Continue et discréte€¦ · Chap.1/ 5 OBJECTIFS DU COURS Présentation des principes de...

Prof. B. Ould Bouamama Polytech’Lille « Automatique continue et numérique »

Professeur Belkacem OULD BOUAMAMA

Recherche : Responsable de l’équipe de recherche MOCIS Laboratoire d'Automatique, Génie Informatique et Signal de Lille (LAGIS ‐UMR CNRS 8219)

Enseignement: Professeur et Directeur de la recherche à Poltech’ lille

CoordonnéesPolytech Lille . Avenue Paul Langevin, F59655 Villeneuve d'Ascq cedexTél : (00) 328767397, GSM (00)667123020Mèl : Belkacem.ouldbouamama@polytech‐lille.fr,Page personnelle : https://wikis.univ‐lille1.fr/ci2s/membres/belkacem‐ould‐bouamama

1

AUTOMATIQUE.Continue et discréte

Ce cours et bien d’autres sont disponibles à https://wikis.univ-lille1.fr/ci2s/membres/belkacem-ould-bouamama


Partie 1

Automatique linéaire continue

2

Chap.1/ 3

AVANT PROPOS (1/2)Ce support de cours a pour but principal, sans être simpliste, de présenter avec une approche très pratique des

fondements de l’automatique linéaire que nous appellerons souvent la régulation automatique. Chaque outilmathématique utilisé, est étayé par des exemples industriels concrets.

Pour rendre le cours attrayant, ce polycopié est simplifié, pour plus de détail sur le contenu le lecteur pourra seréférer au cyber-cours introduit par l’auteur sur le réseau internet : http://www.univ-lille1.fr/eudil/belk/sc00a.htm

La régulation automatique, actuellement rebaptisée «automatique» est noyée dans les techniques modernes decommande (robotique, productique,cybernétique). Ceci est principalement dû à l’apparition initialement de l’électronique,puis vers les années 60 du microprocesseur et donc de l’informatique. Mais il est utile de souligner que les vieillestechniques de la régulation classique restent encore très utilisées dans des industries aussi complexes que le nucléaire parexemple, et elles ont encore de beaux jours devant elles car, la théorie en automatique avance bien plus vite que sonapplication et ça, parce que les moyens informatiques sont plus «performants» que la connaissance du système à traiter,c’est à dire le modèle mathématique, nécessaire pour la réalisation de la commande dite moderne. C’est pourquoi, il nous asemblé utile de réserver dans ce présent support une large place à la modélisation.

Dans le premier chapitre, nous présenterons les principes de la commande automatique avec des exemples desystèmes asservis et de régulation divers (de la poursuite d’une cible, régulation d’un four à la commande optimale d’uneunité de traitement de gaz en vue de minimiser le taux de pollution). La symbolisation normalisée des boucles derégulation dans l’industrie sera aussi présentée afin de permettre à l’étudiant de lire les schémas de régulation présentésdans l’industrie comme on lit un dessin de mécanique.

Avant de commander nous devons bien connaître le système, c’est pourquoi, dans le deuxième chapitre nousdévelopperons un aspect important de l’ingénieur qui est la modélisation et exposerons l’approche analogie des systèmesphysiques de type bond-graph « effort-flux». La méthodologie de la modélisation dynamique comportementale , par lamise en équation des systèmes physiques de nature différente sera appliquée sur des systèmes divers : mécanique,électrique, chimique. L’outil classique, mais inévitable en régulation - la transformée de Laplace avec surtout sesapplications pour la résolution des équations différentielles par la méthode des résidus, sera traité. On introduira enfin lesnotions et le sens physique de la fonction de transfert.

Chap.1/ 4

AVANT PROPOS (2/2)L’outil mathématique de l’analyse des systèmes traités dans le chapitre précédent servira dans le troisième chapitre àl’analyse des systèmes linéaires types. On insistera surtout sur l’analyse temporelle des systèmes (analyse indicielle etimpulsionnelle). L ’analyse fréquentielle, qui est plutôt un approche d ’électroniciens, n ’a pas un grand sen physique etpratique dans les processus énergétiques. En effet les perturbations de débit, température ou de pression varient enpratique plus sous forme d ’un échelon ou d ’une rampe que d ’une sinusoïde.Les systèmes linéaires types les plus importants (premier et deuxième ordre, avec retard pur...) seront traités par desexemples physiques variés (thermique, chimique, mécanique et électrique), des analogies seront à chaque fois soulignées..

Le quatrième chapitre propose la théorie de la stabilité des systèmes ave un approhe géométrique et algébrique.Le dilemme stabilité- précision sera traité sur la base d’un exemple concret de la régulation de la pression dans unréacteur. L’approche perturbation (qui est souvent omise par les étudiants) sera privilégiée car, en régulation, la consignereste en général constante. Le calcul des erreurs en poursuite et en régulation sera exposé. Concernant la stabilité, uneapproche académique sera abordée avec une plus grande insistance sur le critère du revers et le sens pratique des margesde stabilitéLe chapitre 5 sera consacré à la technologie et le réglage des régulateurs industriels. La constitution des régulateurs, lavérification, le rôle et le domaine d’utilisation des différentes action (P I et D) ainsi que «tout ou rien» seront discutéspratiquement.

Un projet d’analyse et de synthèse de la régulation d’un four tubulaire sera traité au sixième chapitre. Pour la synthèse, on mettra en évidence l’influence des actions P, I et D et de «tout ou rien» sur les performances du système, ainsi que celle du retard sur la stabilité. les limites de la régulation PID seront aussi mises en évidence, ce qui nous amènera à discuter sur les notions de la régulation avancée.Cette partie sera évidemment illustrée par un ensemble de travaux dirigés (TD) et pratiques (TP) portant sur la régulation de processus industriels.eLa deuxième partie sera consacrée à l’introduction à la commande numérique.

Malgré tout le soin apporté à la rédaction, l’auteur est conscient des imperfections qui peuvent encore subsister dans ce polycopié. Aussi, l’auteur est reconnaissant par avance des remarques que pourront lui adresser les lecteurs et les étudiants pour la perfection de ce support de cours.

Chap.1/ 5

OBJECTIFS DU COURS Présentation des principes de l’automatique continue (asservissement et régulation)

Maîtriser les outils mathématiques pour : l’analyse des systèmes physiques(modélisation, analogie des systèmes physiques) et des systèmes de commande (fonction de transfert, transformée de Laplace ,

analyse temporelle etc.)

Prendre connaissance des pratiques de la régulation industrielle sur des exemples concrets Technologie et réglage des régulateurs Choix et actions des régulateurs etc..

Méthodologie de la réalisation d’un projet d’un système de régulation cahier de charge, identification et synthèse du système de régulation montrer les limites de la régulation classique

Introduction à la régulation avancée.

Chap.1/ 6

AUTOMATIQUE ? Automatique ? Science traitant de :

La modélisation Analyse Commande Supervision des systèmes dynamiques continus et discrets

Actuellement automatique discipline transverseApplications :

Aéronautique, Automobile, Spatial, Procédés, Économie Sciences de la terre….

Chap.1/ 7

Chap. 1. INTRODUCTION 1.1 Historique et la régulation automatique aujourd’hui

Automatisation : Ensemble des procédés visant à réduire ou à supprimer l’intervention humaine dans les processus de production

La régulation automatique aujourd’hui : La régulation automatique, actuellement rebaptisée«automatique» est noyée dans dans les techniques modernes de commande- robotique, productique etc..,en raison surtout de l’apparition de l’électronique, puis vers les années 60 du microprocesseurs et donc del’informatique. Mais il est utile de souligner que les vieilles techniques de régulation classiques restentencore très utilisées dans l'industrie et elles ont encore de beaux jours devant elles car, la théorie enautomatique avance bien plus vite que l'application et ça, parce que les moyens informatiques sont plus«performants» que la connaissance du système à traiter c’est à dire le modèle. Il est aussi intéressant denoter qu’aujourd’hui, les mécaniciens souhaitent parrainer l’automatique car la robotique c’estl’automatique disent-ils et les informaticiens ont les mêmes ambitions car l’informatique industrielle estleur apanage. Et l’automatique dans tout ça ? Mais cette question, d’actualité d’ailleurs, est sans doute laconséquence des transformations des sciences de l’ingénieur subies grâce (ou a cause) de l’informatique.

Historique : 1840 : Régulateur de Watt (Besoins de l’industrie à vapeur)1945 : Deuxième guerre mondiale 1960 : Apparition de l’informatique (cosmos, traitement rapide de l’information, possibilité de

résolution des systèmes complexes etc..)

Importance : Qualité des produits finis, précision des opération , protection de l’environnement, répététivité des opérations etc..

Les 1er systèmes automatiquesClepsydre (sablier) de Ktesibios (-270 av. J.C)

Ktesibios introduit un réservoir supplémentaire dans lequel le volume de liquide reste constant grâce à un flotteur qui fermel'entrée du réservoir lorsque celui-ci est trop plein : c'est une chasse d'eau moderne.

Metier a tisser programmable 1728 :premier par cartons perfores par philippe Falcon

Chap.1/ 8

Les 1er systèmes automatiques (suite) L’industrie à Vapeur

1679 : Denis Papin développe la soupape de sécurité

1788 Régulateur de Watt (dit à boule) Réglage de la vitesse des trains à vapeur

Chap.1/ 9

Chap.1/ 10

EVOLUTION DE L’AUTOMATIQUE

Etude des processus de commande

CYBERNETIQUE,BIONIQUE

Analogie monde animal technologie

MACHINE A VAPEUR 1er régulateur de WattMécanisation, procédé

2ème GUERRE MONDIALE Les systèmes suiveursElectronique, missile

INFORMATISATION Régulateurs numériques

AEROSPATIALE Robotisation, IA

Chap.1/ 11

LES SYSTEMES AUTOMATISES AUJOURD’HUIMaintenance

List of faultsDIAGNOSTICTechnical

specification

ObservationsControl signals

Set points

SENSORSControl

INPUT OUTPUT

FTC Level

Chap.1/ 12

1.2 DÉFINITIONS

Système : Ensemble organisé dans un but fixé ou ensemble de processus physiques-chimiques en évolution et de procédés de réalisation de ces procédés.

Petits et grands systèmes

Signal Grandeur physique générée par un appareil ou traduite par un

capteur

SYSTEMEEntrée Sortie

Signal d’entrée

Commandable Non commandable

Signal de sortie

Observable Non observable

Chap.1/ 13

1.3. SYSTÈMES DE COMMANDE1.3.1. Composition d ’un système de commande

1.3.2 Paramètres d’un système de commandeConsigneAction de commandePerturbations Paramètre à commander

PERTURBATIONS

SYSTÉMEDE

COMMANDE

SYSTÉMEÀ

COMMANDER

ORDRES

PARAMETRE A COMMANDERACTION DE

COMMANDE

Chap.1/ 14

1.3.3 EXEMPLES DE SYSTÈMES DE COMMANDE 1. Réglage de la vitesse d’une voiture

2. Réglage de la température d ’un four

Temp. ExtérieureDébit produit à chauffer

FOUR

Action de commande (débit du gaz combustible)

VANNEDE

REGLAGE

TsParamètre à réglerMaintenir température

constanteQG

Etat de la route

VOITURE

Action de commande (Débit d ’essence)

SYSTEME DE REGLAGE DE

VITESSE

Maintenir vitesse constante

Vitesse de la voiture

Produit chauffé

Gaz combustible

Produit à chauffer Ts

QG

QP

Chap.1/ 15

Avantages et inconvénients : Rapide, stable, simple mais pas précis

Z (débit d’entrée)

FOUR

Action de commande (débit du gaz combustible)SYSTÉME DE

REGLAGE

Ordre (T=37°c) Ts

Croisons les doigts pour que ça marche puisqueje n’ai aucune information sur la sortie, je suis aveugle .

Vitesse

Etat de la route

VOITUREdébit d’essenceSYSTÉME DE

REGLAGEOrdres vitesse limitée

Pourvu que que la vitesse ne soit pas limitéecar la voiture n ’est pas équipée d ’indicateur de vitesse

1.4 CONCEPTION D’UN SYSTEME DE COMMANDE

1.4.1 système à boucle ouverte (open loop system)

Chap.1/ 16

1.4.2 Système en boucle fermée

Avantages et inconvénients : Précis et régulé mais complexe, risque d’instabilité agit sur l’erreur de réglage


FOUR

Action de commande (débit du gaz combustible)VANNE DE

REGLAGE

Objectifs (T=37°c) Ts

CAPTEUR DE TEMPERATURE

Je compare ce que je veux et ce que je reçoiset j’agis en conséquence sur la vanne de réglage.Je corrige jusqu’à ce que Ts=37°c

Grandeur réelleConsigne

VOITURE

CAPTEUR DE VITESSE

PEDALE DE VITESSE

Je regarde la vitesse indiquée par le compteur et j accélère ou décélère en agissant sur la pédale pour maintenir la vitesse toujours égale a celle fixée.

Consigne: V=cste

Vitesse débit d’essence

Chap.1/ 17

1.4.3 Automatismes à boucle combinée


FOUR

Action de commande (débit du gaz combustible)VANNE DE

REGLAGE

Objectifs (T=37°c) Ts


Consigne

Détermination du débit de gaz nécessaire pour assurer la valeur de température désirée :j’anticipe

Calculateur

Avantages et inconvénients : Rapide et précis, anticipe les perturbations mais très complexe Et nécessite des calculateurs des modèles

Chap.1/ 18

1.5 FONCTIONNEMENT D ’UN SYSTEME DE CONTRÔLE

1.5.1 BUT D ’UN SYSTÈME DE CONTRÔLE : Atteindre le but (consigne) quelque soit l ’effet des perturbations extérieures).

1.5.2 SYSTÈME ASSERVI ET LE COMPORTEMENT HUMAIN

OBSERVATION

Objectif

ACTIONREFLEXIONUr

SYSTEMEPHYSIQUE

Uc

Perturbations

Réalité

Chap.1/ 19

1.5.3 Schéma fonctionnel d’un SRA

C : Consigne (set value), E : écart de régulation (departure, error signal) U : signal de commande (control signal)Y : variable de sortie ou variable à régler ou mesure (mesured value)Z : perturbation (disturbance)M : grandeur physique à la sortie du capteur (courant, pression, ...)

REGULATEUR PROCESS

CAPTEUR

C

(-)

+ U Y

Zchaîne de puissance

chaîne de contre réaction (de faible puissance)

M

E

Chap.1/ 20

1.5.4. Éléments d’une régulation analogique

C E+

PROCESS

(-)

TRANSMETTEUR

M

YU

4-20 mA0,2-1 bar0-10v

REGULATEUR ANALOGIQUE

Z

On peut aussi avoir:CEP : Convertisseur Electro-pneumatiqueCPE : Convertisseur Pneumo-électrique

CAPTEUR

Chap.1/ 21

5.5. Eléments d’une régulation numériq

CNA : Convertisseur Numérique AnalogiqueCAN : Convertisseur Analogique Numérique

C E+

PROCESS

(-)

CAPTEURTRANSMETTEUR

CNA

M

YUn Ua

CAN

Chap.1/ 22

1.5.6. ASSERVISSEMENT ET RÉGULATION

Asservissement:Un système asservi est un système dit suiveur , c’est la

consigne qui varie. Exemple : une machine outil qui doit usiner une pièce selon un

profil donné, un missile qui poursuit une cible, pilotage automatique d ’un avion.

Régulation :Dans ce cas, la consigne est fixée et le système doit

compenser l’effet des perturbations, à titre d’exemple , le réglage de la température dans un four, de la

pression dans un réacteur, le niveau d’eau dans un réservoir.


EXEMPLES DE SYSTEMES DE COMMANDE

Chap.1/ 23

AntenneMoteurContrôleur-

+

Position désirée Pd

U CouplePosition Antenne P

Pm

E=Pd-Pm

Z (perturbation, vent)

Capteur de position

Actionneur

ANTENNE_DEMO.lnk (Ligne de commande)

Régulation de niveau

RéservoirMoteur+pompeContrôleur-

+

NiveauDésiré hc

U Qp

Niveau h

hr

E=hc-hr

Z (perturbation, Fuite d’eau)

Capteur de niveau

Actionneur

NIVEAU_DEMO.lnk (Ligne de commande)

Asservissement de la position d’une antenne

Chap.1/ 25

1.6. EXEMPLES DE SYSTEMES AUTOMATIQUES

+

U

M

CY

(-)

E

AvionGouvernail

Gyroscope

Contrôleur-

+C U Ur y

M

E

A) Suivi de la trajectoire d’une cible

Chap.1/ 26

B) Régulation de la température d’un four

FourVanne

Thermocouple

ContrôleurT

-

+Tc U Ur Ts

Gaz combustible

Pétrole brut Pétrole chaufféTs

THERMOCOUPLE

CORRECTEUR

CONSIGNE

+-

Tc

(Ts-Tc)

U

Vanne de réglage

Chap.1/ 27

C) RÉGULATION DE LA TEMPÉRATURE D’UN ÉCHANGEUR THERMIQUE

EchangeurVanne

Thermocouple

Régulateur T

-

+Tc Uc Ur TsZ

Vapeur

Produit chaufféThermocouple

Produit à chauffercondensât

120160

180200

Régulateur

Uc

Ur

TsTc

Systéme de régulation : PID

Chap.1/ 28

Eau

Jus de fruit concentré

Mélange de concentration Cs et de Débit Qs

FRC1

Qc

Qs(t), Cs(t)

Qe(t)Qjc(t)

AT1

AIC1

C2

C1u2

u1

M2

M1

But ; Réguler la concentration Cs(t) du produit et du débit de sortie Qs(t)Paramètres à régler : Qs(t), Cs(t), Paramètres réglant : Qe(t) et Qjc(t)

FT1

V2V1

Systéme de régulation : Bloc Diagramme

Chap.1/ 29

REGULATEUR

(-) Qse

Cs

+

+AIC

Vanne1+conduiteFRCC1

C2(-)

PROCESS

M1

M2

Qe Qs

Vanne2+conduite

QC

Qsc

+

Mélangeur21

Mélangeur22

Mélangeur11

-

CseMélangeur12

Systéme de régulation : Schéma fonctionnel

Chap.1/ 30

REGULATEUR

(-)W11(p)

W22(p)

Qse

Cs

+

+ -AIC

FRCC1

C2(-)

W12(p)

W21(p)

PROCESS

M1

M2

Qe Qs

Cse

QC

Qsc

+

Chap.1/ 31

Echangeur de chaleur

1.7 SYMBOLISATION DES BOUCLES DE REGULATION (P&ID)

Prod

uit à

cha

uffe

r

ORDRE DES LETTRES DANS UNE DESCRIPTION1 2 3

Grandeur mesurée et/oucontrôlée

Fonction des éléments de la boucle Régulation ousignalisation

T Température I Indication C ControléP Pression R Enregistrement S SécuritéF Débit L Bas (Low)A Composition

d'un produitH Haut (High)

J Puissance D DifférenceI CourantZ PositionR RadioactivitéE tensionV ViscositéM HumiditéW PoidL Niveau

Exemple : TRC

Temperature Registered and Controlled

TRC1

TI2

PHS5

FI9

TR3

condensât

Vapeur Produit chauffé

Piping and Instrumentation DiagramPlan des Instruments Détaillés

Chap.1/ 32

1.8. NIVEAUX D’UN SYSTEME AUTOMATISE

OPTIMISATIONECONOMIQUE

SALLE DE CONTROLE

OBJECTIFS

PROCESS

REGULATIONLOCALE

COMMANDEAVANCEE

OPTIMISATIONSTATIQUE

Chap.1/ 33

1.9 AUTOMATISATION & L’ENVIRONNEMENT

QOHSSOSH

i

d

K

K 2222 25.1.2

QOHSSOSH

i

d

K

K 2222 25.1.2

R

SHCOSSO 22 ,,

SO2

S S

Réacteurcatalytique

Réacteurcatalytique

O2

H2S SO2

FRH SS O

2

2

C a lc u l c o n s ig n e G a za ir

H SS O

H SS Or é e l o p t im a l

2

2

2

2

A

C a lc u l F F H S S Ote l q u e

a G( , ,% ,% . . . )

m a x .2 2

C a lc u l F F H S S Ote l q u e

a G( , ,% ,% . . . )

m a x .2 2

.min SObjectif

.min SObjectif

Ro

Chap.1/ 34

1.10 AUTOMATISATION INTÉGRÉE

Supervision

Monitoring

Regulation

Instrumentation

Entrée Sortie

Aide à la conduite planification, diagnostic interface homme machine

Suivi de l’état du processus Visualisation

Commande logique, régulation Optimisation

Choix et implémentation des capteurs et actionneurs

ObservationsDécisions

Niveau 3

Niveau 2

Niveau 1

Niveau 0

Chap.2/ 35

Chapitre 2

DESCRIPTION MATHEMATIQUE DES SYSTEMES PHYSIQUES

Objectifs du chapitre :

Maîtriser : L’outil mathématique pour l’analyse des systèmes

(transformées de Laplace), la méthodologie de la modélisation comportementale de la

dynamique des systèmes physiques étayée par un ensemble d’exemples industriels, Manipulation des fonction de transfert des systèmes

Chap.2/ 36

2.1. Méthodologie de l’analyse des systèmes

CORRECTEUR PROCESS

(-)

+C E U M

M

Concevoir un SRA précis, stable et rapideComment ?

