Constructions étanches en béton. 1cm Journée d étude sur ... ·...

Constructions étanches en béton.

Journée d’étude sur les constructions étanches organisée par le Groupement Belge duBéton en collaboration avec le Comité Construction de la FABI.

Contrôle de la fissuration dans une structure étanchequid des règles de l’Eurocode 2 ?

J.-F. Cap

SECO & UCL-EPL

J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l’EC2 1 / 50

Objectifs de l’exposé

• Parcourir les règles principales énoncées dans l’Eurocode2 (EN 1992-1-1 et EN 1992-3) quiconcernent la maîtrise de la fissuration au moyen d’armatures passives et qui sont pertinentes pour ledimensionnement des structures en béton “étanches”.

• Les prescriptions relatives aux ouvertures de fissures “admissibles”• La définition du pourcentage minimal d’armature.• Les règles relatives au calcul des ouvertures des fissures.

• Exposer les bases théoriques de ces règles.• Tenter quelques réflexions critiques relatives de ces règles.


Maîtrise de la fissuration au moyen d’armaturesPrincipes

• La fissuration des structures en béton à l’état durci, sous les sollicitations mécaniques qu’elles ont à subir durant leurréalisation et leur utilisation, est un phénomène “normal”

• Les causes de l’apparition de fissures sont multiples et ne résultent pas uniquement des contraintes provoquées parl’application les charges extérieures sur la structure.

• Il est généralement difficile d’éviter qu’un élément bridé ne se fissure sous l’action du retrait (retrait de séchage,retrait thermique, ...) du fait des capacités de déformation très limitées du béton en traction.

• La maîtrise de la fissuration au moyen d’armatures passives aura pour but de limiter ses effets défavorables (limiterl’ouverture des fissures) mais ne permettra pas d’éviter la fissuration.

• Le contrôle de la fissuration aux moyens d’armatures passives requière toujours un pourcentage minimumd’armatures non négligeable.

• Le phénomène de fissuration est un processus complexe et fortement aléatoire. Les formules de calcul prédictifl’ouverture des fissures (reprises dans les normes) sont basées sur des modèles théoriques déterministes etfortement simplifiés. Des écarts entre les résultats de ces calculs et ce qui peut être observé réellement sur site sontinévitables.

• D’autres moyens et précautions complémentaires au dimensionnement correct de l’armature, devront être mis enoeuvre pour éviter une fissuration inacceptable des éléments. La plupart de ces mesures sont relatives à desprécautions de mise en oeuvre indépendantes du dimensionnement proprement dit ( phasage de construction, cure,composition, ...)


Causes d’apparition des fissures et possibilité de contrôleau moyen d’armatures passives

On peut résumer les causes d’apparition des fissures dans le tableau suivant (d’après Favreet.al.)

Causes Période d’apparition Utilité d’une arma-ture passive

a Tassement du béton frais quelques heures aucuneb Retrait plastique après le bétonnage aucune

Retrait thermique quelques jours après lebétonnage oui

c Déformations Retrait endogène quelques jours après lebétonnage oui

imposées hydrique de dessiccation quelques mois ou an-nées oui

Tassement des fondations selon la nature du sol ouiTempératures, variations climatiques durant l’utilisation oui

d Charges (permanentes, variables) durant l’utilisation ouie Corrosion de l’armature quelques années aucunef Réaction chimique (alcali-granulats) après la construction aucuneg Gel – aucune


Motifs pour limiter la fissuration

Les motifs pour lesquels il est nécessaire de limiter la fissuration sont multiples etdépendront des performances recherchées.

Le tableau suivant résume ces différents motifs (d’après Favre et.al.)

Motif ou objectif Ouverture maximale des fissuresDuctilité suffisante et non fragilité 0,5 mm ou davantageDurabilité des structures en béton armé 0,3 à 0,5 mmEsthétique, aspect de parement (en général) 0,2 à 0,3 mmDurabilité des structures en béton précontraint 0,2 mm ou critère de décompressionÉtanchéité à l’eau (fissures traversantes) 0,05 à 0,2 mmAbsence de toute fissure pour des motifs spéciaux(exploitation, esthétique, raideur, ...)

zéro (critère de décompression ou réservede compression)


Limitation de l’ouverture des fissures selon l’EN 1992-1-1Ouverture maximale des fissures (aspect et durabilité) sans exigences d’étanchéité

Selon l’EN 1992-1-1, en l’absence d’exigence spécifique, on peut admettre, pour la combinaisonquasi-permanente de charges, que la limitation des ouvertures calculées des fissures auxvaleurs wmax sera généralement satisfaisante du point de vue de l’aspect et de la durabilité.

Éléments en béton arméClasse d’exposition Classe d’environnement Limitation CombinaisonX0,XC1 EI wmax ≤ 0,4 mm Quasi-permanenteXC2, XC3, XC4 EE1, EE2 ,EE3XD1, XD2, EE4, ES1, ES2 wmax ≤ 0,3 mm Quasi-permanenteXS1, XS2, XS3 ES3, ES4


Limitation de l’ouverture des fissures selon l’EN 1992-3Classes d’étanchéité

Classe d’étanchéité Exigences en matière de fuiteClasse 0 Un certain débit de fuite admissible, ou fuite de liquides sans conséquence.Classe 1 Fuites limitées à une faible quantité. Quelques taches ou plaques d’humidité

en surface admises.Classe 2 Fuites minimales. Aspect non altéré par des taches.Classe 3 Aucune fuite admise.

