Modélisation des convertisseurs à docoupage pour la...

N° D'odre: 98 ISAL 0001 Année 1998

THESE

présentée

DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR

FORMATION DOCTORALE: Dispositifs de l'Electronique Intégrée

ECOLE DOCTORALE: Electronique, Electrotechnique, Automatique

par

Philippe LAUTIERIngénieur de l'Institut National des Sciences Appliquées de Lyon

Modélisation des convertisseurs à découpage

pour la conception et la commande:

Application à l'onduleur

Soutenue le 9 Janvier 1998 devant la commission d'examen

Jury MM. Joseph BERETTA Industriel ExaminateurJean-Pierre CHANTE Professeur ExaminateurBernard De FORNEL Professeur RapporteurFrançois FOREST Professeur ExaminateurDaniel MEDAULE Industriel ExaminateurHervé MOREL Chargé de recherches ExaminateurRobert PERET Professeur RapporteurJean-Marie RETIF Maître de Conférences Directeur

Cette thèse à été préparée au laboratoire CEGELY de l'INSA de LYON

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Janvier 1998Institut National des Sciences Appliquées de Lyon

Directeur : J. Rochat

Professeurs S. AUDISIO PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEJ.C. BABOUX GEMPPM*B. BALLAND PHYSIQUE DE LA MATIERED. BARBIER PHYSIQUE DE LA MATIEREG. BAYADA MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUEC. BERGER (Mlle) PHYSIQUE DE LA MATIEREM. BETEMPS AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEJ.M. BLANCHARD LAEPSI**C. BOISSON VIBRATIONS ACOUSTIQUESM. BOIVIN MECANIQUE DES SOLIDESH. BOTTA EQUIPE DEVELOPPEMENT URBAING. BOULAYE INFORMATIQUEJ. BRAU CENTRE DE THERMIQUEM. BRISSAUD GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEM. BRUNET MECANIQUE DES SOLIDESJ.C. BUREAU THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEJ.Y. CAVAILLE GEMPPM*J.P. CHANTE COMPOSANTS DE PUISSANCE ET APPLICATIONSB. CHOCAT UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVILB. CLAUDEL LAEPSI**M. COUSIN UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVILM. DIOT THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEA. DOUTHEAU CHIMIE ORGANIQUER. DUFOUR MECANIQUE DES STRUCTURESJ.C. DUPUY PHYSIQUE DE LA MATIEREH. EMPTOZ RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISIONC. ESNOUF GEMPPM*L. EYRAUD (Prof. Émérite) GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEG. FANTOZZI GEMPPM*M. FAYET MECANIQUE DES SOLIDESJ. FAVREL GROUPE DE RECHERCHE EN PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE

DES SYSTEMES MANUFACTURIERSG. FERRARIS-BESSO MECANIQUE DES STRUCTURESY. FETIVEAU GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEL. FLAMAND MECANIQUE DES CONTACTSP. FLEISCHMANN GEMPPM*A. FLORY INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATIONR. FOUGERES GEMPPM*F. FOUQUET GEMPPM*L. FRECON INFORMATIQUER. GAUTHIER PHYSIQUE DE LA MATIEREM. GERY CENTRE DE THERMIQUEG. GIMENEZ CREATIS***P. GOBIN (Prof. émérite) GEMPPM*P. GONNARD GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEM. GONTRAND COMPOSANTS DE PUISSANCE ET APPLICATIONSR. GOUTTE (Prof. Émérite) CREATIS***G. GRANGE GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEG. GUENIN GEMPPM*M. GUICHARDANT BIOCHIMIE ET PARMACOLOGIEG. GUILLOT PHYSIQUE DE LA MATIEREA. GUINET GROUPE DE RECHERCHE EN PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE

DES SYSTEMES MANUFACTURIERSJ.L. GUYADER VIBRATIONS ACOUSTIQUESJ.P. GUYOMAR GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEJ.M. JOLION RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISIONJ.F. JULLIEN UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVILA. JUTARD AUTOMATIQUE INDUSTRIELLER. KASTNER UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVILH. KLEIMANN GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEJ. KOULOUMDJIAN INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATIONM. LAGARDE BIOCHIMIE ET PARMACOLOGIEM. LALANNE MECANIQUE DES STRUCTURESA. LALLEMAND CENTRE DE THERMIQUEM. LALLEMAND (Mme) CENTRE DE THERMIQUEP. LAREAL UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVILA. LAUGIER PHYSIQUE DE LA MATIERECh. LAUGIER BIOCHIMIE ET PARMACOLOGIEP. LEJEUNE GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES

A. LUBRECHT MECANIQUE DES CONTACTSY. MARTINEZ INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATIONH. MAZILLE PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEP. MERLE GEMPPM*J. MERLIN GEMPPM*J.P. MILLET PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEM. MIRAMOND UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVILN. MONGEREAU (Prof. Émérite) UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVILR. MOREL MECANIQUE DES FLUIDESP. MOSZKOWICZ LAEPSI**P. NARDON BIOLOGIE APPLIQUEEA. NAVARRO LAEPSI**A. NOURI (Mme) MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUEM. OTTERBEIN LAEPSI**J.P. PASCAULT MATERIAUX MACROMOLECULAIRESG. PAVIC VIBRATIONS ACOUSTIQUESJ. PERA UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVILG. PERRACHON THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEJ. PEREZ (Prof. Émérite) GEMPPM*P. PINARD PHYSIQUE DE LA MATIEREJ.M. PINON INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATIOND. PLAY CONCEPTION ET ANALYSE DES SYSTEMES MECANIQUESJ. POUSIN MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUEP. PREVOT GROUPE DE RECHERCHE EN APPRENTISSAGE, COOPERATION

ET INTERFACES MULTIMODALESR. PROST CREATIS***M. RAYNAUD CENTRE DE THERMIQUEJ.M. REYNOUARD UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVILE. RIEUTORD (Porf. Émérite) MECANIQUE DES FLUIDESJ. ROBERT-BAUDOUY (Mme) GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMESD. ROUBY GEMPPM*P. RUBEL INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATIONC. RUMELHART MECANIQUE DES SOLIDESJ.F. SACADURA CENTRE DE THERMIQUEH. SAUTEREAU MATERIAUX MACROMOLECULAIRESS. SCARVARDA AUTOMATIQUE INDUSTRIELLED. THOMASSET AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEM. TROCCAZ GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITER. UNTERREINER CREATIS***J. VERON LAEPSI**G. VIGIER GEMPPM*A. VINCENT GEMPPM*P. VUILLERMOZ PHYSIQUE DE LA MATIERE

Directeurs de recherche C.N.R.S.Y. BERTHIER MECANIQUE DES CONTACTSP. CLAUDY THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEN. COTTE-PATTAT (Mme) GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMESP. FRANCIOSI GEMPMMJ.F. GERARD MATERIAUX MACROMOLECULAIRESM.A. MANDRAND (Mme) GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMESJ.F. QUINSON GEMPMMA. ROCHE MATERIAUX MACROMOLECULAIRES

Directeurs de recherche I.N.R.A.G. BONNOT BIOLOGIE APPLIQUEEG. FEBVAY BIOLOGIE APPLIQUEES. GRENIER BIOLOGIE APPLIQUEEY. MENEZO BIOLOGIE APPLIQUEE

Directeurs de recherche I.N.S.E.R.M.A.F. PRINGENT (Mme) BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIEI. MAGNIN (Mme) CREATIS***

GEMPMM* : Groupe d'etude metallurgie physique et physique des matériauxLAEPSI** : Laboratoire d'analyse environnementale des procédés et systèmes industrielsCREATIS*** : Centre de recherche et d'applications en traitement de l'image et du signal

INSA de LyonDépartement des études doctorales

ECOLES DOCTORALES

¾ MATERIAUX DE LYONINSAL – ECL -UCB. Lyon1 – Univ. De Chambéry – ENS

Responsable : Professeur A. HOAREAU, UCBL (Tél. : 04.72.44.85.66)

Formations doctorales associées : Génie des Matériaux (Pr. R. FOUGERES, Tél : 04. 72. 43. 81 .49) Matière condensée surfaces et interfaces (Pr. G. GUILLOT, Tél : 04.72.43.81.61) Matériaux polymères et composites (Pr. H. SAUTEREAU, Tél : 04.72.43.81.78)

¾ MECANIQUE , ENERGETIQUE , GENIE CIVIL , ACOUSTIQUE (MEGA) °

Responsable : Professeur J. BATAILLE, ECL (Tél : 04.72.43.8079)

Formations doctorales associées : Acoustique (Pr. J.L. GUYADER, Tél : 04.72.43.80.80) Génie Civil : Sols, matériaux, structures, physique du bâtiment

(Pr. P. LAREAL, Tél : 04.72.43.82.16) Mécanique (Pr. G. DALMAZ, Tél : 04.72.43.83.03) Thermique et Energétique (Pr. M. LALLEMAND, Tél : 04.72.43.81.54)

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Formations doctorales associées : Acoustique (Pr. J.L. GUYADER, Tél : 04.72.43.80.80) Automatique Industrielle (Pr. SCAVARDA, Tél : 04.72.43.83.41) Dispositifs de l’électronique intégrée (Pr. P. PINARD, Tél : 04.72.43.80.79) Génie biologique et médical (Pr. I MAGNIN, Tél : 04.72.43.85.63) Génie électrique (Pr. J.P. CHANTE, Tél : 04.72.43.87.26) Signal, Image, Parole (Pr. G. GIMENEZ, Tél : 04.72.43.83.32)

¾ ECOLE DOCTORALE INTERDISCIPLINAIRE SCIENCES-SANTE (EDISS)INSAL – UCB Lyon1 – Univ. de Saint-Etienne – Univ. Aix-Marseille2

Responsable : Professeur A. COZZONE, CNRS-Lyon (Tél 04.72.72.26.75)

Formations doctorales associées : Biochimie (Pr. M. LAGARDE, Tél : 04.72.43.82.40) Génie biologique et médical (Pr. I. MAGNIN, Tél : 04.72.43.85.63)

INSA de LYONDépartement des Etudes Doctorales

AUTRES FORMATIONS DOCTORALES

¾ ANALYSE ET MODELISATION DES SYSTEMES BIOLOGIQUE

Responsable : Professeur S. GRENIER, INSALTél : 04.72.43.83.56

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Responsable : Professeur P. GONNARD, INSALTél : 04.72.43.81.58

¾ CONCEPTION EN BATIMENT ET TECHNIQUE URBAINES

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¾ DEA I NFORMATIQUE DE LYONResponsable : Professeur J.M. JOLION, INSALTél : 04.72.43.87.59

¾ PRODUCTIQUE : ORGANISATION ECONOMIQUE ET GENIE INFORMATIQUE POUR L ’ENTREPRISE

Responsable : Professeur J. FAVREL, INSALTél : 04.72.43.83.63

¾ SCIENCES ET TECHNIQUES DU DECHET

Responsable : Professeur P. MOSZKOWICZ, INSALTél : 04.72.43.83.45

Je mesure le mal qu'on fait mes ancêtresparce que je suis eux. C'est un équilibredélicat à l'extrême. Je sais que peu d'entrevous, qui lisez ces lignes, avez jamais songéde cette manière à vos ancêtres. Sans doutene vous est-il pas venu à l'idée qu'ils étaientfaits pour survivre et que cette survie elle-même exigeait quelquefois des décisionsbrutales, marquées par cette sorte de sauva-gerie absurde que l'humanité civilisée s'esttoujours efforcée à grand-peine de fairedisparaître. Mais quel prix êtes-vous prêts àpayer pour cette disparition? Acceptez-vousl'idée de votre propre extinction?

Les mémoires volées

Extrait de "L'Empereur-Dieu de Dune"Frank Herbert

A mes Parents.A Denise.

AVANT-PROPOS

Cette étude, menée au Centre de Génie Electrique de Lyon, résulte d'une coopération

entre notre laboratoire et la société Peugeot SA.

A ce titre, je souhaite remercier PSA et tout particulièrement nos interlocuteurs

M. BERETTA, Mlle DEROU et M. DELHOM pour la qualité des relations que nous avons eu

et la confiance qu'ils nous ont accordée. J'espère sincèrement que nous avons répondu à vos

attentes et que cette petite pierre contribuera à créer une base solide à votre édifice.

Un grand merci à M. NICOLAS, directeur du CEGELY, et M. CHANTE, responsable

du site INSA du laboratoire, pour m'avoir accueilli (et supporté !) durant ces trois années (et

des poussières !).

J'exprime toute ma reconnaissance à M. De FORNEL, Professeur à l'Institut National

Polytechnique de Toulouse, et M. PERRET, Professeur à l'Institut National Polytechnique de

Grenoble, pour m'avoir fait l'honneur d'être rapporteur de cette thèse et à M. FOREST,

Professeur au LESIR à Cachan pour avoir accepté d'en présider le jury.

Je tiens aussi à remercier M. MEDAULE de la société Mitsubishi Electric pour avoir

accepté de participer à mon jury de thèse ainsi que pour sa sympathie.

Un banc pour toi Jean-Marie. Au delà de la direction de mon travail où tu as su me

laisser m'exprimer, nous sommes devenus amis et avons passé de très bons moments ensemble.

Un triple "Hip Hip Hip ..." pour Hervé et Bruno, pour leur soutien technique quotidien et

leur amitié.

Une mention spéciale à Marie-Laure, Sylvie (ma co-burette !), Nicole et Denise, bref, la

gent féminine du laboratoire. Je suis sûr que vous vous souviendrez de mon passage, j'espère

que ce sera avec un sourire ...

Citer ici toutes les personnes qui ont, de près ou de loin, professionnellement ou non,

participé à ces quelques années de travail serait trop long et je risquerais d’oublier certains. Je

vous adresse cependant une pensée amicale, certain que vous vous reconnaîtrez.

Mon dernier hommage sera pour la société ARCEL, et tout particulièrement pour

M. PARIS et M. LECOQ, sans qui la partie pratique de ce travail n’aurait pu être menée à

bien, et plus encore ...

MODELISATION DES CONVERTISSEURS A DECOUPAGE

POUR LA CONCEPTION ET LA COMMANDE:

APPLICATION A L'ONDULEUR.

Le travail présenté ici s'inscrit dans une action de recherche sur la traction électrique

menée au Centre de Génie Electrique de Lyon (CEGELY).

Ce projet fait partie d'une coopération entre le Département de Recherche sur les

Véhicules Electriques de la société Peugeot S.A. et le CEGELY.

Le projet initial concernait la commande des machines pour la traction électrique sur

véhicules personnels. Devant le manque de modèles de convertisseurs de puissance adaptés à la

commande, il s'est peu à peu dirigé vers la recherche de modèles susceptibles de répondre aux

contraintes de l'automatique. L'aspect industriel de ce projet nous a mené à consacrer une large

partie de notre travail à la validation des résultats théoriques et à la recherche de méthodes

simples et rapides à mettre en œuvre. Les résultats pratiques ne sont qu'une application

ponctuelle de la théorie servant à la validation. L'évolution rapide des composants de

l'électronique de puissance les rendra rapidement obsolètes. Par contre, les méthodes

présentées pourront continuer à être utilisées.

L'avènement de l'électronique de puissance et l'amélioration des performances de composants à

commutation forcée (Transistors MOS, IGBTs, ...) ce cette décennie ont accru les champs

d'utilisation des machines électriques. Les premières applications en vitesse variable

exploitaient les machines à courant continu, plus simples à commander que celles à courant

alternatif. Mais ce type de moteur souffre d'une faible durée de vie due à ses balais de

collecteur et d'une puissance massique limitée.

La baisse des prix des composants de puissance à semiconducteur ont rendu plus rentable

l'ensemble onduleur / machine à courant alternatif. La machine asynchrone a tout d'abord été

choisie pour son très faible coût de fabrication, lié à la nature de son rotor: une simple cage.

Mais sa commande est complexe et son rotor inaccessible prive le système de contrôle d'un

degré de liberté très intéressant: le flux rotorique.

Ainsi, nous voyons maintenant apparaître de nombreuses applications basées sur les machines

synchrones à rotor bobiné ou à aimant permanent. Ce choix a été motivé par la puissance

10

massique importante de ce type de machine et ses performances dynamiques bien meilleures

que les machines asynchrones. Notons aussi que, dans le cas des machines synchrones à rotor

bobiné, l'accès au flux rotorique permet de disposer d'une grandeur de contrôle supplémentaire

et d'envisager le contrôle de deux grandeurs (le couple et le rendement par exemple) au lieu

d'une seule dans le cas des machines asynchrones. Le surcoût peut alors être justifié par la

qualité des résultats envisageables.

Les problèmes de pollution et de nuisances sonores dans les grandes agglomérations ont amené

les pouvoirs publics et les constructeurs automobiles à se tourner vers le véhicule électrique

personnel. Tout d'abord à courant continu, puis asynchrone, et bientôt synchrone, la "voiture

électrique" fait peu à peu son entrée sur le marché grand public.

Mais, ce véhicule au concept révolutionnaire souffre de sa faible autonomie et est généralement

boudé par le public. Pour palier ce problème, en attendant de nouveaux moyens de stockage de

l'énergie électrique (la pile à combustible semble prometteuse), les constructeurs automobiles

se dirigent vers le véhicule mixte. Ici, le moteur électrique est relayé (structure parallèle) ou

alimenté (structure série) par un moteur thermique. Notons que la société TOYOTA a annoncé

la commercialisation de leur premier véhicule mixte pour la fin d'année 1997. Dans ce véhicule,

le moteur thermique prendra le relais du moteur électrique au delà d'une certaine vitesse.

Que le véhicule soit "tout électrique" ou non, avec une machine à courant continu, synchrone

ou asynchrone, le moteur de traction doit fournir un couple le plus constant possible sur une

large plage de vitesse. L'asservissement de cette dernière est assurée par le chauffeur.

Les principaux constructeurs automobiles Européens se sont rencontrés pour mettre sur pied

un cahier des charges précisant un certain nombre de contraintes pour les chaînes de tractions

électriques. Par exemple, le projet EUROPED, précise les principales grandeurs pour les chaînes

de traction asynchrone: puissance permanente et transitoire, encombrement, couple, ... etc.)

Ainsi, l'oscillation de couple, selon cette spécification, ne doit pas dépasser ±2%.

Les techniques de contrôle avancées qui ont vu le jour ces dernières années (commande

vectorielle, contrôle direct de couple, ...etc.) permettent de répondre à ces contraintes de plus

en plus sévères sur le couple. Cependant, des problèmes persistent aux faibles vitesses,

principalement dus à la nature des machines et aux convertisseurs utilisés.

11

Si l'algorithmie a fait d'énormes progrès dans ce domaine, nous constatons que les

automaticiens considèrent toujours le convertisseur de puissance (principalement l'onduleur)

comme un actionneur idéal. Ceci est principalement dû à l'absence de modèles compatibles

avec les temps de simulation nécessaires à la mise au point de boucles de commande et

pouvant être exploités simplement dans un environnement temps réel.

En effet, de nombreux travaux sont menés dans le domaine de la modélisation des composants

à semiconducteur, mais les modèles développés, bien que relativement précis, ne sont d'aucune

utilité pour les automaticiens pour des raisons de complexité et donc de temps de calcul.

Par contre, la notion de schéma électrique "moyen" équivalent, qui permet de ne représenter

que les grandeurs variant lentement devant la fréquence de commutation du convertisseur, peut

permettre de combler cette lacune. Notons toutefois, que leur champ d'application sort

largement du contexte de l'automatique et peut être utilisé pour la conception des

convertisseurs.

C'est ce type de modélisation que nous proposons de présenter ici et d'appliquer à

l'automatique. Ainsi, nous souhaitons obtenir un modèle nécessitant un temps de calcul

compatible avec les contraintes de l'automatique et permettant d'observer (et, éventuellement,

de corriger) les altérations des signaux électriques engendrées par le convertisseur. Notons

aussi, que pour être facilement exploitable, les paramètres de notre modèle devront être

aisément identifiables.

Le complément indispensable au modèle est l'outil de simulation. Même si le modèle se doit

d'être indépendant du logiciel qui servira à l'exploiter, la formulation utilisée est intimement liée

à ce dernier. En effet, les méthodes numériques utilisées pour obtenir les résultats de simulation

conditionnent la nature du modèle, et donc, lui donnent (ou lui enlèvent) un certain nombre de

propriétés. Dans le domaine de l'électronique en général et de l'électronique de puissance en

particulier, les logiciels de simulation foisonnent et sont basés sur différents formalismes et

méthodes de calcul.

Dans le premier chapitre, nous ferons un point sur les principaux formalismes et les principales

méthodes de calcul en résultant. Nous nous attacherons à mettre en relief les propriétés

découlant de chacun d'entre eux. Nous verrons ainsi l'avantage indéniable des graphes de liens

pour la simulation et de la méthode de mise en équation associée. Nous conclurons en

présentant le logiciel PACTE, outil de simulation par graphes de liens développé au CEGELY.

12

Le second chapitre sera consacré à un bilan sur les différents niveaux de modélisation utilisés

en électronique de puissance. Nous verrons pourquoi les modèles comportementaux ne sont

pas exploitables en automatique et introduirons la notion de "modèle moyen". Nous

présenterons un algorithme de construction de tels modèles et traiterons le cas du hacheur

abaisseur de tension à titre d'exemple.

Ainsi, les deux premiers chapitres, nous permettront de choisir le formalisme et le type de

modèle que nous envisageons d'utiliser. Mais la validation d'un modèle passe systématiquement

par une phase de confrontation des résultats de simulation avec des mesures correspondantes

dans un cas réel. Pour cela, nous avons mis en place un banc de test de convertisseur à l'échelle

de la traction électrique pour véhicules personnels, soit 30KVA. Notre troisième chapitre sera

dédié à la présentation de cette installation et du système de commande "temps réel"

l'accompagnant.

Le quatrième chapitre sera consacré aux modèles choisis pour représenter les différents

éléments constituant le banc de test en simulation et à l'identification de leurs paramètres. C'est

une phase clef qui conditionnera la qualité des résultats et permettra de comparer les résultats

fournis par notre modèle d'onduleur aux essais sur le banc. Nous nous attacherons à y

présenter des méthodes générales de mesure et d'identification, et appliquerons ces dernières

au cas nous concernant. Nous refermerons ce chapitre en traitant le problème de l'identification

des paramètres des modèles présentés dans le second chapitre et donnerons les résultats

obtenus pour le modèle moyen de l'onduleur.

Enfin, nous présenterons les résultats de nos investigations dans le cinquième et dernier

chapitre. Nous établirons le modèle moyen de l'onduleur et définirons ses limites de validité par

comparaison avec l'expérience. Puis, dans un objectif de simplification, nous mettrons en relief

l'importance relative de chaque paramètre en fonction des conditions d'essais. Nous

terminerons en donnant un exemple d'exploitation de notre modèle en automatique pour

l'amélioration de la qualité du contrôle de couple, démontrant ainsi l'intérêt de tels modèles

pour les automaticiens.

SOMMAIRE

CHAPITRE PREMIERLA SIMULATION EN GENIE ELECTRIQUE................................................................................. 151.1. Les formalismes de modélisation utilisés en Génie Electrique ......................................... 17

1.1.1. Généralités sur la modélisation des systèmes............................................................ 171.1.2. Les Méthodes classiques d’assemblage.................................................................... 20

1.2. Les Graphes de Liens et l’Analyse de Causalité .............................................................. 271.2.1. Les composants élémentaires................................................................................... 281.2.2. La causalité............................................................................................................. 311.2.3. Analyse de la causalité............................................................................................. 361.2.4. Exemples d'application ............................................................................................ 43

1.3. PACTE.......................................................................................................................... 461.4. Conclusion..................................................................................................................... 46

CHAPITRE SECONDNIVEAUX DE REPRESENTATION ET OBJECTIFS DE SIMULATION................................................ 492.1. Les modèles de commutation ......................................................................................... 51

2.1.1. Les modèles de comportement ................................................................................ 512.1.2. Les modèles simplifiés............................................................................................. 522.1.3. Conclusion.............................................................................................................. 55

2.2. Les modèles moyens ...................................................................................................... 562.2.1. Les différentes approches ........................................................................................ 562.2.2. Un algorithme de construction de modèle moyen..................................................... 592.2.3. Application au hacheur abaisseur de tension non-idéal ............................................. 65

2.3. Conclusion..................................................................................................................... 73

CHAPITRE TROISIEMEUN BANC DE TEST DE PUISSANCE .......................................................................................... 753.1. Cahier des charges ......................................................................................................... 763.2. La source de tension ...................................................................................................... 763.3. La charge....................................................................................................................... 773.4. L'onduleur ..................................................................................................................... 783.5. L'unité de commande ..................................................................................................... 82

3.5.1. Un circuit de génération d'impulsions ...................................................................... 823.5.2. Le contexte de la commande des machines électriques............................................. 843.5.3. L'unité de commande algorithmique ........................................................................ 90

3.6. Conclusion..................................................................................................................... 93

CHAPITRE QUATRIEMEMODELISATION, MESURES ET IDENTIFICATION DES ELEMENTS DU BANC D'ESSAIS .................. 954.1. Les Méthodes d'Optimisation ......................................................................................... 96

4.1.1. Généralités.............................................................................................................. 964.1.2. Expression pratique de la fonction coût ................................................................... 974.1.3. Expression des contraintes ...................................................................................... 974.1.4. Classification des méthodes d'optimisation............................................................... 98

SOMMAIRE

14

4.1.5. Les méthodes de descente ....................................................................................... 984.1.6. Programmation linéaire, la méthode du symplexe................................................... 1024.1.7. Les méthodes stochastiques................................................................................... 102

4.2. Le Condensateur.......................................................................................................... 1044.2.1. Méthodologie........................................................................................................ 1044.2.2. Application à l'onduleur......................................................................................... 108

4.3. La charge..................................................................................................................... 1114.4. L'IGBT........................................................................................................................ 115

4.4.1. Caractéristiques statiques ...................................................................................... 1174.4.2. Problématique de l'obtention des caractéristiques dynamiques................................ 1184.4.3. Identification......................................................................................................... 120

4.5. La Diode ..................................................................................................................... 1214.5.1. Caractéristique statique ......................................................................................... 1214.5.2. Caractéristiques dynamiques ................................................................................. 1224.5.3. Identification......................................................................................................... 124

4.6. Identification des paramètres des modèles moyens ....................................................... 1254.6.1. Considérations sur les retards virtuels.................................................................... 1264.6.2. Mesure des retards virtuels.................................................................................... 130

4.7. Conclusion................................................................................................................... 133

CHAPITRE CINQUIEMEUN MODELE MOYEN D'ONDULEUR...................................................................................... 1355.1. Etablissement du modèle de l'onduleur ......................................................................... 136

5.1.1. Modèle moyen d'un bras d'onduleur....................................................................... 1375.1.2. Modélisation de la commande du bras ................................................................... 1405.1.3. La chaîne de commande en simulation................................................................... 142

5.2. Comparaisons entre simulation et expériences .............................................................. 1435.2.1. Au régime nominal................................................................................................ 1445.2.2. Aux autres régimes ............................................................................................... 147

5.3. Sensibilité du modèle d'onduleur à ses différents paramètres......................................... 1515.4. Exploitation des modèles moyens en automatique ........................................................ 1535.5. Conclusion................................................................................................................... 159

CONCLUSION .................................................................................................................. 160

BIBLIOGRAPHIE ............................................................................................. 163

ANNEXES

DOCUMENTATION DE L'INTERFACE DE GENERATION D'IMPULSIONS ...................................... 168

CHAPITRE PREMIER

FORMALISMES POUR LA SIMULATION EN GENIE

ELECTRIQUE

De nos jours, la modélisation et la simulation sont devenues un enjeu scientifique et

technologique. L’outil de conception informatisé devient peu à peu indispensable dans

l’industrie. En effet, ces outils de prédiction et d’analyse de comportement d’un système,

permettent de réduire les coûts et les délais d’étude d’un nouveau produit en reportant la phase

de prototypage le plus loin possible (le "time-to-market" en anglais).

Des modèles de plus en plus fiables sont mis au point chaque jour. Mais fiabilisation rime le

plus souvent avec complexification. Nous arrivons parfois ainsi à des modèles, certes d’une

bonne précision, mais qui sont une abstraction du système réel qu’ils représentent, et

l’identification des paramètres du modèle ou la recherche de causes de dysfonctionnement

représente un investissement temporel et financier non négligeable. Il est préférable d'avoir des

paramètres physiques pour les modèles et des outils de simulation donnant des indications

claires à l'utilisateur en cas d'échec de la simulation, plutôt que des messages d'erreur du type

"Jacobien singulier" !

L’évolution des outils de calcul numériques nous permet d’envisager très sérieusement la

modélisation d’un système complet, comme, par exemple, un véhicule électrique. La grande

variété des domaines physiques et des spécialités mis en jeux dans un tel projet implique un

travail d’équipe parfaitement préparé. Le choix du formalisme adopté pour la modélisation est

la clef de voûte d’un tel édifice. Il faut certes adapter le niveau de représentation de chaque

modèle aux objectifs de l’utilisateur mais il faut avant tout prévoir l’interconnexion de tous ces

modèles entre eux de manière à disposer, à terme, d’un "macro-modèle" représentant le

véhicule dans sa totalité.

D’autre part, l’outil numérique utilisé pour la simulation a pour rôle principal de résoudre un

système d’équations différentielles. Il est donc principalement architecturé autour d’un

intégrateur numérique. Comme tout système numérique de résolution d’équations, se pose

souvent des problèmes de convergence. Plus grave, le système peut fournir une réponse

réaliste et reproductible, mais non conforme à la "réalité".

CHAPITRE PREMIER

16

Par une brève présentation des différentes approches utilisées dans le domaine du Génie

Electrique et plus particulièrement en Electronique de Puissance, nous montrerons dans un

premier chapitre que certains formalismes permettent de limiter le risque de divergence ou de

fausse réponse. Nous aborderons les réseaux de Kirchhoff, les schémas blocs, les graphes de

liens (ou bond graphs) et enfin, les réseaux de Pétri.

Nous verrons que le formalisme par réseaux de Kirchhoff, bien que d’utilisation aisée en

électronique (car classique), peut poser des problèmes de convergence des algorithmes de

résolution et est mal adapté à un contexte multi-domaine.

L’approche basée sur une représentation énergétique des phénomènes physiques, les graphes

de liens, semble très prometteuse. Outre son aspect explicitement multi-domaine, ce

formalisme présente des avantages indéniables pour la résolution numérique des équations du

système et pour l’assistance à l’utilisateur. Nous nous attarderons plus particulièrement sur

cette méthode d’assemblage.

Enfin, nous présenterons un outil de simulation en électronique de puissance basé sur le

formalisme des graphes de liens : le logiciel PACTE, développé au CEGELY.

Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique

17

1.1. LES FORMALISMES DE MODELISATION UTILISES EN GENIE ELECTRIQUE

Avant d’aborder le corps de ce premier chapitre, il est nécessaire de présenter brièvement un

certain nombre de définitions, théorèmes et notions concernant la modélisation des systèmes

[Morel-97].

1.1.1. Généralités sur la modélisation des systèmes

Nous nous attacherons ici à résumer les principales définitions et résultats majeurs concernant

la notion de système et plus particulièrement les systèmes fortement non linéaires très présents

en électronique de puissance.

1.1.1.1. Notion de modèle et de système

Un modèle est une représentation formelle et abstraite de l’analyse que l’on

sait faire d’un phénomène physique.

Un système est une association de composants (de modèles). C’est, par

exemple un circuit électrique, un circuit hydraulique ou un véhicule

électrique au complet.

Au niveau d’un système, on peut définir des variables d’entrée et des variables de sortie. C’est

typiquement ce que représente un schéma bloc (block diagram). Connaissant les entrées du

système à un instant donné, le modèle du système permet de calculer l’évolution future de

l’état de celui-ci. A chaque instant, l’état du système résume le passé de celui-ci. C’est la

connaissance minimale nécessaire pour déterminer son évolution, connaissant l’évolution des

variables d’entrée. L’état du système est décrit par ses variables d’état.

Remarques :

Un système est autonome s’il n’a pas de variables d’entrée ni de

dépendance explicite du temps. C’est le seul type de système qui puisse être

simulé.

Un système est déterministe si, pour des conditions initiales données, il

possède une solution unique. Tous les systèmes physiques (sauf peut-être

les systèmes quantiques) sont déterministes. Un modèle non déterministe

résulte donc d’une erreur de modélisation.

CHAPITRE PREMIER

18

1.1.1.2. Equations différentielles et modèles à variables d’état

Tous les systèmes d’équations différentielles n’ont pas les mêmes propriétés d’existence et

d’unicité de la solution. Il en résulte des comportements très différents face aux techniques

d‘intégration numérique.

EQUATION DIFFERENTIELLE ET ALGEBRIQUE (EDA)C’est un système d’équations qui a la forme suivante :

Gdz

dtz t, ,

= 0 Eq. 1- 1

où z est le vecteur des variables d’état et t le temps

Remarque : une EDA s’appelle an anglais "Differential and Algebraic Equation" (DAE).

Un cas particulier d’une EDA est la forme

dx

dtg x a= ( , ) Eq. 1- 2

0 = L x a( , ) Eq. 1- 3

où x est le vecteur constitué d’une partie des éléments de z, x est appelé vecteur d’état du

système, a est le vecteur constitué des autres éléments de z, c’est le vecteur des variables

algébriques.

Le théorème des fonctions implicites permet d’affirmer que si la fonction L,

( , ) ( , )x a L x aL → est continûment dérivable autour du point (x,a) et que ∂∂

L

ax a( , ) ≠ 0 , alors

il existe une fonction h qui permet de calculer la variable a, à partir de x a h x: ( )= . Nous

pouvons alors réécrire le système (1-2, 1-3) comme suit :

EQUATION DIFFERENTIELLE ORDINAIRE (EDO) OU PROBLEME DE CAUCHY

dx

dtf x t= ( , ) Eq. 1- 4

x t x( )= =0 0 Eq. 1- 5

Remarque : une EDO s’appelle an anglais "Ordinary Differential Equation" (ODE).

Notons que la transformation n’est pas toujours possible, car la dérivée peut s’annuler.

Le théorème de Cauchy - Lipschitz stipule que si la fonction f est

lipschitsienne (continûment dérivable) au voisinage de x0 , alors le

problème de Cauchy admet une solution unique au voisinage de t=0, t>0.

Un problème de Cauchy qui satisfait cette condition est dit régulier.

Et donc, un système physique dont le modèle est un problème de Cauchy

régulier est déterministe.


19

L’initialisation d’un problème de Cauchy est simple. Il suffit de donner la valeur initiale de

x : x0. Si le système est linéaire, il existe une solution unique, quelle que soit la valeur de x0.

Sinon la fonction f peut avoir un domaine de définition plus restreint et toutes les valeurs

initiales ne sont pas forcément valides.

Une solution au problème de Cauchy est donc complètement décrite par la valeur initiale du

vecteur d’état x : x0. Cela signifie qu’à l’instant t, le vecteur x(t) décrit complètement le

système : il s’agit du vecteur d’état.

1.1.1.3. Définitions générales d’un modèle à variables d’état

Nous allons donner ici quelques définitions et propriétés concernant les modèles à variables

d’état qui nous seront utiles par la suite.

Modèle à variables d’état

C’est un système d’équations de la forme suivante :dx

dtf x u t= ( , , ) Eq. 1- 6

y h x u t= ( , , ) Eq. 1- 7

où x est le vecteur d’état, u est le vecteur des variables d’entrée, y est le vecteur des

variables de sortie et t est le temps. L’équation 1-6 est l’équation d’état et 1-7 est la

relation de sortie (ou règle de causalité). Pour éviter tout problème de régularité des

solutions, il est nécessaire de supposer que les fonctions f et h sont continûment

dérivables par rapport à x et u.