Analyse (comprendre le process)Synthèse (choisir un « bon » correcteur)

2.1.1 Analyse et synthèse

But de l ’automaticien

Chap.2/ 37

2.1.2. Analyse et synthèse des systèmes

Déf. du process et des objectifs E/S

Lois physiques, bilan, hypothèses

Planification des expériences

Acquisition de données

Estimation des paramètres

Choix de la structure du modèle

Connaissance à priori

Choix du critère d’identité

Synthèse de régulation

Simulation

Modèle de connaissance

CAHIER DE CHARGE

AN

ALY

SE

conn

aiss

ance

Validation sur site

Réalisation définitive

Modèle de conduite NonOuiadéq.

Logistiqueactionneurs, régulateurs, transmetteurs...

SYN

THE

SE

com

man

de

Chap.2/ 38

2.1.3 Propriétés des systèmes linéaires

Définitions Un système physique est dit linéaire si son comportement est décrit par des équations

différentielles linéaires à coefficients constants.

ai et bi sont des constantes.

Exemple

SYSTEMEx (cause) y (effet)

a x t a dx tdt

a d x tdt

a d x tdt

b y t b dy tdt

b d y tdt

b d y tdt

Conditions initiales CI t x t x y t y

n

n

n m

m

m0 1 2

2

2 0 1 2

2

2

0 0 0 00

( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )

: , ( ) , ( )

U

s(t)

E R C Us t RC dUs tdt

E t

Conditions initiales CI t E t E Us t Us

( ) ( ) ( )

: , ( ) , ( )

0 0 0 0 0

Chap.2/ 39

2.1.3 Propriétés des systèmes linéaires 1. Propriété de superposition Si x1 donne effet à y1, x2 à y2 alors x1 + x2 donne effet à y1 + y2

2. Propriété de proportionnalitéSi x1 donne effet à y1, alors Kx1 donne effet à K y1

D’une façon générale : si les entrées x1 (t) et x2 (t) provoquent l’évolution des sorties y1(t) et y2 (t)

alors K 1x1 (t) + K2 x2 (t) provoque la sortie y(t) = K1 y1 (t) + K2 y2 (t)

Chap.2/ 40

2.3 Modélisation des systèmes physiques

2.3.1 Définitions

Modélisation ? : Ensemble des procédures permettant d’obtenir un modèle Modéliser un système = capable de prédire le comportement du système Subjectivisme de la modélisation : modèle = intersection du système et du modélisateur Modèle jamais "exact"?

2.3.2 Importance Outil d'aide à la décision., Support de la simulation, Représente 50 % d’un projet de commande Perspectives grâce à l'informatisation

2.3.3 Un modèle pourquoi faire ? Concevoir, Comprendre, Prévoir, Commander (décider).

Chap.2/ 41

2.3.4 Un modèle comment faire ?1. MODELE DE CONNAISSANCE Obtenu sur la base des lois physiques, économiques etc.. Difficultés de décrire fidèlement les phénomènes complexes; Hypothèses simplificatrices; Dilemme- précision-simplicité Un modèle simple est faux, un modèle compliqué est inutilisable. Les paramètres ont un sens physique donc modèle commode pour l'analyse.

2. MODELE DE REPRESENTATION Système "boite noire"; Expérience active (système dérangé) ou passive (aléatoire); Etape qualitative (connaissances a priori) et quantitative; Paramètres du modèle n'ont aucun sens physique; Modèle de conduite (modèle E/S) utile pour la commande; Complément du modèle de représentation.

Chap.2/ 42

2.3.5. Classification des modèles1. selon le caractère des régimes de fonctionnement

statique et dynamique

2. selon la description mathématique linéaire, non linéaire

3. selon les propriétés dynamiques à paramètres localisés, à paramètres distribués

4. selon l’évolution des paramètres : stochastique , déterministe

5. selon le nombre de variables : monovariable (SISO) , multivariable (MIMO)

Chap.2/ 43

PROCESSUS PHYSIQUE


SIMULATION, MONITORING, CONTROL...

Amélioration du modèle

NON

2.3.6 Différentes étapes de la modélisation

Etablissement du schéma de principe

Représentation par bloc

Mise en équation

Modèle adéquat ?

Calcul erreur de modélisation

OUI

Chap.2/ 44

2.3.7. Analogie des grandeurs physiques : Notion des bond graphs

Founder of BG : Henry Paynter (MIT Boston)The Bond graph tool was first developed since 1961 at MIT, Boston, USA

by Paynter

Symbolism and rules development : Karnopp (university of california), Rosenberg (Michigan university), Jean

Thoma (Waterloo)

Introduced in Europe only since 1971. Netherlands and France ( Alsthom) Teaching in Europe

France : Univ LyonI, INSA LYON, EC Lille, ESE Rennes, Univ. Mulhouse, Polytech’Lille University of London University of Enshede (The Netherlands)

Chap.2/ 45

Notion des bond graphs : Hystorique Teaching in CanadaUniv. of Waterloo (Jean THOMA)

Teaching in USA MIT, Michigan university

Industrial applicationis used today by many industries for modeling

analysis and control.

Companies using this toolAutomobile company : PSA, RenaultNuclear company : EDF, CEA, GEC AlsthomElectronic :Thomson, Aerospace company ....

Chap.2/ 46

Bond graph: définition

1 2

e

f

REPRESENTATION

P = e.f

BOND GRAPH MODELING IS THE REPRESENTATION (BY A BOND) OF POWER FLOWSAS PRODUCTS OF EFFORTS AND FLOWS WITH ELEMENTS ACTING BETWEENTHESE VARIABLES AND JUNCTION STRUCTURES TO PUT THE SYSTEM TOGETHER.

Chap.2/ 47

Bond graph : variables de puissance et d’énergie (1/1)

)(tf

)(te

VARIABLES DE PUISSANCE

Effort e(t) Variables intensives: tension, température, pression

Flow f(t) : débit massique, courant, flux d’entropie, …

)().()( tftetP Puissance échangée

VARIABLES D’ENERGIEMoment ou impulsion p(t), (flux magnétique, integral de la pression, moment angulaire, … )

)()()( 00

tpdetpt

t

Déplacement gnéralisé q(t), Variables extensives (masse, volume, charge … )

)()()( 00

tqdftqt

t

Chap.2/ 48

ElectriqueTENSION

u [V]

COURANT

i [A]

Mecanique (translation)FORCE

F [N]

VITESSE

v [m/s]

FLOW (f)EFFORT (e)DOMAINE

Mecanique (rotation)COUPLE

[Nm]

VITESSE ANGULAIRE

[rad/s]

Hydraulique PRESSION

P [pa]

DEBIT VOLUMIQUE

smV /3

Thermique TEMPERATURE

T [K]

FLUX D’ENTROPIE

[W/K]S

Chimique POTENTIEL CHIMIQUE

[J/mole]

FLUX MOLAIRE

[mole/s]n

VARIABLES DE PUISSANCE ET D’ENERGIE

Chap.2/ 49

Bond graph : Eléments physiques de base Eléments de base R (Dissipation d ’énergie), C (Stockage d ’énergie), I (Inertie).

Eléments de jonction « 0 » Même effort, « 1 » même flux, TF (Transformation d ’énergie).

Eléments actifs Source d ’effort (Se) Ex. Générateur de tension, pompe, Source de flux (Sf) Ex. Générateur de courant.

Chap.2/ 50

1. R element (resistor, hydraulic restriction, friction losses …)

QRTT 21221

21

.VRpp

VRpp

RiUvv 21

0, feR

p1 p2V

HYDRAULIC

T1 T2

Q

THERMAL

v1v2

i

ELECTRICAL

R Constitutive equation : For modeling any physical phenomenon characterized by an effort-flow relation ship

fR:R1Representation e

Chap.2/ 51

2. BUFFERS element

C Constitutive equation (For modeling any physical phenomenon characterized by a relation ship between effort and flow

A) C element (capacitance) Examples: tank, capacitor, compressibility

ELECTRIC

i1 i2

Ci

dtVC

p

ghpdtAhdVVV

1

,)(21

HYDRAULIC

1V

h

A: sectionh: level: densityC= g/A

p

2V

dtQC

T

dtmcTdQQQ

1

.)(21

0, fdteC

fC:C1Representation e

THERMAL

mcT

1Q 2Q

idtC

U

dtUCd

dtdqiii

1

).(21

Chap.2/ 52

B) I element (Inertance)

0, edtfI

ELECTRIC

V1 V2i

UdtL

i 1

p1 p2

V

HYDRAULICl

pdtl

AV

dtVd

AlA

dtdv

Am

AFpp

2

Fdtm

V

dtdVmF

1

.

MECHANICAL

F

fI:I1Representation e

Examples: Inductance, mass, inertia

I Constitutive equation (For modeling any physical phenomenon characterized by a relation ship between flow and effort

Chap.2/ 53

2.3.8. Exemple de modélisation par Bond graph

1 0

R C

e1 e2

f1 f1Se

f2Sf

eCe2

Q2

Q1

PC

Pompe

R

P1

C

Système hydraulique

i1 i2

U1 Ci

Générateur de tension

R

UC

Système électrique

Représentation

Equation de l ’élément C dtffC

UPfdte CCC )(10, 21

e f

iQfUPe

Chap.2/ 54

LES LOGICIELS DE MODELISATION et de SIMULATION MATLAB-SIMULINK

TWENTE SIM, SYMBOLS

Chap.2/ 55

2.3.9 Lois fondamentales de la modélisation des processus

Loi de continuité générale

(Débit massique entrant dans le système) - (Débit massique sortant du système) = variation de la masse

dans le système

Balance énergétique

(Puissance totale reçue par le système de l’extérieur) + (Flux d’enthalpie transportée par le mélange à l’entrée)

- (Flux d’enthalpie transportée par le mélange à la sortie) = variation de l’énergie interne s’accumulant dans le système

Chap.2/ 56

2.4 EXEMPLES DE MODÈLES MATHÉMATIQUES

CIRCUIT RLCVe Vs

t

S

L

R

idtC

V

dtdiLV

RiV

0.1

.S

SSe V

dtVdLC

dtdVRCV 2

2..

Ve C Vs

LR

a. Modèle d’un circuit électrique RLC

SLRe VVVV

Chap.2/ 57

b. Modèle d’un thermocouple

)(.. tTeEdtdE

SMCKo

dt

dTsMCTsTeS .

En tenant com pte que dans un therm ocouple E K Ts on obtient , :

Un thermocouple ?

Ts

Te

ETs : Temp. de la soudure du thermocouple [°];Te : Temp. du milieu à mesurer;

M : masse de la soudure [kg];S : Surface d'échange de chaleur [m²];C : Capacité calorifique. de la soudure [j/(kg.°K)];

Coef. de transfert de chaleur [j/(sec.m².°K)];

E : fcem de sortie = K.Ts [Volt]; K=cste.;

ThermocoupleTe(t) [°c] E(t) [mV]

Chap.2/ 58

c. Modèle d’une vanne de réglage

X

Pe

7

1

2

3

45

6

sPdtdXfkX

dtXdm e2

2Bilan des forces (Newton)

1. Schéma de principe 2. schéma bloc

Légende :Pe : pression provenant du régulateur [0,2 bar à 1bar] (entrée)X : déplacement de la tige 3 [0 à 6 mm](sortie) f : frottement [kgf.sec/m], m : masse de la partie en mouvement [kg]1 : Membrane en caoutchouc de section s [m²]2 : ressort de raideur Ke [kgf/m]3 : Tige , 4 : garniture d'étanchéité, 5 : siège, 6 :clapet7 : conduite

VannePe (bar) X (mm)

régulateur 0,2 -1 bar 3 - 15 psi

Pe

3. Modèle

DEMO

Chap.2/ 59

il faut que l’erreur soit minimaledans les systèmes industriels

admissibleE

EmY

YY %100.

maxmaxmaxmax

Processus

Modèle

+X(i)

-Ym (i)

max

YE (i)

ERREUR DE MODÉLISATION

?.ad

Explosion nucléaireNous ne pouvons pas afficher l’image.

Modèle de la réaction nucléaire

Poste de commande

Feed back pour la correction du modèle

Données expérimentales

Données du modèle

2.4.1 vérification (calage) du modèle obtenu

Chap.2/ 60

2.5 Rappel sur les transformées de Laplace

Soit une fonction f(t) continue et nulle pour t<0;

et bornée :

Elle admet alors une TRANSFORMEE DE LAPLACE :

On lit : image de f(t) est F(p)f(t) F(p)

où : p = + j, > 0 variable complexe.

La transformée inverse ou originale se déduit :

Où un domaine assurant la convergence de l'intégrale.f(t) sera calculée par la formule des résidus.

2.5.1 Définitionf(t)

t

0

)()()( dtetfpFtfL pt

dtetf t)(

)()( 1 pFLtf

Chap.2/ 61

2.5.2 Propriétés des transformées de Laplace6 Linéarité

7 Dérivation

Si conditions initiales :

8 Intégration

2 Théorème de la valeur finale :

exemple de calcul : F(t) = cste. F(p) = ?

F p cste e dt cstep

e cstep

pt pt( ) . . . .

0 0

1 1

)()()(.0

ftfLimpFPLimtP )()()( pFPtfL nn

)0()()(.0

ftfLimpFPLim

tP

)()(.)()(. 2121 pBFpFAtBftfAL

)0()....0()0()()( )1()1(21)( nnnnn ffpfppFptfL

1 Théorème de la valeur initiale :

3 Théorème du retard temporel :

)()( pFetfL p

4 Théorème de l’avance :

)()(. pFtfeL t

5 Théorème de convolution :

)()()()(0

pYpFdtyfL

ppFdfL

t )()(0

Chap.2/ 62

Originale : F(t) Image : F(p)Cos(at)

22 app

1-cos(at)

÷÷

2

21

1

app

1

Tt

ea

)1(1

ppap

÷÷

2

1

21

1 Tt

eeTT

Tt

)1)(1(1

21 pTpT

÷÷

21 ..

)(11 21

12

Tt

Tt

eTeTTT )1)(1(

121 pTpTp

zzarctgavec

tzaez

taz

2

2..2

1:

).1sin(1

11

1,21(

12

÷

zavec

ap

apzp

).1sin(1

11 2..2

tzaez

taz

1,21

12

÷

zavec

ap

apz

2.5.3. Transformées de Laplace des fonctions usuelles

Chap.2/ 63

Transformées de Laplace des fonctions usuelles (suite)

1p1

t2

1p

ate

ap 1

Tt

e

1 )1(1

Tpp

)!1(

1

nTet

n

Tt

nnTp)1(

1

)1(

TteT T

t

)1(1

2 Tpp

Tt

eT

tT )(1 2)1(1Tpp

)1(

TteT T

t

)1(1

2 Tpp Sin(at)

22 apa

Originale : F(t) Image : F(p)

Chap.2/ 64

2.6 Fonction de transfert

SYSTEMEx (cause) y (effet)

m

m

mn

n

n dttydb

dttydb

dttdybtyb

dttxda

dttxda

dttdxatxa )(...)()()()(...)()()( 2

2

2102

2

210

)())((L)())((

pYtypXtx

L

W p Y pX p

a a p a p a pb b p b p p

nn

mm( ) ( )

( ).....

.....b

0 1 22

0 1 22

mm

nn pbpbbpYpapaapX ........)(........)( 1010

)()(

.

.

)()(

pYPdt

tdy

pPYdt

tdy

nn

n

L

L

)()(

.

.

)()(

pXPdt

tdx

pPXdt

tdx

nn

n

L

L

et

2.6.1. Définition

Chap.2/ 65

2.6.2 Zéros et pôles

)()()(

pDpNpW

)...2,1(0)( nippN ii Pi Zéros

)...2,1(0)( mippD ii Pi Pôles

)().()( 1 pXpWLty

)().()( pXpWpY

SYSTEMEx (p) y (p)

)()()(

pXpYpW

Sortie d ’un système

Chap.2/ 66

Us(

t)

E R C

0 0

( )( ) ( )

: 0, ( ) 0, ( ) 0

dUs tUs t RC E tdt

Conditions initialesCI t E t Us t

Exemple

11

)()()(

RCppEpUspW

11).((

11).()( 1

RCppELtUs

RCppEpUs

)()(

)(.)()()(

pEtEL

pUspdt

tdUsL

pUstUsL

)()()( pEpRCpUspUs

Chap.2/ 67

2.6.3 Connexion des fonctions de transfert

W1(p)

n

ieq pWipWnpWpW

pXpYpW

121 )()()....(.)(

)()()(

W2(p) Wn(p)Y1(p) Y2(p) Y(p)X(p)

X(p)Weq(p)

Y(p)

a. Série

Chap.2/ 68

c. En parallèle

n

ieq pWipWnpWpW

pXpYpW

121 )()()...()(

)()()(

W1(p)Y1(p)

Y2(p)X(p)W2(p)

Wn(p)

+

+

+

+

Y(p)

Yn(p)

X(p)Weq(p)

Y(p)

Chap.2/ 69

b. En contre réaction

0réactioncontrelasi)().(1

)()(

0réactioncontrelasi)().(1

)()(

pWpWpWpW

pWpWpWpW

crou

oueq

crou

oueq

Wcr(p)

(sign)

+X(p) E Y(p)

M

Wou(p)

X(p)Weq(p)

Y(p)

Chap.3: DYNAMIQUE DES SYSTEMES LINEAIRES


Comment analyser la dynamique d’un système Calculer la réponse temporelle d’un système Analyser d’un point de vue temporel et fréquentiel un systèmeDéfinir les paramètres de performance d’un système Étudier les systèmes linéaires types avec des exemples réelsÉvaluer sans calcul fastidieux les performances fréquentielles d’un

système

Chap.3/ 70

Chap.3/ 71

Objectifs et importance de l’analyse des systèmes

Comparer les performances des systèmes, C’est aussi l’étape préliminaire avant la réalisation d’un système de

commande. Cette étape représente 50% d’un projet de réalisation d’un système de

commande

W(p)X(p) y (p)

ANALYSE DES SYSTÈMES DYNAMIQUES (1/2)

Chap.3/ 72

ANALYSE DES SYSTÈMES DYNAMIQUES (2/2)Types d’analyse

Analyse temporelle : l’entrée est un signal qui varie en fonction du temps, permet d’évaluer les performances en rapidité, précision, stabilité. Exemple : tester les performances d’un missile.

Analyse fréquentielle : l’entrée est un signal qui varie en fonction de la fréquence permet d’évaluer les performances filtrage, bande passante, déphasage etc... C’est une approche souvent d’un électronicien. Exemple : tester des enceintes acoustiques.

Analyse temporelle Analyse fréquentielle

Analyse de le la dynamique des systèmes

Chap.3/ 73

SIGNAUX DE TEST TYPESCritère du choix des signaux de test Simples DéfinisCapable d’exciter un régime d’exploitation le plus difficile

3.2.2. Classification des signaux de test types

Signaux sinusoïdaux(analyse fréquentielle)

signal de saut

SIGNAUX DE TEST TYPES

Signaux non sinusoïdaux(analyse temporelle)

Signal sinusoïdal

Signalimpulsionnel

Signalde rampe

Chap.3/ 74

A. Signal de saut Définition

Transformée de Laplace

Réalisation physique Ouverture d’un interrupteur

Réponse indicielle

p

edtptxpeedtptxpetteL 0

00

0)()()()(

)(.)( 01 pWp

eLth

00)(0)( 0

tpourttpouret

Echelon unitaire, si e0 =1.

e0

t

Chap.3/ 75

B. Signal impulsionnel (fonction de Dirac) Définition

Transformée de Laplace l’impulsion de Dirac est la dérivée de l’échelon

Réalisation physique Fermeture et ouverture brève d’un interrupteur

Réponse ipulsionnelle

(t)

( )( )

t pour t tt pour t t

0 0

0

(t) est la fonction de DIRAC ou impulsion unitaire

t0 t

t

1)()()()( pptLdt

tdt

)()(.1)( 1 tWpWLtS

Chap.3/ 76

C. Signal de rampe Définition :

Transformée de Laplace :

Réalisation physique :

e t tg t pour t te t pour t t( ) .( )

0

00

Domaine d’utilisation

Réponse à une rampe

)(1)( 21 pW

ptgLtS

t0

e(t)

tg

Si t L e t tg t exp pt dt tgp0

020 1

( ) . ( ) .

t

e(t)

t

e(t)

Chap.3/ 77

D. Signal sinusoïdal

)sin()( 0 tete

Définition.

Réponse à une sinusoïde

)()( 22

1 pWp

LtS

Si L e t L e t ep

0 0 0 2 2( ) sin( )

)(:)(:2/

)/(:':0

radianphasehertzfréquencela

sradangulairefréquenceoupulsationlaamplitudele

Transformée de Laplace :

Réalisation physique : Générateur de signaux

Domaine d’utilisation :

e(t)

t

Chap.3/ 78

CALCUL DE LA RÉPONSE D’UN SYSTÈME

Principe

Comment calculer l ’originale ?