• Classe d’étanchéité 0. : les dispositions du 7.3.1 de l’EN 1992-1-1 peuvent être adoptées.

• Classe d’étanchéité 1. : il convient de limiter à wk1 l’ouverture des fissures dont il est prévisiblequ’elles traversent la section sur toute son épaisseur [...]

• Classe d’étanchéité 2. : il convient généralement d’éviter les fissures dont il est prévisible qu’ellestraversent la section sur toute son épaisseur, à moins que des mesures appropriées aient été prises(par exemple, revêtements ou joints munis de profilés d’étanchéité).

• Classe d’étanchéité 3. : en règle générale, des mesures spéciales (par exemple revêtements ouprécontrainte) se révèlent nécessaires pour assurer l’étanchéité à l’eau.

Pour garantir le caractère “non traversant des fissures”, il faut vérifier que la valeur de calcul de la hauteur comprimée sousl’action de la combinaison des charges quasi permanentes est au moins égale à la valeur minimale de 50 mm ou 0,2t


Limitation de l’ouverture des fissures selon l’EN 1992-3Limite d’ouverture des fissures pour la classe d’étanchéité 1

Valeur limite de l’ouverture de fissure wk1 pour la classe d’étanchéité 1 en fonction du gradient de pressionhw/t

5 10 15 20 25 30 35 40 45

0, 05

0, 15

0, 10

0, 20

wk1

0

0

t

hw/t

hw

[mm]

wk1 = 0,225 −hw200t

avec 0,05 mm ≤ wk1 ≤ 0,2 mm


Pourcentage minimum d’armaturesPrescription de l’EN 1992-1

L’Eurocode définit essentiellement trois types de prescriptions pour définir le pourcentage minimumd’armatures à prévoir dans un élément en béton armé.

• Prescriptions “technologiques” énoncées dans le chapitre 9 (Dispositions constructives) pour lespoutres, dalles et voiles.Ces prescriptions mènent à des quantités minimales d’armatures très faibles (moins de 0,1% par facepour les voiles).B Ces quantités ne permettent pas d’assurer un contrôle de la fissuration ni même derespecter la condition de non-fragilité.

• Condition de non-fragilitéCette condition exprime que les armatures doivent être suffisantes pour que les efforts qui mènent à laformation d’une fissure ne provoquent pas une rupture “brutale” de l’élément après fissuration.

• Contrôle de la fissurationCette condition exprime que les armatures doivent être suffisantes pour que les efforts qui mènent à lafissuration induisent des contraintes limitées dans les armatures de sorte que l’ouverture des fissuresreste sous un seuil acceptable.


Pourcentage minimum d’armaturesPrincipe : pourquoi faut-il une quantité minimale d’armatures pour contrôler la fissuration ?

Indépendemment des valeurs des sollicitations (efforts ou déformations imposées) appliqués àun élément en béton armé, on peut facilement montrer que la “maîtrise” de la fissuration imposeque l’on place une armature minimale dans les zones tendues de la section.

∆l = εi .l

l

w = ∆l = εi .l

w ≈ ∆l = εi .l

non arme

ρ = 0

suffisament armew ≈ ∆l/nf iss = εi .srm

trop faiblement arme

armature plastifieeρ < ρmin

ρ ≥ ρmin

Supposons un élément complètement bridé sou-mis à un raccourcissement imposé εi (retrait parexemple). Les contraintes de traction qui en résultentvont provoquer une première fissure. La contraintedans l’armature dans la fissure vaut

σs =NAs=

Ac · fctm (1 + αeρ)As

≈Ac · fctm

As

Si l’on veut que l’ouverture de la fissure reste limitée,il faut que l’armature ne se plastifie pasσs < fyd afinde permettre l’apparition d’autres fissures. On en dé-duit que pour contrôler la fissuration il faut une quan-tité minimale d’armatures As,min = ρminAc qui vaut

As,min ≈Ac · fctm

fyd


Pourcentage minimum d’armaturesPrincipe : pourquoi faut-il une quantité minimale d’armatures pour contrôler la fissuration ?

La conditionAs > As,min =

Ac · fctmfyd

peut également être interprétée comme une condition de non-fragilité, en effet tout élémenttendu qui n’est pas armé de cette quantité minimale d’armatures et qui est soumis à un effort detraction supérieur à l’effort de fissuration, se rompt brutalement sans phase d’allongementplastique.

Si la condition précédente est suffisante, en théorie, pour maîtriser la fissuration, c’est-à-dire :permettre la formation de plusieurs fissures d’ouverture limitée, elle ne permet cependant pas delimiter l’ouverture de ces fissures à une valeur fixée a priori. Pour ce faire, il conviendra de limiterla contrainte dans les armatures à une valeur plus faible que la limite élastique σs ≤ fydL’expression de la quantité minimale d’armature devient alors

As,min =Ac · fctmσs

avec σs ≤ fyd


Pourcentage minimum d’armaturesArmature minimale selon l’ EN 1992-1-1

L’expression complète pour le calcul de l’armature minimale reprise dans la norme est

As,min = kc · kfct,eff · Act

σs

fct,eff est la valeur moyenne de la résistance à la traction au moment où les premières fissures sontsupposées apparaître

Act est l’aire de la section de béton tendu. La zone de béton tendu est la partie de la section dont le calculmontre qu’elle est tendue juste avant la formation de la première fissure.

kc est un coefficient qui tient compte de la répartition des contraintes dans la section immédiatementaprès fissuration ainsi que de la modification du bras de levier

k est un coefficient qui tient compte de l’effet des contraintes non-uniformes auto-équilibrées conduisantà une réduction des efforts dus aux déformations gênées.