Modèle à variables d’état contraint

C’est un système d’équations de la forme :dx

dtf x a u t= ( , , , ) Eq. 1- 8

0 = L x a u t( , , , ) Eq. 1- 9

y h x a u t= ( , , , ) Eq. 1- 10

où x est le vecteur d’état, a est le vecteur des variables algébriques, u est le vecteur des

variables d’entrée, y est le vecteur des variables de sortie et t est le temps. L’équation 1-

8 est l’équation d’état, l’équation 1-9 est l’équation algébrique et 1-10 est la relation de

sortie. Pour éviter tout problème de régularité, il est ici nécessaire de supposer que les

fonctions f et h sont continûment dérivables par rapport à x, a et u.

Modèle dégénéré à variables d’état

C’est un système d’équations de la forme :

mdz

dtz u y t, , , ,

= 0 Eq. 1- 11

CHAPITRE PREMIER

20

où z est le vecteur des variables du système, u est le vecteur des variables d’entrée, y est

le vecteur des variables de sortie et t est le temps.

Souvent, un modèle dégénéré à variables d’état peut se présenter comme un modèle à variables

d’état contraint. L’avantage de la forme est que les variables d’état sont clairement

identifiées. Dans la forme on ne sait pas quelles composantes du vecteur z ont le droit d’être

initialisées.

Le théorème de Cauchy - Lipschitz montre que si u est une fonction continue du temps, un

modèle à variables d’état (non dégénéré) a un comportement unique, c'est-à-dire une solution

unique pour des conditions initiales données. Malheureusement, cela n’est pas le cas d’un

modèle à variables d’états dégénéré. Pourtant, la plupart des simulateurs modernes permettent

de définir des modèles à variables d’état dégénérés à l’aide d’un langage permettant la

description directe des équations représentatives sous l’une des formes , ou . Par

exemple SABER utilise le langage MAST, ELDO utilise HDL-A , SMASH utilise ABCD et

PACTE utilise M++. Mais, si nous ne pouvons réécrire un tel modèle dégénéré sous la

forme , il est probable de rencontrer des problèmes de simulation.

1.1.1.4. Conclusion

Une EDA ne correspond pas forcément à un système déterministe. Son traitement numérique

est très complexe et peut poser énormément de problèmes et le risque est très grand d’obtenir

des résultats de simulation très différents de l’expérience.

Par contre, une EDO ne pose pas de problème formel. Au pire son comportement est très

complexe ou raide. Il faudra alors faire appel à des méthodes d’intégration très stables.

Un système physique étant déterministe, il est forcément représentable par une EDO.

Le problème réside donc dans la modélisation d’un phénomène par une EDO, et la question qui

est posée est la suivante : "existe-t’il un ou des formalismes de modélisation menant

systématiquement à une EDO ou au moins détectant que le système à simuler n’est pas une

EDO ?"

1.1.2. Les Méthodes classiques d’assemblage

Les méthodes d’assemblage de modèles permettent de représenter plus ou moins aisément un

système. Outre leur souplesse d’utilisation, leur représentation plus ou moins directe de ce que


21

nous avons l’habitude de voir, ces méthodes conditionnent directement les règles

d’établissement du système d’équations correspondant au schéma à simuler.

1.1.2.1. Les Réseaux de Kirchhoff et la méthode nodale

Un réseau de Kirchhoff est une représentation graphique de la connexion des composants d’un

circuit électrique ou d’un système en général. Cette représentation matérialise très bien le

câblage des circuits électriques. Les composants sont connectés à des noeuds par des branches.

Ces réseaux sont évidemment très prisés par l’électronicien et ont été étendus à d'autres

domaines physiques (acoustique, thermique, mécanique). Néanmoins, ils sont nettement moins

bien adaptés à ces autres domaines et il devient alors fastidieux de représenter un système

multi-domaine.

G

RgM

E

R

L

D

1

2

3

4

0

5

Figure 1- 1 : Un circuit hacheur représenté par un réseau de Kirchhoff

Nombre de logiciels dits "type Spice" (Spice, Saber, Eldo, Smash ...) utilise les réseaux de

Kirchhoff. La méthode de déduction des équations du circuit utilisée est généralement la

méthode nodale modifiée [Ho-75], extension de la méthode nodale [Chua-75].

La méthode nodale consiste à décrire le circuit à partir de ses noeuds. A chaque noeud est

associée une variable qui définit le potentiel électrique à ce noeud. L’idée principale de la

méthode est de considérer le système d’équations implicites correspondant aux équations des

noeuds (sans considérer le noeud de référence, généralement numéroté 0).

Les équations de noeud traduisent que, en chaque noeud du circuit, la somme des courants est

nulle. Le modèle de chaque composant du circuit doit donc exprimer le courant dans chaque

branche de celui-ci en fonction des potentiels aux noeuds. En conséquence un modèle de

CHAPITRE PREMIER

22

composant dans la méthode nodale modifiée est un modèle dégénéré à variable d’état. Un

modèle de composant à deux noeuds a donc la forme suivante :

i f v vdv

dt

dv

dtN=

1 2

1 2, , , Eq. 1- 12

où i est le courant dans le composant et v1, v2 sont les potentiels des noeuds de connexion.

Par exemple, le modèle d’une résistance sera :

R iv v

R⇒ =

−2 1Eq. 1- 13

et celui d’un condensateur sera :

C i Cdv

dt

dv

dt⇒ = −

2 1Eq. 1- 14

En revanche, il est clair que dans cette approche, une inductance ou une source de tension ne

sont pas directement représentables. C’est là qu’intervient la différence entre la méthode

nodale et la méthode nodale modifiée. Dans cette dernière, on utilise la notion de variable

supplémentaire qui permet d’utiliser comme variable du système d’équations, les variables z,

lesquelles ne correspondent pas à un potentiel à un noeud du circuit. Pour que le système

d’équations reste régulier, il est nécessaire d’ajouter une nouvelle équation à résoudre

simultanément avec les équations des noeuds du circuit. Dans le cas d’une inductance, la

variable supplémentaire est le courant qui la traverse, et l’équation supplémentaire correspond

au modèle d’état du composant :

Lv v L

dv

dti v

⇒− =

=

2 1*

*Eq. 1- 15

Pour une source de tension, nous aurons :

VV V E t

i V⇒

− ==

2 1 ( )

*Eq. 1- 16

Le système d’équations associé à un circuit a donc la forme générale suivante :

Fdz

dtz t, ,

= 0 Eq. 1- 17

ou z est constitué des potentiels aux noeuds du circuit, suivi des variables supplémentaires dues

aux sources de tension et inductances. Il s’agit d’une EDA.

Commentaire :

La méthode nodale modifiée n’est pas causale : il n’est pas précisé de variable d’entrée ou de

sortie. Par exemple, dans l’approche nodale, il est impossible de savoir si le courant de base

d’un transistor bipolaire à jonction est une cause du fonctionnement ou bien une conséquence.


23

1.1.2.2. Les Schémas Blocs

Cette méthode a pour avantage de représenter graphiquement la hiérarchie d’un système en

montrant les variables d’entrée et de sortie.

Ce type de représentation est particulièrement bien adapté à l’étude de l’Automatique dans la

mesure où figurent clairement les boucles de (contre-)réaction. Chaque bloc est un modèle à

variable d’état (voire dégénéré).

B1 B2

B3

Figure 1- 2 : Un schéma bloc

D’autre part, chaque flèche entre deux blocs unifie une variable d’entrée et une variable de

sortie. Aussi un schéma bloc décrit une liste de relations entre les variables d’entrée et les

variables de sortie de chaque bloc, en plus des modèles des blocs.

Finalement, les équations du schéma bloc correspondent à une EDA de la forme :

dx

dtf x a ts

s s s= ( , , ) Eq. 1- 18

a h x a ts s s= ( , , ) Eq. 1- 19

où xs est le vecteur d’état du système (l’ensemble des vecteurs d’état des blocs), as est

l’ensemble des variables d’entrée des blocs, fusionné avec l’ensemble des variables de sorties

des blocs, fs et hs rassemblent les fonctions f et h de tous les blocs.

Le système sera déterministe s’il n’y a pas de boucle, ou si toutes les boucles sont causales.

C'est-à-dire, si le long de ces boucles l’effet n’est observable qu’après l’application des causes.

Les schémas blocs sont utilisés dans les logiciels commerciaux destinés à l’automatique :

Matlab/Simulink, MatrixX, Tutsim, Acsl ...

1.1.2.3. Les Graphes de Liens

La théorie des Graphes de Liens (Bond Graph) [Karnopp-90] a été introduite en 1961 par

H. Painter. Elle a été établie surtout par des mécaniciens et des automaticiens. L’utilisation de

cette théorie dans le domaine de l’électronique (de puissance) date de 1987 (Asher).

On peut considérer que les graphes de liens unifient la représentation par schémas blocs et les

réseaux de Kirchhoff. En effet, un graphe de liens est une représentation graphique de type

CHAPITRE PREMIER

24

réseau où les connexions entre les composants sont explicites. Mais dans un graphe de liens , la

notion de causalité exprime clairement les variables d’entrée et de sortie.

Le paragraphe 1.1.2 sera consacré à la présentation des principes de base des graphes de liens

et de l’analyse de causalité. Nous nous limiterons ici à une présentation des notions générales

et nous résumerons les principales propriétés d’un système décrit par un graphe de liens.

Notions générales :

Les graphes de liens sont basés sur une expression énergétique de la dynamique des systèmes.

Un système est divisé en sous-sytèmes, et le graphe de liens indique comment l’énergie est

échangée entre ces sous-sytèmes. Le modèle d’un sous-système indique comment l’énergie est

stockée, modifiée ou dégradée à l’intérieur du bloc.

Le Premier Principe impose la continuité temporelle de l’énergie.

Le premier principe de la thermodynamique exprime la conservation de l’énergie. Ainsi le

stockage d'énergie indique l'effet mémoire. Comme on peut toujours décomposer les systèmes

physiques utilisés par les ingénieurs en micro-systèmes qui vérifient eux aussi le Premier

Principe, nous pouvons légitimement supposer la conservation spatiale de l’énergie. Une

variation d’énergie à un endroit du système doit correspondre à un flux de puissance venant

d’un autre endroit du système (excepté pour les sources d’énergie). Mais, si nous n’avions que

la continuité temporelle, il serait possible que l’énergie "disparaisse" dans un composant A du

système (défini par une position spatiale) pour "réapparaître" dans un autre composant B du

système (défini par une autre position spatiale). L'hypothèse de continuité spatiale de l'énergie

impose que ce cas de figure ne soit pas possible : il doit exister un flux d'énergie, un transfert

d'énergie, caractérisé par une puissance qui s'écoule de A vers B. En fait, tous les systèmes

réels étudiés dans les sciences de l'ingénieur et le génie électrique en particulier, sont constitués

d'un continuum de micro-systèmes qui vérifient eux-mêmes les lois physiques fondamentales et

particulièrement le Premier Principe. Ainsi, l'hypothèse de continuité spatiale est aisément

satisfaite dans les sciences de l'ingénieur.

Comme tout système est un continuum de micro-systèmes, il y a aussi continuité spatiale de

l'énergie. Les variations d'énergie résultent d'un transfert d'énergie.

Nous venons d'exprimer que nécessairement une variation d'énergie dans un composant du

système s'expliquait par un flux d'énergie. Mais, toujours pour les sciences de l'ingénieur, nous

pouvons considérer qu'un flux d'énergie correspond à un flux de particules : la décomposition


25

en micro-systèmes identifie toujours la notion de particule fictive ou réelle. Dans le domaine

électrique, l'électron est manifestement la particule qui contribue au transfert d'énergie. Dans le

domaine thermique, il est classique dans les représentations cristallines d'utiliser la notion de

phonon.

Un transfert d'énergie résulte d'un flux de particules (réelles ou fictives).

Alors le Second Principe de la thermodynamique, et en particulier la relation d'Onsager, affirme

que le flux d'énergie s'exprime comme le produit d'une variable de flux par une variable

d'effort. La variable de flux, notée f, est le flux de particules, c'est-à-dire le nombre de

particules par unité de temps. La variable d'effort, notée e, est une variable intensive, c'est-à-

dire dépendante de la quantité de matière ou de particules.

Le Second Principe impose qu'un transfert d'énergie est proportionnel au flux de particules. Le

coefficient de proportionnalité est une variable intensive appelée "effort".

Représentation graphique :

Considérons deux composants A et B d'un système physique. Une énergie qui transite de A

vers B est représentée par un lien (demi-flèche) dirigé dans le sens d'écoulement de l'énergie.

Par convention, la puissance est positive si l'écoulement d'énergie suit la flèche. Ce lien est

connecté entre deux ports. Un port de sortie du composant A et un port d'entrée du composant

B. A chaque port sont associées deux variables (flux et effort). Le lien impose que les variables

correspondantes de chaque port connecté soient identiques. On dit qu'il y a identification des

variables de ports de même type.

A B

lien

Ports

Figure 1- 3 : Représentation graphique d'un lien par une demi-flèche.

Remarque :

L'identification des variables des ports connectés impose que la causalité soit respectée. En

d'autres termes, les deux composants ne peuvent pas imposer tous les deux le flux ou l'effort.

Par convention, et pour des commodités graphiques, on surchargera le lien reliant deux

composants d'une barre verticale du côté du composant imposant le flux.

CHAPITRE PREMIER

26

Soit, si A impose le flux, B doit imposer l'effort (et réciproquement). Le schéma précédent

aura alors l'allure suivante :

A B

Barre de causalité

Figure 1- 4 : Représentation graphique de la causalité. A impose le flux.

Propriétés d’un système décrit par un graphe de liens :

L'outil de simulation a pour rôle la mise en équation et la résolution du système.

L'analyse de la causalité est une méthode formelle qui permet de vérifier si le système

d'équations d'un graphe de liens peut se mettre sous la forme d'une EDO (système

déterministe). Dans ce cas, le système est dit causal.

Si l'objectif est effectivement la mise en équation du système, il est nécessaire d'écrire des

tables de variables et des listes d'équations. Toutefois, si l'objectif est uniquement de vérifier si

le système est causal, nous pouvons nous contenter d'une analyse graphique qui est beaucoup

plus rapide à mettre en œuvre.

Si le système est causal, l'analyse de causalité permettra de le mettre sous la forme d'une EDO.

Dans le cas contraire, nous aboutirons à une EDA.

Nous montrerons plus loin que, si le système n'est pas causal, l'analyse de causalité fournira

explicitement les raisons entraînant la (ou les) faute(s) de causalité. Ceci est d'un immense

intérêt pour l'utilisateur de l'outil de simulation.

D'autre part, il existe de nombreuses règles graphiques qui permettent de simplifier et réduire

un graphe de lien. Le nombre d'équations à résoudre est donc réduit, ce qui ne peut avoir que

des effets bénéfiques sur le temps de simulation.

1.1.2.4. Les Réseaux de Pétri

Les réseaux de Pétri sont dédiés à la description des systèmes séquentiels. Les états stables

sont appelés place et les conditions de passage d'une place à l'autre sont nommées transitions.

Ils sont très utilisés en conception logique pour décrire les machines d'états régissant le

fonctionnement du système.

Nous pouvons utiliser les réseaux de Pétri en électronique (de puissance) pour décrire les

différents états d'un composant. Prenons par exemple un interrupteur idéal commandable par

un signal g. Si l'interrupteur est commandé (g), il est fermé et impose une tension nulle à ses


27

bornes. S'il n'est pas commandé ( g ), il est ouvert et impose donc un courant nul dans la

branche dans laquelle il est inséré. Les réseaux de Pétri nous permettent de représenter très

simplement un tel fonctionnement :

Fermé

Ouvert

g g

u = 0

i = 0

Figure 1- 5 : Description d'un interrupteur idéal par réseau de Pétri.

Comme nous le verrons par la suite, l'association des réseaux de Pétri et des graphes de liens

apporte une solution élégante pour la représentation des phénomènes à plusieurs états, comme,

par exemple, les dispositifs à semiconducteur utilisés en électronique (de puissance).

1.2. LES GRAPHES DE LIENS ET L’ANALYSE DE CAUSALITE

Nous avons vu dans le paragraphe précédent les principales notions justifiant la représentation

des systèmes physiques (dans les sciences de l'ingénieur) par des graphes de liens. Ces derniers

résultent de la représentation énergétique de ces systèmes et représentent les transferts

d'énergie entre deux sous-sytèmes. Deux variables sont nécessaires à l'expression du flux

d'énergie : un flux (noté f) et un effort (noté e). Cette représentation est naturellement multi-

domaine. La table suivante propose les variables de flux et d'effort dans les domaines physiques

courants.

Table 1- 1 : Variables de flux et d'effort des principaux domaines physiques.

domaine physique variable de flux variable d’effort

Electrique le courant, i la tension, u

Thermique le flux d'entropie, Fs la température, T

Hydraulique le débit volumique ρv la pression, p

Mécanique de translation la vitesse, v la force, f

Mécanique de rotation la vitesse angulaire, ω le couple, Γ

Magnétique la dérivée du flux, λ la force magnétomotrice, M

CHAPITRE PREMIER

28

1.2.1. Les composants élémentaires

Les composants élémentaires des graphes de liens peuvent être classés en fonction de leur

comportement par rapport aux deux Principes de la Thermodynamique et au principe de

continuité spatiale de l'énergie.

• Premier Principe: le composant peut être énergétique s'il stocke de l'énergie (élément

mémoire).

• Second Principe: le composant peut être entropique s'il produit de la chaleur (non

réversible).

• Continuité spatiale de l'énergie: le composant peut être un créateur s'il produit ou

supprime de l’énergie. Evidemment, un composant créateur est une absurdité physique et

n'existe pas, puisqu'un tel composant est en contradiction avec le second principe. C'est

seulement un moyen commode de simplifier la représentation d'un système (pour les sources

en particulier).

Table 1- 2 : Classification des composants élémentaires des graphes de liens.

Une classification plus complète peut être trouvée dans [Breedveld-85]. La signification des

symboles est donnée dans la Table 1- 4.

Un composant élémentaire ne satisfait au plus qu'une seule de ces propriétés à la fois:

énergétique, entropique ou créateur. Les composants élémentaires peuvent être classés aussi

par le nombre de leurs ports. La Table 1- 4 donne la liste des composants élémentaires

ordonnés par ordre croissant du nombre de ports.

Les premiers éléments à considérer sont les éléments à un port.

Les éléments énergétiques C et I, sont les seuls à avoir un effet mémoire. On notera que le

modèle de l’inductance électrique est celui de l’inertie.

Les sources d'énergie Sf et Se, sont les éléments créateurs.

type d'élément Symboles d'élément propriété

énergétique

propriété

entropique

propriété

créateur

stockage C, I oui non non

irréversible R, RS non oui non

source Sf, Se non non oui

contrainte 0,1,TF,GY non non non


29

L'élément R est entropique : il produit de la chaleur et introduit une irréversibilité. Puisque

l'élément R n'explicite pas la production de chaleur, cela sous-entend qu'il se comporte comme

une source de température. C'est pourquoi l'élément R est souvent qualifié d'élément

entropique isotherme.

Les éléments suivants sont des éléments à deux ports.

L'élément RS est entropique : c'est l'élément de transformation d'une énergie en chaleur.

Contrairement à l'élément R, l'élément RS montre explicitement la production de chaleur par

son port thermique. Les autres éléments sont ni énergétiques, ni entropiques, ni créateurs.

Les éléments TF et GY sont les éléments de transformation de l'énergie. Ils sont

particulièrement utiles dans la description des systèmes multi-domaine.

Enfin, les jonctions permettent de réaliser des assemblages. Dans le domaine électrique, la

jonction 1 correspond à la loi des mailles et la jonction 0 correspond à la loi des noeuds.

Par défaut, les jonctions ont une convention "récepteur" (liens entrants). Mais la combinaison

des orientations des liens permet de tenir compte du signe des variables dans les assemblages.

Par exemple, la Table 1- 3 montrent les trois combinaisons de signes possibles pour une

jonction 1 à trois ports.

Les jonctions standard sont des éléments à trois ports. Evidemment les notions de jonction 1 et

0 s'étendent sans difficulté aux cas d'un nombre quelconque de ports. En particulier, les

jonctions 0 et 1 à 2 ports permettent d'inverser respectivement les variables flux et effort. De

même les jonctions 0 et 1 à un port imposent respectivement un flux et un effort nul (circuit

ouvert et court-circuit).

Table 1- 3 : différentes combinaisons d'orientation des liens d'une jonction 1 à trois ports.

Equation implicite e1+e2+e3=0 e1+e2-e3=0 e1-e2-e3=0

Représentation

Graphique

11 2

3

11 2

3

11 2

3

CHAPITRE PREMIER

30

Nom, symbole Modèle à V.E. Variablesd'entrée

Variablesde sortie

représentation graphique

capacité,C

dx

dtf e e x= =, ( )

f eC

inductance,I

dx

dte f f x= =, ( )

e fI

résistance, e R f= . f e R (mode 1)

R f e R= / e f R (mode 2)

source d’effort,Se

e e t= ( ) f eSe

source de flux,Sf

f f t= ( ) e fSf

transformateur,TF

e m e f m f1 2 2 1= =. , . e2, f1 e1, f2 TF (mode 1)

(m est le rapport detransformation)

e m e f m f2 1 1 2= =. , . e1, f2 e2, f1 TF (mode 2)

gyrateur,GY

e m f e m f1 2 2 1= =. , . f1, f2 e1, e2 GY (mode 1)

(m est le rapport detransformation)

f m e f m e2 1 1 2= =. , . e1, e2 f1, f2 GY (mode 2)

jonction 1,1

f2=f3=f1 , e1=-(e2+e3) f1, e2, e3 f2, f3, e1 11 2

3

(mode 1)

(exemple d’unejonction à 3

ports)

f1=f3=f2 , e2=-(e1+e3) f2, e1, e3 f1, f3, e2 11 2

3

(mode 2)

f1=f2=f3 , e3=-(e1+e2) f3, e1, e2 f1, f2, e3 11 2

3

(mode 3)

jonction 0,0

e2=e3=e1 , f1=-(f2+f3) e1, f2, f3 e2, e3, f11 2

3

0

(mode 1)

(exemple d’unejonction à 3

ports)

e1=e3=e2 , f2=-(f1+f3) e2, f1, f3 e1, e3, f21 2

3

0

(mode 2)

e2=e3=e1 , f3=-(f1+f2) e3, f1, f2 e1, e2, f31 2

3

0

(mode 3)

Table 1- 4 : Composants élémentaires des graphes de liens


31

1.2.2. La causalité

Comme nous l'avons vu, la causalité est inhérente aux graphes de liens. Chaque modèle de

composant doit donc exprimer clairement sa causalité. Pour pouvoir exprimer

(automatiquement) le système à simuler sous la forme d'une EDO, ce système doit être causal.

C'est-à-dire que les différents composants seront connectés en respectant ces règles de

causalité.

1.2.2.1. Règles de causalité d'un composant

Le modèle à variables d’état d’un composant rassemble les équations d’état et les équations de

sorties (les règles de causalité). Les variables d’entrée et de sortie sont les variables de chaque

port du composant. Chaque règle de sortie précise donc, soit la valeur de la variable de flux,

soit celle d’effort d'un port. Il y a autant de règles de causalité que de ports.

Souvent, il existe plusieurs modèles à variables d'état représentatifs d'un même composant.

Ceux-ci peuvent différer seulement par leur règle de causalité. Par exemple, si la règle de

causalité peut s'écrire sous la forme d'une relation linéaire entre des variables de port, il existera

plusieurs formulations explicites de cette relation.

Définition: Des modes sont des modèles à variables d'état équivalents qui se différentient

seulement par la formulation d'une de leurs règles de causalité.

Par exemple, dans le cas de la résistance, nous avons une relation linéaire classique:

0 = −u R i. Eq. 1- 20que l'on peut représenter sous la forme explicite (Modèle à variables d'état)

u R i= . Eq. 1- 21ou

i uR= Eq. 1- 22

L'équation 1-21 représente le mode 1 et l'équation 1-22 représente le mode 2.

Pour les jonctions, il apparaît une égalité entre toutes les variables du même type (flux pour la

jonction 1 et effort pour la jonction 0). Ces règles de causalité un peu particulières sont

appelées des règles de fusion (Elles correspondent à un grand nombre de modes différents).

1.2.2.2. Interprétation de la notion de causalité

On considère l’hypothèse naturelle :

Postulat: tout système physique est déterministe.

CHAPITRE PREMIER

32

De plus nous considérons que tout composant est représentable par un modèle à variables

d'état (non dégénéré). Aussi, si nous connaissons les variables d'entrée de ce composant (ce qui

revient à définir les variables d'entrée comme des sources adéquates), le théorème de Cauchy -

Lipschitz montre que l'évolution de ce composant ne dépend que de son état initial.

Une règle de causalité peut être interprétée comme une règle de cause à effet. L’hypothèse ci-

dessus implique qu’un comportement a nécessairement une cause. Evidemment, une cause doit

précéder son effet. Aussi dans un modèle à variable d’état :

( )dx

dtf x u t= , , Eq. 1- 23

y h x u t= ( , , ) Eq. 1- 24

nous pouvons interpréter u comme la cause et y comme la conséquence. Les équations d’état

traduisent un délai entre l’application des causes et l’observation des effets. Quand il n’y a pas

de variable d’état, les relations de cause à effet sont instantanées.

Si l'on applique un petit échelon en entrée, la réponse du système sera proche de celle du

système linéarisé. Or, compte tenu de la forme explicite de l'équation 1-23, la fonction de

transfert du système linéarisé sera causale (degré du numérateur inférieur à celui du

dénominateur) et donc la sortie sera en retard par rapport à l'entrée. Il en sera de même pour

une petite perturbation du système non linéaire.

En isolant un composant dans un système, le reste du système représente le monde extérieur au

composant. Les variables d’entrée du modèle du composant expriment l’action de

l’environnement extérieur sur ce composant. Les variables de sortie traduisent les réactions du

composant sur son environnement extérieur.

1.2.2.3. Graphe de liens d'un circuit électrique

Il existe des algorithmes pour obtenir un graphe de liens à partir d'un réseau de Kirchhoff,

décrit par une liste de connexions (netlist) [Karnopp-90]. H. Morel et B. Allard proposent un

algorithme amélioré permettant de simplifier des circuits très complexes [Morel-97]. Nous

présenterons ici succinctement cet algorithme et donnerons un exemple d'application à

caractère didactique.


33

Construction d'un graphe de liens à partir d'un réseau de Kirchhoff [Morel-97]

(i) Transformer tous les noeuds du circuit en jonction 0.

(ii) Pour chaque port de chaque composant insérer une jonction 1 entre les deux noeuds de la

branche correspondante, en respectant les conventions.

(iii) Eliminer une jonction 0 interne et tous ses liens.

(iv) Simplifier le graphe de liens restant:

a) en éliminant les jonctions à deux ports,b) en fusionnant les jonctions de même nature liées,c) en supprimant les boucles entre jonctions 1 et 0,d) en réduisant les boucles de jonctions 0-1-0-1,e) éventuellement en inversant les liens d'une jonction interne.

Remarques :

Il y a deux cas à considérer pour le respect des conventions de port : la convention

"générateur" (Figure 1- 6) et la convention "récepteur" (Figure 1- 7).

E i

n1

n2

vSe:E

0:n2

0:n1

1

Figure 1- 6 : Insertion d'un élément avec un port générateur

C i

n1

n2

vC:C

0:n2

0:n1

1

Figure 1- 7 : Insertion d'un élément avec un port récepteur

Pour un composant multi-ports, il est nécessaire d'insérer une jonction 1 par branche. Il faut

surtout veiller à respecter la correspondance entre les variables de ports dans le graphe de liens

et les variables d'entrée et de sortie dans le modèle à variables d'état représentatif du

composant. Par exemple, dans le cas du transistor bipolaire les variables classiques sont iB, vBE,

iC et vCE. D'autres choix de variables conduiraient à un autre graphe de liens.

CHAPITRE PREMIER

34

vCE

collecteur

base

émetteur

iB

iC

vBE

0:émetteur

0:collecteur

11

0:base

iCiB

vCEvBE

Figure 1- 8 : Insertion d'un élément récepteur à plusieurs ports.

Enfin, prenons le cas d'un composant à deux ports, dont l'un est récepteur et l'autre est

générateur: un transformateur.

11

s+

s-

p+

-p

v 21v

i1 2i

TF

0:

0: 0:

0:

p+

-p

s+

s-

i1

1v2i

v2

Figure 1- 9 : Insertion d'un élément ayant un port récepteur et un autre générateur.

Exemple : circuit résonnant RLC série

Soit le schéma suivant:

E R L

C

1 2 3

0

Figure 1- 10 : Circuit R-L-C

G En appliquant les clauses (i) et (ii) nous obtenons, le graphe de liens primaire du circuit.

0:0

1 1

0:1 1 0:2 1 0:3

Se:E

R:R I:L

C:C

Figure 1- 11 : graphe de liens primaire


35

G La clause (iii) nous permet d'éliminer une jonction 0 interne et tous ses liens.

Définition: Une jonction interne est une jonction liée uniquement à d'autres jonctions.

Règle pratique : On a toujours intérêt à simplifier la jonction 0 interne qui a le plus grandnombre de ports.

Ce qui nous amène au graphe de liens suivant :

1 1

0:1 1 0:2 1 0:3

Se:E

R:R I:L

C:C

Figure 1- 12 : graphe de liens après utilisation de la clause (iii)

G Enfin, nous pouvons simplifier le graphe de liens restant.

• Elimination des jonctions à deux ports (les 2 ports doivent être orientés dans le

même sens) :

1 1

1 1

Se:E

R:R I:L

C:C

Figure 1- 13 : graphe de liens après élimination de jonctions à deux ports

• Fusion des jonctions liées, de même nature. Nous arrivons au graphe de liens final :

1Se:E

R:R

I:L

C:C

Figure 1- 14 : Graphe de liens final du circuit RLC après simplifications.

L'annexe 1 présente les simplifications qui n'ont pas été utilisées dans cet exemple.

Une fois le graphe de liens construit et simplifié, le simulateur doit mettre en équation le

système de manière à pouvoir simuler son fonctionnement. C'est le rôle de l'analyse de

causalité.

CHAPITRE PREMIER

36

1.2.3. Analyse de la causalité

1.2.3.1. Analyse de Causalité Standard

Comme nous l'avons présenté précédemment, les règles de causalité peuvent être représentées

par le trait causal.

A B A Be

f

trait causal

Figure 1- 15 : Equivalence entre un trait causal et un schéma bloc.

La causalité est indépendante du sens de transfert de l’énergie, et indique quel composant fixe

la valeur de la variable flux, et corollairement quel composant fixe la valeur de la variable

d’effort. Ainsi dans la Figure 1- 15, c’est le composant B qui fixe la valeur du flux (le flux est

une variable de sortie de B), et c'est le composant A qui fixe la valeur de l'effort (l'effort est

une variable de sortie de A). Evidemment, cela exige une certaine compatibilité entre les

éléments A et B.

L'analyse de causalité standard que nous allons présenter brièvement est décrite en détail dans

[Karnopp-90].

Analyse de Causalité Standard :

(i) fixer la causalité des sources, propager la causalité à travers les éléments de contraintes (0,1, GY, TF).

(ii) fixer la causalité des éléments C et I (causalité intégrale), propager la causalité à travers leséléments de contraintes (0, 1, GY, TF).

(iii) fixer arbitrairement la causalité des éléments R non encore assignés.

Propager la causalité signifie "appliquer les règles de propagation".

La Figure 1- 16 montre l'utilisation de l'analyse de causalité standard dans le cas du graphe de

liens de la Figure 1- 14.


37

1Se

R

L

C

L

R

E C

a

1Se

R

L

C

L

R

E C

b

Figure 1- 16 : Analyse de causalité du circuit RLC. a) après l'étape (i). b) après l'étape (ii).

Toutefois, l'algorithme standard ne peut pas s'appliquer aux graphes de liens comportant des

composants non standard. En effet, par exemple, nous ne pouvons pas considérer simplement

qu'une diode a en général la causalité d'une capacité. Soit le modèle de diode suivant.

( )dQ

dti i QD

D D= − Eq. 1- 25

( )v g QD= 1 Eq. 1- 26

Dans ces équations, i et v sont le courant et la tension aux bornes de la diode. QD est la charge

stockée dans la diode. C'est la variable d'état de ce modèle.

Bien que cela ne soit pas un modèle standard de capacité, à cause de la fonction iD(QD), la

règle de causalité de ce modèle est bien celle d'une capacité. Nous pourrions donc considérer la

diode comme une capacité, pour appliquer l'analyse de causalité standard.

Mais, par exemple, le modèle complet de la jonction PN utilisé dans SPICE peut s'écrire:

( )dQ

dti i QD

D D= − Eq. 1- 27

( )v g Q iD= 2 , Eq. 1- 28

Cette fois la prise en compte des résistances série, a introduit une dépendance dans la règle de

causalité par rapport au courant i. On ne peut donc pas calculer la tension aux bornes de la

diode, avant de connaître le courant dans celle-ci. Dans ce cas, l'algorithme standard ne peut

pas s'appliquer. Il faut alors utiliser un autre algorithme appelé l'analyse de causalité

algébrique [Allard-96].

1.2.3.2. Analyse de Causalité Algébrique

En électronique les modèles de composants sont souvent décrits en utilisant des langages de

description du type HDL (MAST, HDL-A, ABCD, M++ ...) ou bien ils sont directement écrits

avec un langage de programmation (C ou Fortran) pour les simulateurs de type SPICE. Dans

tous ces cas, le modèle peut clairement s'identifier à un modèle à variables d'état

CHAPITRE PREMIER

38

(éventuellement dégénéré). Nous venons de montrer que dans ce cas, l'analyse de causalité

standard ne peut pas s'appliquer et qu'il faut utiliser l'Analyse de Causalité Algébrique (ACA).

Nous allons décrire brièvement cet algorithme.

Si l'on souhaite obtenir explicitement les équations du système, l’algorithme nécessite

l’utilisation de la table des variables de port du graphe de liens. Cette table est notée P.

Définition : La table des variables de port est la liste des variables de port indépendantes pourtous les ports de tous les composants.

Plusieurs considérations sont à prendre en compte pour construire cette table. Rappelons tout

d’abord que par essence, pour chaque port correspondant à un transfert d'énergie, nous devons

avoir une variable d’entrée et une variable de sortie. En effet, le modèle d’un composant ne

peut pas imposer à la fois la valeur des deux variables flux et effort d'un même port.

Création de la table des variables de port P :

(i) faire la liste de toutes les variables de port de tous les composants du système.

(ii) fusionner les variables d'un même lien (les variables de flux entre elles et les variables

d'effort entre elles).

(iii) appliquer les règles de fusion:fusionner les variables de flux de chaque jonction 1.fusionner les variables d'effort de chaque jonction 0.

Nous considérons le graphe de liens décrit à la Figure 1- 14. La table P correspondante est

donnée ci-dessous. Les variables d’état du système sont les variables d'état des composants

dont le modèle a des variables d'état: la capacité et l’inductance.

1Se :E

R:R

I:L

C:C m

1

2

34

Eq. 1- 29 : Graphe de liens du circuit RLC

Table 1- 5 : Table des variables de ports et table des variable d'état du circuit RLC.

tableP

nom des variables de port descomposants

tableX

nom des variables d'étatdes composants

p0 E.i, R.i, C.i, L.i, m.f1, m.f2, m.f3, m.f4 x1 L.i flux dans l’inductance Lp1 E.v , m.e1 x2 C.v, charge de la capacité Cp2 R.v, m.e2

p3 C.v, m.e3

p4 L.v, m.e4


39

Avant d'aller plus avant dans la description de cet algorithme il nous faut préciser le

vocabulaire utilisé.

Définitions :

• Une variable de port connue est une variable qui peut être calculée explicitement à partir dela valeur des variables d’état en utilisant une règle de causalité d'un des composants dugraphe de liens. Dans la pratique, cela correspond à l'ajout adéquat d'une barre de causalitésur la représentation graphique du graphe de liens.

• Une règle de causalité applicable est une règle de causalité dont les variables d'entrée sontconnues au moment où la règle de causalité est considérée. Dans ce cas, un signe adéquatest inscrit sur la représentation graphique du graphe de liens. Cela permet de savoir quecette règle de causalité a été utilisée et que la variable de sortie de la règle est alors connue.