)().()()( 11 pWpXLpYLtY W(p)X(p) y (p)

Méthode des résidus Application des transformées de Laplace

Méthodes pour déterminer l’originale d’une fonction

Chap.3/ 79

A) Méthode des résidus Principe

Cas pôles simple

Cas pôles multiples

nk ppppppapD .......)( 10

1 1

1

1

( )

( )11 ! ! ( )

kk k

k

k

mnm j p t

kjk k

mjk

kj jk p p

F t H t e

p p N pdHj m j dp D p

n

ipYtY

1)(Res)()...2,1((0)(

)()()( niPpD

pDpNpF i

tpin

i pip

tpn

ki k

epippYLimtF

ePDpNtFpFL k

.

1

1

).).((.)(

)(')()()(

nk mm

mk

m ppppppapD ......)( 110

Chap.3/ 80

B) Application : Equations différentielles par la méthodes de résidus

)()(.)(.)( 2

2tVs

dttVdLC

dttdVRCtV SS

e

Henry1L1Farad,C,2Rsoit ),()()(.2)( 2

2tV

dttVd

dttdVtV S

SSe

)(.)(

)(.)()()()()(

22

2pVsp

dttVsdL

pVspdt

tdVsL

pVstVsLpVetVeL

Ve

1. On passe à la transformée de Laplace pour chaque variable

C Vs

LR

i

Chap.3/ 81


2. On remplace les transformées de Laplace dans l’équation différentielle temporelle :

)()(2)()( 2 pVppVspVsppV se

3. On exprime (la sortie) Vs(p) en fonction de l’entrée

12

)()()(12)( 22

pppVepVspVepppVs

5. On détermine les pôles

4. On fixe une entrée (exemple Ve(t) = 5V , donc Ve(p) = 5/p )

1,0

012

321

2

PPPppp

12.5)( 2

ppp

pVs

Chap.3/ 82


15115

)!12(1)( 2

2

12

12

12

tee

ppp

dpdLimtVs tpt

p

.5

1.5)( .0

201

t

pe

pppLimtVs

7. Solution générale 515)()()( 21 tetVstVstVs t

6. on applique la formule des résidus :

A. Pour le pôle simple :

B. Pour le pôle double

Solution homogène

Solution particulière

Chap.3/ 83

Etude fréquentielle d’un système Principe

Ce qui nous intéresse dans une étude fréquentielle, c’est le régime permanent c’est àdire la composante pour les pôles de X(p), c’est à dire

Conclusion Si on applique à un système linéaire de fonction de transfert W(p) un signal d’entrée x0

sinusoïdal d’amplitude et de pulsation , alors on obtient à la sortie un signal aussi sinusoïdal mais déphasé de ( ) et d’amplitude A().

y(t) = ?)sin()( 0 txtx

SYSTEME

)()( de poles220

111 )().(.Re)(..)().()()(pWetpX

pWpXspWp

xLpWpXLpYLtY

jpetjpp 2122 0

y t x A t( ) . ( ).sin[ ( )] 0

Chap.3/ 84

1. Caractéristique Amplitude Fréquence (CAF) A()

2. Caractéristique Phase - Fréquence (CPF) () :

3. Lieu de Nyquist CAPF : W(j)

Calcul des caractéristiques

Caractéristiques fréquentielles naturelles

)Im()Re()( jjW

)Re()Im()(

)Im()Re()( 22

arctg

A

Chap.3/ 85

Exemple de calcul du lieu de transfert

.1.01)(

jj

jW

2).01

)()Im()(

1)Im()()( 22

arctgRe

arctg

ReA

2).01

)()Im()(

1)Im()()( 22

arctgRe

arctg

ReA

1)Im(

0)(

Re

0

2

)(A

Im(

Re(

ppW 1)(

Lieu de Nyquist

Chap.3/ 86

Caractéristiques fréquentielles logarithmiques

1. DIAGRAMME DE BODE : Ensemble des caractéristiques amplitude et phase en fonction de la fréquence construites sur l’échelle logarithmique.

Courbe de gain :

Phase

Bel ? : On appelle niveau de pression acoustique d’une onde sonore sinusoïdale, la grandeur proportionnelle au logarithme décimal du rapport de la pression effective Pefde cette onde au seuil d’audibilité P0 pour une fréquence donnée de l’onde.

2. DIAGRAMME DE BLACK (LIEU DE NICHOLS) Abscisses : phase en degrés ordonnées le module exprimé en dB

)décibelen()(log.20)( AL

)degréen()(

Tracer les courbes par logiciel Matlab

Chap.3/ 87

N=[1];D=[3 2 1]nyquist(N,D)

-180 -135 -90 -45 0 45-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Ope

n-Lo

op G

ain

(dB)

N=[1];D=[3 2 1]nichols(N,D)

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

System: sysReal: 0.907Imag: -0.519Frequency (rad/s): 0.238

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Tracer les courbes par logiciel Matlab

Chap.3/ 88

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

System: sysFrequency (rad/s): 0.146Magnitude (dB): 0.172

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

-180

-135

-90

-45

0

System: sysFrequency (rad/s): 0.419Phase (deg): -60.5

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

N=[1];D=[3 2 1]bode(N,D)

Matlab

Analyse fréquentielle : par Matlab-Simulink (1/P+1)

Chap.3/ 89

N=[1];D=[1 1]bode(N,D)

10-2

10-1

100

101

102

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

-40

-30

-20

-10

0

System: sysFrequency (rad/s): 1.04Magnitude (dB): -3.18

Mag

nitu

de (

dB)

1. Matlab

2. Simulink

Haute fréquence 10rd/sBasse fréquence 1 rd/s

Signal entrée

Signal sortie

Chap.3/ 90

7406290

.360 45

T msT ms

TT

, correspond à T secondes ou à =360°periode

6290T ms

Chap.3/ 91

PARAMÈTRES DE PERFORMANCES (1/4)

Performances d’un système de commande

StabilitéPrécisionProcessus transitoire

-

+

Comment ils sont obtenus ?

Types de paramètres de performances

Chap.3/ 92


tpr

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 1 3 5 7 9

Régime transitoire Régime permanent

tm

y(t)

x(t) [s]

A1

A2

Y(

± 5%. y( )

XcErreur deréglage

D

te

CONSIGNE

MESURE

Chap.3/ 93


Rapidité Temps de réponse tpr

Temps de montée tm Temps de retard pur

Temps d’établissement te

Performances d’amortissement Dépassement (overshoot) :

Taux d’amortissement (damping ratio)

d Ay

y yy

1 100% 100%( )

. ( )( )

.max

A AA

1 2

1

Chap.3/ 94

PARAMÈTRES DE PERFORMANCES (4/4) Performances en précision

Erreur statique

Erreur dynamique

Performances en stabilité Un système est dit stable si à une entrée limitée, la sortie est aussi limitée.

dttxtyEprt

cd 0

2)()(

s(t)

t

s(t)

t

système instable

système stable

)()(lim)()(lim0

pxpYptxty cptc

Exemple

Chap.3/ 95

Stable , non précis

Stable , précis

Instable

Chap.3/ 96

ANALYSE DES SYSTEMES LINEAIRES TYPES

SYSTÈMES DYNAMIQUES TYPES

Naturellement stable : W p ka pi

i( ) 1

Naturellem ent instable : W p k

p a pii

( ) 1

Premier ordre : W p ka a p

( ) 0 1

2 - iém e :ordre W p ka a p a p

( ) 0 1 2

2

Particulier

In tégra teu r pu r

W p kp

( )

A p ério d iq u e

W p ka a p

( ) 0 1

D é riva te u r ré e l

W p K T pT p

( )

11

1

2

à d é p h a sa ge n o n m in im a le

W p K T pT p

( )

11

1

2

a v e c re ta rd p u r

W p K e p( )

d ' ordre zéroW p K( )

Classification

Chap.3/ 97

ANALYSE DE LA DYNAMIQUE D’UN SYSTÈME TYPE

Analyse temporelle Analyse fréquentielle

Equation différentielle

Fonction de transfert

Réponse indicielle

Réponse impulsionnelle

Réponse à une rampe

Caract.amplitude fréquence

Caract. phase fréquence

Diagramme de Nyquist

Diagramme de Nichols

Echelle naturelle Echelle logarithmique

Diagramme de Bode

Étapes d ’analyse

Méthodologie de l’analyse d’un système

Chap.3/ 98

A. Elément intégrateur pur

y t k x t d tt

( ) ( ) 0

pK

pXpYpW

)()()(

1. Définitionx(t) y(t)

2. Fonction de transfert

3. Exemple

0

( )( ) ,

1( ) ( )

( ) 1( )( ) .

t

d V d h tQ e t Sd t d t

h t Q t d tS

H p KW pQ e p S p p

h(t) [m]

C

h(t) [V]Qe [A]

Qe [m3/s]

Chap.3/ 99

Elément intégrateur pur (suite)

W j Kj

j K

A K a r c tg

( )

( ) , ( ) ( )

0

2

Im

Re

2

0

y t L Xp

Kp

X K t( ) . . .

1 0 0

4. Lieu de Nyquist

6. Réponse indicielley(t)

0

X0kXtg .0

t

7. Conclusion

Chap.3/ 100

T dy tdt

y t Kx t( ) ( ) ( )

ΔxΔy statiqueGain

[seconde] tempsde constante

1

1

0

ab=K

aaT

W p KTP

( ) 1

Ve t RC dVdt

V t

W p Vs pVe p RCp

Ss( ) . ( )

( ) ( )(

11C

VsR i

T RC

K VsVe

,

1

1. Définition

Forme réduite

3. Exemple

a d y td t

a y t b x t0 1( ) ( ) ( )

x(t) y(t)


B) Élément du premier ordre

Système hydraulique : reservoir

Chap.3/ 101

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) 1 /( )( ) 1 1

R

d q d U s tQ e t Q s t Cd t d t

U U sQ s tR R

d U s t U sC Q e td t R

U s p R KW pQ e p R C p T p

T R C

( )( ) ( )

( 0 )( ) ( )

( ) ( ) ( )

/ ( )( )( )( ) 1. 1

v v

v

v

v

v

d V d h tQ e t Q s t Sd t d t

P o gQ s t h tR R

d h t gS h t Q e td t R

R gH p KW p RQ e p T pS pg

ST R R Cg

h(t) [m] R

Qe [m3/s]

Po [Pa]

C

h(t) [V]

Qe [A]

R

Qs [m3/s]

V [m3]

Pat=0

Qs [A]

Chap.3/ 102

Système thermique

m : masse de la soudure [kg]S : surface d’échange de chaleur de la soudure [m²]Te : Température du milieu à mesurer [°c] (entrée)Ts : Température de la soudure du thermocouple [°c] : Coefficient de transfert de chaleur [j/(sec.m².°c]CT : Capacité calorifique de la soudure [j/(kg.°c]E(t) : tension de sortie [mV] (sortie) = KTs (proportionnelle à Ts(t)

dTsmCdtTsTeS T

m CS

dT s td t

T s t T e t ou m CS

dE td t

E t K T e t

W p KT P

T T

. ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( )

( )

1

T mS

C

K ET e

M v c

T

. .

[ / ]

Sm

QR

1

E(t)

Ts

Te

Analogie thermique_Electrique, hydraulique

RCT TCVC

Chap.3/ 103

T1 T2

Q

Chap.3/ 104

y t L X

pK

TpK X e

tT( )

1 01

0 1

y t K X e K X y

y t T K X e y

y t T K X e y

T

TT

TT

( ) ( )

( ) , ( )

( ) , (

0 1 0

0 1 0 6 3

3 0 1 0 9 53

Le temps du proc. Trans. = 3T

t= T, la réponse atteint 63%de la valeur finale0

2T

0,95

0,63

t31

y(t)

3T

Réponse indicielle d’un élément de premier ordre

Chap.3/ 105

)()(

1)(

111)(

2

22

TarctgTKA

TKTj

TK

jTKjW

Réel

0

Im

=1/T

=0

= =/4

Lieu de Nyquist d’un élément de premier ordre

Relation temps-fréquence

1 1Fréquence de coupure :2

1Bande passante BP : [0, ]

temps de montée : . 0.35on augmente le temps de montée en élargissant la BP

c c

m c

fT T

Tt f

Chap.3/ 106

dy tdt

dy tdt

y t K x tn n n

2

22 22( ) ( ) ( ) . ( )

n pulsation propre non amortie ou pulsation naturelle rad s aa

coefficient d amortissement aa a

K gain statique ab

coeffcient

[ / ]

'.

0

2

1

0 2

0

2

n pulsation propre non amortie ou pulsation naturelle rad s aa

coefficient d amortissement aa a

K gain statique ab

coeffcient

[ / ]

'.

0

2

1

0 2

0

2

W p Y pX p

Kp p

n

n n( ) ( )

( ).

2

2 22W p Y p

X pK

p pn

n n( ) ( )

( ).

2

2 22

1. Définition


a dy tdt

a dy tdt

a y t bx t2

2

2 1 0( ) ( ) ( ) ( )

x(t) y(t)

Forme réduite

3. Paramètres fondamentaux

C) Élément du second ordre

Chap.3/ 107

V RC dVdt

LC d Vdt

VeS S

S . .2

2

Ve C VsLR i

n LCR

LC

K 1

2 11,

. ., n LC

R

LC

K 1

2 11,

. .,

dttdftKeCCC

CCdt

tdJ

SStfR

RmS

)()(

;)(. 2

2

W p s pC p

KeJ

p fJ

p KeJ

m( ) ( )

( )

2

W p Vs pVe p

LCp R

Lp

LC

( ) ( )( )

1

12

n JKe

fJ Ke

K 1

21,

. ., n J

Ke

fJ Ke

K 1

21,

. .,

Exemples d’élément du second ordre

C tm( ) s t( )fc

f

tc

Ke

J

Vanne automatique

Chap.3/ 108

DEMO

Chap.3/ 109

Vanne pneumatique de réglage

md Xdt

keX f dXdt

P se

2

2

2 2

. .( )( )( )

s s KeX p m Ke mW p f Ke f KePe p p p p p

m m m m

1 , ,2.

nf sK

Kem mKe Ke

1 , ,

2.n

f sKKem m

Ke Ke

Analogie

Controller 0,2 -1 bar 3 - 15 psi Pe

x 7

1

2

345

6

R f

L J m

Ke 1/C

Chap.3/ 110

22

21

2.1)(

nn

n

pppLty

0..2)( 22 nn pppD

SYSTEMEy(t)x(t)

1. Echelon unitaire

2. De quoi dépend la sortie ?

122 n

Du coefficient d’amortissement

P P n1 2

= 1

,1.

1.2

2

21

nn

nn

p

p

> 1 < 1

22

21

1.

1..

nn

nn

jp

jp

Réponses indicielles d’un élément de 2-iéme ordre

Chap.3/ 111

Réponses indicielles pour # valeurs de Cas 1

0 2 4 6 8 10 12 14

1

1.2

Y(t)

t (sec)tpr

0

110)(

inflexion d' Point

.sec8,4

2

2

D

tdt

tyd

t

nI

pr

tn

netty ).1(1)(P P n1 2 = 1

Chap.3/ 112

Réponses indicielles pour > 1

Cas 2,1.

1.2

2

21

nn

nn

p

p > 1

W p K

p p p pK

p p T p T poù T

pT

pn n( ) . ,

2

1 2

2

1 2 1 21

12

21 11 1

y t TT T

e TT T

e

tT

tT( )

1 1

1 2

2

1 21 2

0 10 20 30 40 50

1

Y(t)

t (sec)

2

4

t T Tpr 3 1 2.

Chap.3/ 113

Réponses indicielles pour < 1

Cas 3

22..

21.1sin.

1

110)( arctgteKXty ntn

< 12

1

22

. . 1

. 1

n n

n n

p j

p j

0 20 30

X0=1

t (sec)

ymax

D2

D1

tm tprte

Chap.3/ 114

1. Temps du processus transitoire

2. Nombre d’oscillations t N N Nprn

. .2 2

1

32

12

2

t N N Npr

n

. .2 2

1

32

12

2

nnpr Tt

)20ln(3.3

nnpr Tt

)20ln(3.3

)sin(.)( teAty tn

tne :Enveloppe n

tTt

Teety n

1 )(

:ordre1er nelledu impulssionRéponse

.

n

tTt

Teety n

1 )(

:ordre1er nelledu impulssionRéponse

.

Paramètres de performances d’un système de deuxième ordre oscillant

Chap.3/ 115


3. Dépassement

%100.)(

)(max

yyyD

...)3,2,1(0)(.?max KKtdt

tdyy

1er pic : K=1, 2ème pic K=2, etc...

21min 1

K

ey

K impair :

K pair :

21max 1

K

ey

Chap.3/ 116


4. Temps d ’établissement Pour un échelon unitaire

5. Taux d ’amortissement

21max1

1

eyD21max

11

eyD

12

1 12

1

2

1

2

2

ln

ln

DD

DD

12

1 12

1

2

1

2

2

ln

ln

DD

DD

te K

temps d'établissement ( )1te K

temps d'établissement ( )1

D DD

e1 2

1

211

2

D D

De1 2

1

211

2

Chap.3/ 117

= 0n

n

jpjp

2

1 ..

Réponses indicielles pour = 0

Cas 4

)cos(1.1)( 22

21 t

ppLty n

n

n

D2

t

Y(t)

Chap.3/ 118

Wf pK

a p a p a K( )

22

1 0

Wf p

Ka

p aa

p a Ka

D p p aa a K

a

a Ka

p a Ka

( ) ( ) ..

. .

2

2 1

2

0

2

2 1

2 0

2

0

2

0

2

22

21

a

a a Ka

K a a aa

1

2 0

2

12

02

22

221 4

4.. . Pour K a a a

a

07 12

22

12

0 2

2, ,Pour K a a a

a

07 12

22

12

0 2

2, ,

Valeur de K pour avoir les meilleurs performances en boucle fermée ?

Xc(t)

-K

Ys(t)1

22

1 0a p a p a

Exercice

Chap.3/ 119

F ré q u e n c e r é d u i te :

( )

( )

( )

u

W j K u

u uj u

u u

A K

u u

a r c tg uu

n

1

1 2

2

1 2

1 2

21

2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2

RésonnancedA

davec

A K

R n( ) . ,

.max

0 1 2 0 7

2 1 2

2

2

Im

Re0

u=1

Diagramme de Nyquist d’un élément du second ordre

[-] 5 2 1 0,9 0,7 0,5 0,343 0,30 0,22 0,11 0,01 0

tpr [s] 30 12 4,75 4 2,8 4 8 11 15 30 300

D [% ] - - - 1 4,5 17 30 38 50 70 95 100

[-] - - - 1 0,998 0,973 0,9 0,87 0,75 0,41 0,13 00

Résumé des performances d’un système de deuxième ordre

Paramètres de performances normalisés

Conclusion général sur un système de 2-iéme ordre

Dans le domaine temporel, lorsque <1, le système a tendance à osciller longuement avant immobilisation. = 0,7 est optimal du point de vue stabilité précision. Pour > 1, (frottement important, élasticité réduite), les régimes sont hyper amortis et lents.

Le système perd alors son «agilité», un tel cas est à éviter en SRA lorsque la structure s’y prête en agissant par exemple sur le gain du correcteur.

Dans le domaine fréquentiel, Le système suit presque sans inertie l’entrée à basse fréquence mais présente un

déphasage qui tend vers -180 degrés à haute fréquence.

Chap.3/ 121

y t x t( ) ( )

W p Y pX p

e p( ) ( )( )

y t( )

x t( )y t x t( ) ( )

Vl

x t( )

y t( )l

SYSTEMEy(t)x(t)

Définition

Exemple


Réponse indicielle

Système avec retard pur (1/2)

Chap.3/ 122

Diagramme de Nyquist

Conclusion Système du aux phénomène de très grande inertie, jeux mécaniquesVéritable « poison » pour la régulation car déstabilise le système du au

déphasage négatif

W j e j

A

arctg

j( ) cos sin

( ) cos sin

( ) sincos

2 2 10

Im

Re

R=1

Système avec retard pur (2/2)

Chap.3/ 123

Problématique Soit donné un système quelconque de fonction de transfert W(p) :

On veut représenter d’une manière simple et rapide les diagrammes de Bode, Nyquist et Black.