σs est la contrainte admise dans les armatures après la formation de la fissure. Elle peut être prise égaleà la limite d’élasticité, fyk , de l’armature. Une valeur inférieure peut toutefois être adoptée afin desatisfaire les limites d’ouverture de fissures


Pourcentage minimum d’armaturesPourcentage minimum d’armatures selon l’ EN 1992-1-1


σs

fct,eff est la valeur moyenne de la résistance à la traction au moment où les premières fissures sontsupposées apparaître

fct,eff = fctm (fct,eff = fctm (t) si l’on prévoit que la fissuration se produira avant 28 jours)

f ct,eff[MPa]

fck [MPa]

t = 28j.

t = 14j.

t = 7j.

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 9012 16




σs

k est un coefficient qui tient compte del’effet des contraintes non-uniformesauto-équilibrées conduisant à uneréduction des efforts dus aux déformationsgênées.

��

��

σc ≥ fct

compression traction

h

k

h [mm]

0, 60

0, 65

0, 70

0, 75

0, 80

0, 85

0, 90

0, 95

1, 00

150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900




σs

Act est l’aire de la section de béton tendu. La zone de béton tendu est la partie de la section dont le calculmontre qu’elle est tendue juste avant la formation de la première fissure.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

σ σ

σσ

σ

fct,ef f

fct,ef f fct,ef f

fct,ef ffct,ef f

Ncr

Pk

Mcr

Mcr

Mcr

Mcr

ActAct

Act

Act

Act




σs

kc est un coefficient qui tient compte de la répartition des contraintes dans la section immédiatement aprèsfissuration ainsi que de la modification du bras de levier.

• Pour les sections rectangulaires et les âmes des sections en T :

Traction pure kc = 1Flexion simple kc = 0,4

Flexion composée avec compression 0 ≤ kc ≤ 0,4Flexion composée avec traction 0,4 ≤ kc ≤ 1

• Pour les membrures des caissons et des sections en T :

kc = 0,9Fcr

Act fct,eff≥ 0,5

où Fcr est la valeur absolue de l’effort de traction dans la membrure juste avant la fissuration, du faitdu moment de fissuration calculé avec fct,eff .


Calcul explicite de l’ouverture des fissuresPrincipes

Afin de pouvoir vérifier le critère d’ouverture maximum w ≤ wmax , il est nécessaire d’estimer unevaleur de l’ouverture de fissure probable au moyen d’un calcul.

Ce type de calcul est relativement complexe et nécessite de poser des hypothèses quisimplifient de manière radicale les phénomènes réels. Le calcul sera donc inévitablemententaché d’erreurs. L’ouverture de fissure calculée ne constitue qu’une estimation(conventionnelle) de l’ouverture réelle des fissures qui se produiront dans la structure.

Afin de déduire une méthode de calcul des ouvertures de fissures, nous partirons de l’examendu comportement d’un simple tirant en béton armé tendu soumis à une déformation imposée.Pour pouvoir étendre les résultats au cas de la flexion, nous considérerons que le comportementdu tirant tendu est représentatif du comportement de la zone tendue d’un élément fléchi.

As

AcN N

l ∆l


Calcul explicite de l’ouverture des fissuresModèle théorique – tirant tendu en béton armé

Nr

Nu

stadeII

Fissuration stabilisee

Rupture

3

Ny

N

Formation des fissures2

≈ 1, 3NrN

Non fissure1εm

PlastificationstadeI

εsm

εs2 ∆εs

0 ≈ 0, 01% ≈ 5%≈ 0, 22%≈ 0, 1..0, 15%


Modèle théorique de fissurationComportement d’un tirant tendu en béton armé : phase 1

Tant que le béton n’est pas fissuré,du fait de l’adhérence entre les deux matériaux, dans toutesles sections du tirant la compatibilité des déformations entre le béton et l’acier est respectée .

εs = εc = εm =∆ll

Les contraintes dans l’armature et le béton valent

σs = Esεm = αeN

Ac (1 + αeρ)σc = Ecεm =

NAc (1 + αeρ)

avecρ =

AsAc

; αe =EsEc

As

AcN N

l ∆l


Modèle théorique de fissurationComportement d’un tirant tendu en béton armé : formation des fissures

Dès que la contrainte dans le béton atteint la résistance à la traction fctm une première fissureapparaît.

σc

σs

τb

fctm

σsr2

σsr1

τbm

Nr Nr

zone de discontinuite premiere fissure

w

ltlt



Au droit de cette fissure l’effort normaldans le béton s’annule ; l’effort de tractiontotal est donc reporté sur l’armature seule.La compatibilité des déformations n’estplus possible à cet endroit et un glissementrelatif entre l’acier et le béton se produit(rupture locale de l’adhérence).

La formation de cette première fissure seproduit lorsque l’effort normal dans le tirantatteint une valeur Nr correspondant àl’effort pour lequel la contrainte dans lebéton vaut la résistance à la traction fctm

Nr = fctmAc (1 + αeρ)

σc

σs

τb

fctm

σsr2

σsr1

τbm

Nr Nr

zone de discontinuite premiere fissure

w

ltlt



Il apparaît, de part et d’autre de la fissure, une zone de discontinuité dans laquelle les contraintes dans lebéton et l’armature varient

• dans le béton : la contrainte diminue de fctm à 0.

• dans l’armature : la contrainte augmente de σsr1 à σsr2 .

