurs évolutions qui

peuvent conduire à une sous-estimation du gradient thermique dans l’épaisseur de la dalle.

- Les hypothèses concernant les variations des caractéristiques mécaniques du béton qui

peuvent engendrer une sous-estimation de la dégradation de celles-ci. En particulier,

l’utilisation d’une énergie de fissuration constante avec la température peut ralentir le

développement de la fissuration dans la dalle par rapport à l’utilisation probablement plus

réaliste d’une énergie de fissuration décroissante.

- La non-prise en compte de la dégradation thermique de la liaison acier-béton peut

également expliquer le comportement plus raide décrit par le modèle.

La simulation, menée à la rupture, permet d’identifier le mode de ruine de ces structures. La

charge appliquée initialement provoque une légère fissuration de la dalle. Une importante

fissuration est rapidement développée par le gradient thermique, au tiers inférieur dans

l’épaisseur des dalles (Figure III.42). Les fissures sont perpendiculaires au plan moyen des

dalles.

Le gradient thermique engendre également un état de contrainte de compression parallèle à la

face chauffée sur la partie inférieure des dalles. La fissuration s’étend progressivement dans la

section sous l’effet de l’accroissement du gradient thermique et de la dégradation de la

résistance du béton à la traction (Figure III.43). La rupture se produit par plastification des

aciers dont les caractéristiques sont fortement affaiblies par la température.

Lorsque les déformations d’interaction thermo-mécanique ne sont pas prises en compte, la

rupture est prédite de façon prématurée (Figure III.40). Ainsi on peut observer que le

mécanisme de ruine prédit est identique dans les deux cas. Sous l’effet des contraintes de

compression, les déformations d’interaction thermo-mécaniques limitent les déformations

totales générées dans la partie inférieure des dalles. Ceci conduit à une redistribution des

déformations dans la section qui ralentit le développement de la fissuration et retarde la ruine.


-171-

0

50

100

150

200

250

0 30 60 90 120

Temps (min)

Flè

che

(mm)

Modèle: Th-M prise en compte

Modèle: Th-M négligée

Expérience G3

Figure III.40: Effet de la prise en compte de l’interaction thermo-mécanique.

Dalle G3 (Minne 1982).

Par ailleurs, il est également important de s’intéresser à la distribution de la contrainte

normale au centre de la dalle. La figure III.41 présente l’évolution des contraintes normales à

travers l’épaisseur de la dalle G1, pour trois temps du chauffage.

Au début de l’essai à 0=t , au début du chauffage, nous observons que le haut de la dalle est

sollicité en compression, par contre le bas de celle-ci est fissuré. Le renfort est alors sollicité,

dans cette zone, en traction. A 10=t minutes, nous pouvons observer l'impact de la

distribution non-linéaire de la température à travers l'épaisseur. Les fibres les plus basses sont

alors sollicitées en compression du fait de l'effet de dilatation thermique. Finalement à

40=t minutes, nous observons que les deux tiers inférieurs de la dalle sont complètement

fissurés. L’importance de la flèche fait, que les fibres inférieures sont soumises de nouveau à

la traction. La rupture se produit par plastification des aciers dont les caractéristiques sont

fortement affaiblies par la température. Ce mécanisme de ruine est en accord avec les

observations expérimentales.


-172-

0

30

60

90

120

150

-20 -15 -10 -5 0 5

Contrainte (N/mm2)

Hau

teur

(m

m )

0 min

40 min

10 min

Figure III.41: Evolution de la contrainte dans le béton à mi-travée

en fonction du temps (Dalle G1).

Les figures III.42 et III.43 présentent des cartes d’isovaleurs de l’endommagement mécanique

et thermique à 100 °C et 800 °C. On peut observer que l’endommagement mécanique est

localisé dans la zone la plus sollicitée en flexion qui est le tiers inférieur de la dalle. En ce qui

concerne les isovaleurs d’endommagement thermique, on observe qu’elles sont parallèles à la

face chauffée et de par sa localisation traduit l’écaillage de cette face.

(a)


-173-

Figure III.42: Isovaleurs du paramètre d’endommagement mécanique à

100°C (a), et 800°C (b).

Figure III.43: Isovaleurs du paramètre d’endommagement thermique à

100°C (a), et 800°C (b).

(b)

(a)

(b)


-174-

III-4 CONCLUSION

Nous avons présenté dans ce chapitre quelques exemples d’applications du modèle développé.

Les différentes simulations réalisées ont permis de montrer son aptitude à représenter

correctement des chargements mécaniques et thermomécaniques complexes.

Les trois applications cycliques du modèle montrent une bonne gestion de l’évolution de

l’endommagement pendant les cycles charge/décharge. L’utilisation de la déformation

plastique cumulée pour gérer l’endommagement semble être une façon adéquate pour

l’estimation de la dégradation. Les lois adoptées donnent une bonne estimation de

l’endommagement et de la déformation plastique au cours du chargement. Les différentes

applications réalisées en conditions anisothermes mettent clairement en évidence le rôle joué

par les déformations d’interactions thermo-mécanique. La capacité du modèle à restituer

l’effet de dépendance à l’historique des chargements thermiques et mécaniques a été en

particulier vérifiée.