Pourquoi une telle démarche ? Eviter les calculs fastidieux de W(j). Evaluer rapidement la stabilité du système et les performances du système.

nn

mm

paapaapbbpbbpW

010

010

......)(

Tracé des caractéristiques fréquentielles des systèmes (1/4)

Tracé des caractéristiques fréquentielles des systèmes

Chap.3/ 124

Chap.3/ 125

Principe de la méthode Un système linéaire quelconque est formé d’éléments simple d’ordre zéro, du

premier ordre, deuxième ordre et d’intégrateurs et ou dérivateurs d’ordre .. W(p) peut être factorisée en éléments simples

ordre deuxième du élémentsd' Nbre :ordrepremier du élémentsd' Nbre :

négatif) ou positifentier ( :,,0)( )(constante statique Gain:

2.1.)(1

22

1

qr

ZK

pppKppWq

nnr

ii

i

2 ordred' Sytème :2

1 ordred' Sytème:1 α ordred' ) 0)(α dérivateur ou

0)(αr Intégrateu :

zéroordred' Sytème:

22 nn pp

p

p

K


Chap.3/ 126

Propriété Le gain logarithmique et le déphasage d’un produit de facteurs s’obtient en faisant la

somme algébrique des gains et des phases des différents facteurs ( PS: Le gain naturelle est par contre le produit des gains des différents facteurs)

Calcul du Gain

qnn

r

ippppKjWL i

1

22

12.1..log20)(log20)(

qnln

r

ii

jj

j

jKL

i

1

22

1

2log20

.1log20

log20log20)(

Sachant que : 22 )Im()Re()Im(.)Re()( jjW

q

lnln

iir

iKL

1

222222

2

1

4log.10

.1log.10log20.log20)(


Chap.3/ 127

Calcul de la phase

Conclusion Il suffit de savoir exprimer le gain el la phase des éléments de base pour en

déduire par simple sommation, le gain et la phase de W(j)

q

nln

r

ii

jj

j

jKjW

i

1

22

1

2arg

.1arg

)arg()arg()(arg()(

)Re()Im())Im(.)Re(arg((arg

arctgjjW

q

nlnr

iii jjjK

1

22

12arg.1arg

2.)arg()(

Sachant que :


Chap.3/ 128

Gain K La courbe est une horizontale

Dérivateur

0

0si0)( :Phase

log20)(:Gain)(

KsiK

KLKpW

2

)arg()( :Phase

log20log20)(:Gain)(

j

jLppW

0

L() [db]

Log()

20logK

Log()

() [rad]

0

Log() Log()0

L() [db] () [rad]

2

20db/décade ou 6db/octave est noté +1

1 1

01 1

+1

Représentation des éléments de base (1/3)

Chap.3/ 129

Intégrateur

Log() Log()

L() [db] () [rad]

2

2

)1arg()( :Phase

log201log20)(:Gain

1)(

j

jL

ppW

0101

-1


Chap.3/ 130

Premier ordre (1+p)

1log101log20)(:Gain

1)(2

jL

ppW

dbLLL

3)(11 à égal pente ,0,log10)(1

0 à égal pente ,0)(1Asmptote

Log()

L() [db]

1/

3db0

1

Amplitude

4)(1

2)(1

0)(1Asymptote

L

)()1arg()( :Phase arctgj

Log()

() [rad]

2

0

1

4

1/

Phase

+1


Chap.3/ 131

Premier ordre : (1+p)-1

)(1arg)(

:Phase

1log101log20)(

:Gain1)(

1

21

1

arctgj

jL

ppW

Changement de signe par rapport à (1+p)

Log()

L() [db]

1/

-3db

0 1

Amplitude

Log()

() [rad]

2

0 1

4

Phase

1/

Log()

-1


Chap.3/ 132

Log()

L() [db]

1/

-3db

0 1

Amplitude

ppW 1)( 11)( ppW

Log()

() [rad]

2

0 1

4

Phase

1/

Log()

Log()

L() [db]

1/

3db0

1

Amplitude

Log()

() [rad]

2

0

1

4

1/

Phase

+1

-1


Chap.3/ 133

Deuxième ordre : en numérateur

2

22

22

2log20)

2 pente ,log40)0 pente ,log40)

:Asymptote

2log20)

:Gain 2)(

nn

n

nn

nn

nn

L(

L(csteL(

jL(

pppW

2022arg)

arg)

0)arg()

:Asymptote

2arg)

:Phase

22

2

2

22

nnn

n

nn

nn

arctgj(

(

(

j(


Chap.3/ 134

Deuxième ordre : au dénominateur

2

22

122

2log20)

2 pente ,log40)0 pente ,log40)

:Asymptote

2log20)

:Gain 2)(

nn

n

nn

nn

nn

L(

L(csteL(

jL(

pppW

2022arg)

)0(arg)

0)arg()

:Asymptote2arg)

:Phase

22

22

2

22

nnn

n

nn

nn

arctgj(

arctg(

(

j(

Changement de signe par rapport au cas précédent


Chap.3/ 135

Retard pur

TrTrTrarctg(

jWL(

TrjTrejW

epWjTr

pTr

)cos()sin()

Phase01log20)(log20)

:Gain )sin()cos()(

)(.

.

Log()

L() [db]

0 1

Amplitude

Log()

() [rad]

1

Phase

0°


Chap.3/ 136

p1

p

p1

p11

p1

p11

22 2 nn pp

22 2

1

nn pp

Trpe

0

2

nou 1

2

2

2

2

2

0

0

0

0

0

0

0

4

4

2

2

2

2

4

4

2

2

Tr

Variation de la phase

Tracé des diagrammes fréquentiels : Résumé (1/2)

Chap.3/ 137

p1

p

p1

p11

p1

p11

22 2 nn pp

22 2

1

nn pp

Trpe

0 nou 1

0

0

0

0

0

0

0

Variation de la pente : ± correspond à ± 20db par décade

2

2

Tracé des diagrammes fréquentiels : Résumé (2/2)

Chap.3/ 138

Application : exemple 1 (1/4)

1

1Pour

Valeurs caractéristiques de la pulsation : 21

2)arg()arg()(

log20log20)(

1

jk

KL

12

11

1

22

21

12

11

1

1arg1arg)arg(arg))(arg()(

1log101log10log20log20

1.1..log20)(log20)(

jjjKjW

K

jjjKjWL

GAIN et PHASE

2

1Pour

23

222

)1(arg)1(arg)arg()arg()(

)log(20)log(20log20log20)(1

21

11

21

jjjk

KL

Pente -3

Pente -1

0,0,11.

)( 2121

Kppp

KpW

Chap.3/ 139


21

11Pour

22

)1(arg)arg()arg()(

)log(20log20log20)(1

11

1

jjk

KL

Pente -2

Le diagramme pseudo asymptotique correspond à la sommationdes diagrammes associés à K, 1/p, 1/(1+1p) et 1/(1+2p)

Fréquence pour laquelle le déphasage est de -

2121

21

11.

)()(2

)(

soit

arctgarctg

xyxyarctarctgyxarctg 1)(

Chap.3/ 140


Log()

L() [db]

0 1

() [rad]

0°

2

11

1

K

-1

-2

-3

2

23

21

1

Log()

Diagramme réel

Diagramme pseudo asymptotique

Chap.3/ 141


0,0,11.

)( 2121

Kppp

KpW

k=1;

tau1=10;

tau2=1;

num=k;

den1=conv([1 0],[tau1 1])

den=conv(den1, [tau2 1])

bode(num,den), grid, title('bode par MAtlab')

Tracé du diagramme réel à l’aide de Matlab

Chap.3/ 142


nn

nln

j(

KL

2arg)

4log10log20log20)(

22

222222

Valeurs caractéristiques 222 24 nn pppp

GAIN et PHASE

,0,4.

)( 2

Kppp

KpW

2,25,0 n

n Pour

20

20)(

log40log20log20)(

nKLPente -1

n Pour

23

20)arg(

20)(

log3*20log20log40log20log20)(

2

KKL

Pente -3

n Pour

220)20arg(

20)(

4/log202log20log20log20)(

2

2

n

nn

j

KKL

Chap.3/ 143

Log()

L() [db]

-1

n

0 1

Amplitude

Log()

() [rad]

2

0°

Phase

-1

-3

23

Digramme de Bode réel tracé à l’aide de Matlab

Digramme asymptotique


Chap.3/ 144

Diagramme de Nyquist (1/3)

Lieu de Nyquist ? Il représente l’évolution en coordonnées polaires du nombre complexe W(p) lorsque p parcourt le

«contour d’exclusion de Nyquist» qui est toit simplement le contour qui entoure tous les pôles et zéros de W(p) compris dans le demi plan complexe caractérisé par une partie réelle positive. (voir Figures)

Cas où les pôles sont imaginaires purs : on les évite en les contournant

Re

Im

Re

Im

Re

-j2

-j1

+j1

+j2

Contour d’exclusion de Nyquist

→-

→0-

→0+

→+

Chap.3/ 145


RègleLe tracé du diagramme de Nyquist commence par le tracé du lieu de

Nyquist pour variant de 0 à +La partie correspondant à variant de 0 à - s’obtient par symétrie du

lieu de Nyquist par rapport à l’axe réel

Exemple

0,0,11.

)( 2121

Kppp

KpW

)Im()Re()1)(1(

)1()1)(1(

)()( 22

221

221

2

22

221

221

jKjKjW

Chap.3/ 146


Points particuliers

Simulation sur Matlab Nyquist(num, den)

21

21

21

21

21

)1Re(Pour

précédent) (exercice - )1(

-pour 0 réels des axel' avecon Intersecti

)()Re(,0

K

KIm

Re

0

0

)( 21 K

21

1

Chap.3/ 147

Diagramme de Black

Lieu de Black C’est une représentation cartésienne de W(j) avec phase en degré (abscisse) et

gain en db (ordonnées). Sa détermination passe par le diagramme de Bode.

Exemple

Utilisation de Matlab Nichols (num, den)

pppKpW

21 11.)(

Gain (db)0

0

21

1

°-90-180-270

Chap. 4.148

PERFORMANCES D’UN SYSTEMEde

COMMANDE


Définir et calcul des paramètres de performances d’un système Calculer les conditions de stabilité des systèmes Évaluer le degré de stabilité Comprendre le dilemme stabilité-précision par un exemple

Chap.4

Chap.4/ 149

4.1 PARAMÈTRES DE PERFORMANCES (4/4) Performances en précision

Erreur statique

Erreur dynamique


dttxtyEprt

cd 0

2)()(

s(t)

t

s(t)

t

système instable

système stable

)()(lim)()(lim0

pxpYptxty cptc

Chap.4/ 150

4.2 STABILITÉ DES SYSTÈMES

1. CONDITIONS GÉNÉRALES DE STABILITÉ

n

i

tpi

ieCpWpXLty1

1 )()()(

La forme de la sortie dépendra la nature des pôles :

W(p)X(p) y (p)

n

i

tpi

ieCty1

)( Pôles pi réels

Parmi les n pôles existe une paire de pôles complexes P12 =±J

)sin(.)(2

1teeCty tn

i

tpi

i

Chap.4/ 151

4.3. Influence de la position des pôles sur la stabilité

-1

1

0 2 4 6 8 10

0 2 4 6 8 10-20

0

20y t e t oùt( ) .sin ( ) 0

instable

0 2 4 6 8 10

0

y t e t oùt( ) .sin( ) 0

Stable

0

0.4

0.8

1

y t C e pip t

i

n

ii( ) ,

10

Stable

0 2 4 6 8 100

10

20

25

y t C e pip t

i

n

ii( ) ,

10

instable

Un système est stable si et seulement si tous les pôles de sa fonction de transfert sont à partie réelle négative. Ils se situent tous strictement à gauche de l’axe imaginaire du plan complexe.

Chap.4/ 152

4.4 Influence de la position des pôles sur la dynamique du système

Im

Re

Instable

0 10-1

0

1

jp 22,1

0 10-1

0

1

jp 2,1

0 10

1

Rep

0 10

0

8

jp 02,1

0 10

0

8

jp 22,1

0 10

450

0

0

jp 2,1

Rep

Stable

Chap.4/ 153

4.5. Critère algébrique de Routh – Hurwitz (1/4)Problématique Critère algébrique de Routh : permet la détermination de la stabilité du

système (conditions pour lesquelles tous les pôles de W(p) sont à partie réelles négatives) à partir des coefficients du polynôme caractéristique sans calculer les pôles

Données

On analyse :

Conditions nécessaires de stabilité Tous les coefficients ai doivent être de même signe et non nuls.

Conditions nécessaires et suffisantes de stabilité Elle est donnée par le tableau de Routh

mnpapaapbpbb

pDpNpW n

n

mm

......

)()()(

10

10n

n papaapD ...)( 10

Chap.4/ 154

1

31

2

11

det

n

nn

nn

aaaaa

A

0

3

2

1

.

.

.

p

pppp

n

n

n

n

...

......

......

......

...

...

...

...

321

232221

131211

531

42

nnn

nnn

nnn

R

AAA

AAAAAA

aaaaaa

Les 2 premières lignes du tableau sont posées

Les autres lignes sont calculées à partir des 2 premières lignes

Tableau de Routh R

Calcul des coefficients Aij

4.5. Critère algébrique de Routh – Hurwitz (2/4)

1

51

4

12

det

n

nn

nn

aaaaa

A

...

......

......

......

...

...

...

...

321

232221

131211

531

42

nnn

nnn

nnn

R

AAA

AAAAAA

aaaaaa

1

71

6

13

det.

n

nn

nn

aaaaa

A

1er ligne

Chap.4/ 155


11

1411

71

23

det

AAA

aa

A

nn

2-ième ligne

11

1211

31

21

det

AAA

aa

A

nn

11

1311

51

22

det

AAA

aa

A

nn

...

......

......

......

...

...

...

...

321

232221

131211

531

42

nnn

nnn

nnn

R

AAA

AAAAAA

aaaaaa

On examine uniquement le 1er colonne pour la stabilité

Chap.4/ 156

Conditions de Stabilité selon le critère algébrique de Routh On examine la première colonne du déterminant de Routh (dont les

éléments sont appelés pivots) :

Théorème de Routh : Le système est stable si et seulement si les éléments de la première colonne du tableau de Routh sont tous de même signe. le nombre de changement de signes est égal au nombre de pôles à partie réelle positive. Cas Particulier : Il apparaît un zéro dans la première colonne. Alors on poursuit en

écrivant à la place de la ligne en question les coefficients du polynôme dérivé par rapport à p d’un polynôme auxiliaire dont les coefficients sont les termes de la dernière ligne non nulle. Les racines à partie réelle nulle sont alors les zéros du polynôme auxiliaire. Ce cas permet de trouver les conditions pour lesquelles un système linéaire est juste oscillant.

.

.

. de colonneer 1 21

11

1

AA

aa

n

n

R


Chap.4/ 157

Exemple1 (1/2)

44

33

2210

432

432

544)(

5441(

papapapaapppppD

pppppW

0

1

2

3

4

ppp

pp

41

451

13

024

aaaaa

Les 2 premières lignes du tableau sont posées

0041

232221

131211

AAAAAA

11

4151

detdet

1

31

2

11

n

nn

nn

aaaaa

A

01

4141

detdet

11

1211

31

21

AAA

aa

A

nn

Il apparaît un zéro dans la 1er colonne

Comment faire ?

On développe la ligne précédente pour déterminer le mode :Polynôme auxiliaire : p2+4

jPp 2042

Chap.4/ 158

Exemple1 (2/2)

Alors on poursuit en écrivant à la place de la ligne en question les coefficients du polynôme dérivé par rapport à p d’un polynôme auxiliaire dont les coefficients sont les termes de la dernière ligne non nulle.

On reporte dans la table de Routh les coefficient du polynôme 2p+0

0

1

2

3

4

ppp

pp

41

451

13

024

aaaaa

0241

232221

131211

AAAAAA

4333231 AAA

0242

pdp

pd

Conclusion : Tous les coefficients de le première colonne sont de même signe [1 1 1 2 4]. Lepolynôme D(p) ne possède pas de racine à partie réelle positives mais deux

racines qui sont situées sur l’axe imaginaire pur

-0.0000 + 2.0000i-0.0000 - 2.0000i-0.5000 + 0.8660i-0.5000 - 0.8660i

Réponse impulsionnelleRacine de D(p) :

Chap.4/ 159

Exemple 2

Racine de D(p) : -2.5604

0.2767 + 1.0865i0.2767 - 1.0865i

-1.2578 + 0.6082i-1.2578 - 0.6082i-0.4775

Réponse impulsionnelle

310111095)(

3101110951(

23456

23456

pppppppD

ppppppppW

48.066.2-

432.01-1.56 1-

3.018.96 110101

31191

3

0

1

2

4

5

6

p

p

ppppp

Il y a deux changements de signe dans la 1er colonneDe 1 à -1 et de -2.66 à 0.48 : le système est instable

Tableau de Routh

Chap.4/ 160

01

1)(apa

pW

00

0

1aa

000

0

1

2

aaa

012

2

1)(apapa

pW

012

23

3

1)(apapapa

pW

P.S. pour mémoire : système du 3-iéme ordre est stable si :• tous les coefficients sont > 0 • le produit des moyens (a1.a2) > produit des extrêmes (a0.a3)

1er ordre

2ème ordre

3éme ordre

3.02.1

0

1

2

3

0000

aaaaaaaa

Conditions de stabilité d’un élément du 1er 2-iéme et 3-iéme ordre

Chap.4/ 161

EXEMPLES : Critère algébrique de Routh – Hurwitz 1. Asservissement de position avec un PI régulateur

-

+ M)11(

TPK

TP11

TP1C

-

+ MK

TP11

TP1C

)1

1TP

2. Asservissement de position avec un P régulateur

0)( 2233 KKTPpTpTpDf 1332 KTKT

0)1()( 2233 KTppTpTpDf

1)1( 33 KKTT

Chap.4/ 162

4.6. CRITERE DE NYQUIST (1/9)

Avantage de la méthode Technique géométrique appliquée aux systèmes qui ne sont pas à

minimum de phase, Présence de retard pur dans les expressions de fonctions de transfert

Problématique

Transformation du SRA en retour unitaire

Xc(t) Ys(t)Wou(p)

-

Xc(t) + Ys(t)Wou(p)

Conditions de stabilité connues Et en état fermé ?

Wcr(p)

Xc(t)

-

+

Ys(t)

Wro(p) Y1(t) Xc(t)

Wou(p)

Wcr(p)

-

+

Ys(t)

Wro(p)Y1(t)

Chap.4/ 163

4.6. CRITERE DE NYQUIST (2/9)Xc(t) Ys(t)

Wou(p)

)(...)(,)()((

1

2210 i

n

in

nnou

ou

ou ppapapapaapDpDpNpW

complexe Nombre),1()( nipjjZjp

ii

)(.)()( ijii ejZjZ

)()(

1)(.)()( 1

j

j

in

inou ejfejZajD

n

ii

Variation de l’argument () : 0pour)(arg()( jDou

02

)(0 iip

02

)(0 iip

1) pi <0 (Gauche du plan complexe)

Analyse fréquentielle

Alors :

2) pi >0 (Droite du plan complexe)

Chap.4/ 164


Conditions de stabilité du système Si Dou(p) possède K racine à droite du plan complexe alors on a (n-K) racine

gauche

Alors la variation de l’argument sera :

Théorème : Le système dont le polynôme caractéristique est Dou(p) est stable ssi le

nombre de pôle à droite est égal à zéro : K=0

)2(222

)()(1

KnKKnn

ii

02

)( n

Chap.4/ 165

4.6. CRITERE DE NYQUIST (4/9)Critère de Nyquist

Introduisons une fonction subsidiaire

L’argument total sera :

1(), 2(), : Phases du système en Boucle ouverte et en boucle fermée

-

Xc(t) + Ys(t)Wou(p)

)()()(

)(1)()(

,)()()(

pDpNpN

pWpWpW

pDpNpW

ouou

ou

ou

ouf

ou

ouou

)()(

)()()(1 pDpD

pDpNpW fou

ououou

)()()(

)()()(1)(1

j

ou

ououjouou e

jDjDjNejWjW

)()()(arg())()(arg()( 21 jDjDjN ououou

Chap.4/ 166


Condition de stabilité du système en BF : (voir demo. précédente)

Or :

Supposons que le système en BO est instable : possède Kracines droites, alors :

0,2

)(1 n

)()()( 21

0,2

2)(2 Kn

2.22

22

)( KKnn K )(

Chap.4/ 167


Un système en boucle fermée ayant K pôles instable en boucle ouverte est stable ssi : Le lieu de de Nyquist du système en état ouvert entoure K fois le point (-1, J0)

dans le sens trigonométrique

Critère simplifié de Nyquist Critère du revers :(nombre de pôles instable égal à zéro K=0) :Un SRA à contre réaction unitaire, est stable en état fermé ssi, en

parcourant le lieu de transfert en état ouvert dans le sens des fréquences croissantes, ce lieu n’enveloppe pas le point (-1, j0).

Chap.4/ 168

4.6. CRITERE DE NYQUIST (7/9) : Exemple1

)( 21 K

Im

Re

0

0

21

1

pppKpW

21 11.)(

M

-et 1pour module leest :

2121

21

KOM

Conditions de stabilité

Nombre de pôles instables : 0Alors le diagramme de Nyquist ne doit pas entourer -1

31 Alors KOM

Chap.4/ 169

4.6. CRITERE DE NYQUIST (8/9) : Exemple2

A. Lieu de Nyquist

B.. Lieu de Black (on laisse le point (odb,-180°) à droite)

Im

Re

PompageIm

Re

Instable

-1-1

Im

Re

Stable

-1

G [db]

[°]

Stable InstablePompage

G [db] G [db]

[°] [°]

-180 ° -180 ° -180 °

Exemple cas (K=0) :

Chap.4/ 170

Problématique : Si des pôles de Wou(p) sont situés sur l’axe imaginaire, faut il les

compter dans le demi plan droit ou gauche?