• Une séquence de composants est une liste arbitraire des composants du graphe de liens.

• La séquence ACA des règles de causalité est la liste des règles de causalité dans l'ordre oùles règles sont déclarées applicables.

Notations graphiques:

La demi-barre sur le lien du côté du composant A, signifie que la variable

de flux du lien est connue. De plus, c'est la règle du composant A qui est

utilisée pour calculer cette variable de flux.

La double demi-barre sur le lien du côté du composant A signifie que la

variable d'effort du lien est connue. De plus, c'est la règle de causalité du

modèle du composant B qui est utilisée pour calculer cette variable

d'effort.

Evidemment, nous avons des notations similaires lorsque la demi-barre ou la double demi-barre

est notée sur le port du composant B.

Enfin, les deux notations peuvent se superposer :

Cela veut donc dire que les variables de flux et d'effort du lien sont

connues. C'est le modèle du composant A qui permet de calculer la

variable de flux et c'est le modèle du composant B qui permet de calculer

la variable d'effort.

L'algorithme d'analyse de causalité algébrique s'applique pour une séquence de composants

donnée.

A B

A B

A B

CHAPITRE PREMIER

40

Analyse de Causalité Algébrique:

Début

Règle de causalité applicable

Elément de la séquence de

composant suivant

Règle de causalité suivante

Variable de sortie de la règle de causalité déjà

connueUtiliser la règle

(voir 1)

Règle de fusion utilisable pour l'élément

Prendre en compte la règle au niveau

graphique

Dernière règle de causalité

Dernier composant

Toute les variables de

port sont connues

FAUTE DE CAUSALITÉ

GRAPHE DE LIENS CAUSAL

CAUSALITE INDETERMINEE

La variable de sortie de la règle considérée devient connue Les symboles graphiques de représentation de la règle de causalité doivent être indiqués pour cette règle

1)

ouinon

ouinon

ouinon

non oui

ouinon

oui non

Figure 1- 17 : Algorithme d'Analyse de la Causalité Algébrique.


41

Propriétés :

• Pour chaque séquence de composants, il correspond une unique séquence ACA. En effet,par construction, la séquence ACA est déterminée à partir de l'ordre des composants dans laséquence de composants.

• Si le système est causal pour une séquence de composants, il est causal pour toutes lesautres séquences de composants.

Si le système est causal, la séquence ACA et les équations d'état définissent une EDO du

système. Si le système n'est pas causal, la séquence ACA, les équations d'état, les équations

implicites correspondant aux règles de causalité provoquant des fautes de causalité et les

équations implicites correspondant aux règles de causalité non utilisée forment une EDA du

système.

D'autre part, l'algorithme identifie clairement quels composants ont créé une faute de causalité.

L'utilisateur a donc a sa disposition des informations précieuses qui lui feront gagner du temps

lors de la simulation d'un système complexe.

La table suivante présente graphiquement les causalités des composants de la Table 1- 4 pour

l'analyse la causalité standard et l'analyse de causalité algébrique.

CHAPITRE PREMIER

42

1

Nom, symbole ACAavant affectation

ACAaprès affectation

causalité standardavant affectation

causalité standardaprès affectation

capacité, C e=f(x) C C C C

inertie, If=f(x) I I I I

résistance, Re = R f R R R R

f = e/RR R R R

source d'effort,Se, e=f(t) Se Se Se Se

source de flux,Sf, f=f(t) Sf Sf Sf Sf

transformateur,TF, f2 = m f1

TF TF TF TF

e1 = m e2 TF TF

f1 = f2/m TF TF TF TF

e2 = e1/m TF TF

gyrateur, GYe2 = m f1

GY GY GY GY

e1= m f2 GY GY

f1 = e2/m GY GY GY GY

f2 = e1/m GY GY

jonction, 1f3=f2=f1

1 1 1 1

e3=e2+e1 1 1 1 1

jonction, 0e3=e2=e1

0 0 0 0

f3=f2+f1 0 0 0 0

Table 1- 6 : Représentation graphique de la causalité pour les éléments standard, pour la méthode ACAet la méthode standard. Dans le cas des jonctions 0 et 1, l'orientation des demi-flèches n'influe pas sur lacausalité des jonctions. C'est pourquoi elles ne sont pas indiquées sur les figures relatives aux jonctions.


43

1.2.4. Exemples d'application

La faute de causalité ne signifie pas systématiquement que le système n'est pas simulable. Elle

correspond, dans la pratique, à une contrainte algébrique. L'analyse des systèmes non causaux

[Morel-97] permet de "corriger" un certain nombre de fautes de causalité de manière à pouvoir

simuler le système. Nous ne préciserons pas le détail de l'analyse des systèmes non causaux.

Nous donnerons simplement quelques exemples illustrant clairement l'intérêt de l'analyse de

causalité et de la correction des fautes de causalité.

Tout d'abord, comparons le comportement d'un simulateur d'électronique de puissance basé sur

la méthode nodale modifiée avec un autre simulateur basé, lui, sur les graphes de liens et

l'analyse de causalité algébrique :

circuit Méthode nodale (modifiée) Analyse de causalité algébrique

SABER PACTE 0.9.8

IL1

L2

RC

circuit 1

Analyses DC et Transitoire pas

de problème.

L'analyse DC avec initialisation

des courants dans L1 et L2 est

fausse, il n'y a pas

d'avertissement.

6 équations simultanées

Faute de causalité sur L1 ou L2.

La simulation se fait avec L1 ou

L2 en causalité dérivée : un seul

courant initial peut être spécifié.

2 équations d'état.

C IG

circuit 2

Analyse DC et Transitoire sans

problème. Pour certain SPICE,

le courant dans C est

complètement faux.

Si la tension est initialisée dans

C une erreur "Singular Jacobian

Matrix" est obtenue dans

l'analyse DC

Faute de causalité sur C.

La simulation peut se faire avec C

en causalité dérivée.

La tension aux bornes de C ne

peut pas être initialisée.

0 équation d'état.

Table 1- 7 : Exemples simples de circuits non causaux.

Comme nous pouvons le constater, dans le cas du circuit 1, la méthode nodale ne fournit aucun

avertissement à l'utilisateur. Le résultat est simplement non conforme à la réalité. Alors que

l'ACA permet de spécifier la cause de l'erreur et de proposer une solution à l'utilisateur.

CHAPITRE PREMIER

44

Pour le circuit 2, outre un risque de résultat erroné, le message d'erreur proposé est, pour le

moins, obscur. L'ACA ici aussi propose une solution pour pouvoir simuler le circuit.

L'utilisateur peut donc obtenir un résultat, sachant tout de même que le circuit présente un

problème.

En résumé, les causalités indéterminées correspondent davantage à une difficulté de mise en

équation (résoudre formellement un système d'équations linéaires) qu'à un problème physique.

En revanche, les fautes de causalité correspondent à des problèmes physiques. Il s'agit très

souvent d'une modélisation physique incomplète, comme la non prise en compte de certains

éléments parasites.

Toutefois dans certains cas, la dynamique associée à ces éléments parasites peut être jugée peu

importante. Auquel cas, il est intéressant de pouvoir simuler de tels systèmes. La première

solution est de résoudre le système d'équations algébriques et différentielles par d'autres

méthodes numériques. Dans l'approche classique des graphes de liens, on a souvent recours à

un autre artifice, la causalité dérivée, c'est-à-dire imposer des contraintes entre certaines

variables d'état. Pour illustrer notre discours, prenons comme dernier exemple le circuit

hacheur de tension suivant :

G

RgM

ER

L D

Figure 1- 18 : Un hacheur de tension.

Ce circuit est bien connu des électroniciens de puissance, cependant, l'analyse de causalité

algébrique détecte une erreur de causalité dans la branche de la diode. Cette erreur est, en fait,

due à une modélisation incomplète. En effet, nous n'avons pas pris en compte l'inductance de

câblage de la diode représentée sur la figure suivante :


45

G

RgM

ER

LD

Ld

Figure 1- 19 : Circuit hacheur avec une inductance de câblage.

Cependant, l'utilisateur peut désirer effectuer tout de même la simulation pour, par exemple

estimer l'effet de cette inductance, ou, plus simplement parce qu'il ne s'intéresse pas au détail de

la commutation. La correction des fautes de causalité est donc particulièrement importante. Un

message d'avertissement sera cependant fort utile.

Comparons les résultats des deux simulations (Logiciel Pacte, version 0.98).

sans inductancede câblage

sans inductancede câblage

avec inductancede câblage

avec inductancede câblage

Figure 1- 20 : Simulation du circuit hacheur avec et sans inductance de câblage.En haut : courants dans la diode. En bas : tensions aux bornes de la diode

CHAPITRE PREMIER

46

La simulation de l'EDA correspondant au schéma sans inductance de câblage peut être

effectuée mais conduit à une commutation sans surtension aux bornes de la diode, alors que

l'expérience prouve le contraire. L'introduction de l'inductance de câblage pour annuler l'erreur

de causalité nous permet de nous rapprocher de l'expérience.

1.3. PACTE.

Le CEGELY, et plus particulièrement H. Morel et B. Allard développent depuis plusieurs

années un logiciel dédié à la simulation en électronique de puissance : PACTE [Allard-93].

Cet outil est basé sur une représentation par graphes de liens (il est donc naturellement multi-

domaine) et intègre l'Analyse de Causalité Algébrique et un certain nombre de correction de

causalités. Il permet cependant de saisir un schéma électrique décrit par un réseau de

Kirchhoff. Ce schéma est alors automatiquement converti en graphe de liens avant d'être mis

en équation.

Une de ses particularités est d'utiliser les réseaux de Pétri pour décrire des modèles à plusieurs

états et effectuer un changement d'état en cours de simulation. C'est particulièrement utile en

électronique de puissance où la majorité des éléments de commutation changent de causalité en

fonction d'événement extérieurs : seuils de courant ou de tension, commande des transistors,

etc ...

Ce logiciel dispose de son propre langage de programmation pour la saisie des modèles

complexes : M++. Sa syntaxe est basée sur le C++ . Il est, évidemment, dédié à la formulation

par graphes de liens. Il permet aussi de décrire les modèles à plusieurs états, comme l'on

décrirait un réseau de Pétri : à chaque étape sont associés un modèle et des conditions de

passage vers une autre étape (autre modèle).

Les différentes applications réalisées ont montré que le champ d'utilisation de PACTE dépasse

largement le domaine de l'électronique de puissance.

1.4. CONCLUSION

Par un bref résumé des principales notions concernant la modélisation des systèmes et

notamment le formalisme d'état, nous avons montré que tout système déterministe peut se

mettre sous la forme d'une Equation Différentielle Ordinaire. Ce système d'équations a la

particularité d'être complètement décrit par ses valeurs initiales et de posséder une solution

unique.


47

Nous avons ensuite comparé différentes méthodes d'assemblage utilisées dans le domaine du

Génie Electrique pour décrire les systèmes à simuler. Pour deux d'entre elles, les réseaux de

Kirchhoff et les graphes de liens, nous avons analysé leur aptitude à fournir un jeu d'Equations

Différentielles Ordinaires, assurant ainsi une bonne fiabilité du résultat de sa simulation

numérique.

D'autres formalismes existent. Citons par exemple les éléments finis (équations aux dérivées

partielles). Ce type de méthode est encore très peu utilisé pour la simulation de systèmes

complet pour des raisons de temps de calcul. Dans un contexte "système", ils sont

généralement utilisés pour vérifier un point particulier parfaitement ciblé. C'est pourquoi nous

les avons écartés de nos propos.

Le formalisme des graphes de liens, très utilisé par les mécaniciens et les automaticiens, est de

plus en plus utilisé dans d'autres spécialités dont l'électronique de puissance. Nous avons

présenté les principales notions de cette théorie qui repose sur une représentation énergétique

des phénomènes physiques et sur une expression claire de la liaison entre les causes et les effets

(les variables d'entrée et de sortie) : la causalité. Un algorithme d'analyse de causalité a ensuite

été introduit : l'Analyse de Causalité Algébrique. Si le système est causal, il sera représenté par

une Equation Différentielle Ordinaire, garantissant ainsi l'unicité de la solution.

Nous avons enfin montré par quelques exemples concrets l'intérêt d'un tel outil pour les

concepteurs. Les fautes de causalité résultent le plus fréquemment d'un niveau de modélisation

insuffisant ou de l'oubli d'un élément parasite important. L'annonce claire des raisons d'une

faute de causalité permet à l'utilisateur de gagner un temps précieux et d'éviter certaines erreurs

"fatales". Enfin, nous avons succinctement présenté un logiciel de simulation reposant sur le

formalisme par graphes de liens et l'Analyse de Causalité Algébrique : PACTE. Cet outil a la

particularité d'utiliser les réseaux de Pétri pour générer les changements de modèles en cours

de simulation, lorsque cela est nécessaire.

Le formalisme des graphe de liens, même s'il peut être transparent pour l'utilisateur lors de la

saisie des schémas électroniques (ce qui n'est plus vrai dans un contexte multi-domaine)

implique le respect de certaines règles très strictes lors de l'écriture des modèles. Ceci oblige

l'utilisateur à se poser un certain nombre de questions qu'il n'avait pas forcément l'habitude de

se poser. Il détecte ainsi plus rapidement les points durs de la modélisation et aboutit

généralement à un modèle plus "physique".

Dans la suite de notre présentation, nous nous attacherons principalement à préciser clairement

la causalité de chaque modèle, même si souvent, la représentation par graphes de liens des

CHAPITRE PREMIER

48

schémas utilisés est occultée au bénéfice des réseaux de Kirchhoff plus "parlants" pour le

néophyte.

La qualité de la simulation des phénomènes physiques est généralement liée à la complexité des

modèles, et donc, au "coût" de simulation. Même si les systèmes informatiques évoluent très

rapidement en terme de nombre d'opérations par seconde et de capacité mémoire, le

concepteur doit tout de même adapter le niveau de modélisation à ses objectifs.

Dans le chapitre suivant, nous étudierons les différents niveaux de modélisation des

composants de puissance que nous avons utilisés et dégagerons des lignes directrices quant au

choix des modèles en fonction des objectifs annoncés.

CHAPITRE SECOND

NIVEAUX DE REPRESENTATION ET OBJECTIFS DE

SIMULATION

Nous avons vu précédemment que le choix de la méthode d'assemblage des différents

composants du système avait des répercussions non négligeables sur la formulation de ses

équations et sur leur résolution. Le graphe de liens et l'analyse de causalité algébrique

permettent de représenter le système causal à simuler par un jeu d'équations différentielles

ordinaires, garantissant ainsi l'unicité de la solution.

Nous allons nous intéresser maintenant aux composants eux-mêmes et à leurs niveaux de

modélisation.

En effet, de manière générale, la complexité d'un modèle (le nombre d'équations à résoudre)

croit avec la finesse de la représentation qu'il procure. Le coût de calcul sera donc directement

lié à la finesse avec laquelle le phénomène physique sera représenté et aux performances de la

méthode de résolution utilisée. Par exemple:

Le coût d'une résolution par la méthode de Newton est grossièrement de l'ordre du carré du

nombre d'équations implicites du système (n).

D'autre part, la nature même du système à simuler influe sur le coût de simulation. Le pas de

temps de la méthode d'intégration utilisée pour résoudre les équations du système est de l'ordre

de la plus petite constante de temps et l'horizon temporel de la simulation est souvent de l'ordre

de la plus grande constante de temps. Ainsi, nous pouvons définir une grandeur R, appelée

raideur, qui est de l'ordre de grandeur du rapport entre la plus grande constante de temps du

système et la plus petite. Plus R sera grand, plus le système sera dit "raide". [Crouzeix-84].

Le coût de la simulation (le nombre de pas de temps) est de l'ordre de R, la raideur du système.

Finalement, en introduisant un coefficient τ0 lié au simulateur (méthode d'intégration) et,

surtout, au calculateur, nous pouvons définir le temps de simulation, Ts = τ0.R.n². A cela, il

faudrait ajouter un facteur prenant en compte le volume de stockage nécessaire et les temps

d'accès correspondants (mémoire vive et/ou disque dur).

CHAPITRE SECOND

50

Prenons quelques exemples concernant la raideur :

• Pour un amplificateur HF, Rms

s=

µ=

1

01104

.

• En électronique de puissance, la simulation d'un convertisseur avec prise

en compte de la dynamique des composants à semiconducteur correspond

à : Rms

ns= =

20

012108

..

• Toujours en électronique de puissance, si l'on ajoute la prise en compte

des couplages thermiques, Rs

ns= =

20

012 1011

.. . C'est inabordable !

• Enfin, si l'on ne simule que la phase de commutation, Rs

ns=

µ=

1

012104

.. .

En résumé, si la complexité du modèle ne dépend que de la finesse de la représentation

associée, la raideur, quand à elle, dépend des objectifs de la simulation. Il convient donc,

lorsque c'est possible, de choisir des modèles adaptés à ses objectifs. De nos jours, il est encore

utopique (et certainement inutile) de vouloir simuler un cycle de roulage d'un véhicule

électrique (plusieurs kilomètres) en prenant en compte chaque commutation des composants à

semiconducteur.

Dans ce chapitre, nous allons présenter différents niveaux de représentation des éléments de

commutation en électronique de puissance (le transistor et la diode) en allant du plus précis

(donc du plus coûteux) vers le plus rapide. Nous nous attacherons en particulier à définir les

conditions d'utilisation de ces représentations et ainsi les objectifs qu'il est possible d'atteindre.

Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation

51

2.1. LES MODELES DE COMMUTATION

2.1.1. Les modèles de comportement

Ce type de modèle repose sur la physique des composants à semiconducteur. Ils ont pour

objectif de représenter le mouvement des électrons et des trous dans un semiconducteur. Ce

mouvement est très complexe et peut même être considéré comme chaotique (mouvement

brownien).

Une première simplification consiste à représenter de façon statistique le mouvement des

particules (alors que les équations de la mécanique classique sont parfaitement déterministes).

La fonction de distribution décrit le nombre de particules dans une position donnée et ayant un

vecteur "vitesse" donné [Akhiezer].

La deuxième simplification consiste à ne s'intéresser qu'aux grandeurs hydrodynamiques

(macroscopiques), la concentration des porteurs, la vitesse moyenne (ou la densité de courant)

et éventuellement l'énergie moyenne (voire la température des porteurs). Les modèles

hydrodynamiques correspondent à un système d'équations aux dérivées partielles qui décrivent

ces grandeurs [Akhiezer].

Lorsque l'on élimine les cas où l'énergie des porteurs est importante (avalanche, MOS à canal

sub-micronique, injection des porteurs dans les isolants), nous pouvons nous contenter

d'utiliser le modèle très classique dit de "dérive diffusion" [Sze]. Ce modèle peut s'obtenir

comme cas limite du modèle hydrodynamique lorsque l'on néglige l'accélération des porteurs et

que l'on suppose que la température des porteurs est égale à la température du cristal.

Enfin, nous pouvons utiliser une technique mathématique appelée "approximation interne"

pour développer un modèle analytique d'un composant. Cette méthode a été appliquée avec

succès à la modélisation de la zone de plasma dans la diode de puissance [Morel-94].

Ces différents modèles sont généralement utilisés dans les simulateurs dédiés à la conception de

composants à semiconducteur. Les plus simples (modèles à variables d'état), sont utilisés pour

la simulation de quelques commutations dans un circuit. Les temps de simulation vont de

quelques heures à plusieurs jours.

Nous ne rentrerons pas dans le détail de tels modèles que nous considérerons simplement

comme des références de simulation dans la suite de notre discours. Ils sont, pour certains, déjà

implantés dans le simulateur PACTE. Nous citerons simplement les modèles que nous

envisageons d'utiliser, à savoir :

CHAPITRE SECOND

52

• Pour la Diode de puissance : Le modèle "Diode PIN" développé au CEGELY [Morel-94].

• Pour l'IGBT : Un des modèles développés par A. Hefner [Hefner-93], [Hefner-94].

Les modèles de comportement représentent de manière assez précise le comportement du

composant à semiconducteur soumis à des contraintes extérieures. Si l'on souhaite utiliser ce

type de modèle pour simuler tout ou partie d'un convertisseur, il convient de s'assurer que ces

contraintes extérieures (conditions tension / courant et, pour les composants commandables,

circuit de commande) sont correctement représentées. En effet, comme l'exemple du circuit

hacheur le montre (cf. § 1.2.4.), si, par exemple, les inductances de câblage sont mal

modélisées, le résultat de la simulation sera erroné, même avec de très bons modèles des

composants à semiconducteur.

L'utilisation de tels modèles demande donc un volume de travail très important. Outre

l'identification des paramètres de ces modèles qui est particulièrement complexe, ils nécessitent

une très bonne connaissance de l'environnement immédiat des composants. Généralement, nous

préférerons donc les utiliser dans des simulations très partielles où les contraintes extérieures

sont parfaitement identifiées.

Ces modèles sont en fait assez récents (moins de 10 ans). Des modèles plus simples sont

utilisés depuis bien plus longtemps pour simuler des systèmes complets. Ils sont souvent

appelés "schémas électrique équivalents".

2.1.2. Les modèles simplifiés

C'est l'approche la plus classique. Elle repose sur l'exploitation des caractéristiques statiques.

Le schéma électrique équivalent de la jonction PN est le plus utilisé (presque tous les

simulateurs le proposent).

Cd

vD

i

iD

C j

Qp.

1

2

ipe

Qe.

Figure 2- 1 : Schéma électrique équivalent de la jonction PN.Cj est la capacité de jonction, Cd est celle de diffusion et Id est le courant direct.


53

De la même manière, nous trouvons des schémas électriques équivalents pour les transistors

(Gummel-Poon par exemple).

Si ce type de modèle (communément appelé "modèle de type Spice") est très utilisé en micro-

électronique, il est mal adapté à la simulation en régimes fortement transitoires, comme c'est

toujours le cas en électronique de puissance. Nous y préférerons des modèles plus élémentaires

à deux états.

Pour la simulation de systèmes complets, le modèle le plus exploité en électronique de

puissance est le modèle "bi-statique". Le composant à semiconducteur sera modélisé par deux

états statiques comme le montrent les figures suivantes.

passant

bloqué

i < iseuil v > vseuil

i

v

Figure 2- 2 : Modèle bi-statique de la diode.

Dans la mesure où nous ne nous intéressons qu'aux états statiques, nous pouvons considérer

que les transistors (Mosfet ou IGBT) fonctionnent uniquement dans la région linéaire de leurs

caractéristiques. Nous pouvons donc utiliser le même type de modèle que pour la diode, avec

une condition supplémentaire imposée par la commande.

passant

bloqué

i

vg

gg > Vth et I>Iseuil< Vth ou I<Iseuil

Figure 2- 3 : Modèle bi-statique d'un interrupteur commandable.

Comme nous le verrons par la suite, les phases statiques peuvent être correctement

représentées avec des modèles relativement simples. A l'évidence, la phase de commutation

CHAPITRE SECOND

54

n'est pas prise en compte par ce type de modèle. Elle est instantanée à partir du moment où une

transition devient vraie. Par conséquent, la modélisation des éléments parasites du

convertisseur, particulièrement les inductances de câblage, est inutile. Au pire, elles créeraient

une erreur de causalité.

Les trois niveaux de représentation les plus couramment rencontrés dans la littérature sont : le

modèle d'interrupteur idéal, le modèle à résistance bi-linéaire et le modèle prenant en compte la

caractéristique statique "réelle".

Le tableau suivant résume les différents paramètres de chaque modèle pour la diode.

Table 2- 1 : Différents modèles bi-statiques de diodes.

Ces différents modèles correspondent aux caractéristiques statiques suivantes :

I

V

I

V

I

V

I0

V0

a b c

Figure 2- 4 : Différents modèles de caractéristiques statiques de diodes.

Nous pouvons dresser le même type de tableau pour les interrupteurs commandables :

Table 2- 2 : Différents modèles bi-statiques d'interrupteurs commandables.

Les paramètres de ces modèles sont facilement identifiables: seul un relevé de caractéristiques

statiques est nécessaire.

La simulation des convertisseurs de puissance à l'aide des modèles simplifiés permet une

validation globale de l'ensemble dans des conditions proches de la réalité. Ils permettent

Etat Transition

Bloqué Passant Iseuil Vseuil

Idéal I = 0 A V = 0 V 0 A 0 V

Résistance bi-linéaire I = V/Roff V = Ron.I I0 V0

Caractéristique statique I = Ifuite # 0 A V = f(Ion) 0 A 0 V

Etat TransitionBloqué Passant Iseuil Vth

Idéal I = 0 A V = 0 V 0 A 0 V

Résistance binaire I = V/Roff V = Ron.I I0 V0

Caractéristique statique I = Ifuite # 0 A V = f(Ion) 0 A V0


55

d'observer les contraintes électriques liées aux grandes constantes de temps (généralement la

charge). Les contraintes électriques sur les composants à semiconducteur, liées aux phases de

commutation ne sont pas correctement représentées, mais les harmoniques dus aux

commutations sont toutefois présents et permettent d'observer leurs effets éventuels sur la

charge.

Du point de vue numérique, le modèle à résistance bi-linéaire à l'avantage de ne pas introduire

de non-linéarités (par segments temporels). En effet, un circuit ne comprenant que des

éléments linéaires et des interrupteurs de ce type, reste linéaire entre les phases de changement

d'état. Leur principal inconvénient est d'introduire des contraintes numériques dans le système

au moment de la commutation.

Les deux autres modèles, que l'on qualifie de "modèles à topologie variable" utilisent

clairement la fonction première de l'interrupteur. Les systèmes d'équations ainsi obtenus restent

simples. Par contre, l'inconvénient majeur de cette approche est la complexité de la mise en

équation : la matrice d'état peut changer de structure et de dimension au rythme des

changements d'états des composants. Un simulateur ad hoc s'impose.

Si le coût de simulation est réduit par la simplification du modèle (nombre d'équations

implicites), la raideur reste quasiment inchangée. En effet, la commutation instantanée des

interrupteurs force le pas d'intégration à être réduit. Nous pouvons généralement espérer une

réduction de la durée de la simulation par un facteur 10 à 100.

2.1.3. Conclusion

Si les modèles comportementaux sont séduisants par la qualité de la simulation qu'ils

permettent d'obtenir, ils nécessitent un travail d'identification colossal et un temps de

simulation encore prohibitif. Ils sont généralement utilisés pour observer des phénomènes se

situant à l'échelle de temps de quelques commutations. Ils peuvent, par exemple permettre

d'observer les contraintes maximales (courant, tension) sur les interrupteurs dans le pire cas.

Les modèles simplifiés nécessitent encore un temps de simulation important. Par contre, la

connaissance "intime" du système n'est plus nécessaire. Un relevé des caractéristiques statiques

est suffisant. Les résultats obtenus sont suffisamment proches de la réalité pour permettre la

validation du fonctionnement global du convertisseur. La qualification des algorithmes de

modulation de largeur d'impulsion est aussi envisageable : allures des grandeurs électriques

dans la charge et aspect spectral de la modulation.

CHAPITRE SECOND

56

Cependant, pour des raisons de temps de simulation, l'observation de phénomènes nécessitant

un temps supérieur à quelques fois la plus grande constante de temps (boucles de régulation

par exemple) n'est pas envisageable. L'automaticien a besoin d'un modèle de convertisseur plus

rapide à simuler. Les seules informations qui lui sont nécessaires se situent aux "basses

fréquences" du système. Bon nombre d'automaticiens représentent encore ces convertisseurs

comme un gain (variable ou non). Un modèle, rapide à simuler, et représentant le plus

fidèlement possible les grandeurs "lentes" du convertisseur, leur serait très utile. Ce type de

modèle est appelé "Modèle Moyen".

2.2. LES MODELES MOYENS

Comme nous l'avons vu, le nombre d'équations du système et les constantes de temps étendues

(de la nanoseconde à plusieurs millisecondes) des circuits en électronique de puissance,

impliquent des coûts de simulation importants. Ces problèmes sont la conséquence de la

fonction interrupteur qui introduit de fortes non-linéarités. Toutefois, l'objectif de ces

convertisseurs de puissance est la réalisation de la fonction "conversion d'énergie". Les

systèmes qui décrivent cette fonction de conversion d'énergie en éliminant la fonction

interrupteur, sont appelés modèles moyen.

2.2.1. Les différentes approches

Les modèles moyens sont utilisés dans la littérature scientifique depuis une vingtaine d'années

[Middlebrook-76]. Il existe principalement deux types d'approches [Kassakian-91].

Ces deux approches supposent que la période d'un cycle de commutation est faible par rapport

aux contantes de temps du système. C'est évidemment une condition nécessaire au bon

fonctionnement du convertisseur, mais son expression mathématique est bien moins simple.

La première approche est celle du "circuit moyen équivalent" (ou circuit averaging). C'est la

plus ancienne. Elle consiste à remplacer une partie du circuit par un circuit moyen.

Prenons le circuit hacheur abaisseur de tension (buck) comme exemple :

ET

Dg drive

L

C R commandeg

Figure 2- 5 : Circuit hacheur abaisseur de tension


57

Dans l'approche graphe de liens, la fonction conversion d'énergie est simplement réalisée par

l'élément TF ou MTF. Une représentation intuitive de la fonction "conversion d'énergie" sous

la forme d'un graphe de liens fait apparaître un transformateur de tension modulé:

Se:E 1 7(i1, u1) (i7, u7)

I:L C:C

R:R

1:l28

109 0:n2

11

MTF:Tr

ρρFigure 2- 6 : Graphe de liens qui explicite la fonction conversion.

(i1,u1) sont respectivement le courant et la tension de la source E, i7 est le courant dans

l'inductance et u7 est la différence de potentiel entre la cathode et l'anode de la diode.

Sous forme d'un circuit équivalent cela donne:

ED

L

C R

ρ

Figure 2- 7 : Schéma électrique équivalent représentant la fonction "transformation d'énergie".

Notons que bien souvent la partie gauche du schéma est oubliée. Dans ce cas, la

transformation d'énergie se résume à une fonction "amplification". Le gain sera ici inférieur à 1.

D

L

C R ρΕ

Figure 2- 8 : Schéma électrique équivalent représentant la fonction "amplification".

La Figure 2- 9 montre la simulation de ces modèles moyens comparée au circuit Figure 2- 5.

La comparaison montre clairement qu'en moyenne les résultats sont très proches. Pourtant, les

coûts de simulation sont très différents. Le coût de calcul est réduit de façon spectaculaire: par

100 ou 1000 de façon courante.

CHAPITRE SECOND

58

Courant dans l'inductance

Tension aux bornes du condensateurHacheur idéal

Modèle moyen

Modèle moyen

Hacheur idéal

Figure 2- 9 : Simulation d'un circuit hacheur idéal et du schéma électrique équivalentà la fonction "transformation d'énergie"

D'un point de vue pratique, ce type de simplification se justifie par le calcul de la valeur

moyenne d'une variable de sortie. Notons que ce type de modèle moyen permet de ne

remplacer par un circuit électrique équivalent que la partie du système ayant des constantes de

temps "faibles". Le problème de cette approche est de définir correctement la partie du circuit

et la ou les variables de sortie à "moyenner", en fonction de la structure du convertisseur.

Pour contourner ces difficultés, des auteurs ont proposé plus récemment une technique de

modèle à moyenne d'état (State Space Averaging) [Krein-90], [Sanders-91], [Tymerski-94].

Cette fois la méthode s'applique à une représentation explicite des équations du système, une

EDO. Cette EDO permet de fournir une nouvelle EDO par moyenne sur un cycle de l'équation

précédente. L'avantage de cette approche est une base mathématique plus solide. Toutefois la

moyenne ne distingue pas les variables d'état rapides des variables d'état lentes : il existe donc

un modèle moyen pour chaque valeur de chaque composant du système. Un autre inconvénient

de cette approche est qu'elle nécessite les équations du système sous la forme d'une EDO. Or,

nous avons vu dans le premier chapitre que cela n'était pas très simple, et pas toujours possible.

Nous avons vu aussi que l'analyse de causalité permet de construire une EDO représentative du

convertisseur. On pourrait donc utiliser l'analyse de causalité pour appliquer les techniques de


59

moyenne d'état. En fait à l'heure actuelle, la technique de moyenne d'état est surtout utilisée

dans des travaux de recherche où les équations du circuit sont obtenues à la main.

Lehman et Bass [Lehman-95] ont montré que de tels modèles pouvaient donner des réponses

erronées dans les systèmes bouclés, si la période de commutation est trop proche des

constantes de temps du système. Ils proposent une méthode de calcul des modèles moyens,

basée sur les moyennes d'état, prenant en compte la fréquence de découpage. Ce modèle

moyen restitue correctement les variations dues à la valeur de la fréquence de découpage

devant les constantes de temps de la charge et de l'alimentation (dans le cas du hacheur

élévateur de tension avec boucle de régulation). Ici aussi, chaque modèle est dédié à un circuit

donné. Cependant ces méthodes de déduction de modèles moyens sont mal adaptées aux

convertisseurs de structure complexe ou à résonance.

Notons qu'une méthode basée sur la technique des "données échantillonnées" (sampled-data

techniques) [Eng-96] mène au calcul des modèles moyens mais est limitée aux petits signaux.

Nous allons présenter un algorithme, basé sur l'analyse de causalité, qui permet d'obtenir de

façon systématique un modèle de type circuit moyen équivalent, indépendamment de la nature

du convertisseur.

2.2.2. Un algorithme de construction de modèle moyen

Cet algorithme est basé sur l'analyse de causalité des graphes de liens commutés.

Dans le cas du circuit hacheur de la Figure 2- 5, les différents états sont représentés dans la

machine d'état de ce convertisseur (Figure 2- 10).

charge

roue-libre

vide

T:bloquéD:passant

T:bloquéD:bloqué

T:passantD:bloqué i<0

Figure 2- 10 : réseau de Petri du circuit de la Figure 2- 5.

Un convertisseur de puissance travaille toujours avec une même séquence d'états des

interrupteurs, un mode de fonctionnement. Par exemple dans le mode de conduction continue,

la séquence est S=charge, roue-libre, mais dans le mode de conduction discontinue la

séquence est S=charge, roue-libre, vide.

CHAPITRE SECOND

60

L'algorithme de construction de modèles moyens s'applique à une séquence donnée, que nous

noterons S.

Le convertisseur est généralement piloté par des séquences MLI. Mais, pour que l'algorithme

s'applique simplement, la commande des interrupteurs doit être représentée par des sources de

tension, que nous appellerons les sources de pilotage. Dans le modèle moyen obtenu, ces

sources seront remplacées par des signaux donnant les temps de conduction et la période du

cycle, T.

On note ρi le rapport cyclique de l'état numéro i dans la séquence S. L'instant de fin de l'état i

dans la séquence S est donc:

t t Ti ij

i= +

=∑0

1

. ρ pour 1≤ ≤i N ,

où t0 est l'instant de début du cycle et N est le nombre d'états de la séquence S.

L'algorithme s'applique à un graphe de liens, car il utilise l'analyse de causalité. Il faut donc

utiliser un algorithme de traduction du réseau de Kirchhoff en graphe de liens.

Se:E 1:l1 0:n1

Sw:T

Sw:DSe:g

I:L C:C

R:R

1:l3

1:l21

2

3

4 7

5

6

8

109 0:n2

11

Figure 2- 11 : graphe de liens du circuit de la Figure 2- 5.

L'algorithme se compose de 6 étapes.

Etape A: déduction du bloc de commutation.

Le bloc de commutation est la partie du graphe de liens qui comprend:

(i) les composants qui changent d'état pendant la séquence S (les interrupteurs),

(ii) les jonctions liées à un composant de la clause (i),

(iii) les jonctions internes liées à au moins deux composants du bloc de commutation,

(iv) les éléments à stockage d'énergie liés à une jonction du bloc de commutation.

Rappel 1: une jonction interne est une jonction liée uniquement à d'autres jonctions

Rappel 2: une jonction est un des éléments, 0, 1, TF, MTF, GY, MGY.

Dans notre exemple, le bloc de commutation est:


61

clause (i): T, D,

clause (ii): l1,l3,

clause (iii): nl.