Trois autres applications du modèle sont proposées pour l’analyse de structure en béton et

béton armé sous sollicitations mécanique et thermo-mécaniques. Ces études nous ont permis

de valider la capacité de notre modèle à fournir une prédiction fiable du comportement des

structures d’une part, et à apporter également, une contribution à la compréhension des

mécanismes de ruines des différents types de structures, d’autre part.

Nous avons pu identifier quelques imperfections du modèle. La première est liée à la courbe

d’écrouissage adoptée, qui ne permet pas de restituer à la fois énergie de fissuration et la

déformation au pic. Cet aspect nous a empêché de décrire d’une manière satisfaisante le

comportement post-pic surtout dans le cas de chargement de compression. Le second aspect

est lié au caractère isotrope de l’endommagement. Il ne permet pas en effet de caractériser

d’une manière correcte le profil de fissuration.

On peut aussi noter que dans le cas du phénomène unilatéral, la réalité physique se trouve

entre la réponse donnée par le modèle et celle fournie par celui de Ramtani. Ce sujet doit être

examiné avec plus de finesse.


-175-

Une autre faiblesse est liée au caractère local des relations constitutives de notre modèle. Le

passage à une modélisation non-locale est nécessaire dans le but d’avoir une prédiction plus

fiable du comportement du béton au voisinage de la ruine.

Conclusion

-176-

CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES

Dans ce travail, on a cherché à modéliser au niveau macroscopique, les différents aspects du

comportement du béton sous sollicitations thermo-mécaniques. Pour cela, on a essayé de

baser les développements de notre modèle sur quelques résultats expérimentaux permettant

d’identifier les paramètres importants dans le comportement du matériau à haute température

et principalement, dans la gamme de température 20°C-1200°C, couvrant les situations

d’incendies et d’accidents nucléaires.

L’importance de la variation de la déformation plastique (régissant le processus de

fissuration) et de la température en ce qui concerne la description macroscopique non-linéaire

du béton, nous a amené à introduire, dans une modélisation thermo-élasto-plastique

endommageable, deux variables d’états prenant en compte les effets du chargement thermo-

mécanique au niveau macroscopique du matériau.

Un nouveau concept est alors proposé, liant la variable d’écrouissage plastique à la variable

d’endommagement mécanique. La variable d’endommagement thermique quant à elle, est

déterminée d’une façon classique à partir de la variation du module d’élasticité avec la

température. En complément à ces développements, un procédé simple est mis en place pour

la gestion de la refermeture des fissures lors d’un chargement cyclique. Un critère de plasticité

adapté à la description des surfaces de rupture du béton sous hautes température est alors

repris et enrichi pour une meilleure modélisation du béton.

Suite à ces développements, on dispose alors d’un modèle nous permettant de reproduire le

comportement expérimental du béton à hautes températures aussi bien dans le domaine de la

compression que dans celui de la traction en monotone ou en cyclique. L’ensemble de ses

paramètres est identifiable expérimentalement par des essais simples et réalistes. Outre les

aspects de développements, une partie de ce travail a été consacrée pour rendre ce travail

utilisable par l’ingénieur. Ce modèle fut implanté dans le code de calcul par éléments finis

CAST3M développé par le commissariat à l’Energie Atomique C.E.A. (Millard 1993). Ce

Conclusion

-177-

code est adapté à la simulation numérique des structures. L’implémentation de la loi de

comportement thermo-elasto-plastique endommageable a nécessité le développement

d’algorithmes implicites pour l’actualisation des contraintes intégrant le terme fluage

transitoire au niveau des équations constitutives. Ceci permet d’intégrer l’influence du

chargement mécanique sur le processus de déformation thermique du béton.

Le modèle de comportement développé a alors été validé par la simulation d’essais

mécaniques et thermo-mécaniques sur éprouvettes ou sur structures dont les résultats ont été

comparés avec ceux expérimentaux disponibles. Une bonne corrélation avec l’expérience a

été constatée, la reproduction des différents comportements pris en compte lors de

l’élaboration du modèle étant suffisamment précise (Endommagement mécanique,

endommagement thermique, décohésion thermique, comportement unilatéral et phénomène

d’interaction thermo-mécanique). Dès lors, le modèle développé dans l’objectif d’une

utilisation par l’ingénieur, a été appliqué à un problème pratique de résistance au feu. Cette

simulation met clairement en évidence le rôle joué par les déformations d’interaction thermo-

mécanique. La capacité du modèle à restituer l’effet de dépendance à l’histoire des

chargements thermiques et mécaniques a été, en particulier, vérifiée. L’étude nous a permis

aussi de valider la capacité de notre modèle à fournir une prédiction fiable du comportement

des structures d’une part, et d’apporter également, une contribution à la compréhension des

mécanismes de ruine sous sollicitations thermo-mécaniques, d’autre part.

Cependant, au delà de ces performances et malgré ces résultats prometteurs, le modèle

présente quelques limites qui rendent nécessaires des développements ultérieurs. Les quelques

propositions qui suivent constituent un ensemble de sujets de recherche qui semblent

souhaitables pour approfondir les connaissances actuelles sur le comportement du béton sous

sollicitations thermo-mécaniques.