Il faut modifier le contour de Nyquist de façon soit à les inclure dans le contour (c.à.d. dans K) soit à les en exclure.

4.6. CRITERE DE NYQUIST (9/9) : Cas des pôles imaginaires purs

Chap.4/ 171

Comment faire l’inclusion ou l’exclusion? S’effectue à l’aide de demi cercles dont on fait tendre le rayon vers zéro :

Im

Re

Contour d’exclusion de Nyquist

p1

Im

Re

iepp 1

iepp 2

p1

p2

p2

Inclusion du pôle à gauche Inclusion du pôle à droite

Chap.4/ 172

4.7. Degré de stabilité (1/3)Importance

Marge de Gain (MG) sur le lieu de Nyquist

Sens pratique de la MG Est une garantie que la stabilité persistera malgré des variations imprévues

du gain en boucle ouverte

K

-

Xc(t) Ys(t)Wou(p)

Im

Re

0-1 A

],0[1log20

],1[1

OAMG

OAMG

+

2 < MG < 2.5

Chap.4/ 173

4.7. Degré de stabilité (2/3)Marge de phase

La marge de phase caractérise l’écart supplémentaire qui ferait passer le lieu de Nyquist de l’autre côté du point critique Est une garantie que la stabilité persistera malgré l’existence de retards

parasites dont on n’a pas tenu compte dans les calculs initiaux

Im

Re-1

R=1

Marge de phase :MP

1/MG

40 < MP < 50

Chap.4/ 174

4.7. Degré de stabilité (3/3) Marge de gain et de phase sur le lieu

de Black

MP : Ecart en phase par rapport à -180°lorsque le gain du système en BO est égal à 1 (0 dB)

MG : Ecart en gain par rapport à 0 dB pour un déphasage de -180° . On recommande MG=12 dB

Marge de gain et de phase sur le diagramme de Bode

G [db]

[°]

-180 °

MP

MG

G [db]

[°]

0 dB

0 °

-90°

-180°

-270°

MP

MG

Chap.4/ 175

4.8. DILEMME STABILITÉ - PRÉCISION

Vapeur d’eau

PC

Sortie échangeur

TvPr

Qs, Hs

+

-PrE

UEntrée du produit

Sortie du produit

Qe, He

Chap.4/ 176

1. Etude de la Précision

Pc(t)

-

Réacteur

Transmetteur de pression

Pr(t)CORRECTEUR Vanne Echangeur

Capteur de pressionPs(t)

x(t) Tv(t)E

Quelle doit être le gain du correcteur à afficher pourque la pression du réacteur soit égale exactement àcelle de consigne (fixée en fonction du process) ?

CORRECTEUR

-

Pc(t) + Ps(t)Wou(p)

Wou(p) = Wvanne(p). Wéchangeur(p). Wréacteur(p). Wcapteur(p). Wtransmetteur(p)

Chap.4/ 177

Calcul de la Précision

Ps(t))(

)(

1)(

pou

pouf KW

KWpW

K

-

Pc(t) + Ps(t)Wou(p)

Pc(t)

E

Ps(t)

t

Pc(t) E

t

Pc(t)

P0

Pc(t)SYSTEM

Ps(t)

Problématique

Chap.4/ 178

Application numérique

14321)( 23

ppp

pWou

KP

KWPE

ou

11.

)0(11.)( 00

PPpPc 0)( Trouvons l’erreur suite à une variation de l’entrée

sous forme d’un saut de P0

)()(1

).(.lim

)()().(.lim)()(.lim

)()(lim)(

0

00

pPcpKW

KpPcp

pPcpWpPcppPcpPsp

tPctPsE

oup

fpp

t

Pour que E() = 0, il faut que le gain K soit INFINI. Mais, qu’en sera t-il de la stabilité de mon système ?

Calcul de l ’erreur

Chap.4/ 179

2. Stabilité du système en état fermé

.1432)(1

)()( 23 KpppK

pWpWpW

ou

ouf

)1.(23*4101

040302

0

1

2

3

KKKa

aaa

Système stable si 0 < K < 5

KPpppD 1432)( 23

Conditions de stabilité

Pour avoir une bonne précision ,il faut augmenter le gain, mais l'augmentation du gain rend le système instable

Je prends alors un gain qui m’assure une « bonne » marge de stabilité

Dilemme stabilité précision

Chap.4/ 180

Influence du gain sur la précision et la stabilité ( simulation sur Matlab-Simulink)

0 10 20 30

2

6

-1Im

2.5K=2.5Pc

MG = 10MP=inf.Ps(t)

[bar]

2 4 60

2

6

K=0.5Pc Réel

MG = 2MP=60°

2

MG = 1MP=0°

MG = 1,25MP=13,7°

=0,8

t (s)0 20 40 60

2

6K=5

0 20

0

60

40

K=6

MG = 0,83.MP=-8,9°

PcPc

( )

( ) , 26 bars

( ) , 114bars

0 20 40 60

6

t [s]

K=4

Chap.4/ 181

EXEMPLE 2

INFLUENCE DU TEMPS DE RETARD

Analyse de la stabilité Critère de Nyquist Cas 1 : K=1

Discussion : Le module maximal est égal à 1 variant de 0 à +∞

-P1

1 pe C

2( ) 1 1

1( ) ( )

KA

arctg

solutionunique:0

K M

Chap.4/ 182

Comment tracer le lieu de Nyquist : programme Matlab

Démonstration sur Matab-Simulink% TD IMA1 : DETERMINER LES CONDITIONS DE STABILITE PAR LE CRITERE DE% NYQUIST SOIT DONNEE LA FT EN BO W(p)=(k/p+1)*exp(-tau*p)%EXAMINER DIFFERENTS CAS K=1, K>1 et differentes valeurs de tau

omega=0:0.01:20 % Variation de la fréquence omega en rad/stau=0% retard pur en secondephi1=(-atan(omega)-omega*tau)%-Phi en radian % CALCUL DE PHI en DEGRE en multipliant par 180/pi)phi=phi1*180/piphi=phi'% CALCUL DE L'AMPLITUDE A(w)k=10% k=2.27 est le gain critique qui provoque le pompageA=k./sqrt(1+omega.*omega)% élement du 1er ordre%A=20*log(a)%plot(A,omega)%CALCUL EN FREQUENTIELLE%1/(1+P)*exp(-taup) (p=jw)%pour partie réelle et imaginaire de 1/1+p

Re1=1./(1+omega.*omega)Im1=-omega./(1+omega.*omega)

%Réel et imaginaire en BORe=(Re1.*cos(omega*tau)+Im1.*sin(omega.*tau))*kIm=(Im1.*cos(omega*tau)-Re1.*sin(omega.*tau))*k

% EN AJOUTANT UN DERIVATEURRe=-Im.*omegaIm=Re.*omegaplot(Re,Im)sys=tf(1,[1 1])[re,im,w] = nyquist(sys)[re,im] = nyquist(sys,w)

Chap.4/ 183

Lieu de Nyquist pour différentes valeurs du retard Tau

Tau =20

Tau=0Tau=1

Chap.4/ 184

Analyse temporelle

Tau=0

Tau=20

Tau=1

Chap.4/ 185

Influence du gain

Analyse de la stabilité Critère de Nyquist Cas 2 : K>1

Comment résoudre l’équation K=F(,)? Ev variant K jusqu’à apparition de pompage K=2.14

-P1

1 pe C K M

)()(

11

1)(2

arctg

KA

tg 1)(1 2

tg

K

2 équations 3 inconnues

)cos(1

K

Chap.4/ 186

Influence du gain

-1

Lieu de transfert pour K=2.14

Démonstration sur Matab-Simulink

Chap.4/ 187

4.9. CALCUL DE L’ERREUR DE REGLAGE

)().(1

1).(.lim)(0 pGpC

pXcpEp

-

+ Correcteur

C(p)Process

G(p)

M Xc

MXc

E

Forme générale de l’erreur

)()(.lim)()(lim)(0

pXcpMptXctMEpt

Chap.4/ 188

4.10. DIFFERENTES TYPES D ’ERREURS

-

+

Nous ne pouvons pas afficher l’image.

A) Erreur de position

Soit un correcteur pKpC )(

pXpXc 0)(

X0

)(.1

1.0lim)(0 pG

pKXE

p

C(p) G(p)

Xc M

)0(.10)(0GK

XE

0)(1 E

Conclusion sur la précision

Chap.4/ 189

-+

X0

Pour éliminer une erreur de traînageil faut placer au moins deux intégrateurs

dans dans la boucle ouverte.

B) Erreur de vitesse

20)(

pXpXc

XcM

)(.1

1.0lim)(0 pG

pKp

XEp

)(0 E

0)(2 E

)0(.0)(1

GKXE

Chap.4/ 190

Nous ne pouvons pas afficher l’image.

C) Erreur d ’accélération

30)(

pXpXc

Pour éliminer une erreur d’accélérationil faut placer au moins trois intégrateurs

dans dans la boucle ouverte.

+

MXc

-

)(0 E

0)(3 E

)(1 E

)0(.0)(2

GKXE

)(.1

1.0lim)( 20 pGpKp

XEp

Chap.4/ 191

La précision d’un SRA dépend du nombred’intégrateurs insérés dans la boucle ouverte

Classe dusystème

0 1 2 > 2

Erreur deposition

1/(1+K) 0 0 0

Erreur devitesse

1/K 0 0

Erreurd'accélération

1/K 0

4.11 Classes d’un système

Chap.4/ 192

4.1 PARAMÈTRES DE PERFORMANCES (4/4) Performances en précision

Erreur statique

Erreur dynamique


dttxtyEprt

cd 0

2)()(

s(t)

t

s(t)

t

système instable

système stable

)()(lim)()(lim0

pxpYptxty cptc

Chap. 5/193

Chap. 5 : TECHNOLOGIE ET REGLAGE DES REGULATEURS

Objectifs

Maîtriser :

La technologie des régulateurs industriels P, PI, PID, «tout

ou rien»,

la réalisation des actions P, I et D série, parallèle , mixte,

les méthodes pratiques de réglage des régulateurs en boucle

ouverte et fermée,

la vérification des actions des régulateurs,

Le rôle domaines d’utilisation des régulateurs P, PI et PID.

Chap. 5/194

VUE GENERALE D’UN REGULATEUR INDUSTRIELLE

Chap. 5/195

PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT D’UN REGULATEUR DE NIVEAU

Chap. 5/196

5.1. Technologie des régulateurs

Définitions

C

-

ProcessAlgorithme

Capteur

E

Transmetteur

Vanne

REGULATEUR

U y

M

Les différentes parties d’un régulateur

1. Les signauxMesure M

Consigne C

Sortie U

Chap. 5/197

2. Les blocs d’un régulateurSélecteur de consigne

consigne extérieure

consigne interneDispositif d’Affichage de

la Consigne DAC

Sélecteur du sens d’action

I

D

I

D

Indicateur d’erreur

module PID limiteur

P I D

M

C

transmetteur

Indicateur sortie

commande manuelle

manuel/auto

manuel

auto

L H

capteur

Chap. 5/198

5.1.2 Classification des blocs d’un régulateur3. Les réglagesA. Réglage de la consigneB. Réglage des action P, I et DC. Réglages des limites de la sortie du régulateur pour ne pas endommager

la vanneD. Réglage de la sortie en position manuelle

4. Les sélecteursA. Consigne interne et externeB. Sens d’action du régulateurC. Passage du mode automatique à manuel

5. Les indicateursA. Indicateur de consigneB. Indicateur de mesureC. Indicateur de l’erreur de réglageD. Indicateur de la sortie du régulateur

Chap. 5/199

5.1.3 Quelques indication sur les régulateurs industriels

Mesure : PV (process variable)

Consigne interne : L ou Local

Sortie : OUT (output)

Consigne externe D ou R (Distance ou Remote)

Consigne : SP (set point)

Consigne suiveuse PVT : Process Variable Tracking

Direct : Direct ou Decrease

I : Inverse ou Increase

(+) : Directe (-) : Inverse

Manuel : M, MAN ou Manual

Auto : A, Aut. Auto

Chap. 5/200

5.1.4. Classification des régulateurs 1. Selon la nature de l’énergie qu’ils utilisent

A. Pneumatique B. Electronique C. Numérique

2. Selon le type d’action

A. P-régulateur B. PI Régulateur C. PD régulateur D. PID régulateur E. Tout ou rien

3. Selon le sens d’action

A. Direct B. Inverse

Chap. 5/201

5.2. Actions des régulateurs

.U K E

KpW )(

A) Régulateur proportionnel P-régulateur

(-)P-régulateur

UEC

M

+

Définitions


Paramètres KBP 100%

KBP 100%

Rôle et domaine d’utilisation

Chap. 5/202

Sortie d’un Prégulateur

U(t)E(t)

t (sec.)

100.K E EBP

E

P-régulateurUE

idéale réelle

Chap. 5/203

B) PI Régulateur

PI-régulateurU

(-)

EC

M

+

Définitions


ParamètresBP

K%

100BPK

% 100


0

t

i

KU K E E dtT

W p K T pT p

i

i( )

1

T i u te( m in )T i u te( m in )

Chap. 5/204

Sortie d’un PI régulateur

PI-régulateurUM - C

t (sec.)

action IntégraleI

action Proportionnelle P

U(t)

KE

0

tK E dtTi

idéale

réelle

0 00

2 2fois l'action PTi

i

KU KE M C dt U KE UT

Sens physique de Ti

Ti est le temps en seconde mis par le régulateur pour répéter deux fois l’action proportionnelle, d’où l’appellation - nombre de répétitions par minute (ou par seconde).

Intégrons U(t) de 0 à Ti

Chap. 5/205

Rôle et domaine d’utilisation de l’action intégrale Dans les régulateurs industriels on affiche 1/Ti, alors Ti est d’autant plus grand que l’action

intégrale est faible.

Le rôle principal de l’action intégrale est d’éliminer l’erreur statique.

Toutefois l’action intégrale est un élément à retard de phase, donc l’augmentation de l’action intégrale (c.à.d. diminuer Ti) produit une instabilité car elle déplace le lieu de Nyquist vers la gauche.

La valeur optimale est choisie pour satisfaire un compromis stabilité- rapidité.

Si le système possède lui même un intégrateur (exemple niveau), l’action I est quand même nécessaire pour annuler l’écart de perturbation car, suite aux variations de la consigne l'intérêt de I est moindre car l’écart s’annule naturellement.

Dans l’industrie, on utilisera l’action I chaque fois que nous avons besoin, pour des raisons technologiques, d’avoir une précision parfaite - exemple : la régulation de la pression ou température dans un réacteur nucléaire. De plus, il faut souligner que l’action I est un filtre donc il est intéressant de l’utiliser pour le réglage des paramètres très dynamiques telle que la pression.

Chap. 5/206

C) PID Régulateur

PID-régulateurU

(-)

EC

M

+

Définitions


Paramètres

Rôle et domaine d ’utilisation

0

.t

di

K dEU KE E dt K TT dt

W p K T p T T pT p

i i d

i( ) . . .

1 2

BPK

% 100BP

K%

100

T i u te( m in )T i u te( m in )

Td ute( min )

Chap. 5/207

Sortie d’un PID régulateur

PID-régulateurUE

U(t)

action IntégraleI

action Proportionnelle P KE

t

idtE

TK

0

Daction dérivée dt

dETK d ..

t (sec.)

Chap. 5/208

Sens physique de Td

U Kat K.T .a U KaT Ud d 0 02

D

P

U(t)

Sortie à P : U(t) = K.at + U0

Sortie à P+D :

EKT d

EKT d

t=Td t

U Kat K.T .a U KaT Ud d 0 02

Si (M-C) = a t : entrée sous forme de rampe, on a pour t=Td :

Td représente l’écart, en temps, entre les réponses proportionnelles seules (P) et proportionnelle et dérivée (PD).Td est donc le temps d’avance d’une réponse PD par rapport à une réponse en P seule.

Soit un PD régulateur 0. UdtdETKKEU d

Chap. 5/209

Dérivée filtrée

W p T pp

d( ) .

1 W p T p

pd( ) .

1

Afin de limiter la sortie d’un régulateur ayant une action dérivée, en pratique l’action dérivée est filtrée en ajoutant un élément de premier ordre. L’action dérivée pure Tdp devient alors :

T pd.

x(t)

t

x(t) y(t)

y(t)

tDérivée pure)

Dérivée filtrée

x(t)

t

y(t)

t

x(t) y(t)11 p

amortissementlimitationT pd.

Chap. 5/210

Rôle et domaine d’utilisation de l’action dérivée L’action dérivée compense les effets du temps mort du process

Elle a un effet stabilisateur mais une valeur excessive peut entraîner une instabilité. Sur le plan de Nyquist l’action D permet de déplacer le lieu de transfert vers la droite car elle possède une avance de phase (de +90 degré).

La présence de l’action dérivée permet donc d’augmenter la rapidité du système en augmentant le gain sans être inquiété par la stabilité

Dans l’industrie, l’action D n’est jamais utilisée seule mais en général avec l’action intégrale.

On recommande de l’utiliser pour le réglage des paramètres lents tels que la température. Par contre en présence des paramètres bruités, l’action dérivée est déconseillée.

Chap. 5/211

RESUME SUR LE ACTIONS P, I et D L'action Proportionnelle corrige de manière instantanée, donc rapide, tout écart de la

grandeur à régler, elle permet de vaincre les grandes inerties du système. Afin de diminuer l'écart de réglage et rendre le système plus rapide, on augmente le gain (on diminue la bande proportionnelle) mais, on est limité par la stabilité du système. Le régulateur P est utilisé lorsque on désire régler un paramètre dont la précision n'est pas importante, exemple : régler le niveau dans un bac de stockage

L'action intégrale complète l'action proportionnelle. Elle permet d'éliminer l'erreur résiduelle en régime permanent. Afin de rendre le système plus dynamique (diminuer le temps de réponse), on diminue l'action intégrale mais, ceci provoque l'augmentation du déphasage ce qui provoque l'instabilité en état fermé. L'action intégrale est utilisée lorsque on désire avoir en régime permanent, une précision parfaite, en outre, elle permet de filtrer la variable à régler d'où l'utilité pour le réglage des variables bruitées telles que la pression .

L'action Dérivée, en compensant les inerties dues au temps mort, accélère la réponse du système et améliore la stabilité de la boucle, en permettant notamment un amortissement rapide des oscillations dues à l'apparition d'une perturbation ou à une variation subite de la consigne. Dans la pratique, l'action dérivée est appliquée aux variations de la grandeur à régler seule et non de l'écart mesure-consigne afin d'éviter les à-coups dus à une variation subite de la consigne. L'action D est utilisée dans l'industrie pour le réglage des variables lentes telles que la température, elle n'est pas recommandée pour le réglage d'une variable bruitée ou trop dynamique (la pression). En dérivant un bruit, son amplitude risque de devenir plus importante que celle du signal utile.

Chap. 5/212

D) Régulateur «tout ou rien»

CMCM

Upour0pour1U

(-)

C

M

+

Définitions


M-C

Chap. 5/213

Exemple de réglage « tout ou rien»

t

M

U

t

C

M C+

220 V

xU

M-C

Upour M Cpour M C

10

U

0

Chap. 5/214

5.3. Réalisation des actions PID

EPI PD U

Série

EP

D

IU

Parallèle

)1()1()( pTpT

pTKpC di

ic

pTpT

KpC di

c 1)(

EP

D

IU

Mixte

)11()( pTpT

KpC di

c

Chap. 5/215

5.4. Réglage des paramètres des régulateurs

Comment augmenter les performances d’un SRA

structure et algorithmes modernesde commande

Mét

hode

s thé

oriq

ues d

e ré

glag

e

Mét

hode

s pra

tique

s

Rég

lage

par

ant

icip

atio

n

Rég

lage

en

casc

ade

Com

pens

atio

n du

tem

ps m

ort

Com

man

de a

dapt

ativ

e

Com

man

de p

ar re

tour

d’é

tat

Com

man

de m

ultiv

aria

ble

Calcul des paramètres du régulateur

Chap. 5/216

5.5. Méthodes théoriques de réglage

22121 )(1 pp

Ko

pTpTTpT

Ki

dii2...1

PIDU

M

(-)

M - CC

M

+G(p)

M Problématique

M

(-)

CM

Si je metsT

T Ti

i d

1 2

1 2

T

T

i

d

1 2

1 2

1 2

pKoK

21

.

M

(-)

CM Avantages

et inconvénients

Chap. 5/217

5.6. Méthodes pratiques de réglage

x(t) x

4 8 120

0.5

1

t(sec.)

y(t)

T

instable

Ttytg

stable

UM

(-)

M - CC

M

+ M

K yx

K tgx

yt x

s

i

Gain statique du systéme stable en boucle ouverte

Gain statique du systéme instable en boucle ouverte..