σsr1 = αeNr

Ac (1 + αeρ)= αefctm

σsr2 =NrAs=

fctmρ

(1 + αeρ)

La taille de cette zone de discontinuité dépend de la distance nécessaireau transfert des efforts du béton à l’armature (∆F = Ac · fctm) paradhérence (contrainte τb).

Cette longueur de tranfert lt vaut

lt =Ac · fctmτbm · π · Φ

où π · Φ est le périmètre de l’armature et τbm la valeur moyenne de lacontrainte d’adhérence.

σsr1

σsr2

σc

fctm

σs

τb

τbm

NrNr

discontinuite

w

lt lt

zone de



En augmentant la déformation imposée au tirant, de nouvelles fissures se forment dans leszones où la contrainte dans le béton est égale à fctm, c’est-à-dire : en dehors des zones dediscontinuités qui encadrent les fissures déjà formées.

σc

σs

τb

fctm

σsr1

σsr2

τbm

Nr Nr

zones de discontinuite

lt lt



Ce mécanisme de formation de nouvelles fissures prend fin lorsque leur nombre est suffisantpour que les zones de discontinuités se chevauchent sur toute la longueur du tirant. En effet, iln’existe plus alors de zones où la contrainte dans le béton peut dépasser la résistance à latraction, condition nécessaire à la formation d’une fissure.

σc

fctm

N N


lt ≤ srm ≤ 2lt

On observe qu’à l’issue de ce processus la distance moyenne entre les fissures srm estcomprise entre lt et 2 · lt

lt ≤ srm ≤ 2 · lt


Modèle théorique de fissurationComportement d’un tirant tendu en béton armé : fissuration stabilisée

On entre ensuite dans un nouveau mode de comportement où la déformation imposée appliquée au tirantprovoque une augmentation continue les contraintes dans l’armature et de l’ouverture des fissures , sansque le nombre des fissures n’augmente (fissuration stabilisée).

σc

fctm

σsr1

σsr2

σs σs2

N N


lt ≤ srm ≤ 2lt

lt lt


Modèle théorique de fissurationCalcul de l’ouverture des fissures dans le stade de formation des fissures

A partir du modèle décrit précédemment, on peut déduire une méthode de calcul de l’ouverture des fissuresw∗. Au moment de la formation des fissures on peut écrire

w∗ =∫ lt

−lt(εs − εc )dx = 2 · lt · (εsm − εcm) = sr,max · (εsm − εcm)

w

lt lt

sr,max = 2.lt

εcm = kt.εrεcr = εs1r = εr

kt.εr + (1− kt).εs2r

ε

0

εsm et εcm sont les déformations moyennes surlt

εcm = kt · εrkt est un coefficient d’intégration qui dépend dela répartition des contraintes d’adhérence sur lt(0 < kt < 1).

εsm = kt · εr + (1 − kt ) · εs2r

En exprimant les déformations en fonction descontraintes et en utilisant les relations déduitesprécédemment, on obtient

w∗ = sr,max (1 − kt )fctmEsρ

(1 + αeρ)


Modèle théorique de fissurationCalcul de l’ouverture des fissures dans le stade de fissuration stabilisée

Lorsque la fissuration est stabilisée, on peut obtenir par le même raisonnement

w =∫ srm/2

−srm/2(εs − εc )dx = srm · (εsm − εcm)

lt ≤ srm ≤ 2.lt

w

εεs2

εcm = kt.εr

εsm = εs2 − kt.(εs2r − εr)

εcr = εs1r = εr

kt.εr + (1− kt).εs2r

0

εcm = kt · εrεsm = εs2 − kt · (εs2r − εr )

εs2 et εs2r sont les déformations de l’armaturedans la fissure, sous l’effort N et sous l’effortprovoquant la fissuration Nr respectivement.

εs2 =σs2Es=

NAs · Es

εs2 =σs2rEs=

NrAs · Es

En exprimant les déformations en fonction descontraintes et en utilisant les relations déduitesprécédemment, on obtient

w = srm (σs2Es− kt

fctmEs · ρ

(1 + αeρ))


Modèle théorique de fissurationCalcul de l’ouverture de fissure sous déformation imposée

Lorsque le tirant est soumis à une dé-formation imposée εimp l’expressionde l’ouverture des fissures en stadede fissuration stabilisée devient sim-plement :

w = srm · εimp

Au stade de formation des fissures,l’ouverture est théoriquement indé-pendante de la déformation imposéeet vaut, comme montré précédem-ment :

w∗ = sr,max (1 − kt )fctm

Es · ρ(1 + αeρ)

formation des fissures fissuration stabilisee

w ∗

w

w=s rm.ε im

p

εimp≈ 0, 1/1000 ≈ 1..1, 5/1000


Modèle théorique de fissurationCalcul de l’ouverture des fissures : généralisation

Afin de généraliser le résultat obtenu à des éléments en bétonarmé tendus ou fléchis, on considère que le comportement du ti-rant tendu est représentatif du comportement de la zone tendued’un élément complet soumis à la flexion ou à la traction. Pour

cela, on considère une aire effective de béton tendu qui enrobeles armatures Ac,eff et on définit le pourcentage effectif d’arma-tures présentes dans cette surface.ρp,eff est le ratio d’armatures présentes dans l’aire de béton effec-tivement tendue autour de l’armature Ac,eff (aire de hauteur hc,eff )