- Une des limites reste le caractère isotrope de l’endommagement. Cette lacune peut

conduire à une réponse erronée du modèle dans le cas ou le chargement appliqué au

matériau est fortement non radial. Elle nous a empêché de caractériser d’une manière

correcte, le profil de fissuration. Une solution prometteuse pour conserver le formalisme

d’endommagement plastique développé dans ce travail est d’utiliser une loi d’écrouissage

anisotrope. Cette voie fera l’objet de notre futur travail de recherche.

Conclusion

-178-

- La modélisation du comportement du béton à haute température ne saurait être complète

sans une compréhension plus fine du couplage mécanique-thermique pour des

sollicitations biaxiales voire triaxiales. Au préalable, il convient naturellement de mener à

bien des campagnes expérimentales dans ces domaines, permettant l’obtention de données

fiables sur l’effet du processus de déformation et d’endommagement sur la propagation de

la chaleur (conductivité thermique, capacité calorifique,…). Cela nous permettra

d’effectuer un calcul couplé du problème thermo-mécanique.

- Les résultats expérimentaux, sur le comportement unilatéral, montre un certain manque de

réalisme dans la description de la refermeture des fissures. Cet aspect doit être approfondi

avec plus de finesse pour une meilleure description des phénomènes. De nouvelles

comparaisons calculs/expériences sur d’autres exemples doivent être menées pour pouvoir

continuer la validation et assurer la réalisation de calculs prédictifs aussi bien du point de

vue mécanique que thermique.

- En complément de ce travail, une modélisation adéquate de l’adhérence acier-béton sous

sollicitations thermo-mécaniques semble nécessaire pour mieux décrire la ruine de

structures armées. En effet, la dégradation de la liaison acier-béton, observée

expérimentalement, n’est pas prise en compte. Une approche, par introduction dans le

système général, de degrés de liberté supplémentaires, traduisant le glissement relatif entre

l’acier et le béton, semble une voie prometteuse pour traiter ce problème (Ulm 1996).

- Il apparaît de plus comme naturel dans les travaux futurs de devoir étendre le modèle de

comportement à une configuration à trois dimensions. Cependant, il faut remarquer que

cela conduit à considérer dans la construction du modèle, le couplage de trois critères, ce

qui peut constituer une difficulté majeure. Une étude doit être menée pour savoir s’il n’est

pas plus avantageux d’utiliser un critère unique (Ottosen, Willam-Warnke à 5 paramètres)

qu’une surface cap.

- Un effort particulier devra être fait dans l’avenir dans le traitement des effets dus à de

hautes températures sur le comportement du béton. En effet, dans cette approche, basée

sur la mécanique des milieux continus, le comportement thermo-mécanique du béton est

modélisé par l’introduction de deux variables d’endommagement, ainsi que l’utilisation de

lois de comportement dépendantes de la température et enfin, l’introduction de lois

Conclusion

-179-

phénoménologiques permettant de lier la déformation thermique à l’état de contrainte

appliqué pendant le chauffage (interaction thermo-mécanique). Ce type de modélisation

permet, comme nous l’avons vu, de traiter de façon satisfaisante un certain nombre de cas

de structures mais se heurte à l’identification des lois d’endommagements avec la

température ainsi que les lois de variation des caractéristiques thermiques, mécaniques et

des paramètres d’interaction thermo-mécaniques du béton avec la température. Les

résultats des essais de caractérisation restent en effet très fortement dépendants des

conditions thermiques, hydriques et mécaniques appliquées (vitesse de chauffage,

confinement hydrique ou non, charge appliquée pendant le chauffage …). Les procédures

d’essai utilisées reproduisent ainsi rarement les conditions dans lesquelles se trouve le

béton au sein d’une structure. Ce type de modélisation peut donc dans certains cas,

conduire à une prédiction erronée du comportement de structures en béton soumises à des

sollicitations thermo-mécaniques sévères.

La mécanique des milieux poreux (Coussy 1985) offre un cadre théorique pertinent pour

l’intégration de ces éléments dans un modèle permettant l’analyse du comportement du

béton sous chargements mécaniques et thermiques et hydriques à hautes températures

combinées. L’utilisation du cadre thermo-poro-plastique endommageable constitue une

perspective intéressante pour prendre en compte les principaux couplages thermo-hydro-

chemo-mécaniques.

- La dernière catégorie de limites du modèle est liée au caractère local des relations

constitutives. En effet, le problème de localisation n’a été que partiellement abordé dans

ce travail. Le passage à une modélisation non-locale est nécessaire dans le but d’avoir une

prédiction plus fiable du comportement du béton au voisinage de la ruine. Dans notre cas,

(écoulement non-associé) l’instabilité peut toutefois survenir avant le pic.

L’utilisation d’une approche non-locale de type intégrale ou au gradient semble poser un

certain nombre de problèmes (détermination du gradient de la variable non-locale), vu la

forme particulière du critère (critère multi-surfaces). Une étude doit être menée pour

savoir si ce n’est pas plus avantageux d’utiliser un critère unique (Ottosen, Willam-

Warnke à 5 paramètres) pour ce type de problème.