1. En boucle ouverte

Y

Chap. 5/218

Choix du mode de réglage dans le cas d’un système instable

Choix du type de régulateur en fonction de la réglabilité Réglabilité

T

10 à 20

5 à 10 2 à 5 > 20 < 2

Régulateur P PI PID tout ou rien

limite de PID

1,0.05,0 iK

2,0.1,0 iK5,0.2,0 iK

.005,0 iK5,0. iK

P

PI

PID

Tout ou rien

Limite du PID

Chap. 5/219

Calcul des actions P, I et D pour les systèmes stables

Modes Action

P PI série

PI parallèl

e

PID série

PID parallèle

PID mixte

K sKT.8,0

..8,0

sKT

..8,0

sKT

..85,0

sKT

sK

T

.2,1

4,0

sK

T

.2,1

4,0

Ti Maxi. T 8,0.sK T

75,0.sK .4,0T

Td 0

0

0

0 4, . sK

T.35,0 T

T.5,2

Calcul des actions P, I et D pour les systèmes instables

Modes Action

P PI série PI parallèle PID série

PID parallèle PID mixte

K iK8,0

iK8,0

iK8,0

.85,0

iK 0 9,

.Ki 0 9,

.Ki

Ti Maxi. 5 Ki ., 2

0 15 4,8

15,0. 2iK 5,2

Td 0 0 0 0 iK

35,0 0,4

KS. doit être sans unité

Si on est en limite de PID on doit utiliser des boucles multiples cascade, ou régulateurs numériques

Réglage pratique en boucle ouverte : paramètres du régulateur à afficher

Chap. 5/220

REGLAGE EN BOUCLE FERMEE : Méthode de Ziegler et Nichols

T

Ti Td BPM

C

-

2. Réglage en boucle fermée

Action/Paramètres

P PIsérie

PIparallèle

PIDsérie

PIDparallèle

PIDMixte

K Kcr/2 Kcr/2.2 Kcr/2.2 Kcr/3.3 Kcr/1.7 Kcr/1.7

Ti Maxi T/1.2 2T/Kcr T/4 0.85T/Kcr T/2

Td 0 0 0 T/4 T*Kcr/13.3 T/8

pTpT

KrpW di

1)(

Limites de la régulation PID : Prédicteur de Smith

Cas d’un procédé avec retard

Soit un régulateur de fonction de transfert

TTTi , :poseon si 0 pKK

TpWf

R 0

01

1)(

Alors

Régulateur irréalisable car on ne peut pas technologiquement réalisé exp(TP) car elle signifie que l’n connaît par avance le signal de sortie

du module avant d’avoir exécuté une variation d’entré.

)( pWRpe

pTK .

0

01

Régulateur PIProcess

(-)

C ME u

TP

i

iR e

pTpT

pW

1

1)(

Chap. 5/221

Limites de la régulation PID : Prédicteur de Smith

Conclusion Avec un régulateur PI et PID, il est impossible de réaliser une régulation

convenable dés que l’on est en présence de procédés possédant un retard important ou un ordre élévé.

Remède Réaliser une régulation qui exclut le retard pur ou l’ordre n de la boucle

de régulation

)( pWR(-)

C ME upe .

pTK

0

01

Mi

)( pWR(-)

C ME upT

K

0

01

MipT

K

0

01 pT

K

n10

Exclure le retard pur

Exclure l’ordre nChap. 5/222

Prédicteur de Smith

Hypothèses sur le modèle du procédé FT connue et de la forme :

Structure de la régulation

pp epGeTP

KopG

).(1

)( 1

)( pC(-)

C ME upT

K

0

01

Mi pe .

G1(p)

C(p): Compensateur recherché

Chap. 5/223

Prédicteur de SmithObjectifs assurer les performances de base (stabilité, rapidité et précision) par une

approche directe basée sur la connaissance d’une fonction de transfert du procédé.

Principales difficulté de la régulation des procédés retardés Problèmes de stabilité à cause du retard Temps dev réponse du système en BF Le temps de retard est incompressible car il dépend de la position du

capteur

Alors : Il faut anticiper l’effet du retard pour le compenser d’où le nom

« PREDICTEUR » et réduire la constante du temps T

Chap. 5/224

Synthése du compensateur de Smithrrecteur1. On fait abstraction du retard, autrement dit, on le considère

extérieur à la boucle (Système S1). On détermine alors un régulateur R classique (par ex. un PI) pour corriger

la partie dynamique G1(p)=Ko/(1+Top) du modèle global G(p) .

Puisque le retard est à l’extérieur de la boucle on peut choisir par exemple Ti pour compenser To et Kr pour diminuer le temps de réponse en BF

S1

)( pR(-)

C ME upT

K

0

01

Mi pe .

G1(p)

TipTipKrpR 1)(

S1

Chap. 5/225

Calcul de C(p)2. On va chercher le compensateur C(p) qui inclut R(p) et qui

permet de compenser le retard (Système S2)

Comment ? En considérant que S1 et S2 sont équivalents : on identifie la FTBF de S1

à celle de S2

)( pC(-)

C ME upT

K

0

01

Mi pe .

S2G1(p)

Chap. 5/226

Principe Prédicteur de Smith : Calcul de C(p)

Principe Chercher un compensateur C(p) tel que les deux systèmes S1 et S2

soient équivalents :.

pe .)( pC(-)

C EpT

K

0

0

1

)( pR(-)

C ME upT

K

0

01

Mi pe .

M

G1(p)

pepGpR

pGpRpGBF

.)().(1

)().()(11

1

p

p

epGpCepGpCpGBF

)().(1)().()(2

1

1

peRGRpCpGBFpGBF

111

)()(2)(1

Chap. 5/227

Synthèse de C(p)Schéma équivalent

peRGRpC

111

)(

)( pR(-)

C ME u pepT

K 0

01

G1(p)

)(11 pGe p

(-)

G (p): Procédé

C(p): Prédicteur de Smith

Chap. 5/228

Chap. 5/229

)( pR(-)

C ME u pepT

K 0

01

G1(p)

)(11 pGe p

(-)

G (p): ProcédéC(p): Prédicteur de Smith

E1

E2

(-)

C

pT

pTKi

iR

1 pepT

K .

0

01

pTeK

p

00 1

1

CompensateurE1

E2

F(p)

McWo(p)

Wc(p)

ProcessR(p) M

Synthèse du correcteur de SmithConclusions le prédicteur de Smith est parfaitement déterminé

si l’on connaît une fonction de transfert du procédé un régulateur R adapté à la dynamique du procédé (hors retard).

Autrement dit, l’ensemble des paramètres de ce compensateur est constitué par : ceux du procédé (K0, T0 et le retard ) ceux du régulateur R(p) (Kr et Ti)

Remarques Pas de problèmes de stabilité en théorie, mais en pratique la

simplification ne conduit pas exactement à un système du 1er ordre Inconvénient de la méthode Le régulateur ne capte pas la mesure mais le signal compensé

Chap. 5/230

COMMANDE A L’AIDE DE L’ANALYSE FREQUENTIELLE

Chap. 5/231

Chap. 6/232

Chapitre 6 : PROJET D’UN SYSTEME DE REGULATION INDUSTRIELLE


Maîtriser sur un exemple concret (un four tubulaire) :

Les étapes de réalisation d’un projet de régulation, la présentation d’un cahier de charge, comment identifier un processus, l’analyse et la synthèse d’un SRA surtout en régulation (par rapport à la perturbation), examiner l’influence des action P, I et D ainsi que d’un régulateur tout ou rien sur la dynamique

du SRA, comment régler les paramètres d’un régulateur, observer les limites d’une régulation PID lorsque le système présente un retard pur important, introduction des notions de la régulation avancée.

P.S. Les résultats sont simulés à l’aide du logiciel Matlab-Simulink, les schémas de simulation sont donnés à chaque analyse.

Chap. 6/233

6.1. Etapes de réalisation d’un projet d’un SRA

Déf. du process et des objectifs E/S

Lois physiques, bilan, hypothèses

Planification des expériences


Estimation des paramètres

Choix de la structure du modèle

Connaissance à priori

Choix du critère d’identité

Synthèse de régulation

Simulation

Modèle de connaissance

CAHIER DE CHARGE: objectifs

AN

ALY

SE

conn

aiss

ance

Validation sur site

Réalisation définitive

Modèle de conduite NonOuiadéq.

Logistiqueactionneurs, régulateurs, transmetteurs...

SYN

THE

SE

com

man

de

Chap. 6/234

6.2. Définition du processus et des entrées-sorties

Pétrole brutPétrole chauffé

Ts

-

Ts-Tc

1

PRAir (O2)

FI THS

FVCU

Conigne TcAR

AR

FR

TRC

TT1

1

111

2

Gaz

Chap. 6/235

6.2.2. Définition des entrées-sorties

Schéma fonctionnel du système de régulation

-

Tc U Ts1

TRANSMETTEUR ET CEP DE TEMPERATURE

REGULATEUR VANNE CONDUITE DE GAZ

FOUR

CONDUITE DE PETROLE


Auto.

Manu..

x Pg

Ts

-

Qp(t)

T

Définition des entrées-sorties (E/S): On définit d’abord les entrées-sortie : les variables à régler, réglantes et de

perturbations Ts(t) - Grandeur de sortie ( température à la sortie - c'est la grandeur à régler ), Valeurs

maximales et minimale de la variation de température : Tsmax = 170°c, Tsmin=20 °c ; Tso -Valeur nominale de la température le fonctionnement Tso = 80 °C

Pg (t) - Grandeur d'entrée ( pression du gaz combustible - Grandeur réglante ); Valeursmaximales et minimale de la variation de la pression du gaz combustible : Pgmax = 5 bars,Pgmin = 0bar ; Pgo - Valeur nominale de la pression du gaz combustible Pgo = 2 bars ;

Qp - Débit du pétrole à l'entrée (perturbation); Débit nominale du pétrole à l'entrée : 20 m3 /s; Qpmax = 30 m3 /s Qpmin =10 m3 /s . Il existe aussi d’autres perturbations (pouvoircalorifique du gaz, température ambiante etc...) que nous considérons comme constantes.

x : déplacement du clapet de la vanne [0 à 6mm]

U : sortie du régulateur pneumatique [0,2-1bar]; valeur nominale (0,6 bar)

Chap. 6/237

6.2.3. Influence des perturbations

Influence des perturbations : Grâce à la propriété de superposition des systèmes linéaires, on peut étudier

séparément l’influence des perturbations et de la commande sur la sortie du système. Ici pour simplifier la démarche on analyse uniquement une seule perturbation, celle du débit d’entrée du pétrole.

1. En boucle ouverte (sans correction) : La sortie subit l’influence de la commande (ici en manuelle) et celle de la perturbation (Qp(p)) avec un signe (-) car l’augmentation du débit provoque la diminution de la température (le produit arrive à un température plus basse que celle du four)

Wz(p)

Ts(p)

Qp(p)

G(p)U(p)

-

+

)().()().()( pWzpQppGpUpTs

6.2.3. Influence des perturbations

2 En boucle fermée (avec correction)

)().(1)()(

)().(1)().().()(

pGpCpWzpQp

pGpCpGpCpTcpTs

Wz(p)

Ts(p)

Qp(p)

G(p)U(p) (+)

C(p)Tc(p)

(-)

(-)

Chap. 6/239

6.3. Cahier de charge

Comment choisir le cahier des charges Le point de départ de n'importe quel projet est le cahier de charge. Pour

un système de régulation, les spécifications restent souvent vagues en raison surtout de la grande diversité de problèmes de régulation. Les critères qualitatifs à imposer dépendent d’abord de la nature du processus à régler. A titre d’exemple, on ne peut imposer aveuglément un processus transitoire rapide ou un taux d’amortissement de 0,75 pour n’importe quel système. En effet l’asservissement d’un ascenseur (qui nécessite un confort pour les passagers) ne tolère pas par exemple d’accélération . Les dépassements de la pression régulée dans un réacteur nucléaire ne doivent pas atteindre les seuils limites de tarage des soupapes de sécurité etc...

6.3. Cahier de charge Les critères de performances classiques

Stabilité : Cette condition est impérative mais avec une certain degré de stabilité (marge de sécurité). En

général on impose une marge de gain de 2 à 2.5 . L’utilisateur parle en terme de «pompage».

Précision : L’exploitant demande à ce que le système possède une bonne précision en régime permanent d’où

une nécessite de mettre un PI régulateur ou d’afficher un gain important dans le cas d’un P régulateur.

Rapidité On demande en pratique que le système soit capable rapidement de compenser les perturbations et

de bien suivre la consigne.

Dépassement : En général on recommande un SRA dont le régime transitoire soit bien amorti et dont le

dépassement ne dépasse pas 5 à 10% la valeur nominale.

Dans notre cas on exige à ce que la température de sortie soit égale à celle de consigne et que les

perturbations soient entièrement compensées. Le régime transitoire doit être assez rapide en raison de la grande inertie du four et bien amortie (5 à 10)

Identification des processus

Définition : L’identification d’un système c’est la détermination de son modèle

mathématique sur la base des observations expérimentales entrées-sorties. Le traitement mathématique des réponses graphiques du système est appelé IDENTIFICATION. Le modèle obtenu est dit de conduite ou de représentation

Principe 1. Étape qualitative : Sur la base d’une connaissance à priori du système à

identifier, on fixe une structure du modèle comportant des coefficients inconnus.

2. Étape quantitative : Elle consiste à la détermination des coefficients inconnus du modèle de façon que la différence entre les N sorties réelles du système et celles du modèle soit minimale selon un critère donné qu’on résout par un algorithme d’identification.

S i w ( p ) =a

b, D é t e r m i n e r a , b t e l q u e i

ii i

p

pY s i Y m i i m a l e

i

ii

N

( ) ( ) m i n .2

1

Identification des processus

3. Vérification du modèle :

,.....,....,, 1010 bbaa

PROCESS

Ys(t)Entrées

sortie modèle

sortie process

Ym(t)

x(t)

+

-MODELE

W pa p

b pi

i

ii( )

Algorithme d’identification

m a x Y s ( i ) - Y m ( i ) 5 %

6.4.3. Problématique pour le système étudié

Logistique

Déterminer les fonctions de transfert :Auto.

T

-

TcU

Ts1C(p) Wv(p) Wcg(p)

Wz(p)

Wct(p)

Manu..

x Pr

Qp

Ts

-

+Wf(p)

U(p) Wv(p) Wcg(p) Wf(p) Wct(p)Ts(p) U(p)

G(p)Ts(p)?

Wz(p)

?

Ts(p)Qp(p)

6.4.4. Identification d’un élément de premier ordre Expérimentation

Dans ce cours, nous utiliserons les méthodes de base. Nous appellerons les méthodes de based'identification , les méthodes s'appuyant sur les propriétés graphiques des réponses fondamentales(indicielle harmonique et impulsionnelle). Ces méthodes sont très utilisées par les spécialistes derégulation et des servomécanismes car elles fournissent un précision suffisante et ne nécessitent pasl'utilisation d'un outil mathématique compliqué. On peut traiter aussi bien la réponse indicielle,impulsionnelle qu'harmonique, mais l'un des signaux d'excitation le plus fréquent a mettre en oeuvre estl'entrée en échelon. L'amplitude de l'échelon doit être choisie telle que le système ne sorte pas dudomaine linéaire d'une part et les observations mesurables d'autre part

Méthodologie1. Dans un système de régulation en fonctionnement, le correcteur est d'abord mis en fonctionnement

manuel. On attend que le système soit bien stabilisé2. On applique au système un signal en échelon de + ou - 10% de la valeur nominale de fonctionnement (afin

de ne pas trop perturber le système ) L'échelon d'entrée peut représenter le déplacement du clapet de lavanne . La réponse est enregistrée à la sortie du transmetteur dont la vitesse du déplacement du papierdiagramme doit être choisie de façon que la réponse soit exploitable . Le modèle de conduite ( ou lafonction de transfert ) à déterminer du traitement de la réponse graphique décrit l'ensemble des systèmes( vanne, objet, capteur, transmetteur)

Expérimentation

PROCESS

VANNE

CAPTEURTRANSMETTEUR

SYSTEME A IDENTIFIERSALLE DE CONTROLE

C

10 %

REGULATEUR

6.4.5. Identification de la fonction de transfert par rapport à la perturbation

Identification de Wz(p) : Expérimentation

Wz(p))Ts(p)Qp(p)

?

0 510

15 20 25 30 3580

85

90

95Ts(t)[°c]

t (main.)T=10

Ts c 15

Qp(t)[m3/s]

t

23

Qp m s 3 3 /

20

6.4.5. Identification de la fonction de transfert par rapport à la perturbation

Étape qualitative : structure du modèle

Etape quantitative : calcul des paramètres du modèle

Wz p KTP

( ) 1

KTsQp

cm s

c m s

T

153

5

10

33

/.[ / / ]

min

Wz pc m s

p( )

( / / )

51 10

3

K

TsTs

QpQp

max

max

,

15170 20

330 10

066Wz p

p( ) ,

066

1 10gain relatif

C. Vérification du modèleOn détermine alors l’erreur relative maximale qui doit être inférieure à 10%.

Notons qu’en général il est commode de prendre un gain unitaire (cela n’influe pas évidemment sur le résultat). Pour avoir la sortie en °c on multiplie par la valeur maximale soit 150°c

Tm t Lp p

et

( ) , . , , * , [ ]

1 100 15 0 66

10 10 15 0 66 1 Tm t c e c c

t

( ) , * , * [ ]

0 15 0 66 150 1 8010

95

0 5 10 15 20 25 30 3580

85

90

Ts(t)Tm(t)

Tm(t)

Ts(t)

t [min] Ts(t) °c Tm(t) °c abs(Tm-Ts)0 80 80 03 84,35 83,89 0,466 87,60 86,77 0,839 89,60 88,90 0,712 90,95 90,48 0,4715 92,30 91,65 0,6518 92,70 92,52 0,1821 93,5 93,16 0,3524 93,88 93,63 0,2527 94,5 93,99 0,5130 94,6 94,25 0,3533 95,00 94,44 0,56

Emax=0.83/15=5.53%

6.4.6. Méthode de Broîda : Identification de la dynamique du four

1. Identification de G(p) : Expérimentation

U10%

t

60%

0%

50%

100%

0,68bar

1 bar

0,6bar

0,2bar

Us(t)

UG(p)

Ts

8010 20 30 40 50 60 70 80

Ts(t)

84

88

92

96

100

t1

t2

Ts c 20

t t1 26 9 min, min

t (min.)

courbe expérimentale Ts(t)

KT p

e p1

. TsU K T et, ?

Principe de la méthode Broîda

principeLa méthode de Broîda est une méthode d'identification en boucle ouverte d'une réponse indicielle expérimentale qui consiste a assimiler la fonction de transfert d'un système d'ordre n à celle du premier ordre affectée d'un retard pur

Le problème d'identification : déterminer les paramètres suivants T, Constante du temps (sec.), :

Temps de retard pur (sec.) :

KTp

e p1

.

Calcul des paramètres du modèle de Broîda

MéthodologieBroîda fait correspondre la réponse indicielle à identifier et la fonction de

transfert du 1er ordre affectée d'un retard en deux points t1 et t2

d'ordonnées correspondant à 28% et 40% de la valeur finale de la sortiedu système.

Paramètre du modèle

Modèle final

1 0 28

1 0 40

2 8 1 8

1

21 2

e

e

t t

tT

tT

( )

( ),

,

, ,

1 0 28

1 0 40

5 5

1

12 1

e

e

T t t

tTtT

,

,

,

2 8 6 1 8 9 0 6 5 5 9 6 16 5

20170 20

0 081 0 2

13 3%10%

1 33

, * , * , m in , , . , m in

m ax

m ax,

,

, ,

T

K

TsTs

UU

2 8 18 5 51 2 2 1, , , , . ,t t T t t K ysxe

2 8 18 5 51 2 2 1, , , , . ,t t T t t K ysxe

ppe

ppG p

6,015,16133,1

5,16133.1)( 6,0

ppe

ppG p

6,015,16133,1

5,16133.1)( 6,0

6.4.7. Modèle du système global à commander

T

-

Tc(p) U(p) Ts(p)-

G p

p p( ) ,

, ,

133

1 165 1 06

Wz pp

( ) ,

0 66

1 10

+C p( )

Qp(p)

50%

60%

U 10%

U

pppG

6,015,16133.1)(

Système réel

0 20 40 60 80 1000

100%

Tm(t) : Sortie modèle

Ts(t) : Sortie système

Ts(t)Tm(t)

Ts(t)

Tm(t)U(t)

Chap. 6/253

PIDPID Controller Transport

Delay

+-Sum

110s+1

Conduitepétrole

1.339.9s +17.1s+12

FOUR+vanne

++

Sum1

PerturbationZ

ConsigneC

6.5. Synthèse du système de régulation continue 6.5.1. Schéma fonctionnel du système à réguler

6.5.2. Schéma de simulation sur Matalab-simulink : Afin d’analyser aussi l’influence du retard sur les performances du système, on insère sur le schéma de simulation un bloc de retard pur (Transport delay). Remarque : Le bloc PID controller MASK Controller est donné sous forme : P+I/s+Ds où P est le gain Kr, I le temps d’intégration Ti et D l’action dérivée Td alors que s est l’opérateur de Laplace. Si on souhaite afficher les paramètres du régulateur série de fonction de transfert donnée sous la forme C(p) = Kr[1+1/(Ti.p) + Tdp] alors P correspond à Kr, I correspond à Kr/Ti, et D correspond à Kr*Td.