ρp,eff = As/Ac,eff

hc,eff est la plus petite valeur parmi : 2, 5(h − d) ; (h − x)/3 ouh/2

On remplace ρ par ρp,eff dans les expressions déduites précé-demment.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

x

ε

ε

ε

x

hd

hd

hc,ef f

hc,ef f

hc,ef f

Ac,ef f

Ac,ef f

Ac,ef f


Modèle théorique de fissurationCalcul de l’ouverture des fissures : distance entre fissures

La distance entre les fissures srm est fonction de la longueur de transfert lt , nous avons vu que celle-cipouvait s’exprimer sous la forme

lt =Ac · fctmτbm · π · Φ

lt ≤ srm ≤ 2 · lt

Si l’on suppose que la contrainte d’adhérencemoyenne est directement proportionnelle à la résis-tance à la traction τbm = kb · fctm et que l’on exprimel’aire d’armature en fonction du pourcentage effectifAs = ρp,eff · Ac,eff = n · π · Φ2/4 pour n armaturesde diamètre Φ. Le périmètre total de ces armaturesétant n · π · Φ, on obtient

��

��

lt

τbmτb

glissement

N = Ns

σc = fct

σs = σs1

fissure

stade Istade II

Ac,ef f

Asτb

N

lt =nπΦ2fctm

4ρp,eff kbfctmnπΦ⇒ lt =

Φ

4ρp,eff kb


Modèle théorique de fissurationCalcul de l’ouverture des fissures : distance entre fissures

lt =Φ

4ρp,eff · kb

On observe donc que la distance entre fissures• est directement proportionelle au diamètre des armatures Φ ;

• est inversement proportionelle au pourcentage effectif d’armature ρp,eff ;

• est théoriquement indépendante de la résistance à la traction du béton (si on pose l’hypothèseτbm = kb · fctm)


Calcul explicite de l’ouverture des fissuresRègles de la norme EN 1992-1-1

La norme définit des règles pour le calcul de l’ouverture des fissures basées sur le modèleexposé précédemment.

Des adaptations sont apportées pour tenir compte des résultats des nombreux essais réalisés.Les principales adaptations sont :

• Le coefficient d’intégration kt est pris égal à 0,6 ou 0,4 en fonction des conditions dechargement.

• L’expression utilisée pour le calcul de la distance entre fissures srm est adaptée pour tenircomptes de résultats empiriques (l’enrobage de l’armature c , intervient directement dansl’expression).

• Une valeur minimale pour εsm − εcm est fixée ...

La norme donne également des indications permettant de respecter les critères d’ouverturesmaximales sans réaliser de calcul explicite de l’ouverture des fissures, mais en imposant unequantité d’armatures minimale, une entre distance maximum et un diamètre maximum pour lesbarres.



L’ouverture des fissures wk peut être calculée au moyen de l’expression :

wk = sr,max · (εsm − εcm)

sr,max est l’espacement maximal des fissures

εsm est la déformation moyenne de l’armature,incluant l’effet des déformations imposées eten tenant compte de la participation du bétontendu.

εcm est la déformation moyenne du béton entre lesfissures.

sr,max

wmax

εc

εs

εsm − εcm

ε

εcm

εsm



εsm − εcm peut être calculée au moyen de l’expression

εsm − εcm =σsEs− kt

fct,effEsρp,eff

(1 + αeρp,eff ) ≥ 0,6σsEs

σs est la contrainte dans l’armature en supposant le béton fissuré.

kt est un coefficient dépendant du type de chargement

Type de chargement ktcourte durée 0,6longue durée 0,4

ρp,eff est le ratio d’armatures présentes dans l’aire de béton effectivementtendue autour de l’armature Ac,eff (aire de hauteur hc,eff )

ρp,eff = As/Ac,eff

hc,eff est la plus petite valeur parmi : 2,5(h − d) ; (h − x)/3 ou h/2

αe est le coefficient d’équivalence

αe = Es/Ecm

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��

��

��

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��

��

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��

��

x

ε

ε

ε

x

hd

hd

hc,ef f

hc,ef f

hc,ef f

Ac,ef f

Ac,ef f

Ac,ef f



εsm = εs − kt (εsr − εr )εcm = kt · εr

εsm − εcm = εs − kt · εsr

εs est la déformation dans l’armature en supposant lebéton fissuré.

εs = σs/Es

εsr est la déformation dans l’armature en supposant lebéton fissuré sous l’effort provoquant la fissure.

εsr =fct,eff

Esρp,eff(1 + αeρp,eff )

εr est la déformation dans l’armature en supposant lebéton non-fissuré sous l’effort provoquant la fissure.

εr = fct,eff /Ecm

sr,max

wmax

εc

εs

ε

εcm

εsm

εsm − εcm

εsr

εr

⇒ εsm − εcm =σsEs− kt

fct,effEsρp,eff

(1 + αeρp,eff ) ≥ 0,6σsEs


Calcul explicite de l’ouverture des fissuresRègles de la norme EN 1992-1-1 pour le calcul de la distance entre fissures

Lorsque les armatures sont disposées dans la zone tendue avec un entraxe suffisamment faible≤ 5(c + φ/2), l’espacement final maximal des fissures peut être calculé au moyen de l’expression :

sr,max = 3,4c + 0,425k1k2φ

ρp,eff

φ est le diamètre des barres. Lorsque plusieurs barres de diamètres différents sont utilisées, on utilise undiamètre équivalent φeq

φeq =

∑niφ2

i∑niφi

c est l’enrobage des armatures.