Se:E 1:l1 0:n1

Sw:T

Sw:DSe:g

1:l3

(i1, v1) (i2, v2)

bloc de commutation

I:L C:C

R:R

1:l2 0:n2

Figure 2- 12 : Bloc de commutation obtenu à l'étape A.

Etape B: Identifier les variables de port externes au bloc de commutation

Les liens externes du bloc de commutation sont ceux qui franchissent la frontière du bloc.

Certains d'entre ces liens relient des sources de pilotage. Les variables de port du bloc de

commutation sont les variables des autres liens.

Dans notre exemple, les variables de port sont donc i1,v1 et i2,v2.

Etape C: Identifier les variables d'entrée et de sortie du bloc de commutation

L'analyse de causalité algébrique est appliquée aux éléments qui n'appartiennent pas au bloc de

commutation. Cette analyse de causalité fournit explicitement des variables d'entrée du bloc de

commutation (le vecteur U). Ce sont les variables de port qui sont connues à la fin de l'analyse.

Les autres variables de port sont les variables de sortie (le vecteur Y).

Dans notre cas, l'analyse de causalité conduit aux résultats suivants:

Se:E 1:l1 0:n1

Sw:T

Sw:DSe:g

1:l3

(i1, v1) (i2, v2)

I:L C:C

R:R

1:l2 0:n2

Figure 2- 13 : Analyse de causalité algébrique du nouveau graphe de liens.

Soit, U=[v1,i2] et Y=[i1,v2].

CHAPITRE SECOND

62

Etape D: Simplification du graphe de liens

Chaque lien externe du bloc de commutation est maintenant connecté à une source de flux si

la variable de flux est une variable d'entrée et à une source d'effort si la variable d'effort est une

variable d'entrée.

Cela correspond à l'hypothèse sur la période qui doit être petite devant les constantes de

temps du reste du système.

Pour notre exemple, cela donne:

Se:V1 1:l1 0:n1

Sw:T

Sw:DSe:g

1:l3

(i1, v1) (i2, v2) 1:l2 Sf:I2

Figure 2- 14 : Graphe de liens simplifié

Le vecteur U a donc maintenant une valeur constante dans ce graphe de

liens.

Etape E: Expressions des variables de sortie du bloc de commutation

L'analyse de causalité algébrique est appliquée à ce nouveau graphe de liens pour tous les états

de la séquence S. Pour l'état numéro i de la séquence S, on obtient une séquence ACA

(cf. Chapitre 1). Dans cette séquence, il est possible d'éliminer les autres variables de ports

pour obtenir l'expression de yk dans l'état numéro i, sous la forme:

( )y f U Xk k

i

i= ,

où Xi est le vecteur des variables d'état du bloc de commutation dans l'état numéro i de la

séquence S.

Cette fois, nous devons construire la séquence ACA dans chaque état du

graphe de liens. Nous choisissons la séquence de composant:

V1,G,I2,T,D,l1,l2,l3,n1. La table des variables de port est donc:


Table 2- 3 : Table des variables de ports du graphe deliens simplifié.

Avec:

V1.i le courant fourni par V1T.i, le courant drain du transistorV1, v la tension V1

G.i, le courant fourni par la commandeT.ig, le courant grille du transistorG.u, la tension de commandeT.vG, la tension grille du transistorI2.i, le courant fourni par I2

T.vD, la tension Drain-source du transistorD.i, le courant dans la diodeD.v, la tension aux bornes de la dioden1.v, le potentiel à la jonction n1

L'analyse ACA pour l'état "charge" conduit à:

Se:V1 1:l1 0:n1

Sw:T

Sw:DSe:g

1:l3

(i1, v1) (i2, v2) 1:l2 Sf:I2

Figure 2- 15 : Analyse de causalité algébrique pour l'état "charge".

Pour l'état "charge" T est passant et D est bloqué. Nous trouvons comme

séquence ACA:

Table 2- 4 : Séquence ACA pour l'état "charge".

Nous obtenons les expressions de variables de sorties:

y1=i1=p1=I2 et y2=v2=p10=V1

L'analyse ACA pour l'état "roue-libre" conduit à:

variable variables de portp1 V1.i, T.iD,p2 V1.v,p3 G.i, T.iG

p4 G.u, T.vG

p5 I2.i,p6 I2.vp7 T.vD

p8 D.ip9 D.vp10 n1.v

composant expressionV1 p2 = V1

G p4 = G(t)I2 p5 = I2

T p3 = 0T p7 = 0D p8 = 0l1 p10 = p1-p7 = V1- 0 = V1

l2 p6 = - p10 = -V1

l3 p9 = - p10 = -V1

n1 p1 = p5 - p8 = I2-0 = I2

CHAPITRE SECOND

64

Se:V1 1:l1 0:n1

Sw:T

Sw:DSe:g

1:l3

(i1, v1) (i2, v2) 1:l2 Sf:I2

Figure 2- 16 : Analyse de causalité algébrique pour l'état "roue-libre".

Pour l'état "roue-libre" T est bloqué et D est passant. Nous trouvons comme

séquence ACA:

composant expressionV1 p2 = V1

G p4 = G(t)I2 p5 = I2

T p3 = 0T p1 = 0D p9 = 0l3 p10 = -p9 = 0n1 p8 = p5-p1 = I2-0 = I2

l1 p7 = p2- p10 = V1 - 0l2 p6 = - p10 = 0

Table 2- 5 : Séquence ACA pour l'état "roue-libre".

Nous obtenons les expressions de variables de sorties:

y1=i1=p1=0 et y2=v2=p10=0

Etape F: Calcul de la valeur moyenne des variables de sortie du bloc de commutation

La valeur moyenne de la variable de sortie Yk est:

( )YT

f U X t dtk ki

t

t

i

N

i

i

i

=

−

∫∑=

1

11

, ( ) Eq. 2- 1

Nous avons deux cas:

aucune des fonctions fki ne dépend d'un vecteur d'état.

Alors, l'intégration est immédiate, car le vecteur U est indépendant du temps.

certaines fonctions fki dépendent d'un vecteur d'état.

a) Alors, une solution analytique est peut-être possible.

b) Une intégration numérique est envisageable. Il faudra alors tabuler la fonction

( )Y f Uk =


65

Dans notre exemple, nous obtenons (cas ):

Y IT

i t dtT

i t dt IT

TT

1 1 1 1 20

1 1= = + =∫∫ ( ). ( ). .ρ

ρ

ρEq. 2- 2

Y VT

v t dtT

v t dt VT

TT

2 2 2 2 10

1 1= = + =∫∫ ( ). ( ). .ρ

ρ

ρEq. 2- 3

Nous retrouvons ainsi les équations du transformateur idéal que nous avons utilisé dans le

graphe de liens de la Figure 2- 6. Ces résultats sont classiques et largement discutés dans la

littérature [Tang-93].

Cet algorithme permet de calculer automatiquement le modèle moyen d'un convertisseur

respectant la clause de fréquence. Le modèle moyen obtenu ne comprend que les éléments de

commutation et les composants qui s'y rapportent. Il est donc indépendant des valeurs de la

charge ou de la source d'énergie.

Dans l'exemple que nous venons de traiter, les équations du modèle moyen sont très simples,

car les composants actifs étaient considérés comme parfaits. La fréquence de découpage n'est

pas prise en compte. Par conséquent, il est clair que le modèle ainsi obtenu correspond à un

convertisseur commutant à une fréquence infinie.

Reprenons cet exemple avec une modélisation plus fine des composants.

2.2.3. Application au hacheur abaisseur de tension non-idéal

Nous allons rapidement traiter ici un cas plus "réel" de calcul de modèle moyen. Nous

montrerons, entre autres, que les pertes "moyennes" sont aussi correctement restituées par ce

type de modèle. Nous ne donnerons que les étapes clefs de la construction du modèle et les

principaux résultats.

E MD

ld

L

C R rg

G

E = 48Vld = 10nHM = IRF250D = BYT08P200R = 2.5ΩL = 300 µHC = 10 µF

Figure 2- 17 : Le hacheur abaisseur de tension non-idéal.

Comme précédemment, la source de tension G représente une source MLI. Le transistor MOS

de puissance est représenté par le classique modèle Spice et le modèle de la diode PIN est le

CHAPITRE SECOND

66

modèle analytique développé au laboratoire [Morel-94]. Notons que l'inductance parasite Ld a

été incluse au circuit. Ces modèles présentent une bonne cohérence avec les données

expérimentales comme présenté dans [Morel-95]. Le graphe de liens équivalent au circuit

proposé est le suivant :

Se:E 1:l1 0:n1

:M

:DSe:G

I:L C:C

R:R

1:l3

1:l41

3

4

7 10

8

9

11

1312 0:n2

14

2

I:ld

1:l2 56R:rg

(i1, u1)

(i5, v5)

(i10, v10)

Figure 2- 18 : Graphe de liens du hacheur abaisseur de tension non idéal.

La simulation complète du circuit nous permet d'obtenir la séquence d'états S.

roue librefermeture

ouverturecharge

[t0,t1]

[t1,t2] [t2,t3]

[t3,t4]

D:off onM:on off

M:off onD:on off

M:onD:off

M:offD:on

Figure 2- 19 : Réseau de Pétri représentant la séquence d'états du convertisseur.

Par rapport au réseau de Pétri du hacheur idéal, deux nouveaux états "Fermeture" et

"Ouverture" sont apparus et correspondent aux phases de commutation des interrupteurs. Ces

deux états sont transitoires, alors que les états "Charge" et "Roue Libre" sont statiques. Les

durées respectives de chaque état sont notées entre crochets sur le schéma. Le temps t0 (ou t4)

correspond au moment où la commande G passe à une valeur haute, forçant ainsi le transistor

MOS à se fermer. Corollairement, le temps t2 correspond au moment où la commande G passe

à une valeur basse, forçant ainsi le MOS à s'ouvrir. Les temps t1 et t3 définissent la fin des

phases de commutation et dépendent des conditions électriques appliquées aux composants.

L'algorithme précédemment présenté nous permet de construire le modèle moyen.

Etape A: Construction du bloc de commutation.


67

Le bloc de commutation comprend les composants M, D, ld, l1, l2, l3, n1. Notons la présence

de l'inductance de fuite dans le bloc de commutation. En effet, son état change durant la

séquence S.

Etape B: Identification des variables de port externes au bloc de commutation.

Les variables (i5,v5) définissent le signal de commande fourni par la source idéale G.

Donc, les variables de ports externes au bloc de commutation sont : (i1, v1) et (i10, v10).

Etape C: Identification des variables d'entrée et de sortie du bloc de commutation.

L'algorithme d'Analyse de Causalité Algébrique (ACA) nous fournit cette réponse:

Le vecteur d'entrée est U=v1,i10 et le vecteur de sortie est Y = i1, v1.

Etape D: Simplification du graphe de liens.

Les sources idéales V1 et I2 remplacent les éléments extérieurs au bloc de commutation. La

jonction 1 a été insérée par respect des conventions de signe sur les sources (courant sortant).

Nous arrivons donc au graphe de liens suivant:

1:linv Sf:I211Se:V1 1:l1 0:n1

:M

:DSe:G

1:l33

4

7

8

9

2

I:ld

1:l2 56R:rg

1(i1, v1)

10

(i10, v10)

Figure 2- 20 : Graphe de liens simplifié du hacheur.

Etape E: Expression des variables de sortie du bloc de commutation.

Les différentes listes de déduction de l'algorithme ACA nous fournissent la liste de déduction

menant à l'expression du vecteur de sortie Y.

Etat "Charge":

i I1 2= Eq. 2- 4

v V l v M vd DS10 1= − −. . Eq. 2- 5

Etat "Roue Libre":

i1 0= Eq. 2- 6

v D v10 = − . Eq. 2- 7

Notation :

CHAPITRE SECOND

68

La tension aux bornes d'un composant X est notée X.v et le courant le traversant

est X.i.

Pour calculer ces expressions, nous utilisons les caractéristiques statiques des composants à

semiconducteur. Nous avons donc :

( )D v v D iDon. .= Eq. 2- 8

( )M v v M iDS DSon DS. .= Eq. 2- 9

où vDon et vDSon sont des fonctions non-linéaires.

Lorsque les composants sont bloqués le courant de fuite peut être négligé. Dans ce cas,

D i. = 0 , et M iDS. = 0 .

Les fonctions vDon et vDSon peuvent être obtenues expérimentalement ou déduites à partir des

modèles de composants utilisés. Dans la suite de cet exemple, nous considérerons que ces

fonctions sont connues analytiquement ou à partir de tables.

Les expressions précédentes sont alors simplifiées :

Etat "Charge":

i I1 2= Eq. 2- 10

( )v V v IDSon10 1 2= − Eq. 2- 11

Etat "Roue Libre":

i1 0= Eq. 2- 12

( )v v IDon10 2= − Eq. 2- 13

Notons que ( )v IDSon 2 et ( )v IDon 2 sont des expressions indépendantes du temps dans les

expressions ci-dessus.

Malheureusement, pour les états "Fermeture" et "Ouverture", les expressions de i1,v10

dépendent des variables d'état du système. Aussi, il n'est pas possible d'obtenir une solution

analytique. A la fois le transistor et la diode sont conducteurs, nous avons donc :

Etat "Fermeture" et Etat "Ouverture":

v10 = -D.v Eq. 2- 14i1 = M.iD Eq. 2- 15

Etape F: Calcul de la valeur moyenne des variables de sortie du bloc de commutation.

Pendant (t1,t2) et (t3,t4) les expressions de i1 et v10 (Eq. 2-10 à Eq. 2-13) sont indépendantes du

temps. Leur intégration ne pose donc aucun problème. Pendant (t0,t1) et (t2,t3) (pendant les

phases transitoires), ces intégrales doivent être calculées numériquement (Eq. 2-14 et 2-15).

Le calcul de l'intégrale Eq. 2-1 nécessite la valeur de ( )D v t dt. .∫ et ( )M i t dtD. .∫ pendant (t0,t1)

et (t2,t3). Nous introduisons ici la notion de retard virtuel à la commutation.


69

Pour une forme d'onde s(t) passant d'une valeur constante sa à une valeur constante sb, nous

définissons le retard virtuel δ par :

( ) ( ) ( )s t dt s s b a s b a s sa

b

a b b b a( ). . . . .∫ = + − − = − − −δ δ δ Eq. 2- 16

Cela correspond à remplacer le signal s(t) par une marche d'escalier équivalente (retardée de δ

par rapport au signal de commande). Par exemple dans le cas de la tension aux bornes de la

diode durant sa phase de blocage, le retard virtuel à la commutation, noté δD voff

. est défini par

(cf. Figure 2- 21):

( ) ( ) ( )( ) ( )D v t dtt

tvDon I D v

off V vDSon I t t D voff. . . . .

0

1

2 1 2 1 0∫ = + − + − −δ δ Eq. 2- 17

vDon(I2)

-V1+vDSon(I2)

δD.voff

signal de commande G

tension idéaleéquivalente

tension aux bornesde la diode

t0 t1

Figure 2- 21 : Le retard virtuel à la commutation δ.

Le retard δD voff

. est tel que l'intégrale D v t dtt

t

. ( )0

1

∫ donne le même résultat si c'est le modèle fin

qui est pris en compte entre t0 et t1, ou le modèle idéal entre t0+δD voff

. et t1.

CHAPITRE SECOND

70

De la même manière, nous définissons les retards virtuels à la commutation suivants:

• δM.ion

D pour le courant dans le MOS entre t0 et t1 (mise en conduction).

• δM.ioff

D pour le courant dans le MOS entre t2 et t3 (blocage)

• δD von

. pour la tension aux bornes de la diode entre t2 et t3 (mise en conduction).

Finalement les variables du vecteur de sortie Y s'écrivent :

I ITM iD

1 2= +

ρ

δ .Eq. 2- 18

où ρ =−t t

T2 0 est le rapport cyclique de la commande G, et δ δ δM i M i

offM ion

D D D. . .= − .

( )( ) ( )V V v IT

v ITDSon

D vDon

D v2 1 2 2 1= − −

− − +

. .. .ρδ

ρδ

Eq. 2- 19

où δ δ δD v D voff

D von

. . .= − .

Enfin, pour les pertes de la diode et du transistor, nous pouvons définir le même type de

facteur correctif. Le principe est de reporter la totalité des pertes dynamiques sur les pertes

statiques. Ce facteur correctif est moins "physique" que pour les grandeurs électriques. Il ne

peut plus être qualifié de retard. C'est en fait, le temps supplémentaire que doit conduire le

composant pour dissiper, en statique, les même pertes.

( )P v I ITM DSon

M poff

M pon

= +−

2 2. .

. .ρδ δ

Eq. 2- 20

( )P v I ITD Don

D poff

D pon

= − +−

2 2 1. .

. .ρδ δ

Eq. 2- 21

Les équations 18 à 21 définissent le modèle moyen du hacheur abaisseur de tension non-idéal.

Etant donné que les retards virtuels à la commutation ne dépendent que des conditions

électriques (v1,I2), ils peuvent être obtenus par des simulations adéquates ou

expérimentalement dans des conditions isothermiques.

Remarques :

L'inductance de câblage ld est prise en compte dans les retards virtuels. Elle

n'est influente que dans les phases de commutation.

L'effet de la fréquence de commutation est lui aussi pris en compte dans les

équations du modèle moyen (période de commutation T).


71

Si nous annulons tous les retards virtuels et les chutes de tension à l'état

passant dans les dispositifs à semiconducteur, nous obtenons naturellement le

modèle moyen idéal (Eq. 2-2 et Eq. 2-3). Les pertes dans les composants

sont alors nulles.

A l'aide du simulateur PACTE, nous avons effectué des simulations comparatives du circuit de

la Figure 2- 5 et de son modèle moyen non-idéal, pour deux fréquences de commutation

différentes. Nous avons calculé une approximation analytique simple des chutes de tensions à

l'état passant des composants à semiconducteur et des différents retards virtuels. Nous

donnons sur les figures suivantes quelques résultats obtenus.

A) Retard virtuel δD.v

I2=2A

I2=5A

I2=8A

I2=2A

I2=8AI2=5A

B) Retard virtuel δD.p

Figure 2- 22 : Evolution des retards virtuels relatifs à la diode, en fonction de I2 et V1.En haut: retard relatif à la tension. En bas: retards relatifs aux pertes.

CHAPITRE SECOND

72

A) Courant dans l'inductance L

Modèle non-idéal

Modèle moyen non-idéal

2MHz

100kHz

Modèle non-idéal


B) Tension aux bornes du condensateur C

2MHz

100kHz

Modèle moyen non-idéal / 2MHz

Modèle moyen idéal

Modèle moyen non-idéal / 100kHz

Modèle moyen avec caractéristique statique

Courant dans l'indcutance L

Modèle moyen non-idéal / 2MHz

Modèle moyen idéal

Modèle moyen non-idéal / 100kHz

Modèle moyen avec caractéristique statique

Tension aux bornes du condensateur C

Figure 2- 23 : A gauche: Comparaison entre les deux types de modèles pour deux fréquences.A droite: Comparaison entre différents modèles moyen.

Sur une station de travail Sparc20, la simulation du modèle non-idéal dure environ 46 minutes

alors que la simulation du modèle moyen dans les mêmes conditions ne dure que 0.13s! Les

résultats fournis par le modèle moyen non-idéal sont très proches du modèle non-idéal, sauf

pour l'ondulation du courant dans l'inductance (Figure 2- 23) à 100kHz où l'information haute

fréquence est perdue. Cependant la valeur moyenne est correcte. La comparaison des différents

modèles moyens laisse très clairement apparaître l'apport des retards virtuels.

Le même type de résultat est obtenu pour les pertes:


73

PertesDiode

MOSFET

2MHz 100kHz

1

2

3

4


Modèle non-idéal

Modèle moyen non-idéal Modèle non-idéal

1

2

3

4

Figure 2- 24 : Simulation des pertes à 100KHz et 2MHz pendant la phase de démarrage.

2.3. CONCLUSION

Nous avons montré que, si les modèles de commutation (et particulièrement les modèles de

comportement) sont les plus précis, ils sont aussi les plus gourmands en temps de calcul et

espace mémoire, excluant toute simulation sur des horizons de temps trop longs. D'autre part,

certains modèles ne fonctionnent pas correctement dans un environnement complexe. Par

exemple, les modèles d'IGBT utilisés au laboratoire [Hefner-93], [Hefner-94], n'acceptent pas

de tension négative collecteur-émetteur (erreur numérique), ce qui est très gênant dans les

onduleurs de tension où les IGBT sont équipés de diodes de roue libre. Ce type de modèle est

donc généralement utilisé pour étudier un point particulier du fonctionnement du convertisseur

ou, lorsque cela est possible, pour valider les simulations en phase finale d'étude, avant de

prototyper le système.

La théorie des modèles moyens permet de déduire des modèles plus rapides à simuler. Parmi

les différentes techniques de "moyennage", la méthode du circuit moyen équivalent semble plus

souple d'utilisation que celle de la moyenne d'état. En effet, la deuxième méthode aboutit à un

nouveau modèle se substituant à la totalité du circuit, alors que dans le premier cas, le modèle

CHAPITRE SECOND

74

obtenu ne vient remplacer que certains composants. Ce type de modèle est donc plus

générique. En effet, la valeur des composants et la topologie du système peuvent être changée

sans avoir à recalculer de modèle, à condition de respecter sa causalité et de s'assurer que la

période de commutation est suffisamment faible devant les constantes de temps naturelles du

système. La principale difficulté dans ce type de moyennage est le choix des composants à

remplacer par un circuit moyen équivalent.

Nous avons présenté un algorithme permettant la construction automatique d'un modèle

moyen à partir d'un circuit donné. Cet algorithme définit automatiquement les composants qui

feront partie du modèle équivalent et calcule les paramètres de celui-ci à partir de simulations

ou de relevés expérimentaux. Le modèle ainsi obtenu prend en compte les non-linéarités des

composants à semiconducteur ainsi que leurs pertes, tout en restant très simple. A titre

d'exemple, nous avons appliqué cet algorithme au hacheur abaisseur de tension non-idéal. Les

résultats obtenus sont très encourageants: le circuit équivalent suit parfaitement le modèle

original pour différentes fréquences de commutation. Seule l'information "haute fréquence"

peut être perdue, mais la valeur moyenne reste correcte.

Le coût de simulation est réduit de manière drastique par l'utilisation de ces modèles moyens :

un facteur 105 dans notre cas! Il est alors possible d'envisager la simulation de systèmes plus

complets, comme par exemple la commande d'une machine électrique alimentée par un

onduleur de tension. Un seul problème réside: il n'est actuellement pas possible de connaître a

priori la limite de validité de ces modèles, car la condition sur les constantes de temps du

système n'a pas encore été formulée mathématiquement.

Quel que soit le type de modèle utilisé, une étape incontournable est l'identification de ses

paramètres. C'est un problème souvent complexe et les résultats sont très dépendants de la

qualité des relevés expérimentaux. Ce sera l'objet du quatrième chapitre, mais, de manière à

appliquer les méthodes d'identification à des cas concrets, il nous faut commencer par présenter

le banc de tests que nous avons mis en place dans le cadre de ce travail.

CHAPITRE TROISIEME

UN BANC DE TESTS DE PUISSANCE

Nous avons vu, dans les chapitres précédents, que le formalisme des graphes de liens, associés

à la méthode d'Analyse de la Causalité Algébrique permettaient de développer un algorithme de

construction automatique de modèles moyens. A titre d'exemple, l'algorithme a été décrit dans

le cas d'un hacheur de faible puissance (qq. centaines de Watts).

Rappelons, que le contexte de notre travail est la conversion continu/alternatif triphasée de

moyenne puissance (environ 30kVA) et moyenne tension (environ 300V), ordres de grandeurs

que l'on retrouve, par exemple en traction électrique grand public.

Si les théories présentées sont indépendantes du niveau de puissance, il n'en est pas de même

de la mise en œuvre. A ces niveaux de puissance (et surtout de courant), les phénomènes

parasites sont exacerbés et la modélisation n'en est que plus difficile.

Rappelons aussi que, notre objectif final, est l'obtention de modèles de convertisseurs à

découpage (onduleur dans notre cas) alliant fiabilité et rapidité de simulation, utilisables, par

exemple, par les automaticiens, pour la conception des boucles de régulation (machines

électriques en particulier).

Dans la mesure où l'on ne s'intéresse qu'aux phénomènes dont l'horizon de temps ne dépasse

pas quelques commutations, il est envisageable de mettre en place un banc de test

impulsionnels ne nécessitant qu'une alimentation et une charge de faibles puissances. Par

contre, lorsque l'objectif est la modélisation des phénomènes liés aux constantes de temps de la

charge (plusieurs centaines de millisecondes, voire de secondes), la phase de validation passe

incontournablement par des essais à échelle de puissance réelle.

C'est pourquoi, une partie non négligeable de notre travail à été axée sur la mise en place d'un

banc de tests capable de fonctionner, au moins, à 30kVA en régime permanent. Ce troisième

chapitre est dédié à la description des différents éléments constituant ce banc.

Ce banc a été conçu en partenariat avec la Société ARCEL ELECTRONIQUE DE PUISSANCE.

CHAPITRE TROISIEME

76

3.1. CAHIER DES CHARGES

Dans l'étude de ce projet, nous avons tenu à ce que le banc de test soit le plus général possible,

de manière à ce qu'il puisse répondre aux besoins des différentes équipes du laboratoire et de la

Société ARCEL. Il doit donc permettre la modélisation et la qualification des convertisseurs

continu/alternatif ou continu/continu d'une puissance au moins égale à 30kVA à 300VDC.

L'unité de commande du convertisseur doit permettre la mise au point d'algorithmes de

contrôle de machines électriques (qq. kW) et la prise en compte en temps réel d'un modèle du

convertisseur.

La charge est un élément indispensable mais qui peu poser des problèmes de modélisation. En

effet, il nous faut la modéliser avec suffisamment de précision avant d'espérer valider les

modèles du convertisseur. Nous avons donc opté pour une charge passive (R, L) triphasée,

dimensionnée pour environ 30kVA à 300V. Ainsi, le modèle de la charge sera suffisamment

simple pour être correctement connu. Une fois le modèle du convertisseur validé, il va de soi

que la charge passive pourra être remplacée par une machine électrique.

Le convertisseur est l'élément interchangeable du banc. Dans notre cas, il devait permettre la

qualification de ses différents modèles moyens. Etant donné les niveaux de courant mis en jeu,

nous avons décidé d'intégrer directement les capteurs à l'onduleur. Ceci permet, en outre,

d'optimiser la topologie du convertisseur en fonction des contraintes de mesures et d'assurer

une bonne reproductivité à ces dernières. Notons cependant que ces capteurs ne sont présents

que pour la validation de nos simulations et ne servent aucunement à l'identification des

paramètres du modèle.

3.2. LA SOURCE DE TENSION

La source de tension doit permettre de fournir un courant d'environ 100A sous une tension

continue d'au moins 300V. L'énergie sera prélevée sur un réseau triphasé 420V/50Hz EDF.

Nous avons choisi d'utiliser un pont mixte à thyristors avec une carte de régulation fournis par

la société ARCEL. Pour la sécurité, le secteur est isolé par un transformateur triphasé et un

disjoncteur différentiel. La sortie est filtrée par un banc capacitif de forte valeur.

La source de tension pourra donc fournir une tension redressée variable de 0 à 550V sous un

courant d'au plus 100A, soit une puissance maximale de 55kVA. Le dimensionnement

thermique est prévu en conséquence et l'ensemble est monté dans une armoire.

Un Banc de Tests de Puissance

77

Figure 3- 1 : Photographie de l'armoire d'alimentation continue.

3.3. LA CHARGE

Comme nous l'avons déjà dit, nous avons opté pour une charge triphasée équilibrée inductive.

V3

R L

V1 V2

R L

RL

Figure 3- 2 : La charge triphasée

Par la suite, nous verrons que la modulation de largeur d'impulsion vectorielle permet,

théoriquement, d'obtenir une tension crête entre phases égale à la tension d'alimentation

continue, lorsque la charge est câblée en triangle. Soit, pour une tension continue de 310V

(notre régime nominal) nous aurons une tension efficace entre phases de 220V.

A cette tension, chaque phase de la charge doit recevoir une puissance apparente d'environ

10kVA. En fait, il serait souhaitable de pouvoir soumettre les composants à semiconducteurs

de l'onduleur à des contraintes maximales, de manière à détecter d'éventuels changements dans

Contacteur de sortie

Redresseur

Transformateur

Disjoncteur Différentiel

Banc capacitif

Carte de régulation

Afficheur Ampèremètre

Afficheur Voltmètre

CHAPITRE TROISIEME

78

leur comportement. Pour cela, nous avons choisi des modules ayant un courant maximal en

régime permanent de 150A.

Si nous fixons à 140A le courant crête dans les composants (100A efficace), le courant efficace

dans une phase de la charge sera I=58A, sous une tension de V=220V, soit une puissance

apparente de S=12.7kVA, ce qui correspond aux limites de la source de tension.

En fixant la valeur du facteur de puissance à 0.7 et la fréquence nominale à 50Hz (cas des

machines dans un fonctionnement non optimal), nous obtenons pour chaque phase:

R=2.67Ω L=8.67mH P=8.9kW (dissipée par R)

L'ensemble résistance et inductance a été assemblé dans une cage ventilée reliée à la terre.

Figure 3- 3 : :Photographie de la charge triphasée.

Ventilateur

Connexions de sortie

Résistance

Inductance


79

3.4. L'ONDULEUR

L'onduleur triphasé que nous projetons de modéliser doit répondre aux caractéristiques

suivantes:

Table 3- 1 : Caractéristiques de l'onduleur

L'IGBT est parfaitement adapté à ces niveaux de puissance et les fournisseurs proposent des

composants hybrides contenant les deux IGBTs et les deux Diodes d'un bras d'onduleur. Nous

avons donc choisi les modules CM150DY-12H de Mitsubishi (600V / 150A). La solution

"IPM (Intelligent Power Module)", où la commande rapprochée est intégrée, à été écartée, de

manière à pouvoir effectuer les mesures nécessaires à l'identification des différents modèles,

que nous aborderons dans le chapitre suivant.

D'autre part, nous souhaitons intégrer à l'onduleur les capteurs de courants nécessaires à la

validation des modèles moyens. Ces capteurs ne nécessitent donc pas une bande passante très

étendue (quelques kHz suffisent), mais doivent supporter le régime permanent et de forts

appels de courant. Les capteurs de type LEM semblent bien adaptés. Nous arrivons donc au

schéma de principe suivant:

3

4

IB(charge)

I

I

Commanderapprochée

5

6

IC(charge)

I

I

Commanderapprochée

II

1

2

IA(charge)

I

I

Commanderapprochée

II

E

OVVab Vbc

Vca

A B C

Figure 3- 4 : Schéma de principe de l'onduleur.

Pour des raisons d'encombrement, nous n'avons pu installer que deux capteurs de courant par

bras d'onduleur (au lieu de trois). Un jeu de barres amovibles permet cependant de mesurer

deux courants quelconques parmi les trois prévus.

Tension d'alimentation continue Vcc=310VPuissance de sortie 9kW / 13kVA

Courant efficace ligne 100AFréquence de découpage 10kHz

CHAPITRE TROISIEME

80

Les circuits de commande rapprochée (ARCAL-02) commercialisés par la société ARCEL, ont

été conçus en collaboration avec notre laboratoire. Un circuit permet de commander jusqu'à

deux IGBTs en parallèle sur toute la gamme Mitsubishi et possèdent sa propre alimentation

isolée permettant, à partir d'une tension continue comprise entre 12 et 24V, de faire commuter

les IGBTs entre ±15V. La commande logique et le retour de défaut sont isolés par opto-

coupleurs rapides.

La réalisation technologique de l'onduleur a l'allure suivante:

Figure 3- 5 : Plan de l'onduleur réalisé


81

Figure 3- 6 : Photographie de l'onduleur triphasé.

Remarques:

• Nous nous sommes servis des dissipateurs thermiques comme support de montage

des différents éléments de l'onduleur. Ces dissipateurs fonctionnent en ventilation

forcée.

• La présence des capteurs rendait l'utilisation de barre-bus impossible. Le réseau de

connexion de puissance est donc plus fortement inductif que dans un contexte réel.

Afin d'éviter que les surtensions ne provoquent la destruction des composants à

semiconducteur, et pour nous ramener dans des conditions plus proches des

onduleurs industriels, nous avons

monté en parallèle sur chaque

bras, un condensateur rapide,

faisant office de circuit d'aide à

la commutation.

Condensateur Rapide

Ventilateur

Carte de mesurede courant

Capteur de courantCarte de commande

rapprochée

Circuit de commandede l'onduleur

Alimentation générale220V / 50Hz

Alimentations 24VDC

Dissipateur Thermique

Module 150A / 600V

CHAPITRE TROISIEME

82

3.5. L'UNITE DE COMMANDE

La commande d'un onduleur est, en principe, relativement aisée à implanter. Elle répond

généralement au schéma blocs suivant:

Algorithme de commande:Génération des références de tension

Algorithme de Modulationde Largeur d'Impulsion

Génération des 6 impulsionsde commande de l'onduleur

Figure 3- 7 : Principe de commande d'un onduleur.

Dans la pratique, ce n'est pas toujours si simple.

En effet, l'algorithme de commande est généralement traité par une unité numérique. Le calcul

fournit la largeur des impulsions à envoyer à l'onduleur. Il faut ensuite générer celles-ci, à la

fréquence de commutation de l'onduleur. Dans les systèmes embarqués, les microcontrôleurs

utilisés disposent de plusieurs compteurs programmables. Si leur nombre n'est pas suffisant, où

si l'unité de calcul ne dispose pas de tels éléments (certains DSP ou plus simplement un PC) la

génération de ces impulsions devient très problématique. D'autre part, les algorithmes de

commande ont généralement des fréquences de récurrence très inférieures à la fréquence de

commutation. La génération des impulsions oblige donc de prévoir une tâche à la fréquence de

commutation de l'onduleur dans le programme. Enfin, un arrêt intempestif du microcontrôleur

pourrait conduire à la mise en conduction des deux transistors du même bras. On élimine

généralement ce risque par de la logique extérieure, réalisant en même temps les temps morts

de la commande, dont nous parlerons dans le paragraphe suivant.

Pour palier ces problèmes, nous avons conçu un circuit numérique de commande des bras

entièrement sécurisé, dédié à la commande des convertisseurs à découpage, s'interfaçant très

simplement avec une unité de calcul par un bus numérique et déchargeant ainsi celle-ci de la

génération des impulsions.

3.5.1. Un circuit de génération d'impulsions

Ce circuit, dédié à la commande des convertisseurs à découpage, doit répondre à certaines

contraintes concernant la nature des impulsions générées:

• Dans les convertisseurs du type "onduleur", deux interrupteurs sont en série. Il est donc

primordial d'assurer un "temps mort" entre la commande des transistors complémentaires,

sous peine de voir conduire les deux éléments en même temps, créant ainsi un court circuit

(généralement destructif). La durée de ce "temps mort" dépend du temps de commutation

des composants utilisés. Le circuit proposé doit donc permettre de régler cette durée.


83

• D'autre part, [Jacquot-95] a montré qu'il était préférable de fournir des impulsions centrées

sur la période de commutation et de réaliser les acquisitions nécessaires à l'algorithme de

commande au centre de cette période.

Le circuit que nous avons réalisé répond à ce cahier des charges. Il est entièrement numérique

et a été prototypé sur un FPGA de la famille ALTERA.

InData12

Strobe

Reset

Rdy

Error

Halt

IRQRun

AU

AD

BUBD

CU

CD

Xtal Vcc

Over_ISec

ττM

τM

Impulsion calculée centrée

Impulsion IGBT du haut

Impulsion IGBt du bas

Tmod

AU

AD

BU

BD

CU

CD

Tmod/2

ρρ*Tmod

Figure 3- 8 : Le circuit de génération d'impulsions.A gauche son brochage, à droite les impulsions générées

L'interface reçoit la valeur du rapport cyclique à appliquer via son bus de donnée (InData) et

génère les deux impulsions centrées sur les sorties correspondantes (A, B ou C). La durée du

temps mort (τM) et la période de découpage (Tmod) sont programmables de la même manière.