T

-

Tc(p) U(p) Ts(p)+

G p

p p( ) ,

, ,

133

1 16 5 1 06

Wz pp

( ) ,

0 66

1 10

+

Qp(p)

PID

Chap. 6/254

6.5.3. Analyse du système en boucle ouverte (sans régulation)

Nous noterons le paramètre à régler (la température) par M, sa consigne Tc par C et l’échelon de la perturbation par Z0. Analysons les réponses indicielles du système par rapport à la consigne et à la perturbation en boucle ouverte. Il suit de ces réponses que les temps de réponse sont importants (51,33min.), que la perturbation n’est pas éliminée et l’erreur statique (M-C) est de 57% (1,33/(1,33+1)*100%=57%) d’où une nécessité de régulation.

6.5.4. Objectifs de la régulation 1. Eliminer les perturbations (ici le débit du produit à chauffer), mais aussi toutes les perturbations en réalité, puisque elles agissent toutes sur la sortie2. «Bien» suivre la consigne , «bien», cela signifie sans trop de dépassement (5 à 10%), un systéme rapide, une erreur statique nulle et surtout un système en boucle fermée assez stable (MG=2 par exemple)

0 20 40 600

0.5

Z0

1.5

Time (min.)

Réponse en BO de la températurepar rapport à la perturbation

M

tpr = 30min.

0 20 40 60 80 1000

0.5

1.5

Time (min.)

Réponse en BO de la températurepar rapport à la consigne

tpr = 51,3min. =3(T1+T2)

C

M

Chap. 6/255

6.5.5. Régulation continue (PID)

1. P- régulateur : Pour avoir l’action P, on affiche sur le logiciel I=0 ce qui correspond à Ti infini et Td (D)=0. Dans ce cas nous avons en boucle fermée un système du deuxième ordre, nous avons intérêt à prendre un gain qui nous assure un bon amortissement (voir chapitre 3, page 111) .

Rappelons que ai sont les coefficient du système en boucle ouverte.

Remarque : Ce cas est en réalité trivial, car le système est absolument stable (les coefficients étant positifs), on affiche donc un gain assez fort sans vraiment être inquiété par l a stabilité du système. Par contre , l’erreur est inévitable, si les dépassements ne sont pas néfastes pour le système, on affiche une bande proportionnelle minimale. On fait remarquer que le gain Kr=50 est fantaisiste car, dans les régulateusr industriels une BP correspondante soit de 0.2% (1/50) n’est pas affichable (en général la plage est de 3 à 500%).

Wou pKr

p pPour avoir on choisit Kr

a a aa

soit Kr( )* ,

, ,. , , * , , : ,

1 339 9 17 1 1

0 712

1 332

210 3522

12

0 2

2

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

C

Time (min.)

Mvaleur optimale Kr=10.352

M

0 10 20 30 400

0.5

C

1.5

Time (min.)

Kr=5

Kr=50

Influence du gain sur la réponse

Kr=10,352

Chap. 6/256

2. PI régulateur

Analysons l'influence de l’action intégrale sur la stabilité : Fixons Kr=1 et varions Ti et observons la réponse du SRA par rapport à la perturbation (régulation) et à la consigne (poursuite).

Time (min.)0 200 400 600-2

-1

0

C

2

Ti=0,4min

Poursuite

100Time (min.)

0 20 40 60 80-1

-0.5

0

0.5

C

1.5

2

Ti=2min

Poursuite

Time (min.)0 200 400-1

-0.5

C

0.5

Z0

Ti=0,4min

élimination de la perturbation

Régulation

0 20 40 60 80 100-1

-0.5

C

0.5

1

Time (min.)

Ti=2min

Z0

élimination de la perturbation

Régulation

En augmentant Ti, lesystème devient plus stablemais moins «agile».

Chap. 6/257

3. PID (Influence de l’action dérivée en régime de régulation)

Manipulation : Amenons d’abord le système en régime d’instabilité en augmentant par exemple le gain ou en diminuant Ti : Soit (Kr=2 Ti = 0,4min , Td=0) ), puis introduisons l’action dérivée et analysons son influence sur la stabilité. Toutes les courbes représentent les réponses du SRA par rapport aux perturbations.

0 200 400 600-3

-2

-1

C

2

3

Time (min.)

Ti=0,4Kr=2

M

Z0

Td=0

0 200 400-0.2

-0.1

C

0.1

M

Time (min.)

Td=0,8

Ti=0,4Kr=2

0 50 100 150-0.1

-0.05

C

0.05

Z0

Time (min.)

Ti=0,4Kr=2

Td=5

0 10 20 30 40 50-0.1

-0.05

C

0.05

Z0

Time (min.)

Td=5 Ti=0,4Kr=10

Le système avec PI est instable, J’introduis alors l’action D, il se stabilise.

le système se stabilise,ce qui me permet d’augmenter le gain Kr

Z0

Chap. 6/258

6.5.6. Régulation discontinue ( tout ou rien)

Analysons l’influence de la zone morte d’un relais sur la précision et la stabilité du SRA. On remarquera sur les résultats de simulation ci-dessous qu’il existe un dilemme zone morte (dead zone) - stabilité, précision ; Si le relais (régulateur tout ou rien) ne possède pas une zone morte, le SRA est précis, mais introduit des auto-oscillations (nuisibles pour la vanne). Si par contre, on introduit une zone morte importante, le pompage disparaît mais la précision est mauvaise.

0 200 400 600 800 t (min.)0

0.2

0.4

0.6

0.8

M

C

0 200 400 600 800 t (min.)0

0.5

M

commande avec relais

idéal (sans zone morte)


idéal (sans zone morte)commande avec relais

réel (avec zone morte)


réel (avec zone morte)

J’introduit une zonemorte au relais

le pompage disparaîtmais l’erreur de réglageaugmente

C

+-Sum

110s+1

Conduitepétrole

++

Sum1

GraphPerturbation

Z

ConsigneC Relay Dead Zone Transport

Delay

1.339.9s +17.1s+12FOUR+vanne

Chap. 6/259

6.5.7. Réglage du correcteur

1. Méthode théorique - Compensation des constantes de temps du système par un PIDLes méthodes théoriques nécessitent toutes un modèle, c’est pourquoi leur efficacité dépend de la précision du modèle appliqué. Aussi, leur utilisation reste très limitée dans l’industrie. Ces méthodes sont nombreuses, appliquons à titre d’exemple, la méthode de compensation. Nous avons vu au chapitre 4 page 135 qu’il était possible de choisir les valeurs des paramètres du régulateur de façon à compenser les constantes de temps du four.

Valeurs des paramètres du régulateur

Remarque : Il est évident que la compensation des paramètresdu système dans la pratique n’est pas aussi évidentequ’en simulation, car, le modèle n’est pas toujoursexact et de plus les coefficients du modèle varientconstamment dans les conditions réelles defonctionnement : Il suffit par exemple quele dépôt de coke soit plus important par suite d’unemauvaise combustion du gaz que le coefficientd’échange de chaleur (paramètre du modèle) varie etc...

T

T

i

d

1 2

1 2

1 2

16 5 0 6 17 1

0 5789

, , ,

,

T

T

i

d

1 2

1 2

1 2

16 5 0 6 17 1

0 5789

, , ,

,

0 10 20 30 40 50

C

0.05

Time (min.)

Z0Ti=17.1Kr=10td=0,5789

Réponse par rapport à la perturbation en BFdu système compensé

Chap. 6/260

Influence du temps de retard sur la stabilité du systèmeLimite du PID et de la régulation classique

Introduisons un retard pur dans le système à commander. Analysons l’influence de ce temps de retard pur sur la stabilité du système. Le schéma de simulation est donné plus loin. La fonction de transfert du four devient :

0 10 20 30 40-0.03

C

Time (min.)

Z0 0 2, Ti=0,4

Kr=10td=5

0 10 20 30 40-0.03

Time (min.)

Z0

C

Ti=0,4Kr=10td=5

0 3,

Time (min...)0 10 20 30

-0.5

0 32,

C

Z0Ti=0,4Kr=10td=5

C

0 10 20 30 40 50Time (min.)

Z0Ti=6Kr=1td=5

0 32,

J’augmente le retard purdans le système,

on est contraint de diminuer,le gain Kr et le temps Tiau sacrifice d’autres performances

d’où les limites de la régulation PID.

G pp p

e p( ),

, ,

1 33

1 16 5 1 0 6

G pp p

e p( ),

, ,

1 33

1 16 5 1 0 6

Chap. 6/261

2. Méthode pratique de réglage du régulateur en boucle fermée

On introduit un retard pur au système (sinon le système ne sera jamais en régime de pompage). Sur le schéma de simulation sur Simulink du SRA , on met le correcteur en action P (Ti=max, Td=0 ou I=0, D=0 sur le PID controller de Simulink) et on augmente le gain jusqu'à apparition du pompage, on fixe alors le gain critique Kcr et la période de l’auto-oscillation puis on détermine les paramètres du régulateur par la méthode de Ziegler et Nichols en sachant que le PID est de type série ( voir tableau de Ziegler et Nichols).

0 2 4 6 t(min.)0

0.5

1.5

2

2.5

C

MParamètre affichésTi=18.18Td=9,38Kr=25.76

Réponse indicielle en BF du PID

0 5 10 15 t (min.)0

0.5

1.5

2

2.5M

C

Kcr=43,80T=2,85min

T

Obtention du régime de pompage

38.93.13

*

18.181055,085.0*

76,257.1

crd

icri

KTT

TKTT

KcrKr

paramètres affichés

Retard=0.32

PIDPID controller

GraphM

++

Sum1

PerturbationZ0

0.6610s+1

Conduite pétrole

1.339.9s +17.1s+12FOUR, Vanne

+-SumConsigne

C

6.6.Notion de régulation avancée

Limite de la régulation PID Lorsque la régulation classique PID est incapable de stabiliser ou de réguler le processus, on doit ou bien changer la structure du système

de commande ou proposer d’autres algorithmes de commande plus sophistiqués. Ces méthodes sont communément appelées méthodes avancées de régulation.

La liste des méthodes modernes de réglage (commande floue, par réseaux de neurones, horizon infini etc...) est exhaustive mais ces méthodes restent pourtant encore du domaine de la recherche. Il est important de souligner que pratiquement toutes ces méthodes nécessitent un modèle ce qui évidemment limite leur utilisation à des systèmes simples ou de structure rigide tels que les systèmes mécaniques (robotique et aviation). En génie des procédés, on utilise surtout les méthodes classiques que nous venons de voir. Le présent cours est limité uniquement à la régulation monovariable , nous citerons toutefois pour information le principe des quelques méthodes les plus simples : cascade, prédictive et auto adaptative.

Régulation prédictive (feedforward control): Ce mode de réglage dit aussi de compensation de perturbation ou à boucle combinée permet , d’éliminer l'effet de la perturbation

principale (débit du produit à chauffer) avant qu’elle ne se répercute sur la variable à régler (la température) d’où un effet de prédiction. Cette régulation ne prend en compte qu’une seule perturbation, c’est pourquoi une telle commande est justifiée si la perturbation est bien localisée et qu’en plus elle subit des variations brutales et importantes. Le principe simple, consiste à déterminer et de réaliser la transmittance du compensateur Wc(p) de façon que l’effet de Qc(p) sur Ts(t) soit nulle.

Régulation autoadaptative : Nous avons vu que la régulation PID a ses limites lorsque les temps de retard sont importants ou lorsque les perturbations sont trop

grandes. Les paramètres optimaux à afficher du régulateur dépendent évidemment du modèle or, dans les processus réels (surtout en génie des procédés), les caractéristiques physiques changent en permanence. A titre d’exemple, une vitesse de réaction chimique dépend d’abord de l’état du catalyseur, les constantes de temps dans les fours dépendent du dépôt de coke dans les tubes etc... L’idée de la régulation auto adaptative est alors de calculer en temps réel le modèle du processus à commander (par des algorithmes appropriés) et de déterminer les paramètres ou la structure du régulateur numérique en fonction du critère d'optimalité imposée. Il est clair que dans ce cas les régulateurs sont numériques. A cet effet on excite le processus par un ensemble d’impulsions (qu’on appelle Séquences Binaires Pseudo Aléatoire SBPA) et on traite les sorties correspondantes pour déterminer le modèle par des algorithmes de type moindres carrées de récursifs.

Chap. 6/263

6.7 Quelques principes de régulation avancée

TcAir (O2)

Ts

Gaz

Produit à chauffer

-

calculateur

identification temps réel

régulateur numériqueauto ajustable

critère d’optimalité

Régulation auto adaptative

Tc

Air (O2)

Ts

FRC TRCFc

Gaz

Produit à chauffer

FR

-

-

Ts

TRC

Tc

Gaz

Produit à chauffer

-

FT1

Régulation en cascade Régulation prédictive

Wc(p)

FR

Chap.1/264 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’LilleChap1: INTRODUCTION

264

Partie IIPartie II

COMMANDE NUMERIQUE

Belkacem OULD BOUAMAMA


SommaireSommaire

1. Rôle et définition d’une commande numérique 2. Eléments constitutifs et mise en œuvre Structure d'un système de commande numérique Fonctions d'un calculateur ; Critères de choix des paramètres (échantillonnage, quantification, numération et codage ; Mise

en œuvre (Filtrage et multiplexage des signaux analogiques) ; conversion analogique-numérique,

Régulateurs numériques PID. Commande en temps discret.


COMMANDE NUMERIQUE: pourquoi?COMMANDE NUMERIQUE: pourquoi?

Régulation continue : apparition en 1840 (Watt) encore très utilisée

Régulation numérique Depuis 1959 (commande d ’une unité de polymérisation Texaco de Port Artur,

Texas),Limites de la régulation analogique

Manque d’auto-adaptivité Les paramètres du correcteur continu ne sont pas évolutifs

Transmission sensibles aux bruit Précision faible Programmation des algorithmes figée (peu flexible) Archivage des données inexistant (nécessite des CAN) Temps de réponse lent (contrôleur pneumatique, analogique ,…) Difficulté de mise en œuvre des algorithmes de commande avancée (retour d’état, observateur

…)


Régulation numérique : Eléments constitutifsRégulation numérique : Eléments constitutifs

CNA : Convertisseur Numérique AnalogiqueCAN : Convertisseur Analogique Numérique

C E+

PROCESS

(-)

CAPTEURTRANSMETTEUR

CNA

M

YUn Ua

CAN


Eléments industrielsEléments industriels

Régulateur numériqueRégulateur numérique

Salle de contrôleSalle de contrôle

Cap

teurs

Cap

teurs

Actionneurs

Actionneurs

ProcessProcess


Avantages et inconvénients d’une commande numériqueAvantages et inconvénients d’une commande numérique

Avantages Informations numériques transmises peu sensibles au bruit Elaboration de consignes sous forme de programmes Calcul optimal des paramètres de réglage (régulateur auto-adaptatifs) Gestion des alarmes, autodiagnostic Commande embarquée Gestion statistique des données Programmation simple des actions P, PI, PID Programmation des commandes avancées faible coût et performances supérieures

Inconvénients Temps de calcul en temps réel Nécessité de CAN et de CNA (car les

actionneurs ont analogiques) dans la boucle numérique

Le temps réel difficile à mettre en œuvre le temps de calcul des paramètres de

réglage doit être inférieur au temps de réponse des éléments de la boucle.


Rôle d’un calculateurRôle d’un calculateur

Fonctions d'un calculateur dans une commande numériqueUn calculateur peut être : microprocesseur, ordinateur, microcalculateurCalculer en fonction de l’algorithme des actions de commande vers

l’actionneurs via le CNAEnregistrer l’évolution des variables du procédé en temps réelAfficher le suivi du procédé : gestion des alarmes et des consignesAide à l’opérateur pour la prise de décision en situation d’alarmes


PARTIE 2PARTIE 2

ELEMENTS CONSTITUTIFS ET MISE EN OEUVRE


Mise en oeuvreMise en oeuvre

La consigne est spécifiée numériquement.

L’erreur consigne-sortie discrétisée est traitée par un calculateur numérique.

Ce calculateur généret une séquence de nombre. A l’aide d’un convertisseur numérique analogique (CNA), cette séquence est convertie en un signal analogique qui est maintenu constant entre des instants réguliers par un bloqueur d’ordre zéro (BOZ). L ’ensemble CNA-BOZ est appelé échantillonneur Bloqueur.

Ces instants espacés régulièrement sont appelés instants d’échantillonnage et sont définis par une horloge de synchronisation

Consigne discrétisée Calculateur

numériqueCNA Procédé

ContinuCAN

Horloge

Sortie discrétisée-

+Modèle

échantilloné


DEFINITIONSDEFINITIONS

Echantillonnage Un signal continu f(t) est remplacé par une suite discontinue de ses valeurs f(nTe) aux

instants d’échantillonnage t=nTe (n=0,1,2,…) où Te est la période d’échantillonnage. Échantillonner un signal consiste à le prélever à intervalle de temps réguliers,

pendant une durée très courte.

Echantillonnage

CAN

Te

1Te 2Te 3Te 6Te

f(t) f*(t)

t(s) t(s)

Signal continu Signal discret (suite d’échantillons)

4Te 5Te


DéfinitionsDéfinitions

Quantification Après avoir échantillonné, on quantifie l ’amplitude du signal par un

nombre fini de valeurs codées en général en binaire.Les données sont représentées sur un calculateur dans un certain format

Quantifier un signal : approximer sa valeur instantanée par la valeur discrète la plus proche. On commet donc une erreur Un signal codé sur n bits prend 2n valeurs différentes (8 bits c’est 256 valeurs)

Erreur de quantification

Signal quantifié avec un nombre de niveaux deux fois plus petit


DéfinitionsDéfinitions

Erreur associée à la quantification = bruit de quantification

Reconstruction (CNA) consiste à élaborer un signal analogique à partir d’une suite de nombres

Discrétisation (CAN)Découpage temporel du signal


Bloqueur Bloqueur

Reconstitution du Signal continu: Bloqueur d ’ordre zéro (BOZ) Le bloqueur d ’ordre zéro (BOZ) a pour action de maintenir constante et

égale à f(nTe) l ’amplitude de l ’impulsion entre les instants nTe et (n+1)Te.

CNA

BOZ

Peigne de DiracP(t)

t

P(t) Peigne de Dirac: suite d’impulsionde Dirac

1Te 2Te 3Te 6Te

f*(t)

t(s)4Te 5Te

Signal reconstituéf(t)

t(s)

Signal continu


Quelle fréquence d’échantillonnage ?: Théorème de ShannonQuelle fréquence d’échantillonnage ?: Théorème de Shannon

CAN

fe=8f0

CAN

CAN

Fréquence d’échantillonnage fe=8f0

Le signal continu se retrouve dans laséquence échantillonnée.

Le signal continu se retrouve dans laséquence échantillonnée.

fe=2f0

fe=4f0

Le signal continu ne se retrouve plusdans la séquence échantillonnée.

On échantillonne un signal continu de fréquence f0 pour différentes fréquences d ’échantillonnage fe

f fe 2 maxThéorème de Shannon


Théorème de Shannon (suite)Théorème de Shannon (suite)

ImportanceCe théorème très utile donne précisément la fréquence à laquelle il faut

échantillonner un signal losqu'on le numérise.Enoncé la fréquence d'échantillonnage doit être au moins égale au double de la

fréquence du signal analogique. Si l'on se situe sous cette limite théorique, il y a perte d'information dans le signal.

Pour ne pas perdre d'information dans un signal la distance entre deux échantillons doit être inférieure à la demi-période du signal.

Pour ne pas perdre de détail dans une image, la taille des pixels doit être moins de la moitié du plus petit détail de l'image.


Théorème de Shannon (suite)Théorème de Shannon (suite)

Exemples dans l'audio : pour F < 20 kHz (son Hi-Fi), Fe = 44,1 kHz voix humaine en téléphonie : pour F < 3400 Hz, Fe = 8 kHz.