Conclusion

-180-

En dynamique, l’introduction d’une dépendance de la réponse du matériau à la vitesse de

déformation introduit une longueur interne qui permet aux équations du mouvement de

demeurer hyperboliques en présence d’adoucissement, le paramètre de viscosité jouant

alors le rôle de longueur interne. Cependant, il a été démontré, que la régularisation

diminue ou perd son effet pour des problèmes quasi-statiques (Sluys 1992).

Dans le cas de notre modèle et pour le cas de dynamique, cette possibilité est facilement

exploitable, l’extension à la viscosité ne pose aucune difficulté. L’utilisation du modèle de

Duvaut-Lions pour introduire la viscosité, permet de conserver les équations du modèle

plastique endommageable. Un développement plus détaillé de cette solution est abordé

dans l’annexe D.

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Annexe A Notations

-193-

ANNEXE A

ANNOTATIONS

L’ensemble des symboles suivants sont utilisés dans ce travail:

cctt b,aba , , : respectivement, paramètres du modèle pour la loi du comportement

uniaxiale en traction et en compression ;

ct cc , : respectivement, paramètres du modèle pour la loi d’endommagement

uniaxiale en traction et en compression ;

C : chaleur spécifique ;

d : variable d’endommagement total ;

ct DDD , , : respectivement, variable d’endommagement mécanique : total, en

traction et en compression ;

e : énergie interne par unité de masse ;

EE ,0: tenseur de rigidité élastique et endommagé du matériau ;

E : module de Young ;

ct FF , : respectivement, fonction de charge en traction et en compression ;

ct GG , : respectivement, potentiel plastique en traction et en compression ;

00 , ct ff : respectivement, limite d’élasticité en traction et en compression ;

ct ff , : respectivement, résistance du béton en traction et en compression ;

bcf : résistance de compression biaxial ;

1I : premier invariant du tenseur des contraintes ;

2J : deuxième invariant du déviateur des contraintes ;

K : module de compressibilité ;

0p : paramètre du module pour l’effet unilatéral ;

q : vecteur flux de chaleur ;

Q : tenseur d’ordre quatre du fluage transitoire ;

r : facteur poids ;

s~ : tenseur déviateur des contraintes ;

Annexe A Notations

-194-

s : entropie du matériau ;

S : section vierge ;

S~ : section résistante ;

T : température ;

0T : température de référence ;

α : coefficient de dilatation thermique ;

γβ ,0: paramètres du modèle pour le fluage transitoire ;

βα ,f: coefficients de la surface de charge en compression ;

gα : coefficient du potentiel plastique;

ct λλ , : respectivement, multiplicateur plastique en traction et en compression ;

tmpe εεεεε , , , , θ : respectivement, le tenseur de déformation total, élastique, plastique,

thermique et celui de l’interaction thermo-mécanique ;

θ : température relative ;

λ : coefficient de conductivité ;

κ : paramètre d’écrouissage ;

Λ : variable d’endommagement thermique ;

ρ : masse volumique du matériau ;

σσ ~ ,, : tenseur de contrainte et tenseur de contrainte effective ;

Iσ~ : contrainte principale ;

cctt ττττ ~ , ,~ , : respectivement, la loi de comportement uniaxiale en traction et celle en

compression dans l’espace des contraintes réelles et celui des contraintes

effectives ;

pe ψψψ , , : respectivement, potentiel thermodynamique endommageable total,

thermoélastique et thermoplastique ;

Annexe B Méthode de régularisation

-195-

ANNEXE B

METHODE DE REGULARISATION

(HILLERBORG 1976)

Comme on a vu au chapitre II le comportement du matériau est modélisé selon une approche

de fissuration répartie "Smeared Crack" formulée dans le cadre de la théorie de la plasticité

couplée à l’endommagement. Le matériau fissuré est toujours considéré comme un milieu

continu pour lequel les notions de contrainte et de déformation restent applicables. Le

matériau réel fissuré est modélisé par un matériau homogène équivalent dans lequel

l’ouverture de fissure est assimilée à une distribution de la déformation plastique.

Ce type de représentation de la fissuration est schématisé à la figure B.1 présentant le milieu

réel fissuré et le milieu homogène équivalent. Sur cette figure, cl désigne la longueur du

volume élémentaire considéré comme représentatif, mesurée perpendiculairement au plan de

fissure.