Le circuit équipé d'une entrée de détection de court-circuit (Over_I) émanant des circuits de

commandes rapprochées. En cas de court-circuit, il force toutes les sorties de commande de

l'onduleur au niveau bas et prévient l'unité maître par le signal "Sec".

Un signal d'interruption (IRQ - rapport cyclique 0.5) est généré à chaque période de

découpage. Celui-ci permet de synchroniser l'unité maître sur la période de découpage et de

déclencher, le cas échéant, les acquisitions.

En outre, les sorties de commande d'un même bras de l'onduleur sont protégées contre un

passage simultané au niveau haut. Et, dans le cas où l'algorithme de modulation de largeur

d'impulsions a une fréquence de récurrence plus faible que la fréquence de découpage de

l'onduleur, le circuit reproduit automatiquement 15 fois le dernier rapport cyclique. Cette limite

a été fixée de manière à ne pas endommager le convertisseur en cas d'arrêt de l'unité maître. En

CHAPITRE TROISIEME

84

effet, la répétition d'une impulsion de tension de rapport cyclique constant sur une charge

inductive (et faiblement résistive) ou un moteur, aboutit à un courant continu de forte valeur.

Pour plus d'informations sur ce circuit, nous renvoyons le lecteur à la notice d'utilisation du

composant présentée en annexe.

Figure 3- 9 : La carte d'interface avec l'onduleur.

Grâce à cette interface, l'unité de calcul voit l'onduleur (ou tout autre convertisseur à

découpage) comme un périphérique numérique. Son rôle est donc limité à la tâche de

contrôle/commande et de dialogue avec notre interface.

Les références de tensions utilisées par la MLI sont fournies généralement à une fréquence plus

lente par un algorithme de commande.

3.5.2. Le contexte de la commande des machines électriques

Avant de présenter le matériel choisi pour réaliser la commande de haut niveau de notre banc

de tests, faisons un bref rappel du contexte de la commande des machines électriques.

3.5.2.1. Structure algorithmique.

Quel que soit l'algorithme de régulation utilisé, le principe de la commande d'une machine à

courant alternatif, à partir d'une source de tension continue répond au schéma suivant:


85

Onduleur

Machine Charge

Mesures

MLI Régulation

Sourcecontinue

Figure 3- 10 : Principe général de la commande des machines.

Il existe différentes méthodes de commande des machines à courant alternatif, citons par

exemple la commande scalaire, la commande vectorielle ou la commande directe de couple

[Boze-86]. Toutes consistent en la génération de commandes permettant d'asservir la vitesse

ou le couple (cas de la traction) à un objectif donné. Les performances souhaitées dépendent

de l'application. Nous trouvons généralement des critères basés sur les caractéristiques

dynamiques de la commande, sa robustesse, ou encore le rendement global de l'ensemble ...

La commande scalaire consiste à considérer que le couple est maintenu constant lorsque le

rapport entre la tension et la fréquence statoriques est maintenu constant. Ce type de

commande est simple à mettre en place que ce soit en boucle ouverte ou fermée. Ses

performances sont correctes, mais elle ne permet pas de maîtriser la dynamique du couple.

D'autres commandes ont donc vu le jour. Elles sont généralement basées sur un pilotage de

grandeurs internes de la machine. Par exemple, dans une commande vectorielle, nous pilotons

à la fois le flux et les courants, le produit des deux donnant le couple.

De manière simplifiée, une commande vectorielle [Jorda-95] est architecturée sur trois niveaux:

Contrôle vitesse

Cm#

φ#

Contrôlecourant

flux

Vd

Vq

Commanderapprochée +

onduleurMoteur

3Ωr#

Ωr I Θ

Récurrence 10 Hz Récurrence 10 kHzRécurrence 1 kHz

Figure 3- 11 : Architecture d'une commande vectorielle.

CHAPITRE TROISIEME

86

• Couche commande algorithmique (récurrence faible : environ 10 Hz).

On calcule ici les signaux d'erreurs à fournir à la régulation. Ceux-ci sont issus des

valeurs de consignes et des mesures à récurrence lente (la vitesse). On applique ensuite

les correcteurs nécessaires à l'obtention des consignes de couple et de flux.

• Couche contrôle courant - flux (récurrence moyenne : environ 1 kHz).

Les acquisitions de courant sont faites à une fréquence plus élevée que celles de la

vitesse, et servent, après transformation de Concordia et application de deux nouveaux

correcteurs, à la génération des valeurs de commande Vd et Vq.

• Couche commande rapprochée (récurrence rapide : 10 kHz dans notre cas).

On effectue ici, à l'aide de l'angle de rotation échantillonné à la fréquence de découpage

de l'onduleur, les transformées nécessaires à l'obtention des temps de conduction de

chaque interrupteur de l'onduleur à partir des consignes reçues: c'est la Modulation de

Largeur d'Impulsions (MLI). On génère ensuite les impulsions de commande (ou on

utilise l'interface présentée précédemment).

Ce type de commande présente des performances bien supérieures à la commande scalaire.

Cependant, elle nécessite un certain nombre de capteurs (au moins quatre: deux courants, la

vitesse et la tension continue d'alimentation de l'onduleur) et des régulateurs fonctionnant à des

fréquences d'échantillonnage différentes. Enfin, il faut, en toute rigueur, pouvoir calculer la

MLI à la fréquence de découpage de l'onduleur. Il existe deux grandes familles de MLI: les

modulations intersectives et vectorielles [Pietrzac-92].

3.5.2.2. La MLI intersective

Cette technique est héritée des techniques analogiques. Elle consiste à calculer la largeur d'une

impulsion de manière à obtenir la tension de référence, en moyenne sur une période de

commutation et nous ne détaillerons pas son calcul. On montre que, pour une charge triphasée

montée en triangle, l'amplitude du vecteur tension qu'il est possible de générer est inscrite au

triangle de la figure suivante.


87

α

β

−E E

− 32

E

3E

rvs

Figure 3- 12 : Vecteur tension de la MLI intersective

Ceci est dû au fait que la commande intersective considère les trois bras de l'onduleur comme

indépendants. Si l'on prend en compte les interactions entre les différents bras de l'onduleur,

nous arrivons à la modulation vectorielle.

3.5.2.3. La MLI vectorielle.

Cette technique de modulation repose sur la représentation d'une machine triphasée par une

machine diphasée équivalente: la machine de Kron [Chatelain-83].

On définit ainsi deux repères diphasés, l'un lié au stator (α, β), et l'autre lié au champ tournant

(d, q), conformément à la figure suivante:

QD

f

a

b

c

θ

Axe longitudinalou direct

Axetransversal

a, b, c, phases de l'enroulement statorique

f enroulement inducteur éventuel

D amortisseur longitudinalQ amortisseur transversal

dq

α

β

Figure 3- 13 : Les repères diphasés équivalents.

Le passage des grandeurs triphasées aux grandeurs diphasées se fait par simple projection sur

les axes concernés.

CHAPITRE TROISIEME

88

Considérons maintenant l'onduleur (Figure 3- 4, page 79). Ses six interrupteurs sont

commandés de manière complémentaire deux à deux, nous avons seulement trois degrés de

liberté, ayant deux états chacun: Fermé ou Ouvert. Nous pouvons donc dresser un tableau des

différents états du convertisseur.

Q1 Q3 Q5 Vab Vbc Vca Vsα Vsβ Vecteur Nom

Ouvert Ouvert Ouvert 0 0 0 0 0 0rv0

Ouvert Ouvert Fermé 0 -E E 0 −2

3

E 2

3

3

2Ee

jπ r

v5

Ouvert Fermé Ouvert -E E 0 -E E

32

3

5

6Ee

jπ r

v3

Ouvert Fermé Fermé -E 0 E -E −E

32

3

7

6Ee

jπ r

v4

Fermé Ouvert Ouvert E 0 -E E E

32

36E

ejπ r

v1

Fermé Ouvert Fermé E -E 0 E −E

32

3

11

6Ee

jπ r

v6

Fermé Fermé Ouvert 0 E -E 0 2

3

E 2

32E

ejπ r

v2

Fermé Fermé Fermé 0 0 0 0 0 0rv7

Table 3- 2 : Différents états de l'onduleur triphasé

Nous pouvons alors représenter les vecteurs (colonne de droite) dans le plan (α, β):

i=2i=3

i=5 i=6

i=4 i=1

I

α

β

rv0

rv1

rv2

rv3

rv4

rv5

rv6

rv7

23

E

E

II

−E

III

− 23

E

IV

Vs

Vs

i=2 i=1

i=6

i=5i=4

i=3

Figure 3- 14 : Représentation des vecteurs tensions réalisables par l'onduleur.

On peut alors reconstruire n'importe quelle tension en combinant ses deux vecteurs adjacents:


89

i=1

α

β

vsα

rvsvsβ

rv2

rv1

τ1 1

r.v

Erv0

rv7

τ2 2

r.v

τ11= T

Tmod

τ22= T

Tmod

Figure 3- 15 : Projection du vecteur à réaliser sur ses deux vecteurs adjacents.T1 et T2 sont les temps d'application des vecteurs V1 et V2 respectivement.

La somme des deux vecteurs V1 et V2 respectivement appliqués pendant les durées τ1 et τ2

donne donc le vecteur Vs initial. En combinant ces deux vecteurs avec les vecteurs nuls (V0 et

V7) et en codant par un 1 un interrupteur fermé et un zéro un interrupteur ouvert, nous

pouvons reconstituer les signaux de commande à appliquer pour obtenir le vecteur Vs

souhaité:

i = 1rv 2

rv 1

T04

T12

T12

T22

T22

T0 T0 T044 4

T mod

rv 2v 1v 0 v7

rv 0

r r r

Q1

Q3

Q5

Figure 3- 16 : Reconstitution des signaux de commande.

L'algorithme de calcul de la MLI vectorielle est constitué d'une phase de recherche du secteur

angulaire (recherche de i) et d'une phase de calcul des temps d'application des deux vecteurs:

T i v i vT

Ei s s= −

+ −

cos ( ) sin ( ) mod13

13

π πα β

Eq. 3- 1

T i v i vT

Ei s s+ = +

+ +

1 1

31

3cos ( ) sin ( ) modπ π

α βEq. 3- 2

CHAPITRE TROISIEME

90

Enfin, les rapports cycliques de commande sont reconstitués en appliquant des vecteurs nuls le

reste du temps (V0 sur les bords et V7 au centre), et dans notre cas, envoyés directement à

l'interface de génération d'impulsions.

Cette technique de modulation est beaucoup plus efficace que la précédente puisqu'elle permet

d'obtenir des vecteurs tensions inscrits dans le polygone de la Figure 3- 14, donc de tensions

crêtes aux bornes de la charge de ±E (à comparer avec la valeur de 3

2E obtenue avec la

modulation intersective).

3.5.3. L'unité de commande algorithmique

Nous venons de voir que dans le contexte de la commande des machines, l'unité de calcul doit

être capable d'effectuer certains calculs à des fréquences assez élevées. De plus, sa structure

doit permettre d'exécuter plusieurs tâches à des fréquences de récurrence différentes. Enfin,

dans un contexte de recherche, il serait souhaitable de pouvoir tester différents algorithmes de

commandes en un temps de développement minimal, donc avec un environnement adapté aux

outils que nous utilisons déjà, et particulièrement Matlab/Simulink. Ces considérations nous

ont amenés à retenir une carte de la société Dspace et le jeu de logiciels temps réel pour

Simulink qui permet d'exécuter un schéma bloc en temps réel.

Cette unité de commande (un PC) peut aujourd'hui être utilisée à la fois sur notre banc moteur

triphasé (1.5kW), sur notre banc de puissance ou sur tout autre banc dont le convertisseur est

équipé de notre interface de génération d'impulsions. Cependant, il nous a fallu réaliser

quelques adaptations logicielles et matérielles avant d'arriver à ce résultat.

Ces adaptations ont été motivées par la structure interne de la carte Dspace (DS1102):


91

InterfaçagePC

RAM 128k

FIFO

Bus // 32bits 16 Bits E/S

MLI, capture,liaison série

Double entréeCodeur incrémental

4* CNA

4*CAN

RAM 4k

TMS 320C31

TMS 320P14

IT externe

IT Communication

Figure 3- 17 : Structure de la carte DS1102.

Nous ne souhaitons pas entrer ici dans les détails techniques concernant les modifications.

Nous décrirons simplement celles-ci dans le but de clarifier le fonctionnement final du système.

La carte DS1102 est architecturée autour d'un DSP TMS320C31 de Texas Instrument, dédié

aux calculs. Elle est équipée de 4 convertisseurs Analogique/Numérique, de 4 convertisseurs

Numérique/Analogique, de deux entrées pour codeurs incrémentaux, d'une liaison série et

d'entrées/sorties numériques gérées par un DSP esclave (TMS320P14). Le dialogue entre les

deux processeurs peut se faire par deux canaux différents: une pile de type FIFO et un bus

dédié. Les sorties MLI présentes n'ont pas les performances requises par nos applications et

nous avons constaté par ailleurs que les outils fournis pour adresser les sorties numériques

depuis Simulink étaient trop lents pour l'exploitation en temps réel !

Nous avons donc effectué les adaptations suivantes:

1. Un multiplexeur analogique bidirectionnel nous a permis de doubler la capacité de mesure

analogique (ou de sorties analogiques). Pour pouvoir utiliser ce multiplexeur depuis

Simulink, nous avons du modifier les sources de compilation fournies avec l'environnement

temps réel.

2. Le processeur esclave (TMS320P14) a été re-programmé pour qu'il soit capable de gérer,

de manière autonome, notre interface de génération des impulsions de commande de

CHAPITRE TROISIEME

92

l'onduleur. Le processeur maître (TMS320C31) n'a plus qu'à envoyer les rapports cycliques

calculés vers l'esclave sans s'occuper du dialogue vers l'extérieur. Nous avons ainsi gagné un

facteur 10 à 20 (suivant le cas) sur le taux d'occupation du processeur maître !

3. La mesure de vitesse est effectuée par une entrée codeur et disponible sous Simulink. Sa

période de rafraîchissement (sous échantillonnage) est réglable par l'utilisateur.

4. L'algorithme de modulation de largeur d'impulsion vectorielle a été écrit en C. Ainsi, il peut

être exécuté très rapidement sur une requête d'interruption en provenance de notre interface

(moins de 14 µs).

La structure logicielle et matérielle adoptée en fin de compte est la suivante (les valeurs

numériques sont données à titre indicatif):

C31P14

MLI

Vitesse

ONDULEUR+

Interface Numérique

Codeur

1kHz

Algorithme principal

10kHz

Fréquence programmable

cycle=40ns

Simulink

Communication: 10kHz

Bus de dialogueinterne

bus numériqueextérieur

IT

IT

IT

IT

IT = Interruption

Figure 3- 18 : Architecture matérielle et logicielle de l'unité de commande.

L'algorithme principal tourne dans le DSP maître à la fréquence de récurrence définie par

l'utilisateur, sous Simulink. A la fréquence de découpage de l'onduleur, une interruption

déclenche un nouveau calcul de la MLI vectorielle. La mesure de vitesse est exécutée à une

fréquence sous-multiple de la fréquence de récurrence de l'algorithme principal définie par

l'utilisateur. Ainsi, nous respectons bien les trois couches présentées à la Figure 3- 11, tout en

optimisant les temps d'exécution des tâches.

Enfin, notons que les outils de développement temps réel de Simulink permettent de visualiser

et modifier n'importe quelle variable en utilisant la souris de l'ordinateur. C'est particulièrement

utile lors de la phase de réglage des paramètres des régulateurs par exemple, pour rechercher


93

une erreur dans l'algorithme de régulation, ou plus simplement, pour faire varier les différentes

consignes.

Voici, à titre d'exemple, l'écran de pilotage de la machine asynchrone du banc moteur 1.5kW.

Figure 3- 19 : Ecran de pilotage du programme de régulation de vitesse.

3.6. CONCLUSION

Nous venons de présenter un banc d'essais de puissance (30kVA) constitué d'un redresseur,

d'un onduleur, d'une charge passive et d'une unité de commande. Afin d'optimiser le câblage de

l'onduleur, nous avons intégré directement les capteurs de courant dans le circuit de puissance.

L'unité de commande, constituée d'un PC équipé d'une carte DSP compatible avec Simulink,

dialogue avec le convertisseur de puissance par l'intermédiaire d'une interface que nous avons

développée. Cette interface permet de piloter tout convertisseur à découpage via un bus

numérique.

Les environnements logiciels et matériel ont été adaptés de manière à ce qu'ils correspondent

au contexte général de recherche de l'équipe commande du laboratoire. Les modifications

CHAPITRE TROISIEME

94

logicielles ont été effectuées au niveau des sources du module temps réel de Simulink pour

optimiser les temps d'exécution et sont transparentes pour l'utilisateur.

En fin de compte, notre système d'expérimentation a la structure suivante:

1

2

3

4

5

6

Onduleur Charges

* Moteur* Charge R,L* ...

Commanderapprochée

InterfaceMLI

PC + Carte DSP

Alimentation

Mesures

6 1216

Figure 3- 20 : Structure du système d'expérimentation de l'équipe commande du CEGELY.

Ici, la charge passive limite le nombre d'inconnues dans la simulation et nous permet de

supposer l'environnement du convertisseur comme "parfaitement connu". Lorsque le modèle

du convertisseur sera éprouvé, il est clair que cette charge sera remplacée par une machine

électrique de manière à exploiter les résultats obtenus dans un contexte de commande prenant

en compte l'onduleur.

Après avoir validé le fonctionnement de ce banc d'essais, il nous faut effectuer un certain

nombre de mesures visant à identifier les paramètres des modèles des différents éléments le

constituant. C'est l'objet de notre quatrième chapitre.

CHAPITRE QUATRIEME

MODELISATION, MESURES ET IDENTIFICATION DES

ELEMENTS DU BANC D'ESSAIS

Dans le deuxième chapitre, nous avons présenté différents modèles de composants à

semiconducteur et leurs contextes d'utilisation. Les contraintes de choix des modèles à utiliser

sont principalement liées à l'outil de simulation. En effet, si les calculateurs (et les unités de

stockage) étaient plus rapides, nous pourrions systématiquement envisager l'utilisation des

modèles de connaissance. Il est d'ailleurs probable que l'évolution future de l'informatique

(processeurs et mémoire plus rapides, calculs parallèles, ...) nous permette d'étendre le champ

d'utilisation de ces modèles. Ce n'est pas le cas pour le moment, et, pour palier ces limitations

matérielles, les modèles moyens semblent particulièrement efficaces.

Mais, quels que soient les modèles que l'on envisage d'utiliser, une étape incontournable est

l'identification de ses paramètres. C'est une phase critique où la rigueur des mesures est

primordiale. De nombreux phénomènes sont mis en jeu, et la méthodologie de mesure doit

permettre de fixer (ou de maîtriser) un maximum de variables "parasites", sans quoi la phase

d'identification numérique est vouée à l'échec.

Un certain nombre d'outils d'identification sont proposés dans le commerce. Citons par

exemple le logiciel IC-CAP (Hewlett Packard), qui combine plusieurs méthodes d'optimisation

permettant l'identification des paramètres des modèles standard du type SPICE, à partir de

mesures expérimentales statiques ou quasi-statiques i(v) et c(v), ou, pour les composants

passifs, l'impédancemètre. Ces outils permettent parfois l'excitation des composants de

puissance dans un contexte réel de plusieurs centaines de volts ou/et d'ampères, mais ils ne sont

pas utilisables pour des composants bipolaires (problèmes liés à la durée de vie des porteurs).

Pour déterminer le jeu de paramètres d'une nouvelle série de composants, il faut donc réaliser

soi-même les mesures et l'identification numérique. Ce quatrième chapitre est dédié à cette

phase de la modélisation en électronique de puissance.

Après un bref bilan sur la problématique de l'identification numérique, nous passerons en revue

les différents éléments constituant notre banc, en définissant, pour chacun d'entre eux, le ou les

modèle(s) choisi(s), la nature et la méthodologie des mesures à effectuer pour leur

identification et les valeurs des paramètres retenues.

CHAPITRE QUATRIEME

96

4.1. LES METHODES D'OPTIMISATION

4.1.1. Généralités

Les méthodes d'optimisation [Morel-97] sont des méthodes numériques qui permettent de

trouver la solution d'un problème de minimisation.

Définition: Problème d'optimisation.

Un problème d'optimisation est souvent formulé comme un problème de minimisation.

Trouver u V∈ tel que, ( ) ( )J u Minv VJ v= ∈

V est l'espace de recherche de la solution. Lorsqu'elles existent, les frontières de V définissent

les contraintes du problème de minimisation. J est définie sur l'espace V. C'est la fonction coût.

Propriété: Equation d'Euler

Si la fonction coût est suffisamment régulière (dérivable), le point du minimum u vérifie J'(u)=0

Evidemment, la réciproque est fausse, car par exemple l'équation d'Euler est vérifiée pour un

minimum local (une vallée), un maximum local (un sommet) ou un point selle (un col).

L'application pratique est la recherche des valeurs de paramètres qui correspondent au

minimum minimorum d'un critère donné. Ce critère peut être par exemple un rendement,

un coût de fabrication, une durée (des temps de commutation), une distance... Ce sont souvent

des valeurs positives et le cas idéal correspond à une valeur nulle de la fonction coût. Une

autre application courante correspond aux problèmes du placement (des composants) et du

routage (le tracé des pistes de connexion) dans le cas des circuits imprimés, intégrés ou des

modules hybrides.

Dans notre cas, nous appliquerons ces principes à l'identification des paramètres d'un modèle.

D'une façon générale, la technique d'identification consiste à minimiser l'écart entre la

simulation et l'expérience.

Le simulateur Pacte dispose déjà d'un outil d'identification reposant sur la comparaison

simulation/expérience. Un certain nombre de méthodes d'optimisation sont programmées

(dichotomie, recuit simulé, ...). Nous les avons donc utilisées.

Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'Essais

97

4.1.2. Expression pratique de la fonction coût

La fonction coût peut être définie par une fonction analytique. Par exemple, la fonction de

Rosenbrock s'écrit, ( ) ( ) ( )J v v v p v v1 2 1

2

1

2

2

21, = − + − où p>0. Elle admet un minimum

pour (v1=1, v2=1). Evidemment dans ce cas, il est facile de vérifier la régularité de la fonction

coût et de calculer ses dérivées partielles.

Par contre, si l'on veut optimiser le comportement d'un système dynamique, la formulation

devient implicite. Soit le système décrit par l'équation différentielle ordinaire:

( )dx

dtf x p

y g x p

=

=

,

( , )

1

2

Eq. 4- 1

où x vaut initialement x0.

Par exemple, un problème d'identification des paramètres p1 et p2 à partir d'un relevé

expérimental ym(t) peut s'écrire avec la fonction coût:

( ) ( ) ( )( )J p p y t y t dtm

T

1 2

2

0, = −∫ Eq. 4- 2

Dans cette formulation la sortie, y(t), dépend implicitement des paramètres, car la fonction,

y(t), se calcule à partir de la solution de l'EDO. Dans la pratique, la fonction coût est évaluée à

partir d'une intégration numérique de l'EDO. Certes, il existe des théorèmes qui permettent de

s'assurer de la régularité de la fonction coût, mais, le calcul des dérivées partielles de la

fonction coût ne peut plus se faire analytiquement. Dans ce cas, on peut toutefois estimer

numériquement ces dérivées en calculant la fonction coût pour des petites variations des

paramètres.

En fait, ce cas correspond aussi à tous les problèmes d'optimisation que l'on doit réaliser sur

des fonctions coût calculées par des méthodes numériques. C'est par exemple le cas de

l'optimisation de forme dans des modélisations utilisant les éléments finis pour la résolution.

4.1.3. Expression des contraintes

Classiquement, on rencontre deux types de contraintes:

• Les contraintes par égalité, de la forme p p12

22 3+ = . Elles sont à éviter, car elles

compliquent sérieusement les méthodes de résolution (utilisation des multiplicateurs de

Lagrange).

• Les contraintes par inégalités, de la forme 0 < p1 < 5. Elles traduisent généralement des

limites physiques. Elles peuvent aussi servir pour distinguer plusieurs minima locaux.

CHAPITRE QUATRIEME

98

4.1.4. Classification des méthodes d'optimisation

Nous venons de voir le premier critère de classification: les contraintes. En effet, certaines

méthodes sont adaptées aux problèmes avec contraintes, d'autres ne le sont pas.

Dans la description pratique des fonctions coût, nous avons vu que dans certains cas le calcul

des dérivées partielles était simple et que dans d'autres cas ce n'était pas simple du tout.

Enfin, le dernier critère concerne le déterminisme de la méthode. Certaines méthodes

convergent systématiquement vers un minimum local alors que d'autres, et en particulier les

méthodes stochastiques, non déterministes, permettent d'espérer l'obtention d'un minimum

global.

La Table 4- 1 récapitule les principales méthodes que nous allons succinctement décrire. Pour

de plus amples informations sur les méthodes d'optimisation, nous renvoyons le lecteur aux

ouvrages de référence [Culioli-94] et [Charon-96].

type catégorie nomprise en

compte descontraintes

calcul desdérivées

premières

calcul desdérivéessecondes

recherche duminimum

global

déterministe méthode derelaxation

oui

méthode dugradient

oui

descente méthode dugradientconjugué

oui

méthode deNewton

oui oui

pénalisation oui ouiprogrammation

linéairesimplex oui

stochastique recuit simulé oui ouigénétique oui oui

Table 4- 1 : Classification des principales méthodes d'optimisation.

4.1.5. Les méthodes de descente

Une méthode de descente est une méthode itérative. Le vecteur de paramètres xk représente

l'état à l'itération numéro k. x0 représente l'état initial. A chaque étape une direction de

descente est choisie. L'objectif est alors de trouver le minimum de la fonction coût dans cette

direction de descente. Nous avons ainsi transformé un problème de minimisation

multidimensionnel en une suite de problème de minimisation unidimensionnel. La grande

différence entre toutes les méthodes de descente réside dans le choix de la direction de

descente.


99

D'une façon générale, une méthode de descente utilise le schéma itératif suivant:

x x dk k k k+ = −1 λ (descente)

x2

0d

x0

x1

d1

Figure 4- 1 : Interprétation graphique d'une méthode de descente par des courbes de niveaux

dk est la direction de descente, et λk est le pas de descente qui minimise la fonction coût dans la

direction de descente. En d'autres termes, on cherche le λk qui fournit le minimum de la

fonction coût.

Sur une représentation en courbe de niveaux, le nouveau point, xk+1 correspond au point dans

la direction de descente qui tangente avec une courbe de niveau (Figure 4- 1).

4.1.5.1. La méthode de Newton:

De manière générale, si l'on a à résoudre f(u)=0, connaissant un état initial x0, la méthode

de newton s'écrit:

( )[ ] ( )x x f x f xk k k k+

−= − ′1

1. Eq. 4- 3

f'(x) est le Jacobien (ou matrice Jacobienne du système).

En posant f(v)=J'(v), nous arrivons à la formulation de la méthode de Newton pour

l'optimisation. L'état à l'itération k s'obtient par:

( )[ ] ( )x x J x J xk k k k+−= − ′′ ′1

1. Eq. 4- 4

où J' est le gradient de la fonction coût et J'' est la matrice Hessienne.

Le domaine de convergence de la méthode de Newton est le plus grand domaine

convexe contenant la solution u, dans lequel la fonction coût est convexe (Figure 4- 2).

CHAPITRE QUATRIEME

100

domaine de convergence!

. u

V

u

V

Figure 4- 2 : Interprétation du domaine de convergence de la méthode de newton.

4.1.5.2. Les méthodes de gradients (conjugués)

La méthode du gradient à pas optimal correspond au choix dk=J'(xk). Ce choix

correspond à la direction de plus grande pente, le gradient. En fait, ce choix n'est

judicieux que localement.

Pour trouver le pas optimal λk nous avons un problème de minimisation

unidimensionnelle à résoudre. On peut par exemple utiliser la méthode de recherche

dichotomique ou la méthode de Newton.

Définition: fonction quadratique

une fonction J v v A.v b vT T( ) . .= −12

est dite quadratique. Elle est elliptique si A est

symétrique définie positive.

Dans ce cas λkk

kT

k

w

w A.w=

2

. où, w A.x bk k= − est le gradient au point courant.

La méthode du gradient à pas optimal converge si:

• J est elliptique.

• Si J est C1 et convexe

Les méthodes de gradients conjugués ont l'avantage de converger en moins de n

itérations pour des fonctions elliptiques, où n est la dimension du vecteur x. Le choix de

la direction de descente est celle de la direction conjuguée.


101

gradient

gradientconjugué

Figure 4- 3 : La direction conjuguée passe par le centre de l'ellipse.

Notons que si la méthode converge théoriquement en moins de n=dim(x) itérations, dans

la pratique dès que n est assez grand il faut beaucoup plus de n itérations pour

converger. La méthode des gradients conjugués pré-conditionnés est alors bien plus

performante.

Par ailleurs la méthode peut s'étendre aux fonctions coûts quelconques. Il existe aussi des

algorithmes de bi-gradients conjugués pour les matrices non symétriques.

4.1.5.3. La méthode de relaxation

La méthode de relaxation consiste à choisir comme direction de descente, les axes de

l'espace de recherche V. Cela revient en d'autres termes à minimiser la fonction coût en

faisant varier une seule composante du vecteur x à la fois. Les différents axes de l'espace

sont choisis à tour de rôle comme direction de descente.

Propriété: Si la fonction J est C1 et convexe, la méthode de relaxation converge vers

l'unique minimum.

Par contre, si la fonction coût n'est pas C1, cette méthode peut converger vers un point

qui n'est pas le minimum.

Cette méthode ne nécessite pas le calcul des dérivées premières de la fonction coût,

évitant ainsi les problèmes liés aux Jacobiens singuliers. Un autre intérêt de cette

méthode est qu'il est très facile de prendre en compte des contraintes représentées par

des inégalités portant sur un seul paramètre.

4.1.5.4. Les méthodes de pénalisation

L'idée des méthodes de pénalisation est de modifier la fonction coût pour satisfaire les

contraintes. On utilise alors une nouvelle fonction coût,

( ) ( ) ( )J v J v vε εψ= +

1où Ψ(v)=0 si v V∈ , et Ψ(v)>0 sinon.

CHAPITRE QUATRIEME

102

La difficulté est le choix de la fonction de pénalisation Ψ(v). Après il suffit de choisir une

méthode de descente quelconque. Ces méthodes sont toutefois heuristiques!

4.1.6. Programmation linéaire, la méthode du symplexe

La programmation linéaire regroupe toutes les techniques de recherche du minimum

d'une fonction coût linéaire. La propriété de base est qu'une fonction linéaire définie dans

un domaine compact, atteint son minimum (maximum) sur son bord. Les notions de

bords correspondent aux contraintes (linéaires).

La méthode du simplexe minimise une fonction coût linéaire avec des contraintes

linéaires. Cet algorithme peut toutefois s'appliquer aux fonctions coûts non linéaires.

4.1.7. Les méthodes stochastiques

Ces méthodes sont très puissantes pour les problèmes complexes. Leur principal défaut est

qu'il est impossible de prévoir le nombre d'itérations nécessaires à l'obtention du résultat. On

utilise généralement les méthodes stochastiques pour approcher une solution qui sera ensuite

affinée par des méthodes plus classiques.

4.1.7.1. Le recuit simulé

La méthode du recuit simulé repose sur une analogie avec la thermodynamique, proposée

par N. Metropolis en 1953. Cette approche a été surtout employée depuis 1982

(S. Kirkpatrick et V. Cerny).

L'état d'un matériau est régi par la loi de Boltzmann. La probabilité d'observer l'état X

est, ( )( )

p X pE X

kT= −

0 exp

L'intérêt de cette analogie réside dans l'étude du cas de la trempe des aciers. En effet,

l'acier trempé correspond à un état énergétique élevé, alors que l'acier recuit, plus mou,

correspond au minimum absolu de l'énergie du matériau. Or, le recuit consiste à

appliquer une température suffisamment élevée pour permettre le changement de vallée.

L'analogie est donc simple: La fonction coût représente l'énergie du matériau.

Naturellement, l'état d'un matériau évolue de façon à réduire son énergie. Toutefois, une

augmentation d'énergie est possible si la transition respecte la loi de probabilité de

Boltzmann. Il faut donc des températures élevées pour permettre de faire des sauts

importants de vallée.


103

La méthode est intéressante pour trouver la bonne vallée dans des cas complexes, où, par

exemple, la solution est assez "plate" dans de nombreuses régions du domaine de

recherche. Toutefois, la convergence est très mauvaise à la fin. Il est alors préférable

d'utiliser une méthode déterministe dès que la bonne vallée a été trouvée.

E(X)

X

état du matériauxacier trempé

acier recuit

recuit

Figure 4- 4 : Représentation graphique de la méthode du recuit simulé.

4.1.7.2. Les algorithmes génétiques

Cette fois l'analogie est celle de la vie. La vie sélectionne les meilleures solutions d'une

population d'individus, les autres meurent (sauf chez les hommes) ...

Cette approche nécessite un codage binaire. Celui-ci doit permettre de décrire complètement

un individu: un état du système. Les valeurs discrètes et continues sont donc codées en

binaire. Le codage mime donc le codage génétique.

La différence de cette approche est que cette méthode gère une population, c'est-à-dire un

ensemble d'états du système. Les algorithmes génétiques reposent sur plusieurs mécanismes.

• La sélection consiste à choisir les individus que l'on va conserver, les autres meurent ...A ce

stade la fonction coût est largement utilisée.

• Le croisement permet de créer de nouveaux individus à partir de deux individus survivants.

Le croisement doit se faire entre individus de natures très diverses. Le risque majeur de la

consanguinité est de rester piégé dans un minimum local et de ne pas produire le meilleur

individu.

• La mutation permet à un même individu de changer l'une de ces caractéristiques.

Nous venons de passer brièvement en revue différentes méthodes d'optimisation. Nous allons

maintenant les appliquer au cas concret de l'identification des différents modèles de notre banc

CHAPITRE QUATRIEME

104

de tests. Dans la mesures du possible, nous utiliserons les méthodes déterministes, plus rapides,

sachant qu'on peut toujours avoir recours aux méthodes euristiques en cas de difficultés de

convergence.

4.2. LE CONDENSATEUR

Si l'on veut simuler un système complet, il convient de modéliser le plus fidèlement possible la

source d'énergie du convertisseur. Les modèles de condensateurs proposés dans la littérature,

et particulièrement celui proposé par [Joubert-95], donnent de très bons résultats, mais, les

mesures nécessaires à l'identification des paramètres sont particulièrement complexes et sortent

du cadre de notre application.

4.2.1. Méthodologie

Nous ne nous intéresserons ici qu'aux condensateurs électrolytiques, plus lents. Un modèle du

type schéma équivalent R, L, C série sera suffisant et ne dégradera pas le temps de calcul.

Par contre, pour les condensateurs rapides, les phénomènes de propagation internes excluent

l'utilisation de tels schémas électriques équivalents.

L'objectif ici, est de déterminer la valeur des trois paramètres Rc, Lc et C dans des conditions

nominales de fonctionnement. L'utilisation d'un impédancemètre est inadaptée à la mesure sur

ce type de composant dans les conditions nominales.

Le schéma adopté pour les mesures est le suivant:

Figure 4- 5 : Schéma de test du condensateur.

L'idée principale est de réaliser une commutation rapide du condensateur sur charge résistive

de manière à mettre en évidence l'effet de sa résistance série Rc et de son inductance Lc.

La source de tension E et l'interrupteur K servent à la pré-charge du condensateur sous la

tension choisie pour l'essai. Après la charge du condensateur, l'interrupteur K est ouvert. La

résistance R définit approximativement, avec la tension initiale E, la valeur du courant maximal


105

durant l'essai. L'inductance L est une inductance de câblage, elle devra être aussi faible que

possible de manière à ne pas limiter la montée du courant lors de la fermeture du transistor, et

à ne pas détruire ce dernier lors de son ouverture. De la même manière, le transistor doit être

suffisamment rapide pour ne pas trop influer sur la montée du courant. Nous avons opté pour

un transistor de puissance de type MOS. Nous mesurerons la tension aux bornes du

condensateur Vc et le courant Ic traversant celui-ci.