k1 est un coefficient qui tient compte des propriétés d’adhérence des armatures

• k1 = 0,8 pour les armatures à haute adhérence• k1 = 1,6 pour les armatures ayant une surface effectivement lisse (armatures de précontrainte,

par exemple)


Calcul explicite de l’ouverture des fissuresRègles de la norme EN 1992-1-1 pour le calcul de la distance entre fissures

Lorsque les armatures sont disposées dans la zone tendue avec un entraxe suffisamment faible≤ 5(c + φ/2), l’espacement final maximal des fissures peut être calculé au moyen de l’expression :

sr,max = 3,4c + 0,425k1k2φ

ρp,eff

où k2 est un coefficient qui tient compte de la répartition des déformations

k2 = 0,5 en flexion simplek2 = 1,0 en traction pure

k2 =(ε1 + ε2)

2ε1en traction excentrée

où ε1 est la plus grande et ε2 la plus petite déformation de traction aux fibresextrêmes, la section étant supposée fissurée.

��

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�

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ε1

ε2

k2 = (ε1 + ε2)/(2ε1)

ε1 = 0

k2 = 0, 5

ε2

ε1

k2 = 1, 0

ε2


Maîtrise de la fissuration sans calcul directRègles de la norme EN 1992-3 pour les éléments tendus soumis à des déformations imposées

Pour autant que l’on prévoit un pourcentage minimal d’armatures respectant la règle

As,min = kc ·kfct,eff · Act

σs(kc = 1, pour la traction pure, 0,65 ≤ k ≤ 1 en fonction de l’épaisseur)

on peut estimer que les ouvertures des fissures ne seront pas excessives ,si pour des fissuresprincipalement dues aux déformations bridées, on respecte le diamètre maximal des armatures indiquédans le diagramme suivant :

0 50 100 150 200 250 300 350 450 5004000

30

40

20

10

50

φ∗s

σsContrainte dans les armatures [N/mm2]

Diametremax.desbarres[mm] w

k=0, 3m

m

wk=0, 2mm

wk=0, 05mm

wk=0, 1mm

h

d h − d

e

φs

Il convient de modifier le diamètre maximal des barres indiqué par la figure à l’aide de l’expression ci-dessous

φs = φ∗sfct,eff2,9

h10(h − d)


Maîtrise de la fissuration sans calcul directRègles de la norme EN 1992-3 pour les éléments tendus sous l’effet de charges extérieures

Pour autant que l’on prévoit un pourcentage minimal d’armatures respectant la règle

As,min = kc ·kfct,eff · Act

σs(kc = 1, pour la traction pure, 0,65 ≤ k ≤ 1 en fonction de l’épaisseur)

on peut estimer que les ouvertures des fissures ne seront pas excessives , si pour des fissuresprincipalement causées par l’application de charges extérieures, on respecte soit le diamètre maximal dudiagramme précédent, soit l’espacement maximal des barres indiqué dans le diagramme suivant :

0 50 100 150 200 250 300 350 450 500400

50

100

150

200

250

300

0

Contrainte dans les armatures [N/mm2]

Espacementmax.desbarres[mm]

wk=0, 1mm

wk=0, 2mm

wk=0, 3m

m

wk=0, 05mm

h

d h − d

e

φs


Maîtrise de la fissuration sans calcul directRègles de la norme EN 1992-3 pour les éléments tendus soumis à des déformations imposées bridées

L’EN 1992-3 indique également comment calculer explicitement les ouvertures de fissures dans le cas dedéformations d’un élément bridé à son extrémité (annexe M.2)

w = srm (εsm − εcm) avec (εsm − εcm) = 0,5αe · k · kc · fct,eff

Es(1 + 1/(αeρ))

On peut montrer que cette expression est équivalente au résultat théorique obtenu précédemment pour lecalcul de l’ouverture des fissures au stade de formation des fissures (en adoptant les valeurskt = 0,5; kc = 1 et fct = k · fct,eff )

0,5αe · k · kc · fct,eff

Es(1+1/(αeρ)) = (1−kt)

αe · k · kc · fct,effEsαeρ

(1+αeρ) = (1−kt )k · fct,effEsρ

(1+αeρ) avec kt = 0,5

w∗ = sr,max (1 − kt )fctEsρ

(1 + αeρ)

Le diagramme du diamètre maximal φ∗s en fonction de la contrainte σs et de l’ouverture de fissure wk peutêtre reconstruit en utilisant cette expression, en supposant que le pourcentage d’armature ρ est égal aupourcentage minimum d’armatures :

ρ = ρmin = kckfct,effσs


Maîtrise de la fissuration sans calcul directRègles de la norme EN 1992-3 pour les éléments tendus soumis à des déformations imposées bridées

On peut déduire des règles précédentes une méthode permettant théoriquement de déterminer la quantitéd’armatures à mettre en place pour limiter l’ouverture des fissures à une valeur wk pour satisfaire auxconditions de la classe 1 d’étanchéité, dans le cas où l’élément est bridé et subit des déformations imposéesqui mènent à une traction uniforme sur la section (retrait empêché, ...).

1. On détermine la valeur wk limite que l’on ne peut dépasser, et le diamètre φs des armatures que l’onveut utiliser.

2. On corrige la valeur du diamètre φs pour obtenir φ∗s au moyen de l’expression

φ∗s = φs2,9fct,eff

10(h − d)h

3. On détermine la valeur de la contrainte σs à ne pas dépasser dans les armatures au moyen dudiagramme (σs,φ∗s ).

4. La quantité minimum d’armatures théoriquement nécessaire pour s’assurer que l’ouverture desfissures ne dépassera pas wk est obtenu en utilisant l’expression


σs

avec la valeur de σs déterminée précedemment.