σ σ

u

σ σ

lc

ε p

Figure B.1 : Représentation d’une fissure discrète par

une fissuration répartie (Meftah 1997)

L’énergie dissipée par unité de surface xG ( tx = pour la traction et cx = pour la

compression) pour ouvrir une fissure dépend de l’amplitude du déplacement des lèvres de la

fissure :

∫=ru

x duG0

σ (B.1)

où u est le déplacement d’ouverture de fissure (figure B.1)


-196-

Dans le milieu homogène équivalent, la densité d’énergie dissipée par unité de volume

s’exprime par :

∫∞

=0

κτ dgx (B.2)

En utilisant l’expression (II.30) de la loi uniaxiale, on trouve :

+=

210 x

x

xx

a

b

fg (B.3)

où 0xf est la contrainte limite d’élasticité fonction de la température ( tt ff =0 pour la traction

et cc ff 3.00 = pour la compression), ( )ba , sont les paramètres du modèle. Par définition, le

milieu homogène équivalent dissipe la même quantité d’énergie que le milieu réel. On peut

donc établir la relation :

xccx gldlG 0

== ∫∞

κτ (B.4)

Que l’on peut également écrire sous la forme:

c

xx l

Gg = (B.5)

Nous sommes maintenant amenés à définir une condition d’applicabilité de cette méthode. En

effet, lorsque la longueur cl dépasse une certaine valeur, le matériau développe un

comportement fragile conduisant à une instabilité du processus d’intégration des équations

constitutives (Rots 1988). Cette instabilité est liée à l’interprétation dans le cas d’un matériau

à écrouissage négatif des critères de charge et de décharge définis en plasticité par les

conditions de Kuhn-Tucker (II.87). Il est alors nécessaire d’imposer une condition sur la pente

de la courbe d’adoucissement ( )θκτ , :

Dans le cas d’une seule surface active, la condition de consistance s’exprime dans l’espace

des contraintes effectives par :

0 ~ =∂∂++= θ

θκ

FhF T σ n (B.6)

où


-197-

κ∂∂=

∂∂= F

hF

;~σn (B.7)

En combinant cette condition avec les relations (B.6, II.11, II29 et II.91), on peut exprimer le

taux de multiplicateur sous la forme:

( )hL

F

T

TtmT

0

00

+∂∂+−−

=mEn

EnEn θθλ

θ

εεε(B.8)

où

λκ ;~ LG =

∂∂=

σm (B.9)

La condition de charge (II.87) peut alors s’écrire:

( )0

0

00

≥+

∂∂+−−

hL

F

T

TtmT

mEn

EnEn θθ

θ εεε(B.10)

Selon la condition (II.87), un point est considéré en décharge élastique lorsque :

0 ~ <∂∂++= θ

θκ

FhF T σ n (B.11)

De plus, on a dans ce cas:

0== κpε (B.12)

En introduisant l’expression de σ~ définie à l’équation (II.11) et la relation (B.12) dans la

relation (B.11), cette condition de décharge s’exprime:

( ) 000 <∂∂+−− θ

θθ

FTtmT EnEn εεε (B.13)

On définit par opposition la condition de charge:

( ) 000 ≥∂∂+−− θ

θθ

FTtmT EnEn εεε (B.14)

La condition (B.10) se ramène alors à la relation:

0 0 ≥+ hLT mEn (B.15)

Dans le cas d’un écoulement associé la relation (B.15) devient :


-198-

h 0 −≥E (B.16)

En utilisant la loi uniaxiale définie par l’équation (II.30). On montre aisément que la valeur de

la pente d’adoucissement xh est donnée par la relation:

( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

−−−−−+

Λ−−=

−

−

x

x

x

x

b

c

xxxxxb

c

xxxxxx

x bcbabcbaf

h 210 exp2 exp11

κκ (B.17)

La pente maximum post-pic à la fin de l’écoulement plastique est donnée lorsque κ atteint sa

valeur ultime uκ . En combinant la relation (B.17) et (B.5), on trouve :

( )( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

−−−−−+

+Λ−

−=

−

−

x

x

x

x

b

c

uxxxxb

c

uxxxxx

c

xx bcbabcbaa

l

Gbh 21

max exp2 exp1

211

κκ

(B.18)

La condition d’applicabilité s’exprime alors :

( )( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

−−−−−+

+Λ−

≤

−

−

x

x

x

x

b

c

uxxxxb

c

uxxxxx

xx

T

c

bcbabcbaa

L

Gbl

21

0

exp2 exp1

21 1

κκ

mEn(B.19)

Dans le cadre de la méthode des éléments finis, le volume élémentaire représentatif du milieu

fissuré défini précédemment est assimilé à un élément du maillage. Lors du calcul d’une

structure quelconque pour laquelle on ne connaît pas a priori le faciès de rupture, la

détermination de la longueur caractéristique est délicate. En effet cette longueur se mesurant

perpendiculairement au plan de fissure, il est nécessaire de connaître la position exacte de ce

dernier avant le calcul de manière à détecter les éléments candidats à la fissuration. Plusieurs

auteurs se sont penchés sur la détermination de cette longueur caractéristique lorsque l’on ne

dispose pas de cette information. Dans un calcul par la méthode des éléments finis, cl doit

selon la majorité des auteurs être liée à une dimension représentative des éléments (Bazant &

Oh 1983, Rots 1988). Elle dépend en toute rigueur du type d’élément, de la taille des

éléments, de leurs fonctions de forme et même de la position de l’élément considéré dans le

maillage (présence d’une condition au limite en connexion avec l’élément). Une estimation

très simple a été proposée par Rots (1988) pour les cas bidimensionnels:


-199-

ec Arl = (B.20)

où eA est l’aire de l’élément considéré et r est un facteur correcteur égal à 1 pour les

éléments quadratiques et à 2 pour les éléments linéaires. En pratique cette estimation

convient pour des éléments de forme régulière mais peut s’avérer insuffisante pour des

éléments de forme quelconque, de plus en plus répandus dans les maillages non-structurés.