Deux essais seront nécessaires (Figure 4- 6).

Le premier essai a pour but l'identification de la valeur de la capacité C du condensateur. Ce

paramètre sera déterminé de manière formelle:

CIc t dt

V V=

−∫ ( ).

2 1Eq. 4- 5

avec V1 la tension initiale aux bornes du condensateur avant la commutation et V2 la

tension finale après la commutation.

Pour cet essai, la durée de l'impulsion de commande du transistor MOS (∆t) devra être

suffisante pour que la différence entre V2 et V1 (∆V) soit représentative de la décharge du

condensateur. Cette valeur peut être approchée à partir des valeurs annoncées par le

constructeur et des conditions d'essai. Dans le cas d'une capacité linéaire, nous avons:

∆∆

tC V

E R=

.

/Eq. 4- 6

Figure 4- 6 : Mesures pour l'identification des paramètres du modèle de condensateur électrolytique.A gauche, allure du courant et de la tension aux bornes du condensateur durant une commutation.

A droite, zoom sur la phase de montée du courant.

CHAPITRE QUATRIEME

106

L'intégrale du courant sera calculée numériquement d'après le relevé expérimental.

L'identification des deux autres paramètres nécessite une méthode d'optimisation basée sur la

phase de montée du courant Ic. Contrairement à la mesure précédente, l'horizon de temps est

très réduit (quelques centaines de nano-secondes). Le relevé expérimental devra faire

clairement apparaître le pic "négatif" de la tension aux bornes du condensateur et la phase de

palier qui suit ce pic (Vplat, Figure 4- 6, droite).

Comme nous l'avons dit, la phase d'identification consiste en une comparaison systématique de

la mesure avec une simulation reproduisant les conditions d'essais, exécutée avec un jeu de

paramètres (Rc et Lc) donné. Les valeurs des paramètres sont ensuite ajustées jusqu'à

obtention d'un critère d'erreur minimal.

Il semble donc nécessaire d'identifier le banc de test, à savoir le transistor MOS et les éléments

parasites pour pouvoir réaliser la simulation. C'est une phase fastidieuse et, une fois de plus, la

fiabilité des modèles et de leur identification conditionnent les identifications futures des

condensateurs. Dans ce cas particulier, ce travail n'est pas nécessaire. En effet, le signal de

tension Vc est suffisamment riche pour être la seule grandeur comparée. Nous utiliserons donc

le courant mesuré comme source d'excitation du modèle de condensateur pendant la simulation

(Figure 4- 7). Le critère d'optimisation sera l'erreur quadratique entre la tension mesurée et la

tension simulée. Notons que le schéma n'est plus causal. En effet, nous imposons le courant

dans une inductance. Dans l'outil PACTE, le modèle de l'inductance Lc passe alors

automatiquement en causalité dérivée (on calcule la tension à partir du courant) pour que la

simulation puisse avoir lieu.

Figure 4- 7 : Schéma adopté en simulation pour la phase d'optimisation.

Remarques:

• Afin de vérifier la validité de la méthode avant de procéder aux essais, nous avons

simulé la procédure complète sous PACTE. Les paramètres du condensateur et des

éléments parasites ont été fixés arbitrairement et un modèle comportemental du

transistor MOS existant en bibliothèque a été utilisé. Nous avons exploité les


107

résultats de cette simulation comme "mesures" pour tester la phase d'identification

et avons obtenu de bons résultats. Dans la pratique, nous nous sommes heurtés au

problème du bruit de mesure et du bruit numérique de l'échantillonnage de

l'oscilloscope sur le courant. En effet, la moindre discontinuité sur le courant Ic

crée de fortes variations de la tension Vc en simulation (à cause du calcul de

dérivée), et la phase d'optimisation ne peut avoir lieu dans de bonnes conditions. Il

nous a donc fallu mettre en place une étape intermédiaire de lissage du courant

mesuré. La méthode adoptée est un lissage par moindres carrés par morceaux sur

des fonctions splines du troisième ordre, assurant ainsi la continuité des dérivées.

• La mesure du courant Ic peut poser quelques problèmes: la nature "continue" du

courant pour le premier essai exclut l'utilisation d'un tore. D'autre part, au moment

de la commutation la restitution de la phase de montée du courant est très critique,

ce qui exclut les capteurs ayant une bande passante (ou un dI/dt) trop faible. La

solution adoptée est le shunt "non inductif". Le lieu d'insertion du shunt dans le

circuit est souvent critique: la meilleure place est généralement le circuit de source

mais il faudra alors s'assurer que le circuit de commande rapprochée est alimenté

par une source flottante et suffisamment immunisé contre les modes communs pour

que la tension apparaissant aux bornes du shunt n'influe pas sur la commutation du

transistor (contre-réaction).

Cette méthode d'identification a donné de bons résultats, tant du point de vue de la valeur des

paramètres identifiés que de la reproductibilité. Nous avons soumis les condensateurs à des

contraintes très variables, allant des faibles puissances, jusqu'à leurs caractéristiques limites.

Notons que cette méthode d'identification ne nécessite aucune source d'énergie "fort courant":

le condensateur peut être chargé à faible courant. Ceci nous permet d'utiliser les instruments de

laboratoires programmables (par bus GPIB par exemple), et ainsi, ce type d'opération peut être

entièrement automatisée.

A titre d'exemple, nous avons réalisé l'identification d'un condensateur électrolytique:

Le constructeur (AEROVOX) fournit les caractéristiques suivantes : 2200µF ±20% - 400Vcc.

Le tableau suivant résume les paramètres identifiés pour trois essais à différentes tensions et la

Figure 4- 8 donne un exemple des relevés effectués. Notons le fort niveau du bruit de mesure.

CHAPITRE QUATRIEME

108

Table 4- 2 : Exemple de paramètres identifiés pour un condensateur.

Il semble que les dispersions constatées (environ 20% sur Rc) soient dues au bruit de mesure et

au lissage en découlant. Les variations de la valeur de capacité mesurée ne nous permettent pas

de conclure à une non-linéarité.

Courant Ic

Tension Vc

Courant Ic

Tension Vc

Figure 4- 8 : Exemple de mesures exploitées pour l'identification des paramètres d'un condensateur.

Notons que le même type d'identification a été réalisé sur un impédancemètre Hewlett Packard.

Les résultats obtenus sont très peu reproductifs à cause de leur sensibilité au câblage. Sur la

totalité des essais, seul un faible pourcentage a donné des résultats crédibles, qui,

généralement, confirmaient les nôtres.

4.2.2. Application à l'onduleur

La simulation du convertisseur au niveau des commutations des composants (avec des modèles

de connaissance) ne peut être fiable que si la topologie du convertisseur, et particulièrement

ses éléments parasites (inductances et résistances de câblage) est correctement prise en

compte.

Tension d'essai (V) 50 100 150C (µF) 2000 2043 2021

Lc (µH) 27.27 26.78 24.3Rc (mΩ) 20.33 24.7 22.8


109

En supposant que la connectique (de puissance) du convertisseur est principalement composée

de résistances et inductances en série, nous pouvons dresser le schéma électrique équivalent

suivant:

1

2

3

4

5

6

+E

0V

A+

B+

C+

D+

E+

F+

B- D- F-

A- C- E-(r2,l2) (r4,l4) (r6,l6)

(r10,l10)(r8,l8)

(r9,l9)(r7,l7)

(r1,l1) (r3,l3) (r5,l5)

lc

rc

C

rp

(r12,l12)

(r11,l11)

3300µF

Figure 4- 9 : Schéma électrique équivalent de la connectique du convertisseur.Les zones hachurées représentent les barreaux de connexion utilisés.

Etant donné que, du côté continu, un onduleur est principalement capacitif, nous pouvons

utiliser la méthode d'identification présentée précédemment pour identifier les différents

éléments du schéma équivalent.

La réalisation du convertisseur étant symétrique par rapport à son axe transversal, nous

pouvons supposer que les éléments placés symétriquement par rapport à cet axe ont la même

valeur (r1=r2, l1=l2, r2=r3 ...). D'autre part, nous supposons que les résistances Rp ont une valeur

suffisamment grande (27kΩ) pour ne pas prendre en compte leur influence sur les mesures.

Enfin, nous supposons que le banc de condensateurs, associé aux éléments r1, r2, l1 et l2 est

équivalent à un condensateur CT unique ayant le même schéma équivalent (rT,lT,CT).

Pour déterminer la valeur de tous les éléments du montage, il suffit de réaliser une

identification de trois paramètres r,l,c (Figure 4- 10), pour chaque paire de point A+,A-,

B+,B-, .... F+,F-. Par exemple, le point A nous fournira la valeur de rT, lT et CT; le point B

nous fournira la valeur de r7+rT, l7+lT et CT; ....

CHAPITRE QUATRIEME

110

2

3

4

5

6

+Vcc

-Vcc

A+

B+

C+

D+

E+

F+

B- D- F-

A- C- E-(r4,l4) (r6,l6)

(r10,l10)(r8,l8)

(r9,l9)(r7,l7)

(r3,l3) (r5,l5)

lT

rT

CT

Rcharge

(r12,l12)

(r11,l11)

Figure 4- 10 : Exemple de mesure pour l'identification des éléments parasites de l'onduleur.Les IGBT 3, 4, 5 et 6 sont maintenus bloqués

Ainsi, nous avons déterminé la valeur des différents éléments de câblage du montage.

Pour chaque point de mesure, nous avons réalisé trois paires d'essais à des niveaux différents.

L'analyse statistique des résultats montre une très faible dispersion sur les valeurs des

inductances (environ 1%), une dispersion d'environ 10% sur les résistances et les capacités

identifiées.

L'intérêt de cette méthode d'identification est qu'il n'est pas nécessaire de modifier la topologie

du convertisseur pour procéder à ces essais : nous utilisons les composants déjà à disposition.

Par exemple (Figure 4- 10), pour réaliser les mesures aux point (A+, A-) et (B+, B-), il suffit

de connecter la résistance de charge en parallèle sur la paire (IGBT, Diode) n°1. Les IGBT ,

, , , sont maintenus bloquée et les diodes correspondantes ne peuvent pas passer en

conduction durant les essais. L'IGBT n°2 servira à la commutation sur la charge résistive. Le

capteur de courant peut être inséré en série avec la résistance (attention au mode commun).

Indice T 3 - 4 5 - 6 7 - 8 9 - 10 11 - 12

r (mΩ) 23 3.75 3.25 2.25 3 5.7

l (nH) 214 115 120 76 83 87

C (µF) 7440 (en moyenne)


111

4.3. LA CHARGE

De la même manière que pour la source de puissance, la connaissance de la charge avec

précision est indispensable pour la simulation du convertisseur. Comme nous l'avons déjà vu, le

contexte de notre travail est la conversion continue alternative triphasée de forte puissance

(Figure 4- 11). Etant donné le volume de la charge (environ 2m3) et sa masse, il était difficile

de la déplacer vers un banc d'identification.

Pour les mêmes raisons que précédemment, l'impédancemètre était à exclure. Nous avons

donc, ici aussi, exploité le convertisseur déjà présent et le principe d'identification présenté

précédemment, à l'identification des paramètres R et L (résistance et inductance) de notre

charge passive triphasée.

R1 L1 R2 L2

R3L3

1

2

3

4

5

6

A B C

IA ICIB

Figure 4- 11 : L'onduleur (simplifié) et sa charge (30KVA).

Nous débranchons deux phases parmi trois et relevons une réponse indicielle sur la phase

restante grâce aux IGBT du convertisseur.

Par exemple, pour la phase 1, les charges 2 et 3 sont débranchées. En faisant commuter les

interrupteurs et ou et , nous générons une impulsion de tension aux bornes de la

charge. L'amplitude de l'impulsion (et donc la valeur maximale du courant dans la charge) est

fixée par l'alimentation continue de l'onduleur. Nous relevons la tension entre les points A et B

(VAB) et le courant IA (Figure 4- 13).

Remarques:

Comme précédemment, cette méthode d'identification soumet le système à des

contraintes réelles. D'autre part, si la mesure de la tension est effectuée au plus près

des IGBT, l'identification prendra en compte les résistances et inductances parasites

CHAPITRE QUATRIEME

112

dues aux câbles de liaisons vers la charge, aux contacts et aux capteurs de courant

éventuels venant en série dans le circuit (shunts ou autres).

L'isothermie de la charge durant les mesures est très difficile à assurer en raison de

son volume. Tous les essais ont été effectués après une période de fonctionnement en

régime nominal et avant refroidissement.

De la même manière que pour le condensateur, pour s'affranchir de l'environnement de mesure,

l'une des deux grandeurs mesurées servira de source pour les simulations de la phase

d'identification. Dans ce cas, la charge est principalement inductive, nous utiliserons donc la

tension mesurée comme source d'excitation. Le critère d'optimisation sera l'erreur quadratique

entre le courant mesuré et le courant simulé. Les résultats de l'identification sur la phase A sont

les suivants:

Figure 4- 12 : Identification des paramètres R et L de la charge pour la phase A.

Nous notons une bonne corrélation des résultats pour la résistance mais une diminution

progressive de l'inductance accompagnée d'une augmentation du critère d'erreur optimal

(Figure 4- 13). Il semble que ce soit l'effet de la saturation de l'inductance. Le système devient

non-linéaire et l'optimisation à partir du schéma équivalent linéaire devient progressivement

impossible. Ces résultats sont confirmés par les deux autres phases: à tension donnée, nous

avons moins de 5% de dispersion pour les inductances et moins de 2% pour les résistances

quelle que soit la tension. Si nous prenions la valeur moyenne de l'inductance identifiée pour les

simulations, nous aurions les résultats suivants :

Tension continue (V) 55 70 170 230 270 355R1 (Ω) 2.575 2.575 2.62 2.62 2.62 2.575

L1 (mH) 12.62 12.51 11.68 11.16 10.9 9.99Coût (erreur) 0.126 0.126 0.268 0.799 1.16 3


113

Modèle linéaire L=11.5mH - R=2.6Ω

Courant simulé

Courant mesuré

Courant simulé

Courant simulé

Courant mesuré

Courant mesuré

Figure 4- 13 : Comparaison entre les mesures effectuées sur la phase 1 de notre charge et les résultatsobtenus en simulation pour la valeur de l'inductance retenue.

A l'évidence, cette solution n'est pas suffisamment fiable pour permettre d'évaluer le modèle du

convertisseur. Il est donc nécessaire de prendre en compte un modèle non-linéaire de

l'inductance de la charge. Ce modèle doit respecter la causalité du modèle de l'inductance

(calcul de la valeur du courant à partir de la tension) et prendre en compte la saturation du flux

dans la bobine.

Φ(Wb)

i(A)

Φmax

i0

Φmax2

Figure 4- 14 : Allure du flux tel qu'il est pris en compte.

CHAPITRE QUATRIEME

114

Nous pouvons approcher la variation du flux en fonction du courant par l'hyperbole suivante:

Φ Φ( ) maxii

i i=

+ 0

Eq. 4- 7

nous avons alors:

( )d

di

i

i i

ΦΦ=

+max

0

0

2 Eq. 4- 8

d'où:

( )di

dt

d

dt

i i

i=

+ΦΦ

1 0

2

0max

Eq. 4- 9

Le modèle d'état de notre inductance saturable est donc:

( )dx

dt

v t x i

i

i x

=+

=

( )

maxΦ0

2

0 Eq. 4- 10

avec v td

dt( ) =

Φ, la tension aux bornes de l'inductance

Pour identifier les paramètres de ce modèle, il faudra initialiser les deux variables (flux maximal

et courant) et donner leurs domaines de variation. Pour une bobine donnée, il est toujours plus

difficile de connaître l'ordre de grandeur du flux que de son inductance. Par soucis de

simplicité, nous préférerons donc utiliser comme paramètre du modèle, une valeur particulière

L0 de l'inductance, définie par Li00

=Φmax à la place du flux maximal (qui sera calculé par le

modèle). Pour la phase d'identification, on pourra alors initialiser les paramètres du modèle aux

valeurs fournies par la plaque signalétique de la bobine.

L'identification de notre charge avec ce nouveau modèle nous a fourni les paramètres suivants:

R = 2.63Ω L0=12.8mH I0=400A

Nous pouvons constater sur la figure ci-dessous que le modèle d'inductance non-linéaire nous

permet de réduire l'erreur entre la simulation et la mesure sur une plus grande plage de

variation du courant.


115

Modèle non-linéaire I0=400A - L=12.8mH - R=2.63mΩ

Courant mesuré

Courant simulé

Courant mesuré

Courant simulé

Courant mesuré

Courant simulé

Figure 4- 15 : Comparaison du modèle non linéaire de l'inductance avec quelquesmesures à différents niveaux de courant.

Pour améliorer encore l'identification de la charge, il semble que l'étape suivante soit la prise en

compte des phénomènes capacitifs entre les spires de la bobine. Cependant, notre objectif

principal est la modélisation de l'onduleur et la qualité de la modélisation de la charge semble

dors et déjà suffisante. Nous vérifierons a posteriori que ce modèle est suffisant.

4.4. L'IGBT

Nous allons ici aborder les mesures nécessaires à l'identification des paramètres des différents

modèles de l'IGBT. Ces travaux ont été menés en collaboration avec A. AMMOUS dont

l'objectif était l'obtention d'un modèle électro-thermique de l'IGBT, et qui a pris en charge la

partie identification. C'est un problème particulièrement complexe de par le grand nombre de

paramètres à identifier. Nous n'aborderons pas ces détails et renvoyons le lecteur à son

mémoire de thèse [Ammous-98].

CHAPITRE QUATRIEME

116

Les mesures à réaliser sur les composants actifs nécessitent généralement un banc de

caractérisation spécifique. En effet, les éléments parasites (particulièrement les inductances)

doivent être maîtrisés. Pour les puissances mises en jeu, la topologie des connections est très

importante: il faut à tout prix éviter les boucles de courant, tout en insérant dans le circuit des

capteurs souvent volumineux. D'autre part, les énergies mises en jeu lors de commutation sous

forte tension et fort courant sont suffisamment importantes pour que la source nécessaire aux

essais soit très onéreuse (source de courant).

D'une manière générale, nous avons adopté une solution économique et sûre: nous stockons

l'énergie dans une batterie de condensateurs correctement dimensionnée [Fiscal-96]]. Le

principe en est le suivant:

D

R

L

IGBT1

Vge1

E

rc

l

C1 C2

M

K

Figure 4- 16 : Schéma de principe du banc de caractérisation en forte puissance.

La source de tension E fixe la valeur de la tension d'essai. La résistance rc et l'interrupteur K

servent au pré-chargement des condensateurs. Le banc capacitif est constitué d'un réseau de

condensateurs de forte valeur (C1 - électrolytiques) servant lors de la phase d'établissement du

courant dans l'inductance et d'un banc de condensateurs rapides (C2 - polypropylène)

fournissant l'énergie lors des phases de commutation. L'inductance l représente l'inductance de

câblage entre les deux bancs de condensateurs. La valeur du courant durant l'essai est fixée par

l'inductance L, la résistance R et la durée d'amorçage de l'IGBT1. En connectant le composant

sous test au point M et la masse, et avec une séquence de commande adéquate, il est possible

d'observer des commutations de bonne qualité sous de forts courants et de fortes tensions. La

diode D permet à l'inductance L de restituer l'énergie électromagnétique emmagasinée.

Ce type de banc a un double avantage: il permet de s'affranchir d'une alimentation de puissance

et limite l'énergie maximale disponible pour le test, réduisant ainsi les risques de défaillance.

D'autre part, il est entièrement automatisable. Dans la suite de l'exposé, nous représenterons

l'ensemble alimentation, condensateurs par une tension continue réglable.


117

4.4.1. Caractéristiques statiques

Le relevé de caractéristiques statiques est relativement facile si l'on évite quelques pièges

courants (Figure 4- 17).

• La première difficulté est liée à la saturation des entrées de l’oscilloscope. En effet, si la

tension mesurée varie d’une grande amplitude trop rapidement, la faible tension de

saturation mesurée sera faussée par l’amplificateur d’entrée de l’oscilloscope qui n'a pas eu

le temps de se dé-saturer. Allonger la durée de l’impulsion de courant aurait pour effet

d’échauffer le composant. La solution adoptée est d’utiliser deux IGBT en série: le premier

(IGBT2) commutera de manière à autoriser ou non le passage du courant dans le second

(IGBT3) qui sera continuellement commandé : c’est le composant à caractériser. La tension

ainsi mesurée ne pourra donc excéder quelques volts.

• Le deuxième point dur apparaît lors des relevés à forte tension Vge3 (Figure 4- 17) où les

tensions de saturation sont plus faibles que lors de l'utilisation normale des IGBT

(Vge=15V). Le composant en série avec l'IGBT sous test devra donc avoir un calibre

supérieur à ce dernier pour que les mesures ne soient pas perturbées. Lorsque cela est

possible, un facteur deux est recommandé.

D

R

L

IGBT1

IGBT2

IGBT3

Ic

Vce Vge1

Vge2

Vge3

E

t1

t2

+15

+15

-15

-15

Vge1(V)

Vge2(V)

t3

Figure 4- 17 : Relevé des caractéristiques statiques d'un IGBT et chronogrammes de commande.IGBT3 est le composant sous test.

Pour éviter l'échauffement du composant sous test, ces essais seront réalisés par impulsions de

courant les plus courtes possible et à rapport cyclique faible.

Le temps t1 (Figure 4- 17) et la valeur de E, R et L définissent la valeur du courant Ic. Le

temps t2 doit permettre à l’IGBT 2 de passer en conduction. Le temps t3 devra être

suffisamment long pour que les IGBTs 2 et 3 soient totalement conducteurs et que l'effet de la

CHAPITRE QUATRIEME

118

durée de vie des porteurs soit négligeable. La mesure sera effectuée juste avant que la

commande Vge2 ne retombe au niveau bas. Seul le relevé du point de fonctionnement (Ic,

Vcesat) est nécessaire.

Voici un exemple de caractéristiques relevées sur un module Mitsubishi 150A/600V.

0 1 2 3 4 50

50

100

150

200

250

300

Caractéristiques Statiques CM150DY-12H

Vce (V)

Ic (

A)

Vge=18V

Vge=15V Vge=12V

Vge=10V

Vge=8V

Figure 4- 18 : Exemple de relevé des caractéristiques statiques d'un IGBT.

4.4.2. Problématique de l'obtention des caractéristiques dynamiques

Dans l'état actuel de nos travaux, il semble que l’identification de l’IGBT puisse être effectuée

à partir de commutations sur charge résistive (Mise en conduction et Blocage) [Ammous-98].

Trois types de mesures sont nécessaires :

1. Commutation en régime nominal : Le courant a sa valeur nominale et la tension est fixée

aux 2/3 du maximum admissible (d’où la valeur de la résistance de charge).

2. Commutation en régime moyen : La tension est diminuée de moitié. On garde la même

résistance de charge.

3. Commutation en régime faible : La tension est divisée par environ huit. On garde la

même résistance de charge.

Le circuit utilisé pour ces essais est le suivant:


119

D R

IGBT1

Vge1

EIc

Vce

Vcmd Vge

Rg

Figure 4- 19 : Relevé des caractéristiques dynamiques d'un IGBT.

Recommandations:

• La résistance de grille doit être choisie de manière à faire clairement apparaître

l’effet Miller sur la tension Vge.

• Le blocage se fera à 0V et l’amorçage à la tension nominale recommandée par le

constructeur (généralement 15V).

• La masse de l’oscilloscope sera connectée à l’émetteur de commande (s’il existe) de

l’IGBT. L’effet de l’inductance interne d’émetteur sera alors minimisé.

Voici un exemple de caractéristiques que nous avons relevé sur le même composant que

précédemment.

CHAPITRE QUATRIEME

120

0 2 4 6 8 1 00

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6T e n s i o n s V c m d e t V g e ( V )

t ( µ s )

V c m d V g e

0 2 4 6 8 1 00

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

2 5 0

3 0 0

3 5 0T e n s i o n V c e ( V )

t ( µ s )

0 2 4 6 8 1 0- 2 0

0

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

1 2 0

1 4 0C o u r a n t I c ( A )

t ( µ s )

Figure 4- 20 : Exemple de caractéristiques dynamiques d'un IGBT.

4.4.3. Identification

Comme nous l'avons déjà précisé, les travaux étant actuellement en cours, nous ne traiterons

pas le cas de l'identification des paramètres du modèle de l'IGBT. Cependant, aussi bien les

modèles simplifiés que les modèles moyens des convertisseurs utilisent uniquement les

caractéristiques statiques des composants semiconducteurs.

Pour l'IGBT, il nous faut prendre en compte la caractéristique statique correspondant à la

tension de commande utilisée dans le convertisseur. Les constructeurs recommandent en

général une tension de ±15V sur la grille.


121

D'autre part, la causalité des modèles de circuits que nous étudions (à charge inductive) nous

imposent de fournir la tension à l'état passant en fonction du courant direct (Figure 4- 18).

Dans les limites de la mesure (qui sont supérieures au fonctionnement normal de l'IGBT), cette

caractéristique est très semblable à celle d'une diode. Le modèle analytique de la tension aux

bornes de l'IGBT à l'état passant en fonction de son courant direct sera donc celui couramment

utilisé pour les diodes:

Vce Ic UIc

IsR IcTT

TT( ) ln( ) .= + +1 Eq. 4- 11

Pour les IGBTs d'un module Mitsubishi CM150DY-12H, l' identification des trois paramètres

sous PACTE nous a fourni les résultats suivants:

UTT = 139.1 mV IsT = 353.2 µA RT=4768 µΩ

0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Vce calculé

Vce mesuré

Caractéristiques Statiques à Vge=15V

Figure 4- 21 : Superposition des caractéristiques statiques mesurée et simulée.

4.5. LA DIODE

Les relevés expérimentaux concernant les diodes sont très semblables à ceux pour les IGBTs,

avec un degré de liberté de moins: la commande.

4.5.1. Caractéristique statique

Cette mesure n'est pas nécessaire pour l'identification du modèle de diode [Morel-94].

Cependant, les autres modèles utilisent uniquement cette caractéristique.

Ic (A)

Vce (V)

CHAPITRE QUATRIEME

122

Nous avons procédé exactement comme pour l'IGBT. Le circuit utilisé est le même que

précédemment; nous avons simplement substitué la diode au transistor.

D

R

L

IGBT1

IGBT2

D3

Id

Vd Vge1

Vge2

E

Figure 4- 22 : Relevé des caractéristiques statiques d'une diode.

La caractéristique statique relevée pour une diode du même module est la suivante:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

50

100

150

200

250

300Caractéristique Statique CM150DY-12H

Vd (V)

Id (

A)

Figure 4- 23 : Caractéristique statique d'une diode du module utilisé.

4.5.2. Caractéristiques dynamiques

L’identification des paramètres du modèle « PIN » de la diode de puissance ne nécessite que

des mesures de la phase de blocage. Comme pour l’IGBT, trois conditions de commutation

sont nécessaires à l’optimisation de paramètres.


123

1. Commutation en régime nominal : Le courant a sa valeur nominale et la tension est fixée

aux 2/3 du maximum admissible (d’où la valeur de la résistance de charge).

2. Commutation sous tension moyenne : On conserve le courant nominal mais on divise la

tension inverse appliquée par trois environ.

3. Commutation sous faible tension : On conserve le courant nominal mais on divise la

tension inverse appliquée par six environ.

Le blocage de la diode est provoqué par la mise en conduction d'un IGBT après une phase de

roue libre. L'idéal est de disposer d'un transistor beaucoup plus rapide que la diode. Dans le cas

contraire, la pente du courant de recouvrement des charges stockées risque d'être fixée par le

transistor et non par la diode, donc en relation avec la durée de vie des porteurs de charge.

Alors, l'identification des paramètres est, au mieux, plus difficile et, au pire, complètement

faussée.

Le schéma adopté est le suivant:

D

R

L

IGBT1

Id

Vce

Vge1

E

t1 t2

+15

-15

Vge1(V)

t3

Figure 4- 24 : Circuit de relevé des caractéristiques dynamiques des diodeset chronogrammes de commande de l'IGBT.

La durée de conduction de l'IGBT fixe la valeur du courant direct dans la diode pendant la

phase de roue libre.

• La durée t1 permet de fixer la valeur du courant pendant le blocage de la diode.

• t2 doit être suffisamment long pour que la diode ait fini de passer à l’état « On ».

• t3 doit permettre d’observer la totalité du blocage.

Remarques:

• Pour limiter les problèmes de mode commun, il est préférable de connecter la

masse de l'oscilloscope (isolé de la terre) au plus près de la cathode de la diode. En

effet, ce potentiel varie peu durant les commutations et nous limitons l'effet des

capacités d'entrée des amplificateurs de l'oscilloscope.

CHAPITRE QUATRIEME

124

• Il est possible de simplifier la commande en utilisant deux IGBTs en parallèle.

• La diode sous test servira à décharger l'inductance après t3. Il faudra donc prendre

garde aux limites thermiques de ce composant et veiller à le laisser retrouver son

équilibre thermique entre deux essais.

Les courbes ainsi relevées ont l'allure suivante:

0 0 . 5 1 1 . 5 2- 5 0 0

- 4 0 0

- 3 0 0

- 2 0 0

- 1 0 0

0

1 0 0T e n s i o n V d ( V )

t ( µ s )

0 0 . 5 1 1 . 5 2- 1 0 0

- 5 0

0

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0C o u r a n t I d ( A )

t ( µ s )

Figure 4- 25 : Un relevé de blocage de diode.

Le processus d'identification est très difficile car, l'IGBT doit être déjà modélisé car la

commutation de la diode n'est pas découplée de celle du transistor.

4.5.3. Identification

Nous ne traiterons ici aussi, que le cas de la caractéristique statique. Nous avons procédé au

même type d'identification que pour l'IGBT. Cette caractéristique peut être approchée par:

Vd Id UId

IsR IdTD

DD( ) ln( ) .= + +1 Eq. 4- 12

Pour les diodes du même module (CM150DY-12H), nous avons:

UTD = 180 mV IsD = 80.4 mA RD=4192 µΩ

La superposition des mesures et du modèle donne ici aussi de très bons résultats:

Effet de l'inductance interne

La commutation est contrôlée par l'IGBT


125

0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

1.5

2

2.5

3Caractéristiques Statiques de la diode

Vd

(V)

Id (A)

Figure 4- 26 : Superposition des caractéristiques statiques mesurées et calculées.

4.6. IDENTIFICATION DES PARAMETRES DES MODELES MOYENS

Nous avons montré dans le deuxième chapitre que le modèle moyen d'un convertisseur peut

être construit à partir de simulations "fines" ou directement à partir de l'expérience. L'état

d'avancement des travaux sur l'identification des modèles comportementaux de l'IGBT

[Ammous-98] ne nous permet pas encore d'effectuer des simulations fines du convertisseur

complet. Nous allons donc nous intéresser aux mesures nécessaires à l'identification des

paramètres du modèle moyen de notre onduleur. Le modèle complet sera présenté dans le

chapitre suivant.

Comme nous l'avons déjà vu dans le cas du hacheur élévateur de tension (cf. Chap. 2-2), les

seules caractéristiques nécessaires sont les caractéristiques statiques et l'allure des retards

virtuels en fonction des conditions courant/tension de chaque composant à semiconducteur, de

la température et des valeurs des inductances parasites. Mais ici, ces deux derniers paramètres

sont fixés par l'utilisation d'un convertisseur donné, en régime nominal de fonctionnement.

Dans notre cas, nous considérerons que les caractéristiques statiques de toutes les diodes sont

identiques, de même que pour les IGBTs. Ceci est d'autant plus vrai que nous avons utilisé des

modules de type "bras d'onduleur" et que les différents modules achetés font partie de la même

série. Nous utiliserons les caractéristiques statiques identifiées précédemment.

Pour les retards virtuels, nous ne nous intéresserons qu'aux retards de type "tension" et

"courant". Notre modèle ne prendra donc pas en compte les pertes. En effet, le banc de test

CHAPITRE QUATRIEME

126

n'étant pas instrumenté pour ce type de mesure, nous n'aurions pas eu de référence pour

qualifier nos résultats.

Les retards virtuels ont été définis dans le deuxième chapitre, pour un montage de type

hacheur, à composants discrets. Nous sommes maintenant dans le cas d'un onduleur à base de

modules intégrés, et il convient de s'assurer qu'il est possible, en toute rigueur, d'utiliser la

même définition des retards virtuels.

4.6.1. Considérations sur les retards virtuels.

Les retards virtuels permettent de définir un signal S'(t), dit idéal, dont la valeur moyenne sur

une période T est identique à un signal S(t) quelconque.

S(t)

a b

S0

S1

c dt0 T

S'(t)

a b

S0

S1

c dt0 Ta' b' δoffδon

Figure 4- 27 : interprétation de la notion de retard virtuel.

Un retard virtuel δ est défini par (cf. Eq. 2-16, chapitre 2):

( )

( )δ =− −

−

∫s b a s t dt

s s

ba

b

b a

. ( ).

Eq. 4- 13

δon sera le retard virtuel à la mise en conduction du composant, et δoff sera le retard virtuel au

blocage.

Il nous faut donc calculer l'intégrale entre les bornes (a,b) du signal s(t).

La valeur du retard virtuel va donc dépendre du choix des bornes d'intégration. Or, la seule

contrainte sur les bornes d'intégration que nous pouvons définir clairement est:

Les bornes d'intégration sont choisies de manière à encadrer le transitoire du signal S(t) pour

lequel on veut calculer le retard virtuel.

C'est une définition assez vague et nous devons vérifier que le choix des bornes d'intégration

n'influera pas sur le résultat final.


127

Calculons, par exemple, le retard virtuel δon de la Figure 4- 27, pour les bornes (a,b):

( )δon

a

b

S b a S t dt

S S=

− −

−

∫1

1 0

. ( ).

Eq. 4- 14

Calculons maintenant ce retard pour les bornes (a',b'):

( )δ '

. ' ' ( ).'

'

ona

b

S b a S t dt

S S=

− −

−

∫1

1 0Eq. 4- 15

Or, nous avons:

S t dt S t dt S t dt S t dtb

b

a

b

a

a

a

b

( ). ( ). ( ). ( ).'

''

'

= + + ∫∫∫∫ Eq. 4- 16

d'où:

δ δ' ( ')on on a a= + − Eq. 4- 17

Le retard virtuel est donc défini relativement à la borne gauche d'intégration (a ou a'). Sa

position absolue sur l'axe des temps ne change évidemment pas. La borne droite n'a aucun

effet.

Pour nous affranchir de la définition relative des retards virtuels, nous choisirons

systématiquement comme borne gauche, l'instant d'apparition de la cause du changement d'état

du signal s(t). Par exemple dans le cas d'un transistor, nous choisirons les instants du

basculement du signal de commande:

S(t)

S0

S1

aon= t0Tbon aonaoff boff

0

1

aon= t0

Tbon aoff boffaon= t0 aoff+δoffaon+δon

Figure 4- 28 : Choix des bornes gauches d'intégration.

Alors, l'intégrale du signal s(t) peut s'écrire:

( ) ( )S t dt S T S S a aT

off on off on( ). . .0

1 1 0∫ = + − − + −δ δ Eq. 4- 18

La valeur moyenne du signal ne dépend donc que des deux états statiques, de la différence

entre les deux retards virtuels et de la durée de l'impulsion de commande.

CHAPITRE QUATRIEME

128

Appliquons maintenant ces définitions au cas de notre onduleur, nous localiserons les

inductances internes en un seul point mais le raisonnement reste valable pour des inductances

réparties:

1

2

L1

L2

IF

V1

V2

E

Figure 4- 29 : Un bras d'onduleur

Contrairement au hacheur traité dans le deuxième chapitre, nous sommes en présence d'un bras

d'onduleur constitué d'un module intégré. Nous n'avons donc pas accès au connexions des

différents composants mais à trois plots, séparés des composants par des inductances internes.