Maîtrise de la fissuration sans calcul directRègles de la norme EN 1992-3 pour les éléments soumis à des charges extérieures de traction

Dans le cas où les fissures sont principalement dues à des charges extérieures, et que la section estentièrement tendue (fissuration traversante) on pourra déterminer la contrainte limite σs soit au moyen dudiagramme des diamètres max. (φ∗s, σs, wk ) soit au moyen du diagramme des espacements max.(emax, σs, wk ).

0 50 100 150 200 250 300 350 450 500400

50

100

150

200

250

300

0

σs

e

Contrainte dans les armatures [N/mm2]

Espacementmax.desbarres[mm]

wk=0, 1mm

wk=0, 2mm

wk=0, 3m

m

wk=0, 05mm

0 50 100 150 200 250 300 350 450 5004000

30

40

20

10

50

φ∗s

σsContrainte dans les armatures [N/mm2]

Diametremax.desbarres[mm] w

k=0, 3m

m

wk=0, 2mm

wk=0, 05mm

wk=0, 1mm

La quantité d’armatures minimale à mettre en place sera déterminée au moyen de la même expression


σs

On devra en outre dimensionner les armatures sous l’effet des charges extérieures en veillant à ne pasdépasser en service la contrainte limite σs sous la combinaison de charge appropriée (combinaison quasipermanente).


Maîtrise de la fissuration au moyen d’un calcul détailléApplication des règles de l’EN 1992-1-1 et EN 1992-3

A la place d’utiser les diagrammes (φ∗s, σs, wk ) ou (emax, σs, wk ), il est également possible de déterminer unecombinaison diamètre d’armature φs, contrainte limite σs et pourcentage d’armature ρ en utilisant les relations quipermettent de vérifier explicitement l’ouverture des fissures, c’est-à-dire :• Dans le cas d’un élément bridé soumis à des forces de traction dues à des déformations imposées (stade de

formation des fissures) :

Trouver une combinaison φ, σs et ρ telle que wk ≤ wk, lim (= wk1dans le cas de la classe d’étanchéité 1) avec

wk = sr,max (εsm − εcm)

sr,max = 3,4c + 0,425k1k2φ

ρp,eff

(εsm − εcm) = (1 − kt )kc · fct,eff

Esρ(1 + αeρ) avec kt = 0,5

ρ ≥As,min

Act= kc · k

fct,effσs

et ρp,eff = ρh/2

2,5(c + φ/2)≥ ρ


Maîtrise de la fissuration au moyen d’un calcul détailléApplication des règles de l’EN 1992-1-1 et EN 1992-3

• Dans le cas d’un élément bridé soumis à des forces de traction dues à des sollicitations extérieures (stade defissuration stabilisée) :

Trouver une combinaison φ, σs et ρ telle que wk ≤ wk, lim (= wk1dans le cas de la classe d’étanchéité 1) avec

wk = sr,max (εsm − εcm)

sr,max = 3,4c + 0,425k1k2φ

ρp,eff

(εsm − εcm) =σs

Es− kt

fct,effEsρp,eff

(1 + αeρp,eff ) ≥ 0,6σs

Esavec 0,4 ≤ kt ≤ 0,6

ρ ≥As,min

Act= kc · k

fct,effσs

et ρp,eff = ρh/2

2,5(c + φ/2)≥ ρ

Il conviendra en outre de vérifier que sous la combinaison quasi permanente des charges la contrainte dans lesarmatures ne dépasse pas la contrainte limite σs.

+ L’utilisation de ces expressions détaillées requière bien entendu un calcul un itératif habituellement non praticable“manuellement”.

+ Ces calculs donneront des résultats semblables à ceux obtenus par l’intermédiaires des diagrammes décritsprécédemment.


Maîtrise de la fissuration au moyen d’armatures passivesCommentaires à propos des règles de l’Eurocode

Bien que les règles de l’Eurocode semblent fournir un cadre suffisant pour réaliser un dimensionnement des armatures telque l’on puisse garantir que l’ouverture des fissures reste sous un seuil défini et permettre ainsi de remplir les conditionsd’étanchéité souhaitées en fonction de la classe d’exigence choisie, il s’avère qu’en pratique l’application des méthodes dedimensionnement exposées ci-dessus posent certaines difficultés ...

• Si l’on prend le cas d’un élément bridé à ses extrémités soumis à des efforts de traction dus à des déformationsimposées (retrait de dessication, retrait thermique, ...), on remarque que le pourcentage théorique minimumd’armatures pour limiter l’ouverture des fissures à des valeurs inférieures à 0,2mm (classe d’étanchéité 1) obtenu enappliquant les règles exposées ci-dessus est très important.

Prenons l’exemple du voile suivant : Béton C30/37 ; fct,eff = 2,9MPa ; h = 300mm ; c = 30mm ; wk1 = 0,2mm etsupposons qu’un risque de fissuration traversante du fait du bridage de déformations imposées existe.Si l’on choisi d’utiliser des armatures φs = 12mm on obtient

φ∗s = φs2,9fct,eff

10(h − d)h

= 12 ×2,92,9×

10 × 36300

= 14,4mm

Le diagramme (φ∗s, σs, wk ) nous montre que pour wk = 0,2mm la contrainte limite est d’environ σs ≈ 230MPa .On peut en déduire l’armature minimum nécessaire :


σs= 1 × 1 ×

2,9230× 30 × 100 = 41,6cm2/m (ρ = 1,3%)



soit 20,8cm2/m par face.Cette quantité d’armatures est relativement importante (Si l’on veut placer une telle armature, il sera probablementnécesssaire pour des raisons technologiques d’augmenter le diamètre de celles-ci, ce qui aura pour effet d’encoreaugmenter la quantité d’armatures à mettre en place ...)