Millard (1996) propose une méthode permettant de corriger cette estimation en fonction de la

forme de l’élément. Nous nous limitons toutefois ici à l’utilisation de l’estimation proposée

par Rots (B.20).

La condition d’applicabilité, interprétée de façon pratique indique que la méthode de

conservation de l’énergie de rupture équivalente ne peut être appliquée que pour des éléments

dont la taille ne dépasse pas la longueur caractéristique intrinsèque du matériau cl corrigée

d’un coefficient tenant compte de la forme et de la nature des éléments en question. Enfin, la

longueur caractéristique cl est considérée ici comme indépendante de la température,

uniquement liée comme nous l’avons vu à la taille et à la nature des éléments.

Annexe C Formulation thermodynamique

-200-

ANNEXE C

FORMULATION THERMODYNAMIQUE

(INTERACTION THERMO-MECANIQUE NEGLIGEE)

Afin de définir clairement et séparer les différents couplages entre les variables d'état de ce

modèle, il est intéressant d'utiliser le cadre théorique de la thermodynamique des milieux

continus. Rappelons tout d'abord l'expression de la dissipation totale du système.

( ) 0.: ≥−+−=T

gradTTs q ψρϕ εσ (C.1)

où ( )κε , , , Λ= Deψψ est l'énergie libre du système, fonction des différentes variables d'état

du système.

On peut décomposer la dissipation ϕ (équation C.1) en la somme de deux termes:

( )Ts +−= ψρϕ εσ :11 (C.2)

02 ≥−=T

gradTqϕ (C.3)

où 1ϕ et 2ϕ représentent respectivement la dissipation intrinsèque (mécanique) et la

dissipation thermique, associée au transport de chaleur.

Sous l'hypothèse du découplage entre dissipation thermique et mécanique, le second principe

de la thermodynamique impose que la dissipation mécanique soit positive. En remplaçant la

différentiation de l'énergie libre par rapport aux variables d'états dans l'inégalité (C.2), on

obtient :

0:: ≥ΛΛ∂

∂−∂∂−

∂∂−

∂∂+−+

∂∂−

ψρψρψρψρψρ DD

TT

spe

eκ

κεσε

εσ (C.4)

expression où l'on remarque que les quatre premiers termes sont classiquement définis dans la

formulation thermodynamique des modèles thermo-élasto-plastiques et conduisent aux

équations d'état suivantes:


-201-

pe εεσ

∂∂−=

∂∂= ψρψρ ;

Ts

∂∂−= ψ

; κ∂

∂= ψρA (C.5)

Elles définissent le tenseur de contrainte σ , l'entropie s et le tenseur force d'écrouissage A

comme les forces thermodynamiques associées aux évolutions des variables de déformation

plastique, de température et d'écrouissage.

Auxquels vient s'ajouter deux équations supplémentaires définissant la force

thermodynamique Y associée aux évolutions de la variable d'endommagement mécanique D

et la force thermodynamique X associée aux évolutions de la variable d'endommagement

thermique Λ modélisant au niveau macroscopique les phénomènes physique à l'origine des

effets du chargement thermique et mécanique :

DY

∂∂−= ψρ (C.6)

Λ∂∂−= ψρX (C.7)

En élasto-plasticité (ou viscoplasticité), les déformations n'interviennent que sous la forme de

leur partition, soit :

ep εεεε =−− θ (C.8)

L’énergie libre peut se mettre sous la forme :

( )κε , , , , Λ= De θψψ (C.9)

Cette dernière équation peut s’exprimer en fonction du potentiel thermodynamique du

matériau non endommagé par :

( ) ( ) ( )( )Λ−−=−= 11 avec , , 1 0 Ddd e κε θψψ (C.10)

Intéressons nous maintenant à l'expression de l'énergie libre. Nous adoptons dans tout ce qui

suit l'hypothèse du découplage entre les effets d'écrouissage et autres. Le potentiel

thermodynamique ψ s'écrit sous cette hypothèse sous la forme :

( ) ( )κε pee000 , ψθψψ += (C.11)

le potentiel thermodynamique élastique du matériau vierge est donné par :


-202-

( )0

2

0000 2

1

2

1 ,

TCeeeee θθθρψ −−= εεεεε ::: mE (C.12)

dans lequel 0C représente la chaleur spécifique, 0T la température de référence du système et

0E le tenseur de rigidité initial du matériau non endommagé.

Le tenseur du deuxième ordre de couplage thermo-mécanique 0 m est donné par :

1m ⋅= α00 3 K (C.13)

αet 0K désignent respectivement le module de compressibilité volumique et le coefficient de

dilatation thermique, 1 représente le tenseur unité.