D'autre part nous trouvons systématiquement un IGBT et une diode tête-bêche.

Il nous faut donc vérifier que les délais virtuels déduits à partir de ces mesures permettent bien

de calculer la valeur moyenne de la tension de sortie. Nous effectuerons notre démonstration

pour la tension V1 et un courant positif, l'extension aux autres cas étant immédiate.

Effet de l'inductance interne:

Nous considérerons ici que l'effet de la Diode D1 est négligeable. En nous référant aux deux

figures précédentes, nous pouvons écrire, pour la tension V1 (le courant n'est pas affecté par

cette inductance):

( ) ( )δoff

off offa

b

off off La

b

a

b

S b a S t dt

S S

S b a Vce t dt V t dt

S Soff

off

off

off

off

off

=

− −

−=

− − −

−

∫ ∫∫1

1 0

1

1 0

1. ( ). . ( ). ( ).

Eq. 4- 19

( )

( )

( )

( )δon

on ona

b

on on La

b

a

b

S b a S t dt

S S

S b a Vce t dt V t dt

S Soon

on

on

on

on

on

=

− −

− −=

− − −

− −

∫ ∫∫0

1 0

0

1 0

1. ( ). . ( ). ( ).

Eq. 4- 20


129

or : ( )V t LdI t

dtV t dt L dI L I IL L1 11 1 1( )

( )( ). . . ( ) ( )= ⇒ = = −∫ ∫

α

β

α

β

β α et: I(aoff)=I(bon), (aon)=I(boff)

d'où:

V t dt V t dtLb

a

Lb

a

off

off

on

on

1 1( ). ( ).=∫ ∫ Eq. 4- 21

Nous avons montré précédemment que l'intégrale du signal ne dépend que de la différence

entre les retards virtuels. Si nous écrivons cette différence, les termes dépendant de

l'inductance L1 s'annulent.

L'intégrale de la tension aux bornes de l'IGBT ne dépend donc pas explicitement de la valeur

de l'inductance interne.

Effet du deuxième composant en parallèle:

Dans notre cas, la diode D1 est toujours bloquée. Elle se comporte donc comme une capacité

parasite. En négligeant l'inductance L1, nous pouvons suivre le même type de raisonnement

que précédemment, mais sur l'intégrale du courant I1. Nous arrivons ainsi au même type de

conclusion:

L'intégrale du courant I1 ne dépend pas explicitement de la capacité parasite équivalente au

composant bloqué en parallèle sur le composant qui commute.

Conséquences sur les pertes:

Le même type de facteur correctif a été défini pour les pertes dans le composant qui commute.

Ce sont toujours des retards, dépendant des conditions de commutation (E, IF), qui

représentent le temps supplémentaire que devrait conduire le composant pour dissiper en

statique la totalité des pertes. Par conséquent, si les pertes en commutation sont très

supérieures aux pertes statiques, ces retards peuvent être supérieurs à la période de

commutation. On peut trouver le même type de résultats pour les retards virtuels sur les

tensions si l'inductance de câblage était très grande. Cependant, elle provoquerait la destruction

du composant qui commute !

Ces retards virtuels sont calculés à partir de la moyenne du produit des signaux I(t) et V1(t).

Par conséquent, ils sont aussi indépendants des effets parasites internes au module décrits

précédemment.

CHAPITRE QUATRIEME

130

4.6.2. Mesure des retards virtuels

Le principe de mesure des retards virtuels est relativement simple: pour chaque composant, il

faut réaliser une mesure au blocage et à la mise en conduction, pour différentes valeurs de

tension et de courant. Les retards seront déterminés a posteriori.

En écrivant les différents retards virtuels en fonction de l'intégrale du signal réel pour le schéma

suivant, nous avons:

Figure 4- 30 : Cas de la mise en conduction de l'IGBT1 pour un courant IF positif.

Vce t dt Vce b a Vce Vceon T Von

on offb

a

( ). ( ) ( ).= − − −∫ δ 1 Eq. 4- 22

Vd t dt Vd b a Vd Vdoff D Von

off onb

a

( ). ( ) ( )= − − −∫ δ 2 Eq. 4- 23

E dt E b a Vce t dt V t dt Vd t dt V t dtb

a

a

b

Lb

a

b

a

Lb

a

. ( ) ( ). ( ). ( ). ( ).= − = + − −∫∫ ∫ ∫ ∫1 2 Eq. 4- 24

Avec:

Vce E Vd Ic Id

Vd Vce E Ic Id Ioff on off off

off on on on F

= + = == − = =

0Eq. 4- 25

D'où:

( )( ) ( )δ δD Voff

T Von

on on FVce E Vd L L I2 1 1 2 0. .− − − + + = Eq. 4- 26

De la même manière, pour le blocage de l'IGBT, nous pouvons démontrer que:

( )( ) ( )δ δD Von

T Voff

on on FE Vd Vce L L I2 1 1 2 0. .− + − − + = Eq. 4- 27

Donc, en sommant les équations 4-27 et 4-28, il vient:

δ δ δ δ δ δD Voff

D Von

T Voff

T Von

D V T V2 2 1 1 2 1 0. . . . . .− + − = + = Eq. 4- 28


131

δ δT V D V L L1 2 1 2. . ( , )= − ∀ Eq. 4- 29

En reprenant ces équations pour le courant, nous démontrons que:

δ δ

δ δδ δT I

offD Ion

T Ion

D Ioff T I D I L L

1 2

1 21 2 1 2

. .

. .. . ( , )

=

=

⇒ = − ∀ Eq. 4- 30

La symétrie du schéma nous permet d'extrapoler ces résultats à l'IGBT T2 et la diode D1.

Nous pouvons donc écrire:

δ δ δ δ δδ δ δ δ δ

T V T V D V D V T V

T I T I D I D I T I

L L1 2 1 2

1 2 1 2

1 2. . . . .

. . . . .

( , )= = − = − == = − = − =

∀ Eq. 4- 31

Pour définir complètement le modèle moyen d'un bras d'onduleur, en plus des caractéristiques

statiques, il suffit de connaître les retards virtuels pour un des quatre composants du bras en

fonction des conditions de commutation (E, IF).

Il est primordial d'effectuer ces mesures dans le contexte réel d'utilisation du convertisseur

pour fixer les valeurs de la température et des inductances parasites.

Pour plusieurs valeurs de courant, on relève la tension aux bornes du composant, le courant le

traversant et le signal de commande (niveau logique) ayant causé le changement d'état du

composant concerné (Figure 4- 31). Le signe du courant nous permet de savoir quel

composant conduit dans une cellule. Par exemple, pour un courant IA positif, le blocage et la

mise en conduction de l'IGBT n°1 sont causés respectivement par la disparition et l'apparition

du signal de commande V1. Par contre, pour un courant négatif, le blocage et la mise en

conduction de la diode D1 sont la conséquence de l'apparition et de la disparition du signal de

commande V2.

1

2

IA(charge)

I

V

I

V

Circuit d'aide à la commutationV1

V2

Commanderapprochée

+Vcc

-Vcc

Figure 4- 31 : Zoom sur la partie de l'onduleur où les mesures sont réalisées.

CHAPITRE QUATRIEME

132

Notons que le circuit d'aide à la commutation éventuel (un condensateur rapide dans notre cas)

doit être pris en compte par les mesures. Il faut donc mesurer le courant après ce circuit qui, en

règle générale, est câblé au plus près des composants à semiconducteur. L'insertion du capteur

nécessite donc une légère modification du câblage du convertisseur. Si cette modification est

réalisées avec soin, elle ne devrait pas affecter les paramètres de manière significative.

La figure suivante présente un exemple de mesures effectuées sur notre onduleur.

1,13 µs

1,16 µs

Blocage IGBT

Fermeture IGBT

,82 µs

,73 µs

Fermeture Diode

1,07 µs

1,16 µs

Blocage Diode

,73 µs

,76 µs

Ic1

V1

Vce1

Ic1

V1

Vce1

-Id2

Vd2

V1

-Id2

Vd2

V1

Figure 4- 32 : Exemple de mesures pour la détermination des délais virtuels

Nous constatons que les commutations sont principalement constituées d'un retard pur. En fait,

la majorité de ce retard est dû au temps de propagation du signal logique de commande à

travers le circuit de commande rapprochée. Par exemple pour le circuit hybride de commande

d'IGBT (M57959AL) utilisé dans nos circuits de commande rapprochée, le constructeur donne

les caractéristiques suivantes :

Table 4- 3 : Caractéristiques techniques des circuits hybrides de commande des IGBTs.

Min MaxtPLH (µs) 0.5 1 Temps de propagation lors du passage à l'état hauttr (µs) 0.5 1 Temps de montée du signal de commande de grille

tPHL (µs) 1 1.3 Temps de propagation lors du passage à l'état bastf (µs) 0.3 0.6 Temps de descente du signal de commande de grille


133

Ces délais ne dépendent pas (ou très peu) des conditions de courant et de tension de l'IGBT

commandé. Nous pouvons donc les considérer comme constants.

Durant nos essais, nous n'avons pas noté de variation importante des retards virtuels

(δ δon off− ) en fonction des conditions de commutation. Ces variations sont vraisemblablement

masquées par les temps de propagation des circuits de commande.

En première approximation, nous pouvons donc considérer cette différence comme

invariante par rapport au courant et à la tension.

Nous avons mesuré:

Table 4- 4 : Retards virtuels mesurés

Pour notre modèle moyen d'onduleur, nous aurons donc les paramètres suivants:

δ δT v T is s. .. .= µ = µ0 31 0 40 Eq. 4- 32

4.7. CONCLUSION

Dans ce chapitre, nous avons mis en place les différents outils qui vont nous permettre de

comparer les simulations de notre modèle de convertisseur à l'expérience. Pour ce faire, nous

avons dû modéliser les différents composants externes à l'onduleur (charge, condensateurs).

La première partie nous a permis de définir le problème de l'identification et de présenter les

principales méthodes numériques permettant d'optimiser un critère donné en faisant varier un

jeu de paramètres.

Nous avons ensuite présenté les méthodes de mesure et les modèles associés qui nous ont

permis de modéliser l'environnement électrique du convertisseur. Dans la mesure du possible,

nous avons essayé d'exploiter le convertisseur lui-même pour ces essais de manière à soumettre

les différents éléments à des excitations représentatives de leurs conditions de fonctionnement

normales. Ainsi, nous avons pu déterminer les paramètres des modèles de la charge et du bus

continu d'alimentation de l'onduleur. Un modèle d'inductance non linéaire s'est avéré

nécessaire. Notons que les non-linéarités n'auraient pas été observées si les mesures avaient été

effectuées à plus faible niveau. Enfin, ces méthodes d'identification in situ ont un intérêt

économique indéniable. Lorsque cela n'est pas possible, il convient d'utiliser un banc de

caractérisation dédié. C'est le cas des composants à semiconducteur. L'identification des

I=100A, V=300V pour les tensions pour les courantsRetard δ on δ off δ δoff on− δ on δ off δ δoff on−

IGBT 1 (µs) 0.82 1.13 0.31 0.76 1.16 0.40Diode 2 (µs) 1.07 0.76 -0.31 1.16 0.76 -0.40

CHAPITRE QUATRIEME

134

paramètres des modèles de comportement est un problème très complexe qui sort du contexte

de ce travail. Nous avons cependant présenté les grandes lignes de la méthodologie à adopter

pour effectuer les mesures nécessaires à l'obtention de ces paramètres, et nous avons déterminé

un modèle analytique de la caractéristique statique d'IGBTs et de Diodes.

Enfin, nous avons décrit la méthode nous permettant de déterminer les derniers paramètres

nécessaires à l'établissement de notre modèle d'onduleur: les retards virtuels. L'observation des

mesures et l'analyse des différents éléments entrant en ligne de compte pour la détermination de

ces retards nous ont permis de valider la démarche pour le cas des modules intégrés et limiter

le nombre de mesures à effectuer. En outre, les éléments utilisés dans notre onduleur nous ont

permis de considérer les retards virtuels comme constants. Le modèle de l'onduleur en sera

d'autant plus simple.

Le chapitre suivant est dédié à l'exploitation de ces différents modèles. Nous y établirons le

modèle moyen de notre onduleur et comparerons les résultats des simulations aux

expérimentations correspondantes.

Dans un contexte de commande en temps réel, le temps de calcul d'un modèle est primordial.

Nous conclurons donc le cinquième et dernier chapitre par une analyse de sensibilité

paramétrique de notre modèle, afin de déterminer le compromis précision complexité

correspondant à une application particulière.

CHAPITRE CINQUIEME

UN MODELE MOYEN D'ONDULEUR

Les chapitres précédents nous ont permis de mettre en place les différents éléments nécessaires

au développement du modèle de notre onduleur, à sa simulation et à la comparaison des

résultats à l'expérience, dans des conditions proches de celles des véhicules électriques (15 à

30kW).

Notre démarche s'est appuyée sur des principes théoriques formulés principalement à partir des

graphes de liens.

Dans les chapitres précédents nous avons identifié les paramètres des différents modèles

constitutifs de l'ensemble convertisseur / charge. En particulier, nous avons pris en compte les

non-linéarités de la charge (Chapitre 4).

Le deuxième chapitre nous a permis, dans le cas du hacheur abaisseur de tension, de

déterminer les différents éléments entrant dans la construction des modèles moyens:

caractéristiques statiques des composants à semiconducteur et retards virtuels prenant en

compte les phases de commutation.

Nous allons donc, dans une première partie, appliquer les différentes étapes de construction

des modèles moyens au cas de l'onduleur. Si celles-ci peuvent paraître laborieuses, elles sont

relativement rapides à appliquer dans les cas simples car, en fait, elles représentent l'expression

formalisée du "bon sens". Par contre, pour les convertisseurs plus complexes (à résonance par

exemple), il est raisonnable d'envisager une automatisation de la procédure.

Une fois ce modèle obtenu, il faut assembler les différents blocs (onduleur, charge, MLI et

commande algorithmique fournissant les références) dans le logiciel de simulation choisi. La

validation de notre modèle d'onduleur sera effectuée en comparant les résultats des simulations

aux mesures correspondantes. Pour cela nous définirons un critère d'erreur quadratique.

D'autre part, la précision de la modélisation induit une certaine complexité de la phase

d'identification. Afin de réduire celle-ci, nous ferons une étude pour apprécier la dégradation de

la représentation consécutive à une simplification du modèle de l'onduleur.

Enfin, nous verrons comment exploiter ce modèle, dans le cadre de l'automatique, pour

compenser les imperfections dues à l'onduleur. Nous appliquerons ces résultats au système de

commande en temps réel du banc d'essais.

CHAPITRE CINQUIEME

136

5.1. ETABLISSEMENT DU MODELE DE L'ONDULEUR

Avant de concevoir le modèle moyen de notre onduleur, il convient d'analyser le montage de

manière à aboutir à un modèle de cellule élémentaire, utilisable pour d'autres structures de

convertisseurs. En effet, si nous appliquons directement l'algorithme de construction de

modèles moyens au schéma de la Figure 5- 1, nous obtiendrons un modèle valable uniquement

pour l'onduleur triphasé.

1

2

E

3

4

5

6

R1 L1 R2 L2

R3L3

IA ICIB

Figure 5- 1 : Schéma simplifié de l'onduleur et de sa charge.

Les condensateurs de découpage (circuits d'aide à la commutation de la Figure 4- 32) ne sont

pas représentés. Les éléments grisés représentent les impédances des barres de connexions

identifiées au chapitre 4.

En émettant une hypothèse simple, nous allons simplifier considérablement le travail et aboutir

à un modèle modulaire:

Hypothèse 1:

Les condensateurs de découplage sont suffisamment efficaces pour fournir la totalité de

l'énergie pendant les phases de commutation sans que la tension à leur borne ne varie de

manière significative.

En fait, cette hypothèse revient à supposer que notre onduleur est de bonne qualité !

Si la totalité de l'énergie des phases de commutation est fournie (ou absorbée) par les

condensateurs de découplage, l'effet des inductances de câblage entre l'alimentation et le

condensateur est négligeable. Nous pouvons donc conclure qu'aucun des bras de l'onduleur

Un Modèle Moyen d'Onduleur

137

n'est influencé par les commutations des deux autres et que la tension aux bornes des

condensateurs est rigoureusement constante pendant la phase de commutation.

Nous sommes alors en présence d'un système composé de trois bras d'onduleur complètement

indépendants (au niveau des commutations).

La deuxième hypothèse est indispensable pour la construction du modèle moyen (et pour le

bon fonctionnement de l'onduleur):

Hypothèse 2 :

Le courant dans la charge varie très lentement par rapport à la fréquence de commutation. Il

peut donc être considéré comme constant durant ces phases.

Nous arrivons donc au schéma suivant:

1

2

3

4

5

6

IA ICIB

E

Figure 5- 2 : L'onduleur après simplification.

Les courants étant imposés par la charge et chaque bras étant indépendant, nous pouvons en

toute rigueur appliquer l'algorithme de construction de modèles moyens à un bras d'onduleur.

Le modèle de l'onduleur triphasé sera donc l'assemblage de trois bras.

CHAPITRE CINQUIEME

138

5.1.1. Modèle moyen d'un bras d'onduleur.

Nous allons donc établir le modèle moyen du bras d'onduleur suivant:

1

2

IVout

Iin

Vin

V1

V2

Charge

E

Alimentation

Iout

Figure 5- 3 : Le bras d'onduleur à modéliser. Les grandeurs sontcomptées positives telles que fléchées.

Etape A : Déduction du bloc de commutation:

La séquence de commande des interrupteurs est la suivante (notation binaire), nous y

reviendrons un peu plus tard:

S T T T T T T T T= 1 2 1 2 1 2 1 2. , . , . , . Eq. 5- 1

Pour la séquence de commutation donnée, les éléments qui changent d'état sont les composants

à l'intérieur du module et les inductances de câblage entre le module et le condensateur de

découplage (qui, dans notre schéma, ont été fusionnées avec les inductances internes au

module). En fait, dans ce cas, le bloc de commutation correspond à tous les composants

compris entre les deux sources idéales Vin et Iout.

Etape B: Identification des variables de port externes au bloc de commutation:

Le schéma ci-dessus est très clair à ce sujet. Les variables de port sont donc: Vin, Iin, Vout, Iout.

Etape C: Identification des variables d'entrée et de sortie:

La source de tension à gauche impose évidemment la tension Vin et la source de courant

impose le courant Iout. Ce sont nos deux variables d'entrée. Le modèle doit donc fournir la

valeur de Iin et Vout. Nous venons de faire une Analyse de Causalité Algébrique correspondant à

l'algorithme décrit dans le premier chapitre. Nous avons donc:


139

[ ][ ]

U V I

Y V I

in out

out in

=

=

,

,Eq. 5- 2

Etape D: Simplification du graphe de liens:

Cette étape a, en fait, déjà été effectuée en passant de la Figure 5- 2 à la Figure 5- 3. Notre

graphe de liens final a donc l'allure suivante:

Bloc decommutation

Se:E(Vin,Iin) (Vout,Iout)

1:l2 Sf:I

Se:g1

Se:g2

Figure 5- 4 : Graphe de liens simplifié du bras d'onduleur.

Nous reviendrons ultérieurement à l'expression des sources g1 et g2, commande du modèle

moyen du bras d'onduleur.

Etape E: Expression des variables de sortie du bloc de commutation.

Pour chaque état de la séquence de commande S (Eq. 5-1), nous allons écrire l'expression des

variables de sortie en fonction des variables d'entrée.

Nous devons ici préciser le fonctionnement du bras d'onduleur.

En effet, suivant le signe du courant I (Figure 5- 3), nous aurons deux modes de

fonctionnement pour la même séquence S. Ces deux modes correspondront donc à deux états

différents dans notre modèle. Si le courant est positif, seuls l'IGBT 1 et la diode 2 peuvent

conduire, et inversement. Nous allons donc dresser un tableau pour chaque état:

Pour I positif - T est la période de découpage.Séquence S T T1 2. T T1 2. T T1 2. T T1 2.

Durée T.ρM T.ρ1 T.ρM T.ρ2

T1 off on off offEtat des D1 off off off offcomposants T2 off off off off

D2 on off on onVout V2 E-V1 V2 V2

Iin 0 A Iout 0 A 0 ATable 5- 1 : Expression des variables de sortie en fonction des variables d'entrée pour I positif.

CHAPITRE CINQUIEME

140

Pour I négatif - T est la période de découpage.Séquence S T T1 2. T T1 2. T T1 2. T T1 2.

Durée T.ρM T.ρ1 T.ρM T.ρ2

T1 off off off offEtat des D1 on on on offcomposants T2 off off off on

D2 off off off offVout E-V1 E-V1 E-V1 V2

Iin Iout Iout Iout 0 ATable 5- 2 : Expression des variables de sortie en fonction des variable d'entrées pour I négatif.

Nota:

• T.ρM correspond à la durée des temps morts appliqués par la commande.• T.ρ1 correspond à la durée de la commande de l'IGBT n°1• T.ρ2 correspond à la durée de la commande de l'IGBT n°2Nous avons donc :

T.ρ1+T.ρ2+2.T.ρM = T Eq. 5- 3

Etape F: Calcul de la valeur moyenne des variables de sortie du bloc de commutation:

Il nous faut donc maintenant calculer l'intégrale de chaque variable de sortie sur une période de

découpage. En utilisant la notion de retard virtuel introduite précédemment et l'équation 4-16,

nous pouvons nous ramener à une formulation explicite de ces intégrales:

Pour I positif, nous avons:

( )[ ] ( )[ ]111 1T

VT

V V IT

V IoutT

T Vin ce out

T Vd out= +

− + − +

−∫ ρ

δρ

δ. . Eq. 5- 4

11T

IT

IinT

T Iout∫ = +

ρ

δ . Eq. 5- 5

Pour I négatif, nous avons:

( )[ ] ( )[ ]11 2 2T

VT

V V IT

V IoutT

T Vin d out

T Vce out= − +

+ + +

∫ ρ

δρ

δ. . Eq. 5- 6

11 2T

IT

IinT

T Iout∫ = − +

ρ

δ . Eq. 5- 7

Ces équations dépendent des caractéristiques statiques des IGBTs et des diodes, et des

rapports cycliques appliqués sur chaque IGBT par la commande. Il nous faut donc modéliser

cette dernière avant de pouvoir effectuer nos simulations.

5.1.2. Modélisation de la commande du bras

Nous devons ici prendre en compte la totalité de la chaîne de commande jusqu'aux entrées des

circuits de commande rapprochée du bras d'onduleur. Contrairement aux circuits analogiques,


141

les commandes "tout numérique" assurent une totale maîtrise de l'allure des signaux de

commande. Entre autre, le logiciel PACTE nous permet de reprendre directement l'algorithme

de modulation de largeur d'impulsion vectorielle écrit en C pour la carte DSP (cf. Chapitre 3).

Cet algorithme fournit la valeur des rapports cycliques théoriques appliqués sur les IGBTs

impairs de l'onduleur (ceux du haut).

Il ne nous reste plus alors qu'à modéliser le comportement de notre interface de génération

d'impulsion. Si nous nous référons à la Figure 3- 5, nous constatons que ce circuit se contente

de tronquer la durée correspondant au temps mort sur chaque impulsion de commande.

En appelant ρ le rapport cyclique calculé par la MLI vectorielle, et ρM le rapport cyclique

correspondant au temps mort ( ρτ

MM

T= ) nous avons:

ρ1 = ρ - ρM Eq. 5- 8ρ2 = 1 - ρ - ρM Eq. 5- 9

Mais il faut aussi tenir compte du fait que les rapports cycliques sont toujours compris entre 0

et 1. En effet, dans le cas où l'impulsion calculée par la MLI est inférieure au temps mort,

l'interface la fait tout simplement disparaître. Notons que ceci peut causer l'apparition de

composantes continues pour les forts taux de modulation. On préfère généralement assurer un

temps de conduction minimal (généralement égal à la durée des temps morts). C'est une

amélioration envisageable pour notre interface. On peut cependant, pour palier ce problème,

limiter l'excursion des rapports cycliques calculés par la MLI vectorielle.

Quoi qu'il en soit, notre modèle doit tenir compte de ces phénomènes aux limites que nous

pouvons exprimer par:

si ρM<ρ<1-ρM alors ρ1 = ρ - ρM et ρ2 =1 - ρ - ρM

si ρ<ρM alors ρ1 = 0 et ρ2 =1 - ρ - ρM

si ρ>1-ρM alors ρ1 = ρ - ρM et ρ2 = 0

Ou encore, en utilisant la fonction de Heaviside, H, nous avons:

( ) ( )ρ ρ ρ ρ ρ1 = − −M MH. Eq. 5- 10

( ) ( )ρ ρ ρ ρ ρ2 1 1= − − − −M MH. Eq. 5- 11

Enfin, les délais virtuels n'existent que lorsque les composants commutent, soit quand les

rapports cycliques sont différents de 1 et 0.

Nous obtenons donc le modèle moyen de bras d'onduleur à deux états suivant:

CHAPITRE CINQUIEME

142

Si I positif (ETAT 1):

( )Ψ = −H Mρ ρ Eq. 5- 12

( )ρ ρ ρ1 = −Ψ. M Eq. 5- 13

( )[ ] ( )[ ]VT

V V IT

V IoutT V

in ce outT V

d out= +

− + − +

−Ψ Ψρ

δρ

δ1 11. . Eq. 5- 14

IT

IinT I

out= +

Ψ ρ

δ1

. Eq. 5- 15

Si I négatif (ETAT 2):

( )Ψ = − −H M1 ρ ρ Eq. 5- 16

( )ρ ρ ρ2 1= − −Ψ M Eq. 5- 17

( )[ ] ( )[ ]VT

V V IT

V IoutT V

in d outT V

ce out= − +

+ + +

1 2 2Ψ Ψρ

δρ

δ. . Eq. 5- 18

IT

IinT I

out= − +

1 2Ψ ρ

δ . Eq. 5- 19

Les équations 5-12 à 5-19 forment notre modèle moyen du bras d'onduleur. Le temps mort est

un paramètre du bras d'onduleur.

Nous devons maintenant assembler les différents modèles obtenus pour réaliser la simulation.

5.1.3. La chaîne de commande en simulation

Nous avons utilisé le logiciel PACTE , pour développer et tester les différents modèles du banc.

Un des principaux avantages de cet outil est sa grande souplesse au niveau des formats d'entrée

qui permet de saisir les circuits à la fois en réseaux de Kirchhoff (pour la puissance) et en

graphes de liens (pour la commande). En outre, il permet de développer très rapidement des

modèles en M++ (langage de description de modèles ayant la syntaxe du C++), ou directement

en C++. L'utilisation de modèles compilés diminue les temps d'exécution.

Le schéma de principe de la simulation de l'ensemble est représenté ci-dessous:

• F est la fréquence du courant dans la charge• Vs est la valeur crête de la tension• M le coefficient de modulation.• Les inductances de la charge sont non-linéaires.


143

BrasA

E

IAIC IB

BrasB

BrasC

MLIVectorielle

ρaρbρc

F

Vs 1/E

VABVBC

VCA

VCM VBM VAM

ICA

IABIBC

I3 I2 I1 I0

M

Figure 5- 5 : Schéma de simulation du banc de tests.

La simulation de ce schéma sur un horizon de temps de 60ms (3 périodes électriques à 50Hz)

sur une Station de travail UltraSparc dure de quelques secondes à quelques minutes. Le même

type de simulation avec des modèles de comportement des composants à semiconducteur

durerait plusieurs jours. A cela, il faudrait rajouter plusieurs heures de post-traitement pour

calculer les valeurs moyennes (sur la période de commutation) des différents signaux découpés.

Enfin, les fichiers de sorties dans le cas des modèles moyens sont de quelques dizaines de Kilo-

octets contre quelques dizaines de Mega-octets dans l'autre cas (avant post-traitement).

Le gain apporté par les modèles moyens, en terme de coût de simulation, est indéniable.

Voyons maintenant leur niveau de fiabilité.

5.2. COMPARAISONS ENTRE SIMULATION ET EXPERIENCE

Pour déterminer le degré de précision de notre modèle, nous avons systématiquement comparé

les trois grandeurs suivantes (pour le bras A, par exemple):

• Le courant IA, directement fourni par le capteur de courant intégré à l'onduleur. Il est

représentatif de la qualité de modélisation des sorties du système. En effet, il est la

conséquence de l'application de la tension par l'onduleur sur la charge.

• Le courant I1. Ce courant est, en fait, découpé. L'information fournie par le second capteur

équipant le bras doit donc être filtrée de manière à n'observer que la valeur moyenne du

signal sur la période de commutation. Pour cela, nous avons utilisé un simple circuit (R, C)

dont la fréquence de coupure a été fixée à 1kHz.

• Le courant I0. Ce courant est la somme des trois courants I1, I2 et I3. Il fournit donc une

bonne représentation du comportement global du système simulé.

CHAPITRE CINQUIEME

144

Lorsqu'il était nécessaire de rechercher la ou les cause(s) d'un écart entre la simulation et la

mesure, nous avons observé la tension VAM. Cette dernière est, elle aussi, fortement découpée.

Il nous a fallu filtrer la mesure de manière à éliminer les harmoniques dus aux commutations et

éviter les problèmes de mode commun. Nous avons donc utilisé des sondes de tension

différentielles développées au laboratoire, associées à des filtres (R, C) (coupure à 1kHz).

Nous avons jugé de la validité de notre modélisation par la comparaison des réponses

temporelles associées à un critère d'erreur quadratique. En ce qui concerne le courant de sortie

(signal primordial dans un contexte de commande), nous avons déterminé un critère d'erreur

relatif correspondant à l'écart entre les valeurs efficaces du signal obtenu en simulation et en

mesure.

Ce critère est donc défini par la relation suivante:

ε =

−∫ ∫

∫

I t dt I t dt

I t dt

AT

AmesT

AmesT

BF BF

BF

2 2

2

( ). ( ).

( ).Eq. 5- 20

où: IAmes est le courant IA mesuré et IA est le courant IA simulé.

D'autre part, ε sera compté positif si la valeur efficace du signal simulé est supérieure à celle du

signal mesuré. Il sera compté négatif dans l'autre cas.

Pour chaque série d'essais, nous fixons la fréquence F du courant dans la charge et la tension

continue d'alimentation E. Nous faisons alors varier le coefficient de modulation M (ou la

tension Vs de consigne).

5.2.1. Au régime nominal

Pour se rapprocher du cas général des machines électriques triphasées, le régime nominal

correspond à une fréquence de 50Hz et une tension d'alimentation de 300V.

Pour trois valeurs du coefficient de modulation (20%, 50% et 90%), nous avons comparé les

trois courants IA, I1 et I0. Les mesures sont représentées en rouge. Le temps mort est fixé à

6µs. Cette valeur, supérieure à la valeur nécessaire (environs 3µs) nous permet d'apprécier plus

aisément les effets dus aux temps morts.


145

Figure 5- 6 : Comparaison simulation / mesure en régime nominal.F=50Hz - E = 300V - M variable et ρM=6µs.

Nous constatons une très bonne corrélation entre la simulation et l'expérience. Pour les faibles

taux de modulation, l'effet du temps mort appliqué par la commande est très net. Pour le

F E M

Fréquence: 50HzTension: 300VModulation: 50%




CHAPITRE CINQUIEME

146

coefficient de modulation de 20%, nous avons représenté les tensions et les courants pour deux

modules. Les distorsions du courant sont clairement les conséquences des discontinuités de la

tension, elles-mêmes engendrée par le temps mort. En effet, au changement de signe d'un des

trois courants (IA, IB ou IC), le bras d'onduleur concerné passe d'un état de fonctionnement à

l'autre. Si nous reprenons les équations du modèle (Eq. 5-14 et Eq. 5-18) et exprimons l'écart

sur la tension de sortie lors du changement de signe du courant, nous avons:

[ ]VT

VoutT V

in+ = +

Ψ ρδ

1. Eq. 5- 21

[ ] [ ]VT

VT

VoutT V

in MT V

in− = − +

= + +

1 22 1Ψ Ψρ

δρ ρ

δ. . Eq. 5- 22

Donc, si le courant passe de 0+ à 0-, l'écart de tension vaut:

V V Vout out M in+ −− = ×2ρ Eq. 5- 23

A 300V, avec un temps mort de 6µs pour un fréquence de découpage de 10kHz, nous avons

bien une discontinuité de 36 V.

Le graphique suivant présente l'erreur ε (Eq. 5-20) en pour-cent pour des tensions et des

coefficients de modulation variables à une fréquence de 50Hz

2050

90

100

200

300

400

-2,00-1,000,001,002,00

3,00

4,00

5,00

6,00

Err

eur

(%)

Modulation (%)

Tension (V)

Taux d'erreur du modèle moyen de l'onduleur

Figure 5- 7 : Erreur relative en % entre simulation et expérience à 50Hz.


147

Dans tous nos essais en régime nominal, l'erreur sur la valeur efficace du courant dans une

phase, commise en simulation, reste inférieure à 6%. Voyons maintenant d'autres conditions de

fonctionnement.

5.2.2. Aux autres régimes

Nous avons relevé les mêmes caractéristiques que précédemment pour différents taux de

modulation à 300V, mais pour des fréquences de 10Hz et 100Hz .

CHAPITRE CINQUIEME

148

Figure 5- 8 : Comparaison des courants pour des régimes autres.

De la même manière, nous avons représenté l'erreur relative en fonction de la fréquence et du

taux de modulation:






149

2050

9010Hz

50Hz

100Hz

-10,00-8,00-6,00-4,00-2,000,002,004,006,00

Err

eur

(%)

Modulation (%)

Fréquence (Hz)

Erreur relative en fonction de la Fréquence

Figure 5- 9 : Erreur relative sur le courant d'une phase en fonction de la fréquence à 300V.

Force est de constater que la qualité de la représentation des courants dans la charge se

dégrade rapidement avec la fréquence. Même si cette erreur reste, en valeur absolue, inférieure

à 10% son large domaine de variation (en valeurs relatives) peut être gênant.

L'approche causale de notre représentation peut nous permettre d'analyser si les erreurs de

modélisation sont globales ou localisées.

Rappelons la causalité du système: l'onduleur impose la tension et la charge impose le courant

correspondant. La comparaison simultanée des courants et des tensions sur la charge vont nous

apporter des éléments de réponse. La figure suivante présente quelques relevés effectués. Les

tensions relevées ont été filtrées de manière à être superposables aux tensions moyennes

fournies par la simulation, comme précisé précédemment .

CHAPITRE CINQUIEME

150

Figure 5- 10 : Comparaison des courants et tensions en dehors du régime nominal.

Outre les déphasages des tensions à 100Hz vraisemblablement introduits par notre filtre de

mesure, nous ne constatons pas d'écart sur les tensions justifiant l'erreur commise sur les

courants (sauf pour le premier relevé). Il semble donc que les erreurs proviennent






151

principalement du modèle de la charge. Les inductances auraient alors un comportement

dépendant de la fréquence.

Le premier relevé met en évidence un problème lié aux transitions entre les deux états du

modèle du bras d'onduleur. En effet, le changement d'état a lieu au changement de signe du

courant. Pour les faibles niveaux et les basses fréquences, le courant peut osciller autour de

zéro avant de changer définitivement de signe. Cette oscillation impose alors de nombreux

changements d'états du bras et, les temps morts appliqués par la commande créent les

discontinuités observées. Notons que, dans ce cas, la simulation est très ralentie. Il est probable

que, dans la réalité, l'effet des oscillations haute fréquence des courants (10kHz) avec de très

faibles niveaux de courant (qq mA) soient atténuées par des phénomènes non pris en compte

dans notre modélisation. Pour palier artificiellement ce problème, il est possible d'introduire

une hystérésis dans le test de changement d'état du modèle.

Nous venons de définir la pertinence de notre modèle d'onduleur. Comme nous l'avons montré

précédemment, c'est un modèle relativement simple et rapide à simuler. Cependant, même si

l'identification de ses paramètres ne pose pas de problèmes particuliers, il serait intéressant

d'étudier l'importance relative de chaque paramètre de manière à simplifier, si possible, la phase

d'identification, toujours problématique dans un contexte industriel.