Choix en pratique de la période d’échantillonnageChoix en pratique de la période d’échantillonnage

Critère fréquentiel Fe : fréquence d’échantillonnage : elle doit être 6 à 24 fois plus grande

que la fréquence de coupure du systèmeExemple : soit Wc la fréquence de coupure du système, alors la période

(s) d’échantillonnage Te sera :

Système du 1er ordre : constante de temps du procédé 1er ordre

Pour un deuxième ordre

7.025.02

)( 22

en

nn

TpP

kpW

5.49;

92

182

e

ce

cTT

eT

4


Choix de la période d’échantillonnageChoix de la période d’échantillonnage

DEBIT 1-3

NIVEAU 5-10

PRESSION 1-5

TEMPERATURE 10-45

DISTILLATION 10-180

ASSERVISSEMENTS 0,001-0,1

REACTEURS CATALYTIQUES 10-45

CIMENTERIES 20-45

SECHAGE 20-45

CHOIX DE LA PERIODE D’ECHANTILLONNAGE POURLA REGULATION DES PROCESS

TYPE DE VARIABLE OU PPROCESS

PERIODE D ’ECHANTILLONNAGE (en s)

Globalement :

Choisir une fréquence d’échantillonnage

5 fois plus petite que la constante de temps la plus rapide que l'on veut

contrôler en boucle fermée


Cas pratiqueCas pratique

Si la fréquence d’échantillonnage Fe est trop petite :On perd de l’information du signalOn doit bien faire l’interpolation pour reconstituer le signal

Si Fe égale à celle du signal: le signal échantillonné paraitrait constant

Si la fréquence d’échantillonnage Fe est trop grande Taille du mémoire du fichier à gérer trop grande Signal bruité si on doit dériver (exemple dériver la position pour avoir la

vitesse)

En pratique prendre la fréquence d’échantillonnage 10 fois la fréquence du signal


Mise en oeuvre (Filtrage et multiplexage des signaux analogiquesMise en oeuvre (Filtrage et multiplexage des signaux analogiques

Schéma de principe d’une boucle de traitement numérique

Grandeur physique

Echantillonneur bloqueur

CANCapteurUnité de

traitement

Partie opérative

FiltrageAmpli

CNA

Ampli. Filtrage


exempleexemple


Rôle des éléments de la boucle numériqueRôle des éléments de la boucle numérique

CapteurTransforme l’énergie en une grandeur physique mesurable. Il est

l’interface entre le monde physique et le monde électrique. Il va délivrer un signal électrique image du phénomène physique que l’on souhaite numériser. Il est toujours associé à un circuit de mise en forme.

Amplificateur Cette étape permet d’adapter le niveau du signal issu du capteur à la

chaîne globale d’acquisition.FiltreCe filtre est communément appelé filtre anti-repliement. Son rôle est de

limiter le contenu spectral du signal aux fréquences qui nous intéressent. Ainsi il élimine les parasites. C’est un filtre passe bas que l’on caractérise par sa fréquence de coupure et son ordre.



Echantillonneur bloqueurSon rôle est de prélever à chaque période d’échantillonnage (Te) la valeur

du signal. On l’associe de manière quasi-systématique à un bloqueur. Le bloqueur va figer l’échantillon pendant le temps nécessaire à la conversion. Ainsi durant la phase de numérisation, la valeur de la tension de l’échantillon reste constante assurant une conversion aussi juste que possible. On parle d’échantillonneur bloqueur.

CAN Il transforme la tension de l’échantillon (analogique) en un code binaire

(numérique).CNA Il effectue l’opération inverse du CAN, il assure le passage du numérique

vers l’analogique en restituant une tension proportionnelle au code numérique.



Filtre de sortie Son rôle est de « lisser » le signal de sortie pour ne restituer que le signal utile. Il a les mêmes

caractéristiques que le filtre d’entrée. Amplificateur de sortie

Il adapte la sortie du filtre à la charge. Performances globale de la chaîne d’acquisition

Fréquence de fonctionnement : C’est le temps mis pour effectuer les opération de : Echantillonnage (Tech) , Conversion (Tconv et Stockage (Tst)

temps minimum d’acquisition la somme de ces trois temps :

Résolution de la chaîne La numérisation d’un signal génère un code binaire sur N bits. On obtient donc une précision de

numérisation de 1 2N%. Il faut donc que tous les éléments de la chaîne de conversion aient au moins cette précision. On leur demande en général une résolution absolue de (0.5*1 2N%).

StconvechStconvechacq TTT

FTTTT

1

max


Acquisition Acquisition

Multiplexeur Acquisition séquentielle décalée L’acquisition décalée se base sur l’utilisation en amont d’un multiplexeur qui va orienter un capteur

vers la chaîne unique d’acquisition

Avantages : Economique Inconvénients : décalage dans le temps des acquisitions. On réservera donc cette structure à

celle ne nécessitant pas une synchronisation entre les données numérisées. Temps d’acquisition complet est proportionnel au nombre de capteurs

MU

LTIP

LEXEU

R

CA

PTEU

RS

Echan

tilloneur-

Blo

queur

CA

N

Séquenceur

0 1 0 1 1 0 1


AcquisitionAcquisition

Acquisition séquentielle simultanée

Avantages : Economique moyen, acquisitions synchrones Inconvénients : un E/B pour chaque capteur. Temps d’acquisition

complet est proportionnel au nombre de capteurs.

MU

LTIP

LEXEU

R

Echan

tilloneur-

Blo

queur (E

/B

)

CA

N

Séquenceur

0 1 0 1 1 0 1

Capteur1

Capteur2

Capteur n

E/B 1

E/B 2

E/B n


AcquisitionAcquisition

Acquisition parallèle

Avantages : les conversions simultanées, Acquisition d’une donnée pendant que l’on en stocke

une autre, gain de temps sur l’acquisition complète. Inconvénients

Coût élevé

0 1 0 1 1 0 1Capteur1

Capteur2

Capteur n

CAN1

E/B 2

E/B n

E/B 1

CAN1

CAN1

0 1 0 1 1 0 1

0 1 0 1 1 0 1


TRANSFORMEES EN ZTRANSFORMEES EN Z


Description d’un signal échantillonné On définit le signal échantillonné par la suite en k : {f(K)}={f(KTe)}

Transformée de Laplace

f(t) f*(t)Te

0 00

* ( ) ( ) ( ) ( ) enT ptpe e e

n n

L f t f nT t nT e dt f nT e

peigne de Dirac0

* ( ) ( ) ( )

( ) ( ),

Te

Te en

f t f t t

t t nT n

Transformée de Laplace d’un signal échantillonné

0

0

* ( ) ( ) ( )

( ) ( )

en

e en

f t f t t nT

f nT t nT


Transformées en z Transformée en z

Changement de variable :

du point de vue numérique, à la suite de nombre f(0), f(Te), …., f(nTe) constituant le signal numérique, on peut faire correspondre la série :

du point de vue continu : Soit F*(p) est la transformée de Laplace du signal échantillonné

0

( ) ( ) ( ) * ( )ne

n

f t F z f nT z Z f t

F p f nT eenT p

n

e*( ) ( )

0

0

* ( ) * ( ) ( ) enT pe

n

L f t F p f nT e

eT pz e


Transformée en z Transformée en z : définition

On appelle transformée en z d’un signal f(t) la Transformée de Laplace F*(p) du signal échantillonné f*(t) en remplaçant :

Exemple 1 : TF de Z de échelon Heaviside

Exemple 2:

eT pz e( ) 1t

1 21

0 0

1( ) ( ) 1 ...1 1

n ne

n n

zZ t nT z z z zz z

f t e at( )

( ) ( ) eanTatef t e f nT e

0 0

( )nTe

nTe nTe

n n

e zF z e zz z e

Suite géométriquede raison z-1

Tableau des transformée en z

295

DefinitionsLa transformée de Laplace pour les signaux continus :

La Transformée de Laplace pour un signal discret (connus uniquement en des instant k)

X* est est une suite :Donc la transformée en z est définie p (existe table des Transfor. En z)

Propriétés de la transformée en zLinéarité

Théorème du retard Si F(k-1) est le signal discret de f(k) retardé de l périodes: alors ,

Théoréme de l’avance

11/03/2018 Commande numérique 297

Théoréme de la valeur initiale La valeur initiale d’un signal continu est

à temps discret, elle est:

Théorème de la sommation En continu on parle du théoème d’intégration

En discret on a :

11/03/2018 298

Théorème de la valeur finale: En continu :

En discret :

Exemple : Calcul d’une Transformèe en z Soit un signal discret du signal de Dirak :

Transformèe en z:


Calcul Transformée en z exemple Considérons le signal suivant

Par définition, sa transformée en z se calcule comme suit

Il s’agit d’une série géométrique connue


11p

1p

1 1( ) 1(1 )

ty t L ep p

( )u t

t

1

1) Système continu

2) Système numérique

Valeur finale: 0

1 1( ) 1(1 )p

y Lim pp p

eT

z zZ Zp p zz e

1 1,(1 ) 1

1z

z

Valeur finale:

Discret : dépend de Te

Valeur initiale

e e

e

T Tz zk

Tzz

z z z zy k Lim Y z Limz z zz e e

z zf LimF z Lim Tezz e

1 1

1 1 1( ) (( ) :1 1

(0) ( ) : 11

Application : Transformée en z

eT

zW zz e

( )

1( )(1 )

Y pp p

eT

z zY z Z y n W z U zzz e

( ) ( ) ( ). ( ) .1

0

( ) ( ) ne

n

y n y nT z

TRANSFORME_Z

Système discret et échantillonné Un système à temps discret se définit comme un

opérateur entre deux signaux à temps discret.

Un modèle entrée-sortie, appelé aussi modèle externe, ne fait intervenir que les séquences d’entrée uk et de sortie yk.


)(...)1()()(...)1()( 1010 mkubkubkubnkyakyakya mn

Système discret Fonction de Transfert d’un système discret


W(z) ( )y k( )u k

0 1 0 1

20 1 2 0 1

20 1 2

20 1 2

( ) ( 1) ... ( ) ( ) ( 1) ... ( )

( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )

...( ) ( )( )( ) ... ( )

n m

n mn m

mm

nn

a y k a y k a y k n b u k b u k b u k m

a Y z za Y z z a Y z z a Y z b U z zb U z z b U z

b zb z b z bY z B zW zU z a za z a z a A z

Signal échantilloné Utilisation de calculateurs numériques utilisés en temps réel pour commander, piloter, guider... des

procédés physiques qui sont le plus souvent à temps continu.La problématique : Représenter les interactions entre des signaux physiques

analogiques avec des signaux assimilables par des calculateurs numériques qui se présentent sous forme de suites.

L’analyse d’un système commandé par calculateur numérique passe par la définition d’un système `a temps discret, comprenant le procédé commandé de nature généralement continue, et les convertisseurs numérique analogique et analogique-numérique, que l’on peut respectivement assimiler au bloqueur d’ordre zéro et `a l’´échantillonneur,


Système échantillonné et discret


Partie continue

Partie échantillonée

Conversion AN et NA


NA

AN

Échantillonneur


Le véritable problème envisagé est celui de l’´échantillonnage en sortie d’un procédé dont on connait, par exemple, sa fonction de transfert mais la sortie du système est inconnue car elle

dépend du signal d’entrèe u(t) qui n’est pas précisé´

T doit satisfaire le théorème de Shannon

Bloqueur d’ordre zero Fonction de transfert d’un bloqueur d ’ordre zéro (BOZ)

Il a pour action de maintenir constante et égale à f(nTe) l ’amplitude de l ’impulsion entre les instants nTe et (n+1)Te.

Sa FT Bo(p) est la transformée de Laplace de sa réponse impulsionnelle


Fonction de transfert d’un BOZ


Bo(p)

)(t

tt

)(ts)(t

( ) (1 )( )( )

TPs p eBo pP p

sautdesignal:)(t

T

)(ts

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(1 ) (1TP TP TPs t t t T s p p p e p e ep

Transformée en z de l’échelon unitaire

Transformée d’un échelon unitaire

Transformée bloqueur associé transmittance


)( t

1 2 1

0

1

( ( )) ( ) 1 ..... suite géométrique raison

1( ( ))1 1

n ne

nZ t nT z z z z z

zZ tz z

Fonction de transfert d’un système échantillonné


Système échantillonné

Théorème: Soit un procédé continu modélisé par une fonction de transfert G(p). Ce procédé échantillonné admet une fonction de transfert en W(z):


G(p) )p(Y)p(U ( )( )( )

Y pG pU p

Bo(p))k(y

)k(u

Te

)(ty)(tu

G(p)

Bo(p) G(p))k(y

W(z) )k(y

)k(u

Demonstration Sens de Z[h(p)]

h(t) : réponse impulsionnelle hk réponse discréte {hk }= { h(KT) } H(z) : FT en z. Z[hk ]=H(Z)

u*(t) : signal continu constitué des échantillons u(k )


La transformée de Laplace de ce signal s’écrit:

Comme

Sachant que la réponse impulsionnelle sortie échantillonneur est:


Bo(p)Te

( )Y p( )U p

Gc(p))k(u * ( )U p

En appliquant le théoréme du retard


Puisque la FT du bloqieur d’ordre zéro est Bo(p) Bo(p)=1-exp(-Tep)/P, on a :

Les propriétés des Tf de Laplace et de Z donnent :


11p

1p

1 1( ) 1(1 )

ty t L ep p

( )u t

t

1

1) Système continu

2) Système numérique

Valeur finale: 0

1 1( ) 1(1 )p

y Lim pp p

eTz zZ Z

p p zz e1 1,

(1 ) 1

1z

z

Valeur finale:

Discret : dépend de Te

Valeur initiale

e e

e

T Tz zk

Tzz

z z z zy k Lim Y z Limz z zz e e

z zf LimF z Lim Tezz e

1 1

1 1 1( ) (( ) :1 1

(0) ( ) : 11

Application : Transformée en z et échantillonné

eT

zW zz e

( )

1( )(1 )

Y pp p

eT

z zY z Z y n W z U zzz e

( ) ( ) ( ). ( ) .1

0

( ) ( ) ne

n

y n y nT z

TRANSFORME_Z

Exemple : système échantillonné EXEMPLE : FT en z de

Période d’échantillonnage

FT en z:

puisque (cf. table)

Alors FT en Z du Système échantillonné est


1( )( 1)

G pp

242 Te

1 ( ) 1 1( )( 1)

z G p zG z Z Zz p z p p

( ) 1 (1 exp( )

( 1) ( 1) exp( )G p z TeZ Z

p p p z z Te

(1 exp( 1) 0.6321pour Te 1, ( )

exp( 1 0.3679G z

z z

1 ( ) (1 exp( )( )

exp(z G p TeG z Z

z p z Te

ECHANTILLONE_VS_Z

MATLAB

Chap.1/ 318

%EXEMPLEnum=1;den=[1 1];mc=tf(num,den)%Convertir continu vers discretTe=1;method='zoh'md = c2d(mc,Te,'method')step(md);%Convertir discret vers continumc1=d2c(md)

mc =1

-----s + 1

md =

0.6321----------z -

0.3679

EXO_ECHANTILLONE_MATLAB

Exemple EXEMPLE : FT en z de

Période d’échantillonnage

FT en z:

puisque (cf. table)

Alors FT en Z du Système échantillonné est


)12(1)(

p

pG

242 Te

)12(

11)(1)(pp

Zz

zppGZ

zzzG

)1()5.0exp()5.0exp(1(

)2/1(2/1

)12(1

zTez

Tezpp

Zpp

Z

6065.03935.0

5.0exp()5.0exp(1()(

zzzG 1,Te pour

SIMULATION : Echantillonné


%EXEMPLE

num=1;

den=[2 1]

mc=tf(num,den)

%Convertir continu vers discret

T=1

method='zoh'

md = c2d(mc,T,'method')

step(md)

%Convertir discret vers continu

mc1=d2c(md)

ECHANTILONE_SIMULINK

Syntax : Continuous to discrete

md = c2d(mc,T,’method’)

Syntax : discrete to continuous

mc1=d2c(md)

DEMO_SIMULINKEXo_echatillon3

MatlabExo_echantilone3_mtalab

Réponse discrète et continue


FT d’un système échantillonnéFT d’un système continu

FT du système échantillonné


W(p) )p(Y)p(U

p)p(WZ

zz)p(Bo).p(WZ)z(W 1

ExemplesSoit le système échantilloné suivant

Calculer sa FT en z La partie continu est : Sa FT en z est :


Bo(p))k(y

)k(u)p(p 1

1 Te

1( )( 1)

G pp p

z G p zG z Z Bo p G p Z Z

z p z p p p1 ( ) 1 1( ) ( ). ( )

( 1)

Exemple suite

324

Décomposition en éléments simples

Utilisation de la table

11/03/2018

1( )( 1)

G pp p

0.7183Pour T 1s, ( ) 0.37679

1 0.3679zG z

z z

EXo_echatillon_2

G pp p p2

( ) 1( 1)

z Te z Te z Tez G p zG z Zz p z z z Te2

(1 exp( )(1 ) ( exp( ))1 ( ) 1( ) .( 1) ( exp( ))

2eme Exemple


25.925.1021

23

ppppw(p)

10-1 100 101 102-180

-90

0

90

180

Pha

se (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (d

B)

Fréquence de coupure C=5rad/s ou fc=C/(2π)

2π /(24*5)<T< 2π /(6*5)

Théorème de Shannon

0,05T< 2π /0,2

0 2 4 6 8 10 12-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Simulation


homedisp('Fonction de transfert')num=[1 -1];den=[1 2 10.25 9.25];

mc=tf(num,den)pause, homedisp('Choix periode echantillonage')%Fréquence de coupure est de 5rad/s%2pi/24< Te < 2pi/6 0.05<Te<0.2T=0.2pause, home

method='zoh'disp('Modele discret')md = c2d(mc,T,'method')pause, homedisp('REPONSE INDICIELLE')step(md)pause, homedisp('Modele continu')%Convertir discret vers continumc1=d2c(md)

Transfer function:

0.01439 z^2 - 0.003186 z - 0.01758

----------------------------------

z^3 - 2.312 z^2 + 2.042 z - 0.6703

Sampling time: 0.2

DEMO MatlabExo_echantilone4_mtalab

Résultats

REGULATEUR DISCRETS Régulateurs continus

Régulateurs discrets


1 ( )( ) ( ) ( )

( ) 1( )( )

p di

p di

dE tu t K E t E t dt TT dt

U pW p K T pE p T p

( ) ( 1)( )( ) ( 1)

e dp

i e

T TU z z zW z KE z T z T z

Exo_recgulation_continu_discrete

Dérivée filtrée L'action dérivée idéale provoque une forte augmentation du bruit hautes

fréquences, on utilise en pratique une dérivée filtrée :


( ) ( 1)( ) , 0.1( ) ( 1)

e dp

i i e

T TU z z zW z K NE z T T z T z N

Stabilité des systèmes numériques definition Un système numérique est stable ssi il revient à sont état d’équilibre suite à une

réponse impulsionnelle. Soit h(kT) la réponse impulsionnelle :

Condition nécessaire et suffisante

329

Valeur finale: k

h Lim h kt( ) ( ) 0

la fonction de transfert en z

ni

ii

di

ii

a zN zH zD z b z

0

0

( )( )( )

la réponse impulsionnelle est :s(z)=

: Transformée en z d'une impulsion

: Z = =1

la réponse impulsionnelle est : d

p p pd

H z zz

z p z zp zz p z z

CC Cs zz z z z z z

1 2

1 2

( ). ( )( )

1 ( ) 1( ) 1 ( ) .1

( ) ...

Quelle est la forme de la réponse impulsionnelle en fonction des pôles : Soit zpi les poles de la FT simples , la réponse impulsionnelle sera alors :


1

0

( ) 0 1d

ki pi pi

i k

H zL C z Lim si i zkz h


Stabilité : Lien avec système continu Un système continu est stable si et seulement les pôles de sa fonction de

transfert G(p) sont tous à partie réelle négative.

A chaque élément simple de la décomposition de G(p), il apparaît un pôle pi auquel correspond un pôle simple zi = eTpi pour G(z)=Z[G(p], compte tenu de la relation fondamentale z = eTp, reliant les variables p et z.

Chap.1/ 331

1( ) ( )

( ) ( )

aTe

aTe bTe

zG p G zp a z e

b a z zG p G zp a p b z e z e


Soit un pôle pour G(p)

Donc pour G(z)

La condition de stabilité du système continu, à savoir implique que :

Un système numérique de transmittance G(z) est stable ssi tous ses pôles sont situés à l’intérieur du cercle de rayon unité. Il est d’autant plus stable que ses pôles sont prés de l’origine. Il est juste oscillant si ses pôles sont de module 1

332

p = +ji i i

+j j z =e =e e ee i i i iT pii

.

<0ij z =e e ei iTep

i 1

Domaine de stabilité Lien avec un système continue


soit p= +jz =

,1 0

e

e

T p

T p

z ee

Im

Re

Juste Oscillant

Critère de Jury soit donnée la Ft en z

Considérons le dénominateur D(z)


la fonction de transfert en z 0

0

( )( )( )

ni

iid

ii

i

a zN zH zD z b z

10 1 1( ) ... ,d d

d d iD z b b z b z b z b i

Critère de Jury: énoncé Pour que toutes les raciness de D(z)=0 soient situées à l’intérieur du

cercle unite, il faut et il suffit que les (d+1) conditions suivantes soientsatisfaites :


pour d pairpour d impair

contraintes

0

0 1

0 2

0 3

0 2

(1) 00

( 1)0

( 1)

...................

d

d

d

d

D

D

b b

c c

d dd

e e

q q

Cas particulier


exemple Etudier la stabilité du système fermé suivant :

La FT associé au BOZ est :


Suite la fT en BF est :

Critère de jury


STABILITY_JURY

Continue et discréte€¦ · Chap.1/ 5 OBJECTIFS DU COURS Présentation des principes de...

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