Le potentiel thermodynamique plastique associé à la contrainte effective est étendu à la

thermoplasticité est donnée par (Lee 1998) :

( ) ( ) ( )

+−= ∫ ∫∫

t c

dTdTd ccttpp

κ κ

κκτκκτρψ0 0

0 ,~ ,~εσκ : (C.14)

La donnée de ces potentiels thermodynamiques permettent d'écrire les lois d'états:

( )( )00 :1 m E θεψρ −−=

∂∂

= eee d εσ (C.15)

( )

+−=

∂∂

−= ee

T

Cd

Ts ε:1 0

0

0 mθψ

(C.16)

( ) 0 1 ψΛ−=Y (C.17)

( ) 0 1 ψDX −= (C.18)

( )( )

−=T

T

cc

tt

,~ ,~

κτκτ

A (C.19)

En remplaçant les équations (C.15 à C.19) dans l’équation (C.4), on obtient :

( ) ( ) ( ) ( ) 0 ,~ ,~ 11 0 ≥++Λ−+Λ−+ ccctttp TTDD κκτκκτψ ε:σσ (C.20)

L’inégalité (C.20) est positive si et seulement si :


-203-

Le potentiel plastique est une fonction convexe ( pε:σσ ), 0et 0 ≥Λ≥ D , également 0≥xκ .

Ainsi la dissipation intrinsèque est toujours positive.

Annexe D Extension au vico-endommagement

-204-

ANNEXE D

EXTENSION AU VISCO-ENDOMMAGEMENT

(CAS D’UN CALCUL MECANIQUE SEUL)

D-1 Modélisation visco-endommageable

Nous ne détaillerons pas toutes les équations du modèle dans ce paragraphe ; ces dernières

étant de près semblables au modèle initial présenté dans le chapitre II.

On notera seulement que les développements qui suivent sont élaborés pour un calcul

mécanique seul sans partie thermique.

La viscosité est introduite de manière linéaire dans le modèle plastique endommageable,

présenté dans le chapitre II. Dans le modèle de Duvaut-Lions, le taux de déformation

viscoplastique est exprimé comme suit :

( )σσε −= −11ü

ηvp (D.1)

ou σ est la projection de l’état de contrainte sur la surface de charge et η , est le paramètre de

viscosité représentant le temps de relaxation du système viscoplastique.

Le modèle original de Duvaut-Lions peut être généralisé à une multitude de modèles en

définissant seulement la contrainte de projection σ .

En utilisant l’équation (II.10) liant le tenseur de contrainte σ au tenseur de contrainte

effective σ~ , la relation (D.1) devient :

( )[ ]σσε ~11 1 dvp −−= −ü

η (D.2)

La relation contrainte-déformation devient alors :

[ ]( ) 01 üü

ü

d

vp

−=−= εεεσ

(D.3)

En remplaçant les équations (D.3, D.2) dans l’équation (D.1), on obtient :


-205-

( )vppvp εεε −=η1

(D.4)

D’une manière similaire, le taux d’endommagement est donné par :

( )ddd −=η1

(D.5)

ou d est la variable d’endommagement définie par le modèle thermo-plastique

endommageable (dans le cas d’un calcul isotherme)

D-2 Intégration des équations

En se plaçant dans le cadre général de la plasticité couplée à l’endommagement, les équations

à résoudre se résument à calculer toutes les variables internes de la loi de comportement au

temps 1+nt connaissant l’état du matériau au temps nt .

Au temps 1+nt , la relation contrainte-déformation donnée par (D.3) s’écrit :

( ) [ ]vpnnnd 11011 +++ −−= εεεσ ü (D.6)

L’intégration de l’équation (D.4), nous permet d’obtenir le taux de déformation

viscoplastique. Ce dernier est donné par :

( )vpn

pn

vp t11 ++ −∆=∆ εεεε

η(D.7)

cette dernière équation (D.7), peut se mettre sous la forme :

vpn

pn

vpn tt

t εεε∆+

+∆+

∆= ++ ηη

η 11 (D.8)

D’une manière similaire, l’intégration de l’équation (D.5) donne :

nnn dt

dt

td

∆++

∆+∆= ++ η

ηη 11 (D.9)

Connaissant la déformation totale 1+nε , la déformation plastique pn 1+ε , et la variable

d’endommagement tiré d’un calcul plastique 1+nd , l’application des équations D.6, D.7 et

D.8, nous permet de calculer la déformation viscoplastique vpn 1+ε et la variable

d’endommagement totale 1+nd .


-206-

D-3 Construction de l’opérateur tangent pour le modèle proposé

Comme dans le cas de la thermo-plasticité endommageable, la linéarisation de la méthode de

Newton-Raphson se traduit par l’utilisation d’une matrice de raideur tangente. La construction

de celle-ci joue un rôle important dans la stabilité, la rapidité et la précision. Dans ce qui suit,

on donne les différentes équations permettant le calcul de l’opérateur tangent.