+ Pour des raisons économiques et pratiques, il arrive fréquemment que des quantités d’armatures plus faiblessoient mises en place. Dans de tels cas, il est théoriquement possible que des fissures plus ouvertesapparaissent. Celles-ci devront faire l’objet d’un traîtement a posteriori (injection, ...).

+ Il convient encore d’insister ici sur l’attention à porter aux mesures à prendre pour réduire l’ampleur desdéformations imposées qui ne sont pas liées directement à la quantité d’armatures mises en place(composition du béton, cure, phasage, ...).En effet on constate qu’il sera toujours difficile et “coûteux” de compter uniquement sur l’effet de l’armaturepassive pour “garantir” des performances d’étanchéité.

+ Dans le cas où une quantité plus faible que celle calculée ci-dessus est mise en place, il semble néanmoinsnécessaire d’au moins respecter la condition de non-fragilité , c’est-à-dire placer un pourcentage minimumd’armature correspondant à


σsavec σs = fyk

soit pour l’exemple précédent une aire de 8,7 cm2/m par face. En effet en dessous de cette quantité toutefissure traversante provoquera théoriquement la plastification de l’armature ce qui empêchera la formation deplusieurs fissures nécessaires pour “absorber” la déformation imposée.

+ Etant donné les particularités propres à chaque ouvrage, il convient d’adopter des mesures de “bonnespratiques” basées sur l’expérience d’ouvrages similaires.



• Dans l’annexe informative M, l’EN 1992-3 indique que l’on peut traîter différemment le cas du bridage d’un élément lelong d’un bord du cas du bridage d’un élément à ses extrémités.

Le cas du bridage le long d’un bord, est particulièrement courant. Il se produit lorsqu’une paroi est coulée sur unedalle de base rigide pré-existante.Dans ce cas , la norme propose d’évaluer l’ouverture des fissures au moyen de l’expression

wk = sr,max (εsm − εcm) avec (εsm − εcm) = Rax · εfree

Rax est un facteur de bridage 0 ≥ Rax ≥ 1. Pour le bridage à la base de la paroi la valeur de Rax vaut 0,5 selonles indications de l’annexe L.

εfree est la déformation qui se produirait si l’élément était totalement libre de se déformer.



+ Cette expression suppose que l’ouverture desfissures n’est pas gouvernée par les effortsthéoriques dans l’élément lors de la formation d’unefissure traversante, mais qu’elle résulte del’ouverture de fissures produites par la déformationimposée sur un schéma de fissuration “déjastabilisé”.

+ L’utilisation de cette expression mènera à desouvertures de fissures théoriques largementinférieures à celles obtenues en appliquant laformule pour les éléments bridés à leurs extrémités.

w ∗

w

w=s rm.ε im

p

εimp≈ 0, 1/1000 ≈ 1..1, 5/1000

formation des fissures fissuration stabilisee

w = srmRaxεf ree

en stade de formationOuverture theorique des fissures

+ Comme exposé précédemment, dans le cas de l’utilisation d’une telle expression, il semble malgré toutnécessaire d’au moins respecter la condition de non-fragilité , c’est-à-dire placer un pourcentage minimumd’armature correspondant à


σsavec σs = fyk

.



• Dans le cas d’élements de forte épaisseur (radier et bajoyer d’écluse par exemple) l’application aveugle de cesrègles mènent à des quantités d’armatures “impraticables”.

+ Il semble clair que les théories sous-jacentes aux règles énoncées dans l’Eurocode (modèle de fissurationsimplifié exposé plus haut) ne sont pas réalistes dans le cas d’élements de forte épaisseur.

+ Les expériences récentes montrent que dans de tels cas (écluse de Lanaye, écluse d’Ivoz Ramet, écluse àAnvers, etc..) les quantités d’armatures minimales adoptées en pratique qui sont de l’ordre de 30 cm2/m à40 cm2/m par face pour des éléments de 1 m à 2,5 m d’épaisseur sont généralement “suffisantes” pouréviter l’apparition de fissures d’ouverture non contrôlées. (Compte tenu de l’ensemble des dispositions quisont prises pour réduire les déformations imposées : composition appropriée du béton, phasage deconstruction, ... ). Les quelques fissures éventuelles qui sont trop ouvertes font l’objet d’un traitement aposteriori.

+ Notons que dans ces ouvrages on veillera généralement à bien respecter les conditions de non-fragilité pourtoutes les parties d’ouvrage soumises à des sollicitaions extérieures significatives( MRd ≥ Mfissuration, NRd ≥ Nfissuration )



• La fissuration des éléments en béton armé, singulièrement en ce qui concerne les phénomènes liés à desdéformations bridées, est un problème complexe qui fait encore l’objet de nombreuses recherches.

A titre d’exemple, on peut citer l’article récent de D. Schlicke & N. V. Tue “ Minimum reinforcement for crack widthcontrol in restrained concrete members considering the deformation compatibility” – Structural Concrete (2015), No. 2

On y développe un modèle de fissuration impliquant deux familles de fissures (primaires et secondaires) ...


Constructions étanches en béton. 1cm Journée d étude sur ... ·...

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