5.3. SENSIBILITE DU MODELE D'ONDULEUR A SES DIFFERENTS PARAMETRES

Pour juger de l'importance de chaque paramètre du modèle de bras, nous avons comparé les

résultats obtenus en simulation pour différents niveaux de simplification du modèle:

Mesures (jaune);

Modèle moyen complet (noir);

Elimination des délais virtuels (rouge);

Elimination des caractéristiques statiques: composants idéaux (bleu);

Pas de prise en compte des temps morts: onduleur "parfait" (magenta);

La figure suivante nous permet d'apprécier les implications de chaque simplification dans deux

cas très distincts:

CHAPITRE CINQUIEME

152

Figure 5- 11 : Comparaison des simulations avec des modèles de bras d'onduleur simplifiés.

Notons tout d'abord que le modèle d'onduleur "parfait" est le plus éloigné des mesures. Ceci

est dû uniquement à la non prise en compte des temps morts appliqués par la commande. Cet

effet est d'autant plus flagrant que nous avons choisi un temps mort très important. Notons






153

aussi que l'écart entre simulation et mesure s'amenuise avec l'augmentation du taux de

modulation: le temps mort représente alors une proportion plus faible du signal de commande.

Aux forts niveaux, la prise en compte des caractéristiques statiques et des retards virtuels ne

semble pas indispensable. Par contre, à faibles niveaux (ou aux faibles taux de modulation)

nous notons un écart qui n'est cependant pas prohibitif dans un contexte d'automatique.

Il semble donc que, pour le développement d'algorithmes de commande, la seule prise en

compte du temps morts appliqué par la commande est indispensable (il est grand devant les

retards virtuels). Par contre, pour le dimensionnement global du convertisseur, il est nécessaire

d'avoir à sa disposition un modèle complet de l'onduleur pour l'analyse de phases transitoires

(démarrage de machine par exemple) où les courants dans la charge sont importants avec des

taux de modulation faibles.

Notons enfin que seul le modèle moyen complet peut fournir les pertes moyennes.

Notre modèle moyen d'onduleur nous permet donc de simuler notre système avec une bonne

précision. Il peut être utilisé dans une phase d'étude d'un convertisseur pour le

dimensionnement global des différents éléments, y compris des condensateurs électrolytiques

de tête. Nous avons mis en évidence l'effet des temps morts imposés par la commande. Ces

distorsions sont importantes dans les cas de faibles taux de modulation et/ou de basse

fréquence sur la charge. C'est typiquement le cas des démarrages de machine où de forts

courants sont fournis au moteur à des fréquences très basses (quelques Hertz) et sous de

faibles tensions.

Nous possédons un modèle qui représente assez fidèlement ces distorsions. Il serait donc

intéressant d'étudier l'aptitude de la boucle de commande à éliminer ou, tout au moins, atténuer

ces phénomènes qui peuvent poser de sérieux problèmes dans le contexte de la traction

électrique.

5.4. EXPLOITATION DES MODELES MOYENS EN AUTOMATIQUE

Dans le domaine de la traction électrique, les phases de démarrage sont les plus critiques. En

effet, c'est la plage de fonctionnement qui demande la plus grande qualité de couple. La

moindre oscillation aurait pour effet d'engraisser le carrossier du quartier.

Dans les machines électriques (à courant alternatif dans notre cas) le couple est lié aux

courants statoriques et au flux. Généralement, les machines utilisées en traction ont des

CHAPITRE CINQUIEME

154

enroulements créant une répartition sinusoïdale, de manière à ce que le couple soit le plus

constant possible pour des courants statoriques sinusoïdaux.

Pour l'ensemble convertisseur/machine, les harmoniques "basse fréquence" du courant sont les

plus influents sur le couple. Pour certaines valeurs, il peut même y avoir amplification de ceux-

ci.

L'onduleur et la MLI amènent des bruits significatifs sur les tensions: d'une part en hautes

fréquences (découpage à qq. kHz) et, d'autre part, en basses fréquences, à des multiples du

fondamental (MLI et temps mort).

Lorsque la fréquence du fondamental varie, les oscillations de couple seront plus ou moins

rejetées par les correcteurs. Pour améliorer la qualité du couple, il serait préférable de diminuer

l'amplitude des fréquences harmoniques perturbatrices en atténuant l'influence du temps mort

au niveau de la MLI.

D'autre part, ces distorsions, dans des cas très particuliers, risquent de déstabiliser les boucles

de contrôle. [Leggate-97] a publié une synthèse sur les effets de ces distorsions, les différentes

méthodes utilisées pour leur compensation et propose une nouvelle méthode basée sur la

compensation directe des impulsions.

La commande vectorielle de couple est basée sur le pilotage des courants diphasés équivalents

dans le repère (d,q). Ces deux courants sont obtenus par transformation de Park des courants

statoriques. Dans le cas sinusoïdal, les courants Id et Iq sont deux constantes. Si nous

appliquons cette transformation aux courants obtenus en simulation pour un onduleur idéal et

pour notre modèle moyen, nous obtenons bien des contantes pour le modèle idéal mais

observons un erreur statique et des oscillations pour le cas non-idéal (Figure 5- 12). La valeur

relative de ces oscillations est d'autant plus importante que l'onduleur travaille à faible

coefficient de modulation et/ou à faible fréquence. Leur fréquence est liée à la fréquence du

fondamental.


155

0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2- 5

0

5

1 0

1 5C o u r a n t s Id e t I q à 1 0 H z / 2 0 0 V / 2 0 %

0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3- 2 0

- 1 0

0

1 0

2 0

3 0


0 0 . 0 1 0 . 0 2 0 . 0 3 0 . 0 4 0 . 0 5 0 . 0 6- 1 5

- 1 0

- 5

0

5

1 0


Figure 5- 12 : Courants Id et Iq idéaux et non-idéaux, pour différents points de fonctionnement.

Les distorsions dues au convertisseur de puissance sont donc très gênantes, tant pour

l'oscillation de couple du moteur que pour la stabilité des boucles de contrôle. D'autre part, les

pertes d'amplitude dues aux imperfections (écart des composantes continues sur la figure ci-

dessus) ralentissent la dynamique en poursuite du système puisque c'est aux régulateurs à

compenser cette erreur.

La méthode de compensation des défauts que nous proposons est sensiblement identique à

celle de D. Leggate et R.J. Kerkman. La principale différence est que nous nous basons sur une

formulation explicite du problème (modèle moyen). Ceci nous permet d'envisager la

compensation de toutes les imperfections de l'onduleur, alors que la méthode proposée par

Id idéal

Id non-iéal

Iq non-iéalIq idéal

Id idéalId non-iéal

Iq idéal

Iq non-iéal

Iq non-iéal

Iq non-iéal

Iq idéal

Id idéal

Id non-iéal

CHAPITRE CINQUIEME

156

D. Leggate ne compense que l'effet du temps mort. Notons que cela est cependant suffisant

dans la majorité des cas.

La modulation de largeur d'impulsions considère que chaque bras de l'onduleur est un élément

idéal de gain égal au rapport cyclique de commande. Le principe de notre compensation des

distorsions engendrées par l'onduleur consiste à ajouter à chaque commande de l'onduleur un

terme correctif calculé pour que les tensions de sortie soient celles d'un onduleur idéal.

En écrivant cette égalité pour le modèle moyen d'un bras d'onduleur (Eq. 5-14 et Eq. 5-18),

nous obtenons:


( )[ ] ( )[ ]VT

V V IT

V I Vout MT V

in ce out MT V

d out in= + − +

− + − + − +

− =ρ ρ ρ

δρ ρ ρ

δρ∆ ∆. . .1 Eq. 5- 24


( )[ ] ( )[ ]VT

V V IT

V I Vout MT V

in d out MT V

ce out in= + + −

+ + − + + −

=ρ ρ ρ

δρ ρ ρ

δρ∆ ∆. . .1 Eq. 5- 25

d'où:


( ) ( )[ ] ( )( ) ( )∆ρ ρ

δ ρ= − +

− +

− +MT V ce out d out d out

in ce out d outT

V I V I V I

V V I V I. Eq. 5- 26


( ) ( )[ ] ( )( ) ( )∆ρ ρ

δ ρ= − + +

− −

− +MT V ce out d out ce out

in ce out d outT

V I V I V I

V V I V I. Eq. 5- 27

Le premier terme de chaque équation représente la compensation du temps mort appliqué par

la commande. Le second représente la compensation de l'effet des commutations des

composants à semiconducteur et le troisième prend en compte leurs caractéristiques statiques.

Nous avons implanté cette compensation sur le banc de test. Afin de déterminer l'importance

de chaque terme, nous avons programmé trois types de compensation correspondant à une

complexification croissante de celle-ci. Nous avons donc les quatre niveaux suivants:

Aucune compensation. [IABmes0, VABmes0]

Prise en compte seulement du temps mort (1er terme). [IABmes1, VABmes1]

Prise en compte du temps mort et des délais virtuels (1er et 2nd termes). [IABmes2,

VABmes2]

Prise en compte du modèle moyen complet. [IABmes3, VABmes3]


157

Les figures suivantes présentent les courants et les tensions d'une phase de la charge obtenus

sur le banc de test pour les différents cas et deux simulations correspondant au modèle moyen

complet [IAB, VAB] et au modèle idéal de l'onduleur [IABc, VABc].

Figure 5- 13 : Compensation des défauts de l'onduleur. Comparaison des résultats dans différents cas.En haut: 50Hz-300V-20% et en bas: 10Hz-200V-50%.

CHAPITRE CINQUIEME

158

Nous notons que la compensation unique du temps mort imposé par la commande permet de

s'affranchir de la majorité des distorsions. Les autres termes n'influent que sur la valeur efficace

du courant. Si nous comparons les temps d'exécution de l'algorithme de modulation de largeur

d'impulsions, nous obtenons les résultats suivants:

Figure 5- 14 : temps d'exécution de la MLI vectorielle.

L'écart d'environ 10µs entre le type 0 et le type 1 est dû aux temps d'acquisition des trois

courants. Les types 1 et 2 sont équivalents au niveau des temps d'exécution. Par contre, le

temps d'exécution est plus que doublé lorsqu'on prend en compte la totalité du modèle moyen.

En effet, il faut calculer la chute de tension à l'état passant de six composants à

semiconducteur, soit six logarithmes naturels, six divisions, douze produits et sommes

uniquement pour ce terme.

Si l'on compare les résultats obtenus dans notre cas, il est clair que la seule compensation du

temps mort est largement suffisante. Les distorsions sont bien compensées et le courant est

suffisamment proche de la valeur théorique. Les boucles de contrôle compenseront l'écart

résiduel sans problème.

Notons aussi que, même avec la boucle de compensation, des discontinuités sur les tensions

sont encore présentes. En effet, le bruit de mesure et la susceptibilité électromagnétique de la

carte DSP créent une légère erreur dans la détection du passage à zéro des courants.

Enfin, il faut remarquer que seul le signe du courant est nécessaire pour les deux premiers

types de compensation. Dans ces cas, nous pouvons donc envisager l'utilisation de capteurs

simplifiés fournissant simplement une information binaire. L'acquisition des courants dans la

tâche de calcul de la MLI, qui a lieu à la fréquence de découpage de l'onduleur, n'est plus

nécessaire. Alors, la compensation des défauts engendrés par l'onduleur n'augmentera pas le

temps d'exécution.

Type de compensation Temps d'exécution

0 13.5µs

1 23.4µs

2 23.4µs

3 57µs


159

5.5. CONCLUSION

Nous venons d'établir et de valider un modèle moyen d'onduleur triphasé à partir des théories

présentées dans les chapitres précédents.

Celui-ci est en très bonne concordance avec l'expérimentation tout en restant rapide à simuler:

l'erreur ne dépasse jamais 10% (vraisemblablement à cause du modèle de la charge) et est

proche de 1% dans les régimes nominaux. Nous pouvons donc envisager de l'utiliser tant pour

la conception des convertisseurs que des boucles de commande.

Ce modèle a été établi et testé grâce au logiciel PACTE et nous l'avons implanté sous

Matlab/Simulink de manière à ce qu'il soit exploitable par les automaticiens.

D'autre part, nous avons pu établir une méthode formelle de compensation des défauts

engendrés par l'onduleur.

Dans notre cas, comme souvent en forte puissance où les temps morts sont surévalués , seule

la compensation de ceux-ci est nécessaire. Les temps d'exécution ne sont alors pas dégradés de

manière significative et l'allure des courants dans la charge est correctement corrigée.

Cependant, dans les cas où les caractéristiques des composants à semiconducteur ne sont pas

négligeables (hautes fréquences de commutation, faibles tensions d'alimentation, ou temps

morts minimaux) l'utilisation du modèle complet de compensation s'impose.

Remarquons tout de même que le rapport cyclique ne peut pas être supérieur à un ou inférieur

à zéro. La compensation ne peut donc avoir lieu que sur une plage bornée de variation de la

commande. Autrement dit, pour les forts taux de modulation, compenser les défauts

reviendrait à fournir une tension de sortie supérieure à la tension d'alimentation (ou inférieure à

zéro). Les distorsions ne sont généralement pas importantes dans ce cas, mais, si l'on souhaite

appliquer cette correction sur toute la plage de puissance du convertisseur, il conviendra alors

d'augmenter sa tension d'alimentation de manière à disposer d'une réserve d'énergie suffisante

pour compenser les chutes de tension dans les composants et les temps morts de la commande.

Il faut donc prévoir une augmentation de la tension continue correspondant environ à:

( )Vcc Max. ∆ρ Eq. 5- 28

Rappelons enfin que toutes les procédures menées manuellement dans ce chapitre sont

automatisables et que le CEGELY travaille actuellement sur leur implantation dans PACTE. A

terme, le calcul d'un modèle moyen devrait pouvoir être réalisé très rapidement à partir de

simulations "fines", donc de modèles de comportement ou à partir d'essais systématiques, eux

aussi automatisables.

CONCLUSION

Le travail présenté ici nous a permis d'établir et de valider un modèle moyen électrique

d'un onduleur de tension triphasé. Celui-ci présente une bonne précision, tout en restant très

simple. En effet, il ne nécessite que la connaissance des caractéristiques statiques des

composants à semiconducteur (modèles de connaissance) et des délais virtuels, paramètres

représentant globalement les phases de commutation, choisis constants dans notre cas. Les

relations ainsi obtenues sont des équations algébriques simples et peuvent donc être utilisées

dans la majorité des logiciels de simulation d'électronique ou d'automatique. Il est aussi

possible d'exploiter ce modèle dans les boucles de contrôle pour compenser "a priori" les

distorsions engendrées par le convertisseur; et nous avons montré que, dans la majorité des

cas, seule la compensation des temps morts imposés par la commande était nécessaire. La

fiabilité du modèle et la faisabilité de la compensation ont été vérifiées sur un banc de test de

30kVA construit à cet effet. Ce banc comprend une source de tension continue variable, un

onduleur triphasé, une charge triphasée inductive et un système de commande à base d'un

ordinateur personnel équipé d'une carte DSP compatible avec Simulink, logiciel utilisé par un

grand nombre d'automaticiens. Un circuit numérique a été développé pour piloter facilement

les convertisseurs à découpage à partir d'unités de commande entièrement numériques.

L'intérêt des modèles moyens est de réduire le temps de simulation nécessaire à

l'observation des variables évoluant lentement devant la fréquence de découpage du

convertisseur. En effet, de tels systèmes sont particulièrement raides puisque, dans le cas des

modèles de comportement, il faudrait effectuer les calculs à un pas de temps inférieur au temps

de commutation du composant le plus rapide (ns), ceci sur un horizon temporel correspondant

à la contante de temps la plus grande de la charge (qq. secondes en traction). D'où des temps

de simulation prohibitifs (plusieurs jours!). De plus, l'identification des paramètres de ces

modèles reste simple et rapide à mettre en oeuvre, alors que celle des modèles de

comportement est particulièrement fastidieuse.

D'autre part, dans la première partie de notre travail, nous avons montré que, parmi les

différents formalismes de modélisation utilisés en électronique de puissance, seuls les graphes

de liens assurent certaines propriétés au système d'équations représentant le système à simuler.

Si ce système est causal, c'est-à-dire si chaque cause précède les effets (cas de tous les

CONCLUSION

161

systèmes physiques), nous obtenons un système d'Equations Différentielles Ordinaire qui

n'admet qu'une solution unique (théorème de Cauchy - Lipschitz). Un algorithme d'analyse de

la causalité a été présenté: l'Analyse de Causalité Algébrique. Celle-ci est implémentée dans le

logiciel de simulation en électronique de puissance développé au laboratoire: PACTE. Elle

permet de détecter les fautes de causalité, de situer leur cause, et, une fois le système causal, de

le mettre en équation. Notons qu'une erreur de causalité résulte généralement d'une erreur de

modélisation, ou d'une modélisation insuffisante, mais les erreurs de causalités non critiques

sont automatiquement corrigées de manière à pouvoir effectuer tout de même la simulation.

Les propriétés d'unicité de la solution ne sont alors plus garanties et les calculs ont de plus

grands risques de diverger.

Grâce à l'analyse de causalité algébrique, il est possible de construire automatiquement le

modèle moyen d'un convertisseur. Une procédure systématique a été présentée, mais elle

nécessite la connaissance des modèles de comportement de chaque composant du système et

de tous les éléments parasites. Cependant, dans une phase complète de conception d'un

convertisseur, ce type de données doit être disponible pour les simulations ayant pour objectif

l'observation des contraintes liées à la commutation des composants à semiconducteur.

Une fois cette procédure intégrée à PACTE, le logiciel déterminera automatiquement les

composants à intégrer au "bloc de commutation" et, après une série de simulations, fournira les

équations et le jeu de paramètres du modèle moyen de ce bloc.

Le principe de la modélisation par schéma électrique équivalent "moyen" s'applique aussi

bien aux grandeurs électriques que thermiques. Ainsi, il est tout à fait envisageable d'intégrer

les pertes et, éventuellement la température en différentes régions des composants.

Actuellement, les résultats obtenus ne sont pas suffisamment avancés pour être présentés ici.

Le problème réside dans la difficulté à mesurer les pertes dans les composants à

semiconducteur avec une précision suffisante. Un banc de mesures par calorimétrie, pour

l'identification des paramètres des modèles de comportement électro-thermiques des

composants à semiconducteur, est à l'étude. Cependant, l'identification directe des paramètres

des modèles moyens nécessite un fonctionnement du convertisseur dans des conditions réelles

et l'encombrement de ce dernier risque fort d'être incompatible avec ce type de mesure. Une

estimation des pertes, via un bilan des puissances entrée/sortie effectué d'après les mesures des

grandeurs électriques, est peut-être suffisante.

CONCLUSION

162

D'autre part, l'identification des différents paramètres des modèles moyens demande un

très grand nombre de points de mesures. Il serait très intéressant d'automatiser cette phase qui

ne pose pas de problèmes particuliers, tout au moins en ce qui concerne le transfert et le

traitement numérique des relevés expérimentaux. Le gain de temps serait alors considérable et

on pourrait envisager d'obtenir et de valider les paramètres du modèle moyen d'un

convertisseur correctement instrumenté en moins d'une heure.

Enfin, et c'était l'objectif principal de notre travail, les modèles moyens peuvent apporter

beaucoup dans la phase de conception des boucles de contrôle des machines électriques.

L'analyse de l'impact des distorsions engendrées par le convertisseur sur le couple moteur nous

indiquera si leur compensation est nécessaire ou non. Quoi qu'il en soit, cette dernière

permettra d'agir sur les courants avec une précision accrue, améliorant ainsi la qualité du

contrôle.

Une autre application de ce type de modèle peut consister en une commande optimisant

le rendement de l'ensemble convertisseur/machine, paramètre critique dans les véhicules

électriques à cause de la faible autonomie des batteries. Même si les pertes sont difficiles à

mesurer avec précision, rendant ainsi la validation du modèle aléatoire, leur tendance de

variation sera certainement correctement représentée. Ainsi, on pourra rechercher un minima

global des pertes de la chaîne de traction, à condition de disposer d'une image correcte des

pertes dans la machine.

Cette dernière remarque laisse entrevoir un problème qui commence à se poser dans la

commande des machines électriques: les limitations du modèle de Park. Un modèle prenant en

compte les saturations et donnant une image correcte des pertes va très rapidement devenir

indispensable. Les modèles basés sur les réseaux de perméances sont peut être une réponse. Il

serait aussi intéressant d'étudier l'aptitude de la théorie des modèles moyens à représenter les

phénomènes haute fréquence dans les machines.

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ANNEXE 1

L'Interface de Génération d'Impulsions

Cette page a été intentionnellement laissée vide

168

03 juillet 1997, version 2.1 NOTICE D’UTILISATION

• Entièrement compatible TTL/CMOS.

• Alimentation unique 5V.

• Faible encombrement.

• Contrôle de parité.

• Remise à zéro analogique etnumérique.

• Protection des sorties contre leserreurs.

• Visualisation de l’état des sorties.

• Sorties amplifiées.

DESCRIPTION

GENERALE

A base d’un circuit logique programmable de la famille ALTERA, l’interface de

modulation de largeurs d’impulsions permet de piloter jusqu’à trois

convertisseurs de type demi-pont ou bras d’onduleur. La fréquence de

découpage, le temps mort et les rapports cycliques des sorties sont

programmables en temps réel via un bus de communication au standard TTL.

Des signaux renseignent l’unité maître sur d’éventuelles erreurs de transmission

et sur l’état des sorties. L’interface prend en compte les signaux de sécurités

émis par la commande rapprochée (sur-intensité par exemple).

Les sorties sont capables de piloter directement des optocoupleurs.

CONDITIONS DE FONCTIONNEMENT RECOMMANDEES

Symbole Paramètre Min Max UnitéVcc Tension d’alimentation par rapport à la masse 4.75 5.25 VIcc Courant d’alimentation 0.5 AVI Tension continue d’entrée 0 Vcc VVO Tension continue de sortie 0 Vcc VIOUT Courant continu par sortie -20 +20 mATA Température de fonctionnement 0 70 °CVIH Tension d’entrée pour un niveau haut 3.5 VVIL Tension d’entrée pour un niveau bas 0.8 VFCLK Fréquence d’horloge 20 MHz

CEGELY

INTERFACE DEMODULATIONDE LARGEURSD’IMPULSIONS

GENERALITES

InData12

Strobe

Reset

Rdy

Error

DeltaT

IRQ

Run

AU

AD

BU

BD

CU

CD

int_reset

Secu

Xtal Vcc

Over_I

Interface de Modulation de largeur d’Impulsions - version 2.1

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CARACTERISTIQUES ELECTRIQUES SOUS CONDITIONS DE FONCTIONNEMENT RECOMMANDEES

Symbole Paramètre Min Max UnitéVOH Tension de sortie au niveau haut 4.5 Vcc VVOL Tension de sortie au niveau bas 0 0.5 VII Courant d’entrée -10 +10 µA

DESCRIPTION

FONCTIONNELLE

Les impulsions sont générées à partir d’une horloge de base fournie par un

oscillateur à quartz (FCLK). Leur fréquence, leurs rapports cycliques et la valeur

du temps mort sont programmés par l’unité maître via le bus de communication

et sont définis comme suit :

τM

τM

Impulsionsans temps mort

Impulsion complémentairesans temps mort

Impulsionavec temps mort

Impulsion complémentaireavec t emps mort

Tdec

τi

AU

AD

BU

BD

CU

CD

Tdec/2τi

Fig. 1 : Impulsions générées par l’interface.

Les différents paramètres sont :

• TDEC période de découpage.• τA grandeur définissant le rapport cyclique des deux sorties AU et AD.• τB grandeur définissant le rapport cyclique des deux sorties BU et BD.• τC grandeur définissant le rapport cyclique des deux sorties CU et CD.• τM valeur du temps mort.

Outre ces informations, le maître pourra envoyer un ordre de démarrage et un

ordre d’arrêt/remise à zéro.

Les nouvelles valeurs des rapport cycliques sont prises en compte à chaque

période de découpage. L’ancienne valeur sera appliquée pour les sorties qui

n’auront pas été mises à jour avant le début de la nouvelle période.


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Description des signaux

InData Bus de données de 12 bits.

Strobe Entrée de verrouillage des données. Les données sont mémoriséessur le front montant du signal Strobe et traitées lorsqu’il estredescendu.

Reset Entrée de remise a zéro. Active sur niveau bas.

Over_I Entrée de détection d’erreurs sur la commande rapprochée. Cetteentrée doit être au niveau haut en fonctionnement normal.

Rdy Sortie au niveau bas si l’interface est occupée.

Error Sortie signalant une erreur de parité. Elle est mise à jour sur le frontmontant de la sortie Rdy.

Run Sortie signalant que les six sorties MLI sont actives. Elle est mise àjour sur le front montant de Rdy.

DeltaT Sortie de synchronisation sur la période de découpage. Les donnéesprogrammées sont prises en compte sur le front montant.

IRQ Sortie déclenchant une interruption sur le maître demandant denouvelles données. IRQ est à l ‘état haut sur la première moitié deTDEC et passe à l’état bas sur la deuxième.

Xtal Entrée d’horloge de base (niveau TTL).

AU ... CD Sorties MLI : Trois paires de sorties (A, B, C) complémentaires etdécalées de la valeur du temps mort programmée.Une protection interne assure que les signaux d’une même paire nepeuvent en aucun cas être au niveau haut en même temps.

Int_reset Sortie signalant que l’interface est en mode de remise à zéro.

Secu Sortie signalant que l’interface a détecté un signal de défaut sur sonentrée Over_I. Cette sortie est maintenue à l’état bas jusqu'àréinitialisation de l’interface par l’entrée Reset.

SECURITES L’interface est équipée de deux de sécurités distinctes. L’activation d’une ouplusieurs de ces sécurités entraine l’arrêt et la réinitialisation de l’interface. Cessécurités on pour objectif de protéger le convertisseur de puissance.

• L’aparitition d’un niveau logique bas sur l’entrée Over_I force toutes lessorties MLI au niveau bas et effectue une réinitialisation de l’interface. Lessortie Secu et Int_reset passent alors à l’état bas. Le redémarrage del’interface ne peut avoir lieu qu’après disparition du défaut et une impulsionnégative sur l’entrée Reset.


171

• L’interface est muni d’un « watch-dog » interne qui a pour objectif dedétecter une inactivité trop longue de l’unité maître. Ce timer interne estremis à zéro lors de l’écriture d’un donnée quelconque dans l‘interface(parité correcte). Si l’unité maître n’écrit pas de donnée cohérente dansl’interface avant un temps correspondant à quinze périodes de découpage(TDEC), l’interface inhibe les sortie et se réinitialise. La sortie ini_reset passealors à l’état bas. Le redémarrage de l’inteface ne pourra alors avoir lieuqu’après une impulsion négative sur l’entrée Reset.

PROGRAMMATION La programmation de chaque variable est effectuée par une salve de 12 bits surle bus de données.

Sécurisationdes sorties

Temps Mort

NM

N0

NA

Séquencement Général et

Contrôle de Parité

12

2

7

AU AD

BU BD

CU CD

DiviseurNB

NC

ND

Générateur d'impulsionscentrées complémentaires

Temps Mort

Fig. 2 : Schéma bloc de l’interface.

Chronogrammes de programmation d’une variable.

InData

Strobe

Rdy

ts

td tt

Données stables

Symbole Paramètre Min Max Unitéts Temps de maintien de Strobe 1.5 TCLK std Délai de prise en compte TCLK stt Temps de traitement TCLK 4 TCLK s

N Le signal de Strobe ne doit en aucun cas remonter avant le retour à

l’état haut du signal Rdy (fin du traitement des données).


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Structure du bus de données.

Le bus de donnée est composé de trois parties :

P C2 C1 C0 D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0

Bit de parité

Code OpératoireDonnées

LSBMSB

• Le Bit de parité change de valeur pour assurer un nombre impair de bits à

1 sur le bus de données.

• Le Code Opératoire désigne l’opération à réaliser conformément au

tableau suivant :

Code Opération réalisée Taille desdonnées

000 Remise à zéro générale et arrêt 0 bits001 Programmation de la période de découpage 5 bits010 Programmation de la valeur du temps mort 6 bits011 Ordre de démarrage 0 bits100 Programmation de la valeur du rapport cyclique de la voie A 8 bits101 Programmation de la valeur du rapport cyclique de la voie B 8 bits110 Programmation de la valeur du rapport cyclique de la voie C 8 bits111 Non utilisé. Mais répond aux contraintes de parité.

• Les Données sont définies sur 8 bits max. Quelle que soit la taille des

données requise, le contrôle de parité est effectué sur les 12 bits du bus.

Programmation de la période de découpage TDEC.

La période de découpage vaut 512 fois la période de l’horloge interne T0. Cette

dernière est obtenue par division de l’horloge de base FCLK fournie par

l’oscillateur à quartz sur l’entrée Xtal.

Pour définir la fréquence de découpage, il faut donc programmer le coefficient

de division N0 défini sur cinq bits (32 valeurs différentes). Les trois autres bits

de données ne sont pas pris en compte. T0 vaut alors :

si N0 = 0 alors T0 = TCLK

si N0 > 0 alors T0 = 2N0.TCLK

et TDEC = 512.T0


173

Programmation de la valeur du temps mort ττM.

La valeur du temps mort, comptée en nombre de périodes de l’horloge interne

T0. Ce nombre, appelé NM, est défini sur six bits (64 valeurs différentes). Les

deux autres bits de données ne sont pas pris en compte.

N.B. : Pour des raisons de sécurité, si NM vaut zéro, la valeur du temps mort

sera de 64 T0. Nous avons donc :

si NM = 0 alors ττM = 64.T0

si NM > 0 alors ττM = NM.T0

Programmation de la valeur du rapport cyclique d’une voie ττi.

Le rapport cyclique d’une voie est défini à partir d’une variable intermédiaire

appelée Ni (i valant A, B, C ou D) représentée sur la figure 1. Ni est définie sur

huit bits et représente le nombre de périodes d’horloge interne pendant lequel la

commande U (de l’interrupteur du haut dans un bras d’onduleur) reste à l’état

bas avant de passer à l’état haut et sans considération de temps mort. Le rapport

cyclique ρi avant troncature du temps mort (celui que calcule généralement la

commande) vaut donc :

ρτ

ii

DEC

i

T

N= − = −1

21

256

.

Ordre de démarrage et de réinitialisation.

Il suffit ici de présenter le Code Opératoire correspondant. Les huit bits de

donnée ne sont pas pris en compte. Avant l’ordre de démarrage, les huit sorties

sont à l’état bas. Cette commande ne permet pas de réinitialiser l’interface en

cas de détection de faute de sécurité (voir plus loin).


174

ORGANIGRAMME

TYPE DE GESTION

DE L’INTERFACE

Lors d’une remise à zéro logicielle ou matérielle, les variables internes sont

remises à zéro. Dans ce cas :

T T

T TCLK

M CLK

i

0

64

0

==

=

.

τ

Si un ordre de démarrage est donné, les sortie Ui seront en permanence à l’état

haut est celle Di à l’état bas.

Pour éviter tout risque d’erreur, il est recommandé de respecter les

organigrammes proposés.

Gestion de l’interface: Programmation d’une variable:

non

oui

FIN

Remise à zéro

ARRET

Programmation Nc

Programmation Nb

Programmation Na

Programmation Nm

Programmation N0

DEBUT

oui

oui

oui

non

non

non

FIN

Rdy = 1

Error=1

Envoi des

12 bits

Rdy = 1

DEBUT


175

BOITIER

D’EVALUATION

Description

De dimensions réduites, ce boîtier permet de transporter rapidement l’interface

sur n’importe quel convertisseur de puissance. Deux diodes

électroluminescentes signalent la présence de l’alimentation (diode verte) et

l’état des sorties (bit « Run », diode rouge). L’oscillateur à quartz fournissant la

fréquence de base est interchangeable.

Il est équipé d’un connecteur de programmation et d’un connecteur de sorties.

La remise à zéro est automatique à la mise sous tension. Cette broche n’est

donc pas accessible.

Pour l’exploitation, un PC équipé une carte d’entrées/sorties numériques assure

une souplesse optimale.

Connecteur de programmation

Un connecteur de type Sub-D femelle de 25 broches permet de relier l’interface

à l’unité maître. Le brochage est le suivant :

N° Signal N° Signal

1 Masse 14 +5V2 P 15 Strobe3 C2 16 NC4 C1 17 NC5 C0 18 NC6 D7 19 NC7 D6 20 NC8 D5 21 Run9 D4 22 DeltaT

10 D3 23 Error11 D2 24 Rdy12 D1 25 IRQ13 D0NC = Non-Connecté


176

Connecteur de sorties

La connexion entre l’interface et le convertisseur de puissance est assurée par

un connecteur de type Sub-D mâle de 25 broches. Son brochage est le suivant :

N° Signal N° Signal

1 AU 14 Masse2 AD 15 Masse3 BU 16 Masse4 BD 17 Masse5 CU 18 Masse6 CD 19 Masse7 NC 20 NC8 NC 21 NC9 NC 22 NC

10 NC 23 Masse11 DU 24 Masse12 DD 25 Masse13 DeltaT

Par mesures de sécurité, ces 9 sorties sont séparées du ciruit logique

programmable par des circuits 74HC367 et répondent aux spécifications

électriques annoncées.

FOLIO ADMINISTRATIF

THESE SOUTENUE DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

NOM : LAUTIER DATE de SOUTENANCE(avec précision du nom de jeune fille, le cas échéant)

9 janvier 1998Prénoms : Philippe, Christian, Georges

TITRE : Modélisation des convertisseurs à découpage pour la conception et la commande:Application à l'onduleur.

NATURE: Doctorat Numéro d'ordre: 98 ISAL 0001

Formation doctorale : Dispositifs de l'électronique intégrée

Cote B.I.U. - Lyon: T 50/210/19 / et bis CLASSE :

RESUME :La grande disparité des échelles de temps dans les systèmes à base de convertisseurs à découpage, implique destemps de simulation prohibitifs dans un contexte de conception globale de l’ensemble ou de commande. Nousprésentons une méthode systématique de construction de schémas électriques moyens équivalents, communémentappelés "modèles moyens", permettant de représenter, avec une très bonne précision, les grandeurs variant lentementdevant la fréquence de découpage du convertisseur. La construction de ces modèles est basée sur le formalisme desgraphes de liens et l'analyse de la causalité algébrique. Ainsi, dans les cas de systèmes causaux, les équationsreprésentant le système n'admettent qu'une solution unique. Les risques de divergence de la simulation sont donclimités. Les méthodes de mesure et d'extraction des paramètres de ces modèles sont présentées et comparées auxbesoins des modèles de comportement. Il en ressort que ces paramètres sont plus simples à obtenir que ceux desmodèles de comportement. Nous avons appliqué ces principes au cas de l'onduleur triphasé. Un banc de test de30kW, équipé d'un système de commande "temps réel" a été mis en place et modélisé, pour la validation dessimulations. Les résultats obtenus sont très proches de l'expérimentation. La sensibilité du modèle du convertisseur àses différents paramètres a ensuite été discutée dans un objectif de simplification du modèle et des étapesd'identification. Dans la majorité des cas, seule la prise en compte des temps morts est indispensable. Enfin, unexemple d'exploitation des modèles moyens en automatique est donné. Il consiste à compenser les distorsions dues auconvertisseur de manière à se ramener à un convertisseur idéal. Cette compensation a été testée sur notre bancd'essais et donne de bons résultats, sans augmenter le temps de calcul de la boucle de commande.

MOTS-CLES : Electronique Puissance - Graphe Liaison - Onduleur -Modèle Moyen - Commande - Transistor Bipolaire Grille Isolée

Laboratoire(s) de recherche : CEGELY : Centre de Génie Electrique de Lyon

Directeur de thèse : Jean-Marie RETIF

Président de jury : F. FOREST

Composition du jury : J. BERETTA, J.P. CHANTE, B. de FORNEL, D. MEDAULE,H. MOREL, R. PERRET, J.M. RETIF

Modélisation des convertisseurs à docoupage pour la...

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