En substituant l’équation (D.8) dans l’équation (D.6), on obtient :

( )

∆+

+∆+

∆−−= +++vpn

pnnn tt

td εεεσ

ηη

η 11011 ü (D.10)

D’après l’équation (II.101), la déformation plastique peut être exprimée par la relation

suivante :

( ) 11

011~

+−

++ −= nnpn σεε E (D.11)

En remplaçant l’équation D.11 dans l’équation D.10, on obtient :

( ) ( ) 1101 ~

1++

+ ∆+−∆+

−= n

vpnn

n tt

dσεεσ üη

η(D.12)

La dérivée totale du vecteur de contrainte peut donc être obtenue. Elle s’exprime sous la

forme :

( ) ( ) 1101

111

1~

1~++

+++

++ ∆+

∆+−

+∆+∆+

−= nn

nn

vpn

nn dtd

t

dt

t

ddd σεσσσ üη

ηη

η(D.13)

où ( )vpnn

vpn εεσ −= ++ 101 ü (D.14)

D’après l’équation D.9 la dérivée de la variable d’endommagement est donnée par :

( ) ( )( )

11

1

11

~~ +

+

+

++

∆+∆=

∆+∆=

nn

n

nn

dd

dd

t

t

ddt

tdd

σση

η(D.15)


-207-

L’expression de l’opérateur tangent dans l’espace des contraintes effectives 1

1~

+

+

n

n

d

d

εσ

est fournie

au chapitre II par l’équation (II.175) dans le cas de deux critères actifs et par l’équation

(II.179) dans le cas d’un seul critère actif. L’expression de l’opérateur tangent est alors

obtenue en utilisant l’équation (D.13) :

( ) ( ) ( ) ( )1

1

1

11110

1

1

1~

~~1

11

+

+

+

++++

+

+

+

∆+∆+

−−∆+

∆+∆+

−=

n

n

n

nn

vpnn

n

n

n

d

d

d

ddt

td

t

t

t

d

d

d

εσ

σσσ

εσ η

ηηη

ηIü (D.16)

Une remarque sur le cas limite de ce modèle peut être faite. En effet, dans le cas d’un

comportement plastique 0→η , on retrouve l’opérateur tangent plastique (équations II.176 et

II.179).

FOLIO ADMINISTRATIF

THESE SOUTENUE DEVANT L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

NOM : NECHNECH DATE de SOUTENANCE(avec précision du nom de jeune fille, le cas échéant) Le 14 Décembre 2000

Prénoms : WahidTITRE :

Contribution à l’étude numérique du comportement du béton et des structuresen béton armé soumises à des sollicitations thermiques et mécaniques couplées :

Une approche thermo-élasto-plastique endommageable.

Nature: Doctorat Nouveau régime Numéro d’ordre : 00 ISAL 0084

Formation doctorale : Génie Civil : Sols, Matériaux, Structures, Physique du bâtiment

Cote B.I.U. – Lyon : / et bis CLASSE :

RESUME :

Le but de cette recherche consiste en l’élaboration d’un modèle Eléments Finis pour l’analyse des structures en bétonarmé sous sollicitations thermiques et mécaniques combinées.

Une synthèse des résultats disponibles sur le comportement du béton sous sollicitations thermiques et mécaniques estexposée. Les différents comportements du béton qui peuvent être rencontrés et notamment en analyse thermo-mécanique sont soulignés (Endommagement, phénomène unilatéral, interaction thermo-mécanique,…). Les diversesfamilles de modélisation sont par la suite analysées en soulignant les aspects importants du comportement quechacune peut reproduire.

Un nouveau modèle thermo-plastique endommageable est alors développé, permettant de rendre compte des diversphénomènes recensés lors de la synthèse. Ce modèle est construit dans le cadre de la thermodynamique des processusirréversibles et plus particulièrement sur la thermo-plasticité couplée à l’endommagement. Un couplage entre leniveau d’écrouissage atteint et l’endommagement est proposé. Deux variables d’endommagement scalaires y sontintroduites. Une première variable permet la modélisation des effets du chargement mécanique et la seconde sert àreprésenter les effets du chargement thermique. Les relations constitutives de la réponse thermo-élasto-plastique sontdécouplées de celles de la réponse endommagée en utilisant le concept de la contrainte effective. Cette méthodeconfère une souplesse dans l’implémentation numérique. En complément à ces développements, un procédé simpleest mis en place pour la gestion de la refermeture des fissures lors d’un chargement cyclique. Un critère de plasticité,adapté à la description des surfaces de rupture du béton sous hautes température, est alors repris et enrichi pour unemeilleure modélisation du béton.

Ce modèle est mis en œuvre dans l’analyse du comportement de spécimens en béton et de structures en béton armésoumis à des sollicitations thermo-mécaniques cycliques à hautes températures.

MOTS-CLES : Béton, Déformation fluage, Endommagement, Fissuration, Modélisation, Surface multiple, Thermoplasticite, Transitoire, Unilatéral

Laboratoire (s) de recherches : Laboratoire URGC-Structures (INSA de Lyon)

Directeurs de thèse : Jean-Marie REYNOUARD Fekri MEFTAH

Président de Jury : François SIDOROFFComposition du Jury : MM. ANDRIEUX S., HEINFLING G., MEFTAH F., MILLARD A., PIJAUDIER-CABOT G., REYNOUARD J.M., SCHREFLER B., SIDOROFF F.

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